CI63F/EL761 Control Inteligente para Problemas Dinámicos de Transporte Profesores II-2009: Cristián Cortés*, Doris Sáez** Departamento de Ingeniería Civil - Transporte *Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 1 Esquema de control avanzado: y (t ) = [l1 (t ), l2 (t ) ] d1 (t ), d 2 (t ) Estimador demanda Salidas l1ref Control Predictivo l2ref Control Óptimo r1 ( t ) Entrada l1 (t ) l2 (t ) Sensores C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 2 Modelación en variables de estado Variables de estado: Representan a las variables que caracterizan de manera única a n un sistema o proceso. x ∈ R Variables de control o variables r manipuladas: Son las variables sobre las u ∈ R cuales podemos decidir y afectar al sistema. Variables de salida: Variables que se miden. y ∈ Rm C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 3 Modelación en variables de estado Ecuación de estado. Caracteriza al proceso. x = f ( x, u, t ) x(k + 1) = f ( x(k ), u (k ), k ) Ecuación de salida. Caracteriza a las variables que se miden del proceso. y = g ( x, u, t ) y (k ) = g ( x(k ), u (k ), k ) C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 4 Modelación en variables de estado Caso Lineal, invariante, tiempo continuo. ⎧ x′ = Ax + Bu ⎪ ( SL) ⎨ y = Cx + Du ⎪ x(t ) = x 0 ⎩ 0 x0 ∈ R , A ∈ R n C∈R m× n n× n ,D∈R ,B∈R n×r m×r C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 5 Modelación en variables de estado Dado u(t) (estrategia de control). x (t ) = A( t −t0 ) e x0 t +e y ( t ) = Ce ∫e − Aτ Bu (τ ) dτ t0 Respuesta a entrada cero (Solución homogenea) A( t −t0 ) At Respuesta a estado cero (Solución particular) t x0 + Ce At ∫ e − Aτ Bu (τ ) dτ + Du t0 C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 6 Modelación en variables de estado Controlabilidad. ⎧ x′ = Ax + Bu Este sistema es controlable si existe ⎨ u(t) tal que x(T)=xT dado. x ( t ) = x 0 ⎩ 0 ⇔ Criterio de Kalman: La matriz de controlabilidad ⎡⎣ B, AB,....., An −1 B ⎤⎦ tiene rango n C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 7 Modelación en variables de estado Observabilidad. ⎧ x′ = Ax ⎪ ⎨ y = Cx ⎪ x(0) = x 0 ⎩ ⇔ Este sistema es observable si conocido y(t) y u(t) en [0,T], es posible recuperar la condición inicial x(0)=x0 dado. Criterio de Kalman: ⎡ C ⎤ ⎢ CA ⎥ ⎥ tiene rango n La matriz de observabilidad ⎢ ⎢ # ⎥ ⎢ n −1 ⎥ C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 ⎦ ⎣CA 8 Modelación en variables de estado Observabilidad. y (t ) = Ce At x0 T e A*t C * y (t ) = e A*t C * Ce At x0 / ∫ 0 T ⎛ ⎞ A*t A*t At ∫0 e C * y (t )dt = ⎜⎝ ∫0 e C * Ce ⎟⎠ x0 T w T Si w T es definida positiva ⇒ El sistema es observable ⎛ A*t ⎞ At x0 = ⎜ ∫ e C * Ce ⎟ 0 ⎝ ⎠ T w T −1 −1 T A*t e ∫ C * y (t )dt ← Para calcular x0 0 C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 9 Modelación en variables de estado Dualidad Controlabilidad - Observabilidad. ⎧ x′ = Ax ( S1) ⎨ ⎩ y = Cx ( S 2 ){ z′ = A * z + C * u (S1) es observable si (S2) es controlable C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 10 Control en variables de estado Caso Lineal, invariante, tiempo continuo. Teorema de Localización de polos: Si (A,B) controlable, existe K tal que el control u(t)=-Kx(t) ubica los polos del sistema en lazo cerrado en los requerimientos. ⎧ x′ = Ax + Bu ⎪ ( SL) ⎨ y = Cx + Du ⎪ x(t ) = x 0 ⎩ 0 ⇒ u = − Kx ⇒ x′ = ( A − BK ) x Dado un conjunto de valores propios, el espectro de ( A − BK ) se puede ubicar enD.ese o& enA.cualquier C. Cortés, Sáez Núñez, 2009conjunto de valores propios.11 Control en variables de estado Ajustando K, se hace que los vp de ( A − BK ) queden estables y cumpliendo requerimientos de diseño (ts, mov, etc...) Caso no lineal, invariante, tiempo continuo. ⎧ x′ = f ( x, u ) ⎪ ( SNL) ⎨ y = g ( x, u ) ⎪ x(t ) = x 0 ⎩ 0 si u = − Kx ⇒ x′ = f ( x, − Kx ) ¿Qué ocurre con SNL en lazo cerrado?, ¿es posible controlarlo? C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 12 Control en variables de estado Principio de linealización ⎧⎪ x′ = f ( x, u ) ( SNL) ⎨ ⎪⎩ y = g ( x, u ) ⎧ ⎡ ∂f ( x, u ) ⎤ ⎡ ∂f ( x, u ) ⎤ ⎪ x′ = ⎢ ⎥⋅x+ ⎢ ⎥ ⋅u ⎪ ⎢⎣ ∂x ( x ,u ) ⎥⎦ ⎢⎣ ∂u ( x ,u ) ⎥⎦ ⎪ ⎪ A B ( L) ⎨ ⎡ ∂g ( x, u ) ⎤ ⎡ ∂g ( x, u ) ⎤ ⎪ ⎥⋅x+ ⎢ ⎥ ⋅u ⎪y = ⎢ x u ∂ ∂ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎪ ( x ,u ) ⎥ ( x ,u ) ⎥ ⎦ ⎦ ⎪⎩ C D Dada una trayectoria ( x , u ) de (SNL), si el sistema linealizado (L) en torno de la trayectoria ( x , u ) es controlable ⇒ D. Sáez & A. Núñez, 2009 el sistema no lineal C.esCortés, localmente controlable. 13 Control Óptimo En control óptimo se busca resolver problemas del tipo: T Min u ( t ), x ( t ) s.a. r ( x (T ) ) + ∫ L (τ , x(τ ), u (τ ) ) dτ Función Objetivo t0 x′ = f ( t , x(t ), u (t ) ) x(t0 ) = x0 x(T ) ∈ Ω u (t ) ∈ U EDO dinámica Condición inicial Condición terminal Restricción en las variables de control (Se debe aplicar solo controles factibles) C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 14 Control Óptimo T Min u ( t ), x ( t ) s.a. r ( x (T ) ) + ∫ L (τ , x(τ ), u (τ ) ) dτ t0 x′ = f ( t , x(t ), u (t ) ) x(t0 ) = x0 x(T ) ∈ Ω u (t ) ∈ U Si r=0 se llama Problema de Lagrange Si L=0 se llama Problema de Meyer Si ambas funciones son distintas de cero, se llama Problema de Bolza C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009 15 Control Óptimo Principio del mínimo de Pontryagin: Se define el hamiltoniano: H ( t , x, λ , u ) = f ( t , x(t ), u (t ) ) ⋅ λ − L ( t , x(t ), u (t ) ) Sea u* control óptimo, x* trayectoria optima asociada al control óptimo. Entonces: ∃λ * tal que: x′* = ∇ λ H ( t , x *(t ), λ *(t ), u *(t ) ) λ ′* = −∇ x H ( t , x *(t ), λ *(t ), u *(t ) ) EDO Ecuación adjunta Principio = min , *( ), *( ), H ( t , x *(t ), λ *(t ), u *(t )C.)Cortés, H t x t λ t a ( ) 16 del mínimo a∈D. U Sáez & A. Núñez, 2009