Trabajo Final Seminario de Matemáticas

Seminario de Matemáticas. Pablo Isaza (201124945) Daniel Laverde (201126496) Juan Pablo Henao (201124924) Seminario matemáticas: “Una Relación entre la Geometría y el álgebra” Autor: José Ricardo Arteaga. Fecha: Agosto 22, 2011. Introducción: El tema de la conferencia, era la relación existente entre la geometría y el álgebra. Antes de comenzar a hablar sobre lo anterior, el autor de la conferencia define los conceptos necesarios para entender la charla, y brinda una breve historia de la evolución del estudio de la geometría. Realizaremos un pequeño resumen de lo anterior. El Primer acercamiento hacia la geometría, se ubica en el siglo III AC con el documento Los Elementos de Euclides, en el que se realizan los fundamentos de la geometría. Posteriormente, Nikolái Ivánovich Lobatchevski escribió lo que tituló Los nuevos elementos de la geometría, esto dió paso a una nueva geometría considerada no eucludiana llamada geometría de Lobatchevski o geometría hiperbólica. En 1872 Felix Klein propuso un trabajo de investigación en la universidad de Erlangen. En esta propuso una solución para clasificar las geometrías existentes sobre la base de geometría proyectiva. (Arteaga, 2011). Luego de introducir a estos autores, se da una breve explicación del término geometría. Una de las definiciones de geometría podría ser el estudio de objetos en un espacio. Por lo anterior, para estudiar una geometría se debe tener en cuenta: un espacio, los objetos que estudiaremos en ese espacio, y las relaciones o transformaciones de estos objetos. (Arteaga, 2011) . Desarrollo y profundización de la conferencia Para la presente documentación de la conferencia, hemos dividido la presentación en tres partes en las que se explicará el tema de la relación entre geometría y álgebra. En el presente texto, hemos decidido trabajar con mayor profundidad la recta proyectiva, que el de plano proyectivo. La razón de lo anterior, es que en la presente representación del seminario se busca mostrar cuidadosamente y de manera especifica, la construcción de la geometría alrededor del álgebra. No obstante al final de la documentación se hará referencia también a los conceptos también mencionados en la presentación y que son igualmente importantes en su desarrollo. Primera Parte: Un buen comienzo para entender la relación entre geometría y álgebra, es definir el Grupo Lineal GL (2), el cual se define de la siguiente forma: 1 𝑎 𝑏
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ ∶ 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 Esto es el conjunto de todas las 𝑐 𝑑
