Chapter 1 Integración por partes

Chapter 1
Integración por partes
Este método de integración se debe a la aplicación de la derivada de un producto de funciones
0
0
0
[f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x)
Puesto que la integración es la operación inversa de la derivación; entonces
Z
0
[f (x)g(x)] dx = f (x)g(x)
Como la integral de una suma es la suma de integrales se obtiene:
f (x)g(x) =
Despejando
Z
Z
0
[f (x)g(x)] dx =
Z
0
f (x)g(x)dx +
Z
0
f (x)g (x)dx
0
f (x)g (x)dx obtendremos la regla de integración por partes:
Z
0
f(x)g (x)dx = f (x)g(x) ¡
Z
0
f (x)g(x)dx
Nota 1: La elección de f(x) y g ’(x) es fundamental. Siempre es conveniente elegir g’(x)
de manera que se pueda integrar facilmente
Nota 2: La segunda integral ha de ser más sencilla de resolver que la primera
Nota 3: En muchas ocasiones tendrás que repetir este método varias veces
Ejemplos:
Z
1.
ln xdx
1
f (x) = ln x ; f 0 (x) =
Z x
g 0 (x) = 1 ; g(x) =
1dx = x
Z
ln xdx = x ln x ¡
Z
2. x2 sin xdx
f (x) = x 2 ; f 0 (x) = 2xZ
g 0 (x) = sin x ; g(x) =
Z
1
x dx = x ln x ¡
x
sin xdx = ¡ cos x
1
Z
1dx = x ln x ¡ x + C
Chapter 1
Z
Integración por partes
x2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2
Volvemos a integrar por partes para calcular
f (x) = x ; f 0 (x) = 1 Z
g 0 (x) = cos x ; g(x) = cos xdx = sin x
Z
x cos xdx = x sin x ¡
Z
Z
Z
x cos xdx @
x cos xdx
sin xdx = x sin x + cos x + C @@
Sustituyendo @@ en @ tendremos:
Z
Z
2
2
x sin xdx = ¡x cos x + 2 x cos xdx = ¡x 2 cos x + 2(x sin x + cos x + C)
Z
x 2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C 0
Z
Z
x2
x
3. p
dx = x p
dx
2
1¡x
1 ¡ x2
f (x) = x ; f 0 (x) = 1
Z
p
x
x
0
p
g (x) = p
; g(x) =
dx = ¡ 1 ¡ x2
2
2
1¡x
1¡x
Z
Z
2
p
p
x
2
p
dx = ¡x 1 ¡ x +
1 ¡ x2 dx@
2
1
¡
x
Z
Z
Z
Z
p
1 ¡ x2
1
x2
1 ¡ x2 dx =
p
dx =
p
dx ¡
p
dx =
1 ¡ x2 Z
1 ¡ x2
1 ¡ x2
x2
p
arcsin x ¡
dx@@
1 ¡ x2
Sustituyendo @@ en @ tendremos:
Z
Z
p
x2
x2
2 + arcsin x ¡
p
p
dx
=
¡x
1
¡
x
dx + 2C
2
1¡x
1 ¡ x2
Observa que la integral p
inicial I aparece a ambos lados de la igualdad.
I = ¡x 1 ¡ x 2 + arcsin x ¡ I + 2C
Despejando Ipcomo si de una ecuación se tratase tendríamos
¡x 1 ¡ x 2 + arcsin x
I =
+ C (Integral cíclica)
2
2
La integración por partes, es muy útil para calcular integrales del siguiente tipo:
Integral
Elecci¶on
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
0
ln xdx
f (x) = ln x; g (x) = 1
Pn (x) ln xdx
f (x) = ln x; g (x) = Pn (x)
P (x)ex dx
f (x) = P (x); g (x) = ex
P (x) sin xdx
f (x) = P (x); g (x) = sin x
P (x) cos xdx
f (x) = P (x); g (x) = cos x
ex sin xdx
f (x) = sin x; g (x) = ex (Cíclica)
ex cos xdx
sec2p+ 1 xdx =
csc2p+ 1 xdx =
arctan xdx
0
0
0
0
0
0
Z
Z
f (x) = cos x; g (x) = e x (Cíclica)
0
sec2p¡1 x sec2 xdx
f (x) = sec2p¡1 x; g (x) = sec2 x (Cíclica)
csc2p¡1 x csc2 xdx
f (x) = csc2p¡1 x; g (x) = csc2 x (Cíclica)
0
0
f (x) = arctan x; g (x) = 1
0
Pn (x) arctan xdx
f (x) = arctan x; g (x) = Pn (x)
arcsin xdx
f (x) = arcsin x; g (x) = 1
Pn (x) arcsin xdx
Z
Z
sin 2 xdx = sin x sin xdx
Z
Z
2
cos xdx =
cos x cos xdx
Z
2
x
p
dx
1 ¡ x2
Z
2
x
p
dx
1 + x2
Z
2
x
p
dx
x2 ¡ 1
etc, etc,...
