SIGMA 28

SIGMA
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ADAPTACIÓN DE UN PLANISFERIO A
OTRAS LATITUDES DISTINTAS A LA NUESTRA
Jorge Barrio Gómez de Agüero (*)
RESUMEN
La utilidad de los mapas celestes puede extenderse mucho más allá del simple uso como localizador o buscador de estrellas. Podemos emplearlo para resolver sencillas cuestiones astronómicas como las horas de orto y ocaso del Sol u otros astros en cualquier fecha del año, horas
de Sol que tendremos cualquier día, la visibilidad de los planetas, etc. Pero también puede
convertirse en una entretenida herramienta en las clases de Trigonometría, en Matemáticas,
para averiguar las longitudes de las sombras de objetos al mediodía en cualquier fecha del año
y comparar así dichas longitudes en invierno y verano. Puede usarse también para el diseño
de relojes de Sol.
Los fenómenos que hemos descrito son, no obstante, fenómenos locales que dependen de la
latitud del observador. Sin embargo, podemos hacer volar nuestra imaginación y trasladarnos
al norte de Finlandia, Suecia o Noruega y preguntarnos: ¿cuántas horas de Sol tienen allí un
día determinado de invierno? O ¿qué es el Sol de medianoche? Estas preguntas podremos analizarlas y responderlas si adquirimos un planisferio de aquellas latitudes o, mejor aún y mucho
más económico, si conseguimos adaptar el que tenemos a la latitud deseada.
1. INTRODUCCIÓN
El planisferio es, sin duda, una de las herramientas astronómicas a las que más jugo e información podemos sacar en el aula. Tiene la virtud de permitirnos “contemplar” y analizar diversos
fenómenos astronómicos, tanto diurnos como nocturnos, incluso en días nublados o lluviosos.
Podemos deducir el número de horas de sol que tendremos tal día como hoy, sin más que leer
en el planisferio las horas de orto y ocaso solares. Podemos comprobar cuáles son las constelaciones que tendremos a la vista tal noche de observación, una vez comprobada la hora
de puesta de Sol e incluso qué planetas serán observables en esa noche y si sus condiciones
de observación son apropiadas (según su proximidad a la línea de horizonte).
Con el planisferio también podemos determinar la altura del Sol al mediodía en cualquier
fecha del año y así utilizar esta información en aras a calcular longitudes de sombras o diseñar
relojes-calendario solares. En fin, para no aburrir con todas las posibles utilidades de un planisferio, al final del artículo podéis encontrar diversas cuestiones o pequeños problemas que
pueden ser resueltos con su simple uso.
Sin embargo, el objetivo final de este artículo no es enseñar los posibles usos del planisferio,
sino más bien aprender a transformar nuestro planisferio a cualquier otra latitud de nuestro
hemisferio (o bien del hemisferio Sur si usamos el mapa estelar correspondiente). De ese modo
podremos trasladarnos instantáneamente a otras latitudes y analizar los fenómenos astronómicos locales que allí acontecen. Se trata de un buen ejercicio que viene muy bien para romper
con esos estereotipos tan locales como “el Sol sale por el este y se oculta por el Oeste”.
(*) Profesor de Física y Química y Astronomía del I. E. S.. Vega del Jarama. San Fernando de Henares (Madrid).
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Si nos trasladamos al círculo polar ártico en el solsticio de verano, veremos que el Sol “sale”
por el Norte y trata de ocultarse también por el Norte (en realidad, en esas fechas no se oculta,
dando lugar al conocido fenómeno y reclamo turístico del “Sol de medianoche”). Podemos
incluso viajar más al norte, hasta el mismísimo Polo Norte y comprobar la constancia de su
cielo durante todo el año, así como la ausencia de ortos y ocasos estelares; las estrellas se
mueven en paralelo al horizonte. Igualmente, podemos comprobar que el Sol en el equinoccio
de primavera se mueve dando una vuelta completa a ras de horizonte en el transcurso del día.
Y todo ello con la ventaja de volver con la Visa indemne de tan fantástico viaje.
DESCRIPCIÓN DEL PLANISFERIO CELESTE
Es de suponer que una gran mayoría de los lectores de esta revista sabe utilizar el mapa
celeste, al menos como buscador de estrellas para un día y hora determinados. Sin embargo,
en atención a aquellas personas que no hayan tenido nunca contacto con un planisferio,
empezaremos por repasar lo básico: qué es, cómo se maneja y para qué sirve. A partir de ahí,
pasaremos a ver cómo transformar el planisferio para otras latitudes. Si ya se tiene experiencia
en los usos básicos del planisferio, se puede pasar directamente al apartado 5 del artículo, en
el que se aborda ya la transformación del planisferio.
El planisferio celeste consta de dos partes: una parte fija y una parte móvil que gira. Vamos a
describir la información que contiene cada una de las partes.
a) Parte móvil: La parte móvil o giratoria es de plástico y en ella podemos distinguir una zona
transparente (ventana de visibilidad) que nos indicará la porción de cielo visible a la latitud
correspondiente a la que nos encontramos (en la península, 40 grados de latitud media) y
una zona blanca que delimita la línea de horizonte a esa latitud, con los puntos cardinales.
En la zona transparente está dibujada la línea Norte-Sur y el punto medio de esa recta es el
cenit, que es el punto del cielo que se encuentra en la vertical de nuestra cabeza. Así pues, las
estrellas que aparezcan en el planisferio cerca del cenit serán las que veamos sobre nuestras
cabezas en el cielo.
