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Organización de la unidad
Proyecto: Claves secretas y encriptamiento de códigos
PRIMER PROYECTO
Proyectos
Sitúate ante el trabajo a realizar
Comprende las unidades didácticas
Formad grupos de cuatro o cinco personas:
1. Conjuntos numéricos , y a) Estudiad el concepto de encriptación. Leed atentamente el ejemplo y buscad en Internet más información sobre la utilidad de los sistemas criptográficos. Te recomendamos:
2. Números reales y potencias
«La criptografía desde la antigua Grecia hasta la máquina Enigma», del Observatorio de la Seguridad de la Información (INTECO, Instituto Nacional de las Tecnologías de la Información).
b) Repasad muy bien los conceptos de aritmética, especialmente todo lo concerniente a los números
primos.
Claves secretas y encriptamiento
de códigos
A lo largo del libro se trabajan cuatro proyectos. Cada doble página dedicada al proyecto comienza con un texto introductorio
y tres apartados: Sitúate ante el trabajo a realizar plantea una
serie de cuestiones sobre el texto que llaman a la reflexión, Lo
que tienes que hacer muestra lo que harás durante el desarrollo
del proyecto y el objetivo perseguido y, por último, Pasos a seguir,
señala cuáles son los pasos que tendrás que dar por unidad.
c) Repasad los conocimientos de mcd y mcm dados en este libro.
La aritmética es la ciencia que estudia los números y su desarrollo
da lugar a la teoría de números. ¿Qué interés tiene para la vida
diaria?
d) Conoced el procedimiento de creación de claves.
e) Comparad los diferentes sistemas encriptación y comentad sus niveles de seguridad y utilidad.
Desde la Antigüedad, se han enviado mensajes que se encontraban
escritos en un código oculto y cuya finalidad era que lo entendiera
solo el receptor del mensaje. Esta ciencia, llamada criptografía, fue
empleada por Julio César o Felipe II, entre otros, para enviar mensajes a sus tropas. El ejército alemán, en la última gran guerra, con
la máquina Enigma, generaba mensajes cifrados. El caso de la máquina Enigma ha sido uno de los retos más difíciles resueltos por la
criptografía. Su resolución por parte de los británicos fue una de las
causas de la derrota alemana en la II Guerra Mundial. Este asunto
llevó a Gran Bretaña a construir el Colossus, el primer ordenador
del mundo, dedicado exclusivamente a descodificar los mensajes
alemanes. Destacó con luz propia en este proyecto el matemático
Alan Turing.
Lo que tienes que hacer
Julio César
Cuando Julio César envía mensajes secretos a sus legiones en la guerra de las Galias, lo hace cambiando el orden de las letras del alfabeto (cifrado César). Este tipo de mensajes es más un problema filológico que matemático. El tipo de clave utilizada en este mensaje es una
clave privada. Esto exige acordar previamente la clave con el receptor
del mensaje; lo que no es fácil es cómo hacerlo de forma segura. En
caso de querer enviar el mensaje a varias personas, la dificultad se
incrementa. Por otra parte, si la clave utilizada es descubierta por el
interceptor del mensaje, son descifrados inmediatamente todos los
mensajes ocultos.
Comenzaremos descifrando un mensaje utilizando un sistema de cifrado semiológico. Pronto daremos
el salto al sistema numérico para encriptar una clave secreta. Esta será la parte más sencilla de nuestro trabajo y la realizaremos en la unidad 1.
Encriptar numéricamente exige un procedimiento muy concreto para poder
realizar el proceso contrario. Esto es lo que haremos en la unidad 2. Será
necesario realizar grandes cálculos, que no podrás realizar a mano. La computación nos ayuda a resolver los tediosos cálculos.
Utiliza el programa WIRIS
para ello.
Máquina Enigma
Actualmente, los profesionales de la criptografía se dan cuenta de
que al hacer públicas las claves llegan a todos los receptores que sea
necesario. Es evidente que el receptor dispone de una clave secreta
que le permite descifrar el mensaje público. De esta forma se ha garantizado la emisión de los mensajes a todos los destinatarios sin
perjuicio de la seguridad. Esto se conoce como cifrado asimétrico: la
clave pública es conocida por todos los usuarios; la clave secreta solo
la conoce el receptor.
Pasos a seguir
Este procedimiento es de máxima actualidad, con una implicación
directa en nuestra vida diaria, al garantizar la seguridad en Internet y
facilitar el comercio electrónico.
Para conseguir este reto personal, lo importante es ir paso a paso:
1. Conjuntos numéricos. Paso 1: Descifrar y crear un mensaje criptográfico.
2. Números reales y potencias. Paso 2: Encriptando una tarjeta de crédito.
2. Números reales y potencias. Paso 3: Desencriptando código RSA.
Alan Turing
6
7
Los inicios de la geometría
7 Geometría plana
La palabra geometría proviene del griego geo, tierra, y metrein, medir. Es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y sus
orígenes se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad,
pues seguramente el hombre primitivo clasificaba –aún de manera inconsciente– los objetos que lo rodeaban según su forma.
Los egipcios tenían una alta formación matemática, demostrada
en sus múltiples construcciones, como en la pirámide de Keops.
La fecha estimada de terminación de la construcción de la gran
pirámide es alrededor de 2570 a. C. y en ella aparecen curiosas
relaciones geométricas, como que al dividir el perímetro de la pirámide entre el doble de su altura se obtenía una muy buena aproximación al número π, la misma relación que entre la circunferencia y su diámetro.
En esta unidad
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Presentación de la unidad
La doble página inicial de la unidad presenta una tabla que relaciona lo que vas a aprender con las competencias que vas a trabajar a lo largo de la unidad, un sumario de contenidos, un texto
introductorio y el apartado La matemática a nuestro alrededor,
donde podrás darte cuenta de la utilidad de lo que vas a estudiar.
Introducción a la geometría
Ángulo central y ángulo inscrito
Introducción al triángulo
Puntos notables del triángulo
Teorema de Tales
Semejanza de triángulos
Homotecias, escalas y medidas inaccesibles
Propiedades del triángulo rectángulo
Teorema de la altura
Teorema del cateto
Teorema de Pitágoras
Cuadriláteros
Áreas y perímetros de los polígonos
Figuras circulares
Lugares geométricos y distancia
Cónicas
La geometría griega fue la primera en ser formal, en ser demostrativa, y es a Pitágoras el primero al que se le atribuye la primera
demostración del teorema que lleva su nombre. En siglo III a. C.,
Eratóstenes consiguió medir el radio de la tierra con un error inferior al 1 % haciendo uso de la definición de ángulo. Con lo cual la
geometría, además del cálculo directo, permite también el cálculo de longitudes de manera indirecta: es muy útil cuando los lugares a medir son inaccesibles.
La matemática a nuestro alrededor
■
Vamos a aprender a...
Competencias
Conocer:
–Los ángulos y sus propiedades.
–Los puntos y rectas notables de un triángulo.
–El Teorema de Tales y semejanza de triángulos.
–El Teoremas del cateto, de la altura y de Pitágoras.
–Las áreas y perímetros de figuras planas.
–Lugares geométricos y cónicos.
–Las homotecias, escalas y medidas inaccesibles.
CMCT
Lectura
y comprensión
–Estudiar las matemáticas en España: desde el califato de Córdoba a la
actualidad.
CCL, CMCT
Tratamiento
de la información
y competencia
digital
–Manejar el programa GeoGebra para calcular los puntos y rectas
notables de un triángulo y trazar la recta de Euler.
CD, CMCT
Aprende a
aprender ciencia
–Estudiar la construcción de mosaicos en el reino de Granada.
CPAA, CMCT
La ciencia
en la sociedad
–Embaldosado de una superficie y los problemas que presenta desde el
punto de vista matemático.
CSC, CPAA, CMCT
Proyecto: Mosaicos
de la Alhambra
y Penrose.
Banda de Möbius
–Construir la pajarita nazarí.
CPAA, CMCT, CCL, SIE,
CSC, CD
Saberes
científicos
Nota: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia en comunicación lingüística (CCL),
competencias sociales y cívicas (CSC), competencia para aprender a aprender (CPAA), competencia digital (CD), sentido de la iniciativa y
espíritu emprendedor (SIE), conciencia y expresiones culturales (CEC).
Desarrollo de contenidos
Unidad 7
Geometría plana
8. Propiedades del triángulo
rectángulo
A continuación comienza el desarrollo de contenidos explicado
con un lenguaje sencillo, comprensible y riguroso, y siempre acompañado, donde se requiera, de ejemplos, fotografías y gráficos
para mejorar la comprensión. Para aclarar las posibles dudas surgidas se intercalan numerosos ejercicios y actividades resueltos.
A lo largo del texto se plantea un gran número de ejercicios y
actividades que sirve para comprobar, comprender y afianzar los
contenidos desarrollados en cada epígrafe y conocer ejemplos
de su aplicación en la vida cotidiana.
9. Teorema de la altura
Consideremos el triángulo de la figura:
C
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados se llaman catetos. Estos son dos de sus tres alturas. La otra altura es la
que cae sobre la hipotenusa y a ella nos referimos cuando hablamos
de la altura de un triángulo rectángulo.
b
A
El circuncentro de un triángulo rectángulo está en el punto medio de
la hipotenusa y, por esta razón, deducimos que:
Todo triángulo inscrito en una circunferencia que abarque un arco
de 180° es recto.
CD = λ ⋅ DB, AD = λ ⋅CD ⇒ λ =
⇒
B
=
AD
CD
D
CD
DB
,λ =
AD
CD
⇒
Notación
~ significa proporcional.
2
⇒ CD = AD ⋅ DB
Nota
a c
= decimos que
b a
a es la media proporcional entre
b y c.
En la relación
Se trata de una aplicación directa
del teorema de la altura.
Sea x la altura del palo mayor:
4m
C
a
DB
EJEMPLO
■ Un barco tiene dos velas. La distancia de la primera vela desde la
popa al palo mayor es de 4 metros y la distancia del palo mayor a
la proa de la segunda vela es de 9 metros. ¿Qué altura tiene el palo
mayor ?
90°
La altura de un triángulo rectángulo divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado.
A
CD
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura es el producto
de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
P
b
En los triángulos semejantes, los
lados opuestos a ángulos iguales
son proporcionales.
B
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es la media
proporcional de las proyecciones de los catetos sobre esta.
La proyección de un segmento AB sobre una recta r es el segmento
que resulta de proyectar sobre la recta r los puntos A y B del segmento dado. En el ejemplo del dibujo, la proyección del segmento AB es el
segmento CD.
C
b
Entonces :
En un triángulo rectángulo, su ortocentro se sitúa en el vértice del
ángulo recto.
O
Nota
a
D
Como los triángulos ADC (amarillo) y CBD (azul) son semejantes,
Llamaremos proyección de un punto P sobre una recta r al punto O
obtenido de la intersección de la perpendicular a la recta dada que
pasa por P.
A
a
entonces CD ∼ DB y AD ∼ CD.
9m
a
x2 = 4 ⋅ 9 ⇒ x = 4 ⋅ 9 ⇒
⇒ x = 2⋅3 ⇒ x = 6
Por lo tanto, el palo mayor mide 6 metros de altura.
b
D
B
Ejercicios y actividades
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Al ser los tres triángulos rectángulos, solo necesitamos comprobar
que tienen un ángulo igual.
7. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos partes de 4 cm
y 16 cm. ¿Qué longitud tiene la altura?
El triángulo ADC (amarillo) es semejante al triángulo ACB (el original),
ya que tienen el ángulo a en común.
8. Una antena de telefonía móvil está sostenida por dos cables sujetos al suelo que se encuentran a 7 metros de distancia de este.
¿Qué altura tiene la antena?
Análogamente, el triángulo CBD (azul) es semejante al triángulo ACB
(el original), ya que el ángulo b es común.
9. Un globo aerostático está sujeto a la tierra por dos cables, uno de
los cuales está sujeto a la tierra a 16 metros de la vertical y el otro
está sujeto a la tierra a 25 metros de la misma vertical. Calcula la
altura a la que ha subido el globo.
Los triángulos ADC (amarillo) y CBD (azul) son semejantes al tener el
ángulo a en común (por tener sus lados perpendiculares y ser ambos
agudos).
16 m
25 m
142
143
INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Unidad 8
Construcción de una hipérbola
Poliedros
Ge Gebra
Vamos a construir la hipérbola, a partir de su definición: lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F y F’ del plano,
llamados focos, es constante.
Informática matemática
En primer lugar señalaremos los focos F y F'. Determinemos en 3 cm la diferencia de las distancias de los puntos P a F y F’. Por lo tanto, si un punto P de la hipérbola está a 4 cm de F, debe
estar a 4 cm – 3 cm = 1 cm de F’, o bien a 4 cm + 3 cm = 7 cm de F´.
Los puntos de color rojo son los que pertenecen a la hipérbola.
O
7 cm
4 cm
F 4 cm
4 cm 4 cm
7 cm
En este apartado se explica cómo utilizar distintas aplicaciones
informáticas, seleccionadas de entre las más útiles y empleadas.
Además, puedes descargarte las app de Matemáticas de Editex, te
servirán de gran ayuda para trabajar los ejercicios. Para descargarte estas app, regístrate en la zona de usuarios en <www.editex.es>
introduciendo en el formulario el código MATE3-2015.
La geometría responde a numerosas preguntas de la vida cotidiana. Por ejemplo, si apoyamos una escalera de 5 m de longitud
sobra una pared y colocamos el pie de la escalera a 3 m de la
pared, ¿a qué altura llegaríamos? ¿Cuánto mide la superficie de
una pared rectangular de 7 m de largo por 3 m de alto? Todas
estas preguntas encuentran su respuesta en la geometría.
7 cm
A
4 cm
F’
1 cm
4 cm
F 4 cm
4 cm
7 cm
F’
1 cm
Dibuja ahora una
y sea O su origen. Sea A un punto
sobre dicha semirrecta.
Con el icono
medimos la distancia desde O hasta A. Seguidamente, traza una
con centro en F y de radio el a. Observa qué ocurre al deslizar el punto A sobre
la semirrecta. Escribe sobre la barra de entrada el texto Circunferencia [F, Distancia[O, A]] y
obtendrás una circunferencia con centro en F y radio distancia OA. Haciendo clic con el botón
derecho sobre ella, en
, le asignas color rojo. A continuación, escribe sobre la barra
de entrada el texto Circunferencia [F’, Distancia[O, A]+3] y seguidamente escribe Circunferencia
[F’, Distancia[O, A]-3]. Colorea estas dos últimas circunferencias de verde. Señala la
de
la circunferencia de color rojo con las dos circunferencias de color verde. Colorea los puntos obtenidos cada uno de un color y activa su rastro haciendo clic sobre cada punto con el botón derecho
. Finalmente, desliza el punto Ä sobre la semirrecta.
O
B
C
A
7 cm
4 cm
F 4 cm
4 cm
4 cm 7 cm
D
F’
1 cm
E
Observa que todo el proceso anterior se simplifica con el icono
.
168
4
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IMPORTANTE:
Todas las actividades propuestas en este libro deben realizarse en un cuaderno de trabajo, nunca en el propio libro.
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a nuestros recursos adicionales.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES RESUELTAS
Geometría plana
1. Calcula el valor de los ángulos señalados:
a
b
4. Calcula el valor de x en la siguiente figura:
30o
x
δ
34
18
17
θ
λ
ε
Solución
σ
Al ser los dos triángulos semejantes, aplicamos el
teorema de Tales:
Solución
x
17
18⋅17 18⋅17
=
⇒x=
=
= 9cm
34
2⋅17
18 34
b = 30 o al ser opuesto por el vértice. El ángulo
a = 170 o al ser suplementario con el ángulo
dado. Finalmente, δ = a = 170 o al ser opuestos
por el vértice.
Ejercicios y actividades resueltos
5. Calcula la altura del triángulo dado:
ε = λ = 30o al ser agudos y de lados paralelos.
θ = σ = a = 170o al ser obtusos y de lados paralelos.
6,261 m
2. Determina el valor de a en cada uno de los
h
casos:
a)
1,4 m
60o
x
Solución
Por el teorema del cateto:
(
)
6,2612 = x ⋅ 1,4 + x ⇒ 39,2 = 1,4x + x 2
Resolvemos la ecuación, x 2 + 1,4 x − 39,2 = 0, y obtenemos x = 5,6 mm.
a
h2 = 1,4 ⋅5,6 ⇒ h2 = 7,84 ⇒ h = 2,8 m
b)
Además de los numerosos ejemplos y ejercicios y actividades resueltos que puedes
encontrar a lo largo de la unidad, en esta página se resuelven otros tantos, representativos de las tipologías fundamentales de la unidad.
Por el teorema de la altura, tenemos:
a
6. Calcula el área de un segmento circular asociado a un sector circular de 90o con un radio de
2 cm.
134
64 o
o
Solución
El suplementario de 134 o es 46o; a es opuesto por
el vértice del tercer ángulo del triángulo, con lo que
(
)
α = 180o − 64o + 46o = 70o
3. Calcula la superficie de un cuadrado cuya diacm
22cm
gonal mide 20 cm.
Solución
Solución
Sea D la diagonal y llamemos x al lado del cuadrado. Por el teorema de Pitágoras:
A segmento circular = A sector circular – Atriángulo
D2 = x 2 + x 2 ⇒ D2 = 2x 2 ⇒ 20 = 2x 2 ⇒
A segmento circular =
Área = x 2 = 10
π ⋅ 22 ⋅ 90 2 ⋅ 2
−
= π − 2 = 1,14 cm
360
2
153
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
Unidad 12
Estadística
Problemas
Problemas (continuación)
1. De las siguientes variables estadísticas, consideradas en una guardería en un día concreto, indica
cuáles son discretas y cuáles son continuas.
a) Peso de los niños.
b) Número de pasos seguidos que son capaces de dar.
c) Talla de los niños.
d) Número de padres que van a recogerlos.
Ejercicios y actividades de recapitulación
2. Queremos saber el número de piezas de fruta que
se come por hogar entre los alumnos del instituto. Para
ello, se encuesta a los 5 primeros alumnos de cada una
de las 15 clases que hay en el centro. ¿Cuál es la población objeto de estudio? ¿Quiénes constituyen la
muestra? ¿Cuál es el tamaño de la muestra? ¿Cuál es
la variable estadística? ¿De qué tipo es esa variable?
3. Un empresario quiere abrir una heladería en un
barrio de la ciudad. Para ello, realiza una encuesta
entre 500 personas de la zona, con edades comprendidas entre 5 y 30 años, acerca del tipo de helado que
prefieren. Se obtienen los siguientes resultados:
6. El gasto en fotocopias que hacen 30 alumnos de
una clase de tercero, en euros, ha sido:
3,30
2,10
b) Realiza una tabla de distribución de frecuencias y
represéntala gráficamente.
Al finalizar la unidad y para que compruebes si has afianzado los conocimientos, se plantean ejercicios y problemas agrupados por contenidos.
Media,
Difícil.
3,27
4,23
2,25
0,50
2,75
3,45
6,90
6,70
1,23
0,78
6,20
2,34
4
2,10
3,30
1,20
4,80
4,50
6,70
3,20
1,90
5,76
3,98
5,32
10. En un edificio el número de horas que está encendida la televisión por hogar es:
2
4,15
1
6
2,48
3
3
4
1
6
2
4
3
5
2
4
1
6
5
3
3
4
5
2
6
3
7
10
12
8
9
6
3
1
a) Realiza la tabla de frecuencias y representa gráficamente los datos dados.
8. En el mes de julio se han registrado en la ciudad de
Toledo las siguientes temperaturas máximas:
25
27
30
29
25
26
29
32
30
32
33
34
31
29
27
28
33
35
34
33
34
31
29
28
27
28
29
27
15. Completa la siguiente tabla de distribución sabiendo que su media es 2,8.
12. El siguiente gráfico indica las notas obtenidas por
los alumnos de 3.º de ESO:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Clase B
4
Retrasos
0
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
7
4
6
5
3
1
2
1
20 %
50 %
Jug. A
1
0
5
0
2
0
0
1
4
2
Jug. B
1
2
1
2
1
3
1
1
2
1
Representa mediante un gráfico los datos de los dos jugadores. Calcula su moda, mediana, media, rango, desviación media, varianza y desviación típica.
0
30 %
8
2
3
4
5
6
7
8
9
10
13. Se realiza una encuesta en clase sobre el número
de litros de refresco con gas que se consumen semanalmente en las casas de 27 alumnos de clase. Los
datos vienen dados por la siguiente tabla.
Diagrama de sectores
Calcula la media, la moda, la mediana, la desviación
típica y el primer cuartil.
4
a
Calcula la media y la desviación típica.
9. En una clase de 30 alumnos, los que estudian inglés,
francés o alemán vienen dados por el siguiente diagrama de sectores. Transforma este diagrama en un diagrama de barras.
5. En la siguiente tabla queda recogido el número de
retrasos a la clase de Matemáticas de alumnos de 3.º
de ESO durante el primer trimestre.
3
5
Si el equipo de baloncesto local pretende fichar al
jugador más regular en triples, ¿a cuál de los dos contratará?
2
a) ¿Qué tipo de variable estadística estamos tratando?
2
4
18. En la siguiente tabla quedan reflejados los triples
anotados por dos jugadores en los últimos 10 partidos.
Clase A
10
c) Representa gráficamente los datos.
b) Haz una tabla de distribución de frecuencias.
1
fi
17. En un hospital trabajan en la planta 7.ª un total de
15 enfermeras, un médico y un director de planta. El
sueldo medio de los trabajadores es de 2 000 €/mes.
Si los mecánicos cobran un sueldo de 1 800 €/mes,
¿cuál será el sueldo medio de los otros dos trabajadores? Si el director cobra 600 € más que el médico,
¿cuánto cobra el director? ¿Y el médico?
11. Hemos anotado el tipo de merienda que toman los
alumnos de una clase de 30 alumnos. Un 40 % come bollería industrial, un 25 % se trae un bocadillo de casa, otro
15 % come chucherías y el resto no toma nada. Representa mediante un diagrama de sectores los datos dados.
