estadística - META

DIVISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINISTRACIÓN PUBLICA
ESTADÍSTICA
CORPORACION U N IVERSITARIA
DEL CARIBE.CECAR
DMISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA
MODULO
ESTAoÍSTICA
pRocRAMA A DtsrANCtA DE ADMtNISTRncIórrl
PUBLICA
SINCELEJO _ SUCRE
CORPORACIÓN U N IVERSITARIA
DEL CARIBE.CECAR
DMSIÓN DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA
ffimffiew
l:i.
MÓDULO
7
ESTADISTICA
ERICH ALVAREZ POMAR
Compilador
PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINISTRACION
PUBLICA
SINCELEJO
-
SUCRE
GLOSARIO
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
OBJETIVO
49
GENERAL
OBJETIVOS
so
ESPECÍFICOS
REOTTISITOS PREYIOS
50
.50
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DISPERSIÓN Y OTRAS
2. 1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Nleo¡e An¡r¡uÉrlce
MEOIE EN UNA DTTRINUCIÓN UE FRSCTJ:ENCI¡S ACRUPEPE
ALGITNAS PRopmoenrs rMpoRT¿.Nrds DE LA Mnnn ARrrn¡Érrc¿
MEDIANA
LA MODA
2.2 MEDTDAS DE DISPERSIÓN
RANGo
CueRrllrs y Dec¡les
R,rxco lxrencu¡.Rrtl
DESV|ACIÓI.{ ¡anun
V¡rRm,WZe
Dosvrrrcló¡l Tiprc.l o EsrÁ¡ruen
Coencrnxrf, DE Vennclóiv
AUTOEVALUACIÓNT
2.3 OTRA MEDIDAS
sesco
CURTOSIS
5t
51
s7
55
59
63
68
68
69
7l
73
/)
'78
8i
84
87
89
YJ
N DE
PRB
LA U¡{IDAD
OBJETIVO GENERAL
702
OBJETIVOS ESPECIFICOS
102
REOTISITOS PRE\'IOS
102
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
103
Munsrn¡,1
3.1 Especro
3.2 f,VENTOS
3.3 PROBABILIDAD DE UN EVENTO
3. 4 DISTRIBUCIONSS DE PROBABILIDAD
.
DISCRETAS
CONTINUAS
3.5 ESPERANZA MATEi}IÁTICA
3.6 RELACION ENTR.E POBLACIÓN. DTf,DIA ilTUESTRA.L Y VARIANZA
3.7 ANÁLISN COMBII{ATORIO
PRllclpro FUNDAIITENTAL.
F,tcroRte¡-
DE N
103
107
1r7
l17
117
118
121
122
123
123
124
CovrslN¿cIoNES
t24
t25
Recus SÍui.rplICATIVAs
126
Rec¡-r on Bevns
IJJ
PSRMUTaCIONES
f aa
GLOSARIO
1.10
REST]MEN
l,1l
PRESENT'ACION
144
OITJETIVO GEhIERAL
145
OB.TETIVOS ESPECÍP'ICOS
t15
REOTiTSITOS PItE\/IOS
t.f 5
VARIABLES ALEATORTAS Y DISTRIBUCION{ES DE
PROBABILIDAD
AlneroRra
DnCnnre :
+.f CorVcnrro Df, VARL{BLE
!"rnrenlpAtt¿roRH
:
VeRnnTr ALEAToRII CoxTnruI
4.2 Dnrni¡ucroNrs Drscn¡res nu pRoneBrLrDaD
Drcrnmucrox Bn¡orurer
PRoc¿so nE BenNouru
Drsrnrnuclóx on porssox
DrsrRrnuclóN HrpnnceoiuÉrnrc,l
4.3 DISTRIBUCIO}I-ES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
DrsrnrnuclóN Noniu¡L
146
151
r52
154
154
l))
162
168
177
177
ATTTOEVALLTACIÓN
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Drsrnrnuclón Nonuel
D lsrnl suctów Expolr¡ENcIA L
ANEXO I
uuuocnanÍn
185
191
192
]e4
1q<
f
INTRODUGCION
La importancia de la Estadística ha crecido enormemente en los últimos años y hoy
figura en casi todos los campos, como la Física, la Química, la Biología, la Medicina, la.
Sicología,.la Ciencia Política y todas las ramas de la lngenieria.
El conocimiento de la Estadística es necesario para todos nosotros, sin importar a cual
actividad nos dediquemos; ya que desde los años infantes y sin darse cuenta usted
apliüaba
la Estadística intuitivamente. Es decir,
en' juegos que reunieran
a
varias
personas, al escoger a sus compañeros de equipo trataba de escoger a los que tuvieran
mayores probabilidades de triunfos; al realizar pequeños juegos de azar se involucraba
en la Estadística.
Para que el estudio de la Estadística le resulte agradable y de fácil entendimiento, es
necesario que
en la mayor parte de sus actividades acostumbre su mente
pensamiento estadístico
y trate de
entender las soluciones
a
al
ciertos problemas
cotidianos desde el punto de vista de esta ciencia. Así, es común que en muchos
comerciales se califique un producto como "el mejor"; pregúntese entre cuántos
productos de iguales características, ó Oa¡o que condiciones probatorias se realiza tal
distinción. S¡ usted se enseña a manejar un contexto estadístico en los temas
cotidianos, tendrá una visión científica
y diferente de aquellas personas que no
lo
realizan.
En un principio, la Estadístiaa era usada únicamente'en actividades de Estadoi es decir,
el Gobierno era quien utilizaba .estas iécnicas en algunos de sus campos, pero no se.
ni era utilizada en ninguna otra ciencia'de.
había desarrollado en otrasdiferenies
'"amas
la época. Ya con el tiempo,'se fue masrtic¿ndo en áreas científicas y es poreSo queét
conocimiento se fue expandjendo,
I
hoy por hoy, en la mayoría de las áreas del sabár,
es una de las herramientas indispensables con que cuent'a lá
humanidad p.ara tratar de
' dar ciertas exilicaciones
! hecnos QUe ocur.r.ef1.
con el tiempo, se introducen nuevos'conocimientos que irrumpen
en ef campo de
Estadística y nacen disciplinas ge.rnelas que complementan
algunos
la
conocimientos de
ésta, tales como la probabilidad, la cual tuvo sus inicios a
comienzos del siglo XVll,
como resultado de investigaciones de diversos juegos de
azar. Desde entonces, han
contribuido a su desarrollo y perfeccionamiento muchos
científicos y matemáticos de
reconocidas capacidades; pero a pesar de su larga y activa
historia, el conocimiento
probabilístico solo se axiomatizó durante los años
treintas y cuarentas del siglo
anterior' Este avance axiomático, precisó los conceptos de probabilidad
y los colocó
sobre excelentes bases matemáticas, llamándola Teoría
Moderna de la probabilidad.
Este texto se ha programado para gue usted aprenda a utilizar
los aspectos
elementales y de mas frecuente aplicación en la Estadística.
Los pasos a seguir para
poder avanzar en el curso están cuidadosamente preparadoS,
de modo que no debe
pasar de una unidad a otra sin estar seguro de los
conocimientos, habilidades y
destrezas que ha adquirido, y de su objetivo.
4
J
Fundamentos Básicos de
Estadística
.a
w
{-,
¡
I
¡-\tf
I lvrl-¡ñ -l ,l
L'I IILTqLI I
ri
PRESENTAC6N DE LA I'NIDAD.
En esta unidad se compilan los temas mas relevantes que se necesitan
conocer para
'
profundizar en los capítulos siguientes, lo que 1a hace
una de las más importantes de
este texto; ya que si los conocimientos adquiridos no se encuentran
bien afianzados, es
muy probable que se presenten serias falencias en los capítulos
continuos.
Los temas a
lratar son bastante sencillos y de fácil entendimiento. se inicia con una
definición de Estadística y los campos en los cuales es posible y
útil su aplicación.
Posteriormente, se tratarán
temas de distribuciones y de datos, en los cuáles el
estudiante debe esforzarse por desarrollar los ejercicios que más pueda.
En la parte
final de esta unidad, se explicarán algunos gráficos y pictogramas
de gran importancia.
OBJETIVO GENERAL
.a
Dar a conocer las bases más importantes que se requieren a nivel estadístico; con el
ánimo de garantizar y facilitar el posterior entendimiento en los temas siguientes.
.
I
fi
OBJETTVOS ESPECíFICOS
Explicar algunos conceptos básicos.
tdentificar los campos de aplicación de la Estadísiica.
E Manejar y utilizar las técnicas de agrupación
de frecuencias.
D Desarrollar las náU¡l¡OaOes necesarias para la
realización
de tablas de
distribución de frecuencias, histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas.
E Desarrollar destrezas
para calcular frecuencias relativas, percentil
y
rango
'percentil.
Requisitos Previos
Para la perfecta comprensión y iotal entendimiento de esta unidad, el estudiante debe
tener buenas bases de matemáticas,
Estad ística prgviamente.
v.
y no es necesario
.haber realizado cu¡'sos de
FPNDAMENTOS BÁSICOS DE ESTAOíSTICN
1.1 Definición de Estadística
La Estadística estudia ros métodos científicos para
organizar, resumir
y
anafizar datos,
recoger,
así como para sacar
conclusiones válidas y tomar decisiones razonables
basadas en
tal análisis.
Pero,
para
comprender su estado actual
actividades, necesitamos conocer argo
y su campo de
de su
Godofredo Achenwail (1719-1772), profesor
alemán, quien es considerado
y
historia.
economista
er fundador de ra Estadística,
ejerciendo la docencia en ra universidad de Leip
zig reafizó
unos apuntes acerca de una nueva ciencia
a ra que
ilamó
Estadística, [a cuaf ra definió como er conocimiento profundo
de
la
situación respectiva
y
comparativa
de
cada esfado.
Estadística se deriva de ra parabra sfaaf que
significa gobierno.
Godofredo Achenwall
Er trabajo de Achenwa, y sus coraboradores
se basó
investigar, medir y.comparar las riquezas de
una nación con
respectivas
en
las
riquezas de otras naclones; aunque esto
no quiere
(71e'1772),
y
economis.la Alemán,
. quren
el
es
considerado
rundador de . ra '
Estadística. .
'7
proresor
decir que anteriormente no se realizara, ya.que'hay indicios qure de 2000 a 2500 años
antes de Cristo la cultuá china y la egipcia realizaran inventarios.sencillos o censo's por
oiden de sus soberanos.
'Hoy en día, la Estadística puede definirse como un'método
científico de operar con los
datos é interpretarlos.
Usted alguna vez ha utilizado las expres¡on". promedio
y
es decir, pudo
uniforme,
.
haber calculado el peso promedio de sus compañeros de clase y haber dicho que su
peso es uniforme debido a las pequeñaq diferencias de peso entre unos y otros, o, en
térmirios estadísticos, que su dispersión
puede haber pensado en
o variación de peso es pequeña. También
la correlación que puede existir entre dos
cualidades
(variables). Por ejemplo, si'el peso de una persona influye en su rapidez para correr; y
en alguna otra ocasión habrá realizado predicciones
o
pronósticos sobre hechos
inciertos
1.2
Campos de Aplicación
Las primeras aplicaciones de la Estadística fueron los asuntos de gobierno y luego las
utilizaron las compañías de seguros y los empresarios de juego
y
azar, a las anteriores
siguieron los comerciantes, los industriales, los educadores, etc. Hoy en día resulta
difícil decir en qué profesión nó se utiliza la Estadística
ó
El estudio y aplicaoión de los métodos .estaoiético, .on necesarios
en todos los
campos del saber,
aplican
o
y, ,""n
de nivel técnico o científico. Es obvio.que en cada campo
se
desarrollan procedimientos específicos, como aplicaciones partÍculares
o
variantes de la teoría general. En este texto se utilizan los
métodos estadísticos mas
difundidos y de mayor aplicación y, por lo tanto, los de mayor
uso en las áreas técnicas
y científicas.
1.3 Estadística Descriptiva
-
Estadística Inferencial
El método estadístico se divide en dos usos: ,,Estadística
Descriptiva o Deductiva" y " Estadística lnTerencial o Inductiva,,.
Al recoger datos relativos a las características de un grupo de
individuos u objetos,
cofegio
,"rn
ánrras y pesos de estudiantes de
un
o tornillos con defectos que se produzcan en una
determinada factoría, suele
ser imposible o nada
práctico
observar todo el grupo, en especiar si es muy grande. En rugar
de examinar el grupo ente.ro, ilamado pobración
examina una pequeña parte del $rupo, llamada
o universo,,
se
muestra.
El mérodo esradístico se
divide
Una población puede ser finita
o
infinita. por ejemplo, la
población consistente en todas las tuercas producidas por
fábrica un cierto
día.es
mientras que ra determinada
una .
por
en dos usos:
"Estadística Descriptiva
o
Deduciiva,,
y
"Estadística Inferenciato
Inducti.va''.
'
de sucesivas tiradas de una moneda' es
todos fos. posibles resultadoS (ca'ras, cruces)
infinita.
si
es posibre inferir importantes
una muestra es representativa de' una pobración,
.a
muestra. La parte de la
sobre ra pobración partir der anárisis de ra
concrusiones
Estadística que
es válida
trata con ras condiciones bajo ras cuares tar diferencia
se
er cua[ es er método y conjunto de
rlama Estadística rnductiva o rnferencia Estadística,
los límites áe tos
que se utilizan para obtener conclusiones que sobrepasan
técnicas
En otras parabras, busca obtener información
conocimientos aportados por ros datos.
procedimiento de ros daios de una muestra
sobre un corectivo meáiante un metódico
tomada de él
de analizar y describir un grupo dado' sin
La parte Ob ta Estadística que solo se ocupa
se tama Estadística Descriptiva o Deductiva;
sacar concrusiones sobre un grupo mayor,
de datos' conclusiones sobre los
el cual es el método para obtener, de un conjunto
mismosyquenosobrepasane|conjuntodeconocimientosqueproporcionanesos
de corectar, presentar, anarizar e interpretar
datos. su estudio incruye er de ras técnicas
los datos.
1.4 Conceptos y Definiciones Básicas
para recoger, organizar'
Estadística.- Estudia los métodos científicos
'resumir y
váJidas y tomar decisiones razonables
analizar datos, asÍ como pára sacar conclusiones
1^
{\J
.basadas en tal análisis.
Población
ó
uni,verso cqrectivo.- Es er conjunto de todos ros erementos,. medidas.
individuos u objetos que tienen una caracierística común.
Dafos'- Son medidas, valores
o
características susceptibles de ser observados y
contados' Por Ejemplo: el Déficit Fiscal de algunos países Latinoamericanos
respecto a
su PIB (Producto lnterno Bruto). Colombia, 2.5o/ol Venezuela,3.So/o; perú,
2.go/oi Chile,
1.5o/o;
Costa Rica, 2.0%.
Variable.- Es una caracter(,stica que puede tener diferentes valores
en los. distintos
elementos o individuos de un conjunto; se clasifican en variables
discretas y variables
continuas' Si la varíable puede tomar cualesquiera de todos
los
valores, teóricamente
posibles, entre dos valores dados, se dice que la variable
es cóntinua; por Ejemplo, la
altura a la que vuela un avión, o la temperatura ambiente en una
ciudad. En caso de
que pueda tomar sólo valores enteros se dice que la variable
es discrefa. por Ejemplo el
número de tetevisores vendido en una tienda por departamentos,
personas que pagan el impuesto de renta.
11
o el número
de
AUTOEVALUACIÓN
Ejercicios
l'
Exprese con sus propia,
explicaciones
'
prt"nr". y luego compárelas con las definiciones
del módulo. (a) Estadística, (b) Estadística
Descriptiva,
(c)
Estadística Inductiva, (d) datos, (e) variable.
ll'
De las siguientes variables cuáles
son continuas y cuáles son discretas:
'
.
.
.
Estatura de las personas.
El peso de las personas.
Número de soldados de cada pelotón
en un batallón.
Edad de las
p"rron"r, en años que hayan cumplido.
Actividades
'
f'
Reallce
'n "n'"r,s
de comerciales'de tefevisión o de radío,
haga un ensayo y
pida a su Tutor que los evalúe.
ll'
.
consulte.dlgún tipo de Estadística que
lreve una organizacióngubernamental
(Banco
de ra
Repúbrica, Gobernación,
etc.), con er fin de qpricar ros
conocimientos anter¡ormente vistos y ver qué
utilidad nos pueden arrojar esas
Estadísticas
consultádas
lll , ' si usted na reioo v :";;r""aido
:
bien ros iemas,. esra en capaóidad de
idenrificar:
y
La Estadístiga.
Los campos de aplicación de la Estadistica.
.Variable..
Variable discreta y continua.
Muestra.
Población.
Dato.
Estadística Descriptiva.
Estad ística I nferencial.
lV'
Antes de completar las siguientes frases debió haber respondido los anteriores
puntos. Con los conocimientos aprendidos de los anteriores temas,
complete:
.
A través de una investigación se recolectan los
. La_o
es el conjunto de todos los,elementos, medidas,
individuos u objetos que tienen una igual o común característica.
'
La Estadística que sobrepasa los límites del conocimiento aportado por
los datos
es la
.
Los hechos que toman diferentes valores se llaman
tomar cualquier valor son
sr oueoen
, por ejempfo, el tiempo; si no pueden tomar
valores inter:medios son
por ejempto, el número de alumnos de
cada curso en uri colegio.
1'¿.
1.5 Distribuciones de frecuencias
cuando los datos estadísticos son
nurnerosos, es muy difícil obtener.
alguna
conclusión si no se les organiza y
clasifica, es decir, se res arregra de
acuerdo con
algún método existente' En los s,iguientes
temas se expricará er método estadístico.que
se aplica en el manejo de datos no
clasificados, para formar una distribución
de
rrecuencias que permita er estudio
der comportamiento de esos datos.
Al resumir grandes colecciones de
datos, es útil distribuirios en c/ases
o cafego rías , y
determinar el número de individüos que
pertenecen a cada crase, ilamado
rrecuenc¡a
de c/ase' una
disposición
taburar de ros datos por crases junto
con
conespondientes frecuencias de
clase, se llama distiibución
de
ras
frecuencias o tabla de
frecuencias' La siiuiente tabla es
una distribución de frecuencias
del peso en Kg.(con
precisión de 1 Kg') de 100 personas
que participan en una campaña
de nutrición que
realiza la Alcaldía de Sinceleio.
"n fn,
"":^o
70 _72
73-75
to- t6
79-81
82-84
Número de personas
I
27
42
18
J
TÓTAL
100
Tabra 1'5'J' pesó de 100 pérlonás
en una campaña de nutrición.
La pri¡nera ciase
(o
categoría), porejemplo, consta delos pesos entre 7a.-72Kg
indica por el rango 70
-
es
8.
frecuencia de clase
7.2. Como hay.8 personas en esta clase, la correspondiente
La frecuencia relativa de una clase
todas las clases
yr"
es su frecuencia dividida por la frecuencia total de
y se expresa generalmente
frecuencia relativa de la clase 82
como un porcentaje. por ejemplo,
la
- 84 de la tabla 1.5.1. es 5 / 100 = SoA.La suma de
las frecuencias relativas de todas las clases da obviamente 1,
o sea, es 100 por cien.
Si ge sustituyen las frecuencias de la tabla 1.5.1. por las correspondientes
frecuencias
relativas,
la tablá resultante se llama una distribución de
frecuencias relativas.
distribución de porcentajes o tablas de frecuencias relativas.
La representación gráfrca de distribuciones de frecuencias relativas se puede
obtener
del histograma o del polígono de frecuencias (Ver página 33), sin más que
camb
iar la
escala vertical de frecuencias a frecuencias relativas, manteniendo exactamente
el
mismo diagrama. Los gráficos resultantes se denomina
relativas
(o
histogramas
de
porcentaje)
y
pot¡gonos
n
histogramas
de frecuencia
de
relativas
frecuencia
(o
potígonos
de porcenfa1'e), respectivamente.
Los datos así organizados en clases, como en la anterior distribución
de frecuencias
(Tabla J 5 1) se llaman ¿a¿os agrupados. Aunque el proceso de
agrupamiento desJruye
15
en general detalles de los datos iniciales,
es muy ventajosa la visión nítida obtenida y
las relaciones evidentes que ,ra" , la luz.
1.6 Filas de Datos
una fila de datos consiste en valores recogidos
que no han sido organizados
numéricamente,
ordenados
por ejempro, er prB per úpita de países
centroamericanos
por índice alfabético. Bélice, USg2725;
Costa Rica, US$3g40;
El
salvador, us$ 2157; Guatemara, us$1
747; Honduras us$928; Nicaragua us$560:
y Panamá, US$3621.
1.7 Ordenaciones
una ordenación es un conjunto de datos'numéricos
en orden creciente o decreciente.
aa
La diferencia entre el mayor y el menor
se llama rangode ese conjunto de datos.
Así, si
la mayor altura de entre los. 100 estudiantes
era de 1g0 cm y la menor altura de
150 cm,
el rango es 190 - 1S0 = 40 cm.
Para comprender con claridad ef estudio
de fa distribución de frecuencias y
dominar sus
aplicaciones, primero es necesario discutir
ef alcance de ciertos conceptos y
aprender
a manejarlos con suficiente claridad.
!' ".t.un'segmento
de recta AB marcamos un punto
. dos partes:.así, en rá figura i.l.l
"tpunto
c
c, Tte
punto divíde el sógmento en
ro divide en dos partes:
io...
AC y cB.
Figura 1.7.1 División de un Segmento en dos partes
Si el punto se encuentra exactamente en la mitad, recibe el nombre
de mediana.
En la figura 1'7.2- los puntos C y D díviden el segmento
AB
en tres partes: AC, CD, y
DB' En general cierto número de puntos divide un segmentos en
un número de partes
igual al número de puntos mas uno; es decir, 8 puntos dividen
en g partes, 15 puntos
dividen en 16 partes.
