MACROECONOMIA DINAMICA I Instituto Tecnológico Autónomo de México Profesor: Carlos Urrutia PRIMERA HOJA DE EJERCICIOS Pregunta 1 Considere el Modelo de Crecimiento Neoclásico visto en clase con las siguientes formas funcionales: u(ct ) = log (ct ) en donde A > 0 y f (kt ) = Akt < 1 son parámetros dados. Para esta economía: a) De…na un Equilibrio Competitivo; b) Caracterize lo mejor posible el Equilibrio Competitivo (halle la ecuación de Euler, etc.); c) De…na Rt rt +(1 ). Usando las condiciones de primer orden del problema de maximización del consumidor más la siguiente condición de transversalidad: ! t Y 1 kt+1 lim t!1 Rj j=1 muestre que en equilibrio: ct = (1 ( ) Rt kt + 1 X l=t " l Y 1 Rj j=t+1 ! wl #) Dé una interpretación económica de este resultado; y d) Halle los valores en estado estacionario para k , c , y , r , w y la tasa de ahorro s . Para los siguentes incisos, asuma que la depreciación es completa ( = 1): e) Escriba el problema del plani…cador social usando el lenguage recursivo (tienen que especi…car el espacio de estados, la función de retorno, etc.) ; f) Resuelva analíticamente el problema del plani…cador social recursivo iterando la función de valor de la siguiente manera: partiendo de vo (k) = 0, encuentre recursivamente expresiones para v1 (k), v2 (k), .... , y construya v (k) = lim vn (k). Cuales son las reglas de decisión óptimas para el consumo y la n!1 inversión asociadas a esta función de valor? Los últimos incisos no requieren resolver nada en Matlab, pueden hacerse facilmente en Excel o eventualmente hasta con una calculadora: g) Dados los siguientes valores para los parámetros: = 0:3 = 0:95 A = 1 Usando las reglas de decisión óptimas halladas en el inciso (f), y partiendo de k0 = 0:5k , gra…que la trayectoria de equilibrio (transición al estado estacionario) para kt y ct ; h) En base a los resultados anteriores, gra…que las trayectorias para ct , yt , rt , wt , la tasa de ahorro st y la tasa de crecimiento de yt ; y i) Partiendo del estado estacionario del modelo, analice numéricamente el efecto de corto y largo plazo en las variables ct , yt , rt , wt , st de un aumento en la productividad, de A = 1 a A = 2. ¿En cuanto tiempo el capital corta en dos la distancia entre su nivel inicial y el nuevo estado estacionario? 2 Pregunta 2 Considere una versión del Modelo de Crecimiento Neoclásico con decisión trabajo-ocio (y n = 0). La función de utilidad del agente representativo está dada por: 1 X t U0 = u (ct ; 1 lt ) t=0 en donde lt denota la fracción de la dotación de tiempo destinada al mercado de trabajo (luego, 1 lt es el ocio). Asuma que u es continua, estríctamente creciente y estríctamente cóncava. El agente representativa maximiza su utilidad sujeto a la restricción presupuestaria: ct + it = wt lt + rt kt y a la ley de movimiento del capital usual. La empresa representativa maximiza bene…cios sujeta a una tecnología descrita por las función: Yt = F (Kt ; Lt ) que asumimos continua, estríctamente cóncava y con rendimientos a escala constantes. a) De…na un equilibrio competitivo recursivo para esta economía; b) De…na el problema del plani…cador social para esta economía usando el lenguage recursivo (tienen que especi…car el espacio de estados, la función de retorno, etc.); c) Veri…que que los supuestos necesarios para usar el Teorema de la Contracción se cumplen; d) Escriba un algoritmo que implemente el método de iteración de la función de valor para resolver el problema del plani…cador social recursivo. No necesitan escribir un programa en Matlab, pero sí una explicación detallada de cada paso. 3 Pregunta 3 Considere ahora una versión del Modelo de Crecimiento Neoclásico con dos sectores. La familia representativa maximiza una función de utilidad intertemporal logarítmica (que depende sólo del consumo) sujeto a la restricción presupuestaria: Ct + qt It = wt L + rt Kt en donde qt es el precio relativo del bien de inversión, y a la ley de movimiento del capital usual. La empresa representativa productora del bien de consumo maximiza bene…cios sujeta a una tecnología descrita por las función: Ytc = (Ktc ) (Lct )1 con > 0 y 0 < < 1. De otro lado, la empresa productora de bienes de inversión no usa capital (solo trabajo) y maximiza bene…cios sujeta a la tecnología lineal: Yti = Lit En equilibrio, debe cumplirse que Lct + Lit = L. a) Usando variables por trabajador (i.e. ct = Ct =L), de…na un Equilibrio Competitivo para esta economía. b) Caracterize lo mejor posible el Equilibrio Competitivo. c) Encuentre los valores de estado estacionario de k , c , i , lc y q . d) De…niendo el PIB como yt ct + qt it , y la tasa de ahorro como st qt it =yt , encuentre los valores de estado estacionario de y y s . ¿Cómo se ven afectados estos valores si aumenta la productividad del sector productor de bienes de inversión ( ")? 4 Pregunta 4 Considere el siguiente modelo con bienes duraderos. La familia representativa maximiza su utilidad esperada: 1 X t [u (ct ) + v (dt )] t=0 donde ct representa el consumo del único bien de la economía y dt el stock de bienes duraderos (i.e., carros, televisores, etc.). Ambas funciones u y v son continuas, crecientes y cóncavas. El stock de duraderos evoluciona de acuerdo a: dt+1 = dt + idt donde idt representa las compras de bienes duraderos en t (estos bienes no se deprecian). La familia es además dueña del capital, que evoluciona de acuerdo a: kt+1 = (1 ) kt + it De otro lado, tenemos una …rma representativa que produce el único bien usando la función de producción con rendimientos a escala constantes: yt = F (kt ; 1) = f (kt ) Por simplicidad, suponga que no hay cambio técnico exógeno ni crecimiento de la población. a) De…na un equilibrio competitivo secuencial para esta economía; b) De…na el problema del plani…cador social y caracterize la solución del mismo; c) Escriba el problema del plani…cador social usando el lenguaje recursivo; y d) Describa brevemente un algoritmo para resolver numéricamente el problema del plani…cador social. 5 Pregunta 5 [Modelo de Barro, 1990 ] : Considere el siguiente modelo de crecimiento, en donde el gasto del gobierno entra en la función de producción (en forma intensiva) de la siguiente manera: f (kt ) = kt gt1 El gasto de gobierno es …nanciado mediante un impuesto a los retornos del capital: gt = rt kt Asuma por simplicidad una función de utilidad logarítmica, y que no hay crecimiento de la población ni progreso técnico. a) De…na un Equilibrio Competitivo para esta economía; b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; c) Muestre que NO existe un estado estacionario para este modelo (Ayuda: muestre que, en cierto sentido, este modelo es similar al modelo Ak visto en clase); d) Encuentre la tasa de crecimiento de largo plazo de la economía como función del valor del impuesto ; y e) Encuentre el valor de la economía. que maximiza la tasa de crecimiento de largo plazo de Pregunta 6 [Modelo de Jones, 1999 ] Considere el modelo de crecimiento endógeno con externalidades de Romer, pero con dos cambios importantes. Primero, suponga que la función de producción de la empresa i es F (Kti ; Kt Lit ) = Kti Kt Lit con < 1 . Segundo, suponga que la población crece a la tasa constante n > 0, luego Lt+1 = (1 + n) Lt . a) Usando variables por trabajador, de…na un Equilibrio Competitivo para esta economía; 6 b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; c) Considere una senda de crecimiento balanceado en la cual las variables por trabajador ct , it , k t , crecen a la misma tasa g. Encuentre esa tasa de crecimiento g como función de los parámetros , y n. ¿Depende esta tasa de crecimiento g del tamaño inicial de la población L0 ? Suponga ahora que el gobierno