CASCO Y ESTRUCTURAS Parte 10 P. Sosa. © 05-2007 7.17.- Casco resistente. Conjunto forro - cuadernas 7.17.1.- Introducción Es evidente que para conseguir estructuras cilíndricas resistentes a presiones exteriores relativamente grandes no es suficiente la utilización de cilindros simples pues su presión de inestabilidad o de abolladura es excesivamente baja, aunque por tensiones, su resistencia pueda ser potencialmente mucho mayor. Puesto que el colapso por inestabilidad es función, en líneas generales, de la inercia transversal de la pared del cilindro o forro, es necesario aumentar esta inercia si se quieren conseguir presiones mas elevadas. Aumentar el espesor de forro, para combatir la inestabilidad, es un método inadecuado ya que exige unos espesores de forro respetables, antieconómicos. Clásicamente, el sistema de reforzado ha sido por medio de cuadernas regularmente distribuidas. Esto permitía obtener una gran rigidez frente a la inestabilidad general, quedando el forro como un elemento de recubrimiento y estanqueidad. En realidad, con las cuadernas rígidamente unidas al forro, la inercia efectiva es una combinación de la inercia propia de las cuadernas o refuerzos mas un cierto ancho de plancha de forro asociado a ellas, por lo cual la inercia total que se obtiene es mucho mas grande. Por consiguiente el forro sigue jugando un papel primordial en la resistencia del casco frente a la inestabilidad, aparte de otras consideraciones. Por otro lado, la adición de cuadernas crea un nuevo reparto de tensiones, que ya no son constantes como ocurría en un forro simple sin refuerzos, sino variable a lo largo de las claras al estar las cuadernas reaccionando contra el forro cuando se aplica la presión exterior y no dejando que este ceda demasiado en donde estas están situadas. La determinación aproximada de las tensiones que se producen ha sido objeto de, numerosas investigaciones habiéndose obtenido ya soluciones muy aproximadas, casi perfectas, en régimen elástico, por Von Sanden y Gunther en 1920. Al mismo tiempo, al proyectista se le plantea la cuestión de obtener un reparto armónico de estas tensiones con el fin de aprovechar el material lo más posible y así poder obtener estructuras del un menor peso, para las mismas prestaciones. Las variables más importantes que intervienen son el espesor de forro, su radio medio, la clara entre cuadernas, el área de su sección recta, su inercia y la distancia entre mamparos. El reforzado también se puede efectuar en sentido longitudinal del anillo, superpuesto al transversal, intercostal, pero al no ser su uso muy poco frecuente se ha omitido en los apartados que siguen. No cabe duda que el reforzado en los dos sentidos es el más completo, teóricamente, ya que refuerza el forro de forma ortotrópica, pero por su complejidad y dificultad de construcción, su utilización solo se recomienda para muy altas presiones. Por ser muy pocas la unidades que se han construido de este modo, la información disponible al respecto es muy escasa, sobre todo lo que afecta a pruebas y experiencia operativa. 7.17.2.-Tensiones y deformaciones en cilindros reforzados por cuadernas Considérese un cilindro circular de longitud muy grande o infinita, reforzado por cuadernas regularmente espaciadas, de unas características determinadas, tales como radio medio del anillo r, espesor de forro t, clara L, etc. En las zonas centrales de este cilindro reforzado, la influencia de las condiciones de los extremos son muy reducidas o nulas ya que, como es regla general, la influencia de un estado tensional o de deformación de un borde solo afecta a una zona de una longitud aproximada de 5 ⋅ r ⋅ t , lo que equivale a unas dos o tres claras del anillo, a partir del borde, por lo cual se puede considerar que todas las cuadernas de la zona central del anillo, (si este es largo), están trabajando en igualdad de condiciones así como el forro comprendido entre ellas. La disposición de un anillo reforzado genérico se ilustra en la Fig. nº 55. Se supone que dicho anillo de casco está sometido a una presión uniforme exterior lateral y axial. Por simetría de cargas y formas, todos los puntos de una sección transversal situados en la misma fibra 201 circunferencial están sujetos a las mismas condiciones de deformación y tensión y, por consiguiente, una sección meridiana del cilindro es suficiente para determinar las principales características de deformación, tensión, momentos, etc. A cada tramo de forro comprendido entre cuaderna y cuaderna, es decir a cada clara, se le pueden aplicar las ecuaciones estudiadas, para cilindros simples, de los Apartados anteriores. La teoría de base, por ser lineal, solo proporciona resultados aproximados como consecuencia de haberse despreciado algunos términos del equilibrio de fuerzas y momentos, concretamente la influencia de la fuerza axial sobre los momentos longitudinales cuando la existe un flecha en las claras. La solución de la ec. (7-1), siguiente, fue dada a conocer por primera vez, para su aplicación al cálculo de submarinos, por los ingenieros alemanes Von Sanden y Gunther, ecs. (7-6), (sus soluciones originales para las tensiones adolecían de un pequeño error en los signos procedentes de los momentos, que posteriormente fue corregido). En 1930, F. Viterbo, perfeccionó el planteamiento de las condiciones de borde aplicadas anteriormente en lo que respecta a la fuerza transmitida por la franja de plancha de forro anexa a las cuadernas, modificándose ligeramente el equilibrio de la fuerzas cortantes respecto a la reacción de las cuadernas, bajo presión hidrostática. En 1951, V. L. Salerno y J.G. Pulos, italo-americanos, presentaron la solución analítica de la ecuación no-lineal desarrollada teniendo en cuenta el efecto de la fuerza axial sobre los momentos y que se considera la solución definitiva para el régimen elástico. En la actualidad estas últimas ecuaciones y su solución se consideran básicas (y clásicas) en todos los cálculos relativos a los cilindros reforzados. Estas soluciones de tensiones y deformaciones contienen ya términos que no son lineales con la presión. Todas las ecuaciones presentadas posteriormente por diversos autores son ligeras modificaciones de las de Salerno-Pulos. Estas ecuaciones y soluciones nolineales, a efectos prácticos, son muy aproximadas a la realidad (pruebas con modelos) y las obtenidas utilizando la teoría lineal (soluciones similares a las de Von Sanden-Gunther) quedan con una aproximación, por defecto, del 90-96% aproximadamente, respecto a aquellas. Es decir que las soluciones lineales dan tensiones y deformaciones que son del orden del 90-96% de las verdaderas. Todas las soluciones se entienden válidas, cada una con su aproximación, para estructuras que están sometidas a pequeñas deformaciones, (deformaciones en radio inferiores a la mitad del espesor de forro) y con una relación radio / espesor superior a 20. En general estas condiciones se cumplen en el dimensionamiento de los cascos de los submarinos, por lo que su vigencia está asegurada. En todos los planteamientos que siguen se considera que las cuadernas se mantienen circulares durante todo el periodo de aplicación de las fuerzas exteriores (la presión). En la realidad puede ocurrir que, por efecto de las imperfecciones, estas tiendan a ovalizarse poco a