Figura 1.7.2. División de un Segmento en tres partes
1.8 Intervalos de Clase y Límite de Clase
Ef símbolo que define una clase, como el 70
interualo
-
72 en la tabfa 1.5.1, se denomina
de clase. Los núineros extremos 70 - 72, se llaman tímite infer¡or de
clase
(7o) y límite superior de clase (72). Con frecuencia se intercambian
los términos c/ase
e interualo de c/ase que, al menos en teoría,
carece de límite superior
o
inferior
indicado, y se llama intervalo de clase abierta. Por ejemplo, refiriéndonos
a edades de
personas, la clas'e 79 años o mas, es un intervalo abierto..
17
38 39 40 41 42
c
A
D
E
B
Figura 1.8.2. Ambigüedad en los Límites de Clase
lntervalo de. clase AC = 32
- 35 (crase de ros varores 32 a 35 incruidos).
Intervalo de clase cD = 36 -
37 (ctase de los valores
36 a 37 incluidos).
lntervalo'de clase DE = 3g
- 40 (crase de ros varores 3g a 40 incruidos).
fntervalo de clase EB = 41
- 42 (clase de los valores
41
a
2incluidos).
1.9 Frontera de Clase o Límites Reales
Ahora no existe ninguna confusión, pero los valores intermedios
como 35 a 36, 37 a 3g
y 40 a 41, que en el gráfico
1.8.2 corresponden a las letras C, D y E, se han dejado por
fuera de las clases. Esto nos lleva al concepto
de límites reales de clase, que
corresponden al punto medio entre el límite superior de una
clase y el límite inferior de
la clase siguiente, (Ver figura j .9.
A
32
1. ).
33 34 35C36 37D38 39
35,5
40841 42 B
37,5
Fiqura 1.9.1. Límit",
n""¡"" de Ctase
19
Por uniformidad se ha fijado en 31.5 el límite real lnierior de la clase inicial y
en 42.5 el
límite real superior de la clase final. Si la variable no toma ninguno de estos valores
intermedios,
el problema está
resuelto
y nuestras clases expresadas
.
31,5
- 35,5
35,5
-
simbólicamente
por sus límites reales son:
37,5
37,5 -.40,5
40,5
- 42,5
Si no se estuviese seguro acerca de que la variable pueda tomar un valor igual
a alguno
de los límites reales, es posible utilizar la expresió.n menor que, la cual signiflca que
podemos acerc¿ynos
a un valor tantas veces
-
queramos, pero sin alcanzar al valor
fijado; para el caso de los límites reales de nuestro ejemplo se puede decir: menor que
35,5, menor que 37,5, menor que 40,5. Otro recurso que se puede utilizar
es agregando
decimales'que no estén entre los posibles valores de la vlriable; es decir, para las
ctases de nuestro ejemplo se tenorian las siguientes expresiones:
,5
- 35,49
35,5
- 37,49
?7,5
-
40,5
- 42,49
31
40,49
Para concluir, se puede afiimar que se cuenta con los re.cursos suficientes para
eliminar
las ambigüedades que se présenten en los límites reales de los intervalos y
lograr que
las clases sean mutuamente excluyentes.
1.10 Tamaño o Anchura de un rntervato de crase
El tamaño o anchura de un intervalo de clase es la diferencia entre las fronteras
de
clase superior
e inferior. si
todos los intervalos de clase de una distribución de
frecuencias tienen la misma anchura, la denotaremos por C. En taf caso,
C es igual a la
diferencia entre dos límites inferiores (o superiores) de clases sucesivas
de la tabla
= 72.5
-
1.5-
.
paralos datos
1 (peso de personas), por ejemplo, la anchura del intervalo de
clase es C
69 5 = 75.5
-72.5
= 3.
1.11 Marca de Clase
La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando
los límites inferior y superior de clase. Así que la r.narca de clase del
interva lo 70 - T2
es (70 + 72)
I 2 = 71. La marca de clase es también denominada punto medio
c/ase. Veamos un ejemplo con los intervalos de las gráficas.
21
de ta
Ejemplo 1.11.1.
Clase
Límite inferior Límite su
nor
Anchura
Marca de clase
AC=31.5-35.5
31.5
?64
35.5-31.5=4
(3't.5+35 Sy2=33.5
CD=35.5
-37.5
35.5
37.5
37.5-35.5=2
(35.5+37 5)/2=36.5
DE=37.5
-
40.5
Jt.5
40.5
40.5-37.5=3
(37S+40.5)/2=39
EB=40.5
-
42.5
40.5
42,5
42.5 -40.5=2
(4O 5+42.5)t2=41.5
TABLA 1.11.1.lntervalos de la Figura 1.9.1
1.12 Reglas Generafes para formar Distribuciones de Frecuencia
1.
Halle el rango (diferencia entre el mayor y menor de los datos).
2.
Después seleccione el número de intervalos de clase. Recuerde que la
cantidad de
intervalos de clase no debe ser menor de 5 ni mayor de 1g. Los intervalos
de clase
aa
tienen por lo general el mismo ancho, de modo que, fijado el número de clases.
el
intervalo se obtiene por una simple operación aritmética, así
Anchura de la clase = rango
.
/ {número de clases).
Si el resultado de la división no es un entero, es conveniente que se redondee
al.entero
superior; obviamenle, esio altera el valor del rango, lo
qr"
oOfiga a efectuar un ajuste
clsl.
nuevo rango = lintervalo) * {¡úmerb de clases}
Porejemplosi Xmax=41
y ,Xmin=20,
entónces:
rango-41 -20=21
si seleccionamos 6 clases y designamos por
,,i,,
el ancho de la clase, tenemos:
Anchura de la clase = i= 21 t6 = 3.s
Redondeando i = 4
nuevo rango
El exceso de tres
= 4X6=24
que tenemos en este caso se distribuye entre el límite superior y el
límite inferior; de este modo, podemos agregar 2 al límite superior y restar 1 al límite
inferior:
X'"*=
41
+2=43',
superior y quitar 2 al límite inferior
X."*=41
Xm¡n
=20-1=
19; opodemos agregar
:
+1
=42, y
En ambos casos el.nuevo rango es 24.
X
m¡n
=20
- 2= 18.
1
al limite
Para la selección del número de clases, no. pueden darse reglas invariables;
ei número
se selecciona aten¿iendo a diversos factores, tales como el rango, variabilidad
de los
datos, cantidad de datos
e
incluso finalidad del estudio estadístíco. En muchas
oportunidades se selecciona el intervalo de clase y, como consecuencia,
resulta el
número.de clases, a condición de que no sean menos de 5 ni mas de 1g.
Incluso, es
posible que después de seleccionado un número de intervalos
de clases sea necesario
cambiarlo por diversas razones.
3. Forme los intervalos de clase agregando i - 1 al límite inferior de cada clase,
comenzando por el límite inferior del rango. El límite inferior de la clase siguiente
será el valor consecutivo al máximo de la clase anterior y así sucesivamente.
4'
Fije los límites reales de cada clase, teñiendo siempre en cuenta que los intervalos
de clase son mutuamente excluyentes y que, por lo tanto, no debe de
existir
ambigüedades en los límites.
5.
Determine las frecuencias de clase contando con el número de observaciones que
cae dentro de cada intervalo de.clase.
o'
Ejemplo 1.12.1.
.Un.in.struct.ordeconduccióndearnbu|anciasde|ministeriodesa|udtiene108a|umnos
:
de cada uno' de los hospitales. regibnales, puestos de salud 'y cent¡os. médicos
del
' departamento'de Bolivar; con
el fin de analizqr su comportanliento en'la.s carreteras
mide su velocidad tope redondeándolas
al
kilómetro más próxirno y los anota.en su
libreta de apuntes. Con los datgs de su-libreta elabora un primer
cuadro en el.que
aparécen todas las velocidades tope sin ningún ord.en. A este primer
cuadro le llama
velocidades sin ordenar. Luego, procede a ordenar los datos y
elabora una tabla en
la que aparecen los topes máximos de velocidad de menor a mayor.
Seguidamente
.
coloca al valor correspondiente el número de alumnos que obtuvieron la
misma
velocidad' A esta tabla le coloca como nombre datos ordenados
de velocidades.
es el siguiente:
Velocidad /
frecuencia
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
Velocidad / Frecuencia
I
0
0
0
0
0
2
2
0
238
239
24d
3
o
3
241
2
5
242
243
244
245
246
8
7
8
o
n
4
4
0
1
5
5
3
TABLA 1.12.1. Datos ordenados de
Velocidad / Frecuencia
251
252
253
2s4
255
256
257
258
259
260
261
262
4
.o
4
5
2
0
3
4
3
I
.0
I
108
Este cuadro. realizado por el instructor de conducción del ministerio
de salud es un
conjunto de datos no agrupados y muestra la distribución de frecuéncias
de /os datos.
Al estudiar este cuadro de frecuencias de datos no agrupados, se acivierte que
hay
25
y
valores.que figuran con rnás frecuencia que otros; también, de vafores que tienen las
mismas frecuencias y aun frecuencias cero, es decir, que entre los datos no los hay de
esos valores. Pero, ¿qué nos muestra la tabla y que se puede concluir? podríamos
decir que no hay alumnos con velocidades de 226, 227, 229, 22g, 230, 233,234, 23s,
256,
y
261Km por hora, ni con velocidades inferiores a los 225Km, ni mayores de
262km',
se puede aseverar que ocho alcanzan los 243km y otros ocho alcanzan
245Km,
y así podríamos
los
seguir diciendo cosas sin lograr una visión integral del
comportamiento de los datos. Para poner en evidencia el comportamiento de los datos,
se recurre al método estadístico de agrupar valores en intervalos de clase, el cual es
llamado distribución
de
frecuencias agrupadas
o
simplemente distribución de
frecuencias.
Por ejemplo, para el anterior djercicio del instructor de conducción de ambulancias
veamos:
a
.1.
2.
Rango = 262
- 225 = 37
Seleccionemos 8 como número de clases (mayor que
5 menor que 18). Para
anchura del intervalo de clase tenemos:
.
37
l8=4.6
5 debido al.redondeo
Ef nueyo fango sería entonces {S) (B) = 4O
la
El exceso del nuevo .rango sobre el antiguo es 3, y lo distribuimos quitando 1 al límite
inferior y agregando 2 al límite superior
:
Xm¡n=225-1=224
X'", =262+2=264
observe que al fijar los límites reales se correrán ambos límites en
3.
Conformamos los intervalos de clase, agregando
i-
0.5.
1, es decir, S
inferior de cada clase comenzando por la primera: 224
-
.
1 = 4 al límite
* 4 = 2i,g, 229+4=233, y
así
sucesivamente.
4.
Encontramos los límites reales,
o sea la mediana o punto medio entre el límite
superior de una clase y el inferior de la siguiente. Límites reales
233.5, ...... 263.5; luego miramos si existe ambigüedad
: 223.5, 22g.5,
o no en los límites; para
nuestro ejemplo no la hay, ya que las medidas están redondeadas al kilómetro más
cercano, utilizando la regla del redondeo y, de este modo, los datos registrados
vienen siendo números enteros.
':
't7
LI
5. Contamos las frecuencias que caen
"n ""0"
interv'alo de clase
y
elaboramos el
siguiente cuadro.
Intervalos de clase
(vefocidad kilómbtros
Frecuencias
(af umnos)
'lI
223.5 - 228.5
228.5 - 233.5
4
o
233.5 - 238.5
238.5 - 243.5
24
243.5 - 248.5
29
248.5 - 253.5
22
253.5 - 258.5
14
258.5 - 263.5
5
TOTAL :
N=108
TABLA 1-12.2. Distribución de Frecuencias Agrupadas.
Agrupár los datos en intervalos de clase nos permite apreciar de una manera fácil los
valores de la variable y saltan a la vista relaciones entre ellos. Es decir, si nos fijamos
detafladamente en la tabla 1.12.2 vemos que en el intervalo 243.5
tendencia central de
agrupación.
.
28.
-
248.5 se ve la
AUTOEVALUACóN
1. El administrador de una concesión vial desea dividir un tramo de carretera
de100
metros en 4 partes, halle. (a) ¿Cuántos puntos debe marcar?; (b) Si se pide que las
partes sean iguales, indique los valores en que debe colocar los puntos; (c)
Si el
primer punto se coloca a 28 metros del extremo inicial separando una primera parte
'
y se indica que las otras tres partes deben ser iguales, halle los valores
en que debe
colocar los puntos.
2. El administradod de la red vial de la troncal del magdalena, Oesea instalar dos
casetas de peajes en un tramo de 100Km(100%o) se instala una primera caseta en
toda fa mitad y luego otra en el punto medio de la mitad superior, halle: (a)
¿En
cuántas partes se dividieron los 1O0Km? (b) ¿Cuántos kilómetros hay hasta
la
primera caseta instalada? (c) ¿Cuántos kilómetros hay hasta el segundo punto
de
recaudo de peaje? (d) ¿Qué tanto por ciento expresa el segundo punto de recaudo?
(e) ¿Qué parte de 100 es la distancia entre la segunda caseta instalada y el final
del
tramo?
Se tienen los siguientes intervalos de clase: 42
-
46. 47
-
51, 52
-
56; hallar. (a)
Los límites reales de los intervalos de clase (b) Las marcas de cada clase (c)
La
anchura de clases.
4.
En la empresa de licores de la Costa qlredan como sobrante unas cintas de metal
' que miden entre 2A y
ü
centimetros; para venile¡las como desecho industrial, un
'29
obreio las mide aproximando at centímetro rnás cercano y las agrupa en Oos ctases..
clase A de 20 a 40 centímetros, clase B de 41 a 61 centímetros. (a) Halle los límites
reales de cada clase (b) Si ocasionalmente aparecen láminas menores de 20
centímetros, el obrero las incluye en la clase A; indique qué clase de límite es el
lÍmite real inferior de la clase A (c) Halle la marca de cada clase.
5.
Un examen de selección para ingresar a la contraloría de Valledupar se califico de
a
1
100. Si se deben agrupar las calificaciónes en 5 intervalos de clase del mismo
ancho, halle: (a) El ancho de cadá clase (b) Los límites de cada clase (c) Los limites
reales de cada clase (d) La marca de cada clase.
6.
Dado los números 20, 27, 13, 18, 2s, 22 y 16, ordénelos y halle el rango.
7.
En el cuadro de frecuencias agrupadas de la Tabla 1.12.2 elaborado en este texto,
.
halle las marcas de clase.
8. El primdr paso para el agrupamiento de datos es determiñar el
, que es
igual a la diferencia entre
9.
El ancho de un intervalo es la
10. La marca de clase es igual a
11.
Los especialistas en Estadística recomiendan que al trabajar con frecuencias
..agrupadaselnúmerodeintervalosdec|asenoSeamenorque-nimayor
que
.1.13 cRÁFtcos y ptcrocRAMAS
HISTOGRAMAS
Son una forma de representación gráfica de las frecuencias de clase, y consiste
en
representar las frecuencias por medio de áreas de rectángulo (barras). Los
histogramas
son díferentes de los diagramas de barras; en un diagrama de barras, Ias alturas
de
éstas miden el tamaño de la variable y usualmente se grafican separadas, es
decir.
dejando espacios entre
sí.
En un histograma, las frecueñcias quedan representadas
por el área de sus rectángulos mas no por sus alturas y las barras necesariamente
se
dibujan sin dejar espacios entre ellas.
El concepto de densidad de frecuencia es un concepto relativo, puesto que refaciona el
volumen de un cuerpo con su masa. En Estadística un concepto similar es
la densidad
de frecuencia, que para este caso se relaciona con las barras del histograma, de modo
que multiplicando el área por la densidad de frecuencia se obtiene la frecuencia
absoluta o número de casos que caen dentro del intervalo de clase.
El eje vertical en los histogramas mide la densidad de frecuencia y el eje horizontal
es la
línea del intervalo de clase. Por e.jemplo, en
?l
la figura 1.13.1 corresponde
a intervalos
de clase de diferente anchura, el rectángulo uno corresponde af interv
alo 1i-12 y el dos
al intervalo 12-16.
6
5
Área rectángulo | = (1) (5) = S
4
Área rectángulo ll = (4) (2) = e
3
2
1
t0
11 12
'13
14
15
16
FfGURA 1.13.1. Histograma
El rectángulo uno representa 5 unidades de frecuencia y el rectángulo dos representa g
unidades de frecuencia. Observe
que si la base del rectángulo es la unidád, entonces
su altura corresponde a la frecuencia. En muchos histogramas, cuando los intervalos
de
clase tienen la misma anchura, es común escoger como unidad de base de los
rectángulos la misma anchura del intervalo y eso nos lleva
a que las alturas de las
barras midan la frecuencia. Se aconseja manejar muy bien este concepto
ot¡'
siempre la frecuencia como expresión del área de los rectángulos.
y
tratar
.
.
.
Con Or ¡n
o" off generatioad a la impresión
visual que brinda un histogirama, los
estadísticos recomiend
p"r^ la elebción de.la longitud de los ejes, utilizar la regta oe
^n,
los tres cuartos, que no es otra cosa.que el ele vertical debe ser los
tres cuartos de la.
longitud del eje horizontal. El eje de las abscisas se escoge de
acuerdo con las
condiciónes del problema y luego se fija el eje vertical en lostres
cuartos de la longitud
del eje horizontal.
POLIGONOS DE FRECUENCIA
Un polígono de frecuencia se obtiene uniendo con segmentos de recta los extremos
de
las ordenadas (altura de los rectángulos) correspondientes a marcas de clases vecinas.
Hay que tenér cuidado que cuando los intervalos de clase son del mismo
ancho, el área
bajo la poligonal equivale a la suma de las áreas de los rectángulos que la deflnen. (Ver
figura 1.13.2.) La poligonal culmiha con el eje X añadiendo un intervalo de clase
"ñt",
del inicio y otro a continuación del último; así se obtuvo en la figura 1.13.2¡a poligonal
ABCDEF.
X.
FfGURA 1.13.2. Polígono de. Frecuencia
33
En la anterior figura, preste especial atención a las parejas de triángulos con líneas.
horizontales
y verticales,
ya que son iguales entre sí, es. decir, uno de ellos quita área
al rectángulo y el otro le añade, obteniendo de este modo que el área bajo la poligonal
es igual o equivalente a la suma de las áreas de los rectángulos del histograma. En
caso de que los intervalos de clase no sean iguales, entonces el área bajo la poligonal
es muy aproximadaala suma de las áreas de los rectángulos; entre más ieducido sea
el ancho de los iñtervalos de clase, es más aproximado este cálculo.
Ejer¡plo 1.13.1.
Utilizando la Tabla 1.12.'l de datos ordenados de velocidades, realizar un cuadro de
distribución de frecuencias agrupadas con 3 unidades como anchura del intervalo de
clase. Rango = 37.
Entonces, 37 I 3 = 12.3 o sea 13 Clases
Niuevb
rango:(3) (t3) =39
Para los límites reales agregamos 0.5 al límite inferior y 1.5 al límite superior. Parala
realización del histograma se adoptó como unidad para el eje X el ancho del intervalo
de clase; de este modo, resultó la altüra de lo's rectángulos igual a la frecuencia
medida en el eje Y. En el eje X se anotaron sólo las marcas de clase.
:
lntervalo de clase
velocidades
-
224.s
.
Frecuencias
lumnos
227.5
- 230.5
227
230.5
- 233.5
233.5
- 236.5
236.5
-
239.5
14
239.5
-
242.5
10
242.5
-
245.5
23
245.5
-
248.5
14
248.5 -251.5
12
251.5
-
15
254.5
- 257.5
5
257.5
-
260.s
I
260.5
- 263.5
1
4
.
1
254.5
TOTAL
N=108
TABLA 1.13.1 DistriOuc
35
24
22
20
t
l8
it
i:
I
16
14
12
l;i
t:
10
t
.:r
tti
8
t
6
4
2
0
226 229 232 235 238 241
Figura 1.13.3. Polígono de Frecuencia
24 247 250 253 256 259 262
AUTOEVALUACóN.
Ejercicios.
1' El consumo
en metros cúbicos de agua de 16 hogares seleccionados al
".rr
ro,
el jefe operativo de Aguas de la Sabana corresponde a la siguiente
distribución
de frecuencias; Dibuje el histograma y el polígono de frecuencias.
'
2.
Frecuencia
27.5 32.5 37.5 47.5 -
32.5
37.5
47.5
62.5
Los jornales por hora de los operarios de Electrocosta redondeados
a ta unidad
son:
62
58
57
46
45
46
44
50
49
43
51
47
42
43
41
37
40
54
39
30
43
38
52
4q
37
41
42
54
38
53
32
52
36
46
42
52
37
30
37
52
36
40
42
47
43
49
.45
50
+.)
58
46
64
47
46
50
4A
44
45
45
.57
51
(a) Elabore un cuadro de datos ordenados
(b) Seleccione un tamaño de clase conveniente y elabore un cuadro de frecuencias
agrupadas.
(c)
Halle los límites reales.
(d) Halle las marcas de clase.
(e) Dibuje el histograma correspondiente
(0
Dibuje también el polígono de frecuencias.
3.
Si usted aprendió en estos temas responda:
. ¿Qué es histograma?
. . ¿Qué es densidad de frecuencia?
. Defina polígono de frecuencias
. Área bajo el polígono de frecuencias.
. En un histograma, el ancho de cada intervalo en una distr:ibución de frecuencias está
aa
representado por.
.
de cada rectángulo.
En un histograma, la frecuencia de un intervalo de clase está
representada
POt'_
.
En los histogramas el eje "Y" mide
total en una distribución está repreientada oor. ," suma de
de
los
que .equivale. al área ' balo
las
el
l
ojivas y Distribuciones de Frecuencias Acumuradas
:
La frecuencia total de todos los valoies menores que la frontera de
clase superior de un
intérvalo de'clase dado se llama freeuencia acumuiada. nasia ese intervalo
de clase'
inclusive. Por ejemplo, la frecuencia acumulada hasta el intervalo de
clase 37.5 -
47.s
en el ejercicio 1 de la anterior zona de repaso es 2+5+6 13.
