Órdenes, retículos, Álgebras de Boole

Órdenes, retículos, Álgebras de Boole
J. García Miranda, P. A. García Sánchez, J. C. Rosales
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1. Sea f la función booleana f : B3 → B dada por f (x, y, z) = (x ↑ (y ↑ y)) ↑ z.
(a) f es producto de 5 maxterm.
(b) Una expresión óptima de f es z 0 + x y 0 z.
P
(c) f = m(0, 2, 4, 5, 6).
(d) f no es una función booleana porque (x ↑ (y ↑ y)) ↑ z no es una expresión booleana.
2. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e Y el conjunto formado por los subconjuntos de X que tienen cardinal par. Consideramos en Y el orden dado
por la inclusión.
(a) Y es un retículo, pero no es un subretículo de (P (X ), ⊆).
(b) |Y | = 25 e Y es un álgebra de Boole.
(c) Y no es un retículo.
(d) Y es un subretículo de (P (X ), ⊆).
3. Sea X = (D(216), |) e Y = {4, 6, 18, 27, 24, 72}.
(a) A. Y tiene tres elementos minimales y dos maximales.
(c) 72 es el máximo de Y .
(b) X es un retículo complementado.
(d) No existe supremo de Y porque Y no es un retículo.
4. El retículo (D(24), |)
(a) Es un álgebra de Boole, pues tiene 23 elementos.
(b) Es un conjunto totalmente ordenado.
(c) Para cualesquiera x, y, z ∈ D(24) se verifica que (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x) = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x).
(d) No es un retículo distributivo, pues el subretículo formado por 1, 2, 6, 8, 24 es isomorfo al pentágono.
5. Sean los conjuntos ordenados (N, ≤) y (Z, ≤). Consideremos el producto cartesiano N × Z con el orden producto cartesiano. Dicho
orden
(a) es un buen orden.
(b) es un orden total.
(c) es un orden en el que todo conjunto no vacío tiene máximo.
(d) no es un orden total.
6. Sea (L, ≤) un retículo con cuatro elementos.
(a) Es siempre distributivo, aunque no siempre complementado. (b) ES un retículo distributivo y complementado.
(c) No es necesariamente distributivo. (d) Es siempre
complementado.
7. Sea A un álgebra de Boole con 32 elementos. Entonces A es isomorfa a
(a) . (P ({1, 2, 3, 4}), ∪, ∩).
(b) (P ({a, b, c, d }), ∩, ∪).
(d) (Z32 , +.).
(c) (P ({1, 2, 3, 4, 5}), ∪, ∩).
8. Sea A un álgebra de Boole con 16 elementos. Entonces A es isomorfa a
(a) el producto cartesiano de (D(2), |) y (D(4), |).
(b) (P ({a, b, c}), ∩, ∪).
(c) D(216).
(d) el producto cartesiano de (D(14), |) y (D(6), |).
9. Consideremos N con el orden x ≤ y si y es múltiplo de x. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subretículo suyo?
(a) {1, 2, 4, 6}.
(b) {1, 3, 5, 0}.
(c) {1, 4, 6, 12}.
(d) {1, 2, 3, 6}.
10. Sea A el conjunto de aplicaciones de (Z2 )5 en Z2 . Entonces A es un álgebra de Boole con cardinal
(a) 25 .
5
(b) 2(2 ) .
11. La función booleana f (x, y, z) = x y + z
(a) vale 0 en 5 puntos.
(c) vale 0 en 6 puntos.
(c) 52 .
(d) 5 · 25 .
(b) vale 0 en 4 puntos.
(d) nunca vale 0.
12. La función (x ∧ y) ∨ z coincide con
(a) (x ∨ y) ∨ z.
(b) (x ↑ y) ↑ z.
(c) (x ∧ z) ∨ (z ∧ y).
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(d) 1.
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