Moisés Toledo Julián: El método de integración de Federico

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
EN EL PERÚ
ANÁLISIS DE OBRAS
MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE
FEDERICO VILLARREAL
Autor: Moisés Samuel Toledo Julián
(el numeros@hotmail.com)
Resumen
Federico Villarreal al presentar su tesis de Bachiller[2] ante la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Lima–Perú), realizó una observación
notable sobre el método de integración por partes. Dada la importancia del tema,
este será tratado en tres secciones, cada uno de los cuales indicará una subparte de la
misma, los puntos a tratar serán:
1. Sobre expresiones susceptibles de generalización.
2. Método de traspasos.
3. Aplicación del método de traspasos.
Es claro que no describiremos la teoría de integración (en el sentido de riemann), el
presente desarrollo asumirá que el lector posee por lo menos nociones sobre el proceso
de integración.
2
1.
Sobre expresiones susceptibles de generalización
s bien conocido que las operaciones aritméticas de composición (+, ×, ()n ) y descompo√
sición (−, ÷, n ) cuando son tomadas en forma sucesiva no siempre es posible invertir
el orden en la que se operan. Por ejemplo: a la cantidad a agregarle b y quitarle c es lo
mismo que quitarle primero c y agregarle después b, es decir (a + b) − c = (a − c) + b. Pero
si a la cantidad a se agrega b y se multiplica por c no es lo mismo que multiplicar a por c
y agregar b, es decir: (a + b)c 6= ac + b sino que debe añadirse bc para obtener el mismo
resultado. Podemos resumir lo mencionado líneas arriba mediante el siguiente principio[2]:
E
“Cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del
mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede
cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son
imposibles no es permitida su permutación”
— Federico Villarreal
El anterior principio sirve para mostrar que existen diferentes proposiciones suceptibles
de una expresión general. Es así que el Dr. Villarreal plantea el caso de integración por
partes como uno suceptible de generalización.
1.1.
Recordando el método de integración por partes
Pasamos ahora a recordar (brevemente) en que se basa el método de integración por
partes:
1ro por la regla de la derivada de un producto tenemos
(f (x) · g(x))0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
2do integrando a ambos lados de la igualdad
Z
Z
Z
0
0
⇒ (f (x) · g(x)) ∂x = f · g(x)∂x + f (x) · g 0 (x)∂x
3ro usando el hecho que la derivada e integral son operadores inversos y despejando adecuadamente
Z
Z
0
⇒ f (x) · g (x)∂x = f (x) · g(x) − f 0 (x) · g(x)∂x
R
A partir de los calculos anteriores
y
del
hecho
que
una
integral
y
=
f (x)∂x sienpre es
R
posible escribirla como y = A · dB tenemos que esta ultima puede ser expresada como la
combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración
por partes
como suceptible de generalización y a corroborar lo dicho en 1 puesto que
R
y = f (x)∂x escrita en términos de A, B tomará una forma mas simple o complicada
segun sean A y B escogidos en forma adecuada.
Recordemos tambien que el método de integración por partes puede subdividirse en
dos casos:
• Descomponiendo la función en sumandos: este método es aplicable a funciones racionales, que descompuestos en sus fracciones parciales se pueden integrar algebraicamente o por logaritmos o por arco tangentes.
3
• Descomponiendo la función en factores: aplicable a los demás casos.
Al segundo método se le ha dado (impropiamente) el nombre de integración por partes,
pues aunque los factores pueden considerarse como partes de ese producto, tambien lo
son los sumandos como parte del total. Por tanto a los dos juntos deberían llamarseles
integración por partes, a la primera integración por sumandos y a la segunda integración
por factores.
Habiendo hecho notar los principios sobre los cuales el Dr. Federico Villarreal inicia su
estudio sobre la integración por traspasos, pasamos a describir el método en si.
2.
Método de traspasos
Primero haremos notorio algunas observaciones relativas a las técnicas de integración.
2.1.
