Tarea 2 Abr-Jul 2016 - LDC - Universidad Simón Bolívar

¾Qué es poesía?, dices mientras clavas
en mi pupila tu pupila azul.
¾Qué es poesía? ¾Y tú me lo preguntas?
Poesía... eres tú.
Rimas y Leyendas, Gustavo Adolfo Becquer.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación
y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas III
CI-2527 Abr-Jul 2016
Tarea 2Estructuras Algebraicas
NOMBRE
1.
fácil
CARNET
fácil
ai es un absorbente a izquierda de un grupoide G y ad es
ai = ad y en consecuencia G tiene un elemento absorbente.
Demuestre que si
derecha de
2.
NOTA
G,
entonces
un absorbente a
Muestre que si un grupoide tiene dos elementos absorbentes a derecha, entonces no es conmuta-
tivo.
x con coecientes en Z . Recuerde que un
Z[x] de grado n es una expresión algebraica de la forma a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn donde
an ̸= 0 si n ̸= 0. Si denotamos por + a la suma usual de polinomios, ¾qué estructura algebraica de las
estudiadas tiene ⟨Z[x], +⟩? Muestre algunas sub-estructuras. Justique cuidadosamente sus respuestas.
3. Sea
Z[x]
el conjunto de los polinomios en la indeterminada
polinomio de
4. Demuestre que para todo conjunto A, se tiene que la unión e intersección de conjuntos son operaciones
binarias denidas sobre
P(A), esto es, que ⟨P(A), ∪⟩ y ⟨P(A), ∩⟩ son grupoides. Muestre sus neutros y
elementos absorbentes si los tienenjustifíquelos. ¾Son conmutativas? ¾Asociativas? ¾Qué elementos
tienen inverso? ¾Qué estructura tienen estos grupoides? Para los casos,
A = {a, b} y A = {a, b, c} escriba
sus tablas y señale las propiedades que puede observar de las tablas. Muestre las tablas de algunas
sub-estructuras.
5.
medio
Sea F el conjunto de las aplicaciones fi : IR − {0, 1} → IR − {0, 1} con 1 ≤ i ≤ 6 denidas
1
x
x−1
f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = 1−x
, f4 (x) =
x−1 , f5 (x) = x y f6 (x) = 1 − x. Demuestre que
composición de aplicaciones es una operación binaria denida sobre F , escriba su tabla y indique la
por
la
estructura del grupoide justicando sus propiedades. Halle las sub-estructuras y diga que estructura
tienen.
6. Dados los grupoides
⟨Z, +⟩
y
⟨2Z, +⟩,
demustre que la función
φ : Z → 2Z
denida como
es un homomorsmo entre ellos. ¾Es epimorsmo? ¾Que tipo de morsmo es? ¾Cuál es su
7.
relevante
Demostrar que la relación de
una relación de equivalencia. Se dice:
H
isomorsmo
es isomorfo a
kernel
φ(x) = 2x
?
denida sobre el conjunto de los grupoides es
G
y se anota
H ≃ G.
Esto parte al conjunto de
todos los grupoides es clases, en cada clase están los que son iguales por isomorsmo
8.
interesante
Demuestre que si
x ∈ G x ∗ x = e,
1.
no trivial
2. Sea
entonces
G
⟨G, ∗⟩
es un grupo con identidad
e
en el que se cumple que para todo
es abeliano.
Ejercicios Complementarios
Use el principio de buena ordenación para probar que
⟨G, ∗⟩ un grupo y sea x un elemento de G, denotemos por x′
a, b de elementos de G, se tiene que (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ .
√
2
no es un número racional.
al inverso de
x,
demuestre que para
todo par
3. Dado un conjunto nito
X,
X X al⟨ conjunto
⟩ de las funciones de X en X y por circ a la
MX = X X , ◦ es un monoide. ¾Cuál es el elemento neutro?
denotamos por
composición de funciones. Demuestre que
¾Cuáles son los elementos invertibles? ¾Hay elementos absorbentes? ¾Cuáles son? ¾Es conmutativo?
X
Para el caso X = {a, b} muestre X
etiquetelas: f0 , f1 , . . . y construya la tabla de la operación. ¾Cuáles
son las sub-estructuras de este monoide? ¾Qué sub-estructura tienen?
4.
deniciónmedio
Dados dos enteros positivos
a
y
b,
demuestre que si
p1 , p2 , . . . , p k
es una lista
sin repeticiones de todos los primos que aparecen en la descomposición en primos de a y de b,
β1 β2
βk
αk
α1 α2
y a = p1 p2 · · · pk
y b = p1 p2 · · · pk
con αi ≥ 0 y βi ≥ 0 para todo i, entonces el máximı́n(α1 ,β1 )
mı́n(αk ,βk )
mo común divisor positivo entre a y b es p1
· · · pk
y su mínimo común múltiplo es
máx(α1 ,β1 )
máx(αk ,βk )
p1
· · · pk
.
