Análisis de los errores cometidos en el algoritmo de la Suma de

Resumen: D-018
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006
Análisis de los errores cometidos en el algoritmo de la Suma de Fracciones
por ingresantes a la Fa.C.E.N.A.
Mata, Liliana E. - Porcel, Eduardo A.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura. Av. Libertad 5400.
(3400) -Corrientes-Argentina. Universidad Nacional del Nordeste.
eporcel@exa.unne.edu.ar-03783-457950-int 405.
Antecedentes
En el marco del proyecto de investigación denominado “Análisis de factores que inciden en el rendimiento académico y
desgranamiento de alumnos de FaCENA (Secyt-UNNE. Pi05/06), surgió el presente trabajo cuyo objetivo es determinar
los errores cometidos en la aplicación del algoritmo de la suma de fracciones por ingresantes a la FaCENA .
En el trabajo “Conocimientos previos sobre operaciones en reales y sus propiedades de ingresantes a la
FaCENA”(Mata, L.Porcel, E. Romero Zalazar, C, 2005) ( Secyt, 2005) hemos analizado un ejercicio de aplicación de
las operaciones en reales y sus propiedades que fuera tomado en la prueba de diagnóstico administrada a los ingresantes
a la Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura de la UNNE. en el año 2001, del análisis realizado en esa
oportunidad se observó altos porcentajes de respuesta incorrecta tanto en el valor de verdad como en la justificación de
dicho valor; encontramos errores producidos por deformación de una propiedad, regla, o algoritmo, como así también
errores de cálculo, errores en la manipulación de símbolos algebraicos y otros derivados de la ejecución de algoritmos.
A fin de explorar los conocimientos previos sobre la recordación de algoritmos y en particular de la suma de fracciones,
analizamos en profundidad los errores registrados acerca de este tema.
Con respecto a las dificultades en cuestiones del álgebra que presentan los estudiantes, J.C.Arias et al plantean los
siguientes interrogantes ¿Por qué los alumnos tienen problemas con el álgebra?¿Por qué los alumnos cada vez son
capaces de entender menos los problemas de abstracción?, en la investigación realizada acerca de las dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas. Afirma que actualmente los niveles en que recuerdan los conocimientos los alumnos de
la escuela secundaria son mucho menores que los logrados en épocas anteriores. Existen grandes carencias en las
habilidades numéricas que dificultan la adquisición de nuevos conocimientos en el campo del álgebra, especialmente en
el desarrollo de habilidades cognitivas para la abstracción; este punto es fundamental para la adquisición y el progreso
tanto en matemáticas como en otras ciencias relacionadas con ella.
En la transición de la enseñanza secundaria a la universitaria, los alumnos se encuentran con dificultades en áreas
específicas de la Matemática, que son motivo de preocupación para los investigadores en educación matemática. El
conocimiento impartido en la escuela secundaria se supone coherente y efectivo, al alumno le sirve por un tiempo, en
ese contexto y ámbito educativo. Las concepciones de los alumnos permanecen borrosas, incoherentes y poco adaptadas
al mundo del cálculo algebraico. El paso de la aritmética al álgebra supone un salto cualitativo, que exige un buen
conocimiento de las propiedades y de las relaciones que rigen el cálculo aritmético (Alonso F, et al, 1993).
J.P Astolfi (1999), expresa que es conveniente ver los errores de manera individual pues según la naturaleza del
diagnóstico operado, las modalidades de intervención didáctica para hacerles frente, van a ser muy distintas. El
análisis de los errores interesa, no sólo desde el punto de vista del algoritmo, sino del lenguaje algebraico, del manejo
de los símbolos. El modelo constructivista propone no ignorar el error sino provocarlo y analizar su significado. Según
esta postura el error es indicador de los procesos intelectuales puestos en juego al momento de resolver una situación de
aprendizaje o problemática.
M. Pochulu (2005), considera que los errores presentes en las producciones de los alumnos son un elemento estable en
los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, éstos surgen debido a concepciones inadecuadas sobre
aspectos fundamentales de la Matemática, son el resultado de la aplicación correcta de un procedimiento imperfecto y
totalmente identificables; evidencian el empleo de métodos y estrategias inventadas. Este autor, destaca que los errores
no surgen al azar sino que se basan en conocimientos adquiridos previamente, ya que todo proceso de instrucción es
potencialmente generador de errores por diferentes causas. En las entrevistas que realizó a Profesores de Matemática,
los docentes manifestaron que la “suma de números racionales efectuando la adición de numeradores por un lado y
denominadores por el otro” es uno de los errores más frecuentes.
Numerosas investigaciones realizadas en educación matemática se han abocado al estudio de los errores presentes en las
producciones de los alumnos. El análisis, la categorización, y el tratamiento de los errores observados permitirán
reflexionar acerca de las causas y posibles estrategias de intervención didáctica.
Materiales y Métodos.
