Diapositiva 1

ELECTIVA I
PROGRAMA DE FISICA
Departamento de Física y Geología
Universidad de Pamplona
Marzo de 2010
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
En esta sección nos enfocaremos en una clase muy limitada, pero importante que
involucra modificaciones sencillas de la variable independiente.
Estas modificaciones no permiten introducir varias propiedades de las señales y
los sistemas.
EJEMPLOS DE TRANSFORMACION DE VARIABLES
 CORRIMIENTO DE TIEMPO
Ocasiona desplazamiento de la señal en el eje de la variable independiente
Esta desplazamiento es ocasionado por la adición de una constante en
el argumento de la función.
EJ: Radar, sísmica, sonar.
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x(t )
x[n]
x(t to ) con to
x[n no ] con no
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0
0
 IN VERSION DE TIEMPO
x(t )
x( t )
x[n]
x[ n]
Reflejo en t=0
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 ESCALAMIENTO DEL TIEMPO.
x(t )
x(2t )
x(t / 2)
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x(t )
x( t
 Alargada linealmente si:
1
 Comprimida linealmente si:
1
 Invertida si:
 Desplazada si:
0
0
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)
Ejemplo 1.
t
x(t )
0
0 t 1, x 1
1 t 2, x
t 2
t
Encontrar,
x(t 1)
0, x
2
x
0
x(t 1), x( t 1), x( 32 t ), x( 32 t 1)
t
1, x 0
1 t 0, x 1
0 t 1, x
t 1
t 1, x
0
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t 1, x 0
1 t 0, x 1
0 t
1, x t 1
x( t 1)
t
1, x 0
t
x( 32 t )
0, x 0
0 t 23 , x 1
2
3
4
3
t
t
t
x ( 32 t 1)
, x
4
x
3,
3
2
t 2
0
2
3
, x 0
2
t 0, x 1
3
3
0 t 23 , x
2t 1
t 23 , x 0
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
SEÑALES PERIODICAS
x(t )
Señal periódica
continua
x(t mT ), con m entero
Es periódica en
periodos igual a:
T , 2T ,3T , 4T ,...
El Periodo Fundamental es:
T
To
Señal periódica
discreta
x[n] x[n N ]
No
Es periódica en
periodos igual a:
N , 2N ,3N , 4N ,...
El Periodo Fundamental es:
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N
No
3
Ejemplo : probar que la siguiente señal es periodica.
x(t )
cos(t 2 ) cos(t )
cos(t ), si t
sen(t ), si t
0
0
To
2
sen(t 2 ) sen(t )
Pero;
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SEÑALES PARES E IMPARES
PAR
x(t )
IMPAR
x(t )
x( t )
x( t )
Una señal impar debe ser
0 en x 0
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Cualquier señal se puede separar o descomponer en la suma de una señal par y una
impar.
EJEMPLO: consideremos las siguientes funciones.
Parte Impar
Parte Par
Ev{x(t )}
1
2
x(t ) x( t )
Od{x(t )}
1
2
x(t ) x( t )
Verificar que la parte Par es realmente Par y de igual forma con la parte Impar y que
la suma de las dos es x(t )
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En señales discretas
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SEÑALES EXPONENCIALES Y SENOIDALES
 Señales continuas exponencial compleja y senoidal
x(t ) Ce
Si
y C son reales
t
donde
y C son Complejos
Señal exponencial real
0
0
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Pero;
x(t )
e jwot
Señal exponencial compleja
La cual es posible probar que es una señal periódica, con periodo T
e
jwo (t T )
e
jwot
e
jwoT
e
jwot
Para el valor positivo mas pequeño de T se cumple
To
De tal manera que:
e
jwot
2
wo
y e
jwo t
Tienen el mismo periodo
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x (t )
A cos( wo t
)
wo
A cos( wo t
Asen( wo t
)
)
A
A
e j ( wot
e j ( wot
)
e
2
)
e
2j
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2 fo
j ( wot
)
j ( wot
)
Tambien;
j ( wo t
)
)
A cos( wo t
)
Re Ae
Asen( wo t
)
Im Ae j ( wot
Ejemplo:
Calcular al magnitud de la señal
x(t )
x(t )
e j 3t
e j 2t
2 cos(0.5t )
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Señales exponenciales complejas generales
x(t ) Ce
C
t
donde
C ej
y C son Complejos
y
r
jw o
Entonces,
t
Ce
C e j e( r
jwo ) t
C ert e j ( wot
)
Usando Euler,
Ce
t
C ert cos( wot
)
j C e rt sen( wot
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)
r
0
C ert
r 0
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 Señales Disctretas exponencial compleja y senoidal
x[n] C
Si
n
y C son reales
Ce
n
donde
y C son Complejos
Señal discreta exponencial real
1
0
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1
1
0
1
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Pero, si
x[ n] e jwo n
jwo
Señal discreta exponencial compleja
La cual es posible escribir como
x[ n]
A cos( wo n
)
De igual forma se puede escribir,
A cos( wo n
Asen( wo n
)
)
A
A
e j ( wo n
e j ( wo n
)
e
2
)
e
2j
j ( wo n
)
j ( wo n
)
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
Señales exponenciales complejas generales
x[n] C
n
C
donde
C ej
y C son Complejos
e jwo
y
Entonces,
C
n
C
n
e jwo n
Usando Euler,
C
n
C
n
cos( wo n
)
jC
n
sen(wo n
NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA
)
1
1
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 PROPIEDADES DE LAS EXPONENCIALES CONTINUAS
• Mientras mas grande se la magnitud w mayor es la velocidad de oscilación de la
señal. Para cada w una señal periódica diferente.
• Una función exponencial continua es periódica para cualquier w.
¨Existen diferencias en estas propiedades para las señales exponenciales
discretas.¨
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Consideremos la exponencial discreta con frecuencia
e
j ( wo 2 ) n
e
jwo n
e
wo
2
e jwon
j2 n
La exponencial con frecuencia wo es la misma que la exponencial wo
0 wo
Por tanto, en las exponenciales discretas es
necesario tomar solo un intervalo
o
wo
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2
2
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Analizando la otra propiedad, que tiene que ver con la periodicidad
e
jwo ( n N )
e
jwo n
e
jwo N
e
Para que sea periódico, debe cumplirse la condición :
e
Esto quiere decir que:
wo
2
m
N
jwo ( n N )
wo N
e
jwo N
1
jwo n
2 m
Es un numero racional o
wo
2
m
N
Entonces, una señal es periodica si la fraccion anterior es un racional y no lo es
en otro caso.
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La frecuencia fundamental de una señal periódica discreta
2
N
wo
m
FRECUENCIA
FUNDAMENTAL
El periodo fundamental de una señal periódica discreta
N
e jwon
2 m
wo
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e jwon
PERIODO
FUNDAMENTAL
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SEÑALES DISCRETAS
PERIODICAS
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No es una señal periódica
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Ejemplo: Encontrar el periodo fundamental de la señal discreta
x[n] e
j (2 /3) n
e
j (3 /4) n
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Ejercicios:
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