AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Curvas y Superficies Práctica 4 Curso 2012-2013 1. Hallar la longitud del arco de curva α ⃗ (t) = (t − sen(t), 1 − cos(t), 0) entre los puntos correspondientes a los valores t = 0 y t = π. ( 2. Dada la curva α ⃗ (t) = ) 1 1 2 sen(t), cos (t), (t − sen(t) cos(t)) , 2 2 a) Hallar el triedro de Frenet para cualquier valor de t ∈ R. ( b) Obtener las rectas tangente y normal principal y el plano osculador en el punto c) Calcular la curvatura y la torsión en el punto correspondiente al valor t0 = ) 1 0, , 0 . 2 π del parámetro. 4 √ ) ( 3. Dada la curva α ⃗ (t) = et , e−t , 2t a) Hallar el triedro de Frenet para cualquier valor de t ∈ R. b) Obtener la recta binormal y los planos rectificante y normal en el punto ( ) 1 √ e, , 2 . e c) Calcular la curvatura y la torsión para cualquier valor del parámetro. ( ) 4. Demostrar que la curva α ⃗ (t) = 2t2 + 3t − 5, t2 − 2t + 1, −3t2 + t − 7 es una curva plana y dar la ecuación del plano en el que está contenida. 5. Expresar en forma paramétrica regular de la curva cuyas ecuaciones implı́citas son: { 2 x + y2 + z2 = 1 x2 + y 2 − z 2 = 0 6. Calcular la longitud de arco de la curva: α ⃗ (t) = (sen(t)+cos(t), sen(t)−cos(t), t) entre los puntos (1, −1, 0) y (1, 1, π/2). 7. Hallar la expresión más general de la función f (t) para que la curva α ⃗ (t) = (a cos(t), a sen(t), f (t)) sea plana. 8. Obtener el triedro de Frenet y la curvatura de α ⃗ (t) = (t, t2 , t3 ). 3 t3 9. Dada la curva α ⃗ (t) = (t, t2 , + at) (con a ∈ R), hallar la torsión en función del ángulo que 2 3 forma el vector binormal con el eje OZ. 10. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie ⃗x(u, v) = (u + v, u − v, uv) que es perpendicular a la recta x = z, y = 3. 11. Se denomima superficie de revolución a la superficie engendrada por una curva, llamada generatriz, que gira alrededor de una recta llamada eje de revolución. Si consideramos generatrices de la forma α ⃗ (t) = (f (t), C, g(t)) con t ∈ (a, b) (f ′ (t) y g ′ (t) no se anulan simultáneamente y f (t) > 0 ∀t ∈ (a, b)) y el eje una recta vertical (x = 0, y = C) se puede construir la parametrización ⃗x(θ, t) = (f (t) cos(θ), C + f (t) sen(θ), g(t)) definida en U = {(θ, t) : 0 ≤ θ < 2π, a ≤ t ≤ b}. Obtener las formas fundamentales y{ sus curvaturas normal, total y media de { la superficie de x2 = 4z x=0 revolución engendrada por la curva al girar alrededor de la recta . y=3 y=3 12. Dada una curva α ⃗ (t) (directriz) y una función vectorial dependiente de un parámetro w(t), ⃗ consideramos por cada punto de la curva una recta cuya dirección sea la de w(t) ⃗ (generatrices). Se denomina superficie reglada a la superficie generada de esta forma que puede parametrizarse por ⃗x(t, λ) = α ⃗ (t) + λw(t) ⃗ Si w ⃗ es constante, la superficie que se obtiene se llama cilı́ndrica. Tomando como directriz la curva α ⃗ (t) = (1 + cos(t), 1 + sen(t), 1) con t ∈ [0, 2π] y como generatrices las rectas de dirección (1, −1, 1), se pide: a) una parametrización de esta superficie cilı́ndrica. b) los valores de t para los que la curvas paramétricas son ortogonales. c) las curvas asintóticas. d ) la curvatura total. 13. Consideremos la superficie ⃗x(u, v) = (u + v, u − v, u2 − v 2 ) se pide: a) Hallar la longitud de las curvas x} = c, ∀c ∈ R definidas sobre la superficie en U = { (u, v) ∈ R2 : 0 ≤ u < v, 0 ≤ v < ∞ . π b) ¿Para qué valor de c se cortan las curvas x = c e y = c formando un ángulo de ? 3 14. Dada la superficie parametrizada por ⃗x(u, v) = (u − v, 2u + v, uv) se pide para el punto (0,3,1): a) las curvaturas principales b) las lı́neas de curvatura principal c) la curvatura media y total en el punto d ) clasificación 15. Dada la superficie parametrizada por ⃗x(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u + v) hallar las ecuaciones de la familia de curvas que sobre ella es ortogonal a las curvas dadas por u = Cev siendo C una constante. 16. Considerando la siguiente parametrización del hiperboloide de una hoja: ⃗x(u, v) = (cos(u) − v sen(u), sen(u) + v cos(u), v) hallar: { } a) el área para (u, v) ∈ R2 : u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, 2] b) las lı́neas de curvatura principal c) las lı́neas asintóticas d ) clasificación de cada punto 2, 11 a=0: 1 ≤ a ≤ 6 : a, a + 10 Problemas para entregar: Si a≥7: a, 2a − 4 siendo a la penúltima cifra de tu dni.