Guía docente - Proyecto Webs

Universidad de Murcia
Facultad Química
Titulación de Licenciado en Física
Curso Académico 2007/8
1. Identificación
1.1.1.
De la asignatura
Nombre de la signatura
Código
Curso / Grupos
Tipo
Créditos LRU
Análisis I
09M3
1
Troncal
Teóricos 9
Prácticos 3
Estimación del volumen de
trabajo del alumno (ECTS)* 12
Duración Anual
Idiomas en que se imparteEspañol
1.2 Del profesorado:
Nombre y Área/ Depart. Despacho y Tel.
Correo
Apellidos
Facultad
electrónico y
dónde se
página web
ubica.
José
Análisis
1.12 Fac.
363584 mira@um.es
Manuel
Matemático/ Matemáticas
webs.um.es/mira
Mira Ros Dep.
(Coord.)
Matemáticas
Stanimir idem
0.03 Fac.
364178 stroya@um.es
Troyanski
Matemáticas
Horario de
atención al
alumnado
Mi,Vi 13-14
Ju 16-20
Se indicará
a comienzo
de curso
2. Presentación
El primer curso de Análisis Matemático a nivel universitario está
destinado al estudio de las funciones reales de una variable real.
El núcleo esencial es el cálculo diferencial e integral, y en torno a
este núcleo se van configurando otros elementos que le dan
consistencia y fundamento o que sirven para ilustrar la enorme
utilidad, para una gran variedad de problemas, de los conceptos y
1
técnicas desarrollados en la asignatura.
La asignatura profundiza, fundamenta y completa conocimientos
que los estudiantes poseen sobre esta materia y sirve de cimiento e
instrumento para el estudio de otros temas más avanzados del
Análisis Matemático que se abordarán en cursos posteriores.
3. Conocimientos previos
Los correspondientes a los programas oficiales de matemáticas en
bachillerato y más específicamente:
Manejo adecuado de las operaciones algebraicas de números
reales (ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado,
propiedades de potencias, radicación,...), conocimiento de la idea
de exponencial y logaritmo de un número junto con sus
propiedades más relevantes, y de la definición de las razones
trigonométricas y las fórmulas trigonométricas ligadas a ellas
(adición, ángulo doble, ángulo mitad), resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.
 Cálculo de derivadas (funciones elementales, regla de la cadena) y
de integrales (inmediatas, racionales básicas, partes, algún cambio
básico de variables).
 Representación gráfica de funciones (crecimiento, decrecimiento,
puntos críticos, puntos de inflexión, asíntotas).
4. Competencias
 Conocer y saber utilizar las propiedades de los números reales y
de los otros conjuntos numéricos, en particular el manejo de
desigualdades y las técnicas de inducción.
Saber discutir la existencia de límites de sucesiones en relación
con la propiedad de Cauchy, la monotonía, o el teorema de BolzanoWeierstrass.
Capacidad de relacionar la existencia de límite funcional con la
continuidad y con los límites de sucesiones. Conocer y saber utilizar
los teoremas relativos a funciones continuas en intervalos:
propiedad de los valores intermedios, máximos y mínimos
absolutos y continuidad uniforme.
Adquirir el concepto de derivada y las destrezas necesarias para el
cálculo de derivadas de funciones concretas. Saber aplicar el cálculo
de derivadas para el análisis del comportamiento y el dibujo de
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funciones y para la resolución de problemas concretos que pueden
ser abordados mediante el análisis de ciertas funciones. Calcular y
estudiar extremos de funciones.
Comprender el significado de los desarrollos de Taylor y saber
utilizarlos para realizar cálculos aproximados del valor de una
función, o para la discusión de problemas en los que esté
involucrado comparaciones de funciones en términos de tamaños
relativos (limites, convergencia de series e integrales impropias) o
en la posibilidad de describir funciones mediante series de potencias
(«polinomios infinitos»).
Conseguir las destrezas necesarias para evaluar integrales y
calcular áreas, utilizando el teorema fundamental del cálculo, el
cambio de variable, la integración por partes y las técnicas de
cálculo de primitivas, incluyendo el cálculo de ciertas integrales
impropias.