=
una tabla que presente tales frecuencias acumuladas se llama úna distribución de
frecuencias acumuladas, tabla
de
frecttencias acumuladas
distribución acumulada .veamos un ejemplo con la siguiente tabla:
Edades
Menor que 49.5
Menor que 52.5
Menor que 55.5
23
Menor que 58.5
65
Menor que 61.5
92
Menor
100
64.5
?o
o
brevemente una
Un gráfico que recoja las frecuencias ácumuladas, por debajo de cualquiera.de las
fronteras de clase superiores respecto de dicha' frontera, se llama un polígono
de
frecuencias acumuladas u ojiva, y se ilustra en la Fígura 1.13.4.
FIGURA 1.13.4 Ojiva
A ciertos efectos, es.deseable considerar una distribución de frecuencias acumuladas
de todos los valores mayores o iguales que la frontera de clase inferior de
cada
intervalo de clase. Como eso hace considerar edades de 4g.5 años o mas, de 52.5
años o más. Etc, se le suele llamar una distribución acumulada o "más', mientras, que
la
antes'consider'ada es una OistriOuc¡ón acumulada "menór
otra. Las correspondientes ojivaé se conocen con
los.
qr.". É. fácil deducir una de
mismos apodds.
GRAFICOS DE BARRAS
Los gráficos de barras proporcionan
bueha información y permiten una .apreciación
estadística más rigurosa. Aunque no existen normas específicas
para la distribución
de gráficos de barras, miremos estas recomendaciones que
serán de gran utilidad en
este campo:
Verificar que el gráfico quede bien balanceado, evitando que
las barras resulten
muy anchas o demasiado altas.
Hay que dejar siempre un espacio prudenciar entre ras
barras, que no sea inferior a
la mitad del ancho de ellas.
Se deben de realizar, pero esto es a gusto de quien las hace,
líneas de fondo en la
gráfica; ellas facilitan la lectura de los valores.
No recargar las barras tratando de éxpresar demasiados productos
en ellas.
Confiar en nuestra buena apreciación visual
y buen sentido. Veamos et siguiente
ejemplo. (Ejempto 1.13.2).
MAYORES DEUDORES EN EL SISTEMA BANCARIO
INTERNACIONAL 1992
Argentina
Venezuela
Brasil
Méiico
0
..
20%.PtB
40% PtB
FIGURA 1.13.5. Mayores Deudores en el Sistema Bancario
Internaiiona
41
60% PtB
| 1gg2.
GRAFICOS CIRCULARES
Estos gráficos o diagramas circulares o diagramas de pastel, son muy utilizados para
representaciones gráficas de distribuciones porcentuales. Si se les quiere utilizar en
secuencias cronológicas, es necesario utilizar círculos de rgual radio, uno por cada año,
mostrando
en cada círculo la
correspondiente distríbución porcentual. Veamos el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.13.3.
';;;'d;;';;*-]
de Europa en
'Latinoam
Venezuela
érica
25olo
M
Arqentina
L.__ _...,.__--
,
I
éxico
B
25o/o
157o
rasil 35%
FIGURA 1.13.6 Porcentaje de Ventas de Eu¡opa
en Latinoamérica'
El circ¡.¡lo completo tiene un área
qle
:
equivale al 100%; un sector representa un tgnto
por ciento equivalente a la raeón entr.e el ángulo que brman loq radlos que limitan
el
.
'sector
y 360 que son el total de grados de la circunÉrencia. 'Asi, en la figura
anterior
serÍa:
25%
54/360 = 0,15 o sea t5%
90/360 = 0,25 o sea
43
90/360 = 0,2S o sea 25%
126/960 = 0,3S o sea 3
AUTOEVALUACIÓN.
.
¡
.
.
'
¿Qué es una ojiva?
Defina frecuencia acumulada.
La gráfica de frecuencias acumuladas se denomina
Elabore un gráfico circular en el que figuren los tres. países americanos con mayor
índice de desempleo, colombia 1so/o, Venezuera 14o/o, Argentina 17%.
r
¿Qué es un diagrama circular?
.
Los gráficos de pastel son útiles para expresar
.
Represente un gráfico de barras con
el PIB per cápita de los siguientes
países
centroamericanos (continentales): Bélice, USg2725; Costa Rica, US$3S40;
El
Salvador, US$ 2157; Guatemala, US$1747', Honduras US$928; Nicaragua USg560;
'
y Panamá, US$3621.
44,'
RESUMEN
La Estadística es la encargeda
organizar, resumir
y
de
estudiar los métodos científicos para 'recoger,
analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y
tomar
decisiones razonables basadas en tal análisis; la parte de la
Estadística que se ocupa
de
describir y analizar un grupo dado, sin sacar conclusiones
sobre un grupo mayor se
denomina Estadística Descriptiva; la Estadística Inductiva es la parte
de la Estadística
que se ocupa de inferir importantes conclusiones sobre la población
a partir del análisis
de la muestra.
Las distribuciones de frecuencia se refieren a la manera como
se organizan, agrupan y
clasifican datos estadísticos de acuerdo con
algún método. Una vez se hallan
organizado estoi datos, es posible elegir cierto tipo de gráfico para uisr"
lizarlo y tratar
de comprenderlos mejor. Algunos tipos de gráficos mas comunes son las
barras, las
cuáles nos proporcionan más información y permiten una apreciación
estadística más
rigurosa; los gráficos circulares
o
diagramas
de pastel son mas usados en
representaciones gráficas de distribuciones porcentuales; los.histogramas
son una
forma de representación gráfica de las frecuencias de clase, que consiste
en
representar las frecuencias por medio de áreas de rectángulos (barras).
En tanto que
los polígonos de frecuencias se construyen uniendo con segmentos de recta
los
extremos de la ordenadas (altura de los rectángulos), correspondientes
de
afrr" vecinas.
45
a marcas
GLOSARIO
Datos.- Medidas; vafores o caractgrísticas susceptibles de ser observados y contados.
Estadística.- Es la encargada de estudiar los métodos científicos para recoger,
organtzar, resumir
y
analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar
decisiones razonables basadas en tal análisis.
-
Parte de la Estadística que se ocupa de
describir y analizar un grupo dado, sin sacar conclusiones sobre un grupo mayor.
stica.- Parte de la Estadística que se ocupa
de inferir importantes conclusiones sobre la población, a partir del análisis de
la
muestra.
Filas de Datos.- Datos recogidos que no han sido organizados numéricamente.
Frecuencia Acumulada.- Es la frecuencia total de todos los valores menores que
frontera de clase superior de un interyalo de clase dado.
la
.:
Fronteras de Clase.- Es el promedio del límite superior de una clase con el inferior de
la siguiente.
Histoqrama.- Conjunto de rectángulos con (a) bases en el eje x u horizontal., centros
¡t¡'
en las marcas de clase y (b) áreas proporcionales a las frecuencias de clase.
Intervalo de Clase.-' Símbolo qle define un, .1"r". Ej: (60 -
a^
46.
62).
.
Limite Inferior de ,Clase.-
i, .r número extrémo de menor valor de un intervalo de
"trr"..
Límite guperior de Clase.- Es el número extremo de mayor valor.
de un intervalo de
cfase.
Marca de clase.- Es er punto medio der intervaro de crase.
Muestra.- Pequeña parte de la población o universo.
oi¡va'-
Es un gráfico que recoge las frecuencias acumuladas por debajo
de cualquiera
de las fronteras de clase superior respecto de dicha frontera.
Ordenación.- Conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente
-
Conjunto de todos los elenrentos, medidas,
individuos u objetos que tienen una característica común.
- Es la diferencia entre las fronteras de
clase suoerior e inferior.
Variabfe.- Es una característica gue puede tener diferentes valores
en los distintos
elementos o individuos de un conjunto.
47
Medidas de Tendencia
Gentral, Dispersión y otras
medldas
PRESENTACIÓN DE LA I.JNIDAD
En la unidad anterior se estud¡ó algo acerca de la información estadística que brindan
los histogramas y polígonos de frecuencia, y se evidenció un marcado comportamiento
de los datos en cuanto a la asiduidad con que se muestran. En ciertas ocasiones estos
valores se presentan con más periodicidad que los demás. Por otra parte, se puso en
evidencia una clara tendencia de agrupación en el área de los valores mas frecuentes,
y, de.este modo, las curvas mas representativas tendrían forma de campana. En
la
mayoría de los casos, la mayor densidad de frecuencia se encuentra en la parte central
de las gráficas, y, por eso, se les denomina medidas de tendencia central, las cuáles
son las que se estudiarán a continuación. Estas medidas describen el comportamiento
de los datos en una distribución de frecuencia, pero los datos e información que dichas
medidas arrojan son limitadas
y no nos dicen nada sobre la forma en
que se
encuentran dispersos los datos con relación a la tendencia central; por otro lado, poco
nos dicen sobre un dato cualquiera con relación a los otros de la distribución. Esta es la
razón principal que hace que se complementen los temas de tendencia central con las
rnedidas de dispersiÓn con el fin de aplicar los más apropiados en determinados casos.
OBJETIVO GENERAL
lnterpretar
y
emplear las medidas de tendencia centraf junto con las
medidas de
dispersión, para comprender sus respectivos usos y, de.este
modo, comparar los
diferentes tipos de medídas, seleccionando la más útil para
una determinada aplicación.
OBJETIVOS ESPECíFICOS
fl
Interpretar lo relacionado con las medidas de tendencia.central
para comprender su
campo de aplicación.
E Desarrollar destrezas y habilidades para efectuar los cálculos de las medidas
tendencia
E
central.
de
'
.
Realizar un análisis comparativo de las distintas medidas
de tendencia central con el
ánimo de seleccionar ra más útír según ras circunstancias.
E
Desarrollar destrezas para calcular las meo¡oas de
dispersión.
E
comparar las medidas de dispersión y seleccionar ra mejor para
una determinada
aplicación
.
Requisitos previos
'
Es neeesario tener Óonocimientos básicos .de Estadística
como distribuciones de
frecuencia, 9ráficos, y'algunos conocimibntos de
Matemáticas, como.promedio
y
'
sumaioria.
:
MEDIDAS DE TENDENC{A CET{TRAL, DISPERSIÓN Y OTRAS
MEDIDAS
2. 1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media Aritmética
La media aritmética de cierto número de cantidades es la suma de sus
u"ior", dividido
dicho número. Designado por:
lV = número de observaciones
X¡
=
7=
Yalor de cada observación
media aritmética, media,
t simptemente, X barra.
N
EX¡
Se tiene:
X
i=l
= ------N
Ejemplo 2.1.1.
El precio de la onza de oro en dólares registrado en una semana fue $450, 460, 470,
470, 480,480, hallar el valor promedio o media aritmética
51
v-
450 + 460 + 470 + 470 + 480 + 490 '
6
Ejemplo 2.1.2.
.
El salario promedio
de
30 trabajadores de frjgorífico de la Sabana es de $6.435
quincenales; hallar el monto de la nómina de la quincena.
Valor de la nómina = 30 (6.435) = $193.050.
Media en una Distribución de Frecuencias Agrupada
'
En aritmética, el concepto de media aritmétieá ponderada se
aplic
a
para calcular el
valor promedio de cantidades a cada una de las cuales está asociado un número
o
peso que la pondera' Así, por ejemplo, si un comerciante compra tres partidas
de un
cereal a $8'60, $7.50y Sg.go el kilogramo, para calcular el precio promeolo por
kilogramo es necesario conocer el peso de cada partida; si estos pesos son 230, g00 y
140 kilogramos respectivamente, entonces:
Precio promedio por kilogramo =
8.60(230) + 7.50(800) + 8.30(140)
= $7.81
230+800+1¿O
a
En general si Xr, xz, ...xn son las cantidades
ponderaciones, entonces la media ponderada X es:
.
52.'t
.
y
mr
,
ñ2, ...mn las respectivas
La
media aritmética ponderada de un conjunto de cantidades Xr , X2,..., Xn ponderadas
por los pesos t'ni, rr't2,..., ffin, queda expresada por el coc¡ente entre la suma de los
productos de las cant¡dades por sus respectivas ponderaciones (pesos) y la suma de
las oonderaciones.
Ejemplo 2.1.3.
En el examen de admisión a una universidad un asp¡rante obtuvo las siguientes
calificaciones: Matemáticas,
7; Redacción, 6.5; Física, 7.6, ldiomas, 8.4', hallar el
promedio si las ponderaciones son: Matemáticas, 5; Redacción, 3; Física, 4; e ldiomas,
2.
7(5) + 6.s(3) + 7.6(a) + 8.a?l
5+3+4+2
= 7.3
En una distribución de frecuencias agrupadas, todos los valores que caen dentro de un
intervalo de clase se consideran de un mismo valor igual a la marca de clase; entonces
las frecuencias son las ponderaciones de los valores quq corresponden con las marcas
53
de clase' Es decir, en una distribución de frecuencias agjrupadas,
las ponderaciones son
las frecuencias
y
las marcas de c/ase son
n
r
i=l
los valores que se ponderan.
n
,3f' =frl
f,X¡
yreernplazando
n
¡=rI f¡ X¡ po, If
l'n
' i=lIf'
I
fX
Setiene: X --------
N
En el siguiente ejemplo, se muestra la forma de operar
con frecuencias agrupadas para
el cálculo de la media.
Ejemplo 2.1.4.
lntervalos
26-30
3l -35
36-40
41 -45
¿16
- 50
51-55
56-60
Tabla
2.í1
Forma O"
Cálc.ulo de la Media
Marca
x
28
33
38
43
48
53
58
Frecuencia
f
4
14
20
28
18
12
2
N=98
FX
112
462
760
na4
q64
636
116
fX=41
Ifx
4154'
98
= 42.39
Al calcular ta me¿¡a aritmética con frecuencias agrupadrr,
.
.,
valor
bastante al valor obtenido con datos no clasificados. El valor de
suficientemente aproximado
si la distribución de frecuencias
,"
,pro*i mará
la media no será
agrupadas
es
muy
irregular, demasiado asimétrica o presenta imperfecciones. En general, la aproximación
a la media obtenida con frecuencias agrupadas es suficiente para trabajos estadísticos.
En los ejercicios que se proponen, usted advertirá estas aproximaciones de la media
aritmética.
Al entregar la información con datos agrupados, se
información primaria
y no queda otro recurso que
pierd.e parte
de
la
trabajar con marcas de clases en.
lugar de los datos oríginales.
Algunas Propiedades importantes de la Media Aritmética
La media aritmética es la única de las medidas de tendencia central que puede
intervenir en operaciones algebraicas. De las varias propiedades matemáticas que
posee la media, en este texto de Estadística Básica sólo nos referimos a dos de sus
más importantes propiedades:
1. En toda distribución la suma de las desviaciones de sus variables respecto a la
media es cero.
Si X es una de las variables, su desviación respecto
La suma de estas diferencias es 0.
Iñ-,f)
a
x
es la diferencia X
-X
.
=o
2.' La suma de los cuadrados de las desviaciones' respecto a Ia media es siempre
.
menor que la suma de los cuadrados de.las desviáciones con respecto a cualquier
.otro valor
55
Esta propiedad indica que la media aritniética es la medida de tendencia
central que
hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones en torno de
ella. Esta
importante propiedad es el origen del llamado método de mínimos
cuadrados para la
búsqueda de la media, y es importante en Estadística por su aplicación
al ajuste de
curvas.
Por el nivel y orientación de este texto de Estadística Básica, en lo posible
hemos
eliminado los procesos algebraicos; sin embargo, y por su simplicidad,
incluimos la
demostración de la Propiedad
1.
I(X-x¡=g
I(X -F)
IX
=
IX - IF
= o; por definición N
bomo
F =IXy
= N X setienelX-IX =NF -NF =0
. En la siguiente Tabla presentamos aplicaciones de las propiedades 1 y 2
o
7
I
-4
-J
-2
n
11
2
12.
e
5
'4
v
0
.4
I
4
1
1
9
16
IJ
4
16
25
| 63
0
58
65
AttLA 2.1.2 Aplicaciones de las ropiedades 1 Y 2
rorAl
ra
425
1
0 .
41
16
25
3ée
86
16
g.
1
4'
20.25
12.25
6.25
0.25
2.25
6.25
2.
65
59.75
Donde
*=,
IX=63
X=9
57
AUTO EVALUACION
1.
Halle la media aritmética de los datos ordenados de la Tabla 1.12.1.
2' Halle la media aritmética de los datos del cuadro de frecuencias agrupadas de la
Tabla 1.12.2.
3' Los siguientes valores son los salarios por hora en dólares de los secretarios
planeación de diferentes alcaldías de países latinoamericanos.
halle X y elabore un cuadro
(x - x )',
4'
(X
- 14.9)2,
Pruebe su conocimiento
(X
-
X:
1A,12,15,1g,20
que tenga ras siguientes corumnas: x, x -v
14.s )2 y (X
_ 1s.l.z
y defina: parámetro, medida de tendencia central, media
'
aritmética.
5' Para encontrar la
de
media
'
de un grupo de puntuaciones, debo sumar
las
y dividir por N que es
a
_
I
La media aritmética es una medida
7-
La media aritmética de frecuencias agrupadas es una media
que las frecuencias son las
8.
Una característica.cuantificable de una población es un
en
.MEDIANA
.Se define como el valor que divide una distribucion de datos ordenados en dos mitades,
o sea aquel que deja por arriba igual número de términos que por debajo de
é1.
En otras
palabras, la mediana es el valor del término del medio.
Para el cálculo de la media aritmética no interesa que los valores estén o no ordenados;
en cambio la mediana implica.que el conjunto sea un conjunto de valores ordenados de
menor a mayor. El concepto de término del medio es correcto si se tiene un número
.impar de términos ordenados; así, por ejemplo, si tenemos los siguientes salarios por
hora en dólares $10, $12, $18, $19 y $21; E18 es el valordel medio, o sea la mediana,
puesto que deja dos valores por debajo y dos valores por encima. Pero si se tiene un
número par de términos entonces nb nay término del medio, en estos msos la mediana
es el valor equidistante de los dos valores centrales y no coinciden con ninguno de los
términos; así, por ejemplo, en la serie de valores $10, $12, $18, $19, $21 y $22. Hay
dos valores centrales que son $18 y $19, el valor equidistante entre ellos es la media
aritmética de ellos, o sea,
18+19 =
18.5
2
y en este caso la mediaha es $18.5 y satisface su definición puesto que háy tres valores
por debajo de $18.5 y tres uálores por encima.
59
La Mediana partiendo de Datos Agrupados
Para determinár el valor
de la mediana de una distribución de frecuencias. se calcula
primero N/2 y después se averigua, contando de cualquiera de los extremos, la clase
en la que está la mediana, y luego se calcula la mediana por el método de interpolación
lineal. Así por ejemplo, calculemos la mediana de la siguiente distribución de ingre.sos
anuales de una muestra de 58 ejecutivos de rango medio pertenecientes a empresas
industriales y comerciales del estado.
lntervalo
19.5 - 24.5
24.5 - 29.5
2g.s - s¿.s
34.5 - 39.5
39.5 - 44.5
Frecuencia
15
20
11
5
N=58
TOTAL
Tabla 2.1.3 Cálculo de la Mediana
N/2=
5812=29.
Para este caso, la clase de la mediana es (29.5
debajo del valor 29.5; las 7
- 3a.5); 22'observaciones
están por
que faltan para la mediana se interpolan en el ancho de la
clase de la mediana que en este caso es 5.
.
20 corresponde a 5
. 1 coriespondea 5t2O ,
. 7 correspondena 5(7)/20=1.8
Respuesta: mbdiana j 31.3.
.60
.
Si las puntuacionei son discretas, se aproxima a u.na de las'puntuacibnes y se cuentan
las observaciones; si resuftan dos vaiores centrales, se expresa la mediana haciendo '
uso de la expresión "menor que".
FIGURA 2.1.1La Mediana por el Método Gráfico
La mediana por el m¿toOo gráfico es posible hallarla a través de la ojiva porcentuat
Oe
la distribución, donde la mediana es la abscisa correspondiente al punto de la ojiva cuya
ordenada es el 50%. En la Figura 2.1.1 se muestra la forma de encontrar el punto 'M"
que es la abscisa correspondiente a la mediana.
Si los datos son suministrados en un histograma, siempre es posible hallar la mediana;
primero, se cuentan las frecuencias que son las áreas de los rectángulos cuando las
bases son iguales, se halla el rectángulo correspondiente
después se divide
el
a
la clase de la mediana y
áreade este rectángulo mediante una perpendicular al eje "X", de
tal manera que queden áreas iguales a ambos lados de la perpendicúla.r. En la Figura
61
2.1.2 el área total del histograma. es de 50 unidades; contando las áreas encontramos
que el rectángulo correspondiente a la clase de la mediana es el que tiene como.
marca 41
y
área 9; a la izquierda de él hay 2 + 5
+15=22 unidades, es decir, que
se
necesitan separar 3 unidades del rectángulo de la mediana para completar 25 que es
la mitad del área total; esto se
realiza dividiendo
la base en 3
PQrtes iguales y
levantando la perpendicular en el primer tercio. En la figura, la perpendicular "AM' divide
el rectángulo en dos áreas de 3 unidades y 6 unidades respectivamente, de este modo,
"AM" divide el
área total en dos mitades, luego "M" es el punto correspondiente
a
la
mediana. Los límites de la clase de la mediana son: límiie real inferior = 24 + 31 12 =27
.5 y el límite real superior
=
31 + 38 12 =34.5; la amplitud de la clase es'34.5
-
27.5 = 7;
la tercera parte de la amplitud de la clase es 7/3= 2.3 de donde la mediana = 27.5 + 2.3
= 29.8.
2
-to i-I
!^
'!,
ij
,
14i
t
*i
:i
'i.
a.r
tz
aa
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36
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5
15 rM tt 7 li 8
2.
i
::
'1
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''" ''i
|
¿
,.
i
i
10 17 24' 31 38 45
t!Jr';:¿.i"t!r't¡|r.+,!.+!..1+ ! .r,n
;:
:¡
ta.
