Quantum-Gym - raulbarrachina.com.ar

•
Quantum-Gym
(Ejercicios a discreción)
Por:
WILLY
INÉs
PREGLIASCO
SAMENGO
CRISTIAN
JUANA
RAúL
"Don'! feel bad about falsifying
!he solu!ion. I falsified !he problem."
INSTITUTO
BALSEIRO
~ Otoño 1993 ~
DENTON
GERVASONI
BARRACHINA
Indice
1 Interpretación
de la Mecánica Cuántica
2 Matriz Densidad
3
Momento
Cinético y Wigner-Eckart
4
Emisión y Absorción de Radiación
Aproximación
4
8
12
17
5 Pert ur baciones
6
1
WKB
21
7 Atomos de Uno y Dos Electrones
23
8 Atomos Multielectrónicos
27
Moléculas
30
10 Colisiones
32
11 Un Baldazo de Problemas
37
12 Tablas y Machetes
51
13 Referencias
59
9
Agradecidas
1
1
Interpretación de la Mecánica Cuántica
La siguiente es una encuesta realizada a los alumnos el primer día de clases. La idea
es enfrentarlos directamente al problema y utilizar sus respuestas para ilustrar la clase
teórica correspondiente.
2
p
t!-I 02
""
'"
'"
""
""
'"
,-
Barrera de Potencial
7t~O
7
O. Considere el experimento que se detalla en la figura. Enviamos una partícula, a
t = to, contra una barrera de potencial que tiene un coeficiente de reflección R < 1.
Transcurrido un lapso de tiempo, a t = tI, detectamos la partícula en uno de los dos
detectores DI y D2, con probabilidades R y 1 - R respectivamente. La pantalla P
es probable que no la usemos para nada. Si la partícula es detectada en DI, decimos
que fue reflejada por la barrera de potencial. Si se la detecta en D2 decimos que se
transmite.
¿ Cuándo se transmite o refleja la partícula? Elija una de estas opciones:
(a) Qué ganas de preguntar pavadas, la partícula se refleja o se transmite al chocar
con la barrera de potencial. Con DI y D2 sólo detectamos lo que sucedió
realmente.
(b) La pregunta no tiene sentido. Es típica de una mente enferma de mecánica
clásica. La partícula no se refleja ni se transmite.
(c) Se ve que nunca leyeron textos de divulgación, cualquiera sabe que la partícula
no se transmite ni se refleja antes de la medición. La misma medición provoca
el colapso de la función de onda.
(d) Yo soy un tipo con ideas propias y ninguna de estas respuestas estereotipadas
va conmIgo.
Si su respuesta fue (a)
Considere ahora que en lugar de DI y D2 colocamos sendos espejitos. Sobre la
pantalla P la distribución de probabilidades presenta un patrón de interferencia.
;,Cómo es que se produce?
Si su respuesta fue (b)
¿Por qué siempre detectamos la partícula de uno (y sólo de uno) de los dos lados?
3
Si su respuesta fue (e)
Bien, hilemos más fino: ¿Qué provoca el colapso de la función de onda?:
(i) La presencia de los detectores DI y D2.
(ii) La interacción de la partícula con los detectores DI y
D2.
(iii) La toma de conciencia del resultado por parte de un observador.
Si su respuesta fue (i)
Considere ahora que los detectores son también sistemas cuánticos.
¿ Qué es lo que produce el colapso de los detectores?
Si su respuesta fue (ii)
Considere ahora la siguiente variante: retiramos el detector D2.
Lanzamos la partícula en to Y luego de esperar hasta tI no detectamos nada en DI. Podemos decir entonces que la partícula fue
transmitida, pero ¿qué interacción produjo el colapso?
Si su respuesta fue (iii)
Ya que eligió esta opción, ahí van dos preguntas: Suponga que al
detector anda perfectamente, salvo porque se le rompió la aguja.
¿Se colapsa de todas formas la función de onda?
Si cuando t = tI yo estaba en el baño, pero un amigo vió el comportamiento de DI y D2, ¡,Colapsa para mí la función de onda?
Si su respuesta fue (d)
Bueno, ya que sos tan piola, nos interesa saber qué es lo que se te ocurrió.
~ Gracias por jugar ~
4
2
Matriz Densidad
"1 realize it has no value, bu! 1s!nmgly believe in basic research."
5
1. Desarrollar en la base {I+z) , I-z)} el espinor de un electrón de proyección de
espín 1/2 en una dirección arbitraria n (usar coordenadas esféricas).
2. Demostrar:
(a) (A)
=
Tr(pA)
(b) Para un sistema de espín 1/2:
(i=x,y,z)
(c) También para un espín 1/2:
3. Considere los siguientes estados de un haz de particulas de espín 1/2:
(a) Todo el haz está en el estado I +y).
(b) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado
otro en I-z).
/+z)
y
(e) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado
otro en I-y).
I +y)
Y
(d) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado
otro en I+z).
I +y)
Y
Calcule en todos los casos la matriz densidad y el vector de polarización. Discuta
en qué tipo de caso se encuentra y calcule la proporción de haz que atravesaría un
filtro en la dirección +y.
4. Sobre un sistema cuyo estado de mezcla está descrito por el operador densidad p,
efectuamos la medición de un observable A de autoestados In) no degenerados.
(a) ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de tal medición sea un dado
autovalor an?
(b) Si no conocemos el resultado de la medición, ¿ cómo describimos posteriormente
el estado del sistema?
5. Tubo de DeBroglie
(a) Confinamos unidimensionalmente una partícula en un tubo de logitud 1. La
colocamos (vaya uno a saber cómo) en un autoestado I T) antisimétrico de
energía ET. Colocamos una divisoria al medio del tubo y separamos las dos
mitades. La función de onda queda dividida en su parte derecha Iw D) y su parte
izquierda /W 1)' La probabilidad de encontrar la partícula en cada semitubo es
obviamente 1/2.
w
6
(b) Ahora comenzamos con los dos semitubos vacíos. Pedimos a un amigo que
arroje una moneda. Si sale cara colocará una partícula en el semitubo izquierdo
en el estado /lJi¡). Si sale ceca la colocará en el semitubo derecho en el estado
/lJi n). Cerrará ambos semitubos y me los dejará sobre la mesa. Gracias amigo.
• ¿Existe alguna diferencia entre ambas situaciones?
perimentalmente?
¿Puedo diferenciadas
ex-
• Escriba la matriz densidad y su cuadrado para ambas situaciones.
• Ahora mi amigo se lleva a la China uno de los semitubos y me deja el otro
a mí (qué macana, siempre quise conocer China). Abro mi semitubo y me
fijo qué hay. El estado colapsa. ¿Tiene el mismo significado el colapso en las
situaciones (a) y (b)?
Ayuda (usar sólo en caso de emergencia)
Juntamos
tema?
nuevamente ambas mitades.
¿Qué sucede si medimos la energía del sis-
6. Sean {11) , /2) , oo., 1M) } una serie de vectores de norma 1, pero no necesariamente
ortogonales. Muestre que la condición necesaria y suficiente para que el operador
densidad:
1 M
P=M
L li) {i/
;==1
represente a un estado puro es que estos M vectores sean iguales salvo una fase.
7. Demostrar que para que el operador p represente un caso puro, es necesario y suficiente que Tr (p2) = 1.
8. Demostrar que los elementos de matriz del operador densidad satisfacen la relación:
pnn Ppp :::::/Pnp/2
(De este resultado
cias).
se deduce que si una población
es
O entonces
J
no tiene coheren-
9. La matriz densidad de un haz de partículas de espín 1/2 (en la base de estados de
espín definido en la dirección z) está dada, en el instante t=O, por
p++
( p_+
(a) ¿Representa
p+_)
p__
=
1(3 1)
4"
1 1
un estado puro o de mezcla? Interprételo.
(b) Si el sistema se encuentra en I?resencia de un campo magnético B en la dirección
z, encuentre la dependencia temporal de su matriz densidad.
(e) Encuentre
,
espm.
la dependencia
temporal
del valor medio de la proyección x del
7
(iv) Encuentre la dependencia temporal del valor medio de la proyección z del espín.
(v) ¿ Cuál es la probabilidad
del espín sea ti /2?
de que el resultado de la medición de la proyección z
(vi) Si no conocemos el resultado
mente el estado del sistema?
de tal medición, ¿cómo describimos posterior-
10. Un gas de átomos es excitado al nivel n por el impacto de un haz de iones. Si una
colisión con parámetro de impacto b genera un estado puro I \]i n (b)), definimos el
operador densidad del gas después de la colisión (operador sección eficaz) por:
Pn =
J
/Wn
(b)) (Wn (b)/ db
Utilizar las simetrías del problema para reducir el número de elementos independientes de la matriz densidad en una base Inlm) con eje de cuantización en la dirección
de incidencia del haz. ¿Cuántos números reales independientes se necesitan para
especificar completamente el estado de excitación del gas al nivel n = 3 ?
8
3
Momento Cinético y Wigner-Eckart
r
"But thís is lhe slmpllfied verslon lor the general publlc."
9
11. S = SI + S2 es el espín total de dos sistemas de espín 1/2 que no interactúan.
¿ Cuáles son los posibles au tovectores de S 2 y Sz ? Expréselos como combinación
lineal de los vectores propios I mI, m2).
Demuestre que éstas también son autofunciones del operador SI· S2 .
Ayuda: utilizar los operadores adjuntos J+ y J_ .