Aplicar las técnicas de derivación e integración de series de
potencias para sumar series numéricas o series de potencias
concretas.
Saber utilizar algún programa informático específico para realizar
cálculos simbólicos.
Saber utilizar aplicaciones informáticas con recursos gráficos y
numéricos para visualizar las propiedades de continuidad y
derivabilidad de las funciones reales, y para plantear y resolver
problemas concretos.
Además de las señaladas anteriormente la asignatura pretende
contribuir al desarrollo de las siguientes capacidades de tipo
genérico o transversal:
 Capacidad de abstracción a partir de ejemplos concretos.
 Capacidad de uso del lenguaje matemático, de expresar
resultados de forma correcta y rigurosa, tanto de forma verbal como
escrita.
 Capacidad de imaginar, conjeturar e idear estrategias para
demostrar o rechazar conjeturas.
 Capacidad de formular problemas no matemáticos en lenguaje
matemático, de utilizar las relaciones y propiedades matemáticas
para contribuir a la solución del problema no matemático.
 Capacidad (y hábito) de utilización bibliográfica, en papel y
electrónica.
 Capacidad para trabajar en grupo.
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5. Contenidos
Cálculo de primitivas: Primitivas inmediatas. Cambio de variable.
Integración por partes. Funciones racionales. Algunas funciones
irracionales. Funciones trigonométricas.
Números reales y complejos: Definición axiomática de R. Primeras
propiedades. Potencias y raíces. Valor absoluto. El cuerpo de los
números complejos. Valor absoluto.
Sucesiones numéricas. Sucesiones convergentes. Sucesiones
monótonas. Subsucesiones y teorema de Bolzano-Weierstrass.
Sucesiones de Cauchy. Completitud de R y C. Potencias de base real
positiva y exponente real. Órdenes fundamentales de infinitud.
Funciones continuas y límites: Continuidad en un punto y
continuidad global. Teorema de Bolzano y propiedad de los valores
intermedios. Continuidad y monotonía. Función inversa. Continuidad
uniforme.
Cálculo diferencial: Concepto de derivada. Regla de la cadena.
Teoremas de Rolle y del incremento finito. Extremos de
funciones derivables. Teorema de la función inversa. Regla de
L'Hospital. Fórmula de Taylor. Funciones convexas. Estudio local
de funciones. Asíntotas. Dibujo de gráficas.
Cálculo integral: Integral de Riemann. Teorema fundamental del
cálculo. Regla de Barrow. Integración por partes. Cambio de variable
en integrales definidas.
Series numéricas e integrales impropias: Series numéricas e
integrales impropias. Criterios de convergencia por comparación
para series de términos positivos y funciones no negativas. Criterio
de la integral. Criterios del cociente y la raíz. Propiedades asociativa
y disociativa para series. Convergencia absoluta de series e
integrales. Teorema de Riemann sobre convergencia incondicional
de series. Producto de series. Criterios de Dirichlet y Abel sobre
convergencia de series e integrales no absolutamente convergentes.
Algunos métodos de sumación de series.
Series de potencias y funciones elementales: Series de
potencias. La función exponencial real y compleja. La función
logaritmo. Las funciones trigonométricas. Medida de los ángulos.
Representación geométrica de complejos, potencias y raíces.
Teorema fundamental del Álgebra.
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6. Metodología docente y Estimación del volumen de
trabajo del estudiante (ECTS)
6.1-Metodología docente
La metodología combinará la clase magistral, los talleres de
problemas, las prácticas con ordenador y el trabajo autónomo
(personal o grupal). Además, cada alumno tendrá entrevistas
personal con un profesor de la asignatura para analizar el proceso de
aprendizaje y realizar, en su caso, propuestas de mejora.
En las clases magistrales (en pizarra o con cañón de vídeo) el
profesor explicará los contenidos teóricos de la asignatura y
realizará ejemplos, ejercicios y aplicaciones que faciliten al
estudiante el aprendizaje de la teoría y las técnicas de aplicación. Se
utilizará el método deductivo de las Matemáticas junto con el empleo
de herramientas informáticas de cálculo simbólico, numérico y
dibujo, adecuadas a la consecución de los objetivos del curso.
