triángulo - Expreso Sideral SA

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.
Galileo Galilei
GEOMETRIA
GRADO NOVENO
2012
PGF03-R03
Contenido
UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5
NOCIONES DE GEOMETRIA .................................................................................................. 5
GEOMETRIA ......................................................................................................................... 6
AREAS DE FIGURAS PLANAS ............................................................................................ 7
TRIÁNGULO.......................................................................................................................... 7
CUADRADO .......................................................................................................................... 8
RECTÁNGULO...................................................................................................................... 8
ROMBO ................................................................................................................................. 9
TRAPECIO ............................................................................................................................ 9
PARALELOGRAMO .............................................................................................................. 9
POLÍGONO REGULAR ....................................................................................................... 10
CÍRCULO ............................................................................................................................ 10
ANALIZANDO LOS POLIGONOS ....................................................................................... 13
UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 17
TRIANGULO Y CIRCUNFERENCIA....................................................................................... 17
UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 17
TRIANGULO Y CIRCUNFERENCIA....................................................................................... 17
ANALIZANDO EL TRIÁNGULO ......................................................................................... 18
ANALIZANDO EL CIRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA ..................................................... 19
UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 24
CUERPOS GEOMETRICOS .................................................................................................. 24
POLIEDROS........................................................................................................................ 25
CUERPOS GEOMÉTRICOS REDONDOS ......................................................................... 27
AREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS ................................................... 29
EL PRISMA ......................................................................................................................... 29
LA PIRÁMIDE ...................................................................................................................... 31
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
EL CILINDRO ...................................................................................................................... 32
EL CONO ............................................................................................................................ 33
LA ESFERA ......................................................................................................................... 34
UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 40
EXPLORANDO EL MUNDO DE LA TRIGONOMETRIA......................................................... 40
UNIDADES ANGULARES ................................................................................................... 41
SEMEJANZA DE POLÍGONOS........................................................................................... 42
SEMEJANZA DE POLÍGONOS........................................................................................... 44
CRITERIOS DE SEMEJANZA............................................................................................. 46
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ............................................................. 49
TEOREMA DE THALES ...................................................................................................... 50
TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................................................................... 53
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ....................................................................................... 56
NOTACION DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ................................................ 57
APLICACIONES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................ 58
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
PRESENTACION
Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y se
desarrollo en su primera edición, de esta obra, se decidió insertar nuevos conceptos,
definiciones, ejercicios y gráficas.
En él, los temas que va a comenzar a estudiar, no son ni deben ser totalmente desconocidos
ya que seguramente en muchas ocasiones habrá tenido la oportunidad de trabajar con
conceptos geométricos, que han estado inmersos en su vida cotidiana.
La geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales
sociedades (producción industrial, diseño, arquitectura, topografía, etc.).
La forma geométrica es también un componente esencial del arte, de las artes plásticas, y
representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza.
La geometría tiene una gran utilidad en la vida cotidiana y en el estudio de otras disciplinas,
algunos de los usos de la geometría son:
La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano: Nuestro lenguaje verbal diario posee
muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano, curva, ángulo, paralela,
círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos comunicarnos con otros a cerca
de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la terminología geométrica es esencial. En
general un vocabulario geométrico básico nos permite comunicarnos y entendernos con
mayor precisión acerca de observaciones sobre el mundo en que vivimos.
La geometría tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real: Por ejemplo, está
relacionada con problemas de medidas que a diario nos ocupan, como diseñar un cantero o
una pieza de cerámica o un folleto, cubrir una superficie o calcular el volumen de un cuerpo;
con leer mapas y planos, o con dibujar o construir un techo con determinada inclinación.
Comité Área de Matemáticas.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
UNIDAD 1
NOCIONES DE GEOMETRIA
PROPOSITO
Hacer conjeturas y verificar propiedades de congruencias y semejanzas entre
figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de
problemas.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
GEOMETRIA
La geometría se origina en las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas como genuina
ciencia experimental sobre la base de requerimientos de la Arquitectura, la Astronomía y,
particularmente, de las mediciones de las tierras que frecuentemente se hacían necesarias
después de las crecidas periódicas de los grandes ríos. Los resultados se daban a conocer
sin fundamentación, como "recetas".