matrices 2x2 con determinante diferente de cero. Seguido de la definición podemos ver que el Grupo Lineal (GL(2)) es un grupo bajo la operación producto (*). Para ver que un conjunto es un grupo bajo una operación debemos ver que se cumplen las siguientes tres condiciones: i) La operación es asociativa. ii) Existe un elemento de identidad. iii) Existen un elemento inverso. Demostrsción: Para demostrar que GL(2) es un grupo bajo *, verificaremos que se cumplen las tres condiciones mencionadas. i) Para ver que la multiplicación de elementos de GL(2) es asociativa consideremos las siguientes tres matrices: 𝑝 𝑞
𝑥 𝑦
𝑎 𝑏
A=
B=
C=
𝑢 𝑟
𝑤 𝑧
𝑐 𝑑
Queremos ver que: (A*B)*C=A*(B*C). Comencemos por el lado de la derecha realizando la multiplicación A*B: 𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧
𝑝 𝑞
𝑥 𝑦
A*B=
∗
= 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 𝑢𝑦 + 𝑟𝑧 𝑢 𝑟
𝑤 𝑧
Ahora veamos: (A*B)*C: 𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧
𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧
𝑎 𝑏
𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 𝑢𝑦 + 𝑟𝑧 ∗ 𝐶 = 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 𝑢𝑦 + 𝑟𝑧 ∗
𝑐 𝑑
𝑎 𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 + 𝑐(𝑝𝑦 + 𝑞𝑧) 𝑏 𝑝𝑥 + 𝑞𝑤 + 𝑑(𝑝𝑦 + 𝑞𝑧)
=
𝑎 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 + 𝑐(𝑢𝑦 + 𝑟𝑧) 𝑏 𝑢𝑥 + 𝑟𝑤 + 𝑑(𝑢𝑦 + 𝑟𝑧)
Finalmente tenemos: 𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑞𝑤 + 𝑐𝑝𝑦 + 𝑐𝑞𝑧 𝑏𝑝𝑥 + 𝑏𝑞𝑤 + 𝑑𝑝𝑦 + 𝑑𝑞𝑧
(A*B)*C=
𝑎𝑢𝑥 + 𝑎𝑟𝑤 + 𝑐𝑢𝑦 + 𝑐𝑟𝑧 𝑏𝑢𝑥 + 𝑏𝑟𝑤 + 𝑑𝑢𝑦 + 𝑑𝑟𝑧
Ahora Realicemos la operación A*(B*C) con el fin de demostrar que como resultado se obtiene la misma matriz obtenida anteriormente y resaltada en amarillo. 𝑥 𝑦
𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑
𝑎 𝑏
𝐵∗𝐶 =
∗
=
𝑤 𝑧
𝑐 𝑑
𝑤𝑎 + 𝑧𝑐 𝑤𝑏 + 𝑧𝑑
Ahora veamos: A*(B*C): GL(2)=
2 𝑝 𝑞 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑
𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑
=
𝑢 𝑟 𝑤𝑎 + 𝑧𝑐 𝑤𝑏 + 𝑧𝑑
𝑤𝑎 + 𝑧𝑐 𝑤𝑏 + 𝑧𝑑
𝑝 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 + 𝑞(𝑤𝑎 + 𝑧𝑐) 𝑝 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑 + 𝑞(𝑤𝑏 + 𝑧𝑑)
=
𝑢 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 + 𝑟(𝑤𝑎 + 𝑧𝑐) 𝑢 𝑥𝑏 + 𝑦𝑑 + 𝑟(𝑤𝑏 + 𝑧𝑑)
𝑝𝑥𝑎 + 𝑝𝑦𝑐 + 𝑞𝑤𝑎 + 𝑞𝑧𝑐 𝑝𝑥𝑏 + 𝑝𝑦𝑑 + 𝑞𝑤𝑏 + 𝑞𝑧𝑑
=
𝑢𝑥𝑎 + 𝑢𝑦𝑐 + 𝑟𝑤𝑎 + 𝑟𝑧𝑐 𝑢𝑥𝑏 + 𝑢𝑦𝑑 + 𝑟𝑤𝑏 + 𝑟𝑧𝑑
Podemos ordenar los términos de la anterior matriz teniendo en cuanta que la multiplicación es conmutativa: 𝑎𝑝𝑥 + 𝑐𝑝𝑦 + 𝑎𝑞𝑤 + 𝑐𝑞𝑧 𝑏𝑝𝑥 + 𝑑𝑝𝑦 + 𝑏𝑞𝑤 + 𝑑𝑞𝑧
=
𝑎𝑢𝑥 + 𝑐𝑢𝑦 + 𝑎𝑟𝑤 + 𝑐𝑟𝑧 𝑏𝑢𝑥 + 𝑑𝑢𝑦 + 𝑏𝑟𝑤 + 𝑑𝑟𝑧
Finalmente podemos ordenar los términos de la anterior matriz teniendo en cuenta que la suma es conmutativa: 𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑞𝑤 + 𝑐𝑝𝑦 + 𝑐𝑞𝑧 𝑏𝑝𝑥 + 𝑏𝑞𝑤 + 𝑑𝑝𝑦 + 𝑑𝑞𝑧
A*(B*C)=
𝑎𝑢𝑥 + 𝑎𝑟𝑤 + 𝑐𝑢𝑦 + 𝑐𝑟𝑧 𝑏𝑢𝑥 + 𝑏𝑟𝑤 + 𝑑𝑢𝑦 + 𝑑𝑟𝑧
