EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Sep`13 A

I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2013-14.
EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Sep’13 A
Sea R la región factible definida por las siguiente inecuaciones:
a) (0.5 puntos) Razone si el punto (4.5, 1.55) pertenece a R.
b) (1.5 puntos) Dada la función objetivo F(x, y) = 2x - 3y, calcule sus valores extremos en R.
c) (0.5 puntos) Razone si hay algún punto de R donde la función F valga 3.5. ¿Y 7.5?
a)
b) Región factible.
Rectas:
r1 / x ' 3y Y r1 / y '
x
3
x
y
0
0
3
1
r2 / x ' 5 Y recta vertical por (5, 0)
r3 / y ' 1 Y recta horizontal por (0, 1)
Semiplanos:
< P1 (1 , 0)
Y 1 $ 3 " 0 (V) Y P1 0 S1 (semiplano por debajo de r1 incluida r1)
x $ 3y /00
< P2 (0 , 0)
Y 0 # 5 (V) Y P2 0 S2 (semiplano a la izquierda de r2 incluida r2)
x # 5 /00
< P3 (0 , 0)
Y 0 $ 1 (F) Y P3 ó S3 (semiplano por encima de r3 incluida r3)
y $ 1 /00
Luego, la región factible es el recinto plano triangular ABC incluidos los lados.
Optimización. A partir de la función objetivo
, obtenemos la recta
la representamos a partir de su vector director
.
Para obtener los valores óptimos se desplaza d paralelamente a sí misma dentro de la región factible:
- El óptimo máximo se alcanza en el punto de dicha región más alejado hacia la derecha (B(5,1)).
El máximo valor de z es
.
- El óptimo mínimo se alcanza en el punto de dicha región más alejado hacia la izquierda (A(3,1)).
El mínimo valor de z es
.
c) El valor máximo de F es 7, luego, no puede ser 7,5.
El valor mínimo de F es 3, luego, sí podría ser 3,5.
3,5 & 2x
Si z ' 2x & 3y ' 3,5 Y r / y '
debe pasar por el recinto y cortar a r3 entre x = 3 y x = 5.
&3
3,5 & 2x
3,5 & 2x
r/y'
' 1 Y 3,5 & 2x ' &3 Y 6,5 ' 2x Y x ' 3,25 Y P (3.25, 1)
P:
&3
&3
r3 / y ' 1
Luego, r corta a r3 en el punto P(3.25, 1) que pertenece al recinto factible R.
,y