I
:i{f .{¡..,;:r+,tr#.n
+.
*,+i?+t+}!,J ,..r4r.:.
4
I
jj
52
de
ve la
r! Mediana bon el Histoglama
-w'*"'¿v 2.1'.2Cálúlo
GRÁFrcO
-' r.L vqrvvrv
at
'
'Ejercicíos
1.
Halle la mediana por el método gráfico utilizando el histograma de la Figura 1.13.3
2. Defina mediana.
LA MODA
En una distribución de frecuencias, la moda es el valor que ocurre con
mayor
frecuencia. Así, por ejemplo, en la serie de valores: 1,3,5,5,7,7,9,9,9, 10,11, el número
9
es la moda por ser el valor que tiene mayor frecuencia. La moda se puede considerar
como el valor más representativo o típico de una serie de valores, en el sentido de que
ocurre más comúnmente.
En una distripución de datos agrupados; la moda es la marca dpl intervalo de clase que
contiene la mayor frecuencia. En
el caso de
frecuencias agrupadas,
la moda varía
según la forma de agrupar. Veamos en la siguiente distribución de ingresos anuales en
millones de pesos, de un grupo de 43 jefes de sección de gobernaciones del país.
j:.".:J
1..',¡1.!'!'-J"!..!
:.::
.i
."..".'.
-'
.....'"..-'".""":i
i
l lntervalos Frecuencias
: 23.5 - 26.5
2
i
i 26.5 - 29.5
I
i
' 29.5 - 32.5
13 i
I
, 32.5 - 35.5
9
, 35.5 - 38.5
i
i 38.s - 41.5
.1
:;.
43
: TOTAL
¡:
::
.i
ii
' TÁBlÁ t.1.¿'rrácueniiái Ági¡óaüis
"n
6 ctases.
"' '-'
a
.
lntervalos
22.5
26.5
30.5
34.5
39.5
Freéuencias
-26.5
-30.5
-34.5
-38.5
-42.5
:
2
13
;
16
11
I
'
,1,
.'
43
TOTAL
:
Teér-Á'á.r.5'rieéüánc¡as Ágrüpááás en s clases.
XF
,24
'25 0
,26
'27 2
'28 3
.294
30 4,
31 4
,32 5
,33 4
,34 3
,35 2
364
373
382
390
'4A 0
.'41
1
1
1
Tabla 2.1.6 Datos s.in AgruPar.
.a
.
En los datos agrupados.en 6 clases ci Tabla Z.l.q, la moda es 31, que es la marca
clase
29.5
-
de'
32:5,lacual es la mayor frecuencia ioOr"*" que en ésta agrupación no se
respeté la regle de la coincidencia de las marcas de clase con el valor de las
observaciones)
En los datos ordenados en 5 clases, es decir la Tabla 2.1.5,la moda es 32.5, que es la
marca de clase 30.5 -.34.5, la cual es la mayor frecuencia.
Aq
vv
AUTO EVALUACION
I.
El jefe de comercialización de frigorífico de la Sabana presenta las cantidades de
cabezas de ganado sacrificado por día en la semana anterior, y le pide el favor de
Hallar la media aritmética. El número de animales sacrificados son: 84, 91, 78, 95,
92, 90.
2. Las calificaciones sobre un máximo de
'
100 puntos obtenidas por un grupo de 12
alumnos de la especialización en gerencia hos¡iitalaria fueron:
En Matemáticas: 60, 40, 70, 30, 80, 40, 70,20,30, 40, 50, 60.
Estadístic
a:
40,60, 80, 40, 50, 6ó, so, 70, 60, 50, 40, 40,
Halle; (a) et promedio en Matemáticas (b) el promedio en Estadística (c) el promedio
'
3.
general en ambas materias.
Halle la Media Aritmétiia a partir de los datos de frecuencias agrupadas de la Tabla
1.13.1
a"
4.
Para los. valores de X : 9, 1 1, 14, 17, 19 que representan el consumo'de agua en
.
metros cúbicos de 5 familias pe biferentes estratos halle X y elabore un cuadro iguál
que el de la .Tabla 2..1.2.
7.
La Media Aritmética de frecuencias agrupadas es una media
en
que las frecuencias son las
8. X se lee
Aritmética son
Media y
sinónimos.
9
Halle la Moda de la Distribución.de Frecuencias de la Tabla 1.13.1.
10. Defina e identifique, Mediana, Moda y Moda de Datos Agrupados.
11. Ser la persona del medio es
12.
qu'e ser una persona promedio.
Al cambiar la amplitud del intervalo de clase en una Distribución de Frecuencias
agrupadas
cambia la localización de la
13. La Mediana es aquel valor que divide una Distribución en
14.
En un núrnero impar de datos ordenados, la puntuación de en medio es
15. En un número par de datos, la Mediana es el valor
'a
la
2.2 MEDIDAS DE DISPERSION
En los temas anteriores se estudiaron las medidas de tendencia central, las cuáles
describen el comportamiento de los datos en una distribución de frecuencia. Pero las
informaciones y datos que arrojan esa clase de medidas son un poco limitadas y no
nos dicen mucho acerca de la forma en que los datos se encuentran dispersos o
diseminados con relación a la tendencia central.. Por otro lado, nos dicen muy poco
sobre la relación de un dato respecto a otro u otros de la distribución.
para una correcta interpretación dé cierto tipo de datos, es necesario conocer
información que nos permita conocer
la dispersión de los valores alrededor de
la
que
medida de tendencia central. En los siguientes temas se estudiará la información
debe acompañar
dispersión de los
"
t, *"0¡¿a de tendencia
central para tenerse
,n" ,"f"r"ncia
datos.
sijbre la
'
Rango
entre
Es una medida de dispersión de tos datos, la cual es el resultado de la diferencia
el límite superíor e inferior. esta medida de dispersión es la más fácil de obtener. Sin
. embargo, casi no se utiliza debido a las inconsistgncias
.que
que presenta, como por ejemplo
o'
que
es muy influenciante por la pr"a"nai, de valores extremos'de poca frecuencia,
general se cree'que
hacen lleva.r a los analistas a coñclusiones erróneas, ya que por lo
de los datos.
la
.cua¡to mayor.es el rango mayor es dispersión
68
.
:
Cuartiles y Deciles
Se utilizan para conocer los intervalos dentro de los cuales quedan .proporcionalmente
repartidos los términos de la distribución. Si se divide la distribución de frecuencias en
4 partes iguales, cada una contendrá el mismo número de observaciones, es decir,
el
25% del total; los puntos de separación de los valores X son los cuartiles. El cuartil
.primero es el valor que corresponde al25o/o y se designa por Qr; el segundo cuartil, Qz,
que es el valor que separa el 50% obviamente coincide con la mediana; el.tercer cuartil,
es, es el valor que separa el75o/o de las observaciones que quedan por debajo de é1.
Si en lugar de dividir la distribución en 4 partes iguales se decide dividirla en 10 partes
iguales, se tienen 9 puntos de división, correspondiendo a cada punto un valor que es
un decil; es decir, el segundo valor corresponde al valor por debajo del cual está el20%
de las observaciones; para el tercer decil, el 30% y así sucesivamente. Veamos un
ejemplo de cálculo de cuartiles, tomado de la Tabla 1'12'2'
Ejemplo
2.2.1.
.
.
Tomamos el total N de las frecuencias y las dividimos por 4, para obtener el número de
observaciones que caen en el primer cuartil, N /
en la clase 228.5
-
4=
108
|
4
= 27i el primer cuartil cae
243.5; las tres primeras clases contienen 14 alumnos, y para los
trece que faltan s.e calcula por interpolación lineal así:
'a
69
24 corresponden a SKm/h
1 corresponde a 5124
13 corresponden a (5t24 ) (13)
=
2-7
Km/h
238.5 + 2.7 = 241.2 Km/h
'
primer cuartil, et= Z41.2km/h, es decir, que el 25o/o de los alumnos de conducción
desarrolla una velocidad máxim a de
241'
.2kmlh o menos'
El segundo cuartil, Qz,corresponde a la mediana.
N/2 = 1'0812 =54.
;:
por
En este caso la clase de la mediana es (243.5 -248.5); 3s observaciones están
de
debajo del valor 243.5',las 16 que faltan para la mediana se interpolan en el ancho
la clase'de la mediana que en este caso es
5.
29 corresponde
'
a5
1 corresponde a 5129
16 co¡responden a (5129) (1S¡ = 2'7U
243..5
+ 2.75 = 246i.5
qr"
"é
la mediana o'segundo. cuartil'
Pará el tercér cuartil, Qs, se tiene'(3)(N
t 4) = (3) (1 O8l4) ='81,
Las cinco primeras
cfases contienen 67 alumnos. Int'erpolando linealmente se tiene:
(5') (14122) = 3.2km/h
Valor que corresponde a Q3 = 251.7Km1h, es decir, que el 75o/o de los estudiantes tiene
una velocidad de 251 .7Kmlh o menos.
'
Rango Intercuartil
Cuando vimos
el
rango, observamos que éra muy influenciable por los valores
extremos; para eliminar esta influencia de los extremos, en Estadística se suele analizar
la situación del intermedio de la distribución y a esto es que se refiere el
rango
intercuartil, que es la diferencia entre el tercer cuartil, Ql y el primero Qr.
Rango intercuartil = Q = Q3
El rango semi -
intercuañítico
o
- Q1
desviación cuartit Es la mitad del rango intercuartílico;
designándolo por Qo se tiene:
\¿u
-
(Qg
71
-
Qt)
l2
aunque como
El rango intercuartil y la desviación cuartil, presentan varias desventajas'
que el rango' Veamos
medidas de propiedades de las propiedades son más adecuadas
algunas desventajas.
.
y puede ocurrir que los
No toma en consideración todos los valores de la distribución
o muy dispersos' y'
valores inferiores a Qr o superiores a Qs estén muy compactados
el valor de q sería el mismo'
.
precisa.de una observación
No es posible conociendo sólo a Q, hacer la ubicación
dentro de la distribución'
.
no tienen propiedades que les.
Ar iguar que ra mediana, que es er segundo cuartir,
permitaninterveniren|asre|acionesmatemáticas.queuti|iza|aEstadística.
Veamos el siguiente ejemPlo'
Ejemplo 2.2.2.
de ra distribución de la Tabla
Halrar er rango intercuartir y ra desviación cuartir
1
'12'2 los
en la parte anterior de este tema'
valores correspondientes a Qr V Q¡ S€ calCularon
Ql -- 241 2'Q: = 251'7 Kilómetros
'Q
Q=
251
.?
=' Q¡
-.Qr
-zll.2
= 1o.SKm/h
'
Desviación cuarti¡ = (Q3 - Q1l I 2
Qo = 10.5/2
Qo = 5.25Km/h
Esto significa que es de esperar que más
o menos la mitad de los alumnos de la
distribución 1.1 2.2 desanollen velocidades comprendidas entre 241.2
y 251'7Kmlh o
que tienen una desviación ion respecto a la Mediana de más o menos 5.25Km7h.
DESVIACION MEDIA
Al
estudiar las Or*,"OrOu.
de ia media aritmética, encontramos que en toda
la media es cero;
distribución la suma de las desviaciones de sus variables respecto a
lo que
'significa que la suma de las desviaciones (X
-7 i Oe las variables mayores que
de las variables
la media es igual y de signo contrario a la suma de las desviaciones
se utilicen los
menores que la media. De aquí que, para obtener la desviación media,
el valor absoluto de X y
valores absolutos de las desviaciones. El símbolo I X I expresa
que
este valor corresponde al valor positivo de X no importando
X
0.
negativo; porejemp|o,|2|= 2'1.2! = 2 si X = 0 entonces |X| =
"La desviación media es la medía aritmética
de los valores absolutos de las desviaciones.
tas variabtes re7;e;,!o." ," media
73
sea positivo o
Desviación media
Fl.r - xl
DM=T
cuánto mayor
La desviación media es üna medida de la dispersión bastante objetiva:
no proporciona una
sea Su valor, mayor es la dispersión de los datos; sin embargo'
posición de una dato dentro de la
reración matemática precisa entre su magnitud y ra
mide la desviación de una
distrih¡ción. por otra parte, al tomar los valores absolutos
de la media
observación sin mostrar si está por encima o por debajo
aritmética'
:
Ejemplos 2.2.3númei'o de operarios
Los siguientes valores: 10,8,6,4,9,1'1. corresponden a el
d" l'
der país. Hailar ra desviación
sección.de envasado de 6 diferentes indusirias ricoreras
media
T.
7=L'" - l0+8 +6+4+9+ll
6
M
=8
Veamos otro ejemplo 2.2.4.
La siguiente distribución de frecuencias agrupadas representa el presupuesto de salud
en millones de pesos de 88 municipios de Colombia. Hallar la desviación media
FlWunicipios)
X(rnillanes de.,$) Marca
37-39
40-42
43-45
46- 48
49 -51
52-54
55-57
,')
38
41
15
44
47
50
53
56
,33
15
8
:,
Fy
tx - ,xl ftx-xl
76
451
660
Y
ió
3
oo
45
155-1
0
0
750
424
224
J
6
45
48
36
6,
,'9
258
V_
DIJ =
\trv
N_
4136
88
fnix-il
=47
zs1 ^A.
N88
Varianza
para calcular la desviación media, fue necesario presóindir de los signos negativos
media aritmética' Si
tomando los valores absolutos de las desviaciones respecto a la
que todas las
elevamos ál cuadrado las desviaciones, logramos con.esta' operación
las desviaciones y
desviaciones den resúltados positivos, sumando los cuadrados de
dividiendo por N se obtiene ei estadístico
llafna
,''
7q
do varianza que sirve de base .para
calculaf la desviación estándar que es la más importante de todas las medidas
de
dispersión que vamos a estudiar.
a
La varianza es la media aritmética de /os cuadrados de las desviaciones respecto
.
Ia
media aritmética
/
Para datos no agruPados
=
IF
-\a
N
/
tPara datos agruPados
_XT
- -\1xf
a2=-Lr\x
,)
N-
Veamos los siguientes ejemplol de aplicación:
EjemPlo 2.2.5.
empreadas en la realización
La siguiente serie de dafos representa er número de horas
de 6 alcaldías diferentes;
del presupuesto de educación por diferentes sécretarios
5, 15, 12,3,9. hallar lavarianza
- l0+5+15+12+3+9
r_
,t-
ñ
=Y
o
:
t(x'-F)'
-,
Aplicandbtafórmula.Paradátosnoagrupadoss'=T
10'
Tenemos:
Nota.
Para hallar la varianza se debe de trabajar en valores absolutos'
Veamos otro ejemplo utilizando la distribución de frecuencias agrupadas del ejemPlo
la
anterior (Tabla 2.2.1), agregando las columnas necesarias para el cálculo de
varianza.
Ejemplo 2.2.6.
__:6_8,,f6_*)
:
:
:
38 ', ii:'t, ió s6
i
,i¡z-ig
io-+z t 41 11 ',451
18
66 | 3_6
45 . s i.
o : o :
tÁ-+s, 44 ts,660 3
:¿s'-1E',47 33,1551 o
45 , 9' :
i 49'51 i 50 15.750 3
', si-s¿ 53 I , 424 6
e
i;;-;t i áé '4t2zq
' 88'i 4136
i TorALEs .
TABLA 2.2.2Cátculo'áé iá váiiánia en
x
I*
ZS8 :
4736
88
=47
" t rlx-xf
d¿
\
4-
,¡V
.-r 1440 a,^/
'.\'-=--lO.JO
88
77
16?
??9
135
o
135
48 , ?6 ?91
36 81 : 324
uñáóili¡¡üión
-2:-¡/
81
i
:r
14-4Q-"-'i'
de Frecuencias Agrupadas
Desviación Típica o Estándar
La varianza que estudiamos anteriormente como una medida del grado de variabilidad
de las distribuciones, tiene la desventaja
unidades distintas
de
expresar la dispersión de una variable en
a la que mide la variable; de este modo, si analizamos las
grupo, el vaior
velocidades máximas de ciertos cómpetidoies respecto a la media de su
X-X
en
mide la desviación en kilómetros, en tanto que la varianza mide la dispersión
medida de
kilómetros cuadrados. Al extra er la raíz cuadrada se regresa a la unidad de
Recordemos que la
las variables, de la cual nos resulta la desviación típica o estándar.
desvíación típica
o estándar es la raíz cuadrada de la varianza'
Desviación típica o estándar
,r-varianza
=!
,F
Desviación estándar = S =v
S
De donde pai'a datos no agruPados:
Desviación estándar
Tenemos,
=s
r (x-i )
$=
.78
Existe otra fórmula modifrcada para calcular la varianza y es:
Ix
-T
- (Ixiru¡
Para frecuencias agrupadas contamos con las siguientes fórmulaS.
a
HaciendoX-V = x
Y modificadas
A
b=
- (ZFx/N)
79
resulta
Veamos.algunos ejemplos de aplipación:
Ejemplo 2.2.7.
2'25
Hallar la desviación estándar de la serie de números 10,5,15,12,3,9 del ejemplo
y
obtuvo un
del tema de varianza. En el ejemplo se calculó su respectiva varianza se
resultado de 10.8.
Entonces la desviación estándar.
S
= 4.04
=
Ejemplo 2.2.8.
de la Tabla 2.2.2', en el
Hallar la desviación estándar de las dist¡:ibuciones agrupadas
ejempl'o, se calculó
la varianza por el método
de los cuadrados de las desviaciones,
obteniendo, un valor de 16.36'
Desviación estándar =
s=
Si quisiéramos calcular
S
= 4.04
utilizando la fórmula modificada, entonces:
Fx/N)
''8b
Tendríamos que organizar.el cuadro de la siguiente manera:
:
.Y
:',''.''.'.
. 37-39
, 40'42
i +s-q,s
:
,
|
.
46 ''48
49 -51
52 ,- 54'
55-57
Cs
f,
')'
41
11
44
47
50
53
56
15
Marca
' -z F*
,-TX
.
2888
1444',
76
451 1681 18491
660 1936 29040
33
1551 22A9'
15
8
4,
424 28A9'
224 3r3ó'
750 ,2500
¡:
: TOTALES
4136
88
'',.,'','''':'
195832
N
88
72897
37500
22472
12544
195832
=2225.36
lT n)' _[qr¡o)' =220e
| /-Jr
l-l
IN
I
)
[88/
S= 4.04
Coeficiente de Variación
que hemos estudiado
También llamada dispeisión relativa; todas las medidas
y se expresan en 'las mtsmas
anteriormente son medidas de dispersión abso.luta .
'caso es.necesario comparar dos o
rrar
\,,ó c6 rnir{a la variable' Si en algún''
unidad.es con las que se mide
a1
9l
más series de obseryación, por lo general no es posible la comparación utilizando
la
dispersión absoluta. Dos son los casos pósibles: el primero que las unidades de medida
de las observaciones sean iguales,
y
el segundo es que sean diferentes; en el primer
caso, las dos series pueden tener medias aritméticas diferentes; por estar expresadas
en las mismas unidades las desviaciones estándar son comparables, pero no aportan
una correcta apreciación sobre las series que se comparan.
En el caso segundo, que las unidades de medida sean diferentes, no es posible
la
comparación por medio de dispersión absoluta. Por ejemplo, unas serie de precios en
que tienen
euros co¡ una serie de precios en pesos, o tratar de comparar calificaciones
diferentes rangos.
para realizar comparaciones entre series de observaciones, en Estadística se emplea
la
o
dispersión relativa,la cual es adimensional'
Dispersiónrelativa=
W
Si|adispersiónabsolutaes|adesviaciónestándar
S,
la dispersión relativa recibe el
nombre de coeficiefte de variaciÓn
de.Variación
Coeficiente.,Y'
,\.
= L' =:i
'
Veamos el siguiente ejemPlo:
Ejemplo 2.2.9.
La media aritmética de los salarios en una empresa europea es
desviación estándar es de 40
de
1500 euros y su
euros. En una empresa similar.ecuatoriana la media
aritmética de los salarios es de 140 dólares con una desviación estándar
de
20
dólares. Compare las dos series y verifique cual de ellas tiene mayor desviación de
salarios
.
.
'
q
lndustria
Europea=
V
fndustriaEcuatoriana=
=L
X
V=!
X
=
40
=
|
1500
=
0.026 (2.6Yo)
20t140= 0. 14|a%o)
Respuesfa: la industria ecuatoriana tiene mayor variación en salarios.
AUTOEVALUACION
'1.
ldentifique
y
describa desviación típica
o estándar, coeficiente de variación,
varianza y rango.
2. S¡ conozco la
3.
varianza, para calcular
desviación estándar debo
para calcular la desviación estándar a partir de los valores de las observaciones
de sus valores Y
originales, debo sumar los
: a este valor debo restar el cuadrado
dividir por
de
4.
la
y finalmente
observaciones, debo
Si debo de comparar el grado de variabilidad de dos series de
que se obtienen dividiendo la
utilizar disPersiones
por la
.
5.
para
si mido el PIB y el precio del dólar de una serie de países latinoamericanos'
mayor grado de variación' debo
determinar cuál de las dos series de valores tiene
utilizar medidas de
6.
que representan el precid del
Hatte el rango de las siguientes serles de valores
(a). 250' 270, 240, 320, 280
dó|ar en México y Argentina respectivamente.
7;, El rango de la 6anda cambiaria (precio del dótar) en la
'
.
Repúblicá Bolivariana de
'
Venezuela es de 3O Bolívares; si'el Techo de la banda (valor mas alto del dólar) es
.
de 1900 bolívares, halle el precio del piso carnbiario (valor mas bajo del.dólar).
8.
Halle la desviación media de los valores del ejercicio 6, (a) (b).
9.
Halle la desviación media de la mediana de los valores del ejercic¡o 6 (b).
