Facultad de Ingeniería y Ciencias Agropecuarias FICA Universidad Nacional de San Luis CURSO DE INGRESO MATEMÁTICA 2015 Ing. Agronómica Ing. Esp. ANDINO Gabriela B. CONTENIDOS CONCEPTUALES: UNIDAD 1 Conjuntos. Números reales. Nociones de conjuntos. Operaciones con conjuntos: unión, intersección y diferencia de conjuntos. Par ordenado. Producto cartesiano de dos conjuntos. Relaciones entre conjuntos. Dominio y recorrido de una relación. Concepto de función. Introducción. Conjuntos numéricos. Representación gráfica en la recta real. Valor absoluto de un número real. Intervalos en la recta real. Relaciones de igualdad y de orden. Las propiedades básicas del álgebra. Operaciones entre números reales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación. Racionalización de denominadores. Notación científica. UNIDAD 2: Expresiones algebraicas. Expresiones algebraicas. Polinomios. Igualdad. Valor numérico. Operaciones con polinomios: Adición; multiplicación de un número real por un polinomio; sustracción; multiplicación; división, raíz de un polinomio, Teorema del resto, Regla de Ruffini, concepto de divisibilidad. Teorema Fundamental del Álgebra. Factorización. Diferentes casos de factoreo. Expresiones Racionales Polinómicas. Simplificación. Operaciones. Identidades. Ecuaciones. Ecuaciones lineales con una incógnita. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ecuaciones fraccionarias. UNIDAD 3: Sistemas de unidades. Perímetro, área y volumen. Sistema métrico decimal. Unidad de longitud, área, volumen, peso y capacidad. Relaciones entre unidades de capacidad peso y volumen. Concepto de perímetro, superficie y volumen. Área del cuadrado, rectángulo, rombo, círculo, etc. UNIDAD 4: Trigonometría. Introducción. Ángulos. Sistemas de medición. Relaciones trigonométricas de un ángulo. Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos. Teorema del seno. Teorema del coseno. FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 2 UNIDAD 1 CONJUNTOS NÚMEROS REALES http://elvalordelosnumerosreales.blogspot.com/2010/03/imagenes-de-numeros-reales.html http://blogbenitez.wordpress.com/matematicas/2%C2%BA-eso/ud-1-numeros-enteros/ FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 3 UNIDAD 1 Conjuntos. Números reales. Nociones de conjuntos. Operaciones con conjuntos: unión, intersección y diferencia de conjuntos. Par ordenado. Producto cartesiano de dos conjuntos. Relaciones entre conjuntos. Dominio y recorrido de una relación. Concepto de función. Números reales. Introducción. Conjuntos numéricos. Representación gráfica en la recta real. Valor absoluto de un número real. Intervalos en la recta real. Relaciones de igualdad y de orden. Las propiedades básicas del álgebra. Operaciones entre números reales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación. Racionalización de denominadores. Notación científica. Al finalizar esta unidad, el alumno deberá ser hábil en: Reconocer diferentes conjuntos. Operar con conjuntos. Distinguir relaciones funcionales. Identificar los distintos tipos de números. Representar los números en la recta real. Distinguir relaciones de orden entre los números reales. Operar con números reales aplicando correctamente las propiedades de cada operación. Operar con números reales en la forma de notación científica. Emplear los conocimientos aprehendidos en esta unidad en la resolución de situaciones problemáticas de la vida cotidiana. 1.1 NOCIONES DE CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos y éstos se denominan elementos o miembros del conjunto. En aritmética y en álgebra los elementos de un conjunto por lo general son números. Cuando nos referimos a los conjuntos empleamos para encerrar a los elementos (o una descripción de los elementos) y el uso de las letras mayúsculas para nombrar los conjuntos. Los elementos se escriben separados por comas, pueden ir en cualquier orden y figuran una sola vez. Ejemplos: A vocales del abecedario Descripción verbal. Por comprensión A a, e, i, o, u Listado. Por extensión. A x / x es vocal Notación constructor de conjunto. Por comprensión. El símbolo indica pertenencia de un elemento a un conjunto y significa que no pertenece. Si observamos los conjuntos dados anteriormente, elemento de A; en cambio a A y se lee “a es un b A y se lee “b no es un elemento