PDF (Parte 4)

/1
II
II
I z ,X, - NIX ,2 -e",IX,Y, = 0
(1.76)
1= 1
II
/I
11
IZ,Y, -NIX,Y; - e", IY,2 = 0
(1 .77)
i=1
1= 1
Obviamente las ecuaciones (1.74) y (1.75) son diferentes a las ecuaciones (1.76) y (1 .77) , por
10 tanto tambiE!n 10 seran los valores que se obtengan para N y ewe con los dos sistemas de
ecuaciones .
Sills(16) presenta un trabajo donde se conserva la simplrcidad del procedimiento de Havlena y
Odeh pero sin cometer el error en el procedimiento estadistico que, segun Tehrani , tiene este
metodo. EI autor introduce un terminG que define como factor de expansion combinado de
acuifero y yacimiento , CARET poe sus iniciales en ingles , en el cual se combinan los efectos
de los factores Eo, Eg, Ewf e Y en el caso de un yacimiento de petrol eo con capa de gas y
empuJe hidraulico y, para este tipo de yacimiento esta dado por la siguiente expresion
l
2C
£('/11<1-.1
-
-
<'
Y[ 1 -
I
l
)
( 1.78)
InJ
m(£" + £,,/,,)
donde ,
hA Y hR son los espesores del acuifero y el yacimiento; Swo Y Swg son las saturaciones de agua
en las zonas de petrol eo y gas respectivamente; Sog es la saturacion de petroleo es la
saturacion de petroleo en la zona de gas; Ewfg y Ewfo son los factores de empuje por expansion
del agua y contraccion del volumen poroso en las zonas de gas y petroleo respectivamente, y 8
es el angulo de contacto del acuifero con el yacimiento .
Con la introduccion del factor ECARET la ecuacion (1 .72) se reduce a
( 1.79)
Nuevamente aplicando la tecnica de minimos cuadrados a la ecuacion (1.79) se puede obtener
el valor de N y luego con este valor y de una expresion tambien deducida en el trabajo para
relacionar n y ewe se puede obtener este ultimo parametro . La expresion para la relacion ewcfN
es
~
N == 2C B
< , 0'
*[
1
1-)
...
\t"(I
+ 1-)
m
()~ - )
l
l
II,!.!
l(~\(~J
h i 360
(1 .80)
/()
Sills demuestra que los valores de N obtenidos por este procedimiento son similares a los
obtenidos por Tehrani y apreciablemente meJores que los obtenidos por la tecnica de Havlena y
Odeh.
Posteriormente en la seccion de comportamiento de acuiferos se detallara mas estos tres
procedimientos para resolver la EBM .
1.5 - PREDICCION DE YACIMIENTOS SIN EMPUJE HIDRAuLiCO
Otra de las aplicaciones importantes del Balance de Materiales es la prediccion de yacimientos
, 0 sea poder calcular el valor de Np ,G p , Rp Y R cuando la presion del yacimiento haya caido a
un valor P dado .
41
Si se observa la EBM para yacimientos de petr61eo subsaturado 0 gas ( ecuaciones ( 1.14) Y
(1 .32)) se puede ver que el calculo de Np 0 Gp es directo pues en estos casos no aparece flujo
multifasico , pero cuando se trata de yacimientos saturados 0 sobresaturados , bien sea que
tengan empuje por gas e hidraulico 0 no , la ecuaci6n de balance de materiales para calcular
Np involucra Rp el cual tambiem depende de Np , 0 sea que se tiene una ecuacion implicita la
cual hay que resolver por ensayo y error . Si el yacimiento tiene empuje hidraulico el problema
aun se complica mas porque es necesario conocer en forma precisa una expresi6n para
describir el comportamiento del acuifero y la intrusion de agua al yacimiento y ademas a una
presion dada la intrusion de agua calculada por la ecuacion de comportamiento del acuifero
debe ser igual a la calculada por balance de materiales.