10. Las calificaciones obtenidas sobre 100 puntos por 16 aspirantes a ocupar vacantes
en Tolcemento fueron:
30
¿
40
¿
50
z
60
I
,7o
3
II
eo
90
(d) el
Halle: (a) la desviación media (b) la desviación mediana (c) el rango intercuartil
rango semi intercuartil o desviación cuartil.
85
l
.I
11. Lás siguientes series de valores: (a) 6,5,3,8,4,1,5,4 (b) 3,2,1,0,1,4,3,2 representan
la inflación de países Europeos antes de la in[egración económica y después de
integración económica, respectivamente. halle
la varianza y desviación
antes y desPués de la integración.
12. Halle el coeficiente de variación de los ejercicios anteriores.
la
estándar
2.3 OTÍTA MEDTDAS
En esta sección se brindarán algunas nociones acerca de curvas asimétricas,. aunque
eS necesario aclarar que el
".rrd,o
O"
"rto.
temas'corresponde a textos de Estadística
mucho más avanzados. Sin la más remota intención de tocar más a fondo, en esta
materia se han seleccionado algunos apuntes básicos que nos servirán para poner en
evidencia ciertos aspectos de las curvas de distribución de frecuencias-
Momentos
Llámese momentos a los promedios de las series de potencias de la variable.
Si Xr , X2, .... Xn Sor't los N valores
y
de x, entonces. para datos no agrupados.
para datos agruPados
\. rv,
/
I /r
N
Los momentos se pueden definir respecto a cualquier punto. En este caso, se toman
las potencias de la diferencia (X - a), donde
Véamos el siguiqnte ejemPlo:
87
a
es la ordenada del punto de trabajo.
Ejemplo 2.3.1.
El consumo de agua en metros cúbicos de una familia de estrato
1
es: 5, 1 , 3 , 6 hallar
los momentos: (a) de orden 0 (b) primero (c) segundo (d) tercero.
lál
50+10+30+60 1+l+i+l
lr
;-=-;-31
--o
4
444
l5
...; 5+l+3+6---J./)
44
lbl,\=
. . *2
52 +12 +32
I w t1\
+62 25+l+9 +36
444
.,.;.r =
(r/i,t
-
5r+lr+3r+ór
=
4
125+l+27
7l
-
+216
=
4
-
l t.tJ
369
4
=)l.t)
Dados los números del problema 2.3.1, hallar los momentos respecto a la media, de
orden: (a) primero (b) segundo (c) tercero. Los momentos respecto
aritmética se simboliZán oor
,. \.-- f- 7,
\ci)itt,=Vt-,I)=
(b)m, = (,^' -2
X)
rT'rr.
.
6 -3.75)+(l- 3.75)+(3-3.75)+(6-3.75)
¡
(5-3
=
75)r
+(l*3
75)2
-n
.
+(3-3
4
75)r +(6-3.75)? _1Ao
= ).o>
a la media
En general
Y para datos agrupados
L&,-xl
*r=8.
m- 'N
N
irw,-i)'
t=l
Sesgo
En las distribuciones asimétricas la media se corre en el sentido del alargamiento o
sesgo por efecto de las frecuencias y de.los valores de la variable; la mediana se corre
menos: ya que en ella sólo influyen las frecuencias, en tanto que la moda no es
influenciada. ni por las frecuencias ni por los valores extremos. La distribución es
asimétrica positiva y presenta un alargamiento hacia la derecha o sesgo positivo , ver
figura 2.3.1 si la media
(M) es mayor que la mediana (Me) y ésta a su vez es mayor
que la moda (Mo) (M> Me > Mo).
M
MeMo
GRAFICO 2.3.2 Sesgo Negativo.
La distribución es asimétrica negativa y presenta una alargamiento hacia la lzquierda o
sesgo negativo,ver Figura 2.3.2 si M < Me < Mo. Las asimetrías positivas son las más
frecuentes y se encuentran en los consumos de servicios públicos, en los jornaleE y en
'
las calificaciones de pruebas; estas últimas' son ligeramente asimétricas y
t¡enen
tendencia a la simetría.
Medidas de lg Asimetría. Kad Pearson investigó la asimetría y a él se debe la relación
empírica de que en las distribuciones moderadamente asimétricas la mediana queda
aproximadamente a 213 partes de la distancia de la moda a la media.
'
Coefióiente
de
Pearson La asimetría. en función'de la mebia y la moda es:
,
.{.f i
.\'
--
- lvlo'
a\
'
Rbmplazandó la moda por la relación empírica Mo = 3Me
función de la'mediay la
- 2M se tiene la asimetría en
.
mediana.
'
' -v Me\'
As-3(X
U
El Coeficiente de Pearson varía entre + 3 o menos - 3 y su distribución normal es cero.
La medida cuartil de asimetría o Medida de Bowley, es una distribución simétrica Qr y
Qg a ambos lados e igual distancia de la mediana, si la distribución es asimétrica hacia
' la derecha, Qg
queda más lejos de la mediana que Qr
izquierda, Qr queda más lejos de la mediana que Q3;
la
y
si es asimétrica hacia la
mediana es siempre
Medida de Bowley basada en los cuartiles es:
As= Q,+Qt-zQ,
Q'-
La medida de Bowley varía entre
.
+1 o
-
Q,
1 y es cero la distribución normal.
Veamos los siguientes ejemplos:
q1
Qz.
La
Eiemplo 2.3.2.
Los siguientes datos representán el promedio, moda y mediana del consumo mehsual
en Kwh de una familia de estrato alto. Hallar el Coeficiente de Pearson de Asimetría
T = 246.3: moda =246; mediana =246.3;
,
3(X'
- Ivle)
s=7.37
3(246.3
.s'
- 246.3) ''
7.37
Este resultado nos informa que la distribución es normal
. Ejemplo 2.3.3.
Hallar la medida cuartílica o Medida de Bowley de asimetría para la Tabla 1.12.2. En
tema de cuartiles y deciles se desarrolló este ejercicio obteniendo los
resuftados. Qr = 241.2, Qs =251 .7, Qz = Me =
, Q,+Qr-2Q=
Qr -Q,
246.3
241.2+251.7-2(246.3)
2s1.7
-241
el
sigúientes
- '
A
!
Esto quiere decir que la distribución es normal si trabajamos sin decimales, pero
trabajando con decimales se obtiene un muy ligero sesgo positivo.
.
Ejercicio.
1. Halle la Medida de ASimetria de Bowley para la distribuqión del Ejeriicio'
(anterioi).
2.3.2.
i
'
:
CURTOSIS
L-as curvas
de distribución, comparadas .con la curva de distribución norm.al, pueden
presentar diferentes grados de apuntamiento o de altura de la cima de la curva. Según
su apuntamiento, las curvas reciben diferentes nombres así: la curya normal
se
denomina mesocúrtica (Figura 2.3.4), leptocúrtica la de mayor apuntamiento que. la
normal. (Figura 2.3.3), y platicúrtica la de menor apuntamiento que la normal ver Figura
(2 3.5)
GRÁFrCO 2.3.3
GRÁF|CO 2.3.4
Leptocúrtica
Mesocúrtica
GRÁF|CO 2.3.5
Platicúrtica
Una medida de curtosis es útil para apreciar el grado en que una curya de distribución
de frecuencias es más alta o más achatada que la curva normal de distribución. Una de
las medidas de curtosis se basa en el cuarto momento.
Coeficiente de curtosis = a, =
1
Parala curya normal el coeficiente á+
=
3.
< 3, la curva es platicúrtiba.
YJ
+J
ñ{
Si ?¿ > 3, la curva es leptocúrtica y si
?t
.AUTOEVALUACIÓN
1. Defina :
momento, sesgo positivo y negativo, Coeficiente de Pearson, Medida de
Bowley, curtosis, curyas de leptocúrticas, mesocúrticas y platicúrticas.
2.
Si una curva de frecuencias presenta un alargamiento hacia la izquierda, se dice que
; si lo hace a la
tiene
3.
El Coeficiente de curtosis a¿ tiene el
valor
derecha, entonces
es
oara la curva normal. si a+ <
3
ysi a+>3lacuryaes
la curva es
4. Las Medidas de Curtosis
de lag curvas de
miden el
frecuencia con relación ala curva
5.
Para la curva normal el Coeficiente de Pearson toma una valor de
valor de este co'eficiente varía
6.
entre
.
En la curya normal la medida cuartil de simetría o medida de
yel
'
vale
; el valor de esta medida varía entre
7.
En Estadística un nombre de orden es el
orden
.
de la variable.
94
de las potencias de
a'
.
RESUMEN
Mapa contextual de la Unidad
Media
a) Medldas de Tendencia
c"nu^{
lvl"o¡rn,
\
Moda
Desviación Media
Rango
Varianza
b) Medidas de Dispersión
Desviación Típica
Coeficiente de Variación
Asimetría
Curtosis
c) Otra medidas
Las medidas de tendencia centralson utilizadas, junto con otras medidas, para describir
y
establecer comparaciones cuantitativas entre distribuciones de frecuencia; por
oq
lo
general, la mayor densidad de frecuencia está en la parte central de las gráficas, y de
aquí se dériva su nombre.
La Media Aritmética de cierto número de cantidades es la suma de sus valores dividido
por dicho número. Designadg por:
N = número de observaciones
X = valor de cada observación
F= Media Aritmética,
Media, o simplemente, X barra.
N
IX¡
:-l
Se tiene
ta
t//l-
Meá¡ana se define como el valor que divide una distri'bución de datos ordenados en
dos mitades, o sea aquel que deja por arriba igual número de términos que por debajo
de.é1. En otras palabras, la Mediana es el valor del térfnino del medio y se calcula de la
siguiente manera: ejemplo: dado 10,12,18,19,21,28. La mediana es el valor del medio,
como en está caso tiehe un número par de términos, se calcrla un valbr equidistante
de los dos valores centrales entonces: (18 + 19)12 = 18.5 que esla mediana:
'
Para tá UeOiana de datos agrupados, se caliula prim'ero N/2
y luego se averigua,
'contando de cüalquiera dó los efremos, la clase en la que está la medianai y luego se
calcula la mediana por el método de interpolación
lineal.
'
'
La Moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia. Por ejemplo,
dado
1,2,3,3,5,7,6,3 la moda es 3 por ser el valor de mayor frecuencia.
Las medidas de dispersión son medidas que se utilizan. para conocer la dispersión de
los valores alrededor de la medida de tendencia central. En esta unidad estudiamos las
siguientes: el rango, que és la diferencia entre el límite superior y el inferior de una serie
de valore s; el cuariil, que se utiliza para conocer los intervalos dentro de los cuáles
quedan--proporcionalmente repartidos los términos
de la distribución- Y se
calcula
y
contendrá igual
dividiendo la o¡str¡oución de frecuencias en 4 partes iguales, cada una
número de observaciones,
valores son ros cuartires.
objetiva
o sea el 25% del total; los puntos de separación de los
La Desviación Media es una medida de dispersión bastante
y se define como la Media Aritmética de ios valores abso/ufos de /as
Aritmética",
desviaciones de las variables respecfo a ta Media
DesviaciónMedia
=DM= tlx- tl
N
97
La Varianza es la Media Aritmética dé los cuadrados de las desviaciones respecto a la
Media Aritmética
Paá datos no agrupados 52 =
Para datos agiupados
IK
_VY
¡¡
s,=z!v:ü
¡/
La Desviación Típica se define como la raíz cuadrada de la Varianza y el Coeficiente de
Variacion es una medida de dispersión que se utiliza para efectuar comparaciones ántre'
series de observaciones. Se calcula dividiendo la d¡spers¡ón absoluta sobre la Media.
.
En cuanto a las otras medidas, se habló'de lq Asrmetría, la cual es un tipo de medida
que se encarga de observar si la distribución presenta alargamiento a la derecha o a la
,
izquierda y la medida de Curtosis que es útil para apreciar el grado en que una curya
distribución. Una de las medidas de Curtosis se basa en el cuarto momento.
Coeficiente de Curtbsis=
lTl
't
- --J-"
'
GLOSARIO
CuÉosis: Es una medida que sirve para apreciar el grado en que una curva
distribución de frecuencias es más alta
o
de
más achatada que la curva normal de
dlstribución.
Desviación Estándar: Se define como la raíz cuadrada de la varianza.
.
Estadístico: Son los valores o resultados obtenidos de operar con los datos resultantes
de una muestra.
Media Aritmética: La Media Aritmética de cierto número de cahtidades es la suma de
sus valores dividido por su número.
Media Aritmética Ponde[ada: En aritmética,
el concepto de Media Aritmética
ponderada se aplica para calcular el valor promedio de cantidades a cada una de las
cuáles está asociado un número o peso que la pondera.
Mediana: Se define como el valor que divide una distribución de datos ordenados en
dos mitades, o sea aquel que deja por arriba igual número de términos que por debajo
.
de é1. En otras palabras, la mediana es el valor del término del medio.
Moda: Es el valor que ocurre con mayor frecuenciaParámetro: Es cualquier característica cuantificable de una población y usualmente
se
designan por letra griegas.
Ranqo: Diferencia entre el límite supgrior y el inferior.
Varianza: Es la Media Aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a
media aritmética
la
.'o
Teoría de la Probabilidad
)'i;!4"-:r.\
a'
PRESENTACIÓN DE
tÁ UNIDAD
La Teoría. de la Probabilidad se remonta a comienzos del siglo XVll, debido a estudios e
investigaciones empíricas acerca de los juegos de azar de la época, y que hoy en día
aun están vigentes.
Desde entonces, muchos investigadores y matemáticos, como también científic'os de
importancia reconocida, contribuyeron
paralelamente .con
la
a que Se desarrollara y
Estadística, llegando
Se
perfeccionara
a ser un complemento y
una
parte
importante de esta rama de la ciencia.
A pesar de haberse comenzado a investigar tanto tiempo atrás, sus desarrollos
más
relevantes y su fundamentación matemática sólo se consolidó durante los años treintas
y cuarentas del siglo XX; a partir de esta etapa, se le denominó Teoría Moderna de la
probabilidad, en la que se precisaron conceptos de gran importancia y se colocó sobre
una firme base
matemática. '
'
La siguiente unidad se presta fácilmente para estudiar por cuenta propia y presenta
de
temas de gran relevancia, los cuáles son fundamentales para introducirnos al mundo
la probabilidad; y únicamente exige un conocimierito previo de Álgebra de secundaria.
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar destrezas
y habilidades necesarias
para maneiar aplicaciones de
los
conceptos de Probabilidad en la gestión pública.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
E ldentificar algunos conceptos básicos de Probabilidad, como eventos y espacio
muestral.
E Conocer cuándo una distribución de Probabilidad es discreta y cuándo es continua.
B
Adquirir el conocimiento necesario para realizar análisis combinatorio.
Requisitos Previos
,
Debido
a
Qu€ básicamente se desarrollarán temas que introducen
probabilidad,
'
secunoana
.a
lo único que se requiere es un
al mundo de
conocimiento previo
a,
,
de Algebra
la
de
TEORíA DE LA PROBABILIDAD
3;l Espacio Muestral
En el estudio de la Estadística tratamos básicamente con la presentación
interpretación
e
de resultados fortuitos qu? ocurren en un estudio planeado o
investigación científica. Por ejemplo, podemos registrar el número de accidentes que
ocurren mensualmente en la intersección del Monumento a las Vacas en la ciudad de
Sincelejo, con el deseo de justificar la. instalación de un semáforo; podemos clasificar
los ártículos que salen de una línea de montaje como i'defectuosos" o "no defectuosos";
o nos podemos interesar en el volumen de gas que se libera en una reacción química
cuando se hace variar lá concentración de un ácido. Por ello, el estadísticb a menudo
trata con datos experimentales, conteos
o
mediciones representativos,
o quizá
con
datos categóricos que se pueden clasificar de acuerdo con algún criterio.
Nos referiremos a cualquier registro de información, ya sea numérico o categórico,
como una observación. Así, los números 2, O, 1 y
2,
que representan
el número
de
accidentes que ocurrieron en cada mes de enero a abril durante el año pasado en la
intersección Monumento a las Vacas en la ciudad de Sincelejo, constituyen un conjunto
de observaciones. De forrna similar, los datos categóricos N, D, N, N y D, que
representan los a¡tículos defectuosos o no defectuosos cuando se inspeccionan cinco
artículos, se registran como observaciones.
103
-
Los estadísticos utilizan la palabra experimento para describir
cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Un ejemplo
simple de experimento estadístico es el lanzamiento al aire de una
moneda. En este experimento sólo hay dos resultados posibles:
cara o cruz. Otro experimento puede ser ef lanzamiento de un misil y
la observación de su velocidad en tiempos específicos. Las
opiniones de los votantes con respecto aun nuevo impuesto sobre
ventas también se pueden considerar como observaciones de un
experimento. Estamos particularmente interesados
observaciones que se obtienen por
varias veces. En
dependerá
t
en
las
la repetición del-experimento
mayor parte de los casos, los resultados
n del azar y, por tantO, no Se pueden
S¡ un químico realiza un análisis
u"fi",
predeCir COn
cuando
se lanza al aire una moneda de forma repetida, no podemos tener
-
la
za de que un lanzamiento dado tendrá como resultado una
el conjunto completo
posibilidades para cáda lanzarniento.
cara.
sin
embargo, .ono..rnos
varias
veces DaJo
las
veces bajo las mismas obtendrá diferentes
probabilidad en el procedim¡ento experimental. lncluso,
certe
L¡n análisis
.-u¡'
certeza. mismas'óondiciones,
condic¡onea, out"norá diferentes med¡das, que indican un elem"nto
-
siun químico reaiiza
de
:
medidas'
que.
indican un elemento
de probabitidad en el
procedimiento
experimental'
¡'
El conjunto de.todos los resultados posibles de un experimento estadísticb se llama
espacio muestral y se representa con el símbolo S.
Cada resultado en un espacio múestral se llama elemento o miembro del espacio
muestral, o simplemente punto muestral. Si el espacio muestral tiene un número finito
de elementos, podemos listar los miembros separados por comas y encerrarloq
en
paréntesis. De esta forma, el espacio muestral S, de los resultados posibles cuando se
lanza al aire una moneda, se puede escribir
S= {H,
T},
Donde H y T corresponden a "caras" y "cruces", respectivamente.
Ejemplo 3.1.1 Considere el experimento de lanzar un dado. Si nor interesamos en el
número que muestra en la cara superior, el espacio muestral sería
51 = {1 ,2,3,4, 5, 6}.
Si nos interesamos sólo en si el número es par o impar, el espacio muestral es
simplemente
52 = {par, Jmpar}.
El ejemplo ilustra el hecho de que se puede usar más de un espacio muestral para
describir los resultados de un experimento. En este caso,
Sr
proporciona más
información que Sz. Si sabemos cuál elemento en Sr tiene lugar, podemos. decir cuál
resultado ocurre en Sz; no obstante, el cbnocimiento 0." lo que pasa en Sz no'es de
ayuda en la determinación de cuál elemento en Sr ocurr€.'En general, se desea utilizar
195
un espac¡o muestral que dé .la mayoi información acerca de los resultados
del
experimento.
En algunos experimentos es útil listar los elementos del espacio muestral de forma
sistemática mediante.un diagrama de árbol.
Veamos el ejemplo 3.1.2. Un experimento consiste en lanzar una moneda y después
lanzarla una segunda vez s¡ saie cara. Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces
se lanza un dado una vez. Para listar los elementos del espacio muestral
que
proporcione la mayor información, construimos el diagrama de árbol de la siguiente
figura.
Primer
resultado
Segundo
resultado
punto de
La muestra
H
HH
HT
T
<:
.l
T1
I
T2
T3
T4
T5
T6
Ahora bien, las diversas trayecioriás a lo lárgo de las rarnas del árbol dan los distintds
i.!'
puntos de. la muestra. Al comenzareon la rama.superior rzquierda
y
movernos
a la'.
.
'
derecha
a lo largo de'la
primera tralectoria,'obtenemos
el punto rnuestral
.HH, que'
indica la posibilidad de que ocurran caras en dos lanzamientos suiesivos de la moneda.
Asimisr¡ro,
el punto muestral T3 indica la posibilidad de que la rnoneda muestre
una
cruz seguida por un 3 en el lanzamiento del dado. Al seguir a lo largo de todas las
trayectorias, vemos que el espacio muestral es
s - {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.
3.2 EVENTOS
Para cualquier experimento dado podemos estar interesados en la ocurrencia de ciertos
eventos más que en el resultado de un elemento especÍfico en el espacio muestral. Por
.a
ejemplo, podemos estar interesados en el evento A en el que el resultado cuando se
lanza un dado sea divisible entre 3. Éste ocurrirá si el resultado es un elemento del
subconjunto A = i3,6) del espacio muestral Sr del ejemplo 3.1.
Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.
Ejemplo 3.2.1. Dado el espacio muestral. S = {t /
t > 0}, donde t es la vida en años de
. cierto componente electrónico, entonces el evento A dá que el componente falle antes
.de que finalice el quinto año es el subconjgnto A ;.it/O< t. < 5)
107
Es concebible que un evento pueda sér un subconjunto que incluya todo el espacio
muestral S,
o un subconjunto de S que se denomina conjunto vacío y se denota
mediante el símbolo
A
Q,qu" no contiene elemento alguno. Por ejemplo, si hacemos que
sea .el evento de detectar un organismo microscópico
experimento biológico, entonces A =
Z. También,
a
simple vista en un
sí
= {xlx es un factor par de 7},
Entonces B debe ser el conjunto vacío, pues los únicos factores posibles de 7 son los
números nones 1y
7.
Considere un experimento donde se registran los hábitos de fumar de los empleados de
una empresa industrial. Un posible espacio muestral podría clasificar
a
un'individuo
como no fumador, fumador ligero, fumaOor moderado o fumador empedernido. Sea el
subconjunto. de los fumadores un evento. Entonces la totalidad de los no fumadores
corresponde
a uñ evento diferente, también subconjunto de S, que se denomina
complemento del conjunto de fumadores.
