Cuaderno Técnico nº 018 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas Benoit de Metz-Noblat La Biblioteca Técnica constituye una colección de títulos que recogen las novedades electrotécnicas y electrónicas. Están destinados a Ingenieros y Técnicos que precisen una información específica o más amplia, que complemente la de los catálogos, guías de producto o noticias técnicas. Estos documentos ayudan a conocer mejor los fenómenos que se presentan en las instalaciones, los sistemas y equipos eléctricos. Cada uno trata en profundidad un tema concreto del campo de las redes eléctricas, protecciones, control y mando y de los automatismos industriales. Puede accederse a estas publicaciones en Internet: http://www.schneiderelectric.es Igualmente pueden solicitarse ejemplares en cualquier delegación comercial de Schneider Electric España S.A., o bien dirigirse a: Centro de Formación Schneider C/ Miquel i Badia, 8 bajos 08024 Barcelona Telf. (93) 285 35 80 Fax: (93) 219 64 40 e-mail: formacion@schneiderelectric.es La colección de Cuadernos Técnicos forma parte de la «Biblioteca Técnica» de Schneider Electric España S.A. Advertencia Los autores declinan toda responsabilidad derivada de la incorrecta utilización de las informaciones y esquemas reproducidos en la presente obra y no serán responsables de eventuales errores u omisiones, ni de las consecuencias de la aplicación de las informaciones o esquemas contenidos en la presente edición. La reproducción total o parcial de este Cuaderno Técnico está autorizada haciendo la mención obligatoria: «Reproducción del Cuaderno Técnico nº 018 de Schneider Electric». Cuaderno Técnico no 018 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas Benoit de METZ-NOBLAT Ingeniero ESE, trabajó en Saint Gobain como Ingeniero de investigación y después en la sección de pruebas y equipos nuevos en una empresa de producción. Entró en Merlin Gerin en 1 986, trabajando como Ingeniero en el servicio de estudios de redes, especializándose en el estudio de las sobretensiones, armónicos y la estabilidad dinámica de las redes. Trad.: E. Milà; J.M. Giró Original francés: diciembre 1 990 Versión española: marzo 2 000 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas La determinación de las dimensiones de una instalación y los materiales que la componen, la regulación de las protecciones y el análisis de los fenómenos eléctricos precisan, a menudo, el cálculo de las corrientes y las tensiones presentes en las redes. El desarrollo de este Cuaderno Técnico persigue, como finalidad primordial, la presentación o recordatorio de un método simple de cálculo (con la ayuda de las componentes simétricas) de todos los parámetros en las redes trifásicas en régimen perturbado. 1 Presentación 2 Repaso matemático de la teoría de vectores 3 Aplicaciones elementales 4 Ejemplos resueltos 2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico p. 5 p. 6 2.2 Definición de base p. 6 2.3 Representación vectorial p. 7 2.4 Componentes simétricas p. 8 2.5 Descomposición de un sistema trifásico en sus componentes simétricas p. 9 2.6 Cálculo de las componentes simétricas p. 10 2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia p. 11 3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados p. 12 3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar) p. 13 3.3 Defecto bifásico a tierra p. 15 3.4 Defecto trifásico p. 16 3.5 Red con cargas desequilibradas p. 17 3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas p. 18 3.7 Formulario de recapitulación p. 20 4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático p. 23 4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático p. 24 4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una red MT con neutro a tierra p. 28 4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de un sistema de tensión y de corriente p. 30 Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 4 1 Presentación Si consideramos el funcionamiento en régimen normal equilibrado simétrico, el estudio de las redes trifásicas puede reducirse al estudio de una red monofásica equivalente de tensiones iguales a las tensiones simples de la red, de corrientes iguales a las de la red e impedancias iguales a las de la red, denominadas impedancias cíclicas. Al aparecer una asimetría significativa en la configuración de la red, ya no es posible aplicar la simplificación, pues no podemos establecer las relaciones entre los diferentes conductores con la ayuda de una impedancia cíclica para cada elemento de la red. El método general, aplicando de las leyes de Ohm y de Kirchhoff, es posible, pero resulta largo y complicado. El método de las componentes simétricas, descrito en el presente documento, simplifica los cálculos y permite una solución mucho más fácil que la superposición de tres redes monofásicas independientes. Después de repasar las nociones vectoriales, se aplica este método a los diferentes tipos de cortocircuito, acabando con unos ejemplos de casos prácticos reales. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 5 2 Repaso matemático de la teoría de vectores 2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico Un fenómeno físico vibratorio es senoidal cuando la elongación de un punto vibrante es una función senoidal del tiempo x = a cos (ωt + ϕ) n Recíprocamente, se puede hacer corresponder un vector giratorio a cualquier función senoidal x = a cos (ωt + ϕ). Esta aplicación es perfectamente conocida en electrotecnia, donde tanto corrientes como tensiones son fenómenos senoidales. uuuur OM n Consideremos un vector uuur uuu r de módulo a, girando sobre el plano Ox, Oy alrededor de su origen O con una velocidad angular constante ω (figura 1). uuur uuuur Si en el instante inicial t = 0, el ángulo Ox, OM tiene un valor ϕ, en el instante t, tendrá un valor (ωt + ϕ). uuuur Proyectamos el vector corriente OM sobre el eje uuur Ox . El valor algebraico de esta proyección es, en el instante t x = a cos (ωt + ϕ). Por convenio, se representa la función x por el uuuur vector OM en la posición que ocupa en el instante inicial t = 0; el módulo del vector representa lauuu amplitud, a, de la función senoidal, r uuuur y el ángulo Ox, OM representa su fase inicial. ( ) ( ) ( Con lo que: y o el movimiento de la proyección uuurdel extremo del vector giratorio sobre el eje Ox es un movimiento senoidal de amplitud a, igual al módulo de este vector, 2.2 M IaI t -a o la pulsación ω del movimiento senoidal es igual a la velocidad angular del vector giratorio, o la fase inicial ϕ es igual al uuu ángulo formado por r el vector giratorio con el eje Ox en el instante t = 0. ) n Por tanto, el estudio de un fenómeno físico senoidal puede reducirse al estudio del vector que le corresponde, lo que es muy interesante, porque la utilización matemática de los vectores es accesible. Se aplica en particular al dominio de los fenómenos eléctricos trifásicos en los que las tensiones y corrientes están representadas por vectores giratorios. O x +a x Fig. 1. Definición de base n Sea un fenómeno eléctrico pulsatorio senoidal, representado por un vector giratorio uur (figura 2). V n Se toma previamente sobre el plano: uuur o un eje de referencia Ox de vector unitario uur uur x : x = 1, o un sentido de rotación, convencionalmente definido como positivo en el sentido antihorario + . ur n El vector V , cuyo origen se sitúa en O, se caracteriza esencialmente por: ur o una amplitud V : en un instante dado, la longitud del vector es numéricamente igual al módulo de la amplitud máxima del fenómeno, o una fase ϕ: es, en un instante dado, el ángulo uuur ur ur Ox, V , que forma V con el eje de referencia uuur Ox , teniendo en cuenta el sentido de rotación ( ) adoptado. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 6 o una pulsación: es la velocidad de rotación constante del vector, en radianes por segundo. Se expresa habitualmente en revoluciones por segundo y en tal caso da la frecuencia del fenómeno expresada en Hz (1 Hz = 2 π rad/s). n Un sistema trifásico es un conjunto de 3 → → → vectores V1, V2, V3 con origen común, de igual pulsación y que tengan cada uno una amplitud constante. n Un sistema eléctrico es lineal cuando presenta proporcionalidad de relación causaefecto. 2.3 + V O x x Fig. 2. Representación vectorial → El vector V se representa clásicamente en un sistema de ejes de coordenadas rectangulares (figura 3): ur uuuur uuur uuur r r V = OM = OX + OY = OX. x + OY . y y + Y M n Operador «j» V Para uur facilitar las operaciones con los vectores, V puede representarse de forma equivalente y O con un número complejo utilizando el x X x operador «j». «j» es un operador vectorial que consiste en girar el vector al que se aplicauuu un de r ángulo uur jx = y . + π/2; por tanto, en la figura, Fig. 3. aV + Por tanto, se ve que: 120o π = π j2 = −1 rotación de 2 x 2 120o V 120o π 3π = j = − j rotación de 3 x 2 2 3 π = 2π j4 = +1 rotación de 4 x 2 de donde: ur r uur r V = OX. x + OY . j y = x OX + j OY ( a2 V Fig. 4. a2 hace girar un vector un ángulo: ) 2x 2π 4π = 3 3 2π equivalente a − , 3 n Operador «a» a3 hace girar un vector un ángulo: «a» es un operador vectorial que consiste en 2π aplicar un giro de + al vector sobre el que 3 3x se realiza la operación (figura 4). 2π = 2π (equivalente a 0 ) , 3 3 3 , a = − 0,5 + j ; a2 = − 0,5 − j 2 2 Vemos que: de donde: Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 7 a0 = a3 = a6 ... = 1 a= a4 a= a–2 a2 a5 = = a7 Esta última relación se verifica gráficamente constatando, sobre la figura, que la suma de los vectores representados es nula: ur ur ur V + a.V + a2 .V = 0 ur de donde V 1 + a + a2 = 0 , = ... = a–5 = a8 = ... ( = ... a2 = a–1 = a–4 = ... ) y, por tanto: a − a2 = j 3 1 + a + a2 = 0. y 1 + a + a2 = 0. 2.4 Componentes simétricas Sea un conjunto de tres vectores trifásicos senoidales que giran a la misma velocidad. Se consideran fijos unos respecto a los otros. n El «sistema inverso», todavía denominado por los anglosajones «secuencia negativa» (figura 6): uur uur uur V1,V2,V3 : Existen tres disposiciones particulares que representan una simetría de los vectores entre sí y que se ha dado en calificarlas como «componentes simétricas». o tienen la misma amplitud, n El «sistema directo», todavía denominado por los anglosajones «secuencia positiva» uuur uuuur uuuur (figura 5): V1 , V2 , V3 : o están dispuestos de forma que un observador en reposo vea desfilar los vectores en el orden uur uur uuur V1,V3 ,V2; o tienen la misma amplitud, uur V1 uur uur V2 = a. V1 uur uur uur V3 = a2 .V1 = a. V2 . o están desfasados 120o, o están dispuestos de forma que un observador en reposo vea desfilar los vectores en el orden uuur uuuur uuuur V1 , V2 , V3 : uur V1 uur uur uur V2 = a2 .V1 = a. V3 uur uur V3 = a.V1 . o están desfasados 120o, V2 120o V1 120o 120o V3 V3 120o 120 Fig. 6: Sistema inverso. o V1 120o V2 Fig. 5: Sistema directo. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 8 n El «sistema homopolar», denominado por los anglosajones «secuencia nula» (figura 7) uur uur uur V1,V2,V3 : V1 V2 V3 o tienen la misma amplitud, o están en fase y por tanto son colineales; un observador en reposo los vería pasar al mismo tiempo. 2.5 Fig. 7: Sistema homopolar. Descomposición de un sistema trifásico en sus componentes simétricas uur uur uur uur V1 = Vd + Vi + Vo uur uur uur uur V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo uur uur uur uur V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo Sea un sistema uur trifásico uur uur cualquiera formado por tres vectores V1,V2 ,V3 (definiciones de base); se demuestra que este sistema es la suma de 3 sistemas trifásicos equilibrados: directo, inverso y homopolar. uuur uuuur uuuur Sistema directo: Vd1, Vd2, Vd3 uur uuur uuur Sistema inverso: Vi1, Vi2, Vi3 uuur uuuur uuuur Sistema homopolar: Vo1, Vo2 , Vo3 . Se pueden calcular las componentes simétricas: uur 1 Vd = 3 uur 1 Vi = 3 uur 1 Vo = 3 Se verificará que: uur uuur uur uuur V1 = Vd1 + Vi1 + Vo1 uur uuuur uuur uuuur V2 = Vd2 + Vi2 + Vo2 uur uuuur uuur uuuur V3 = Vd3 + Vi3 + Vo3 uur uur 1 2 ( V + a. V uur (V + a 1 uur 2 uur + a2 . V3 uur uur . V2 + a. V3 uur ) ) uur ( V1 + V2 + V3 ) La construcción geométrica de las componentes simétricas se consigue teniendo en cuenta el 2π significado del operador «a» rotación de 3 Si elegimos los vectores con índice 1 como vectores de origen y hacemos intervenir el operador «a» se tiene que: (figura 8). O O V2 O V2 Vi V3 Vd 120o V1 aV2 O aV3 V1 V3 V1 uur 1 Vo = 3 120o uur 1 Vd = 3 Sistema dado Fig. 8. V3 Vo V2 + V1 a2 V 3 uur uur 1 2 ( V + a. V uur + a2 . V3 ) uur uur uur ( V1 + V2 + V3 ) a2 V 2 uur 1 Vi = 3 uur (V + a 1 2 uur uur . V2 + a. V3 ) Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 9 De forma más práctica se pueden construir las componentes simétricas directamente sobre la figura sin necesidad de relacionar los vectores (figura 9). En efecto, sean los puntos D y E tales que BDCE sea un rombo compuesto de dos triángulos equiláteros BDC y BCE y siendo O' el baricentro del triángulo ABC; un cálculo sencillo (ver apartado siguiente) indica que: uuuur uur Ea Vd = 3 uuuuur uur DA Vi = 3 uur uuuuur Vo = OO ' E V2 Vd + B V3 O V2 V3 C O' O Vo D V1 Vi Sistema dado V1 A Fig. 9: Sistema homopolar. 2.6 Cálculo de las componentes simétricas Sean los puntos D y E tales que (BDCE) sea un rombo compuesto de dos triángulos equiláteros (BDC) y (BCE). uuur uuur uuur n Sistema directo: EA = EB + BA, pero como uuur uuur EB = a2 .BC , se tiene que: uuur uuur uuur EA = a2 .BC + BA uuur uuuur uuur uuuur = a2 .BO + a2 .OC + BO + OA uuuur uuur uuuur = OA + OB −a2 − 1 + a2 .OC uuuur uuur uuuur = OA + a.OB + a2 .OC uur uur uur uur = V1 + a.V2 + a2 .V3 = 3Vd ( ) uuuur uuur EA Vd = 3 uuur uuur uuur n Sistema inverso: DA = DB + BA , pero como uuur uuur DB = a.BC , se tiene que: uuur uuur uuur DA = a.BC + BA uuur uuuur uuur uuuur = a.BO + a.OC + BO + OA uuuur uuur uuuur = OA + OB ( −a − 1) + a.OC uuuur uuur uuuur = OA + a.2 OB + a.OC uur uur uur uur = V1 + a2.V2 + a.V3 = 3Vi uuuuur uur DA Vi = 3 n Sistema homopolar: sea O' baricentro uuuuu r eluuuu ur uuuuur del triángulo ABC. Se tiene: O ' A + O 'B + O ' C = 0 uur uur uur uur V1 + V2 + V3 = 3Vo uuuur uuur uuuur = OA + OB + OC uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur = OO ' + O ' A + OO ' + O 'B + OO ' + O ' C uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur = 3 OO ' + O ' A + O 'B + O ' C = 3 OO ' uur uuuuur Vo = OO ' Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 10 2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia El método expuesto en el párrafo anterior tiene un interés inmediato en la electricidad en caso de redes trifásicas lineales y a frecuencia única. En efecto, los sistemas trifásicos aplicados a las redes eléctricas pueden estar desequilibrados por asimetría de la carga o por defectos. Es evidente la simplicidad que ofrecen estos cálculos, basados en la superposición de tres sistemas independientes, al permitir tratarlos separadamente, convirtiendo cada uno en un caso simple monofásico. Observaremos que estas manipulaciones matemáticas corresponden, de hecho, a una realidad física de los fenómenos, puesto que pueden medirse tanto las impedancias simétricas de los materiales eléctricos (ver capítulo 3) como las componentes simétricas de un sistema de tensiones o de corrientes (capítulo 4, ejemplo nº 4). Notas n por simplificación, en el texto que sigue, los vectores tensión y corriente se escribirán sin la flecha, n las componentes simétricas de tensiones y corrientes elegidas para la representación simple del sistema, son las de la fase 1: V1 =Vd + Vi + Vo. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 11 3 Aplicaciones elementales 3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados Principio de superposición Vamos a examinar el comportamiento de una red trifásica lineal y simétrica, es decir, compuesta de impedancias constantes e idénticas para las tres fases (que es el caso práctico) que no produce más que fuerzas electromotrices (f.e.m.) equilibradas pero cuyas corrientes y tensiones pueden estar desequilibradas debido a la conexión a una zona asimétrica D. E Zd d Zi i En efecto, en esta red lineal y simétrica, las corrientes de cada sistema se relacionan sólo con las tensiones del mismo sistema y recíprocamente por medio de las impedancias del sistema considerado. Téngase presente que estas impedancias Zd, Zi y Zo son función de las impedancias reales y también de las inductancias mutuas. Para una red que presente una sola f.e.m. y con las componentes simétricas de tensión y de corriente situadas respectivamente en el lado D de la asimetría Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, las relaciones que definen a los tres regímenes son: E = V d + Zd . I d 0 = Vi + Z i . I i 0 = Vo + Zo . Io, representadas esquemáticamente en la figura 10. Para las redes con varias fuentes (generadores) estas ecuaciones son válidas con la condición de considerar E y Zd, Zi, Zo, respectivamente como la f.e.m. y como las impedancias internas del generador equivalente de Thévenin. Vi Zo Las f.e.m. constituyen por naturaleza los sistemas directos, si los sistemas inverso y homopolar son nulos. Se interpreta el funcionamiento de la red como la superposición de tres regímenes que corresponden, cada uno, a uno de los sistemas directo, inverso y homopolar. Vd o Vo Fig. 10. Método de resolución práctica El método resumido a continuación se desarrollará con detalle en el ejemplo del párrafo siguiente (defecto monofásico a tierra): n la red se divide en 2 zonas: o una zona asimétrica D (red desequilibrada), o una zona simétrica S (red equilibrada), n se escriben las ecuaciones que relacionan las corriente y tensiones: o en la zona D (componentes reales), o en la zona S (componentes simétricas), o continuidad en la frontera D-S, o funcionamiento en la zona S, n la resolución matemática de las ecuaciones permite calcular los valores de las componentes simétricas y de las componentes reales de las corrientes y tensiones de las zonas D y S. Hay que indicar que los esquemas representativos de los sistemas simétricos ofrecen la posibilidad de calcular directamente los valores de las componentes simétricas. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 12 3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar) Se supone que el circuito está sin carga. E fase 1 n Aislamiento de la zona de asimetría (figura 11) a2E fase 2 n Ecuaciones de las componentes reales en (D) aE fase 3 Planteamiento de las ecuaciones I 2 = I3 = 0 V1 = Z I1 d, i, o Vd ,Vi , Vo zona S 2 3 Estas ecuaciones describen el caso examinado y son las únicas que corresponden a la figura. V3 V2 1 V1 Z zona D n Ecuaciones de las componentes simétricas en (S). I1 = I d + Ii + Io 2 I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2 I3 = a. I d + a . Ii + Io V1 = Vd + Vi + Vo 2 V2 = a .Vd + a.Vi + Vo V = a.V + a2. V + V d i o 3 Estas ecuaciones relacionan respectivamente las corrientes reales y las tensiones reales con sus componentes simétricas. Se encontrarán de forma idéntica en todos los cálculos de regímenes desequilibrados. Se deducen de las definiciones anteriores (capitulo 2). Fig. 11. Estas tres ecuaciones se encuentran sistemáticamente en todos los casos de cálculo de regímenes desequilibrados con una sola fuente de tensión. Resolución de las ecuaciones n Los valores de las componentes simétricas de las corrientes y de las tensiones: E + o + o = Vd + Vi + Vo + Zd.Id + Zi.Id + Zo.Io = 3 Z.Io + ( Zd + Zi + Zo). Io siendo: Io = Id = Ii = n Continuidad en la frontera D-S Por combinación entre las ecuaciones de las componentes reales en (D) y las ecuaciones de las componentes simétricas en (S), se obtiene: a2.I d + a. Ii + Io = 0 2 a.Id + a . Ii + Io = 0 V + V + V = Z. I i o 1 d I1 I = Ii = Io = ⇒ d 3 V + V + V = 3 Z. I i o o d n Ecuaciones del funcionamiento de S E = Vd + Zd . Id 0 = Vi + Zi + Ii 0 = V + Z . I o o o E Zd + Zi + Zo + 3Z Vd = E − Zd . Id = E − Zd Vd = E E Zd + Zi + Zo + 3Z Zi + Zo + 3Z Zd + Zi + Zo + 3Z V i = – Z i .I i Vi = − Zi E + + Zd Zi Zo + 3Z V o = – Z o .I o Vo = − Zo E Zd + Zi + Zo + 3Z Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 13 n Esquema de la red, según las componentes simétricas (figura 12). n Valores de las tensiones y de las corrientes reales: I 1 = Id + I i + Io Z + a. Zi + a2 . Zo V3 = a.E 1 − d Zd + Zi + Zo + 3Z Nota: Zd + a.Zi + a 2 .Zo El término 1 − Z + Z + Z + 3Z d i o 3E I1 = Zd + Zi + Zo + 3Z se llama factor de «defecto a tierra». Su valor varía entre 1 y 1,8. I2 = 0 Casos particulares I3 = 0 n Con defecto franco, Z = 0, la corriente de defecto fase-tierra toma el valor: V1 = Z.I1 I1 = E V1 = 3Z Zd + Zi + Zo + 3Z n Con defecto impedante a tierra, 3Z >> Zd + Zi + Zo, la corriente de defecto de fase-tierra se define por la impedancia de defecto: V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo = Zi + Zo + 3Z − Zd + Zi + Zo + 3Z = a2.E − a.E −E =E I1 = Zi − Zd + Zi + Zo + 3Z Zo = Zd + Zi + Zo + 3Z ( ) ( 3E Z d + Zi + Z o E . Z Vd ) d E Zi a − a + Zo a − 1 + 3a . Z 2 2 2 Zd Vi Zd + Zi + Zo + 3Z i Zi Vo Z + a2.Zi + a. Zo V2 = a2 .E 1 − d Zd + Zi + Zo + 3Z o Zo d = i= o 3Z V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo = Zi + Zo + 3Z = a.E − Zd + Zi + Zo + 3Z − a2 .E −E =E Fig. 12. Zi − Zd + Zi + Zo + 3Z Zo = Zd + Zi + Zo + 3Z ( ) Zi a − a 2 + Zo (a − 1) + 3a. Z Zd + Zi + Zo + 3Z Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 14 3.3 Defecto bifásico a tierra (figura 13) Escritura de las ecuaciones Io = n En la zona (D) I1 = 0 V2 = V3 = Z ( I2 + I3 ) n En la zona (S) = −E Zi = x Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + Zi + Zo + 3Z − E Zi Z d .Zi + ( Z d + Zi ) (3Z + Zo ) Vd = Vi = Zi ( Zo + 3Z ) E x + Zi ( Zo 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + Zi + Zo + 3Z I1 = I d + Ii + Io 2 I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2 I3 = a. I d + a . Ii + Io V1 = Vd + Vi + Vo 2 V2 = a .Vd + Vi + Vo V = a.V + a2. V + V d i o 3 I1 = 0 n Continuidad en la frontera (D) - (S) I2 = − j 3 E Zo + 3Z − a.Zi Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) I3 = j 3 E Zo + 3Z − a2 .Zi Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) I d + Ii + I o = 0 Vd = Vi V = V + 3 Z. I d o o n Funcionamiento de (S) E = Vd + Zd . I d 0 = Vi + Zi . Ii 0 = V + Z + I o o o Vo = E Zo .Zi x Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + Zi + Zo + 3Z V1 = E 3Zi ( Zo + 2Z ) Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) V2 = V3 = E − 3Z. Zi Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z ) Resolución de las ecuaciones Id = E = Zi ( Zo + 3Z ) Zd + Zi + Zo + 3Z =E E fase 1 a2E fase 2 aE fase 3 Zi + Zo + 3Z Zd .Zi + (3Z + Zo )( Zd + Zi ) d, i, o, Vd ,Vi , Vo zona S Ii = = 3 −E Zo + 3Z = x Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + Zi + Zo + 3Z V3 2 1 V2 V1 Z zona D −E ( Zo + 3Z ) Zd .Zi + ( Zd + Zi ) (3Z + Zo ) Fig. 13. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 15 n Esquema de la red según las componentes simétricas (figura 14) . Vd d Casos particulares E Zd n Defecto franco, con Z = 0: la corriente del defecto fase-tierra tomará el valor: I 2 + I3 = − Vi 3E.Zi + Zd .Zi Zi .Zo + Zd .Zo i Zi 3Z n Defecto bifásico aislado, con Z = ∞, la corriente de defecto de fase vale entonces: I 2 = − I3 3.4 (a =E 2 −a ) = − jE Z d + Zi o Zo Vo 3 Z d + Zi Fig. 14. Defecto trifásico (Figura 15). E fase 1 a2E fase 2 aE fase 3 Escritura de las ecuaciones n En la zona (D) V 1 = V 2 = V 3 = Z ( I1 + I2 + I3 ) n En la zona (S) I1 = I d + Ii + Io 2 I 2 = a . I d + a.Ii + Io 2 I3 = a.I d + a . Ii + Io V1 = Vd + Vi + Vo 2 V2 = a .Vd + a.Vi + Vo V = a.V + a2 .V + V d i o 3 Vd ,Vi ,Vo zona S V3 Z V2 o V1 zona D Fig. 15. Vd = 0 n Continuidad en la frontera (D) - (S) Vo I1 + I 2 + I3 = 3 Io = Z Vd = Vi = 0 V = V = V = V 2 3 o 1 d E Zd Zi n Funcionamiento de (S) E = Vd + Zd . Id 0 = Vi + Zi . Ii 0 = V + Z . I o o o i d Zo Fig. 16. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 16 Resolución de las ecuaciones Id = E Zd y Ii = I o = 0 V1 = V2 = V3 = 0 Vd = Vi = Vo = 0 I1 = 3.5 Los resultados son independientes de los valores de Z, Zi y Zo. E Zd I 2 = a2 E Zd I3 = a n Esquema de la red según las componentes simétricas (figura 16). E Zd Red con cargas desequilibradas (Figura 17). n Continuidad en la frontera (D) - (S) Escritura de las ecuaciones I1 = 0 I o = 0 I d = Ii V − V = Z . I i c d d V3 − V2 = I3 . Zc = − I2 . Zc n Funcionamiento de (S) n En la zona (S) E = Vd + Zd . Id 0 = Vi + Zi . Ii 0 = V + Z . I o o o n En la zona (D) I1 = I d + Ii + Io 2 I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2 I3 = a. I d + a . Ii + Io V1 = Vd + Vi + Vo 2 V2 = a . Vd + a. Vi + Vo V = a. V + a2. V + V d i o 3 Resolución de las ecuaciones Id = fase 1 a2E fase 2 aE fase 3 , d i, o, Vd ,Vi ,Vo zona S 3 zona D Fig. 17. E + Zd Zi + Zc Ii = − E V3 Zc V2 E Z d + Zi + Zc 2 1 V1 Io = 0 Vd = E ( Zi + Z c ) Z d + Zi + Z c Vi = E.Zi Z d + Zi + Zc Vo = 0 I1 = 0 I2 = − j E 3 Zd + Zi + Zc Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 17 I3 = jE 3 Z d + Zi + Zc Vd E ( 2 Zi + Zc ) V1 = Z d + Zi + Z c V2 = V3 = d E ( E a2.Zc + Zi Z d + Zi + Zc Zd ) Zc Vi i E (a.Zc − Zi ) Z d + Zi + Zc Zi n Esquema de la red según las componentes simétricas (figura 18). Casos particulares n Carga de baja potencia, siendo Zc → ∞ : 3.6 Zo Fig. 18. I1 e I3 → 0 y V1, V2 y V3 n Cortocircuito bifásico aislado, con Zc = 0. La corriente de defecto es, en este caso: tienden hacia los valores de red simétrica, es decir, hacia E, a2E, a.E. I3 = − I 2 = j E 3 Z d + Zi Impedancias asociadas a las componentes simétricas En este párrafo, se pasa revista a los elementos principales que pueden intervenir en una red eléctrica. Para las máquinas rotativas y los transformadores, los órdenes de magnitud de las impedancias son idénticos en porcentaje: S z% = 100 Z n2 U n n La reactancia inversa es inferior a la reactancia directa transitoria. n La reactancia homopolar no se toma en consideración salvo que el neutro del alternador esté conectado a la tierra directamente o a través de una bobina o de una resistencia. Su valor es del orden de la mitad de la reactancia subtransitoria. Máquinas sincrónicas Las generatrices provocan el nacimiento de la componente directa de la potencia. Los defectos son los creadores de las componentes inversa y homopolar que se dirigen desde el punto de defecto hacia los elementos equilibrados, atenuándose progresivamente. n Después de una perturbación, la reactancia directa de una máquina pasa del valor subtransitorio al valor síncrono. En el cálculo del defecto, se pueden tomar los valores en % (figura 19). Reactancia % polos salientes entrehierro constante subtransitoria 30 20 transitoria 40 25 síncrona 120 200 Fig. 19. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 18 Máquinas asíncronas La componente directa genera, en los motores, los campos rotativos en el sentido directo (par útil). La componente inversa produce los campos rotativos generadores de pares de frenado. n Usualmente podemos considerar la reactancia directa como una impedancia pasiva U2 / (P-jQ). n La reactancia inversa varía entre el 15 y el 30%. Es aproximadamente igual a la reactancia de arranque. n La reactancia homopolar es muy baja. Transformadores La circulación de una corriente homopolar por los arrollamientos de un transformador precisa una conexión con un punto neutro unido a tierra o a un conductor de neutro. n Los transformadores presentan, a las corrientes de los sistemas directo e inverso, una impedancia igual a su impedancia de cortocircuito, del orden del 4 al 15%. n La reactancia homopolar depende de la conexión de los arrollamientos y de la naturaleza del circuito magnético. La tabla de la figura 20 resume los diferentes casos detallados en las figuras 22 a y b. o líneas con 2 conductores por fase (400 kV) Rd = Ri ≈ 0,04 Ω /km Xd = Xi ≈ 0,32 Ω /km Cd = Ci ≈ 12 nF/km n La impedancia homopolar vale aproximadamente tres veces la impedancia directa. La capacidad homopolar se puede valorar en unas seis veces la capacidad directa. Cables n La reactancia y la capacidad directas e inversas dependen de la geometría de los cables. Rd = Ri Xd = Xi ≈ 0,1 a 0,15 Ω /km Cd = Ci ≈ 120 a 320 nF/km n Las características homopolares de un cable no se deducen fácilmente de las características directa e inversa. En general son despreciables ante las de los transformadores que alimentan dichos cables. Lineas aéreas Transformador (visto lado secundario) Consideremos las líneas transpuestas. Sin neutro n La impedancia y la capacidad directas e inversas dependen de la geometría de la línea. Yyn o Zyn o líneas con 1 conductor por fase (63, 90, 150 y 225 kV) Rd = Ri ≈ 0,16 Ω /km Reactancia homopolar flujo libre ∞ ∞ flujo forzado 10 a 15 Xd Dyn o YNyn Xd primario zn 0,1 a 0,2 Xd Xd = Xi ≈ 0,4 Ω /km Cd = Ci ≈ 9 nF/km Fig. 20. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 19 3.7 Formulario de recapitulación Parámetros empleados: n Tensión eficaz compuesta de la red trifásica U n tensión eficaz simple de la red trifásica V= n corriente de cortocircuito, en módulo Icc n corriente de defecto a tierra, en módulo Itierra n impedancias simétricas Zd, Zi, Zo n impedancia de cortocircuito Zc n impedancia de tierra Z U 3 La tabla de la figura 21 resume los valores de las corrientes, en módulos, en los diferentes casos de asimetría. Tipo de asimetría Asimetría impedante Cortocircuito monofásico Icc = Cortocircuito bifásico a tierra (Zc = 0) Cortocircuito bifásico aislado (Z = ∞) Cortocircuito trifásico (Z cualquiera) Asimetría franca (Z = 0 y/o Zc = 0) U 3 Zd + Zi + Zo + 3Z Itierra = U Icc = 3 Zi Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z ) Itierra = Icc = U Z d + Zi + Z c Icc = Icc = U Z d + Zc Icc = 3 U 3 Z d + Zi + Z o U 3 Zi Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo U Z d + Zi U Zd 3 Fig. 21. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 20 Conexión Esquema unifilar primario 1 1 secundario terciario equivalente los bornes primarios 1 bornes secundarios 2 1 2 infinito infinito 1 2 infinito infinito bornes terciarios 3 2 2 1 1 Valor de la reactancia homopolar del transformador, vista desde: 2 X11 1 2 1 2 1 2 2 Flujos libres Flujos libres infinito infinito Flujos forzados Flujos forzados X11 = 10 a 15 infinito veces Xcc X12 = Xcc X12 = Xcc infinito infinito 1 1 2 X12 1 2 1 2 1 2 X12 = Xcc infinito 1 2 infinito infinito 2 infinito X22 = 1% de Sn X 22 1 1 2 1 1 1 2 X11 2 2 Flujos libres Flujos libres infinito infinito Flujos forzados X11 = 10 a 15 Flujos forzados infinito veces Xcc Fig. 22 (a). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 21 Conexión Valor de la reactancia homopolar del transformador, vista desde: Esquema unifilar primario secundario terciario equivalente los bornes primarios 1 los bornes secundarios 2 los bornes terciarios 3 infinito X22 = 1% de Xn X 22 1 2 2 1 Flujos libres Flujos libres infinito X22 = 1% en X n Flujos forzados Flujos forzados X11 = 10 a 15 X = 1% de X 22 n veces Xcc X22 1 2 1 1 X22 2 1 2 1 2 infinito 2 X11 Flujos libres infinito Flujos forzados X11 = 10 a 15 veces X12 2 1 1 2 3 3 2 X2 2 X02 x1 + X1 X01 1 infinito 1 X3 3 3 X03 infinito ( x2 + x02 )( x3 + x03 ) x 2 + x 3 + x 02 + x 03 x2 + infinito x3 + ( x1 + x01 )( x2 + x02 ) x1 + x 2 + x01 + x02 ( x1 + x01)( x3 + x03 ) x1 + x 3 + x 01 + x 03 2 X2 X1 1 1 2 x1 + X3 3 x 2 x3 x 2 + x3 infinito infinito 3 2 X1 X01 1 1 2 X2 x1 + X3 3 3 x 2 ( x 3 + x 03 ) x 2 + x 3 + x 03 x3 + infinito x 2 ( x1 + x 01 ) x1 + x 2 + x 01 X03 2 X1 1 1 2 X2 X33 X1 + X2 = X12 infinito X 33 = 1% de Xn 3 3 Fig. 22 (b). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 22 4 Ejemplos resueltos 4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático Esquema de la figura 23 Problema 100MVA ¿Qué poder de ruptura ha de tener, como mínimo, el interruptor automático? 2500 MVA 17 kV 8% 36 kV Solución Cuando interviene el interruptor automático, la componente aperiódica está latente en el interior de la red pero no en los devanados del alternador. n Impedancias: o del alternador, referidas al secundario del transformador: X'd = 35% X'i = 25% Fig. 23. o monofásico 2 Za directa: 35 36 = j0,18 Ω x 100 2500 Za inversa: 25 362 = j0,13 Ω x 100 2500 = 36 3 = 18 kA 1,22 + 1,17 + 1,0 o bifásico aislado Icc = Za homopolar: despreciable. o del transformador, referida al secundario del transformador: Zt directa: 8 362 = j1,04 Ω x 100 100 Zt inversa: j1,04 Ω Zt homopolar = j1,04 Ω U 36 = = 15 kA Zd + Zi 1,22 + 1,17 o bifásico a tierra Icc = = U Z o − a Zi Zd Zi + Zi Zo + Zo Zd 36 . 