28
b) Construye la correspondiente tabla de frecuencias.
4. En una comunidad de vecinos la compañía de la
luz realiza una encuesta para averiguar cuántos vecinos quieren contratar sus servicios con la nueva tarificación. Observa que 75 vecinos sí quieren contratar los servicios de la compañía, 10 no quieren y 15
son indiferentes.
xi
16. Unos alumnos han sacado 4,5 de nota media en
cuatro controles. Si queda un quinto control y la nota
de la evaluación es la media aritmética de los cinco
controles, ¿qué nota tiene que sacar el alumno en ese
control para aprobar la asignatura?
7. Elige el tipo de gráfico que puede representar mejor
los datos del ejercicio 6 y dibújalo.
27
4, 6, 5, 7, 2, 9, 3, 8
Calcula el rango, la moda, la media, la mediana, la desviación media, la varianza y la desviación típica de los
datos dados.
b) Calcula la media, la mediana y la moda.
Considera intervalos de amplitud 1,5.
28
14. Las notas de Elena en Lengua son las siguientes:
c) Calcula la desviación típica.
a) ¿De qué tipo es la variable de estudio?
Las actividades están clasificadas en tres niveles de dificultad mediante los
siguientes símbolos:
Sencilla,
3,25
Construye una tabla de frecuencias absolutas y relativas e indica la marca de clase en cada intervalo.
Yogur natural: 120; artesanos: 230; de fábrica: 150
a) Indica la población y el tamaño de la muestra.
1,34
Inglés
Litros de
refresco
1
2
3
4
5
6
7
fi
1
3
2
5
7
5
4
Calcula todos los parámetros de centralización y de
dispersión. Representa los datos mediante un diagrama de sectores, un diagrama de barras y un polígono
de frecuencias.
Francés
Alemán
248
Desafío PISA
DESAFÍO PISA
249
Unidad 10
El catalizador
El catalizador o convertidor catalítico se ha convertido en un elemento primordial a la hora de
tratar los gases perjudiciales que salen por el tubo de escape de los automóviles. El catalizador
tiene como misión disminuir los elementos contaminantes contenidos en los gases de escape de
un vehículo mediante la técnica de la catálisis. Es un dispositivo que se monta en el tubo de escape, inmediatamente después del colector de escape, ya que en este punto los gases se mantienen
a una temperatura elevada a la cual se pueden producir las reacciones químicas de catálisis. Para
que este dispositivo tenga un óptimo rendimiento, se deben alcanzar entre los 400 y 700 0C.
El catalizador está formado por una carcasa de acero inoxidable que contiene en su interior las
sustancias catalizadoras. Estas son sustancias químicamente activas soportadas por un monolito
(colmena cerámica) recubierto por una capa amortiguadora que lo protege de golpes. Esta colmena está formada por millares de minúsculos canales (celdas) por donde pasan los gases de escape.
Las paredes de estos canales generan una superficie de contacto equivalente a tres campos de
fútbol. La capa soporte del catalizador incluye una serie de sustancias activas, como óxidos de
aluminio, metales nobles (catalíticamente activos), platino, rodio, paladio, y promotores o retardadores específicos, que aumentan o retardan la acción catalítica de los anteriores en determinadas reacciones.
A través de la lectura de un texto motivador y relacionado con la
aplicación de la matemática en la sociedad, se plantean actividades
donde hay que poner en acción la comprensión del citado texto. El
diseño de estos «desafíos » está inspirado en las pruebas PISA.
Un kilogramo de gasolina necesita 14,7 kg de aire, que es una mezcla de diferentes gases. Alguno
de esos gases apenas interferirán en la combustión, pero otros, como el oxígeno, tendrán un papel
relevante.
La acción de un catalizador en los gases de escape convierte el 90 % del monóxido de carbono
(CO) en dióxido de carbono (CO2) y el 90 % también de los óxidos de nitrógeno en nitrógeno atmosférico (N2).
Supongamos que un coche produce con su motor en un determinado trayecto 200 litros de monóxido de carbono y 300 litros de óxido de nitrógeno: esos gases pasan por un catalizador que
funciona perfectamente, con un rendimiento del 100 %.
Movimientos en el plano
Actividades
Tras la lectura del texto anterior, realiza las siguientes actividades:
Actividad 1: De los 200 litros de CO producidos por una combustión defectuosa, ¿cuántos litros se convertirán en CO2?
A
180
B
120
C
100
Catalizador.
Actividad 2: De los 200 litros de CO, ¿cuántos litros no serán convertidos en CO2?
A
20
B
60
C
10
Actividad 3: De los 300 litros de óxido de nitrógeno producidos en la
combustión, ¿cuántos litros se convertirán en N2?
A
50
B
102
C
270
Sección de un catalizador.
Actividad 4: ¿Cuántos litros de óxido de nitrógeno se produjeron si se convirtieron en N2 80 litros
gracias a la acción del catalizador?
A
80
B
88,89
C
100
Actividad 5: ¿Cuántos kg de aire serán necesarios para consumir 20 kg de gasolina?
A
300
B
294
C
200
Actividad 6: ¿Cuántos kg de gasolina serán necesarios si hemos consumido 80 kg de aire?
A
5,44
B
6,21
C
4,22
206
MI PROYECTO
207
Unidad 9
Mosaicos de la Alhambra y Penrose. Banda de Möbius
Mi proyecto
Esta construcción la puedes hacer con el programa GeoGebra o con el programa Cabri Geometre.
Paso 3. Construcción del mosaico «el clavo nazarí»
Construcción de la tesela básica
En este apartado, realizaremos las modificaciones necesarias en un cuadrado para construir el mosaico basado en el clavo nazarí. Observa que el área de la tesela básica es la misma que la del cuadrado del que procede.
Con el icono
construimos un cuadrado ABCE, sean M el
de AB y N el
de BC. Traza los segmentos AN y DM. Haciendo clic en
, obtenemos
el punto P. Repetimos el proceso con los segmentos ND y MC para obtener el punto Q. Con el icono
, construimos los triángulos APD y DQC. Realizamos la construcción con GeoGebra.
Gira 90o el triángulo APD en sentido horario, con centro de giro en el punto A. Análogamente, gira 90o
el triángulo DQC, con C como ángulo de giro, en sentido antihorario. Dibuja el polígono APDQCSBR,
que constituye la tesela básica.
Construcción del mosaico
Damos el primer paso mediante la simetría por el vértice. Posteriormente, realizamos las traslaciones
según los vectores AA' , A' A , CC' y C 'C . Finalmente, haz clic con el botón derecho sobre el polígono
y en
, en la pestaña color, elige
con 100 de opacidad
el mosaico en blanco y negro. También lo puedes hacer con otros colores.
para
Compara la creación realizada con GeoGebra con el original de La Alhambra.
A través de un texto se contextualiza la tarea que hay que realizar
en la unidad con relación al proyecto. Estas tareas te ayudarán a
experimentar y reflexionar sobre los diferentes tipos de métodos
e instrumentos de trabajo, no solo en relación con el desarrollo
de la unidad, sino también en otros contextos en los que puedan
ser relevantes el conocimiento científico y su utilización.
Vídeo recomendado:
Alhambra: el manuscrito
descifrado
Hecho con GeoGebra.
Hecho con GeoGebra.
<http://bit.ly/1HtQkCs>
EVALÚATE
Geometría plana
192
Autoevaluación
1. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 14 cm y 48 cm:
a) 90 cm
b) 50 cm
c) 40 cm
d) 25 cm
2. Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula su altura sobre la hipotenusa:
Evalúate
36 m
4. Calcula la altura de la torre de un campanario
sabiendo que genera una sombra de 6 m al
tiempo que un árbol de 5 m de altura genera
una sombra de 1,5 m.
a) 18 m
b) 20 m
c) 30 m
d) 16 m
5. Los lados x, y y z de un triángulo suman 180 cm.
Calcula el valor de dichos lados si el triángulo
dado es semejante a otro cuyos lados miden
18 cm, 20 cm y 22 cm, respectivamente.
a) x = 45, y = 64, z = 71 c) x = 54 , y = 60, z = 66
b) x = 50, y = 64, z = 66
100 m
d) 56 cm
6. Calcula el valor de los lados de un triángulo
equilátero cuya altura es de 6 3 cm.
3. Calcula la altura de un triángulo isósceles de
24 cm de base y cuyos lados iguales miden 13 cm
respectivamente :
7. Calcula el área de un sector circular de 60o de
amplitud y 6 m de radio.
a) 4 cm
a) 9 cm
b) 87 cm
b) 5 cm
c) 48 cm
c) 12 cm
a) 4 cm
d) 24 cm
b) 6 cm
a) 6 π cm2
c) 8 cm
b) 8 π cm2
d) 12 cm
c) 12 π cm2
Soluciones: 1. b - 2. c - 3. b - 4. b - 5. c - 6. d - 7. a
Al término de cada unidad didáctica, en el apartado Evalúate, se vinculan los contenidos
y las actividades realizadas en dos secciones. En Autoevaluación se plantean diversas
preguntas tipo test centradas en los conocimientos explicados en la unidad cuya solución
se muestra en la misma página. En el apartado Mis progresos se incorporan unas rúbricas
finales de autoevaluación para que reflexiones sobre tus progresos.
Mis progresos
Bien
Soy competente,
pero puedo mejorar
Suficiente
Soy competente,
pero debo mejorar
Insuficiente
Me faltan competencias.
¡Debo esforzame mucho más!
¿Sé aplicar lo
aprendido?
He aprendido:propiedades
básicas de los ángulos, puntos
y rectas notables del
triángulo, recta de Euler,
teorema de Tales, teoremas
del cateto de la altura,
teorema de Pitágoras, áreas y
perímetros de polígonos y
figuras circulares, lugar
geométrico y cónicas.
He aprendido: propiedades
básicas de los ángulos, puntos
y rectas notables del
triángulo, teorema de Tales,
teoremas del cateto de la
altura, teorema de Pitágoras,
áreas y perímetros de
polígonos y figuras circulares.
He aprendido: propiedades
básicas de los ángulos, puntos
y rectas notables del
triángulo, teorema de Tales,
teorema de Pitágoras, áreas y
perímetros de polígonos.
He aprendido propiedades
básicas de ángulos, puntos y
rectas notables del triángulo,
teorema de Pitágoras, áreas y
perímetros de polígonos.
Sé hacer...
Calculo puntos notables del
triángulo. Trazo la recta de
Euler. Aplico el teorema de
Tales, los teoremas del cateto,
la altura y Pitágoras. Calculo
áreas y perímetros de
polígonos y figuras circulares.
Deduzco las cónicas como
intersección de un plano y una
superficie cónica.
Calculo los puntos notables
del triángulo. Aplico el
teorema de Tales, los
teoremas del cateto, la altura
y Pitágoras. Calculo áreas y
perímetros de polígonos y
figuras circulares.
Calculo puntos notables del
triángulo. Aplico el teorema
de Tales y el teorema de
Pitágoras en los problemas
con triángulos. Calculo áreas
y perímetros de polígonos.
Calculo los puntos notables
de un triángulo. Aplico el
teorema de Pitágoras. Calculo
áreas y perímetros de
polígonos.
