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Electrodinámica Clásica
4º Curso – Física
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA 42
42.- Una onda plana uniforme incide normalmente desde el vacío sobre una lámina
dieléctrica de permitividad 9 y espesor “d”, emergiendo posteriormente al vacío,
como indica la figura. Si la frecuencia es de 1 GHz y no se produce onda
reflejada, calcular
a) El espesor “d” de la lámina en centímetros
b) Las amplitudes del campo eléctrico en los tres medios si la amplitud de la
onda incidente es 1 V/m.
c) La potencia media por unidad de superficie que sale por el medio 3
d) Considerar ahora el dieléctrico del medio 2 con unas pérdidas dadas por una
tangente de pérdidas tg δ = 0,02. ¿Qué densidad de potencia tiene ahora
asociada la onda en el medio 3?. ¿Es mayor, menor o igual al caso anterior?:
Justificar la respuesta.
d
Medio 1
(vacío)
Medio 3
(vacío)
Medio 2 , εr = 9
z=0
z=-d
Solución:
a)
Para que no haya onda reflejada, el medio 2 debe funcionar como un “landa
medios”, es decir, debe tener un espesor d =
vacío es λ0 =
2
. La longitud de onda en el
c
λ
= 30 cm. La longitud de onda en el medio 2 es λ2 = 0 = 10 cm. ,
f
9
por lo tanto el espesor del medio 2 es d =
b)
λ2
λ2
2
= 5 cm.
Para calcular las amplitudes del campo eléctrico en los tres medios, aplicaremos
el procedimiento de las impedancias de onda.
η1 = η3 = η0 = 120π Ω ; η2 =
η0
3
= 40 π Ω ; k1 = k3 = k0 ; k2 = 3k0
La impedancia de onda en z = 0 en el medio 3 es Z 3 ( 0 ) = η3 = η0 que es igual a la
impedancia del campo en z = 0 en el medio 2, es decir, Z 3 ( 0 ) = Z 2 ( 0 ) = η0 luego
Γ2 ( 0) =
Hoja de problemas: ondas planas
Z 2 (0) − η2 1
=
Z 2 (0) + η2 2
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Lo trasladamos hasta la interfase de la izquierda del medio 2 y resulta
Γ 2 ( z = − d ) = Γ 2 ( 0 ) e − j 2 k2 d =
1 − j 2π 1
e
=
2
2
Y la impedancia del campo en z = −d es entonces
Z 2 ( − d ) = η2
1 + Γ2 ( −d )
= 3η2 = η0 = 120 π Ω
1 − Γ2 ( −d )
Como la impedancia es continua Z 2 ( − d ) = Z1 ( 0 ) (recordemos que para la primera
interfase, cambiamos el origen de manera que la primera interfase es z = 0 para
el medio 1 y sin embargo, es z = −d para el medio 2). Por tanto, el coeficiente
de reflexión a la entrada es
Γ1 ( 0 ) =
Z1 (0) − η1
=0
Z1 (0) + η1
como debe ser, ya que hemos obtenido el espesor del medio 2 para que no haya
potencia reflejada en el medio 1. Entonces la amplitud de la onda reflejada en el
−
medio 1 (la que viaje en el sentido z negativo) es cero: E1 = 0 .