de A. El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. A tiene 5 elementos, por lo tanto, el cardinal de A es 5 y se simboliza A 5 FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 4 Formas de describir un conjunto Descripción por extensión: se realiza nombrando todos los elementos del conjunto. Esto sólo puede hacerse cuando el cardinal del conjunto es finito. Ejemplo: A 1,3,5, 7 Descripción por comprensión: se realiza especificando o enunciando una propiedad que identifique a todos los elementos del conjunto. En el caso que el cardinal sea muy grande o no es finito, es necesario emplear esta notación haciendo uso de una descripción. Ejemplo: A x / x es impar y 1 x 7 . Se lee: es el conjunto cuyos elementos son los números naturales, impares y comprendidos entre el 1 y el 7 incluyendo ambos. Igualdad de Conjuntos Los conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y se denota A = B. Ejemplo: Siendo A x / 2 x 5 B x / 1 x 4 el conjunto de los números enteros: A B 1,0,1, 2,3, 4 Conjunto Vacío Es el conjunto que no tiene elementos y se lo denota con el símbolo: Ejemplo: B x / x es múltiplo de 3 y 1 x 2 . Definido el conjunto B de esta manera, no existe ningún número entero que cumpla la condición dada ya que los enteros comprendidos entre -1 y 2 son 0 y 1, los cuales no son múltiplos de 3. Por lo tanto, B . Conjunto Universal Es el conjunto de todos los posibles elementos del tema en estudio y su símbolo es U. Ejemplo: El conjunto de todos los números reales. El conjunto de los meses del año. Representación gráfica de un conjunto Para representar gráficamente a los conjuntos se suele utilizar los diagramas de Venn. Ejemplo: C a, e, i, o, u C a i u o e Este tipo de representación brinda la ventaja de analizar con mayor claridad la relación entre dos o más conjuntos y favorece la obtención de conclusiones. FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 5 Subconjunto Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B y se denota como: A B ó A B (si A B) Esto se lee: “A es subconjunto de B”, “A está incluido en B”, “A está contenido en B”, “B incluye a A” o “B contiene a A”. Ejemplos: A x / x es vocal B x / x es letra del abecedario A B Los números enteros son un subconjunto de los números reales: 1.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Intersección Dados dos conjuntos A y B, se denomina intersección de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B. O sea, se refiere a los elementos comunes a ambos conjuntos y se denota: A B . A B x / x A y x B Gráficamente: Ejemplo: Dados los conjuntos A y B, realizar la intersección de A y B. A 2,3,5,7 B 2, 4,6,8 A B 2 FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 6 2. Unión Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B al conjunto formado por los todos los elementos que pertenecen a A o a B. Es decir, el conjunto resultante de la unión de A y B que se simboliza A B , contiene los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B ó a ambos conjuntos. A B x / x A o x B Gráficamente: Ejemplo: A 2,3,5,7 B 2, 4,6,8 A B 2,3, 4,5, 6, 7,8 3. Diferencia Dados dos conjuntos A y B, se denomina diferencia A – B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. A B x / x A y x B Gráficamente: FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 7 Ejemplo: A 2,3,5,7 B 2, 4,6,8 A B 3,5, 7 4. Complemento Si A es el subconjunto del conjunto universal U, se dice que el complemento de A (relativo a U), es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. Ac A ' x U / x A Gráficamente: Ejemplo: U A x / x 10 Ac A ' x / x 10 Propiedades Propiedades de la inclusión i) A A ii) A iii) A B B A ; sólo si A = B iv) A B y B D ==> A D Propiedades de la unión e intersección FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 8 i)Identidad A =A A H = A ii)Idempotencia AA=A AA=A iii)Commutatividad AB=BA AB=BA iv)Asociatividad (A B) D = A (B D) (A B) D = A (B D) v)Distributividad (A B) D = (A D) (B D) (AB) D = (A D) (B D) vi)Absorción A (A B) = A A (A B) = A vii)Complementaridad A Ac = H A Ac = 1.3 PAR ORDENADO. Se llama par ordenado a la dupla, al par de elementos pertenecientes a dos conjuntos A y B escritos en cierto orden: (a,b), donde a pertenece al conjunto A y b pertenece al conjunto B. El orden en el cual se escribe el par ordenado es importante, ya que si se cambia el orden, se obtiene un par ordenada diferente: (a, b) (b, a) . 