“Estudio comparativo sobre competencias algebraicas en

Estudio comparativo 1
Estudio comparativo sobre Competencias Algebraicas en estudiantes universitarios
Abraham Cuesta Borges1
Juana Elisa Escalante Vega2
Richard Germán Serrano Agila3
1
A. Cuesta. Docente Prometeo del Senescyt en la Sección Física, Química y Matemática.
Universidad Técnica Particular de Loja. Loja, Ecuador
2
J. Escalante. Facultad de Estadística e Informática, Universidad Veracruzana, México
3
R. Serrano. Sección Física, Química y Matemática, Universidad Técnica Particular de Loja.
Loja, Ecuador
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Resumen
Se presenta los resultados de un estudio comparativo que analiza competencias y
dificultades de estudiantes universitarios al resolver problemas de enunciados verbales. Estos
resultados nos permiten concluir que esta incapacidad de mejora es causada principalmente por
la incomprensión del enunciado y/o de las condiciones del problema. Resulta evidente que
los estudiantes siguen evitando cualquier acercamiento algebraico y retornan a procedimientos de
carácter aritmético, especialmente cuando el problema implica cierto nivel de razonamiento de
situaciones y de diferentes contextos. Uno de los hallazgos más relevantes es que los estudiantes
fracasan en la comprensión cualitativa del problema y en la transición, no solamente del lenguaje
verbal al algebraico, sino también del pensamiento aritmético al algebraico.
Palabras Claves: Competencias, dificultades, estudiantes universitarios, lenguaje
algebraico, pensamiento algebraico.
Abstract
We present the results of a comparative study to analyze the skills and difficulties of
universities students to solve statement problems. These results allow us to conclude that this
inability improvement is mainly caused by statement misunderstanding or by problems
conditions. It is clear that students are avoiding any algebraic approach and return procedures
arithmetic character, specially, when the problem involves a certain reasoning level in different
contexts. One of the most important conclusions is that students fail in problem qualitative
understanding and its transition to algebraic language and then the transition from algebraic to
arithmetic language.
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Keywords: Competences, difficulties, undergraduate students, algebraic language,
algebraic reasoning.
ESTUDIO COMPARATIVO SOBRE COMPETENCIAS ALGEBRAICAS EN
ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS
Introducción
Preocupados por los resultados obtenidos, en las asignaturas de Matemáticas, por los
estudiantes que inician estudios universitarios el equipo docente propuso realizar un estudio con
la finalidad de constatar el nivel de competencia al resolver problemas de enunciados verbales. El
primer estudio se realiza en la Universidad Veracruzana (UV), México con estudiantes de
Informática y Economía, mientras que el segundo toma como sujetos a estudiantes de diferentes
titulaciones de la Universidad Técnica Particular de Loja (UTPL), Ecuador.
Es un estudio enfocado en el sentido de Rico (2005) al análisis de los procesos cognitivos
asociados a la competencia para resolver dichas tareas; entendiendo la competencia como “los
modos en que los escolares actúan cuando hacen matemáticas y cuando se enfrentan a
problemas” (Rico y Lupiáñez, 2010, pp. 22). El propósito general es analizar cuáles competencias
posee el estudiante para enfrentar los requerimientos algebraicos que le permitan la comprensión
significativa del conocimiento, así como cuáles dificultades se manifiestan al responder a
problemas contextualizados donde se muestra una relación entre variables.
Siguiendo las ideas anteriores, en las universidades del estudio se divide la población en
dos grupos de estudio: un grupo inicial (Grupo 1) y otro con mayor nivel de avance curricular
(Grupo 2). Se propone responder dos preguntas:
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-
¿Cuáles dificultades se manifiestan en la solución de problemas que requieren la
comprensión del concepto de variable?
-
¿En qué aspectos se manifiesta la falta de competencia para resolver los problemas
aritmético- algebraicos?
Los resultados muestran que, aunque son estudiantes de diferentes sistemas educativos y a
los que se les propone pruebas diferenciadas, existen las mismas dificultades para realizar una
lectura analítica de los enunciados verbales y serios obstáculos en el proceso de traducción de los
lenguajes natural, aritmético y geométrico al lenguaje algebraico.