 Se proporcionará a los estudiantes unas notas de clase que
incluirán enunciados y ejemplos de forma detallada, con
demostraciones de los mismos, o referencias bibliográficas
concretas. También aparecerán ejercicios resueltos y propuestos,
que podrán requerir la herramienta informática. Ocasionalmente el
alumno deberá proceder a la lectura individual comprensiva y
pública de ciertos apartados teóricos en clase.
 En los talleres de problemas los estudiantes trabajarán,
individualmente o en pequeños grupos, asistidos por el profesor,
tareas, ejercicios o problemas que les sean propuestos, con
anterioridad o en el momento, en conexión con los contenidos
teóricos o prácticos, como aplicación y profundización de los
mismos.
Ocasionalmente los estudiantes podrán exponer la solución de
ejercicios en la pizarra.
Realizada con disciplina y esfuerzo, esta es una actividad muy
importante para el aprendizaje y para ir conformando el «estilo» de
trabajo matemático, más allá incluso, de los propios contenidos
concretos de la asignatura. La discusión, replanteamiento de un
problema, forma de expresión, génesis de las ideas, etc. son
elementos básicos en el aprendizaje matemático y se desea que
estén presentes en estos talleres.
 Tanto en las clases magistrales como en los talleres de problemas
e incluso exámenes se hará uso de los recursos SOCRATES,
particularmente con la utilización sólo de herramientas de software
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libre de cálculo numérico, simbólico o gráfico.
 El trabajo autónomo personal (que puede combinarse con el
trabajo en grupo) realizado con constancia y regularidad es el
complemento necesario para clases magistrales y talleres. Se
alimenta de ellos y es imprescindible para poder sacarles partido.
El esfuerzo se dedicará unas veces a afianzar la comprensión o
memorización de las clases magistrales, otras a preparar los talleres
o a revisar a posteriori aquellos aspectos que no se terminaron de
comprender bien y otras, en fin, a realizar las tareas de problemas o
prácticas que hayan de ser entregados para la evaluación
continua.
El estudio de las matemáticas es una tarea que requiere mucho
tiempo de reflexión serena, personal, silenciosa... El estudiante debe
ir aprendiendo a ser consciente de ello, a saber «aguantar» horas de
estudio y reflexión, que a veces pueden ser, incluso, aparentemente
improductivas.
Los talleres de problemas representan una fórmula mixta, en la que
se desea facilitar y aprender el hábito del trabajo autónomo con la
presencia del profesor y los compañeros.
 Las tutorías serán utilizadas atender las dudas de los estudiantes
o revisar trabajos de casa, controles y exámenes.
6.2-Estimación del volumen de trabajo del estudiante (ECTS)
La asignatura tiene 12 créditos LRU, que representan entre 300 y 350
horas de volumen de trabajo para los estudiantes. De los cuales
aproximadamente 132 son presenciales y corresponden a clases
magistrales, talleres de problemas, controles, exámenes y tutorías.
Esto significa un promedio entre 2,3 y 2,7 horas de trabajo personal
por cada hora presencial.
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7. Temporalización o cronograma
54 horas en el primer cuatrimestre + 2 del control+ 4 examen parcial
54 horas en el segundo cuatrimestre + 2 del control+ 4 examen parcial
4 de examen final+ 4 tutorías
Tema
Tema
Tema
Tema
Tema
Tema
Tema
Tema
1
2
3
4
5
6
7
8
11
13
13
11
21
13
13
13
horas
horas
horas
horas
horas
horas
horas
horas
8. Evaluación
La evaluación versará sobre la adquisición de competencias y destrezas
fijadas para la asignatura. Se utilizarán dos instrumentos:
● A) exámenes y
● B) evaluación continua.
El resultado de la
aproximadamente un 70
continua.
La evaluación continua
información del proceso
acciones necesarias para
evaluación de los exámenes representa
%, el restante 30 % corresponde a la evaluación
permitirá a estudiantes y profesores obtener
de aprendizaje y, eventualmente, introducir las
mejorarlo.