1.4 PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS. Dados dos conjuntos A y B, se define producto cartesiano AxB ( x, y) / x A y B Esto significa que: el producto cartesiano entre los conjuntos A y B, es otro conjunto formado por los pares ordenados (x,y), tal que la primera componente “x” pertenece al conjunto A y la segunda componente “y” pertenece al conjunto B. Se combina cada elemento de A con cada elemento de B. Ejemplo: Dados los conjuntos A a, b, c y B 1, 2,3, 4 , efectuar el producto cartesiano entre A y B. AxB (a,1),(a, 2),(a,3),(a, 4),(b,1),(b, 2),(b,3),(b, 4)(c,1),(c, 2),(c,3),(c, 4) 1.5 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. Los elementos del conjunto A pueden relacionarse con los elementos del conjunto B a través de una relación específica o propiedad. De esta manera se define relación binaria: Se llama relación binaria entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B a un subconjunto del producto cartesiano AxB formado por los pares ordenados (x,y), de manera tal que exista una propiedad que relacione, vincule las primeras componentes “x” con las segundas componentes “y”. R ( x, y) / x A y B xRy Ejemplo: Siendo A 1, 2 y B 1, 2,3, 4 , ¿cuál es la relación que define y 2 x ? El producto cartesiano entre A y B es: FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 9 AxB (1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4) , por lo tanto R1 (1, 2),(2, 4) Por lo tanto, una relación R de A en B hace corresponder a elementos del primer conjunto, elementos el segundo conjunto. El primer conjunto, A, se llama partida y el segundo conjunto, B, se llama llegada. Asociados a la relación tenemos otros dos subconjuntos: El dominio de la relación, Dom(R), es un subconjunto de A, y la imagen de la relación Img(R), es un subconjunto de B. 1.6 DOMINIO Y RECORRIDO (IMAGEN) DE UNA RELACIÓN. Se llama dominio de una relación al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación: D x A / y B : (x, y) R Ejemplo: De la relación dada anteriormente ( y 2 x ), se observa que el dominio es: D 1, 2 DR A Se llama recorrido de una relación al conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación: R y B / x A : (x, y) R Ejemplo: Y el recorrido de la relación anterior es: R 2, 4 RR B 1.7 CONCEPTO DE FUNCIÓN. Son interesantes matemáticamente, las relaciones entre conjuntos que son una relación funcional o función. Distintas relaciones de nuestra vida diaria son funciones, las hemos repetido, escuchado o leído. Ejemplos de estas relaciones son: (a) “El consumo de energía en una planta es función de la producción”. (b) “El precio de venta es función de la demanda”. (c) “El sueldo cobrado por mes es función de la cantidad de días no trabajados”. (d) “Las toneladas producidas son función de los meses del año”. (e) “El producto es función de los componentes de la leche”. (f) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada”. El vocablo “función” es parte de nuestras expresiones habituales, significando relación o dependencia, y es utilizada indistintamente. Matemáticamente el concepto de relación y el de función poseen significados distintos, aunque estén sumamente vinculados. Ya se vió, en el ítem 1.5 el concepto de relación y ahora se verá el concepto de función. Una función de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto llamado imagen. Luego para que una relación sea una función de A en B, debe verificarse: FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 10 Condición de existencia: Dom( R ) = A. Esto indica que a cada elemento de la partida le corresponde alguno en B. Condición de unicidad: Cada elemento del dominio tiene una sola imagen. Esto significa que a cada elemento de la partida le corresponde solo uno en B. Como las ideas gráficas son más fáciles de retener, si representamos una función con un diagrama sagital, estas condiciones las traduciremos en: • De cada elemento de la partida salen flechas. • De cada elemento de la partida sale una sola flecha. Diagramas sagitales. Son una representación de relaciones matemáticas a través de diagramas de Ven. Estas relaciones en algunos casos pueden o no, ser funciones. Nota: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. ¿En qué fijarnos para saber si es una función? 