UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Bahía Blanca Departamento Ingeniería Mecánica MECÁNICA RACIONAL Alumno: Langlois Emilio Profesor Titular: Dr. Ing. Liberto Ercoli TRABAJO FINAL -2009- Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 PROBLEMA 1: Cinemática y cinética del cuerpo rígido El eje de giro de la turbina mostrada es horizontal, y está alineada con el eje longitudinal del barco. Su masa es de 400 kg y esta montada sobre los rodamientos A y B. Su centro de masa es G y los radios de giro kx = ky= 0,5m; kz = 0.3 m. Gira a 200 rad/seg con respecto al barco, el cual está impreso de una rotación instantánea , correspondiente a los movimientos de rolido, viraje y cabeceo, respectivamente. a = 0,8 m b = 1.3 m 2 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Determinar: 1) Invariante escalar, vectorial y tipo de movimiento 2) Velocidad y aceleración de un punto que está situado a 25 cm por debajo de G 3) Energía cinética de la turbina 4) Reacciones en A y B cuando el barco sólo rola , vira o cabecea. Explicar los resultados en cada caso 5) Graficar el elipsoide de inercia en G. 3 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Resolución: 1) Invariante vectorial El vector rotación ω , es la resultante de todas las rotaciones que afectan al sistema y será la misma cualquiera sea el centro de reducción adoptado, por ello es que se le suele llamar invariante vectorial del sistema. Por lo dicho anteriormente, el invariante vectorial está dado por la expresión: Siendo las diferentes velocidades que afectan al sistema, que para nuestro caso de estudio son: ω1={0,0,0.2} ω2={0,0.8,0} ω3={1.4,0,0} ωt={0,0,200} De esta manera el invariante vectorial será: {1.4,0.8,200.2} Invariante escalar Los vectores velocidad de un sistema material rígido proyectados en un determinado instante sobre la dirección del vector rotación, son una constante que recibe el nombre de invariante escalar, y viene dado por: Donde Vi es la velocidad de cualquier punto del cuerpo y En nuestro caso como G es un punto del eje de rotación , 4 es el versor de . Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Los invariantes vectorial y escalar son de gran importancia ya que nos definen el tipo de movimiento. Si el invariante escalar es igual a cero, entonces hay dos posibilidades, que v sea perpendicular a o como en nuestro caso que G sea un punto del eje de rotación. El tipo de movimiento resultante que tenemos es un movimiento de rotación instantánea (rotaciones concurrentes). Decimos que las rotaciones son concurrentes cuando existe un punto (en nuestro caso G) al cual concurren todas. 2) Cálculo de velocidad y aceleración del punto P Para calcular la velocidad de P que se encuentra 25 cm por debajo de G utilizaremos la expresión: Donde es el vector desde G a P Y {1.4,0.8,200.2} = {50.05,0.,-0.35} El cálculo fue realizado por el método absoluto. A continuación vamos a comprobar que el invariante escalar antes calculado verifica el mismo resultado 5 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Suponiendo que no hay aceleración angular γ, la aceleración de P, es: También calculada por el método absoluto. 3) utilizando los radios de giro, sacamos los momentos de inercia Siendo m la masa y kx, ky, kz los radios de giro La expresión da la energía cinética para un sistema rígido : Donde Iwwg es el momento de inercia de la turbina respecto de su eje de rotación w. En nuestro caso al ser un movimiento de rotación la energía cinética queda resumida a: Como las componentes de la rotación coinciden con los ejes principales de inercia, la expresión anterior puede ser sustituida por: 4) Cálculo de las reacciones a) Cuando el barco sólo rola: En este caso el (de rolido) y (de la turbina) tienen la misma dirección por lo cual no se generan momentos dinámicos asociados, por lo tanto las reacciones que soporta el sistema son las estáticas, sólo el propio peso. 6 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 y el vector que va desde G a A y de G a B respectivamente. Siendo Con estos podemos calcular las reacciones y comprobar lo antes mencionado. Para el cálculo se utiliza el software Mathematica (a continuación se adjuntan los cálculos). {-1.3 Ray+0.8 Rby,1.3 Rax-0.8 Rbx,0} {{Ray→1493.33,Rby→2426.67}} {{Rax→0.,Rbx→0.