Hemos obtenido la misma matriz que resultaba de la multiplicación (A*B)*C luego podemos concluir que (A*B)*C= A*(B*C) entonces la operación producto es asociativa. ii) A continuación revisamos la propiedad de identidad, esto quiere decir que existe en GL(2) un elemento de identidad (también llamado neutro) tal que al multiplicar cualquier matriz de GL(2) por el elemento neutro, obtenemos la misma matriz. Para esto, queremos ver que dada una matriz A, y una identidad I se tiene que A*I=A, y I*A=A Para empezar tomamos las siguientes matrices: 𝑝 𝑞
1 0
A=
I=
𝑢 𝑟
0 1
Queremos ver lo propuesto anteriormente y para ello realizamos el producto entre A e I: 𝑝 𝑞
𝑝 𝑞
1∗𝑝+0∗𝑞 0∗𝑝+1∗𝑞
1 0
A*I=
∗
=
=
𝑢 𝑟
𝑢 𝑟
0 1
1∗𝑢+0∗𝑟 0∗𝑢+1∗𝑟
Para que la demostración este completa es necesario verificar el sentido opuesto de la operación producto entre I y A: 𝑝 𝑞
1𝑝 + 0𝑞 0𝑝 + 1𝑞
1 0 𝑝 𝑞
I*A=
*
= =
𝑢 𝑟
0 1 𝑢 𝑟
1𝑢 + 0𝑟 0𝑢 + 1𝑟
A*(B*C)=𝐴 ∗
3 Claramente I pertenece a GL(2), pues 1 y 0 son números reales, y el determinante de esa matriz es 1, y por lo tanto diferente de cero. Luego la matriz I es identidad de GL (2). iii) Finalmente veamos la propiedad de inverso, esto quiere decir que para cada matriz que pertenece a GL(2) existe una matriz inversa (𝐴!! ) tal que A*𝐴!! =I Para realizar dicho procedimiento podemos tomar cualquier matriz de la forma: 𝑎 𝑏
A=
y hallamos su inversa. 𝑐 𝑑
Para hallar la inversa de una matriz, tomamos el producto entre el inverso del determinante y la matriz resultante al multiplicar b y c por -­‐1 e intercambiar las posiciones entre a y d. Cuando lo operamos el resultado es el siguiente: 𝑑
−𝑏
1
𝑑
−𝑏
− 𝑐𝑏 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏 𝐴!! =
= 𝑎𝑑−𝑐
𝑎
𝑎𝑑 − 𝑐𝑑 −𝑐 𝑎
𝑎𝑑 − 𝑐𝑏 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
Verifiquemos ahora que en efecto, la matriz mencionada es la inversa de A, multiplicando ambas para ver si obtenemos la matriz de identidad: A*𝐴!!
𝑎
=
𝑐
𝑏
*
𝑑
!
!!
!"!!"
!!
!"!!"
!
!"!!"
!"!!"
=
!"!!"
!!"!!"
!"!!"
!"!!"
!"!!"
!!"!!"
!"!!"
!"!!"
=
1 0
= 𝐼 0 1
Teniendo en cuenta el procedimiento anterior, podemos concluir que para cualquier matriz de 2x2 que pertenezca a GL (2) es posible encontrar su inversa y operándola con la matriz original obtenemos la matriz de identidad. Hemos visto que GL(2) bajo la operación producto, cumple con las tres condiciones mencionadas anteriormente, luego podemos decir que es un grupo, y lo representamos de la siguiente forma: <GL(2), *>.∎ Seguido de el grupo Lineal GL(2) procedemos a definir el conjunto de matrices escalares que lo representaremos con la letra Τ. T= 𝐵 ∈ 𝐺𝐿 2 ∶ 𝐵 = 𝜆𝐼, 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠ 0 Es decir el conjunto de todas las matrices 𝜆 0
B=
Donde 𝜆 es un número real. 0 𝜆
Para continuar, demostraremos que T es un subgrupo de GL(2) bajo la operación producto, esto significa que cumple con las siguientes características: i) T es subconjunto de GL(2) (T⊆GL(2)). ii) T también es un grupo bajo la operación * iii) I pertenece a T (I∈ 𝑇). iv) T es diferente de vacío (T≠ ∅). 4 v) T es cerrado bajo *, esto es que para cualquier par de matrices en T, al ser multiplicadas estas dos, el resultado es otra matriz que pertenece a T. Demostración: i) Veamos que cualquier elemento en T, también pertenece a GL (2). Habíamos visto que los elementos de T son matrices de la forma: 𝜆 0