La tecnología
y yo...
Realizo con GeoGebra las
gráficas necesarias en la
resolución de problemas
geométricos y represento
polígonos regulares e
irregulares y calculo su
perímetro y área.
Realizo con GeoGebra las
gráficas necesarias en la
resolución de problemas.
Represento con GeoGebra
polígonos regulares y calculo
su perímetro.
Represento rectas con
GeoGebra y calculo
bisectrices y mediatrices.
Realizo con GeoGebra
polígonos regulares.
Represento rectas con
GeoGebra y calculo
bisectrices y mediatrices.
¿Sé trabajar
en grupo?
Asumo mi rol sin interferir en
el trabajo de los demás y
aporto ideas al grupo.
Asumo mi rol, aporto ideas al
grupo, pero suelo interferir en
el trabajo de los demás.
Asumo mi rol, no aporto ideas
al grupo e interfiero en el
trabajo de los demás.
No asumo mi rol e interfiero
en el trabajo de los demás sin
aportar ideas al grupo.
Unidad 7
Sobresaliente
¡Soy muy competente!
159
5
3E Matematicas Academicas - organiz unidad.indd 5
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PRIMER PROYECTO
Comprende las unidades didácticas
1. Conjuntos numéricos , y 2. Números reales y potencias
Claves secretas y encriptamiento
de códigos
La aritmética es la ciencia que estudia los números y su desarrollo
da lugar a la teoría de números. ¿Qué interés tiene para la vida
diaria?
Desde la Antigüedad, se han enviado mensajes que se encontraban
escritos en un código oculto y cuya finalidad era que lo entendiera
solo el receptor del mensaje. Esta ciencia, llamada criptografía, fue
empleada por Julio César o Felipe II, entre otros, para enviar mensajes a sus tropas. El ejército alemán, en la última gran guerra, con
la máquina Enigma, generaba mensajes cifrados. El caso de la máquina Enigma ha sido uno de los retos más difíciles resueltos por la
criptografía. Su resolución por parte de los británicos fue una de las
causas de la derrota alemana en la II Guerra Mundial. Este asunto
llevó a Gran Bretaña a construir el Colossus, el primer ordenador
del mundo, dedicado exclusivamente a descodificar los mensajes
alemanes. Destacó con luz propia en este proyecto el matemático
Alan Turing.
Cuando Julio César envía mensajes secretos a sus legiones en la guerra de las Galias, lo hace cambiando el orden de las letras del alfabeto (cifrado César). Este tipo de mensajes es más un problema filológico que matemático. El tipo de clave utilizada en este mensaje es una
clave privada. Esto exige acordar previamente la clave con el receptor
del mensaje; lo que no es fácil es cómo hacerlo de forma segura. En
caso de querer enviar el mensaje a varias personas, la dificultad se
incrementa. Por otra parte, si la clave utilizada es descubierta por el
interceptor del mensaje, son descifrados inmediatamente todos los
mensajes ocultos.
Julio César
Máquina Enigma
Actualmente, los profesionales de la criptografía se dan cuenta de
que al hacer públicas las claves llegan a todos los receptores que sea
necesario. Es evidente que el receptor dispone de una clave secreta
que le permite descifrar el mensaje público. De esta forma se ha garantizado la emisión de los mensajes a todos los destinatarios sin
perjuicio de la seguridad. Esto se conoce como cifrado asimétrico: la
clave pública es conocida por todos los usuarios; la clave secreta solo
la conoce el receptor.
Este procedimiento es de máxima actualidad, con una implicación
directa en nuestra vida diaria, al garantizar la seguridad en Internet y
facilitar el comercio electrónico.
Alan Turing
6
3E Matematicas A_Proyecto_01.indd 6
24/03/15/martes 15:26
Proyecto: Claves secretas y encriptamiento de códigos
Sitúate ante el trabajo a realizar
Formad grupos de cuatro o cinco personas:
a) Estudiad el concepto de encriptación. Leed atentamente el ejemplo y buscad en Internet más información sobre la utilidad de los sistemas criptográficos. Te recomendamos:
«La criptografía desde la antigua Grecia hasta la máquina Enigma», del Observatorio de la Seguridad de la Información (INTECO, Instituto Nacional de las Tecnologías de la Información).
b) Repasad muy bien los conceptos de aritmética, especialmente todo lo concerniente a los números
primos.
c) Repasad los conocimientos de mcd y mcm dados en este libro.
d) Conoced el procedimiento de creación de claves.
e) Comparad los diferentes sistemas encriptación y comentad sus niveles de seguridad y utilidad.
Lo que tienes que hacer
Comenzaremos descifrando un mensaje utilizando un sistema de cifrado semiológico. Pronto daremos
el salto al sistema numérico para encriptar una clave secreta. Esta será la parte más sencilla de nuestro trabajo y la realizaremos en la unidad 1.
Encriptar numéricamente exige un procedimiento muy concreto para poder
realizar el proceso contrario. Esto es lo que haremos en la unidad 2. Será
necesario realizar grandes cálculos, que no podrás realizar a mano. La computación nos ayuda a resolver los tediosos cálculos.
Utiliza el programa WIRIS
para ello.
Pasos a seguir
Para conseguir este reto personal, lo importante es ir paso a paso:
1. Conjuntos numéricos. Paso 1: Descifrar y crear un mensaje criptográfico.
2. Números reales y potencias. Paso 2: Encriptando una tarjeta de crédito.
Paso 3: Desencriptando código RSA.
7
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1 Conjuntos
numéricos:
, y En esta unidad
1. Introducción a , y 2. Tipos de fracciones
3. Representación gráfica de los
números racionales
4. Fracciones equivalentes
5. Orden en 6. Operaciones con números
racionales
7. Expresión decimal de un número
racional
8. Expresión racional de un número
decimal
9. Uso del paréntesis y jerarquía de
las operaciones
Vamos a aprender a...
Competencias
Saberes
científicos
–Reconocer los distintos conjuntos de números.
–Identificar los distintos tipos de fracciones.
–Representar gráficamente los números enteros y racionales.
–Conocer las propiedades de los números racionales y utilizarlas para
operar correctamente.
–Reconocer los distintos tipos de números decimales.
–Calcular la fracción generatriz de un número decimal.
–Transformar una fracción en número decimal.
–Conocer y utilizar correctamente la jerarquía de las operaciones,
incluido el uso del paréntesis.
CMCT, CCL
Lectura
y comprensión
–Conocer el origen de las matemáticas y su importancia en el
desarrollo de la sociedad de su tiempo.
CCL, CEC
Tratamiento
de la información
y competencia
digital
–Utilizar programa WIRIS en la realización de cálculos sencillos.
CD, CMCT
Aprende a
aprender ciencia
–Aplicar los distintos tipos de números, incluidos los números mixtos,
en la resolución de problemas cotidianos.
–Observar la importancia del dominio del cálculo aritmético para poder
plantear y resolver problemas.
CMCT, CPAA
La ciencia
en la sociedad
–Conocer las matemáticas en el Neolítico y las ciudades de Agadir y
Málaga.
CEC, CMCT, CSC
Proyecto: Claves
secretas y
encriptamiento de
códigos
–Descifrar y encriptamiento de códigos
CMCT, CD, CPAA, SIE
Nota: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia en comunicación lingüística (CCL),
competencias sociales y cívicas (CSC), competencia para aprender a aprender (CPAA), competencia digital (CD), sentido de la iniciativa y
espíritu emprendedor (SIE), conciencia y expresiones culturales (CEC).
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Los números a lo largo de la historia
Los números enteros aparecen en la India, hacia el año 600, si bien
son rápidamente utilizados en la China imperial. Los matemáticos
chinos utilizarán estos números escribiendo en color rojo los números negativos. De ahí viene la expresión estar en números rojos
cuando un saldo es negativo. En Europa no se generalizará su uso
hasta el siglo xvii.
La ciencia árabe en España alcanzará altas cotas, constituyendo
el siglo xi, el siglo de oro de la ciencia andalusí. En la biblioteca del
Real Monasterio del Escorial se conservan numerosos tratados de
ciencias de la época, entre las que destacan la medicina, la astronomía y la matemática. Los números racionales se utilizarán en la
resolución de problemas derivados de la arquitectura, el comercio
y las finanzas, y en la resolución de problemas prácticos de la vida
diaria. Como ejemplo, destacamos el Compendio del arte del cálculo atribuido a Ibn al-Samh. En esta obra, los números racionales
serán utilizados en complejos problemas relacionados con repartos de bienes.
En esta unidad estudiaremos los distintos conjuntos numéricos ,
y y su descubrimiento por la humanidad al enfrentarse a diversos problemas de la vida real, así como su importancia en el
mundo actual. Su aplicación es fundamental en el desarrollo de
cualquier rama de la ciencia.
La matemática a nuestro alrededor
■
■
3E Matematicas A_Unidad 01.indd 9
El mar Rojo se encuentra a 56 metros por debajo del nivel del
mar Mediterráneo, la temperatura en la ciudad de Madrid puede
llegar en invierno a 7 grados bajo cero, el Teide tiene una altitud
de 3 500 metros sobre el nivel del mar. Expresa estos datos con
los números enteros.
Cuando compras kilo y medio de pescado, dos kilos y cuarto de
carne y tres kilos y medio de manzanas, ¿cómo escribes estas
cifras? ¿Cuánto pesa la compra? Realiza la suma de dos formas
distintas y comprueba que el resultado es el mismo.
27/03/15/viernes 13:29
Unidad 1
1. Introducción a , y El hombre desde el principio sintió la necesidad de contar (ovejas, soldados de un ejército…). Así surge el conjunto de los números naturales, que se define como el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5...}. El 0 es un número con una historia muy posterior. Formalmente, no es un número
natural. Por lo tanto, escribimos que 0 ∉ .
Pronto las necesidades matemáticas fueron ampliándose. Así, cuando se debía cierta cantidad de dinero, en las matemáticas se escribían
dichas cifras en color rojo. De ahí viene la expresión estar en números
rojos. Sin embargo, en el mundo occidental, se utilizó el signo negativo para indicar dichos números.
Recuerda
■
= {1, 2...}
■
= {... –2, –1, 0, 1, 2...}
Surge un nuevo conjunto de números, a los que llamamos números
enteros, y se define como el conjunto = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Vemos así que es un subconjunto de , lo que escribimos con la
expresión ⊆ .
Si lo que queremos es representar una parte de un todo, el conjunto
resulta insuficiente. Nuevamente resulta necesario ampliar el conjunto de los números. Si dividimos una pizza en 5 raciones y tomamos
1
una de ellas, estamos tomando
de la pizza. El conjunto de números
5
que resulta de la ampliación de es el conjunto de los números racio⎧a
⎫
nales y se representa por  = ⎨ / a, b ∈Z, siendo b ≠ 0 ⎬.
b
⎩⎪
⎭⎪
Todo número entero a admite una expresión racional de la forma
Notación
■
⊆ → está contenido en...
■
∈ → pertenece a...
■
≠ → distinto de...
■
/ → tales que...
a
,
1
de donde se deduce que es un subconjunto de , lo que representamos por la expresión ⊆ . Si intentamos expresar el número
2
racional
como un número entero, vemos que no es posible, de
3
donde se deduce que no todo número racional admite una expresión
entera.