Observaciones:
1. REl método de integración inmediata
√ reglas fijas. La inversa de la derivación:
R √ tiene sus
4
x3 ∂x = x4 + cte , o tambien
x∂x = 23 x3 + cte (cte: constante real)
2. El método de integración por sustitución no posee sus reglas fijas, pues depende de
los casos que se presenten:
R
a) Para convertir en algebraica una expresión trascendente ln(x + 1) cos x∂x
b) Para bajar el orden de las ecuaciones integrales, para hacerlas homogéneas, etc
(esto constituye parte de la teoria de ecuaciones integrales)
R
c) Para hacer racional a una función inconmensurable √x12 +1 ∂x
3. El método de integración por sumandos tambien tiene sus reglas fijas:
R
∂x
a) Si el denominador de la fracción tiene raíces iguales x2 −6x+9
R
∂x
b) Si el denominador tiene raíces distintas x2 +3x+10
R
c) Si el denominador tiene raíces imaginarias x2∂x
+1
4. Sin embargo no se ha hecho lo mismo con la integración por factores, atendiendo a
ello Juan Bernoulli sentó lo que se denomina la base del cálculo integral (en analogía
a lo que el método de Taylor lo es al cálculo diferencial). Así considerando como
factor constante ∂x tenemos:
Z
y = f (x)∂x
Z
= xf (x) − f 0 (x)x∂x
Pero
Z
x2 0
1
f (x)x∂x =
f (x) −
2
2
0
Z
f 00 (x)x2 ∂x
Así
y = xf (x) −
x2 0
1
f (x) +
2!
2!
4
Z
f 00 (x)x2 ∂x
Procediendo análogamente para la ultima integral:
y = xf (x) −
x2 0
x3
x4
f (x) + f 00 (x) − f 000 (x) + · · ·
2!
3!
4!
(1)
Si bien es cierto que el factor ∂x se presenta de forma natural, el método no supone
que precisamente deba tomarse ese factor sino cualquier otro, ya que al hacerlo lo
particulariza, esto es la escencia del método de integración por traspasos del Dr.
Federico Villarreal.
2.2.
Principio de integración por traspasos
R
R
Dada la expresión y = f (x)∂x siempre es posible expresarla en la forma y = A · dB
y sin hacer traspasos de términos, podemos interpretar la fórmula (1) del modo siguiente:
1. Tomar A después diferenciarla y dividir por ∂x, volver a diferenciar y dividir por ∂x,
etc. Es decir, calcular las derivadas sucesivas de A.
2. Tomar B después multiplicarla por ∂x e integrar, volver a multiplicar por ∂x e
integrar, etc. Es decir, calcular las integrales multiples de B.
3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos mas y menos, es decir
Z
Z Z
Z Z Z
0
00
000
A · B − A · B∂x + A ·
B∂x − A ·
B∂x · · ·
Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente, cuando este sea cero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto
en este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va disminuyendo el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración
es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por ∂x la integración dará
∂x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y en este
caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.
Ejemplo 1. Sea la función x4 , cuya integral puede ser expresada en formas distintas y
por tanto el factor ∂x no es el único que se presenta de forma natural, así pues:
Z
Z
Z
Z
Z
x3
4
2
2
2
2
z = x ∂x = x × x ∂x = x × ∂( x )∂x = x2 × ∂( )
(2)
3
aplicando el método para A = x2 y B =
x3
3
tenemos en cada caso:
x3
3
Z
x4
B∂x =
12
Z Z
x5
( B∂x)∂x =
60
A = x2
B=
dA
= 2x
dx
d2 A
=2
dx2
d3 A
=0
dx3
5
note que no consideramos la cuarta iteración para B puesto que la cuarta iteración para A
fue cero, luego la integral resultante de acuerdo a (3) será:
x5 x5 x5
−
+
3
6
30
x5
=
5
Si bien es cierto la función considerada para la integración es bastante simple, nos permite
hacer notar la recursividad del método y la tendencia a buscar una generalización del mismo
(esto en realidad constituye un caso muy simple del método de traspasos del Dr. Federico
Villarreal, note que si estamos realizando traspasos, con la descripción de la siguiente
sección podrá usted darse cuenta de ello y corroborará que la manera de hacerlo constituye
un caso trivial).
z=
Para fijar notación al término A lo denominaremos factor integral en tanto que B será
el factor integral, esto debido a las derivaciones e integraciones sucesivas que se realizan
en cada paso (o proceso de iteración) a considerar.