Consideraciones teóricas
La investigación en didáctica de la matemática (matemática educativa) se ha estado
ocupando, entre otros aspectos, de los problemas relativos al aprendizaje (Rico 1995) para lograr
mayor comprensión de las dificultades y encontrar vías para superar estos problemas dentro del
sistema educativo. En el caso del álgebra, desde diferentes posturas teóricas, muchas de las
investigaciones van dirigidas al estudio del pensamiento algebraico, con especial interés en
analizar las interrelaciones del lenguaje algebraico con el lenguaje natural y el de la aritmética
(Filloy, Puig y Rojano, 2008).
El propio análisis sobre la cognición, dentro del El Modelo Teórico Local (MTL) (Filloy
y Rojano, 1985; Filloy, 1999; Filloy et al, 2008), establece la necesidad de identificar, describir y
categorizar las actuaciones de los estudiantes cuando se enfrentan a tareas contextualizadas que
involucran la relación entre variables (Fernández y Puig, 2002; Filloy et al, 2008). De acuerdo
con los autores, el aspecto fundamental en la solución del problema es el paso del lenguaje
Estudio comparativo 5
natural a una expresión en el lenguaje del álgebra: una ecuación. Por tanto, en la resolución de
dichos problemas se hallan implicadas, tanto la competencia en ambos lenguajes como la
competencia en el proceso del paso de un texto escrito en lenguaje natural a un texto escrito en el
lenguaje del algebra.
Un gran número de trabajos, como los reportados por Kieran (1980), Booth (1984), Filloy
y Rojano (1989), establece la necesidad de que exista una relación entre los sistemas de signos
del algebra, de la aritmética y de la lengua materna. También documentan cómo el arraigo al
pensamiento numérico y a los significados coloquiales de las palabras no coadyuva a la
interpretación, al
uso de las letras y a la comprensión de expresiones algebraicas. Como
resultado, se obstaculiza el proceso de transición hacia conceptos de mayor nivel de abstracción
como la relación entre variables.
Existen dificultades (Bednarz y Janvier, 1996) para operar con cantidades desconocidas y
para comprender la naturaleza de las relaciones existentes entre los datos y las incógnitas. Otros
resultados (Filloy y Rojano 1985; Kieran y Filloy 1989; Radford 1996) ponen de manifiesto que
se recurre al uso de procedimientos aritméticos en lugar del método algebraico, derivado de una
enseñanza que, por lo general, privilegia la sintaxis algebraica con énfasis en aspectos
manipulativos y numéricos.
En el contexto de este estudio, investigaciones realizadas con estudiantes que inician
estudios universitarios (Cuesta, Deulofeu y Méndez, 2010, Escalante y Cuesta, 2013) exhiben la
existencia de dificultades derivadas del hecho de que el estudiante no ha desarrollado la
capacidad de utilizar el concepto matemático de una manera adecuada en situaciones
contextualizadas.
Estudio comparativo 6
Metodología
La metodología del estudio es cualitativa, se apoya en un experimento realizado con
estudiantes universitarios, cuando intentan responder a preguntas y/o problemas contextualizados
que involucran variables.
Sujetos de estudio
En el caso de la Universidad Veracruzana se seleccionaron a estudiantes de dos grupos: el
primer grupo (en lo sucesivo Grupo 1) conformado por 24 estudiantes de la Licenciatura en
Informática, que estudiaban cálculo de una variable real (curso inicial de cálculo). El segundo
grupo (en los sucesivo Grupo 2), conformado por 23 estudiantes de Economía que estaban por
culminar el segundo curso de cálculo del plan de estudios (cálculo en varias variables).
En la UTPL se toma una muestra de 352 estudiantes, dividida en dos grupos. En la Tabla
1 se presenta el número de estudiantes que inician la universidad y comienzan el primer curso de
matemática (Grupo 1) y los que ya se hallaban en el estudio del cálculo (Grupo 2).