Recuerda
■
a
, el numeb
rador es a y el denominador
es b.
Dada la fracción
ℚ
ℤ
ℕ
Ejercicios y actividades
1. Representa los números 3, 0, –7,
2. ¿Es 0 un número racional?
2
como números racionales.
9
3. ¿Es –1 un número natural?
10
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
2. Tipos de fracciones
Fracción propia: es aquella cuyo numerador es menor que el denominador y que, al efectuar el cociente, resulta un número menor que la
unidad.
EJEMPLO
■
12 3 8
,
y
17 14 11
Fracción impropia: es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador y cuyo cociente es mayor que la unidad.
EJEMPLO
■
Los números mixtos
en la vida real
Cuando compras 4 litros y medio
de aceite (4
rre pedir
1
) , nunca se te ocu2
9
litros. Si te preguntan
2
la hora, dices que son las 7 y cuar-
⎛ 1 ⎞
⎟ , nunca dices que son las
⎝ 4 ⎠
29
horas.
4
to ⎜ 7
13 18 5
,
y
2 3 4
Con las fracciones impropias se pueden dar los dos casos siguientes:
Número mixto como fracción
Caso 1: El numerador es un múltiplo del denominador. En este caso
tenemos un número entero.
Para expresar 9
Caso 2: El numerador no es múltiplo del denominador. En este caso
aparece el concepto de número mixto. Un número mixto es un número racional que consta de parte entera y parte fraccionaria.
2
en forma de
3
fracción, procedemos así:
9
2 9 ⋅ 3 + 2 29
=
=
.
3
3
3
EJEMPLOS
■
Caso 1:
12
=4
3
⎧ parte entera 9
⎫
⎪
⎪
■
⎨
2⎬
⎪ parte fraccionaria ⎪
3⎭
⎩
Fracción decimal: es una fracción en la que el denominador es 100 o
una de sus potencias.
2
29
=9
Caso 2:
3
3
EJEMPLO
■
3
7
= 0,7;
= 0,03
10
100
Ejercicios y actividades
Fracción como
número mixto
Para expresar
29
en forma de nú3
mero mixto, realizamos la división
que representa la fracción. El cociente de la división, 9, será la parte
entera; el resto, 2, será el numerador; y el divisor, 3, será el denominador de la parte fraccionaria.
29 3
29
2
29
=9
3
3
4. Indica de qué tipo son las siguientes fracciones:
1
1
2
3
48
24
17
b) 5
c)
d)
e)
f)
g) 6
a)
100
6
5
36
24
8
2
5. Expresa como números mixtos las fracciones impropias del ejercicio anterior y los números
mixtos, como fracciones impropias.
6. En una fiesta de cumpleaños, cada uno de los amigos ha comido una pizza y media y ha bebido
dos refrescos y cuarto. Expresa en forma numérica las pizzas y bebidas consumidas por cada
uno de los amigos.
7. Este fin de semana se han vendido cuatro tacos y medio de papeletas para la rifa de Navidad.
Expresa en forma numérica las papeletas vendidas.
8. En el problema anterior, si son 3 los amigos que han vendido las papeletas, ¿cuánto dinero ha
recaudado cada uno si cada taco de papeletas supone 100 €?
11
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Unidad 1
3. Representación gráfica
de los números racionales
Para representar los números racionales, consideraremos una recta
horizontal sobre la que indicaremos los números enteros; el punto 0
será el origen.
–3
–2
–1
0
Para representar la fracción propia
1
2
3
2
, dividiremos la unidad de longi3
tud en 3 partes iguales y tomaremos 2.
–3
–2
–1
0 1 2 1
3 3
2
3
Para dividir un segmento en tres partes iguales, procederemos así:
1. Dado el segmento AB ,
trazamos una semirrecta
con vértice en A, sobre la
que llevaremos tres veces
la misma medida para obtener los puntos C, D, E.
¿Por qué?
E
Por el teorema de Tales sabemos
D
que los segmentos AC y AC’, AD
C
A
C’
D’
y AD’, AE y AB’ son proporciona-
B
les; por tanto, como
2. Trazamos el segmento BE . Finalmente, trazamos paralelas al segmento BE por los puntos D y C, con lo que se obtienen los segmentos
long( AC ) = long(CD) = long(DE ),
deducimos que
long( AC’) = long(C’D’) = long(D’B ).
DD’ y CC’ .
EJEMPLO
■
Para representar la fracción impropia
su expresión como número mixto:
9
, primero calcularemos
4
1
9
=2
4
4
Posteriormente, dividiremos la unidad de longitud en 4 partes
iguales y tomaremos 1, pero las llevaremos a partir de 2:
–3
–2
–1
0
1
2 9
4
3
Ejercicios y actividades
9. Representa sobre la recta los siguientes números:
a) –4
b) 0
c)
7
2
d)
2
3
e) −
3
4
f) 4
2
3
12
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27/03/15/viernes 13:29
Conjuntos numéricos: N, Z y Q
4. Fracciones equivalentes
4.1. Simplificación de fracciones
La simplificación de una fracción se puede calcular, como en el ejemplo siguiente, con divisiones sucesivas:
24 24 : 2 12 12 : 2 6 6 : 3 2
=
=
=
= =
=
36 36 : 2 18 18 : 2 9 9 : 3 3
o dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor,
como vemos a continuación:
Puedes ayudarte de la app
Fracciones de EDITEX para comprobar si has realizado de forma
correcta los ejercicios de la unidad.
144 144 : 72 2
=
= , ya que mcd (144, 216) = 72
216 216 : 72 3
Para simplificar una fracción, dividiremos numerador y denominador por su máximo común divisor.
Cuando una fracción no se pueda reducir más, diremos que es irreducible.
La fracción
a
es irreducible si y solo si mcd (a, b) = 1.
b
Decimos que las fracciones
a c
y son equivalente si y solo si a · d = b · c.
b d
a c
= ⇔ a⋅d = b⋅c
b d
De todas las fracciones equivalentes, llamaremos representante canónico a su fracción irreducible. Si es negativa, llevará el signo en el
numerador.
Observación
2+ 7 7 2⋅ 7 7
≠ ;
=
2+9 9 2⋅9 9
En general:
a+b b
■
≠
a+c c
■
a⋅b b
=
a⋅c c
EJEMPLO
■
El representante canónico de −
−1
7
.
es
14
2
Ejercicios y actividades
10. De las siguientes fracciones, indica cuáles son equivalentes. Razona tu respuesta:
4
8
4
12
3
9
5
25
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
7
7
15
45
16
32
6 30
11. Simplifica las siguientes fracciones:
50
35
60
201
a)
b)
c)
d)
150
42
102
102
e)
162
108
3
12. De las siguientes fracciones, indica cuál de ellas tiene por representante canónico a :
4
9
9
81
81
60
90
b)
c)
d) −
f)
a)
e)
12
15
104
108
80
82
13
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27/03/15/viernes 13:29
Unidad 1
5. Orden en En el conjunto de los números naturales está establecida la siguiente relación de orden entre dichos números:
a<b⇔b–a>0
Esto nos permite ordenar los números 7, 9, 23, 4 según dicha relación
de la forma 4 < 7 < 9 < 23. Extendemos dicha relación al conjunto de los números enteros estableciendo:
a<b⇔b–a>0
Aplicando dicha relación de orden a los números enteros 5, –2, 7, 0,
–20 podemos establecer que –26 < –2 < 0 < 5 < 7. De lo anteriormente expuesto, deducimos que todo número entero tiene un antecesor
y un sucesor. Establecemos en la siguiente relación de orden:
a c
< ⇔ a ⋅d < b⋅c
b d
De esta forma una relación de orden en , se transforma en una relación de orden en .
2 3
< , puesto que 8 < 9. Para ordenar
3 4
13
2 4
los números racionales ,
, primero los reducimos a común
y
3 9
18
denominador:
2 12
4 8
13
=
=
3 18
9 18
18
Ahora que tienen los mismos denominadores, podemos ordenar las
fracciones:
4 2 13
8 12 13
<
<
⇒ < <
18 18 18
9 3 18
No obstante, no podemos decir que todo número racional tiene un
a c
antecesor y un sucesor. Dados dos números racionales y , siempre
b d
podemos encontrar otro número racional entre ambos. Para ello basta
a c
+
considerar b d . Esta propiedad se denomina densidad de .
2
Así podemos establecer que
Observación
Teniendo dos fracciones de
distinto signo, siempre será
mayor la positiva.
EJEMPLO
■
3 4
y , observamos que entre ambos números
7 7
3 4
+
1
3 1 4
se encuentra 7 7 = . Así que < < .
2
2
7 2 7
Dados los números
Ejercicios y actividades
13. Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: –9, 5, 9, 0, 6, 12.
14. Ordena de menor a mayor los siguientes números racio4 9
19
nales: ,
y
.
7 14
21
14
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
6. Operaciones con números racionales
En este apartado recordaremos cómo sumar y restar números racionales.
6.1. Fracciones con el mismo denominador
Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo
denominador.
a c a+c
+ =
b b
b
EJEMPLO
■
2 3 2+3 5
+ =
=
7 7
7
7
6.2. Fracciones con distinto denominador
Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común y después sumamos o
restamos los numeradores.
M
M
⋅a
⋅c
a c
b
+ =
+ d
b d
M
M
M = mcm (b, d )
EJEMPLO
■
35
35
⋅2
⋅3
2 3
7 ⋅ 2 5 ⋅ 3 14 15 29
+ = 5
+ 7
=
+
=
+
=
5 7
35
35
35
35 35 35 35
6.3. Opuesto de una fracción
El opuesto del número racional
a
a
será el número racional – .
b
b
EJEMPLO
■
El opuesto de
2
2
es – .
3
3
6.4. Producto de dos fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es
el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
EJEMPLO
■
2 5 2 ⋅ 5 10
⋅ =
=
3 7 3 ⋅ 7 21
15
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Unidad 1
6.5. Inversa de una fracción
Dada la fracción
a
b
con b ≠ 0, su inversa es la fracción .
b
a
1 b
=
a a
b
EJEMPLO
■
La inversa de
3
5
es la fracción .