2.3.
Variantes del método de traspasos
Los traspasos pueden ser realizados de dos maneras, de A a B o de B a A, así como también es posible considerar un proceso mixto de ambos, pero por el momento solo
consideraremos los dos primeros casos y dejaremos el ultimo para la próxima sección.
2.3.1.
Traspaso del factor diferencial al factor integral:
En este primer caso
R estamos considerando el traspaso de A a B, así pues la función z
expresada como z = AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:
“se saca la derivada dA y se traspasa a B lo que se quiera (sea factor o divisor, constante
o variable), después se integra B (la expresión resultante es B1 ). Se vuelve a derivar, en
este caso a A1 , y se hace el traspaso a B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante
es B2 ), etc.” En resumen:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados
A⇒B
Segundo paso: T1 será el término a traspasar
Z
dA = T1 · A1 ⇒ B · T1 ∂x = B1
Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar
Z
dA1 = T2 · A2 ⇒ B1 · T2 ∂x = B2
etc.
Ultimo paso: Colocamos los términos Ai , Bi para obtener el resultado final del proceso
de integración
Z
z = AdB
X
=
±Ai · Bi ; i = 0, 1, . . . , m, (m: no de pasos y A0 = A, B0 = B)
6
por esta operación se disminuye el cálculo a bondad, puesto que se puede traspasar toda
la variable (pero de modo que se pueda integrar B) así la siguiente diferencial será cero y
por lo tanto se acorta el cálculo.
R
R
3
Ejemplo 2. Sea la función z = x4 ∂x damos la forma que deseamos z = x2 · ∂( x3 )
luego aplicando la regla de formación:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B
A⇒B
Segundo paso: T1 será el término a traspasar
Z 3
x
x5
dA = x · 2 = T1 · A1 ⇒
· x∂x =
= B1
3
15
Tercer paso: T2 será el nuevo término a traspasar, pero notemos que
dA1 = ∂(2) = 0, puesto que la derivada es nula, paramos el proceso.
Ultimo paso: Colocamos los términos A0 , A1 , B0 , B1 para obtener el resultado final del
proceso de integración:
Z
z = x4 ∂x
= A0 · B0 − A1 · B1
= x2 ·
=
2.3.2.
x5
x3
−2·
3
15
x5
5
Traspaso del factor integral al factor diferencial:
En este segundo caso
R estamos considerando el traspaso de B a A, así pues la función
z expresada como z = AdB esta en su forma natural, e indicamos la regla de formación:
“se saca la derivada dA y se traspasa lo que se quiera de B, después se integra B (la
expresión resultante es B1 ). Se vuelve a derivar, en este caso a A1 (expresión que resulta
de multiplicar la derivada de A por el termino traspasado de B), y se traspasa lo que se
desea de B1 en seguida se integra B1 (la expresión resultante es B2 ), etc.” En resumen:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo escogemos los A y B adecuados
A⇒B
Segundo paso: donde B = T1 · B1∗ y T1 es el término traspasado a dA
Z
dA · T1 = A1 ⇒ B1∗ ∂x = B1
Tercer paso: donde B1 = T2 · B2∗ y T2 es el término traspasado a dA1
Z
dA1 · T2 = A2 ⇒ B2∗ ∂x = B2
etc.