En el contorno de la parte móvil hay una numeración del 0 al 23 ordenada en sentido contrario a las agujas del reloj; es la escala horaria con la que fijaremos la hora correspondiente al
aspecto del cielo que deseamos observar. Hay que tener en cuenta que dicha escala corresponde a T. U. (tiempo universal) con lo que habrá que restar a la oficial una o dos horas según
la época que sea correspondiente al horario de invierno o verano (para transformaciones más
precisas a la hora oficial, deberá usarse la ecuación del tiempo).
b) Parte fija: La parte fija suele ser de cartón rígido y coloreada de negro, como el cielo nocturno.
El clásico planisferio es una proyección acimutal equidistante polar del hemisferio norte celeste(1).
Sobre ella están dibujadas las constelaciones, estrellas y otros objetos celestes que pueden verse a
lo largo de un año en el hemisferio norte. Es decir, aparecen dibujados aquellos objetos celestes
que tienen una posición fija en el cielo y caracterizada por sus coordenadas ecuatoriales. El nombre de las constelaciones suele venir en mayúsculas y en minúsculas el de las estrellas principales.
Las estrellas aparecen dibujadas como puntos blancos cuyo diámetro es relativo a su brillo. Así,
las estrellas más brillantes del cielo aparecen en el planisferio como puntos blancos más grandes.
Aparecen también, dibujados como asteriscos, algunos objetos del catálogo de Messier (precedidos por su M) y algunos otros objetos de los denominados de cielo profundo.
En el centro de esta parte fija está el polo norte celeste (muy aproximadamente, la Polar). Es
el punto central del planisferio en el que convergen 24 líneas radiales que son los meridianos
celestes. A su vez es el centro de un conjunto de círculos concéntricos y equidistantes, que
son los paralelos celestes.
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Asimismo, al igual que un punto geográfico terrestre se localiza mediante las coordenadas
latitud y longitud (midiéndose la latitud a lo largo de los meridianos y la longitud a lo largo
de los paralelos), un punto celeste se localiza mediante dos coordenadas equivalentes a las
terrestres y que son la declinación (equivalente a la latitud) y la ascensión recta (equivalente
a la longitud). Al igual que hacemos con el ecuador y el polo norte terrestre (de latitudes 0º y
90º respectivamente), el ecuador y el polo norte celestes tienen 0º y 90º de declinación respectivamente. Los distintos paralelos del planisferio suelen trazarse de 15 en 15 grados. Los
distintos valores de declinación suelen aparecer marcados sobre el meridiano cero.
En la periferia de la parte fija aparece una numeración que va desde 0º hasta 360º (al cabo de
una vuelta completa) y que se corresponde con otra que va desde 0 hasta 24. Ambas escalas
miden la ascensión recta, en un caso en grados (el menos frecuente) y en otro en horas, minutos y segundos (estos últimos imposibles de medir con el planisferio). La razón de medirlo así
es porque el cielo efectúa, según sabemos, una rotación aparente completa (360 grados) en
24 horas, o lo que es lo mismo, gira 15 grados cada hora. Por eso puede apreciarse en el planisferio que 1 hora de ascensión recta equivale a 15 grados. El cero de A.R. (ascensión recta)
corresponde al meridiano celeste que pasa por el punto Aries del equinoccio de primavera
boreal (uno de los dos puntos de corte de la eclíptica con el ecuador celeste).
Debajo de la escala de A. R. aparecen los meses con sus días. Cada rayita corresponde a un día del
mes. Podéis comprobar que la división de 1 hora de A.R. se corresponde con 15 rayitas de días,
con lo que podemos precisar más nuestras medidas en A.R. teniendo en cuenta que cada rayita
correspondiente a un día del mes serán 4 minutos en A.R. ( pues 4 x 15 = 60 minutos o 1 hora).
Recordemos ahora las principales utilidades del planisferio.
2. ALGUNAS DE SUS UTILIDADES
Como ya se comentó al principio, son muchas las utilidades de un simple planisferio celeste.
Dado que el objetivo final del artículo no es precisamente instruir sobre su uso, nos centraremos solo en aquellas utilidades cuyo análisis para distintas latitudes pueda tener un interés
práctico en el aula; desde el simple reconocimiento del cielo en cualquier fecha y la simulación del movimiento diurno aparente de la bóveda celeste, pasando por la determinación del
orto y ocaso solar de cualquier día, la determinación de su altura máxima al mediodía o la
diferencia entre día solar y sidéreo.
2.1. Reconocimiento del cielo observable y movimiento diurno aparente
Supongamos que deseamos conocer el aspecto que presentará el cielo el día 4 de julio a las
doce de la noche hora oficial (es decir, aproximadamente 22 h T. U.). El mecanismo a seguir
será el siguiente:
• Se hace coincidir el 22 de la parte móvil con la rayita correspondiente al día 4 de julio.
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• Se sitúa el planisferio por encima de nuestra cabeza y se orienta el norte cardinal del
planisferio hacia la Polar en el cielo. Una vez hecho esto, el planisferio muestra el aspecto
del cielo que estaremos observando en ese momento, por lo que podremos reconocer las
estrellas y las constelaciones.
La siguiente imagen recoge el aspecto que presenta el cielo el 4 de julio a las doce de la noche
hora oficial, para un observador peninsular (40º de latitud norte, como se indica).
