memorias congreso internacional didáctica de la matemática

Facultad de Educación
MEMORIAS CONGRESO
INTERNACIONAL DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
Una mirada epistemológica y empírica
John Alexander Alba
Compilador
MEMORIAS CONGRESO
INTERNACIONAL DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
Una mirada epistemológica y empírica
MEMORIAS CONGRESO
INTERNACIONAL DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
Una mirada epistemológica y empírica
John Alexander Alba
Compilador
Congreso Internacional Didáctica de la Matemática: Una Mirada Epistemológica y Empírica (2015 Sept. 9-11 : Universidad de
La Sabana, Facultad de Educación, Santa Marta (Colombia)
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática: Una Mirada Epistemológica y Empírica ; compilador John
Alexander Alba. -- Universidad de La Sabana. -- Chía : Universidad de La Sabana, 2015.
314 p. ; cm. (Colección Compilaciones; 01)
Incluye bibliografía
1. Matemáticas – Enseñanza - Metodología 2. Filosofía de las matemáticas 3. Teoría del conocimiento 4. Cálculo – Enseñanza
secundaria 5. Educación superior 6. Pedagogía I. Alba, John Alexander, compilador II. Universidad de La Sabana (Colombia). III. Tit.
CDD 372.7
CO-ChULS
Reservados todos los derechos
Comité Académico
Universidad de La Sabana
© Universidad de La Sabana, Facultad de Educación
Bruno D’Amore, presidente
Dirección de Publicaciones
© Guy Brousseau, John Alexander Alba, Luis Carlos
Martha Fandiño, vicepresidente
Campus del Puente del Común
Arboleda, Ferdinando Arzarello, Giorgio Bolondi, Ricardo
John Alexander Alba,
Km 7 Autopista Norte de Bogotá
Cantoral, Bruno D’Amore, Raymond Duval, Martha Isabel
secretario general
Chía, Cundinamarca, Colombia
Tel. (571) 8615555 Ext. 45001
Fandiño Pinilla, Vicenç Font, Athanasios Gagatsis, Juan Díaz
Godino, Salvador Llinares, Raquel Susana Abrate, María
Comité Editorial
www.unisabana.edu.co
Carolina Ferrero, Marcel David Pochulu, Harold Álvarez
John Alexander Alba
publicaciones@unisabana.edu.co
Campos, Erika Ariza, Daniel Cifuentes, Gloria Neira, Bulmaro
Alejandro Angulo E.
Juárez Hernández, Guillermina Sánchez López, José
Henry Ramírez
Dionicio Zacarias, Lidia Aurora Hernández Rebollar, María
Yimmy Triana
Araceli Juárez Ramírez, María Eugenia Martínez Merino,
Marta Graciela Nardoni, Marcel David Pochulu, Teresa Pontón
Comité Evaluador
Ladino, Julián Humberto Santos Torres, Miryan Trujillo
Ph.D. Maura Iori
Cedeño, Marlene Alves Dias, Tânia Maria Mendonça Campos,
Ph.D. Pedro Rojas
Sirlene Neves de Andrade, Eloisa Benitez-Mariño, Rigoberto
Ph.D. George Santi
Gabriel-Argüelles, Marcela Cante Morales, José Gabriel
Ph.D. Rodolfo Vergel
Primera edición: octubre de 2015
Diseño de colección
y diagramación:
Kilka Diseño Gráfico
Corrección de estilo:
Hernando García Bustos
Sánchez Ruiz, Carlos Armando Cuevas Vallejo, Freddy Yesid
Villamizar Araque, Olga Lucía Duarte Bolívar, Luz Ángela
Flórez Olarte, José Antonio Juárez López, Fabiana Mahtabel
Arteaga Cervantes, Patricia Marisel Konic, Ruy Cesar
Pietropaolo, Tânia Maria Mendonça Campos, Angélica da
Fontoura García Silva, Boris Mauricio Pulido P., Oscar Antonio
Pulido C., Oscar Jardey Suárez, Henry Alexander Ramírez
Bernal, Alexander Rincón Rojas, John Alexander Alba
Vásquez, Helmer Jesús Ruiz Díaz, Yilton Riascos Forero,
Myriam Vásquez Vásquez, Jhoana Katheryne Sandoval,
Marlon Felipe Burbano y Yilton Riascos Forero.
El material aquí consignado incluye los resúmenes de las trece
conferencias centrales, las nueve ponencias y los diecisiete pósteres
que hicieron parte del Congreso Internacional Didáctica de la
Matemática: una Mirada Epistemológica y Empírica, efectuado en Santa
Marta (Colombia), del 9 al 11 de septiembre de 2015 y organizado por la
Facultad de Educación de la Universidad de La Sabana.
El material muestra resultados de investigaciones y experiencias de aula
en el campo de la educación matemática, desarrolladas en diferentes
partes del mundo.
CONTENIDO
I. RESÚMENES DE LAS CONFERENCIAS CENTRALES 13
Peregrinaciones en la didáctica de las matemáticas
15
Guy Brousseau
Desarrollo de competencias profesionales de profesores
de matemáticas en ejercicio: una propuesta de formación
desde la reflexión sobre la práctica
16
John Alexander Alba
Objetividad matemática, historia y educación matemática
16
Luis Carlos Arboleda
En la búsqueda de las raíces culturales y cognitivas
de conceptos matemáticos
17
Ferdinando Arzarello
Transformar la evaluación estandarizada en evaluación formativa
18
Giorgio Bolondi
Socioepistemología de la variación y el cambio
18
Ricardo Cantoral
Antecedentes ilustres de la paradoja cognitiva de Duval
19
Bruno D’Amore
Cuestionamientos sobre la “elección” y utilización de teorías
en Mathematics Education
19
Raymond Duval
Una fórmula para medir objetivamente la dificultad
de los estudiantes en la comprensión de un texto matemático.
Uso con fines evaluativos didácticos
Martha Isabel Fandiño Pinilla
20
Competencias profesionales para el desarrollo y la evaluación
de competencias matemáticas en alumnos de secundaria
20
Vicenç Font
Explorando el rol de las figuras geométricas en el pensamiento
geométrico
21
Athanasios Gagatsis
Articulación de la indagación y transmisión de conocimientos
en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
21
Juan Díaz Godino
El desarrollo de la competencia docente “mirar profesionalmente
el aprendizaje de las matemáticas”. Algunas características en la
formación inicial de profesores de matemáticas
22
Salvador Llinares
II. PONENCIAS 23
Una experiencia con escenarios de investigación para
la enseñanza del cálculo en carreras de administración
25
Raquel Susana Abrate, María Carolina Ferrero y Marcel David Pochulu
Abstracciones de las ciencias básicas mediadas por
la realidad aumentada, y su aplicación en la tecnología
naval en electrónica
45
Harold Álvarez Campos
Elementos de significado declarados en el diseño de tareas
para la enseñanza de la integral: la resolución de problemas
de cálculo de áreas
61
Erika Ariza, Daniel Cifuentes y Gloria Neira
Enseñanza de la estadística con la integración de dos ideas
didácticas: aprendizaje basado en proyectos (ABP)
y actividades reveladoras del pensamiento (MEA).
Una experiencia a nivel superior
Bulmaro Juárez Hernández, Guillermina Sánchez López
y José Dionicio Zacarias
77
Desempeño de estudiantes de secundaria en el uso
y manejo de fracciones con sus diferentes representaciones 93
Lidia Aurora Hernández Rebollar, María Araceli Juárez Ramírez y María
Eugenia Martínez Merino
La comprensión que tienen los alumnos referida
a números racionales, como objeto matemático,
al terminar la escuela secundaria
107
Marta Graciela Nardoni y Marcel David Pochulu
La comprensión de enunciados de problemas que
introducen los racionales: desde una mirada semióticacognitiva y lingüística
127
Teresa Pontón Ladino
Generando comprensiones del objeto geométrico:
parábola, a través del uso del software CaRMetal
149
Julián Humberto Santos Torres
Detección y superación de obstáculos cognitivos
conferidos al concepto de función
163
Miryan Trujillo Cedeño
III. PÓSTERES 175
Linear Function: Articulation between Forms of Knowledge
and Symbolic Representations in the Transition from
Secondary to Higher Education
177
Marlene Alves Dias, Tânia Maria Mendonça Campos and
Sirlene Neves de Andrade
Problemática en el trabajo con los números reales
185
Eloisa Benitez-Mariño y Rigoberto Gabriel-Argüelles
Un programa para promover competencia emocional
en matemáticas en alumnos de bachillerato
Marcela Cante Morales y José Gabriel Sánchez Ruiz
193
Propuesta didáctica para la enseñanza de las cónicas
mediante un entorno digital interactivo
203
Carlos Armando Cuevas Vallejo y Freddy Yesid Villamizar Araque
La evaluación como estrategia para la motivación
hacia el aprendizaje
223
Olga Lucía Duarte Bolívar y Luz Ángela Flórez Olarte
Resultados de un diagnóstico sobre el manejo de
equivalencias y su importancia en la resolución
de tareas que implican la comprensión de las fracciones
233
José Antonio Juárez López y Fabiana Mahtabel Arteaga Cervantes
Conflictos con el cero en la comprensión de los números
decimales por futuros profesores
241
Patricia Marisel Konic
Research about the Knowledge Required from Teachers to
Teach Probability Notions in Final Years of Elementary School 249
Ruy Cesar Pietropaolo, Tânia Maria Mendonça Campos and
Angélica da Fontoura Garcia Silva
El aprendizaje autorregulado, una condición favorable
en el aprendizaje de la noción de derivada: reflexión
desde la práctica
257
Boris Mauricio Pulido P., Oscar Antonio Pulido C. y Oscar Jardey Suárez
Promoviendo cambios de actitudes y creencias de
estudiantes sobre el rol de la matemática en su formación
profesional (en carreras de base no matemática)
265
Henry Alexander Ramírez Bernal
Un acercamiento a las creencias y a las concepciones
en torno a la demostración en matemáticas de algunos
profesores de matemáticas de educación media
Alexander Rincón Rojas y John Alexander Alba Vásquez
277
Representación polinomial de numerales escritos
en el sistema decimal de numeración: un estudio
con niños y niñas escolarizados
287
Helmer Jesús Ruiz Díaz y Yilton Riascos Forero
La enseñanza de la geometría en el preescolar.
Estudio de caso en el Valle del Cauca
295
Myriam Vásquez Vásquez
Uso de herramientas de tecnologías de la información
y la comunicación (TIC) como apoyo para la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas en educación media,
superior y continuada: Universidad del CaucaProyecto Clavemat
Jhoana Katheryne Sandoval, Marlon Felipe Burbano
y Yilton Riascos Forero
305
I. RESÚMENES DE
LAS CONFERENCIAS
CENTRALES
Peregrinaciones en didáctica de las
matemáticas
Guy Brousseau
guy.brousseau@numericable.fr
Profesor emérito de la Universidad de Bordeaux I, Francia
L
a historia no ha podido aún apropiarse del movimiento
llamado las matemáticas modernas. Aunque sus efectos
parecen hoy día establecidos, la complejidad extrema de sus
manifestaciones y de sus fuentes continúa desafiando a los
especialistas. Parece que habrá que esperar la desaparición de
estos últimos para que se afiancen las interpretaciones apropiadas que respondan a las necesidades de las nuevas sociedades. El proyecto mundial de reforma a la enseñanza de las
matemáticas fue concebido a finales del siglo XIX. Retrasado
por las dos guerras mundiales, retomó su impulso en los años
cincuenta y en 1970 logró en Francia la creación de los primeros IREM (Institutos de investigación sobre la enseñanza de
las matemáticas) que emprendieron inmediatamente la formación de profesores y una intensa reforma a la enseñanza.
Pronto aparecieron en el interior de algunos de estos IREM
unos centros dedicados a la investigación científica en un
nuevo campo de las ciencias matemáticas, concebido como
“Epistemología experimental” y llamado en 1975 “Didáctica
de las matemáticas”. Los primeros PhD. de este nuevo campo
aparecieron hacia 1981.
– 15
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Desarrollo de competencias profesionales
de profesores de matemáticas en ejercicio:
una propuesta de formación desde la reflexión
sobre la práctica
John Alexander Alba Vásquez
john.alba@unisabana.edu.co
Facultad de Educación, Universidad de La Sabana, Colombia
Es común encontrar tanto en el contexto latinoamericano como en el colombiano,
profesores de matemáticas que no cuentan con la formación matemática, pedagógica
y didáctica requerida para enseñar con éxito a sus estudiantes. Enseñan de manera
intuitiva recurriendo a su experiencia como estudiantes durante el período de escolaridad, para adaptarla al ejercicio de su práctica.
Lo anterior presenta un escenario en el que este grupo de profesores requiere
una estrategia de formación permanente específica que contribuya al desarrollo de
competencias pedagógicas, didácticas y en algunos casos, matemáticas, que aporten
a una mejora progresiva de su práctica. Esta ponencia presenta una propuesta de
formación y actualización de este grupo particular de profesores en ejercicio fundamentada en la reflexión sobre la práctica.
Objetividad matemática, historia y educación
matemática
Luis Carlos Arboleda
arboleda@univalle.edu.co
Grupo de Historia de las Matemáticas, Universidad del Valle, Instituto de Educación
y Pedagogía, Cali, Colombia
En este texto se van a examinar las condiciones en virtud de las cuales la historia
de la práctica matemática puede utilizarse en la formación de docentes en matemáticas. A nuestro modo de ver, estas condiciones apuntan a discernir problemáticas
como las siguientes: comprender las razones de ser de la lógica interna de las teorías
matemáticas, indagar sobre las modalidades de objetivación de teorías (por ejemplo, la objetivación de los números reales), y valorar adecuadamente el papel de las
concepciones de los matemáticos en su actividad, en particular, el ideal de lo simple
– 16
I. Resúmenes de las conferencias centrales
en la inteligibilidad matemática. En la parte final se tratará de situar la relación entre objetividad y apropiación de teorías en contextos de enseñanza culturalmente
diversos.
En la búsqueda de las raíces culturales y cognitivas
de conceptos matemáticos
Ferdinando Arzarello
ferdinando.arzarello@unito.it
Departamento de Matemática, Universidad de Torino, Italia
La definición de PISA sobre conocimientos básicos de matemáticas contiene la capacidad de“uso de […] herramientas para describir, explicar y predecir fenómenos”. De
hecho, muchos programas educativos nacionales en todos los grados sugieren involucrar a los estudiantes en el uso (concreto o virtual) de herramientas para modelar
fenómenos y para entrar en ideas matemáticas.
La utilización de instrumentos introduce una dimensión “experimental” en las
matemáticas y puede cambiar profundamente los antecedentes de la educación.
Como lo señalaba Bartolini Bussi, “en la educación de las matemáticas, la disponibilidad de la Tecnología de la Información y Comunicación (TIC) ha cambiado el
panorama, incluyendo la creencia de que los objetos digitales pueden sustituir a las
referencias en el mundo concreto en el que vivimos”. Sin embargo, estos cambios
en el panorama no significan que tengamos que desechar todo el pasado: debemos
arriesgar la acción de lanzar al bebé con el agua de baño. En otras palabras, la elaboración y aplicación de modelos pueden llevarse a cabo dentro de“un enfoque que
no descuida, pero en cambio enfatiza, los aspectos culturales de las matemáticas,
retomando a los destacados fundadores de las matemáticas modernas y tomando
ventaja del apoyo de las TIC”. Este programa está muy presente en investigaciones
alrededor del mundo y puede lograrse solo basando el diseño didáctico en una
cuidadosa investigación de las raíces culturales, epistemológicas y cognitivas de los
conceptos matemáticos, que los instrumentos, se supone, deben mediar.
Basándome en algunos experimentos de enseñanza que yo guié en Italia, voy a
ilustrar las posibilidades pedagógicas, cognitivas y epistemológicas que ofrece la
tensión dinámica entre la naturaleza empírica de actividades con instrumentos, que
abarca componentes perceptuales y operacionales, y la naturaleza deductiva de las
matemáticas, que implica una formalización rigurosa y sofisticada.
– 17
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
También voy a ilustrar cómo los materiales manipulables, instrumentos y las TIC,
combinados adecuadamente en ambientes reales y virtuales, pueden ayudar a los
estudiantes a comprender conceptos matemáticos, basando el aprendizaje en lo que
hoy día, fundamentado en resultados de investigaciones frescas, se denomina un
enfoque incorporado al aprendizaje de las matemáticas.
Transformar la evaluación estandarizada en
evaluación formativa
Giorgio Bolondi
giorgio.bolondi@unibo.it
Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Italia
La conferencia describe un recorrido formativo para docentes en servicio con base en
el análisis de algunas preguntas de las Encuestas Nacionales del Servicio Nacional
de Evaluación para INVALSI (Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema educativo
di istruzione e formazione), de las que se desprenden macro-fenómenos de comportamiento de los estudiantes que ejemplifican y cuantifican los resultados obtenidos en
la investigación sobre la didáctica de las matemáticas.
Socioepistemología de la variación y el cambio
Ricardo Cantoral
rcantor@cinvestav.mx
Cinvestav, Instituto Politécnico Nacional, México
La Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa (TSME) asume que para
estudiar fenómenos didácticos ligados a las matemáticas se precisa acudir, y esto nos
diferencia de otros enfoques teóricos, a un examen minucioso del saber, a su problematización. Proponemos aunar nuestra mirada a los estudios que se realizan sobre
las relaciones entre profesores, alumnos y conocimiento escolar, incorporando las
múltiples dimensiones del saber que hasta el momento se habían desatendido. Así
mismo, respecto al estudio realizado sobre las restricciones institucionales de tipo
pedagógico general, nosotros ampliamos el estudio hacia aquellas otras restricciones
ligadas específicamente al saber matemático, pues creemos que solo así comenzaremos a construir puentes entre la investigación y la realidad del aula.
– 18
I. Resúmenes de las conferencias centrales
Antecedentes ilustres de la paradoja
cognitiva de Duval
Bruno D’Amorea,b – Martha Isabel Fandiño Pinillab – Maura Iorib – Maurizio Matteuzzic
bruno.damore@unibo.it
a Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia
b NRD Bologna, Departamento de Matemática, Universidad de Bologna, Italia
c Departamento de Filosofía y Comunicación, Universidad de Bologna, Italia
En un famoso artículo publicado en 1993, Raymond Duval evidenciaba el siguiente hecho: el estudiante puede confundir el objeto matemático O, que está tratando
de construir cognitivamente, con una determinada representación semiótica R(O)
de dicho objeto; y explicaba que esta confusión se debía a una especie de paradoja
inevitable: solo quien ha construido el objeto O puede reconocer R(O) como representación de O y no como objeto en sí. Esta reflexión tuvo una gran influencia en los
investigadores en los años sucesivos. Pero varios estudiosos de semiótica, si bien es
cierto no lo dicen con estas mismas palabras, ya habían evidenciado el fenómeno; en
este escrito nos proponemos recordar algunos.
Cuestionamientos sobre la “elección” y utilización
de teorías en Mathematics Education
Raymond Duval
duval.ray@wanadoo.fr
Profesor emérito de la Universidad del Litoral, Argentina
En esta comunicación nos interesan únicamente las teorías cognitivas, es decir, las
teorías relativas al punto de vista de los procesos de adquisición de conocimientos.
Para esto, comenzaremos por aclarar los diferentes puntos de vista que se impusieron en las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje y examinaremos los
problemas sobre sus relaciones. Luego, evidenciaremos los dos criterios decisivos
para evaluar la pertinencia y el aporte de una teoría cognitiva. Por último, abordaremos la cuestión, siempre conflictiva, de las relaciones entre el punto de vista cognitivo y el punto de vista matemático.
– 19
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Una fórmula para medir objetivamente la dificultad
de los estudiantes en la comprensión de un texto
matemático. Uso con fines evaluativos didácticos
Martha Isabel Fandiño Pinilla, Bruno D’Amore
Doctorado de investigación DIE, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá,
Colombia (Grupo MESCUD)
NRD, Departamento de Matemática, Universidad de Bolonia, Italia
bruno.damore@unibo.it
Esta conferencia proporciona una fórmula objetiva para la evaluación empírica de la
comprensión de un texto matemático por parte de los estudiantes de todos los niveles. De esta fórmula se sugiere un uso para la evaluación y un uso didáctico.
Competencias profesionales para el desarrollo
y la evaluación de competencias matemáticas
en alumnos de secundaria
Vicenç Font
vfont@ub.edu
Facultad de Formación del Profesorado, Universidad de Barcelona, España
Esta conferencia consta de cuatro partes. En la primera parte se reflexiona sobre la
noción de competencia. En la segunda se reflexiona sobre cuatro aspectos clave para
el desarrollo y evaluación de competencias en la enseñanza secundaria (el papel de
la competencia disciplinar, el papel de la competencia en análisis didáctico de procesos de instrucción, la falta de claridad de las orientaciones curriculares y la falta de
tiempo). En la tercera, se reflexiona sobre el papel desempeñado por la competencia
de análisis didáctico en los métodos de evaluación de competencias. Por último, en la
cuarta parte, se hacen algunas consideraciones sobre un currículo por competencias
en la formación de profesores y sobre la importancia que tiene en ellos la competencia en análisis didáctico de procesos de instrucción.
– 20
I. Resúmenes de las conferencias centrales
Explorando el rol de las figuras geométricas en el
pensamiento geométrico
Athanasios Gagatsis
gagatsis@ucy.ac.cy
Facultad de Ciencias Sociales Universidad de Chipre, Chipre
La forma de observar cualquier figura construida con herramientas específicas es un
factor cognitivo crucial en la solución de problemas y en el razonamiento y prueba en
la geometría (Duval, 2014). Numerosas teorías del pensamiento geométrico han sido
desarrolladas y propuestas por varios investigadores. La investigación presentada en
este documento está basada en las ideas teóricas de Raymond Duval (1988, 2006),
quien distingue cuatro tipos de aprehensión figural en el registro de visualización
geométrica: aprehensión perceptual, aprehensión secuencial, aprehensión operativa
y aprehensión discursiva.
En este estudio tratamos de responder a las siguientes preguntas de investigación:
¿Ha habido cambios en la aprehensión de la figura geométrica de los estudiantes
desde los grados inferiores hasta la escuela secundaria?
¿Cuál es el rol de la aprehensión perceptual, la aprehensión operativa y la aprehensión discursiva en el rendimiento matemático para la solución de problemas
geométricos?
Articulación de la indagación y transmisión
de conocimientos en la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas
Juan D. Godino
jgodino@ugr.es
Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada, España
Diversas teorías postulan que el aprendizaje de las matemáticas debe estar basado
en una pedagogía constructivista, orientada hacia la indagación de situaciones problema por parte de los estudiantes, y asignando al profesor un papel de facilitador.
En un extremo opuesto se sitúan otras teorías que defienden un papel más protagónico por parte del profesor, que implicaría la transmisión explícita del conocimiento
y la recepción activa de los estudiantes. En este trabajo, basándonos en una síntesis
– 21
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
de estas posiciones en educación matemática, razonamos que la optimización del
aprendizaje requiere adoptar una posición intermedia entre ambos extremos, reconociendo la dialéctica compleja entre indagación por parte del estudiante y transmisión del conocimiento matemático por parte del profesor. Nos fundamentamos en
la asunción de presupuestos antropológicos y semióticos sobre la naturaleza de los
objetos matemáticos, así como en supuestos relativos a la estructura de la cognición
humana.
El desarrollo de la competencia docente
“mirar profesionalmente el aprendizaje de los
matemáticas”. Algunas características en la
formación inicial de profesores de matemáticas
Salvador Llinares
sllinares@ua.es
Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante, España
Recientemente los formadores de profesores han empezado a considerar cómo los
profesores usan el conocimiento de matemáticas y sobre el aprendizaje de las matemáticas para dotar de sentido a lo que sucede en sus lecciones. Un aspecto particular
de la manera en que los profesores usan su conocimiento, los momentos de planificación, interacción y reflexión posterior, está vinculado a su capacidad para identificar e interpretar hechos relevantes en su clase desde la perspectiva del aprendizaje
matemático pretendido en sus alumnos. Identificar e interpretar hechos relevantes
para el aprendizaje de sus alumnos en sus clases para tomar decisiones de acción
genera en los profesores conocimiento sobre su propia enseñanza y está vinculado
a la noción de competencia docente “mirar profesionalmente” las situaciones de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. El término“mirada profesional”intenta dar
cuenta de la forma especializada en la que los docentes“miran”los fenómenos de interés para la enseñanza. Un foco de atención de los formadores de profesores de matemáticas es apoyar el desarrollo de esta competencia docente en los programas de
formación inicial. En esta presentación, describimos algunas características de esta
competencia docente, de su desarrollo y de los contextos en que es posible apoyarlo.
– 22
II. PONENCIAS
UNA EXPERIENCIA CON
ESCENARIOS DE INVESTIGACIÓN
PARA LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO
EN CARRERAS DE ADMINISTRACIÓN
Raquel Susana Abrate
raquelabrate@gmail.com
Universidad Nacional de Villa María (Argentina)
María Carolina Ferrero
carolinaferr@hotmail.com
Universidad Nacional de Villa María (Argentina)
Marcel David Pochulu
marcelpochulu@hotmail.com
Universidad Nacional de Villa María (Argentina)
Resumen
S
e relata una experiencia realizada con 123 estudiantes de
carreras de administración, durante los años 2014 y 2015,
en donde se abordaron contenidos de matemáticas siguiendo un modelo de enseñanza no tradicional. Estos estudiantes trabajaron con resolución de problemas y actividades de
modelización, mediadas por nuevos recursos, que estuvieron
centrados en dos ambientes de aprendizaje: de la semirrealidad y de situaciones de la vida real, según la clasificación que
ofrece Skovsmose (2012) para los escenarios de investigación
en la clase de matemáticas. Las clases se caracterizaron por
promover un trabajo investigativo o de indagación en los estudiantes, y se buscó promover en los estudiantes la formulación
– 25
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
de preguntas, la búsqueda de explicaciones, la posibilidad de explorar y explicar las
propiedades matemáticas, etc.
El análisis didáctico a priori y a posteriori de la experiencia se efectuó siguiendo
los constructos que propone el enfoque ontosemiótico del conocimiento e instrucción matemática. En particular, se usaron las herramientas: configuración espistémica y cognitiva, funciones semióticas e idoneidad didáctica para valorar el proceso
de estudio.
Palabras clave: enfoque ontosemiótico, enseñanza de las matemáticas, modelización matemática, resolución de problemas.
Abstract
The present work is the result of a research carried out during 2014-2015 with 123
students attending Administration courses of study. In this research contents about
Mathematics were approached following a non-traditional teaching model. The
subjects worked with problem-solving and mathematical modeling activities which
were mediated by new resources and focused on two learning milieus: semi-reality
and real life situations, following the Skovsmose’s (2012) classification for research
scenarios in the Math class. Lessons were characterized by stimulating research work
and questioning among students, who were prompted to frame questions, look for
explanations, explore and explain mathematical properties, among others.
The a priori and posteriori didactic analysis was carried out following the constructs proposed by the Ontosemiotic Approach to mathematics knowledge and
instruction. Particularly, the tools employed were: epistemic and cognitive configuration, semiotic functions and didactic competence to value the study process.
Keywords: Mathematical modeling, mathematics teaching, ontosemiotic
approach, problem solving.
Introducción
La enseñanza de las matemáticas para carreras no matemáticas plantea grandes
desafíos en los profesores y las universidades desde hace muchos años, pues las
tendencias marcan que debería enseñarse de manera contextualizada y a través de
la resolución de problemas. No obstante, la problemática sobre el tipo de tareas y
problemas que debieran proponer los profesores pareciera ser aún una dificultad
por superar, y es frecuente que los estudiantes comiencen a tomar conciencia sobre
– 26
II. Ponencias
la importancia de las matemáticas una vez avanzados en los estudios de la carrera
elegida, o al finalizar y desenvolverse en el mundo laboral.
En este sentido, son numerosos los trabajos de investigación que toman las prácticas de matemáticas como objeto de estudio y las implicancias educativas que ellas
tienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje (Godino, Contreras y Font, 2006,
Pochulu, 2007, Pochulu y Font, 2011, entre otros). Recientemente, también aumentó
el interés sobre el tipo de tareas que los profesores de matemáticas proponen a los
estudiantes, pues son consideradas clave para conseguir una enseñanza de calidad
(por ejemplo, Mason & Johnston-Wilder, 2004, Tzur, Sullivan & Zaslavsky, 2008,
Zaslavsky & Sullivan, 2011). Estas son el punto de partida de la actividad del alumno, la cual, a su vez, produce como resultado su aprendizaje.
La investigación sobre el diseño de tareas se interesó por diferentes aspectos. Por
ejemplo, Swan (2007) estudió la naturaleza y tipología de tareas; Stein, Smith, Henningsen & Silver (2000) y Rodríguez, Pochulu y Ceccarini (2011), las características
que debe cumplir una tarea para ser estimulante o retadora para el alumno; Charalambus (2010), el papel que tiene el profesor en la implementación de la tarea a fin
de lograr un proceso cognitivo relevante en los alumnos; Giménez, Font y Vanegas
(2013), el diseño de tareas en la formación de futuros profesores de matemáticas
de secundaria; Pochulu, Font y Rodríguez (2015) el análisis y diseño de tareas en
profesores de profesores para promover un estilo de enseñanza acorde con los lineamientos curriculares.
Con el propósito de trascender las clases habituales de matemáticas para carreras de administración, se trabajó con nuevas tecnologías, resolución de problemas
y actividades de modelización, en entornos de aprendizajes que sientan las bases
en escenarios de investigación, como los propone Skovmose (2012). Estas clases se
caracterizaron por promover un trabajo investigativo o de indagación en los estudiantes, contraponiéndose al paradigma del ejercicio que ha dominado tradicionalmente las matemáticas en la formación de profesionales no matemáticos. A su vez,
se buscó promover en los estudiantes la formulación de preguntas, la búsqueda de
explicaciones, la posibilidad de explorar y explicar las propiedades matemáticas, etc.
Los contenidos de matemáticas no se abordaron siguiendo el modo tradicional que
solemos ver en programas de estudio. Por el contrario, se trabajaron con problemas
contextualizados en donde se partió de casos particulares de los cuales se fueron
construyendo conceptos más generales, con una participación activa de los estudiantes, y los profesores, mediadores de la construcción del conocimiento.
– 27
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Marco teórico y metodológico
Los conceptos teóricos que atraviesan el trabajo son: el de diario de clase del alumno
como instrumento de evaluación, el de resolución de problemas como estrategia de
enseñanza, el de escenario de investigación como forma de concebir y gestionar la
clase de matemáticas en el nivel superior, y el de configuración epistémica/cognitiva como herramienta para valorar la comprensión que logran los estudiantes de
un objeto matemático. Seguidamente se hace una descripción general de estos tres
conceptos.
Se entiende el diario de clase como un instrumento que permite recoger datos
significativos sobre un proceso de enseñanza y aprendizaje, además de la reflexión
sobre los mismos, su análisis y sistematización (Jurado Jiménez, 2011). Así mismo,
permite recolectar opiniones, argumentos, destrezas y actitudes presentes en situaciones reales de aprendizaje, y donde es posible recuperar las discusiones espontáneas entre los estudiantes en las puestas en común iniciales (Porlán y Martín, 2000).
