Word - Repositorio

Título: Áreas, perímetros y volúmenes de figuras geométricas.
Autor: MS.c Luis Alberto Pernía Nieves (UDG).
Correo electrónico:lpernia@udg.co.cu
Descripción: Este material tiene la finalidad de mostrar elementos teóricos sobre la geometría,
que estarán, fundamentalmente relacionados con el cálculo de áreas perímetros y volúmenes.
Resumen del contenido: En el presente material encontrarán conceptos, resultados teóricos,
fórmulas y ejemplos resueltos, que resultan útiles en el desarrollo de habilidades de cálculo de
superficies, contornos y cuerpos.
Tema de Matemáticas: Geometría.
Palabras clave: Área, perímetro, volumen.
Nivel: Intermedio.
Tipo de material: documento Word.
1. Objetivo:
Pretendemos que los estudiantes de la educación media, conozcan relaciones y teoremas de
la Geometría, y los apliquen como un todo en la resolución de ejercicios de cálculo geométrico,
que no tienen carácter algorítmico.
2. Introducción
En las matemáticas modernas y en la revolución de las matemáticas escolares, muchos
autores refieren que la idea principal es suprimir algunos temas de la enseñanza tradicional
para poder dedicar más tiempo a enseñar temas de estudios superiores desde edades
tempranas, sin embargo, también se refieren a la forma en que deben enseñarse los temas
tradicionales y como deben relacionarse con los nuevos, sin perder de vista que lo que se
conoce como “Matemática del pasado” sigue siendo lo más importante y ha de continuar
enseñándose por siempre.
La Geometría no está exenta de tales tendencias, desde el siglo pasado, muchos matemáticos
alegan que la enseñanza de la Geometría de Euclides debe desaparecer, y que ésta, quedará
relegada solo para los historiadores. Estas ideas se pueden resumir en la malinterpretada frase
célebre de Dieudonné: ¨ ¡Abajo Euclides, basta ya de triángulos!¨. Por suerte para todos, son
muchos los lugares donde la belleza de la Geometría Euclidiana ocupa un lugar cimero en la
enseñanza de la matemática en los niveles básicos de aprendizaje, recordemos para terminar,
la igualmente célebre frase del profesor brasileño Omar Catunda, pronunciada hace más de
setenta años en Colombia, ¨ en mi país no debe decirse abajo Euclides, sino, al menos
Euclides¨. (Idea original de Marcelo Santaló)
2.1 Áreas y perímetros de figuras planas.
Triángulo:
Perímetro y semiperímetro.
Si a,b y c son los lados de un triángulo cualquiera como se muestra en la figura anterior,
entonces:
 Su perímetro es: 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
 El semiperímetro es:𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
Área.
El área de un triángulo puede ser calculada de acuerdo a las fórmulas siguientes:

Si tenemos la base y la altura relativa a esa base: 𝐴 =
𝑏∙ℎ
1
2
.

Si se conoce dos lados y el ángulo comprendido: 𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin⁡(𝛼).

Cuando conocemos solo sus lados: 𝐴 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐). Recuerde que 𝑝 es el
semiperímetro.

Si el triángulo es equilátero y se conoce el lado: 𝐴 =

En función de sus lados y del radio de la circunferencia inscrita: 𝐴 = 𝑝 ∙ 𝑟 .

Los lados y el radio de la circunferencia circunscrita: 𝐴 =
2
Paralelogramo:
Área y perímetro:


𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin⁡(𝛼) .
𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏).
Rectángulo:
Área y perímetro:


𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏.
𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏).
Rombo:
𝑙2 ∙√3
4
.
𝑎∙𝑏∙𝑐
4∙𝑅
.
Área y perímetro:
𝑑1 ∙𝑑2

𝐴=

𝑃 = 4 ∙ 𝑎.
2
.
Cuadrado:
Área y perímetro:

𝐴 = 𝑎2 .