1) Exámenes
Se realizarán dos exámenes parciales de la asignatura, uno al finalizar cada
cuatrimestre, y, eventualmente, un examen final. Dichas pruebas serán
escritas, y contendrán teoría y problemas, en un porcentaje aproximado del
40% y del 60%, respectivamente. La teoría corresponderá a conceptos y
resultados centrales del curso, claramente identificados en las notas de
clase, o consecuencias directas de los mismos.
El examen final sólo será obligatorio para las personas que no hayan
superado alguno de los parciales y versará sobre la asignatura entera
o la parte no superada, según la situación de cada cual, explicitada en un
listado que se publicará al efecto.
Cada uno de los exámenes se calificará de 0 a 10 puntos, y la nota que
corresponde a este apartado es la media de las notas obtenidas en los
parciales (o las eventuales recuperaciones en el examen final).
Para que la calificación obtenida en los exámenes (ya sean parciales o
final) pueda ser complementada con la calificación obtenida en la
evaluación continua será imprescindible obtener al menos 3’5 puntos, de
los cuales 2 como mínimo deberán corresponder a problemas.
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2) Evaluación continua.
Se propondrá a los estudiantes la entrega de ejercicios o proyectos, en
fechas concretas. Además se realizarán sendos controles escritos de
problemas a mitad de cada cuatrimestre. Estos materiales serán revisados
conjuntamente con el profesorado. La evaluación de este apartado se
realizará del siguiente modo:
a) Cada entrega será calificada de 0 a 10 puntos. Y la media de las notas
será la que corresponda a la entrega de ejercicios.
b) Cada control será calificado de 0 a 10 puntos. La media de las notas
mayores o iguales que 5 será la que corresponda a los controles.
c) La media de las notas obtenidas entre los apartados a) y b) constituye la
nota correspondiente a la evaluación continua.
La calificación en cada cuatrimestre, así como la calificación final, se
obtiene mediante
Calificac.=(calf. aptdo 1)· 0 ,7 + (calf. aptdo 2)· 0,3
Esto permitirá eliminar un parcial aunque en el correspondiente examen no
se haya alcanzado una calificación de cinco o superior. Además, una
puntuación en algún control de siete puntos o superior, podrá permitir la
eliminación de alguna pregunta en el parcial correspondiente. La
materialización de esta posibilidad no es automática, sino que será decisión
de los profesores de la asignatura, en base al nivel de adquisición de la
correspondiente competencia que el alumno haya mostrado en el control.
Para aprobar la asignatura hay que alcanzar 5 puntos.
En la convocatoria de septiembre se realizará un único examen de toda la
asignatura con las características generales del examen final. Una vez
calificado se aplicará el procedimiento más favorable para el alumno de
entre los dos siguientes:
A) la nota directa obtenida en el examen,
B) el resultado de multiplicar la nota obtenida en el examen por 0,7 y
sumarle la nota de la evaluación continua a lo largo del curso multiplicado
por 0,3; siendo requisito para poder aplicar este segundo método que la
nota obtenida en el examen sea al menos de 3,5 puntos, con un mínimo de
2 puntos de problemas.
En la convocatoria de febrero (abierta exclusivamente a alumnos que ya
cursaron la asignatura en el curso académico 2006–07, sin superarla), se
realizará un examen escrito que será el único elemento de evaluación.
9. Bibliografía recomendada:
Básica
 Mira, J.M.; Sánchez-Pedreño, S.; Notas de Análisis Matemático I.
Entorno SUMA.
 Mira, J.M. Elementos para prácticas con Maxima. Entorno SUMA
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 Ortega, J. Introducción al Análisis Matemático. UB, 1979
Fernández Viña, J.A. ; Sánchez Mañés, E. Ejercicios y
complementos de Análisis MatemáticoI. Tecnos. 1979.
Demidovich, B. P.; 5000 problemas de Análisis Matemático.
Paraninfo 1998
Complementaria
 T. M. Apostol, Calculus. Vol. 1 y 2. 2ª Edición., Ed. Reverté, 1992.
 http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm
 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/
Software
http://maxima.sourceforge.net
http://wxmaxima.sourceforge.net/
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