En el siglo VII a.C. los conocimientos geométricos se extendieron hasta Grecia. Allí la
geometría alcanzó un florecimiento con los notables geómetras griegos. Thales de Mileto
(alrededor de 600 a.C), Pitágoras (alrededor de 550 a.C), Platón (alrededor de 400 a.C),
Eudoxio (alrededor de 400 a.C), Euclides (alrededor de 300 a.C), Arquímedes (alrededor de
250 a.C), Herón de Alejandría (alrededor de 100 a.C).
La primera invitación a la geometría se realiza por medio de la intuición, desde la más
temprana edad se experimenta con las formas de los objetos ya sean juguetes o utensilios
familiares.
La geometría como cuerpo de conocimientos es la ciencia que tiene por objeto analizar,
organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. En un sentido amplio se puede
considerar a la geometría como la matemática del espacio.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
AREAS DE FIGURAS PLANAS
El área es la magnitud geométrica que expresa la extensión de un cuerpo en dos
dimensiones: largo y ancho. Para superficies planas el concepto es intuitivo y no requiere
introducir técnicas de geometría diferencial avanzadas.
Sin embargo, para poder definir el área de una superficie en general, que es un concepto
métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión, cuando
la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica
natural inducida por la métrica euclídea.
TRIÁNGULO
El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos.
La suma de sus tres ángulos siempre es 180 grados.
Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:
A = (b · h) / 2
(Es decir, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos)
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
CUADRADO
El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos
iguales. Los cuatro ángulos son rectos.
La suma de los cuatro ángulos es 360 grados.
Para hallar el área se utiliza la siguiente fórmula:
A=l·l
(Es decir, el área es igual al valor de un lado ( l ) multiplicado por sí mismo. )
RECTÁNGULO
El rectángulo es un polígono de 4 lados, que son iguales dos a dos.
Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos. Suman en
total 360 grados.
Para hallar el área de un rectángulo se utiliza la siguiente formula:
A=a·b
(Es decir, el área es igual a multiplicar el valor de la base (a) por el valor de la altura (b).)
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
ROMBO
El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los
ángulos son iguales dos a dos. ( Dos ángulos son agudos y los otros dos
obtusos)
Para
hallar
el
área
se
utiliza
la
formula
siguiente:
A = (D · d) / 2
(Es decir, el área es igual al producto de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d) y el
resultado se divide entre dos)
TRAPECIO
El trapecio es un polígono que tiene 4 lados, de ellos, dos son
paralelos.
Los cuatro ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos es
360 grados.
El
área
se
halla
(Es decir, el área es igual a la
multiplicado por la altura (h) y
con
la
A = (B + b) · h / 2
siguiente
formula:
suma de las dos bases (B y b),
dividido entre dos.)
PARALELOGRAMO
El paralelogramo es un polígono que tiene 4 lados, que son
iguales y paralelos, de dos en dos.
Los ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4 ángulos
es de 360 grados.
El
área
se
halla
con
la
formula
siguiente.
A=b·h
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
A = (P · a) / 2
(Es decir, el área es igual al
(h))
producto de la base (b) por la altura
POLÍGONO REGULAR
En este apartado están los polígonos regulares que tienen más de 4 lados
iguales. Los ángulos también son iguales.
El de 5 lados se llama pentágono. El de 6 lados hexágono, etc.
Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente formula:
(Es decir, el área es igual al perímetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido entre
dos.)
CÍRCULO
El círculo es la región delimitada por una circunferencia.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan del centro.
Para hallar el área del círculo se utiliza la siguiente formula:
A = Pi · r 2
radio (r) elevado al cuadrado)
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
1. Realizar un mentefacto conceptual sobre áreas de figuras planas.
2. Encuentra el área de un rectángulo que tiene de base 12 cm y de altura 7cm.
3. El área de un triángulo mide 600 cm 2 y la base es el triple de la altura; ¿cuáles son las
medidas de la base y la altura?
4. El área de un cuadrado es de 121 cm 2 . ¿Cuánto mide de lado?.
5. Las diagonales de un rombo están en la relación de 3 a 4 .Si el área del rombo es de 96
metros cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones de las diagonales.
