cube - actividades - Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores

CUBE - ACTIVIDADES
1.- Sobre la película
1.- ¿Qué te ha parecido la película?
2.- ¿Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado?
3.- ¿Qué te ha llamado más la atención? ¿Cambiarias algo? ¿Por qué?
4.- ¿Con cuál de los personajes más te identificas? Analiza la personalidad y el
proceder de cada uno de ellos y trata de determinar si su actitud ante la vida refleja de
algún modo nuestra sociedad.
5.- ¿La visión de la película es muy pesimista o crees que es realista?
2.- Referencias presentes en la película
1.- La mayor parte de las críticas de la película la emparientan con la obra de Franz
Kafka. Averigua a qué se debe esta similitud recabando información sobre las obras y el
pensamiento de este importante escritor. ¿Conoces otras películas, novelas o expresiones
artísticas relacionadas con Kafka? ¿Crees que su idea de la vida y la sociedad está vigente
en la actualidad?
2.- El argumento de Cube es parecido al de la novela El Señor de las moscas, de
William Golding. Localiza este libro o la película del mismo título, y compárala con Cube.
3.- Otras referencias que aparecen en el film son:
• La teoría de la conspiración (seguro que te recuerda a una película de Mel
Gibson y Julia Roberts). ¿Crees que esta teoría es posible?
• Los números primos. ¿Por qué son tan importantes? Trata de averiguar
algo de su historia y de sus aplicaciones prácticas.
• El autismo. ¿En que consiste? ¿Son ciertas las facultades que se les
suponen a los autistas?
• El cubo de Rubik. Los movimientos de las salas y la idea del cubo
recuerdan a este conocido pasatiempo. ¿Qué matemáticas subyacen en él?
3.- Actividad matemática.-Códigos y criptografía
En la película cada estancia del enorme cubo está etiquetada con un número de
nueve dígitos separados en grupos de tres. Leaven, la joven estudiante de matemáticas,
deduce que en estos números están incluidas algunas características de las salas:
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1.- Si tienen o no trampas mortales
2.- La posición relativa de cada una respecto al Cubo.
3.- Los movimientos que van describiendo
Las diferentes placas que nos muestran la película tienen los siguientes números:
566 472 737
476 804 939
582 434 865
149 419 568
645 372 649
656 778 462
517 478 565
666 897 466
567 898 545
Cuestiones
1.- En un principio Leaven supone que una habitación tiene trampa si alguno de los
tres números que la identifica es un número primo. ¿Cuáles de los números anteriores
cumplen esta condición?
2.- Sin embargo, esa suposición se comprobó que era errónea, y que la trampa
existía si alguno de los números era potencia de un primo. ¿Qué salas de las descritas lo
cumplen? ¿Es ésta segunda hipótesis más general o más restrictiva que la anterior? ¿Por
qué?
3.- Para determinar la posición relativa de las habitaciones en el conjunto total,
deben sumarse los dígitos de cada grupo entre sí. Por ejemplo, la sala 582 434 865 daría
las coordenadas (15, 11, 19). Obtén las coordenadas de cada sala y comprueba si en
algún caso responden a estancias adyacentes. ¿Contradicen los resultados el argumento
de la película?
4.- Suponiendo que los movimientos de los cubos obedecieran a una ley fija,
programada, los protagonistas necesitarán conocer en qué momento vuelven a la posición
original con la esperanza de hallar la salida. En la película la pauta que siguen es la
siguiente: tomemos como ejemplo la sala 567 898 545 (es decir, la correspondiente a las
coordenadas (18, 25, 14)). Se restan los dígitos del siguiente modo:
567
→ 5 − 6 = −1 ; 6 − 7 = −1 ; 7 − 5 = 2
898
→ 8 − 9 = −1 ; 9 − 8 = 1 ; 8 − 8 = 0
545
→ 5 − 4 = 1 ; 4 − 5 = −1 ; 5 − 5 = 0
De aquí resultan, tomándoles por columnas, los vectores de permutación (−1, −1,
1), (−1, 1, −1), (2, 0, 0). Estos vectores nos indican las tres posibles posiciones para la
habitación 567 898 545, que son:
(18, 25, 14) + (−1, −1, 1) = (17, 24, 15)
(17, 24, 15) + (−1, 1, −1) = (16, 25, 14)
(16, 25, 14) + (2, 0, 0) = (18, 25, 14)
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Obsérvese que con este procedimiento, cada tres movimientos, siempre se vuelve a la
posición de partida. ¿Puedes explicar por qué?
5.- Según esto, conociendo la posición de la habitación actual y las de las
adyacentes, se puede saber si estamos en posiciones consecutivas y en qué movimiento
volvemos a la situación de partida. En la película, estando en el cubito de coordenadas
(17, 25, 14), Leaven pide a sus compañeros que le indiquen los números de las salas
contiguas, que son 666 897 466, 567 898 545 y 656 778 462. ¿Corresponden estas
codificaciones a posiciones consecutivas para alguna de sus permutaciones? (NOTA: en el
montaje final de la película se descartaron algunas escenas).
En nuestra vida cotidiana utilizamos con mucha frecuencia códigos numéricos o de
letras que guardan algún tipo de información como sucede con los números de las
habitaciones de la película. Gran parte de la información sobre personas que se guardan
en las bases de datos de los ordenadores están codificadas. Analicemos dos ejemplos, el
I. S. B. N. de los libros y el N. I. F. de las personas.
En primer lugar debemos familiarizarnos con el concepto matemático en que se
basan algunas codificaciones: las congruencias.