5
3
6.6. División de dos fracciones
a
c
entre la fracción
, multiplicamos la
b
d
a
c
fracción
por la inversa de la fracción .
b
d
Para dividir la fracción
a c a d a⋅d
: = ⋅ =
b d b c b⋅c
EJEMPLO
■
3 11 3 · 16
=
:
7 16 7 · 11
6.7. Suma de números mixtos
Para sumar dos números mixtos, podemos proceder de dos formas:
a) Sumamos sus partes enteras y después las partes racionales:
⎛ 1 1 ⎞
5
1
1
4 + 5 = (4 + 5)⎜ + ⎟ = 9
6
2
3
2
3
⎝
⎠
b) Lo transformamos en números racionales y sumamos las fracciones. Posteriormente, lo escribimos en forma de número mixto:
1
1 ⎛ 9 16 ⎞ 27 + 32 59
5
4 + 5 = ⎜ + ⎟ =
=
=9
6
2
3 ⎝ 2 3 ⎠
6
6
Ejercicios y actividades
15. Efectúa las siguientes operaciones
3 15
12 24
12 31
7 4 2
b) 8 + +
c) 5 −
d) 8 −
+ −
+
+
3 5 15
4 12
7 14
81 27
16. Efectúa las siguientes operaciones entre fracciones, números mixtos y números enteros
a)
4 3
1 5
1 2
1
4 5
1
d) 1 +
b) 1 + − 2
c) 8 −
+
−2
−
+1
5 15
3 6
6 15 30
7 14
14
17. Efectúa las siguientes operaciones simplificando todo lo que puedas
5  12  38
15 10
3 22 25 4
a) ·
b) · −  ·
c) 13 ·
·
+
·
6  19  4
7 15 11 7
39 25
a) 2
d)
19 57
:
3 6
e) −
35 70
:
8 16
1 13 1
f) 2 : 1 −
3 15 4
16
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
7. Expresión decimal
de un número racional
45
1 33
,
y
. Si efectuamos las
6 12
11
divisiones correspondientes, obtenemos los siguientes resultados:
1
32
45
= 0,1666...
= 2,666...
= 4,090909...
…
…
…
6
12
11
Los números que hemos obtenido son números decimales. En este
tipo de números podemos distinguir dos partes:
Consideremos los números racionales
■
■
Parte entera: las cifras que se encuentran a la izquierda de la coma.
En los ejemplos anteriores son 0, 2 y 4.
Parte decimal: las cifras que se encuentran a la derecha de la coma.
En los ejemplos anteriores son 1666, 666, 090909…
Los números decimales que resultan de dividir fracciones son de los
siguientes tipos:
■
■
■
Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es finito.
Dividir entre la unidad
seguida de ceros
Para dividir un número entre la
unidad seguida de ceros, escribiremos dicho número sin comas y
pondremos la coma contando
tantos lugares hacia la izquierda
como ceros haya en el divisor:
■
9
= 0,9
10
■
234
= 2,34
100
■
560
= 0,56
1000
Decimal periódico puro: cuando la parte decimal está formada por
un conjunto de cifras decimales que se repite infinitas veces. A este
conjunto de cifras lo llamaremos periodo.
Decimal periódico mixto: cuando el número tiene un periodo que
se repite infinitas veces, pero entre dicho periodo y la coma existe
una cifra o grupo de cifras llamada anteperiodo.
EJEMPLOS
■ Decimales exactos:
9,12; 6,45; 239,7
■
Decimales periódicos puros:
8,222… (periodo = 2); 123,565656… (periodo = 56)
■
Notación
El periodo se suele indicar colocando un arco sobre las cifras
que se corresponden con él:

■ 7,888... = 7,8

■ 5,2323... = 5,23

■ 12,6444... = 12,64

■ 9,564747... = 9,5647
Decimales periódicos mixtos:
4,388888… (anteperiodo = 3); 9,237777… (anteperiodo = 23)
En todo número decimal periódico, como 5,67898989… señalamos
tres partes:
■
Parte entera = 5
■
Periodo = 89
■
Anteperiodo = 67
Ejercicios y actividades
18. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones e indica con qué tipo de número decimal
se corresponden:
3
12
14
16
2
5
17
19
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1000
22
24
5
3
11
4
6
19. Clasifica los siguientes números decimales e indica su parte entera y su parte decimal:
a) 0,4878787…
b) 3,91
c) 23,09222…
d) 23,3232…
e) 234,0818181…
17
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Unidad 1
8. Expresión racional
de un número decimal
8.1. Decimales exactos
Para expresar un número decimal exacto como una fracción, escribimos en el numerador el número decimal sin comas y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya.
EJEMPLO
■
0,34 =
Fracción generatriz
La fracción irreducible que representa a un número decimal
se llama fracción generatriz.
34
17
⇒ Fracción irreducible (fracción generatriz).
=
100 50
Observación
8.2. Decimales periódicos puros
Consideremos N = 0,444… Multiplicamos N por la unidad seguida de
tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos N:
10N = 4,444...
− N = −0,444...
Ejercicios
y actividades resueltos
4
9N = 4 ⇒ N =
9
Expresa en forma racional

el número decimal 2,456 .
8.3. Decimales periódicos mixtos
Consideremos N = 9,1666... Multiplicamos N por la unidad seguida de
tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo para obtener un número periódico puro:
10N = 91,666...
Y ahora procedemos como lo hacemos para expresar un número periódico puro en forma de fracción. Multiplicamos el número por la
unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos el número periódico puro, en este caso 10N:
(
Lo interesante del método expuesto es que nos permite eliminar los infinitos decimales del
periodo.
)
10 ⋅ 10N = 916,666... ⇒ 100N = 916,666
100N = 916,666...
−10N = −91,666...
N = 2,4565656...
Multiplicamos por la unidad
seguida de tantas cifras
como tiene el anteperiodo:
10N = 24,565656...
10N es un número decimal
periódico puro. Multiplicamos 10N por la unidad seguida de tantos ceros como
cifras tiene el periodo:
10N · 100 = 2 4 56,5656...
A continuación, restamos:
1000N = 2 456,5656...
− 10N = 24,5656...
990N = 2 432
2 432
1216
N=
⇒N =
990
495
825
90N = 825 ⇒ N =
90
Simplificando, obtenemos la fracción generatriz:
55
6
Ejercicios y actividades
20. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales exactos:
a) 0,26
b) 3,20
c) 0,5
d) 98,4
e) 10,12
21. Calcula la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos puros:
a) 0,2323…
b) 0,555
c) 0,1212…
d) 9,555…
e) 4,999…
22. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos mixtos:
a) 2,04545…
b) 1,0666…
c) 2,8333…
d) 1,41666…
18
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
9. Uso del paréntesis y jerarquía
de las operaciones
Vamos a realizar las siguientes operaciones.
Matemáticas en el tiempo
El origen de las
matemáticas
4 · 5 + 6 − 3 · 7 + 30 : 3 = 20 + 6 − 21+ 10 = 15
4 · (5 + 6) − (3 · 7 + 30) : 3 = 4 · 11− 51: 3 = 44 − 17 = 27
Hemos obtenido dos resultados distintos. La razón es que en el primer
caso hemos seguido el orden establecido en las operaciones y, en el segundo caso, el orden de las mismas ha sido alterado por la presencia de
los paréntesis. Ello nos indica que el uso de los paréntesis es muy importante en matemáticas, al establecer otra jerarquía en las operaciones.
La jerarquía de las operaciones es la siguiente:
1. Corchetes y Paréntesis
2. Multiplicación y división, misma jerarquía
3. Suma y resta, misma jeraquía.
Las operaciones se realizarán de izquierda a derecha, respetando la
jerarquía señalada.
EJEMPLOS
■
■
( (
)) (
)
( )(
)(
1
4 + 1: 1− 1: 2 ·5 − 2 + 6 : 3 = 4 +
1−
1
2
(
)
·5 − 2 + 2 = 4 + 2·5 − 4 = 10
)
1+ 2 : 3 − 4 : 9 − 1: 4 · 32 : 9 : 10 : 3 + 6 : 15 =
1 32
8
·
2 4 4 9
6
2 4 9
6
= 1+ − −
+
= 1+ − −
+
=
10
3 9
15
3 9 10 15
3
3
2 4 4
6
2 4 8·3 6
+
= 1+ − −
+
=
= 1+ − −
3 9 5·3 15
3 9 10·9 15
2 4 2 45 + 30 − 20 + 6 61
= 1+ − +
=
=
3 9 15
45
45
Ejercicios y actividades
¿Cuándo aparecieron las matemáticas? Probablemente, desde
el mismo momento en que aparece el hombre. Las primeras
pruebas de que el hombre empleaba las matemáticas en la antigüedad datan del Neolítico. En
África apareció un hueso de
35 000 años de antigüedad con
una serie de muescas que coinciden con un calendario que aún se
usa en algunos países africanos.
En las sociedades más antiguas
los conocimientos matemáticos
eran muy rudimentarios. Actualmente, algunas tribus primitivas
solo saben contar hasta dos.
Otras, como los pirahá de la
cuenca del Amazonas, carecen
de sistema de numeración alguno. Para expresar una cantidad
mayor, usan el término muchos;
las palabras tres, cuatro, etc., no
existen en su idioma.
23. Opera y simplifica teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones:
a) 6 : 3 + 2 · 2 − 15 : 3 + 2 =
b) 6 : 2 + 3 · 2 − 12 : 3 + 2 =
(
)
(
)
c) 6 : 3 + 3 · 2 − 24 : 3 + 3 =
⎛ 1 ⎞⎪⎫
⎪⎧
⎪⎧ 1 ⎛
1 ⎞⎪⎫
d) ⎨15 − 2 · ⎜1+ ⎟⎬ : 6 + 10· ⎨1− ⎜3 − ⎟⎬ =
2 ⎠⎪⎭
⎪⎩
⎪⎩ 5 ⎝
⎝ 2 ⎠⎪⎭
⎛
⎪⎧
⎪⎧
3 ⎞⎪⎫ 1
1 ⎛
1 ⎞⎪⎫
e) ⎨17 + 5 · 2 − ⎜5 + ⎟⎬ − + 3 · ⎨8 − ⎜6 − ⎟⎬ =
4 ⎠⎪⎭ 8
4 ⎝
2 ⎠⎪⎭
⎪⎩
⎪⎩
⎝
⎪⎧
1
2 ⎛
6 ⎞⎪⎫ 3
⎟⎬ + =
f) ⎨15 + 1 − 7 · ⎜2 +
2
3 ⎝
23 ⎠⎪⎭ 2
⎪⎩
19
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INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Unidad 1
Operando con WIRIS
Realizaremos algunos ejercicios significativos que nos ayuden a comprender el programa. Al abrir
el programa WIRIS, nos encontramos con la siguiente pantalla. Haremos clic sobre la viñeta de
operaciones, la cual será de color naranja.
1. Para realizar operaciones con números enteros como 7 + 4 – 8 + 12 – 25, seguimos los siguientes
pasos:
a) Introducimos los datos:
b) Hacemos clic en el signo
.
c) Obtenemos el resultado:
d)
2. Si queremos ver todos los pasos del algoritmo de una división euclídea, hacemos clic en el
símbolo
. Por ejemplo, para efectuar la operación 13441334
y después de hacer clic sobre el signo
9 , escribimos
obtenemos la expresión
,
que nos facilita el cociente y el resto de la división efectuada.
a) Para realizar operaciones con números racionales tales como
bolo
1
7
+
, haremos uso del sím3
1
1−
2
, escribiremos la expresión en el programa
signo igual para obtener el resultado completamente simplificado:
y haremos clic en el
.