6. Halla el área de un circulo si se sabe que el perímetro mide 74 cm.
7 . Ha lla r la d ia go n a l, e l p e rím et ro y e l á re a de l cua d ra do :
8 . Ha lla r la d ia go n a l, e l p e rím et ro y e l á re a de l re ct án gu lo :
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
9 . Ha lla r e l p e rím e t ro y e l á re a de l t ra pe cio re ct án gu lo :
10.
Ha lla r e l p e rím e t ro y e l á re a de l t ra pe cio isó sce le s:
11.
Ha lla r e l p e rím e t ro y e l á re a de l t riá ngu lo e qu ilá t e ro :
12.
Ha lla r e l p e rím e t ro y e l á re a de l p en tá go n o re gu la r :
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
ANALIZANDO LOS POLIGONOS
POLIGONO: Figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si
misma.
Clasificación de los Polígonos
Los polígonos se clasifican básicamente en:
polígonos regulares
polígonos irregulares
POLIGONO REGULAR
Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están
circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:
triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
cuadrado: polígono regular de 4 lados,
pentágono regular: polígono regular de 5,
hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.
polígono regular
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
POLIGONO IRREGULAR
Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos
en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:
triángulo: polígono de 3 lados,
cuadrilátero: polígono de 4 lados,
pentágono: polígono de 5 lados,
hexágono: polígono de 6 lados,
heptágono: polígono de 7 lados,
octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.
POLIGONO IRREGULAR
Triángulo
Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican
en:
triángulo isósceles: 2 ángulos iguales,
triángulo escaleno: 3 ángulos diferentes,
triángulo rectángulo: 1 ángulo recto,
triángulo obtusángulo: 1 ángulo obtuso,
triángulo acutángulo: 3 ángulos agudos.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Triángulo: polígono de 3 lados
Cuadrilátero
Polígono de 4 lados. Se clasifican en:
paralelogramo: cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, se
denominan a su vez:
o rectángulo: paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los
lados adyacentes no son de igual longitud,
o rombo: paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual
longitud,
o romboide: paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes
no son de igual longitud,
trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como:
o trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos,
o trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual
longitud,
trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Cuadrilátero: polígono de 4 lados
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
UNIDAD 2
TRIAN GUL O Y CIRCUNF ERENC IA
UNIDAD 2
TRIANGULO Y CIRCUNFERENCIA
PROPOSITO
Reconocer los elementos del triángulo (líneas notables) y de la circunferencia (diámetro,
radio, arco y cuerda) y construye polígonos inscritos y circunscritos, identificando relaciones
entre dos circunferencias.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
ANALIZANDO EL TRIÁNGULO
¿Cuáles son las líneas notables en un triángulo?
Son cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier triángulo.
Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo opuesto, el
punto donde se cruzan estas tres alturas se llama ortocentro.
Medianas: son los segmentos que van desde un vértice a la mitad del lado opuesto, el punto
donde se cruzan se llama baricentro.
Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el punto
medio, el punto donde se cruzan se llama circuncentro, este punto es el centro de una
circunferencia que se circunscribe al triángulo.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada ángulo en dos
partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, este punto es el centro
de una circunferencia inscrita.
ANALIZANDO EL CIRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA
¿Qué es circunferencia y círculo?
La circunferencia podemos definirla como la sucesión de puntos equidistantes de un punto
llamado centro. El círculo es la región delimitada por la circunferencia.
Segmentos notables
Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
Radio:
Es
la
mitad
de
diámetro.
Arco: Es una parte de la circunferencia que se delimita entre dos puntos.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Relación entre rectas y circunferencias
Recta secante: aquella recta que toca dos puntos de la
Recta tangente: aquella recta que toca un solo punto de la
Recta exterior: aquella recta que no toca ningún punto.
Secante
Tangente
circunferencia.
circunferencia.
Exterior
Relación entre dos circunferencias
Circunferencias concéntricas: Son aquellas que comparten el centro.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Circunferencias interiores: No comparten ningún punto, una está dentro de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: Comparten un punto estando una dentro de la otra.
Circunferencias secantes: aquellas que comparten dos puntos.
Circunferencias tangentes exteriores: son aquellas que comparten un solo punto, la
distancia entre sus centros es la suma de sus dos radios.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Circunferencias exteriores: son aquellas en que no comparten ningún punto, la distancia
entre sus centros es mayor a la suma de sus radios.
