LICEO MARTA DONOSO ESPEJO REPASO Sistema de numeración decimal Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental del sistema de numeración decimal. 100.000.000 cM Centena de Millón 10.000.000 dM Decena de Millón 1.000.000 uM Unidad de Millón 100.000 Cm 10.000 Centena de Mil dm Decena de Mil 1.000 um Unidad de Mil 100 c Centena 10 d Decena 1 u Unidad Vemos que las unidades de los distintos órdenes se agrupan de diez en diez. Diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número 7 : Su orden es unidades de mil y su valor de posición 7.000 3 : Su orden es centenas y su valor de posición 300. 8 : Su orden es decenas y su valor de posición 80. 5 : Su orden es unidades y su valor de posición 5. O sea 7385 = 7.000 + 300 + 80 + 5. 7385. LICEO MARTA DONOSO ESPEJO CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 cuando terminan en 0 ó en 5. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13. Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17. Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125. LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Números primos Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3. El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12 . El 12 es un número compuesto. El 2 es el único número primo que es par. La Criba de Eratóstenes La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los pasos indicados: Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto. Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números. Los números encerrados son los números primos. Los restantes corresponde a los números compuestos, con exepción del 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 33 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos. Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48. 48 :2 24 :2 12 :2 6 :2 3 :3 1 Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = También se puede utilizar un diagrama de árbol. Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8. Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 = MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará. Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO 12 18 :2 6 9 :2 3 9 :3 1 3 :3 1 El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 = = 36 Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15 8 12 15 :2 4 6 15 :2 2 3 15 :2 1 3 15 :3 1 5 :5 1 El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120. Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y de ellos elegir el menor. Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48 ...} Múltiplos de 18: {18, 36, 54, ...} El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.) El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos. Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18 Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} El mayor divisor común de 12 y 18 es 6 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO PRIMOS RELATIVOS Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es 1. Los números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Los divisores de 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3. Los números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1. Tablas de doble entrada ¿Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es de sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}? ¿Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar?. Veamos. Para la suma elaboremos la siguiente tabla de doble entrada: + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Extraña, ¿verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que 2 + 2 es 0. Para obtenerla se debe efectuar lo siguiente. sabemos que en IN 2 + 2 es 4, pero en el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y de ahí que el resultado sea 0. Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación: · 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propiedades, como ser la asociatividad. verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3) 3+3=2+0 2 = 2, se cumple ahora con la multiplicación: (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1) 2·1=3·2 2 = 2, se cumple. ¿Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo. Ah, y lo más importante ¿sirve para algo lo visto? Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los sistemas binarios. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. Las fracciones equivalentes representan la misma parte de una cantidad. Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto. Representemos las fracciones equivalentes y Vemos que ambas fracciones representan la misma parte. Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción. Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Ejemplo: Amplifiquemos la fracción Luego las fracciones y por 6 para obtener una fracción equivalente. son equivalentes. Por simplificar, se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Ejemplo: Simplifiquemos la fracción Luego las fracciones por 3 para obtener una fracción equivalente. son equivalentes. y Comparar fracciones Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores para definir cuál es mayor o menor. Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene menor numerador. Ejemplo: Comparemos . La primera es mayor ya que 5 > 2. Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes con denominador común. Ejemplo: Comparemos las fracciones y Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común, a través de la amplificación. La fracción la amplificaremos por 4 y la fracción obteniéndose respectivamente, y . la amplificaremos por 3, LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Como 9 > 8, la fracción mayor es o sea > . Fracciones a decimales Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador. Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8 1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal. 2 : 3 = 0,66666... o sea un decimal periódico Convirtamos a decimal la fracción 1 : 6 = 0,166666... o sea un decimal semi periódico Multiplicación de decimales Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si fueran números enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras decimales había en total en los factores. Ejemplo: 0,07365 · 0,053 lo vamos a multiplicar como si fuera 7.365 · 53 lo cual da 390.345. Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0,073365 y 0,053, siendo de 5 y 3, respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales. Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado 390.345, obtenemos como resultado final 0,00390345. La explicación de este procedimiento es el siguiente: 0,07365 = y 0,053 = LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Efectuemos el producto · = = 0,00390345 Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya que no nos debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la cifra. Ejemplo 0,0582 · 7300 582 · 73 = 42.486 Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando 4.248.600. Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4 cifras. Luego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86. Esto tiene la siguiente justificación: 0,0582 = y 7300 = 73 · 100 Luego 0,0582 · 7300 = 424,86 · 73 · 100 = 582 · 73· = 42.486 · = = División de decimales Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación Efectuemos la división 36 : 0,5 Esto es lo mismo que decir que 0,5 tiene un solo decimal). , fracción que podemos amplificar por 10 (basados en Resulta, entonces, Efectuamos esta sencilla división 360 : 5 . Luego el resultado final de 36 : 0,5 es 72. Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, debemos multiplicar 72 · 0,5 y obtenet 36. Otro ejemplo: 3764 : 0,04 En este caso debemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos decimales. LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la división a efectuar es 376.400 : 4, dando como resultado 94.100. Pero, ¿cómo debemos operar cuando ambos son decimales? Dividamos 0,512 : 1,6. Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad de decimales. En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar por 1.000. (3 decimales, 3 ceros) Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32. Las divisiones con decimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo siguiente: Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener pernos de 0,075 metros de largo. ¿Cuántos pernos salen? (Resp. 20) SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Es el conjunto de medidas que se derivan del metro. Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias de 10. Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa (peso). 1. Unidades de Longitud. La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del metro son: Kilómetro Hectómetro Decámetro metro decímetro centímetro milímetro Km. Hm. Dm. m. dm. cm. mm. 1.000 m. 100 m. 10 m. 1 m. 0,1 m. 0,01 m. 0,001 m LICEO MARTA DONOSO ESPEJO 2. Unidades de Superficie. La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por m2. Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien. Los múltiplos y submúltiplos del m2 son: Kilómetro cuadrado Hectómetro cuadrado Decámetro cuadrado metro cuadrado decímetro cuadrado centímetro cuadrado milímetro cuadrado Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 3. Unidades de Volumen. La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por m3. Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. Los múltiplos y submúltiplos del m3 son: Kilómetro cúbico Hectómetro cúbico Decámetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico Km3 Hm3 Dm3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000 m3 1.000.000 m3 1.000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,00000000 m3 4. Unidades de Capacidad. La unidad de estas medidas es el litro. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del litro son: Kilólitro Hectólitro Decálitro litro decílitro centílitro milílitro Kl. Hl. Dl. l. dl. cl. ml. 5. Unidades de Peso. La unidad de estas medidas es el gramo. 1.000 l. 100 l. 10 l. 1 l. 0,1 l. 0,01 l. 0,001 l. LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Las medidas de peso aumentan y disminuyen de diez en diez. Los múltiplos y submúltiplos del gramo son: Kilógramo Hectógramo Decágramo gramo decígramo centígramo milígramo Kg. Hg. Dg. g. dg. cg. mg. 1.000 g. 100 g. 10 g. 1 g. 0,1 g. 0,01 g. 0,001 g. LICEO MARTA DONOSO ESPEJO POTENCIAS: Recuerda: - Los elementos que intervienen son la Base y el Exponente o El exponente indica la cantidad de veces que se multiplica la base o Ej. ab = a*a*a*a*………. b veces PROIEDADES Potencias de exponente 0 a0 = 1 50 = 1 Potencias de exponente 1 a1 = a 51 = 5 Potencias de exponente entero negativo Multiplicación de potencias con la misma base Se conserva la base y se SUMAN los exponentes am · a n = am+n 25 · 22 = 25+2 = 27 División de potencias con la misma base Se conserva la base y se RESTAN los exponentes. am : a n = am - n 25 : 22 = 25 - 2 = 23 Potencia de un potencia Se conserva la base y se Multiplican los exponentes (am)n=am · n (25)3 = 215 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Multiplicación de potencias con el mismo exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente an · b n = (a · b) n 23 · 43 = 83 División de potencias con el mismo exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente. an : b n = (a : b) n 63 : 33 = 23 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO GEOMETRIA CONTENIDOS SOBRE ÁNGULOS - Definición de un ángulo: en geometría, se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un punto extremo común. A C B - AB es una semirrecta BC es una semirrecta B es el punto de partida Modo de nombrar un ángulo: Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas: o Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal vértice. Por ejemplo B B o Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo, a o < 1 a 1 o Por medio de 3 letras mayúsculas, las cuales la del vértice se halla en el centro y se nombra entre las otras dos, que se colocan sobre lados del ángulo. B es donde esta el ángulo y siempre va al centro A B C El ángulo de nombra asi: <A B C Vértice LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Clases de ángulos: Ángulo agudo: es menor de 90º B Ángulo recto: tiene 90º 90º Ángulo obtuso : es mayor que 90º pero menor de 180º. Ángulo llano o plano: mide 180º. 180º Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º. OTROS ASUNTOS SOBRE ÁNGULOS Ángulos iguales: son los que tienen el mismo número de grados. 90º 90º A <A = <B B Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales 1 A <1 = < 2 2 Recta perpendicular: corta a una recta y la divide en dos ángulos rectos. 90º 90º LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Mediatriz Si una recta biseca (corta) a un segmento, y además, es perpendicular a él se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su punto medio. GH es mediatriz porque: G GH biseca (corta) al segmento EF 90º GH es perpendicular a EF 90º E F M Entonces < EMG y < EMF son ángulos rectos y M es el punto medio de EF H Ángulos complementarios son los que sumados dan 90º. 60º + 30º = 90º 60º 30º Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º. 140º 40º 140º + 40º = 180º Igualdad de ángulos entre paralelas: Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal. L L1 L2 2 1 3 4 6 5 7 8 L1 y L2 son // paralelas L es trasversal LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Tipos de ángulos formados Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales. L 1= 5 2=6 2 1 L1 3=7 3 4 4=8 6 5 L2 7 8 Ángulos alternos entre paralelas son iguales. L 2 1 3 4 L1 L2 6 5 7 8 1=7 2=8 3=5 4=6 Ángulos alternos opuestos por el vértice son iguales. L 1 L L2 2 1 3 4 6 5 7 8 1=3 2=4 6=8 5=7 LICEO MARTA DONOSO ESPEJO Triángulos Los triángulos son polígonos de tres lados. Las propiedades fundamentales del triángulo son: 1) La suma de sus ángulos interiores es 180º. 2) La suma de sus ángulos exteriores es 360º. 3) Cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Los triángulos se clasifican: Según sus lados en: Equilateros: Tienen sus tres lados iguales. Isósceles: Tienen dos lados iguales. Escalenos: Tienen sus tres lados desiguales. Según sus ángulos en: Acutángulos: Tienen todos sus ángulos agudos. Rectángulos. Tienen un ángulo recto. Obstusángulos: Tienen un ángulo obstuso.