Figura 1. El aspecto del cielo para un observador peninsular el día 4 de julio a las 12 h de la noche (oficial)
Hecho esto, si procedemos a girar la parte móvil en el sentido de las agujas del reloj, estaremos simulando el movimiento diurno aparente de la bóveda celeste, comprobando la existencia de ortos y ocasos de los astros en nuestras latitudes y con qué inclinación tienen lugar
con respecto al horizonte.
2.2. Orto y ocaso solar; horas de sol en un día cualquiera
Para localizar el Sol en el planisferio en un día determinado, se procede de la siguiente
manera: desde la rayita correspondiente a esa fecha se traza una recta imaginaria hasta el
centro del planisferio. El punto de corte de esa recta con la línea de trazos que representa la
eclíptica (órbita aparente del Sol por el cielo) nos da la posición del Sol en el cielo ese día.
Una vez situado el Sol podemos averiguar su hora de salida (orto) y su hora de ocultación
(ocaso) del siguiente modo: supongamos que queremos averiguar el orto y el ocaso del Sol
el día 4 de julio. Localizaremos el Sol como ya hemos explicado. A continuación giraremos
la parte móvil hasta que la línea de horizonte Este coincida con la posición del Sol (de este
modo simulamos la salida del Sol por el horizonte Este, como se aprecia en la fig. 2). Leemos
en la parte móvil la hora que coincide con la rayita del 4 de julio recordando que, en caso de
no coincidir una hora exacta, cada rayita correspondiente a un día equivale a 4 minutos. De
este modo, podéis observar que el orto tendrá lugar aproximadamente a las 4 h 44 min T.U.
(6 h 44 min hora oficial sin corrección local).
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Para determinar el ocaso haremos lo mismo pero en este caso haciendo coincidir la línea
Oeste con la posición del Sol (fig. 3). Leemos la hora debajo del 4 de julio y observaremos
que el ocaso tendrá lugar a las 19 h 20 min T.U. aproximadamente (21 h 20 min hora oficial
sin corrección local).
De este modo, restando ambas horas obtendremos las horas de sol de ese día; es decir, 14
horas y 36 minutos de sol. Resultará ilustrativo comparar este resultado con las horas de sol
de un día de finales de diciembre.
Actividad de grupo para el aula: Elaborar un gráfico anual, semana a semana, de la evolución
de horas de Sol. Formando 12 grupos, cada grupo calculará con el planisferio las horas de Sol
de un mismo día (p. ej. miércoles) de las cuatro semanas del mes.
Figura 2. Simulación del orto solar
el día 4 de julio. El sol sale a las 4:43 T.U.
Figura 3. Simulación del ocaso solar
el día 4 de julio. El Sol se pone a las 19:18 h T.U.
2.3. Altura del Sol al mediodía sobre el horizonte
Una vez situado el Sol como se ha indicado en el epígrafe anterior, la determinación de
su altura sobre el horizonte al mediodía puede determinarse con bastante precisión en el
planisferio. Giramos la parte móvil hasta que la línea que representa el meridiano del lugar
(Línea Norte – Sur) en la que viene marcado el cenit, coincida con la posición del Sol del día
elegido. Puesto que la proyección usada en este tipo de planisferios es acimutal equidistante,
la distancia entre paralelos es siempre la misma. Midiendo con una regla la distancia entre
dos paralelos consecutivos, establecemos la escala correspondiente a 15º. Si ahora medimos
con la regla la distancia del cenit al Sol (punto de corte de la línea N-S con la eclíptica) y la
transformamos a grados en la correspondiente escala, habremos medido z (distancia cenital;
una de las coordenadas horizontales de un astro). De ese modo, la altura h del Sol al mediodía
en la fecha elegida será:
h = 90º – z
Actividad de grupo en el aula: Hacer la medición sobre el planisferio de las alturas del Sol al
mediodía en las fechas elegidas de la actividad anterior y tratar de dar una explicación de la
relación entre ambas gráficas
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2.4. Localización y visibilidad de los planetas
Los planetas no ocupan posiciones fijas en el cielo; por esa
razón no pueden aparecer explícitamente en un planisferio. En las revistas mensuales de astronomía, tales como
“Astronomía” y “Espacio” (en castellano) o “Sky & Telescope”
o “Astronomy” (en inglés), así como, por supuesto, en los
anuarios de efemérides astronómicas, podemos encontrar las
coordenadas en A. R. y declinación de todos los planetas del
sistema solar en las distintas fechas. Por tanto, a partir de esos
datos nos resultará sencillo situar los planetas en el planisferio. Nos daremos cuenta enseguida que prácticamente todos
ellos se mueven muy aproximadamente sobre la eclíptica, lo
que significa que el movimiento de la mayoría de los planetas
se produce aproximadamente en el mismo plano.
Una vez localizados en el planisferio, podremos ver qué
planetas serán observables en el cielo nocturno de hoy, por
ejemplo. Bastará saber a qué hora anochece y si a esa hora y
posteriores el planeta queda en la parte transparente del planisferio (es decir, en la porción de cielo observable). También
podremos conocer, siguiendo el método explicado para el
Sol, las horas de sus ortos y ocasos y compararlas con los
datos que vienen en las revistas.
