GD aplicada a la minería - Universidad de Guanajuato

GEOMETRIA
DESCRIPTIVA
APLICADA A LA MINERIA
ENRIQUE CERVANTES MONTES †
INGENIERO DE MINAS
EX CATEDRATICO DE LA MATERIA
EN LA ESCUELA DE MINAS
DE LA UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
EDICIÓN ELECTRÓNICA:
M.C. RENÉ ECHEGOYÉN GUZMÁN
ENERO DE 2008
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IN MEMORIAM
Al Sr. Ing. José Ojeda, Profesor de Geometría Descriptiva
Para varias generaciones de ingenieros. Hombre cuyas
múltiples virtudes de amigo, jamás se vieron ensombrecidas por su natural modestia.
Ing. Enrique Cervantes Montes.
Primera Edición 1978
Sesquicentenario de la
Universidad de
Guanajuato
Antiguo Colegio del Estado
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CONTENIDO
Tema 1.-Regiones en el espacio y planos de proyección.
Tema 2.-Proyecciones de un punto en el espacio.
Tema 3.- Trazas de una recta sobre los planos de proyección.
Tema 4.- Trazas de una recta situada en la región IV.
Tema 5.-Proyecciones de una recta cualquiera.
Tema 6.-Proyecciones de una recta paralela al plano horizontal.
Tema 7.-Proyecciones de una recta paralela al plano vertical.
Tema 8.-Proyecciones de una recta vertical.
Tema 9.-Proyecciones de una recta perpendicular al plano vertical.
Tema 10.-Proyecciones de una recta paralela a la línea de Tierra.
Tema 11.-Verdaderas magnitud e inclinación de una recta.
Tema 12.-Determinación de un punto por dos rectas que se cortan en el espacio.
Tema 13.-Determinación de un plano por dos rectas que se cortan en el espacio.
Tema 14.- Determinación de un plano por dos rectas paralelas.
Tema 15.-Trazas de un plano localizado en la región IV.
Tema 16.-Trazas de un plano localizado en la región I.
Tema 17.-Trazas de un plano vertical.
Tema 18.- Trazas de un plano perpendicular a los dos planos de proyección.
Tema 19.- Trazas de un plano perpendicular al plano vertical.
Tema 20.- Trazas de un plano paralelo al plano vertical.
Tema 21.- Trazas de un plano horizontal.
Tema 22.- Trazas de un plano paralelo a la línea de Tierra.
Tema 23.- Giro de un plano al rededor de un eje vertical.
Tema 24.- Línea de mayor pendiente contenida en un plano.
Tema 25.- Dirección e inclinación de un plano determinado por sus trazas.
Tema 26.- Línea de intersección de dos planos.
Tema 27.- Intersección de una recta con un plano.
Tema 28.- Trazas de dos planos.
Tema 29.- Recta perpendicular a un plano.
Tema 30.- Perpendicular a un plano pasando por un punto conocido.
Tema 31.- Un punto en el espacio, proyectado en tres planos perpendiculares.
Tema 32.- Una recta en el espacio proyectada en tres planos.
Tema 33.- Trazas de un plano sobre tres planos de proyección.
Tema 34.- Trazas de un plano determinado por dos rectas paralelas.
Tema 35.- Un punto proyectado en dos planos acotados.
Tema 36.- Trazas de una veta determinada por dos niveles de ella.
Tema 37·- Rumbo e inclinación de una veta conocidos tres de sus puntos.
Tema 38.- Intersección de un barreno a diamante con una veta determinada.
Tema 39.- Intersección de un barreno de diamante con una veta.
Tema 40.- Rumbo e inclinación que lleva un barreno para cortar a una veta.
Tema 41.- Intersección de un barreno con una veta determinada por tres puntos.
Tema 42.- Intersección de una veta con una fractura.
Tema 43.- Rumbo e inclinación de una veta conocidos dos niveles de ella.
Tema 44.- Rumbo e inclinación de una veta conocida por sus trazas.
Tema 45.- Trazas de un lote minero sobre el plano de la veta.
Tema 46.- Trazo de un contrapozo "Pata de Perro" conocidos los dos niveles a comunicar.
Tema 47.- Sombra proyectada por un prisma mediante rayos paralelos.
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Tema 48.- Sombra proyectada por un prisma mediante un haz de rayos luminosos.
Tema 49.- Sombra proyectada por una pirámide mediante rayos paralelos.
Tema 50.- Sombra proyectada por una pirámide mediante un haz de rayos.
Tema 51.- Isométricos del tema 50.
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TEMA NÚMERO UNO
Podemos considerar como elementos básicos en el estudio de la Geometría el punto, la
recta y el plano; ya que el primero puede ser definido como el límite de una recta, a esta
como el límite de un plano y este a su vez sería el límite de un sólido poliédrico. La esfera
misma es un poliedro formado por un número infinito de caras.
La Geometría Descriptiva tiene por objeto el estudio de las relaciones que guardan los elementos antes mencionados con planos de proyecciones adecuadamente seleccionadas y
en ellos, el comportamiento de las proyecciones correspondientes, así como el análisis de
las propiedades con que se desempeñan.