I
12. Muestre que para el espinor
S = O se verifica:
Ix)
1
del problema anterior correspondiente
al espín total
13. Veta.
14. Las componentes del operador momento angular J son observables que verifican las
relaciones de conmutación [Ji, Jj] = in tijk Jk .
(a) Mostrar que el operador
L = -in r x V' verifica la definición anterior.
(b) Demuestre las siguientes reglas de conmutación:
[J,J2] = O
[Jz, J±J = ±n J±
[J+, J_] = -n Jz
(c) Si Ijm)
es un autovector de j2 y Jz, mostrar que:
J± IJm) = =FnV(j =Fm)(j
15. Muestre que los coeficientes de Clebsch-Gordan
recurrenCla:
± m + 1)/2
Ij m
±
1)
verifican la siguiente relación de
v(J ± M)(J =F M + 1) Ul,j2, mI, m21J,M =F 1) =
V(jl =F md(jl ± mI + 1) Ul,j2, mI ± 1, m2/J, M)
+ v(h =F m2)(h ± m2 + 1) Ul,j2, mI, m2 ± 11J, M)
16. Para expresar los estados de una partícula de espín 1/2 resultan útiles las siguientes
relaciones:
+
IL -! M)
+
Demuéstrelas.
Ayuda: Pruebe la primera de ellas por inducción a partir del caso M = L + y
utilizando el operador J_. Para la segunda relación piense en la ortogonalidad y en
un buen café con leche.
!
10
Hay una linda tabla de los coeficientes Clebsch-Gordan
en la revista:
Rev. Mod. Phys, Vol 48, No. 2, Part Il, 536 (1976)
En el apéndice pusimos una copia. Reclámela a su ayudante ¡Gratis!
17. Calcule explícitamente el elemento de matriz reducida (j
Resultará de ayuda la igualdad:
(~
1 )
J
-m
0
(_l)j-m
=
Jj
(j
m
+ 1)(j + 2)
18. Los armónicos esféricos Yím son la representación
11m).
IIJII j).
en coordenadas
de los estados
J(
Demuestre que las componentes Glm =
47r )/(21 + 1) y;m del denominado tensor de Racah Gl representan las componentes standard de un operador tensorial
irreducible de rango l. Más precisamente debe pensarse la definición como:
19. Supongamos que un átomo de hidrógeno sufre una perturbación dada por un operador tensorial irreducible de rango 2.
¿ Cuántos elementos de matriz reducidos tendría que calcular para describir todas
las transiciones posibles entre los niveles n = 5 y n = 1?
20.
(a) Utilice el teorema de Wigner-Eckart para demostrar que la 'integral de Gaunt':
es proporcional a (_1)m3 (h, 12, mI, m2113, -m3)
porcionalidad independiente de mI, m2, Y m3·
(b) Utilice el resultado anterior y la identidad:
para calcular explícitamente
la integral de Gaunt.
siendo el coeficiente de pro-
11
(c) Paradoja de HassanI: ¿Qué es incorrecto en este razonamiento?
Partimos de la siguiente relación para la adición de armónicos esféricos (ec.
106.9 del Landau de Cuántica):
y podemos invertida, obteniendo:
m
con lo cual:
J
Y¡~1 (B, <p) Y¡:2 (B, <p) Y¡~3 (B, <p) dD
L (l1,l2,mI,m2Il,m)
L (l1, l2, mI, m2ll,
J
=
y¡m(B,'P)
Y;:3(B,'P)
dO
1m
m) (-1 )m3 8113 8m-m3
1m
(_1)m3 (l1,l2,mI,m2Il3,-l3)
Si esto estuviera bien, debería ser igual al resultado de (b).
21. Sea 1 el momento angular orbital de una partícula sin spin, y A un operador cuyas
componentes cumplen las reglas de conmutación:
(i,j,k
=
x,y,z)
(a) Usando el teorema de Wigner- Eckart encuentre los elementos de matriz de
las componentes del operador A en la representación {[2, l z} . Puede dej arlo
expresado en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan que hagan falta.
(b) Encuentre las reglas de selección para las transiciones "permitidas" (son aquellas con elementos de matriz no nulos en primer orden) debidas a una perturbación oAz y a una perturbación oAx.
(c) Calcule explícitamente los elementos (lml Aq 12m')
tabla de Clebsh-Gordan.
(q = -, O,+) usando una
(d) Si el sistema se encuentra en el estado 120) y sufre una perturbación a(Ax+Az).
¿Cuáles son las poblaciones de los estados 11m) luego de la perturbación?
lSergio Hassan, alumno del Instituto,
nos dejó este hermoso problemita.
12
4
Emisión y Absorción de Radiación
"It's unified and it's a theory, but ¡t's not the unified theory we've all been
looking for."
,
13
22.
(a) Calcule la matriz de polarización y los parámetros
de Stokes para un haz de
intensidad lo Y polarización lineal en una dirección arbitraria
(b) Demuestre que un haz completamente
éste está polarizado linealmente.
respecto de
el.
polarizado verifica r¡2 = O si y sólo si
(c) Deduzca la ley de Malus utilizando el resultado de (a).
23. Muestre que un electrón libre no puede absorber ni emitir un fotón.
24. Efecto Fotoeléctrico
Un campo de radiación con N(k,
e)
fotones actúa sobre un átomo hidrogénico de
carga Z que se encuentra en su estado fundamental. El átomo se ionizará cuando
el electrón efectue una transición a algún estado del continuo. Demuestre que la
probabilidad de ionización por unidad de tiempo es proporcional a:
Para simplificar los cálculos suponga que el electrón en el estado final está descrito
por una onda plana de vector de onda kf. Analice la dependencia de esta probabilidad con la dirección de salida del electrón emitido.
25. Considere un átomo hidrogenoide sin considerar su estructura
están descritos por los números cuánticos n, l, m, ms).
(a) Indique en un diagrama las transiciones permitidas
1,2 Y 3.
(b) Para la transición
1.
fina (los autoestados
entre los niveles con n =
2P(m) -+ 18(0) :
Calcule la distribución
angular de la radiación emitida.
ii. ¿ Cuál es la distribución angular y la polarización si tengo un gas de átomos
distribuidos aleatoreamente?
(c) Si se coloca un campo magnético B muy fuerte en la dirección
desdoblamiento de los niveles de energia según la expresión:
Considere las transiciones
1.
11.
111.
2p
-+
z se produce
un
18 :
¿Cuáles son permitidas?
¿Cuántas líneas se observan?
Calcule la intensidad relativa y la polarización de cada línea en la dirección
de B y en una dirección perpendicular.
14
26. Considere ahora los niveles del átomo de hidrógeno con estructura fina mostrados en
el diagrama. Indique entre qué niveles son posibles transiciones di polares eléctricas.
Notación:
Energfa
25+ 1 L
J
~D512
2 Pt/2
}
3p
253/2
2 3/2
P1/2
1
2°3/2
2P3/2
5112
}
251/2
n =3
n=2
n=l
27. Indique en el diagrama adjunto las transiciones di polares eléctricas permitidas entre
los niveles del Oxígeno.
~...;~:!p.l '~I')
(-I"~1_3()I...,n-I)---~-~-~--
eV
__ -IS,.iO
IS
2s:! 2Jl-l1~J)}
liS
l-I:W,,-'}--!n
('lll~r)
~
r¡d
11]'
-
~
~
_
11;,0:3
liS
/
2.:::;
IIp
~
lid
~
~[~~s.:?i~,7_
'::!r!....-~)
_
¡:¡,lil
.1
J:?
!IJ
lO
Niveles
de
cncrf.;Í;1
•.h:l
{¡loll}o
tlt.: oxi;l'lIo.
15
28. ¿Qué consideraciones deben hacerse al usar el tratamiento semiclásico de la interacción de un sistema cuántico con el campo de radiación para un haz de luz: (a) muy
intenso, ó (b) muy débil?
29.
(a) La matriz de polarización para un haz de luz en la base de estados de helicidad
definida, dada por:
¿ representa un estado puro o de mezcla?
(b) Interprétela.
30.
(a) ¿Cuáles son los posibles caminos de desexcitación para pasar del nivel
de un átomo de hidrógeno?
(b) ¿Cuál de estos mecanismos es el más probable?
4p
alls
¿Por qué?
(c) Compare los anchos de línea natural de las transiciones
3p -+ 2s y 3p -+ ls. Justifique su respuesta.
31. Ley de Planck:
(a) Considere un conjunto de átomos iguales a una tempertaura T que interactua
con un campo de radiación de N(w) fotones. En estas condiciones se cumple:
p dWem = po dWabs
dt
dt
Donde P y po son las poblaciones de los niveles excitados y desexcitados respectivamente, y dWem/dt y dWabs/dt las probabilidades por unidad de tiempo
de emisión y absorción de radiación. Calcule N (w) en función de T.
(b) Ahora suponga que el campo de radiación está encerrado en una caja de volumen V con átomos de varias clases capaces de absorber y emitir fotones en
cualquier frecuencia. Si el número de estados de fotones con frecuencia en
W,w + dw es
f(
d
w) w
2
= Vw dw
2 3
7r e
calcule la energía del campo de radiación en el intervalo w, w
de volumen (Ley de Planck).
+ dw
por unidad
(c) Encuentre la frecuencia para la cual la densidad de energía dada por la ley de
Planck es máxima (Ley de Wien).
