MATEMÁTICA FINANCIERA Descuento Descuento Descuento

Descuento
En las operaciones comerciales, en general no se utiliza actualización
para calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se
conoce como descuento (o descuento comercial).
Este es el caso tı́pico que ocurre, por ejemplo, con los “cheques
posdatados”.
El poseedor de un instrumento financiero (cheque, documento,
plazo fijo, etc.) con un valor nominal N, podrá hacerlo efectivo en t
años (esta última cantidad no tiene por qué ser entera).
Por algún motivo se necesita dinero en efectivo hoy (para pagar una
deuda, por una oportunidad de inversión, etc.).
Entonces se acude a un intermediario financiero y se intercambia el
instrumento por una suma en efectivo E , donde
MATEMÁTICA FINANCIERA
DESCUENTO SIMPLE
Luis Alcalá
UNSL
Segundo Cuatrimeste 2016
E < N.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
1 / 22
Descuento
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
2 / 22
Descuento
Definición
La diferencia entre el efectivo E que un agente recibe y el valor nominal N
del documento entregado, recibe el nombre de descuento.
D
D = N − E.
N
E
hoy
(1)
En esta operación puede pensarse que el intermediario se “cobra los
intereses” al principio de la operación.
La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la
particularidad que se aplica sobre el valor nominal N.
dentro de t ańos
El descuento también puede realizarse durante varios perı́odos.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
3 / 22
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
4 / 22
Descuento Simple
Descuento Simple
d (p)
Supongamos que quiere descontarse un documento, cuyo valor
nominal es N, por n p-perı́odos, con un intermediario financiero que
cobra una tasa de descuento p-periódica d (p) .
En el sistema de descuento simple lo que se descuenta cada
p-perı́odo es igual a Nd (p)
Dk
E = E
k
k+1 − Dk ,
D1
D = D0
Si llamamos Ek al efectivo que recibiremos en el perı́odo
k = 0, 1, . . . , n, tenemos la siguiente relación recursiva

En = N
Dk+1
En = N
Ek
0 ≤ k ≤ n − 1.
Ek+1
E1
E = E0
donde la condición inicial es En = N (al momento n, Dn = 0).
0
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
5 / 22
Luis Alcalá (UNSL)
1
k
k +1
DESCUENTO SIMPLE
n
Mat. Financiera - 2016
Descuento Simple
Descuento Simple
Operando en forma recursiva, podemos deducir la fórmula para el efectivo
en cada perı́odo está dada por
En términos de la tasa de descuento y el valor nominal, el descuento
(total) es
D = nNd (p) .
En = N
En−1 = En − d (p) N = N − Nd (p) = N 1 − d (p)
..
.
Ek = Ek+1 − Nd (p) = N 1 − (n − k)d (p) , para 0 ≤ k ≤ n − 1.
Observación
Si n (ó d(p)) es suficientemente grande, el descuento comercial puede ser
tan grande que anule el efectivo
E = E0 = 0 = N 1 − nd (p) ,
(3)
Esto ocurre si
n=
Nótese que
E = E0 = E1 − Nd (p) = N 1 − (n − 0)d (p) = N 1 − nd (p)
DESCUENTO SIMPLE
(2)
En−2 = En−1 − Nd (p) = N − Nd (p) − Nd (p) = N 1 − 2d (p)
En−3 = En−2 − Nd (p) = N − Nd (p) − Nd (p) − Nd (p) = N 1 − 3d (p)
Luis Alcalá (UNSL)
6 / 22
Mat. Financiera - 2016
Si n >
7 / 22
1
d (p)
1
.
d (p)
el valor de E es, de hecho, negativo.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
8 / 22
Descuento Simple
Equivalencia entre Tasas de Descuento Simple
Ejemplo
Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 dı́as por $1.000. ¿Qué cantidad
de efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica una tasa de
descuento diaria de 2,1%? ¿Cuántos dı́as hay que descontar el documento
para que el efectivo sea nulo?
El efectivo que recibiremos se calcula con (3)
E = 1000 (1 − 5 · 0, 021) = 895,
de donde
D = 1000 − 895 = 105.