1,915 = 17,6 kA 3,91 Z directa = j1,22 Ω n el interruptor automático deberá cortar una corriente de cortocircuito de 18 kA o, lo que es lo mismo, su potencia de ruptura deberá ser de: Z inversa = j1,17 Ω 18 x 36 o totales Zt homopolar = j1,04 Ω 3 = 1122 MVA . n corrientes de cortocircuito: o trifásico Icc = U/ 3 36 / 3 = = 17 kA Zd 1,22 Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 23 4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático Esquema de la figura 24. Solución Problema n Esquema global directo o inverso (reducción a 60 kV) (figura 25) En una red de 60 kV, determinar el poder de ruptura de los interruptores automáticos de los centros C y E, que alimentan a la línea de 15 km. a=j La reactancia de cortocircuito de los transformadores de grupo y de red es del 10% y la de los otros transformadores, del 8%. U2 25 60 2 25 = = j 22,5 Ω x x Pcc 100 40 100 b = jUcc U2 10 602 = = j9 Ω x Pcc 100 400 Para una línea de 60 kV la reactancia es de 0,4 Ω/km en régimen directo e inverso y de 3 x 0,40 Ω/km en régimen homopolar. C1 = j0,40 x 60 = j24 Ω Los grupos presentan una reactancia directa o inversa de 25%. C3 = j0,40 x 40 = j16 Ω C2 = j0,40 x 50 = j20 Ω C4 = j0,40 x 40 = j16 Ω Las cargas de potencia activa P presentan una reactancia equivalente estimada de j.0,6 U 2 /P. 40 MVA 40 MVA 30 MW A 40 km 60 km 40 MVA 15 MVA 8 MW 12 MVA 15 km 10 MW B C 20 MVA 14 MW E 10 MW 15 MVA 50 MVA 40 km 50 km D red 150 kV 1500 MVA 20 MVA 20 MVA Fig. 24. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 24 d = jUcc e=j i= j I = jUcc U2 8 602 = = j24 Ω x Pcc 100 12 m=j U2 602 x 0,6 = x 0,6 = j270 Ω P 8 h = jUcc o=j U2 602 x 0,6 = x 0,6 = j216 Ω P 10 j = jUcc U2 8 60 2 = = j7,2 Ω x Pcc 100 40 U2 602 x 0,6 = x 0,6 = j72 Ω P 30 n = jUcc x U2 8 602 = x x19,2 = Ω Pcc 100 15 2 U2 25 602 25 = = j 45 Ω x x Pcc 100 20 100 k=j U2 602 x 0,6 = x 0,6 = j216 Ω P 10 f = jUcc g= j U2 8 602 = = j19,2 Ω x Pcc 100 15 U2 10 602 = = j7,2 Ω x Pcc 100 50 U2 602 = = j 2,4 Ω Pcc 1500 p = j0, 4 x15 = j 6 Ω q = jUcc 2 U 10 60 = = j18 Ω Pcc 100 20 U2 8 602 = = j14,4 Ω x Pcc 100 20 U2 602 x0,6 = x0,6 = j154 Ω P 14 r=j a b A d c4 g e c1 m l f B E C n i c3 p q r c2 h o D j k Fig. 25. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 25 n Esquema global homopolar (reducción a 60 kV) (figura 26). esquema directo/inverso Los transformadores del centro de transformación detienen las corrientes homopolares en sus arrollamientos en triángulo. j6 C b’ = b = j9 Ω E j168,4 j6,45 c’1 = 3c1 = j72 Ω c’2 = 3c2 = j60 Ω c’3 = 3c3 = j48 Ω esquema homopolar c’4 = 3c4 = j48 Ω d’ = ∞ f’ = ∞ h’ = j18 C E j6,09 ∞ j’ = j = j18 Ω l’ = ∞ Fig. 27. n’ = n = j7,2 Ω p’ = 3p = j18 Ω q’ = esquema directo ∞ j6 C n Esquemas reducidos E j168,4 Para el estudio que nos interesa se pueden reducir los esquemas a lo indicado en C y E (figura 27). n Dimensionamiento del interruptor automático de línea, lado C: esquema homopolar Caso 1: defecto lado barras (figura 28) j18 C Zd = j6 + j168,4 = j174,4 Ω E ¥ Zo = ∞ Fig. 28. b' A d' c'1 c'4 l' f' B E C n' c'3 p' q' c'2 h' D j' Fig. 26. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 26 o Icc trifásica es igual a: U Zd 3 60 = 0,195kA 174,4 3 = esquema directo C línea abierta con lo que: Pcc = U I j6,45 3 = 20,7MVA o Icc monofásica es igual a: U 3 =0 Z d + Zi + Z o esquema homopolar C con lo que Pcc = 0. Caso 2: Defecto lado línea (figura 29) línea abierta j6,09 Zd = j6,45 Ω Zo = j6,09 Ω o Icc trifásica es igual a: U Zd 3 = Fig. 29. 60 = 5,37kA 6,45 3 esquema directo j6 C con lo que: E Pcc = UI 3 = 558,1 MVA j6,45 o Icc monofásica es igual a: U 3 60 3 = = 5,47 kA + + Z d Zi Z o 18,99 esquema homopolar con lo que: j18 C Pcc = UI 3 = 568,7MVA E j6,09 El interruptor automático de línea en el punto C deberá estar dimensionado para 570 MVA. n dimensiones del interruptor automático de línea, lado E: Fig. 30. Caso 1: Defecto lado barras (figura 30) Zd = j6 + j6,45 = j12,45 Ω esquema directo Zo = j18 + j6,09 = 24.09 Ω E j168,4 o Icc trifásica es igual a U Zd 3 = 60 12, 45 3 = 2,782 kA con lo que Pcc = UI 3 289,2MVA esquema homopolar o Icc monofásica es igual a: E U 3 60 3 = = 2,121 kA Zd + Zi + Zo 48,99 con lo que Pcc = UI 3 = 220,5MVA Fig. 31. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 27 Caso 2: Defecto lado línea (figura 31) Zd = j168,4 Ω Zo = ∞ o Icc trifásica es igual a: U 60 = = 0,206 kA Zd / 3 168, 4 3 o Icc monofásica es igual a: U 3 =0 Z d + Zi + Z o con lo que: Pcc = 0 El interruptor automático de línea, en el punto E, deberá estar dimensionado para 290 MVA. con lo que: Pcc = UI 3 = 21,4MVA 4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una red MT con neutro a tierra Esquema de la figura 32. Problema n ¿Cual deberá ser la regulación de intensidad de los relés homopolares de las diferentes derivaciones? Con Solución i HT / MT Se parte de las fórmulas del párrafo de defecto fase-tierra; se aprecia que la impedancia de tierra Rn es equivalente a tres impedancias de valor 3 Rn situadas cada una sobre una fase de la red puesta a tierra directamente. La corriente homopolar en el punto del defecto a tierra se divide en dos caminos paralelos: Rn 2 C02 n el primero corresponde a la impedancia de neutro 3.Rn, en serie con la impedancia homopolar del transformador y del trozo de cable comprendido entre el defecto y el transformador. O sea: 3.Rn + ZOT + ZOL, 1 C01 I1 Zdefecto n el segundo corresponde a la puesta en paralelo de los circuitos capacitivos del conductor −j n ∑ Coi ω 1 Si se opera con el máximo rigor, se deben tener en cuenta las impedancias del transformador y de las líneas, que prácticamente son despreciables ante las impedancias capacitivas. La corriente de defecto a tierra I1 (ver defecto fase-tierra) Fig. 32. I1 = 3E a través de Zd + Zi + Zo + 3Z Ro = (3Rn + ZOT + ZOL) en paralelo con j − (C ∑ oi ) ω , o sea: Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 28 Zo = 3Rn + ZOT + ZOL n 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL ) ∑ Coi ω 1 V3 (5500 V) y por sustitución, se tiene la expresión de la figura 33. 