implementa un subsidio s a la inversión, …nanciado mediante un impuesto de suma …ja cobrado al consumidor representativo. d) Usando variables por trabajador, de…na un Equilibrio Competitivo para esta economía; e) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; f) Considere una Senda de Crecimiento Balanceado en la cual las variables por trabajador ct , it , k t , crecen a la misma tasa g. Encuentre esa tasa de crecimiento. ¿Depende del valor del subsido s? Pregunta 7 [Modelo de Rebelo, 1991 ] Considere el modelo de dos sectores que analizaron en la Pregunta 3, pero en el cual la función de producción del sector de bienes de inversión es ahora lineal en el capital Yti = Kti (este modelo se conoce también como el modelo Ak de dos sectores). a) Usando variables por trabajador, de…na un Equilibrio Competitivo para esta economía; b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo; c) Considere una senda de crecimiento balanceado en la cual el consumo por trabajador ct crece a una tasa constante gc y el capital por trabajador crece a una tasa también constante, pero diferente, gk . Encuentre esas tasas de crecimiento como función de los parámetros , , , . d) En la senda de crecimiento balanceado descrita en (c), ¿a qué tasa crece (o decrece) el precio del bien de inversión relativo al del consumo qt ? ¿A qué tasa crece el PIB? ¿Qué sucede con la tasa de inversión I=Y ? 7 Pregunta 8 Considere un modelo simple de crecimiento con investigación y desarrollo. El plani…cador social maximiza la utilidad intertemporal del agente representativo: 1 X t log t=0 Ct Lt sujeto a la condición de factibilidad Ct + It = At (Kt ) (Lyt )1 (en donde Lyt es la cantidad de trabajadores en el sector productor de bienes), la ley de movimiento del capital habitual Kt+1 = (1 ) Kt + It la ley de movimiento de la tecnología At+1 = At LA t (en donde LA t es la cantidad de trabajadores en el sector de investigación y desarrollo y es un parámetro) y la condición de cierre Lyt + LA t = Lt La idea del modelo es que dedicando recursos (en este caso, trabajo) a la investigación se puede mejorar la tecnología de mañana. Sin embargo, ésto implica dedicar menos recursos a producir bienes hoy. Por simplicidad, no hay crecimiento de la población, luego Lt = L. a) Usando variables per-cápita, escriba el problema del plani…cador social y encuentre las condiciones de primer orden. Caracterice la solución del problema del plani…cador como un sistema de ecuaciones en diferencia; b) Muestre que si = 0 el modelo es consistente con un estado estacionario, en el cual ct , kt , At y la fracción lty son constantes. ¿Por qué se agota el crecimiento en este caso? 8 c) Muestre ahora que si = 1 el modelo es consistente con una senda de crecimiento balanceado, en la cual las tasas de crecimiento gc , gk , gA y la fracción lty son constantes (aunque no necesariamente iguales). Encuentre esas tasas de crecimiento y muestre que dependen positivamente del tamaño de la población L. ¿Por qué hay efectos de escala en este modelo? d) Intente descentralizar la solución e…ciente para un valor general de . [Sólo les pido que escriban una de…nición de equilibrio competitivo que sea consistente con el problema del plani…cador social analizado anteriormente. No tienen que resolver el equilibrio ni demostrar los teoremas del bienestar para este modelo] Lecturas para el Examen Parcial Christiano, Larry. "Understanding Japan’s Saving Rate: The Reconstruction Hypothesis". Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, 1989 Prescott, E. "Needed: A Theory of Total Factor Productivity". International Economic Review, 1998 Restuccia, D. y C. Urrutia, “Relative Prices and Investment Rates”, Journal of Monetary Economics, 2001 Ohanian, L., "The Economic Crisis from a Neoclassical Perspective," Journal of Economic Perspectives, 2010 9