Supongamos al espacio dividido en cuatro regiones mediante dos planos de proyección perpendiculares entre sí; uno de ellos vertical y el otro horizontal, así tendremos:
Región I.- Comprendida entre el plano vertical superior y el plano horizontal.
Región II.- Comprendida entre el plano vertical inferior y el plano horizontal.
Región III.- Comprendida entre el plano vertical inferior y el plano horizontal.
Región IV.- Comprendida entre el plano vertical superior y el plano horizontal.
Cualquier punto situado en el espacio se hallará localizado en cualquiera de las regiones
antes mencionadas.
La línea de intersección de los planos de proyección recibe el nombre de LINEA DE TIERRA.
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TEMA NÚMERO DOS
Si un punto A localizado en la Región I, se proyecta sobre los planos mediante
perpendiculares a ellos, encontraremos que su proyección vertical queda denominada por
a’ y su proyección horizontal por a. La primera plasmada en la sección superior del plano
vertical y la segunda en la sección anterior del plano horizontal.
Análogamente, el punto B que se localiza en la Región II, proyectará b’ en la sección
inferior del plano vertical y b en la sección anterior del plano horizontal; y en forma
semejante C en la Región III y D en la Región IV.
Sin embargo, uno de los objetivos de la Geometría Descriptiva, es el de trabajar con figuras en el espacio mediante la interpretación de ellas en un solo plano; para el logro de
lo anterior se ha ideado el artificio de hacer girar el plano horizontal alrededor de la línea
de tierra, de manera tal que lleguen a quedar coincidentes la parte posterior del plano
horizontal con la parte superior del plano vertical y consecuentemente la parte anterior
del plano horizontal con la parte inferior del plano vertical. Al plano resultante de esta
conjunción, se le da el nombre de montea.
En cualquier montea las dos proyecciones de un punto, indefectiblemente se localizan
sobre una perpendicular a la línea de tierra.
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TEMA NÚMERO TRES
Una recta queda determinada por dos puntos, que bien pueden estar localizados en el espacio
o bien sobre los planos de proyección, en este último caso se les da el nombre de trazas de la
recta, las que igualmente podr1an quedar definidas como las intersecciones de una recta
determinada, con los planos de proyección.
Ahora bien, nótese en el isométrico de la Lámina 3, que conforme la recta AB se aproxima al
plano horizontal, la proyección vertical a’b’ se aproxima a la línea de tierra y algo análogo
sucede en el otro plano.
Cuando la recta en el espacio toque a un plano proyectante, la proyección de la recta sobre el
otro plano, tocará a la línea de tierra y ambos puntos se encuentran localizados sobre una
misma perpendicular a ella. Dicho de otra manera, para encontrar en la montea la traza
vertical de una recta se prolongará la proyección horizontal de la misma hasta tocar la línea de
tierra y de ese punto se levantará una perpendicular a ésta, hasta encontrar a la proyección
vertical de la recta. En forma similar se procede para encontrar la traza horizontal.
En el caso de la montea de la Lámina 3, a’ representa a la traza vertical y b representa a la
traza horizontal; nótese que ellas quedan situadas en las secciones de los planos de proyección
que conforman la Región l.
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TEMA NÚMERO CUATRO
Aunque en el tema tres las dos trazas de la recta aparecen en las secciones de los planos de
proyección que conforman la Región I, encontraremos que los componentes de las demás
regiones también pueden alojar trazas de otras rectas orientadas de diferente manera.
Si estudiamos el isométrico de la Lámina 4, veremos que la recta después de cruzar el plano
vertical en el punto a’, encaja hacia atrás de él para atravesar el plano horizontal de
proyección en el punto b localizado en la sección posterior de dicho plano; en tal caso, al
formar la montea, ambas trazas aparecen ubicadas en la parte superior de La línea de tierra.
En forma análoga pueden aparecer rectas que localicen sus trazas en las secciones de los
planos de proyección que conforman las Regiones II y III Y por lo mismo en la montea pueden
aparecer las dos trazas abajo de la línea de tierra o bien la traza horizontal arriba de ella y la
vertical abajo.
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TEMA NÚMERO CINCO
Una recta por lo regular tendrá dos trazas localizadas en los planos vertical y horizontal
respectivamente; las proyecciones de aquella pueden ser líneas convergentes, divergentes ó
inclusive paralelas entre sí. En la Lámina 5 la recta está determinada por los puntos A Y B
cuyas proyecciones respectivas en la montea, se encuentran localizadas
correspondientemente sobre una perpendicular a la línea de tierra.
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TEMA NÚMERO SEIS
La Lámina 6 muestra una recta paralela al plano horizontal y es de por sí una línea de igual
característica. Su proyección vertical aparece como una paralela a la línea de tierra y
únicamente dará origen a la traza homónima, ya que al plano horizontal jamás llegará a
cortarlo. La proyección horizontal se presenta como una línea convergente a la línea de
tierra.