Aplicando la condición de continuidad para el campo eléctrico en la primera
interfase, tenemos
E1 ( z = 0 ) = E2 ( z = −d ) ⇒ E1+ = E2+ e jk2d (1 + Γ 2 ( z = −d ) )
2
que es la amplitud de la onda que viaja en
3
el medio 2 hacia la derecha. La amplitud de la onda que viaja hacia la izquierda
−
+
es E2 = E2 Γ 2 ( z = 0 ) = −1 3 . Recordemos que el campo en el medio 2 es válido
para −d ≤ z ≤ 0 . Finalmente, la amplitud de la onda que emerge por el medio 3
es
+
y despejando E2+ se obtiene E2 = −
E2+ + E2− = E2+ (1 + Γ2 ( 0 ) ) = E3+ ⇒ E3+ = −1
c)
Las potencias por unidad de superficie en los distintos medios son
Medio 1: P1 =
Hoja de problemas: ondas planas
E1+
2
2η0
=
1
w
2η0
Solución al problema 42
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+
2
Medio 2 : P =
−
2
P =
E2+
2
2η2
E2−
=
2
2η 2
=
4
9
2η2
1
9
2η2
3/4
⎫
w⎪
4
1
⎪⎪
+
−
9 − 9= 1
P
P
P
=
−
=
⎬ 2
2
2
2η2 2η2 η0
⎪
⎪
w
⎪⎭
Medio 3 : P3 =
E3+
2
2η0
=
1
w
2η0
Como vemos, es esencial fijarse en que las potencias se conservan. Es decir, en
este caso la potencia por unidad de superficie que lleva la onda incidente, pasa
totalmente al medio 2, puesto que no hay onda reflejada porque el medio 2
funciona como un “landa medios”, es decir, produce adaptación. La potencia en
el medio 2 pasa al medio 3. En realidad para saber que esa era la potencia que
sale por el medio 3, no hacía falta calcular la amplitud de la onda que emerge
por el medio 3, puesto que al ser medios sin pérdidas toda la potencia que del
medio 1 pasa al medio 2 debe salir por el medio 3.
d)
Ahora el dieléctrico del medio 2 tiene pérdidas dadas por tg δ = 0,02 . El medio 2
es un buen dieléctrico (la tangente de pérdidas nos da el cociente σ ωε que
marca el tránsito entre buen dieléctrico o no y tiene un valor mucho menor que
la unidad) por lo tanto para buenos dieléctricos se tiene que
⎧cons tan te de fase k2 = ε r k0 = 3k0
⎪
⎪
Medio 2 ⎨
σ μ0
ωε '' η0 ωε rε 0tgδ η0
⎪
=
=
=
= 0,2π
cons
tan
te
de
atenuación
α
2
⎪
2 ε rε 0
2 3
2
3
⎩
Np m
En este caso para calcular la potencia por unidad de superficie (densidad de
potencia) que emerge por el medio 3, no queda otro remedio que calcular la
amplitud E3+ . Repetimos el proceso de antes, que en forma esquemática es
Γ2 ( 0) =
Z 2 (0) − η2 1
=
Z 2 (0) + η2 2
Z 2 ( − d ) = η2
⇒ Γ 2 ( z = −d ) = Γ 2 ( 0 ) e − j 2 k2 d e −2α2d = 0,4696
1 + Γ2 ( −d )
= 2,77η2 = 0,9236η0 = Z1 ( 0 )
1 − Γ2 ( −d )
Γ1 ( 0 ) =
Z1 (0) − η1
= −0,04
Z1 (0) + η1
Vemos que ahora el coeficiente de reflexión Γ1 ( 0 ) en la primera interfase no es
cero, pero sí muy cercano, como debe ser pues el dieléctrico del medio 2 tiene
bajas pérdidas y no modifica excesivamente el comportamiento respecto al caso
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sin pérdidas. Siguiendo el mismo proceso anterior se calculan el resto de las
amplitudes
E1− = Γ1 ( 0 ) E1+ = −0,02 V m
E1 ( z = 0 ) = E2 ( z = − d ) ⇒ E1+ + E1− = E2+ e jk2d eα2d (1 + Γ 2 ( z = − d ) )
y despejando
E2+ =
E1+ + E1−
e − jk2d e −α2 d = −0,633 V m
1 + Γ2 ( z = −d )
E2− = E2+ Γ 2 ( z = 0 ) = −0,2973 V m
E2+ + E2− = E2+ (1 + Γ2 ( 0 ) ) = E3+ ⇒ E3+ = −0,93 V m
Comparando con los valores anteriores de las amplitudes vemos que son
parecidos. La potencia que sale por el medio 3 es
Medio 3 : P3 =
E3+
2
2η0
=
0,865
w
2η0
que nos dice, lógicamente, que ahora emerge menos potencia que antes por el
medio 3, pues el medio 2 tiene pérdidas (ahora emerge el 86,5% de la potencia
que salía en el caso sin pérdidas).
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