Dos números, a y b, se dice que son congruentes módulo n, y se denota
mediante a ≡ b (mod n), si a − b es un múltiplo de n. Por ejemplo 27 ≡ 17 (mod 5) porque
27 − 17 = 2 ⋅ 5. Observa que el resto de dividir 27 y 17 entre 5 es precisamente 2. Las
congruencias son muy utilizadas en teoría de números porque los números congruentes
suelen tener propiedades comunes. De este modo, para trabajar con números grandes
como 1234567890 o 257159, es habitual utilizar otros números congruentes con ellos más
pequeños.
6.- Resuelve las siguientes cuestiones:
i.- encontrar tres números “a” tales que a ≡ 23 (mod 7).
ii.- ¿Existe algún n para el que 3137 ≡ 123 (mod n)?
iii.- Trata de probar que si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), entonces a+c ≡ b+d
(mod n) y que ac ≡ bd (mod n).
7.- Los libros se codifican mediante los números del I. S. B.
N. (International Standard Book Number). Observa el ISBN de la
figura:
* El primer grupo de dígitos indica el país (o el idioma). En
España, por ejemplo, es el 84.
* El segundo grupo de dígitos designa la editorial.
* El tercer grupo es un número asignado al libro por la
editorial.
* El último carácter, el décimo, es un factor de
comprobación. Si designamos el número completo por x1 x2 x3 x4
x5x6x7 x8x9 el décimo dígito verifica la relación
x10 ≡
9
∑i x
i
(mod 11)
i= 1
Comprueba si el ejemplo anterior corresponde de verdad a un I. S. B. N. e indica
cuál de los siguientes es falso:
a) 0 - 13165332 - 6
b) 0 - 1392 - 4101 - 4
c) 07 - 028761 - 4
¿Podrías calcular el número X que falta en el ISBN siguiente 0 - 201 - 1X - 502 - 7?
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Las librerías utilizan el I. S. B. N. para encargar los libros. Es más rápido y sencillo,
con la ayuda del ordenador y el correo electrónico, transmitir un número que el título del
libro, su autor, la editorial, el año de edición, etc.
8.- Prácticamente todos los productos que compramos hoy en día llevan un código
de barras y un número. En la caja registradora, el código de barras se examina mediante
un lector láser que envía un mensaje a un ordenador, donde se encuentran los precios de
todos los productos, cuántos artículos como ese quedan, etc. El ordenador envía la
información oportuna a la pantalla de la caja registradora y hace imprimir el recibo
correspondiente. Los números del código de barras del artículo suelen seguir la siguiente
estructura:
* el código del país, 97, en el ejemplo de la página anterior. (Cada producto suele
tener códigos diferentes).
* Referencia del fabricante: 88460
* Número del producto: 48958
* Dígito de control: 0
Como puedes comprobar, parte del código de I. S. B. N. del libro del ejemplo está
contenido en el código de barras. Para los códigos de barras, el dígito de control se
calcula del siguiente modo: se suman las seis cifras que ocupan los lugares impares
empezando por la izquierda; llamemos a este valor X. A continuación se suman las seis
cifras de los puestos pares, Y. Se tiene que cumplir que
X − Y + dígito de control ≡ 0 (modulo n),
donde el valor de n suele ser 8 o 6, aunque para cada tipo de producto puede haber un
“n” diferente. Comprueba que en el ejemplo anterior “n” es 8, y realiza el cálculo para
otros productos de diferente clase.
9.- También el cálculo de la letra del N. I. F. (Número de Identificación Fiscal) de
cada D. N. I: obedece a un algoritmo y a una codificación. En este caso, se calcula el
número del D. N. I. módulo 23 y al valor obtenido se le asigna una letra según la
siguiente clave:
0 → T;
1→ R;
2→ W;
3→ A;
4 → G;
5→ M;
6→ Y;
7→ F;
8→ P;
9→ D;
10→ X;
11→ B;
12→ N;
13→ J;
14 → Z;
15→ S;
16→ Q;
17→ V;
18→ H;
19→ L;
20→ C;
21→ K;
22→ E.
Obtén la letra de tu D. N. I., y calcula tres N. I. F. distintos que tengan la C como
letra del N. I. F.
10.- Intenta resolver las siguientes cuestiones:
a) Se han recibido los siguientes N. I. F. por correo electrónico. ¿Son correctos o ha
habido algún error en la trascripción 42. 094. 683 - Z y 5. 080. 569 - D?
b) El N. I. F. no puede corregir un error a menos que se sepa en qué posición está
el dígito equivocado. Prueba de ello es la siguiente cuestión: De un N. I. F. se desconoce
el número de las decenas, 312. 0X8. Se sabe que la letra es la T. ¿Cuál es el dígito que
falta? ¿Puede haber algún otro error?
Los códigos también se han empleado y se emplean en la transmisión de mensajes
secretos. El cifrado de mensajes data de los tiempos más remotos, aunque es sobre todo
a partir de la II Guerra Mundial cuando más se ha desarrollado. La ciencia que estudia la
seguridad en las transmisiones para que determinadas informaciones no sean
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descubiertas ni descifradas por personas, empresas o instituciones que no se desea se
llama criptografía. Algunos de los sistemas más complejos de codificación se basan en
resultados matemáticos. Trata de averiguar algo más sobre la criptografía, su historia, los
métodos tradicionales de codificación de mensajes, etc. En particular recaba información
sobre el sistema RSA de clave pública, uno de los más utilizados en la actualidad, basado
en la dificultad de factorizar números primos de gran tamaño. Aunque todo el mundo sabe
cómo descifrarlo (clave pública), sólo los que conocen la factorización en producto de dos
números primos gigantescos de otro número mucho mayor pueden descifrar los mensajes
encriptados con este procedimiento.
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