Se presentara en este capitulo algunos metodos para hacer prediccion de yacimientos de
petroleo que no presentan empuje hidraulico y posteriormente , luego de describir como analizar
el comportamiento de acuiferos , se presentara el procedimiento para anallzar el
comportamiento de yacimientos con empuje hidraulico . La prediccion se hara en terminos de la
presion y no en terminos de tiempo , pues para incluir la variable tiempo es necesario conocer
el comportamiento de la presion con el tiempo 0 conocer las curvas de declinacion del
yacimiento , sin embargo al final del capitulo se veran aproximaciones para inclulr el tiempo en
la prediccion .
Pa ra realizar la prediccion de un yacimiento de petroleo se requiere usar las siguientes
ecuaciones .
EBM adecuada para el tipo de yacimiento
Ecuacion de Saturacion
Ecuaci6n para R
Ecuacion para W e; esta en caso de tener empuJe hidraulico .
•
•
•
•
Ecuaci6n para R
Por definicion :
R = q ~ (pe N)
q 0 (BN)
(1 .81)
Ademas , teniendo en cuenta que qg es la suma del gas liberado por el petroleo cuando se trae
a superficie y el gas libre que fluye en el yacimiento
Gas liberado
Rs * qo (peN/Oia)
Tasa de Gas libre en el yacimiento
-
K.
-"-
/.l ~ Bg
*h*
L\ P
In rei r"
0
K"
sea que qg = Rs * qo + ---- * h *
/.l l' Bg
L\ Plln relrw y la tasa de flujo de petroleo es
K
t-. P
/.l oBo
In re/ r"
= -~- *h * ---
q
o
Si se reemplazan en la ecuaci6n (1.74) las expresiones obtenidas para qg y qo se tiene
R=
x / ll g B~* h * M / lnr<, / r"
- +K.... R, * q"
q"
K" / Il" B"
*h *M
/ In r, /r". 42
= R +
S
K~ * ,u" * fl"
(1 .82)
,ug BI!
K"
Ademas R Y Rp (y por tanto Gp) se pueden relacionar de la siguiente forma
La tasa de f1ujo de gas en superficie y la de petr61eo tambien se pueden expresar como
o sea que lIevando estas expresiones a la ecuaci6n (1 .74) se tiene
R = dGp/dtl dNp/dt
de donde se conciuye :
dG p = R * dN p
e integrando quedaria :
la ecuaci6n anterior se puede aplicar por intervalos de tal forma que en un intervalo se pueda
tomar un valor promedio para R como con stante. Teniendo en cuenta esto, quedaria :
(1 .83)
donde R puede ser el promedio del valor Inicial y final para R en el intervalo donde se produjo
y ~ Np ~ Gp
Durante toda la historia del yacimiento el gas producido sera entonces : ,I
G I·),
,
= L (,~GJ' ) = L (R * L\G I' )I
I
(184)
y de acuerdo con la ecuaci6n (1 .84) Y la definici6n de Rp se puede escribir
(R ,.),
(G I , ) ,
(N ,.) ,
..
L (R) , * (L\N ,, ),
(1 .85)
L(LW ,.) I
donde
(1 .86)
Ecuaci6n de Saturaci6n:
La saturaci6n de petr61eo en un momenta dado para un yacimiento , de acuerdo con la
definici6n para la misma es :
43
So = ~
Vp
el volumen de petroleo en un yacimiento en un momenta dado es
Vo =(N - Np)*Bo
y el volumen poroso del yacimiento es
V =
~
NB Oi
­
(I-Sw) esta expresion para V p supone que en el yacimiento solo hay, inicialmente, petr61eo y agua , y
que el volumen poroso cambia Ilevando las expresiones para V o, V p a la definicion de So queda
So
=
(N - N p )* Bo *(I- S", )
NB . . 01
=(I - Np / N)*
:0
*(I-S ,, )
(1 .87)
01
La ecuaci6n (1 .87) es aplicable a un yacimiento de petroleo en el que , como ya se dijo ,
inicialmente no hay gas y el volumen poroso no cambia . Pero la ecuacion para calcular
saturacion varia dependiendo del tipo de yacimiento asi
Yacimiento Subsaturado suponiendo que el volumen poroso no cambia, la saturacion en este
tipo de yacimiento es constante e igual a la iniciaL
Yacimiento Saturado en este tipo de yacimiento como a medida que disminuye P aparece·
gas, la saturacion de petroleo disminuye y se puede calcular usando la ecuacion (1 .87) Esto
implica suponer que el gas que se libera se mantiene disperso en la zona de petroleo y por
tanto el volumen poroso correspondiente a esta no varia .