Clasificación de los ángulos en una circunferencia
Angulo central: aquel formado por dos radios.
Angulo inscrito: si su vértice está en la circunferencia y los lados del ángulo son dos
cuerdas. Un ángulo inscrito es justo la mitad del ángulo central correspondiente al arco
formado por el ángulo inscrito.
Angulo semiinscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es
una cuerda y el otro lado es una tangente. El ángulo así formado es la mitad del ángulo
central correspondiente al arco formado por la cuerda.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Angulo interior: Si sus lados son dos secantes que se cortan en el interior de la
circunferencia.
Angulo exterior: cuando el vértice esta en el exterior de la circunferencia, sus lados pueden
ser dos tangentes, dos secantes o una secante y una tangente.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
UNIDAD 3
CUERPOS GEOMETRICOS
UNIDAD 3
CUERPOS GEOM ETRICOS
PROPOSITO
Reconocer los cuerpos geométricos, características, clasificaciones
y calcular sus áreas y volúmenes
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
CUERPOS GEOMÉTRICOS
Llamamos cuerpos geométricos a los sólidos que ocupan un lugar en el espacio. Es decir
que los podemos tocar, medir y pesar.
Las medidas se toman en longitud, ancho y altura.
Los cuerpos geométricos se dividen en dos grupos: poliedros y los cuerpos redondos.
POLIEDROS
La palabra poliedro está compuesta por dos palabras griegas poli (muchos) y edro (planos,
caras). Se define como un sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se
denominan:
caras: polígonos que limitan al poliedro,
aristas: lados de las caras del poliedro
vértices: puntos donde concurren varias aristas.
Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados por polígonos. Estos polígonos pueden ser
triángulos, cuadrados, rectángulos, etc.
La siguiente figura es un poliedro:
MATEMATICAS – Geometría 9
25
PGF03-R03
Puedes comprobar que está formada por varias caras y cada una de estas caras es un
polígono
Las caras son polígonos.
Aristas en un poliedro:
Es la línea donde se cortan dos caras, o si quieres, la recta que es común a dos caras
Vértices en un poliedro:
El vértice es el punto común a tres o más planos o caras de un poliedro.
Con dos caras sería imposible dibujar un poliedro y tampoco con más de cinco caras porque
la suma de los ángulos interiores de los polígonos regulares que se juntan en un vértice
deben valer menos de 360º.
¿Por qué?
Toma una hoja de papel y traza cuatro rectas concurrentes en un punto, tal como lo tienes en
la siguiente figura:
Por supuesto que no hace falta que los ángulos tengan las mismas medidas.
Tanto en esta figura como la que has realizado en el papel, la suma de los 4 ángulos es
360º.
Si ahora doblas el papel por las líneas para elevar el ángulo y así crear un volumen, verás
que no se puede crear el ángulo poliedro.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
En la siguiente figura (A):
Si eliminas el ángulo de 32º si puedes construir el ángulo poliedro tal como lo tienes en (B).
Para que se ajusten debidamente las caras han de sumar menos de 360º.
Los poliedros se dividen en dos grupos: Regulares e Irregulares.
Se llama poliedro regular al cuerpo geométrico cerrado cuyas caras son polígonos
regulares iguales y en el que en cada vértice se encuentran el mismo número de caras.
Los poliedros que no obedecen a estas condiciones son llamados entonces, irregulares.
CUERPOS GEOMÉTRICOS REDONDOS
Son sólidos que tienen superficies curvas y pueden rodar.
Estudiaremos el cilindro, el cono y la esfera.
CILINDRO
Cuando
revolucionamos
un
rectángulo
sobre
un
eje
obtenemos
un
cilindro.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
CONO
El cono es una figura geométrica que se obtiene debido a la revolución de un triángulo
rectángulo.
ESFERA
Al girar la circunferencia sobre su eje obtenemos la esfera
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
AREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
EL PRISMA
El prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por 2 polígonos
regulares, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga
la base.
Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de la base.
(Ejemplo: Prisma pentagonal).
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo
geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = P · h
(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por
la altura (h) del prisma)
ÁREA TOTAL
AT = AL + 2 · Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área de los polígonos de las 2
bases)
VOLUMEN
V = Ab · h
(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura
( h ) del prisma)
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
MODELACIÓN
Un prisma tiene por base un triángulo equilátero de lado 9 cm. Si la altura del prisma es 12
cm, calcular el aárea lateral y total.