Los diarios de clase, o bitácoras de los estudiantes, tuvieron por finalidad recuperar aspectos relacionados con la resolución de problemas y los procesos cognitivos
involucrados en ella. Es complejo dar un concepto de “problema” y son numerosos
los autores que han dedicado esfuerzos para definir o caracterizar el mismo, con
múltiples acepciones. Al respecto, Rodríguez (2012) resalta el hecho de que:
Uno define el concepto de problema para un sujeto, y no simplemente la noción
de problema. Esto expresa que lo que para un individuo resulta ser un problema,
bien podría no serlo para otro. Esta relatividad al sujeto es una característica
inherente al concepto y a la vez empieza a poner de manifiesto la complejidad de
su uso en el aula (p. 155).
Debido a que la cualidad de “ser problema” es una cuestión relativa al sujeto que
resuelve, esto viene a significar que frente a una primera lectura el estudiante no
sabe exactamente cuál es el camino que debe seguir para resolver. Esta incertidumbre lo lleva a explorar distintas estrategias no formalizadas para acercarse a la resolución, las cuales no necesariamente son exitosas o válidas desde el punto de vista
matemático. No obstante, estas estrategias, o heurísticas, son las que están presentes en el trabajo del matemático, y del propio ingeniero, cuando se encuentra ante
una conjetura o problema abierto. En consecuencia, este tipo de estrategias son las
que adquieren especial interés para la alfabetización matemática que se pretende
instaurar en los estudiantes, intentando que las incorporen, reflexionen sobre ellas,
– 28
II. Ponencias
más allá del éxito que alcancen o no en la resolución y con los contenidos matemáticos que haya sido necesario considerar en la actividad (Rodríguez, 2012).
Situado en la llamada Educación Matemática Crítica, como línea u enfoque teórico
de la didáctica de las matemáticas, Skovsmose (2012) describe distintas tipologías
de clases de matemáticas al cruzar dos dimensiones: el paradigma del ejercicio y el
enfoque investigativo. Haciendo una distinción con el primero (paradigma del ejercicio), en donde se situaría la clase tradicional de matemáticas, propone el trabajo
en la clase organizando proyectos que se montan sobre escenarios de investigación.
Skovsmose (2012, p. 111) le da el nombre de “escenario de investigación a una
situación particular que tiene la potencialidad de promover un trabajo investigativo
o de indagación”en los estudiantes. Este ambiente de aprendizaje viene a contraponerse totalmente al paradigma del ejercicio que ha caracterizado tradicionalmente
las clases de matemáticas.
Si se tienen en cuenta los dos paradigmas que pueden dominar las clases de matemáticas: del ejercicio o de investigación y, además, se consideran como referencia
contextos de la matemática pura, de la semirrealidad o situaciones de la vida real, se
tendrían los siguientes ambientes de aprendizaje (enumerados del 1 al 6):
Tabla 1. Ambientes de aprendizaje
Formas de organización de la actividad de los estudiantes
Paradigma del ejercicio
Escenarios de investigación
Tipo de referencia
Matemáticas puras
(1)
(2)
Semirrealidad
(3)
(4)
Situaciones de la vida real
(5)
(6)
Fuente: Skovsmose (2012, p. 116).
Skovsmose (2012) expresa que la educación matemática se mueve solo en los ambientes (1) y (2) de la tabla 1, y sugiere moverse por los restantes. También sostiene
que en los escenarios de investigación los estudiantes están al mando, pero se constituyen en tal si aceptan la invitación, la cual depende del profesor. Además,“lo que
puede constituirse en un escenario de investigación para un grupo de estudiantes
en una situación particular puede no convertirse en una invitación atractiva para
otro grupo de estudiantes” (Skovsmose, 2012, pp. 114-115).
Advierte además que un escenario de investigación debe promover en los estudiantes la formulación de preguntas, la búsqueda de explicaciones, la posibilidad de
– 29
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
explorar y explicar las propiedades matemáticas, etc. Todo esto está condicionado
por el tipo de problema o actividad que se les proponga y, obviamente, la gestión de
la clase que realice el profesor.
El enfoque ontológico y semiótico del conocimiento e instrucción matemática
(EOS) que propone Godino (2000, 2003), como línea teórica y metodológica de la
didáctica de las matemáticas, considera que toda práctica o actividad matemática
está centrada en la resolución de problemas (en el sentido más amplio de su acepción, los cuales van desde simples ejercicios a instancias de modelación) y se pueden encontrar algunos o la totalidad de los siguientes elementos primarios:
• Situaciones problema: problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramatemáticas o intramatemáticas, ejercicios, etc. Constituyen las tareas que inducen la
act ividad matemática.
• Conceptos: están dados mediante definiciones o descripciones (número, punto,
lado, perímetro, baricentro, etc.), técnicas o acciones del sujeto ante las tareas
matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos, etc.).
• Propiedades o proposiciones: comprenden atributos de los objetos matemáticos, los
que generalmente suelen darse como enunciados o reglas de validez.
• Procedimientos: comprenden algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo o modos de ejecutar determinadas acciones.
• Argumentaciones: se usan para validar y explicar la resolución que se hizo de la
situación problema. Pueden ser deductivas o de otro tipo, e involucran conceptos,
propiedades, procedimientos o combinaciones de estos elementos.
• Lenguaje: términos, expresiones, notaciones, gráficos, etc. Si bien en un texto vienen dados en forma escrita o gráfica, en el trabajo matemático pueden usarse
otros registros como el oral, corporal o gestual. Además, mediante el lenguaje,
sea este ordinario, natural o específico matemático, también se describen otros
objetos no lingüísticos.
Para el EOS, los seis objetos primarios que están presentes en una práctica matemática se relacionan entre sí formando configuraciones. Estas configuraciones
(figura 1) son entendidas como las redes de objetos intervinientes y emergentes
de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre los mismos, y
constituyen los elementos del significado de un objeto matemático particular. Las
configuraciones pueden ser epistémicas o instruccionales si son redes de objetos
institucionales (extraídas de un texto escolar, obtenidas de la clase que imparte un
profesor, etc.), o cognitivas si representan redes de objetos personales (actividad de
– 30
II. Ponencias
los estudiantes). Tanto los sistemas de prácticas como las configuraciones se proponen como herramientas teóricas para describir los conocimientos matemáticos, en
su doble versión, personal e institucional (Godino y Batanero, 1994).
Figura 1. Componentes de una configuración epistémica/cognitiva
Podemos advertir que en las configuraciones epistémicas/cognitivas, las situaciones-problema son las que le dan origen a la propia actividad matemática, y las que
vienen a motivar el conjunto de reglas que aparecen en ella. El lenguaje, por su parte, sirve de instrumento para accionar en la actividad matemática que acontece. Los
argumentos, en tanto, los entendemos como prácticas que aparecen para justificar
las definiciones, procedimientos y proposiciones, las que están reguladas por el uso
del lenguaje, que, por su parte, sirve de instrumento para la comunicación.
Cada objeto matemático, dependiendo del nivel de análisis que se quiera hacer,
puede estar compuesto por entidades de los restantes tipos. Un argumento, por
ejemplo, puede poner en juego conceptos, proposiciones, procedimientos, o combinaciones entre ellos y, obviamente, está soportado por el lenguaje. El EOS concibe
la comprensión básicamente como competencia y no tanto como proceso mental
(Godino 2000, Font, 2011), pues sostiene que un sujeto comprende un determinado
objeto matemático cuando lo usa de manera competente en diferentes prácticas.
En concordancia con lo propuesto por el EOS, el proyecto de mejora para la formación inicial de profesores para el nivel secundario, Área: Matemática (INFD, 2010),
introduce recomendaciones para que el futuro profesor alcance distintos grados de
– 31
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
comprensión de la disciplina y cómo darse cuenta de ello. En particular, sobre los
aspectos cognitivos referidos a la enseñanza de las matemáticas, dice:
Comprender un objeto matemático significa haber transitado por diversas experiencias que le permitan al estudiante producir, organizar y reorganizar la red
de relaciones que se deben establecer en la resolución de una situación problemática (intra y extra-matemática) que “obliga” al funcionamiento del objeto, los
procedimientos o técnicas que se despliegan para resolverla, las definiciones,
propiedades, argumentos que validan las acciones realizadas, todas ellas soportadas y reguladas por el lenguaje simbólico, propio de la Matemática, y la lengua
natural (INFD, 2010, p. 122).
Metodología y descripción de la experiencia
El diseño metodológico de toda la experiencia se basó en la observación, análisis e
interpretación de las prácticas operativas y discursivas realizadas por los estudiantes
al resolver problemas y actividades de modelización que estuvieron centrados en dos
ambientes de aprendizaje: de la semirrealidad y de situaciones de la vida real, según
la clasificación que ofrece Skovsmose (2012) para los escenarios de investigación en
la clase de matemáticas. Participaron de esta experiencia:
• 93 estudiantes de la carrera de técnico superior en gestión y administración de las
organizaciones (52 de la cohorte 2014 y 41 de la cohorte 2015) mientras cursaban
matemáticas I en el Instituto de Educación Superior del Centro de la República
“Dr. Ángel Diego Márquez” (Villa María, Argentina).
• 30 estudiantes de la licenciatura en administración rural (23 de la cohorte 2014
y 17 de la cohorte 2015) mientras cursaban análisis matemático en la Facultad
Regional Villa María de la Universidad Tecnológica Nacional (Argentina).
El trabajo fue desarrollado como un estudio de caso y la investigación asumió las
siguientes características: (a) interpretativa: ya que se tuvo en cuenta el sentido de
las acciones de los sujetos; (b) cualitativa: puesto que el objeto de estudio no fue
algo que se pudiera observar y cuantificar; (c) hermenéutica: dado que se hicieron
interpretaciones de las interpretaciones que hacían los sujetos investigados (por
ejemplo, las relaciones que establecían los estudiantes sobre objetos primarios que
intervenían en la resolución de una tarea); (d) exploratoria: en tanto se pretendió
recoger y analizar información que pudiera servir para orientar futuras investigaciones; (e) descriptiva: pues se generaron informes narrativos a partir de la investi– 32
II. Ponencias
gación de campo efectuada; (f) de campo: debido a que se hizo mayoritariamente en
el lugar de trabajo de los sujetos investigados; (g) etnográfica: en el sentido de que
se pretendió comprender los acontecimientos tal como los interpretan los sujetos
investigados, mediante una inmersión en su pensamiento y en su práctica, evitando
en la medida de lo posible alterar la realidad estudiada. A su vez, la información
también se obtuvo en el lugar de trabajo de los sujetos investigados.
En el transcurso de los espacios curriculares involucrados en la experiencia, se
les solicitó a los estudiantes que presentaran un escrito que reuniera sus mejores
producciones (portfolio), con la intención de mostrar lo que habían aprendido en
matemáticas. Presentaron cuatro trabajos, los cuales se enfocaron en grandes ejes
temáticos: modelos funcionales, ecuaciones y sistemas de ecuaciones, problemas de
optimización, integrales, entre otros.
Además de los estudiantes, participaron de la experiencia tres profesoras de matemáticas que estaban a cargo de los trabajos prácticos, y un coordinador general del
módulo de matemáticas quien cumplió la función de docente investigador. En cada
uno de los cursos se trabajó con diferentes problemas montados en escenarios de
investigación. Esto es, los problemas propuestos no fueron los mismos para todos
los grupos ni el tiempo asignado para la resolución. Así mismo, las tres profesoras
responsables de los trabajos prácticos destinaron un espacio de tiempo, durante
las primeras clases, para trabajar con las narrativas que se les pedía realizar a los
estudiantes en los diarios de clase, con la finalidad de introducirlos en el estilo de
escritura. Esto llevó a una interacción entre ellos, solicitando mayor información
sobre aspectos que no quedaron claros o que requerían ser profundizados.
Para los porfolios que presentaron los estudiantes (cuatro en total), se les pidió
que escogieran algunas resoluciones de problemas de los trabajos prácticos que respondieran a ciertas condiciones, tales como:
• El problema que involucró mayor cantidad de estrategias,
• El problema que involucró muchos intentos de resolución y no pudo ser culminado,
• El mejor problema que se resolvió de manera individual,
• El mejor problema que se resolvió en grupo,
• El problema que muestra que se sabe muchas cosas de matemáticas.
Para el cierre de cada trabajo que debieron presentar (los cuales recuperaban de
los diarios de clase), se les solicitó que hicieran algunas reflexiones y comentarios,
de acuerdo con pautas establecidas, como, por ejemplo, lo que no les gustó, lo que
– 33
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
les resultó difícil y lo que más les agradó del problema; lo que aprendieron matemáticamente con el problema y lo que consideraban que no les había quedado claro
aún; las explicaciones, comentarios o preguntas que hizo el docente o un/a compañero/a que le ayudaron a comprender alguna idea matemática.
Se les expresó a los estudiantes que sus trabajos (porfolios) serían valorados en
términos de los siguientes criterios:
• Riqueza de estrategias utilizadas en la resolución de un problema y el análisis
matemático efectuado en torno a ellas.
• Uso apropiado de propiedades, conceptos, procedimientos y lenguaje matemático en las explicaciones y reflexiones.
• Claridad en las reflexiones hechas en torno al propio aprendizaje matemático
alcanzado con la resolución del problema.
• Claridad en la escritura y forma de comunicar la información.
Para que la narrativa se convirtiera en un instrumento de aprendizaje, tanto para
el profesor como para los estudiantes, fue necesario hacer devoluciones permitiendo su reescritura. Eso posibilitó que el estudiante pudiera mejorar sus competencias
para:
• Reconocer, describir, organizar y analizar los elementos constitutivos de un problema para idear estrategias que permitan obtener, de forma razonada, una solución contrastada y acorde con ciertos criterios preestablecidos.
• Interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones.
Además, se hizo una coevaluación, la cual sirvió de guía para los estudiantes en lo
que hace a la narrativa que debían entregar, y para los profesores en cuanto a valorar
los objetos matemáticos que se ponían en juego.
A través de las narrativas realizadas por los estudiantes se pudo estructurar una
primera configuración cognitiva, la cual puso en relieve el modo en que se articulaban con la situación problema, los conceptos, definiciones, propiedades, procedimientos, algoritmos y técnicas, mediante procesos de argumentación, en los
cuales intervenían diferentes representaciones del lenguaje. Con la devolución de
los trabajos y teniendo en cuenta la configuración cognitiva estructurada, se hacían
preguntas y comentarios para mejorar las redes de relaciones entre los objetos primarios intervinientes. Esto permitió elaborar una segunda configuración cognitiva,
la cual, al ser comparada con la primera configuración cognitiva y con la configura-
– 34
II. Ponencias
ción epistémica de referencia, daba evidencias de los avances alcanzados y del grado
de comprensión logrado por el estudiante.
A modo de ejemplos, se transcriben solo seis problemas propuestos a los estudiantes para que se advierta las características de los mismos. Es de destacar que los
estudiantes no disponían de los conocimientos previos para su resolución, sino, más
bien, a través de diferentes acercamientos intuitivos que hacían se lograba hacer
emerger el conocimiento necesario para el mismo mediante una gestión de la clase
por parte de los profesores en interacción con los grupos.
Problema 1
Escoger tres productos que tengan envases diferentes (se entiende por envases
diferentes, por ejemplo, al de una lata de conserva, una caja de arroz, una caja de
leche, etc.) Analizar y fundamentar si el diseño del envase logra tener el volumen
establecido minimizando los costos de material utilizado.
Problema 2
Mostrar y fundamentar, mediante un estudio matemático, la forma óptima de sembrar cereales, oleaginosas, legumbres, hortalizas o frutales (elegir solo uno) para que
el rendimiento por hectárea sea máximo.
Nota: No se trata de contar la información que se buscó en internet, sino más bien,
mostrar un trabajo matemático que ponga en evidencia que cierta distribución de
las plantas es la óptima para lograr la mayor producción por hectárea.
Problema 3
Un señor compró un campo en la zona serrana de Córdoba, a muy buen precio, y
pagó US$ 13.140. Pasado un tiempo, fracciona el campo y se queda con 73 hectáreas
para dedicarse a la cría de caballos de carreras. Si en la venta recuperó lo pagado por
todo el campo y obtuvo una ganancia de US$ 6 por cada hectárea que vendió, con
respecto al precio de compra, ¿es posible determinar cuántas hectáreas de campo
compró? ¿Tiene solución única el problema? ¿Es posible encontrar un modelo matemático que describa la situación anterior? Justifica tus respuestas.
– 35
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Problema 4
Analizar y fundamentar en qué momento es óptimo vender o faenar un animal destinado a producción de carne para que las utilidades sean máximas.
Problema 5
En diferentes páginas de internet se brinda información para quienes quieran tomar
la Ruta 40 y se advierte acerca de los controles fitosanitarios. En realidad, el control fitosanitario se hace para controlar los insectos que afectan cultivos frutihortícolas, en
particular la Mosca del Mediterráneo (Ceratitis capitata). Esta mosca de la fruta está
considerada por los especialistas como la más devastadora y perjudicial de todas las
plagas conocidas por el hombre en los campos de cultivo, principalmente de donde
salen las frutas y hortalizas más demandadas por los mercados. La sola presencia de
este insecto en cualquier zona frutícola, si no se adoptan las medidas de control de
manera oportuna, ocasiona grandes pérdidas por los daños directos e indirectos que
causa a las frutas y economía de los productores. No obstante ello, llama la atención que algunos foristas expresen que pudieron atravesar estos controles sin que
les quitaran la fruta que transportaban. ¡Aquí inicia nuestro problema! Si se hubiese
ingresado una fruta infestada por la Mosca del Mediterráneo, ¿cuál sería la dinámica
poblacional de estos individuos? ¿Qué grado de relevancia tendría este hecho para
el control de la Mosca del Mediterráneo en la Provincia de Mendoza?
Problema 6
En la página oficial del Ministerio de Educación perteneciente al Gobierno de la
Provincia de Córdoba, cada agente puede descargar el Recibo Digital, y al hacerlo
se encuentra con el anuncio: “El gobierno provincial confecciona aproximadamente
200.000 recibos normales y 50.000 de incentivos docente + planillas y demás informes en total de 380.000 hojas y 450.000 impresiones mensuales equivalentes a 47
árboles”. Si analizamos el texto de este anuncio, podemos ver que se justifica, de
alguna manera, el hecho de estar emitiendo los recibos en formato digital, pues el
papel que insumen sería el equivalente a 47 árboles. Ahora bien, ¿es adecuada la
estimación de que se evita talar 47 árboles al emitir los recibos en formato digital?
¿Qué modelo matemático está detrás de este cálculo?
– 36
II. Ponencias
Análisis de la experiencia
A modo de ejemplo, transcribimos un fragmento de una narrativa correspondiente
al problema 4 para ejemplificar el estilo de escrito que solicitamos a los estudiantes. Destacamos que cada trabajo de los estudiantes (4 en total para cada uno de
ellos) tiene no menos de 18 páginas y hasta un máximo de 40. Para este problema
el estudiante recurrió a una base de datos extraída de un trabajo de investigación
que estudia el crecimiento de pollos parrilleros ante diferentes tipos de alimentos
balanceados. Con los datos obtenidos hizo diferentes ajustes funcionales y gráficas
(que omitimos en la transcripción del episodio), con sus correspondientes lecturas e
interpretaciones.
Analizando los dos modelos cuadráticos sobre el peso vivo y el consumo por semana de alimento que desarrolla el Pollo Broiler Ross 308, nos arrojan la información
sobre lo que podría acontecer en un futuro.
De acuerdo con el gráfico de dispersión sobre el desarrollo del peso vivo del pollo,
el mismo nos está diciendo que irá constantemente en aumento, pues nos quedó
graficada una parábola con ramas hacia arriba. Mientras que para el consumo por
semana de alimento, nos arroja una parábola con ramas hacia abajo.
Esto nos permite deducir que a medida que pasa el tiempo comenzará a descender lo que consumen en alimentos los pollos Broiler Ross 308.
Lo mencionado anteriormente sobre el comportamiento de la curva del consumo
de alimento es poco razonable, porque según investigaciones que se han efectuado
se recomienda que se sacrifiquen los pollos de esta raza a las 6 semanas, lo que es
igual a 42 días de edad.
Acorde con lo leído en los apuntes tomados como raíz de la información, los
mismos indican que justamente el pollo Broiler Ross luego de alcanzada esta edad,
sigue consumiendo una cantidad de alimento considerable, lo que significa que el
consumo de alimento no disminuye, pero se pone en muestra que según esta raza
que se usó en este tipo de producción se ha logrado evaluar los efectos de una edad
de sacrificio óptima del pollo debido a los índices de factores técnicos y económicos,
incluyendo la eficiencia de la producción y los costos ambientales, el bienestar de
las aves y la calidad y rendimiento de la carne de pechuga en la línea pollos Broiler
Ross 308 sobre otras razas del mercado.
En el gráfico que aparece a continuación se puede observar el crecimiento logístico del pollo con relación a la edad en semanas y los gramos del mismo […].
– 37
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Este gráfico de crecimiento logístico hecho con los datos de la tabla 1 (figura 1)
podemos asumir que el peso promedio del pollo Broirler Ross 308 se estabiliza aproximadamente en 3600 gramos. Esto no significa que en la realidad se comporte
de esta manera. Nuestro objetivo fue encontrar un modelo funcional que mejor se
adapte y represente la situación real y los comportamientos que siguen las variables
analizadas. Es allí donde se llegó al supuesto de que la función polinómica de que
pase por esos n + 1 puntos y que tengan el menor grado posible fue la más considerable para trabajar.
Este polinomio que pasa por varios puntos determinados se llama un polinomio
de interpolación. Hemos probado funciones: exponenciales (gráfico 5), potencial
(gráfico 6) y polinómicas de tercer orden (gráfico 7) que se adaptaban, pero se determinó por elección para ambos casos funciones polinómicas de segundo orden, ya que estas se aproximaban bastante a una R2 = 1 y no variaba de una manera considerable
con una función de tercer orden […].
Cabe destacar aquí que a medida que el orden de la función aumenta se ajusta
cada vez más a los puntos de interpolación, lo cual no fue necesario ya que con una
función de segundo orden se puede explicar de manera sencilla dicho problema
[…].
Sobre cada narrativa realizada por los estudiantes fuimos marcando los objetos
primarios que conforman una configuración cognitiva, y la red de relaciones que
se establecían entre ellos. La comparación de esta configuración cognitiva con una
epistémica nos permitía hacer señalamientos a los estudiantes para que mejoraran
sus narraciones y lograran articular objetos primarios que no tuvieron en cuenta
inicialmente. Esto debió hacerse de esta manera, pues los primeros bocetos de los
diarios de clase mostraban que los estudiantes tendían a relatar de manera escueta
solo el camino exitoso de resolución y carente de reflexiones sobre el proceso cognitivo llevado a cabo. Cabe aclarar que esta situación ya anticipábamos que así ocurriría y por tal razón se planificaron actividades referidas a la escritura de los diarios.
Frente al tipo de problemas (la mayoría carente de datos puntuales, con consignas deliberadamente abiertas o ambiguas) los estudiantes buscaban inicialmente
encontrar rápidamente una solución y fue necesario remarcar que lo más importante no era “la respuesta”, sino el proceso seguido y las reflexiones que harían sobre el mismo. Incluso se presentaron casos en donde no arribaron a una respuesta
adecuada y, en consecuencia, se resistían a hacer una narrativa de las estrategias
puestas en juego, argumentando que no tenía sentido hacerlo cuando no habían
encontrado solución alguna.
– 38
II. Ponencias
De todos modos, los estudiantes lograron trascender esta problemática y rescataron cuestiones positivas de la experiencia. En casi la totalidad de las narraciones
hechas por los estudiantes fue necesario hacer señalamientos para que se completaran los trabajos, pues eran muy sucintas las explicaciones y reflexiones referidas
a los caminos no exitosos, o los que no llevaron a la solución del problema, y el
motivo por el cual eran abandonados. Esto aconteció en los dos primeros trabajos,
no así con el tercero y cuarto, en donde se dominaba la técnica de escritura y se
había entendido lo relevante que resultaba remarcar propiedades, procedimientos,
conceptos, definiciones, diferentes usos de lenguaje, etc.
No obstante, la experiencia llevada a cabo muestra que los estudiantes también
hicieron mejoras significativas en sus habilidades relativas a la cooperación, el intercambio y el trabajo en grupo, como también en el desarrollo de sus competencias
comunicativas y en resolución de problemas. Si bien se torna complejo mostrar evidencias de la evolución de todo el progreso que alcanzaron los estudiantes —pues
surge del análisis hecho de los diarios de clase— esto se advierte en sus reflexiones
y comentarios. Un ejemplo de ello se transparenta en los siguientes recortes de las
reflexiones hechas en las narrativas.
Estudiante A: con respecto a este espacio curricular, debo decir que mis conocimientos de matemáticas son muy básicos, y que pensaba que solamente se podía
enseñar matemáticas a través de fórmulas (conceptual y prácticamente). Si bien
nunca había tenido una experiencia así en cuanto a esta disciplina, estoy sorprendido; en un principio no me gustó nada debido a mi carencia de conocimientos en la
materia, hasta que empecé a comprender algunos conceptos.
Si bien no he aprendido lo que yo quería (ya que mis conocimientos son muy
escasos), este método me facilitó las cosas para poder comprender conceptos que
antes no tenía claro. Ni siquiera sabía que desde dos tablas hechas en Excel podía realizar un gráfico y que este me daría luego una fórmula que podría aplicar
para resolver problemas básicos. Experiencias como las que tuve con Geogebra (por
ejemplo) también fueron muy enriquecedoras, porque eso me permitió interpretar
gráficos que antes no hubiese podido leer.
Estudiante B: esta metodología me permitió ser reflexivo conmigo mismo: pensar detenidamente a las matemáticas con la finalidad de sacar conclusiones. Determinar que hay maneras más reales de hacer matemáticas, de contextualizar un
problema sin necesidad de utilizar como recurso el solo hecho de hacer ejercicios
matemáticos a repetición y sin saber el POR QUÉ ni el CÓMO llegamos al resultado esperado o correcto.
– 39
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Comprender también que estamos rodeados de situaciones cotidianas, que necesitan este análisis matemático, como también preguntarse y repreguntarse cuál será
el camino correcto, la metodología necesaria para llegar a tal fin.
Estudiante C: a modo de cierre puedo decir que este espacio curricular me pareció
muy interesante, en principio por el planteo, que apunta a la resolución de problemas reales y hace más fácil su interpretación para los que no somos “matemáticos”,
y por otra parte porque me permitió comenzar a analizar funciones en EXCEL (solo
lo usaba como hoja de cálculos) y descubrir Geogebra con su gran capacidad y muy
aplicable en ámbito educativo.
Otro de los aspectos positivos es que con el transcurso de las clases fuimos refrescando los conocimientos adquiridos en nuestro paso por la escuela secundaria
(hace mucho tiempo) y terminando de entender cuestiones como las derivadas, que
nunca había entendido a cabalidad, porque no me lo habían explicado claramente.
El ejercicio paso a paso para obtenerla y la realización de sus gráficos logró el objetivo.
Como aspecto negativo, creo que el corto tiempo (un cuatrimestre) para desarrollar los temas, junto a la presión de otras tres materias, más nuestros trabajos
en las escuelas, etc., atentan contra la posibilidad de sacarles más provecho a los
profesores.
Finalmente, me queda agradecer a mis compañeros que en muchas ocasiones
aportaron a la resolución de problemas, con alguna mirada distinta, y a los profesores que nos guiaron y aportaron un enorme bagaje de conocimientos y nos animaron a plantear las matemáticas de una manera que esté más al alcance de todos.
En todas las narrativas aparecen reflexiones relevantes referidas al propio aprendizaje matemático logrado. Como ejemplo de esta situación, se transcriben parte
de los comentarios hechos por dos estudiantes cuando resolvieron un problema
referido a la validez matemática que tienen los algoritmos de multiplicación que
usaban los romanos y los egipcios, al no emplear un sistema de numeración posicional como el actual.
Estudiante D: esta experiencia me gustó mucho. Hay varias razones. En primer lugar me sirvió para aprender otros métodos de multiplicación en donde no requiero
saber todas las tablas sino solamente la del dos, saber dividir por dos y obviamente
sumar. En segundo lugar, aprendí también cómo es una escritura binaria, y nunca
me hubiera imaginado que estaba encubierta en este método. Como tercer punto
me gustó trabajar con esta actividad porque tuvimos que interpretar la información
– 40
II. Ponencias
solos y entenderla. El grupo me gusta también, trabajamos bien todos y formamos
un buen equipo, es lo que personalmente creo.
Estudiante E: Me gustó el problema ya que me informé acerca de cómo se empleaba y aplicaba la matemática, tanto en la antigüedad como en las diversas civilizaciones. Además, pude hacer un repaso y ver nuevamente de qué tratan los sistemas
binarios.
Conclusiones
Si disponemos de buenos problemas que puedan llevar a los estudiantes a estar en
un escenario de investigación como lo plantea Skovsmose (2012), y trabajamos con
técnicas de narrativas para recuperar elementos primarios de un objeto matemático, las cuales contemplen aspectos cognitivos y metacognitivos, podremos valorar
la comprensión que alcanzaron sobre los objetos matemáticos involucrados. En este
ambiente de aprendizaje tendremos que analizar el modo en que cada estudiante
produjo, organizó y reorganizó la red de relaciones que se establecen en la resolución
de una situación problemática que obliga al funcionamiento del objeto matemático,
la cual pone en juego los procedimientos, técnicas o algoritmos que son necesarios,
los conceptos, definiciones, propiedades y argumentos que validan las acciones realizadas, todas ellas soportadas y reguladas por elementos lingüísticos (simbólicos o
de la lengua natural). La organización de estos elementos primarios de un objeto
matemático constituye una configuración cognitiva, de acuerdo con Godino, Batanero y Font (2007), y da cuenta de la comprensión alcanzada por un estudiante, de
acuerdo con INFD (2010).
Así mismo, el trabajo con resolución de problemas y en escenarios de investigación pudo mostrar tanto a profesores como a estudiantes que existen otras maneras
de trabajar y hacer matemáticas en el aula. Esta modalidad de trabajo está más
próxima a los campos profesionales de las carreras en las que se inscriben los estudiantes, y no se descuidaron los contenidos centrales que suelen ser preocupación
de los profesores de las carreras de administración. No obstante, el modo de trabajo ofrece resistencias para aquellos estudiantes que se sienten más cómodos en
ambientes tradicionales de enseñanza, y no en los que se les demanda un mayor
protagonismo, búsqueda de información en diferentes fuentes, empleo de estrategias no habituales para la resolución de problemas, trabajo colaborativo en equipo,
exposición oral de lo realizado, necesidad de validar argumentos, etc.
– 41
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Cabe remarcar que el diario de clase como instrumento de evaluación demanda un gran esfuerzo por parte de los profesores. Resulta laborioso su análisis, más
aún cuando se trabaja con grandes números de estudiantes, y donde no es posible
demorar demasiado las devoluciones para hacer los ajustes pertinentes de los procesos de enseñanza y aprendizaje involucrados. A su vez, resulta dificultoso instaurarlo inicialmente en las clases de matemáticas, pues los estudiantes y profesores no
tienen experiencias previas sobre narrativas de procesos cognitivos y metacognitivos propios seguidos en la resolución de problemas.