Los planetas Mercurio y Venus son, por este orden, los más
próximos al Sol. Eso quiere decir que los veremos siempre
como fieles acompañantes del Sol en su aparente movimiento
diurno. Dado que durante el día la luz del Sol nos impedirá
Figura 4. Procedimiento para
verlos, sólo podremos observarlos al amanecer (es decir,
determinar la distancia cenital
poco antes de que salga el Sol) o al atardecer (poco después
del Sol
de la puesta de sol). Mercurio siempre se verá muy bajo en el
horizonte en esas circunstancias por ser el más próximo al Sol, mientras que Venus será más
favorable en muchas circunstancias, pudiendo llegar a verse hasta tres horas antes o después
de la salida o puesta del Sol (el famoso “lucero del alba” o “del crepúsculo”). Para saber con el
planisferio si, a día de hoy, serán visibles al amanecer o al atardecer o si, por el contrario, no
serán visibles por estar en conjunción u oposición al Sol, procederemos del siguiente modo:
• Situamos el Sol a día de hoy como se ha explicado en el apartado anterior.
• A continuación y según sus coordenadas, situamos Mercurio o Venus.
• Giramos la parte móvil del planisferio en el sentido de las agujas del reloj y observamos
quién aparece antes por el horizonte Este. Si el primero que aparece es el planeta, que
sale por tanto antes que el Sol, significa que será visible al amanecer. Si seguís girando
veréis que, en esas circunstancias, el planeta se oculta por el horizonte Oeste antes que el
Sol. Si, por el contrario, es el Sol el que aparece antes que el planeta, también se ocultará
antes que él, por lo que, en esas condiciones, el planeta será visible al atardecer.
2.5. Diferencia entre día solar y día sidéreo
Una vez que hemos aprendido a leer las horas de orto y ocaso del Sol o de los astros en general (el procedimiento es el mismo), podemos verificar con el propio planisferio la diferencia
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Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra
entre el día solar y el sidéreo. Dado que la escala horaria de la parte móvil se mide en tiempo
solar, si procedemos a determinar el orto de una misma estrella en dos días consecutivos,
comprobaremos que al segundo día su orto se ha adelantado en 4 minutos. Ello nos permite
verificar que el día sidéreo corresponde muy aproximadamente a 23 h 56 minutos solares, lo
que, de paso, nos explica la variación estacional del cielo nocturno.
3. LAS COORDENADAS CELESTES
En Astronomía se utilizan distintos sistemas de coordenadas para la localización de los astros y
cuerpos celestes según cuál sea el plano de referencia elegido y el punto de origen del sistema.
Así, se distinguen esencialmente dos tipos de sistemas:
• Sistema horizontal: el plano de referencia es el horizonte verdadero del lugar
(N-E-S-O) y los puntos de referencia
elegidos son el cenit Z como origen
para la determinación de las distancias cenitales z (o las complementarias
alturas h) y el punto cardinal S como
origen del acimut A del astro (en el
sistema astronómico, a diferencia del
geodésico que utiliza el N como origen de acimut).
Se denomina distancia cenital de un
astro X al arco del círculo vertical ZX
entre el cenit y el astro. El arco complementario XH (hasta el punto de corte
con el horizonte verdadero) determina
la altura h del astro.
Figura 5. Coordenadas horizontales de un astro
A su vez, el acimut A del astro X queda determinado por el arco del círculo horizontal
SH entre el punto cardinal Sur S y el punto de corte H del círculo vertical del astro con
el horizonte. El acimut se mide en el sentido de las agujas del reloj (S-O-N-E) de 0º hasta
360º o bien de 0º a +180º para acimutes occidentales y de 0º a 180º para los orientales.
Como se desprende de las definiciones, las coordenadas horizontales son locales y variables en el tiempo.
• Sistemas ecuatoriales: el plano de referencia es el ecuador celeste. En estos sistemas, el
movimiento diurno aparente de los astros trascurre sobre paralelos celestes fijos (excepto
el Sol y los planetas, que lo hacen sobre la eclíptica). Según cuál sea el punto de origen
elegido, se distinguen dos tipos de sistemas ecuatoriales:
a) primer sistema ecuatorial: utiliza como punto de origen el punto Q de corte del meridiano celeste del lugar NPZS con el ecuador celeste. Dicho punto Q es, en nuestro
hemisferio, el punto del ecuador celeste del círculo vertical sobre el punto cardinal Sur
S. En este sistema se definen dos coordenadas:
- Declinación  del astro: es el arco medido sobre el meridiano del astro (PXP’) o círculo horario, desde el ecuador celeste hasta la posición del astro. Todos los puntos
de un mismo paralelo tienen la misma declinación. Los valores de declinación están
comprendidos entre 0º (para cualquier punto del ecuador celeste) y +90º (para el polo
norte celeste). Las declinaciones negativas corresponden al hemisferio sur celeste,
siendo -90º para el polo sur celeste.
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- Ángulo horario t del astro: es
el arco de ecuador celeste entre
el punto Q del meridiano celeste
del lugar NPZS y el meridiano o
círculo horario del astro. El ángulo
horario será cero cuando el astro
culmine en el meridiano celeste
del lugar NPZS.
En este primer sistema, la coordenada  del astro permanece invariable, mientras que la coordenada t varía continuamente con
el movimiento del astro.
b) Segundo sistema ecuatorial: En
este sistema el punto de origen es
Figura 6. Ángulo horario y
declinación de un astro
el llamado punto vernal Aries  o
equinoccial de primavera boreal,
que es uno de los dos puntos de corte del ecuador celeste con la eclíptica; aquel
que corresponde al momento del tránsito del Sol desde declinaciones negativas hacia
declinaciones positivas. Como resulta evidente, dicho punto  participa de la rotación
aparente de la esfera celeste, por lo que las posiciones relativas de los astros respecto
de dicho punto son fijas. Las coordenadas en este sistema son:
- Declinación  del astro: igual que
en sistema anterior.