1) En la orientación de la flecha. Esto nos indicará el sentido que tiene la relación (salida, llegada). 2) Existencia de imagen. Debemos fijarnos en que ningún elemento del conjunto de salida “este libre”, de lo contrario, inmediatamente podemos decir que dicha relación NO ES FUNCIÓN. 3) Imagen única. Una vez que corroboremos que cumple la condición anterior, debemos fijarnos que la imagen sea única. En el caso que el dominio y el recorrido de las funciones sean números reales, dichas funciones se denominan funciones reales de una variable real o funciones escalares Si se analizan los ejemplos de relaciones dados antes de definir el concepto de función, se verá que una de esas relaciones no es función bajo la definición expuesta (¿cuál es?) Otros ejemplos con diagramas sagitales: ¿Puede decir por qué el ítem c) no es función? FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 11 1 2 3 1.- No es función, el elemento 3 del conjunto A no tiene imagen. 2.- No es función, el elemento 1 del conjunto de partida posee dos imágenes. 3.- Sí es función, cumple con las dos condiciones de la definición. 1.8 NUMEROS REALES INTRODUCCIÓN La noción de número y la acción de contar han estado al lado del hombre desde los tiempos prehistóricos. Ambos conceptos surgieron por la necesidad de supervivencia del hombre, como por ejemplo, acomodarse al medio ambiente, cuidar sus bienes, reconocer los ciclos de la naturaleza. El hombre no es capaz de distinguir, directa e inmediatamente, los grupos mayores a 4 sin un aprendizaje previo. Esto era indispensable para la sobrevivencia del ser humano. Fue necesario, para él, realizar una representación simbólica del conteo con su propio cuerpo, empleó, entonces, los 10 dedos de su mano Dando, así, origen al sistema decimal, el cual no fue el único, sino el más conocido. Con el correr del tiempo, el hombre fue evolucionando y necesitó expresarse a través de dibujos para indicar cantidades, manifestar peligros que enfrentaba, contar sobre su medio ambiente. La cantidad de símbolos iguales mostraba el número que pretendía expresar. El siguiente cuadro expone brevemente qué logros alcanzaron distintos grupos humanos a lo largo de la historia: Egipcios Sumerios y Babilonios Mayas, Aztecas y Celtas Romanos Uno ´ Dos ´´ Tres ´´´ Sistema de 10. Sistema de 10 y 60, y fueron quienes comenzaron a medir el tiempo, como actualmente lo conocemos -60 minutos, 60 segundos-, y la partición del círculo en 360º. Sistema de 20 porque contaban los dedos de las manos y los pies. Inicialmente tenían un sistema de 5, es decir que sólo se contaba con una mano. Luego pasaron al sistema de 10 gracias a la influencia que tuvo Egipto en la cultura romana Surgió entonces la representación pictórica de los números, los cuales consistían en una consecución de líneas o puntos consecutivos. Un sistema que para contabilizar hacía muy difícil la lectura rápida de los números, a diferencia de los grabados que se referían a los objetos que estaban representando. Por ende, FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 12 Veinte ´´´´´´´´´´ ´´´´´´´´´´ comenzaron a separar las líneas en grupos de diez. Sin embargo, la contabilización seguía siendo de difícil lectura. La evolución de la escritura inició su notabilidad en la historia de los números. Los primeros grabados o dibujos de las cavernas que denominamos pictogramas se transformaron en ideogramas, es decir, símbolos con significados del objeto representado. Este tipo de escritura carecía de sonido, era de carácter pictográfico, ideográfico o combinación de ambos. Ejemplos de esta forma de escritura son: jeroglíficos egipcios, símbolos de escritura japonesa y china, maya, azteca y escritura cuneiforme de semitas. En el 1800 a.C., aproximadamente, apareció la escritura acrofónica que supuso la utilización de pictogramas e ideogramas para expresar sólo el primer sonido de la palabra significada; así alrededor del año 1600 a.C. surgió el alfabeto semítico, del cual, años más tarde, se resultó el alfabeto griego. El alfabeto antiguo, en el 1400 a.C., constaba de treinta signos que incluía diferentes lenguas como la sumeria, acadia e hitita entre otras, y con el transcurso del tiempo, este alfabeto se simplificó a 22 signos. A lo largo de la historia