Cuando el gas liberado se segrega formando una capa de gas secundaria , 10 cual es raro que
ocurra , el volumen poroso de la zona de petro Ieo se ve disminuido por el espacio que ocupa la
capa de gas secundaria . No es facil encontrar el tamano de la zona ocupada por la capa
secundaria
Yacimientos Sobresaturados estos yacimientos pueden ser de gas disperso 0 de capa de gas.
Cuando el gas libre esta disperso en la zona de petroleo, la saturacion de petro Ieo se calcula
usando la ecuacion (1.87)
Cuando hay presencia de capa de gas , el gas de esta al disminuir la presion puede difundirse
en la zona de petr61eo y en este caso el contacto gas - petr61eo se mantiene constante y la
saturaci6n de petr61eo se calcula con la ecuaci6n (1.87), 0 puede expandirse la capa de gas al
disminuir la presion ; en este caso el volumen poroso de la zona de petrol eo disminuira en la
cantidad que se expanda la capa de gas . En este caso el volumen de petr61eo es el numerador
de la ecuaci6n (1 .87) corregido por el volumen de petr61eo que qued6 atrapado en la zona
invadida por gas, y el volumen poroso de la zona de petr61eo es el denominador de la misma
ecuaci6n (1 .87) pero corregido por el volumen poroso que invadi6 la capa de gas .
EI incremento en el volumen de la capa de gas es
44
/',. v = m NB.[ BB1\. - 1)
~
OJ
g'
el volumen poroso que invade la capa de gas es:
donde Sor es la saturaci6n de petr61eo residual en la zona que invadi6 la capa de gas ; el
volumen de petr61eo que quedo atrapado en la zona invadida es
o sea que la saturaci6n de petr61eo en este caso sera :
S
= ( N - N P )* B - /',. V
"
NB .
V
0
. U' .
0
_
(I -Sw )
(
N - N ,)
I
i
* B - mNB
0
0/
P
[ BBx - I ] * (I - S.--S~ "- S
J.!I
mNB
11
[!!_X -
fir
)
(1 .88)
1]
0' B
"'
(I - S,, ) - '(1 --:< -So, )
NB, ,,
Finalmente , si ademas de capa de gas se tiene empuje hidraulico se debe usar la ecuaci6n
(1 .88) pero corregido el numerador por el volumen de petr61eo que qued6 atrapada en la zona
que invadi6 el agua, y el denominador se debe corregir por volumen poroso que invadi6 el
agua . En la zona de petr61eo invadida por agua se pueden establecer las siguientes relaciones
antes y despues de la invasi6n
Antes
Despues
Sor + Sgr + Swr = 1
De las dos relaciones anteriores se puede establecer:
de donde se pueden obtener
(1 ,89)
donde ,
45
Sot , Swf, Y Sgt son las saturaciones de petroleo - agua y gas en la zona invadida por el agua
normal mente Sgf se toma como igual a cera porque debido a la intrusion de agua el yacimiento
se mantiene presurizado y es muy baja la posibilidad de liberacion de gas .