poco, o de repente si existe inestabilidad. Otro posible modo de fallo sería la inestabilidad del forro entre cuadernas, que habría que vigilar o descartar con un 202 dimensionamiento adecuado del forro. Estos son inconvenientes suplementarios que deben estudiarse con cuidado, aunque las tensiones en el forro se ven poco afectadas por la ovalización general progresiva, siendo las cuadernas las que absorben la casi totalidad de los momentos transversales que se generan alrededor del anillo. El forro en contacto con la cuaderna, evidentemente, actúa como ala de estas en una anchura determinada, pero las tensiones originadas se consideran pequeñas por estar repartidas por un área relativamente grande, (y el modulo resistente referido al forro es mucho mayor) y actuar en una zona en que las tensiones circunferenciales son relativamente reducidas por ser una zona directamente soportada por las cuadernas, o sea con una reducida deformación o corrimiento radial. Las zonas mas cargadas del forro son, indefectiblemente: - centro de las claras, por su parte exterior (tensión transversal) la zona en contacto con la cuaderna, parte interior (tensión longitudinal) Se estima que de estas dos posiciones de máxima tensión, la correspondiente al centro de las claras es la mas sensible, por no estar apoyada en las cuadernas y la mas influyente a efectos de la destrucción del anillo, bien sea por inestabilidad o por plastificación. Solución de Von Sanden y Gunter La ecuación básica, de partida es la ec. (6-26a), lineal, relativa a placas cilíndricas cargadas con presión lateral, con ka = 1, es decir p = q (presión uniforme exterior), que se convierte en: D⋅ d4 w E ⋅ t ⋅ w ⎛ ν⎞ + = p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎝ 2⎠ r0 2 d4 x (7-1) La solución de esta ecuación es, (ec. 6-28), w = e βx ⋅ (C1 ⋅ cos(βx ) + C 2 ⋅ sen(βx )) ⋅ ⋅ ⋅ +e − βx ⋅ (C 3 ⋅ cos(βx ) + C 4 ⋅ sen(βx )) + (7-2) p ⋅ r0 2 ⎛ ν⎞ ⋅ ⎜1 − ⎟ E⋅t ⎝ 2⎠ Esta solución puede ser transformada, para su más fácil utilización en: w = A ⋅ senh(β x ) ⋅ sen(β x ) + B ⋅ cosh(βx ) ⋅ cos(βx ) ⋅ ⋅ ⋅ +C ⋅ senh(βx ) ⋅ cos(β x ) + D ⋅ cosh(βx ) ⋅ sen(βx ) + siendo β4 = 3 ⋅ (1 − ν 2 ) 2 r0 ⋅ t 2 => β=4 p ⋅ r0 2 ⎛ ν⎞ ⋅ ⎜1 − ⎟ E⋅t ⎝ 2⎠ 3 ⋅ (1 − ν 2 ) 2 r0 ⋅ t 2 = 1,285 2r 0 ⋅t (7-3) ····(para ⋅ ν = 0,3) y C1, C2, C3 y C4, constantes arbitrarias para ec. (7-2) A, B, C y D, constantes arbitrarías para ec. (7-3) Puesto que existen cuatro constantes a determinar, son necesarias cuatro condiciones de borde. Si se asume que las cuadernas son todas iguales, el cilindro es de espesor 203 constante y la influencia de los mamparos es nula, por estar muy distantes de la zona en consideración, todas las claras se deforman igual, las cuadernas se mantienen normales al forro y la deformada del foro simétrica respecto al plano de las cuadernas. Ver Fig. nº 39. Por consiguiente, las deflexiones entre cuaderna y cuaderna serán simétricas respecto al centro de las claras. Si se fija el origen de coordenadas en el centro de las claras, la función del corrimiento radial debe ser simétrica y a causa de ello C = D = 0, en la ec. (73), quedando solo dos constantes, A y B por determinar. Las condiciones de borde a aplicar son aquellas que reinan en el extremo de las claras, que son dos: 1ª condición.- La pendiente de la elástica del forro en la unión de este con la cuaderna debe ser cero. Es decir su tangente horizontal, por simetría. O sea, numéricamente: ∂w = 0.......para ⋅ x = L / 2 ∂x 204 2ª condición.- Cada cuaderna debe soportar las fuerzas cortantes que le transmite el forro a cada lado de ella, mas la fuerza de presión del tramo de forro directamente unido a la cuaderna (ancho anexo), de anchura b. La cuaderna responde cediendo (reduciendo su radio) en una cantidad que vale wc y ejerciendo una reacción, por unidad de longitud, que vale F1 = K · wc , siendo K el coeficiente de rigidez de la cuaderna, como ya vimos. El área efectiva de las cuadernas se compone del área propia de su sección mas un área asociada del forro que vale b. (La anchura b es la zona de plancha directamente unida a la cuaderna por la soldadura, y no tiene nada que ver con el ancho asociado a efectos de flexión, ver Apdo. 7-5-3). La expresión utilizada para el coeficiente o constante de las cuadernas es el dado por ec. (5-20b) que es, ⎛ A +b⋅t⎞ ⎟⎟ K = E ∗ ⎜⎜ f r 2 0 ⎠ ⎝ Igualando la reacción de la cuaderna a las fuerzas que ejerce el forro, por los dos costados de la cuaderna, resulta: 2 ⋅D ⋅ d3 w dx 3 + p⋅b = E ⋅ (A f + b ⋅ t) r0 2 ⋅ wc (7-4) por ser la fuerza cortante, a cada lado de la cuaderna, Q = −D ⋅ d3 w dx 3 .........siendo.....D = E⋅ t 3 12⋅(1− ν2 ) El coeficiente D es el equivalente, en placas, al factor E·I. de rigidez de barras y perfiles. Introduciendo la primera derivada de la ec. (7-3) en la primera condición y la tercera derivada en la segunda condición, se puede obtener el valor de las constantes arbitrarias A y B, que reintroducido en la solución, ec. (7-3) determina la forma de la elástica del forro existente entre cuaderna y cuaderna, para la cuaderna tipo. Las tensiones en cualquier punto del forro pueden ser obtenidas a partir de las expresiones ecs. (6-25), una vez conocida w = f(x), La tensión transversal total σθ puede ser expresada en función del momento longitudinal, Mx, de la forma siguiente: 205 σθ = − E ν ⋅ p ⋅ r0 6 ⋅ ν − ± ⋅ Mx r0 2⋅t t2 (7-5a) (signo + del grupo, cuando z es positivo= cara interior del forro) La tensión longitudinal σx se puede expresar de la misma forma, σx = − p ⋅ r0 6 ± ⋅ Mx 2 ⋅ t t2 (7-5b) Efectuando las correspondientes derivaciones y desarrollos, las tensiones que se obtienen son las mismas que las dadas a conocer por Von Sanden y Gunther,(Ref.nº 1), y son las siguientes, para las zonas mas cargadas: (σ θ )max =− (σ x )max =− p⋅r 0 t p⋅r t 0 ⎡ ⎛ Af ν ⎞ P(2α ) ⎤ − ⎟⎟ ∗ ⎢1 − 2 ⋅ ⎜⎜ ⎥ ⎢⎣ ⎝ A f + b ⋅ t 2 ⎠ 1 + B α ⎥⎦ ⎡1 3 ⎢ + ⎢⎣ 2 1− ν2 ⎛ Af ν ⎞ X (2α ) ⎤ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ ∗ 2 ⎥ ⎝ A f + b ⋅ t 2 ⎠ 1 + B α ⎥⎦ (7-6) (7-6b) Siendo: (σθ)max = tensión transversal de la cara exterior del forro, en centro de las claras, lugar donde son máximas, (eventualmente se podrían calcular las longitudinales). (σx)max = tensión longitudinal en la cara interior del forro, junto a las cuadernas, lugar donde son máximas. p = presión exterior r0 = radio medio del forro t = espesor de forro Af = área de la sección recta de las cuadernas b = ancho anexo de plancha 2·α = β ⋅ L = 1,285 r0 ⋅ t ⋅L ( L = clara entre cuadernas) ………. L⋅t 2⋅t ········= X 3 (2α )· ………… B α = X 3 (2α )· α ⋅ (A f + b ⋅ t) β ⋅ (A f + b ⋅ t) (7-8) (7-9) X2(2α), P(2α) y X3(2α) son las siguientes funciones, representadas gráficamente en la Fig. nº 58 en función de β·L=2·α. X 2 ( 2α ) = P(2α ) = senh( 2α ) − sen( 2α ) senh( 2α ) + sen( 2α ) 1,545·senh(α )·cos( α ) + 0,455 ⋅ cosh( α )sen(α ) senh(2α ) + sen( 2α ) X 3 ( 2α ) = cosh( 2α ) − cos( 2α ) senh( 2α ) + sen( 2α ) La flecha del forro (la reducción del radio en el centro de las claras) es: 206 (7-10) (7-11) (7-12) 2 ν p ⋅ r0 ⎡ Q(2α ) ⎤ ⋅ ⎢1 − 2 ⋅ f = ( w ) x = o = (1 − ) ⋅ ⎥ 1+ Bα ⎦ 2 E⋅t ⎣ (7-13) siendo, Q(2α ) = senh( α )·cos( α ) + cosh( α )sen(α ) senh(2α ) + sen( 2α ) (7-14) La función Q interviene en la mayoría de la formulación que afecta a anillos. Esta solución, de carácter lineal, ha sido utilizada