el alfabeto fue evolucionando: del arameo, se pasó al sirio (Persia); el alfabeto Brhami en India originó otros en el Tibet, Indochina e Indonesia: y el nabateo que se convirtió en cúfico, base de loa alfabetos árabes actuales. Ninguno de estos alfabetos que se utilizan en la actualidad tienen vocales, las cuales se indican por puntos y rayas, como por ejemplo: el alfabeto árabe y el hebreo. Tomando la escritura de los fenicios, los griegos, emplearon signos guturales para representar a las vocales, y dieron origen al alfabeto arcaico, en el cual el lenguaje escrito era muy parecido al lenguaje hablado. Hacia el año 800 a.C. los griegos aislaron las vocales de las consonantes y las escribieron por separado. Este alfabeto que deriva de las dos primeras letras griegas: alpha y beta, llegó a los etruscos y luego a los latinos que lo difundieron por Europa. Al mismo tiempo, el simbolismo de los números se fue desarrollando. Los egipcios inventaron un sistema de representación aditiva que fue adoptado por culturas como la sumeria, hitita, cretense, hebrea, griega y romana. Los griegos realizaron un gran avance tomando el sistema de numeración egipcio y lo adecuaron a sus símbolos hacia el 600 a.C. “Utilizaron trazos verticales para representar los números hasta el 4, y letras para el 5 (penta), 10 (deka), 100 (hekatón) y 1.000 (Khiloi), convirtiéndose en un sistema acrofónico en el que las letras que representaban al número correspondían con la inicial de la palabra con la que se les denominaba. Así mismo, los símbolos del 50, 500 y 5.000 se obtenían añadiendo el signo 10, 100 y 1.000 al interior del 5, utilizando la multiplicación.” A medida que fue pasando el tiempo, este sistema de numeración fue sustituido por el jónico. Este sistema utilizaba letras del alfabeto griego y otros símbolos. Así, los números se asemejaban a palabras y también las letras empezaron a relacionarse a un valor establecido, dando origen a la numerología dialéctica, que estudia la relación entre los números y las palabras para explicar el desarrollo de las leyes de la naturaleza, de la sociedad y del pensamiento humano. Esto influyó en las culturas árabe y hebrea. Sólo los sacerdotes de todas las culturas tenían este saber por las limitaciones para efectuar operaciones matemáticas con esta manera de representación de los números. Siglos después, desde aproximadamente 2200 años, los hindúes desarrollaron el sistema de símbolos que conocemos en la actualidad, a saber: “el uno lo representaban como 1; el dos, 2; el tres, 3; el cuatro, 4; cinco, 5; el seis, 6; el siete, 7; el ocho, 8 y el nueve, 9; mas la FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 13 invención del cero sólo la realizaron los mismos hindúes por el año 500, quienes lo denominaban zunya cuyo significado es “vacío”.” El descubrimiento del uno significó un gran adelanto, ya que no se prestaría a confusión los números tales como 35 a 305 o 3.005. Fueron avances muy importantes. Sin embargo, pasaron dos siglos para que este sistema fuese implementado en Europa definitivamente, lugar en el cual la herencia romana había transmitido sus propios números. 1.8 CONJUNTOS NUMÉRICOS Cuando el hombre tuvo la necesidad de contar y ordenar, utilizó los números 1,2,3,4,5,6,….., que denominamos Números Naturales que lo representamos con la letra . Con este conjunto de números podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación con exponente natural, radicación, siempre y cuando al ejecutar una de esas operaciones obtengamos como resultado otro número natural. Pero existen ciertas restas como 9 – 12 que no da un número natural, aparecen aquí los Números Enteros que se denota con la letra . Este conjunto está formado por los naturales, los números negativos y el cero. Si realizamos la siguiente operación entre dos números enteros: 8/4, da otro entero 2; pero 8/3 no da un número entero. Entran en juego aquí los Números Racionales o Fraccionarios que se simbolizan con la letra . Los números fraccionarios, que también pueden expresarse como números decimales, los podemos clasificar en decimales exactos y decimales periódicos; por ejemplo, 1/2 y 5/3, respectivamente. Cada grupo de estos decimales les corresponde una fracción determinada que usted ya ha estudiado en la escuela secundaria. Los decimales exactos son aquellos que poseen un número finito de cifras decimales (19/5 = 3,8) y los periódicos tienen infinitas cifras decimales que se repiten (7/9 = 0,7777….).