EI agua que se acumula en la zona invadida por agua se calcula de
=We -W p
Vwf
(1.90)
y por tanto el volumen poroso invadido por agua es :
Vp.,v
= (We - W p)/ (Swf - Sw)
(1 .91)
y el petroleo que queda acumulado en la zona de petroleo invadida par agua es :
/)"V =
( we -w r ) *S
(Swr -S IV )
o
(192)
or
Llevando las ecuaciones (1.91) Y (1.92) a la ecuaci6n (1 .81) se tiene la ecuacion de saturacion
de petroleo para un yacimlento que tiene empuje hidraulico y capa de gas
(N - Nt,)
*.
fl" - m
Nfl
s" =
* ( fl .' )
"'
8 ):1
. .mNB
NB
01
(l-SJ
~[ B ~_I_:
*
1
('
._-
.. ) or
S" _ S,,,)
(I --~<
-
~I
S"r) -
(S"I -
sJ
(1 .93)
. F -I '" B
W
- Wf! * 5;
..~. '
or
_
W
('
- w, I
(~,',/ - S" )
Cuando en lugar de necesitar la saturacion de petroleo se requiere la saturacion de liquido ,
esta se obtiene de
SL
= (So + Sw)
(1 .94 )
Finalmente, la ecuacion (1 .93) tambien se puede aplicar a un yacimiento con empuJe hidraullco
pera sin capa de gas; en este caso al aplicar la ecuacion (1 .93) se hace m = 0
Una vez definidas las ecuaciones para saturacion , R y EBM es posible realizar la prediccion de
un yacimiento de petroleo cuando no hay empuje hidraulico, y si se conoce ademas la ecuacion
para el comportamiento del acuifera se puede tambien realizar la prediccion del yacimiento con
empuJe hidraulico .
1.5.1 - Predicci6n de Yacimientos Sub-Saturados
Para este tipo de yacimiento la solucion de la EBM es directa pues Rp = R Si = R. Recordando
la EMB para este tipo de yacimiento
N p [Bo + (Rp - Rs) * BgJ = N [(Bo - Boi) +(R Si - Rs) * Bg + Ew.fJ
N r = N[(Bo - Bo;)+(R sl - Rs)* Bg + Ew.r ]
Bo +(R r - Rs) * Bg
pera Rp = RSi
= Rp 0
sea
46
~r
B* N p = N[ (Bo - Bo") + C(Sw +
l-S w
P* 8
0 1, ]
y como (Bo - Bol ) se puede expresar como
entonces la ecuaci6n anterior queda como :
8 )) * N P -- N[ C
0+
CwS w C r ] * Ap * B
(I - Sw)
D
01
Y recordando que (1 - Sw) == So se tiene
(1 .95)
Observando la ecuacion (1 .88) se ve que la produccion a cualquier presion (mientras el
yacimiento este por encima del punto de burbujeo) se puede calcu lar directamente ; por 10 tanto
la prediccion de un yacimiento subsaturado es directa .
1.5.2
Yacimientos Saturados y Sobresaturados (Capa de Gas)
En este caso a medida que disminuye la presi6n el valor de Rs va disminuyendo y por tanto Rs
RSi * Rp; esto hace que si se fuera a resolver la EBM para N p no se puede realizar
directamente porque se requiere conocer Rp y este valor a la vez depende de Np Existen
diferentes metodos para realizar la prediccion de yacimientos de este tipo ; todos requieren el
uso de las ecuaciones para EBM . R Y saturacion ; entre estos los mas usados son : Pirson y
Muska!. EI primero presenta la EBM en una forma conocida como EBM en diferencias fin itas y
el segundo la presenta en una forma conocida como diferencial.
*
•
Prediccion por el Metodo de Pirson
Pirson maneja la EBM de la siguiente forma : La EBM general es
Para el caso de yacimientos saturados
muy pequeno comparado con Eo Y Eg
0
sobre saturados el terminG Ew.! se desprecia por ser
La EBM se puede ademas organizar como :
== N [(Bo - Rs • Bg) + Np (Bol - R Si ' Bg) + mBoi
(:g-I)
1
gl
Y si se divide a ambos lados por NB g se tiene
47
N p [~ _ R ) + N p * R I' + Wp
N Bg
S
N
NB~
=[~
B -R , )+rnB
B - R ) - [~
S
S,
t!