𝐴=

𝑃 = 4 ∙ 𝑎.
𝑑1 2
2
. La mitad del cuadrado de la diagonal.
Trapecio:
Área y perímetro:
𝑏1 ⁡+⁡𝑏2

𝐴=(


𝐴 = 𝑃𝑀 ∙ ℎ. Paralela media por altura.
𝑃 = 𝑎 + 𝑏1 + 𝑏2 + ⁡𝑐.
2
)ℎ. Semisuma de sus bases por la altura.
Cálculo en la circunferencia:
 El radio es la mitad de diámetro: r 
d
.
2
 Longitud de la circunferencia: l  2    r .
Círculo: El conjunto formado por todos los puntos de una circunferencia y sus puntos
interiores.
 Área del círculo:
Ac    r 2 .
Sector circular: La parte del círculo limitado por un arco y los lados de ángulo central
correspondiente.
 Área del sector circular: Asc 
Ac
.
360 o
Anillo circular: La porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas, incluyendo
estas.

Área del anillo circular:
A  Ac2  Ac1 .
Polígonos regulares:
Polígonos regulares:Son los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos
iguales.

En un polígono regular si se trazan los radios de la circunferencia circunscrita, este se
descompone en triángulos isósceles, por eso la resolución de un polígono regular se
reduce a la resolución de un triángulo isósceles.
Elementos de un polígono regular:
n: número de lados.
l: longitud del lado.
R: radio de la circunferencia circunscrita.
a: apotema (radio de la circunferencia inscrita).
x
180 
180 n  2 
 
n
n
Área y perímetro de un polígono regular:


𝐴 = 𝑝 ∙ 𝑎. Semiperímetro por apotema.
𝑃 = 𝑛 ∙ 𝑎. n - veces el lado.
2.2 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Teoremas y definiciones más utilizados en la estereometría:
Definición: (recta perpendicular al plano)
Si una recta es perpendicular al plano, entonces es perpendicular a todas las rectas del
plano que pasan por su pie.
Teorema: (criterio de perpendicularidad entre recta y plano)
Si una recta es perpendicular a dos rectas del plano que se cortan en su pie, entonces la
recta es perpendicular al plano.
Definición: (oblicua al plano)
Se denomina a cualquier
perpendicular a este.
recta
que
interseca
al
plano
y
no
sea
Definición: (proyección)
Se denomina al segmento del plano que une el pie de la perpendicular y
el pie de la oblicua trazadas desde un mismo exterior al plano.
Teorema:
Entre varias oblicuas trazadas desde un mismo punto exterior al plano se cumple que a
mayor oblicua, mayor proyección, y viceversa.
Definición: (ángulo entre recta y plano) () (ver figura)
Se denomina al ángulo que forma la oblicua a un plano con su proyección.
Teorema: (teorema de las tres perpendiculares)
Si una recta de un plano que pasa por el pie de una oblicua al plano es perpendicular a la
proyección de la oblicua, entonces es perpendicular a la oblicua.
En símbolos:sea “c” oblicua al plano, “b” proyección “a” recta del plano, “d”
perpendicular se cumple: si ab , entonces ac.
Recíproco:
Si una recta del plano que pasa por el pie de una oblicua al plano es perpendicular a la
oblicua, entonces es perpendicular a la proyección de la oblicua.
Definiciones de cuerpos espaciales:
Prisma: Se llama prisma al poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos
iguales cuyos planos son paralelos.
Aristas laterales: Son precisamente los paralelogramos referidos en la definición
anterior, y que constituyen las caras laterales del cuerpo.
Prisma recto: Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las
bases. El prisma de la figura anterior es recto.
Altura del prisma: Es la distancia entre los planos de las bases.
Prisma oblicuo:Es aquel en el que las aristas laterales no son perpendiculares a los
planos de las bases.
Paralelepípedo: Es el prisma cuyas bases son paralelogramos.
Ortoedro: Es el paralelepípedo cuyas bases son rectángulos y donde las aristas laterales
inciden perpendicularmente sobre ellas.
Cubo: Es el ortoedro cuyas aristas laterales son todas iguales. Sus seis caras (cuatro
aristas laterales y dos bases) son cuadrados iguales. El cubo se conoce también como
hexaedro regular.
Pirámide: Es el poliedro que tiene una cara llamada base, que en general es un polígono
cualquiera, donde además todas sus aristas laterales son triángulos que tienen un vértice
común llamado vértice o cúspide de la pirámide.
Pirámide regular: Es la pirámide que tiene por base un polígono regular y donde el pie
de su altura coincide con el centro de este polígono. En ella, las caras laterales son
triángulos isósceles iguales. La altura de estos triángulos se llama apotema de la
pirámide.
Superficie de revolución:Es la superficie engendrada por una línea que gira alrededor
de una recta llamada eje. En la rotación, los puntos se mantienen a la misma distancia del
eje describiendo circunferencias en sus trayectorias, cuyos centros están sobre el eje.
Estas circunferencias son perpendiculares al eje. La línea que gira se llama generatríz.
Cilindro: Un cilindro o cilindro circular recto, es una superficie de revolución limitada por
una arista lateral cilíndrica y por dos circunferencias perpendiculares al eje llamadas
bases del cilindro. La distancia entre las bases se llama altura. Un cilindro es generado
por la revolución completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, este lado
fungirá como eje.
Cono:La porción del espacio limitada por una superficie cónica de revolución y por un
plano perpendicular a su eje llamado base, se denomina cono circular recto. La base del
cono es una circunferencia y su radio es el radio del cono. El cono circular recto se puede
ver como la superficie que surge al hacer revolucionar un triángulo rectángulo alrededor
de uno de sus catetos, donde la hipotenusa del triángulo, será la generatíz del cono
resultante.
Superficie esférica(Esfera):La superficie esférica es el lugar geométrico de todos los
puntos del espacio que equidistan de uno llamado centro. La distancia a la que se
encuentra uno cualquiera de estos puntos es llamada radio. Si la distancia del centro a un
punto cualquiera del espacio es menor que el radio, ese punto es interior a la superficie,
contrariamnete, será exterior. Se llama esferaal conjunto de los puntos de la superficie
esférica y los interiores a la misma. La superficie esférica y la esfera se generan al
revolucionar sobre uno de sus diámetros a una circunferencia con su círculo.
Fórmulas de área y volumen de algunos cuerpos geométricos:
ÁREAS Y VOLUMEN
CUERPO