Éstos últimos se pueden subdividir en puros y mixtos. Los puros tienen solamente cifras decimales que se repiten ( 4/3 = 1,3333..), en cambio los mixtos, cifras que se no se repiten y que se repiten ( 53/90 = 0,58888….) Si se realiza la operación 5 o 3 5 , se observa que no se obtiene un número exacto, un número natural o un número entero, sino un número decimal con infinitas cifras sin repetir, lo mismo ocurre si se trabaja con el número = 3,1416…. o el número neperiano e = 2,7182…. . Este tipo de números cuya parte decimal no es exacta ni periódica recibe el nombre de Irracionales y se simbolizan con la letra I. Estos números no pueden expresarse como una fracción. El conjunto de los números racionales y los irracionales constituyen el conjunto de los Números Reales que se denotan con la letra . Existe otro conjunto de números del cual no nos ocuparemos en este curso, que está constituido por las raíces de índice par con radicando negativo, por ejemplo: 16 , 4 81 . La utilidad de los números es sorprendente, sean naturales, enteros, racionales, irracionales, complejos. La aplicación de los números es inmensa, cualquiera sea la profesión que se desempeñe, los números siempre estarán involucrados en la vida diaria hasta para comprar un caramelo. Es un regalo muy valioso que nos dejaron las civilizaciones anteriores. FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 14 NÚMEROS REALES NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS RACIONALES ENTEROS FRACCIONARIOS NATURALES NEGATIVOS Y EL 0 3, 10, 53 -5, 3,-4, 0 DECIMALES EXACTOS DECIMALES PERIÓDICOS 22.5, 6.25, 18.4 PUROS MIXTOS 2/3, 11/9, 45/99 55/90, 5/6, 29/30 1.9 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL El conjunto de los números reales se representa gráficamente sobre una recta denominada recta real o recta numérica. Para construir una recta numérica, se traza una recta horizontal y se elige un punto arbitrario que se lo llama cero (0) y se escoge un segmento unidad para tabular la recta. Dicho cero, divide a la recta en dos partes, a la derecha se ubican los números reales positivos y a la izquierda los números reales negativos. A cada número real le corresponde un único punto de la recta real y a cada punto de la recta numérica representa un único número real, es decir, existe una relación biunívoca entre los puntos de la recta real y los números reales. -3 -2 -1 0 1 2 3 1.10 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL La notación x se emplea para expresar el valor absoluto de un número real. x si x 0 x def x si x 0 Geométricamente, el valor absoluto de x es la distancia entre el punto de la recta representativo del número x y el origen (cero). FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 15 Ejemplo: 3 3 3 (3) 3 3 3 -3 0 Otra forma de expresar x es x 3 x2 Ejemplo: Si x 2 49, x2 7 x 49, entonces x 7 o x 7 1.11 ORDEN Y NOTACIÓN DE INTERVALO Al representar los números reales en la recta numérica, se puede observar que este conjunto es ordenado. Es decir, que dados dos números reales a y b, se puede determinar siempre una relación de igualdad, menor o mayor. Esto significa que se comprueba una de las siguientes desigualdades: ab o ab o a b o a b Orden de los números reales Sean a y b cualesquiera dos números reales. Símbolo ab ab ab ab Definición a b es positivo a b es negativo a b es positivo o cero a b es negativo o cero Se lee a es mayor que b a es menor que b a es mayor o igual que b a es menor o igual que b Son símbolos de desigualdades: , , , . Una propiedad importante para comparar dos números reales es: Propiedad de tricotomía Sean a y b cualesquiera dos números reales. Sólo una de las siguientes expresiones es verdadera: a b, a b, o a b. Las desigualdades entran en juego en la descripción de intervalos de números reales. Ejemplos: a) x 3 , indica todos los números reales menores que 3. -1 0 1 2 3 4 b) 4 x 2 , expresa a todos los números reales entre 4 y 2 incluyendo al 4 . FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 16 -4 -3 -2-1 0 1 2 3 4 c) Los números reales entre 1 y 1,5 . -2 -1 0 1 d) Los números reales mayores o iguales a cero. Intervalos