Es de destacar que las narrativas son un instrumento muy valioso y útil para valorar la comprensión alcanzada por los estudiantes, pero tiene como fuertes detractores a los propios profesores y estudiantes. Los profesores porque no conciben que
se pueda evaluar a través de otros formatos que no sean los exámenes parciales y
finales (evaluaciones de producto) que contienen una serie de problemas y preguntas para ser desarrolladas, generalmente por escrito, en un tiempo acotado y al final
del proceso de enseñanza y aprendizaje. Los estudiantes porque les demanda un
mayor esfuerzo intelectual y se contrapone al formato que critican, pero al que están
acostumbrados (evaluaciones tradicionales). El desafío está en intentar trabajar de
un modo diferente en la clase de matemáticas y, con certeza, se obtienen resultados
distintos.
– 42
II. Ponencias
Referencias
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– 44
ABSTRACCIONES DE LAS CIENCIAS
BÁSICAS MEDIADAS POR LA
REALIDAD AUMENTADA, Y SU
APLICACIÓN EN LA TECNOLOGÍA
NAVAL EN ELECTRÓNICA
Harold Álvarez Campos
harold1906@hotmail.com
Escuela Naval de Suboficiales A.R.C. “Barranquilla”
www.escuelanavalsuboficiales.edu.co
Resumen
L
os recursos tecnológicos, computadoras, teléfonos celulares, tableros digitales, calculadoras, software y sitios web
están haciendo parte cada vez más de los ámbitos de la vida
diaria, aportando sus bondades al proceso de formación de
nuestros estudiantes. En los últimos años se ha venido fortaleciendo la idea del trabajo con la utilización e implementación
de software libre y herramientas de colaboración, disponibles
a cualquiera que desee utilizarlas.
En este ámbito cobra fuerza la utilización de escenarios que
utilizan la realidad aumentada (AR), puesto que hacen visible
una realidad que podría ser imposible de ser apreciada en un
ambiente controlado, como explosiones, disparos, vertimiento
de fluidos, entre otros ejemplos. En nuestro campo del saber
como lo es la formación naval militar, se han venido realizando desarrollos en materia de modelación tridimensional de
todo tipo de elementos propios del escenario marinero, como
son buques, armamento naval, nudos, maniobras, etc.
Estos modelos fueron desarrollados en Autodesk 3d Studio
Max, en la versión 9, texturizados con los colores más acercados
– 45
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
a su realidad y situados en el espacio real en que el estudiante los encontrará, una
vez cumpla con su etapa de traslado a bordo de las unidades a flote de la Armada
Nacional. En lo referente a la visualización de los modelos se utiliza un visor público
llamado BuidAR, desarrollado por HIT Lab NZ. Este visor es una herramienta libre
disponible para fines académicos, y aunque presenta algunas limitaciones como la
de presentación de videos y animaciones, es muy útil en la visualización de contenidos en 3D.
Los diferentes elementos diseñados y construidos para las asignaturas de ciencias
básicas álgebra lineal, geometría y matemáticas, hacen parte del componente teórico en la acción de formación de los estudiantes grumetes de segundo año, en las
especialidades de electrónica, armas navales y comunicaciones electromagnéticas, y
se constituyen en un banco de recursos disponibles en el que hacen que el proceso
de formación vaya más allá de una sesión magistral y se convierta en un proceso
dinámico en el que los estudiantes pueden aportar en el conocimiento adquirido.
Palabras clave: álgebra, e-Learning, geometría, realidad aumentada, tridimensionalidad, vectores.
Abstract
The technological resources, be it computers, cell phones, digital dashboards, calculators and all kinds of software and websites are increasingly becoming part of
the areas of daily life, bringing its benefits to the training of our students, if schools
and training centers concerned. In recent years it has been strengthening the idea of
working with the use and implementation of open source software and collaboration
tools available to anyone who wishes to use them.
In this field, gaining strength using scenarios using augmented reality (AR), since
they make visible a reality that may be impossible to be appreciated in a controlled
environment, such as explosions, fire, fluid management among other examples.
In our field know how is the naval training, have been ongoing developments in
three-dimensional modeling of all kinds of marine stage elements, such as ships,
naval weapons, knots, maneuvers, etc.
These models were developed in Autodesk 3d Studio Max, in version 9, textured
with colors actually approached her and placed in real space in which the student
will find, once fulfill its transfer stage aboard afloat units of the Navy. Regarding the
display of the models using a public viewer called BuidAR developed by HIT Lab
NZ. This viewer is a free tool available for academic purposes, and although it has
– 46
II. Ponencias
some limitations such as the presentation of videos and animations, is very useful
in displaying 3D content.
The various components designed and built for the subjects of Mathematics Basic
Linear Algebra, geometry and are part of the theoretical component of the training
program of the Grumetes sophomores, in the fields of electronics, naval weapons
and electromagnetic communications, and they constitute a bank of resources available that make the process of training beyond a master class, and it becomes a
dynamic process in which students can bring to the knowledge gained.
Keywords: algebra, augmented reality, dimensionality, e-Learning, geometry, vectors.
Introducción
El proceso de formación está inmerso en un escenario cambiante, en el cual se
evidencian todo tipo de actores, técnicas y procesos que de una u otra manera lo
fortalecen, permitiendo que todos los actores construyan conocimiento a la luz de
unas teorías válidas. En la experiencia de extender el aula y laboratorios mediante la
realidad aumentada y recursos de base tecnológica, encontramos que se conjugan
elementos (plugs) reconocedores de patrones, programas generadores de elementos
en tercera dimensión y cámaras que posibilitan la adquisición de patrones, los cuales
permiten ubicar los elementos digitalizados.
En el campo de la enseñanza de las ciencias básicas se necesita tener en cuenta
un alto nivel de abstracción para imaginar cómo se representan los procesos de
movimientos vectoriales, tiros parabólicos y objetos de la geometría, entre otros
procesos, a fin de comprender aún más los conceptos dados teóricamente en el aula.
En este contexto, la implementación de todo tipo de materiales educativos computarizados con fines educativos aporta grandes fortalezas al rendimiento académico
de los estudiantes, pues les permite desarrollar el pensamiento lógico matemático
aplicable en su campo de formación específica.
De igual manera, la educación es un proceso que ha estado presente desde los
inicios de la historia humana, en el compartir experiencias, el aprendizaje de nuevos
métodos o el quehacer cotidiano.
Con la aparición de las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC)
este proceso se ha potenciado, ya que se han creado nuevos contextos de aprendizaje (redes sociales en internet, multimedia, telefonía celular, etc.), que anteriormente
– 47
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
no existían, y se han fortalecido los existentes de forma tal que personas que antes
no tenían acceso a estos contextos ahora forman parte de ellos.
Varios autores coinciden en que algunas de las razones por las que el adulto participa de forma más activa y protagónica en la educación son: la masificación de las
TIC, la mayor incorporación del adulto al sistema educativo formal, lo atractivo de los
contenidos tanto a la vista como al oído, entre otros; permitiendo así extender el aula
tradicional al hogar, salas de entretenimiento y juegos especializados o simuladores.
El propósito de este trabajo consiste en dar a conocer los diversos elementos o
abstracciones de las matemáticas, el álgebra lineal y la geometría, que han diseñado
en 3D y mediados por la realidad aumentada, para fortalecer o documentar el proceso dado en las clases de manera magistral.
Contenido
Herramientas computacionales
Las herramientas computacionales que utilizan internet y todas las bondades de las
redes y bases de datos son cada vez más el soporte de todo proceso de formación,
sin distingo de lugar ni distancia. De igual manera, su uso en el proceso aprendizaje - enseñanza ha permitido la implementación de herramientas de apoyo virtual
con soporte pedagógico sobre casi todas las áreas del conocimiento. En este campo,
diversos autores (Rusk, Resnick & Maloney, 2007), coinciden en afirmar que la comunicación efectiva entre los estudiantes y los contenidos (campo del saber) requiere hoy
día, para ser creativa y persuasiva, la escogencia y manipulación de los mismos tipos
de medios que estos entornos de programación ponen al alcance de los estudiantes.
De igual manera, se espera que conforme se gana experiencia con el marcado uso
de estos medios, los estudiantes se vuelvan más perceptivos y críticos en el análisis
de los casos que se les presentan en su mundo académico. En este nivel de crítica que alcanzan los estudiantes es donde realmente se potencian las operaciones
mentales propias de un verdadero aprendizaje basado en el saber, conocer y ser;
aprendizajes que, mediados con la ayuda de tecnologías, cada día van cobrando
mayor importancia en una sociedad automatizada. En este escenario, el estudio de
las distintas teorías de aprendizaje cobra vital importancia en el potenciamiento de
la aprehensión del conocimiento impartido a través de los medios educativos, o del
uso de cualquier mediador instrumental; en este caso, de la realidad aumentada.
Estas teorías presentan como característica esencial el estudio de nuevos elementos en las redes cognitivas, basados tanto en experiencias previas como en la adqui– 48
II. Ponencias
sición de habilidades en el razonamiento y en la adquisición de conceptos. Uno de
los mecanismos para la apropiación de los objetos de aprendizaje fue creado en el
año 1996, y se denominó el Comité de Estándares de Tecnologías de la Enseñanza (Learning Technology Standards Committee, LTSC), por parte del Instituto de
Ingenieros Electricistas y Electrónicos (The Institute of Electrical and Electronics
Engineers, IEEE).
Estos estándares permiten normalizar la interoperabilidad entre las tecnologías
educativas de empresas, universidades y organizaciones de todo el mundo, bajo
la concepción de reutilización de objetos virtuales de aprendizaje, utilizando metadatos. Sin embargo, esta representación no es del todo congruente con la lógica
de descripciones ontológicas que faciliten la labor de distribución y localización de
contenidos, junto a la construcción de unidades didácticas agregadas a partir de
otras más básicas.
La inclusión de estos esquemas más avanzados en materia de construcción de
unidades didácticas, muestra a los beneficiarios de todo proceso educativo una gran
cantidad de material mucho más rico en contenido mediático que el que se observa
en la actualidad en portales de tele-aprendizaje.
De igual manera, se evidencian a través de la sensibilización mediante la hipermedia, característica básica de los ambientes dirigidos a la web 2.0, los cuales permiten
que el usuario explore la información o contenidos de acuerdo con sus necesidades
o ritmo de aprendizaje.
Las incorporaciones didácticas realizadas en 3D y su interacción con el estudiante
mediante la realidad aumentada harán de la presentación de contenidos, herramientas mucho más efectivas en el proceso educativo de los estudiantes grumetes.
Esto implicaría además una activa participación por parte de los beneficiarios de los
aplicativos, como lo son los estudiantes, quienes darían los lineamientos (diseño,
construcción, organización, etc.) para la conformación de herramientas válidas de
mayor efectividad cognoscitiva.
Las ciencias básicas y sus representaciones
Las ciencias básicas en general necesitan un alto componente de representación de
los conceptos para dominarlos. En los contenidos relacionados con los procesos sobre espacios vectoriales tratados con la óptica de la realidad aumentada tendrá los
componentes siguientes:
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
• Teorías sobre los espacios vectoriales.
• Representación de los elementos en tercera dimensión.
• Elaboración de patrones (reconocimiento).
• Utilización de visores de realidad aumentada.
• Para estos casos, se explicará cada uno de los actores de este proceso de representación.
Espacios vectoriales
La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar la estructura matemática que
se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al
conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.
La definición clásica de vectores define un vector como aquella cantidad que cumple con las siguientes características:
a. Tiene magnitud y denota el tamaño del vector. Está dada por la medición que se
hace desde el punto de aplicación hasta el extremo del vector (ver la figura 1).
Figura 1. Magnitud de un vector
b. Dirección. La dirección del vector hace referencia al plano en el que se encuentra
ubicado, y lo constituye la línea de acción sobre la cual actúa. Para este caso se
indica el ángulo con respecto a un eje (por ejemplo, la horizontal, vertical, diagonal, etc.)
Figura 2. Dirección de un vector
– 50
II. Ponencias
c. Sentido. Como se aprecia en la figura 3, este hace referencia a la punta hacia
donde se dirige el vector. Tendrá un sentido todo vector, y su opuesto si este es
negativo (ver la figura 3).
Figura 3. Sentido de un vector
Para el caso de la presentación de los vectores en la realidad aumentada se deben
tener en cuenta las características propias de los vectores, todas vez que son las partes las que denotan la presencia válida de un elemento de este tipo (vector).
Figura 4. Modelación en 3D Studio
Fuente: Elaboración propia.
Representación de elementos en tercera dimensión
El término gráficos 3D por computadora o por ordenador (3D Computer Graphics)
se refiere a trabajos de arte gráfico que fueron creados con ayuda de computadoras y
programas especiales 3D. En general, el término puede referirse también al proceso
de crear dichos gráficos, o el campo de estudio de técnicas y tecnología relacionadas
con los gráficos 3D. Un gráfico 3D difiere de uno 2D principalmente por la forma en
que ha sido generado.
Este tipo de gráficos se origina mediante un proceso de cálculos matemáticos
sobre entidades geométricas tridimensionales producidas en un ordenador o computador, y cuyo propósito es conseguir una proyección visual en dos dimensiones
para ser mostrada en una pantalla o impresa en papel.
– 51
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
En general, el arte de los gráficos 3D es similar a la escultura o la fotografía, mientras que el arte de los gráficos 2D es análogo a la pintura. En los programas de
gráficos por computador esta distinción es a veces difusa: algunas aplicaciones 2D
utilizan técnicas 3D para alcanzar ciertos efectos como iluminación, mientras que
algunas aplicaciones 3D primarias hacen uso de técnicas 2D.
El proceso de creación de gráficos 3D por computador puede dividirse en estas
tres fases básicas:
• Modelado.
• Composición de la escena.
• Rénder.
Figura 5. Observación en todos los planos
Fuente: elaboración propia.
Seguimiento de patrones
Como patrón se puede catalogar el elemento que será seguido por el software, y que
en él se desplegará la información que se ha programado que contenga. El estudio
del seguimiento de patrones mediante programas de cómputo es ampliamente estudiado en el caso de los simuladores y los sistemas expertos, toda vez que su importancia radica en la ubicación en tiempo real, en ambientes controlados inicialmente
para después ser utilizados en ambientes no controlados.
En el caso militar sus aplicaciones se extienden a la tripulación de naves (aviones,
submarinos, barcos, carros), guiados en planos virtuales, hacia escenarios digitalizados,
mediante ubicación geo-espacial. En el caso de las cámaras digitales observamos que
existen cámaras que detectan el componente facial, el cual permite observar los actores
de una escena.
– 52
II. Ponencias
Figura 6. Detección de patrones
Fuente: elaboración propia.
En el caso médico o de estudio de pacientes, los signos vitales son ingresados en
un computador y mediante seguimientos de operaciones se realizan procedimientos en los que se tendrá mucho mayor éxito y, lo más importante, con un mínimo
error tolerable.
Para el caso educativo en la Escuela Naval de Suboficiales A.R.C. “Barranquilla”,
que es en el que se encuentran inmersos estos trabajos, se modelan elementos que
son difícilmente apreciables en la realidad, por su complejidad, como son figuras
geométricas, vectores, parábolas, entre otros modelos.
Tiros parabólicos, movimiento de partículas, vistas de campos magnéticos, representación de gases y vapores, entre otros, podrán ser representados con la calidad y
duración de la realidad observable. En este trabajo de investigación se implementan
patrones que permitirán la visibilidad de objetos modelados en el computador; patrones creados de la propia autoría de los investigadores y estudiantes grumetes de
las especialidades en radares, electrónica y tecnología naviera.
Fase de diseño de prototipos en 3D
En cada uno de los casos se han efectuado las mediciones de los elementos digitalizados, al tiempo que nos hemos apoyado en las experiencias de los docentes que
han estado embarcados y que tienen la experiencia profesional de la asignatura. Las
texturas de las superficies también se ponen lo más cercanas a la realidad, establecidas como mapas de bits o texturas.
– 53
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Figura 7. Modelos de vectores
Fuente: elaboración propia.
Figura 8. Modelos de gráficos de ondas
Fuente: elaboración propia.
Figura 9. Modelo de toroide
Fuente: elaboración propia.
Figura 10. Estudiantes configurando la cámara de video
Fuente: elaboración propia.
– 54
II. Ponencias
Utilización de visores de realidad aumentada
Actualmente se encuentran disponibles una gran cantidad de visores de realidad
aumentada, que pueden utilizarse con fines educativos. Estos son poderosos algoritmos que permiten la visibilidad de objetos diseñados en programas de cómputo, a
través de escenarios que utilizan la cámara del computador.
Existen diferentes tipos de visores, algunos en línea y otros descargables y configurables para el muestreo de diversos objetos, los cuales pudieran conformar libros
digitales aumentados, y otros que permiten la visualización de videos y otros elementos de mayor complejidad.
Para este caso se crearon patrones propios que permitieron la ubicación de diferentes objetos, y se pudo construir un texto que permitía relacionar los modelos
tridimensionales con los elementos teóricos explicados en los manuales. Estos modelos fueron creados con el aplicativo mkpatt disponible en internet bajo licencia de
software libre.
Figura 11. Patrones creados de la realidad aumentada para configurar los actores
Fuente: elaboración propia.
Para la visualización de los modelos en estas experiencias se utilizó BuildAr. BuildAR trabaja con modelos 3D que pueden ser fabricados mediante programas como
3Dmax, Rhinoceros o similares que permitan exportar la extensión a .3DS. El programa reconoce el códec o pattern, a través de la cámara web, y lo vincula a un modelo 3D o un video superponiendo el punto de vista reconocido con ellos a través de
capas, generando en la pantalla la integración de la realidad con el modelo virtual
en tiempo real.
Los códec o patterns son cuadrados de imágenes, las cuales pueden ser figuras en
blanco y negro o mapa de bit en color, enmarcadas de negro. Ya que el programa
reconoce los bordes del marco en una primera etapa y luego vincula la figura o imagen que se encuentra dentro. BuildAR tiene dentro de la barra de herramientas una
opción de generación rápida de estos códec, pero se puede optimizar su utilización
con la experiencia que se va ganando al usar la herramienta.
– 55
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Experiencia del aula aumentada
Para el caso de la formación de los estudiantes de tecnología naviera en la Escuela
Naval de Suboficiales, se han construido estos modelos presentados, y fortalecen el
proceso de formación en las asignaturas relacionadas con la estructura de los buques
y la ubicación de los diferentes componentes de la superficie del buque.
Figura 12. Elementos de AR aplicados a la formación tecnológica
Fuente: elaboración propia.
Metodología
El actual proyecto en el que se evidencian los productos de modelación y representación en 3D sobre objetos de las ciencias básicas o abstracciones está contemplado
como un proyecto de tecnología aplicada, el cual toma información del proceso de
formación de suboficiales navales.
La población que se beneficia de estos productos son los estudiantes grumetes del
curso de tecnología naval en electrónica, en los énfasis de artillería, electrónica y comunicaciones electromagnéticas, pertenecientes a la Escuela Naval de Suboficiales
A.R.C.“Barranquilla”.
Una vez terminada esta fase, se procede a construir el ambiente en el cual estarán
inmersos los componentes, previa construcción de los patrones o marcadores que
estarán adheridos a cada componente. Finalmente se implementa la información en
el escenario y se hacen los ajustes de colocación, ambientación y documentación.
Conclusiones
En la actualidad los procesos informáticos están abarcando todos los campos de la
sociedad, incluso la parte educativa, la cual está potenciando todos los campos como
la ingeniería, la modelación, la arquitectura, la medicina, la odontología, entre otros.
– 56
II. Ponencias
La realidad aumentada genera un gran aporte a la construcción de ambientes que
son, en algunos casos, imposible de ser visualizados. Estos casos de simulación de
la realidad involucran al estudiante en procesos más cercanos a su formación, logrando un aprendizaje significativo de conceptos difícilmente observables sin ayuda
tecnológica.
Así mismo, el aprendizaje y el e-learning aportan gran valor en la representación
de los objetos, en la compartimentación de la información y en la disponibilidad de
la misma, pues los contenidos son accesibles en cualquier momento por el estudiante, siempre y cuando este cuente con la tecnología necesaria.
Por otra parte, la modelación aporta grandes elementos tanto en la representación
como en la simulación de objetos de manera computacional. Lo que sí necesita este
campo es que los docentes tengamos las herramientas conceptuales y tecnológicas
para poder construir nuestros propios elementos o contenidos.
Finalmente, en esta experiencia queda la gran oportunidad para la creación de
instrumentos que apoyan nuestro proceso de la enseñanza de asignaturas como
la estructura de buques y el armamento, con elementos de calidad computacional
efectiva que nos permitan alcanzar los objetivos en el aula de clases.
– 57
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
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– 59
ELEMENTOS DE SIGNIFICADO
DECLARADOS EN EL DISEÑO DE
TAREAS PARA LA ENSEÑANZA
DE LA INTEGRAL: LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DE CÁLCULO DE ÁREAS
Erika Ariza
katatio@hotmail.com
Institución Educativa Clara Fey. Bogotá, Colombia.
Daniel Cifuentes
danicimao@hotmail.com
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia.
Gloria Neira
gerarlopez3@hotmail.com
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia.
Resumen
Autores como Vasco (2009) y García, Serrano y Díaz (2002) señalan que las prácticas habituales en la enseñanza del cálculo
están orientadas al estudio de métodos formales y manipulación simbólica de expresiones ligadas a los objetos matemáticos centrales límite, derivada y anti-derivada, limitando de
alguna manera la construcción de significado de la integral.
Partiendo de allí se propone un proceso de enseñanza-aprendizaje de la integral definida desde problemas de cálculo de
áreas, bajo la premisa de que la resolución de estos problemas
conduce al abordaje y aprendizaje de los fundamentos del cálculo que proponen dichos autores; estos son la aproximación,
la variación y la acumulación.
– 61
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
En el presente documento se da cuenta de la caracterización del significado institucional de referencia, pretendido e implementado, según lo señalan Godino, Font
y Batanero (2011), alrededor de las prácticas docentes y discentes en la resolución
de problemas de cálculo de áreas bajo curvas, cuyo tratamiento además relaciona los fundamentos del cálculo enunciados previamente. Para este fin, se recurre
a considerar el significado de un objeto en un contexto particular como una red
de elementos primarios de significado (situación problema, lenguaje, propiedades,
procedimientos, definiciones y argumentos), permitiendo una posterior identificación o correspondencia con las configuraciones parciales de integral propuestos por
Crisóstomo (2012).
Palabras clave: cálculo de áreas, elementos de significado, fundamentos del cálculo, integral definida, resolución de problemas, significado institucional.
Abstract
Authors like Vasco (2009) and García, Serrano and Díaz (2002) indicate that the habitual practices in the education of the calculation are orientated to the study of formal
methods and symbolic manipulation of expressions tied to the mathematical central
objects limit, derivative and anti-derivative, limiting somehow the construction of
meaning of integral. From there one proposes a process of teaching and learning of
the integral defined from problems of calculation of areas, under the premise that the
resolution of these problems drives to the boarding and learning of the foundations
of the calculus that the above mentioned authors propose, these are the approximation, the variation and the accumulation.
In the present document it is realized the characterization of the institutional
meaning of reference, claimed and implemented, as it indicates Godino, Font, and
Batanero (2011) about the practices of teachers and students in the resolution of
problems of calculation of areas under curve, whose treatment in addition relates
the foundations of the calculus enunciated before. For this end, it is appealed to
considering the meaning of an object in a particular context as a network of primary
elements of meaning (situation problem, language, properties, procedures, definitions and arguments), allowing a later identification or correspondence with the
partial configurations of integral proposed by Crisóstomo (2012).
Keywords: Defined integral, elements of meaning, finding areas, fundamentals/
basis of calculus, institutional meaning, problem solving.
– 62
II. Ponencias
Introducción
Este informe de investigación reporta un estudio sobre los significados institucionales
en la enseñanza del cálculo integral, partiendo de las consideraciones de Vasco (2009)
y García, Serrano y Díaz (2002), quienes ven en la enseñanza de la integral, prácticas
tradicionales en donde se privilegian métodos formales y de manipulación simbólica,
limitando de alguna manera que los estudiantes doten de significado estos objetos
matemáticos. A partir de estos planteamientos se deduce la necesidad de abordar los
fundamentos del cálculo dentro de los procesos de enseñanza (procesos de aproximación, estimación, medida, acumulación, variación, tasas y ratas de cambio, etc.), y
en este sentido, el trabajo busca“estudiar”un diseño basado en problemas de cálculo
de áreas incorporando elementos del análisis didáctico de Godino (2011) y los procesos de estudio señalados en el sistema didáctico de Lurduy (2013); en particular, se
busca identificar, describir y caracterizar los significados institucionales emergentes
en las prácticas del docente (dimensión epistémica-ecológica) interpretados en términos de sistemas de prácticas y configuraciones de objetos y procesos matemáticos,
que de acuerdo con Godino (2011) se tipifican en significados institucionales:
De referencia: sistema de prácticas que se usa como referencia para elaborar el
significado pretendido;
Pretendidos: selecciona y delimita la parte específica que desea enseñar el profesor, teniendo en cuenta el nivel educativo, el tiempo didáctico, los conocimientos
previos, a quién se ve a enseñar, la forma o material con el cual se va a enseñar;
Implementados: sistema de prácticas efectivamente implementadas por el docente en un proceso de estudio específico.
Descripción general de la experiencia
El proceso de estudio sobre los tipos de significado institucional se enmarca en las
prácticas del docente, titular en el área de matemáticas y orientador de la asignatura
denominada cálculo en el grado undécimo de una institución educativa del sector
no oficial en Bogotá. Acorde con los propósitos y planeación de la secuencia de actividades, los referentes curriculares, el diseño de una secuencia de tareas centradas
en el cálculo de áreas, los instrumentos que serán presentados a los estudiantes para
la enseñanza de la integral y la gestión de dichos diseños en el aula, se lleva a cabo
un proceso de recolección, organización, sistematización, reducción y análisis de la
información.
– 63
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
En esencia, se presentará una caracterización de los elementos de significado y las
configuraciones parciales de integral definida, retomando elementos del enfoque
onto-semiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS) respecto al objeto
matemático, entendido como una red de elementos de significado primarios (situación problema, lenguaje, propiedades, procedimientos, definiciones y argumentos).
Metodológicamente, se ha desarrollado la propuesta como una investigación cualitativa, desde un estudio de caso con enfoque interpretativo descriptivo, centrado
en el estudio de textos y la articulación de la teoría fundamentada en los datos y el
análisis cualitativo de contenido, iniciando con un estudio documental de referentes
y la identificación de textos (por lo que se recurre a la entrevista al docente, estudio
de textos escolares, didácticos, legales y matemáticos, así como la grabación de las
secciones de clase, los registros de los estudiantes y los diseños de las tareas) dando
lugar a la descripción y caracterización del significado.
Definiciones y revisión bibliográfica
Partiendo de una reconstrucción del currículo y las prácticas de aula en educación
media, Vasco (2009) señala que los cursos de cálculo (diferencial e integral) escolar se suelen enseñar como ejercicios de manejo simbólico de expresiones; además
este autor indica que para aprender esa álgebra y ese cálculo basta la destreza en
el tratamiento simbólico de ciertas expresiones, pero se dejan de lado los sistemas
conceptuales “fuertes”. En este sentido propone no incluir explícitamente el cálculo
dentro de los programas de educación media, reconsiderando la enseñanza desde la
modelación de procesos y fenómenos de la vida cotidiana y de las ciencias naturales y sociales, buscando desarrollar y ejercitar los distintos pensamientos (numérico,
espacial, métrico y variacional) a partir de la utilización de distintos sistemas conceptuales analíticos con sus registros simbólicos para modelar procesos y resolver
problemas. Esto implica: “[...] volver a las magnitudes y a las cantidades variables y a
sus modos de covariación, para modelarlas mentalmente, comunicar esos modelos
y sus teorías verbal, gestual y gráficamente, y tratar las cantidades variables y sus
covariaciones por medio de las funciones de los sistemas conceptuales analíticos [...]”
(Vasco, 2009, p. 86).
Lo que recala en el abordaje y desarrollo de las “Tres ideas fuertes del cálculo”:
A. La variación y la covariación funcional: asociada a la variación de cantidades dependientes del tiempo y la covariación de dos o más cantidades variables relacionadas entre sí, se evidencian los dos principales tipos de covariación
– 64
II. Ponencias
correspondientes al campo conceptual aditivo y al multiplicativo. La función como
relación entre esas cantidades covariantes codifica las restricciones a la variación
de una cantidad variable o independiente, y otra dependiente en su variación de la
variación de la independiente.
B. Las razones, tasas o ratas de cambio: asociado al estudio de las diferencias
y las razones, como parejas de operadores ampliadores y reductores mutuamente
inversos. Llevando a pensar en la derivada como tasa generalizada variable. Para la
modelación y el estudio de las tasas fijas basta la aritmética generalizada, pero para
la modelación y el estudio de las tasas variables y las tasas instantáneas se requiere
el cálculo como registro semiótico para los sistemas analíticos.
C. La suma, la acumulación y la integral: indica una suma extendida o acumulación de diferencias.
Finalmente el diferencial generaliza la noción de diferencia orientada variable. La
derivada generaliza la noción de tasa o rata variable, y la integral definida generaliza
la noción de acumulación.
A partir de las funciones escalonadas se deja de lado el trabajo con discontinuidades por
funciones poligonales, que por supuesto también son integrables. En el cálculo integral,
la idea fuerte lleva a evaluar la acumulación de áreas de rectángulos como suma de
los diferenciales sobre cadenas de intervalos del dominio como bases, multiplicados
por la altura f(x), y por tanto bastaría saber la anti-derivada en los puntos superior e
inferior de cada intervalo y evaluar la integral sobre cada eslabón de la cadena. Para
Vasco (2009),“El trabajo conceptual con el límite desde lo intuitivo es suficiente para
el cálculo escolar, pues los refinamientos usuales no solo son inútiles, sino contraproducentes”(p. 93). Por tanto, es posible integrar el área bajo la curva sin necesidad
de límites, pues el área del rectángulo a partir del cero es base por altura, donde la
base es “dx” y la altura es
El cálculo infinitesimal ha sido incorporado en prácticas escolares y asumido como
objeto de enseñanza desde visiones erróneas y confusas; por ejemplo, al considerar
el límite hay rupturas en su significación como proceso y como objeto matemático.
García, Serrano, Díaz y Godino (2005) resaltan la necesidad de revisar las prácticas
en procesos de enseñanza y aprendizaje del cálculo hacia una reinterpretación de
los objetos matemáticos como objetos de enseñanza. Se caracteriza“El cálculo como
un domino en el que tanto la comprensión de sus objetos, nociones y sus técnicas se
soportan sobre el funcionamiento conceptual y técnico de la aproximación”.
La aproximación: en la manipulación de situaciones de variación, variables dependiente e independiente, se asocia a la comprensión de la aproximación, cuando
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
el sujeto asigna a una variable un determinado valor y “prueba” una mayor proximidad al valor de referencia, en comparación con el anterior valor asumido por la
variable. Bajo estas condiciones, el razonamiento implica “discretizar” los valores de
la variable, como un razonamiento asociado al reconocimiento del número real. Tras
haber identificado el proceso de aproximación, este debe iterarse, desencadenando
un proceso infinito para buscar una determinada precisión en la aproximación. Lo
cual da lugar a la problemática de si los procesos infinitos pueden llegar a ser respuestas exactas o si se busca que las representaciones aproximadas se vayan acercando a una precisión deseada “tanto como se quiera”.