- Ascensión recta  del astro: es
el arco del ecuador celeste entre
el punto equinoccial  y el meridiano o círculo horario del astro.
Las ascensiones rectas se miden
en sentido contrario a la rotación
aparente de la esfera celeste, de
0º a 360º, o más comúnmente
en medida horaria de 0 h a 24 h.
A su vez, las horas de ascensión
recta se subdividen en minutos
(min) y segundos. Una hora de A.
R. (60 min) corresponden a 15º,
por lo que 1º corresponde a 4
min de A. R.
Figura 7. Ascensión recta y
declinación de un astro
4. TRANSFORMACIÓN DEL PLANISFERIO A OTRAS LATITUDES
DISTINTAS A LA NUESTRA
La transformación del planisferio a otra latitud del hemisferio norte requiere simplemente
cambiar el trazado de la línea de horizonte para obtener la ventana de visibilidad correspondiente a la latitud deseada. La cuestión es cómo hacerlo. Veremos que se trata de un problema
de transformación de coordenadas horizontales a ecuatoriales; más en concreto, se tratará
de averiguar la declinación de los puntos del horizonte del lugar. Para ello y antes de abordar
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Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra
definitivamente el trazado de dicha ventana, vamos a recordar algunas cuestiones básicas
sobre la localización del ecuador celeste y su situación relativa respecto del horizonte de un
observador a cualquier latitud.
4.1. Situación relativa del ecuador celeste en función de la latitud
Analizaremos en primer lugar las características básicas del aspecto del cielo y la localización
de algunos puntos esenciales en él, comprobando cómo varían al cambiar la latitud. Nos
interesará especialmente ver cuál es la posición relativa de los puntos cardinales del horizonte
respecto del ecuador celeste, en aras a trazar posteriormente la ventana de visibilidad en el
planisferio.
• El cielo del observador peninsular medio (latitud 40º N)
Como puede observarse en la figura, para este observador el polo norte celeste (apx. la
Polar) se eleva 40º sobre el horizonte norte, lo cual nos da la conocida pauta de determinar la latitud de un lugar del hemisferio Norte por la altura de la Polar sobre el horizonte. Pero a su vez comprobamos que el ecuador celeste se eleva 50º sobre el punto
cardinal Sur del horizonte del observador (y queda 50º por debajo del punto cardinal
Norte). Es decir, la “colatitud” (complementario de la latitud) nos permite localizar los
puntos cardinales Norte y Sur de la línea de horizonte del observador de cualquier latitud. Considerando la definición de declinación que hemos dado en el apartado 4, eso
significa que la declinación del punto cardinal Sur será de –50º, mientras que la del punto
cardinal Norte será +50º. De este modo ya tenemos dos puntos esenciales de la ventana
de visibilidad del planisferio de cualquier latitud.
Figura 8. Elementos del horizonte para un observador peninsular medio
Por otra parte, si trazamos la línea Norte Sur en la parte de plástico del planisferio y,
posteriormente, trazamos una perpendicular que pase por la Polar, los puntos de corte de
esta última recta con el ecuador celeste del planisferio nos darán los puntos cardinales
Este y Oeste. Al ser puntos de corte de la línea de horizonte con el ecuador celeste, sus
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declinaciones, obviamente, serán 0º. Así pues, ya tenemos localizados los cuatro puntos
cardinales de la línea del horizonte para cualquier latitud.
• El cielo del observador de otras latitudes
Si aplicamos las ideas anteriores a cualquier otra latitud, vemos cómo varía la posición
relativa del ecuador celeste respecto del horizonte del lugar. Así, por ejemplo, para un
observador canario de 28º N de latitud, el ecuador celeste se elevará 62º sobre el punto
cardinal Sur. Por tanto, la declinación de su punto cardinal Sur h a de ser –62º , mientras
que la de su punto cardinal Norte será +62º.
Para un observador nórdico de 70º N las declinaciones de sus puntos cardinales S y N
serán, respectivamente, de –20º y +20º, mientras que para un observador polar (90º N),
como puede observarse en la figura, todos sus puntos del horizonte tienen declinación 0º.
En las siguientes figuras podemos observar lo que ocurre para observadores de distintas
latitudes.
Figura 9. Elementos del horizonte para
un observador canario (latitud 28º N)
Figura 10. Elementos del horizonte para
un observador nórdico (latitud 70º N)
Figura 11. Elementos del horizonte para
un observador polar (latitud 90º N)
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Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra
4.2. La transformación de coordenadas; un problema de trigonometría esférica
Las fórmulas de la trigonometría plana de poco nos
sirven cuando trabajamos sobre elementos de la esfera
celeste. Obsérvese que todas las definiciones dadas de
las coordenadas de un astro, tanto en el sistema horizontal como en el ecuatorial, se refieren a arcos, por
lo que encontrar la relación de unas coordenadas con
otras requiere resolver triángulos formados por arcos,
es decir, triángulos esféricos.