}} rga y rgb están en metros y el peso en N, por lo cual las reacciones Rax, Ray, Rbx y Rby están en N. b) Cuando el barco sólo vira: A diferencia del caso anterior las rotaciones y (de viraje) forman entre sí un angulo de 90 grados produciendo un momento giroscópico en la dirección que vale y que origina las reacciones. Los cálculos se adjuntan a continuación: 7 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 {{Rax→0.,Rbx→0.,Ray→-1249.52,Rby→5169.52}} Como se puede observar las reacciones han cambiado, porque existe el momento giroscópico, produciendo un aumento de las reacciones. b) Cuando el barco sólo cabecea: Este caso es similar al anterior solo que y generan un momento en la dirección de originando reacciones dinámicas horizontales solamente. {{Rax→-4800.,Rbx→4800.,Ray→1493.33,Rby→2426.67}} 8 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Cabe destacar que a la hora de dimensionar o calcular reacciones es muy importante tener en cuenta los efectos que produce la disposición de las rotaciones ya que las fuerzas en juego pueden aumentar considerablemente debido a los momentos giroscópicos. En la vida cotidiana es frecuente que estos efectos se crucen, un ejemplo de esto puede ser cuando utilizamos una amoladora de mano, cuando la giramos (cambiamos la dirección de la velocidad de rotación propia o espín mediante una presesión), podemos sentir que la amoladora tiende a irse de nuestras manos, producto del momento giroscópico resultante. 5) Elipsoide de inercia en G La geometría del elipsoide de inercia define por completo las propiedades Inerciales del cuerpo respecto de cualquier punto. Es decir, representa gráficamente el tensor de inercia en un punto Ahora: es la expresión de una superficie cuádrica centrada en G. Según nuestro tensor de inercia, resulta reemplazando en la expresión anterior Además, la ecuación canónica de un elipsoide es: Siendo a, b y c los semiejes del elipsoide 9 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Finalmente, mediante el paquete Graphics`ContourPlot3D` del software Mathemática 7.0, realizamos la gráfica del elipsoide de inercia. A continuación se adjunta la hoja de cálculo para la obtención de dicha gráfica: 10 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Proyección en el plano x-y: y 0.2 0.1 0.0 x 0.1 0.2 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 Proyección en el plano z-x z 0.2 0.1 0.0 x 0.1 0.2 0.2 0.1 0.0 11 0.1 0.2 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Proyección en el plano z-y z 0.2 0.1 0.0 y 0.1 0.2 0.2 0.1 0.0 12 0.1 0.2 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 PROBLEMA 2: Vibraciones mecánicas El motor eléctrico de masa M = 30 kg descansa en reposo sobre un aislador de vibraciones compuesto por cuatro resortes en paralelo, cada cual con una rigidez k = 200 N/m y un amortiguador cuyo factor de amortiguamiento es c/cc = 0,15. Si el motor R no está balanceado, de modo que el efecto sea equivalente al de una masa m = 4 kg localizada 60 mm fuera del eje de rotación, y gira a una velocidad angular w = 10 rad/seg, determinar: a) Ecuación del movimiento de M b) Fuerza en el resorte y el amortiguador cuando t = 1 seg c) Frecuencia circular reducida y pseudoperíodo d) Ley horaria del movimiento estable de M si en t = 0 es x = 0,1 m y v = 0. Graficar y(t), v(t) y a(t) 13 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 e) Ubicar la condición de funcionamiento del motor en las gráficas de amplitud: wf/wn-c/cc y fase: wf/wn-c/cc a) Consideremos el sistema mecánico Amortiguador-Masa-Resorte Fo cos wf t Utilizando la segunda Ley de Newton del movimiento: la aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir F=ma Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la masa en el modelo surge que sobre dicha masa actúan tres fuerzas: la fuerza del resorte (FR), la fuerza del amortiguador (FR) y una fuerza externa (FE). Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las fuerzas tanto del resorte como del amortiguador: 14 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Resorte FR = k (y2 − y1) Amortiguador Con la hipótesis simplificativa de que la fuerza del amortiguamiento viscoso es proporcional a la velocidad. FA = c (y’2− y´1) Donde k y c son las constantes del resorte y el amortiguador respectivamente y las comillas indican derivadas con respecto al tiempo. Atendiendo a lo anterior y apoyados en la segunda ley de Newton del movimiento, tendremos pues que si queremos analizar el desplazamiento vertical de la masa, el modelo matemático que lo describe se obtiene como sigue - Fr – Fa + Fe(t) = m a 15 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Como FR = k y FB = c y’ a = y’’ Entonces M y’’+ c y’ + ky = FE(t) Donde m, k y c son constantes y FE es la fuerza externa (excitación del sistema). La anterior es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes no homogénea en general. En caso de que FE = 0 se dice que es un movimiento libre mientras que si FE 0 se define como un movimiento forzado. En el caso de nuestro problema, la fuerza de excitación es distinta de cero por lo cual estamos en un caso de vibración forzada. Los datos del problema son los siguientes: M = 30 kg K = 200 N/m m = 4kg e = 60mm w = wf = 10rad/seg Los cuatro resortes están colocados en paralelo, por lo cual la K equivalente es: Keq = 800 N/m La frecuencia circular natural del sistema viene dada por: Wn= = 5,16 rad/seg Se la llama natural porque es la frecuencia propia con la que vibra el sistema al dejarlo libre. 