La tendencia: exige una visualización de tipo numérico de los procesos infinitos de aproximación como un todo, esta permite “aceptar cierta regularidad en las
aproximaciones obtenidas en el proceso para intuir el resultado final”; aceptar esas
regularidades implica analizar que los errores de aproximación se hacen “tan pequeños como se desee”. Allí el proceso de estimación es relevante, pues se requiere
decisiones sobre las cantidades que pueden ser despreciadas con base en reglas,
como el truncamiento o el redondeo.
La representación geométrica de los conceptos del cálculo asociados al límite
llevan a construir procedimientos sistemáticos de aproximación, pues se soportan
en enunciados como “tan próximo como se quiera”, “infinitamente pequeño”, en
el caso de asociar: la tangente en un punto a la curva como “límite de secantes que
pasan por un punto” o el área bajo una curva como “acumulación y límite de rectángulos cuya base es tan pequeña como se quiera”; auncuando estos conceptos deben desarrollarse para conceptualizar los objetos matemáticos propios del cálculo,
debe tenerse especial precaución en los sistemas de prácticas y los significados que
allí emergen. El tratamiento de este tipo de problemas lleva a insertar magnitudes
auxiliares menores que las dadas. La(s) técnica(s) se iteran para acercarlas de tal
forma que la diferencia entre ellas se agote; también se le ha llamado “método de
exhaución”.
Configuraciones parciales de integral: adicionalmente, es pertinente una identificación de los elementos de significado descritos en el proceso de estudio sobre
el cálculo de áreas y un marco de referencia brindado por Crisóstomo (2012), quien
sistematiza ocho configuraciones parciales del objeto matemático integral, partiendo de la distinción de los seis elementos primarios de significado.
– 66
II. Ponencias
Tabla 1. Configuraciones parciales de la integral
Estudio histórico – epistemológico – didáctico en las configuraciones parciales de la integral
Configuración
Contexto
Intuitiva
Hallar el área de regiones planas mediante procedimientos que requieren la utilización
implícita de la idea de integral. Se manifiesta la intuición respecto a las nociones de
continuo, infinito matemático y límite, abordando búsquedas alternativas que tornaron
innecesarios los procesos infinitos.
Geométrica
De naturaleza geométrica con orientación al uso implícito o explícito de la integral.
[Hallar el área de regiones planas, hallar el volumen de sólidos (de revolución), calcular
la longitud de arco de una curva,…]. Se abordan progresivamente problemas de mayor
complejidad hasta involucrar conceptos y métodos más precisos.
Sumatoria
La integración como suma de elementos (rectángulos / cilindros) infinitesimales desarrollada a partir del trabajo de Leibniz, muestra una evolución hacia la fundamentación
teórica, basado en el rigor, precisión de los conceptos y en la búsqueda de generalización a una clase más amplia de funciones.
Aproximada
Surge frente a la dificultad o imposibilidad para representar de manera algebraica una
función y para encontrar la integral definida, ante esto se desarrollan cálculos aproximados desde reglas específicas que pueden producir mejores aproximaciones.
Acumulada
Estudio del cambio y del movimiento; calcular el cambio acumulado de una función que
representa una tasa de variación en un determinado intervalo de tiempo.
Primitiva
Newton y Leibniz, quienes vislumbraron la integración y diferenciación como procesos
inversos y condujeron a la consideración del teorema fundamental del cálculo. Motivados inicialmente por la búsqueda de soluciones a problemas prácticos hasta la formalización rigurosa, siendo fundamental el papel que juega la simbología y el lenguaje para
el aprendizaje y la enseñanza del cálculo.
Extramatemática
Tecnológica
Aplicación de la integral (hallar primitivas) y propiedades de esta en contextos
extramatemáticos. Se centra en la especificidad de problemas y uso de conceptos y
lenguajes propios del contexto.
Las problemáticas abordadas en torno a la integral son similares a otras configuraciones; sin embargo, el desarrollo de la tecnología no solo cambia los roles de los sujetos,
sino que involucra nuevos lenguajes, procedimientos y maneras de argumentar.
Formulación de objetivos y problema
El presente trabajo conduce a indagar sobre cuáles son los fundamentos del cálculo
integral por considerar dentro de un proceso de estudio, frente a lo cual las investigaciones referenciadas en los antecedentes han ubicado nociones como la aproximación, la estimación y la medida de magnitudes como uno de los tantos fundamentos
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
que conducen a una significación de la integral definida y, en general, del cálculo
infinitesimal; en este sentido es pertinente generar y evaluar diseños instruccionales
que no radiquen en el manejo que pueden lograr los estudiantes sobre manipulaciones simbólicas.
Ahora bien, se considera un proceso alternativo de enseñanza del cálculo retomando la noción de aproximación y las tres ideas fuertes del cálculo. De acuerdo
con Tall (2009), frente a las dificultades que se producen en los estudiantes al iniciar
el estudio de nociones relacionadas con la matemática avanzada, se deben incluir
representaciones motoras (procesos físicos), icónicas (procesos visuales), así como
tres formas de representación simbólica: verbal (descripción), formal (definición)
y proceptual (dualidad proceso-objeto). Bajo estas condiciones, se pretende documentar el diseño y la gestión de una secuencia de tareas asociadas al cálculo de
áreas desde el estudio del significado institucional del objeto matemático, partiendo
de la descripción de los elementos primarios de significado.
Recolección de información
Documentar y desarrollar el proceso de estudio sobre los significados institucionales
ha llevado a considerar elementos, instrumentos y fases metodológicas acordes con
la articulación metodológica entre el análisis cualitativo de contenido y la teoría fundamentada en los datos, según lo propone Lurduy (2013); de esta manera el estudio
de caso acá reportado se enfoca en los problemas didácticos diseño y gestión, donde
intervienen el significado de referencia, el pretendido y el implementado.
Inicialmente se han seleccionado una serie de textos o fuentes que conducirán al
reconocimiento o identificación del diseño y gestión del proceso de estudio sobre la
integral definida, entre otros se tienen los referentes curriculares (estándares básicos
de competencias en matemáticas), referentes didácticos (fundamentos del cálculo
integral), referentes matemáticos (libros de texto), guía del docente y estudiante,
entrevista al docente (objetivos, momentos, preguntas orientadoras) y, por último,
episodios de clase, emergentes de la observación no participativa y videograbación.
Con cada uno de estos textos se ha realizado la evaluación de los tipos de significado consistente en el rastreo de los elementos primarios de significado desde un proceso de recolección, sistematización, reducción y análisis de los datos, partiendo del
muestreo de orientación, certificación y confirmación, es decir, considerar unidades
de muestreo e ir reduciendo o seleccionándolas hasta llegar a unidades de análisis
que den cuenta de los propósitos de la investigación. Tras la sistematización de la in– 68
II. Ponencias
formación, se hace una síntesis de cada elemento de significado como insumo para
realizar inferencias sobre cada tipo de significado, la configuración de elementos de
significado y la trayectoria epistémica.
Resultados
El proceso de estudio sobre el diseño y gestión de la secuencia de tareas sobre el
cálculo de áreas (ver el anexo: Tarea Central “Área de la puerta”), ve como elemento
central la resolución de problemas, por lo que se ha rastreado la situación problema
y la idea general de integral emergente en cada uno de los tres tipos de significado
institucional, como se muestra a continuación.
De referencia
Tabla 2. Relación tipo de significado-situación problema-significado de integral
Situación problema formulada
Idea general de integral (fundamentos)
a. Determinar el área de una figura poligonal. b. Determinar el área de una figura
encerrada por curvas (conjunto plano). c.
Determinar el área de una función escalonada. d. Estudiar propiedades de figuras
planas y relaciones entre perímetro y área.
La integral es el resultado numérico del área bajo la curva,
desde la aproximación encontrada con la determinación del
área encerrada por una función escalonada construida sobre
una partición (variable y sistemática) de la base o intervalo
de integración.
Pretendido
Determinar la mayor área posible de una
superficie cuyo perímetro es fijo.
Hallar la cantidad de tablas requeridas
para recubrir la superficie encerrada por
una curva. “Agotamiento y comparación
entre la superficie encerrada por la curva
(segmento parabólico), y la superficie
ocupada por una función escalonada
(secuencia de rectángulos) inscrita”.
Proceso de cálculo –indirecto– de la superficie frontal de la
puerta, ajustando la cantidad y dimensiones de las tablas o
polígonos inscritos en la superficie por medir y así agotar el
área de la superficie de la curva. Se logra obtener mejores
aproximaciones al valor real del área bajo la curva cuando
se toman regiones o tablas tan pequeñas como se quiera;
esto permite calcular con ayuda de una fórmula aritmética la
agrupación de todas estas regiones o partes, conformando
una sola superficie cuya área es el objeto de estudio.
– 69
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Situación problema formulada
Idea general de integral (fundamentos)
Implementado
Cálculo –indirecto– de la superficie frontal de la puerta.
Partiendo de la construcción de una secuencia de polígonos
inscritos que se aproximan a la superficie de la puerta,
anclado al agotamiento y comparación entre la superficie encerrada por la curva y la superficie ocupada por una función
escalonada (secuencia de rectángulos) inscrita. Se ajustan
la cantidad y dimensiones de las tablas inscritas, para que
los espacios no recubiertos sean tan pequeños como se
quiera. Se requiere juntar, agrupar o acumular todas estas
regiones o partes.
Mostrar la forma, medidas y ubicación de
una secuencia de tablas inscritas (rectangulares o trapezoidales) que permita
agotar la superficie de la puerta. Luego
representar analíticamente la acumulación
de áreas y las distintas aproximaciones
generadas.
Proceso de agotamiento de la superficie de la puerta.
Síntesis de la caracterización de los tipos de
significado
En síntesis, el proceso de estudio de los tipos de significado institucional, su descripción y caracterización, involucra los elementos de significado descritos mediante la
siguiente tabla, en donde además se reconoce la relación de cada elemento con las
configuraciones parciales de la integral que refiere Crisóstomo (2012) y los fundamentos o ideas fuertes del cálculo; cada color representa una de las configuraciones
codificadas en la parte inferior de la tabla.
– 70
II. Ponencias
Tabla 3. Matriz de caracterización de significados
Significado
Situación
problema
De referencia
Hallar el área
encerrada por
la curva.
Hallar el volumen de sólidos
y aplicaciones
de la integral.
Determinar la
anti-derivada
de una función
en un intervalo
fijo.
Implementado
Pretendido
Construcción
de la función
escalonada
inscrita en la
curva.
Intuitiva
Cálculo de
áreas de
superficies
encerradas
por curvas a
partir de una
configuración
de tablas.
Construcción de una
estructura con
secciones poligonales de tamaños que se
ajustan según
la estrategia y
la necesidad
de agotar la
superficie de
una curva.
Geométrica
Lenguaje
Transición del
lenguaje común
y geométrico al
formal.
Procedimientos
Interpretación y
trascripción entre
distintas representaciones.
Construcción de
una secuencia de
polígonos inscritos y ajustables a
la curva.
Formular y
desarrollar una
expresión o regla
recursiva que
permita identificar
el patrón para la
construcción de
rectángulos.
Propiedades de las
operaciones en el
sistema numérico
decimal y el tratamiento simbólico.
Variación,
aproximación y
acumulación de
las secuencias de
figuras sobre la
superficie agotada.
La partición de la
base de la puerta y
ajuste de tablas lleva a aproximaciones en la medida
de la superficie tan
óptimas como se
quiera.
Existen puntos
máximos, límite
superior e inferior,
partes tan pequeñas como se
quiera.
Inscripción
sucesiva y ajuste
de secuencias de
tablas dentro de
la curva.
Aproximación, estimación, medición,
variación en las
magnitudes y sus
medidas.
Enuncian objetos
concretos y
geométricos, así
como procesos
(aproximación).
Desarrollar una
expresión analítica que represente
la estructura de
tablas que determinan la puerta.
Propiedades y
relaciones geométricas asociadas
a la curva y a las
construcciones
realizadas sobre la
superficie.
Sumatoria
Acumulada
Extra-matemática
Lenguaje descriptivo y gráfico en
el que interactúan
representaciones
(verbal, gráfica y
simbólica).
Definiciones
Descripciones y
Agotamiento de la
características
superficie desde Teorema fundamende los objetos
una sucesión de
tal del cálculo.
geométricos.
figuras.
Anti-derivada.
Caracterización
de la representación (suma, unión
de rectángulos)
hasta
Desarrollo analítico de cálculos
asociadas al área
de una función
escalonada.
Transición del
lenguaje común
(región, terreno,
cortar o inscribir
tablas agotar,
construir) hacia el
lenguaje geométrico, aritmético y
algebraico.
Propiedades
Función escalonada.
Argumentos
Visualización de
propiedades.
Secuencia
de polígonos
inscritos.
Corroboración de
procedimientos
y desarrollo de
expresiones
analíticas.
Aproximación,
acumulación,
Variación.
Deducción de
propiedades
geométricas.
Tabla (polígono
rectangular)
Inferencia de
regularidades a
partir de cálculos
particulares.
Puerta (construcción a partir
de una estructura/sucesión de
tablas).
Deducciones
a partir de la
visualización
Curva (familia de
de propiedades
ordenadas)
geométricas de
Infinitesimal,
la gráfica y los
aproximación,
procesos sobre
acumulación,
ella.
medida y exhauCorroboración de
ción.
procedimientos.
Secuencia de
polígonos ajustables, área (suma,
acumulación,
aproximación,
medida), límite,
infinitesimal.
Primitiva
Formulación
de conjeturas;
deducción de
propiedades
y relaciones
geométricas.
Corroboración de
procedimientos.
Aproximada
– 71
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Discusión
Considerando el tercer nivel de análisis didáctico propuesto desde el EOS de las configuraciones y trayectorias didácticas y los alcances planteados para este trabajo, se aborda la trayectoria epistémica desde la relación “incluyente” de los tipos de significado
institucional de referencia, pretendidos e implementados. En efecto, se ha observado
que los significados de referencia en sus dimensiones didáctica y matemática ofrecen
según el nivel de análisis didáctico manejado acá, los elementos primarios de significado y las prácticas del docente en el diseño y gestión de un proceso de estudio sobre
los problemas de cálculo de áreas y los fundamentos del cálculo integral.
Se ilustrarán ideas asociadas a la trayectoria epistémica desde los elementos de
significado “situación problema” y “procedimientos”, en este sentido, se ha encontrado en el S. I. de referencia, principalmente la construcción de una función escalonada por exceso o por defecto, desde el límite inferior, superior o valor medio,
para agotar la superficie encerrada, por ejemplo, en un segmento parabólico, y así
calcular la cantidad de superficie mediante una expresión analítica auxiliar que representa la suma de áreas de rectángulos cuyas bases varían. Ahora bien, en los
significados pretendidos se involucran prácticas didácticas del docente (diseño de
objetivos, tareas, intervenciones previstas, guía del estudiante), donde busca adaptar la situación problema a un contexto“construcción de una puerta con borde curvo
–modelado por un segmento de parábola–”, relacionando un lenguaje común para
que los estudiantes logren hacer una manipulación y representación de la situación,
y promoviendo la construcción de una estructura de tablas que recubran o agoten
la superficie de la puerta. Es entonces cuando el contexto y las restricciones que el
docente pone a la situación proyectan la situación problema y procedimientos de
referencia, priorizando representaciones verbales, gráficas y geométricas de las posibles estructuras de tablas o polígonos requeridos para construir la puerta.
En relación secuencial, el significado de referencia, al pretendido y ahora al implementado no asume un comportamiento inclusivo o reduccionista, es decir, no todo
significado implementado está contenido en los significados pretendidos, y estos a
su vez no están totalmente incluidos en los significados de referencia. A cambio, se
observa que los significados de referencia son un punto de partida para el diseño
de las tareas, las cuales se van nutriendo de aspectos que el docente considera por
el conocimiento del contexto, de sus estudiantes y sus creencias (didácticas y matemáticas) ajustadas a sus propósitos de enseñanza. En consecuencia los significados
implementados se nutren de las prácticas efectivas que se dan en el aula, la inte– 72
II. Ponencias
racción entre los estudiantes y el docente en la resolución de las tareas propuestas,
conduciendo, como se vio en este caso, a involucrar prácticas no consideradas explícitamente en el estudio de los otros tipos de significado.
En algún momento de la validación e institucionalización que orientó el docente,
el problema de construir la puerta con tablas y determinar la cantidad y medidas de
las mismas se transformó o incluyó nuevas tareas, como la linealización de la curva
(construir una secuencia de secantes lo más cercana a la curva para modelar su
comportamiento con segmentos rectos), construir la puerta con la menor cantidad
de tablas, construir la puerta con tablas de distintas formas, ubicar las tablas estratégicamente para que sus bordes coincidan con el borde de la puerta, entre otros,
que se han incorporado a los significados implementados. Ante esto, el docente no
invalida las conjeturas y proposiciones de los estudiantes, sino que, por el contrario,
las relaciona con sus propósitos de enseñanza, con las tareas planteadas y con el
concepto matemático abordado.
Conclusiones
Para cada texto se ha realizado una identificación y descripción de los tipos de prácticas, encontrando mayor presencia de los procedimientos efectuados para el cálculo
de áreas; en cada uno de los textos se observa el planteamiento de una situación
problema enmarcada en contextos geométricos, métricos, extra-matemáticos (de
agricultura, carpintería, física, entre otros) y analíticos, implicando unos sistemas de
lenguaje propios del contexto; allí se refiere a términos y expresiones que en la mayoría de los casos relacionó una representación gráfica o analítica (curvas, figuras
planas, puerta o estructuras), expresiones descriptivas sobre los objetos matemáticos,
geométricos o del contexto que se involucran (curva, puerta, borde, tabla, rectángulo,
área, perímetro, entre muchos otros), con los que se sitúa en segundo lugar el lenguaje analítico, formal y simbólico, y se promovía la enunciación de propiedades de
los objetos matemáticos. En último lugar, se resaltó el papel del lenguaje con relación
a los procedimientos (inscribir, construir, organizar, recortar tablas, unir o acumular,
hacer tablas de menor base, agotar la superficie, entre otras) para significar los objetos matemáticos.
En cuanto a la distinción de tipos de significado, para los significados de referencia, las acciones estaban condicionadas a la demostración, deducción de reglas y
propiedades y construcción de un concepto de integral desde el proceso analítico
que conduce a ella, por lo que se priorizó la construcción de una función escalonada,
– 73
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
la representación analítica de la misma y la consideración de una partición del intervalo de estudio en una cantidad cambiante de bases para los rectángulos que conformarían la secuencia de polígonos que agotan la superficie de la curva. Para el caso
de los significados pretendidos e implementados, los procedimientos evidenciaron
la necesidad de actuar sobre el problema desde la descripción de propiedades, la
manipulación de las partes o componentes de la curva o puerta, la construcción de
secuencias de polígonos y el agotamiento de la superficie como camino único para
indagar sobre el objeto matemático.
Entre otras cosas, podemos observar que los significados de referencia hipotéticos plasmados en los textos estudiados son apenas una muestra de los elementos
considerados por el docente en el diseño de tareas, pues al ser las matemáticas
escolares y la enseñanza de las mismas un proceso complejo, se detectan relaciones
entre redes de conceptos y habilidades que no solo competen a la integral definida,
sino que se manifiestan en la resolución de otros campos de problemas y que por
demás no se pueden capturar en un solo estudio o trabajo de profundización. Otro
aspecto por resaltar en el estudio de los tres tipos de significado es la presencia y
relevancia de los significados personales del docente y de los estudiantes, en una
interacción de aula que no se puede predecir con exactitud, más allá de prever y
orientar algunas prácticas, dificultades o momentos de la clase. Se ha observado
que desde los significados de referencia y pretendidos, se busca un procedimiento
sistemático, que al modelarse permita una representación analítica del área de una
superficie encerrada por curvas; sin embargo, no se han declarado prácticas asociadas al modelo matemático simbólico que represente el proceso de agotamiento de
la superficie mediante la inscripción de una sucesión de polígonos.
Las ventajas que provee un estudio como el que acá se reporta redundan en conocimiento práctico sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de los objetos
matemáticos, particularmente en lo que refiere al diseño, gestión y evaluación de
tareas, que se materializa en los instrumentos para el estudiante y las prácticas del
docente. De lo anterior es posible generar inferencias sobre los posteriores diseños que se requieren para abordar el objeto matemático, que en primera instancia
deben marcar un camino o sistemas de prácticas que lleven de los procesos y estrategias aplicados en la construcción de la puerta a la modelación matemática con
expresiones que representen cada una de las acciones o proposiciones realizadas,
y así mismo lograr incluir aspectos como la determinación del límite de la suma de
infinitos rectángulos de base infinitesimal, deducción de la integral definida para el
– 74
II. Ponencias
problema en que se está calculando y así acercar los significados implementados a
los institucionales de referencia.
La resolución de problemas de cálculo de áreas ha abierto la posibilidad de significar el objeto matemático a partir de procedimientos, lenguaje y demás elementos
de significado, de una manera emergente que parte de la “exploración y acción dirigida” sobre las situaciones, hacia la institucionalización de procesos y conceptos
en distintos sistemas de registro con un creciente nivel de complejidad y formalidad. El proceso de estudio permite corroborar que las dificultades que se producen
en los estudiantes al iniciar el estudio de nociones relacionadas con la matemática avanzada se reducen al incluir representaciones icónicas (procesos visuales), así
como formas de representación simbólica: verbal (descripción), formal (definición)
y proceptual (dualidad proceso - objeto), corroborando el pronunciamiento de Tall
(2009), ya que a partir de estas prácticas el docente ha reflejado los significados implementados, optimizando la gestión de la clase en cuanto a la relación entre saber,
docente y estudiante.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
Crisostomo, E. (2012). Idoneidad de procesos de estudio del cálculo integral en la formación de
profesores de matemáticas. Granada, España: Universidad de Granada.
García, G., Serrano, C., y Díaz, H. (2002). La aproximación: Una noción básica en el cálculo.
Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.
Godino, J., Font, V., y Batanero, C. (2011). The onto-semiotic approach to research in mathematics educaction. The international Journal on Mathematics Education.
Tall, D. (2009). Dynamic mathematics and the blending structures in the calculus. Dynamic
mathematics and the blending structures in the calculus (pp. 481-492). ZDM, The
international Journal on Mathematics Education.
Vasco, C. (2009). Seminario de matemática educativa: fundamentos de la matemática universitaria. Tres ideas fuertes del cálculo (pp. 62-98). Bogotá: Escuela Colombiana de Ingeniería
Julio Garavito.
Lurduy, O. (2013). Conceptualización y evaluación de las competencias de análisis,
reflexión y semiosis didáctica en EPM. Revista Científica, 15.
Anexo. Tarea central “Construcción de una puerta”
La empresa El Roble, trabaja por contrato en la
elaboración de estructuras en madera según medidas
y necesidades de sus clientes, cobra $ 87.000 por
metro cuadrado procesado. El último cliente solicita la
construcción de una puerta cuya forma y medidas se
especificaron en el siguiente bosquejo:
Los encargados de medir y construir la puerta han tenido un inconveniente respecto a los materiales, cuentan
solo con una máquina que realiza cortes rectos, por
lo que es imposible obtener de manera inicial la curva
superior de la puerta.
¿Cuántos retazos de madera (tablas de borde recto)
se requieren para la construcción? Explique su
respuesta.
Teniendo en cuenta que el cobro del trabajo se hace
por la cantidad de metros cuadrados, ¿qué cantidad de
madera se necesita para la construcción de la puerta
con tablas de bordes rectos?
– 76
Gráfico de la puerta por construir
ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA
CON LA INTEGRACIÓN DE DOS
IDEAS DIDÁCTICAS: APRENDIZAJE
BASADO EN PROYECTOS (ABP)
Y ACTIVIDADES REVELADORAS
DEL PENSAMIENTO (MEA). UNA
EXPERIENCIA A NIVEL SUPERIOR
Bulmaro Juárez Hernández
bjuarez@fcfm.buap.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Puebla, México
Guillermina Sánchez López
guillermina.sanchez@upaep.edu.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Puebla, México
José Dionicio Zacarias
jzacarias@fcfm.buap.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Puebla, México
Resumen
Este estudio presenta la integración de dos ideas didácticas
bastante recomendadas por numerosos investigadores para la
enseñanza de la estadística, puesto que también existe bastante literatura que nos muestra que se presentan diversos tipos
de dificultades que obstaculizan el aprendizaje de la estadística
en todos los niveles educativos (Batanero, Godino, Vallecillos,
Green & Holmes, 1994, Rodríguez, 2004, Rodríguez, Montañez
y Rojas, 2010); nos referimos al aprendizaje basado en proyectos (Batanero y Díaz, 2004, Badia y García, 2006) y actividades
– 77
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
reveladoras del pensamiento (MEA, por sus siglas en inglés), (Chamberlin, Coxbill y
Weatherford, 2013, Shahbari y Daher, 2013); generalmente se utilizan por separado.
Por lo general el curso es impartido y evaluado a 100 % teórico, lo cual dificulta al estudiante la aplicación de la estadística en proyectos de investigación (por ejemplo, en
su trabajo de tesis), y presenta fuertes dificultades en hacer uso de ella cuando aborda un problema real. El objetivo fue integrar estas ideas para el curso de estadística
en tres instituciones educativas de la ciudad de Puebla, México. El presente trabajo
muestra los resultados alcanzados.
Palabras clave: ABP, actividades reveladoras del pensamiento, estadística.
Abstract
This study presents the integration of two teaching ideas, quite recommended by
countless researchers for teaching statistics, since there is also a large literature that
shows that different types of difficulties that hinder the learning of statistics at all
levels of education presented (Batanero, Godino, Vallecillos, Green & Holmes, 1994,
Rodriguez, 2004, Rodriguez, Montañez and Rojas, 2010). We refer to Project- Based
Learning (Fuller and Diaz, 2004, Badia and Garcia, 2006) and Model-Eliciting Activities, MEA for short English (Chamberlin, Coxbill and Weatherford, 2013, Shahbari
and Daher, 2013), which are generally used separately. Usually the course is taught
and assessed at 100 % theory, which makes the student the application of statistics
in research projects (e.g. in his thesis), and presents serious difficulties in making
use of it when addressing a real problem. The aim was to integrate these ideas to the
statistics course in three educational institutions in the city of Puebla, México. The
present work shows the results obtained.
Keywords: ABP, model-eliciting activities, statistics.
Introducción
En la actualidad para nadie hay duda de la gran importancia del manejo de la información, tarea en la que la estadística cumple un excelente papel; por esta razón, la
mayoría de países desde hace varios años han buscado incluir el aprendizaje de la
estadística a partir de una edad temprana en su educación básica (Batanero, Contreras y Arteaga, 2011, Ministerio de Educación y Ciencia, 2007, NCTM, 2000). Sin
embargo, hay mucho trabajo de investigación que con frecuencia es reportado en
eventos académicos y en revistas de investigación acerca de las dificultades que la
– 78
II. Ponencias
mayoría de estudiantes presentan en el momento de llevar cursos de probabilidad
y estadística, dificultades que se presentan sin excepción en todos los niveles educativos (Batanero, Godino, Vallecillos, Green & Holmes, 1994; Rodríguez, 2004; Rodríguez, Montañez y Rojas, 2010). Ante esta situación el profesorado que se encarga
de impartir estos cursos trata de recurrir a diversidad de estrategias para disminuir
esta problemática, autores de libros de texto de probabilidad y estadística hacen lo
mismo, buscan escribir libros en donde los conceptos se trabajen con apoyo de software, con apoyo de información en internet, de revistas, de periódicos, etc., buscando que los problemas se sientan más realistas y que los conceptos estadísticos sirvan
para poder intentar resolver esos problemas. En este trabajo los autores pretendemos
mostrar lo logrado con la integración de dos ideas didácticas: aprendizaje basado en
proyectos (ABP) y actividades reveladoras del pensamiento (MEA, por sus siglas en
inglés) a nivel superior.
¿Por qué incluir como estrategia el aprendizaje basado en proyectos en la estadística? Como lo señalan Anderson y Loynes (1987), la estadística no debe estar
separada de sus aplicaciones, ni de su finalidad que es generar respuestas a problemas externos a la estadística. De igual manera hay una diferencia entre tener cierto
conocimiento y ser capaz de aplicarlo. En la mayor parte de los cursos en donde no
hay la vinculación entre la teoría y el mundo real, el aprendizaje de la teoría estadística queda en un nivel de solo operatividad; es muy común la dificultad que presentan los estudiantes cuando se les deja que por sí solos decidan cómo utilizar los
conceptos estadísticos, pues los libros, como lo afirman Batanero, Díaz, Contreras y
Arteaga (2011), solo suelen concentrarse en los conocimientos técnicos.
El enfoque basado en proyectos para el aprendizaje de la estadística es un recurso
recomendado por diversidad de investigadores (Anderson y Sungur, 1999, Batanero,
y Díaz 2010, Kvam, 2000, Startking, 1997), por ofrecer más ventajas que desventajas.
El utilizar un aprendizaje con base en proyectos obliga a los estudiantes a plantearse
preguntas como (Graham, 1987): ¿cuál es mi problema? ¿Necesito datos? ¿Cuáles?
¿Cómo puedo obtenerlos? ¿Qué significa este resultado en la práctica?
Así las ventajas de usar ABP como una estrategia por considerar por parte del
docente, de manera no extensa son, de acuerdo con diversos autores (Batanero y
Díaz, 2011, Ojeda, Caballero, Morales y Galeana, 2012, Godino, Arteaga, Estepa,
Rivas, 2013):
• El estudiante es protagonista de su aprendizaje.
• El rol del docente es apoyar, recomendar, analizar y dar seguimiento al trabajo
por realizar.
– 79
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
• Permite contextualizar la estadística y hacerla más relevante.
• Promueve una mayor participación si el alumno elige el tema por investigar, aunque debe ser orientado por el profesor acerca de su viabilidad.
• Se aprende a identificar y comprender características de los datos reales (variabilidad, precisión, fiabilidad, posibilidad de medición y sesgo).
• Desarrolla y promueve empatía entre los participantes.
• Desarrolla relaciones de trabajo con personas de diversa índole.
• Promueve el trabajo disciplinar.
• Promueve la capacidad de investigación tanto grupal como individual.
• Provee una herramienta y una metodología para aprender cosas nuevas de manera eficaz.
• Promueve la capacidad de expresión oral y escrita.
• Promueve la incorporación de las TIC.
¿Por qué incluir como estrategia actividades reveladoras del pensamiento en la
enseñanza de la estadística? Las actividades reveladoras del pensamiento permiten
al estudiante, como dicen Chamberlain y Moon (2005), construir el conocimiento,
generando una comprensión en el desarrollo propio de la actividad, al tratar de
resolver la problemática planteada que inicia con la pregunta detonadora, la cual
presenta al equipo de trabajo un contexto y un dilema por resolver, el cual puede ser
resuelto desde diversos enfoques, siendo esto la parte muy enriquecedora de este
tipo de actividades, justo es ahí donde, como su nombre lo establece, revelan, o más
bien los autores proponemos que el término correcto sería que potencializa el pensamiento, ya que el estudiante hace una conexión entre sus conocimientos previos
con los actuales para tratar de establecer el proceso de solución, lo cual provoca,
como establecen Lesh et al. (2000) “extender el razonamiento”. En esta modelación el acompañamiento docente es vital debido a que debe conocerse de manera
cercana cómo van avanzando los equipos, este tipo de actividades requieren un
seguimiento continuo en el cual se establezcan una serie de preguntas por parte del
docente mediante las cuales se ayude a los integrantes a construir el conocimiento
y a encontrar la pregunta de investigación estadística idónea para comenzar con
el procedimiento de solución y fundamentación más adecuado para el problema
presentado.
