Notas sobre El pozo de Potencial infinito

Del escritorio de
Armando Euceda
Postulados de la Mecánica Cuántica1
POSTULADO 1: A cualquier cantidad observable en física (llamémosla A) que sea autoconsistente y esté bien definida (por ejemplo: posición, momento lineal, momento angular, energía,
masa, número de partículas, etcétera.), corresponde un operador llamado 𝐴̂, tal que las mediciones
de A nos dan valores (llamados a) que son autovalores (eigenvalores o eigenvalues) de 𝐴̂. Es
decir, los valores, a, son esos valores para los cuales la ecuación
𝐴̂𝜓 = 𝑎𝜓
tiene una solución 𝜓. La función 𝜓 es llamada la eigenfunción de 𝐴̂ correspondiente al autovalor a.

En el postulado se incluye:
Términos o Propiedades
Significado
𝑨
Cantidad que puede ser observable o medible en un
experimento.
Propiedad de
Autoconsistencia
Cantidad que -en el marco de toda la teoría- guarda
consistencia, es decir que no conduce a resultados paradójicos.
Función “bien definida”
La
función
no
presenta
comportamiento
irregular,
discontinuidades, singularidades o no es “cuadrado integrable”
.
Operador matemático definido de acuerdo y en consistencia
con el esquema lógico de la mecánica cuántica.
̂
𝑨
Mediciones de 𝑨
Resultados obtenidos al realizar un experimento.
Autovalores, eigenvalores o
valores propios (en inglés
“eigenvalues”).
Concepto utilizado en el álgebra lineal (Se utiliza cuando un
operador que actúa sobre un vector produce el mismo vector
multiplicado por un número, en general complejo).
𝒂
Es el autovalor de la eigenfunción 𝜓.
𝝍
Es la eigenfunción o función de estado cuyo autovalor es a.

Los operadores de interés deben corresponder a cantidades físicas observables.

La tabla siguiente presenta observadores de interés:
1
Notas de trabajo traducidas y adaptadas por Armando Euceda.
La referencia principal para esta sección es (Liboff, 2003).
Página 1
Variable o Cantidad Clásica
𝒙,
𝒚,
Operador Cuántico
𝒛
𝑥̂, 𝑦̂, 𝑧̂
𝒑𝒙
𝒑𝒚
𝒑𝒛
⃗
𝒑
Acción del Operador
𝑥̂ 𝜓 = 𝑥𝜓;
2
𝑦̂ 𝜓 = 𝑦𝜓; 𝑧̂ 𝜓 = 𝑧𝜓
𝑝̂𝑥 = −𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑥
𝑝̂𝑥 𝜓 = −𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝑝̂𝑦 = −𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑦
𝑝̂𝑦 𝜓 = −𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑝̂𝑧 = −𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑧
𝑝̂𝑦 𝜓 = −𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝜕𝑧
̂ = −𝑖ℏ𝛁
𝒑
̂ 𝜓 = −𝑖ℏ𝛁𝜓
𝒑
Ejemplo: El operador del momento lineal
A la cantidad observable que conocemos como el momento lineal 𝑝 le
̂ = −𝑖ℏ𝛁 .
corresponde el siguiente operador: 𝒑
 Si el movimiento es en una dimensión el operador es
La ecuación de eigenvalores para este operador es −𝑖ℏ
𝑝𝑥 = −𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑥
;
= 𝑝𝑥 𝜓
Los valores de 𝑝𝑥 representan los valores posibles que pueden ser
medidos experimentalmente para una partícula que está confinada a
moverse en una dimensión.
o Caso especial: La partícula libre
No tiene ninguna limitación para moverse en el eje x [ 𝑉(𝑥) = 0 ].
La solución de la ecuación de eigenvalores es
donde
𝑘=
𝑝𝑥
ℏ
𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥
.
Como el problema es en una dimensión se puede escribir 𝑝 = 𝑝𝑥 y eliminar
el subíndice x.
2
NOTA: no confundir con la notación de los vectores unitarios a lo largo de los ejes cartesianos.
Página 2
El Potencial de Pozo Infinito
La ecuación de Schrodinger en una dimensión es dada por
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓
+ 𝑉(𝑥)𝜓 = 𝐸𝜓
2𝑚 𝑑𝑥 2
Considérese la energía potencial siguiente
𝑉(𝑥) = {
0,
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎,
∞, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
Observaciones:

La partícula tiene prohibido moverse fuera del pozo de potencial.

La partícula puede moverse libremente en el interior del pozo [𝑉(𝑥) = 0].

Este potencial es artificial pero es de mucha utilidad para entender el tratamiento de la
ecuación de Schrodinger.

La ecuación de Schrodinger se reduce a
−
ℏ2 𝑑 2 𝜓
2𝑚 𝑑𝑥 2
= 𝐸𝜓 ⇒
𝑑2𝜓
𝑑𝑥 2
=−
2𝑚𝐸
ℏ2
𝜓
Nótese que esta ecuación tiene la forma de una ecuación de onda
𝑑2𝜓
𝑑𝑥 2
= −𝑘 2 𝜓 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 2 =
2𝑚𝐸
ℏ2
.