Ejercicios y actividades
24. Realiza la actividad 23 del epígrafe 9, con WIRIS.
20
3E Matematicas A_Unidad 01.indd 20
27/03/15/viernes 13:30
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES RESUELTOS
1. Simplifica la siguiente expresión:
1
1−
1+
1
= 1−
1
1+
1
1
4. Efectúa las siguientes operaciones y expresa
1
= 1−
1
1−
1−
1
3
1+
2
2
1
1 3
1
= 1−
= 1− =
= 1−
1+ 3
4 4
1
1+
1
3
Conjuntos numéricos: N, Z y Q
=
1
1+
1−
2
3
el resultado como número mixto:
1 4
3 ⋅
2 7 − 7 =
5 1 33
1 :2
6 3
=
7 4
⋅
2 7
7
2
7
2
7
−
=
−
=
−
=
11 7 33 11 ⋅ 3 33
11 33
:
6 3
7 ⋅6
7 ⋅2
11
1
28 7 84 − 7 77
−
=
=
=2
=2
11 33
33
33
33
3
2. Un grifo llena un depósito en 5 horas y otro
grifo lo llena en 3 horas. ¿Cuánto tiempo emplearemos en llenar el depósito si abrimos los dos
grifos simultáneamente?
Solución
1
En una hora, el primer grifo llena
del tonel y el
5
1
del tonel. Al cabo de una
segundo grifo llena
3
1 1 3+5 8
=
del
hora, los dos juntos llenarán + =
5 3
15
15
tonel.
8 15
El tonel se llenará al cabo de 1: =
horas. Si
15 8
7
pasamos la fracción a número mixto, resulta 1
8
7
horas, es decir, 1 hora y
hora.
8
Lo multiplicamos por 60 para pasarlo a minutos:
7
420
4
1
= 52 = 52 minutos, es decir, 52 mi·60 =
8
8
8
2
1
minuto.
nutos y
2
1
1
Pasamos minuto a segundos: ·60 = 30 segundos.
2
2
El tiempo empleado es de 1 hora, 52 minutos y 30
segundos.
3. Realiza la siguiente operación expresando,
previamente, los decimales periódicos en forma
de fracción:
1 + 0, 1 + 0,2
0,3
Solución
En primer lugar, expresamos los decimales periódicos en forma de fracción:
10N = 1,111...
− N = 0,111
9N = 1
⇒N=
1
9
10N = 2,222...
− N = 0,222
9N = 2
⇒N=
2
9
10N = 3,333...
− N = 0,333
9N = 3
1 + 0,1 + 0,2
=
0,3
1+
3
⇒N=
9
1 2 12
+
9 9 = 9 = 12 ⋅ 9 = 4
3
3
9 ⋅3
9
9
5. Una tienda de telas adquiere 105 metros de
2
a 15 euros/metro,
3
1
del resto a
en las primeras rebajas vende
5
12 euros/metro y lo que queda lo vende en las
segundas rebajas a 5 euros/metro. ¿Cuánto ganó
la tienda si adquirió todo el lote a 4 euros/metro?
pana y vende en temporada
Solución
En temporada vende
2
2
de 105 = · 105 = 70 metros,
3
3
con lo que ingresa 70 · 15 = 1 050 €.
Quedan 105 – 70 = 35 metros.
En las primeras rebajas vende:
1
1
1
del resto =
de 35 =
· 35 = 7 metros.
5
5
5
Con lo que ingresa 7 · 12 = 84 €.
Quedan 35 – 7 = 28 metros.
En las segundas rebajas ingresa 28 · 5 = 140 €.
En total ingresa 1 050 + 84 + 140 = 1 274 €
En un principio adquirió 105 metros a 4 €/m, con lo
que invirtió 105 · 4 = 420 €.
La ganancia obtenida es de 1 274 – 420 = 854 €.
6. Calcula un número tal que su tercera parte
más sus dos quintos sean 30
11
.
15
Solución
Llamando x al número buscado, tenemos:
x+
11
1 2 461
1 2
+ = 30 ⇒ x + + =
⇒
15
3 5 15
3 5
⇒x=
461− 5 − 6
461 1 2
− − ⇒x=
⇒
15
15 3 5
⇒x=
450
⇒ x = 30
15
21
3E Matematicas A_Unidad 01.indd 21
27/03/15/viernes 13:30
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
Unidad 1
11. Forma grupo con las fracciones que sean equivalentes:
Conjunto de números
7
como números
1. Representa los números 5, –2,
2
racionales.
a)
3
4
c)
6
8
e)
12
16
g)
1
2
2. Clasifica los siguientes números indicando a qué
conjunto de números pertenecen:
b)
3
6
d)
5
7
f)
9
12
h)
5
10
5
9
a) –3
c) 1
e) 2,75
g)
b) 23

d) 4,8

f) 5,293
h) –89
i) −
48
3
5
23
45
b) −
3
c)
57
2
81
d)
9
e)
2
15
a)
g) 8
1
f) 5
2
4
5
46
h)
7
4. Expresa como números mixtos las fracciones impropias del ejercicio anterior.
5. Expresa como fracciones impropias los números
mixtos del ejercicio 3.
Tipos de fracciones
c)
3
5
e) 12
b)
128
240
d)
125
125
f)
1
3
37
5
g)
b)
1
6
7. Expresa como números mixtos la parte coloreada
en el dibujo.
15
20
35
49
l)
m)
20
28
20
40
b)
51
69
c)
15
33
d)
119
133
e)
115
145
5
, 17, –13
4
4 5 3 2 5
, , , ,
5 6 4 3 8
5 4 7
5 2
c) − , , , − ,
6 3 6
4 5
14. Escribe el representante canónico de las siguientes
fracciones:
51
17
h) 4
24
28
a) 5, –6, 0, –12, 4,
6. Indica de qué tipo son las siguientes fracciones:
10
1000
k)
13. Ordena de menor a mayor:
a)
a)
j)
10
14
12. Simplifica las siguientes fracciones:
3. Clasifica las siguientes fracciones:
a)
i)
5
125
b)
−7
77
c)
315
345
d)
206
432
e)
840
−362
Operaciones con números racionales
15. Opera las siguientes expresiones simplificando
todo lo posible:
a)
2 37
⋅
5 6
c)
13 49
⋅
7 39
e)
19 15
⋅
30 171
b)
6 140
⋅
35 18
d)
17 75
⋅
25 102
f)
12 34
⋅
17 48
16. Realiza el cociente de los siguientes números racionales, simplificando todo lo posible:
1
5
km en bicicleta y
km
2
2
caminando. ¿Cuántos km ha recorrido en total?
8. Juan ha recorrido 17
a)
12 36
⋅
15 45
c)
169 39
⋅
65 6
e)
31 155
⋅
23 69
b)
11 33
⋅
12 72
d)
1 5
⋅
6 18
f)
74 37
⋅
78 39
17. Calcula la inversa de las siguientes expresiones:
Representación de números racionales
9. Representa sobre la recta los siguientes números:
a)
5
2
b) –7
c) −
3
4
Fracciones equivalentes
10. Indica cuáles de los siguientes números racionales
son equivalentes. Razona tu respuesta:
3 9
5 25
6 26
6 30
y
y
b) y
c)
d)
a) y
4 12
7 30
13 65
13 65
a)
3
4
3
b) 2 +
4
c) 5 −
d) 3 +
1
2
2+
2
1
4
18. Opera las siguientes expresiones, simplificando
todo lo posible:
a)
6 3
:
7 14
b)
26 13
:
9 27
c)
d)
23 46
:
58 29
43 129
:
53 159
22
3E Matematicas A_Unidad 01.indd 22
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
19. Opera y simplifica al máximo:


1 5
15
1
a) 1+
b) + · 12 − 6· + 0,6
+ 0,49
3
6
18
1
1−
2
1+
3
20. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el
resultado:
15 8 25
=
a) 2 · · ·
4 3 4
5 25
:
=
c)
13 26
51 28 16
·
·
=
b) 7 ·
14 17 4
1
=
d) 4 :
17
21. Realiza las siguientes operaciones:
5
12 1 4
+ :
+
5 6 18 12
⎧
⎫
⎪⎪
⎪⎪
1
⎬ : 3 =
b) ⎨5 − 6·
2 ⎪
⎪
1−
5
·
⎪⎩
15 ⎪⎭
c) 7 : 14 − 2 ·
15
+ 0,25
8
d) 32 : 4 + 4 −
a)
5 18
·
+
8 35
1 5 15
⋅
:
+ 1,333...
2 13 26
1
1−
1
b) 3 + 1:
1
2
4−
c) 15 : 3 + 2 −
−
1
1+
4 80
:
=
e)
117 39
Jerarquía en las operaciones
a) 2 :
22. Opera y simplifica:
1
=
14
4
7
+ 1,5 =
1
1−
4
5
· 2 + 3 · 0,1 =
23. Realiza las siguientes operaciones, teniendo en
cuenta la jerarquía de las operaciones:
1
a) 5 +
1−
2
1 − 0,3
b) 1 + 3 ⋅ 7 −
c)
1 2
+ ⋅ 12 − 1
2 3
2 5 18
+ ⋅
− 0,2666...
3 6 25
d) 1 −
5 6 14 28
⋅
+
:
+ 0,666...
2 10 12 20
Problemas
24. Un albañil tarda 5 horas y 30 minutos en realizar una
obra, pero si lo hace con un peón, tarda solo 3 horas y
20 minutos. Expresa en la forma numérica apropiada el
tiempo que tarda en hacer el trabajo en cada caso.
25. ¿De qué forma repartirías 3 pizzas entre 5 amigos
de forma que a cada uno le correspondiera exactamente lo mismo?
26. En una cacería, de las 21 piezas abatidas, he de1
1
rribado de ellas, mi amigo Pedro acertó en del res2
3
to y el resto escapó. ¿Cuántas piezas se abatieron en total?
8
de los alumnos de la clase
27. A la hora del recreo,
15
8
juegan al baloncesto y el resto
juegan al fútbol,
30
prefiere pasear por el patio. Si en total son 30 alumnos, indica la cantidad de alumnos que realiza cada
una de las actividades enunciadas.
1
de
7
su valor. Si finalmente pago 84 €, ¿cuánto costaba la
camisa inicialmente?
28. Al comprar una camisa, hacen una rebaja de
29. En un garaje están aparcados 48 vehículos, de los
1
1
son turismos,
son furgonetas y el resto
cuales
2
3
son motos. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?
30. Necesitamos comprar 600 litros de agua destilada.
En la tienda sólo tienen botellas de 1,5 litros. ¿Cuántas
botellas necesitaremos comprar para reunir los 600
litros que necesitamos?
31. Al comprar María su coche nuevo, le hacen una re1
baja de
de su valor. ¿Cuál era el precio inicial del
6
coche si por él pagó 25 000 euros?
2
juegan al fútbol,
32. De los 30 alumnos de clase,
3
1
1
juega al baloncesto y
ambos deportes. Indica
2
6
cuántos alumnos practican cada uno de los deportes
y cuántos practican ambos deportes. ¿cuántos alumnos no practican ninguno de los dos deportes?
