Grupos y Anillos. Grado en Matemáticas. 2011

Grupos y Anillos. Grado en Matemáticas. 2011-12. Hoja de problemas 1.
1. Decir cuáles de los siguientes conjuntos son anillos con las operaciones que se describen:
a) El conjunto Z de los números enteros con las siguientes operaciones:
a ⊕ b = a + b + 1,
a ⊗ b = ab + a + b.
b) El conjunto RR de las funciones reales de variable real con las operaciones:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
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y
(f g)(x) = f (x)g(x)
(∀x ∈ R).
c) El conjunto RR anterior con la misma suma y el producto dado por la composición
de funciones. ¿Y si limitamos el conjunto a las funciones f ∈ RR que satisfacen
f (x + y) = f (x) + f (y)?
Indicar si son ciertas, en general, las siguientes relaciones en un anillo A (no necesariamente conmutativo):
a) a2 − b2 = (a + b)(a − b).
b) (a + b)3 = a3 + aba + ba2 + b2 a + a2 b + ab2 + bab + b3 .
c) am an = am+n .
d ) (ab)m = am bm .
Calcular las unidades del anillo Z[i].
Sean a y b dos elementos de un anillo. Demostrar que ab es un divisor de cero precisamente si a ó b es un divisor de cero.
Sea A un anillo finito. Demostrar que todo elemento de A es o divisor de cero o unidad.
Deducir que todo dominio finito es un cuerpo. (Indicación: Considerar la aplicación
x 7→ ax.)
Encontrar todos los divisores de cero en los anillos: Z4 , Z10 , Z × Z, R × R.
Decimos que d ∈ Z es libre de cuadrados si p2 no divide a d para ningún número primo p
(en particular 1 es libre de cuadrados). √
Demostrar que para todo m ∈ Z existe un d ∈ Z
√
¿Ocurre lo mismo si cambiamos Q por Z?
libre de cuadrados tal que Q[ m] = Q[ d].
√
1+ d
Sea d ∈ Z libre de cuadrados y sea α = 2 . Demostrar que Z[α] = {a + bα : a, b ∈ Z}
√
es un subanillo de Q[ d] precisamente si d ≡ 1 mód 4.
En cada apartado se describen un anillo A y un subconjunto B. Decir cuáles de los
subconjuntos son subanillos:
a) A es el cuerpo C y B = Ri consiste en los números de la forma ri con r ∈ R.
b) A es el anillo RR del Problema 1b) y B es el subconjunto de las funciones continuas.
c) A es el cuerpo racional Q, q ∈ Z y B es el subconjunto Z(q) de los números a/b con
a, b ∈ Z y mcd(q, b) = 1.
d ) A es el anillo R[X] de polinomios con coeficientes en un anillo R, y B es el conjunto
de los polinomios de grado menor o igual que n, donde n ∈ Z+ .
e) En el cuerpo A = C consideramos, dado un entero primo p, una raı́z p-ésima primitiva de la unidad ξ (es decir, ξ p = 1 y ξ n 6= 1 para n = 1, . . . , p − 1; por ejemplo,
ξ = e2πi/p = cos(2π/p) + sen(2π/p)i). B se define como el subconjunto
B = Z[ξ] = {a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + · · · + ap−1 ξ p−1 : a0 , a1 , . . . , ap−1 ∈ Z}.
10. Demostrar que el subconjunto de Z[i] formado por los elementos a + bi con 2a ≡ b
mód 5 es un ideal principal.
11. Sean A y B dos anillos. Describir los ideales de A × B en función de los ideales de A y
de B. Determinar todos los ideales de Z12 × Z18 .
12. Si I, J y K son ideales de un anillo A, demostrar que:
a) I(J ∩ K) ⊆ IJ ∩ IK.
b) IJ = JI.
c) I(JK) = (IJ)K.
d ) I(J + K) = IJ + IK.
1
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e) IA = I.
Demostrar que si f : A → B es un homomorfismo suprayectivo de anillos y todos los
ideales del anillo A son principales entonces todos los ideales de B son principales.
Sea a ∈ R. ¿Qué se deduce al aplicar el Primer Teorema de Isomorfı́a al homomorfismo
R[X] → R, dado por P (X) 7→ P (a)? ¿Y qué se deduce al aplicarlo al homomorfismo
R[X] → C, dado por P (X) 7→ P (i)?
Sea f : A → B un homomorfismo suprayectivo de anillos. Demostrar que existe una
correspondencia biunı́voca, que conserva la inclusión, entre el conjunto de los ideales de
B y los ideales de A que contienen a Ker f .
Sean A1 , . . . , An anillos. Demostrar que la caracterı́stica del anillo producto A1 ×· · ·×An
es el mı́nimo común múltiplo de las caracterı́sticas de los Ai .
Sea A un anillo cuya caracterı́stica es un número primo p. Demostrar que la aplicación
n
x 7→ xp es un endomorfismo de A para todo n ∈ N.
Demostrar que, si K es un cuerpo finito con un subcuerpo F , entonces el cardinal de
K es una potencia del cardinal de F . (Indicación: Considerar K como espacio vectorial
sobre F ). Deducir que:
a) El cardinal de cualquier cuerpo finito es una potencia de un número primo. (Indicación: Considerar el subanillo primo de K.)
b) Si K es un cuerpo finito con un subcuerpo F , entonces existen un número primo p
y enteros positivos n y m tales que n | m, |F | = pn y |K| = pm .
Sea A un anillo de caracterı́stica n y sea m un número entero. ¿Cuántos homomorfismos
de anillos Zm → A existen? ¿Cuántos homomorfismos de anillos Zn → Zm existen?
Determinar los ideales de Zn . ¿Cuáles de ellos son primos o maximales? Dar una fórmula,
en función de la descomposición de n en producto de primos para el número de ideales
de Zn .
¿Es Z3 [X]/(X 2 + 1) un cuerpo?
Demostrar que si p es un ideal primo de A, entonces p[X] es un ideal primo de A[X].
¿Puede ser p[X] maximal?
Demostrar que si p es un ideal maximal (respectivamente primo) de A, entonces
p + (X) = {a0 + a1 X + · · · ∈ A[X] : a0 ∈ p}
es un ideal maximal (respectivamente primo) de A[X].
24. Demostrar el recı́proco del Teorema Chino de los Restos para anillos es decir,
Q probar
que si I1 , . . . , In son ideales de un anillo A tales que la aplicación f : A → ni=1 A/Ii ,
dada por f (a) = (a + I1 , . . . , a + In ) es suprayectiva, entonces Ii + Ij = (1), para todo
i 6= j.
25. Sea D un dominio y sea Q su cuerpo de fracciones. Demostrar que:
a) Si D0 es un subanillo de D con cuerpo de fracciones Q0 , entonces Q contiene un
subcuerpo isomorfo a Q0 .
b) Si A es un subanillo de Q que contiene a D, entonces Q es un cuerpo de cocientes
de A.
26. Sean D un dominio, K el cuerpo de fracciones de D y p un ideal primo de D. Para cada
ideal I de A sea
o
na
∈ K : a ∈ I, b ∈ A \ p .
Ip =
b
Demostrar las siguientes propiedades para I un ideal de A.
a) Dp es un subanillo de K.
b) Ip es un ideal de Dp .
c) Ip = Dp si y sólo si I 6⊆ p.
d ) I → Ip define una aplicación biyectiva del conjunto de los ideales primos de D
contenidos en p al conjunto de los ideales primos de Dp .
e) Deducir que Dp tiene exactamente un ideal maximal.