El complemento de un evento A con respecto a S es el subconjunto de todos
elementos de S .que no están en
símbolo A'.
A. Denotamos el
complemento. de
A
mediante el
Ejemplo 3.2.3 Considere el espacio muestral
5 = {libro, catalizador, cigarrillo, precipitado, ingeniero, remache}.
Sea A = {catalizador, remache, libro, cigarrillo}. Entonces
A'
- {precipitado,
ingeniero}
Consideremos ahora ciertas operaciones con eventos'que tendrán como resultado la
formación de nuevos eventos. Estos eventos nuevos serán ,rb"onjrntos del mismo
espacio muestral como los eventos dados. Suponga que
A y B son dos eventos
asociados con un experimento. En otras palabras, A y B son subconjuntos del mismo
espacio muestral S. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado podemos hacer que A
sea el evento de que ocurra un número par y B el evento de que aparezca un'número
mayor que 3. Entonces, los subconjuntos A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6} son subconjuntos
del mismo espacio muestral
S = {1 ,2,3,4, 5,
Nótese que
6}.
,l
A y B ocurrirán ambos
.en
un lanzamiento dado si el resultado es un
elemento del subconjunto {4,6}, que es precisamente la intersección de A y B.
La intersección de dos eventos. A y.B, denotada mediante el símbofo A
evento que contiene a todos
lo.s eleme.ntos
que son comunes a A y a B
n
B, es ef
.
Ejemplo.3. 2.
4.
Sea P el evento de que una persona seleccionada al azar mientras
cena en un .restaurante de moda sea un contribuyente, y sea Q el evento de que
la
persona tenga más de 65 años de edad. Entonces el evento PnQ es el conjunto de
todos los contribuyentes en el restaurante que tienen más de 65 años de edad.
Ejemplo
3.2.5. Sean M={a, e, i, o, u}y N = {r, s, t}; entoncessesiguequeMnN=O.
Es decir, M y N no tienen elementos en común
y,
por tanto, no pueden ocurrir ambos
de forma simultánea.
Para ciertos experimentos estadísticos no es nada extraño definir dos eventos, A y
B,
que no pueden ocurrir de forma simultánea. Se dice entonces que los eventos A y B son
mutuamente excluyentes. Expresado de manera más formal, ténemos la definición
a.
siguiente:
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si A
n
B = O; es decir si
A y B no tienen elementos en común
Ejemplo 3.2.6. Una
.compañía
de televisión por cable ofrece prográmas en
ocho
diferentes canales,'tres de los cuales están afiliados con ABC, dos cón NBC, y uno con
CBS. Los otros dos son
.una
,n
"rn"l
eOucat¡vo y el canal de deportes ESPN. Suponga que
persona se suscribe.a este servióio enciende un televisor sin seleccionar de
anteman.o e[canal. Sea A el evento de que el programa pertenezca a la r'ed NBC y B.el
de que.pertgnezca'7la red CBS.
.evehto
.a:to
110
un ilrogramS d3 teevisión'no puede'
Por
los
A
menudo, nos interesamos en la ocurrencia de al menos uno de dos eventos
asociados con un experimento. Así, en el experimento de lanzamiento de un dado, si
A = {2,4, 6i y B = {4, 5, 6},
Podemos interesarnos.en que ocurra A o B, o que ocurran A y B. Tal evento, que se
llama la unión de A y B, ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunlo {2, 4, 5,
6).
'
La unión de dos evenios A y B, que se denota mediante el símbolo A
u,r
B, es el evento
que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.
Ejemplo 3.2.7. Sea A = {a, b, c} y B = {b, c, d,
A
"};
entonces
u B 1{a, b, c, d, e}.
Ejemplo 3.2.8. Sea P el evento de que un empleado seleccionado al azar de una
compañía petrolera fume cigarros. Sea Q el evento de que el empleado seleccionado
ingiera bebidas alcohólicas. Entonces el evento P
u Q es el conjunto de todos los
empleados que beben o fuman, o que hacen ambas cosas.
111
3.3 PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Quizá fue la sed insaciable del hornbre por el juego la que condujo al desarrollo
temprano de la Teoría de la Probabilidad. En un esfuerzo por aumentar sus ganancias
pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios
juegos de azar. Algunos de los matemáticos que proporcionaron estas estrategias
fueron Pascal, Leibniz, Fermat
desarrollo de
predicciones
y James Bernoulli. Como resultado de este primer
la Teoría de la Probabilidad, la inferencia estadística, con todas
y
generalizaciones, se extiende más allá de los juegos
de azar
sus
para
abarcar muchos otros campos asob¡ados con los eventos aleatorios, como la políticá,
los negocios, la predicción del clima y la investigación científica. Para que estas
predicbiones
y
generalizaciones sean razonablementé precisas,
es
comprensión de ta estructura del experimento, para tener algún grado
esencial,; una
d" .onRrn za en
la validez de la afirmación.
En el resto de este capítulo consideramos sólo aquellos experimentos para los que el
espacio muestral contiene un número finito de elementos. La probabilidad de
la
ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico, se evalúa por
medio dé un conjunto de números reales denominados pe5os o probabilidades que van
de 0 a 1.
'
ParatoOo prnto en el espacio muestral, asignamos
,n"
Orob"bilidad t"f qu"
la suma de todas las probabilidades es 1. Si tenemos razón para creer que es bástante
ocurra cierto punto muesiral cuqndq se lleva a iabo el experimento, la
.
p.robable.que
'
probabilidad qu'e se le asigne debe ser cércana.a
1
Pot otro lddo, una probabilidad
'
c€rcana á cero se asigna a un punto muestral que no ds probable que ocurra.. En
mu.chos experimentrcs, com'o lanzar
una moneda.
o
un
dado,
.todos los'
puntos
muestrales tiene la .misma oportunidad de ocurrencia.y se les asignan probabilidades
iguales. Para puntos fuera del espacio muestral, es decir, para eventos simples que no
es posible que ocurran, asignamos una probabilidad de cero.
Para encontrar la probabilidad de un evento A, sumamos todas las probabilidades que
se asignan a los puntos muestrales en
A.
Esta suma se denomina probabilidad de A y
denota con P(A).
La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales
en A. Por tanto,
0 < P(A) <
Ejemplo
1,
P(A) =
0, y
3.3.1 Se lanza dos veces una moneda.
P(S) =
¿Cuál
1.
es la probabilidad de que
ocurra al menos una cara?
Solución
El espacio muestral para este experimento es
: {HH, HT, TH, TT}
Si la moneda esta balanceada; cada uno de estos ¡esultados tendrá la misma
S
probabilidad de ocgrrencia. Por tanto, asignamos una probabilidad de. w a cada uno de
'
los puntos muestraler. fnton.e,
4y = 1l o w = /o. Si A representa el evento de que
ocurrá al menos una cara. entonces
4={HH,HT,TH} y
P(A)=%+%+/n=/o.
Ejemplo 3.3.2 Se carga un dado de forma que sea dos veces más probable que salga
un número par que uno non. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 4 en
un solo lanzamiento del dado, encuentre P(E)
Solución
El espacio muestral es'S =
número non
.
y
{1,2,3, 4,5, 6}. Asignamos una probabilidadde w a cada
una probabilidad de 2w
probabilidades debe
probabiliáades de
119
a cada número par. Como la suma de las
ser 1, tenemos 9w.= 1 o w
y
219
=
1lg. Por ello se asignan
a cada número non y par, respeótivamente. Por tanto,
y
E = i1 ,2,31
P(E) =
119
+ 219 +
119
=
419.
,t
Si el espacio muestral para un experimento contiene N elementos, los cuales tienen la
isma probabilidad de ocurrencia, asignamos una probabilidad igual a 1/N a cada uno
. de los N puntos. La probabilidad de
puntos muestrales es entonces
cualquier.evento A que contenga n de estos
N
la razón del número de elementos en A al número. de
elementos en S.
. Si'
un experimento puede teher comó resultado cualquiera de N diferentes re'sultados
igualmente probaOleS, y si exactrrent" n O" ertos resultado, *rr"rponden al evenüo
:'
A, entonces la probabilidad'del evento A
es P(n¡ = ¡7¡
.a
1
14'
'
Ejemplo
3.3.2
choco,lates.
Un. surtido
de dulces contiene seis mentas, cuatrp chicles y
tres
Si una persona hace una. selección
selección aleatória de uno de los dulces.
encuentre la probpbilídad de sacar a) una menta o b) un chicle o un ghocolate.
Solución
M, T y C representan los eventos de que la persona seleccione, respectivamente, una
menta, un chicle o un chocolate. El número total de dulces es 13, los cuales tienen la
misma probabilidad de ser seleccionados.
(a) Como seis de los 13 dulces son mentas, la probabilidad del evento M, seleccionar
unarnenta al azar, es
P(M) = 6713.
(b) Como siete de los 13 dulces son chicles o chocolates, se sigue que
P(TuC)=71t3
Si.los resultados de un experimento no tienen igual probabilidad de ocurrencia, las
probabilidades
se deben asignar sobre la base de
un
conocimiento previo
o
de
evidencia experimental. Por ejemplo, si una moneda no está balanceada, podemos
estimar las probabilidades de caras y cruces al lanzar la moneda un número elevado de
veces y registrai los resultados. De acuerdo con la definición de frécuencia relativa de
'
.'la
probabilidad, las probabilidades verdaderds ser.ían las fracciones de caras y cruces
.que ocurren a largo plazo.
:
.
"
Para encontrar un valor nu.mérico que représente de manera adecuada la probabilidad
de ganar en el tenis, debemos depender de nuestro rendimiento pasado en el juego así
como también del de nuestro oponente y, hasta cierio punto, en nuestra creencia de ser
capaces de.ganar. De manera similar, para encontrar la probabilidad de que un caballo
gane una carrera, debemos llegar
a una probabilidad que se base en las marcas
anteriores de todos los caballos que participan en la carrera, así como de records de los
jockeys que montan en los caballos. La intuición, sin duda, también juega una parte en
la determinación del monto de la apuesta que estemos dispuestos a jugar. El uso de la
intuiciÓn, 'las creencias personales
y otra información'
indirecta para llegar
a
probabilidades se denomina como la definición subjetiva de probabilidad.
En la mayor parte de las aplicaciones de probabilidad de este
de frecuencia relativa de probabilidad es
la
texto la interpretación
que opera. Su fundamento es
el
experimento estadístico en lugar de la subjetividad. Se le considera mas bien como
frecuencia relativa limitante. Como resuttado, muchas aplicaciones de probabilidad
en la ciencia y ia ingeniería se deben basar en experimentos que se puedan repetir.
Nociones menos objetivas
de
probabilidad
se
encuentran cuando asignamos
probabilidades que se basan en información y opiniones
pr"uirr.
Como elempio,
".hay
una buena oportunidad de que de que el cortuluá pierua el campeonato Nacional de
Fútbol".'Cuando la opiniones y la informacion ¡irevia difierán de.individuo a individuo, la
probabilidad subjetiva se'vuelve el recurso rélevante.
¡to
h
U
P(a.X<b)=
i
f(x) dx
P(X)
X
b
Figura 3.4.1 Probabilidad que X tome un valor entre a o b
3,5 ESPERANZA MATEMATICA
Sí p es la propabilidad de que una persona reciba una cantidad S de dinero.
la
esperanza matemática (o simplemente esperanza) se define como ps.
Ejemplo 3.5.1. Si la probabilidad de que un supervisorde Electrocosta gane un ascenso
de $10 es 1/5, su esperanza rnatemática es 1/5($10) = $2.
121
El concepto de esperanza matemática se extiende fácilmente. Si X denota una variable
aleatoria discreta que puede tomar los valores Xr, X2, ...,
..., pk, donde p1 + pz
+...+
Xr cofl probabilidades pr, pz,
pr = 1, la esperanza matemática de X (o simplemente
esperanza de X), denotada E(X), y se define como
k
E(X) = pr
Xr + gzXz + ... +p¡X* =
,?,n'
\
.=
IpX
Si las probabilidades p; en esa expresión se sustituyen por las frecuencias relativas ¡y'N,
donde N
= Zf¡, la esperanza matemática se reduce a (I/X)/N, que es la media
aritmética X de una muestra de tamaño N en la que
X1
, Xz, ..., X¡ ?p?recen con estas
frecuencias relativas. Al crecer N más y más, las frecuencias relativas se acercan a las
probabilidades p¡. Así que nos vemos abocados a interpretar E(X) como la media de la
población cuyo muestreo
aa
podemos denotar
se consideiaba. Si llamamos m a la media
la media
muestral.
poblacional por la correspondiente letra griega pr (miu).
Puede definirse, asimismo,
la
esperanza matemática para variables aleatorias
continuas, pero requiere el cálculo.
3.6 RELACION ENTRE POBLACIÓN, MEDIA MUESTRAL Y VARIANzA
.
Si seleccionaniob una muestra de tamaño N al azar de.una' poblacion (o
sea,
suponemos Qu.e todas'las posibles muestras son igualmente probables), entonces es
posible mostrar que el'valor esperado de la media muestral m es la rfedia poblacional
'
It
No se deduce, sin embargo, que el valor esperado de cualquier cantidad calculada
sobre una muestra sea la cantidad correspondiente de la población. Así, el valor
esperado de la varianza muestral, como
población, sino (N
-
la hemos definido, no es la varianza de
la
1)/N veces dicha varianza. Por eso algunos estadísticos prefieren
definir lavartanza como nuestra varianza multiplicada por Nl(N
- 1).
t
3.7 ANALISIS COMBINATORIO
Al hallar probabilidades de sucesos complicados, suele resultar difícil y tediosa una
enumeración de los casos. El análisis combinatorio facilita mucho esa tarea.
Principio fundamental.
Si un suceso puede ocurrir de nr maneras, y si cuando éste ha ocurrido otro suceso
puede ocurrir de n2 maneras, entonces el número de maneras en que ambos pueden
ocurrir en el orden específicado es
n1n2.
Ejemplo 3.7.1. Si hay 3 candidatos para gobernador y
pueden ocuparse de
'a
3"
5 = 15 formas.
123
5
para alcalde, los dos cargos
Factorial de n
La factorial de n, denotada por n!, se defne como
n!
=n(n-1Xn-2)...
Así, 5l = 5 *4 * 3 *.2"
1
1 =120,y 4!3! = (4 *
g* 2"
1X3
. 2" l) =
144. Conviene definir
0l=1.
Permutaciones
Una permutación de n bbjetos tomados de r en r es una relación ordenada de r objetos
de entre n. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r se denota por
nP,, P(n, r), o Pn,, y viene dado por:
En particular, el número de permutaciones de n objetos tomados de n en n es:
llP = n(n -
l)(n;
2)...1=
ttt
lt'a
Ejemplo'3.7.2. El.número de permutaciones qL¡e se puecJén dar de lás letras a, b y c
tomadas de dos en dos eS gPz = 3 * 2'= 6. Son ab. ba, ac, ca, bc, cb.
o'
a'
l0l
313[!2!11
Porque nay
i
eses, 3 tes, 1 a, 2ies y 1 c.
Combinaciones
.
Una cornbinación de'n objetos tomados de
importar
,
r en r es una selección de r de ellos, sin
el orden de los r escogidos. El número de
combinaciones
de n
objetos,
tomados_de r en r se denota por ( "J y viene dado por:
'¡
T
-'l
lnl
LrJ
n(n 1)...(n
rl
r+1)
nl
rt(n
- r)l
Ejemplo 3.7.4. El número de combinaciones de las letras a, b y c tomadas de dos en
dos es:
F
t-3l
?* )
| .t =-=J
l2l 2l
ll-
Que son ab, ac y bc. Nótese que ab es la misma combinacién que ba, pero no la misma
oermutación.
Reglas Mu ltiplicativas
Teorema
S¡ en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces
P(An
B) = P (A) P (B/A)
Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A
multiplicada.por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A. Como los eventos
A
n
ByB
n A son equivalentes, se sigue del teorema anterior que también podemos
escribir:
P (A
n
B) = P (BnA) =P(B)P(A/B),
En otras pat"Oras, no importa cuál evento se considera como A y cuál como B.
Ejemplo
'
.
3.7.5.
Un jefe de almacén de Electrocosta tiene una caja de fusibles que
contierie 20 unid"O"r, de las cuales cinco están defectuosos. Si se seleccionan dos
fusibles alazar.y se separan de lacaja uno después del otro sin reemplazárel primero,
¿cuál es la probabilidad de que ambos fusible's estén
defectuosos?
.
: SOLUCION
Sean
A el evenüo de qu"
:
"f
ptimer fusibl'e esté defectuoso
segundo esté defectuoso; entonces interpretamos A
nB
y B el evento de Que el
como el evento de que ocurra
A, y entonces B ocurre después de que ocurre A. La probabilidad de separar primero un
fusible defectuoso es yt, entonces la probabilidad de separar un segundo fusible
defectuoso de los restantes 4 es 4119. Por ello.
P(A
n
B) = (1/a)(41191= 1119 .
Ejemplo. 3.7.6. Un Supervisor de Electrocosta tiene una caja que contiene cuatro
l'
fusibles blancos y tres negros, y una segunda
caja que contiene tres blancos y cinco
negros. Se saca un fusible de la primera cala y se coloca sin verlo en la segunda.
¿Cuál es la probabilidad de que ahora se saque un fusible negro de la segunda caja?
SOLUCIÓN
Sean Br, 82, y W1 respectivamente, la extracción de un fusible negro de la cala 1, uno
negro de
la
cala
2 y un blanco de la caja 1. Nos interesa la unión de los
mutuamente excluyenteS B1n Bz
eventos
y W1nB2. Las diversas posibilidades y
probabilidades se ilustran en la siguiente figura.
127
Entonces,
.
sus
P[(B1n 82) o (W1n
B2)]
= P(Brn Bz) + P(Wrn
= P(Br ) P( B2l81 )
Bz)
t P(W1) P (82/ W1)
=(3t7)(6ts) + (4/7)(5ie) = (38/63).
P(81
W2)= (3/7)(3/9)
P(W1
n
B'2)=(17)(519)
P(W1
'\
W2) = (17)(419)
Si, en el primer Ejemplo .(3.7:5), el pr¡ñler ft¡sible sp
reacbmodan
. .o
82)= (3/7) (6/9)
n
P(81
'
n
reemplaza
y los fusiblés
por completo antes de que s'e extr'aiga el segundo, entonces
se
la
a'
pro'babilida.j
q" un fusible defectuoso en fa segunda selecóión aún es Toi es dscir,
P(B/A) = P(B) y los eventos A y B son independientes. Cuando esto eb cierto, poáemos
sustituir P(B) por P(B/A) en el.teorema anterior para obtener la siguiente regla especial
de multiplicación.
Teorema
Dos eventos A y B son independientes si y sólo si
P(A
n
B) = P(A) P(B).
Por tanto, para obtener la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes,
simplemente calculamos el producto de sus probabilidades individuales.
Ejemplo
3.7.7. Una pequeña ciudad tiene un carro de
bomberos
y una ambulancia
disponibles para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos esté
disponible cuando se necesite es 0.98
y la probabilidad de que la ambulancia
esté
disponible cuando se le requiera es 0.92. en el caso de que resulte un herido de un
edificio en llamas, encuentre la probabilidad de que la ambulancia
y el carro de
bomberos estén disponibles.
Solución
Sean A y.B los respectivos eventos de que estén disponibles el carro de bomberos y'la
ambulancia.' Entonces,
129
P(A
Ejemplo
n B) = P (A) P(B) = (0.e8) (0.s2) = 0.9016.
3.7.8 Se lanza dos veces un.par de dados. ¿Cuál es la probabilidad
de
obtener totales de siete y once?
Solución
Sean Ar, Az, Br y Bz los eventos independientes respectivos de que ocurra un siete en
la primera tirada, ocurra un siete en el selgundo lanzamiento, un once en el primero y un
once en el segundo. Nos interesa
la probabilidad de la
unión de los eventos
mutuamente excluyentes 41 n BzY 81n 42. Por tanto,
P[(Ar¡ Bz)Y(BrnAz)] =P(ArnBz) +P(BrnAz)
.
= p (Ar )p( Bz) + P(Br )P(Az)
=(1/6)(1/1 8) + (1/1 8X1/6)
=
1154.
Los teoremas anieriores se pueden generalizar para cubrir. cualquier número
eventes, como sb establece en el teorema siguiente.
'''
ta^
IJU
tvv
.
de
ieorera
Si, en un exper:imenio, pueden ocurrir los eventos Ar, Az, Aj, ..., AK, entonces,
.a
P(A1
n.A2nA3n"'nA¡)=
P (Ar )P(A2IA1 )P(A¡/Ar
n
Az)
"' P(AK/A1 n Az n ." n Ax-r ).
Si los eventos.Al, A2, A3, ..., AK son independientes, entonces,
P(Ar
Ejemplo
nA2 nA3rr
"'^Ar)
= P(Ar ) P(A2 )P(As)
'
'
P(Ad.
3.7.9 Se sacan tres cartas una tras otra, sin reemplazo, de una baraja
ordinaria. Encuentre la probabilidad de que ocurra el evento
A1
n
A,2
ñ 43,
donde A1 eS
el evento de que la primera carta sea un as rojo, A2 el evento de que la segunda carta
sea un 10 o una sota y
,A3,
€l evento de que la tercera carta sea mayor que tres pero
menor que siete.
Solución
Primero definimos los eventos
Ar:
Az. .
As:
'
la segunda carta es un 10 o una sota,
la tercera carta es mayor que tres pero menor que siete.
Entences,.
'
'a
la primera carta es un as rojo,
P(Ar) = 2152,
131
Y de aquí, por el último teorema,
P(A1
n
Az
.\
A¡
)
= P(A1 )P(A2IA1 )P(A$ /A1
=(21s2)(815
1
X
1
n
A2 )
2/50) = 8/5525.