16 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Como ya habíamos mencionado anteriormente la ecuación de movimiento de M es: (1) Para resolver esta ecuación nos falta encontrar: c y F0 Siendo c y cc el coeficiente de amortiguamiento y amortiguamiento crítico respectivamente, con estos datos podemos resolver la ecuación diferencial: y[t] = yh[t] + yp[t] La solución de la homogénea va a ser calculada con el software Mathematica: {{y[t] t]}} -0.774597 t C[2] Cos[5.10555 t]+ -0.774597 t C[1] Sin[5.10555 Donde C[1]y C[2] son las constantes de integración Pasamos a determinar una solución particular de la no-homogénea . Proponemos como solución a: . Por consiguiente: 17 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Reemplazando en: Igualando los coeficientes de los senos y cosenos: Resolvamos este sistema: multiplicamos a la primer ecuación por Sumando m. a m. obtenemos 18 y la dividimos por Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 - Si c = 0, obtenemos la solución correspondiente a “Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento”. En efecto resulta: B=0 y La solución general de la ecuación homogénea asociada a la ecuación (1) con c = 0, es: Y así llegamos a la solución del problema c = 0 que es la de las vibraciones forzadas de un sistema no amortiguado. - Si c ≠ 0 Vamos ahora al caso general en el que existe un amortiguamiento viscoso c. La solución particular yp de (1) viene dada por: 19 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 (2) en nuestro caso La solución de la ecuación es Y[t] = yh[t] + yp[t] = Con las condiciones iníciales podremos determinar las constantes. b) La fuerza en el resorte cuando t = 1 seg, es: FR = 6.04982 N La fuerza en el amortiguador cuando t = 1 seg, es proporcional a la velocidad; con el Mathematica obtenemos la derivada de la posición y 0.0220613 Cos[10 t]+0.10443 Sin[10 t] = -0.0753233 Fa= -0.0112985 Por lo tanto para la fuerza del resorte como para la del amortiguador se utiliza la parte particular de la resolución de la ecuación diferencial (yp). 20 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 c) β es la frecuencia circular natural reducida y como , cuanto más pequeño es c, es mayor β y por lo tanto las oscilaciones, más rápidas. T es el pseudoperíodo = Nótese que cuando y resulta el movimiento de vibraciones libres sin amortiguamiento. En nuestro caso β= 5.10555 y T= 1.23066[seg] d) Gráfica del movimiento de M: 21 Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Y 0.10 0.05 1 2 3 4 5 2 3 4 5 t seg 0.05 m V seg 0.2 1 0.2 0.4 22 t seg Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio a Mecánica Racional 2009 m seg2 3 2 1 1 2 3 4 5 1 Para realizar las gráficas fue utilizado el software Mathematica 7.0; derivando la posición de la solución de la ecuación diferencial (y(t)), obteniendo la velocidad de M y derivando nuevamente, su aceleración. 23 t seg Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 f) En nuestro caso, se puede observar que estamos lejos de la zona de resonancia ( , condición indeseada), obteniendo un valor del coeficiente de amplificación menor a 0,5. Significa que la fuerza aplicada dinámicamente es menos de la mitad que si se la aplicara estáticamente. Esta gráfica es la correspondiente a M 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 f 0.5 1.0 1.5 24 2.0 2.5 3.0 n Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 rad 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 f 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Este gráfico de fases indica que el desfasaje entre la entrada al sistema FE(t) y la salida y(t), es cercano a los 180 grados. 25 n Ingeniería Mecánica U.T.N.-F.R.B.B Langlois Emilio Mecánica Racional 2009 Software utilizados: • Microsoft Word 2007 • Mathemática 7.0 Bibliografía • Monografía de la Cátedra, Mecánica Racional, Prof. Ing. Liberto Ercoli, 2007. • Dinámica, Mecánica para ingenieros; Meriam J.L., Reverte. • Dinámica, Ingeniería Mecánica; R.C.Hibbeler • Mecánica; Luis Roque Argüello, Answer Justin Time. • Dinámica, Mecánica para ingenieros; Shames Irving H., Prentice-Hall. • Mecánica Vectorial; Beer-Johnston. 26