Instrumento de evaluación
En cada institución educativa se propone una prueba escrita compuesta de problemas que
pueden ser resueltos por estudiantes de nivel medio superior (bachillerato), y para cuyas
respuestas no resultan imprescindibles los conocimientos adquiridos en la universidad. A través
de las actuaciones escritas se intenta determinar el nivel de competencia para dar solución a los
problemas y describir las dificultades si existen. Aunque ambas pruebas difieren por su
contenido, las situaciones propuestas permiten determinar si los estudiantes:
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Tabla 1
Cantidad de estudiantes por Grupo de estudio en la UTPL
Grupo 1: PRIMER CICLO
Grupo 2: TERCER CICLO
COMPONENTE
TITULACIÓN
No
COMPONENTE
TITULACIÓN
No
Matemática
Biología
23
Cálculo
Ing. Civil
28
Matemática
Medicina
48
Cálculo
Finan. y Banca
38
Matemática
Ing. Agropec.
21
Cálculo
Administración
42
Matemática
Hotel. y Turismo
7
Matemática
G. Ambiental
35
Matemática
Economía
39
Matemática
Economía
38
Cálculo
Ing. Civil
33
Total
244
Total
108
-
Interpretan correctamente la situación propuesta.
-
Tienen la capacidad de simbolizar las relaciones en las que aparezca cierta caracterización
de la variable.
-
Son capaces de manipular las variables que aparecen en una expresión; y,
-
Son capaces de representar globalmente la información del problema.
Para fines de este trabajo, la Tabla 2 presenta algunas de las situaciones propuestas a los
estudiantes de ambas instituciones educativas.
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Tabla 2
Algunas situaciones propuestas en las instituciones educativas
Prueba en la UV
Prueba en la UTPL
Situación 1: Un granjero dispone de 320 metros de
Situación 1: El perímetro de un rectángulo es de 110
valla para cercar un campo rectangular, en el cual poder
cm. y uno de sus lados es 11 cm. más largo que el otro,
resguardar su ganado. ¿Cómo deberían usarse los
¿Cuánto miden los lados?
metros de valla para que el área encerrada sea tan
grande como sea posible?
Situación 2: Un joven acude a un estadio de fútbol a
Situación 2: En un teatro las entradas para adultos
comprar dos boletos, uno de palco y otro de grada
costaban $5 y para niños $2. Concurrieron 326
general, y termina pagando $200 por ambos boletos.
espectadores y se
Posteriormente vuelve a acudir para comprar 2 boletos
espectadores eran adultos? ¿Cuántos eran niños?
recaudaron $1090. ¿Cuántos
de palco y 3 de grada general y paga $460. ¿Cuál es el
valor del boleto de palco y del boleto de grada?
Situación 3: En una construcción trabajan 3 obreros,
Situación 3: En una ciudad de Ecuador, que tiene 40
los cuales pueden finalizar una obra en 12 días. El
mil habitantes, un camión cisterna reparte cada día 20
dueño necesita que terminen más rápido y decide
litros de agua por segundo. ¿Cuánto recibirá de agua en
contratar a 6 obreros más. ¿Cuánto tardarán en finalizar
promedio cada habitante en un día?
la obra 9 obreros?
Procesamiento de datos
Una primera lectura permitió elaborar dos matrices (una por cada institución), que
relacionan a cada estudiante con las respuestas a cada una de las preguntas. Después de
procesadas se obtiene una tabla resumen para cada Grupo de estudio, que muestra (por columnas)
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los porcentajes de NO ACIERTOS a las respuestas y por filas, se detallan las dificultades
halladas en las actuaciones de los estudiantes.
Se verificó que, ciertamente, se ponen de manifiesto dificultades e inconsistencias de
naturaleza diferente, muchas de ellas vinculadas al nivel de conocimiento que se tiene sobre el
contexto de las tareas y/o a la comprensión de problemas aritmético- algebraicos de enunciado
verbal. Dicha caracterización será tratada, de manera particular, en el análisis de cada una de los
problemas propuestos.