0
0
f (x) = arcsin x; g (x) = P n (x)
f (x) = sin x; g0 (x) = sin x (C¶{clica)
f (x) = cos x; g 0 (x) = cos x (C¶{clica)
f (x) = x; g 0 (x) = p
x
(C¶{clica)
1 ¡ x2
x
f (x) = x; g 0 (x) = p
(C¶{clica)
1 + x2
x
f (x) = x; g 0 (x) = p
(C¶{clica)
2
x ¡1
3
Chapter 1
1.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Integración por partes
Ejercicios de integracion por partes
Z
Z
x 2 ln xdx =1 13 (ln x) x3 ¡
R
x 2 sin xdx =2 ¡x 2 cos x + 2
1 2
x
3
Z
dx = 13 x 3 ln x ¡ 19 x3 + C
x cos xdx = 3
Volvemos
a integrar por partes la segunda integral considerando que:
½
f (x) = x
f 0(x) = 1
C on lo que
0
g (x) = cos x g(x) = sin x·
¸
Z
Z
x 2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2 x sin x ¡ sin xdx + C
Z
x 2 sin xdx = ¡x 2 cos x + 2 [x sin x + cos x] + C
Z
R
I =
x 2 cos xdx = 4 x 2 sin x ¡ 2 x sin x dx = 5 I = x 2 sin x ¡
¡
R
¢
2 ¡x cos x ¡ (¡ cos x) dx = x2 sin x ¡ 2 sin x + 2x cos x + C
Z
R
xexdx =6 xex ¡ ex dx = xex ¡ ex + C
Z
R
x 2e xdx =7 x 2 ex ¡ 2 xe x dx = 8
Z
R
¡
¢
x 2e xdx = x2 ex ¡ 2(xex ¡ ex dx) = ex x 2 ¡ 2x + 2 + C
Z
R
ex cos xdx =9 e x cos x + sin xex dx =
Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
>
< f (x) = ln x
f 0 (x) =
1
x
3
>
: g 0 (x) = x 2 g(x) = x
3
½
f (x) = x 2
f 0 (x) = 2x
0
= ¡ cos x
½ g (x) = sin x g(x)
f (x) = x
f 0 (x) = 1
0
x g(x) = sin x
½ g (x) = cos
f (x) = x 2
f 0 (x) = 2x
0(x) = cos x
g
g(x) = sin x
½
f (x) = x
f 0 (x) = 1
0
½ g (x) = sin x 0g(x) = ¡ cos x
f (x) = x
f (x) = 1
0(x) = ex
g
g(x) = e x
½
f (x) = x 2
f 0(x) = 2x
0(x) = ex
g
g(x) = e x
½
f (x) = x
f 0(x) = 1
0(x) = ex
g
g(x) = e x
½
f (x) = cos x f 0 (x) = ¡ sin x
g 0(x) = ex
g(x) = ex
4
Section 1.1
Ejercicios de integracion por partes
½
7.
f (x) = sin x f 0 (x) = cos x
Con lo que:
0
x
g(x) = e x
Z g (x) = e
R
ex cos xdx = ex cos x + ex sin x ¡ ex cos x dx Cíclica:
R x
Si
x dx tendrás
Z Despejas e cos
e x cos x + e x sin x
x
e cos xdx =
+C
2
Z
Z
e3x sin 4xdx = 10 13 e3x sin 4x ¡ 43
e3x ¢ cos 4xdx
Volvemos
a integrar por partes la segunda integral considerando que:
½
f (x) = cos 4x f 0 (x) = ¡4 sin 4x
C on lo que:
g 0 (x) = e3x
g(x) = 13 ex
Z
·
Z
¸
I =
e3x sin 4xdx = 13 e 3x sin 4x ¡ 43 13 e3x cos 4x + 43
e3x sin 4xdx : Cíclica:
8.