7
Ultimo paso: Colocamos los términos Ai , Bi para obtener el resultado final del proceso
de integración
Z
z=
AdB
X
=
±Ai · Bi ; i = 0, 1, . . . , m, (m: no de pasos y A0 = A, B0 = B)
R
R
3
Ejemplo 3. Sea la función z = x4 dx damos la forma que deseamos z = x2 · d( x3 )
luego aplicando la nueva regla de formación:
Primer paso: no efectuamos ninguna operación, tan solo identificamos A y B
A⇒B
Segundo paso: donde B = T1 · B1∗ = x ·
x2
3
y T1 es el término traspasado a dA
Z
2
B1∗ dx
dA · T1 = 2x · x = 2x ⇒
Tercer paso: donde B1 = T2 · B2∗ = x ·
2
x2
32
Z
=
x3
x2
= 2 = B1
3
3
y T2 = x es el término traspasado a dA1 .
Z
2 2
B2∗ dx
dA1 · T2 = 2 x · x = 2 x = A2 ⇒
Z
=
x2
x3
=
= B2
32
33
siguiendo de forma similar obtendremos una serie infinita (no siempre es el caso)
Ultimo paso: Colocamos los terminos Ai , Bi (aquí A0 = A, B0 = B), para obtener el
resultado final del proceso de integración:
Z
z=
AdB
= A0 · B0 − A1 · B1 + A2 · B2 · · ·
=
x5 2x5 22 x5 23 x5
− 2 + 3 − 4 ···
3
3
3
3
Este ejemplo muestra que dada una integral esta puede ser aproximada por una serie
5
infinita, para nuestro caso dicha serie converge a x5 , así suponiendo x = 1 se tiene:
1
1
2
22 23
= − 2 + 3 − 4 ···
5
3 3
3
3
en efecto, siendo esta progresión geométrica decreciente (cuya razón es
1
3
1+
2
3
=
−2
3 )
tendremos:
1
5
En la siguiente sección presentamos una mistura de los métodos anteriores y finalizamos
con una aplicación de tal proceso (misturado), así también se da una observación sobre
exponentes negativos.
8
3.
Aplicación del método de traspasos
En esta sección daremos una aplicación del método de traspasos de Federico Villarreal,
pero antes presentamos una generalidad sobre el método, éste no es otra cosa mas que una
mistura de los casos señalados en la anterior sección.
3.1.
Generalidad de los traspasos
Siendo los traspasos arbitrarios, se pueden hacer continuamente de A a B o de B a A
o bien primero de A a B y después de B a A, ya sea alternándolos, siguiendo de dos en
dos, de tres en tres, dejando de hacer traspasos al capricho del calculador. En cualquiera
de estos casos siempre se obtendá integración exacta (siempre que se consiga un coeficiente
diferencial nulo), por consiguiente la fórmula propuesta es una expresión general de la
integración por partes.
Ejemplo 4. Integraremos la función x4 usando trapasos alternados:
Z
Z
x3
4
z = x ∂x = x2 × ∂( )
3
aplicando el método para A = x2 y B =
x3
3
tenemos en cada caso:
A0 = x 2
B0 =
x3
3
derivamos A0 y traspasamos el factor integral x de B0 e intragamos lo sobrante de B0
A1 = 2x2
B1 =
x3
9
derivamos A1 y traspasamos el factor integral x de B1 e intragamos lo sobrante de B1
A2 = 4x2
B2 =
x3
27
derivamos A2 y traspasamos el factor integral x de B2 e intragamos lo sobrante de B2
A3 = 8x2
B3 =
x3
81
B4 =
x4
324
B5 =
x5
1620
derivamos A3 e integramos B3 sin efectuar trapaso alguno
A4 = 16x
derivamos A4 e integramos B4 sin efectuar trapaso alguno
A5 = 16
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z=
x5 2x5 4x5 8x5 4x5 4x5
−
+
−
+
−
3
9
27
81
81
405
x5
z=
5
9
3.2.
Observación sobre exponentes negativos
Si los exponentes son negativos la diferenciación va aumentando el exponente en su
valor absoluto y la integración lo va disminuyendo hasta ser infinita (así pues la integral
es logarítmica), sin embargo en virtud de la teoría de traspasos se puede hacer que la
diferenciación llegue a anularse y por lo mismo se llegue a la integral exacta.