Prisma:


Cilindro:



Pirámide:


Cono:
Esfera:
𝑉 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ. Área de la base por altura.
𝐴𝐿 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆𝑛 . Suma de todas las
aristas laterales.
𝐴 𝑇 = 2 ∙ 𝐴𝐵 + ⁡ 𝐴𝐿 . Dos veces el área de la base
más el área lateral.
𝑉 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ = 𝜋 ∙ 𝑟 2 ∙ ℎ. Área de la base por
altura.
𝐴𝐿 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ.
𝐴 𝑇 = 2 ∙ 𝐴𝐵 + ⁡ 𝐴𝐿 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ. Dos
veces el área de la base más el área lateral.
1
𝑉 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ. Un tercio del área de la base por
3
altura.
𝐴𝐿 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆𝑛 . Suma de áreas de
triángulos.
𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + ⁡ 𝐴𝐿 . El área de la base más el área
lateral.
1
1
3
3

𝑉 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ = 𝜋 ∙ 𝑟 2 ∙ ℎ. Un tercio del área de


la base por altura.
𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔. Donde g es la generatriz.
𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + ⁡ 𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 + 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔. El área de la
base más el área lateral.

𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟3.

𝐴𝐿 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 2
4
3
3. Ejemplos didácticos:
3.1 En el cuadrado ABCD, los segmentos
iguales, con
3.1.1
3.1.2
3.1.3
DE = 10 cm.
Prueba que DCE = FCB.
Calcula el perímetro del cuadrado.
Calcula el área del EAF.
CE
y
CF dividen al ángulo C en tres partes
3.2 Un prisma recto de base triangular y un cilindro tienen igual altura. El triángulo base es
rectángulo en B y sus catetos miden 21 cm y 28 cm y la circunferencia base es tangente a
éstos. El centro O está sobre la hipotenusa AC . El área de la mayor cara lateral del
prisma es 350 cm2. Calcula el volumen del cilindro.
3.3 Soluciones de los ejemplos didácticos:
Solución de 3.1:
3.1.1) Los triángulos rectángulos DCE y BCF tienen ambos un ángulo de 300 y un cateto de
igual longitud (lado del cuadrado); podemos afirmar que DCE = BCF (tienen
respectivamente iguales dos ángulos y el lado comprendido).
3.1.2) Podemos decir entonces que EC  CF = 20cm (miden el doble de DE = 10cm que se
opone al ángulo de 300) y entonces DC  10. 3cm (se opone al ángulo de 600). Calculamos el
perímetro del cuadrado, P  4.10. 3  40.1,73  69,2cm
3.1.3) Se puede calcular:
EA  AD  DE  10. 3  10  10.(1,73  1)  10.0,73  7,3  7,3cm
A
(7,3) 2 53,3