Como resultado de todo el trabajo una MEA requiere para su contestación al dilema propuesto, una redacción en forma de informe de investigación, el cual exi– 80
II. Ponencias
ge en el estudiante un tratamiento matemático y una investigación profunda, para
poder realizar la redacción fundamentada e interpretación del resultado obtenido
estableciendo con esto una propuesta de solución, con lo que se logra una mayor
construcción del conocimiento ya que no solo desarrolló un procedimiento estadístico para encontrar un valor numérico sino que aplicará ese número para proponer
la solución al dilema presentado.
Característica importante de una MEA es que no tiene un solo resultado numérico, ya que al requerir una propuesta de solución, esta puede darse por diversos
enfoques; es ahí donde se realiza la metacognición por parte de los estudiantes.
En el diseño de las MEA deben cumplirse, como proponen Lesh et al. (2000),
seis principios básicos: “realidad, construcción de modelo, documentación, autoevaluación, reutilización y prototipo eficaz”; para este fin es muy importante el uso
de instrumentos de evaluación adecuados. Si bien una MEA no tiene un resultado
numérico único, es importante que el docente delimite el trabajo del estudiante
para que él sepa qué se espera de él, qué aprendizajes debe aplicar y cómo debe ir
desarrollándolos para terminar con el escrito del informe final, el contenido del cual
también debe quedar perfectamente bien delimitado en la rúbrica.
Metodología de trabajo
A continuación se describe la manera en que se planificó la propuesta de aprendizaje
basada en proyectos, reforzada con una actividad reveladora del pensamiento en
los cursos que impartimos a nivel superior. Las instituciones involucradas fueron la
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (BUAP) en un curso de estadística, la
Universidad Politécnica de Amozoc (UPAM) en un curso de probabilidad y estadística, y la Universidad Tecnológica de Puebla (UTP) en un curso de control estadístico
de procesos.
El objetivo principal era probar que el estudio descriptivo-cualitativo-inferencial
aplicado a 150 estudiantes demuestra la utilidad de integrar ambas ideas didácticas,
ABP y MEA, en la enseñanza y aprendizaje de la estadística a nivel superior.
Propuesta de trabajo para el primer proyecto
Se tomó la decisión de iniciar el curso escolar proponiendo un primer proyecto que
permitiera trabajar los conceptos estadísticos básicos (población, muestra, variables
estadísticas, datos, etc.), así como medidas centrales y de dispersión, y estadística
– 81
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
descriptiva con el propósito de servir para dar respuesta a la pregunta de investigación estadística que se establezca. También se tomó en cuenta que no requiriera más
de un mes de trabajo para presentar el proyecto completo. Para después proponer
el segundo proyecto de investigación que se haría durante el transcurso del resto
del curso para presentarlo como proyecto final (esto solo se realizó en el curso de la
BUAP pues curricularmente se cubren conceptos más amplios de estadística). Cabe
mencionar que en la parte de evaluación del curso el cumplimiento del proyecto (o
de los dos proyectos en el caso de la BUAP) representaba 60 % de la evaluación total,
mientras que el restante 40 % quedó dividido de la siguiente manera: realización de
exposiciones individuales y grupales, 20 %; participaciones individuales y grupales
en clase, 20 %. Parte de la estrategia en la realización de los proyectos consistió en
elaborar una actividad reveladora del pensamiento para cada proyecto, la cual lograra
despertar el interés de los estudiantes en la investigación y fundamentación de sus
razonamientos.
El primer proyecto consistió en abordar el cambio de imagen institucional que se
dio en la BUAP en el año 2014; la pregunta detonadora para este primer proyecto
fue: ¿Por qué la BUAP cambió su tipografía? Esta aprovechaba una situación real,
pues en 2014 la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla cambió de imagen
institucional, esto acompañado no solo del cambio de colores y forma del escudo,
sino también con una reglamentación sobre cómo debían hacerse los escritos para
realización de los diversos trámites en las direcciones de cada una de las unidades
académicas, indicándose que debía cambiarse también el tipo de letra Arial por la
familia tipográfica Source sans pro a diversos tamaños de letra especificados en la
página de la Universidad http://cmas.siu.buap.mx/portal_pprd/wb/comunic/papeleria. Es justamente este cambio lo que da la idea a la generación de la actividad
reveladora del pensamiento, y el trabajo por desarrollar por parte del docente es entonces ir encaminando a los estudiantes a llegar a establecer las posibles respuestas
del porqué de los cambios: ¿Fue solo imagen? ¿Hubo algo más? ¿Habrá un interés
económico? ¿Qué sucede con las impresoras en las unidades académicas? ¿Se utiliza la misma cantidad de tinta para un tipo de letra que para otro? ¿Cómo determino
el uso de tinta? ¿Las letras pueden medirse? ¿Qué área cubren? ¿Hay un solo tipo
de tinta? ¿Qué tipo de tinta es mejor? ¿Qué eficiencia tienen los diferentes tipos de
tina en las diferentes marcas de impresoras? ¿Todos saben del cambio? ¿Están dispuestos los estudiantes a cambiar la presentación de sus trabajos escolares?
Las anteriores son una muestra de todas las preguntas que pueden desprenderse
de una actividad como esta, y el docente debe ir apoyando a los estudiantes para
– 82
II. Ponencias
elegir cuál enfoque analizarán y cuál será el tratamiento matemático, y especialmente estadístico, que usará el equipo para este análisis.
Propuesta de trabajo para el segundo proyecto
Como se dijo líneas atrás, este solo se desarrolló en un curso de estadística de la
BUAP por el hecho de que allí el contenido del curso permitió involucrar estadística
descriptiva e inferencial.
Aquí se planteó que se abordaran dos problemas reales propuestos en el año 2013
por la Secretaría de Educación Pública (SEP), órgano oficial del gobierno mexicano
en lo que respecta a la normatividad en la educación en México.
El primer problema se centró en la temática principal “Materiales y recursos educativos”, y la temática particular “Libros de texto gratuitos y material educativo
importante en el proceso de enseñanza”, en donde planteaba la necesidad de tener
presente que las recientes reformas curriculares en los distintos niveles de la educación
básica traen consigo la necesaria adecuación de los materiales educativos (libros de texto
y auxiliares para el maestro). Allí los productos esperados eran: Estudios de caso, longitudinales, comparativos entre el uso de alguno o algunos de los recursos en contraste con
el empleo de otros o la falta de estos; experiencias exitosas en el empleo de algún recurso,
análisis de congruencia entre los materiales que se utilizan en las escuelas con los propósitos y enfoques de los planes y programas, propuestas de nuevo material y recursos factibles
de implementarse en escuelas públicas a escala nacional. Trabajos de investigación acerca
de la importancia del material educativo en la didáctica docente.
El segundo problema se centró en el tema principal “Escuela y participación social”
y, más concreto, en la temática particular“Percepción de la comunidad acerca de los propósitos educativos y los beneficios sociales de una Escuela de Tiempo Completo”, en donde
se planteaba la necesidad de conocer las relaciones de la escuela con la comunidad, fomentar la participación social, y las resistencias de las escuelas a incorporar activamente
a los padres y otros miembros de la comunidad en las decisiones escolares. Los productos
esperados eran: Iniciativas educativas de vinculación entre la Escuela de Tiempo Completo y la comunidad, y Percepción de la comunidad acerca de los propósitos educativos y
los beneficios sociales de una Escuela de Tiempo Completo.
Esta vez, se dio la libertad de que decidieran qué problemática abordar y que ellos
crearan la pregunta detonadora del proceso de investigación.
– 83
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Preguntas de investigación
Antes de iniciar la implementación de este plan de trabajo para nuestros cursos, surgieron las siguientes preguntas de investigación:
• ¿Se alcanzará el aprendizaje deseado mediante este tipo de actividades?
• ¿Lograrán plantear su pregunta de investigación estadística como parte de la
modelación?
Después de organizarse en equipos de 3 o 4 estudiantes, procedieron a dividir
tareas, investigar y adquirir conocimiento aparte del de la estadística. En el transcurso del semestre hubo sesiones de avances dirigidos por nosotros con el fin de
asesorarles e ir haciendo valoraciones parciales.
Resultados y discusión
En el caso del uso de la actividad reveladora del pensamiento (MEA), se tomó en
cuenta en la rúbrica de evaluación los siguientes puntos:
• El contenido del reporte.
• Identificación del problema y planteamiento de solución.
• Planteamiento estadístico.
• Aplicación de la estadística.
• Fundamentación de propuestas.
• Recursos utilizados en la investigación.
• Responsabilidad en los tiempos de entrega.
• Trabajo colaborativo.
• Investigación realizada.
Obteniéndose: que para el primer proyecto, para resolver la problemática se encontró que 60 % utilizó un modelo gráfico y estadística descriptiva, 30 % utilizó la
estadística descriptiva de las encuestas aplicadas, 10 % únicamente estadística descriptiva.
Como resultado de la implementación se tiene que encontramos, como indica
Johnson-Laird (2010), que los estudiantes se dieron cuenta de las limitantes que
tienen en cuanto a su conocimiento matemático, lo que los motivó con ayuda del
docente, a investigar para obtener la solución, como Leavitt y Ahn (2010) sugieren,
una vez obtenida esta, la dificultad que tuvieron los integrantes de los equipos fue
tener que expresar el resultado obtenido redactándolo en un informe, proceso que
viene a fortalecer la metacognición.
– 84
II. Ponencias
Al evaluar los instrumentos de evaluación se apreció que entre los procesos mentales que los estudiantes llevaron a cabo están:
• Investigaron fundamentos teóricos.
• Discriminaron variables.
• Recolectaron datos.
Analizaron estadísticamente, dependiendo el nivel, en ingeniería llegaron a determinar tipos de proceso y normas de calidad, redactaron el informe correspondiente, por grupo: reunieron información y elaboraron un trabajo grupal.
Por todo lo anterior se muestra que las actividades reveladoras del pensamiento
generan:
• Transversalidad curricular.
• Aplicación de contenidos.
• Desarrollo de actitudes y valores.
En comparación con Domínguez (2009) y Aliprantis y Carmona (2003), los estudiantes revelaron un pensamiento formal intermedio ya que sus modelos matemáticos fueron predominantemente estadísticos gráficos.
Respecto al procedimiento utilizado para argumentar en el informe final se obtuvo el siguiente cumplimiento mostrado por los alumnos de la BUAP, UTP y la UPAM
en las figuras 1, 2 y 3, respectivamente.
Figura 1. Procedimiento utilizado para argumentar en el informe final en la BUAP
– 85
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Figura 2. Procedimiento utilizado para argumentar en el informe final en la UTP
Figura 3. Procedimiento utilizado para argumentar en el informe final en la UPAM
En lo que respecta al establecimiento de manera intuitiva de la pregunta de investigación por parte de los estudiantes de las tres instituciones, de manera global se
muestra en la figura 4.
Figura 4. Establecimiento de manera intuitiva de la pregunta de investigación (BUAP, UPAM, UTP)
– 86
II. Ponencias
En la figura 5 se muestra de manera global de las tres instituciones el porcentaje
de alumnos que realizaron y que no, un tratamiento estadístico en su proyecto de
investigación.
Figura 5. Realización de tratamiento estadístico en el proyecto de investigación
(BUAP, UPAM, UTP)
En lo que se refiere al segundo proyecto realizado solo en la BUAP, como se dio
la libertad de definir su propio proyecto de investigación, finalmente se lograron
11 proyectos de investigación terminados y solo un equipo no logró cumplir con la
participación de 35 estudiantes con equipos formados por 1, 2, 3 o 4 estudiantes.
Uno de los proyectos se basó en analizar una base de datos proporcionada por el
INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática), relacionada con
accidentes viales en las carreteras de México.
Podemos mencionar que aquí el reto que más se les dificultó fue elegir la temática
por investigar y definir la pregunta detonadora que se tradujo en la pregunta de
investigación estadística, que se debió a la falta de experiencia en abordar problemas reales, por lo que se tuvo que trabajar de manera más cercana con varios de los
equipos fuera de clase. Prácticamente la mayoría utilizó como estadístico la media
muestral ; en algunos casos crearon un intervalo de confianza y en otros hicieron
una prueba de h i p ó tesis, con l o cual s e l o gró el aprendizaje d eseado. E l i n f o rme f i n al s e s o l icitó q u e s e entregara como si fuera un trabajo para presentarse
como ponencia, siguiendo lineamientos similares a los que se exigen en eventos de
tipo académico (congreso, coloquio, foro, etc.)
– 87
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Conclusiones
Podemos concluir que aunque con anterioridad ya se ha trabajado en los cursos de
estadística en tres ocasiones con la propuesta ABP, en esta ocasión se integró el uso
de las MEA, y los resultados han sido más favorables que en los cursos anteriores. Lo
que nos ha motivado a volver a repetir la experiencia en el próximo ciclo escolar con
una planificación mejorada, esperando que los resultados sean cada vez más favorables en el aprendizaje de la estadística por parte de los estudiantes.
En los cursos de matemáticas, específicamente de estadística, es importante plantear actividades que promuevan el desarrollo del pensamiento matemático mediante
el cual el estudiante tiene la necesidad de ordenar y analizar situaciones identificando contextos (Cantoral y Montiel, 2001). Por lo que para nosotros será importante
continuar con este tipo de actividades en nuestros cursos de estadística, ya que los
alumnos se volvieron muy participativos y se vieron en la necesidad de desarrollar
el pensamiento estadístico para poder realizar su proyecto de investigación.
– 88
II. Ponencias
Referencias
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– 91
DESEMPEÑO DE ESTUDIANTES
DE SECUNDARIA EN EL USO Y
MANEJO DE FRACCIONES CON SUS
DIFERENTES REPRESENTACIONES
Lidia Aurora Hernández Rebollar
lhernan@fcfm.buap.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Puebla, México
María Araceli Juárez Ramírez
arjuarez@fcfm.buap.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Puebla, México
María Eugenia Martínez Merino
maruca_621115@hotmail.com
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Puebla, México
Resumen
El propósito de este estudio fue averiguar el tratamiento que
le dan algunos alumnos de secundaria a la representación de
los números fraccionarios en sus diferentes registros: como cociente, como decimal, como un punto en la recta real, etc. El
concepto de fracción según Fandiño (2009) tiene diferentes interpretaciones y, por consiguiente, el alumno presenta dificultades en su comprensión y aprendizaje. En el estudio participaron
33 alumnos de primero de secundaria de medio rural. Los resultados muestran que los alumnos, al utilizar y operar las fracciones, carecen de una relación entre conocimientos previos,
representación y contenido del problema, de acuerdo con lo
planteado por Diezmann (2000). Esto sugiere una problemática
en la comprensión y uso de los números fraccionarios reportada
– 93
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
ya en varias investigaciones. La diferencia de este trabajo con otros ya publicados es
que aquí nos concentramos en el manejo de las diferentes representaciones como un
indicador de aprendizaje profundo del tema.
Palabras clave: número decimal, número fraccionario, representaciones.
Abstract
This research purpose is to find out how some secondary school students represent
fractional numbers like ratio, decimal, a point over the axis, etc. According to Fandiño
(2009) the concept of fractional number has several interpretations, then, the student
has several difficulties to understand and learn such a number concept. The sample
population is composed of 33 students, first year of secondary school, all from the
countryside. The results show, according to Diezman (2000), that the students lack
from previous knowledge and contents of the problem in terms of how to use and
operate fractional numbers. This suggests a problem in terms of the understanding
and use of the fractional numbers, which has being widely reported in the literature.
Here, the different student representations is used as a deep learning indicator in the
fractional numbers subject.
Keywords: Decimal number, fractional number, representations.
Introducción
El presente trabajo es la parte inicial de un modelo de intervención para trabajar con
jóvenes de secundaria el tema de fracciones. Es sabido que muchos alumnos evitan
trabajar con fracciones y que este se vuelve un problema mayor cuando se relaciona
con el álgebra. Aunque su estudio inicia en los primeros años de la primaria y se revisa continuamente, los estudiantes de educación media presentan serias deficiencias.
Estas dificultades provocan en estos alumnos desagrado por su estudio, dificultades
de aprendizaje en pre- álgebra y una insistente necesidad de transformar las fracciones en otra representación con el fin de “librarse” de ellas. Diversos investigadores
han abordado esta problemática buscando los factores que influyen en su dificultad y
haciendo sugerencias para su enseñanza. Kieren (1976) y Fandiño (2009), por ejemplo, han revelado que uno de los principales factores que contribuyen a esta complejidad es el hecho de que las fracciones comprenden una noción multifacética debido
a que tiene diversos significados (parte-todo, cociente, razón, operador, medida…) y
que estos están interrelacionados.
– 94
II. Ponencias
Estos mismos investigadores y otros han argumentado que para entender las
ideas de número racional, uno debe adquirir experiencia con sus múltiples interpretaciones. Además de los diferentes usos y significados se debe considerar que
una fracción es en realidad un representante de un número racional, el cual posee
otros representantes. La fracción ½ y el número decimal 0.5 son representantes
del número racional que se encuentra justo a la mitad de 0 y 1 en la recta real, por
dar un ejemplo. Para afirmar que alguien ha comprendido un concepto es necesario que sea capaz de manipularlo con sus diferentes representaciones y que pueda
transformarlo de un sistema de representación a otro y viceversa (D’Amore, 2005).
Es por esto por lo que en este trabajo nos propusimos explorar el desempeño de
estudiantes de secundaria en el manejo de las diferentes representaciones de las
fracciones: la conversión de decimal a fracción y viceversa, la ubicación de fracciones
en la recta y la resolución de problemas que involucren diferentes representaciones.
En las secciones que siguen se presenta la revisión bibliográfica que sustenta esta
investigación, el método, los resultados obtenidos en un test y las conclusiones.
Revisión bibliográfica
De acuerdo con Fandiño (2009), desde hace más de 35 años algunos autores evidencian que detrás del término fracción se esconden varias acepciones y esto genera confusión. La noción de fracción que nos enseñan en la primaria la arrastramos por años
y en estudios posteriores no tiene la fuerza para satisfacer todos los significados que
el término asumirá en los cursos de estudio superior. Generalmente, al inicio cognitivo sobre las fracciones se propone la siguiente “definición: se tiene una unidad-todo
y se divide en partes iguales, cada una de estas partes es una unidad fraccionaria”.
Dado que dicha “definición” inicial es fácilmente comprensible, entra de inmediato
en el cognitivo más profundo, produce (demasiado pronto) un modelo, y después no
se tiene la oportunidad, ni la fuerza, ni el valor para modificarla, para adecuarla a las
distintas necesidades que poco a poco se presentan.
Fandiño menciona 12 posibles significados que la palabra “fracción” puede asumir en matemáticas y, por tanto, en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Estos
significados aquí presentados constituyeron el punto de partida para muchas de
las reflexiones didácticas. La lista que hace Fandiño no sigue un orden particular y
aborda la literatura a partir de los años setentas y ochentas. Algunas de las interpretaciones que se utilizan en secundaria es la de fracción como parte de una unidad-todo y hay una gran diferencia si el todo está constituido por algo discreto o por
– 95
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
algo continuo. Si la unidad-todo es continua, no hay problema en la interpretación,
pero si la unidad-todo es discreta, existen algunas fracciones que tienen un sentido
concreto y otras que no lo tienen; por ejemplo, no se pueden tomar los 3/5 de 12
personas. Si queremos hallar los 6/8 de 12 personas, esto no se puede hacer debido
a la imposibilidad de dividir 12 personas en 8 partes en tamaño, pero la fracción 6/8
se puede escribir en su forma equivalente como 3/4, haciendo posible hallar los 6/8
de 12. Esta idea da por hecho un argumento que está en proceso de construcción; el
maestro cree poder basar un conocimiento sobre el otro mientras el estudiante está
construyendo los dos conocimientos simultáneamente, y esta sobreposición crea
muchos problemas. Otra interpretación es la fracción vista como cociente; bajo los
términos de parte-todo, dada la unidad a/b, se divide en b partes iguales y se toman
a; si la unidad es continua no hay mucho problema, pero si es discreta puede ocasionar problemas de compatibilidad entre “b” y “c”, si (a/b) = c. La fracción a/b como
una división no necesariamente efectuada sino simplemente indicada: a÷b no es
interpretada como parte/todo, sino como: tenemos “a” objetos y los dividimos en “b”
partes, lo que provoca otra confusión. Con mucha frecuencia la fracción también se
considera como un operador multiplicativo; es más, este es uno de sus significados
más usados en la escuela.
La fracción como operador actúa sobre los números puros más que sobre los conjuntos o sobre los objetos; es, de hecho, una nueva operación que combina división
y multiplicación. A veces se presentan situaciones complicadas: «Hallar los 4/5 de
un conjunto de 22 peras» quedaría (22÷5) × 4, pero ello presenta un problema de
intuición, dado que 22 no es divisible por 5. Una vez que se pierde el aspecto intuitivo, nada evita, entonces, que se opere intercambiando entre las dos operaciones:
(4 × 22) ÷ 5. Tal situación es permitida y produce el mismo resultado numérico, pero
además muestra que la fracción como operador no es la fracción como la entendimos al inicio. La relación parte/todo se perdió, por lo que resulta evidente que la
definición inicial no es coherente con la interpretación de fracción como operador.
Por su parte, Diezmann (2000) afirma que “dibujar un diagrama” se propone
como una estrategia útil en las escuelas para resolver problemas (también la NCTM
propone la elaboración de diagramas como herramienta eficaz), pero generar un
diagrama apropiado es problemático para muchos estudiantes porque no hay una
decodificación lingüística ni una codificación visual. Esto genera representaciones
incorrectas de las fracciones, propiciando generación de conocimiento erróneo o
confuso basado en repetición y memorización de algoritmos. Aunado a lo anterior,
se presenta la problemática de que se hace un uso excesivo de sinónimos entre
– 96
II. Ponencias
dibujo, esquema, diagrama, imagen, etc., y el docente no orienta al alumno en la
elaboración de diagramas exitosos como una herramienta que le permita llegar a un
conocimiento significativo, es decir, el estudiante no elabora “buenos diagramas”.
Este factor también influye en la representación de las fracciones y como consecuencia, en su aprendizaje.
Para Duval (1995), lo importante de una representación es su propiedad de transformación. En matemáticas los signos no son prioritarios para presentar objetos
sino para sustituirlos por otros como, por ejemplo, en el cálculo. Además, esta
transformación depende del sistema semiótico de representación dentro de las
representaciones que se producen. La actividad matemática requiere que aunque
los individuos empleen diversos sistemas de representación semiótica (registros de
representación), solo elijan una según el propósito de la actividad. En otras palabras, la actividad matemática requiere una coordinación interna, que ha de ser
construida, entre los diversos sistemas de representación que pueden ser elegidos y
usados; sin esta coordinación dos representaciones diferentes significarán dos objetos diferentes, sin ninguna relación entre ambos, incluso si son dos “contextos de
representación” diferentes del mismo objeto.
Estas son las dos caras de la actividad matemática, que no se pueden considerar separadamente una de la otra, sobre todo para comprender los problemas de
aprendizaje, y que proporcionan la idea clave para analizar los procesos cognitivos
involucrados en el pensamiento matemático.
Duval (1995) distingue dos clases de transformaciones de representaciones semióticas: la conversión y el tratamiento, los cuales también serán de interés para el
análisis de los datos; en la conversión cambia el sistema semiótico, es decir, cambia
el registro usado sin cambiar los objetos indicados. En el tratamiento se mantiene el
mismo sistema semiótico pero puede ser expresado de diferente forma.
La adquisición conceptual de un objeto matemático se basa en dos de sus características fuertes: 1) el uso de más registros de representación semiótica es típica
del pensamiento humano, 2) la creación y el desarrollo de sistemas semióticos
nuevos es símbolo (histórico) de progreso del conocimiento. Estas consideraciones muestran la interdependencia estrecha entre noética y semiótica, como se
pasa de una a otra: por lo que no solo no existe noética sin semiótica, sino que la
semiótica se adopta como característica necesaria para garantizar el primer paso
hacia la noética. Por lo tanto, la construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad de usar más registros de representaciones
semióticas de esos conceptos (Duval, 1993).
– 97
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Metodología
Muestra
En el estudio participaron 33 alumnos de primer grado de telesecundaria de medio
rural, de los cuales 18 son de sexo femenino y 15 de sexo masculino. La comunidad
es cabecera municipal del estado de Puebla y la escuela se encuentra en el centro
de la comunidad. Los alumnos provienen de dos primarias de la misma comunidad
y de una primaria de la comunidad de Palmarito, la cual se encuentra aproximadamente a 15 minutos de la cabecera municipal. Todos los alumnos están inscritos por
primera vez en primer grado y fueron escogidos por su disposición de tiempo para
responder el test. Dos alumnos de la muestra presentan dificultades de aprendizaje
(en razonamiento matemático, escritura y en ocasiones al comunicarse); con ellos
las estrategias de aprendizaje han tenido que ser diferentes en comparación con las
del grupo, pero siempre incluyéndolos en el trabajo. El tema de conversión de decimal a fracción y de fracción a decimal fue abordado a inicios del mes de noviembre
(véase el libro Matemáticas 1°, bloque II de Telesecundaria 2006), y se hizo un repaso
cuatro días antes del examen sin mencionar a los alumnos que serían evaluados
sobre este tema.
Instrumento
La evaluación se presentó a los alumnos como una actividad individual (no se les
mencionó que serían evaluados), se plantearon cinco números fraccionarios para
convertirlos a números decimales, estos números fraccionarios debían representarlos en una recta numérica, la cual solo se presentó como una línea, los estudiantes
debían poner el cero y las marcas necesarias para su localización. Posteriormente se
propusieron cinco números decimales para convertirlos a fracción, los decimales propuestos fueron finitos. De esta forma, se evaluó parcialmente el manejo de tres de las
diferentes representaciones de los números fraccionarios. El diseño del instrumento
fue lo más sencillo posible, para evitar confusiones en la comprensión de los textos
y por el nivel académico de los estudiantes. A continuación se presenta el tipo de
reactivos que recibieron los estudiantes.
Realiza las conversiones de fracción a decimal, coloca las operaciones en la parte
derecha de la hoja y representa el resultado con tres decimales, después localiza las
fracciones en la recta numérica.
– 98
II. Ponencias
=
=
=
Representa los siguientes números decimales en fracciones.
0.32 =
0.003 =
0.101 =
Resultados y discusión
Una vez evaluados los trabajos se categorizaron las respuestas. El error más común
que se encontró fue que hicieron operaciones carentes de sentido, pero, ¿qué argumentos los llevaron a efectuar esas operaciones? Las categorías nos permitirán
hacer algunas interpretaciones. Para presentar los resultados se elaboraron tablas de
frecuencias y porcentajes de respuestas correctas y de errores más frecuentes.
A continuación se presentan las tablas y evidencias de respuestas con algún error
frecuente. El orden de presentación es el siguiente: conversión de fracción a decimal,
conversión de decimal a fracción y localización de fracciones en la recta numérica.
Conversión de fracción a decimal
En primer lugar se presenta la tabla 1 con la cantidad de respuestas correctas obtenidas en el ítem uno.
En ella se observa que el mayor porcentaje se encuentra en cero respuestas correctas.
Tabla 1. Frecuencias y porcentajes de alumnos que respondieron correctamente
en la conversión fracción a decimal
Ponderación
Frecuencia rel.
Porcentaje
5 respuestas
4 respuestas
3 respuestas
2 respuestas
1 respuesta
0 respuestas
correctas
correctas
correctas
correctas
correcta
correctas
6/33
3/33
4/33
0
3/33
17/33
18,18 %
9,09 %
12,12 %
0 %
9,09 %
51,51 %
Aunque se tienen 17 estudiantes con cero respuestas correctas, fue difícil clasificar
sus errores debido a que dieron respuestas sin mostrar sus operaciones. Los errores
observados con mayor frecuencia son los siguientes:
– 99
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
a. Al hacer la conversión el estudiante coloca el denominador de la fracción como
dividendo, se observa que intentó realizar el algoritmo aprendido en la escuela
pero perdió coherencia y sentido del problema.
b. Realiza operaciones que no corresponden a la consigna. La mayoría de los alumnos buscan operar con los números aunque sea de manera incorrecta, el alumno
se manifiesta a través de los códigos convencionales que se le propusieron solo
con el fin de lograr afinidad o aceptación.
c. Da el resultado sin operaciones.
En la tabla 2 se presentan la frecuencia relativa y el porcentaje de las respuestas
dadas por algunos alumnos cuando se les entrevistó.
Tabla 2. Frecuencias y porcentajes de alumnos con errores más frecuentes
en la conversión de número fraccionario a decimal
Dice que una
Al dividir
Ponderación
coloca el
denominador
como
fracción son dos
No tiene idea
números y no
de que hacer
sabe qué hacer
con ellos
dividendo
Dice que se
multiplica numerador por
denominador,
tiene nervios
No sabía que
Se le
una fracción
representa
olvidó
pero ya
repartición
recordó
Frecuencia rel.
3/33
2/33
1/33
1/33
1/33
1/33
Porcentaje
9,09 %
6,06 %
3,03 %
3,03 %
3,03 %
3,03 %
El 18,18 % de los alumnos realizó la actividad 1 correctamente. Sin embargo, la
mayoría de ellos relacionaron la conversión de números con alguna de las operaciones básicas (+, -, x), es decir, operaron numerador con denominador con alguna de
estas operaciones básicas. Para convertir el número fraccionario a decimal (al hacer
la división) invirtieron los lugares del dividendo y divisor. Se observa que los datos
obtenidos se comportan de acuerdo con una de las interpretaciones de Fandiño en
donde la fracción a/b como cociente significa tener a objetos y dividirlo en b partes,
que es una idea muy diferente a la de parte - todo que se enseña en la primaria (la
unidad se divide en b partes y se toman a); esta división no efectuada (propuesta)
y la división efectuada (realizada por el alumno) tienen diferentes roles, por lo que
provoca confusión al alumno. Por otro lado, de acuerdo con Duval (1995), al situar
el denominador como dividendo faltó en los alumnos coordinación interna entre
los diversos sistemas de representación que pueden ser elegidos y usados, es decir,
– 100
II. Ponencias
en la fase de conversión al pasar de una representación semiótica a otra cambiaron
los objetos. Ver la figura 1.
Figura 1. Evidencia de conversión de número fraccionario a número decimal
Conversión de decimal a fracción
En el ítem 2 también se presentaron cinco números decimales que debían ser transformados en números fraccionarios. La frecuencia y el porcentaje para la cantidad
de respuestas correctas a este ítem se muestran en la tabla 3. En este ítem se tiene
un porcentaje mayor de estudiantes con cero respuestas correctas que en el ítem
anterior.
Tabla 3. Frecuencias y porcentajes de alumnos que respondieron correctamente
en la conversión decimal a fracción
5 respuestas
4 respuestas
3 respuestas
2 respuestas
1 respuesta
0 respuestas
correctas
correctas
correctas
correctas
correcta
correctas
Frecuencia rel.
3/33
1/33
1/33
3/33
2/33
23/33
Porcentaje
9,09 %
3,03 %
3,03 %
9,09 %
6,06 %
69,69 %
ponderación
En la tabla 4 se muestran las explicaciones que dieron algunos estudiantes cuando
se les cuestionó sobre sus respuestas al ítem 2.
– 101
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Tabla 4. Frecuencias y porcentajes de alumnos con errores más frecuentes
en la conversión de número decimal a fraccionario
No toma en cuenta
Ponderación
Frecuencia rel.