En la figura 12 se representa el triángulo esférico ABC
cuyos lados son los arcos a, b y c. Si desde el punto A
de la superficie de la esfera trazamos sendas tangentes
Figura 12. Triángulo esférico
a los lados b y c hasta su corte con las prolongaciones
de los radios de los puntos B y C, obtenemos el triángulo plano ADE, además del triángulo
ODE. Estos dos triángulos comparten el lado DE. Aplicando el teorema del coseno a estos dos
triángulos planos, se obtiene:
Restando ambas igualdades y despejando el último término de la segunda igualdad, obtenemos:
Si tenemos en cuenta que los lados AD y AE son perpendiculares a r, encontramos las siguientes relaciones:
Relaciones que sustituidas en la anterior igualdad y eliminando factores comunes, conducen
a esta otra:
Que podemos simplificar como sigue:
Obteniendo así una de las fórmulas fundamentales del triángulo esférico, que es con la que
finalmente nosotros vamos a trabajar en la transformación de nuestro planisferio:
Es decir, el coseno de un lado cualquiera del triángulo esférico es igual al producto de los
cosenos de los otros lados más el producto de los senos de dichos lados por el coseno del
ángulo que forman.
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Para la deducción de esta fórmula hemos utilizado un triángulo esférico cualquiera. Compete
ahora aplicarla a un triángulo esférico celeste y analizar las relaciones que podemos obtener
entre las distintas coordenadas que hemos expuesto.
4.3. Aplicación a un triángulo paraláctico; relación entre la distancia cenital, la
declinación y el ángulo horario para una determinada latitud
Consideremos ahora un triángulo esférico celeste formado por la intersección del meridiano
celeste del lugar (PZ), el meridiano o círculo horario de un astro (PS) y el arco correspondiente
a la distancia cenital z del astro. Tal triángulo PZS así formado se denomina comúnmente
triángulo paraláctico (fig. 13).
Figura 13. Triángulo paraláctico para un astro en el hemisferio norte occidental
En la figura se representa la situación correspondiente a una latitud . De ese modo, el arco PZ
(polo norte celeste – cenit) valdrá 90 – . A su vez, si  es la declinación del astro, entonces
el arco PS será 90 – , mientras que el arco ZS corresponde a la distancia cenital z del astro.
Como se aprecia en la figura, los ángulos del triángulo son t (ángulo horario), 180 – A (siendo
A el acimut del astro) y q, denominado ángulo paraláctico del astro.
Si aplicamos la fórmula fundamental deducida en el apartado anterior a nuestro triángulo
paraláctico en función del lado z, se obtiene:
cos z = cos (90 - ) ·cos (90 - ) + sen (90 - ) ·sen (90 - ) ·cos t
O, lo que es lo mismo:
cos z = sen  ·sen  + cos  ·cos  ·cos t
Expresión que constituye una de las relaciones fundamentales de transformación entre coordenadas ecuatoriales y horizontales. La expresión anterior nos permite averiguar la distancia
cenital de un astro de declinación  en el momento en que su ángulo horario vale t, visto
desde un horizonte de latitud . Pero, ¿qué importancia puede tener esta expresión para los
cometidos de trazar la ventana de visibilidad del planisferio a cualquier latitud? Como vamos
a ver a continuación, esta es precisamente la fórmula que nos va a diseñar la ventana de visibilidad de nuestro planisferio a cualquier latitud.
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Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra
4.4. Y por fin... aprendemos a trazar la ventana de visibilidad del planisferio
El problema del trazado de la ventana de visibilidad se antoja bastante simple una vez que
hemos comprendido el significado de la ecuación anterior. La ventana de visibilidad está
delimitada por los puntos de la línea de horizonte y todos los puntos del horizonte, como se
aprecia en la figura 14, cumplen la condición de que su distancia cenital z es igual a 90º. Por
tanto, todos los puntos del horizonte cumplen la condición:
sen  ·sen  + cos  ·cos  ·cos t = 0
En los planisferios vienen representados los 24 meridianos correspondientes a cada ascensión
recta, es decir, cada 15º. A su vez, los paralelos del planisferio corresponden a un valor determinado de declinación (también de 15 en 15 grados). Se trata, por tanto, de hallar cuál es la
declinación de los puntos que satisfacen la anterior ecuación (los puntos del horizonte), para
una latitud deseada. Si despejamos la declinación de la ecuación anterior, obtenemos la relación que nos da la declinación de los puntos del horizonte en función de la latitud, asignando
valores al ángulo horario t. Dicha relación es:
tg  = -cot g  ·cos t
Para ello, daremos valores al ángulo horario t de 15 en 15 grados y obtendremos la declinación del punto del horizonte correspondiente a cada meridiano del planisferio.
Figura 14. Triángulo paraláctico para un punto del horizonte
4.5. Y ahora, transforma tu planisferio a cualquier otra latitud
Finalmente, después de la fase matemática, entramos en la fase de “bricolage”. Hagámonos
con un planisferio y quitémosle la parte móvil de plástico. A partir de aquí, sigamos el
siguiente procedimiento:
• Usando un plástico transparente rígido y superponiéndolo a la parte fija del planisferio,
dibujamos el contorno circular que recortaremos; nos servimos para ello de uno de los
círculos más externos que aparezcan dibujados en la parte fija. Debemos acordarnos de
dejar cuatro pestañas que doblaremos para que hagan de guía durante el giro de la parte
móvil. Ensambla esta nueva parte móvil a la fija usando el remache central del anterior
planisferio (o un remache nuevo).