5. Dados dos enteros
r′ < b, entonces si
a y b tales que b > 0, si se
r ̸= 0, entonces r′ = b − r
a = qb + r ∧ 0 ≤ r < b y que −a = q ′ b + r′ ∧ 0 ≤
q = −(q + 1), y si r = 0, entonces r′ = r y q ′ = −q .
tiene que
y
⟨Z4 , +⟩ y ⟨Z4 , ·⟩, donde Z4 es el conjunto de las clases residuales
4. Estudie las propiedades de estos grupoides a partir de las tablas y diga qué estructura tienen.
6. Construya las tablas de los grupoides
módulo
Nota: para la suma o el producto de dos elementos, se operan como enteros y se toma el resto de dividir
entre
7.
4.
Oserve que
2 · 2 = 0,
sin embargo ningún factor es cero.
movimientos rígidos-del-cuadrado
sentido contrario a las manesillas del reloj
Etiquete los vértices indistinguibles de un cuadrado con los números
0, 1, 2, 3,
en el
, para hacerlos distinguibles. Considere el eje
perpendicular al plano del cuadrado que pasa por su centro de gravedad y observe el efecto que tiene
sobre los vértices del cuadrado de una rotación de
como funciones que llamará
ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3
0, 90, 180, 270
grados respectivamente y expreselas
respectivamente. Considere además los ejes de rotación que
pasan por dos vértices no adyacentes y halle dos nuevas rotaciones o espejos (reexiones) y llámelas
µ0
a la que pasa por
0
y por
2,
y
µ1
a la que pasa por
1
y por
3.
Por último contruya dos nuevas
rotaciones usando los ejes de simetría que pasan por los puntos medios de dos lados opuestos y denote
por
µ2
a la que su eje bisecta al secmento
a este conjunto de transformaciones
D4 .
01 y por µ3
a la que su eje bisecta al secmento
12. Denotemos
Contruya la tabla de estas transformaciones con la opración
de composición y estudie sus propiedades. ¾Es conmutativo? ¾Qué estructura tiene? Halle todas sus
sub-estructuras. De ser un grupo halle todos sus subgrupos.
8.
bonito e ilustrativo
si se sabe que
c=
2 3
Construya la tabla del grupo multipkicativo cuyos elementos son: 1, a, a , a , b, c, d, e
2
3
4
2
3
ab, d = a b, e = a b, a = 1, b = 1 y ba = a b. Además determine los sub-grupos de
este grupo y dibuje su diagrama de Hasse.
El buen sentido es la cosa que mejor repartida eetá en el mundo, pues todos juzgan que poseen tan buena provisión de él que aun los más difíciles de
contentar en otras materias no suelen apetecer más del que ya tienen. En lo cual no es verosímil que todos se engañen, sino más bien esto demustra que
la facultad de juzgar bien y de distinguir lo verdadero de lo falso, que es propiamente lo que llamamos buen sentido o razón, es por naturaleza igual
en todos los hombres; y, por lo tanto que la diversidad de nuestras opiniones no procede de que unos sean más racionales que otros, sino tan sólo de
que dirigimos nuestros pensamientos por caminos distintos y no consideramos las mismas cosas. No basta, ciertamente, tener un buen entendimiento:
lo principal es aplicarlo bien. Las almas más grandes son capaces de los mayores vicios, como de las mayores virtudes; y los que caminan lentamente
pueden llegar mucho más lejos, si van siempre por el camino recto, que los que corren, pero se apartan de él. Por mi parte, nunca he presumido que mi
espíritud fuese superior en nada al de los demás; hasta he deseado muchas veces tener el pensamiento tan presto y la imaginación tan nítida y distinta,
o la memoria tan amplia y feliz como algunos otros. Y no sé de otras cualidades que contribuyan a la perfección del espíritud fuera de éstas; pues en
lo que concierne a la razón o al sentido, siendo, como es, la única cosa que nos hace hombres y nos distingue de las bestias, quiero creer que está toda
entera en cada uno de nosotros y seguir en esto la opinión general de los lósofos, que dicen que el más y el menos existe solamente en los accidentes y
no en las formas o naturalezas de los individuos de una misma especie.