Porcentaje
el valor posicional de
los decimales
Separa los
números decimales
para
No tiene idea de
Le dio pereza
qué hacer
contestar
formar la fracción
5/33
4/33
8/33
1/33
15,15 %
12,12 %
24,24 %
3,03 %
Análogamente a lo observado en el ítem 1, los errores presentados fueron difíciles
de clasificar debido a la cantidad de respuestas que no muestran las operaciones.
Sin embargo, las que se encontraron con mayor frecuencia fueron:
a. Separa los números decimales para formar la fracción, es decir, algunos dígitos
del decimal los pone como numerador y el resto como denominador.
b. No toma en cuenta el valor posicional de cada dígito del decimal.
c. Da resultados erróneos sin operaciones.
Solo 9,09 % de los alumnos contestó correctamente todos los incisos, es decir, la
mitad del porcentaje correspondiente en el ítem 1. Nuevamente los datos concuerdan con los comportamientos mencionados por Fandiño, la fracción y su equivalente en decimal producen efectos operatorios diferentes, por esta razón no toma
en cuenta el valor posicional para convertir el número decimal a fracción decimal.
También en este ítem hay una conversión de registros semióticos, por lo que se
infiere que los alumnos presentan dificultad de interpretación, decodificación y codificación de la información coincidiendo con Duval y Diezmann. Ver la figura 2.
Figura 2. Evidencia de conversión de número decimal a número fraccionario
– 102
II. Ponencias
Localización de fracciones sobre la recta numérica
En el ítem 1 se pidió a los estudiantes representar los números fraccionarios en la
recta numérica. En la tabla 5 se muestran los porcentajes para la cantidad de respuestas correctas a este ítem. Nuevamente, el mayor porcentaje se obtuvo en cero
respuestas correctas e incluso este es el mayor de todos los ítems en esta categoría.
Tabla 5. Frecuencias y porcentajes de alumnos que ordenaron correctamente
las fracciones en la recta numérica
ponderación
Frecuencia rel.
Porcentaje
5 respuestas
4 respuestas
3 respuestas 2 respuestas
1 respuesta
0 respuestas
correctas
correctas
correctas
correcta
correctas
5/33
2/33
0
1/33
0
25/33
15,15 %
6,06 %
0 %
3,03 %
0 %
75,75 %
correctas
Es alarmante que 75,75 % de grupo no ordenó correctamente ninguna de las fracciones dadas, en la recta numérica. Apoyados en Diezmann se observa que no hay
una relación de conocimientos previos, diagrama y contenido del problema. La mayoría de los alumnos no reconocen los diagramas como una herramienta eficaz en
la resolución de problemas debido a que no hay una decodificación correcta de
la información lingüística; como consecuencia, no hay una correcta codificación
visual en el diagrama, por lo que representa cantidades incorrectas al hacer las conversiones. Se aprecia una ubicación inadecuada de los números, la mayoría no marca
el origen en la recta numérica como referente para señalar marcas que le ayuden a
ubicar las fracciones, es decir, pone marcas de manera arbitraria para representar los
números racionales en la recta numérica. En los trabajos se observa una carencia
en la relación ubicación-medición; algunos alumnos limitaron el espacio de las
marcas en la recta numérica, por lo que el espacio reducido impidió distinguir la
información relevante.
Se observa una carencia en la codificación selectiva de la información que se representa en la recta numérica por parte de algunos estudiantes, porque son inútiles
las representaciones gráficas para resolver problemas ya que la información relevante del problema no está incluida. Se infiere que el alumno presenta dificultades
para el manejo de las escalas en los diagramas debido al inadecuado manejo de
espacios y marcas precisas. De acuerdo con Fandiño, al ubicar las fracciones en la
recta se indica una distancia entre el origen y el punto fracción, pero de acuerdo con
– 103
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Duval se está cambiando la representación de un campo semiótico a otro, por lo
que los alumnos presentaron dificultad en la conversión de los campos semióticos.
Ver la figura 3.
Figura 3. Evidencia de ubicación arbitraria de números fraccionarios en la recta numérica
Conclusiones
En este trabajo se pudo observar que los estudiantes de la muestra presentan una
considerable dificultad en la conversión de números fraccionarios a decimales y viceversa, así como en la localización de fracciones en la recta. Al convertir números
fraccionarios a decimal, menos de 50 % responde correctamente entre una y cinco
preguntas. Hay una marcada diferencia con la conversión de números decimales a
fracción, ya que aproximadamente 30 % responde correctamente entre una y cinco preguntas. Esto nos conduce a pensar que los alumnos de la muestra presentan
mayor dificultad para identificar y operar el valor posicional de los números, que
para identificar los elementos de una división representada y dar significado a esos
elementos para después operarlos. Al localizar las fracciones en la recta, aproximadamente 25 % de la muestra responde correctamente entre una y cinco preguntas,
lo que refleja que se dificulta en mayor medida la decodificación de información
para cambiar de registro y representar una codificación visual de los mismos actores;
en esta representación visual intervienen más nociones matemáticas como medida,
escalas, orden de fracciones, número, entre otras. Con base en lo anterior se puede
decir que, a mayor número de nociones involucradas, mayor dificultad existe para
transformar y convertir.
Las primeras interpretaciones de fracción recibidas en los primeros años de vida
escolar determinan de manera considerable su uso y su manipulación. Como en
la etapa escolar de primaria se abordan de manera limitada, resulta complejo el
estudio de estos números para los estudiantes de secundaria porque tienen que
– 104
II. Ponencias
relacionar y combinar todas sus representaciones. Lo anterior provoca dificultades
de aprendizaje y esto se refleja aún más alarmante en bachillerato o licenciatura.
Es necesario que el alumno experimente todas las representaciones semióticas
posibles ya que la construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad de usar más registros de representaciones semióticas de esos
conceptos, como apunta D’Amore (2005).
Con base en lo señalado anteriormente, se sugiere redirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje hacia el manejo eficiente de las fracciones en sus diferentes representaciones. Como trabajo próximo queda el diseño de una secuencia didáctica y
la aplicación de un post-test para medir el impacto de dicha secuencia didáctica en
el aprendizaje del tema por parte de los estudiantes.
– 105
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
Diezmann, C. (2000). The difficulties students experience in generating diagrams for novel
problems. Proceedings 25th Annual Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education.
D’Amore, B. (2005). Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y conceptuales de la Didáctica
de las Matemáticas. México: Ed. Reverté, S.A..
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61: 103–131, Springer.
Fandiño, M. (2009). Las fracciones: aspectos conceptuales y didácticos. Colombia: Ed. Magisterio.
Kieren, T. E. (1976). On the mathematical, cognitive and instructional foundations of
rational numbers. In: R. A. Lesh & D. A. Bradbard (Eds.), Number and measurement:
Papers from a research workshop. Columbus, OH: ERIC Information Analysis Center
for Science, Mathematics and Environmental Education (pp. 101-144).
– 106
LA COMPRENSIÓN QUE TIENEN LOS
ALUMNOS REFERIDA A NÚMEROS
RACIONALES, COMO OBJETO
MATEMÁTICO, AL TERMINAR LA
ESCUELA SECUNDARIA
Marta Graciela Nardoni
mgnardoni@arnet.com.ar
Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe, Argentina
Marcel David Pochulu
marcelpochulu@hotmail.com
Universidad Nacional de Villa María. Córdoba, Argentina
Resumen
El trabajo tuvo por finalidad valorar la comprensión que alcanzan los estudiantes al finalizar la escuela secundaria, sobre
un tema de matemáticas en particular:“los números racionales
como objeto matemático”.
Como marco teórico y metodológico se utilizaron herramientas del enfoque ontosemiótico del conocimiento e instrucción matemática.
Como contexto de investigación, se hizo una valoración de
la comprensión que tienen los estudiantes ingresantes a la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional del
Litoral y estudiantes ingresantes a carreras de profesorados.
Para el estudio, se diseñó e implementó un instrumento que
pone en juego la red de relaciones que activa un individuo
cuando ha comprendido el objeto matemático en cuestión y
que se manifiesta a través de las prácticas operativas y discursivas que lleva a cabo. El instrumento se diseñó teniendo en
– 107
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
cuenta el análisis didáctico realizado, sobre las tareas y actividades que proponen
ocho libros escolares de matemáticas.
La valoración efectuada nos llevó a determinar que si bien cada estudiante no
domina la totalidad del sistema de prácticas relacionadas con los números racionales, dispone de una red de significados que es relevante para organizar procesos de
enseñanza y aprendizaje cuidadosamente planificados, lo que contribuiría a mejorar
la comprensión global que se puede alcanzar para este objeto matemático en particular.
Palabras clave: comprensión en matemáticas, enfoque ontosemiótico, números
racionales.
Abstract
The research work pursued the objective of evaluating the comprehension reached
by students about rational numbers, as a mathematical object, when learners finish High School. As theoretical and methodological frameworks the Ontosemiotic
Approach of knowledge and mathematic instruction was followed.
As a research context, an assessment of understanding with incoming students
at the Faculty of Economics of the Universidad Nacional del Litoral and racing entrants to students it was held professorships.
For the study, we designed and implemented a tool that brings into play the relationship network that activates when an individual has understood the mathematical object in question and that is manifested through the operative and discursive
practices carried out. The instrument was designed taking into account the didactic
analysis on tasks and activities proposed in eight math textbooks.
The assessment carried out led us to determine that while each student has not
mastered the whole system of rational numbers related practices, has a network
of meanings that is relevant to organize teaching and learning carefully planned,
contributing to improve overall understanding that can be achieved for this mathematical object in particular.
Keywords: Understanding mathematics, ontosemiotic focus, rational numbers.
– 108
II. Ponencias
Introducción
La educación sigue siendo para las sociedades una de las cuestiones más importantes para generar igualdad social, impulsar el desarrollo económico, cultural, personal,
y mejorar la calidad de vida.
Sin embargo, a pesar de todas las políticas educativas aplicadas y los cambios
tecnológicos implementados, en la escuela secundaria es recurrente la problemática
acerca del aprendizaje de las matemáticas. También en los primeros años de la universidad sigue presentando dificultades y suele ser catalogada por los estudiantes
como la asignatura más difícil de aprobar.
En este sentido, diversos estudios e investigaciones, como los de Figueras (1988),
Ávila y Mancera (1989), Duval (1999), Chamorro (2003), D’amore (2005), Pochulu
(2005), Sanchez (2006), Abrate, Pochulu y Vargas (2007), Perera y Valdemoros (2007),
Fandiño (2009), entre otros, muestran que los estudiantes no están logrando una
formación matemática adecuada y tienen dificultades en la comprensión de los números racionales.
La noción de comprensión, que tiene múltiples acepciones, se vincula con posiciones de investigadores en educación matemática como Godino (2000 y 2003),
Font (2001), Pino-Fan, Godino y Font (2011), Pochulu (2011) y Rodríguez, Pochulu
y Ceccarini (2011), y se entiende aquí del siguiente modo:
Comprender un objeto matemático significa haber transitado por diversas experiencias que le permitan al estudiante producir, organizar y reorganizar la red
de relaciones que se deben establecer en la resolución de una situación problemática (intra y extra-matemática) que “obliga” al funcionamiento del objeto, los
procedimientos o técnicas que se despliegan para resolverla, las definiciones,
propiedades, argumentos que validan las acciones realizadas, todas ellas soportadas y reguladas por el lenguaje simbólico, propio de la Matemática, y la lengua
natural (INFD, p. 122).
En consecuencia, si se ha comprendido un determinado objeto matemático, el
alumno debiera ser capaz de articular coherentemente seis elementos referidos al
mismo: las situaciones problemáticas en las que participa el objeto, los conceptos,
las propiedades, los procedimientos, los argumentos y el lenguaje.
– 109
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Delimitación del problema de investigación
Desde los primeros años de la educación primaria, los estudiantes trabajan con números racionales. En un primer momento con fracciones, luego decimales y razones.
Y así continúan en el nivel secundario, ampliando sus aplicaciones y significados. Sin
embargo, al terminar la escuela secundaria o ingresar a los primeros años del nivel
terciario o universitario podemos observar diferentes niveles de dificultades en la
resolución de problemas sencillos o en la realización de actividades que impliquen
operaciones con números racionales.
Numerosos estudios e investigaciones, entre ellos Perera y Valdemoros (2007) y
Fandiño (2005), reconocen los números racionales, específicamente las fracciones,
como una de las áreas que ofrecen mayores dificultades tanto para su enseñanza
como para su aprendizaje.
En general, muchas investigaciones dan cuenta de la preocupación sobre la comprensión alcanzada por los alumnos en matemáticas, como Skemp (1976), Schoenfeld (1992), Brousseau (2004), Godino y Batanero (2004), entre otros.
Además el estudio de los números racionales constituye una parte importante de
la matemática escolar, porque ello permite comprender los fenómenos del mundo
real asociados a las actividades de medir y de comparar, actividades que exigen desarrollar en los estudiantes una importante diversidad de competencias.
En virtud de esto, es evidente que hoy día en el ámbito de la educación matemática se busca, más que aplicar mecánicamente un algoritmo o procedimiento, la
comprensión de los conceptos. En general, muchas investigaciones dan cuenta de
la preocupación sobre la comprensión alcanzada por los alumnos en matemáticas,
como Skemp (1976), Schoenfeld (1992), Brousseau (2004), Godino, Batanero, Cid,
Font, Ruiz y Roa (2004), entre otros.
Todas estas investigaciones nos permitieron evidenciar un área problemática
acerca del conocimiento de los números racionales, especialmente sobre la comprensión.
La problemática acerca de la comprensión y las dificultades que tienen los estudiantes con los números racionales como objeto matemático al culminar sus
estudios secundarios e ingresar a cursar estudios terciarios o universitarios, nos
preocupa y ocupa como docentes de cátedras de matemáticas del primer año de
carreras en institutos terciarios y en carreras universitarias, pues nuestra experiencia
en la práctica docente nos permite conjeturar que esta problemática influye negati-
– 110
II. Ponencias
vamente en la comprensión de otros objetos matemáticos o actúa en algunos casos
como obstáculo para su comprensión.
Para abordar esta problemática, el propósito de este trabajo fue valorar la comprensión que tienen los estudiantes referida a los números racionales, como objeto
matemático, al finalizar la escuela secundaria que se encuentran iniciando estudios
terciarios o universitarios. Según Godino, Font, Konic y Wilhemi (2009), se entiende por objeto matemático un sistema complejo de prácticas que el mismo objeto
posibilita, las cuales se relacionan con un tipo de lenguaje, un tipo de procedimientos y técnicas, un tipo de argumentos, unas determinadas definiciones, situaciones problema y proposiciones. A su vez, todos estos elementos se articulan entre
sí constituyendo una configuración epistémica del objeto matemático en cuestión.
Tanto los sistemas de prácticas como las configuraciones se proponen como herramientas teóricas del enfoque ontológico y semiótico del conocimiento e instrucción
matemática (EOS) que propone Godino (2000, 2002, 2003) para describir los conocimientos matemáticos, en su doble versión, personal e institucional (Godino y
Batanero, 1994), y permiten analizar la comprensión que un alumno alcanza sobre
un objeto matemático.
El EOS concibe la comprensión básicamente como competencia y no tanto como
proceso mental (Godino, 2000, Font, 2001), pues sostiene que un sujeto comprende
un determinado objeto matemático cuando lo usa de manera competente en diferentes prácticas. Esto lleva a determinar si reconoce el campo de problemas en que
se involucra este objeto matemático, aplica y recuerda (implícitamente en la mayoría de los casos) los conceptos, propiedades y procedimientos que se requieren para
llevar a cabo exitosamente las tareas, y utiliza lenguaje y argumentos apropiados en
sus explicaciones.
En este marco, las preguntas que guiaron esta investigación fueron:
• ¿Qué han comprendido los alumnos sobre números racionales, como objeto matemático, al finalizar la escuela secundaria o al iniciar estudios terciarios o universitarios?
• ¿Cuáles son las principales dificultades que se les presentan a los estudiantes
cuando operan con números racionales, al finalizar la escuela secundaria o al
iniciar estudios terciarios o universitarios?
– 111
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Objetivos de la investigación
Objetivo general: valorar la comprensión que han alcanzado los estudiantes sobre números racionales como objeto matemático al finalizar la escuela secundaria e
iniciar estudios terciarios o universitarios.
Objetivos específicos:
a. Determinar un significado global o experto de referencia del objeto matemático
número racional, a través del análisis de documentos curriculares nacionales y
jurisdiccionales.
b. Realizar un análisis didáctico de las tareas y actividades que proponen los textos
escolares sobre el objeto matemático número racional.
c. Determinar los conceptos y propiedades, referidos a números racionales, que ponen en práctica los alumnos cuando resuelven problemas.
d.Especificar los procedimientos y técnicas que emplean habitualmente los alumnos en contextos de resolución de problemas con números racionales.
e. Caracterizar el tipo de argumentaciones y uso de lenguaje que emplean los alumnos cuando brindan explicaciones sobre la resolución de situaciones que involucran números racionales.
f. Evaluar la comprensión que han alcanzado los alumnos sobre números racionales y como objeto matemático, al finalizar la escuela secundaria e ingresar en un
nivel superior.
g. Detallar las dificultades que aparecen cuando los alumnos resuelven actividades
matemáticas sobre números racionales, a propósito de la comprensión alcanzada
o no, al finalizar la escuela secundaria e ingresar en un nivel superior.
Metodología de la investigación
La investigación se considera de naturaleza diagnóstico-descriptiva y cualitativa, de
corte etnográfico y hermenéutico, y fue desarrollada bajo el enfoque ontológico y
semiótico del conocimiento e instrucción matemática (EOS) que propone Godino
(2000, 2002, 2003) y Godino, Batanero y Font (2007), como línea teórica y metodológica de la didáctica de las matemáticas.
– 112
II. Ponencias
Fases de la investigación
La investigación se ha organizado en cinco fases diferenciadas que se describen a
continuación.
Primera fase: en primer lugar, se analizaron en documentos curriculares los bloques correspondientes al área matemática, y específicamente los referidos a números racionales.
Esto permitió elaborar una configuración epistémica de referencia (significado
global o experto).
Luego se analizaron las actividades que proponen los libros escolares de matemáticas, del nivel medio y superior, que son utilizados frecuentemente por los profesores o recomendados desde los organismos oficiales, centrando la atención en
aquellas en donde se abordan los números racionales como objeto de estudio. Este
análisis también permitió estructurar una configuración epistémica de referencia del
tema a partir de los textos.
Segunda fase: teniendo en cuenta la configuración epistémica de referencia elaborada en la primera fase a partir de los textos escolares, con base en el significado
global o experto de referencia de los documentos curriculares y la revisión bibliográfica llevada a cabo, se diseñó un instrumento que pone en juego la red de relaciones
que activa un individuo que ha comprendido el objeto matemático en cuestión (números racionales) y que se manifiesta a través de las prácticas operativas y discursivas que lleva a cabo. Este instrumento consta de una serie de actividades que los
alumnos debieron resolver por escrito, y una entrevista clínica semiestructurada que
se elaboró teniendo en cuenta las respuestas brindadas.
Para la elaboración de las actividades del instrumento consideramos:
• Un análisis de los contenidos tomando como referencia el significado institucional global o experto.
• Elaboración de una versión piloto del cuestionario, aplicación a una muestra,
valoración mediante juicio de expertos y revisión del instrumento.
• Elaboración de la versión definitiva del cuestionario, con actividades de los textos con alta idoneidad didáctica, con base en el significado institucional global/
experto elaborado de los documentos curriculares nacionales y jurisdiccionales y
teniendo en cuenta los seis tipos de objetos que se ponen en juego en la actividad
matemática.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Una vez puesto a prueba, con las sugerencias de los pares de expertos, se elaboró
la versión definitiva del instrumento, el cual validamos además considerando una
valoración a través de indicadores de idoneidad epistémica, cognitiva y ecológica.
Para analizar los conocimientos matemáticos implicados en las actividades del
instrumento, realizamos configuraciones epistémicas de cada actividad.
Esto nos permitió hacer otra validación para mejorar y reajustar las situaciones
propuestas para darle mayor confiabilidad y poder anticipar algunos conflictos en
las respuestas de los alumnos.
Tercera fase: se administró el instrumento diseñado en la segunda fase, en calidad de evaluación diagnóstica, a los alumnos aspirantes a ingresar durante el año
2012 a la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional del Litoral, y
en el Instituto Superior de Profesorado Nº 10 de Helvecia, en las carreras de profesorado de nivel primario y profesorado de nivel secundario en biología.
Posteriormente se seleccionaron las producciones escritas que lograron resolver
50 % o más de las consignas planteadas. Se examinaron las producciones enfocándonos en el análisis del sistema de prácticas matemáticas efectuadas por los estudiantes ante las situaciones problema planteadas, intentando establecer la relación
entre el conglomerado de prácticas que los alumnos son capaces de realizar con
este objeto matemático (números racionales) y el significado que pudieron construir
acerca de este.
Con la finalidad de efectuar un análisis profundo de la comprensión que tienen
los estudiantes sobre los números racionales, se hicieron entrevistas clínicas para
ahondar aún más en la problemática en cuestión.
Cuarta fase: teniendo en cuenta los resultados obtenidos de la fase anterior, se
armaron las configuraciones cognitivas de cada estudiante. Esto es, el modo en que
se articulan los elementos primarios recuperados en la primera fase y que se evidenciaron en las prácticas operativas y discursivas que llevó a cabo el estudiante. Esto
permitió hacer una valoración individual de la comprensión alcanzada por cada
estudiante y las dificultades que aún persisten al ingresar en el nivel superior.
Quinta fase: se hicieron comparaciones entre las configuraciones cognitivas (obtenidas de la cuarta fase) con la configuración epistémica (construida en la primera
fase) a fin de valorar la comprensión global alcanzada por los estudiantes. Estos
actos de semiosis tienen como resultado final una aproximación a la configuración
cognitiva de los alumnos, lo que permite, por un lado, construir algunas conclusiones sobre los objetos primarios y sus significados, y por el otro, valorar la comprensión que tienen sobre este objeto matemático. Esta fase permite, además, proponer
– 114
II. Ponencias
mejoras en los procesos de enseñanza y aprendizaje que se implementen sobre el
tema.
Resultados
Intentar dar respuestas a las preguntas iniciales nos llevó a estructurar una configuración epistémica de referencia a partir de un significado institucional global o
experto, elaborado a partir de los documentos curriculares que establecen los saberes
básicos de referencia, luego a partir de este significado de referencia elaboramos una
configuración epistémica de referencia a partir de las unidades didácticas sobre números racionales que proponen ocho textos escolares, lo que sirvió de base, junto a
los referentes teóricos consultados, para diseñar un instrumento que fue administrado a alumnos que aspiraban a ingresar a la UNL y al ISP Nº 10 durante el año 2012.
La resolución de las situaciones problema que contenía el instrumento, y las entrevistas realizadas dio lugar a estructurar las configuraciones cognitivas de los estudiantes.
Posteriormente hicimos la comparación entre la configuración epistémica global
de referencia con las configuraciones cognitivas, permitiéndonos arribar a los resultados que detallamos a continuación. Teniendo en cuenta los resultados esbozados
por ambos grupos de estudiantes participantes, el análisis de las resoluciones efectuadas y las entrevistas que llevamos a cabo, podemos sintetizar en forma general
que:
• Los conceptos más utilizados, o que ponen en práctica en la resolución de situaciones problema que involucran los números racionales, son los de fracción,
operaciones con fracciones, expresiones decimales y operaciones.
• No utilizan de manera apropiada algunos conceptos como: fracción como parte de
una cantidad continua o discreta, fracción como razón y fracción como operador,
desigualdad en expresiones que contienen números racionales.
• No relacionan en algunos casos los conceptos de fracción con razón ni de fracciones equivalentes con proporción.
• La mayoría de los estudiantes no logran articular con la situación problema los
conceptos de notación científica y expresión decimal aproximada. En algunos
casos aparecen algunos procedimientos incompletos o la aproximación por redondeo.
– 115
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
• Los estudiantes para carreras de formación docente (ISP Nº 10) lograron mostrar
un mejor manejo de los conceptos de proporción, magnitudes proporcionales y
porcentaje.
• Ponen en práctica la mayoría de las propiedades de las fracciones equivalentes, no
así de las propiedades de las proporciones y magnitudes proporcionales.
• La mayoría desconocen algunas propiedades asociadas a la resolución de problemas con números racionales (distributiva de la división con respecto a la suma o
resta, asociativa de la multiplicación, inverso aditivo, inverso multiplicativo, entre
otras) y las propiedades de las desigualdades, las cuales se relacionan con el concepto de desigualdad.
• Los procedimientos más utilizados, ya sea en forma correcta o con algunas deficiencias, son: representar gráficamente fracciones en cantidades continuas y algoritmos básicos de las operaciones con racionales.
• Se presentan deficiencias para interpretar problemas verbales, traducción de lenguaje simbólico a natural y viceversa, y aplicación de procedimientos adecuados
para hallar la solución.
• La mitad de los estudiantes logra aplicar adecuadamente procedimientos asociados con la resolución de situaciones problema que involucran magnitudes proporcionales.
• Pocos estudiantes logran hacer aproximaciones de expresiones decimales (solo
aproximan por redondeo) y menos aún son quienes expresan cantidades numéricas en notación científica.
• Muy pocos estudiantes logran interpretar y resolver situaciones problema que
involucren procedimientos necesarios para trabajar con desigualdades.
• Utilizan en varios casos, de manera errónea procedimientos relativos a la resolución de ecuaciones, cálculo de porcentajes, aproximación de expresiones decimales por redondeo o truncamiento, y expresión de números en notación científica.
• No utilizan en general procedimientos que impliquen la utilización del lenguaje
gráfico en la resolución de situaciones problema. Solo en algunos casos aparecen
intentos por hacer traducciones de un enunciado verbal a gráfico.
• Llevan a cabo procesos de argumentación mediante prácticas discursivas solo
cuando se sienten presionados a realizarlos (en este caso mediante una entrevista). Esto es, no argumentan de manera escrita, aun cuando sea una condición de
la consigna de la situación problema.
– 116
II. Ponencias
• Los estudiantes aspirantes a ingresar en carreras de formación docente lograron
mejores argumentaciones que involucran procedimientos para justificar lo realizado en las situaciones problema.
• Los estudiantes aspirantes a ingresar a la universidad lograron mejores argumentaciones que involucran las propiedades de los números racionales para justificar
sus desarrollos. Estas justificaciones se remiten solo a mencionar alguna propiedad sin lograr profundizar mucho en ellas.
• El lenguaje utilizado en las argumentaciones difiere en ambos grupos, dado que
los estudiantes ingresantes a la universidad utilizan el lenguaje verbal o simbólico, mientras que los estudiantes ingresantes a formación docente solo utilizan
el lenguaje verbal.
• La mayoría de los estudiantes no llevan a cabo procesos de argumentación que
se encuadren en el primer estadio (informal o ingenuo) que propone Mosterin
(1980). Además, cuando lo hacen introducen argumentos a través del lenguaje
verbal que no son adecuados y emplean elementos lingüísticos que no se encontrarían en una configuración epistémica asociada a números racionales.
Conclusiones
En función de los resultados, podemos sintetizar en forma general que:
Las prácticas operativas y discursivas de los estudiantes a propósito de resolver
situaciones problema que involucran los números racionales reflejan que:
a. En el caso de situaciones problema con los números racionales, dados en contextos intra o extramatemáticos, se evidencia en algunos casos la incorrecta interpretación de los enunciados, el uso inadecuado del lenguaje simbólico o gráfico y
una deficiente aplicación de procedimientos.
b. Los conceptos más utilizados son los de fracciones, operaciones con fracciones,
expresiones decimales y operaciones, lo que parece evidenciar un aprendizaje
centrado en rutinas y algoritmos propios de este campo numérico.
c. En muchos casos no dan evidencias de tener claros los conceptos de fracción como
parte de una cantidad continua o discreta, ecuaciones, desigualdades, notación
científica, proporcionalidad, porcentaje, entre otros, pues no los utilizan de manera adecuada en la resolución de las situaciones problema.
d.En varios casos no relacionan los conceptos de fracción con razón, ni de fracciones
equivalentes con proporción, lo que aparentemente evidenciaría un aprendizaje
atomizado, fragmentado o segmentado de los números racionales.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
e. En general, no se ha vinculado a las resoluciones de situaciones problema el
concepto de desigualdad en expresiones que contienen números racionales, ni las
propiedades asociadas a las desigualdades.
f. Evidencian desconocimiento en muchos casos, de algunas propiedades de las
operaciones asociadas a la resolución de problemas con números racionales, tales como distributiva de la división con respecto a la suma o resta, asociativa de la
multiplicación, inverso adictivo, inverso multiplicativo, entre otras.
g. Utilizan algunos procedimientos erróneos al operar con números racionales, en
situaciones problema que involucran ecuaciones, cálculo de porcentajes, aproximación de expresiones decimales por redondeo o truncamiento, y al expresar
números en notación científica.
h.En la mayoría de los casos no dan argumentos convincentes de las resoluciones
que llevan a cabo, e introducen lenguaje verbal que no es adecuado, con elementos
lingüísticos que no se encontrarían en una configuración epistémica asociada a
números racionales.
Esta síntesis refleja conclusiones generales de las prácticas operativas y discursivas de ambos grupos de estudiantes participantes en la investigación, a propósito de
resolver situaciones problema que involucran los números racionales.
Si se tienen en cuenta las relaciones que establecieron o no entre los elementos
primarios del objeto matemático, sostenemos que:
Los estudiantes no han alcanzado una comprensión global de los números racionales como objeto matemático, sino más bien, que han logrado alcanzar aspectos
parciales, ya que en muchos casos no han podido utilizarlo de manera competente
en diferentes prácticas operativas y discursivas. Esto guarda relación con el hecho
de que la configuración cognitiva referida a números racionales de cada estudiante
evaluado es incompleta puesto que no se establecieron todas las redes de relaciones
que estarían presentes en la configuración epistémica.
No obstante, rescatando lo que cada estudiante ha comprendido sobre números
racionales (redes de relaciones que logra establecer adecuadamente), se logra estructurar la configuración epistémica deseada y utilizada como referencial para el
estudio.
Teniendo en cuenta a Godino (2003), que sostiene que en una situación ideal y
en una institución dada, un sujeto “comprende” el significado del objeto –o se “ha
apropiado del significado” de un concepto– si es capaz de reconocer los problemas,
procedimientos, argumentaciones, propiedades y representaciones características,
– 118
II. Ponencias
relacionarlo con los restantes objetos matemáticos en toda la variedad de situaciones planteadas por la institución correspondiente. Y que para el EOS la comprensión alcanzada por un sujeto en un momento dado difícilmente llegue a ser total,
o por el contrario, sea nula; sino que abarcará aspectos parciales de los diversos
componentes y niveles de abstracción posibles. Ello nos permite sostener que si
se organizaran procesos de enseñanza y aprendizaje cuidadosamente planificados,
teniendo en cuenta las múltiples relaciones que se establecen entre situación problema, conceptos, propiedades, procedimientos, lenguaje y argumentos, se mejoraría la comprensión global que los estudiantes lograrían tener sobre los números
racionales como objeto de estudio. La complejidad sistémica del significado de un
objeto implica que su apropiación deviene de un proceso dinámico, progresivo y
no lineal, como consecuencia de los distintos dominios de experiencia y contextos
institucionales en que participa.