acotados de números reales Sean a y b números reales con a b . Notación de intervalo Tipo de intervalo Notación de desigualdades a, b Cerrado a xb a, b Abierto a, b Semi-abierto a, b Semi-abierto Gráfica a b a b a b a b a xb a xb a xb Los números a y b son los extremos de cada intervalo. Los símbolos (infinito negativo) y (infinito positivos), no son números reales, pero nos brindan la posibilidad de emplear la notación de intervalos no acotados. Intervalos no acotados de números reales Sean a y b números reales. Notación de intervalo Tipo de intervalo Notación de desigualdades a, Cerrado xa Gráfica a FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 17 a, Abierto xa a ,b Cerrado xb b ,b Abierto xb b Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b . 1.12 ORDEN DE OPERACIONES Para resolver operaciones aritméticas, se deben cumplir con ciertas reglas: 1.- Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. 2.- Evaluar las expresiones exponenciales. 3.- Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. 4.- Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Ejemplo: 4(4 6) 5.3 42 4(2) 5.3 16 8 15 16 7 7 3 0 2 23 8 1 9 9 9 En los números reales se define la relación de igualdad y se comprueban las propiedades: reflexiva, simétrica, transitiva y uniforme para todo número real a, b y c. 1) REFLEXIVA: a a a (Todo número real “a” es igual a sí mismo) 2) SIMÉTRICA: a, b si a b entonces b a (Para todo par de números reales “a” y “b” si “a” es igual a “b”, entonces “b” es igual a “a”) 3) TRANSITIVA: a, b, c si a b y b c entonces a c entonces a = c (Si un número real “a” es igual a un número real “b” y “b” es igual al número real “c”, entonces a = c). 4) UNIFORME: Para la adición: a, b, c si a b entonces a c b c (Si ambos miembros de una igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad). Para la multiplicación: a, b, c si a b entonces a.c b.c (Si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad). Teniendo en cuenta estas propiedades se expresan las leyes cancelativas de la adición y la multiplicación. _ Para la adición a, b, c : a c b c entonces a b . _ Para la multiplicación a, b, c y b 0 : a.c b.c entonces a b _ Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0 Al considerar la diferencia entre números reales: a, b , a b a (b) ; a es el minuendo y b es el sustraendo. Por ejemplo: 4 1 1 7 4 2 2 2 FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 18 "NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO" En el caso de emplear la propiedad cancelativa de la multiplicación con un factor literal, debe especificarse que la simplificación no es válida para todo valor que anule dicho factor. De lo contrario, se perderían soluciones en el caso de trabajar con ecuaciones. En cuanto a la ley de anulación del producto, se utilizará de la siguiente manera: a.b 0 a 0 b 0 , lo cual significa que puede ocurrir una de éstas tres casos: a 0b 0 a 0b 0 a 0b 0 Esto último, es muy utilizado en la resolución de ecuaciones. 1.13 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. PROPIEDADES Es muy importante operar correctamente con los números reales, razón por la cual, se deben tener presentes las propiedades que se cumplen con cada operación. Reglas de los signos En la adición de números con signos iguales, los números se suman y el resultado tiene el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, éstos se restan y el resultado lleva el signo del mayor. Por ejemplo: 43 7 95 4 8 10 2 5 2 7 En la multiplicación y en la división, si los números tienen el mismo signo, el resultado es de signo positivo, si los números tienen signos opuestos, el resultado es de signo negativo. Por ejemplo: 3.5 15 3.(2) 6 (4).2 8 (3).(7) 21 Propiedades de la adición Ley de cierre: a b , c Conmutativa: a, b , a b b a Asociativa: a, b, c , a (b c) (a b) c Existencia del elemento neutro: / ab c a , 0 / a0 0a a Existencia del inverso aditivo u opuesto: a , a / a (a) (a) a 0 Propiedades de la multiplicación FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 19 Ley de cierre: Conmutativa: Asociativa: a b , c / a .bc a, b , a . b b . a a, b, c , a . (b . c) (a . b) . c Existencia del elemento neutro: a , 1 / a . 