Resultados del estudio
Situación 1 (UV). En las actuaciones se observa la existencia dificultades, incluso en los
estudiantes más avanzados (Grupo2), para reconocer los lados del campo rectangular como
valores desconocidos que se deben utilizar para plantear ecuaciones algebraicas. El principal
obstáculo se halla en que no se puede reconocer y/o establecer la correspondencia entre los
conceptos involucrados (perímetro y área) que impide simbolizar una relación funcional. La
principal causa de NO ACIERTO a la respuesta se halla en la Incomprensión (60.8 % del Grupo
2 y 50% del Grupo 1) del contexto geométrico del enunciado y/o de los conceptos involucrados
(perímetro y área). Algunos comentarios escritos van en el sentido de: “no entiendo esto”, “de la
manera que se usen, el área va a ser la misma”
Situación 1 (UTPL). En estos dos grupos se manifiesta el NO ACIERTO (78 % del Grupo
2 y 72% del Grupo 1) de nuevo por la incomprensión, a falta de una lectura analítica de la
situación verbal que permita, con el conocimiento que se tiene sobre el concepto de perímetro,
establecer ecuaciones algebraicas para resolver el problema. Lo que saben hacer muchos
estudiantes es: “dado las dimensiones de los lados calcular el perímetro”.
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Situación 2 (UV). En esta situación se desea aprovechar un contexto conocido por los
estudiantes, de manera que se les facilite relacionar las incógnitas y obtener el resultado. El
problema precisa identificar y simbolizar dos incógnitas (precios de palco y grada) que se pueden
determinar, de acuerdo a las condiciones planteadas, con manipulación aritmética y/o algebraica.
En efecto, los estudiantes logran reconocer e identificar la presencia de valores desconocidos; sin
embargo, no lograron (63% del Grupo 2 y 85% del Grupo 1) simbolizar y utilizar las cantidades
desconocidas para plantear las ecuaciones que permita, posteriormente, resolver el problema en el
marco aritmético o algebraico. Lo que intentan algunos alumnos (18% del Grupo 2 y 25% del
Grupo 1 es determinar las cantidades desconocidas realizando operaciones aritméticas.
Situación 2 (UTPL). Un alto porcentaje de estudiantes (87% del Grupo 2 y 77% del
Grupo 1) no logra establecer, a partir de las condiciones del problema, un sistema de dos
ecuaciones que permita dar solución al problema propuesto. En estos dos grupos existe
reconocimiento sobre la existencia de valores desconocidos (espectadores adultos y niño); sin
embargo, lo que intenta hacer la mayoría de los estudiantes es proponer valores que satisfagan las
condiciones establecidas en base al procedimiento de prueba y error.
Situación 3 (UV). En esta situación se busca conocer si los estudiantes son capaces de
comprender y establecer la proporción inversa en un problema contextualizado. Es de interés
analizar si pueden reconocer la incógnita del problema, reconocer el patrón y percibir la regla de
solución, que les permita manipular la variable simbólica y determinar la cantidad desconocida
realizando operaciones aritméticas elementales. El principal obstáculo se halla en la
incomprensión del concepto de proporcionalidad inversa (45% del Grupo 2 y 20% del Grupo 1).
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Por otra parte, la lectura de las actuaciones escritas corroboró que no se tiene un
conocimiento de tipo conceptual sobre el concepto de proporción inversa: algunos alumnos
llegan a la respuesta correcta con un procedimiento de prueba y error, bajo la “lógica” de que si
no resulta por regla directa entonces debe ser por regla inversa, lo cual, si bien correcto, es
carente de significado.
Situación 3 (UTPL). Las dificultades se manifiestan en el proceso de traducción del
lenguaje verbal al aritmético, causado por la necesidad de trabajar con dos magnitudes diferentes
(número de habitantes y litros de agua por cada en segundo). Para muchos estudiantes (79 % del
Grupo 2 y 79% del Grupo 1) resulta totalmente incomprensible la situación propuesta, que pone
de manifiesto una inadecuada interpretación del lenguaje verbal. Muy pocos estudiantes logran
establecer la razón “litros de agua depositados por día” para luego, con una operación aritmética,
determinar el promedio diario por habitante.