ampliamente para el cálculo de la cuaderna tipo de los cascos resistentes de submarinos, de forma manual, durante la primera mitad del siglo XX. Mas tarde fue utilizada con programas numéricos que podrían contemplar una serie de cuadernas entre dos mamparos, con condiciones en los limites concatenadas, y ha sido superada en la actualidad con el advenimiento de los programas, muy completos, de elementos finitos, mucho mas potentes, que presentan los resultados de forma gráfica para todo un anillo, y para todo tipo de cargas. Se ha generalizado el uso de las ecuaciones y resultados no lineales. El aspecto de las funciones X2, X3 y P, en función de 2α =βL se presentan en la Fig. nº 58. Hay que observar que la ec. (7-4) contiene una pequeña inexactitud descubierta por Viterbo, que consiste en considerar p·b como la fuerza transmitida por la banda de forro unida directamente a la cuaderna, en vez de su valor correcto que es p·b (1- ν/2), a causa del efecto de Poisson ()ע, al existir compresión axial actuando sobre esta banda de forro. La constante K de las cuadernas se ha calculado en el Apdo.7.5 sin hacer intervenir ningún tipo de presión o fuerza actuando en el eje del cilindro (forro) al que está unida. Si se considera la fuerza de compresión longitudinal que está actuando sobre el trozo de forro anexo a ellas, la corrección a efectuar equivale a – p *b *· ע/2, que es lo mismo, a efectos de cálculo, que lo expuesto anteriormente. No obstante, al ser el ancho b normalmente muy pequeño, en cuadernas de simple T, su influencia sobre los resultados es casi despreciable. Asimismo se ha considerado que la excentricidad de la masa de las cuadernas respecto a la fibra neutra del forro es cero, cuando en la realidad aquellas se 207 encuentran por dentro o por fuera de aquel. Se puede aumentar la exactitud de las fórmulas sustituyendo el área real de las cuadernas, Af , por la expresión: A' = A f ⋅ r0 2 rg 2 (7-15) siendo rg el radio del centro de gravedad de las cuadernas. Esta deficiencia se puede también subsanar utilizando expresiones mas perfectas del coeficiente K de las cuadernas, como son las ec.(5-18) y ec.(5-19). Incluyendo el efecto de Viterbo en la segunda condición de borde se obtiene para las tensiones, con el coeficiente de Poisson, v=0,3: (σ θ )max =− p ⋅ r0 ⎡ ⎛ Af ν ⎞ P(2α ) ⎤ − (1 − ) ⎟⎟ ∗ ⎢1 − 2 ⋅ ⎜⎜ ⎥ t ⎣⎢ 2 ⎠ 1 + B α ⎦⎥ ⎝ Af + b⋅ t (σ x )max =− p ⋅ r0 t ⎡1 3 ⎢ + 1 − ν2 ⎣⎢ 2 ⎛ Af ν ⎞ X (2α ) ⎤ ⋅ ⎜⎜ (1 − ) ⎟⎟ ∗ 2 ⎥ 2 ⎠ 1 + B α ⎦⎥ ⎝ Af + b ⋅ t (7-6a) (7-7b) que son muy similares a las de Von Sanden-Gunther y solo varían en que se ha sustituido la expresión: ⎛ Af ⎛ Af ν⎞ ν ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ por la ⎜⎜ (1 − ) ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ Af + b ⋅ t 2 ⎠ ⎝ Af + b ⋅ t La flecha del forro en las zona de cuadernas, (reducción de su radio), que es la misma que la del borde del alma de las cuadernas en contacto con el forro, efecto Viterbo incluido es, Af ⎡ ⎤ 2 ⎢ ⋅ p r ( A f + b ⋅ t ) ⎥⎥ ν 0 ⋅ ⎢1 − fcuad = ( w ) x = L / 2 = w c = (1 − ) ⋅ (7-16) 2 E⋅t ⎢ 1+ Bα ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ La abscisa del punto longitudinal del forro en que el momento es cero se obtiene de la condición: tangh(βx)·tang(βx)= ─ M / N siendo (7-17) M = senh(βL/2)·cos(βL/2) ─ cosh(βL/2)·sen(βL/2) N= senh(βL/2)·cos(βL/2) + cosh(βL/2)·sen(βL/2) La carga que soporta la cuaderna se puede obtener multiplicando su deflexión según ec. (7-16) por la constante K de las cuadernas: F1 = K c ⋅ w c ≅ p ⎛ ν⎞ ⎛ Af ⎞ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜ A f + b ⋅ t − ⎟ t ⎝ 2⎠ ⎝ 1 + Bα ⎠ La carga circunferencial de la cuaderna, a cualquier radio, se puede calcular utilizando las ecs. (5-4) y (5-5) de Lamé, pero se puede obtener aquí un resultado aproximado asumiendo que la reducción en radio, en la platabanda, es similar a la reducción del radio en la plancha de forro, en la posición de la cuaderna (wc), ya que la compresión radial es relativamente pequeña. La tensión en la platabanda sería: 208 Af ⎤ ⎡ ⎢ w 1 ν p ⋅ r 0 ⎢ ( A f + b ⋅ t ) ⎥⎥ σ θp = E ∗ c = ∗ (1 − ) ⋅ ⋅ 1− ⎢ rf rf 2 t 1+ Bα ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 2 (7-18) En conclusión, conociendo los valores de la deformada a lo largo de la clara, se pueden calcular las tensiones en cualquier punto asi como loas tensiones, momentos, etc. La formulación que presentan todas las Sociedades de Clasificación, en lo que respecta a submarinos y recipientes a presión está basada en las fórmulas anteriores. Solución de Salerno-Pulos A mediados de siglo, V. L. Salerno y J.G. Pulos, Ref. nº 12, perfeccionaron la resolución de este problema dentro del campo elástico mediante teorías no lineales que ya tenían en cuenta el efecto de la fuerza axial en el incremento de las deformaciones y en los momentos del forro. En el centro de las claras se producen unas flechas producida por la presión lateral y como consecuencia la fuerza axial (a lo largo de los meridianos del cilindro) actúa excéntricamente con relación al semiespesor del forro, al ir este haciendo senos, entre cuaderna y cuaderna, creando unos momentos adicionales longitudinales que no se tenían en cuenta en las teorías lineales previas pues estas solo establecían el cálculo de tensiones en el estado no deformado. Es lo que se denomina, en inglés, el efecto “beam-column”. Esta no-linealidad está originada por el cambio de geometría de estructura, y no debe ser confundida con la derivada de la variación de las características del material cuando la tensión excede su límite de proporcionalidad. Como consecuencia, las deformaciones y, por consiguiente, las tensiones, no son ya proporcionales o lineales con la presión exterior aplicada. Si en la ec. (6-6) del Apdo. 7.12, que expresa el equilibrio de momentos en el sentido meridional se introduce el término: NΦ·RΦβ·Rθ·senΦ·dθΦd 209 se obtiene, a través de simplificaciones, la siguiente ecuación no lineal, de una placa: D⋅ d4 w dx 4 + p ⋅ r0 d2 w E ⋅ t ν⎞ ⎛ ⋅ + ⋅ w = p ⋅ ⎜1− ⎟ 2 2 2 2⎠ ⎝ dx r0 (7-19) E⋅ t 3 12⋅(1− ν 2 ) Como se puede observar, la expresión (7-19) es la misma que la utilizada anteriormente* ec. (7-1), excepto en que aparece el término nuevo, p ⋅ r0 d 2 w ⋅ 2 dx 2 que tiene como origen el efecto de la fuerza axial. Esta expresión no es lineal. El coeficiente D es, como siempre, la rigidez de la placa: D = La solución de la ec. (7-19) es mucho más compleja, y es la siguiente: 7-20) ν⎞ r 2 ⎛ w = eux ⋅ [A ⋅ cos( vx ) + B ⋅ sen( vx )] + e −ux ⋅ [C ⋅ cos( vx ) + D ⋅ sen( vx )] + p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0 2⎠ E⋅t ⎝ siendo A, B, C y D constantes reales. Esta expresión procede de la solución-tipo de esta clase de ecuaciones, que es: w = A 1 ⋅ e s1x + A 2 ⋅ e s2x + A 3 ⋅e s3 x + A 4 ⋅ e s4x + Cte siendo s1 = u + iv s2 = u ─ iv s3 = ─ s1 (7-21) s4 = ─ s 2 Esta solución, expresada en forma hiperbólica, (F1 = u, F 2 = v), es: w = A ⋅ cosh(F1x ) ⋅ cos(F2 x ) + B ⋅ senh(F1x ) ⋅ sen(F2 x ) 2 ⎛ ν⎞ r ... + C ⋅ cosh(F1x ) ⋅ sen(F2 x ) + D ⋅ senh(F1x ) ⋅ cos(F2 x ) + p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0 ⎝ 2⎠ E⋅t siendo A, B, C y D, constantes arbitrarias y F1 , F2 unos parámetros que valen: β4 = F1 = β ⋅ (1 − β 2 γ 2 ) γ2 = F2 = β ⋅ (1 + β 2 γ 2 ) 3 ⋅ (1 − ν 2 ) r0 2 ⋅ t 2 (7-22) (7-23) p ⋅ r0 3 2 ⋅E ⋅ t Las constantes A, B, C, y