16
(iv) ¿Cómo depende con la temperatura
w)? (Ley de Stefan-Boltzmann).
la desidad total de energía (integrada
en
32. En la clase de emisión de radiación se vio que los coeficientes Gn(t) cumplen con la
.,
ecuaClOn:
A partir de esta expresión verifique que si la frecuencia w de la radiación incidente
está muy cerca de Wij para dos estados no degenerados li} y Ij} (donde li) es el
estado inicial) el sistema de ecuaciones acopladas puede ser reemplazado por:
dGi
dt
dC J
dt
dCn
ik-r e· ni')
v J e.
( e A~ / ., -ik-r
n/') e
2m \ J e
e·
'"
----( e
'"
-
Aa \.\z e
A
2m
J
A*
v
Z
i
dt
Luego realice la aproximación dipolar y resuelva las ecuaciones obteniendo Gi(t) y
Cj (t) para todo tiempo. Identifique en este resultado para qué tiempos se cumple
que la probabilidad de transición es lineal con el tiempo.
17
5
Perturbaciones
"Just checking."
18
33. Una partícula de masa m se encuentra en un pozo infinito unidimensional de ancho
a:
V(x)=
O<x<a
O
V(x) =
x<Ü
+00
x>a
Se la somete a una perturbación de la forma:
(a) Calcule la modificación introducida por W( x) en los niveles de energía de la
partícula, a primer orden en Wo•
(b) Sin embargo, el problema con el potencial V (x) + W (x) se puede resolver
exactamente. Muestre que en este caso, los posibles valores de la energía están
determinados por las ecuaciones:
sen
o
tan
(Fi1-a)
---
2
(Fi1-a)
2
=0
= _ h~
maWo
(c) Discuta la dependencia de los resultados obtenidos en (b) con el parámetro
Wo. En particular, ¿en qué límite se obtiene el resultado de (a) ?
34. Considere una partícula P de masa JL que se mueve en el plano XOY en un círculo
de radio fijo p y centro en O.
y
x
19
(a) Escriba el hamiltoniano
de la partícula y encuentre sus autoestados.
Verifique
si son degenerados o no.
(b) Suponga que la partícula
uniforme
E
paralelo a
x.
tiene carga q e interactúa
Escriba el hamiltoniano
con un campo eléctrico
perturbativo
y calcule las
modificaciones en la energía y la función de onda del estado fundamental
primer y segundo orden en
a
E.
(c) Clásicamente se define a la susceptibilidad X como el coeficiente que hace que
X E = p, donde p es el dipolo eléctrico. Dé una definición equivalente en
términos de la función de onda. Con ella, calcule X usando el resultado obtenido
en (b).
(d) Calcule la corrección a la energía del primer estado excitado a primer orden en
E.
35. Efecto Zeeman
Considere un atomo hidrogénico en presencia de un campo magnético externo uniforme.
(a) Escriba la ecuación de Schrodinger y desprecie los términos de segundo orden
en el campo.
(b) Muestre que el campo magnético introduce una perturbación
1{' =
/-lB
de la forma:
L· B
f¿
(c) Calcule la corrección a la energía que introduce dicha perturbación.
En estos cálculos no se considera el espín electrónico de ninguna forma. El resultado
es conocido como Efecto Zeeman Normal.
36. Considere dos partículas distintas de espín
W(t)
=
a(t) SI . S2
! cuya
interacción está dada por:
con
a(ltl 2: T /2) ~ O
(a) Calcule exactamente el estado para t = +00 sabiendo que en t
se encuentra en el estado 1+-)· Calcule P (1+-) -----+ 1-+))·
=
-00
el sistema
(b) Calcule ahora lo mismo pero a primer orden perturbativo.
Verifique la validez de la aproximación.
37. Una partícula de espín 1/2 se encuentra inicialmente en un estado
de proyección de espín f¿/2 (en la dirección z) en presencia de un campo magnético
externo Bz. Se varía la intensidad del campo B en función del tiempo, como se
muestra en la figura.
¿Bajo qué condiciones aplicaría la aproximación súbita? ¿Y la adiabática?
20
t
38. Un electrón en un potencial armónico unidimensional es perturbado por la acción
de un campo eléctrico cuya dependencia temporal es:
(a) Si a t = - 00 el electrón está en el estado fundamental, ¿Qué estados pueden
ser ocupados a primer orden perturbativo?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de excitación para t =
+00
a primer orden?
(c) ¿Qué condición debe cumplir A para que la aproximación sea válida?
(d) ¿En qué condiciones es válida la aproximación adiabática?
(e) Si en t = -00 el electrón se encuentra en el estado fundamental, calcule la
probabilidad de encontrado en un estado excitado en t = +00 suponiendo
adiabaticidad.
39. Calcule la probabilidad de excitación al nivel 28 de un átomo tipo hidrogenoide si
se produce un cambio repentino de su carga nuclear Z -+ Z + 1 (decaimiento (3 ).
40. La figura muestra las líneas de emisión Balmer medidas como función del campo
eléctrico aplicado a un sistema atómico. Explique los resultados observados .
,
.
.!
----- r--
I
Fig.26. STARK efíect on some of th(' BAUIER li!les (expcrimcnts by
RAuseH v. TRAUBENBERG). The eleetric ficld str('ngth inerrases
from the bottom of the picture upwards, the maximum value (a little
bp)ow the top of the picture) is 1.14 million VoItjcm, the horizontal
white linps are linps of constant firld strpngth.
21
6
"I'm afraid
that's
Aproximación WKB
not the way to bridge the communications
scientists
and non-scientists."
gap between
22
41. Utilice el método WKB para encontrar
los niveles de energía de un oscilador armónico. Compare con el resultado exacto. ¿Sería tan amable de dibujar las funciones
de onda con una computadora?
42. Considere una partícula en un campo gravitatorio
un piso horizontal perfectamente reflejante.
(i) ¿ Cómo se modifica la regla de cuantización
(ii) Calcule el espectro de energías.
(iii) Dibuje algunas funciones de onda WKB.
uniforme limitado por debajo por
de WKB?
23
7
Átomos de U no y Dos Electrones
"I'm on the verge of a major breakthrough, bul I'm also al lhat poinl where
chemistry leaves off and pllysics begins, so 1'11have lo drop the whole lhing."
l'
24
43. Modelo de Bohr
En 1913 Niels Bohr desarrolló el primer modelo atómico capaz de explicar los espectros de emisión de átomos hidrogenoides.
Consideró órbitas circulares clásicas del electrón alrededor del núcleo y postuló que
el impulso angular estaba cuantizado en múltiplos enteros de ñ.
(a) Obtenga las predicciones en dicho modelo para la velocidad del electrón, el
radio de su órbita, el período orbital y las energías cinética, potencial y total
de los estados. Observe con atención la dependencia en n y Z.
(b) ¿ Cuándo es importante
un tratamiento
relativista?
Observaciones
• En trabajos posteriores, A.Sommerfeld generalizó el modelo para órbitas no circulares y calculó las correcciones relativistas. A este desarrollo se lo denomina
la vieja mecánica cuántica y fue superado por los trabajos de E. Schrodinger,
W. Heisenberg y otros, siguiendo las ideas de 1. de Broglie.
• Unidades Atómicas
En física atómica se suelen usar las llamadas unidades
en tomar el sistema gaussiano para electromagnetismo
El radio de Bohr
Impulso Angular
Carga del Electrón
Masa del Electrón
atómicas que consiste
y como unidades:
ao = 5.2917710-11 m
f¿ = 1.0545910-34 J s
e = 1.6021910-19
me
9.1095310-31 kg
e
En este sistema:
ao = 1 'U.a.
1i = 1 'U.a.
e = 1 'U.a.
me = 1 'U.a.
e = 137 'U.a.
Trabajar en unidades atómicas ayuda a simplificar las expresiones pero se
pierde la posibilidad de verificar la dimensionalidad de un resultado.
44. (a) Calcule (,), (,2) Y (1/,) para el estado fundamental de un átomo hidrogenoide.
(b) Demuestre que:
cPnlm(P) = Fn1(p) lím(f»
Ayuda: Usar el desarrollo
00
eik-r
= 47r
m=l
LL
i1 jl(k,) lí:n(l~) lím(r)
1=0 m=-l
(c) Calcule explicitamente
noide.
Ayuda 1:
cP(p) para el estado fundamental de un átomo hidroge-
¡OO e-
ax
jl(bx)
xl+1 dx
(2b)ll!
(a
2
Si esta ayuda no lo ayuda Ayuda 11:
V
-e
va
-ax
-xe
-ax
+ b2)1+1
25
(d) También para el estado fundamental calcule (p)
y
(p2).
Ayuda:
('Xi
lo
xJ.L-l
d
(p+qxv)n+l
= _1_
x
(r)
vpn+l
i!.
v
q
r(/1/I/) f(l + n
f(l+n)
-
/1/1/)
O<~<n+l
v
45. Teorema del Virial
(a) Demuestre que dado un operador A que no depende explícitamente
su valor medio en un estado del sistema, evoluciona de la forma:
iñ d ~:)
=
del tiempo,
([A, H])
(b) Utilizando A = r . p, para un estado estacionario del sistema, demuestre que:
2 (T) = (r . VV)
(e) Si V(,\r) = AS V(r)
2 (T) = s (V)
(d) Verifique el teorema del virial :
l.
con el modelo de Bohr.
ii. para el estado fundamental
con los resultados del problema anterior.