dónde 𝜆 es un número real diferente de cero. Tenemos que el determinante 0 𝜆
de cualquier matriz de este tipo es 𝜆! y es diferente de cero, puesto que lambda es diferente de cero (por definición). Así que tenemos que cualquier elemento que pertenece a T, es una matriz 2x2 con determinante diferente de cero, y sabemos que lambda y cero son números reales, luego se cumplen las dos características necesarias para pertenecer a GL(2), y por lo tanto todo elemento de T pertenece a GL(2). ii) Para ver que T también es un grupo bajo la operación *, es suficiente con ver que las matrices en T , no son más que casos específicos de matrices que pertenecen a GL(2). En la demostración anterior habíamos visto que todos los elementos de GL(2) cumplen las características necesarias para considerar a GL(2) como un grupo luego T también cumple esas características. iii) Habíamos visto que I era la matriz: 1 0
𝜆 0
I=
, En particular, I es de la forma: dónde lambda es igual a 1, y 1 es un 0 1
0 𝜆
número real, luego I pertenece a T. iv) Acabamos de ver que I pertenece a T, luego necesariamente T es diferente de vacío, pues al menos un elemento pertenece (I). Además existen muchos elementos más que pertenecen a T, pues a T pertenecen matrices de la forma ya mencionada, y se puede tomar lambda como cualquier número real. v) Tomemos cualesquiera dos matrices que pertenezcan a T: 𝜏 0
𝜆 0
A=
B=
dónde 𝜆, 𝜏 ∈ ℝ 0 𝜆
0 𝜏
𝜏 0
𝜆 0
𝜆𝜏 0
A*B=
* = Como 𝜆, 𝜏 son números reales diferentes de cero, 0 𝜆
0 𝜏
0 𝜆𝜏
la multiplicación entre ellos también es un número real diferente de cero, luego el producto de ambas matrices también pertenece a T. Como T cumple con todas las características mencionadas, T es un subgrupo de GL (2). ∎ Segunda Parte: Para continuar, veremos la definición de un subgrupo normal de un grupo. 5 A) Definición: Dado un grupo G, y un subgrupo N (de G), decimos que N es un subgrupo normal de G, si N es un subgrupo invariante por conjugación. Esto es, se cumple que ∀ 𝑛 ∈ 𝑁, ∀ 𝑔 ∈ 𝐺 Se tiene que 𝑔!! ∗ 𝑛 ∗ 𝑔 ∈ N. B) De esta forma se puede demostrar que T es un subgrupo normal de GL(2) Demostración: Veamos: Sean A ∈ GL(2) y C ∈ T, Se tienen las siguientes matrices 𝑎
A=
𝑐
𝑏 !!
𝐴 = 𝑑
!
!!
!"!!"
!!
!"!!"
!
!"!!"
!"!!"
C=
𝜆 0
0 𝜆
Realizando la multiplicación correspondiente se tiene: !!
𝐴
∗ C ∗ A= = !
!!
!"!!"
!!
!"!!"
!
!"!!"
!"!!"
!"#!!"#
!"#!!"#
!"!!"
!!"#!!"#
!"!!"
!!"#!!"#
!"!!"
!"!!"
𝜆 0
𝑎
∗
∗ 0 𝜆
𝑐
!"#!!"#
= !"!!"
0
𝑏
= 𝑑
0
!!"#!!"#
!
!!
!"!!"
!!
!"!!"
!
!"!!"
!"!!"
∗
𝜆𝑎
𝜆𝑐
𝜆𝑏
𝜆𝑑
Tenemos nuevamente una matriz de !"!!"