I = 13 e 3x sin 4x ¡ 49 e 3x cos 4x ¡ 16
9 I +C
1 3x
4 3x
Como 25
I
=
e
sin
4x
¡
e
cos
C; entonces:
9£
3
9
¤ 4x +
9
1 3x
4 3x
0 = ¡ 4 e3x cos 4x + 3 e3x sin 4x
I = 25
e
sin
4x
¡
e
cos
4x
+
C
3
9
25
25
Z
cos 4x cos 2xdx =
½
f (x) = cos 4x f 0(x) = ¡4 sin 4x
Consideramos
,con lo que
g 0 (x) = cos 2x g(x) = 12 sin 2x
Z
R
I =
cos 4x cos 2xdx = 12 sin 2x cos 4x + 2 sin 4x ¢ sin 2xdx
Volvemos
a integrar por partes la segunda integral considerando que:
½
f (x) = sin 4x
f 0 (x) = 4 cos 4x
Con lo que:
g 0 (x) = sin 2x g(x) = ¡ 12 cos 2x
£
¤
I = 12 sin 2x cos 4x + 2 ¡ 12 cos 2x sin 4x + 2I + C
I = 12 sin 2x cos 4x ¡ cos 2x sin 4x + 4I + C
¡3I = 12 sin 2x cos 4x ¡ cos 2x sin 4x
I = ¡ 16 sin 2x cos 4x + 13 cos 2x sin 4x + C 0
Z
R
2
9.
sin xdx = cos x cos xdx
Z
Z
2
10.
cos xdx = cos x cos xdx
Z
Z
11
11.
x cos xdx = x sin x ¡ sin xdx = x sin x + cos x + C
Z
12.
x sin(3x ¡ 2)dx
10
11
½
f (x) = sin 4x
0
3x
½ g (x) = e
f (x) = x
g 0(x) = cos x
f 0 (x) = 4 sin 4x
g(x) = 13 e3x
f 0 (x) = 1
g(x) = sin x
5
Chapter 1
13.
14.
15.
Z
Z
Z
Z
arctan xdx = x arctan x ¡
1
2
Integración por partes
¡
¢
ln x2 + 1
x arctan xdx = 12 x 2 arctan x ¡ 12 x +
arcsin xdx = x arcsin x +
1
2
arctan x
p
(1 ¡ x2 )
p
x arcsin xdx = 12 x 2 arcsin x + 14 x (1 ¡ x 2 ) ¡ 14 arcsin x
Z
R
17. I =
sec3 xdx = sec x sec2 xdx
8
< f (x) = sec x
f 0 (x) =Z sec x tan x
Consideramos
,con lo que:
sec2 xdx = tan x
: g 0 (x) = sec2 x g(x) =
Z
Z
¡
¢
I = sec x tan x ¡ sec x tan2 xdx = sec x tan x ¡ sec x sec2 x ¡ 1 dx =
Z
Z
Z
I =
sec3 xdx = sec x tan x + sec xdx ¡ sec3 xdx
16.
I = sec x tan x +Z ln jsec x + tan xj ¡ I + C
Despejando I = sec3 xdx tendremos
Z
sec x tan x + ln jsec x + tan xj
sec3 xdx =
+ C0
2
Z
Z
18.
csc3 xdx = csc x csc2 xdx
8
< f (x) = csc x
f 0 (x) =Z ¡ csc x cot x
Consideramos
,con lo que:
csc2 xdx = ¡ cot x
: g 0 (x) = csc2 x g(x) =
Z
Z
¡
¢
2
I = ¡ csc x cot x ¡ csc x cot xdx = ¡ csc x cot x ¡ csc x csc2 x ¡ 1 dx =
Z
Z
Z
I =
csc3 xdx = ¡ csc x cot x + csc xdx ¡ csc3 xdx
I = ¡ csc x cot xZ+ ln jcsc x ¡ cot xj ¡ I + C
Despejando I = csc3 xdx tendremos
Z
¡ csc x cot x + ln jcsc x ¡ cot xj
csc3 xdx =
+ C0
2
Z
Z
p
p
x2
19.
p
dx = 12 x x 2 ¡ 1 ¡
x2 ¡ 1dx
x2 ¡ 1
Z
Z
p
p
p
x2 ¡ 1
2
2
2
p
I = x x ¡1¡
x ¡ 1dx = x x ¡ 1 ¡
dx
x2 ¡ 1
12
f (x) = x ! f 0(x) = 1
Z
p
x
x
g 0 (x) = p
! g(x) =
p
dx = x2 ¡ 1
2
2
x ¡1
x ¡1
6
Section 1.1
Ejercicios de integracion por partes
Z
¯
¯
p
p
p
1
¯
¯
I = x x2 ¡ 1 ¡ I +
p
dx ! 2I = x x2 ¡ 1+ ln ¯x + (x2 ¡ 1)¯ + 2C
2 ¡1
x
¯
¯
p
p
¯
¯
x x 2 ¡ 1 + ln ¯ x + (x 2 ¡ 1) ¯
I =
+C
2
Z
Z
x3
1
x3
p
20.