46. Toda región del espacio en la que la energía cinética de una partícula se hace negativa
está prohibida para un movimiento clásico. Para un átomo hidrogenoide en el estado
fundamental calcule la probabilidad de encontrar el electrón en la zona prohibida
clásicamente.
47. Estructura fina
Considere transiciones dipolares eléctricas para átomos hidrogenoides.
(a) Demuestre que la serie Lyman (n
-t
n'=l):
i. está separada en dobletes debido a los términos de estructura
ii. que dicho desdoblamiento
fina.
disminuye con n.
(b) Demuestre que la serie Balmer (n -t n' = 2) está desdoblada en cinco líneas.
Estudie cómo se agrupan en función de n.
26
48. Efecto Zeeman
Un átomo hidrogenoide con estructura
Sufre una perturbación:
Tí'
=
fina está en un campo magnético uniforme.
11B
ti
(J
+ S) .B
Calcule el desdoblamiento perturbativo (bajos campos) de los niveles.
Haga el esquema de transiciones (n = 2 -+ n' = 1). ¿ Cuántas líneas aparecen?
Como los experimentos fueron realizados antes de la introducción
del espín electrónico en la mecánica cuántica, a este desdoblamiento que no conduce
al triplete de Lorentz se lo llamó Efecto Zeeman Anómalo.
Observacion:
49. Para el estado fundamental
del He calcule los valores medios de:
Utilizando:
(a) La función (de orden cero) producto de funciones hidrogénicas con Z = 2.
(b) La función variacional que se obtiene usando el producto de funciones hidrogénicas
dejando el Z variable. Z = 27/16.
(c) La función de onda de Byron y Joachain
'l/JO(rl, r2) = uls(rl)uls(r2)
donde el orbital
está dado por
Uls
uls(r)
con A
= 2.60505
,B
=
= (41frl/2
2.08144 , a
=
(Ae-ar
+ Be-f3T)
1.41 Y (3
= 2.61.
Compare sus resultados con los valores 'exactos' (en u.a.):
(ri + rD =
2.39
0.106
50. ¿ Cuál es el sentido físico del nivel 2s2 del Helio?
51. Un átomo de He es excitado desde su estado fundamental a un estado autoionizante
2s4p por absorción de luz ultravioleta. Suponiendo que el electrón 2s se mueve en
el campo del núcleo sin apantallar y que el electrón 4p se mueve en el potencial
coulombiano completamente apantallado -l/r :
(a) Obtenga la energía del estado autoionizante
onda de la radiación ultravioleta.
y la correspondiente
longitud de
(b) Encuentre la velocidad con que es emitido el electrón en el proceso de autoionización, cuando el estado metaestable 2s4p decae en un electrón libre y un ion
H e+ en su estado fundamental.
52.
(a) Escriba las funciones de onda, autoestados de los operadores L2, Lz, S2 y
Sz, del átomo de Helio en la configuración 1s2s, como combinación lineal de
determinantes de Slater (en la aproximación de electrones independientes).
(b) Muestre que esas cuatro funciones de onda pueden factorizarse en una parte
espacial y otra espinorial.
27
8
Atomos Multielectrónicos
Figure 1.
"1 think you should be more explicit here in step two."
28
53. Explique cuáles son las condiciones de validez del modelo de Thomas-Fermi.
54.
Usando el modelo de Thomas-FermÍ,
mostrar que la mayor parte de los electrones
en un átomo de número atómico Z, se encuentran a una distancia del núcleo que es
del orden de 1/ Zl/3.
55. Usando el modelo de Thomas- Fermi, mostrar que la energía total de ionización E,
es decir la energía necesaria para separar todos los electrones del átomo neutro,
depende del numero atómico Z como Z7/3.
56. Usando el modelo de Thomas-Fermi, mostrar que la velocidad media v de los electrones en el átomo es proporcional a Z2/3.
57. Identifique en la deducción del modelo de Thomas-Fermi dónde se hacen aproximaciones clásicas, y por qué se dice que se trata de un modelo estadístico.
58. Compare la densidad electrónica radial que se obtiene con el modelo de ThomasFermi con la de Hartree-Fock, para el He, Ne, Ar y Kr. Estudie similitudes y
diferencias.
(a) ¿ A partir de qué valor de Z el acuerdo es razonable?
(b) ¿En qué rango de
T'
para cada caso?
(c) ¿De qué manera se podría intentar escalear las funciones de onda de HartreeFock para obtener una curva similar para cada elemento? Inténtelo.
Para el cálculo utilice los hermosos programitas
TF y HF que proveerá la cátedra.
59. Para el átomo de 80:
(a) Usando las reglas de Madelung encontrar la configuración electrónica correspondiente al estado fundamental.
(b) Encontrar
todos los términos espectrales para esta configuración.
(c) Usando las reglas de Hund, encontrar el término espectral del estado fundamental.
(d) Encontrar
60.
la paridad del mismo.
(a) Use las reglas de Madelung para encontrar
átomo de 163.
(b) Encuentre los términos espectrales
ración.
(c) Indique el estado fundamental.
28+1 LJ
la configuración
correspondientes
electrónica
del
a dicha configu-
Justifique.
(d) Considere el estado excitado en el cual un electrón 3s es promovido al nivel 3p.
Encuentre los términos espectrales correspondientes.
(e) ¿Désde cuáles de ellos puede decaer el átomo al estado fundamental
una transición dipolar eléctrica?
mediante
29
61. Encontrar el término espectral del estado fundamental
62. Sabiendo que el RU44(Ruthenio) tiene la configuración
término espectral de su estado fundamental.
para el átomo de
[Kr36]4d75s,
27CO.
encuentre
63. (a) Escriba las funciones de onda, autoestados de los operadores L2,Lz,S2
el
Y Sz,
del átomo de Helio en la configuración ls2s, como combinación lineal de determinantes
de Slater (en la aproximación de electrones independientes).
(b) Muestre que esas cuatro funciones de onda pueden factorizarse en una parte
espacial y en una parte espinorial.
64. Encuentre los decaimientos (dipolares eléctricos) permitidos para un átomo de He
en un estado inicial descrito por la configuración ls3p.
30
9
-
-
~
Moléculas
31
65. Obtenga las paridades de los siguientes orbitales moleculares:
66. Explicar por qué la distancia internuclear del H2 es menor que la del Hi , Y por
qué la energía de disociación del Hz es menor que el doble de la del Hi.
67. En la molécula de OlAl el potencial iónico puede aproximarse por:
U(r)
=
Exprese la energía necesaria para disociar la molécula en dos <itomos neutros
(e l + Al) en función de las energías de ionización del Cloro ECI- Y del Aluminio
son EAI+ y del parámetro a.
68. El grafito y el diamante son dos estructuras cristalinas que puede formar el carbono.
En la estructura del grafito, el
se ubica en planos con simetría hexagonal. La
interacción entre planos es muy débil. En la estructura del diamante, en cambio,
cada
tiene cuatro vecinos simétricamente ubicados.
Deduzca el tipo de hibridización que presenta el O en cada caso.
e
e
69. ¿Qué números cuánticos es necesario especificar para caracterizar
estado de una molécula diatómica homonuclear?
70. ¿El orbital molecular 1rg2p es ligante o antiligante?
71. Explique cualitativamente
la estructura
completamente al
Justifique.
de la banda principal de absorción del HCl.
FIG. 32. !<'ine Structure of the Principal Absorption Band (Fundamental)
lnfrared [after lmes (354)]. The ordillares gi\'e the percentage absorption.
galvanOlucter deflcctiolls.
of Hel in the Near
calculated from the
32
10
. "Wake up, Dr. Erskine-you're
Colisiones
being transferred lo low energy physics."
33
72.
Considere una colision elastica entre dos partículas.
Conocido el potencial es posible,
al menos en principio, calcular la sección eficaz diferencial.
Esta se suele expresar
en función del ángulo de salida del proyectil en el sistema
CM.
Sin embargo, los
experimentos se realizan en el sistema laboratorio, que es aquel en el cual el blanco
está en reposo. Para comparar la teoría con el experimento es necesario contar
con una relación entre el ángulo de salida del proyectil en uno y otro sistema de
referencia.
(a) Encuentre tal relación.
(b) Con ella, fíjese cómo relacionar las secciones eficaces diferenciales en uno y otro
sistema.
73. Un haz de partículas incide sobre una esfera rígida, reflejándose especularmente.
(a) Calcule la sección eficaz diferencial clásica.
(b) Calcule la sección eficaz total y compárela con el área efectiva de la esfera.
74. Haga las cuentas que llevan a la sección eficaz de Rutherford
clásica. ¿Cuánto vale
la sección eficaz total?
75. Encuentre la sección eficaz diferencial clásica para un potencial de la forma
Analice el comportamiento para distintos valores de a.
a/r2.
76. Se produce efecto Arco-Iris cuando el ángulo de deflexión en función del parámetro
de impacto pasa por un extremo. ¿Qué condiciones debe cumplir el potencial para
que esto ocurra?
77. En la figura se muestra un potencial que se suele usar para describir la interacción
entre dos átomos. R es la distancia entre ellos. Dibuje una curva ángulo de deflexión
V5. parámetro
de impacto que sea razonable. Dibuje las trayectorias correspondientes. ¿Qué efectos se producirían?