A fin de realizar un estudio acerca de los errores que cometen los ingresantes a la FaCENA en las operaciones con
reales y sus propiedades y, en particular, en el algoritmo de la suma de fracciones, se propuso en el test de diagnóstico
inicial tomado en el año 2001 un ejercicio sobre el tema. El alumno debía decidir si cada una de las igualdades
formuladas eran verdaderas o falsas, y en caso de considerarlas falsas, escribir la expresión correcta.
En este trabajo, analizamos las respuestas dadas al siguiente ítem:
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Nº
IGUALDAD
2
3 a 3b + a 2
+ =
a b
ab
V/F
IGUALDAD CORRECTA
Con el propósito de realizar un análisis cuantitativo, analizamos las producciones efectuadas por una muestra de 751
ingresantes según:
1) el valor de verdad asignado la igualdad propuesta;
2) las igualdades propuestas por los estudiantes que afirmaron que la proposición es falsa.
Las expresiones erróneas se clasificaron según el error se cometiera en el cálculo del numerador, del denominador o en
ambos, registrando la frecuencia de cada tipo de error.
Discusión de resultados.
La igualdad planteada es verdadera y no era necesaria su justificación.
Se observó que de una muestra de 751 alumnos, 92 ( 12,3%) no resolvieron el ejercicio, 468 ( 62,3%) escribieron
correctamente las respuestas a ambas cuestiones, y de los que lo hicieron incorrectamente (respondiendo que el valor de
verdad era falso), 48 (6,4%) no justificaron su respuesta y finalmente 143 (19,0%) formularon igualdades incorrectas,
las cuales son objeto de análisis en este trabajo.
En el cuadro 1, registramos los resultados del análisis de las producciones de los 143 alumnos que completaron
incorrectamente la columna “igualdad correcta”. El 66% de los alumnos escribió el denominador correcto e incorrecto
el numerador, mientras que el 2% determinó incorrectamente el denominador y correctamente el numerador.
Cuadro 1: Errores cometidos en el cálculo de denominador y/o numerador (Cifras absolutas y porcentuales)
Total
Denominador
Correcto
Numerador
Total
Correcto
Incorrecto
N°
0
94
94
Incorrecto
%
0
66
66
N°
3
46
49
%
2
32
34
N°
3
140
143
%
2
98
100
En el cuadro 2, registramos los resultados de las 143 producciones correspondientes a las “igualdades correctas”,
obviamente erróneas; hemos encontrado 58 expresiones diferentes, de los cuales el 50% (29) tenían el denominador
común correcto e incorrecto el numerador; el resto de las expresiones analizadas corresponden a la categoría
denominador incorrecto, el 47% de ellas presentaron incorrecto tanto el numerador como el denominador y solo el 3%
numerador correcto y denominador incorrecto. Entre los denominadores incorrectos registramos por ejemplo
expresiones como b, a+b; a; a2; 3b; c; sin denominador; 20; 3.
Cuadro 2: Igualdades erróneas clasificadas según el error se comete al calcular numerador, y/o denominador. (Cifras
absolutas y porcentajes)
Denominador
Total
Correcto
Incorrecto
N°
%
N°
%
N°
%
Numerador
Correcto
0
0
2
3
2
3
Incorrecto
29
50
27
47
56
97
Total
29
50
29
50
58
100
De las 29 expresiones con denominador correcto e incorrecto el numerador, hemos identificado el 62% de los
procedimientos efectuados y su descripción se observa en el cuadro 4. Los errores más frecuentes en las expresiones
algebraicas escritas fueron: producto de numeradores, suma de numeradores, la suma del denominador común y cada
numerador, el primer término es correcto y el segundo no, y, la inversión del algoritmo (entendiendo como tal, la suma
de los cocientes entre el producto del denominador común por cada denominador y cada numerador).
Cuadro 3: Descripción de los errores cometidos en el cálculo de los numeradores.
Expresión Algebraica
Descripción del Numerador.
Producto de los numeradores.
3a
ab
3+ a
ab
3ab + a 2 b
ab
3b + a
ab
Suma de los numeradores
Suma del producto del denominador común por cada numerador.
El primer término es correcto y el segundo es igual al primer numerador.
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aba : 3 + abb : a
ab
3a + ba
ab
3a 2 b + b 2
ab
3
ab
Inversión del algoritmo.
Suma del producto de los numeradores y de los denominadores.
Primer término: producto del denominador común por el primer denominador y por el primer
numerador.
Segundo término: cociente del denominador común y el segundo numerador, multiplicado por
el segundo denominador
El primer numerador.
a 2 3 + a 2 b + ba3 + b 2 a
ab
Se identifican los tres primeros términos.
3a 2 b + a 2b 2
ab
a 
 3
 + 
ab
ab


ab
Suma del producto del denominador común por cada denominador y luego por cada
numerador.
Suma del cociente entre cada numerador y el denominador común.
3ba 2
ab
Producto de los numeradores y denominadores.
3+ a2
Suma del primer numerador por el producto del segundo numerador por
el primer denominador.
Producto del primer numerador y segundo denominador.