120o E3 (3175 V) Vo (3175 V) 120o Vd 120o Si, como es habitual, Zd, Zi, ZOT, ZOL son prácticamente despreciables respecto al valor de 3 Rn y el defecto es franco (Z = 0), entonces se tiene: 120o V2 (5500 V) E1 (3175 V) E2 (3175 V) n E + j3 ∑ Coi ωE I1 ≈ 1 Rn Fig. 34. La contribución de cada derivación sana a la corriente de tierra es, pues, de 3Coi ω E (en módulo). Aplicación numérica y representación gráfica Para evitar disparos intempestivos, la regulación del relé homopolar de cada una de las derivaciones ha de ser superior a la corriente capacitiva mencionada. (figura 34) Esta corriente depende de la naturaleza y de la longitud de los conductores. Rn = 100 Ω, Por ejemplo: o para una línea de 15 kV, la capacidad homopolar es de alrededor de 5 nF/km, lo que representará una corriente de: 3 x 5.10−9 x 314 x15000 / 3 = 0,04 A / km o sea, una corriente de 4 A para 100 km, o para un cable tripolar de 15 kV, la capacidad homopolar es de unos 200 nF/km, lo que provoca la circulación de una corriente de: 3 x 200.10−9 x 314 x15000 / 3 = 1,63 A / km o sea, de unos 2 A/km, o estos valores de corriente capacitiva deben compararse con los de la corriente que atraviesa la impedancia de neutro y que alcanza varias decenas e incluso centenas de amperios. Se supone que se produce un defecto franco en una red de 5 500 V, 50 Hz, con neutro impedante, con: Co = 1 µF, Z = Zd = Zi = ZOT = ZOL = 0, E = 5500 / 3 = 3175 V Zo = 3 Rn /(1 + j3Rn.Co.ω), I1 = (3 175/ 100) + j3 x 3175 x 10-6 x 314 ≈ ≈ (32 + j3) A, I2 = I3 = 0, V1 = 0, 3 V2 = ja.E 3 = −3175 1,5 + j 2 voltios, 3 V3 = E (a − 1) = 3175 −1,5 + j voltios. 2 n 3E 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL ) ∑ Co i ω 1 I1 = n ( Zd + Zi + 3Z ) 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL ) ∑ Coi ω + 3 (Rn + ZOL + ZOT 1 Fig. 33. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 29 4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de un sistema de tensión y de corriente Sistema de tensión n La componente homopolar se mide con la ayuda de tres transformadores de tensión (TT) cuyos primarios están conectados entre fase y neutro y los secundarios en serie para alimentar un voltímetro (figura 35) V = 3 Vo . k siendo k la relación de transformación. n La componente directa se mide con la ayuda de 2 TT montados entre V1 y V2 por una parte y V2 y V3 por otra (figura 36). El primer TT está cargado con una resistencia pura R. El segundo, con una inductancia y una resistencia de valor tal que: Z = − a.R = R.e El transformador auxiliar T1 genera una corriente proporcional a (I1 - I3) que circula a través de Z, igual a: – a2.R. La tensión en los bornes del voltímetro es proporcional a: ( I3 − I2 ) + ( I1 − I3 ) ( − a2 ) = I3 − I2 − a2. I1 + a2. I3 ( V1 V2 V3 jπ / 3 Z está formada por la serie de una resistencia (R/2) y una reactancia ( R 3 / 2 ). transformación de tensión relación k Los dos circuitos están en paralelo sobre un amperímetro que medirá una corriente proporcional a: ( V1 − V2 ) + − a2 ( V2 − V3 ) ( ) = − a2 I1 + a. I2 + a2 . I3 = −3 a2 . Id ) = V1 − V2 1 + a2 + a2.V3 = V1 + a.V2 + a2.V3 = 3 Vd V3 V2 V1 kV3 kV2 kV1 V kV1 + kV2 + kV3 =V = 3 Vo .k Fig. 35. n La componente inversa se mide de la misma manera que la directa, pero con la inversión de polaridad entre los bornes 2 y 3. V1 V2 V3 ( V1 − V3 ) + − a2 ( V3 − V2 ) ( = V1 − a2.V2 − V3 1 + a2 ) = V1 + a2 .V2 + a.V3 = 3 Vi Sistema de corriente Z n La componente directa se mide con la ayuda de tres transformadores de corriente (TC) según se indica en el esquema de la figura 37. El transformador auxiliar T2 genera una corriente proporcional a (I3 - I2) que circula a través de R. R A Fig. 36. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 30 2 T1 3 Z R 3 /2 T1 T2 1 2 3 3 2 Z R R R/2 R 3/2 R/2 V V Fig. 37. V3 3 T2 3 V2 2 V2 V3 3 1 V1 1 V1 1 Fig. 38. n La componente inversa se mide también con la ayuda de tres transformadores de corriente conectados según el esquema de la figura 38. Con idéntico razonamiento al caso anterior se deduce que la tensión en los bornes del voltímetro es proporcional a: 1 1 2 2 3 3 ( ) (a + 1) I1 − I3 + ( I3 − I2 ) − a2 = I1 − a . I2 − I3 2 A 2 = I1 + a2. I2 + a. I3 = 3 I i n La componente homopolar es igual a un tercio de la corriente de neutro que circula directamente por la conexión de puesta a tierra (neutro distribuido). Fig. 39. Tres transformadores puestos en paralelo permiten su medida en el amperímetro A I1 + I2 + I3 = Ih (figura 39). Un transformador toroidal abrazando la totalidad de conductores activos permite la medida anterior por la suma vectorial de las corrientes de fase. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 31