01
[ _BI . _ _BI )
gl
g
(1 .96)
g
Aplicando la ecuaci6n (1 ,96) a un tiempo j y un tiempo j + 1
+
~)
* (~
_ R' ] G
+~
]
N
B
N
NB
=
I
1
,)
g I l
R ' ] - (~
.'" - R . ]
( ~B
B '"
;:
I
g
;:
+mB
I
1
(1 .97)
(_I __I ]
'" B B
):'):
~)
[~- R) j+1 +~)
+ ~)
N j+1 Bg
N j+1 NB~ j+1
S
==
[~
-R)
B
-
S
[~
-R)
B
+ rnB [ _ I - _ I )
B
B
S
,i+l
!!
01
.1 + 1
g
g.1
t!
Ahara , recordando que
~P ) j+1 == ~P
G I' )
+
\
~Zp \+ 1
= G p) + L\G I' )
N ';+1
N j
N
== G
j+1
r) + R,+, * t\N p)
N .i
N
.i+1
R.i+1 = -2 R J + RJ+ I)
-
1(
y definiendo
~ [B
B", R]
.\
1 -B ( Bo- R1
B,~ ,
R
B ,-"
= [
1+ 1
.,
;:
~1+1[;,l
~
==
;,l -;'l
;:
1+1
,., B ,
1, 1
;:
;:
y
1
~/+I ( ~', l =( A~" 1 -( ~' , 1
;:
Ie
1+ 1
;:
1
48
.,
1
(1 .97a)
al restar las ecuaciones (197) y (1.97a) se tiene
-~) ~) +[~) -~) ]
N
=
. N
.
NB
.I
.I
g
NB
J+ J
j
!'.
[~R) - [~
B
B - R) - [~
B - R.)
s,
S
+
S
g
.I
g
j+ I
g
[~Rs,.)
B
g
J+ I
.I
+mB [_I __1) _mB .[_1__I)
01
B
B
gl
0 1
g
B .
B
gl
j+ 1
"
j
y aplicando las relaciones y definiciones anteriores se tiene :
N,,)
N
* /\[
,
B" _R.]
_~[ BB"
·\
B
g
g
1+ 1
~N p )
de donde se puede despejar - ­
N
~
N"
N
[(
) 1+
1
j+ 1
) * ~ ,+1rB
B'" ( I - m)*~ 1+1rBI ] +~ [ NB
~t
B"- R]+
.\
I_ (NN,, ) 1
:::
\
" I
g
\
g
. ... _. ... . .
B"
[[ B~
. ]]
g
-
(1 .98)
-R\I+ R1> 1]
)
La ecuaci6n (1.98) es la ecuaci6n de balance de materiales en diferencias finitas y es general.
Cuando no hay capa de gas ni producci6n de agua simplemente se hace m = 0 y/o W p = 0
Usando la ecuaci6n (1 .98) se aplica el metodo de Pirson asi
1. Se toma una presi6n PI" j
2. Se supone un valor de t.N p /N)j+l
3. Secalcula L\NII/ N) .
.1+ 1
= NNr )
.I
4. Se calculan los parametros PVT a Pj+!
5. Se aplica la ecuaci6n de saturaci6n adecuada y se obtiene (So)j+!
49
K~)
6 . Con SOj+l se calcula - ··
Ko J+I
.
7. Se calcula Rj+1 y Rj+1
8. Se calcula t- Np /N)j+1 de ecuaci6n (1 .98)
9. Se comparan los valores para t- Np /N)j+1 supuesto y calculado . Si comparan se ha
encontrando Np /N)j+1 Y R1+1; si no comparan se toma el valor de t- Np /N)j+ 1 calculando y se
regresa a 2 para continuar el proceso .
10.Se regresa a 1 para tomar otro valor de Pj+l.y se repite todo el procedimiento hasta recorrer
todo el intervalo de presi6n en el cual se desea hacer la predicci6n el cual normalmente
liega hasta la presi6n de abandono .
Una vez se haga todo el recorrido del intervalo de presi6n los resultados se acostumbran a
mostrar en una forma grafica como 10 muestra la figura 7.