11 . a a Existencia del recíproco: todo número real a 0 tiene su inverso multiplicativo o recíproco tal que 1 1 a . . a = 1 a a Propiedad distributiva que combina suma y multiplicación (a b) . c = a . c b . c c . (a b) = c . a c . b (a b) : c a : c b : c . Esta igualdad puede escribirse en función del recíproco de c como: (a b) . 1 1 1 a b a . b. c c c c c Potenciación a n a.a.a.a.... con n n veces a se denomina base y n exponente a 1 1 con a 0 a an 1 an con a 0 Propiedades de la potenciación a . b a : b n a n . bn n n an a n n a :b n , b 0 b b a m . a n a m n , a 0 am am.n n Radicación n a b si y solo si bn a, n FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 20 a recibe el nombre de radicando, n es el índice, y el signo se denomina radical. Ejemplos: 16 4 si y solo si 42 16 16 ¿es posible? 3 8 2 si y solo si 23 8 3 8 2 si y solo si 2 8 3 El segundo caso de radicación no es posible, ya que ningún número real distinto de cero elevado al cuadrado, dá como resultado -16, siempre dará un número positivo. Por lo tanto, no se puede calcular n a con n par y a 0 , no tiene solución en el campo de los números reales. Es decir, la radicación no es siempre posible en . Y dado el caso mencionado, la radicación no es cerrada en . No siempre es posible simplificar un radical con un radicando negativo. Por ejemplo: 8 44 8 256 2 8 4 42 4 (4)2 4 16 2 4 (4) 5 (2)5 5 32 2 5 (2) 6 (8) 2 6 64 2 6 (8) , los resultados coinciden 4 1 2 4 2 5 5 2 6 1 5 1 2 (4) 2 (2) (8) 1 2 5 2 1 5 1 2 (4)= no tiene solución en los reales , los resultados coinciden 2 , los resultados no coinciden 3 (8) 2 Esto se puede sintetizar diciendo n n es impar n es par n an a an a Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando. Si el índice es par y el radicando positivo, la raíz real es también única y por definición positiva. Observaciones: Por definición, la radicación admite un único resultado. FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 21 La radicación no es cerrada en Es importante recordar que: . n es par an a n n es impar n an a La notación a se lee valor absoluto de a y se define: a si a >0 a a si a <0 Ejemplo: 3 3 3 3 Propiedades de la radicación n a .b n a . nb n a :b m n n n n a n a a:nb n b b a m.n a am a m n con n y m Esta propiedad se refiere a la potenciación con exponente racional. Si n a0 a0 a0 y m es una fracción irreducible n m a n n am m n a n a m si m es impar m n a 0 n a a 1 n RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES En el caso de obtener fracciones con números irracionales en el denominador, es posible, transformarlas en fracciones equivalentes con denominadores racionales, empleando el proceso de racionalización. A través de ejemplos se verán algunas reglas para racionalizar, aunque cada vez, se utiliza menos el proceso de racionalización por uso de calculadoras y computadoras. Ejemplo 1: FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 22 2 2. 3 2 3 2 3 2 9 3 3 3 3 Ejemplo 2: 4 5 23 5 4 5 22 23 5 22 a En general: n b m 4 5 22 5 23.22 n 4 5 22 5 25 a n bnm b m n n m b 4 5 22 2 5 22 2 5 4 2 a n bnm n m b .b n m a n bnm n b m n m a n bn m n bn m a b n bn Ejemplo 3: El siguiente procedimiento es para los denominadores del tipo: 6 2 3 6 2 5 5 2 3 2 3 3 6 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 6 a b, a b, a b 6 6 2 3 23 2 3 (1) 2 3 52 3 52 3 2 3 2 3 4 3 2 2 2 1.14 NOTACIÓN CIENTÍFICA Cuando se debe trabajar con números muy grandes o muy pequeños, esto ocurre muy frecuentemente en ciencia, tecnología, ingeniería, se utiliza una forma de expresar los números que se denomina notación científica. Consiste en expresar las cifras decimales en potencias de diez: N 10n N es un número real de una sola cifra entera distinta de cero, tal que 1 N 10 y n es es un número entero. La ventaja de emplear esta notación, es que evita la dificultad de trabajar con varias cifras decimales y permite percibir el orden de magnitud de una cantidad por el exponente n. Ejemplos: Masa de la tierra: 5,98 1024 kg Edad de la tierra: 4 109 años Masa del electrón: 9,11 10-31 kg Longitud de una célula típica: 5 10-5 m Los números reales expresados en notación científica pueden operarse sin dificultad, tanto la suma, como la resta, la multiplicación, la división y la potencia de potencia. Ejemplo: 2,5 10 8 4, 2 108 . 3, 4 105 9,1 105 5, 28 10 4 2 1, 7 10 . 1, 25 10 2,125 10 8 5, 28 108 4 5, 28 108 FICA - UNSL - INGRESO MATEMÁTICA AGRONOMÍA 23 4 4, 02 105 2 3