3 − ba + a − ( ab )2
ab
Suma entre las diferencias del primer numerador y el denominador común y, el segundo
numerador y el cuadrado del denominador común.
3b + a 2 4a 2 b
=
= 4a
ab
ab
El segundo miembro es el resultado de sumar los coeficientes de ambos términos y la parte
literal es el producto de las partes literales del primer miembro y luego simplifica.
3 − ba 2 + a − ab 2
ab
Suma de diferencias entre cada numerador y el producto del denominador común y los
denominadores.
3a 2 b + ab 2
ab
3ab + ab
ab
Suma entre el producto del denominador común por el primer denominador y el primer
numerador, y, el denominador común por el segundo denominador
ab
3 a 3b
+ =
a b ab
No identificable.
3a 4 b
ab
No identificable.
3a 2
ab
3b + 3a
ab
No identificable.
3a + a 2
ab
No identificable.
3b + 1
ab
No identificable.
3a + b
ab
No identificable.
3a + a 2
ab
No identificable.
3a 2 + b
ab
No identificable.
No identificable.
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No identificable.
3ab + a 2
ab
No identificable.
3ab + a 2b 2
ab
Del 66% de los alumnos que han escrito correctamente el denominador, registramos que el 26.6% realizó el producto de
los numeradores, el 20.2% sumó los numeradores, el 7.5 %sumó el producto denominador común y cada numerador, el
7.5% escribió correctamente solo el primer término y el 4.2% invirtió el algoritmo (Cuadro 4).
Cuadro 4 Denominador correcto-Numerador Incorrecto. Frecuencia.
Frecuencia
Error
%
Nº
26.6
25
3a
ab
19
20.2
3+ a
ab
7
7.5
3ab + a 2 b
ab
3b + a
ab
aba : 3 + abb : a
ab
Otros
Total
7
7.5
4
4.2
32
94
34.0
100.0
Conclusiones
Los ingresantes a nuestra Facultad al intentar resolver la suma de fracciones propuesta en el test de diagnóstico inicial
se encontraron con los siguientes obstáculos: recordar el algoritmo ya que no era posible utilizar la calculadora, y
efectuar la transición del lenguaje numérico al algebraico. Esta actividad exigía el manejo de expresiones simbólicas,
su transformación para obtener otras equivalentes a la dada y un cierto dominio del lenguaje y del cálculo algebraico.
Entre los errores que hemos identificado, registramos las siguientes asociaciones incorrectas: signo suma con símbolo
igualdad, operación suma de fracciones con producto, suma de fracciones con la relación de igualdad entre fracciones.
El análisis realizado evidencia que los ingresantes no recuerdan el algoritmo de la suma de fracciones, suman
numeradores y denominadores entre sí, multiplican numeradores y denominadores entre si, invierten el algoritmo, entre
otros.
Registramos variadas expresiones que evidencian procedimientos inadecuados pero identificables, y otras que no hemos
podido identificar.
Los factores que podrían originar las dificultades en la resolución correcta del ítem de suma de fracciones serían:
•
escaso manejo de expresiones simbólicas;
•
falta de conexión entre las operaciones entre expresiones algebraicas con el lenguaje numérico,
•
abuso en la utilización de calculadoras no les permitiría realizar cálculos mentales, impidiendo trasladar los
conocimientos aprendidos a otros contextos diferentes;
•
conocimiento insuficiente de la estructura aritmética que se tradujo en una manipulación algebraica errónea,
coincidiendo con las observaciones realizadas por Fernando Alonso.
Inferimos que los factores detallados anteriormente incidirían en el proceso enseñanza aprendizaje de contenidos
matemáticos y, comprometerían seriamente el rendimiento académico de los alumnos en los primeros años de sus
estudios superiores.
Bibliografía
•
Alonso, F. y otros (1993). Ideas y actividades para enseñar álgebra. Editorial Síntesis. España.
•
Artigue, M. (2003) ¿Qué se puede aprender de la investigación educativa en el nivel universitario? Boletín de la
Asociación Matemática Venezolana, Vol.X.Nº2
•
Astolfi, J.P. (1999) El “error”, un medio para enseñar .DIADA EDITORIAL S.L. España.
•
Arias J. C., Sardina, Mª A., Sardina M. (2005) Curso De Doctorado:“Métodos Cualitativos y Cuantitativos en
Investigación” Estudio Sobre Las Dificultades De Aprendizaje En Las Matemáticas: Habilidades Numéricas Y
Simbólicas Http://Platea.Cnice.Mecd.Es/~Jcarias/Uam2005/Metodos/Bodyfinal.Htm Madrid.
•
Mata, L. Porcel, E. Romero Zalazar, C,(2005). Conocimientos previos sobre operaciones en reales y sus
propiedades de ingresantes a la FaCENA. http://www.unne.edu.ar/Web/cyt/com2005/index.htm
•
Pochulu, M. (2005) Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que
ingresan a la universidad. Revista Iberoamericana de Educación (ISSN:1681−5653)