Finalmente,
nanulación =
A partir de nuestra discusión sobre el sistema de capitalización simple,
surge naturalmente la siguiente pregunta: dada una tasa de descuento
q-perı́odica d (q) , ¿cuál es la tasa de descuento p-periódica
equivalente?
Por definición de equivalencia de tasas, dados un monto en efectivo
E , un valor nominal N, un descuento de t perı́odos y dos tasas de
descuento d (p) y d (q) , con p, q ∈ Z, se dice que las tasas son
equivalentes si producen igual efectivo:
N 1 − qtd (q) = E = N 1 − ptd (p) .
De esta relación se obtiene la ecuación fundamental de
equivalencia de tasas de descuento simple
1
= 47, 619047619,
0, 021
qd (q) = pd (p) .
(4)
aproximadamente 47 dı́as.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
9 / 22
Equivalencia entre Tasas de Descuento Simple
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
10 / 22
Equivalencia entre Tasas de Descuento Simple
Ejemplo
d (p)
E
t años
Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d (p) equivalente,
para p ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}.
N
La tasa de decuento cuatrimestral equivalente es
d (q)
d = 3d (3)
0, 10 = 3d (3) ,
Observación
por lo tanto,
Como antes, usaremos d, en lugar de d (1) , para designar una tasa de
descuento anual.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
d (3) = 0, 0333 . . . ,
es decir, 10% anual es equivalente a 3, 33% cuatrimestral. Las restantes
tasas se dejan como ejercicio.
11 / 22
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
12 / 22
Equivalencia entre Tasas
Equivalencia entre Tasas
Descuento y Capitalización Simple
Descuento y Capitalización Simple
Dados un monto en efectivo E , un valor nominal N, un descuento de
t años, y p, q ∈ Z, se dice que la tasa de capitalización p-periódica
i (p) y la tasa de descuento q-perı́odica d (q) son equivalentes si
producen igual efectivo:
N 1 − qtd (q) = E =
i (p)
N
1 + pti (p)
E
t años
N
d (q)
Entonces, la ecuación fundamental de equivalencia entre tasas
de capitalización simple y de descuento simple es
1 − qtd (q) 1 + pti (p) = 1.
(5)
Claramente, esta equivalencia no es independiente del tiempo t
considerado.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
13 / 22
Equivalencia entre Tasas
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
14 / 22
Equivalencia Financiera Revisada
Descuento y Capitalización Simple
Ejemplo
Dada una tasa de descuento mensual del 8%, hallar la tasa de
capitalización simple i (360) equivalente para una operación a 2 meses.
Es posible usar el descuento simple como ley financiera en la
equivalencia financiera.
De (5),
Tı́picamente esto se hace cuando la fecha focal f escogida no es
posterior a ninguna fecha de las series de capitales
2
12
1 − 12
En principio, la única limitación que existe es lo que acuerden las
partes involucradas.
(360) 60
1 + 360 360
i
= 1,
(1 − 2 · 0, 08) 1 + 60 · i (360) = 1.
d (12)
Puede usarse un sistema para capitalizar y otro para descontar, e
inclusive se puede usar una tasa para actualizar (o descontar) y otra
para capitalizar. Veamos un ejemplo.
Entonces
i
(360)
=
Luis Alcalá (UNSL)
1
0,84
−1
60
= 0, 0031746
ó
DESCUENTO SIMPLE
0, 31746% diaria.
Mat. Financiera - 2016
15 / 22
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
16 / 22
Equivalencia Financiera Revisada
Equivalencia Financiera Revisada
Ejemplo
Debemos igualar los valores a la fecha focal dada de ambas operaciones:
Debemos realizar 3 pagos, el primero de $400 dentro de tres meses, el
segundo de $300 dentro de 6 meses y el último de $500 a los 9 meses. Por
razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir
estos 3 pagos por 2: uno de $500 dentro de 5 meses y otro de monto a
determinar a los 10 meses. Calcular el monto del segundo pago si
nro
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
fecha
focal
f =0
f =6
f =5
f =6
f =6
f =6
f =6
Luis Alcalá (UNSL)
sistema
actualiz.
descuento
descuento
descuento
descuento
simple
descuento
simple
tasa de
actualiz.
d (12) = 0, 030
d (12) = 0, 020
d (12) = 0, 020
d (12) = 0, 025
i (12) = 0, 025
d (12) = 0, 030
i (12) = 0, 050
sistema
capitaliz.