R
34
78. Se tiene una barrera de potencial infinita, donde ocurre la colisión mostrada en la
figura:
Dibuje cualitativamente IW)in' Iwtut' U( 7)Iw) y U( -7 )Iw), donde 7 > > TI
t:O
t: T,
Xl
Xl
79. Este problema se compone de sugerencias para analizar. No se pretenden demostraciones, sino discutir un poco los casos que se presentan. Puede ser que algunos no
sean del todo necesarios para la vida diaria.
(a) Operadores
isométricos y operadores
unitarios:
He aquí varias definiciones equivalentes de operadores isométricos y unitarios:
-+ A es isométrico si:
1.
11.
111.
-+
1.
11.
Es lineal y tal que /wl = IAwl, \fW.
Es lineal y tal que (<I>lw) = (A<I>IAW), \fw, \f<I>.
Es lineal y tal que AtA = l.
A es unitario si:
Es isométrico y biyectivo.
Es isométrico y tal que A A t = l.
En espacios de dimensión finita basta que un operador sea inyectivo y lineal
para que sea biyectivo. (Es necesario que los operadores que preservan la
norma sean inyectivos). Esto no ocurre en dimensión infinita. Piense algún
ejemplo. Verifique que los operadores de evolución son unitarios y los de Moller
isométricos, ya sea a partir de consideraciones físicas como matemáticas.
(b) Dada la definición de IW)in y /w)out como asÍntotas del estado actual a tiempo
cero, y la de los operadores de Moller como límite de un producto de operadores
de evolución, verifique que las igualdades
Iw)
= D+lw)in
IW) =
son razonables.
D-Iw)out
35
(c) Escriba el operador de Green en la base de los autoestados
total, o equivalentemente, en su descomposición espectral.
del hamiltoniano
(d) Proyecte la ecuación
(zI - H)G(z)
en la base de las coordenadas.
=1
Advierta que el operador de Green escrito en
esta base da la función de green asociada a la ecuación de Schrodinger.
(e) Del resultado de los dos puntos anteriores, fíjese que escribir explícitamente
el operador de Green es equivalente a resolver el problema de autovalores del
hamiltoniano total.
80. Calcule la sección eficaz diferencial para un potencial de la forma l/rn con la primera
aproximación de Born. Analice el resultado.
81. La primera aproximación de Born para el potencial coulombiano da la sección eficaz
exacta. Sin embargo, el potencial coulombiano no verifica la condición asintótica,
que es necesaria para la validez de esta teoría. Como chequeo, calcule la sección
eficaz dada por la primera aproximación de Born para los potenciales:
(a) V(r) =
ze~ar
(b) V(r)=ra~l
(c) V (,) = ~ ' si ,
< ~ V (,)
=
O , si , < ~
Luego haga tender o: a cero, tratando
de re-obtener el potencial coulombiano.
82. Supongamos el caso de un potencial de corto alcance (nulo a partir de , = a). Se
puede demostrar que en la parte exterior la función de onda radial se puede escribir
en forma general:
R¡ (,) = A¡[cos8¡.j¡ (k.r) - sin8¡.7]¡ (k.,)]
Usando la continuidad de R¡(r) dd;r) expresar los desfasajes en función de
logarítmica de la función de onda interior en r = a)
(si lo necesita ver el apéndice de funciones de Bessel)
,¡
(derivada
nota
Suponga que 1 es dato: si se le diera una forma explícita al potencial,
calcular la función de onda interior y su derivada logarítmica.
se podría
83. Calcular los desfasajes para el scattering contra una esfera perfectamente rígida.
Obtener la sección eficaz diferencial y total en el límite de energías muy bajas.
Comparar con el cálculo clásico. Calcular la corrección que agrega la onda l = 1 a
la sección eficaz total cuando k.a =
Demostrar que la sección eficaz total en el
límite de altas energías tiende a dos veces el valor clásico. Porqué cree que en este
límite no se obtiene el resultado clásico?
!.
36
84. Suponer un pozo esférico de potencial como indica la figura:
V( r)
o
- Vo '-------
a
r
...•
Comprobar que si k.a < < 1 se obtiene para los primeros dos desfasajes:
tan 80 rv
tan
(
V1
-
,ok.a2
1 +,oa
---
(k.a)3 1 -'l.a
rv
--
---
3
2
+ 'l.a
Observar que si ,/ es tal que los denominadores sean muy pequeños, la onda 1 se
dice en resonancia con el potencial y domina el scattering.
37
11
Un Baldazo de Problemas
Examen Final de Cuántica II (1993).
38
1. Sobre un sistema cuyo estado de mezcla está descrito por el operador densidad
p, efectuamos la medición de un observable A de autoestados In) no degenerados.
¿ Cuál es la probabilidad Pn de que el resultado de tal medición sea un dado autovalor
ano?
(a) (nlpln)
(b) (nIApln)
(c) tr(Apln)(nJ)
(d) tr(Ap)
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta
2. Si en el ejemplo anterior no conocemos el resultado de la medición, ¿cómo describimos posteriormente al sistema?
(a) Usamos la función de onda l\]i) = ¿n anln)
(b) Usamos el mismo operador densidad que teníamos antes de la medición.
(c) Usamos la función de onda ¡\]i) =
¿n In) (nlpln).
(d) Definimos un nuevo operador densidad p =
¿n In)
tr(pln)(nl)
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
3. El hecho de que un estado sea puro o de mezcla:
(a) Depende de la ortogonalidad
(b) Depende de la completitud
de los estados de la base.
de la base.
(c) Depende de que la base sea de autoestados
del hamiltoniano.
(d) No depende de la base de representación.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
(ni.
39
4. Un átomo de hidrógeno descrito por los números cuánticos n, 1,m, ms sufre una
perturbación dada por un operador tensorial irreducible de rango 3. ¿Cuántos elementos de matriz tiene que calcular para describir todas las transiciones posibles
entre los niveles n = 6 Y n = 2 ?
(a) 2
(b) 4
(c) 5
(d) 8
(e) 9
5. Considere la matriz de polarización para un haz de luz en la base de estados de
helicidad definida, dada por:
(a) Puesto que tr(p) = 1, representa un estado puro.
(b) Representa un estado de mezcla formado por dos haces polarizados linealmente
de intensidades 1/2.
(c) Representa un estado de mezcla formado por dos haces polarizados circularmente de intensidades 1/2.
(d) Representa un estado de mezcla formado por un haz con polarización circular
y otro con polarización lineal, ambos de intensidad 1/2.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
6. La aproximación dipolar eléctrica para la emisión o absorción de luz por un átomo
es válida cuando
(a) el campo de radiación es poco intenso.
(b) la longitud de onda de la radiación es mucho menor que las dimensiones del
átomo.
(c) la frecuencia de la radiación es mucho menor que la diferencia de energía entre
los estados inicial y final.
(d) la frecuencia de la radiación es muy grande comparada con la frecuencia característica del movimiento electrónico en el átomo.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
40
7. La polarización de la radiación emitida para una transición con 6m = 1 depende
de:
(a) La frecuencia de la radiación.
(b) Nada.
(e) El momento angular
1 de
los niveles transicionantes.
(d) La dirección de observación.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
8. Se tiene un átomo de dos niveles, inicialmente en su estado fundamental.
Se lo
ilumina con radiación con la frecuencia correspondiente a la diferencia de energías
de sus niveles. La probabilidad de encontrar al átomo en su estado excitado:
(a) A tiempos grandes alcanza un valor estacionario igual a 1/2.
(b) A tiempos grandes tiende asintóticamente
a cero.
(c) A tiempos grandes crece indefinidamente.
(d) Oscila en el tiempo.
(e) Depende de la diferencia de fase entre la función de onda y el campo de radiación.
9. Decir lo que no es correcto de las siguientes afirmaciones:
(a) El ancho de línea natural
atómico pueden decaer.
se debe a que los autoestados
del hamiltoniano
(b) El ancho debido a colisiones aumenta al aumentar la presión del gas.
(c) El ensanchamiento por efecto Doppler toma una forma gaussiana debido a la
distribución de velocidades del gas.
(d) En condiciones normales de presión y temperatura,
domina sobre el ancho natural.
(e) El ancho de línea natural es directamente
estados intervinientes.
el ancho por colisiones
proporcional a la vida media de los
41
10. Suponga que por algún mecanismo la carga nuclear de un átomo hidrogenoide varía
en forma continua de Z = 1 a Z = 2 en un tiempo T = 10-18 seg. ¿Utilizaría la
aproximación súbita para estudiar las correspondientes transiciones entre estados
discretos? .
(a) Siempre, independientemente
(b)
de la transición ni
---t
n f que se quiera estudiar.
Sólo la utilizaría para transición ni
---t
nf entre estados excitados.
(c) Sólo la utilizaría para transición ni
---t
n f con ni
(d) Nunca, cualquiera sea la transición ni
---t
i- 1.
n f que se quiera estudiar.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
11. Se tiene un hamiltoniano dependiente del tiempo de la forma
H(r, p, t) = a(t)Ho(r, p) donde da/dt i- O sólo para Itl < T. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
(a) La aproximación adiabática será una buena descripción sólo si a(t) varía en
forma suficientemente lenta.
(b) La aproximación súbita será una buena descripción sólo si a( t) varía en forma
suficientemente lenta.
(c) La aproximación adiabática
siempre dará el resultado exacto.
(d) La aproximación súbita siempre dará el resultado exacto.
(e) La aproximación súbita será necesariamente
mala.
12. Las correcciones de estructura fina en el átomo de hidrógeno (corrección relativista
de la energía cinética, interacción espín - órbita y término de Darwin)
(a) mantienen la degeneración en f y m¿.