Mayo 2006 • 2006ko Maiatza
203
Jorge Barrio Gómez de Agüero
• Fijamos la latitud  a la que deseamos transformar el planisferio. El punto del horizonte
que corresponde al ángulo horario t = 0 será el punto cardinal Sur, como se desprende
de la definición del ángulo horario. Obtenemos la declinación de dicho punto con la
ecuación anterior y la marcamos con rotulador indeleble en el nuevo plástico, sobre un
meridiano cualquiera. Fijamos con celo la parte móvil a la fija para que no se mueva
durante el proceso de marcado de los puntos.
• Vamos ahora dando valores a t de 15 en 15 grados, en sentido antihorario, obteniendo
distintos valores de la declinación de los puntos del horizonte que iremos marcando sobre
el plástico encima de cada meridiano. Seguimos el procedimiento hasta 345º.
• Unimos finalmente todos los puntos que constituyen la nueva línea de horizonte de la
latitud deseada, marcando sobre ella los puntos cardinales Norte, Sur, este y Oeste (estos
dos últimos son los puntos de corte de la línea de horizonte con el ecuador celeste).
Pintamos de blanco la parte del plástico que queda por fuera de la línea del horizonte,
quedando en transparente la ventana de visibilidad de esa latitud.
• Trazamos con rotulador indeleble de color (rojo o blanco) la línea Norte-Sur del meridiano
celeste del lugar. Dicha línea pasa por el polo norte celeste. El punto medio de dicha línea
es el cenit del lugar, que marcaremos con una pequeña cruz blanca y titularemos.
• Hecho todo lo anterior, finalmente marcamos las horas T.U. en la parte móvil sobre el
contorno coincidente con las rayitas de días de la parte fija. El 0 se traza donde el punto
cardinal Norte. A partir de ahí, vamos marcando las horas en sentido antihorario sobre
cada uno de los meridianos de ascensión recta. Como es lógico, la hora que corresponde
al punto cardinal Sur será 12 h, momento de la culminación solar al mediodía sobre
dicho punto cardinal en nuestro hemisferio. Cuando hayamos completado todas las
horas, ya tenemos el planisferio listo para funcionar en la latitud deseada. Conviene que
titulemos la latitud en la parte blanca de la parte móvil.
En las siguientes tablas se dan los valores que se obtendrían de declinación de los puntos del
horizonte según el ángulo t para distintas latitudes.
GRAN CANARIA ( = 28º N)
( – cotg  = – 1,88 )
ángulo t
204
declinación 
0
(sur)
-62
15
345
-61,2
30
330
-58,4
45
315
-53
60
300
-43,2
75
285
-26
90 (oeste)
270 (este)
0
105
255
26
120
240
43,2
135
225
53
150
210
58,4
165
195
61,2
180
(norte)
62
SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.
Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra
CÍRCULO POLAR ÁRTICO ( ≈ 66,5º N)
( – cotg  = – 0,435 )
ángulo t
declinación 
0
(sur)
-23,5
15
345
-22,8
30
330
-20,6
45
315
-17,1
60
300
-12,3
75
285
-6,4
90 (oeste)
270 (este)
0
105
255
6,4
120
240
12,3
135
225
17,1
150
210
20,6
165
195
22,8
180
(norte)
23,5
COPENHAGUE ( ≈ 55º N)
( – cotg  = – 0,7 )
ángulo t
declinación 
0
(sur)
-35
15
345
-34,1
30
330
-31,2
45
315
-26,3
60
300
-19,3
75
285
-10,3
90 (oeste)
270 (este)
0
105
255
10,3
120
240
19,3
135
225
26,3
150
210
31,2
165
195
34,1
180
(norte)
35
Puede comprobarse cómo aplicando la ecuación del trazado de la ventana a la latitud del
observador polar ( = 90º), los valores de declinación de todos los puntos del horizonte resultan ser  = 0, que es la situación que se aprecia en la figura 11. En ese caso, basta dibujar
sobre la parte transparente móvil un círculo coincidente con el ecuador celeste para obtener
la ventana de visibilidad. Hecho eso, resulta muy ilustrativo comprobar cómo para esa latitud
no hay ortos ni ocasos estelares (las estrellas se mueven en paralelos al ecuador celeste y, por
tanto, al horizonte de ese lugar) y cómo el Sol se mantiene oculto bajo el horizonte durante
Mayo 2006 • 2006ko Maiatza
205
Jorge Barrio Gómez de Agüero
seis meses para, a partir del equinoccio de primavera, mantenerse siempre visible durante
otros seis meses.
Igualmente, si construimos el planisferio para la latitud del círculo polar ártico valiéndonos de
los datos de la tabla 2, podemos analizar en el aula los interesantísimos fenómenos astronómicos que acontecen en esas latitudes y que comentamos a continuación.
5. ALGUNAS UTILIDADES PARA EL AULA
Nuestros alumnos y, por qué no decirlo, la mayoría de la gente, tienen una percepción muy
local de los fenómenos astronómicos. A ello contribuyen no pocos libros, sobre todo de etapas
tempranas, en los que se afirma aquello de que el Sol sale por el Este y se pone por el Oeste
sin la apostilla conveniente de la latitud del lugar. De hecho, es bien conocido que en nuestras
latitudes el punto de orto del Sol se desplaza anualmente en una horquilla NE-SE y realmente
sólo sale por el punto cardinal Este dos veces al año (en los equinoccios). Por ello, puede
resultar muy clarificador trabajar con un planisferio de otra latitud y simular los fenómenos
astronómicos que allí acontecen.