EI comportamiento de la presi6n en la figura 7 es obvio , pues a medida que aumenta Np tendra
que disminuir la presi6n . EI comportamiento de R se explica de la siguiente manera
Inicialmente, suponiendo que el yacimiento esta por encima del punto de burbujeo, R sera
constante e igual a Rsi porque no se ha liberado gas en el yacimiento y por tanto el gas sale
con el petr61eo en la misma proporci6n en que esta disuelto; cuando en la zona cercana al
pozo se empieza a estar por debajo del punto de burbujeo se empieza a liberar gas, pero este
no sale del yacimiento sino que se queda hasta alcanzar la saturaci6n residual de petr61eo y
por tanto el gas sale con el petr61eo en una proporci6n menor que en la que esta disuelto y por
10 tanto R sera menor que R si ; al alcanzar la saturaci6n critica de gas este empieza a f1uir y 10
hara , por tener mayor movilidad , mas rapido que el petr61eo y en consecuencia el valor de R
empezara a aumentar y 10 seguira haciendo hasta alcanzar un maximo a partir del cual
empezara a disminuir porque ya se empieza a agotar el gas del yacimiento
Si se alcanza a tener historia del yacimiento hasta el punto donde R alcanza a mostrar su valor
minima 0 mas alia de este, este punto minima me permite conocer la saturacion critica de gas,
pues conociendo el valor de Np al cual se presenta este minima se calcula de la ecuacion de
saturaci6n la saturacion de petr61eo y luego por diferencia la de gas que sera la saturaci6n
critica de gas.
EI procedimiento anterior se aplica despues de alcanzar la saturaci6n critica de gas, pues antes
de este valor de saturaci6n la soluci6n de la EBM es directa ya que R j+1
= Rj = Rs
Para saber a que presion se consigue la saturaci6n critica de gas se hace los siguiente
* Como se debe conocer cuanto vale Sgc se calcula So = 1 - Sw- S9C .
* Se supone valores de presi6n y se resuelve la ecuaci6n (1.91) para t- Np /N)j+l .
* Se calcula saturaci6n So Y se compara este valor con el correspondiente a la saturaci6n
critica de gas. Si es mayor se supone una presion menor y si es menor una presi6n mayor.
Por otra parte para resolver la ecuaci6n (1 .91) se requiere calcular
obtener
R para
10 cual se necesita
K,
K~
K" K"
, a la presi6n Pj+1 y esto implica que se debe tener una relaci6n entre
. y
saturaci6n de tal forma que una vez conocida la saturaci6n a P1+1 se pueda obtener la raz6n de
Permeabilidades . Existen varias formas de obtener la relaci6n
pueden mencionar las siguientes
50
K,
.e
K"
vs . So 0 SL entre las que se
.
• A partir de las curvas de permeabilidad relativa obtenidas en el laboratorio. Esta opcion
puede no ser muy buena porque las curvas de permeabilidad relativa se obtuvieron con
fluio lineal y en el yacimiento normal mente el fluio no es lineal.
i
..
R
I
p
Figura 7-. Presentaci6n de los Resultados de una predicci6n de Yacimientos.
• A partir de correlaciones. Estas correlaciones fueron obtenidas a partir de resultados de
laboratorio donde nuevamente se obtuvieron las curvas de permeabilidad relativa utilizando
fluio lineal; sin embargo pueden ser mas representativas porque son promedios de muchos
datos. Entre las correlaciones mas usadas estan las de Torcasso - Willie (4) y las de
Honarpour(2) y (16); esta ultima esta dada por las siguientes expresiones:
-s .
S
K. =1.1 072 -~',-_ L
_
Ig
( I _S
)
2
K
'
rg
+ 2.
7794l s
/
or
(
s -s .
))
g
I _ SK
g'
K'
(1 .100)
rg
donde,
K;.g es
la permeabilidad relativa al gas cuando se tiene la saturacion residual de petroleo, Sg y
Sgc son las saturaciones de gas y critica de gas, So y Sor son las saturaciones de petroleo y
critica de petroleo y Swc es la saturacion crftica de agua.