Solución:
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
LA PIRÁMIDE
La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un
polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como
lados tenga la base.
Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de
la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este
cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = P · a / 2
(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por
la altura de una cara lateral ( a ) de la pirámide y dividido entre 2)
ÁREA TOTAL
AT = AL + Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del polígonos de la base)
VOLUMEN
V = Ab · h / 3
(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura
( h ) de la pirámide y dividido entre 3)
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
EL CILINDRO
E
l cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno
de sus lados. Ver revolución del Cilindro
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico,
utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
pi ), el resultado multiplicado por el
radio de la base (B) y multiplicado por la generatriz ( g ) del cilindro)
ÁREA TOTAL
AT = AL + 2 · Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas las áreas de los dos círculos de las bases)
VOLUMEN
V = Ab · h
(Es decir, el volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura ( h ) del
cilindro)
MATEMATICAS – Geometría 9
32
PGF03-R03
EL CONO
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un
triángulo
rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver revolución cono
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo
geométrico, utilizando las siguientes
formulas:
ÁREA LATERAL
pi)multiplicado por el radio (r) de la base y
multiplicado por la generatriz ( g ) del cono)
ÁREA TOTAL
AT = AL + Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del circulo de la base)
VOLUMEN
V = Ab · h/ 3
(Es decir, el volumen es igual al área del circulo de la base multiplicado por la altura (
h ) del cono y dividido entre 3)
MATEMATICAS – Geometría 9
33
PGF03-R03
LA ESFERA
La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una
semicircunferencia
alrededor
de
su
diámetro.
Podemos hallar el área y el volumen de este cuerpo geométrico,
utilizando las siguientes formulas:
ÁREA
2
(Es decir, es área es igual a 4 multiplicado por
pi), y el resultado se multiplica por el
cuadrado del radio de la esfera)
VOLUMEN
3
(pi), el resultado se multiplica por
el cubo del radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3)
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de
arista básica y 12 cm de altura.
Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista
básica y 28 cm de arista lateral.
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica
de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura
mide 125.66 cm. Calcular el área total y volumen:
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A
qué altura llegará el agua cuando se derritan?
Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa
del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón
habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
MATEMATICAS – Geometría 9
37
PGF03-R03
Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de
la base es de 3 cm.
1. Cuál es el área y el volumen de un prisma recto que tiene por base un triángulo
rectángulo isósceles, cuyos lados congruentes miden 8 cm y su altura es de 40 cm?
2. Un prisma recto tiene por base hexagono regular de 4 cm de lado y 1.5 cm de altura.
Calcular área total y volumen
MATEMATICAS – Geometría 9
38
PGF03-R03
3. Un prisma recto tiene una base cuyo perímetro es de 30 cm y la altura es de 5 cm.
Calcular el área lateral
4. Hallar la apotema de una pirámide hexagonal regular cuyo lado de la base mide 4 cm y la
altura mide 12 cm
5. Hallar el área de un cubo sabiendo que su área total es de 288 cm 2
6. Determinar el área de de la superficie total de una pirámide regular cuya altura es de 15
cm y cuya base es un cuadrado de lado 12 cm.
7. Calcular el volumen de un cono de radio r y altura r + 4
8. Calculara el volumen de un sólido que está formado por un cono de radio 3.5 cm y de
altura 4.3 cm, al que se le ha agregado a la base de una semiesfera que encaja
perfectamente a la base del cono
9. el área de la base de un cilindro mide 56 cm. ¿Cuánto mide le área de la otra base?
10. ¿Qué capacidad tiene un vaso de 10 cm de altura y 6cm de diámetro?
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UNIDAD 4
EXPLORANDO EL MUNDO DE LA
TRIGONOMETRIA
PROPOSITO
Conoce la terminología y aplicaciones propias de la trigonometría.
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EXPLORANDO EN EL MUNDO DE LA TRIGONOMETRIA
La palabra trigonometría proviene del Griego trigōnon "triángulo" + metron "medida", de ahí
podemos inferir que su significado etimológico viene a ser la medición de los triángulos. La
trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y
los lados de los triángulos.
Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las
cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. La trigonometría se aplica a otras
ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas, de la geometría del
espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en
astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre
puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
UNIDADES ANGULARES
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la
más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radian, la
cual se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló
como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.
Radian: unidad angular natural en trigonometría, en una circunferencia completa hay 2π
radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
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1. Buscar en el diccionario las palabras desconocidas.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. De acuerdo al análisis realizado en la lectura anterior, menciona cuatro ejemplos donde
se aplique la trigonometría con la vida cotidiana.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus
lados correspondientes proporcionales.
En la vida cotidiana, el estudiante aprende a conocer los objetos más por su forma por su
tamaño. Es por este motivo que debes recordar que la RAZON de un número a otro, es
simplemente el resultado de comparar los números por medio de una DIVISION.
MATEMATICAS – Geometría 9
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MODELACIÓN 1: Una barra de hierro de 18 centímetros, se ha cortado en tres partes que
miden 3, 6 y 9 cm respectivamente.
3cm
18cm
1
6
La razón de 3 a 18 es
6cm
18cm
1
3
9cm
18cm
1
2
1
1
1
, la razón de 6 a 18 es y la razón de 9 a 18 es .
6
3
2
1. Encontrar la razón de AB a CD, si AB mide 15 cm y CD mide 0,30 cm.
2. El segmento AB tiene 5 cm de longitud y P es un punto situado a 2 cm de B, encuentra:
AP
PB
a.
b.
PB
AP
MATEMATICAS – Geometría 9
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c.
AB
AP
d.
BP
AB
3. ¿Son siempre semejantes dos triángulos isósceles cualesquiera? ¿Dos triángulos
equiláteros cualesquiera? Justifica la respuesta.
SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Da d o s lo s t riá n gulo s A B C y A 'B 'C', lo s la do s a y a ', b y b ', c y c' se
lla m a n la do s ho mólo go s .
L o s án gu lo s ho mó lo go s so n :
MATEMATICAS – Geometría 9
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Do s t riá n gu lo s so n se m e ja n te s cu an d o t ie ne n su s án gu lo s h o mó lo go s
igu a le s y su s la d os h om ó lo go s p ro p orcio n a le s .
L a ra zó n de la p rop o rció n e n t re lo s la d o s d e lo s t riá n gu lo s se llam a ra zón
d e sem e ja n za .
L a ra zó n d e lo s pe rím e t ro s de lo s triá n gu lo s sem e jant e s e s igu a l a su
ra zó n d e sem e ja n za .
L a ra zó n d e la s á re a s d e lo s t riá n gulo s se m e ja n t e s e s igu a l a l cu a d ra d o d e
su ra zó n d e sem e ja n za .
MO DE L ACI Ó N
1 . De t e rm in a r la a lt u ra d e un e d if icio qu e p ro ye ct a u n a so m b ra d e 6 .5 m a la
m ism a ho ra qu e un p o st e d e 4 . 5 m de a lt u ra d a u na som b ra d e 0 . 90 m .
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
2 . L o s ca t et o s de u n t r iá n gu lo re ctá ngu lo qu e m id en 24m y 1 0 m . ¿Cu á nt o
m e d irán
lo s
h ip o te n u sa
cate t o s
m id e
de
52
un
t rián gu lo
se me ja nt e
al
p rim e ro
cu ya
m?
CRITERIOS DE SEMEJANZA
1 . Do s t riá n gu lo s son se me ja n te s si t iene n do s án gu lo s igu a le s .
MATEMATICAS – Geometría 9
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PGF03-R03
Do s t riá n gu lo s son se me ja n te s si tienen los lad o s p ro p o rcio n a le s .
2 . Do s t riá n gu lo s so n se me ja nt e s si t ien e n d o s la d o s p rop o rcio n a le s y
e l á n gu lo co mp re nd id o e n t re e llo s igu a l.
MO DE L ACI Ó N:
De t e rm ina r si so n se m e ja n te s lo s sigu ie n te s t riá n gu lo s :
MATEMATICAS – Geometría 9
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S o n se me ja n te s po rqu e t ie ne n lo s lad o s p rop o rcio na les .
1 8 0º − 1 00 º − 6 0º = 2 0 º
S o n se me ja n te s po rqu e t ie ne n d o s án gu lo s igu a le s .