Ejemplo. 3.7.1O. Se carga una.moneda de modo que la cara tenga una posibilidad de
ocurrir dos veces mayor que la cruz. Si se lanza tres veces la moneda, ¿cuál es la
probabilidad de obtener dos cruces y una cara?
Solución
El espacio muestral para el exi:erimento consiste en los ocho elementos,
.
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
Sin embargo, con una moneda no balanceada ya no es posible asignar probabilidades
"
iguales a. cada punto de.la muestra. Para encontrar las probabilidades, considérese
primero el espacio muestral 51 = {H, T}, que representa los resultados cuando se lanza
una vez la moneda. Si se asignan probabilidades de w y 2w para obtener un cruz y una
cara,'réspectivamente,tenemos3w=1ow=li3.PortantoP(H) =2l3yP(l)=1/3.Sea
ahora
A el evento de obtener dos crucps y una cara en los tres
lanzamientos de la
moneda. Entonces,
¡
= {TTH, THT, HTT},
Y como lds resultados en.cada uno'de los.tres lanzamientbs son independientes,.se'
sigue del último teorema que
o
.'
.
t¡
IJ¿
tv4
'
piruH) = p(r n T n
H) =
p(r)p(r)p(H)
= (1/3) 1tn)
= 2tz7
;zz¡
De manera similar
P(THT) = P(HTT) = 2127 y por ello P(A) = 2127 + 2127 + 2127 = 219.
Regla de Bayes
Supongamos que los eventos
,A1,
A2, ..., n" forman una partición de un espacio muestral
S; esto e.s, que los eventoS A¡ son mutuamente exclusivos y su unión es S. Ahora sea B
otro evento. Entonces.
B=S
n
B = (Ar r-r Az
=(ArnB) v(A2nB)
144
.r 9v
u ... u An) n
B
u "t,(A^nB)
Donde las Ai
n B son eventos
¡nutuamente excluyentes. En consecuencia
P(B) = P (A1 n B) + P(Rzn B) +
"'+ P(A"n
B)
Luego por el teorerna de la multiplicación
P(B) = P(A1)P(B/Ar) + P(Az)P(BiAz) +
"'
+ P(A,')P(B/A")
Por otra parte, para cualquier i, la probabilidad condicional de A¡ dado B se define por
P(A/B) =P(AinB) /P(B)
En esta ecuación usamos (l) para remplazar P(B) V usamos P(Ai
para remplazar P(A¡
ñ B), obteniendo
así el Teorema de
n
B) = P(A¡)P(B/A¡)
Bayes,
.
Supóngase que A1, A2, "', An es una parlición de S y que B es cualquier evento.
Entonces, para cualquier
P(Ai)P(B/Ai)
P(Ai/B) = ----------------------:---P(Ai)P(B/A¡) + P(A2)P(B/A2)
i,
+."' + P(AilP(B/4")
::
. Ejemplo
3.7.11 Tres máluinas A, B y C prod.ucen respectivamente
50o/o,3OVo y 20e/o del
. númeró total de artícuios de una fábrica. Los porcentajes de.desperfectosde.prod.uccion
a'
P(X)
= P(A)P()UA) + P(B)p(xB).+ p(C)p()UC)
=(p.s0)(0.03) + (0.30X0.04) + (0.20X0.05)
=0.037
D
A
B
K
N
D
N
E
N
Osérvese que también podemos considerar este problema como
un
proceso
estocástico que tiene el diagrama de árbol adjunto.
Ejemplo. 3.7.12 Considérese
la fábrica del ejemplo anterior. Supóngase que se
selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que el
artículo fue producido.por la máquina A, esto es, hallar P(A/X).
Por el Teorema de Bayes,
135
P(A)P(x/A)
P(A/X) =
P(A)P(){/A) + P(B)P(xB) + P(c)P(xc)
(0.50x0.03)
(0 50X0.03) + (0 30)(Q.0+¡ + (0 20)(0 0s)
0.015
0.015+0.012+0.010
0.015
15
0.037
37
En otras palabras, dividimos la probabilidad de la trayectoria pedida por la probabilidad
del espacio m.uestral reducido, o sea, aquellas trayectorias que conducen a un artículo
defectuoso.
.
.
1. Defina
AUTOEVALUACIÓN
espacio muestral, experimento y evento.
2.
La unión de dos elementos A y B se denota mediante el símbolo
3.
La intersección de 2 eventos A y B se denota mediante el símbolo A
evento que contiene a todos los elementos que son
4. El enfoque que utiliza las creencias
personales,
n
B, es
el
_aAyB.
la intuición y otra
información
a
indirecta para probabilidades se denomina
5.
Defina el enfoque de frecuencia relativa.
6.
Considere el espacio muestral y defina A'.
5 = {libro, camión, cigarrillo, odontólogo, árbol}
Sea A = {libro, camión, árbol}
7. Sea A=[a,b,d,c,e] y B=[x,y,z,a,e]
ldentifique.
AUB
AnB
8.
Se lanza una moneda 2 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una
cruz?.
9
Se carga un dado de forma qué sea 2 veces más probáble que salga un número
impar que úno par. Si E es el evento de que ocurra un número menor que 3 en un
solo lanzamiento del dado, encuentre P(E).
137
10. U¡a nevera térmica contiene un surtido de helados compuesto por seis de vainilla,
cuatro.de arequipe y 3'de chocolate. Si un cliente realiza una selección aleatoria de
.
uno de los helados, encuentre la probabilidad de sacar: a) uno de vainilla, b) uno de
arequipe c)uno de chocolate.
.
11. En una mano de poker que consiste en S.cartas, ¿cuál es la probabilidad de tener
1
Joker y 2 sotas?.
12. Laprobabilidad de que J.P. Montoya gane el gran premio de Malasia, el cual otorga
U$ 1'000.000, es 1/5. ¿Cuál es su esperanza matemática?
13. En un negocio aventurado, una señora puede ganar $300 con probabilidad 0.6 o
'
perder $ 100 con probabilidad de 0.4. Hdllar su esperanza matemática.
14. Un boleto de una rifa ofrece dos premios, uno de $5000
y otro de $2000, con
probabilidades 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por él?
15. ¿De cuántas maneras
re
pueOen poner en fila
5 fichas de colores
O¡st¡ntosZ
(permutación)
16. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco, si hay 4 sitios
disponibles? (permutación)
17. Hay que colocar
a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres
ocupen los lugareS pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse? (permutación)
'18.
¿De cuántas formas se pueden repartir 10 objetos.en dos grupos de 4 y 6 objetos,
o'
respectivamente? (combinación)
19. ¿De cuántas maneras s'e puede formar. con
'
9 personas una comisión de
5
miembros? (combinación)
20. De entre 5 adm.inistradores y T.ingenieres, .hay.que constituin una cdmisión de'2
'
administradores y 3 ingenieros ¿De óuánta3 formas podrá hacerse si: a) todos son
..
.
tvv
élegÍbles,
b) un
ingeniero particular
há de
"riar
en esa
y c) dos
comisión'
administtadores con'cretos tienen prohibido pertenecer a la óomisión?
.21.Tres ensambladorm de automóviles ubicadas en Argentina, Brasll y Colombia
producen respectivamente el 60%, 25o/o
\
15o/o del número total
de vehículos en
esta marca en Latinoamérica. Los porcentajes de desperfectos de producción de
estas ensambladoras son 4%, 5% y 6% respectivamente. Si se selecciona al azar un
vehículo, hallar la probab.ilidad de que el automotor sea defectuoso
y realice
un
árbol.
22. En el ejemplo anterior, supongamos que se selecciona un vehículo al azar y resulta
defectuoso. Hallar'la probabilidad
de que el
automóvil
fue producido en
la
ensambladora de Colombia.
23. En cierta planta de montaje, tres máquinas,
H-1,
82 y 83, montan 30o/o,45o/oy
25o/o
.f
de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que
2o/o
de
los
2o/o,
3% y
productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tienen
defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un
terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
139
producto
GLOSARIO
Complemento: El complemento de un evento A con respecto a S es el subconjunto de
todos los elementos de S que no están en A. Denotamos el complemento de A
mediante el símbolo A'.
Efemento o Miembro del Espacio Muestral.
o
Punto Muestral: Es cada resultado en
un espacio muestral.
'otra
Enfoque Subietivo: Es el u'so de la intuición, las creencias personales y
información indirecta para llegar a probabilidades
Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
estadístico
U
r"
,"Or"senta con el símbolo
S.
Evento: Es un subconjunto de un espacio muestral
Experimento: Cualquier proceso que genere un conjunto de datos.
Frecuencia Relativa de Probabilidad: Su fundamento es el experimento estadístico
en lugar de la subjetividad, con el fin de llegar a probabilidades
lnterseciión: La intersección de dos eventos A y B, denotada mediante
el símbolo A
n
B, es el evento que contiene a todos los elementos que'son comunes a A y a B.
¡'
Unión: La unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A r-¡ B, es el
eventg qug contiene todos lbs elementos que penenecen a A o a B o a ambos
RESUMEN
.
.
El espacio muestral se define como el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento estadístico y cada resultado de un espacio muestral se denomina punto
muestral. Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.
La unión de dos eventos A y B, que se denota mediante et símbolo A U B, es el evento
que contienp todos los elementos que pertenecen a A o a B
qa
los dos. Se definen dos
eventos A y B mutuamente! excluyentes, si la intersección de los dos es vacíá; es decir,
si no tienen elementos en común.
La intersección de dos eventos A y
B se denota mediante el símbolo A n B; es el
evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B.
Probabilidad: Quizás la sed insaciable del hombre por el juego fue lo que condujo a
desarrollar tempranamente la teoría de probabilidades, definiéndose la probabilidad de
uneventoAcomo|asumade|ospeSoSdetodos|ospuntosmuestra|esenA.Paratodo
punto en el espacio muestral, asignamos una probabilidad tal que la suma de todas las
probabilidades es igual a 1. Si tenemos razón para creer que es 'bastante probable que
ocurra cierto punto muestral
se lleva a cabo el experimento, la probabilidaO
qr"
"r"n¿o
se le asigne debe ser cercan a a 1.' Por otro lado, una probabilidad cercana a cero
asigna a un punto muestral que no es probable que ocurra.
5e
Existen dos enfoques para definir probabilidades, un enfoque subjetivo el cual usa la
intuición, las creencias personales
y otra información indirecta; y un enfoque de
frecuencia relativa, el cual es más científico y tiene bases matemáticas y numéricas
para estimar las prob.abilidades.
Permutaciones
Una permutación de n objetos tomados de r en r es una relación ordenada de r objetos
de entre n. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r se denota por
nP,, P(n, r), o Pn,, y viene dado por
nP, = n(n
-
1Xn
-
2)...(n
-
r + 1) = nl/(n
-
r)l
Comblinac,ones
Una combinación de n objetos tomados de
rmportar
tomados
r en r es una selección de r de ellos, sin
el orden de los r escogidos. El número de combinaciones de n
/\
de r en r se dónota por f " I t viene dado por
\rl
f,l
n(n-l)...(n- r +1)
ll= '
Lrl
rl
rl(n- r)!
objetos,
:VARIABLES ALEATORIAS
Y DISTRIBUC]ONES DE
PROBABILIDAD
I
PRESENTACION
En esta última unidad es necesario dominar con gran certeza eada uno de los temas
vistos con anterioridad, ya que éstos se encuentran compilados en esta Cuarta Unidad
.y.
requieren la total atención por parte del estudiante, al igual que una dedicación
especial de tiempo para asegurar un total éxito en su entendimiento.
Los temas a tratar son las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidades
más importantes, las cuáles son un gran complemento y una herramienta vital en
la
toma de decisiones de cualquier profesional universitario. El Administrador, ya sea
'
Público o de Negocios, debe conocer las generalidades de estos temas con el ánimo de
saber cuál se debe aplicar en una situación dáda y cuál es el más idóneo para lograr la
respuesta más adecuada al problema tratado.
.a
.
OBJETIVO GENERAL
Brindar las técnicas, conceptos
y elementos necesarios que permitan al estudiante
desarrollar sus habilidades en lo referente
a variables aleatorias y
distribuciones de
probabilidad, con ef fin de lograr una buena fundamentación en el proceso de toma de
decisiones
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
E
ldentificar cuándo una variable aleatoria es discreta y cuándo es continua.
E
Desarrollar las habilidades necesarias para saber cuándo aplicar, la distribución
binomial, de Poisson o hipergeométricas.
E
Desarrollar las habilidades
y destrezas para saber cuándo aplicar la distribución
normal y exponencial.
E Dar a
conocer las técnicas
de
aplicación
de cada una de las diferentes
distribuciones.
REQUISITOS PREVIOS
Es necesario tener conocimientos de algunos conceptos de probabilidades,
también algún'dominio de Algebra de secr-rndaria.
coino
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
4.1 Concepto de Variable Aleatoria
La estadística se ocupa de realizar
inferencias acerca
de poblaciones y
sus
características. Se llevan a cabo experimentos cuyos r:esultados se encuentran sujetos
al azar. La prueba de un número de componentes electrónicas es un ejemplo de un
experimento estadístico, término que se útiliza para describir cualquier proceso
mediante el cual se generan varias observaciones al azar.
A menudo, es
importante
asignar una descripción numérica al resultado. Por ejemplo, el espacio muestral que da
oa
una
descripción detallada
de cada posible
resultado cuando
se prueban
tres
componentes electrónicos se puede escribir como:
s= i t¡t¡trl,
NND, NDN,DNN,NDD, DND,DDN,DDDI,
Donde N denota "no defectuoso"
y
D
denota "defectuoso". Naturalménte, estamos
interesados en el número de defectuosos que ocurren. De esta forma a cada punto en
a'a'
el espacio muestral se le asignará un valor numérico de 0,1,2 o 3. Estos valores son,
por supuesto, cantidades aleaJorias determinadas.por el resultado del experimenfo. Se
pul¿"n u."i pomo uatores que toma la variable aLatoria. X,. el númeró de artículos
defeótuosos cL¡ando'se prueban tres cómponentes electrónicos'
,
.t
.
.
1AA
tTv
a'
'
Defiriición
Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento
del espacio muestral.
Se utilizará una letra mayúscula, por ejemplo X, para denotar una variable aleatoria y su
correspondiente minúscula,
x gn este caso, para uno de sus valores. En el e.[emplo
anterior de prueba de componentes electrónicos, notamos que la variable aleatoria X
toma el valor de 2 para todos los elementos en el subconjunto.
E = J OOH, DND, NDD I
Del espació muestral
S.
Es decir, cada valor posible de X representa un evento que es
un subconjunto del espacio muestral para el experimento dado. Veamos el siguiente
Ejemplo4 l.1.
Un jefe de sección de Electrocosta saca dos cables de manera sucesiva sin reemplazo,
de una caja que contiene 4 cables rojos y 3 cables negros. Los posibles resultados y los
valores
"y'
de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de cables rojos , son:
147
Espacio muestral
:DD.2
:
| \l \
,;
RN
;i
iiitlN0::NR
, y
i
'1i
'1i
Ejemplo 4.1.2.
El empleado de un almacén regresa 3 cascos de seguridad al azar a
un taller siderúrgico que ya los habían probado. Si Samuel, Juan
y
3
empleados de
Bernardo, en ese
orden, reciben uno de los tres cascos, liste los puntos muestrales para los posibles
órdenes de regreso de los cascos y eñcuentre el valor m de la variable aleatoria
M
que
reoresenta el número de ocasiones correctas.
Solución
S¡ S, J, y B representan
los cascos de Samuel. Juan y Bernardo, respectivamente,
entonces los posjbles arreglos en los que pueden regresar los cascos y el número de
asociaciones correctas son:
ii"'- "'-
..- -.
:
'
EsPacio
muestral m
-qlR
vve
3
FIQI
¡J!J\,
N
v
RIS
BJS'-
4
'r
::
''SBJ1'
,.
JSB1"
.'JBS0
'
ri
'.':.
'
:.
l
,
En cada uno de Jos dos ejemplos'anteriorés, el espacio muestral contiene un núméro
finito de elementos. Por otro lado, cuando
," ,"na un dado fiasta que ocurre un tres,
obtenemos un espacio muestral con una secuencia interminable de elementos,
S= i T, NT, NNT, NNNT, ....I
Donde
T y N reprqsentan
respectivamente, la ocurrencia y no ocurrqncia de un 3. Pero
incluso en este experimento
el número de
elementos puede
ser igual a todos los
números enteros de modo que hay un primer elemento, un segundo elemento, un
tercero y así'sucesivamente, y en este sentido se pueden contal.
Definición
Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades o una serie
interminable con tantos elementos como números enteros existen, se llama
espacio muestral discreto.
Los resultados de ciertos experimentos estadísticos no pueden ser ni flnitos
ni
contables. Tal es el caso, por ejemplo, cuando se lleva a cabo una investigación para
medir las distancias que corre cierta marca de automóvil en una ruta de prueba
preestableqida con 5 litros de gasolina. Supongamos que la. distancia es una variable
que se mide con algún grbdo de precisjón,.entonces claramente tenemos un número
infinito de posibles distancias en el espacio.mr:¡estral que no se pueden igualar a todos.
|osnúmerosenteros.Tambiénsiseregiqtrarae|tiemporequ.eridoparaquetenga|ugar
149
una reacción química, una vez mas los posibles intervalos de tiempo que forman
nuesrro espaqo muestral son infinitos en números e incóntables. Vemos ahora que no
todos los espacios muestral.es necesitan ser discretos.
Definición
Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades igual al número
puntos en un segmento de línea, se llama espacio muestral continuo.
Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su
conjunto de resultados posibles. Como los posibles valores de Y en el ejbmplo de las
cables son: 0,1,2. y los valores posibles de M en el ejemplo de los cascos son 0,1, y
3,
se sigue que Y y M son variables aleatorias'discretas. Cuando una variable aleatoria
aO
puede tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria
',i
continua.
Con frecuencia, los posibles resultados de una variable aleatoria continua
son,precisamente los mismos valoreS que contiene el espacio muestral continuo. Tal es
el caso cuando la variable aleatoria representa la medición de la distancia que cierta
marca de automóvil recorre en una pista de prueba con 5 litros de gasolina.
En la mayoría de los problemas prácticos, las variables aleatorias
continuas
a'
representan datos medidos, como son todos los'posibles pesos, alturas, temperaturas,
distancias'
o
perioOos
de vida, rnientras qye las variábles aleatorias
. discretas
representan datos contados, óomo el número de artíóulos defectuosos en una muestra
de k'artículos.o el número.de' ,..,dun,*, de carretéra por año. en un dete¡minado
departamento. Nótese que fas variables aleátorias Y y M de los ejemplós de lbs cables
.
150''
lJv
y los cascos,.representan datos contados, Y el número.de bolas rojas y M el número de
asignaciones correctas de los cascos.
Variable Aleatoria Discreta
Ahora supóngase que X es una variable aleatoria de S con un conjunto de imagen
infinito contable; o sea, X(S) = | xl, x2, .....1 tales variables aleatorias junto con aquella
de conjuntos imagen finitos se denominan variables aleatorias discretas. Como en el
caso finito, construimos X (S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabitidad
de xr como f (xr) = P(X= x1) y llamamos f la distribución de x
1,, .X.!......:....x?......,.
i f(x!
El vafor esperado E(X) y
'
.X-3
...
f(I?) , ffx.)
.:
:.,,
,,,
la varianzai*l ." definen por:
@
E(X)=xrf(xr) +xzf(xz) +....
=
Ix¡f(x¡)
i-1
ó
var (X)
- (xr - ¡)2 f(x) + (xz - p)2 fiu<2)
....
=
I
:-4
t-l
(xi-
¡-¿)2
f(x¡)
Cuando las series pertinentes convergen absolutamente. Es posible demostrar que
var (X) existe si y solo si ¡t=
-p
E(X) V E(X)' existen ambos y que en este caso la fórmula
2
151
Es válida justamente como en él caso f¡niio. Cuando var(X) existe, la desviación
estándar
6
se define como en el caso finito por:
ox= \frfr¡Las nociones de distribución conjunta, variables aleatorias independientes se extienden
directamente al caso general. Se puede demostrar que si X y Y están definidas en el
mismo espacio muestral S y si var (X) y var (Y) existen, entonces las series,
cov (X,
Y) = I
(*¡ -
/*)
(v
i-
py) nt"¡, v;l
Convergen absolutamente y la relación,
cov(X,Y)
= Ix'yj h(xi,yj) -lh$y= E(XY)-ltPv
se cumple justamente como en el caso finito.
. Variable Aleatoria
.
Continua
,
.
' Supóngasb que.X es uná variable aleatoria cuyo'conjunto iriragen X(S) es un conjunto
::
continuo de números tales'como un intervalo. recalcamos de la
'
aleatorias. q ue el conjun,o
t.
**,.,Un
dd variables.
:.,
probabilidadp(
á< X <b)estábiendefinida.Suponemosque'ex¡steunafunción
I
al
áreabajo la curva de f
entre x = a yx = b (como se muestra en la figura 4.1.1).
ura 4.1.1 Variable
'P(a
<X
< b) = área de la parte a rayas
Una variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice que es
una variable continua. Los datos que admiten descripción mediante una variable
continua se denominan datos continuos; por ejemplo, las alturas de 100 universitarios
es un ejempio de datos continuos. En general, las mediciones dan
continuos,
y las enumeraciones o
lugar:
a
datos
recuentos, a datos discretos.
Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad cero de tomar exactamente
cualquiera de sus valores. En corisecuencia su distribucióh de probabilidad no se
puede dar en fornna iabular^.
153
'
.
4.2 Distribupiones Discretas de Probabilidad
En la unidad anterior vimos este tema, por lo cual en esta sección vamos a ver
únicamente las distribuciones discretas más importantes, entre ellas
la binomial, la
Poisson y la Hipergeométrica
Distribución Binomial
Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con dos posibles
resultados que se pueden etiquetar como éxito o
fracaso. La aplicación mas obvia
tiene que ver con la prueba de artículos a medida que salen de una línea de montaje,
donde cada prueba o'experimento puede indicar si un artículo está defectuoso o no.