Una característica especial de este caso, es que la proyección horizontal de la recta aparece
precisamente con la verdadera magnitud de ésta.
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TEMA NÚMERO SIETE
La Lámina 7 muestra una recta paralela al plano vertical. Su proyección horizontal aparece
como una paralela a la línea de tierra y únicamente dará origen a la traza de ese nombre ya
que al plano vertical, nunca llegará a cortarlo. La proyección vertical se presenta como una
línea convergente a la línea de tierra
En este caso, la recta se proyecta en el plano vertical con la misma magnitud e inclinación
con que figura en el espacio.
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TEMA NÚMERO OCHO
En la Lámina 8 aparece una recta vertical; su proyección homónima se presenta como una
perpendicular a la línea de tierra y se proyecta sobre el plano horizontal como un punto. En la
montea, la traza horizontal se localiza sobre la prolongación de la proyección vertical de la
recta.
Por ser un caso particular de la recta paralela al plano vertical, la línea se proyectará en dicho
plano con su verdadera magnitud.
12
TEMA NÚMERO NUEVE
La línea ilustrada en la Lámina 9 es una perpendicular al plano vertical y es de por si un caso
especial de recta horizontal; su proyección homónima es perpendicular a la línea de tierra y
su proyección vertical es un punto localizado en la montea, sobre la prolongación de aquella
proyección.
La 11nea se proyecta en el plano horizontal, con su verdadera magnitud.
13
TEMA NÚMERO DIEZ
La Lámina 10 muestra una recta paralela a la línea de tierra. No existen trazas sobre los
planos de proyección y en la montea sus proyecciones aparecen como dos líneas paralelas a la
línea de tierra. Dependiendo de la región en que se localice, estas paralelas pueden quedar
según el caso a un lado y otro, ó a un solo lado de la línea de tierra.
Por razones de paralelismo con ambos planos de proyección, la línea aparece en ellos con su
verdadera magnitud.
14
TEMA NÚMERO ONCE
Las proyecciones de una línea, no se presentan con la verdadera magnitud de ella, a menos de
que ésta sea paralela a uno de los planos proyectantes; en cuyo caso la proyección
correspondiente, coincide con las características de la recta en cuanto a longitud y si es la
vertical, también en inclinación.
En la Lámina 11, la recta en el espacio A B se proyecta como a’ b’ en el plano vertical y como a
b en el plano horizontal. Para conocer su verdadera longitud e inclinación, bastará con girar la
línea al rededor de A hasta colocarla paralela al plano vertical, de manera tal que a’ b’
aparecen con las mismas características de la recta en el espacio.
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TEMA NÚMERO DOCE
Dos rectas que se cortan en el espacio determinan un punto, por lo cual las dos proyecciones
de éste, deberán localizarse sobre una perpendicular a la línea de tierra al desarrollar la
montea. Consecuentemente dos rectas se cortan en el espacio, si las intersecciones de sus
respectivas proyecciones se encuentran en la montea, sobre una perpendicular a la línea de
tierra.
En la Lámina 12 a’ y a, proyecciones del punto de intersección A, se encuentran en la montea
sobre una perpendicular a la línea de tierra.
16
TEMA NÚMERO TRECE
Dos rectas que se cortan en el espacio determinan un plano. De igual manera puede plantearse
que si tres puntos en el espacio pueden generar a dos rectas que se cortan, aquellos de por sí
pueden definir un plano.
Ahora bien, cada una de las rectas que determinan al plano, tienen sus propias trazas
horizontal y vertical, mismas que consideradas en relación con las correspondientes a la otra
línea, dan lugar a rectas que se desarrollan sobre cada uno de los planos de proyección; estas
líneas resultan ser la intersección del plano generado con los planos proyectantes y reciben el
nombre de trazas del plano.
Sean en la Lámina 13, AB Y ED dos rectas en el espacio que se cortan en c, los puntos a y d
son respectivamente las trazas horizontales de cada una de las líneas y unidas entre sí forman
la línea WV que corresponde a la traza horizontal del plano; en forma análoga se forma la traza
vertical VU del mismo.
A menos que se trate de un plano paralelo a la línea de tierra, las dos trazas del plano se
cortarán precisamente en ella.
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TEMA NÚMERO CATORCE
Dos rectas paralelas que siguen una misma dirección determinan un plano.
Aún en el caso particular de que las rectas paralelas sean horizontales y por lo mismo cada
una de ellas tenga solamente traza vertical, la traza horizontal del plano puede establecerse
mediante una paralela a las proyecciones homónimas de las rectas.
En la Lámina 14 AB Y CD son dos rectas horizontales que siguen una misma dirección y que
tienen respectivamente como trazas verticales a’ y c’; la traza vertical del plano es la línea
XY que pasa por esos puntos y la traza horizontal del plano será una paralela YZ a las líneas ab
y cd y que parte del punto Y.