S o n se me ja n te s po rqu e t ie ne n d o s la d o s p ro po rcio n a le s y u n án gu lo igu a l .
MATEMATICAS – Geometría 9
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1 . Do s t riá n gu lo s re ct á n gu lo s so n sem e jan t e s si t ie nen u n á n gu lo
a gu d o igu a l .
2 . Do s t riá n gu lo s re ct á n gu lo s son seme ja n te s si t ie ne n lo s dos cat e to s
p ro p o rcio na le s .
3 . Do s t riá n gu lo s re ct á n gu lo s so n sem eja n t e s si t ien e n p ro p o rcio na le s
la h ip ot e nu sa y u n ca t e to .
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TEOREMA DE THALES
Este teorema se aplica si varias rectas paralelas intersecan o cortan a dos secantes o
transversales, entonces las dividen en segmentos proporcionales.
AB
BC
A' B '
B' C '
MODELACIÓN: Dibujar un triángulo cualquiera y tracemos una paralela a uno de los lados y
que corte a los otros dos lados.
Solución: Aplicando el teorema de Thales nos quedaría:
CD
AD
CE
BE
Si a esta proporción se le suma el denominador nos da:
CD AD
AD
CE
AD
BE
Pero: CD + AD = AC Y CE + BE =
AC
AD
BC
BE
Da d o u n t rián gu lo A B C , si se t ra za u n se gm e nt o p a ra lelo , B 'C' , a u n o de lo s
la d o s de l t ria n gulo , se ob t ie ne o tro t riá n gu lo A B 'C' , cu yo s la d o s so n
p ro p o rcio na le s a lo s d e l t riá n gu lo AB C .
MATEMATICAS – Geometría 9
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MO DE L ACI Ó N
Ha lla r la s m ed id a s d e lo s se gm en t o s a y b .
Entonces podemos decir; Si una recta es paralela a un lado del triángulo corta a los otros
dos lados del triángulo, entonces la recta divide a estos lados proporcionalmente.
Encuentre la medida del segmento EC conociendo que:
BC||DE, |AB|=9cm, |DA|=6cm, |AC|=15cm
MATEMATICAS – Geometría 9
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Encuentre la medida del segmento AC conociendo que:
DE||BC, medida del ángulo EDA=90º, |AD|=2cm, |DE|=3cm y |BC|=18cm
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
L a s re cta s a , b so n pa ra le la s. ¿P od e mo s af irm a r que c e s p a ra le la a la s
re ct a s a y b ?
MATEMATICAS – Geometría 9
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TEOREMA DE PITÁGORAS
La geometría, tuvo su origen en la medición que los antiguos egipcios necesitaban hacer de
la tierra. En unos casos para construir las grandes pirámides o para construir los linderos de
los terrenos que se borraban con la creciente del río Nilo.
Algunas medidas resultan más sencillas que otras, por ejemplo se puede utilizar una cinta
métrica otro instrumento de medición directa.
Pero se nos complica cuando queremos medir distancias muy grandes o distancias entre
puntos inaccesibles.
MODELACIÓN:
Según el triángulo rectángulo hallar él término desconocido y el área.
Solución: Inicialmente se trabaja con el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa.
c2
a 2 b2
c2
3m
2
4m
2
c2
9m2 16m2
c2
25m2
c
5m
Se aplica la formula de Área de un triangulo.
MATEMATICAS – Geometría 9
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A
b*h
2
4m * 3m
2
12m2
2
6m 2
E l t e o rem a d e Pit á go ra s e st a b le ce qu e e n u n t riá n gu lo re ct á n gu lo, e l
cu a d rad o de la hip o t en u sa e s igu al a la su ma de lo s cu ad ra d o s d e lo s
ca t e to s.
Empleo del teorema de Pitágoras conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es
rectángulo para que un t riá n gu lo sea re ctá n gu lo el cuadrado de lado mayor ha de ser
igual a la suma de los cuadrados de los dos menores. Determinar si el triángulo es
rectángulo.
Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Los ca te tos de un tri á ngul o re c tá ngul o miden en 3 m y 4 m respectivamente.
¿Cuánto mide la hi pote nus a ?