D se calculan con las condiciones de borde, como anteriormente. En este caso, no es posible conseguir una forma analítica sencilla para la solución de la ecuación y las tensiones no pueden expresarse por fórmulas comprimidas de fácil aplicación. Como ya se sabe, por las fórmulas de Von Sanden-Gunther, las tensiones máximas se producen en el centro de las claras y en las zonas contiguas a las cuadernas, que son las principales situaciones a comprobar. Estas soluciones son de tipo teórico y son bastante exactas, de bastante precisión, al menos, en el campo elástico del material, en que este se comporta siguiendo unas leyes muy concretas. La soldadura en ángulo de las cuadernas al forro, produce unas deformaciones adicionales, iniciales, tensiones internas, que es necesario evaluar para poder determinar 210 con toda precisión el campo real de tensiones, pero ya se tiene un útil preciso para la determinación general de las tensiones en una clara. Al ir soldadas, las cuadernas, bien por el interior, bien por el exterior, la soldadura, al enfriar, crea unas tensiones de contracción que afectan la foro entre cuadernas como ya hemos dicho, creándose una excentricidad inicial de las fuerzas longitudinales a la que se suma la creada por la presión lateral. Las flechas iniciales producidas pueden ser superiores a los 2 mm, alterándose sustancialmente la aplicación de la fuerza axial. Es necesario, para corregir en lo posible este efecto efectuar unas secuencias de soldadura muy lentas y la aportación de poco calor, o bien, su destensionamiento posterior, aunque esto podría alterar las características mecánicas del metal base. Para su cálculo teórico es necesario añadir a las deformaciones obtenidas por ec. (7-20) un estado de predeformación determinado, obtenido por medios empíricos, a partir de ensayos de taller. Por el carácter no lineal de las deformaciones, el método anterior de sumar algebraicamente la deformaciones iniciales a las calculadas es solo aproximado siendo necesario, para efectuar un cálculo conceptualmente mas perfecto, el planteamiento de ecuaciones que incluyan un estado de predeformación y pretensión sin fuerzas externas y añadir a continuación una presión externa. Las tensiones internas de soldadura se deben considerar como muelles actuando unidos por un lado a las cuadernas y por otro al forro contiguo. Las constantes de rigidez de estos muelles, muy altas se pueden estimar a partir de las deformaciones que se observen con motivo de la soldadura. El criterio de rotura que conviene aplicar es el Von Mises-Hencky para las zonas intermedias del forro pero en las zonas del forro cercanas a las cuadernas, en que las tensiones internas son muy grandes, es necesario aplicar criterios basados en la plastificación y fatiga si se quiere apurar el cálculo de espesores del forro. No obstante, el fenómeno de las tensiones internas procedentes de la soldadura es tan complejo que normalmente no se considera y se aplican criterios elásticos a las zonas afectadas. Según el criterio de Von Mises-Hencky, (*) para una relación de tensiones principales de 2/1, la tensión equivalente es un 85 % de la máxima, lo que significa que la tensión admisible puede ser hasta un 16 % mayor que la de fluencia en ensayo uniaxial, y por consiguiente, las presiones exteriores aplicadas. (*) Criterio de rotura de Von Mises-Hencky (biaxial): σ comb = σ x 2 − σx ⋅ σy + σ y 2 ≤ σ y Para la obtención de las constantes A, B, C, y D de la ec. (7-22). se recurre a los mismos argumentos aplicados en el apartado anterior, es decir las mismas condiciones en los bordes y las condiciones de simetría. Si se fija el origen de las abscisas en centro de las claras, la función del desplazamiento, w debe de ser simétrica. Por consiguiente, C = D = 0, resultando una solución del tipo: 2 ⎛ ν⎞ r w = A ⋅ cosh(F1x ) ⋅ cos(F2 x ) + B ⋅ senh(F1x ) ⋅ sen(F2 x ) + p ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 0 ⎝ 2⎠ E⋅t El momento y la fuerza cortante, en cualquier punto del forro, son ⎛ d2 w ⎞ ⎟ Mx = − ⋅ D ⋅ ⎜ ⎜ dx 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ d3 w ⎞ p ⋅ r0 ⎛ dw ⎞ ⎟− Qx = − ⋅ D ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ dx 3 ⎟ 2 ⎝ dx ⎠ ⎠ ⎝ Planteando, como anteriormente, las condiciones de borde, (extremo de clara) que son: 211 ⎛ dw ⎞ ⎜ ⎟=0 ⎝ dx ⎠ (tangente = horizontal = 0) ⎛ d3 w ⎞ ⎟ = K ⋅ w − p ⋅ ⎛⎜1 − ν ⎞⎟ ⋅ b 2 ⋅D ⋅⎜ ⎜ 3 ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ dx ⎠ (fuerzas cortantes) se pueden obtener los valores de las constantes A y B. Y de aquí obtener la función de desplazamiento, w = f(x). Se presentan dos ejemplos de la obtención de tensiones utilizando las ecuaciones lineales (von Sanden-Gunther) y las no lineales de Salerno-Pulos, para presión uniforme exterior. En estos ejemplos se ha supuesto una distancia entre mamparos de 25 m y 30 m, respectivamente, que son totalmente arbitrarias, pero suficientes para que no influyan en el cálculo de la cuaderna tipo, muy alejada de los extremos. Como se puede observar, en los Ejemplos nº 1 y 2, el efecto no lineal en las tensiones, debida al afecto “beam column”, es moderado, aunque no despreciable. Puede observarse que las tensiones longitudinales, junto a la cuaderna, por el método no lineal son un poco más altas que las lineales. En estos casos, del orden del 6-7 %. Sin embargo la carga en las cuadernas disminuye, aunque muy ligeramente. La tensión en la platabanda de las cuadernas, en un caso típico, es orden del 65% de la correspondiente al forro en los puntos más cargados y del orden del 85% de la existente en el tramo de forro pegados ellas, a medio espesor, (ello deriva de que siendo la deformación radial la misma, la plancha está sometida también a una fuerza de compresión axial, con lo cual se genera un corrección por Poisson, que vale σ·ν/2). La tensión en la platabanda es aún inferior en las cuadernas situadas por el exterior. En todos los ejemplos el módulo de Young es E = 2,05 daN/cm2 y el de Poisson, ν = 0,3, que son típicos de la mayoría de los aceros. Como ya se ha señalado, las tensiones obtenidas solo son aplicables a las cuadernas y forro no influenciadas por los mamparos, que en cilindros largos representa el 80% de su eslora. Para el resto las tensiones serán menores, excepto para el forro que conforme se va acercando la mamparo tiene que tomar unas deformaciones radiales cada vez mas pequeñas hasta llegar a tener, justo en le mamparo, el radio original del anillo, sin carga. En el primer ejemplo las tensiones son adecuadas pata una acero de 6900 bar de limite de fluencia. En el segundo, para 660 m de cota, presión uniforme, la tensión máxima (uniaxial, no lineal) es de 6906 bar y la combinada de 6441 bar, que son un poco ajustadas (altas), para un acero HY100 de unos 6900 bar de tensión de fluencia, teniendo en cuenta que hay que tener un margen para la tensiones inducidas por la carga hidrostática triangular correspondiente a su diámetro, que va sumada a la uniforme. El resultado está pidiendo aumentar el espesor de forro en unos 2 mm, para mas seguridad. Ejemplos NOMBRE DEL BUQUE EJEMPLO 1 TIPO DE MATERIAL (1,2,3,4,5). = 2 INMERSION DE CALCULO IO = 650 METROS DIAMETRO EXTERIOR DEL ANILLO, MM.... 212 DE = 6400 ESPESOR DE FORRO MM.................. T = 30 CLARA DE LAS CUADERNAS MM............ CLA= 580 ALTURA DE LAS CUADERNAS MM........... HCU= 250 ESPESOR DEL ALMA DE CUADERNAS MM....TW = 14 ANCHURA DE PLATABANDA DE CUAD. MM....DF = 140 ESPESOR DE PLATABANDA MM............ TF = 35 POSICION DE LAS CUADERNAS (INT,EXT)... = INT DISTANCIA ENTRE MAMPAROS MM........ LMM= 30000 COEF. ESTABILIDAD DE CUADERNA.....COFCU = 0.51 RELACION ALT/ESP ALMA = 15.35714 (MAX.= 16.85402 ) RELACION ANCH/ESP ALA = 4 (MAX.= 9.630868 ) TENSIONES EN BARES A LA INMERSION DE CALCULO = 650 LINEAL NO-LINEAL TENSION TRANSV. CENTRO.(EXT).= 5862 5839 TENSION LONGIT. CENTRO.(EXT). = 4794 5150 TENSION COMBIN. CENTRO.(EXT)========= 5527 TENSION TRANSV. EXTREM.(INT).= 5782 5704 TENSION LONGIT. EXTREM.(INT). = 6235 6699 TENSION COMBIN. EXTREM.(INT)========= 6261 TENSION EN PLATABANDA ...... .= 4241 4005 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx NOMBRE DEL BUQUE EJEMPLO 2 TIPO DE MATERIAL (1,2,3,4,5). = 2 INMERSION DE CALCULO IO = 660 METROS DIAMETRO EXTERIOR DEL ANILLO, MM.... DE = 7800 ESPESOR DE FORRO MM.................. T = 36 CLARA DE LAS CUADERNAS MM............ CLA= 690 ALTURA DE LAS CUADERNAS MM........... HCU= 320 ESPESOR DEL ALMA DE CUADERNAS MM....TW = 16 ANCHURA DE PLATABANDA DE CUAD. MM....DF = 170 ESPESOR DE PLATABANDA MM............ TF = 42 POSICION DE LAS CUADERNAS (INT,EXT)... = INT DISTANCIA ENTRE MAMPAROS MM........ LMM= 30000 COEF. ESTABILIDAD DE CUADERNA.....COFCU = 0.48 RELACION ALT/ESP ALMA = 17.375 (MAX.= 16.85402 ) RELACION ANCH/ESP ALA = 4.047619 (MAX.= 9.630868 ) TENSIONES EN BARES A LA INMERSION DE CALCULO = 660 LINEAL TENSION TRANSV. CENTRO.(EXT).= 5997 213 NO-LINEAL 5970 TENSION LONGIT. CENTRO.(EXT). = 4938 5317 TENSION COMBIN. CENTRO.(EXT)========= 5672 TENSION TRANSV. EXTREM.(INT).= 5930 5844 TENSION LONGIT. EXTREM.(INT). = 6409 6906 TENSION COMBIN. EXTREM.(INT)========= 6441 TENSION EN PLATABANDA ....... = 4364 4108 Otras soluciones La resolución de la ecuación completa, ec.(7-19), puede efectuarse por numerosos métodos aproximados, entre los cuales se encuentran los siguientes: - Método de las series de Fourier: Expresando w por una serie de Fourier, por ser w simétrica respecto al centro de las claras, el desarrollo es mediante cosenos, que son funciones pares. Los coeficientes de esta serie se calculan por medio de su transformada. La serie es rápidamente convergente. Se puede introducir en la expresión de w una deformación simétrica (de revolución) inicial que puede corresponder a la deformación debida a la soldadura de las cuadernas. - Método asintótico. La ecuación diferencial puede ser resuelta expresando la deformación w como una serie función de la presión, en forma de serie de potencias: w = a1·p + a2·p + a3·p ….. El primer término de la serie, a1p corresponde a la solución lineal de Von Sanden y Gunther. Sustituyendo esta solución en la ec. (7-l9), se obtiene una serie de ecuaciones en a1, a2 a3, etc. que permite determinarlas. El número de términos de este desarrollo no es necesario que sea muy grande ya que con solo el primero la aproximación es ya aceptable. Si se emplean dos términos la solución que se obtiene es no-lineal, equivalente a la de Salerno-Pulos. En general, hasta ahora se han considerado cascos con las cuadernas regularmente espaciadas, de sección constante, y espesores uniformes, por lo cual solo es necesario establecer dos condiciones de borde para cada clara y al ser todas iguales, el problema general queda resuelto. Cuando la distancia entre mamparos es relativamente pequeña, cuando los espesores son variables o cuando las cuadernas no son iguales o están irregularmente separadas, ya no es correcto establecer las hipótesis anteriores siendo necesario establecer cuatro condiciones de borde por clara lo que conduce a un sistema de ecuaciones que debe ser resuelto para la obtención de la solución general. Si se expresan las condiciones de borde en función de las deformaciones y giros del forro en las cuadernas (en n cuadernas), se obtiene un sistema de (2 x n) ecuaciones cuyos términos son obtenidos planteando el equilibrio de momentos flectores y fuerzas cortantes (radiales) en las cuadernas. A partir de las deformaciones y los giros en las cuadernas se pueden determinar las deformadas de todas las claras y una vez conocido estas se pueden hallar las tensiones en los puntos que interesen. Este método es muy útil porque permite determinar las tensiones en anillos irregulares. Puesto que las cuadernas también giran es necesario tener en cuenta al establecer el equilibrio de momentos, el momento de reacción de estas, que suele ser relativamente bajo por ser las cuadernas perfiles abiertos. 214 Si, las cuadernas llevan un ala ancha unida rígidamente al forro, esta zona del forro toma escasas deflexiones radiales o curvaturas, pero puede girar respecto a su directriz, permaneciendo con sus generatrices rectas, con lo cual la figura que toma será cilíndrica, en las cuadernas centrales, o cónica. Si hay un giro, entonces las deformaciones w a cada lado de ella no son iguales, debiéndose efectuar una corrección que es igual al ancho anexo a la cuaderna por el giro de esta. 7.18.3.- Conclusiones interesantes de la solución de tensiones Como se puede observar, en las expresiones de las tensiones, en las ecs. (7-6b) y ecs. (7-7b) del Apdo. 17-17, tanto la tensión axial como la transversal están compuestas por unos términos que son función de la presión, de la deformación y de la segunda derivada de esta. En la tensión axial la deformación no interviene y la tensión se mantiene constante, pero si ocurre a la inversa, la tensión axial puede hacer que las tensiones se modifiquen, por el efecto de la compresión longitudinal sobre el forro, con flecha a mitad de la clara. En general, las expresiones de la tensión constan de unos términos que son representativos de un cilindro sin refuerzos, es decir las tensiones básicas de membrana: σx = − p ⋅ r0 2⋅t σy = − p ⋅ r0 t modificadas por factores complementarios que tienen en cuenta el efecto de las cuadernas. En las tensiones transversales, o circunferenciales, el efecto de la inclusión de las cuadernas es generalmente beneficioso al proporcionar términos que hacen disminuir estas, (impiden que el forro se contraiga mucho radialmente, en sus cercanías) mientras que en las tensiones axiales (longitudinales) el efecto es negativo, a causa de los momentos longitudinales que provocan, si se tiene en cuenta la flecha diferencial que toma el forro en medio de las claras (estudio no-lineal) respecto a puntos situados en las cercanías o justo encima de las cuadernas y que se agrava por el efecto denominado “beam-column”. Es decir, la fuerza axial colabora en aumentar estos momentos, que en la teoría lineal no se incluye, al considerar que la deformación no influye en el efecto de las cargas. El efecto “beam column” se representa gráficamente en la Figura siguiente: 215 Observando la figura se puede deducir que la fuerzas de compresión, F, que inicialmente empujaban sobre la fibra situada a medio espesor de la pancha, y por consiguiente esta no estaba expuesta a momentos producidos por la fuerza axial (asunción de la teoría lineal: no se consideran las deformaciones producidas por la carga en el reparto final de tensiones). Si, por el contrario, se considera que esta toma una flecha (d) debido a la presión lateral exterior, (hipótesis