Matemática 1 - CPA Unidad 3: Función Lineal Contenidos U2 - Función constante, Función lineal Función constante. Es la función real definida por: f (x) = c, con c ∈ R, constante Propiedades a) Dom(f ) = R, Rec(f ) = {c} b) Su gráfica es la recta paralela (o igual) al eje X: y = c. c) No es inyectiva. Función lineal. Es la función real de la forma: f (x) = ax + b, con a, b ∈ R, a 6= 0 Propiedades a) Dom(f ) = R, Rec(f ) = R b) Gráfica de f (x) = ax + b. Para graficar f (x) = ax + b se sustituye f (x) por la variable y, y se grafica la ecuación y = ax + b. • Luego: La gráfica de f (x) = ax + b es una recta. • Esta recta intercepta (o corta) al eje X en el punto (− ab , 0), y al eje Y en el punto (0, b). • La gráfica de f (x) = ax + b es una recta oblicua, con pendiente a. Ejemplo. Cuando a > 0, la gráfica de f es creciente. Cuando a < 0, la gráfica de f es decreciente. Si x1 ≤ x2 entonces f (x1 ) ≤ f (x2 ) Si x1 ≤ x2 entonces f (x1 ) ≥ f (x2 ) Sea f (x) = 2x − 5 . 3 1. f es una función lineal, Dom(f ) = R, Rec(f ) = R 2. Intercepciones con el eje X: 2x − 5 y = 0 =⇒ = 0 =⇒ x = 5/2 (5/2, 0) 3 Intercepciones con el eje Y : x = 0 =⇒ y = −5/3. (0, −5/3) 3. La gráfica de y = f (x) es una recta cuya pendiente es 2/3. Luego, es creciente. Inst. de Matemática y Fı́sica Universidad de Talca Gráfica de la función y = f (x) 1 Matemática 1 - CPA Unidad 3: Función Lineal Contenidos Ejemplo 2 Sea f (x) = −2x + 6. 1. Graficar y = f (x) Solución Gráfica de la función y = f (x) • y = 0 =⇒ −2x + 6 = 0 =⇒ x = 3 • x = 0 =⇒ y = 6 • La gráfica de f es la gráfica de y = f (x), o gráfica de y = −3x + 6 es una recta que pasa por los puntos (3, 0), (0, 6): 2. Graficar g(x) = −2x + 6, para x ∈ [1, 2[ • Dom(g) = [1, 4[; • Primero se grafica y = −2x + 6 (grafica anterior) • La gráfica de g(x) = −2x + 6, para x ∈ [1, 2[ es un segmento de la recta y = −2x+ 6, tal que 1 ≤ x < 2 • ¿Cuál es el recorrido de g?. 3. Graficar h(x) = −2x + 6, para x ∈ [−1, 2] • Dom(h) = [−1, 4]; • Primero se grafica y = −2x + 6 (grafica (a)) • La gráfica de h(x) = −2x + 6, para x ∈ [−1, 2] es un segmento de la recta y = −2x + 6, tal que −1 ≤ x ≤ 2 • ¿Cuál es el recorrido de h?. Ejemplo 3. Sea y = f (x) una función lineal, tal que f (−1) = 2, f (−10). Solución f (2) = 5. Hallar f (x), y luego hallar 1. Sea f (x) = ax + b. Se debe hallar a y b y una fórmula explı́cita para f (x). f (−1) = 2 =⇒ −a + b = 2 f (2) = 5 =⇒ 2a + b = 5 Resolviendo el sistema se obtiene: a = 1, b = 3. Luego f (x) = x + 3. 2. f (−10) = 13 Inst. de Matemática y Fı́sica Universidad de Talca 2