Construyamos, por ejemplo, un planisferio para el círculo polar ártico. Usando los datos de la
tabla 2, el aspecto final que presentará se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura 15. Aspecto final de un planisferio para la latitud del círculo polar
En la figura puede observarse la posición del Sol el día 21 de junio (solsticio de verano boreal)
en el momento de su “ocultación” por el horizonte. Podemos comprobar que el punto cardinal
por donde se oculta es el punto cardinal Norte (y no el Oeste). Pero, además, si procedemos
a girar la parte móvil del planisferio, simulando el movimiento aparente de la bóveda celeste,
veremos que el Sol no llega a ocultarse, sino que vuelve a elevarse sobre el horizonte dando
lugar al famoso fenómeno del “Sol de medianoche”.
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SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.
Adaptación de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra
Figura 16. Sol de medianoche
Veamos el fenómeno del sol de medianoche en la secuencia siguiente. La figura 17 muestra
la posición del Sol sobre el horizonte a las 21 h T.U. del día 21 de junio. La siguiente figura
(fig. 18) corresponde a las 0 h T.U. El Sol parece que va a ocultarse por el punto cardinal Norte.
Sin embargo, la fig. 19 muestra que el Sol, tres horas después (a las 3 h T.U.) se ha elevado ya de
nuevo sobre el horizonte. Simulamos así el fenómeno que se aprecia en la fotografía (fig. 16)
Figura 17. Sol a las 21 h T.U. del 21 de junio en la latitud 66,5º N
Igualmente, podemos ahora utilizar este planisferio para calcular cuántas horas de Sol tienen
en esas latitudes cualquier día del año e imaginar la dureza de las condiciones cuando, por
ejemplo, el 18 de enero el Sol asoma por el horizonte (cerca del punto cardinal Sur) a las
11 h T.U. para volverse a ocultar a las 13:30 h T.U., dando lugar a tan solo dos horas y media
de tenue claridad de alborada.
Figura 18. Sol a las 0 h T.U. del
Figura 19. Sol a las 3 h T.U. del
22 de junio en la latitud 66,5º N
22 de junio en la latitud 66,5º N
Mayo 2006 • 2006ko Maiatza
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Jorge Barrio Gómez de Agüero
Es un buen ejercicio de abstracción para hacer volar la imaginación y viajar a cualquier latitud,
con la gran ventaja de tener garantizados siempre los cielos despejados, sin contaminación
lumínica, la VISA intacta y no tener que arrastrar maletas e infinidad de bolsas en nuestro viaje
imaginario a través del planisferio. Eso sí, no despreciemos la oportunidad de hacer realidad
en cualquier ocasión nuestros viajes imaginarios.
5.1. Algunas propuestas para el diseño de actividades
En cada caso se adaptarán a la latitud que previamente se haya convenido, habiendo construido el planisferio correspondiente. Las preguntas que pueden resolverse pueden versar
sobre los siguientes temas:
• Ortos y ocasos de astros, planetas o Sol en cualquier fecha del año.
• Altura del Sol al mediodía en cualquier fecha y latitud. Estudio de su variación anual.
• Variación de la longitud de la sombra de un mismo objeto (o gnomon) en cualquier fecha y
latitud. Aplicación de esta idea para la construcción o diseño de relojes-calendario solares.
• Astros que se apreciarán en el cenit a una hora determinada de cualquier fecha y latitud.
• Dando el dato del orto de un planeta en tal fecha y latitud, determinar sus coordenadas ecuatoriales (A.R. y declinación), así como la hora de su ocultación (excluiremos a
Plutón, cuyo movimiento se aparta bastante de la eclíptica).
• Determinación de las coordenadas ecuatoriales y horizontales del Sol en los cuatro
puntos característicos de su órbita aparente anual (solsticios y equinoccios) en cualquier
latitud al mediodía.
• Etc.
NOTAS
(1): Ibáñez Torres, Raúl. Lo que Euler dijo al cartógrafo (1ª parte). Sigma Revista de Matemáticas, nº 27. Bilbao, 2005.
MÁS INFORMACIÓN...
Bakulin, P. I.; Kononovich, E. V. y Moroz, V. I., 1987: Curso de astronomía general.
Editorial Mir Moscú.
Vorontsov-Veliamínov, B. A., 1985: Problemas y ejercicios prácticos de astronomía.
Editorial Mir Moscú.
Franolic, P. y Visekruna, Z., 1997: Introducción a la navegación astronómica. Alianza
Editorial. Madrid.
Seeds, M. A., 1989: Fundamentos de astronomía. Ediciones Omega. Barcelona.
Robbins, R. R.; Jefferys, W. H. y Shawl, S. J., 1995: Discovering Astronomy. John Wiley
& Sons, Inc. New York.
Herrmann, J., 1987: Atlas de astronomía. Alianza Atlas. Alianza Editorial.
Ibáñez Torres, Raúl, 2005: “Lo que Euler dijo al cartógrafo (1ª parte)”. Sigma Revista de
Matemáticas, nº 27. Bilbao.
Y EN LA WEB...
http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/elem/coor.pdf
(Página muy clarita donde podemos encontrar información muy útil sobre los distintos tipos
de coordenadas. Allí encontraréis otros enlaces y referencias).
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SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.