Forma canónica de Jordan

Forma canónica de Jordan
En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un
endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en
suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma
canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la
diagonal y bloques de ceros fuera de ella.
Dado un endomorfismo sobre un espacio vectorial sobre de dimensión n > 1, puede
probarse que si su polinomio característico factoriza completamente sobre el cuerpo
(es decir, es el cuerpo de descomposición del polinomio característico de la matriz),
existe una base donde la aplicación lineal viene dada por una "matriz de m bloques" (
) con la forma canónica siguiente:
Donde cada submatriz
o bloque de Jordan tiene la forma:
Donde además se cumple que λk es raíz del polinomio característico y que:
Un caso interesante es el de los endomorfismo diagonalizables donde
, siendo por tanto la forma canónica de Jordan una matriz diagonal.
y
Motivación
Considérese la situación de una matriz diagonalizable. Una matriz cuadrada es
diagonalizable si la suma de las dimensiones de los espacios propios (eigenspaces) es el
número de filas o columnas de la matriz. Examinemos la matriz siguiente:
Tenemos valores propios de A que son sólo λ = 5, 5, 5, 5. Ahora bien, la dimensión del
núcleo de A − 5Id es 1 (donde Id representa la matriz identidad), por lo tanto A no es
diagonalizable. Sin embargo, podemos construir la forma de Jordan de esta matriz.
Dado que la dimensión es 1, sabemos que la forma de Jordan está compuesta de solo un
bloque de Jordan, es decir, la forma de Jordan de A es:
Obsérvese que J puede escribirse como 5Id + N, donde N es una matriz nilpotente.
Puesto que ahora tenemos A similar a dicha matriz simple, podremos realizar cálculos
que involucren a A usando la forma de Jordan, lo que en muchos casos puede
simplificar el cálculo. Por ejemplo, calcular potencias de matrices es significativamente
más sencillo usando la forma de Jordan.
Ejemplo
Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz
Hallamos el polinomio característico:
PA(λ) = (1 − λ)4(2 − λ)
Sus raíces son λ1 = 1 y λ2 = 2 con multiplicidades 4 y 1 respectivamente.
λ1 = 1
Comencemos con λ1, tenemos que hallar 4 vectores linealmente independientes, pues la
multiplicidad de λ1es 4. Pero no valen 4 vectores cualesquiera. Hay que hacer lo
siguiente:
Hallar la cadena de núcleos de (A − λ1Id),(A − λ1Id)2,(A − λ1Id)3,...hasta que la
dimensión del último sea la multiplicidad de la raíz (4 en este caso).
Calculando el rango de esta matriz nos da rg(B) = 4, luego su nulidad (la dimensión del
núcleo) es
. Resolviendo el sistema
BX = 0, obtenemos que todas las coordenadas excepto la primera han de valer cero. Así
pues,
los
vectores
del
núcleo
de
B
son:
. Como la nulidad de B (es decir,
la dimensión de
) es 1, cualquier base de
estará formada por un único vector de
, linealmente independiente.
Tomamos para formar la base, por ejemplo, al vector (1,0,0,0,0).
.
Realizando un proceso idéntico al anterior obtenemos que el rango de C es 3, luego su
nulidad es n(C) = 2. Resolviendo el sistema CX = 0 se obtiene que todas las
coordenadas de los vectores de
han de valer cero, excepto las dos
primeras. Como
expandir
la
, sabemos que podemos
base
de
.
para
Elegimos
entonces
el
obtener
vector
una
(0,1,0,0,0)
base
.
de
Así:
.
El rango de esta matriz es rg(D) = 2. Su nulidad es por tanto 3. Resolvemos el sistema
DX = 0 y observamos que las dos últimas coordenadas han de valer 0. Expandemos la
base de
para obetener la de
, por ejemplo
con
el
vector
(0,0,1,0,0):
En este caso, la nulidad de E es n(E)=4, y como la dimensión de
(es decir, la nulidad de E) no puede ser superior a la multiplicidad algebraica del auto
valor 1, que es 4, ya hemos llegado a la dimensión máxima. Resolvemos el sistema EX
= 0 y concluimos que la suma de las últimas dos coordenadas ha de ser nula. Ahora
tomamos un vector
pero que no pertenezca a ninguno de
los anteriores. Por ejemplo, v4 = (0,0,0,1, − 1). Obtenemos así la base de
:
.
Ahora hallar
es muy fácil:
.
λ2 = 2
= <(14,4,2,1,0)>. Ya tenemos los 5 vectores de la nueva base.
Matriz de cambio de base
Matriz Canónica de Jordan en la base P
Para hallar la matriz de Jordan sólo hay que hacer las imágenes por A, de los vectores
de la base de Jordan, y expresarlos en dicha base:
Se cumple J = P − 1AP