la forma de las matrices que pertenecen al conjunto de matrices escalares, pues las fracciones que aparecen en la última matriz son números reales, puesto que todos los números que hacen parte de estas también los son. Luego podemos decir que el resultado de la multiplicación mencionada es una matriz que pertenece a T. Concluimos que T es un subgrupo normal de GL(2). ∎ C) Ahora Definiremos el Grupo Proyectivo (PGL (1)) cómo un conjunto cociente. Definición: PGL (1) = GL(2)/T Esto es un Conjunto cuyos elementos son clases de equivalencia, que a su vez son conjuntos de elementos equivalentes mediante una relación. Para explicar lo anterior de una mejor forma establezcamos una relación de equivalencia (~) entre elementos de GL(2). Dados dos elementos 𝑔, ℎ ∈ 𝐺𝐿 2 Decimos que 𝑔 𝑦 ℎ están relacionados(𝑔~ ℎ) si y solo si existe una matriz 𝑡 ∈ T tal que 𝑔 = 𝑡 ∗ ℎ. Podemos ver, que la relación mencionada, es en efecto una relación de equivalencia: Proposición: ~ es una relación de equivalencia, esto es, es una relación reflexiva, simétrica, y transitiva. i) Reflexividad: Veamos que para toda matriz A ∈ GL(2), A ~ A. Esto es, Existe 𝑡 ∈ T tal que A=t*A. En realidad, basta con tomar t=I, que como ya vimos cualquier matriz de GL(2) al ser multiplicada por la identidad, el resultado es la matriz original. ii) Simetría: Veamos que para todas las matrices en GL(2), si A ~ B, entonces, B~ A. 6 Para esto Tomemos las matrices: 𝑝 𝑞
𝑥 𝑦
A=
B=
𝑢 𝑟
𝑤 𝑧
Si A ~ B entonces existe una matriz 𝑡 ∈ T tal que A=𝑡 ∗ B, es decir: 𝑝 𝑞
𝑥 𝑦
𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝜆 0
= ∗
= 𝑢 𝑟
𝑤 𝑧
0 𝜆
𝜆𝑤 𝜆𝑧
Ahora necesitamos encontrar una matriz en GL(2) tal que B=t’ * A, para esto tomemos t’=𝑡 !! . !
𝑡
!!
=
!
0
Tenemos: 0
!
!
Se tiene que 𝑡 !! pertenece a T, pues ! es un número real. !
1
0
𝜆𝑥
𝜆
∗
1
𝜆𝑤
0
𝜆
𝑥
𝜆𝑦
=
𝑤
𝜆𝑧
𝑦
= 𝐵 𝑧
De esta forma B~ A. Finalmente tenemos que si A ~ B también se tiene que B~ A, por lo tanto, la relación es simétrica. iii) Transitividad: Veamos que si A ~ B y B ~ C Entonces. A~ C. Tenemos A=t * B y B=t’ * C luego tenemos que A= t * (t’ * C) y por asociatividad de la operación antes demostrada, tenemos A=(t*t’) * C. En Donde t*t’, es una matriz escalar puesto que tanto t como t’ lo son, luego el producto entre ellas también lo es. Así que tenemos: A ~ C. Por lo tanto ~ es una relación transitiva. Finalmente concluimos que ~ es una relación de equivalencia, pues es una relación, reflexiva, simétrica y transitiva. De esta forma se pueden crear clases de equivalencia entre diferentes elementos de GL(2), y el Grupo proyectivo se define como el conjunto de todas estas clases de equivalencia. Para poner un ejemplo concreto, podemos tomar las siguientes matrices: 2 1
4 2
A= y B= Tenemos B ~ A pues B=t*A en dónde 1 1
2 2
2 0
t= 0 2
D) Finalmente se define la Recta Proyectiva (P1). 7 Antes de definir la Recta proyectiva, definiremos los puntos Proyectivos. Definición: Un punto proyectivo es una recta euclidiana que en un plano cartesiano pasa por el origen. De esta manera se puede definir la Recta Proyectiva: Definición: La Recta Proyectiva es el conjunto de puntos proyectivos. En este punto es importante mencionar, que existen múltiples modelos de representar la recta proyectiva, y muchas veces se puede representar únicamente cómo el conjunto de todas las rectas euclidianas, que pasan por el origen, no obstante, para las posteriores demostraciones, se introducirá el siguiente modelo. Uno de los modelos más comunes para representar la Recta Proyectiva, es representar cada punto proyectivo, mediante un sistema de coordenadas en el que se presenta explícitamente la coordenada en el eje x que corresponde al corte de cada punto proyectivo con la recta y=1. De esta forma, cada punto proyectivo puede representarse de la forma (α,1) dónde α es un número real. Puesto que los puntos proyectivos se definieron como las rectas que pasaban por el origen, basta mencionar sólo el punto de intersecto con la recta y=1 puesto que el punto (0,0) se toma por conocido para cualquier punto proyectivo. No obstante el anterior modelo deja por fuera un punto proyectivo: la recta y=0. El anterior punto proyectivo se conoce cómo un punto al infinito, y se representa de la siguiente forma: (β,0) dónde β es un número real. Tercera Parte: En la tercera parte es dónde se evidencia la relación entre la geometría y el algebra. Para ver esto primero se definirán las transformaciones proyectivas. A) Transformaciones proyectivas: Definición: Una Transformación proyectiva (también llamada Homografía) es el resultado de multiplicar una matriz de transformación perteneciente a PGL(2) (Se puede seleccionar cualquier matriz de una clase de equivalencia) por un punto proyectivo. Lo anterior se conoce cómo la acción de PGL(2) sobre la recta proyectiva. Para mostrar la anterior utilicemos un ejemplo: Sean A una matriz perteneciente a PGL (2), y P un punto proyectivo: !