• A partir de datos de produccion se puede obtener para cada valor de presion conocida de
la historia del yacimiento y sus respectivos valores de tasa de fluio de petroleo y gas el
valor de R y la saturaci6n de petr6leo, porque tambien se conoce Np , luego usando la
ecuacion (1 .82) se despeja K!-: y as! se puede elaborar un grafico de K !: vs, So (Sd el
KG Ko
cual se podra extra polar para valores futuros de saturacion. Para obtener este grafico se
requerira tener suficientes datos de historia de producci6n por debajo del punto de
burbujeo.
51
Un grafico de K !! vs , So (Sd tiene la forma que muestra la figura 8.
K"
Kit
K(J
En la Figura 8 se puede apreciar que la grafica de -
vs, So (Sd en su parte central se
aproxima a una linea recta y esta es precisamente la parte que interesa en la predicci6n de
yacimientos porque en esta zona esta el intervalo de saturaci6n en el que varia la saturaci6n de
petr61eo en la vida de un yacimiento . Conocido un valor de saturaci6n de una curva como la
anterior se obtiene la raz6n de permeabilidades correspondiente .
i
Log
~fKo)
So
--.
K,
Figura 8 - Forma de la Curva de · ~ vs, So (5d
K"
•
Predicci6n por el Metodo de Muskat
La EBM usada por Muskat se obtiene de la siguiente forma :
Se toma una unidad volumetrica de volumen poroso en la cual el volumen de petr61eo medido a
condiciones normales seria :
Yo = ~ (BN)
Bo
y el volumen de gas:
v =
g
~
B * R S. + (I-S
W
o
-S )* _1 (peN )
0
B
g
donde B9 esta dado en By/PCN .
La tasa de producci6n de petr61eo y gas sera la rata de cambio de los anteriores volumenes
porosos ; 0 sea:
52
qo =
dtd(S
s::­o)
~[~ * R
q =
" dt 8 o
1
+ (\ - S - S ) *'
8g
S
W
0
Las variables en las dos expresiones anteriores no son funciones directas de tiempo sino de
presi6n; por tanto se puede escribir:
y
= ~[~*
R~
dt 8
qg
+( ' -S -S
W
0
)*-\l*
o
"
y aplicando la definici6n de R se tiene:
R= ~: =
[s
1
d
E . * R + (\ - S - S ) * '
dP 8
s
8
W
0
d[So1
0
g
dP 8 0
Realizando las derivadas se tendria :
R= R\ +
S"
B"
,dR.,
+(1-8,,-S,, )'
dU:l
dP
dP
I
* dS"
B~
dP
_ , [B dS" _ ~ dB,,]
B,~
" dP
'" dP
Ademas , segun la ecuaci6n (1 .82)
Igualando las dos expresiones para R se tiene :
So
K
B
g
K"
* j..1"- * " =
j..1~ B~
B"
d( 1 )
*
dRs + (\ _ S . _ S )
dP
""
*. B~
_ I/ B
dP
_I ---[ B dS" _ S S" dB" ]
B2
"
" dP
53
8
"
dP
~
*d,~,,dP
dP
dt
dBo
1
+Kg
- * -).1 0 * -So * - * -Ko I-l g Bo dP Bg
d(- 1 )
*!!~ *dR,
S
"
dS
"
dP
B"
dP
+(I-SII - S J*B , * _ B}i + K }i *Ji" *S"
~
dP
K " Ji !i B"
_
* dB,.
dP
~I:_ * Ji" + I] "
[
"
Ji }i
y tomando dS o Y dP como diferencias finitas queda finalmente
B
"
tl5;" == tlf'
.
* _ !!. * dR, + (I _ 51
51
B
{J dP
. _ 51 ) * B
h
""
*
d(
~)
}i
dP
K
+
g
K
(l
[ K~ * j-L,!- + I]
K"
* Ji ,. * S" * dB"
J.1 g
B ()
df'
(1101)
Ji"
La ecuacion (1 .101) es la expresion para EBM que se usa en el metodo de Muskat y se conoce
como EBM en forma diferencial. Como se hizo el cambio de dP a 6P, los valores de 6P deben
ser pequenos.
d(
dR
EI metodo implica tener valores para __S
,
dP
1 )
d( 1 )
B
B"
dP
f,
estos se pueden obtener
dP
derivando expresiones para R s, Bg Y Bo·
En la ecuacion (1 .94) las variables que dependen de P, se evaluan a la presion promedia del
intervalo y las que dependen de So se evaluan a la saturaci6n existente al comienzo del
intervalo .