Ejemplo 5. Integraremos la función x4 · ln x la cual puesta en forma adecuada:
Z
x5
z = ln x(. )
5
identificando términos
A0 = ln x
B0 =
x5
5
derivamos A0 y siendo x en el numerador con exponente negativo lo traspasamos a B0 e
integramos, quedando
A1 = 1
B1 =
x5
25
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z = ln x ·
x5 x5
−
5
25
Ejemplo 6. Integraremos la función x4 pero en esta oportunidad procuramos expresar
el término integral con exponente negativo:
Z
z = x6 d(−x−1 )
identificando términos
A0 = x 6
B0 =
−1
x
derivamos A0 e integramos B0 sin efectuar traspaso alguno
A1 = 6x5
B1 = − ln x
derivamos A1 y traspasamos el factor diferencial x4 a B1 e integramos
Z
A2 = 30
B2 =
−x4 · ln x =
−x5 · ln x x5
+
5
25
dado que la próxima derivada será nula paramos el proceso,de modo que
z = −x5 + 6x5 · ln x − 6x5 · ln x +
z=
6x5
5
x5
5
10
3.3.
Recursividad para decimales del número π
Es tan general el método que se puede poner una multitud de ejemplos en los cuales
tendría cabida los traspasos. Como muestra de ello veamos la siguiente:
3.3.1.
Observación sobre los arcotangentes
Sabemos que la diferencial de un arco x cuya tangente es u tiene por expresión:
∂u
1 + u2
∂x =
el cual podemos integrar haciendo uso del método de traspasos pues
Z
1
x=
· ∂u
1 + u2
identificando términos, podemos aplicar el proceso ya descrito en las secciones anteriores
A0 =
1
1 + u2
B0 = u
tomando derivada a los Ai , traspasando el factor integral u a Bi e integrando resulta el
siguiente cálculo
u3
1·3
u5
B2 =
1·3·5
u7
B3 =
1·3·5·7
u9
B4 =
1·3·5·7·9
1
(1 + u2 )2
1
A2 = 2 · 4 ·
(1 + u2 )3
1
A3 = −2 · 4 · 6 ·
(1 + u2 )4
1
A4 = 2 · 4 · 6 · 8 ·
(1 + u2 )5
A1 = −2 ·
B1 =
continuando el proceso obtenemos la fórmula recursiva
An = (−1)n ·
n
Y
i=1
(2i) ·
1
(1 + u2 )n+1
Bn =
u2n+1
n
Q
(2i + 1)
i=1
Luego multiplicamos los términos Ai , Bi y colocamos los términos de acorde a lo establecido
en el método de traspasos para obtener el resultado final del proceso de integración:
" j #
∞ Y
X
u
2i
u2j+1
x=
+
·
(3)
1 + u2
2i + 1
(1 + u2 )j+1
j=1
i=1
tomando factor común, la expresión (3) puede ser reducida a


" j j #
∞ Y

2
X
u
2i
u
x=
1+
·

1 + u2 
2i + 1
1 + u2
j=1
i=1
11
(4)
examinemos si la serie encerrada entre llaves es convergente, para ello utilizamos el criterio
de la razón, por lo que formaremos el cociente del término general con el que le precede
2 n
2·4·6···(2n)
3·5·7···(2n+1)
u
1+u2
n−1
2·4···2(n−1)
u2
3·5···(2n−1) 1+u2
r=
2n
u2
·
2n + 1 1 + u2
2
1
=
1 ·
2 + n 1 + u12
=
tomamos límite para n = ∞, resulta
r=
1
1 + u12
para que la serie sea convergente debemos tener que |r| < 1, así reemplazando la expresión
obtenida en esta condición se tiene que la serie es convergente cualquiera que sea el valor
de u, en particular si esta asume valores pequeños, luego tomando u = z1 y reemplazando
en (4) tendremos:
z
x= 2
z +1
2 1
2·4
1
2 · 4 · · · (2n)
1
1+
+
·
+ ··· +
·
+ ···
3 z 2 + 1 3 · 5 (z 2 + 1)2
3 · 5 · · · (2n + 1) (z 2 + 1)n
(5)
luego puesto que asumiremos valores pequeños de u la serie anterior es convergente para
valores grandes de z.