𝑎 𝑏
A=
P= ! Tenemos, podemos realizar el producto A*P: 𝑐 𝑑
!"!!
𝑎 𝑏
∗ 𝛼
=
= 𝑃 El resultado es la transformación proyectiva de la 1
!"!!
𝑐 𝑑
matriz de transformación A, sobre el punto proyectivo P, y se simboliza 𝑃. 8 Antes habíamos visto que para estudiar geometría, se deben tener en cuenta los objetos en el espacio, y las transformaciones entre ellos. Así, podemos considerar los puntos proyectivos, como los objetos de estudio, y como vimos siempre se le puede hacer una transformación a cada punto, esto es un movimiento cuyo resultado es transformar un punto proyectivo, en otro. Por otro lado, hemos visto cómo se puede considerar a GL(2) como un grupo, ya a la recta proyectiva como GL(2) partido por una relación de equivalencia, lo que se considera la fundamentación algebraica. De este modo, cuando realizamos una transformación, siempre se están teniendo en cuenta tanto los objetos del espacio, como la fundamentación algebraica de PGL(2). En este momento, es dónde se encuentra la relación más cercana entre geometría y álgebra. En el final de la conferencia, se definieron los conceptos de razones simples y razones dobles: B) Definamos Razones Simples y Razones Dobles: Cómo ya vimos los puntos proyectivos se pueden representar mediante su coordenada en x que corresponde al punto de corte entre el punto proyectivo y la recta y=1. Esta coordenada en x se simbolizará mediante una minúscula según corresponde a cada punto. Por ejemplo para el punto proyectivo A, se tomará a como esta coordenada. De esta forma podemos definir razones simples y razones dobles: Definición: Razón Simple. Para tres puntos proyectivos A, B y C la razón simple ((ABC)) se define cómo: !!!
(ABC)=
!!!
Definición: Razón Doble. Para cuatro puntos proyectivos A,B,C,D la razón doble ((ABCD)) se define cómo: (ABCD)=
(!"#)
(!"#)
= !!!
!!!
!!!
!!!
= (!!!)(!!!)
(!!!)(!!!)
C)A Partir de lo anterior, se puede plantear la siguiente proposición: Proposición: La Razón Doble es una invariante de las transformaciones proyectivas. Esto quiere decir, que si se toman cuatro puntos, la razón doble de ellos no cambiará si se les aplica una transformación. Para demostrar la anterior proposición realizaremos el siguiente procedimiento: Dados los siguientes cuatro puntos proyectivos A,B,C,D y la matriz de transformación P: 𝑤 𝑥
!
!
!
!
A= ! , B= ! , C= ! , D= ! , P= 𝑦 𝑧 9 Se tiene que: (!!!)(!!!)
(ABCD)=
(!!!)(!!!)
A la vez podemos transformar cada punto con la matriz de transformación: 𝐴=
𝑤𝑎 + 𝑥
𝑤𝑏 + 𝑥
𝑤𝑐 + 𝑥
𝑤𝑑 + 𝑥
,𝐵 =
,𝐶 =
𝐷=
𝑦𝑎 + 𝑧
𝑦𝑏 + 𝑧
𝑦𝑐 + 𝑧
𝑦𝑑 + 𝑧
Y podemos calcular su respectiva razón doble: (𝐴𝐵𝐶𝐷) = = (!"!!! !"!! )(!"!!!(!"!!))
(!"!!!(!"!!))(!!!!!(!"!!))
= (!"!!")(!"!!")
(!"!!")(!"!!")