Discusión y consideraciones finales
Investigaciones anteriores (Kieran y Filloy, 1989; Radford, 1996; Fernández y Puig, 2002;
Filloy et al, 2008) documentan la necesidad de que exista una relación entre los sistemas de
signos del algebra, de la aritmética y de la lengua materna, en especial cuando el enunciado
verbal requiere transformaciones más complejas. La falta de competencia (Escalante y Cuesta,
2013) en el proceso de trasferencia del lenguaje natural al lenguaje algebraico se halla, entre otros
aspectos, en el nivel de comprensión de las situaciones de la vida real y de los contextos en que
se plantean los problemas.
Nuestro análisis indica que, en efecto, un alto porcentaje de estudiantes se sienten más
cómodos realizando operaciones aritméticas, en lugar de utilizar un acercamiento en el marco de
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resolución algebraico. Está claro, en estas condiciones, que los estudiantes de los dos niveles de
avance curricular en ambas instituciones evitan cualquier acercamiento algebraico y retornan a
procedimientos de carácter aritmético, cuando lo que el problema requiere es cierto nivel de
razonamiento de la situación verbalmente planteada, del contexto en que se presenta la tarea o del
concepto involucrado. No resuelven en el marco algebraico, precisamente por incomprensión del
enunciado del problema que lo reduce a una lista de cantidades y de relaciones entre cantidades.
En este sentido destacan varios aspectos:
La falta de competencia, para expresar las condiciones del problema en lenguaje
algebraico, está asociada a la comprensión lectora, es decir a la existencia de un obstáculo para
realizar una lectura analítica de enunciados verbales, que conduce a serias dificultades en el
proceso de traducción de los lenguajes natural, aritmético y geométrico al lenguaje algebraico.
Los alumnos no pueden identificar la estructura general del problema, a partir de las
cantidades (desconocidas y conocidas) como tampoco la relación entre ellas, a causa de la falta
de asociaciones entre diferentes conceptos que son necesarias para trabajar con el conocimiento
algebraico.
Existen conceptos como área o proporcionalidad inversa que fueron estudiados en los
primeros semestres de bachillerato. Sin embargo, lo que saben hacer los alumnos, hasta terminar
el bachillerato, es un conjunto de procedimientos tipo que son carentes de significados. Resulta
evidente que los estudiantes utilizan, por igual, un marco de resolución aritmético y que las
mismas dificultades son trasladadas a lo largo de su estancia en la universidad. Indicativo de que
el proceso de enseñanza pone especial énfasis en los aspectos manipulativos, lo cual constituye
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un serio obstáculo en la comprensión de significados que coadyuven al proceso de transición de
la aritmética al algebra.
La falta de competencia se halla:
-
En la comprensión lectora, tanto del lenguaje natural como de enunciados verbales de
problemas aritmético- algebraico.
-
En la comprensión de las situaciones de la vida real y de los contextos en que se plantean
los problemas.
-
En el sistema de signos del algebra, que se relaciona con la designación de signos y
cantidades, y con el establecimiento de relaciones y expresiones a partir de las
condiciones propias del problema.
Pero también, destaca el hecho de que muchas de las dificultades se deben, por una parte,
a la incomprensión de otros conceptos involucrados en las tareas y por otra, a la falta de
asociaciones entre diferentes conceptos que son necesarias para trabajar con el conocimiento
algebraico. Muchos estudiantes no pueden identificar, en el sentido que señalan Bednarz y
Janvier (1996), la estructura general del problema a partir de las cantidades (conocidas y
desconocidas) como tampoco la relación entre ellas. Es causado por un inadecuado proceso de
transferencia de ideas expresadas en lenguaje aritmético al lenguaje algebraico, y por la
desconexión existente entre el lenguaje algebraico con otros dominios matemáticos, como el
geométrico.
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