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TEMA NÚMERO QUINCE
Aunque por lo general en una montea, la traza vertical de un plano se localiza arriba de la
línea de tierra y la horizontal abajo de ella, hay ocasiones en que este se localiza en la
Región II, lo que origina que ambas trazas se encuentran abajo de aquella línea; en la Región
III la traza horizontal aparece arriba y la vertical abajo y por último en la Región IV, ambas
trazas se ubican arriba de la línea de tierra. Sin embargo, para trabajar en la montea, se
puede prolongar cualquiera de las trazas para utilizarla en la otra sección del plano de
proyección correspondiente. Por ejemplo en la Lámina 15, XY forman la traza vertical del
plano y YZ la traza horizontal; por encontrarse este en la Región IV al abatir el plano
horizontal, se muestra XY arriba de la línea de tierra, pero YZ puede prolongarse hacia Z1 y
tendremos la continuación del plano hacia la sección anterior del plano horizontal de
proyección.
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TEMA NÚMERO DIECISEIS
Cualquier plano sin alguna característica especial, tiene dos trazas que por lo regular
convergen hasta cortarse en la línea de tierra.
Dependiendo de la región en que se ubique el plano, será la localización de las trazas en la
montea.
La dirección del plano estará señalada por cualquier horizontal del mismo, y siendo la traza
homónima una de ellas; ésta indicará la dirección de aquel.
En la Lámina 16, UV y VW son respectivamente las trazas vertical y horizontal del plano
mostrado, que se cortan en V sobre la línea de tierra.
La dirección de la línea VW corresponden a la orientación del plano.
20
TEMA NÚMERO DIECISIETE
Un plano vertical tendrá su traza homónima perpendicular a la línea de tierra y su traza
horizontal orientada según la dirección que siga el propio plano.
En las regiones II y IV las trazas en la montea aparecerán ambas abajo de la línea de tierra
en el primer caso, ó ambas arriba de la línea de tierra en el segundo caso.
En la Lámina 17, UV que es la traza vertical aparece como una línea perpendicular a la
línea de tierra mientras la traza horizontal VW se presenta con la orientación del plano.
21
TEMA NÚMERO DIECIOCHO
Un plano vertical perpendicular al plano homónimo de proyección, presenta sus dos trazas
como una línea continua y perpendicular a la línea de tierra.
En las regiones II y IV las trazas se confunden en una misma recta, abajo de la línea de tierra
en el primer caso y arriba de ella en el segundo caso.
En la Lámina 18, la línea continua UVW contiene a las dos trazas del plano.
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TEMA NÚMERO DIECINUEVE
Un plano inclinado perpendicular a la línea de tierra tiene su traza horizontal perpendicular
a aquella y su traza vertical será una línea inclinada, con la característica particular de tener
la misma inclinación que la del plano en el espacio.
En la Región III la traza horizontal quedaría arriba de la línea de tierra y la vertical abajo. En
las regiones II y IV las trazas quedan ambas abajo ó ambas arriba respectivamente.
La Lámina 19 muestra un plano UVW situado en la Región I.
23
TEMA NÚMERO VEINTE
Un plano vertical paralelo a su homónimo de proyección, muestra únicamente una traza,
que es la horizontal y como una recta paralela a la línea de tierra; en las regiones I y II, la
traza estará debajo de esta y en las regiones III y IV se localizará arriba de la línea de
tierra.
En la Lámina 20, UV representa la traza del plano para el caso de las regiones I y II.
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TEMA NÚMERO VEINTIUNO
Un plano horizontal tendrá como su única traza a la vertical y ella aparecerá como una
recta paralela a la línea de tierra; en las regiones I y IV la traza aparece arriba de aquella y
en las regiones II y III aparecerá abajo.
En la Lámina 21, UV muestra la única traza del plano para las regiones I y IV.
25
TEMA NÚMERO VEINTIDOS
Un plano inclinado paralelo a la línea de tierra muestra dos trazas, ambas paralelas a
aquella.
En la región I la traza vertical se localiza arriba de la línea de tierra y la horizontal
abajo; en la región III la condición se invierte. En las regiones II y IV las dos trazas se
localizan abajo o arriba de la línea de tierra respectivamente.
La Lámina 22 muestra a SU como traza vertical y a VW como traza horizontal.
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TEMA NÚMERO VEINTITRES
Un plano puede ser girado al rededor de un eje para cambiar su posición con respecto a los
planos de proyección.
Consideremos en el isométrico de la Lámina 23, que una horizontal Pc' del plano UVW gira al
rededor del P el mismo ángulo H que gira el propio plano. El punto d' como traza de una línea
del plano U1V1W1, es en sí un punto de la traza U1V1 del mismo.
Por otra parte la proyección horizontal pd de la línea Pd' determinará la nueva dirección del
plano y una paralela a ella que pase por a será la traza W1V1.
En la montea razonaremos de la siguiente manera: Seleccionemos un punto p que será el eje
de giro y tracemos por ahí una perpendicular pb a la traza VW del plano.
Giremos pb un ángulo H para trazar pa, cuya perpendicular en a es la nueva traza W1V1. La
horizontal pc del plano, también gira hasta pd; ahora bien la traza vertical de esta línea se
localiza en d' que es como se dijo, un punto de la traza V1U1 del plano ya girado.