Con respecto a las dificultades, el análisis de las prácticas operativas y discursivas llevadas a cabo por ambos grupos de estudiantes participantes, frente a las
situaciones problema nos permitió observar y sintetizar en forma general que los
estudiantes tienen:
• Dificultades para utilizar el concepto de número racional de manera competente
en la resolución de situaciones problema.
• Dificultades para identificar las múltiples representaciones que tiene un número
racional y cómo se relacionan entre sí las mismas. En particular, no distinguen
la fracción como una razón, o como la cantidad de veces que está una cantidad
en otra, y por consiguiente, para relacionar fracciones equivalentes con proporciones.
• Dificultades para utilizar los diferentes significados (entendidos como conjunto
de prácticas operativas y discursivas) de número racional, la incorporación de
nuevas especificidades simbólicas, operatorias estructurales, relacionales y de representación y la significación de la densidad respecto del orden.
• Errores y dificultades en la aplicación de los algoritmos de las operaciones con
números racionales, y en la resolución de ecuaciones y desigualdades que los involucran. En este caso, utilizan algoritmos y procedimientos que no logran sostener en procesos argumentativos adecuados para justificar su aplicación, en tanto
no se vinculan con conceptos ni propiedades.
• Errores y dificultades para operar con números decimales, en el uso del cero, en la
lectura y escritura de los números y para establecer el orden entre ellos.
– 119
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
• Dificultades para emplear conceptos y procedimientos necesarios para la aproximación de expresiones decimales y en la escritura en notación científica.
• Dificultades para interpretar la noción de densidad de los números racionales.
• Errores y dificultades para interpretar enunciados verbales y simbólicos en situaciones problema, lo que se evidencia en la incorrecta traducción a otros lenguajes
como simbólico o gráfico y en lo inadecuados que fueron los procesos de argumentación.
• Dificultades para justificar respuestas que se vinculan con conceptos, propiedades, procedimientos y algoritmos propios de los números racionales.
• Errores y dificultades para aplicar propiedades de las operaciones con números
racionales y de las desigualdades.
• Dificultades para relacionar los conceptos de fracción y razón, fracciones equivalentes y proporciones y, por consiguiente, para resolver situaciones problema que
involucran magnitudes proporcionales.
Reflexiones finales
El estudio realizado en nuestra investigación nos lleva a formular algunos criterios
que pudieran tenerse en cuenta en el diseño o rediseño de situaciones problema que
involucran los números racionales como objeto de estudio. Estos criterios los fuimos
empleando también para la elaboración del instrumento utilizado en la investigación, y devienen de establecer situaciones problema que pongan en evidencia redes
de relaciones entre los objetos primarios involucrados para los números racionales.
• Seleccionar o diseñar situaciones problema en contextos extra e intra-matemáticos que tengan sentido en el campo de conocimientos del alumno, cercanas a la
realidad concreta de su entorno. Estas situaciones debieran buscarse deliberadamente abiertas y que involucren una red considerable de conceptos, propiedades
y procedimientos para su resolución. Un análisis a priori de los elementos primarios que conforman al objeto matemático involucrado (configuración epistémica e instruccional) no debiera atomizarse solo en uno de ellos (por ejemplo, en
procedimientos).
• Es importante que en las actividades se destaque el valor que tienen las redes
de relaciones entre los elementos primarios del significado de número racional,
antes de mostrar los algoritmos o procedimientos propios de los números racionales.
– 120
II. Ponencias
• Es destacable que la situación problema promueva el uso de diferentes registros de representación y lenguajes (verbal, simbólico y gráfico), entendidos estos
como red de relaciones entre dos elementos que constituyen la configuración
epistémica de número racional como objeto de estudio (lenguaje y argumentos).
• Las situaciones problema deben generar y promover procesos de argumentación, pues en ellos se advierten las relaciones que los estudiantes realizan entre
los objetos primarios y se tienen indicios de la comprensión alcanzada. La mera
aplicación de procedimientos, técnicas o algoritmos no es evidencia de haberse
comprendido un objeto matemático.
• Es importante el análisis de la trama de funciones semióticas asociada al contenido matemático, pues nos permite prever su grado de dificultad potencial e
identificar las variables por tener en cuenta para facilitar su enseñanza.
• Algunas dificultades se podrían resolver utilizando una evaluación formativa que
permita superar obstáculos presentando situaciones, suficientemente complejas,
para que el alumno sea consciente de que determinadas prácticas solo son válidas en determinados contextos.
Finalmente, pensamos que este trabajo orienta no solo hacia el análisis que debiera hacer el profesor para valorar la comprensión de los alumnos, y de los errores
y dificultades que genera la misma, sino también a repensar sobre las estrategias
que pueden resultar más convenientes a la hora de llevar adelante los procesos de
enseñanza y aprendizaje en matemáticas. Para ello la noción de idoneidad didáctica
puede ser útil para analizar un proceso de estudio implementado en una clase, en
la planificación o en el desarrollo de una unidad didáctica, además para analizar
aspectos parciales de un proceso de estudio, como un material didáctico, un texto
escolar, respuestas de estudiantes a tareas específicas. Por ello consideramos importantes los indicadores de los distintos tipos de idoneidad planteados en Godino
(2011), mediante los cuales los docentes de matemáticas puedan construir la competencia en análisis didáctico de secuencias de tareas.
Las configuraciones epistémicas de las actividades propuestas pueden ser de utilidad para anticipar posibles conflictos o diferencias entre significados (institucional y
personal), lo cual contribuye al diseño, aplicación, valoración y mejora de las tareas,
que son las situaciones que el profesor propone (problema, investigación, ejercicio,
etc.) a los estudiantes, las que son el punto de partida de la actividad por desarrollar
en la clase, y la que a su vez produce como resultado algún aprendizaje.
– 121
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Esto también nos lleva a reflexionar, incluso, en los procesos de evaluación que
implementamos, pues centrarnos solo en prácticas operativas descartando las discursivas estaría mostrando una parte de la realidad en torno a la comprensión alcanzada por los estudiantes sobre cierto objeto matemático.
– 122
II. Ponencias
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– 125
LA COMPRENSIÓN DE ENUNCIADOS
DE PROBLEMAS QUE INTRODUCEN
LOS RACIONALES: DESDE UNA
MIRADA SEMIÓTICA-COGNITIVA Y
LINGÜÍSTICA
Teresa Pontón Ladino
tpontonl@unal.edu.co
Universidad Nacional de Colombia, Sede de Palmira. Palmira,
Colombia
Resumen
Este trabajo es parte de los resultados de una investigación
doctoral que propone una caracterización de un campo de
enunciados de problemas matemáticos y el análisis de algunas
de las variables inmersas en la comprensión de enunciados de
este campo que introducen la noción de número racional, con
estudiantes de grado quinto de educación básica. Se estudia
en el ámbito de las transformaciones, entre las representaciones semióticas producidas en registros semióticos, en especial
el papel que juega el registro semiótico de la lengua natural
(Duval, 1999, Pontón, 2012). Aunque la enseñanza y aprendizaje de los números racionales ha sido un tópico ampliamente estudiado en la educación matemática, uno de los mayores
problemas en el aprendizaje de los enunciados de problemas
es que muy pocos alumnos logran la coordinación entre los
tratamientos numéricos fraccionarios o decimales con los tratamientos figurales y los tratamientos propios de la lengua
natural. El análisis realizado aporta elementos semiótico-cognitivos, particularmente lingüísticos, anudados al registro de la
lengua natural que inciden en la comprensión de los procesos
– 127
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
de conversión de las representaciones semióticas (RS) producidas en el registro de la
lengua natural (RL) a un tratamiento no discursivo que involucre representaciones
numéricas o simbólicas.
Palabras clave: actos lingüísticos, comprensión de enunciados de problemas, enseñanza y aprendizaje de números racionales, enunciados de problemas, números
racionales, registros de representación semiótica, registro de la lengua natural, resolución de problemas, transformaciones de representaciones semióticas.
Abstract
This work is part of the results of a doctoral research that proposes the characterization of the field of the mathematical statements, as well as the analysis of some
variables related with understanding of mathematical statements about rational
numbers, for students of the fifth grade. The topic is analyzed in the area of the
transformations between semiotic representations produced in semiotic registers, in
particular the role of the semiotic register of natural language (Duval, 1999, Pontón,
2012). Although teaching and learning of rational numbers have been a topic widely
studied in mathematical education, one of the biggest problems to understand mathematical concepts is that only few students achieve coordination among different
treatments as numerical fractions, decimals, figural or their own natural language.
The analysis provides semiotic-cognitive elements, especially linguistic, coupled to
the registration of natural language. These elements contribute to the understanding of the conversion processes of the semiotic representations (RS) produced in
recording natural language (RL) to a non-discursive treatment involving numerical
or symbolic representations.
Keywords: Linguistic acts, problem solving, rational numbers, registration of natural language, semiotic representation, teaching and learning of rational numbers,
transformations of semiotic representations, understanding word problems, word
problems.
Descripción general de la experiencia
La educación matemática como actividad pedagógica y cognoscitiva, intencionada
y consciente, debe dilucidar el impacto pedagógico del universo simbólico que se
construye a través de los diversos sistemas de representaciones semióticas, entre
ellas la lengua natural, en los contextos educativos. No basta con apropiarse de unos
– 128
II. Ponencias
saberes y pretender “enunciarlos” o “comunicarlos” de manera ingenua a un grupo
de aprendices, o pretender que se lea un texto (por ejemplo, un texto matemático
o enunciados de problemas) y se comprenda de manera “natural” lo leído, pasando
por encima de las condiciones y reglas que, explícita o implícitamente, imponen los
procesos propios del registro semiótico de la lengua natural.
La construcción inicial del sistema numérico de los racionales, específicamente
con la introducción del sistema de numeración fraccionario en la educación básica, pone en relación diferentes ámbitos de las matemáticas escolares, que van
configurando una estructura compleja que liga conceptos, situaciones, enunciados
de problemas de naturaleza diversa como la multiplicación, la división, la razón,
la proporción, la función lineal, la función n-lineal, etc. En este mismo sentido, estas
complejidades han sido formuladas por Adjiage (1999), Adjiage y Pluvinage (2007),
Obando (2003), Pontón (2008), Romero (1992) y otros en sus trabajos de investigación. Estos autores argumentan que comúnmente se aplican de manera mecánica
algoritmos en un discurso monorregistro, en donde el alumno no se involucra en
un proceso que le sea significativo, y no logra comprender, evaluar, cuestionar o
sustentar sus respuestas a la luz del problema planteado. Principalmente, la experiencia parte del bajo nivel de comprensión de los enunciados de problemas de matematización por parte de los estudiantes (Damm, 1992; Duval, 1986; Pontón, 2012).
Problema que se centra en las posibles transformaciones entre representaciones
semióticas de diferentes registros de representación partiendo de la lengua natural.
Se asumió en el marco metodológico un enfoque de investigación cualitativa, de
tipo descriptivo-interpretativo, que permitiera elaborar un marco teórico para analizar la complejidad de los procesos de comprensión del campo de enunciados de
problemas aritméticos en lengua natural, que se encuentran en los textos escolares,
en los que se requiere la utilización de sistemas conceptuales de números racionales
para su solución. Bajo esta metodología, en el trabajo de investigación tanto en el
análisis de los enunciados propuestos por los textos escolares, con el trabajo con estudiantes de quinto de la básica y maestros de esos grados. Se propone la construcción
de una caja de herramientas semiótico-cognitivas, particularmente lingüísticas, que
permite, de manera muy potente, caracterizar el campo de enunciados y analizar los
factores que inciden cuando el estudiante hace la lectura del enunciado.
– 129
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Elementos teóricos
La investigación realizada se aproxima a los problemas del aprendizaje de las matemáticas desde una perspectiva que considera que los modos de funcionamiento
nuevos que habría de adquirir cada alumno, están estrechamente relacionados con
los elementos semiótico-cognitivos (Duval, 1986, 1999), particularmente lingüísticos
que se pueden construir en las instituciones educativas. Estos modos son necesarios
para la actividad matemática y permiten aumentar la capacidad para reflexionar en
dominios distintos a las matemáticas.
Se parte de los referentes teóricos de la perspectiva construida por Duval (2004),
la cual aborda los problemas de aprendizaje de las matemáticas a partir de los registros semióticos de representación, más que por las representaciones mentales, en
razón de que el modo de acceso a los objetos matemáticos nunca puede ser directo
mediante la percepción, o desde la utilización instrumental, sino necesariamente
semiótico, es decir, haciendo uso “obligatorio” e intencional de representaciones de
tales objetos. Un registro semiótico de representación (RSR) tiene la posibilidad de
transformar las representaciones de acuerdo únicamente por las reglas propias del
sistema de representación semiótico, de modo que se obtengan otras representaciones que puedan constituir una ganancia de conocimiento en comparación con las
representaciones iniciales. La comprensión de enunciados requiere una coordinación de registros semióticos, pero tal coordinación no es espontánea (Damm, 1992;
Pontón, 2012).
Se propone para la comprensión de los enunciados la construcción de una caja de
herramientas con elementos teóricos como la teoría de los actos lingüísticos y el trasfondo de Searle (1969/1980, 1991), presuposición de Collingwood (1940/1969) y la
lógica de preguntas desarrollada por Rescher (1984/1994), Collingwood (1940/1969)
y Strawson (1970), entre otros, propios de la lengua natural. Estos elementos permiten detenerse o devolverse en diferentes marcas lingüísticas de los segmentos del
enunciado, cuando el estudiante logre la“identificación de la información relevante”
del enunciado en el RSR de la lengua natural; de esta manera se permite la descripción en un nivel de detalle de lo comprendido del enunciado por parte del estudiante. Algunos segmentos del enunciado se identifican como relevantes porque son
una RS en el RL, que tienen una parte de la información necesaria para contestar la
pregunta o las preguntas; si ya pueden tratarse, o si no hace falta tratarlos, se dejan
como están o simplemente se transcriben al “papel borrador”; otros segmentos se
cambian a RS de otro u otros registros; algunos segmentos tienen RS que ya pueden
– 130
II. Ponencias
estar en otro registro distinto del RL, como los numerales decimales o las fracciones
que aparecen directamente en el enunciado, o las ilustraciones que pueden ya estar
impresas en registro figural bidimensional, y estar acompañadas de texto verbal escrito en RL o de una serie de símbolos ya escritos en registro numérico fraccional o
decimal, etc. Se detallará algunos elementos de la caja, que se requiere reconocerlos
para empezar a dimensionar lo que implica los procesos de comprensión del texto
desde la mirada de los procesos de conversión.
Elementos lingüísticos y matemáticos que definen
el campo de enunciados en la construcción inicial
de los racionales
La descripción de lo que se ha considerado un enunciado de un problema aritmético
deja vislumbrar dos exigencias que debe tener la organización de la redacción de
un enunciado de problema del campo seleccionado: por un lado, la transparencia
de la organización enunciativa que evoque el contexto extramatemático y permita
ver que las relaciones entre los datos tengan sentido matemático en ese contexto, y
por otro lado, la posibilidad de poder plantear un tratamiento aritmético de acuerdo
con la instanciación de relaciones matemáticas y no matemáticas entre los datos del
enunciado.
Para una caracterización de las situaciones y los contextos extramatemáticos o
matemáticos presentes en el campo de enunciados de problemas seleccionado, solo
una mirada a los aspectos formales matemáticos no alcanza a capturar la diversidad
de los fenómenos o factores asociados a los procesos de aprendizaje y de enseñanza ligados
al sistema numérico fraccionario, ni siquiera restringiéndose al registro semiótico de
la lengua natural y al sistema de numeración fraccional que produce las fracciones
y permite su tratamiento. Se requiere analizar la variedad de procesos que permite
modelar el sistema numérico de los racionales, especialmente con el registro semiótico de la lengua natural combinado con el registro de numeración fraccional, que
ponen en la escena escolar elementos cercanos a la vida cotidiana, como repartos
equitativos, divisiones, reducciones o ampliaciones y actividades de medición.
Los enunciados que conforman el campo de problemas seleccionado fueron diseñados por los autores de textos escolares1 para un propósito curricular: la construcción
1 La selección de los textos escolares del grado escogido que eran de mayor uso entre las instituciones
del municipio de Santiago de Cali.
– 131
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
inicial de significados en el sistema numérico fraccionario alrededor de los registros semióticos
fraccionales, al menos el registro semiótico fraccional de la lengua natural usual con
barra inclinada u horizontal como separador. Los elementos matemáticos que conforman el campo de conocimientos S, en el cual se construyen las relaciones matemáticas involucradas en los enunciados de problemas, son elementos que inciden
en la tarea de selección y organización de lo aseverado, y en la lógica que rige lo
aseverado con lo pedido en las preguntas de los segmentos directivos y con las respuestas esperadas por los autores (Pontón, 2012).
Se asume los fraccionarios F como un subconjunto de los racionales Q, que inclu), o sea, los racionales no negativos o racioye los positivos y el cero (
a
nales absolutos Q en la terminología de Fandiño (2009). Este subsistema numérico
[fraccionario] puede utilizar, entre otros, el sistema de numeración o registro semiótico de numeración fraccional usual para el sistema numérico de los racionales
positivos Q+, que es el que se involucra en los enunciados propuestos en la básica
primaria. Se evidencia la importancia decisiva que tienen los sistemas de numeración o sistemas simbólicos que hacen posible la construcción del sistema numérico
de los racionales, como son el sistema de numeración fraccionario y el sistema de
numeración decimal, como se detalla en la tabla 1.
Tabla 1. Sistemas de numeración de los racionales
Un enunciado del problema, dado en lengua natural, se construye por parte de sus
autores bajo ciertos presupuestos; uno de ellos es que su enunciatario-lector tenga
alguna base de conocimientos previos o algún acercamiento a las representaciones
semióticas de la lengua natural que le permitan identificar las referencias y los predicados que constituyen dicho enunciado. Es decir, presupone algún acercamiento
por parte de los lectores, los estudiantes y maestros, que les permita discriminar y
– 132
II. Ponencias
relacionar representaciones como: “n partes iguales”, “ ”, “ ”, “sextos”, “la fracción…”,
“¿cuántas partes del grupo n corresponden a…?”, “¿qué fracción del total…?”, “¿qué parte…?”, “qué parte…con respecto a (en relación con)… es…”, “qué parte de… es si…”, “qué
parte… en términos de…”, “qué parte de…”, “qué fracción del… es...”, “cuántos… tengo del
total”, entre otras. Las relaciones fraccionarias se involucran de diferentes formas y
se expresan con diversas marcas lingüísticas y la estructura lógica tiene uno o varios
lugares vacíos, de acuerdo con la relación con la pregunta y con la respuesta esperada. El contar con conocimientos previos puede permitir que los distintos segmentos
conformen un enunciado global con sentido para el lector; es decir, que se integren
en una unidad total y no sean informaciones independientes o “sueltas”, sin algún
significado para el lector; de manera que este pueda establecer alguna relación entre
lo aseverado y la pregunta formulada en el contexto extramatemático en el que se
plantea el enunciado.
Relaciones y situaciones matemáticas en el campo
de enunciados
Los tipos de situaciones que involucran la noción de número racional desde la medición implican las relaciones parte-todo, o parte-parte, o la aplicación de un operador.
Las relaciones parte-todo y parte-parte determinan la existencia de una cantidad que
se establece a partir de una relación cuantitativa entre el todo, aquella cantidad tomada como unidad, y la parte, cantidad tomada como la sub-unidad que surge de la
partición, representando a cada una de las partes que tengan la misma longitud, o
la misma área, o el mismo volumen, etc.). El operador se aplica a una cantidad tomada como unidad en un estado inicial y esta cantidad se transforma a un estado final
(se amplía o se reduce). Las relaciones parte-todo y parte-parte, así como los operadores, involucran un tratamiento con respecto a la unidad que ha de ser utilizada y al
tipo de magnitud.
Se identifican, en general, en el campo de enunciados de problemas que introducen expresiones numéricas fraccionarias (en lengua natural o en un registro numérico), los siguientes tipos de situaciones.
– 133
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Tabla 2. Algunas situaciones involucradas en el campo de enunciados de problemas
La naturaleza de las unidades involucradas (simple o compuesta) y del tipo de
cantidad de magnitud (continuas o discretas) sobre el cual se establece la comparación inciden en los posibles significados y relaciones que se pueden presentar, de
acuerdo con el contexto extramatemático. Por ejemplo, estas variables se pueden
ver en la siguiente figura que sintetiza las relaciones involucradas en el enunciado.
Figura 1. Relaciones entre las significaciones de los segmentos del enunciado (monos)
– 134
II. Ponencias
El enunciado especifica como unidad un grupo de monos, desde una cantidad
discreta: 30 monos, expresada en I1, y las relaciones expresadas de manera numérica fraccionaria que se establecen con las categorías como macho dominante, hembras, jóvenes y crías. No es muy clara la distinción entre estas diferentes categorías
debido a que las unas no son excluyentes con las otras; por ejemplo, pueden existir
hembras que son jóvenes o son crías. Se observa en las figura 1 la relación entre los
diferentes segmentos del enunciado I2, I3, I4, I5 y las preguntas formuladas P1 y P2.
Otra característica de este enunciado (monos), es el hecho de que involucra diferentes
relaciones (como parte-todo o como operador) expresadas como expresiones numéricas fraccionarias de diferentes denominadores, como quintos ( ), tercios ( ),
treintaavos ( ), las cuales guardan relación con la unidad, es decir, que se puede dividir la unidad discreta (el número de monos) en cinco, tres o treinta grupos y cada
grupo de monos que compone cada grupo es entero; además se pueden establecer
relaciones entre sí, como la de estar un número entero de veces (o “caber”) en la
totalidad (30 monos).
– 135
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Tabla 3. Posibles relaciones establecidas en el campo de enunciados de problemas
Las situaciones que aparecen en este campo de enunciados de problemas seleccionado involucran en su mayoría la comparación de dos cantidades de una misma
magnitud (dos cantidades homogéneas). Hace parte de estas situaciones la aplicación de un operador que agranda o achica (amplía o reduce) una cantidad tomada como unidad, u otra cantidad conmensurable con la unidad seleccionada, para
convertirla en otra y permitir comparaciones o combinaciones operatorias con otras
cantidades. Así, como es posible encontrar una variedad de relaciones matemáticas
y no matemáticas asociadas a los datos que aparecen explícitos o a los datos que se
pueden inferir de los datos mencionados en los diferentes actos de habla, algunas
de las cuales se sintetizan en la tabla 3.
– 136
II. Ponencias
Los enunciados de los problemas tienen marcas lingüísticas que evidencian dichas relaciones matemáticas (parte-todo, parte-parte, de medida relativa, o de operador). En algunos enunciados de problemas estas marcas pueden ser explícitas y, en
otros casos, estas relaciones quedan solo implícitas en las representaciones numéricas del tipo “a/b”, lo cual se puede observar en el siguiente ejemplo:
Enunciado (salario): Un obrero cobra $ 54.000 por su trabajo. Le pagan por adelantado del total. ¿Cuánto dinero le deben?
del total; hay una marca que indica que la representación fraccionaria establece
una relación entre la parte (el noveno, ) de las cuales se toman 3 o un operador
(×, ,× 3) sobre la unidad, en este caso la cantidad discreta del salario. Se pregunta
por lo que le deben pero se debe inferir esa relación con el todo, lo que implica una
aprehensión operatoria al establecer asociaciones entre algunos elementos lingüísticos del enunciado “cobra $ 54.000 por su trabajo”, “por adelantado del total”, “Cuánto
dinero le deben”, así como determinar relaciones entre estos elementos lingüísticos
con la unidad (el sueldo) y la relación de lo que le deben en términos de cantidad
entera en pesos y en expresión numérica fraccionaria del todo, es decir, del salario
completo.
Figura 2. Presentación de predicaciones indirectas del enunciado (salario)
Es importante aclarar que el estatus lógico que pueden tomar las fracciones como
representaciones semióticas en cuanto signos o como números racionales en cuanto referentes de esos signos, entre otros, no se agota en uno de los significados
– 137
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
reconocidos (parte, todo, operador). Se observa en el ejemplo, que hay ausencia de
una pregunta previa que puede llevar a la determinación de la parte correspondiente a lo pagado o a la relación fraccionaria de la parte no pagada con el todo, considerando la relación parte - parte con lo pagado (en la organización de la redacción del
problema se puede determinar esa pregunta ausente como una unidad predicativa
indirecta), como se muestra en la figura 3.
Figura 3. Algunas de las presuposiciones involucradas en las unidades
segmentadas del enunciado 2 (salario)
Sobre la congruencia entre la redacción del enunciado con los posibles tratamientos
numéricos que pueden dar solución al enunciado directivo (la pregunta), se puede
afirmar que la presentación redaccional del enunciado (sueldo), como se ha venido
analizando, no presenta una correspondencia semántica entre los elementos significantes que se requieren para el tratamiento aritmético que hay que efectuar, y
requiere la presencia de presuposiciones (como se observa en la figura 3) para entender la lógica de la pregunta con respecto a lo aseverado y sus posibles respuestas.
Se observa que no hay una univocidad semántica en el registro de llegada, es decir,
el numérico para las relaciones establecidas en el enunciado (se puede hacer la correspondencia de cada parte, con las partes adelantadas y las partes que deben, o se
puede establecer un cociente o aplicar un operador).
– 138
II. Ponencias
¿Qué incide en los procesos de comprensión de los
enunciados de este campo de enunciados?
Desde todo el corpus de datos se observó en los estudiantes la falta de conocimiento sobre las transformaciones posibles en las representaciones que se producen
partiendo del registro de la lengua natural. Se suele aislar las representaciones numéricas del texto e intentar hacer un tratamiento numérico, lo cual evidencia no tener elementos para la comprensión, porque estos no han sido objeto de enseñanza.
Los estudiantes consideran las expresiones numéricas fraccionarias difíciles y con
poco significado en el marco de los enunciados de los problemas. Esto se constató
cuando los alumnos aplicaron los mismos tratamientos a expresiones numéricas
decimales enteros positivos y a expresiones numéricas fraccionarias, como si fueran
de la misma naturaleza o estuvieran regidas por las mismas reglas. Por ejemplo, en
el análisis de las démarches utilizadas frente al enunciado (sueldo), se identificaron
los casos de los niños que no reconocieron la representación semiótica fraccional
“3/9”como número y a partir de los numerales, que conforman la representación semiótica fraccional, inventan desde sus presuposiciones, representaciones numéricas
decimales como “39” o “390” o “3900”. Es decir, un alto porcentaje de los estudiantes
observados reconoce la cantidad expresada en el enunciado (3/9 del salario) como
dos números separados por una raya y no como un número que expresa una parte
de la unidad o un operador que deba ser aplicado a la unidad.
Muchos de los estudiantes aplicaron operaciones como multiplicación, división o
resta, sin analizar si la parte obtenida (en dinero) que le han pagado, resultante de la
operación aplicada, es una cantidad menor, igual o mayor que $ 54.000 (sueldo completo). También se evidencia en los procedimientos de cálculo aritmético asociados
erróneamente (por ejemplo, en el procedimiento elaborado por Ema) cómo el valor
obtenido por procesos multiplicativos da mucho mayor que los “$ 54.000” (9/9) que
corresponden a todo el sueldo, lo cual no relacionó con la representación semiótica
fraccional (3/9).
– 139
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Figura 4. Procedimiento empleado por la estudiante Ema para el enunciado
Las diferentes marcas lingüísticas y las relaciones implicadas en el enunciado, no
fueron reconocidas por los lectores al intentar comprender el enunciado del problema.
Las interpretaciones fueron realizadas más desde el trasfondo cultural, pero por fuera
del campo de conocimientos que se desea trabajar con los estudiantes, por ejemplo:
Gloria: pero ahí ya se estaría tomando solo lo que le dieron de la plata del
trabajo, pero para saber cuál es lo que le deben, porque si miro ahí [observa el
enunciado en la ficha] puede ser treinta y nueve, o trescientos noventa, pero son
muy poco, eso no le pagan a mi papá, cuando él trabajó en la obra le daban más
plata. ¿Sí es así? Puede ser mejor con estos ceros, entonces se lo quito al salario
(Entrevista 05-2010.04.19. Estudiante Gloria).
Se observó a partir de todo el trabajo de campo, que no es clara la transición que
los estudiantes hacen desde el registro de numeración decimal en el que se producen representaciones de números enteros positivos al registro semiótico de numeración fraccional en el cual se producen las representaciones semióticas fraccionales.
Muchas de las intervenciones de los estudiantes y maestros en las entrevistas mostraron la dificultad de suponer una misma unidad para diferentes informaciones
de distinta naturaleza o aplicar tratamientos propios del registro semiótico de numeración decimal (en el cual operaban los enteros positivos) a los numerales que
conforman la representación semiótica fraccional.
Enunciado (chocolatina): de una chocolatina dividida en sextos, Óscar comió
más de 1/3 y menos de 2/3. ¿Qué parte de la chocolatina comió Óscar si los pedazos
sobrantes quedaron completos?
Gloria: hay un error en este [señala el problema], aquí hablan de seis y acá de
este número que es con el tres [señala las representaciones numéricas fraccionarias dadas en tercios]. Entonces, ¿son dos chocolatinas? Entrevista 08-2010.04.08.
Estudiante Gloria. Enunciado 1 (chocolatina).
– 140
II. Ponencias
Ema: ¿cómo así que es menos y más, no es así, o es más o es menos?… además aquí dice algo de completa, si queda completa entonces no comieron nada,
quiere decir que la chocolatina no se destapó y el niño no comió ninguno de los
pedazos (Entrevista 08-2010.04.08. Estudiante Ema. Enunciado 1 [chocolatina]).
De igual manera, se evidenció en el trabajo investigativo que en el campo de enunciados de problemas dados en el registro semiótico de la lengua natural RL hay variedad de relaciones que se introducen por medio de alguna representación semiótica
relacionada con el sistema numérico fraccionario, articuladas a marcas semióticas y
lingüísticas relativas a la construcción de significados propios de estos y otros conceptos matemáticos a través de los diferentes tipos de situaciones. Las fracciones
participan de enunciados de problemas en los que figuran distintas representaciones
numéricas que corresponden a cantidades que representan la unidad (el total), una
de las partes de la unidad, o la relación establecida con la unidad o con otra de las
partes. Sobre estas cantidades se establecen nuevas relaciones (por ejemplo, cuando
se comparan dos representaciones semióticas fraccionales) o se aplican relaciones
aditivas u operadores, en algunos casos buscando equivalencias por procesos de
homogenización.
En el enunciado se insinúan distintos tipos de transformaciones, los posibles tratamientos a RS dadas en el registro de la lengua natural RL y las conversiones a
RS de otro RSR que permitan, a su vez, tratamientos dentro del nuevo RSR. Cada
representación semiótica es un sistema de signos o sistema simbólico, pero no es
un registro semiótico de representación, pues no es productor sino producido, y hay
que hacerle un análisis de sus componentes (sustrato), operaciones (dinámica) y
relaciones (estructura) para poder efectuarle tratamientos internos y conversiones
externas. En este sentido, se propone el trabajo de segmentación del enunciado
en lengua natural LN; y se incorpora al marco teórico la lógica de la pregunta y
respuesta, tratando de aislar la pregunta o las preguntas como otros segmentos del
enunciado, explicitando el trasfondo y los presupuestos, para identificar segmentos
a los que se les puede aplicar una conversión. La búsqueda de significación entonces se hace para cada uno de los segmentos explícitos del enunciado del problema
que corresponden a una posible expansión discursiva del mismo.
