Tema V Cilindros de pared gruesa Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ecuaciones fundamentales para el caso de un cuerpo sometido a cargas simétricas (con respecto al eje Z) 1 r r z T E 1 r z T E 1 z z r T E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales Haciendo σz=0 se tiene que: 1 r r T E 1 r T E z E r T Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales ET r 2G r J1 1 2 ET 2G J1 1 2 ET z 2G z J1 1 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales Las ecuaciones anteriores también pueden ser escritas así: E 1 r z 1 T r 1 1 2 E 1 r z 1 T 1 1 2 E 1 z r 1 T z 1 1 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales Haciendo σz=0 se tiene que: E r 1 T r 2 1 E r 1 T 2 1 z 0 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales La deformación axial puede escribirse también como: E r T z 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales Haciendo z=0 se tiene: 1 1 r ET r E 1 1 r ET E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuaciones fundamentales Haciendo z=0 se tiene: r E 1 r 1 ET E 1 r 1 ET 1 2 1 1 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ecuación de equilibrio para un elemento de volumen simétrico Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa ecuación de equilibrio d r rddz 2 drdz r d r r dr ddz Fr rddrdz 0 2 Dividiendo entre (rdΦdrdz) se obtiene: r r d r Fr 0 dr Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Caso general de esfuerzo plano (σz=0) considerando espesor constante (t=ctte) d u r 1 du r u r dT r 1 2 1 Fr 2 dr r dr r dr E 2 2 donde Fr es la fuerza de inercia de rotación Fr r 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa caso general de esfuerzo plano Integrando dos veces con respecto a r obtendríamos: r 1 1 2 2 3 C2 u r r C1r T r rdr r r E r2 E r2 8E r1 r 3 EC1 2 2 r T r rdr r r1 1 8 EC2 1 r 2 1 3 EC1 2 2 r T r rdr ET r r r1 8 1 EC2 1 r 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Caso general de deformación plana (z=0) con espesor constante (t=ctte) r C2 1 1 2 1 2 3 r C1r u r T r dr 1 r r r 8E 1 1 E r EC1 EC2 3 2 2 2 r r T r dr 2 1 r r 1 1 2 1 r 2 81 1 E r ET r 1 2 EC1 EC2 2 2 r T r dr 2 1 r r 1 1 2 1 r 2 1 81 1 z ET r 2 EC1 2 r 2 1 1 2 1 21 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externa Cilindros sometidos a esfuerzo plano σz=0, cilindros abiertos o cortos (discos). Cilindros sometidos a deformación plana z=0, extremos del cilindro restringidos o cilindros muy largos. Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero). Cilindro de pared gruesa sometido a presión interna solamente. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externa Cilindro de pared gruesa sometido a presión externa solamente. Cilindro de pared gruesa con presión interior y exterior iguales. Cilindro dentro de un medio elástico infinito. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindro sometido a esfuerzo plano σz=0,cilindros abiertos o cortos (discos) P2 P1 P2 P1 r1 r2 P1 P2 P2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa cilindro sometido a esfuerzo plano A partir de las ecuaciones de esfuerzo plano, haciendo T(r)=0 y w=0 EC1 EC2 r 1 1 r 2 C2 u r C1r r EC1 EC2 2 1 1 r z 0 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Condiciones de borde 1 r r P P C1 E r r 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 r P r P C2 E r r 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento K1 r 2 1 r22 1 K 2 r 2 1 r12 1 u r E r r E donde K1 P1 2 r2 1 r1 y K2 P2 r1 1 r2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r2 r K1 1 r 2 r2 K1 1 r z 0 2 r1 K 2 1 r 2 r1 K 2 1 r 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 2 K1 K2 r2 r1 r 1 1 1 1 E r E r 2 K1 r2 K 2 1 1 E r E 2 z K1 K 2 E r1 1 1 r Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a deformación plana z=0; extremos del cilindro restringidos o cilindros muy largos P2 P2 P1 P1 P2 P1 P2 r1 r2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa cilindros sometidos e deformación plana A partir de las ecuaciones de deformación plana tenemos haciendo T(r)=0 y w=0 tenemos: C2 u r C1r r EC1 EC2 r 1 1 2 1 r 2 EC1 EC2 1 1 2 1 r 2 2 EC1 z 1 1 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Condiciones de borde C1 1 1 2 r E P r P r r 2 2 2 2 2 1 r r P P C2 E r r 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento en función de las presiones interna y externa 11 2 r P r P 1 r r P P 1 ur r E 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 r r E 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 r r r Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos en función de las presiones interna y externa r r P2 P1 1 P r P r r 2 2 r r1 r r r 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 r r P2 P1 1 P r P r 2 2 r r1 r r r 2 2 1 2 2 2 r12 P1 r22 P2 z 2 2 2 r2 r1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento Los esfuerzos y deformaciones anteriores pueden ser escritos también de la siguiente manera 2 2 2 2 r 1 2 r1 r 1 2 r2 1 u r K1 K2 r r E donde K1 P1 2 r2 1 r1 y K2 P2 r1 1 r2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r2 r K1 1 r 2 r2 K1 1 r 2 z 2 K1 K 2 r1 K 2 1 r 2 r1 K 2 1 r 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 2 1 r1 r2 r K1 1 2 K 2 1 2 E r r 2 2 1 r1 r2 K1 1 2 K 2 1 2 E r r z 0 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero) P2 P2 P2 P2 P1 P1 P2 P2 P1 r1 r2 P1 P2 P2 P2 P2 Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero) C2 ur C1r r r r E r2 E r2 3 2 2 EC1 r T r dr r r1 1 8 EC2 z 2 1 r 1 1 3 2 2 EC1 r T r dr ET r r r1 8 1 EC2 z 2 1 r 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Condiciones de borde C1 1 r E P r P z r r E 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 r r P P C2 E r r 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento en función de las presiones interna y externa 1 r P r P 1 r r P P 1 ur r zr E 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 r r E 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 r r r E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos en función de las presiones interna y externa r12 r22 P2 P1 1 P1r12 P2 r22 r 2 2 2 2 2 r2 r1 r r2 r1 r12 r22 P2 P1 1 P1r12 P2 r22 2 2 2 2 2 r2 r1 r r2 r1 Pr P r z r r 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento Los esfuerzos y deformaciones anteriores pueden ser escritos también de la siguiente manera K1 r 2 1 2 r22 1 K 2 r 2 1 2 r12 1 u r E r r E donde K1 P1 2 r2 1 r1 y K2 P2 r1 1 r2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r1 2 r2 2 r K1 1 K 2 1 r r r2 K1 1 r z K1 K 2 2 r1 K 2 1 r 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 K1 r2 K 2 r 1 2 1 E r E 2 r1 1 2 1 r 2 K1 r2 K 2 1 2 1 E r E 2 r1 1 2 1 r 1 2 K1 K 2 z E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindro de pared gruesa sometido a presión interna solamente Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzo plano σz=0. Cilindros sometidos a deformación plana z=0. Cilindros sometidos a presión interior con tapas σz y z diferentes de cero. presión interior en Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzo plano σz=0 P 2=0 P1 r1 r2 P1 P1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento 2 2 K1 r 1 r2 1 u r E r donde K1 P1 2 r2 1 r1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r2 r K1 1 r 2 r2 K1 1 r z 0 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones K1 r2 r 1 1 E r 2 2 K1 r2 1 1 E r 2 z K1 E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzo tangencial máximo y mínimo r 2 max r r1 K1 1 r1 min r r2 2 K1 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Espesor relativo r2 2 1 r1 t r2 r1 rpro r1 r2 r2 1 2 r1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a presión interior Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Valores para cilindro hueco, sometido a presión interior Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a presión interior en deformación plana z=0 P 2=0 P1 P1 P1 r1 r2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento 2 2 r 1 2 r2 1 u r K1 r E donde K1 P1 2 r2 1 r1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r2 r K1 1 r 2 r2 2 K1 1 r z 2 K1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 1 r 2 r K1 1 2 E r 2 r 1 2 K1 1 2 E r z 0 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a presión interior con tapas σz y z diferentes de cero P1 P1 P1 r1 r2 P1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento K1 r 2 1 2 r22 1 u r E r K1 P1 2 r2 1 r1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r2 r K1 1 r 2 r2 K1 1 r z K1 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 K1 r2 r 1 2 1 E r K1 r2 1 2 1 E r 1 2 z K1 E 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindro de pared gruesa sometido a presión externa solamente Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0. Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0. Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes de cero. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a presión exterior Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0 P2 P2 P 1=0 r1 r2 P2 P2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento 2 2 K 2 r 1 r1 1 u r E r K2 P2 r1 1 r2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r1 r K 2 1 r 2 r1 2 K 2 1 r z 0 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 K2 r1 r 1 1 E r 2 K2 r1 1 1 E r 2 z K2 E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzo tangencial máximo y mínimo max 2 K 2 min r 1 K 2 1 r2 pro rpro t P2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Valores para un cilindro sometido a presión exterior Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0 P2 P2 P2 P2 r1 r2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento 2 2 r 1 2 r1 1 u r K 2 E r K2 P2 r1 1 r2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r1 r K 2 1 r 2 r1 K 2 1 r z 2 K 2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 2 1 r1 r K 2 1 2 E r 2 1 r1 K 2 1 2 E r z 0 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes de cero P2 P2 P2 P2 P2 P2 r1 r2 P2 P2 P2 P2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Desplazamiento K 2 r 2 1 2 r12 1 u r E r K2 P2 r1 1 r2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos r1 r K 2 1 r 2 r1 K 2 1 r z K2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones K2 r E r1 1 2 1 r 2 2 K2 r1 1 2 1 E r 1 2 z K2 E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros de pared gruesa con presión interior y exterior iguales P P P r P r ==-P P P P P P P Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindro dentro de un medio elástico infinito r1 r2= P1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos 2 r1 r P1 r 2 r1 P1 r Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Deformaciones 1 r1 r P1 E r 2 1 r1 P1 E r Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzo Cortante Máximo max 1 3 2 r 2 En vista de que σθ normalmente es de tensión, mientras que σr es de compresión y ambos exceden a σz en magnitud, por lo tanto: max r r P1 P2 1 2 1 r2 r1 r 2 2 1 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cambio de las dimensiones del cilindro Cambio de diámetro 2r D 2r r z E Cambio de longitud L L z L z r E Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros compuestos El método de solución para cilindros compuestos es descomponer el problema en tres efectos separados: - Presión por contracción sólo en el cilindro interior (cilindro). - Presión por contracción sólo en el cilindro exterior (camisa). - Presión interna sólo en el cilindro compuesto. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros compuestos Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Cilindros compuestos Pc (Eb, b) Cilindro (Ea, a) P1 r1 r2 r3 Camisa Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos tangenciales para el cilindro r r 2r c ' r r1 2 2 Pc P1 r r r2 r1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 r r r r r B ' r r2 Pc P1 r r r r r 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos tangenciales para la camisa B' A' r r r r r P1 Pc r r r r r 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2r22 2r12 2 2 Pc 2 2 P1 r3 r2 r3 r1 en en r r2 r r3 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos radiales para el cilindro r P1 C' r B' r P r c r r1 en 2 3 2 3 r r P1 r r 2 2 2 1 2 1 2 2 en r r2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Esfuerzos radiales para la camisa r B' r P r r 0 A' c 2 3 2 3 r r P1 r r en r r3 2 2 2 1 2 1 2 2 en r r2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Presión de contacto En el diseño de cilindros compuestos es importante relacionar la diferencia de diámetro de los cilindros acoplados con los esfuerzos que se producirán. Esta diferencia de diámetros (tolerancia) se obtiene generalmente por contracción, es decir, calentando el cilindro exterior hasta que se deslice libremente en el cilindro interior, cuando el cilindro exterior se enfría y se contrae sobre el cilindro interior se obtiene la presión de contacto Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa presión de contacto Sea δb y δa los cambios de diámetro del cilindro exterior e interior respectivamente, y puesto que la deformación perimetral es igual a la deformación diametral, se tiene que: b r2 b a r2 a Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa presión de contacto donde a cilindro camisa 1 a r r2 a ra r r2 Ea 1 b b r r2 b rb r r2 Eb Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa presión de contacto El esfuerzo tangencial y radial para el cilindro viene dado por: r r a r r2 Pc r r 2 2 2 2 r r r2 Pc a 2 1 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa presión de contacto El esfuerzo tangencial y radial para la camisa viene dado por: r r b r r2 Pc r r 2 2 2 3 r r r2 Pc b 2 3 2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa presión de contacto Sustituyendo los esfuerzos anteriores en las ecuaciones de deformaciones obtenemos: a Pc Ea Pc b Eb r r a r r 2 2 2 2 2 1 2 1 r r b r r 2 2 2 3 2 3 2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Presión de contacto r Pc 2 2 r2 r2 r2 r1 a 2 2 E a r2 r1 Eb r22 r32 r 2 r 2 b 2 3 Donde: 2 2 r2 Pc r2 r3 r2 Pc r r r a 2 2 b Ea r r Eb r3 r2 2 2 2 2 2 1 2 1 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa presión de contacto Si Ea = Eb = E a = b = y Er r r r r Pc 3 2r2 r r 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ajustes de interferencia Los ajustes de interferencia so aquellos en los que la pieza interior es mas grande que la exterior y requiere la aplicación de una fuerza “F” durante el ensamble. Una vez terminado el ensamble se presenta cierta deformación de las piezas y existe presión (presión de contacto) en la superficie que se ensambla. Después del ensamble no se genera movimiento entre las piezas, pero no existe un requisito particular para la presión resultante entre las piezas que se ajusten. Los ajustes de interferencia pueden ser de dos clases: ajustes forzados y ajustes por encogimiento. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ajustes forzados FN1: Ajuste de impulso ligero. Sólo se requiere ligera presión para ensamblar las piezas. Se utilizan para partes frágiles y donde no deban transmitirse fuerzas considerables mediante unión. FN2: Ajuste de impulso medio. Clase de propósito general que se emplea a menudo para piezas de acero cuya sección es moderada. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ajuste forzado FN3: Ajuste de impulso pesado. Se utiliza para piezas de acero pesadas. FN4: Ajuste de fuerza. Se utiliza para ensambles de alta resistencia donde se requiere altas presiones resultantes. FN5: Ajuste de fuerza. Similar a la clase FN4 pero se utiliza cuando se requiere presiones mas altas. Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ajustes de fuerza y por encogimiento Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Ajustes de fuerza y por encogimiento (continuación de la tabla) Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa Fuerza normal, Fuerza de fricción entre las superficies de contacto y torque máximo admisible antes de que se produzca deslizamiento N 2 Pc r2 L F N 2Pc r2 L T F r2 2P r L 2 c 2