Pero, sin temor, puedo decir que pienso que ha sido gran fortuna para mí haberme hallado desde joven en ciertos caminos que me han conducido a
consideraciones y máximas con las cuales he formado un método, que parece haberme dado un medio para aumentar gradualmente mi conocimiento y
elevarlo poco a poco hasta el punto más alto a que la mediocridad de mi espíritud y la brevedad de mi vida pueden permitirle llegar. Pues tales frutos
he recogido ya de este método, que si bien al juzgarme procuro siempre inclinarme más bien del lado de la desconanza que del de la presunción, y
aunque, al mirar con ánimo losóco las distintas acciones y empresas de los hombres, no hallo casi ninguna que no me parezca vana e inútil, no deja
con todo de satisfacerme el progreso que pienso haber hecho en la investigación de la verdad y concibo tales esperanzas para el porvenir que si entre
las ocupaciones de los hombres, verdaderamente tales, hay alguna que sea sólidamente buena e importante, me atrevo a creer que es la de que yo he
escogido.
Puede suceder, sin embargo, que me engañe y acaso no sea sino cobre y vidrio lo que a mi me parece oro y diamante. Sé cuán expuestos estamos a
equivocarnos cuando se trata de nosotros mismo y cuán sospechosos deben de sernos también los juicios de los amigos que se pronuncian en nuestro
favor. Pero me gustaría dar a conocer en el presente discurso cuáles son los caminos que he seguido y representar en ellos mi vida como en un cuadro, a
n de que cada uno pueda juzgar, y así, tomando luego conocimiento por el rumor público de las opiniones emitidas, halle en esto un nuevo medio de
instruirme, que añadiré a los que acostumbro a emplear.
No es, pues, mi propósito enseñar aquí el método que cada cual debe seguir para dirigir bien su razón, sino sólo exponer de que manera he tratado de
conducir la mía. Los que se meten a dar preceptos deben estimarse más hábiles que aquellos a quienes se los dan y si yerran en la menor cosa merecen
censura por ello. Pero como yo propongo este escrito tan sólo a modo de historia o, si se preere, de fábula, en la que entre algunos ejemplos que
se pueden imitar quizá se hallen otros muchos que sería razonable no seguir, espero que será útil para algunos sin ser nocivo para nadie y que todos
agradecerán mi franqueza.
Me eduqué en las letras desde mi infancia y como me aseguraban que por medio de ellas se puede adquirir un conocimiento claro y seguro de todo cuanto
es útil para la vida, tenía extremado deseo de aprenderlas. Pero tan pronto terminé el el curso de los estudios, al cabo de los cuales se acostumbra a
entrar en la categoría de los doctos, cambié por completo de opinión. Me embargaban, en efecto, tantas dudas y errores que, procurando instruirme, no
había conseguido más provecho el reconocer más y más mi ignorancia. Estaba, no obstante, en una de las más célebres escuelas de Europa, en donde
pensaba yo que debía haber hombres sabios, si es que los hay en algún lugar de la tierra. Allí había aprendido todo lo que los demás aprendían; y no
contento aún con las ciencias que nos enseñaban, recorrí cuantos libros pudieron caer en mis manos referentes a las que se consideran como las más
curiosas y raras. Conocía también los juicios que los demás se formaban de mí y no veía se me cryese inferior a mis condicípulos, aunque entre ellos
hubiese ya algunos destinados a ocupar el lugar de nuestros maestros. En n, parecíame nuestro siglo tan oreciente y fértil en buenos ingenios como
pudo haberlo sido cualquiera de los siglos presedentes. Por todo lo cual me tomaba la libertad de juzgar a los demás por mí mismo y de pensar que no
había en el mundo doctrina alguna como la que se me había prometido.
No dejaba por eso de estimar en mucho los ejercicios que se hacen en las escuelas. Sabía que las lenguas que allí se aprenden son necesarias
para entender los libros; que gentileza de las fábulas despierta el espíritu; que las acciones memorables de las historias lo elevan y que, leídas
con discreción, ayudan a formar el juicio; que la lectura de los buenos libros es como una conversación con las gentes más distinguidas de los
pasados siglos, que han sido sus autores, y hasta una conversación estudiada en la que no nos descubren sino sus mejores pensamientos; que la
elocuencia posee fuerzas y bellezas incomparable; que la poesía tiene delicadezas y dulsuras que marabillan; que en las matemáticas hay sutilísimas
invenciones que pueden servir mucho, tanto para satisfacer a los curiosos como para simplicar las artes y disminuir el trabajo de los hombres; que los
escritos que tratan de las costumbres contienen muchas enseñanzas y exhortaciones a la virtud que son muy útiles; que la teología enseña a ganar el cielo;
El discurso del Método. René Descartes.