Es posible mostrar que para obtener soluciones físicamente válidas los valores de E
permitidos solo pueden ser positivos.

La ecuación anterior es la ecuación clásica del Oscilador Armónico Simple (¡no
cuántico!).

La solución general de esta ecuación es
constantes arbitrarias.

A y B son determinadas por las condiciones de frontera del problema (por ejemplo los
valores de 𝜓(𝑥) 𝑦
𝑑𝜓
𝑑𝑥
𝜓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥, donde A y B son
en los puntos 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 𝑎).

En este problema en particular 𝜓 debe ser continua en los puntos antes mencionados.
Esto implica que
𝜓(0) = 𝜓(𝑎) = 0,
para que coincidan con las soluciones
fuera del pozo.

Utilizando esta idea
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𝜓(0) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(0) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(0) = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 0
Esto reduce la función de estado a 𝜓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥.

En el otro extremo

Se descarta el valor de 𝑘 = 0.

Se descartan las soluciones negativas porque no aportan información adicional ya que,
𝑠𝑒𝑛(−𝜃) = −𝑠𝑒𝑛(𝜃).

Las distintas soluciones son

Las condiciones de frontera en 𝑥 = 𝑎 permite determinar la constante 𝑘, lo que permite
encontrar los posibles valores de la energía E:
𝜓(𝑎) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘𝑎 = 0, ⇒ 𝑘𝑎 = ±𝑛𝜋, 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, …
𝐸𝑛 =

𝑘=
𝑛𝜋
𝑎
,
𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1, 2, 3, …
ℏ2 𝑘𝑛2
𝑛2 𝜋 2 ℏ2
=
, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1, 2 3, …
2𝑚
2𝑚𝑎2
Nótese que la energía del estado base (n = 1) es la mínima energía permitida y es igual a
𝐸1 =
𝜋2 ℏ2
2𝑚𝑎2
.

Los otros valores de la energía aumentan en proporción a n2; son los llamados estados
excitados:
𝐸𝑛 = 𝐸1 𝑛2 .

Una partícula cuántica sometida a este potencial (pozo cuadrado infinito) no puede tener
cualquier valor de la energía. ¡La energía está cuantizada! Solamente se permiten
valores especiales (discretos).

Para encontrar el valor de la constante A se debe “normalizar” la función de onda.
∞
∫ |𝐴|2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑘𝑥)𝑑𝑥 = |𝐴|2
−∞
𝑎
= 1,
2
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
|𝐴|2 =
2
𝑎
𝐴 = √2⁄𝑎

De esta expresión se toma la raíz positiva de A:

Dentro del pozo infinito la solución de la función de estado es
2
𝑛𝜋
𝜓𝑛 (𝑥) = √ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥), 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1, 2 3, …
𝑎
𝑎
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 A partir de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo para una partícula
atrapada en un pozo de potencial se han encontrado un conjunto infinito de soluciones,
cada una correspondiente a un valor en particular de n.
 𝜓1 (𝑥) es el estado cuántico de mínima energía, es llamado el “Estado Base”.
 Como grupo las funciones 𝜓𝑛 tienen las siguientes propiedades:
1.
Nótese que las funciones son alternativamente funciones pares o impares con
respecto al centro del pozo (𝜓1 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝜓2 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝜓3 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑦 𝑎𝑠í 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)
2.
A medida que se aumenta en energía, cada estado sucesivo tiene un nodo más
(punto donde la función corta al eje de las x).
3.
Todos los estados cuánticos son mutuamente ortogonales. Es decir:
Combinando las condiciones de ortogonalidad y normalización se puede escribir:
∞
∫ 𝜓𝑛 (𝑥)∗ 𝜓𝑚 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝛿𝑚𝑛 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑒𝑙 𝐾𝑟𝑜𝑛𝑒𝑐𝑘𝑒𝑟 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎) 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝛿𝑚𝑛 = {
−∞
0, 𝑠𝑖 𝑚 ≠ 𝑛;
1, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛.
Se puede decir que las funciones de estado (las 𝜓) son ortonormales.
4.
Estas funciones representan un conjunto completo, en el sentido que cualquier otra
función, f(x), puede ser expresada como una combinación lineal de ellas:
2
𝑛𝜋
𝑎
𝑎
𝑓(𝑥) = ∑∞𝑛=1 𝑐𝑛 𝜓𝑛 (𝑥) = √ ∑∞𝑛=1 𝑐𝑛 𝑠𝑒𝑛(
𝑥) .
La ecuación anterior es la serie de Fourier para f(x).
∞
Los coeficientes de esta serie están dados por 𝑐𝑛 = ∫−∞ 𝜓𝑛 (𝑥)∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
Referencia consultada
Liboff, R. L. (2003). Introductory Quantum Mechanics. Addison Wesley.
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