(b) mantienen la degeneración en f y
mj.
(c) mantienen la degeneración en j y m j.
(d) mantienen la degeneración en mj, pero no en
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
e o j.
42
13. Los niveles de energía del átomo de He dependen del valor del espín total.
es la principal causa de esta dependencia?
¿ Cuál
(a) La interacción espín-órbita.
(b) La interacción espín-espín.
(c) La interacción espín-núcleo.
(d) La interacción puerco-espín.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
14. El modelo de Thomas-Fermi para un átomo multielectrónico
descripción
neutro no da una buena
(a) de la energía de ionización.
(b) del radio del átomo.
(c) de la distribución de carga.
(d) de las tres cantidades anteriores.
(e) de las dos primeras cantidades.
15. El modelo de Thomas-Fermi:
(a) Obtiene una función de onda \]! (rl
,...,rn)
que se parece a la exacta para Z :::::10.
(b) Puede describir la densidad a grandes distancias.
(c) Funciona mejor para los estados excitados que para el fundamental.
(d) Supone que la energía de Fermi es mucho menor que la de ionización.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta ..
16. La aproximación que hace la teoría de Hartree-Fock es:
(a) Despreciar la repulsión inter-electrónica.
(b) Despreciar el intercambio.
(c) Proponer orbitales electrónicos de tipo hidrogenoide.
(d) Proponer un único determinante
de Slater.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
43
17. Los términos espectrales
equivalentes son
(a)
45,
2p
Y
25+1
L correspondientes a una configuración p3 de electrones
2D.
(b) 45, 2p Y ID.
(c) 4S,3PylD.
(d) IS,3py1D.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
18. Los términos espectrales 28+1 L correspondientes
electrones p no equivalentes son
a una configuración formada por 2
(a) 4S, 2p y 2D.
(b) 4S,2Py1D.
(c) 4S,3py1D.
(d) IS,3py1D.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
19. La primera regla de Hund señala cuál es el estado fundamental
entre:
(a) Distintos términos espectrales debido a la repulsión inter-electrónica.
(b) Distintas configuraciones.
(c) Distintos orbitales electrónicos debido al acoplamiento espín-órbita.
(d) Distintos orbitales electrónicos de forma que el de mínima energía tenga la
función de onda lo más antisimétrica posible.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
20. ¿ Cuáles de los términos espectrales
[J{ r] 4d8 5s es el fundamental?
(a) 4G.
(b) 4F.
(c) 4D.
(d) 3F.
(e) lG.
28+1
L de la configuración del Rhodio:
44
21. ¿En un átomo de He puede haber transiciones dipolares entre términos espectrales
de una misma configuración electrónica?
(a) Siempre.
(b) A veces, si en la configuración electrónica no son todos estados s.
(c) A veces, pero si además de la condición anterior puede haber estados triplete.
(d) A veces, cuando la nieve cae sobre los techos de mi ciudad.
(e) Nunca.
22. ¿Cuántas líneas de emisión de tipo dipolar eléctrica se observarán como producto del
decaimiento directo desde estados excitados de configuración (1821) al fundamental,
en un átomo de He ?
(a) O.
(b) 1.
(c) 2.
(d) 3.
(e) 4.
23. ¿Por qué los elementos de transición tienen propiedades químicas similares?
(a) Porque todos ellos están completando la misma capa.
(b) Porque los orbitales d son muy direccionales, entonces el número de electrones
d que tenga no influye para formar un enlace químico.
(c) Porque el orbital que se llena no es el más externo.
(d) No es cierto que tengan propiedades similares.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es la correcta.
24. Los átomos alcalinos poseen, en su estado fundamental:
(a) La misma configuración.
(b) El mismo término espectral.
(c) La misma energía de ionización.
(d) El mismo radio.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es la correcta.
45
25. ¡W)
es una función de onda de un átomo multielectrónico
minante de Slater de orbitales hidrogenoides
construída
con un deter-
In 1 m ms).
(a) Necesariamente 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, y dados
los orbitales In 1 m ms) el autovalor está determinado.
(b) Necesariamente 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, pero
el autovalor no está unÍvocamente determinado por los orbitales In 1 m ms).
(c) N O necesariamente I \lJ) es
(d) Nunca
(e)
/'l1)
es autoestado
autoestado
del operador momento angular total.
del operador momento angular total.
1'l1)
es autoestado del operador momento angular total, y sus autovalores están
dados por todos los posibles términos espectrales que se pueden construir con
los orbitales In l m ms).
26. El único orbital
molecular incompleto de la molécula de B2 es el
electrones. ¿Cuáles son sus posibles términos espectrales?
7ru2p,
con dos
(a) lÓ, 3Ó, lIT, 3IT, 32:;Y 12:;.
(b) lÓ,3~yl~.
(c) lÓ, lIT, 12:;Y 32:;.
(d) 32:;.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
27. Considere la molécula de Etileno: H2C2H2 ¿Qué tipo de hibridizacÍón tiene el Carbono y cuántos electrones participan de la ligadura C - -C?
(a) Hibridización sp. Participan
2 electrones.
(b) Hibridización sp. Participan
4 electrones.
(c) Hibridización
Sp2.
Participan
2 electrones.
(d) Hibridización
Sp2.
Participan
4 electrones.
(e) Hibridización
Sp3.
Participan
2 electrones.
46
J(I()
.-----"
"O
,,
'o
";r.
Barna
l'
\
I
,
2;[)1)
2"(10
0: lllll
ef
O
de onda,
("\ll-I
Figura 1: Problema 29. Espectro de absorción roto-vibracional
de la molécula de GlH.
28. Tenemos una molécula diatómica descrita por una función de onda de la forma
W(Rcm, R, rl, ... , rn) = Wl(Rcm)W2(R)W3(rl, ..., rn), donde Rcm es la coordenada
del centro de masa, R es la coordenada internuclear y rl, ... ,rn son las coordenadas
electrónicas medidas desde el centro de masa.
(a) El número cuántico l que caracteriza
simetría de la función W l.
la rotación molecular se refiere a la
(b) El número cuántico l que caracteriza
simetría de la función W 2.
la rotación molecular se refiere a la
(c) El número cuántico l que caracteriza
simetría de las funciones W 1 y W 2.
la rotación molecular se refiere a la
(d) Fijada la función W3 ya está determinado
l, independientemente
de Wl y W2.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
29. En la figura 1 se muestra un espectro de absorción de radiación por transiciones
roto-vibracionales. Todos los mínimos corresponden a:
(a) Distintas
trónica.
transiciones
vibracionales
dentro de una misma configuración elec-
(b) Distintas transiciones
ración electrónica.
vibracionales
para una dada transición
en la configu-
(c) Distintas transiciones electrónicas dentro de un dado estado roto- vibracional.
(d) Transiciones entre distintos niveles rotacionales para una dada transición vibracional.
47
. G>--0---0
W
ex
I
(3
(a)
Figura 2: Problema 30. Modos normales de la molécula de CO2•
(e) Transiciones entre distintos niveles vibracionales para una dada transición rotacional.
30. En la figura 2 se muestran los modos normales de la molécula de CO2:
(a) Sólo I es ópticamente
activo.
(b) Sólo a y f3 son ópticamente
activos.
(c) Sólo I y f3 son ópticamente
activos.
(d) Sólo a y I son ópticamente
activos.
(e) Ningún modo es ópticamente
dipolar permanente.
activo, ya que la molécula no tiene momento
31. El principio de Frank-Condon
(a) Selecciona cuáles son las transiciones
ocurrir en una molécula.
entre niveles electrónicos
que pueden
(b) Selecciona entre qué niveles rotacionales
electrónica.
puede ocurrir una dada transición
(c) Selecciona entre qué niveles rotacionales
vibracional.
puede ocurnr
(d) Selecciona entre qué niveles vibracionales
electrónica.
puede ocurrir una dada transición
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
una dada transición
48
32. Para que valga la primera aproximación de Born en un potencial de corto alcance:
(a) La función de onda libre debe ser una buena descripción del estado estacionario
de dispersión.
(b) La función de onda libre debe ser una buena descripción del estado estacionario
de dispersión a distancias grandes del centro dispersor.
(c) La velocidad del proyectil debe ser mucho menor que c.
(d) Sólo deben dar contribuciones
importantes
a la sección eficaz los momentos
angulares pequeños.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
33. Decir lo que no es correcto sobre el desarrollo de la amplitud
polinomios de Legendre:
de dispersión en
(a) Sólo vale para energías bajas.
(b) Permite caracterizar
fasajes.
completamente
a la sección eficaz a través de los des-
(c) El desfasaje para un dado 1 y un dado k es la diferencia de fase entre la función
de onda asintótica solución del potencial efectivo con el 1 y k dados respecto
de la correspondiente función de onda asintótica en ausencia de potencial.
(d) Los desfasajes D¡ a energía cero dependen del número de estados ligados del
momento angular 1 que tiene el potencial.
(e) El efecto Ramsauer Townsend ocurre cuando el desfasaje de 1 = O cruza 1r a
energías bajas.
34. Indique cuál de las siguientes propiedades
de una resonancia no es necesariamente
cierta:
(a) La función de Jost F¡ se anula cerca del eje real.
(b) La sección eficaz diferencial presenta un máximo.
(c) Uno de los desfasajes D¡ se incrementa en 1r en forma brusca, si 1 =1- O.