—
descuento
descuento
simple
descuento
simple
descuento
DESCUENTO SIMPLE
valor de la
operación nueva
a la fecha focal f
400 (1 − 3 · 0, 03) + 300 (1 − 6 · 0, 03) + 500 (1 − 9 · 0, 03) = 975
500 (1 − 5 · 0, 03) + C (1 − 10 · 0, 03) = 425 + 0, 70C
de donde concluimos que: C = 785, 71428571
(Nota: en el apunte teórico-práctico hay un error)
17 / 22
Equivalencia Financiera Revisada
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
18 / 22
Equivalencia Financiera Revisada
2. Fecha focal a los seis meses: f = 6 Ahora debemos llevar todos los
capitales a los seis meses, usando descuento
400
+ 300 + 500 (1 − 3 · 0, 02) = 1195, 5
1 − 3 · 0, 02
3. Fecha focal a los cinco meses: f = 5 Usaremos descuento, pero con
diferentes tasas para descontar d (12) = 0, 02 y d (12) = 0, 05 para
capitalizar:
400
+ 300 (1 − 1 · 0, 02) + 500 (1 − 4 · 0, 02) = 1198, 4
1 − 2 · 0, 05
500
+ C (1 − 4 · 0, 02) = 510, 2 + 0, 92C ,
1 − 1 · 0, 02
500 + (1 − 5 · 0, 02) C = 500 + 0, 9C
de donde
de donde
C = 775, 55556
C = 744, 891304348
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $744,89 al usar
como fecha focal 6 meses y utilizar una tasa mensual de descuento
comercial del 2%.
Luis Alcalá (UNSL)
=
1. Fecha focal el origen: f = 0. Descontamos todos los capitales al
momento cero:
tasa de
capitaliz.
—
d (12) = 0, 020
d (12) = 0, 050
i (12) = 0, 025
d (12) = 0, 025
i (12) = 0, 020
d (12) = 0, 030
Mat. Financiera - 2016
valor de la
operación original
a la fecha focal f
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
19 / 22
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $775,56 al usar
como fecha focal el quinto mes y utilizar una tasa mensual de
descuento comercial del 2% para descontar y una tasa de descuento
del 5% para capitalizar.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
20 / 22
Equivalencia Financiera Revisada
Equivalencia Financiera Revisada
4. Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos descuento para
actualizar, con tasa de decuento d (12) = 0, 025 y sistema simple para
capitalizar, con una tasa i (12) = 0, 025:
7. Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos sistema simple para
actualizar, con una tasa i (12) = 0, 05, y descuento para capitalizar,
con tasa de descuento d (12) = 0, 03:
500
400
+ 300 +
= 1174, 3
1 − 3 · 0, 03
1 + 3 · 0, 05
400 (1 + 3 · 0, 025) + 300 + 500 (1 − 3 · 0, 025) = 1192, 5
500 (1 + 1 · 0, 025) + C (1 − 5 · 0, 025) = 512, 5 + 0, 875C
500
C
C
+
= 515, 46 +
1 − 1 · 0, 03 1 + 5 · 0, 05
1, 25
de donde
de donde
C = 777, 142857143
Por lo tanto, el monto del segundo pago asciende a $777,14 al usar
como fecha focal el sexto mes y utilizar una tasa mensual de
descuento comercial del 2,5% para actualizar y una tasa mensual
simple del 2,5% para capitalizar.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
21 / 22
C = 823, 55
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 823,55 al usar
como fecha focal el sexto mes y utilizar una tasa de interés mensual
del 5% para actualizar y una tasa de descuento mensual del 3% para
capitalizar.
Luis Alcalá (UNSL)
DESCUENTO SIMPLE
Mat. Financiera - 2016
22 / 22