mas realista), la fuerzas F ya no empujan del mismo modo que antes, ahora lo hacen de forma excéntrica respecto al punto medio del espesor en la zona central de las claras, por lo que tienden a plegar (flexionar) la plancha, en el sentido de incrementar aún mas la flecha que ya tiene. O sea, agravan la deformación, los momentos, en el sentido longitudinal de las tiras longitudinales de plancha entre cuaderna y cuaderna. Por este motivo, en las soluciones no-lineales, las tensiones longitudinales resultantes son un poco mayores que las obtenidas mediante las ecuaciones lineales. Según L. B. Wilson, Ref. nº 13, el efecto de la no-linealidad debido a la fuerza axial puede ser despreciado. Expone, además, que los resultados teóricos obtenidos utilizando teorías puramente plásticas dan como presiones de ruina valores que solo exceden el valor de la presión (lineal) de plastificación inicial, ec. (7-25) en un % muy moderado. Pero los resultados que tenemos, por otros conductos, son más negativos y la tensión longitudinal puede ascender un 5-10% a causa del efecto “beam column”, sobre todo en claras grandes. Si en vez de aplicar la teoría lineal para la determinación de la deformación w0, se aplica la exacta, es decir la ec. (7-19), no lineal, el % de diferencia puede oscilar entre un 5 y un 10 %, lo que puede ser substancial, según el caso. Por consiguiente, la introducción de cuadernas, que se efectúa para reforzar el cilindro frente a la inestabilidad del forro y el pandeo general, puede producir efectos desfavorables en cuanto a las tensiones se refiere, al ser aquellas elementos que producen una discontinuidad importante de la rigidez en el sentido longitudinal. No obstante, como las tensiones longitudinales valen la mitad que las transversales, aquellas disponen de un margen de crecimiento (a causa de los momentos) hasta llegar a igualarse a las segundas. En cualquier caso, la mejora o reducción en las tensiones nunca compensa el exceso de peso que se introduce con la instalación de las cuadernas, aparte de la complejidad constructiva que esto ocasiona, pero estas son imprescindibles para atajar los fenómenos de inestabilidad estructural, como ya se ha mencionado. 216 En general, las conclusiones mas interesantes que se desprenden del análisis de las diversas soluciones de tensiones que existen, dentro del campo elástico, son las siguientes: 1) No interesan cuadernas demasiado rígidas o fuertes pues la tensión longitudinal puede aumentar más de lo indispensable. El escantillón de las cuadernas deberá estar ajustado al los requerimientos del pandeo general ya que evitar este es su objetivo fundamental. En el caso de cuadernas que sean tan rígidas que equivalgan a mamparos, la tensión longitudinal puede llegar a ser el doble de la básica (cilindro sin refuerzos). Efectuado el cálculo para una zona contigua a un mamparo, el forro tiene mayores tensiones longitudinales que las típicas, y se pueden incrementar mucho al ser la rigidez de aquellos muy grande, en sentido radial. Se suele reforzar el forro en las proximidades de estos, (fajas), lo mas práctico, o bien situar las cuadernas contiguas mas juntas o de mayor sección. Por ser zonas muy reducidas o solo tiras circulares en forma de bandas junto a los mamparos, de una anchura inferior a dos claras de cuadernas, sus efectos sobre la inestabilidad general son escasos. Ello ha podido ser comprobado en los ensayos. En lo que se refiere al pandeo entre cuadernas, sin embargo, este ocurre preferentemente en las claras adyacentes a los mamparos, precisamente por ser zonas con tensiones medias altas. Algo similar ocurre en los ensayos de plastificación. O sea, la rigidez de las cuadernas deberá determinarse atendiendo a las necesidades de estabilidad, pero su sobre-dimensionamiento puede ser perjudicial a efectos de tensiones y evidentemente, a efectos de pesos. 2) De un modo general, al aumentar la clara no se puede decir que aumente la tensión longitudinal, sino que esta oscila alrededor de un valor constante. Esto se entiende porque llega un momento en que el forro, en el centro de las claras, toma la deflexión (constante) de un tubo simple y la influencia de las cuadernas se limita a unas tiras circunferenciales de forro en la proximidad de estas. 3) La tensión transversal puede hacerse superior a la tensión base (de membrana) para valores de α cercanos a 4, oscilando alrededor de p·r / t a partir de ese valor. 4) Aunque la solución lineal de tensiones de la ec.(7-6b), ec.(7-7b) o las no lineales (geométricas) se limitan al campo elástico, es aceptado que, en aceros de baja aleación o materiales que presenten un punto de fluencia acusado, el colapso por tensiones se produce a una presión ligeramente superior a la que se obtiene para la superación del límite elástico o la primera fluencia, respectivamente, usando estas formulas. La primera fluencia es aquella en que solo algunas fibras superficiales del anillo entran en plastificación por exceso de tensiones, lo cual no impide que el resto tenga niveles mucho menores y evite el colapso inmediato. Debido a la existencia de una fase inelástica seguida de una zona de fluencia, el campo de resistencia del cilindro reforzado se prolonga muy poco (del 0 al 10 %) sobre el fin de la zona inelástica, dependiendo de las características particulares del acero empleado, de la disposición del forro y de las cuadernas. En materiales que no presenten un límite elástico o de fluencia acusados será necesario efectuar este cálculo por etapas o por aproximaciones sucesivas hasta alcanzar el límite admisible de carga del material (límite de fluencia ficticio) variando en cada paso el valor del módulo E y del módulo de Poisson. Debe señalarse que las tensiones máximas se encuentran inicialmente localizadas en zonas muy reducidas y superficiales del forro, por lo que es necesario que estas zonas se expandan para que se pueda producir el mecanismo que conduzca a la ruina o colapso de la estructura. Esta presión se puede determinar mediante la teoría lineal en régimen elástico que, aunque conceptualmente no seria la adecuada, permite una rápida obtención de unos resultados bastante aproximados. Así, se tiene que, la flecha en el centro de las claras, incluyendo el efecto Viterbo es, 217 (w)x =0 = p * r0 2 ⎛ Af ν⎞ ⎡ Q( 2α ) ⎤ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎢1 − 2 ∗· ⎥ E⋅t ⎝ 2⎠ ⎣ A f + b ⋅ t 1+ Bα ⎦ (7-24) La tensión en este punto para z = 0, (fibra neutra del forro), ec, (6-25), en sentido transversal, centro de la clara, que es el de máxima deflexión, es: σθ = − E ∗ w ν ⋅ p ⋅ r0 − r0 2⋅t (7-25) Introduciendo la ec. (7-24) en la ec. (7-25) se obtiene para la presión exterior que causa fluencia (en sentido transversal, centro de clara): p yc = σ y ⋅ t / ro (7-26) 1− γ ⋅ G siendo, γ= A f ⋅ (1 − ν / 2) A f +b ⋅ t + 2 ⋅ X 3 (2α ) ⋅ t / β G=2·Q(2α) β= 1,285 r0 ⋅ t La presión de plastificación en el centro de las claras de la ec. (7-26) puede ser una presión inalcanzable en un caso real, si hay otros puntos mas cargados en la clara (p.e. los puntos de contacto entre forro y cuaderna o de extremo de clara) que hagan que el cilindro entre ya en fluencia a una presión menor. No obstante es muy útil, a nivel teórico, y muestra el potencial resistente del forro entre cuadernas con vistas al cálculo