EI procedimiento para el metodo de Muskat es
1.
Se toma un 6Pj+1 Y se calcula PJ' 1 = Pj - 6Pj+1
2.
Se calcula P = (Pj + Pj+1)* 1/2
3. Se evaluan los parametros PVT a
dR
S
4 . Se evaluan _ _
dP
5.
dB
, __
0
dP
dB ,
y __
J;
a
P
Y Pj +1
P
dP
K,
Se calcula 6So)j+1 de ecuacion (1 .78) usando para
- " y So los valores obtenidos a la
K"
6.
7.
presion P j
Se calcula 6S o)j+l = SO)j + 6S o)j+1
Se despeja NP)j+1 de la ecuacion de saturacion
54
8. Se calcula
K!;)
usando So)j+l
Ko j+1
9. Se calcula Rj+1 , Rj+l = (Rj + Rj+1)/2 Y ~Gp)j+l = Rj+l * ~Np)J+l
10. Se toma un nuevo ~Pj +l y se va al paso i para continuar la prediccion.
11. EI proceso continua hasta IIegar a la presion deseada hasta la cual se piensa IIevar la
prediccion .
Una vez hecho todo el recorrido del intervalo en el cual se desea hacer la prediccion los
resultados de la prediccion se grafican de la misma forma como se mostro en el metodo de
Pirson
EI procedimiento se puede mejorar si se hace un proceso de ensayo y error para usar
K ):
- y SO
K"
a la saturacion promedia del intervalo de la siguiente manera :
_
Oespues del paso 5 se calcula una saturacion promedia en el intervalo SO)j+l =So)j
K ):
con este nuevo valor se calcula -
+~SO)J+l
Y
y se lIeva con SO)j+l a la ecuacion (1.101) para calcular un
K"
nuevo valor de ~SO)j+1Y compararlo con el obtenido antes; el procedimiento continua hasta que
en dos iteraciones sucesivas el valor calculado de ~SO)j+l sea 'el mismo y ya se podra pasar al
paso 6 para continuar el procedimiento.
EI procedimiento anterior tam bien es aplicable despues de la saturacion de petroleo
equivalente a la saturacion critica de gas. A saturaciones mayores que la anterior se hace 10
mismo que se planteo en el metodo de Pirson y la presion correspondiente a la saturacion
critica de gas tambien se determina siguiendo el procedimiento descrito antes en Pirson .
1.5.3 - Introducci6n del Tiempo en la Predicci6n de Yacimientos
Las graticas que muestran los resultados de la prediccion los dan en funcion de la produccion
acumulada Np y normal mente 10 que interesa es saber el tiempo al cual se va a tener una
determinada presion 0 situacion de produccion del yacimiento; para ello se necesitaria conocer
el comportamiento de la tasa de flujo con el tiempo 10 que se conoce como curva de
declinacion. Un procedimiento aceptable para introducir el tiempo en una prediccion es el
siguiente:
Para un yacimiento que produce por gas en solucion y esta por debajo de la presion de
burbujeo la ecuacion de flujo en terminos de la presion promedia del yacimiento , las
propiedades de este y la caida de presion , de acuerdo con Fetkovich (fetkovich) , tiene la
siguiente forma:
q = Constante J5( }5", )" (I _ R 2)
Ln 0.4 7 X
fl." EI)
(1 .102)
La ecuacion (1.102) se considera compuesta de tres factores que se pueden identificar asi:
Constante
.
- es un factor de forma que me indica la geometria del yacimiento e incluye el factor
Ln0.47 X
de dana y la con stante por conversion de unidades.
55
•