x 2 arcsin xdx = 13
arcsin x ¡
dx
3
3
1 ¡ x2
Z
x3
1
x
x3
1
I =
arcsin x ¡
x2 ¢ p
dx =
arcsin x ¡ J
3
3
3
3
1 ¡ x2
Calculemos
J por partes
Z
Z
p
p
x
J = x2 ¢ p
dx = 14 ¡ x2 ¢ 1 ¡ x2 + 2 x ¢ 1 ¡ x2 dx
2
1¡x
q
3
2 (1 ¡ x2 )
p
J = ¡x 2 ¢ 1 ¡ x 2 ¡
+C
3p
2
2 p
2(1 ¡ x ) (1 ¡ x 2 )
2
J = ¡ 3x ¢3 1¡ x ¡
+C
3
p
(1 ¡ x 2 )
Sacando factor común
; tendremos:
3
p
¤
(1 ¡ x2 ) £
J =
¡3x2 ¡ 2(1 ¡ x 2 ) + C
¡ 23
¢p
¡x ¡ 2
(1 ¡ x2 )
J =
+C
3
Sustituyendo este valor
I tendremos
à en
!
¡ 2
¢p
¡x ¡ 2
(1 ¡ x2 )
x3
1
I =
arcsin x ¡
+ C0
3
3
3
p
p
I = 13 x 3 arcsin x + 19 x2 (1 ¡ x2 ) + 29 (1 ¡ x 2 ) + C 0
Z
Z
sin 2 x
sin x
21.
dx
=
sin x ¢
dx
3
cos x
cos3 x
8
< f (x) = sin x
f 0 (x) =Z cos x
sin
x
sin x
Consideramos
,con lo que:
g(x) =
dx = 12 sec2 x
: g 0 (x) =
3
3
cos x
cos x
Z
Z
sin2 x
1
1
I =
dx = 2 sec2 x ¢ sin x ¡ 2 sec2 x ¢ cos xdx
3
Z cos2 x
Z
sin x
1
1
I =
dx = 2 sec x ¢ tan x ¡ 2
sec xdx :
cos3 x
13
14
1
f (x) = arcsin x ! f 0 (x) = p
1 ¡ x2
Z
x3
g 0 (x) = x2 ! g(x) = x 2dx =
3
f (x) = x2 ; f 0(x) = 2x
Z
p
x
x
g 0 (x) = p
; g(x) =
p
dx = ¡ 1 ¡ x2
2
2
1¡x
1¡ x
7
Chapter 1
Integración por partes
Z
sin2 x
dx = 12 sec x ¢ tan x ¡ 12 ln jsec x + tan xj + C
cos3 x
Z
x2
x
22.
dx
=
x¢
dx
2
2
(1 + x ) 8
(1 + x 2 )2
< f (x) = x
f 0 (x) =Z 1
x
x
Consideramos
,con lo
1
g(x) =
dx = ¡ 2(1+x
: g 0 (x) =
2)
2
2
(1 + x )
(1 + x2 )2
que: Z
Z
x2
x
1
1
I =
dx = ¡ 2(1+x2 ) + 2
( 1+x2) dx
2 )2
(1
+
x
Z
x2
x
1
I =
dx = ¡ 2(1+x
2 ) + 2 arctan x + C
(1 + x 2 )2
Z
Z
cos2 x
cos x
23.
dx
=
cos x ¢
dx :
3
sin 3 x
sin
x
8
< f (x) = cos x
f 0 (x) =Z ¡ sin x
cos x
cos x
Consideramos
,con lo que:
g(x) =
dx = ¡ 12 csc2 x
: g 0 (x) =
3
3
sin
x
sin
x
Z
Z
cos2 x
1
2
1
I =
csc2 x ¢ sin xdx
3 dx = ¡ 2 csc x ¢ cos x ¡ 2
Z sin2 x
Z
sin x
I =
dx = ¡ 12 csc2 x ¢ cos x ¡ 12
csc xdx :
3x
cos
Z
2
sin x
I =
dx = ¡ 12 csc x cot x ¡ 12 ln jcsc x ¡ cot xj + C
cos3 x
I =
Z
8