de la inestabilidad entre cuadernas ya que es un índice de su estado de carga transversal medio. Ver Apdo. 17.19. A la presión que se obtiene cuando se alcanza la tensión de fluencia en las zonas contiguas a los extremos de clara, normalmente las mas cargadas, se le denomina “presión de primera fluencia”, mientras que la que produce la plastificación del centro de las claras, un poco mayor, se le denomina “de segunda fluencia”. Si la primera no consigue hacer colapsar el cilindro, por su carácter muy localizado, cuando se llega a esta segunda presión, el colapso ocurre sin remedio. Por consiguiente la presión real de colapso esta acotada entre estos dos valores, que suelen variar en no más de un 15 %, pero se suele considerar que es la correspondiente a la de primera fluencia, en plan conservador. Con el fin de poder comparar diferentes geometrías, se ha definido un parámetro, denominado factor de presión y que se expresa por: ψ= pc σ y ⋅ t / r0 Este factor es el cociente de dividir la presión de colapso real (pc) (o la calculada, supuesta esta muy próxima a la anterior) de la estructura, por la presión que produce la plastificación transversal en un cilindro sin refuerzos, (p = σy· t / r). Esta presión es la que produciría fluencia en un cilindro sin refuerzos bajo la hipótesis de Rankine, basada en la tensión en la dirección transversal solamente, uniaxial, (formula de anillos), sin que intervenga Poisson, ni Von Mises (criterio de tensión combinada). Se ha ido mejorando este factor con el paso de los años debido a una mejor distribución del material, posiblemente a causa de un mejor conocimiento de la distribución de tensiones en la claras, y una reducción paulatina de la clara entre cuadernas. Puesto que en este factor no interviene el área de la sección transversal de las cuadernas ni su 218 separación relativa, E. Wenk, del DTMB propuso la modificación de dicho factor en la que se tomase como espesor de forro el valor de este mas la parte proporcional de las cuadernas, (obteniéndose un espesor ficticio de forro, t’ ). Ello equivalía a considerar un espesor medio uniforme de forro, incluyendo el área de las cuadernas. En la expresión de ψ habría que sustituir t/r por t’/r, y el denominador de este factor modificado seria la presión a la que se produce fluencia en sentido transversal para un cilindro simple de espesor t’. Este último factor se considera más adecuado e indicativo del papel de las cuadernas. No obstante como no intervienen las presiones de inestabilidad y, a mayor cota es necesaria una mayor área de la sección recta de cuadernas, (para tener mayor estabilidad y que contribuye poco a la reducción de tensiones en el forro), este factor de presión disminuye. Así, a partir de una época, no se han conseguido mejoras apreciables ya que, al ir aumentando la cota de colapso paulatinamente, ha obligado a un aumento del escantillón relativo de las cuadernas respecto al forro, con una separación mas pequeña, al utilizarse cada vez aceros de mayor limite elástico. Quizá con mejores proyectos o un dimensionamiento mas efectivo se puedan mejorar los factores de presión pero se estima que, mientras se siga construyendo con cuadernas, el límite máximo teórico del factor (= 1,16) obtenido por el criterio de rotura de Von Mises-Hencky, para un cilindro simple, será dudosamente alcanzable, por razones obvias: el área de las cuadernas colabora poco o nada en la resistencia del forro a la presión y este no puede soportar mayores presiones o tensiones que el limite de fluencia del material, en el caso de que la geometría fuese la ideal. Poco se puede hacer ahora para mejorar estos factores. Un grafico muy relevante y que ha servido de base para numerosos estudios es el presentado por D. F. Windenburg y C. Trilling, en que se muestra la relación entre el parámetro de esbeltez, λ y la factor de presión, ψ. El parámetro de esbeltez o simplemente esbeltez, viene dado por la expresión: Esbeltez según Windenburg -Trilling λ= 4 (L /(2 ⋅ r0 ))2 ( t /(2 ⋅ r0 ))3 ∗ σy E (7-27) Como puede observarse, al aumentar L, r0 o σy se incrementa la esbeltez. En dicho gráfico, Fig. nº 61, se puede observar la relación existente entre la esbeltez y el factor de presión para valores de aquella comprendidos entro 0,4 y 2,0. La curva marcada por el trazo continuo es la representación de la función: ψ= 1,30 λ2 (7-28) que es la simplificación de Windenburg de las fórmulas de inestabilidad del forro entre cuadernas. Lo más llamativo, a efectos del colapso por tensiones, es que, para esbelteces λ inferiores a 0,8, el colapso es generalmente por plastificación y se produce con factores de presión superiores a 1. Como consecuencia, es deseable que el dimensionamiento de la cuaderna-tipo conduzca a factores λ moderados o pequeños (preferentemente 0,7) ya que así se consiguen altas presiones de colapso altas, en el modo inelástico. Como puede observarse en la Fig. nº 61, para valores de la esbeltez mayores a λ = 1, el factor de presión van disminuyendo debido a la existencia de inestabilidad elástica cada vez mas acusada, entre cuaderna y cuaderna, que obliga a reducir la presión de servicio. Para valores de la esbeltez inferiores a 1 la función ec. (7-28), de inestabilidad entre cuadernas en régimen elástico, es optimista debiéndose tomar la que se marca con el trazo rojo en la figura, que es una curva media aproximada del régimen inelástico. 219 Un fenómeno similar ocurre con las barras rectas sometidas a compresión que, cuando son cortas, pandean en régimen inelástico, y ya no son aplicables las fórmulas de Euler, que contemplan solamente el régimen elástico. La conclusión más importante que se desprende de las figuras anteriores es que para conseguir un factor de presión alto, del orden de 1,05 a 1,10, o sea, obtener un colapso en el modo inelástico o plástico, y aprovechar el material al máximo, es necesario trabajar con esbelteces pequeñas, del orden de λ = 0,7 a 0,8. Esto obliga a tener las cuadernas bastante juntas lo cual, desde el punto de vista constructivo, es negativo. Con el fin de reducir le número de cuadernas se tiende a tener claras mas grandes de las recomendadas por las Figuras anteriores, que son las ideales para conseguir el colapso en el modo francamente plástico y se suele ir a esbelteces λ un poco mas altas, del orden de 0,9 a 1,05, que ya no son tan estables y esto exige que las construcciones tengan unas tolerancias bastante ajustadas en los espesores de plancha, ya que las variaciones del espesor influyen bastante, y en el alisado de las mismas. Todo por ahorrar en el número de cuadernas a construir. Las consideraciones anteriores nos permiten efectuar el dimensionamiento aproximado de la cuaderna tipo del casco. Si se requiere una presión de colapso pc, con un radio dado del anillo y un límite de fluencia σy del material, si queremos que el factor de presión sea del orden de 1, o mayor, podemos obtener el espesor del forro a través de la siguiente expresión (suponiendo un factor inicial-objetivo de 1,1): t= 1 p c ⋅ r0 1 p c ⋅ r0 ∗ ≡ ∗ ψ σy σy 1,10 Una vez conocido el espesor t, la clara necesaria se obtiene de la expresión de la esbeltez, de forma que esta sea igual a 0,8 o 0.9 como máximo. Con ello se garantiza que el colapso es por plastificación y además el factor de presión es alto. Bastan