(d) El comportamiento
(e) La resonancia
ligados.
del desfasaje es diferente si 1 = O de si 1 =1-
o.
a energía cero no distingue entre estados virtuales y estados
49
35. Experimentalmente se observa que la sección eficaz diferencial en el sistema centro
de masa para una dada colisión elástica entre dos partículas puede parametrizarse
de la forma:
d(J
dO
=
A
+ B cos B + e cos2 B
¿Qué podría decir de los coeficientes A, B Y
idénticas? .
e si la
colisión es entre partículas
(a) El coeficiente A es nulo.
(b) El coeficiente B es nulo.
(c) El coeficiente
e es nulo.
(d) Los coeficiente B y
e son nulos.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
36. El problema fundamental con la ecuación de Klein-Gordon es:
(a) No es una ecuación covariante.
(b) No tiende a la ecuación de Schrodinger a bajas velocidades.
(c) Sus soluciones no verifican el principio de superposición.
(d) Las densidades pueden ser negativas.
(e) No se puede escribir la ecuación de continuidad.
37. Para una partícula que se mueve a velocidades relativistas:
(a) El operador momento angular L es una constante de movimiento.
(b) El operador de espín S es una constante de movimiento.
(c) El operador L
tencial.
(d) El operador L
centrales.
+ S es una
+ S es una
constante de movimiento, sólo en ausencia de po-
constante de movimiento en presencia de potenciales
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
50
38. Un electrón libre tiene proyección de espín definido 1/2 en la dirección z en el sistema
de referencia propio, y se mueve con velocidad v en una dirección no necesariamente
paralela a z.
(a) Ambas componentes fuertes de proyección de espín 1/2 y -1/2 en la dirección
z en el sistema propio son no nulas.
(b) Ambas componentes
débiles son no nulas independientemente
de la dirección
de movimiento.
(c) Para alguna dirección de movimiento ambas componentes débiles son nulas.
(d) No existe ninguna dirección de movimiento para la cual ambas componentes
débiles se anulan simultáneamente.
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
39. La ausencia de un electrón libre de energía E negativa, impulso p y helicidad
puede interpretar como un positrón de
(a) Energía -E, impulso -p y helicidad
-(J.
(b) Energía -E, impulso -p y helicidad
(J.
(c) Energía -E, impulso p y helicidad
-(J.
(d) Energía -E, impulso p y helicidad
(J.
eJ
se
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
40. Un electrón de masa m incide con energía E sobre un escalón de potencial de altura
Va. La onda transmitida es oscilatoria sólo cuando:
(a) Va
<E <~
+ mc2
(b) E > ~
+ mc2
(c) E > ~
+ mc2
Ó
E < ~ - mc2
(d) E > ~ ó E < ~ - 2mc2
(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
51
12
Tablas y Machetes
TIA
W
MP.~ilio
&Po
••
_
••••••••
_~
_
lt1
TiA VA \aA \lilA WI
&0/" J!jj ~~
CALCIO
TIB
52
ClEBSCH-GORDAN
Note:
A ,rls
COEFFICIENTS,
to be understood
over every
J
o
Y 1"
3
{;-
e08
J 8,T
Y 11 = -
SPHERICAl
coefficient;
e.g.,
HARMONICS, AND
for -8/15 read -";8/15,
FUNCTIONS
d
Notatian:
rn J
O
M
M
lllZ
. 8 iq,
sIn
e
J
5/ Z 3/2
-I/Z -1;' Z
5;' Z 31 ,
1 - J/Z - 3/2
1/ S 5/ Z
4/5
l/S -4/5 - 5/ 2
Z
-2 1) /2
-1 _1/
1
-2 - 1/ ¿
2
O
2
-1
I
-1
-2
1
1
O
1/2 1/3
O O 2/3 O -1/3
-1 111/6 -1/2
1/1
2
-1
IJ -1 1/ l
-1
01/2
1
-1
¡
1/"
(J 1j ~~-;;;~lT;J~--:j-M)-
-3
-1/ I
1
-1 -1
J
- j 1 -
= (-1)
J
drn"
_
nl
-
1 rn -tr)'
(~ )
dj
¡n'
-In,
-nl
3
12
5/2
3/2
+V2
+3/2
16/35
13/2 -1/2
+ 1/2 + 1/2
- 1/2 ¡ 1, 2
f
¡1
3
2
O
12
12
-1
3/14
1/2
2/7
4,/7
1: 1-1
() -j/7
l/? 7/ I
, 2 -1
1 O
O I
¡
~/2
uj,/¿,1/Z
':V2
d~/2._1/2
,0
= ----y- 'o,;:
-
.J]
- 1 2
1 ¡cosO
,O
sin!
-j-cosA
A
"-"'\,/3 -Z-cnsZ
dI,
2,2
2
d¿,j
3/2
'1/2
6/35 2/5
5/14
O
18/35 -3/35 -1/5
4135 -21/,'0 2/5
-1/2
1/2
3/2
1
11
2
11
1;'14
3; 1O 3/7
li5
-1/,",
3/7
-1;5
-1/14
3/7
~i'7
1/14 -3/10
11
O
1
-2
2
j
1
1+
dl•1·-2--
11
13/2 -1/2
11/2 -1/2
-1/2 -+ 1/2
1/20
9/20
00/3527/,0
2/5 1<10
18/35 3/15 -1/5 -1/5
1(./35 -5/14
llF¡ -(l35
O
3(10
2/5 -2; 5
O -3/2
2/li
1
O
.2/5
-1/10
7/7
1/'4
-2/7
1/14
2/7
2/5
-1/10 _
O
1/10
-2/5
A
~ inO
d ~.IJ
1/4 9/20 1;4
1/4 - 1/20 - 1/4
9/20 -1/4
1/20 -1/4
-2
110
COA
O
O
-1
-1
O
..1
2
1
- 3/2 •.3/2
2/5
-3/10
1/5
7;'2
S/2
-1'10 -1/2 -1/2 -1/2 -1;2
0-1/2
1 1>2
-2
3/2.
1/5
-3/10
3/10
-1/5
!
1/5 1/2 3/10
3/5
O -2/5
1/5 -1;2 3;10
1/2
'1/2
11 -3/2
3
11
'2 -2
---z-
5/2
11/2
1/35
12/35
2 -3/?-
4
12
4
11
1
I-J
~/5
1/2
11/2
1tcos8,
t.1
2
'2
1/2 1/2
1/2 -1/2
3/2
d 3/2.3/2
?'(jzil"'¿"'IIJIJIJ
- dJ
nl,
1/2
-1/2
i
-1;2
1/2
-1/20
9/20
1;'4
-1/4
3
-1
2
- t
1/5
1/2
Table 2.1
The first few spherical
Y/m(e, </J)
harmonics
Splzerical lzannonic Y/mee, </J)
ni
o
Yo,o
= --(4íT)I/2
o
Y1,o
= ( 4íT
±1
2
3
1
o
o
)1/2
3
Y1,=,:1 =
Y2,o
8íT
+(
= (-
)1/2
5
15
Y2,=,:1 =
±2
15
Y _ = -( 32rr
2,_2
:; 8íT
(
7
Y3,o = ( 16rr
)1/2 sin
)1/2
)1/2
21
±1
Y3,=,: 1 = :; ( 64íT
±2
Y _
±3
Y _ =:; --
3,_2
3,_3
=
.
sm
105)1/2
-( 32rr
35
( 64rr
-i~
e e-
(3 cos2
16íT
±1
o
)1/2
3
-
e
cos
sin2
.
e e=':214>
)1/2 sin
)1/2
1)
ecos ee=':l~
(5 cos3
sin2
e-
o-
3 cos O)
2
0(5 cos
e-
.
e cos e e=':21~
sin3
.
e e=':31~
Table 3.1
ao
=
Shell
The complete normalised hydrogenic wave functions corresponding to the tirst three sheIls, for an 'intinitely heavy' nucleus.
is the tirst Bohr radius. In order to take into account the reduced mass effect one should replace ao by a..; = ao(m/¡.t)
2jme2
47TEoh
Quanrum numbers
n 1 m
Speetroseopíe
1 O
O
Is
L
2 O
O
2s
2
1
O
2
1 ±1
3 O
O
3
O
(r, (J,
1»
3s
2,2
1
Wnlm
notatíon
K
M
Wave fune tíon
The quantity
(Z/aot2(1
----
27,
- Zr/6ao)(Zr/ao)
exp(-Z"
3ao) cos fJ
7T
2
3
1
±1
320
3 2
±1
3 2
±2
:;:27./;
(Z/ao)3!2(1
- Zr/6ao)(Zr/ao)
exp -Zr/3ao)
sin (}exp(±im;
55
•
FunCIOnes de Bessel:
J¡(x)
(_1/C )'+2t
too
t
= ¿t=o
t!r(l:ttl)
Funciones esféricas de Bessel:
j/(x)
¡;;J/t~(X)
T7I(X)
(-l)I{fJ_I-~(X)
LÍMITES:
Para x
-+
O:
j¡(x)
T]/
Para x
-+
-+
(x)
(2l+1)"
(2l + 1)!!
-+
----
xl+l
+00:
j¡(x)
T]I
(x)
1 sIn
. (x -- l7r )
x
2
1
l7r
-;:-cos(x- )
-+
-
-+
2
EJEMPLOS:
SIn X
x
SIn X
COS X
x2
x
-----
h(x)
T]O(x)
T]l
(x)
(3 1).