𝑤 𝑑 − 𝑏 𝑤(𝑐 − 𝑎) (𝑑 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎)
(𝑐 − 𝑎)(𝑑 − 𝑏)
=
= 𝑤 𝑑 − 𝑎 𝑤(𝑐 − 𝑏) (𝑑 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏)
(𝑐 − 𝑏)(𝑑 − 𝑎)
Al final obtenemos la misma razón doble que la de los puntos sin transformación. Se tiene que la razón doble es igual para las puntos proyectivos, y para sus transformaciones. Concluimos que la razón doble es una invariante de las transformaciones proyectivas. Nuevamente tenemos un caso en el que podemos observar la construcción de la geometría alrededor del álgebra, pues en el caso de la razón doble como invariante de las transformaciones proyectivas se están considerando puntos proyectivos (objetos geométricos) y sus transformaciones a partir de matrices de GL(2) como un grupo bajo la operación producto, que es una fundamentación algebraica. D) Finalmente veamos un ejemplo gráfico de lo anterior. Dados los siguientes puntos y la siguiente matriz de transformación (P): !!
!!
!
!
1 3
A= ! , B= ! , C= ! , D= ! , P=
1 6
Podemos calcular sus respectivas transformaciones: 𝐴=
−1
2
4
6
,𝐵 =
,𝐶 =
,𝐷 =
2
5
7
9
A continuación se representan en un plano cartesiano los puntos proyectivos mencionados (en azul) mediante el modelo establecido, y sus respectivas transformaciones (en verde). La línea roja indica la recta y=1, establecida en el modelo de representación de puntos proyectivos. 10 Finalmente mostraremos las definiciones complementarias, que nos ayudarán a documentar el seminario de una manera más cercana. Definiciones Complementarias: A) Grupo Lineal tridimensional (GL (3)): es el conjunto de matrices 3x3 invertibles. Con la operación producto, se cumple: 1.
Asociatividad de la operación. 2.
Existe elemento de Identidad. 3.
Existe elemento Inverso. En otras palabras, GL(3) también es un grupo bajo la operación producto. Para GL(3) también existe grupo de matrices escalares (T3): 11 𝜆 0 0
T3= { 0 𝜆 0 : 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠ 0 }. 0 0 𝜆
También se cumple que T3 es un subgrupo de GL(3). (Arteaga, 2011) B) Grupo proyectivo (Gp): También se define según clases de equivalencia de la siguiente forma: Dos matrices a, b ∈ GL(3) son equivalentes si existe una matriz escalar t en T3 tal que a = b × t. (Arteaga, 2011). C) Plano proyectivo: El plano proyectivo tratado en la conferencia, hace referencia al conjunto de todas las rectas en ℝ3 que pasan por el origen (0,0,0). De manera similar, podríamos realizar la construcción ya realizada con (GL(2)), para el caso de GL(3), y su correspondiente grupo proyectivo. Finalmente, se pueden obtener las siguientes conclusiones después de haber realizado la documentación de la conferencia. Conclusiones: Después de asistir a la conferencia, y realizar la respectiva documentación, podemos decir, que se puede fundamentar la geometría a partir de una relación con el álgebra. Para el caso de GL(2) esta relación fue mostrada con claridad y por medio de demostraciones concretas. Además el plano cartesiano funcionó para representar de manera gráfica la teoría que fue tratada durante el texto. Aunque las definiciones complementarias no se trabajaron de forma profunda en el presente texto, se podría realizar un procedimiento parecido, y la relación entre geometría y álgebra se vería de forma similar. Aún así la presente documentación muestra el que puede ser el objetivo más importante del seminario Una relación entre la Geometría y el Álgebra (Arteaga, 2011): establecer la relación existente entre dos ramas de las matemáticas: la geometría, y el álgebra. Referencias. 1. Arteaga, J.R. Una relación entre la Geometría y el Álgebra. (Seminario se Matemáticas) Universidad de los Andes. Bogotá D.C. (Agosto 22, 2011). 2. Encuentros personales con el autor. 3. Arteaga, J.R. (2011, Noviembre). Una Relación entre la Geometría y el Álgebra. Recuperado 12 de Noviembre de 2011 del sitio Web: http://arxiv.org/abs/1111.1606 12