 26,65 .
2
2
El área del EAF es aproximadamente 27cm2.
Solución de 3.2:
El problema nos facilita como dato el área del rectángulo ADFC que es la cara lateral mayor
porque AC es la hipotenusa (lado mayor) de la base del prisma y
aplicando el teorema de Pitágoras en el ABC
AC 
2
podemos calcularla
2
AB  BC  212  28 2  441  784  1225  35 . En el rectángulo ADFC
A  AC.FC , lo que implica: FC 
A
AC

350
 10cm
35
Ahora solo nos falta hallar el radio del cilindro.
En la base podemos trazar el radio desde el punto O hasta el cateto tangente BC y se forma un
nuevo triángulo rectángulo que es semejante al triángulo rectángulo ABC (el  BCA es
común). Se puede hacer el mismo trazado del radio hacia el cateto tangente AB . Podemos
apreciar que se forma un cuadrado en la base y que su lado es el radio, por lo que podemos
plantear la siguiente igualdad entre segmentos proporcionales
r 28  r

, donde: r = 12cm
21
28
Calculemos el volumen: V   .r 2 .h  3,14.122.10  3,14.144.10  4521,6
El volumen es 4,5dm3.
4. Ejercicios propuestos:
4.1En la figura está representado el cuadrado ABCD de 96 cm de perímetro y
el
rectángulo EFGC, ambos sobre la recta BG. BF
cortaal lado DC en H. DE = 8,0 cm y
el área del ADH es igual a 168 cm 2.
4.1.1 Calcula el área del rectángulo EFGC.
4.1.2 Calcula la longitud del segmento BF.
4.2 En la figura, ACDG es un trapecio rectángulo y ABIEFH, un hexágono regular de 4,0 cm
de lado.
4.2.1
4.2.2
Prueba que ACD DEI.
Calcula el área del polígono
ACDFH.
4.3 La figura representa el prisma oblicuo ABCDEFGH, que tiene todas sus aristas iguales.
Su base, ABCD, está contenida en el plano  y la proyección de la cara BCHG sobre  es
el rectángulo BQPC. Si el área del rectángulo AQPD es 234 cm 2 y BQ = 5,0 cm, calcula el
volumen y la superficie total del prisma.
4.4La figura representa una pecera ortoédrica que contiene 40 L de agua y su base mide 50 cm
 40 cm. Cuando se introdujo en ella el cilindro circular recto macizo de aluminio, el agua subió
hasta quedar al mismo nivel de la base superior del cilindro. Si la base del cilindro tiene 400cm 2
de área, calcula el volumen y el área lateral del cilindro.
5. Soluciones de los ejercicios propuestos:
Solución de 4.1:
4.1.1) El lado del cuadrado mide necesariamente 24cm. Basándonos en el área del triángulo
rectángulo ADH podemos calcular
DH = 14cm y con ello, por resta de segmentos, calcular
EH = 6,0cm y HC = 10cm.
Los triángulos EHF y BHC son rectángulos en E y C respectivamente; se cumple además que
EFH = HBC (alternos entre paralelas). Se cumple ahora que EHF BHC (tienen dos
ángulos respectivamente iguales). Podemos trabajar con los segmentos proporcionales:
EF
BC