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TEMA NÚMERO VEINTICUATRO
La inclinación de un plano puede determinarse por la que tenga su línea de mayor
pendiente; esta es una perpendicular trazada a una horizontal del plano.
En la Lámina 24 buscaremos la línea de mayor pendiente del plano UVW. Desde luego Pap
es un triángulo rectángulo en el que el ángulo en a es función de la longitud ap. Cuando el
cateto horizontal sea mínimo, la hipotenusa será mínima, siendo tal el caso en que el
cateto bp es perpendicular a la traza horizontal VW y que da lugar a que el ángulo en b sea
máximo. Evidentemente pb es una línea perpendicular a VW.
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TEMA NÚMERO VEINTICINCO
Conocidas las trazas de un plano se pueden encontrar la dirección e inclinación del mismo.
En la Lámina 25 sea el plano UVW. Por un punto cualquiera P tracemos una horizontal pc del
plano y que será paralela a VW. Una línea pb perpendicular a pc será la de máxima
pendiente, pero para conocerla en su verdadera magnitud e inclinación debemos girarla al
rededor de p hasta colocarla paralela al plano vertical ó en la montea paralela a la línea de
tierra y aparecerá como pa con proyección vertical p’a’ misma en que se puede medir la
inclinación verdadera del plano.
Por lo que respecta a la dirección, esta se puede medir en la traza horizontal del plano.
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TEMA NÚMERO VEINTISEIS
La intersección de dos planos es una recta.
Si estudiamos el isométrico de la Lámina 26 veremos que la línea de intersección de los
planos UVW y XYZ tiene sus trazas precisamente en los cruces de las trazas homónimas de los
planos, es decir, en un punto común tanto a la recta como a los dos planos.
En la montea bastará con bajar desde el cruce de las trazas homónimas de los planos, una
perpendicular a la línea de tierra hasta tocarla, para que la recta que una este punto con el
cruce de las otras trazas, dé la proyección correspondiente de la recta de intersección. En
forma similar se obtiene la otra proyección de la recta.
Si de a’ se baja la línea perpendicular a la línea de tierra hasta a y se une este punto con b
se obtiene la proyección horizontal ab y análogamente si de b se lleva la perpendicular hasta
b’ se obtendrá la proyección vertical a’b´.
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TEMA NÚMERO VEINTISIETE
La intersección de una recta con un plano es un punto. En el isométrico de la Lámina 27
tenemos una recta AB que cortará a un plano XYZ. Si por las trazas de AB que son a y b'
hacemos pasar las trazas UVW de un plano que contenga a la recta, la intersección e'd de
UVW y XYZ en algún punto contiene a AB y ese es precisamente el cruce de la recta
intersección y la recta problema; dicho punto determina así mismo la intersección de AB con
XYZ.
En la montea, si hacemos pasar UV por b’ 'y VW por a, tendremos que UVW contiene a AB así
como que la intersección de UVW con XYZ contiene a c que es un punto común de la recta
intersección y la recta problema e igualmente es el punto donde AB corta a XYZ.
31
TEMA NÚMERO VEINTIOCHO
En la Lámina 28 consideremos dos planos UVW y XYZ perpendiculares entre sí y además el
primero perpendicular al plano vertical de proyección.
Evidentemente siendo UVW perpendicular tanto a XYZ como al vertical de proyección, es así
mismo perpendicular a la traza XY. De igual manera XY es perpendicular a todas las rectas
situadas en UVW y por lo tanto a a’b que es intersección de UVW con XYZ.
Las trazas homónimas de dos planos son perpendiculares entre si, cuando por lo menos uno
de ellos es perpendicular al plano de proyección donde se localizan las trazas.
32
TEMA NÚMERO VEINTINUEVE
En la Lámina 29 un plano RST es perpendicular al plano UVW porque además de que éste es
perpendicular al plano horizontal de proyección sus trazas homónimas VW y ST se cortan
en ángulo recto. Por razón similar RST es perpendicular a XYZ puesto que XY es
perpendicular a RS.
Por lo tanto AB que es intersección de XYZ y UVW será perpendicular a RST.
Como consecuencia de lo anterior cuando las proyecciones de una línea son
perpendiculares a las trazas homónimas de un plano, la línea será perpendicular al plano.
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TEMA NÚMERO TREINTA
La distancia más corta entre un punto y un plano es una perpendicular a este que pase por
aquél.
En la Lámina 30 deseamos conocer el punto del plano UVW que queda más cerca del punto
P. Basados en el análisis del tema 29 consideremos que la línea cuyas proyecciones son pe y
p’e’ es perpendicular al plano problema; ya que ellas son perpendiculares a las trazas
homónimas del plano, de tal manera que siguiendo el procedimiento del tema 27 se usa
auxiliarmente el plano XYZ, para encontrar el punto D proyectado en d’ y d que es la
intersección de pe’ con UVW.