3.3.2.
Aproximando decimales de π
Para aplicar la fórmula (5) y aproximar decimales de π debemos conocer un arco
(denotado por x) y su tangente (denotado por u), el primero que se presenta es el de
45◦ cuya tangente es la unidad, luego z = 1 y reemplazando en (5) resulta
1
2
2·4
2·4·6
2 · 4 · · · (2n)
◦
Arco de 45 =
1+
+
+
+ ··· + n
+ ···
2
2 · 3 22 · 3 · 5 23 · 3 · 5 · 7
2 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
(6)
“como es poco convergente” descompondremos el arco de 45◦ , por lo que buscaremos otros
arcos cuyas tangentes sean menores que uno. Para ello apelamos a una conocida fórmula
trigonométrica:
a + b = 45◦
tan a + tan b
⇒ tan (a + b) =
1 − tan a · tan b
=1
12
tomando tan a = 1/3 tendremos
1
3
+ tan b
=1
1 − 13 · tan b
1
1
⇒ + tan b = 1 − · tan b
3
3
4
2
⇒ · tan b =
3
3
1
⇒ tan b =
2
así tenemos que el arco de 45◦ es igual a la suma de los arcos cuyas tangentes son 1/2, 1/3.
Dividamos ahora el arco cuya tangente es 1/2 en otros dos, así
tan x + tan y
1
=
1 − tan x · tan y
2
tomando tan x = 1/3 (notar que x = a pues tan x = tan a) tendremos
1
3
+ tan y
1
=
2
1 − 13 · tan y
1
1 1
⇒ + tan y = − · tan y
3
2 6
1
7
⇒ · tan y =
6
6
1
⇒ tan y =
7
vemos ahora que el arco de 45◦ es igual a la suma del arco (denotado por y) cuya tangente
es 1/7 más el doble del arco (denotado por x) cuya tangente es 1/3. Luego haciendo z = 3
y z = 7 en (5) tendremos los valores aproximados
3
2
2·4
2·4·6
2 · 4 · · · (2n)
x=
· 1+
+
+
+ ··· +
+ ···
10
10 · 3 102 · 3 · 5 103 · 3 · 5 · 7
(10)n · 3 · 5 · · · (2n + 1)
7
2
2·4
2·4·6
2 · 4 · · · (2n)
y=
· 1+
+
+
+ ··· +
+ ···
50
50 · 3 502 · 3 · 5 503 · 3 · 5 · 7
(50)n · 3 · 5 · · · (2n + 1)
finalmente podemos expresar el arco de 45◦ como
Arco de 45◦ = 2x + y
⇒ π = 8x + 4y
⇒ π = 3, 141592653589793238462643383279502884197169399 · · ·
Haciendo uso de las fórmulas expuestas se puede obtener una mejor aproximación, el grado
de precisión aumenta a medida que se continúe la división en arcos menores. La presente
aproximación es más curiosa que útil, habiendo servido para dar uno de los muchos ejemplos
en que tiene cabida la integración por traspasos.
13
Bibliografía
[1] La Obra del Doctor Federico Villarreal, Godofredo García Díaz. Revista de Ciencias,
año XXVII, 1924 No 3, 4,5,6. Lima.
[2] Fórmulas y Métodos que Deben Completarse en Matemáticas, Federico Villarreal
Villarreal Tesis de Bachiller, 1879. Lima.
[3] Federico Villarreal Matemático e Ingeniero, Luis Katzuo Watanabe, Ediciones COPÉ
departamento de relaciones públicas PETROPERÚ, 2004. Lima.
[4] Revista de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Facultad de Ciencias de la UNMSM,
No 2, 1988. Lima.
[5] Unidad de Árchivo Histórico Domingo Ángulo UNMSM, Árchivos de la Facultad de
Ciencias 1875,1876,1877,1878,1879,1880,1881.
14