Podemos elegir definir cualquiera Oe los resultados como éxito. Se puede considerar la
extracción sucesiva de cartas de una bar$a ordinaria y qada prueba se etiqueta como
éxito o fracaso; dependiendo d.e si la carta es de corazones o no. Si cada carJa se
reemplaza y el paquete se baraja antes de la siguiente'extracción, los dos experimentos
recién descritos tienen propiedades similares, pues los ensayos que se repiten son
independientes
y la probab¡tiOaC de éxito
permanece constante entre cada uno de
ellos. El proceso se d'enomina Proceso de Bernoulli. Cada ensayo se llama
Experimento de Bernoullí. Observe en el ejemplo de extracción de las cartas qué las
probabilidades de éxito p.ara.los ensayos que'se repiten cambian si las cartag
reert pláran.
Es ,Xecir, la. piobabiliOad de seleccionar una carta
de
corazsHes
ng:"
en
la
primera ekiracción e.s/n,'pero eñ la segunda es'una probabitiOaO eondiciortal que tiene
,
tr,A
'
un valor. de 13/51
o
12151,.1o cual depende
de si apárece una de corazon€s en
la
.primera erfracción; estd entonces, ya no se.considerará como un óonjunto de
Experimentos de Bernoulli.
Proceso de Bernoulli
S¡ se habla con exactitud,
el
Proceso
de Bernoulli debe tener las
siguientes
propiedades.
.
.
.
.
El experimento consiste en n pruebas que se repiten.
Cada prueba produce t'¡n resultado que se puede clasificar como éxito o ffacaso.
La probabilidad de un éxito, se denota con p, permanece constante en cada prueba.
Las'pruebas que se repiten son independientes.
Veamos a continuación este ejemplo,
Elemplo 4.2.1
Se seleccionan tres artículos al azar de un proceso de ensamblaje, se inspeccionan
y
se clasifican como defectuosos y no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa
como un éxito. El número de éxitos es una variable aleatoria
X que toma
valores
integrales de cero a 3. Los ocho resultados posibles y los valores correspondientes de X
son.
155
,
, Resultado X
i
:NDN:li
.NND1I
: O¡.lt¡
ii lr¡oo ', 2
DND 2
i
i
i
i
oi
NNN
1
DDN 2
DDD .3i
i
.
Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que
supondremos produce 25o/o de artículos defectuosos,
P(NDN) = P (N) P(D)i (N) = (3t4) (1t4) (3t4) = e¡64.
Cálculos Similares dan las probabilidades para los demáS resultados posibles. La
distribución de probaU¡fidaO de X es por tanto
El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria
binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama
distribución binornial , y sus valores se denotarán como b(x;n,p), pues dependen del
'
número de pruebas y de la probabilidad de éxito en una prueba dada. De esta forma,
.
para la distribucion de probabilidad de X, el número de defectuosos
es, . -
,9
'
..
P{X
.,
t
2) =T{2) = bt2;
'3'
%l
='9'rc¿'
'
'
:
:
Generalicemos ahora la anterior ilustración, para obtener una fórmula para b(x;n,p). Es
decir, deseamos encontrar una fórmula que de la probabilidad de x éxitos en n pruebas
para un experimento binomial. Primero, considere la probabilidad de
x
éxitos y n
-x
fracasos en un orden específico. Como fas pruebas son independientes, podemos
multiplicar todas las probabilidades que corresponden a los diferentes resultados. Cada
éxitoocurrecon probabilidad pycadafracasocon probabilidadq= 1.-p.portanto,
la
probabilidad para el orden específico es p'qn -t. Debemos determinar ahora el número
total de puntos muestrales en el experimento que tiene x éxitos y n
- x fracasos. Este
número es iglLral al número de particiones de n resultados en dos grupos con x en un
T1
grupo y- n
-
x en el otro. Y se escribe
l" I
tjri
como estas particiones son mutuamente
'excluyentes, sumamos las probabilidades de {odas las diferentes parliciones para
n
^-' por fn'
obtener la fórmula general o simplemente multiplicamos p'qn
I
I
LJJ
Distribución Binomíal
Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y
un fracaso con probabilidad Q = 1 - p. Entonces la distribución
de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n pruebas independientes, es
l'1 p'qn-",X= 0,1,2,....n.
' =|"l
b(x; n,p)
.
i.i:i
'157
Nótese que cuahdo n = 3 y p= lo
,
la distribución de probabildad'de X, el número de
defectuosos, se puede escribir como;
,['i',i]=
[;][i]'[;]" ,x =0,1,2,3
en lugar de la forma anterior.
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4.2.2
La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de,choque
dada es 3/4. Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los
:.4,
siguientes 4 componentes que se prueben.
a(2,q.1) = [*]-il'l-1-l'
L2)L1JL4J
\' 4)
32
2t2t 44
4t
',27
128
Veamos un ejemplo más:
Ejemplo 4.2.3'.
Se lanza una rnoneda 6 veces; llamamos éxito a una cara. Por consiguiente n'=
6y
P=.Yz
Calcúlemos la probabilidad de que sucedan dos caras exactamente (es decir, x = 2).
b(x; n,p)
=ll pt qn-t
Donde
x=2
n = 6 o número de veces que se tira la moneda
p= eS la probabilidad de éxito, que para este caso es la misma de fracaso
(o sea e) = Tr.
b (2; 6,
tol¡a
(1t2)' (112)- = 15 | 64
/,) = l:l
| /l
L-t
Veamos ahora la posibilidad de conseguir por lo menos 4 caras( o sea x= 4,5 o 6)
b(4;6, %) + b (5; 6, %) + b (6;6, %)
que sería igual a:
15164 +
6
164
+ 1 | 64 = 11 | 32
Recordemos que esta diitribució.n se conoce también como Distribución Bárnoulli,.y las
.
pruebas inctependientes
"on
doS resultados se llaman Pruebas de Bernoulli- Las
propiedades.de esta distr¡bución son:
..
159
Propiedades Distribución Binomial
F=np
o 2= npq
Varianza
\r'*
Desviación estándar
Veamos un ejemplo para poner en práctica estas propiedades:
Ejemplo 4.2.4
Lanzamos un dado 180 veces. El número esperado de seises eS
It=
lp
= 180 " 1/6 = 30
La desviación estándar es:
180" 1/6 " 5/6
- ' 'tu:
:
a'
a'
. AUTO.EVALUACION
1.
Presente el esquema de las propiedades de la distribución binomial.
2.
Diga las propiedades de la distribución Bernoulli.
3. Se lanza un dado 100 veces,
calcule el número esperado de cincos, calcule su
desviación estándar.
4.
Un dado corriente se lanza 7 veces; llamamos a un lanzamiento un éxito si sale
.
un 5 o un
.
6.
Tome esto como ayuda n=7, p=.P(5,6) = 113 y q = 1-p =213.
Calcule la probabilidad de que un 5 o 6 salga 3 veces exactamente (o sea x
-3)
.
.
La probabilidad de que un 5 o 6 no salga (o sea todos los fracasos).
La probabilidad de que un 5 o un 6 salga una vez por lo menos.
161
Distribución de Poisson
Se denominan Experimentos de Poisson a todos aquellos experimentos que
dan
valores ¡uméricos de una variable aleatoria X, como tamQién, al número de resultados
que ocurren durante un intervalo dado o una región específica. El intervalo dado puede
ser de tiempo, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. Por ello,
un Experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X
que representa el número de llamadas telefónicas por hora que recibe una oficina,
númeró de días que la escuela permanece cerrada débido
el
a la lluvia en época de
invierno o el número de juegos suspendidos debido a la lluvia durante la temporada de
béisbol. La región específica podría ser un segmento de línea, un área o quizá una
pieza de material. En tales casos, X pueOl representar el número de ratas de campo
por hectárea, el número de bacterias en un cultivo dado
o
el número de errores
mecanográficos por página. Un Experimento de Poisson se deriva del Proceso de
Poisson y posee las siguientes propiedades:
.
El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica
.
independiente.del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio
disjunto. De esta forma, vemos que el
''
es
plce"o
O" po¡rron no tiene memoria.
La pro.babilidad de que ocurra.un solo resultado, durante un intervalo muy 9o.+g
o
.1
una región pequeña, es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de
la
región,
y.
no depende del número de resultados que ocurrei:l füera de.este intervalo
o'
.
La probabilidad de que'ocurra más de un resultado en tal inteñalo corto ó que caiga
. en tal región pequeña
es
.
Media = l.F
.
Varianza = c2 = 7
.
Desviación estándar = o
insignificante.
'
'
i
=\
)"
A pesar de que la Distribución Poisson tiene interés independiente,
proporciona una aproximación notable
establecido que p sea pequeño
y
)'=
a la distribución
también nos
binomial para un
x
pequeño,
np.
Donde 2 es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región.
El número X de resultados que ocurren durante un Experimento de Poisson se llama
variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidad se llama distribución de
Poisson. El número medio de resultados se calcula de
región
"rp".in",
p = Lt, donde f es el tiempo o
de interés
Como sus probabilidades dependen de
l,la.
tasa de ocurrencia de los resultados, la
denotaremos con el símbolo P(x; ,Lt). La derívacién de la fórmula para
.está.
basqda
en las tres propiedades de un Proceso
anleriorrnehte y.no se explicará en este texto.
A2
tvv
,t
t
'de.
(x; '1t), la cual
Poisson que
se
listaron
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson'X, que repiesenta el
número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica que se
denota con f, es
-lt
"
^
r
I'(x;).t) =e W)''
,.r = 0,1,2.....
Jrt
donde 2 es el número promedio de resultados por unidad de tiempo
2.71828
o región y e=
La síguiente tabla le será útil para fa realización de los ejercicios de la autoevaluación,
los cuáles serán similares a los de los ejemplos. Esta tabla proporciona los valores de
"' 'u""*os,
,e-
:'
r
0,819 0,741 0,670 0,607 0,549 0,497 0,449
7
s
6
8 . g :
2 ' 3 : 4
1,000 0,905 ,
1
,.t ,
, e't 0,368
0,135 0,0498 , O,OtA¡ 0,00674 : O,OOZqe O,OO091 0,00033s 0,000123
Tabla 4.2.1 Yalores de e-
tzi,i
^
Realicemos el siguiente ejemplo:
0,407
'
10
'
0,000045
'
r
e-1'3
=
=
(e-1).(e'03)
4.2.1 su resultado debajo
entonces, pará un valor de
)=
1, buscamos en la tabla'
de su respectiva ubicación, es deciien
un'valor de'0,368. El mismo procedirniento lo hacembs para
i
e,-
¿y
obtenemos
= 0.3 cuyo resultado
es 0,741. sumamos estos dos valores y nos da un resultado de 0,273.
o
¿'2'5
=
(e-2) (e-o's,
= (0,135) (0,607) = 0,0g1g
Veamos otro ejemplo para poner en práctica.
Ejemplo 4.2.6
Por la distribución de Poisson
'
p(.r;2
ü=e-^'(Y)'
JI
Hallar
Para
p(2;1)
=
p(2;1) y p(2;0,7)
entonces, reemplazo en la fórmula donde x =2 y
. y para
.i
't
165
a'
.Lt
= 1. Y quedaría:
Ejemplo 4.2.7
El jefe de edición de una editorial encuentra que 300 erratas están distribuida s
al azar a
lo largo de un libro de 500 páginas. Hallar la probabilidad P de que una página dada
contenga: 2 erratas exactamente, y 2 o mas erratas.
Solución
Consideremos el número de erratas de una página como el número de éxitos en una
sucesión de pruebas Bernoulli. Aquí n = 300 puesto que hay 300 erratas, y p = 1/500,
que es la probabilidad de que aparezca una errata en la página dada. Puesto que p es
pequeño, usamos
la
aproximáción
de
Poisson
a la distribución binomial 'con
¡, = np = 0,6. Veamos entonces cual es la probabilidad para 2 erratas exactamente:
p = p(2;0.6
or,,,.0.6). _ (0.549X0.j6)
= 0.09gg = O. I
Ahora, para 2 erratas o mas, procederemos a calcular la de cero erratas y la de una
errata y luego restamos 1 menos los dos anteriores cálculos. Veamos:
p(cero)= p(0;0.6) =
e]'!?'01"
'0!
= c,i)6 = 0.549
-0t\, n ¿.,
. p(tttut) = p(1.0.6).= 1-F3]
= (0 óX0 549) = 0 329
*,:j
*.
..j:-:.:a*rf:
AUTOEVAL.UACION
1.
Defina las propiedades de la Distribución de Poisson.
2.
Defina que es una Distribución de Poisson.
3.
El jefe.de la sección de calidad de Tolcemento encuentra que el 2o/o del cemento
producido en su
planta es defectuoso. Hallar la probabilidad P de que haya tres
bultos defectuosos en una muestra de 100.
4.
Éaltar; a) e-1'6
5.
el
?)
administrador
"-t''
de un laboratorio, farmacéutico encuentra que Durante un
experimento de laboratorio
pasan
'
el número promedio de partículas
radioactivas que
a través de un contador en un milisegundo es cuatro.
¿Cuál
es
probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado?
.:
. .
/
a
lo/.
la
:.
Distribución Hipergeométrica
La manera más simple de ver la diferencia entre la distribución binomial y la distribución
hipergeométrica está
en la forma en que se realiza el muestreo. Los tipos de
aplicaciones de la distribución hipergeométrica son muy similares a los de la binomial.
Nos interesamos en el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que
caen en una catego.ría particular. Pero, en el caso de la binomial. se requiere
la
independencia entre las pruebas. Como resultado, si se aplica la binomial a, digamos,
tomar muestras de un lote de artículos. (barajas, lotes de artículos producidos),
el
muestreo se debe efectuar con reemplazo de cada artículo después de que se
observe. Por otro lado, la distribución hipergeométrica no requiere independencia y se
basa en el muestreo que sé realiza sin reemplazo.
Las aplicaciones de la distribución hipergeométrica se encuentran en muchas áreas,
con gran uso en muestreo de aceptación, pruebas electrónicas y garantía de calidad.
Obviamente, para muchos de estos campos el muestreo
artículo. que se .prueba. Es decir,
se
el artículo se destruye y
realiza
por.
a expensas
ello
del
no se puede
reemplazar en la muestra. Así, el muestreo sin reemplazo es necesario. Utilicemos un
ejeniplo simple con barajas para
ilustración. '
:
4.2.8'
Ejemplo
Si deseamos encontrur la probabilidad de bbservar 3 cartas rojas en 5 eldraccion'es de
una baraja ordinaria de 52 cartas, la distribución binomial no se aplica a menos que
cada carta se reemplace y que el paquete se baraje antes de que se extraiga
la
siguiente carta. Para resolver el problema de muestrear s¡n reemplazo, replanteamos el
problema.
Si se sacan 5 cartas al azar, nos interesamos en la probabilidad de
ar 3
. seleccion
carlas rojas de las 26 posibles y 2.negras de las 26 cartas negras de que
se dispone la baraja. Hay
f ts1
llljl
I formas
de
seleccionar 3 cartas rojas
una de éstas formas podemos elegir dos c'artas negras
',
y para cada
,: [tt.l maneras. por tanto el
t-l
número total de formas de seleccionar 3 cartas rojasy 2 negras en 5 extracciones es el
producto
lzollzel
. ll ^
L3)12)
del
|
El número total de formas de seleccionar cualesquiera 5 cartas de las 52 disponibles
Isrl
es | ; I
t)l
,""n'rú,
Por ello, la probabilidad de seleccionar 5 cartas sin reemplazo de las cuáles 3
v 2 negras está dada por:
26-l[26.j
3JL2.l
I
zer
lffill
\JlzJll\
zer )
)[ ;*;,
tlt']l)
lsrt\
t--l
\5t41t
169
)
= 0.3251
En general nos intere.sa la probabilidad
considerados como éxito
y n-
de seleccionar x éxitos de los K
x fracasos' de los N - k artículos
artículos
que se consideran
fracasos cuando se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos. Esto
se conoce como experimento hipergeométrico, es decir, uno que posee
siguientes
las
I propiedades:
Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos.
K de los lV artículos se pueden clasificar como éxitos y N - k se clasifican como
fracasos.
EI número X de éxitos de un experimento hipergeométrico se denomina variable
aleatoria hipergeométrica En consecuencia, la distribución de probabilidad'de
la
variable hipergeométrica se llama distribución hipergeométrica , y sus valores se
denotan como.h (x; N, n, k), debido a que dependen del número de éxitos k en
el
conjunto N del.que seleccionamos n artículos. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 4.2.9
El director administrativo de la industria militar selecciona al azar un comité de
5
personas entre 3 químicos y 5 fisicos. Encuentre la distribución de prqbabilidad para el
número de químicos en el comité.
Solución
Sea la variablg aleatoria X el ntimero de químicos.en el comité. Se satisfacen las
propiedades de un experimento hipergeométrico Por elloi
,t7n
a
2
LL'
'Blnurr-o} el
eluprpéu acalqelsa es peptltqeqoJd sp ugtcnqtJlstp
99/9t
99/01. . 99/0t
gg/L
el
; (c's'g:x) H
',x
:,
'.'';'.'.''..''
,0
e7
9V
.an6rs ouloo sa eculgrloeo.radrq ugt3nqtJlstp elJelnqel ep eu¡Joj
Icl
Igg LSI t
r.\ r
-c-c^<-\tt_= r,.c
(c _
=
= (g'g'3ig)z¡
= r)¿
ol [mJ
|
.
till
I
lt
|
^
^
LIILL]
'
[q-l
gs
_ Ltl _ra<r.a._\
=
= ({9'8'¿)t/ = (7 = x)¿
t-
or
|
m
t-I-|
LSJLTJ
Icl
t-l
gg Lgl (E's'8ll)ry
/ _(-(_(_\
=
=
= (1= r)¿
ll
9l
ltfrl
till
t
- lt -l
LSJLtJ
lrl
es lsl
.
'
'
_ =-$-=(g'g'glg)z¡=(g=r)¿
lsll 0l
r
t_il
_l
LgJLEI
l'
'I
el
7ti
'
a'
o
' vLv
. 0 ep .seul ueuatluoo ou ls salqeldace ueuruouep .as oun gp.ec sa¡uauoduroc
' 0v ap setol pepr¡ec ep 'ecr¡rpd'eluernbls ej 'elaueur elsooorlcalf ep rop'aanord'u¡
0t
:o¡durete e¡uarnOrs
Lt""'z'r'o=
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-t'=--L\
I
- = e7'u' ¡¡ lx)t¡
l.r-¿1 ll.rl
l, -'llol
:sa 'oseoeU 4 - t/ r{ o¡txg ueutu.Jouap as ¿ anb
sol ap solmJpe A/ ep euon3ales'as anb u ogeuel ap euoleale erlsanr! Bun ue sollxq
ep olarlnu la X ectJiguroe6ledrLl euoleale elqeue^ el ep peptltqeqoid ap ugtcnquislp
'ugrcru!]ep aluern6rs el souaue¡ '1nbe aO 'sBuJroJ
sor.uapod seurroJ selse ap Bun epec
ap
fx-u1
I
iod n ,",o,r"oi;
I
;::
ua soseceJ]- x
el
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ep souxe x reuo,,ceras
lul
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Áe¡1 'pepr¡rqeqo.rd ¡enbr uauerl serlsenuJ selse anb
seurol |[".l
"t Lrl
L ;¡J|
Se solnOJUB N ap ua6r¡a as enb u ogeulel
eted
ap seJlsanu ep lelol oJarünu ¡3 '(¡'u'¡
lx)q
elntuJoj Bun JeJluocua e.¡ed '(socrutnb se.r¡) ror.re¡ue o¡duefe ¡a souteslleJeueg'
tsl
tltl
f'a'l'}
=
f = =-l+-= = (g'c'gir)ry
|
ll
L 9 JLEI
'-' 'l
'
.t-.^,
\brr+ul
sol ep le) rouelue oldurel-e lep euolpale alqare^ el ap
ezueue\ el
Á Plpey! el eiluensu=l
:tL'¿'v oldLueff
:uos (>{ 'u 'N lx)q ecu¡9uoe6.redr¡1 uglcnqu}sr6¡ el ap ezueue1 e¡ ,{ etpa6¡ e-¡
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Isl
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I IoE o = -ry= = (t's'ov:r),l
Ir ll rl
L¿CLEJ
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:se osonlsolap un Jeuelqo ep peplllqeqold e¡ anb
'0? = N '9 = U UOC eCulALUOeoledtq uglcnqlJlslp el sorlezlllin ls
u9rcnlos
¿elol le opo] ue sosonlcelap g Áeq ts
Bllsanuj pl ua osoni3elep
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Jod 'BtJolpalg olqeugn el se orcedse
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odu¡etl ap peptlum el o oduuet¡ ¡e 'sauotcect¡de
opoyad un elueJnp ,,Soluene;, op soc4lcadsa
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uorcnqu¡stp Bl ap osn
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Jod Á 'ltossto¿ ap osaooJ¿ ¡a uanbrs odrnbe
ep
sern¡soduoc'sap seqcny.! selleJ aJlua
otpau odurat¡ eiue¡¡ es ¿/ 'uosstod ep opouad eiso e elsnfe es opnueru e odrnbe ep
elle¡ el apuop 'p"p,¡,q"groc op e¡Joel
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'saluorpuadepur uos sonrsaons sopoued
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anb reproceJ aqep eluerpnlsa
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p'g or¡eurgred le sa lercueuodx3
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soluenf ap seu:e¡qo.rd e.red oduarl o .epe6e¡¡ ep oduratl" lo ue ¡ercuauodxa uotcnqulstp
el ep ugrcecr¡de e¡ ered saseq sel uoJeuorc.¡odo.¡d es 'eluauJJoueiue opeuotcueu ol
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n -oY =
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'¡ercueuodxe uotonqulstp el ep eroueserd e¡ souleczouoce.l enb'ep uU
e 'uelq eJoqv
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