34
TEMA NÚMERO TREINTA Y UNO
Hasta ahora hemos usado un sistema diédrico para proyectar los elementos geométricos
localizados en el espacio. Sin embargo algunos problemas, requieren el uso de un tercer plano
perpendicular a los otros dos y de esa manera contar con una proyección adicional y lograda
transversalmente a las acostumbradas.
Sea en la Lámina 31 un punto D en el espacio; este se proyecta como d en el plano horizontal
de proyección, como d’ en el vertical y como d’’ en el nuevo plano transversal.
Al desdoblar el triedro se forma la montea de tal manera que la distancia de la línea de
referencia LR a d’’ se mantiene igual, así mismo de LR a d1.
35
TEMA NÚMERO TREINTA Y DOS
Las proyecciones de una línea en los tres planos de proyección se logran mediante el auxilio
de las proyecciones parciales de dos puntos que la determinen.
Sea en la Lámina 32 AD la línea a proyectar; los puntos a’ y d’ determinan la proyección
vertical de la recta, a y d la horizontal y así a’’ y d’’ determinan la proyección transversal.
Al formar la montea, las distancias LR-a’’ y LR-d’’ se mantienen constantes.
36
TEMA NÚMERO TREINTA Y TRES
Las trazas de un plano pueden definir una tercera traza localizada en el plano transversal de
proyección.
En la Lámina 33 UV y VW son las trazas vertical y horizontal del plano problema; si
prolongamos ambas hasta tocar a la línea de referencia LR, en la montea bastará con
transportar la distancia de W a la línea de tierra sobre la prolongación de ésta, para poder
definir la línea UW que representa la tercera traza del plano.
37
TEMA NUMERO TREINTA Y CUATRO
Cuando un plano queda determinado por dos rectas paralelas a los dos planos de proyección,
no es posible determinar las trazas de él por el sistema común, por lo que se requiere el auxilio
del tercer plano de proyección.
En la Lámina 34 AB Y CD son las rectas paralelas que definen al plano; se hará necesario
encontrar las trazas E y F de cada una de las rectas en el tercer plano de proyección, para así
determinar la traza transversal del plano y partiendo de los puntos X y Z1 definir las trazas
vertical WX y horizontal YZ.
38
TEMA NÚMERO TREINTA y CINCO
Un punto en el espacio puede ser relacionado a dos planos acotados de proyección; el
horizontal puede ser referido a un sistema de coordenadas y el vertical a un sistema de cotas.
En la Lámina 35, consideremos dos puntos A y B de coordenadas conocidas y se pretende
conocer la distancia real que media entre ellos. La proyección horizontal ab tendrá un rumbo
de NE 58°55' SW que es el de AB, al girar ab alrededor de a hasta colocarIa paralela a la línea
del tierra se tendrá b1 cuya proyección vertical b’1 unida al punto a’ nos dará la verdadera
magnitud de la recta en el espacio, así como la verdadera inclinación que es de 37°05'. La
distancia real entre los puntos es de 82.50 M.
39
TEMA NÚMERO TREINTA Y SEIS
Dos líneas paralelas en el espacio que siguen la misma dirección, determinan un plano.
Consideremos hipotéticamente dos niveles de una mina cuyas trazas verticales a’ y b’ son
puntos de la traza homónima del plano; la traza horizontal VW tendrá el mismo rumbo de los
niveles de la mina y partirá del punto V.
40
TEMA NÚMERO TREINTA Y SIETE
Tres puntos en el espacio determinan un plano.
En la Lámina 37 sean A, B y C tres puntos en el espacio; se trata de encontrar el rumbo y la
inclinación del plano que forman.
El rumbo del plano será el de una horizontal del mismo, por lo que partiendo de b’ tracemos
la línea que corta a a’c’ en d’, localicemos su proyección correspondiente d sobre la línea
ac; la línea bd determina el rumbo del plano por ser una horizontal del mismo.
La línea de mayor pendiente será una perpendicular a bd que pasa por c, así se de termina
ec, línea que es girada hasta colocarla paralela a la línea de tierra en e1c, proyectando e1
hasta e’1 y uniéndolo a c’ se tendrá la línea en su verdadera magnitud e inclinación.
41
TEMA NÚMERO TREINTA Y OCHO
La distancia más corta entre un punto y un plano es una perpendicular trazada desde aquel
y hasta tocar a éste.
En la Lámina 38, supongamos tener una veta representada por el plano UVW y desde un
punto de coordenadas conocidas deseamos intersectarla con un barreno a diamante, usando
la distancia mínima de cuele.
Desde luego que con un barreno perpendicular al plano se tendrá el menor cuele, además
de la ventaja que representa el hecho de cortar a la veta en su ancho real.
El rumbo del barreno será el de la recta pe, normal a la traza VW del plano y la inclinación
será la de la línea p’e’ que corresponde al giro de la línea pe hecho con el fin de colocarla
paralela a la línea de tierra; p’e’ dará así mismo la distancia de cuele necesaria.
El punto E proyectado en e y e’, corresponde al de intersección entre la recta PB y el plano
UVW.