23
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DESAFÍO PISA
Unidad 1
Intercambio de estudiantes
Un instituto de Málaga va a realizar un intercambio con un instituto de Agadir, ciudad situada en la
costa marroquí, a 600 km al sur de Rabat y a 440 km al sur de Casablanca. Rabat es la capital de
Marruecos y se encuentra aproximadamente a 1 000 km de Madrid. Su población actual es aproximadamente de 750 000 habitantes. Los 15 alumnos que participarán en el intercambio se desplazarán en avión, lo que supone un desembolso de 300 € por alumno, ida y vuelta. Se quedarán
en casa de las familias de los alumnos marroquíes y se procederá a la inversa cuando los alumnos
marroquíes se desplacen a Málaga. Los parámetros climáticos promedio de Agadir vienen dados
en la siguiente tabla:
Parámetros climáticos promedio de Agadir
Mes
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
Anual
Temperatura máxima media ( C)
20.4
21.0
22.4
21.9
23.2
24.0
26.1
26.1
26.4
25.3
23.5
20.7
23.4
o
Temperatura media ( C)
14.1
15.2
16.7
17.0
18.7
20.2
22.0
22.2
21.9
20.3
17.9
14.6
18.4
Temperatura mínima media (oC)
7.9
9.4
10.9
12.0
14.2
16.4
18.0
18.2
17.3
15.2
12.3
8.5
13.4
Precipitación total (mm)
45.5
42.4
31.1
25.9
3.5
1.1
0.1
0.2
3.0
25.8
52.6
60.7
291.9
o
Días de precipitaciones (≥)
5.4
5.6
5.1
3.7
1.4
1.3
0.2
0.4
1.6
4.1
5.3
5.3
39.4
Horas de sol
229.4
232.0
269.7
282.0
294.5
270.0
269.7
254.2
243.0
244.9
219.0
229.4
3 037.8
Fuente: NOAA Station ID: FM60250 Latitude: 30o 23’N Longitude: 9o 34’W Elevation: 23m2
Málaga se encuentra en el sur de España, a 535 km de Madrid. Su población actual es de 570 000
habitantes y los parámetros climáticos promedio de Málaga son los siguientes:
Parámetros climáticos promedio de Málaga
Mes
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
Anual
Temperatura máxima media (oC)
16.6
17.7
19.1
20.9
23.8
27.3
29.9
30.3
27.9
23.7
19.9
17.4
22.9
Temperatura media ( C)
12
12.8
14
15.6
18.6
22.2
24.8
25.4
23
19
15.3
12.9
18
Temperatura mínima media ( C)
7.3
7.9
9
10.4
13.4
17.1
19.7
20.5
18.2
14.3
10.8
8.4
13.1
Precipitación total (mm)
81
55
49
41
25
12
2
6
16
56
95
88
526
Días de precipitaciones (≥ 1 mm)
8
6
6
7
5
2
1
1
2
6
7
8
59
Horas de sol
172
178
218
229
282
302
338
309
247
213
173
158
2 815
Humedad relativa (%)
71
69
67
63
61
59
60
62
66
71
72
73
66
o
o
Fuente: Organización Meteorológica Mundial, Agencia Estatal de Meteorología
La moneda marroquí se llama dírham y el cambio actual es de 1 euro = 11,783 dírhams.
24
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Conjuntos numéricos: N, Z y Q
Actividades
Tras la lectura del texto anterior, realiza las siguientes actividades:
Actividad 1: ¿Cuál es la distancia de Málaga a Agadir?
A
465 km
B
1 065 km
C
1 600 km
Actividad 2: ¿Cuánta es la diferencia de población entre Málaga y Agadir?
A
–180 000 habitantes
B
180 000 habitantes
C
570 000 habitantes
Actividad 3: Indica el precio que pagó el grupo de españoles por el avión si los acompañaron 2 profesores.
A
4 500 €
B
5 100 €
C
9 600 €
Actividad 4: Cuando los marroquíes realizan el viaje a Málaga, un alumno se encuentra indispuesto, con lo que
no realiza el viaje. Calcula el desembolso que realizan en dírhams si también los acompañan 2 profesores.
A
9 000 dírhams
B
4 800 dírhams
C
56 558,4 dírhams
Actividad 5: En una excursión por Agadir cada alumno se gastó 40 dírhams en la comida, 2 refrescos
a 8 dírhams cada uno. El billete de autobús urbano costó 3,5 dírhams y la visita al museo, 15 dírhams.
Si llevaban 20 €, ¿cuánto dinero les sobró?
A
13,68 €
B
6,32 €
C
8,24 €
Actividad 6: Escribe la diferencia de precipitaciones en ml entre Málaga y Agadir los meses que no tienen r.
a)
b)
Mayo
Junio
Julio
Agosto
20,5
10,1
0,9
5,75
Mayo
Junio
Julio
Agosto
21,5
10,9
1,9
5,8
c)
Mayo
Junio
Julio
Agosto
20,5
10,75
0,9
5,8
25
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27/03/15/viernes 13:30
MI PROYECTO
Unidad 1
Claves secretas y encriptamiento de códigos
Paso 1: Descifrar y crear un mensaje criptográfico
El primer paso del proyecto implica descifrar y enviar un mensaje criptográfico, de tipo filológico,
según un código. Nuestra clave secreta consiste en que sustituiremos cada letra del alfabeto por la
que ocupe 5 lugares delante de ella. Completamos el ciclo volviendo a empezar de forma correlativa
a partir de la U, que se transforma en la A.
Escribimos el alfabeto y debajo la letra correspondiente al nuevo código.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
F
G
H
I
J
K
L
M N
J
K
L
M N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
Y
Z
O
P
Q
R
T
U
V
X
Y
Z
A
B
C
D
E
S
1. Intenta descifrar el mensaje:
QFY RFZJRFZNHFY YTS RAD NSZJXJYFSZJY
2. Escribe con la clave dada el mensaje:
NO ENTRE AQUÍ QUIEN NO SEPA GEOMETRÍA
Paso 2: Encriptación de una tarjeta de crédito
El segundo paso del proyecto consiste en introducir un código numérico (el de una tarjeta de crédito)
para realizar un pago de modo seguro por Internet. Para ello haremos uso de nuestros conocimientos
de teoría de números.
Supongamos que el número de nuestra tarjeta de crédito es M = 204, número que queremos que
llegue encriptado al vendedor, pero que este sea capaz de desencriptar.
En primer lugar, se debe encriptar adecuadamente el número M = 204, de forma que enviemos el
nuevo número M’ al receptor.
Por otro lado, el receptor deberá ser capaz de desencriptar el número M’ para convertirlo en el número M = 204.
Para ello elegimos los números primos p = 19, q = 23 y hacemos público el número n, producto de los
dos anteriores, n = p · q = 19 · 23 = 437.
Elegimos el número primo e = 29 y publicamos el par ordenado (n, e) = (437,29). que constituye nuestra clave pública. Todo el que quiera enviarnos un mensaje debe conocer el par ordenado de números
ordenados (n, e).
204 29 437
Ahora necesitamos calcular el resto de la división.
Si bien la teoría de números nos facilita estos cálculos, de forma que podríamos hacerlos rápidamente con lápiz y papel, nosotros nos apoyaremos en el programa WIRIS para obtener este dato:
resto (20429, 437) ⇒ 412
obteniendo 68 de resto. Así que enviamos el mensaje cifrado M’ = 412.
Una vez explicado el proceso:
1. Realiza el mismo proceso de encriptación suponiendo que el número de la tarjeta de crédito es M = 987.
26
3E Matematicas A_Unidad 01.indd 26
27/03/15/viernes 13:30
EVALÚATE
Conjuntos numéricos: N, Z y Q
Autoevaluación
1. Compramos 3
y2
1
1
kg de carne, 5 kg de fruta
4
3
1
kg de pescado, ¿cuánto pesa la compra?
6
a) 12
1
kg
4
b) 8
3
kg
5
c) 10
3
kg
4
d) 9
1
kg
2
2. El resultado de simplificar la siguiente expre
1
1
1
sión 2 + 7 : 8 ⋅ 6 + 0,26 =es:
3
2 3
a)
7
2
b)
3
4
c)
5
6
1
3. Simplifica la expresión
1+
b)
5
4
3
10
c) 24
9
4
⋅6 − 2
1
1−
a) 22
d)
d)
7
3
4. Un tonel de madera, empleado en la elabora7
ción de sidra, está lleno los
de su capaci17
dad. Lo que falta para su llenado, se encuentra
distribuido en 217 botellas, de 70 cl. de capacidad. Calcula el volumen del tonel de sidra.
a) 450 litros
c) 345 litros
b) 527 litros
d) 875 litros
5. Un autobús transporta 36 viajeros. En la pri1
de los viajeros y sumera parada se apean
6
ben dos nuevos viajeros, en la segunda parada
1
se apean
de los viajeros y suben tres viaje4
2
de
ros y, en la tercera parada se apean los
3
los viajeros y suben dos más, ¿cuántos se
apearán en la cuarta y última parada?
a) 12
b) 32
c) 14
d) 11
Soluciones: 1. c - 2. a - 3. c - 4. b - 5. d
Mis progresos
Unidad 1
Sobresaliente
¡Soy muy competente!
Bien
Soy competente,
pero puedo mejorar
Suficiente
Soy competente,
pero debo mejorar
Insuficiente
Me faltan competencias.
¡Debo esforzame mucho más!
¿Sé aplicar lo
aprendido?
Reconozco , y , y opero.
Represento gráficamente los
números racionales. Conozco
las relaciones de
equivalencia y orden en .
Transformo un n.o racional en
número decimal y viceversa.
Aplico la jerarquía de las
operaciones.
Reconozco , y , y operar.
Conozco las relaciones de
equivalencia en .
Transformo un número
racional en número decimal y
viceversa. Aplico la jerarquía
de las operaciones.
Reconozco , y . Aplico la
relación de equivalencia en .
Transformo un número
racional en número decimal.
Aplico correctamente la
jerarquía de las operaciones.
Reconozco , y .
Aplico la jerarquía de las
operaciones, aunque a veces
me equivoco.
Sé hacer...
Transformo una fracción en
número mixto y viceversa.
Represento n.os racionales.
Calculo la fracción
generatriz. Ordeno números
racionales. Opero con
números mixtos y racionales
respetando la jerarquía de las
operaciones.
Transformo una fracción en
número mixto y viceversa.
Calculo la fracción generatriz.
Ordeno números racionales.
Opero con números mixtos y
racionales, respetando la
jerarquía de las operaciones.
Calculo la fracción generatriz.
Ordeno números racionales.
Opero correctamente con n.os
racionales respetando la
jerarquía de las operaciones.
Ordeno números racionales.
Opero correctamente con
números racionales
respetando la jerarquía de las
operaciones.
La tecnología
y yo...
Utilizo el programa WIRIS en
operaciones numéricas.
Navego por Internet
discerniendo lo que resulta
útil en mis investigaciones de
las numerosas distracciones
que tiene la Red.
Utilizo el programa WIRIS en
operaciones numéricas.
Navego por Internet.
Utilizo el programa WIRIS en
operaciones numéricas.
Me equivoco con frecuencia
al realizar operaciones
sencillas con el programa
WIRIS.
¿Sé trabajar
en grupo?
Asumo mi rol sin interferir en
el trabajo de los demás y
aporto ideas al grupo.
Asumo mi rol, aporto ideas al
grupo, pero suelo interferir en
el trabajo de los demás.
Asumo mi rol, no aporto ideas
al grupo e interfiero en el
trabajo de los demás.
No asumo mi rol e interfiero
en el trabajo de los demás sin
aportar ideas al grupo.
27
3E Matematicas Academicas - Ud01.indd 27
29/04/15 16:52