MATEMATICAS – Geometría 9
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Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
La hi pote nus a de un tri á ngul o re c tángul o mide 5 m y uno de sus c a te tos 3 m.
¿Cuánto mide otro cate to ?
1. Dibuja los triángulos rectángulos ABC, y halle el término desconocido donde
longitud de la hipotenusa, a, b las longitudes de los catetos.
c es la
a. si a = 30 y b = 40, entonces c=----------- d. Si c= 10 y a= 7, entonces
b =---------b. Si a = 68 y c = 70, entonces c= ----------- e. Si a= 100 y b= 450, entonces
c= ----------
c. Si b = 9 y c = 16, entonces c = -------- f. Si a=
65 y b= 12.4, entonces c= ---------
MATEMATICAS – Geometría 9
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Cuando hablamos de relaciones trigonométricas estamos estudiando la TRIGONOMETRIA
PLANA que es la que se ocupa de la resolución de triángulos planos y fundamentalmente de
los triángulos rectángulos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y
se estudian las relaciones entre ellas.
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas SENO, COSENO, TANGENTE.
Dichas relaciones están asociadas a los lados (Definidos por letras del abecedario) y los
ángulos conformados (Generalmente nombrados con letras griegas)
¿Qué líneas en la circunferencia representan las funciones trigonometricas?
En la siguiente grafica se muestra un ángulo en el primer cuadrante con las líneas
representativas de las funciones trigonométricas.
MATEMATICAS – Geometría 9
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Tradicionalmente el estudio de la trigonometría empezó con el estudio de las funciones
trigonométricas para ángulos agudos, luego fueron tomadas para resolver triángulos, es
decir, hallar sus lados y ángulos a partir de datos conocidos.
Es importante resaltar que las longitudes de los lados y el valor de las funciones
trigonométricas para los ángulos de un triángulo satisfacen ciertas relaciones que son útiles
en la solución de problemas geométricos, como el TEOREMA DEL SENO y el TEOREMA
DEL COSENO.
NOTACION DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS
El uso de las letras minúsculas a , b, c para los lados de un triángulo y las correspondientes
letras mayúsculas para A, B, C, para los vértices de los ángulos respectivamente opuestos
a ellos.
SENO
==
sen
COSENO=
cos
TANGENTE= tan
=
=
=
a
Cateto opuesto
=
c
Hipotenusa
b
Cateto adyacente
=
c
Hipotenusa
a
Cateto opuesto
=
b
Cateto adyacente
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1. Subrayar las palabras desconocidas y busquen su significado.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Investigar sobre el teorema del Seno y teorema del coseno.(Cuaderno)
APLICACIONES DE LAS RELACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
MODELACIÓN: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 14 cm. ¿Cuál es el
valor de las seis razones trigonométricas del ángulo agudo mayor?
Solución: Aplicar el teorema de Pitágoras, para hallar la
hipotenusa.
c2
c
c
a 2 b2
232cm2
15.2cm
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Hallar las relaciones trigonométricas:
Sen
14
15.2
0.91
Cos
6
15.2
0.39
Tan
14
6
2.33
MODELACIÓN: Hallar las relaciones trigonométricas para el siguiente triángulo rectángulo:
Solución:
Sen
15
39
5
13
Cos
36
39
12
13
Tan
15
36
5
12
MODELACIÓN: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 7 cm. Calcular la medida
de la hipotenusa, el perímetro y el área.
Solución: Aplicar teorema de Pitágoras para hallar la
hipotenusa.
h
h2
(5cm)2 (7cm) 2
h2
25cm2 49cm2
h
74cm2
8.6cm
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Perímetro
p
p
7cm 5cm 8.6cm
20.6cm
Area
7cm * 5cm
2
A 17.5cm2
A
1. Realizar un cuadro comparativo entre el teorema de Pitágoras, perímetro y área.
2. Calcular las relaciones trigonométricas, perímetro y área de los siguientes triángulos
rectángulos:
El olvido de las matemáticas perjudica todo el conocimiento, ya que el que las ignora
no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo.
Roger Bacon
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BIBLIOGRAFIA
 Matemática con Tecnología Aplicada 9. Ed. Prentice Hall
 www.wikipedia.com
 Geometría Analítica. Lehman. Ed. Limusa
 Algebra y Trigonometría. Swokowski E W - Cole J A
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