42
TEMA NÚMERO TREINTA Y NUEVE
Conocidas las trazas de una veta y el rumbo e inclinación de un barreno que se dirige a
cortarla, se buscan las coordenadas del punto en que el barreno toca a la veta.
En la Lámina 39 sea p’a’1 una línea representando al barreno con su inclinación real, por lo
que la proyección horizontal a1 formará la recta pa1 paralela a la línea de tierra; girando
pa1 hasta confundirse con pa de rumbo establecido, tendremos oportunidad de llevar la
coproyección de a hasta a’ y así tener las dos proyecciones de la línea de barreno; usando
las trazas de esta, podremos habilitar un plano XYZ que la contenga y mediante la
intersección de UVW y XYZ encontrar m’ y m que son las proyecciones del punto buscado.
43
TEMA NUMERO CUARENTA
Teniendo las trazas de una veta, averiguar la inclinación que hay que dar a un barreno
conocido y que parte de un punto P, para intersectar a la veta a una profundidad
preseleccionada.
En la Lámina 40, digamos que UVZ es el plano de la veta y se quiere cortarla a una cota de
1073.5 m con un barreno cuyo rumbo sea NE 60°00’.
A una cota de 1073.5 m tracemos una horizontal a’c’ que se proyectará horizontalmente
como ac; tracemos la línea pa de rumbo conocido, la cual abatiremos hasta pa1, proyectando
a1 para localizar a’1; la recta está en verdadera inclinación y magnitud dando así la respuesta
al problema.
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y UNO
En la Lámina 41, supongamos tener una veta cortada por tres barrenos a diamante, en los
puntos E, K y H. Se desea conocer la distancia con la cual se cortará a dicha veta con un
barreno dado desde P con un rumbo de N 600 15’ E y una inclinación de 43°00’.
Uniendo k’ con h’ y k con h tendremos las proyecciones de una recta del plano; por e’ tracemos una línea convencional que corta a aquella en o’, la proyección de este punto sobre
kh permitirá trazar la línea eo; de esa manera tendremos dos rectas KH y EO que se cortan
en el espacio y pertenecen al plano problema. Las trazas de las citadas líneas permitirán la
construcción de UVW que representan al plano en cuestión.
Por otra parte deberemos encontrar las proyecciones de la línea que representa al
barreno.
Tracemos una recta pa que partiendo de p, lleve el rumbo indicado, y otra que partiendo de p’ tenga la inclinación del barreno; en un punto cualquiera a’1 de esta, bajemos una
perpendicular a la línea de tierra para buscar a1; giremos pa1 hasta hacerla coincidir con
pa, y de a se puede buscar su coproyección a’ para fijar la línea p’a’ del barreno.
El resto del procedimiento consiste en utilizar las trazas de PA para habilitar un plano
auxiliar XYZ que contenga a esa línea y mediante la intersección de UVW y XYZ encontrar
el punto M de encuentro entre el barreno y la veta.
La distancia de cuele será la que media entre p’ e i’, punto este que corresponda en cota a
m’.
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y DOS
La intersección de una veta con una fractura determina una recta.
En la Lámina 42 supongamos una veta de trazas UVW, a la cual corta una fractura que se
conoce por tres barrenos a diamante que la cortan en los puntos E, G y C.
Haciendo pasar por esos puntos dos rectas que se cortan en el espacio, determinemos las
trazas TX y YZ de la fractura que pasan por r’n’ y por ms.
Las proyecciones de la intersección de UVW con TXYZ serán h’k’ y hk. Girando hk alrededor de h hasta hacerla coincidir con la línea de tierra, tendremos hk 1 y uniendo h’
con k1 aparecerá la verdadera inclinación de la línea de intersección cuyo rumbo ha
quedado previamente determinado por hk.
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y TRES
Dos niveles de una veta determinan el rumbo e inclinación de la misma.
En la Lámina 43 tenemos dos niveles a los que hemos llamado Nivel 4 y Nivel 5; la
distancia ab muestra el desplazamiento horizontal entre ellos y podemos girar dicho
segmento hasta colocarlo paralelo a la línea de tierra.
En el plano vertical se proyectan a’ y b’ cuya diferencia de cotas se puede apreciar.
Transportando a1b hasta colocarlo sobre el Nivel 5 en su proyección vertical, y uniendo b’
con a’1, tendremos que esta línea da una inclinación igual a la del plano.
Desde luego que el rumbo de la veta será el mismo que tienen los niveles.
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TEMA NÚMERO
NÚ
CUARENTA Y CUATRO
Conocidas las trazas de una veta, averiguar el rumbo e inclinación de la misma.
Evidentemente el rumbo de ella, es el mismo que el de su traza horizontal.
Para encontrar su inclinación, giraremos el plano que la representa hasta colocarlo
perpendicular al vertical de proyección y la inclinación que presente la nueva traza será la
misma que tiene la veta. Los detalles del giro aparecen tratados en el tema veintitrés.
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y CINCO
Conocidos dos niveles contenidos en una veta y la localización de un lado de un lote
minero, encontrar el límite de la propiedad con respecto a la veta.