unas cuantas iteraciones para ajustar la relación ψ - λ, para así obtener una idea general del espesor necesario y la separación de cuadernas. El área de las cuadernas aún no está definida 220 pero esto se hará atendiendo a criterios de inestabilidad general. Evidentemente, una vez hecho esto habrá que comprobar por separado, con la solución especifica de tensiones, que las tensiones que se obtienen son admisibles, así como verificar la inestabilidad entre cuadernas por otros métodos más precisos, y que se exponen mas adelante. En la mayoría de los casos, este procedimiento conduce a resultados muy rápidos y bastante próximos a los definitivos. Cuando se entra en el campo de la inelasticidad o de la plastificación, el cálculo se complica enormemente. Paul & Hodge, Ref. nº 15, ha elaborado una teoría sobre la plastificación que, aplicada a cilindros simples sometidos a carga hidrostática uniforme, radial y axial, ha dado unos resultados bastante aproximados. Esta teoría es aplicada al forro comprendido entre dos cuadernas rígidas y permite determinar la carga máxima que puede soportar, incluyendo la plastificación y el efecto “beam column”. Los parámetros empleados son: p = presión uniforme exterior p * r0 σy ⋅ t ψ = factor de presión → ψ= ω = parámetro de clara → ω2 = β = parámetro de clara → β 2 = 3 ⋅ ψ ⋅ σy 2 ⋅E L2 2 ∗ r0 ⋅ t 2 2 3 ⋅ ψ ⋅ σy ⎛ r ⎞ ⎛L⎞ 4 (1 − ν 2 ) ∗ ⎜ ⎟ (1 − ν 2 ) ∗ ⎜ ⎟ ∗ω = 2⋅E ⎝ 2 ⋅L ⎠ ⎝t⎠ Resumiendo, resulta que el factor de presión de colapso, (ψEP), en régimen elasto-plástico es: β 2 ·cos β ψ EP = 1 + 4 ⋅ ω 2 ⋅ (1 − cos β) + β 2 ⋅ cos β Esta ecuación es del tipo implícito ya que β depende de ψ, que es función de p, por lo que se debe calcular por iteración o por el método de prueba y error. Así, para una clara típica de las siguientes dimensiones: r0= radio medio del forro = (7300 -35) /2 = 3632,5 mm t = espesor de forro = 35 mm L = clara = 660 mm σy = 6900 bar E = 2,05 · 106 Ψ =1,08 asumido ω2 = 1,7131 β2 = 1,7644 → β = 1,328 → cos β = 0,2401155 pEP = 1+ 0,0753 = 1,0753 Este resultado se puede dar por bueno ya que se aproxima por arriba al valor asumido de ψ y garantiza que el Ψ =1,08 asumido se va a satisfacer. Luego, la presión elasto-plástica de colapso sería: pcrEP = ψ · σy · t / r0 = 71,5 bar Este resultado se refiere exclusivamente al comportamiento elasto-plástico del forro (supuestas las cuadernas rígidas) y el autor sugiere aplicar un coeficiente reductor de 221 0,95, por lo cual la presión de fluencia sería de unos 68 bar, (que es lo mismo que considerar un factor de presión efectivo de 0,95 · 1,0753 = 1,021 ~ 1,0). Si calculamos la esbeltez λ de Windenburg, se obtendría el valor 0,9562 y en Fig. nº 61 se tendría un factor de presión, en régimen inelástico, del orden de 1-01 a 1,03, lo que coincide prácticamente con el resultado anterior. Basados en los estudios anteriores, Paul & Hodge e insertando la parte correspondiente a al campo elástico han obtenido el siguiente gráfico, la Fig. nº 62, para un forro de espesor t, simplemente apoyado entre dos cuadernas rígidas separadas una distancia L, incluyendo el efecto “beam-column”, en función de los siguientes parámetros: Factor α ⎛r α = 2 ⋅ (1 − ν ) ⋅ ⎜⎜ 0 ⎝L 2 => Parámetro de clara ω2 Factor de presión ψ => => ω2 = ψ= 2 σ ⎞ y ⎟⎟ ∗ E ⎠ (7-29) L2 2 ⋅ r0 ⋅ t (7-30) p colapso t σy ⋅ r (7-31) El factor α es una esbeltez que equivale a la definida por Windenburg, λ al cuadrado, dividida por ω3. 2 λ2 = ⋅ α ⋅ ω3 2 1− ν El factor de presión es el mismo y el parámetro de clara equivale al valor clásico de (βL)2, utilizado en la solución de la ecuación de placas cilíndricas simples, dividido por una constante. Los valores mas corrientes del parámetro ω2 están en el entorno de 2. A partir de la línea a color azul de la figura, que separa la zona de inestabilidad elástica de la zona de fallo por plastificación, estas curvas de ω2 = Cte, toman otra configuración apartándose de la hipérbola que representa la función de la ec. (7-28). Así, para ω2 = 2, el cambio de régimen se produce con un factor de presión de 0,91 aproximadamente, que corresponde a un α = 0,3 y a una esbeltez λ = 1,36. A partir de este punto de separación, el gráfico de la función pE= f (α) y para ω2= 2,0 es una recta. Se puede comprobar que, para valores de α cercanos a 0,1 que es un valor corriente, se obtienen valores del factor de presión que oscilan entre 1,08 y 1,2 y que corroboran los resultados experimentales. Si se llevan, sobre la Fig. nº 62, los valores de la función ψ, ec. (7-28), de Windenburg se obtienen curvas que son paralelas a las de Hodge. Se han representado en la figura las curvas de la función ψ de Windeburg para ω2 = 2 y ω2 = 2,4. Hay que señalar que la Fig. nº 62 no corresponde exactamente con las condiciones reales del conjunto forro-cuadernas, pero son un índice claro de lo que sucede, estimándose que los resultados reales difieren poco de los previstos por dicha figura, de carácter totalmente teórico. Se puede comprobar que lo apuntado anteriormente de que por debajo de λ =1,0 empiezan a disminuir las probabilidades de que el colapso sea por inestabilidad o pandeo (entre cuadernas), y que lo sea por plastificación en régimen inelástico, también se verifica en la Fig. nº 62, elaborada con otros principios. 222 A titulo de ejemplo, veamos qué espesor de forro y clara de cuadernas se obtienen para los siguientes datos, utilizando la esbeltez λ, de Windenburg: pc= 650 m ≈ 65 bar (presión de colapso objetivo) r0 = 3 m. = 3000 mm σy = 65 hbar = 6500 bar, (≈ HY100) E=2,05 ·106 bar 1 p ⋅r 1 p c ⋅ r0 t= ∗ c 0 ≡ ∗ = 27,3 mm ≈ 28 mm 1,10 ψ σy σy Para una esbeltez de λ= 0,9 y t = 28 mm, 4 λ = 0,6561 = (L /(2 ⋅ r0 ))2 ⎛⎜ σ y ⎞⎟ ⎟ ⎜ ( t /(2 ⋅ r0 )) ⎝ E ⎠ 3 λ = 0,9 = 4 (L /(2 ⋅ r0 ))2 ( t /( 2 ⋅ r0 )) 3 ∗ σy E 2 => (L/2 r0)2 = 6,632/1000 => clara L= 489 mm Para una esbeltez de λ= 0,95 => Para una esbeltez de λ= 1,0 => L= 544 mm L= 603 mm Si fijamos la clara en 550 mm, (con λ ~ 0,95) vamos a ver que ocurre entrando en la Fig. nº 62. 223 ⎛r α = 2 ⋅ (1 − ν ) ⋅ ⎜⎜ 0 ⎝L 2 2 σ ⎞ y = 0,172 ⎟⎟ ∗ E ⎠ => ω2 = L2 =1,8 2 ⋅ r0 ⋅ t Entrando en las curvas de la Fig. nº 62 con α = 0,172 y se sigue la curva ω2 =1,8 (interpolando entre ω2 = 1, 75 y 2), se obtiene un factor de presión de ψ = 1,07, inferior al tomado inicialmente como objetivo, (ψ = 1,1), por lo cual habría que ir a una clara un poco menor, o conformarse con este factor, que es bastante bueno. La presión de colapso será ahora, teóricamente, de 635 m. Esta claro que con este λ = 0,95, se produce colapso por plastificación y no por inestabilidad elástica. Incluso podríamos haber seleccionado una clara mas alta, si nos hubiese interesado que fuese mas grande. Si, con el mismo espesor de t = 28 mm, optamos por una clara de 603 mm (la obtenida para λ =1), los números serían los siguientes: ω2 = 2,16 α = 0,1428 Entrando en la figura anterior con estos últimos valores de α y ω2, se obtiene un factor de presión de 1,03, aproximadamente, que también podría ser aceptable, desde el punto de vista de la inestabilidad entre cuadernas, aunque mas ajustado. La presión de colapso ha bajado a 608 m pero también lo hace el peso de la estructura. 224 En la Fig. nº 61 también se obtendría un factor de presión semejante, para λ =1,03, aunque con una cierta imprecisión, por la dispersión natural de estos puntos. 225