EH
HC

Calculamos entonces: EF 
HF
, y sustituyendo nos queda:
HB
EF 6 HF


.
24 10 HB
6.24
 14,4cm ,con lo podemos calcular el área del rectángulo
10
EFGC :
A = 14,4.16 = 230,4.
El área es aproximadamente 230cm2.
4.1.2) Aplicando el teorema de Pitágoras en el BHC podemos calcular:
2
2
HB  BC  HC  24 2  10 2  676  26cm
y entonces, en la proporción, es fácil decidir que: HF 
tiene como:
6.26
 15,6cm . La longitud de BF se
10
BF  HB  HF = 26 + 15,6 = 41,6cm.
Solución de 4.2
4.2.1) El triángulo ACD es rectángulo en C (trapecio rectángulo) y se cumple que DAC =
EDA (alternos entre las paralelas del trapecio).
Falta ahora probar que DEI es rectángulo. En el hexágono regular el ABI es isósceles de
base AI y podemos obtener que AIB = 300 (suma de los ángulos interiores de un triángulo
isósceles con un ángulo interior de 1200).
Entonces EIA = 900 (por resta de 1200 – 300), luego, EID = 900. El EID es rectángulo en
I; por tanto EID ACD (tienen dos ángulos respectivamente iguales).
4.2.2) Tenemos que DAC = ADG = AIB = 300. El triángulo GHF es equilátero de lado
HF = 4,0m por lo que AG = 8,0m y entonces GD = 16m ( AG se opone al ángulo de 300
en el DAG rectángulo en A). Si trazamos
AF podemos calcular FD  AC  12m. (por resta
de segmentos). La diagonal menor del hexágono regular mide siempre
lado del hexágono. Entonces
AF = 4. 3m .
a 3 donde a es el
2
A  ATRAP.  AT . EQUILAT .
GD  AC
HF . 3 16  12

. AF 

.4. 3 
2
4
2
 56. 3  4. 3  52. 3  52.1,73  89,96m 2 .
El área es 90m2.
Solución de 4.3:
Debemos comenzar calculando, en el plano base, la arista “a” del prisma. Para ello haremos
una descomposición del área del rectángulo AQPD de la siguiente forma:
a2 + 5a = 234.
lo que nos lleva a una ecuación cuadrática con soluciones a = 13 ó a = –18(que no es
admisible por su signo). En el BQG, que es rectángulo en Q pues
GQ es altura, podemos
aplicar el teorema de Pitágoras y calcular:
2
2
GQ  BG  BQ  132  52  169  25  144  12cm .
Entonces el volumen del prisma es:
V  a 2 .h  132.12  2028cm3  2,03dm3 .
El área del rombo ABGF es fácil de calcular:
A = a.h = 13.12 = 156cm 2.
Entonces el área total del cuerpo será AT = 4.169 + 2.156 = 988cm 2.
Solución de 4.4:
Calculemos primero la altura que tiene el agua en el recipiente antes de ser introducido el
cilindro. Sabemos que 1L = 1dm 3 = 1000cm3. Como el volumen de agua es de 40 L, entonces:
40000 = 50.40*h, y por tanto h 
40000
 20cm .
2000
El volumen del cilindro se puede expresar de dos formas. Si expresamos por x la altura que se
desplaza (hacia arriba) el agua cuando se introduce el cilindro tenemos:
400.(20 + x) = 50.40.x . Si resolvemos esta ecuación nos queda que x = 5cm.
La altura del cilindro es H = h + x = 20 + 5 = 25cm.
V = AB.h = 400.25 = 10000cm3 = 10dm3.
Necesitamos el radio de la base del cilindro:
400 = .r2 donde r 2 
400
 127,4
3,14
resultando que r = 11,3cm.
AL = 2..r.H = 2.3,14.11,3.25 = 1774,1cm2 = 17,7dm2.
6. Referencias bibliográficas.



[ 1 ] Dr. C. J. A. Baldor, México 2004. “Geometría plana y del espacio y Trigonometría.”
[ 2 ] MS.c Jesús Cantón Arenas, Cuba 2008. “Ejercicios y problemas integradores de
Matemática para la enseñanza Secundaria Básica”.
[ 3 ]Prof: Jacinto Hernández Ávalos, Cuba 2010. “Folleto de ejercicios complementarios
de Matemática para la profundización en la enseñanza preuniversitaria”.