En la Lámina 45 sean los niveles 4 y 5 los contenidos en la veta y si consideramos que por
definición legal, el lado de un lote minero es un plano vertical orientado de una manera
determinada, XYZ representará a tal plano, siendo su rumbo el de YZ.
Siguiendo el procedimiento del tema treinta y cuatro encontraremos las trazas TU y VW
que al intersectarse con el plano vertical originan g’c’ que marca el límite de la propiedad
en proyección vertical. Es de notarse que de las intersecciones de VW con ad y be, se
pueden localizar a’ y b’ que también determinan el límite de la propiedad con respecto al
plano de la veta.
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y SEIS
En la Lámina 46, sean los niveles 4 y 5, dos frentes sobre la veta que se van a unir
mediante un contrapozo deflectado comúnmente conocido como "Pata de perro".
Tracemos una línea a’c’ con la inclinación deseada para la obra, localicemos c1 y giremos la
línea ac1 hasta colocarla coincidente en su extremo, con una recta que corra paralela y en
medio de las proyecciones horizontales de los dos niveles; el punto c así obtenido será el
punto de deflección del contrapozo. La línea ac determina el rumbo de la obra.
Evidentemente el trazo de cb es consecuente de lo anterior.
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y SIETE
Una de las aplicaciones de la Geometría Descriptiva a la Ingeniería es la tocante a la
emisión de sombras; varios problemas de construcción y de iluminación se resuelven
tomando en cuenta las áreas ensombrecidas por cuerpos opacos.
Para la iluminación se toman en cuenta dos casos: La luz proporcionada por un foco
luminoso que por lo general lanza sus rayos en forma de haz y la luz solar que por la
lejanía del astro, puede considerarse que emite rayos paralelos.
En la Lámina 47 tenemos el caso de un prisma pentagonal que colocado en determinada
posición en el espacio recibe la luz del sol que en ese momento lanza sus rayos según la
orientación que se ve en el plano horizontal que bien pudiera ser el suelo y según la
inclinación que se aprecia en el plano vertical que podría ser un muro.
Desde luego las trazas respectivas de los rayos que tocan los vértices del cuerpo,
determinan las intersecciones de estos con los planos pantalla y delinean las sombras
causadas. Nótese la forma que tendría la sombra en caso de faltar cualquiera de los dos
planos.
LÁMINA 47
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TEMA NÚMERO CUARENTA Y OCHO
El mismo prisma pentagonal de la Lámina 47 aparece en la Lámina 48, solamente que la luz
que recibe es emitida por un foco luminoso que lanza sus rayos en forma de haz.
La sombra arrojada de esta manera cubre mayor área que la proyectada por la luz solar y
puede notarse que si la pantalla fuera alejada, la sombra proyectada crecería notablemente,
cosa que no sucede con los rayos paralelos.
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TEMA NÚMERO CUARENTA y NUEVE
Para comparación, en la Lámina 49 tenemos una pirámide hexagonal iluminada por la luz
solar. La sombra que proyecta puede apreciarse en la figura. Nótese como sería el área
sombreada en caso de no existir alguna de las dos pantallas.
Como varias de las trazas verticales se localizan abajo de la línea de tierra, ellas ya no
generarían sombra puesto que el plano horizontal, ya capta la sombra correspondiente.
Semejante es el caso de las trazas horizontales localizadas arriba de la línea de tierra, lo
que significaría que la sombra se proyectaría en la sección posterior del plano horizontal,
lo que desde luego es impedido por la presencia del plano vertical de proyección.
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TEMA NUMERO CINCUENTA
La misma pirámide hexagonal de la Lámina 49 aparece en la Lámina 50 solo que es
iluminada por una fuente luminosa que arroja sus rayos en forma de haz.
Al igual que el caso del prisma, se notará que el área en la sombra es mayor que cuando
la iluminación es solar. Se alejara alguna de las pantallas la sombra se iría haciendo
mucho mayor de ahí la importancia que tiene para la iluminación, la selección del lugar
en donde se localizarán las fuentes de luz. En la iluminación de las minas también pueden
surgir problemas que por lo general son del tipo de foco luminoso, puesto que la luz
proviene de un punto central de emisión.
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TEMA NÚMERO CINCUENTA Y UNO
Supongamos a la pirámide del tema 50, proyectando la sombra generada por un haz de rayos
luminosos sobre dos planos perpendiculares que le sirven de pantalla. El plano vertical bien
puede ser un muro y el horizontal podría ser el piso.
La Lámina 52 presenta la sombra en caso de que desapareciera el plano horizontal y la
Lámina 53 presenta la sombra proyectada, en caso de no existir el plano vertical.
Algunos problemas de ingeniería, abarcan el estudio de áreas iluminadas para ciertos fines,
tales como celdas fotoeléctricas generadoras de energía.
La construcción con frecuencia también requiere del conocimiento de áreas ensombrecidas
por edificaciones previamente construidas, siendo desde luego un factor básico el azimut y
la altura del sol en las diferentes épocas del año.
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