-
x3
COS
-
X
SIn X -
-
3
x2
cos X
x
x
COS x
SIn X
-7--x- (~ - ~) cos x - ~ sin x
x3
x
x2
56
Table Al1.2
Atomic
units
Unic
Quantity
Mass
P hysical significance
Value
Electron
9.109 53 x 10 - 31 kg
mass
e
Absolute value of
electron charge
1.60219
X
10-19 C
Ií
Planck's constant
divided by (27T)
1.05459
X
10-34
Bohr radius for atomic
hydrogen (with infinite
nuclear mass)
5.29177
x 10-
Magnitude of electron
velocity in first
Bohr orbit
2.18769
x 106 m s
l"lagnitude of electron
momentum
in first
Bohr orbit
1. 992 88 x 10
Time
Time required for electron
in first Bohr orbit to
travel one Bohr radius
2.41889
x 10-17 s
Frequency
Angular frequency of
electron in first Bohr
orbit (vol ao) divided
6.57968
X
Charge
Angular
momentum
Length
Vclocity
Vo
= ue
Momentum
Po
=
mvo
II
24
J
S
m
kg m s
1015 s
1
by (27T)
e2
Energy
---
c/mc2
=
47TEoao
Wave number
O:'
--
27Tao
Twice the ionisation
potential of atomic
hydrogen (with infinite
nuclear mas s)
4.35981 X 10-18
= 27.2116 eV
J
-
=
2R(oo)
Twice the Rydberg
2.19474
constant, i.e. twice the
wave number corresponding
to the ionisation potential
of atomic hydrogen
(with infinite nuclear mass)
x 107 m
I
I
1
IMpV
57
100
9
Hard
10
_0"
109
19
10
106
==",
"c
'»
"
o
106
1016
LO
~Z
'-
lkeV
CIII
.~~
J07
10
la'
Jol1
u
111
I
H
Soft
K
106
100
~
1110
.~ TI
100
-1:
111·-
106
L~
E
1016
;;¡ ~
'c
lOS
3
10
5
111 :J.-
e - ~
'-:=; o <{
10
1015
111 111 '-
:;.c~
U.Y.
•.
oU'l~
leV
Yisible
•• 'c"
10'
10'
10"
o
--....E~
).0
u o
c '-
-"'u
."•. ~~
lO'"
-9.'
•.
'-I
~ ~'"
o c
103
105
:s
103
-o
:J:;:;:
~ •. ~
~ 'c"
1013
Uo
-D
,.:.01
0._
106
Q; ~>
100
100
E (;2
10'1
D
_10-3
o
:>
la'
10
í
10
~
•.
E
e
•.o
O«
•.
>:
2'
•.
e
10-'
L
>
-
106
~
•.
•• c
'"
;§~
J:
JO"
,; mm
L
u
"o
:t'z
:>
."e
cm
CI
>
t
3:
';¡;
•• C
•.
1:
:>
o
3:
""
W
~'"
1:
o:
..•
D
>
..:
Vl
c.
:n
LL.
J.4. Charts 01 units o[ energy. t!l/ergy leve/s, wavelengthJ, WQve numbt'rs, frequenci~#
Fig.
and parame/ers
proporlional
fa energ)'
I
;;
29
~190
025
500
22 . 180
500
Ne
21
20
160
19
He
Is2p
~5C
600
150
17
140
130
l~;
-14
F
Il
110
:~r
11
90
H
80Lyman
70
50
5
30
3
-20
Ho
~=
NaO
2
1
"9
1300
o
10
n
Ha:
6000
•.,.:
>
~
e
"
w
"E'
D_
~ E
e u
oi
NO
¡;
100
"ª
~ el
"
30
4
15
1
50
CH·
Hi- Cl¡
05
2
50
6
O,
~
~ ~ ~
e
g ~ .~g.~
5} g 2
~
o~
~.
~
Vl
~
~
~.~
e
Q.I
U')
w.~ o
~
E
-1
~.
~
~
"
Q.I
~ ~
¡¡ ~ ~
:
12
•••
~
'-E
~
1.4. comillued
•.
E
e:g ~
u O\Du
el: S?
~----~------En~rgies---------------_
Fig.
.1,0
~
gE·;~
•••••
W 52
6
5
o
; ~ ~ lO
>
'=>
30
3
10
~
>.
v
3 -~
-'<
15
3
n
~.~
5O
2
-10
~ H-
~11I
20
12
e¡
C.
r¡R'~
U
1
3
~~ 100
F
¡.'.v
-G
150
Li
Na_ ·01
_K u
-RhI
.~
.;;
15
200
~
10000
-3,0000
NI
Be
B
~
20
250
NO
Hg
-5
3000
GlaS5
-4 000
CQ
1
,
2500
~O
4
05
2
e
;;
LiF
1 600 /'"
Ouartzí
2000
7
6
5
8r
1 500
60
~5Il~!E9 _.
-f- 150
Xe
"
8
~O
25
300
-Cl
1000
jJ
H
9
n
J~¡O
H
100
200
2~
-Ar
800
Lyman
10
~OO
110
13
12
6
3
18
16
;:so
35
170
E
E
1O
2
1
0·5
58
Table 7.3 The periodietableof the elements
Noble
Pcriod
lA
.--
IlA
IlIB
IVB
VB
VIB
VIlB
VIIIB VIIIB
lB
IlB
I1IA
5
6
7
VIlA
gases
1
2
He
1
I
4.003
5
6
7
8
9
10
Li Be
B
C
N
O
F
Ne
6.939
9.012
10.811
12.011
14.007
15.999
18.998
20.183
11
4
12
13
14
15
16
17
18
Na Mg
Al
Si
P
S
CI
Ar
lllrXJ
26.981
280&6
30.'J74
32064
35.4\3
3~.948
l·) .1Il
19 20
4
VIA
H
3
3
VA
-
1.008
2
IV A
22
21
K
Ca Se Ti
39.101
40.08
37
38
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
14.938
55847
'8933
~8 i I
63.54
65 37
69.72
72.59
74.922
78.96
79.909
83.80
44.956
479()
50942
51.996
41
39
40
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
Rb Sr
Y
Zr Nb Mo
Te
Ru
Rh
Pd
Ag
Cd
In
Sn
Sb
Te
I
Xe
85.47
87.62
88.9()5
9122
(99)
101.07
102.91
106.4
107.87
11240
114.82
118.69
121.75
127.60
126.9()
131.30
55
56
57t 72
92.906
95.94
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Cs Ba La Hf Ta W
Re
Os
Ir
Pt
Au
Hg
TI
Pb
Bi
Po
At
Rn
132.91
137.34
138.91
186.2
19()1
1922
19509
196.97
200.59
204.37
107.19
208.98
(210)
(210)
(222)
87
88
89+ 104 105
71
178.49
180.95
183.85
\
Fr Ra Ae
(2231
(li6)
mi)
t
Lanthanides
t
Aetinidcs
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Ce
Pr
Nd
Pm
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb Lu
140.12
140.91
144.24
f14S¡
15035
151.96
ISi.1S
158,<;2
162.50
IM.9]
16726
16H9]
173.04
174.97
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100 101 102 103
Th
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
No
Lr
232.(4
\2311
23803
')37)
)42,
'243;
.247)
,249)
ílSI)
(254)
(253)
(256)
(lB;
1257)
59
13
Referencias Agradecidas
~-
-
"There's lhe slrong force, the weak force, gravlty, electromagnetism,
Ihen lhere's thal cerlain somelhing I feel when I see you."
ano
60
De la misma forma en que el arte no representa solo una vivencia
personal sino que refleja todo un ambiente cultural, estos problemas no
son fruto exclusivo de nuestra inspiración. Así corno Van Gogh deambulaba por Arlés registrando sus praderas y sus soles, nosotros paseamos
por las páginas de ciertos 'clásicos' de donde tornamos ideas impune y
desprejuiciadamente.
Afortunadamente aún conservamos ambas orejas.
Nuestra principal referencia es el hermoso libro de B.H. Bransden
y C.J. Joachain Physics of Atoms and Molecules (Longman, New York
1983), que nos gustó tanto que tornamos de allí muchas de las tablas
y figuras. También consultamos el libro de problemas de A. Galindo y
P. Pascual Mecánica Cuántica (Eudema Universidad, Madrid 1989) que
nos alegró con su acento español. Otros libros de problemas que habitan
en el Hades de los clásicos son el de F. Constantinescu y E. Magyari
PT'oblems in Quantum Mechanics (Pergamon Press, New York 1971) Y el
libro de S. Flügge Practical Quantum Mechanics (Springer- Verlag, New
York 1974).
Los chistes fueron involuntariamente cedidos por S. Harris (tomados
del CUT'T'ent Contents) y la fabulosa tabla periódica de la página 51 por
Rafael García Molina (Universidad de Murcia, España).
Nos sentimos agradecidos hacia aquellos que nos precedieron en
el dictado de la materia 'Cuántica II' y nos dejaron allanado parte del
trabajo; Vienen a nuestra memoria los nombres de P. Fainstein, P. Focke,
C.R. Garibotti y L. Salem.
Gracias a Mirta Rangone por haber realizado los gráficos.
Gracias tambien a los alumnos que sufrieron con nuestra fecundidad
de problemas. Ellos ayudaron a seleccionarlos y corregirlos.
Finalmente agradecemos al Instituto Balseiro que siempre nos brindó
su apoyo y un amable ambiente de trabajo.