Como se muestra en la Figura 6, se reconoce que distintos segmentos de un mismo enunciado de problema pueden convertirse a registros diferentes, o un mismo
segmento a dos registros diferentes, con una RS combinada final más o menos amplia y más o menos desarticulada. Esa RS amplia es un SS, pero no un RSR, y que
sus unidades significantes con sus relaciones y reglas estén más o menos desarti– 141
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
culados significa que las relaciones entre las representaciones (la estructura de esa
RS amplia) sean pocas, débiles o imprecisas. En este sentido, en la investigación
se propuso el trabajo de segmentación del enunciado en lengua natural LN; y se
incorporó al marco teórico la lógica de la pregunta y respuesta, tratando de aislar la
pregunta o las preguntas como otros segmentos del enunciado, explicitando el trasfondo y los presupuestos, para identificar segmentos a los que se les puede aplicar
una conversión. La búsqueda de significación entonces se hace para cada uno de los
segmentos explícitos del enunciado del problema que corresponden a una posible
expansión discursiva del mismo.
Figura 5. Síntesis de las fases en la comprensión y resolución de problemas
En este sentido, se pueden establecer, tal como lo muestra la figura 6, tres fases
en el proceso de comprensión de los enunciados de problemas que conforman el
campo. 1a fase: se requiere tratamientos en el registro semiótico de la lengua natural
(T1: Rx (RL) → Rx (RL)), que permita el reconocimiento de las informaciones dadas
(en ellas sus marcas lingüísticas) o que se deben inferir en el enunciado, analizar las
relaciones que se pueden establecer entre las informaciones dadas, identificar las
cantidades involucradas y la relación con la información solicitada en la pregunta.
2a fase: a partir de la organización, selección, visualización y razonamiento sobre
los datos pertinentes en el registro semiótico, en esta etapa se debe hacer una conversión C1: Rx (RL)→ Rx (RN) de representaciones semióticas que aparecen en alguno
– 142
II. Ponencias
de los segmentos, o en la articulación de varios segmentos del enunciado dado en
el registro semiótico de la lengua natural en otras representaciones producidas en
un registro semiótico numérico que permitan nuevos tratamientos numéricos al involucrar la expresión que corresponde al dato faltante, para la construcción de una
solución. 3a fase: se efectúa el tratamiento de la representación producida en el registro semiótico numérico (T2: Rx (RN)→ Rx (RN)), el cual permitirá regresar al enunciado dado en lengua natural para razonar sobre la validez del resultado obtenido
frente a la pregunta planteada, lo que implica la conversión de representaciones
semióticas que surgen de los tratamientos efectuados a la representación en el registro semiótico numérico a otras representaciones del registro de la lengua natural
que permitan analizar la solución desde la pregunta formulada en el enunciado
(C3: Rx (RN)→ Rx (RL)).
A manera de conclusión
Se debe entender que el papel de la enseñanza de la lengua natural en la didáctica de
las matemáticas es contribuir a desarrollar competencias de orden semiótico-cognitivo, particularmente lingüísticas, que le permitan al estudiante comprender un texto
matemático (enunciado de un problema, definiciones, ejemplos, una demostración,
etc.), poder proyectar una organización semántica y textual de ese conocimiento, y
ser capaz de describir y argumentar sus démarches frente a una situación matemática;
pero esto solo se logra en coordinación con otros registros semióticos.
La investigación reveló que la solución de los problemas de matematización llevados al aula de clases depende completamente de la comprensión del enunciado
producido en el registro de la RL que permita una tarea de conversión, asunto que no
es nada espontáneo. Y es la razón para considerar el lugar privilegiado de la relación
necesaria de las matemáticas y el lenguaje. Esto implica poder reconocer el problema didáctico que se genera en los procesos de comprensión de los textos de los
enunciados de problemas desde elementos cognitivo-semióticos, particularmente
lingüísticos.
Es decir, debe ser objeto de enseñanza los procesos de conversión, la cual es una
transformación que se le hace a un segmento específico del enunciado que se identifique como representación semiótica dada en el RL en otra RS de otro registro. La
conversión no se le hace al enunciado total (sino solo a unos pocos segmentos de
él o a la articulación de varios), ni el enunciado se convierte en otro registro (unos
segmentos del enunciado de problema no se convierten, otros segmentos sí se
– 143
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
convierten a un registro icónico, otros al registro numérico fraccionario, otros al gráfico bidimensional, etc.) En un enunciado de problema se presenta una propuesta
o insinuación de posibles tratamientos en el registro semiótico de representación
de la lengua natural, considerando el tratamiento como unas transformaciones internas de una RS de un registro semiótico en otra del mismo registro. No se hace
propiamente un tratamiento en el registro de la RL, ni tampoco se hace ningún
tratamiento numérico, sino que, en las relaciones entre las informaciones dadas, y
en las relaciones en lo aseverado y lo preguntado, se insinúa una conversión a otro
RSR (puede ser al fraccional o decimal o figural o geométrico) que permita un tratamiento numérico. El enunciado del problema da los datos (explícitos o implícitos)
en las “informaciones” In y las pistas para escoger un posible procedimiento. La
comprensión de los enunciados de los problemas entonces implica examinar los encajamientos respectivos de las distintas RS de los segmentos del enunciado del RL
y su articulación en la RS más abarcadora, que probablemente va a combinar varias
RS de distintos registros hasta permitir los tratamientos que lleven a la solución. Es
decir, que como maestros debemos analizar muy bien el enunciado, desde la instanciación de un tratamiento matemático, que se propone para ayudar a construir los
procesos de conversión, tal como se muestra en la figura 6.
Figura 6. La elaboración de significados de los problemas en la tarea de conversión
En el campo de enunciados de problemas producidos en el registro semiótico de
la lengua natural RL, hay variedad de relaciones que introducen la representación
semiótica fraccionaria, pero la comprensión de estas relaciones debe ser construida
– 144
II. Ponencias
en la escolaridad con el acercamiento a estos campos de problemas. Se requiere un
tiempo en la escolaridad para que los estudiantes aprendan los distintos tipos de
transformaciones de RS producidas en el registro figural o geométrico y RS producidas por RSR de la LN, así como para tomar conciencia de la necesidad de hacerlos
explícitos. Debe ser un objeto de enseñanza en la escolaridad la correspondencia
de representaciones dadas en segmentos del enunciado dado en el registro de la
lengua natural y el registro semiótico numérico fraccionario en situaciones extramatemáticas.
Los datos obtenidos en el análisis, de los enunciados y de la interpretación de
estos, respaldan la profunda influencia que las características lingüísticas de los
enunciados de problemas tienen sobre los procesos de comprensión de dichos
enunciados. Además, respaldan la necesidad de incrementar el dominio de la lengua natural, es decir, de la enseñanza intencional del registro RL, como condición
necesaria para encontrar posibles tratamientos numéricos que logren instanciar
las relaciones matemáticas dadas entre las informaciones aseveradas y la pregunta
formulada.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
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– 146
II. Ponencias
Romero, J. (1992). La enseñanza de los fraccionarios. Una opción. Planteamientos en Educación, 1(3), 95-107. Bogotá: Universidad Distrital.
Searle, J. (1980). Actos de Habla. Ensayo de filosofía del lenguaje (3a. edición). Madrid: Ed.
Cátedra. (Original publicado en 1969).
Strawson, P. F. (1971). On Referring. Logico-Linguistic Papers (pp. 1-27). London: Methuen.
– 147
GENERANDO COMPRENSIONES DEL
OBJETO GEOMÉTRICO: PARÁBOLA,
A TRAVÉS DEL USO DEL SOFTWARE
CaRMetal
Julián Humberto Santos Torres
julianhumbertosantos@gmail.com
Colegio Gimnasio de los Cerros. Bogotá, Colombia
Resumen
Propongo implementar una ingeniería didáctica para definir
una parábola como dos lugares geométricos: el lugar de todos los espejos que reflejan rayos paralelos sobre un punto y
el lugar de todos los puntos equidistantes de un punto y de
una recta. Se utiliza el software de geometría dinámica CaRMetal como la tecnología informática que permitirá modelar
un experimento con espejos y rayos láser para definir la parábola. Este trabajo de modelación con software permite invalidar algunas de las estrategias de los estudiantes y presentar
el análisis geométrico como una estrategia de resolución de
problemas. Me ubico desde la teoría de situaciones didácticas,
pues considero que permite identificar claramente el papel de
los instrumentos tecnológicos en el aprendizaje de los estudiantes, describir de manera precisa el rol del profesor y predecir el efecto que tendrán las actividades en el aprendizaje,
además de permitir interpretar el software de geometría dinámica como medio para la construcción matemática.
Palabras clave: ingeniería didáctica, software de geometría
dinámica, teoría de situaciones didácticas.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Abstract
I propose a didactic engineering to define a parabola as two locus: the place of all
the mirrors that reflect parallel rays on a point instead of all points equidistant from
a point and a line. Dynamic Geometry Software CaRMetal was used as model in an
experiment with mirrors and laser beams. This work modeling software allows invalidating some of the strategies of students and presents the geometric analysis as
a problem solving strategy. I stand on the theory of didactic situations as I believe to
clearly identify the role of technological tools in student teaching-learning, describe
precisely the role of the teacher and predict the effect that will have activities in learning, and allows to understand the dynamic geometry software as of mathematical
construction.
Keywords: Didactic engineering, Dynamic Geometry Software, theory of didactic
situations.
Introducción
El trabajo en el aula que he realizado haciendo uso de las tecnologías informáticas me ha demostrado que contar con el recurso tecnológico no garantiza un mejor
aprendizaje. Me cuestiono entonces sobre: ¿cómo organizar y fundamentar mi práctica docente para utilizar las tecnologías informáticas en el aula, específicamente el
software de geometría dinámica CaRMetal, con el fin de mejorar el aprendizaje de
mis estudiantes?
Centro mi atención particularmente en el software de geometría dinámica como
la tecnología que me permitirá llevar a cabo la implementación de estas actividades,
motivado en primera instancia por las facilidades que presenta el software geométrico para la construcción a partir del arrastre, la aproximación, la modelación y el
diseño de figuras.
Para dar respuesta a esta pregunta propongo implementar una ingeniería didáctica en donde se utiliza el software de geometría dinámica CaRMetal para modelar un
experimento con espejos y rayos láser. La implementación se realiza en estudiantes
de grado octavo (15 o 16 años), del colegio Gimnasio de los Cerros, ubicado en la
ciudad de Bogotá. Este trabajo de modelación con software permite: presentar el
análisis geométrico como una estrategia de resolución de problemas, organizar el
ambiente de aprendizaje basado en el uso de situaciones didácticas y observar el
rol del profesor como mediador entre el conocimiento matemático y el estudiante.
– 150
II. Ponencias
Descripción
Con el objetivo de presentar una propuesta en donde se construyen conceptos matemáticos usando como medio el software de geometría dinámica propongo implementar una ingeniería didáctica para definir una parábola como dos lugares geométricos:
el lugar de todos los espejos que reflejan rayos paralelos sobre un punto y el lugar
de todos los puntos equidistantes de un punto y de una recta. Se construirá el objeto
geométrico parábola porque constantemente se ha abordado su definición algebraica, tanto en las aulas de clase regulares como en las salas de informática, dejando de
lado su definición como lugar geométrico y su aplicación en situaciones reales.
Esta ingeniería tiene dos momentos: el primer momento de experimentación con
rayos láser y espejos consiste en construir un dispositivo que concentre rayos de luz
en un solo punto para iluminarlo intensamente o calentarlo, con el fin de generar un
juicio de valor sobre la leyenda de Arquímedes y de cómo su invento de espejos dispuestos en una posición especifica logró concentrar tal cantidad de rayos del sol que
derrotó a toda una flota romana hace más de dos mil años, y el segundo momento
de experimentación con el software de geometría dinámica consiste en modelar la
experimentación realizada con los espejos y los rayos láser haciendo uso del software
de geometría dinámica.
Aunque son numerosas las bondades que el software de geometría dinámica tiene
en el proceso de construir conjeturas y experimentar para probarlas, la falta de un
sustento teórico que fundamente la práctica de hacer matemática usando la tecnología impide que sus potencialidades sean observables, propuestas como estas
permiten fundamentar teóricamente el uso del software de geometría dinámica para
la construcción que privilegia la aplicabilidad matemática en situaciones reales.
Objetivos
Objetivo general
Implementar y evaluar una ingeniería didáctica para la enseñanza de la parábola
como lugar geométrico, en la que se utiliza el software de geometría dinámica CarMetal como medio, con el fin de identificar los aspectos técnicos y didácticos que
contribuyen a un mejor aprendizaje por parte de los estudiantes usando tecnologías
informáticas.
– 151
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Objetivos específicos
Analizar el software de geometría dinámica como un medio con el cual los estudiantes interactúan, medio que facilita un aprendizaje por adaptación.
Analizar el trabajo del profesor, estudiando la relación entre los procesos de devolución y de validación para identificar intervenciones adecuadas o inadecuadas
desde el punto de vista de la teoría de situaciones didácticas.
Analizar el proceso de institucionalización para identificar continuidades y discontinuidades entre el trabajo independiente de los estudiantes y la exposición del
saber por parte del profesor.
Metodología
Se describirá a continuación los tres aspectos teóricos y metodológicos que sustentan
este trabajo: el uso del software de geometría dinámica como medio para la construcción matemática en el aula, la teoría de situaciones didácticas para analizar el software de geometría dinámica y la ingeniería didáctica como la metodología que permite
desarrollar fase a fase la implementación de este proyecto.
Sobre el uso del software de geometría dinámica
Distintos autores han estudiado el uso del software de geometría dinámica para la
enseñanza de las matemáticas, sus ventajas y dificultades. Algunas de estas ventajas
no radican principalmente en la posibilidad de realizar dibujos rápidamente, sino en
la posibilidad de organizar una actividad matemática en la clase que enfatiza en la
experimentación, la elaboración de conjeturas y la confirmación de estas.
Según Barroso (2003), el uso de la geometría dinámica favorece el uso de heurísticas en la resolución de problemas, gracias a la formulación y validación de conjeturas o la construcción de contraejemplos que permiten el rechazo o la modificación
de estas conjeturas.
Aunque muchos estudios muestran el potencial del software para el aprendizaje
de las matemáticas, hay otros que reportan que los profesores no lo usan. Una de
las dificultades frente al uso del software geométrico en el aula es un desequilibrio
entre el punto de vista matemático y el punto de vista didáctico: al ser la geometría
dinámica destinada para la enseñanza no se la reconoce como una herramienta
legítima para hacer matemáticas (Acosta, 2005), lo que desvirtúa su potencialidad
para la construcción matemática.
– 152
II. Ponencias
Sobre la teoría de situaciones didácticas
En muchos de los reportes de innovación que dan cuenta de la utilización de las
tecnologías informáticas en el aula se observa otra dificultad en el uso del software
geométrico: la carencia de una orientación teórica clara que posibilite analizar lo sucedido. De allí la necesidad de que este proyecto se sustente sólidamente desde una
teoría que permita identificar claramente el papel de las tecnologías informáticas en
el aprendizaje de los estudiantes.
Según Acosta (2005), quien utiliza la teoría de situaciones didácticas para analizar los procesos de enseñanza-aprendizaje con tecnología, el software geometría
dinámica es un medio material con el cual el estudiante interactúa para resolver
problemas produciendo un aprendizaje por adaptación. Este enfoque teórico permite describir de manera precisa el rol del profesor y el estudiante a partir del análisis de los tres procesos planteados por la teoría: la validación, la devolución y la
institucionalización (Margolinas, 2008), además permite evidenciar el dinamismo
de las representaciones en el software de geometría dinámica e invalidar estrategias
no matemáticas de resolución, presentando el análisis geométrico como estrategia
matemática de resolución de problemas.
A continuación se exponen las principales ideas de esta teoría. Primero el aprendizaje por adaptación que es producto de la interacción entre el estudiante y el
medio.
Figura 1. Diagrama de interacción entre el sujeto y el medio para producir
aprendizaje por adaptación
Fuente: Acosta (2010).
Según Acosta (2010),
el sujeto tiene una intención y realiza una acción sobre el medio. El medio
reacciona a esa acción. El sujeto interpreta esta retroacción para poder validar o
invalidar su acción. Si la acción que realizó el sujeto no alcanza lo que él quería,
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
entonces la validación es negativa, y el sujeto modifica su acción para poder
alcanzar lo que se propone. Si la acción sí alcanzó lo que el sujeto quería, la validación es positiva y el sujeto refuerza dicha acción (p. 175).
Para analizar las relaciones profesor-software-alumno, este proyecto centra su
atención en los procesos de validación, devolución e institucionalización propuestas por la teoría de situaciones didácticas. La validación se hace visible en todos los
elementos de interacción del sujeto con el medio. El estudiante a partir de su acción con el software y de las retroacciones que recibe de este, va dotando de validez
sus conjeturas, así cada una de las acciones está en función de la validación. Cuando el estudiante emplea una estrategia de solución aparece un nuevo elemento de
validación en donde él pone en marcha una estrategia para solucionar el problema,
luego controla los procesos de solución, lo que trae consigo la validación final de
las conjeturas.
El proceso de devolución centra su mirada en las acciones del profesor, en la manera como este acompaña el proceso de validación de sus estudiantes y como interviene para que el alumno tenga un aprendizaje por adaptación. Este proceso hace
énfasis en la forma en que el profesor interviene en la interacción del estudiante con
el software, garantizando en sus estudiantes la posibilidad de validar. Estas intervenciones del profesor reciben el nombre de actos de devolución (Puentes, 2013).
La función del profesor en el proceso de validación es intervenir para activar las
estrategias y conocimientos que lleven al estudiante a validar sus conjeturas. La
devolución se lleva a cabo mediante las discusiones, la problematización de situaciones, la abstención de juicios que interfieran en las validaciones de los estudiantes, la comunicación de estrategias que lleven a los estudiantes a la solución que el
profesor desea del problema.
La institucionalización es el proceso por el cual el profesor contribuye a que el
alumno genere ese proyecto con el que afrontará la situación y que le permitirá
adquirir los conocimientos que luego darán sentido al saber. Cada intervención del
profesor redefine las relaciones que pueden tener los comportamientos o las producciones libres del alumno con el saber cultural o científico que se desea transmitir.
Además de ser una imbricación como proceso frente a la devolución, la institucionalización supone establecer relaciones entre las producciones de los alumnos y el
saber cultural. Cuando el alumno termina el proceso de solución del problema
el profesor debe establecer conclusiones a partir de lo producido por los alumnos,
debe recapitular, sistematizar, ordenar, vincular lo que se produjo en diferentes mo– 154
II. Ponencias
mentos del desarrollo de la secuencia didáctica a fin de poder establecer relaciones
entre las producciones de los alumnos y el saber cultural.
Sobre la ingeniería didáctica
La ingeniería didáctica se caracteriza según Artigue (1995) en primer lugar, por ser
un esquema experimental basado en las realizaciones didácticas en clase, es decir,
sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.
Para reflexionar sobre las ventajas y dificultes del uso del software, la ingeniería didáctica propone recolectar y analizar datos tras la confrontación de un análisis a priori y
un análisis a posteriori, para llegar a la validación o refutación de las hipótesis iniciales. En el análisis a priori se describen con precisión las variables que se considerarán
en la implementación y cómo estas variables inciden en el aprendizaje, basándose en
un alumno genérico. La intención del análisis a posteriori es buscar evidencias que
sirvan para confirmar o refutar esas hipótesis sobre un grupo concreto de individuos.
Para poder confrontar estos análisis, la ingeniería didáctica propone cuatro fases:
1. Análisis preliminar; 2. Diseño y análisis a priori; 3. Experimentación y recolección
de datos; 4. Análisis a posteriori. En esta implementación no se desarrollará la fase
de análisis preliminar, ya que ha sido desarrollada con anterioridad. Dentro del diseño y construcción de los análisis a priori y a posteriori se describirá cada una de las
variables que pueden surgir en la implementación, estas variables estarán referidas a:
• Los tres tipos de situaciones didácticas: el proceso de la devolución, el proceso
de la institucionalización y el proceso de la validación planteados por Brousseau
(2011) dentro del marco de la teoría de situaciones didácticas.
• El medio: que dentro del marco de la teoría de situaciones didácticas permite al
estudiante aprender por adaptación, y que desde una interpretación de Acosta
(2005) puede ser imbricado con el software de geometría dinámica.
Resultados
Una vez desarrollado el análisis preliminar de la ingeniería didáctica se propone la
siguiente serie de actividades sobre las cuales recaerá el análisis a priori, la experimentación y el análisis a posteriori.
– 155
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Situación inicial
La leyenda sobre la manera como Arquímedes consiguió derrotar a la flota romana
que asediaba Siracusa aproximadamente entre los años 212 y 214 a. C., usando una
serie de espejos que concentraron los rayos solares en las velas de los barcos haciéndolos arder, ha despertado controversias a lo largo de la historia sobre su veracidad;
durante todos estos siglos ha habido célebres partidarios de que se trataba de una
patraña y, por supuesto, han existido importantes defensores de su efectividad. Con
este experimento se pretende que seamos capaces de tomar una postura sobre la
veracidad o no de la leyenda.
Actividades
Como se mencionó antes, esta ingeniería tiene dos momentos: el primer momento
de experimentación con rayos láser y espejos, que corresponderá a la actividad 1,
consiste en construir un dispositivo que concentre rayos de luz en un solo punto
para iluminarlo intensamente o calentarlo, y el segundo momento de experimentación con el software de geometría dinámica para modelar la situación observada con
los rayos láser, que corresponderá a las actividades 2, 3, 4 y 5, consiste en modelar la
experimentación realizada con los espejos y los rayos láser haciendo uso del software
de geometría dinámica. Se busca que en cada una de las actividades los estudiantes
estén conjeturando sobre situaciones que les ayuden a tomar una postura sobre la
leyenda, construyendo mientras tanto la parábola como dos lugares geométricos.
Actividad 1: haciendo uso de rayos láser y espejos planos sobre medio pliego de
papel dispuesto en orientación ‘horizontal’, con líneas rectas verticales cada 5 cm, se
desea reflejar 10 rayos láser sobre 10 espejos planos en contacto sobre un objeto O.
Este dibujo servirá como insumo en la modelación con el software.
Figura 2. Presentación gráfica de la tarea 1 sobre rayos láser y espejos planos
– 156
II. Ponencias
Figura 3. Muestra del trabajo desarrollado por los estudiantes
Actividad 2: una vez terminada la experimentación con los rayos láser y espejos y
terminado el dibujo en la hoja de papel, se pretende construir en el software el rayo
reflejado sobre el primer espejo teniendo el rayo incidente. En esta tarea, después
de la experimentación de los estudiantes se propone el desarrollo de un proceso de
análisis para concluir que el rayo reflejado es una línea simétrica al rayo incidente
teniendo como eje de simetría el espejo.
Figura 4. Presentación grafica de la tarea 2 sobre la construcción del rayo reflejado,
siendo RI: rayo incidente, E: el espejo y O: el objeto
Actividad 3: construido el primer rayo reflejado, se necesita construir el espejo
tediendo para ello como referencia el rayo incidente y el rayo reflejado. En esta tarea,
los estudiantes luego de la experimentación construyen el espejo como una de las
bisectrices del ángulo formado por el rayo incidente y el rayo reflejado.
– 157
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Figura 5. Presentación gráfica de la tarea 3 sobre la construcción del espejo,
siendo RI: rayo incidente y O: el objeto
Actividad 4: construido el primer espejo, se requiere ahora construir el segundo
espejo que tiene características propias; este espejo debe tener un punto de contacto
con el primer espejo. En esta tarea se propone un segundo proceso de análisis para
construir el segundo espejo.
Figura 6. Presentación gráfica de la tarea 4 sobre la construcción del segundo espejo, siendo RI:
rayo incidente, RR: el rayo reflejado, O: el objeto y RI2: el rayo incidente 2
Actividad 5: sabiendo construir el primer espejo, el primer rayo reflejado y el
segundo espejo, el estudiante debe construir los 10 espejos y los 10 rayos reflejados
sobre el objeto, modelando por completo la experimentación realizada en la actividad 1.
– 158
II. Ponencias
Figura 7. Muestra de la modelación elaborada por los estudiantes
Actividad 6: terminada la modelación, se proponen situaciones que lleven a la
discusión sobre los propósitos de la implementación; se espera que los estudiantes
logren construir que:
• Una parábola es el lugar de todos los rayos paralelos a su eje que reflejan rayos
sobre un punto llamado foco.
• Una parábola es también el lugar de todos los puntos que equidistan del foco y
de una recta llamada directriz.
Se discute además sobre cómo el dinamismo de las representaciones en el software de geometría dinámica y la referencia al experimento hecho con espejos permiten
al profesor invalidar estrategias no matemáticas de resolución y presentar el análisis
geométrico como estrategia matemática de resolución de problemas.
Previo a la experimentación de esta ingeniería didáctica se consideró cada una de
las variables en el marco del análisis a priori, y una vez terminada se confrontó con
los resultados obtenidos en el marco del análisis a posteriori. A continuación se presenta un ejemplo de esta confrontación en una de las actividades propuestas; cabe
resaltar que este proceso se desarrolla para cada una de las actividades.
Tabla 1. Ejemplo de la confrontación en uno de los momentos
de una de las actividades propuestas
Actividad 2: se pretende construir en el software el rayo reflejado sobre el primer espejo teniendo el rayo
incidente. La primera acción de los estudiantes es construir un segmento cualquiera sin considerar que su
movimiento depende del movimiento del espejo, entendiendo la tarea como un dibujo estático y no como una
construcción.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Análisis a priori: se presentan las variables, los
procesos de validación, institucionalización,
devolución y la interacción con el medio de lo que
se prevé para el desarrollo de cada actividad.
Análisis a posterior: se confrontan los resultados obtenidos tras la experimentación con lo previstos en el análisis
a priori.
Como se había previsto en el análisis a priori el estudiante
entiende el problema como un proceso de construcción
estática; cuando el profesor pide que mueva el segmento
que representa el espejo, el estudiante reconoce que la
línea que representa el rayo reflejado no se mueve, situación que no ocurría en la experimentación. Por su propia
Para resolver la tarea se espera que la primera
cuenta y tras la reacción que generó el software (medio),
estrategia del estudiante sea dibujar un segmento el estudiante invalida la acción y decide empezar con otra
cualquiera desde el punto de intersección del rayo acción. En este momento son visibles los procesos planincidente y el espejo, entendiendo el problema
teados por la teoría: la devolución con las intervenciones
como una representación estática. El profesor
del profesor, la validación en las acciones del estudiante,
debe intervenir pidiendo al estudiante que mueva y la institucionalización implícita sobre la necesidad de
el espejo para que él comprenda que el problema que se entienda el problema como una construcción y no
es un problema de representación dinámica, es
como una representación estática. Además se aprecia la
decir, el rayo reflejado debe moverse junto con el mediación del software que permite al estudiante por su
espejo; en este momento el estudiante comprende cuenta invalidar una acción.
que se enfrenta a un problema de construcción,
mas no de dibujo, y esto hace que invalide su
acción; el estudiante debería comprender que no
se puede construir el rayo reflejado construyendo
un segmento desde el punto de intersección del
rayo incidente y el espejo.
Muestra de la acción desarrolladad por el estudiante.
Conclusiones
Aunque son numerosas las bondades que el software de geometría dinámica tiene
en el proceso de construir conjeturas y experimentar para probarlas, la falta de un
sustento teórico que fundamente la práctica de hacer matemática usando la tecnología impide que sus potencialidades sean observables y la relegan en el ámbito
educativo a ser un instrumento más en la enseñanza de las matemáticas.
Se espera que esta propuesta permita tomar una postura crítica sobre la necesidad
de hacer uso de las nuevas tecnologías informáticas en la construcción de conoci– 160
II. Ponencias
miento en las aulas, argumentando y sustentando teóricamente su uso. Emplear las
tecnologías informáticas para reproducir un conocimiento no termina por ser un
mecanismo potente de enseñanza, en cambio configurar una situación para que los
estudiantes aprendan por construcción permite interactuar para aprender.
La implementación de esta ingeniería didáctica posibilitó discutir sobre modelos
que permiten organizar y fundamentar una práctica docente para utilizar las tecnologías informáticas en el aula, específicamente el software de geometría dinámica,
privilegiando el sustento teórico y metodológico como las estructuras que garantizan la construcción del aprendizaje. El enfoque teórico de las situaciones didácticas
y la interpretación de Acosta (2005), quien usa el software de geometría dinámica
como un medio material con el cual el estudiante interactúa para resolver problemas, permitió aprovechar el software de geometría dinámica como medio para definir la parábola como dos lugares geométricos.
La teoría de situaciones didácticas permite identificar una serie de elementos teóricos que sustentan el diseño e implementación de propuestas educativas innovadoras. Esta propuesta sustentada desde esta teoría se convierte en un camino que se
puede replicar en situaciones que pretendan hacer uso de tecnologías informáticas
en el aula.
Implementar un modelo didáctico en el aula habiendo considerado cada una de
las variables que intervienen en el proceso de aprendizaje, considerando además
las acciones de los implicados en el proceso (sujeto, medio y profesor) frente a
estas variables, garantiza que el proceso de aprendizaje se cumpla desde la teoría,
considerando un alumno genérico y que ha sido estudiado a profundidad en cada
uno de los análisis. Este tipo de diseños privilegian la planeación sobre la ejecución
y dotan de argumentos teóricos y conceptuales cada una de las intervenciones del
profesor en el aula.
Los estudiantes definen la parábola como el lugar de todos los rayos paralelos
a su eje que reflejan rayos sobre un punto llamado foco y también como el lugar
de todos los puntos que equidistan del foco y de una recta llamada directriz, pero
además son capaces de poner en contexto estas definiciones, bien sea debatiendo
sobre la veracidad de una leyenda o situando este en el contexto de las situaciones
que permean su realidad.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
Acosta, M. E., Blanco, L. A. M., y Gómez, K. L. R. (2010). Situaciones a-didácticas para la
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Acosta, M. E. A. (2005). Geometría experimental con Cabri: una nueva praxeología matemática. Educación Matemática, 17(3), 121-140.
Artigue, M., Douady, R., Moreno, L., y Gómez, P. (1995). Ingeniería didáctica en educación
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Barroso, R. (2003). Elección de cuatro problemas geométricos para una investigación sobre la
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Brousseau, G. (2011). La théorie des situations didactiques en mathématiques (Vol. 5, No. 1, pp.
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Margolinas, C. (2008). La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de matemáticas.
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Puentes, M. R., Navas, Á. M. N., y Gempeler, M. A. (2013). Automatización de actos de
devolución en el software Cabri LM. Revista Científica, 365-367.
– 162
DETECCIÓN Y SUPERACIÓN
DE OBSTÁCULOS COGNITIVOS
CONFERIDOS AL CONCEPTO DE
FUNCIÓN
Miryan Trujillo Cedeño
mtrujillo@unisalle.edu.co
Universidad de La Salle. Bogotá, Colombia
Resumen
El presente escrito muestra resultados relacionados con una
investigación que tuvo como propósito sustentar empíricamente una posible alternativa didáctica que tomara en cuenta
los obstáculos cognitivos y la mediación de la calculadora graficadora que permitiera el mejoramiento del aprendizaje de las
matemáticas en general, y del concepto de función en particular. Se siguió una metodología basada en la ingeniería didáctica y un tipo de diseño antes-después sin grupo control, con los
obstáculos cognitivos por superar, como variable dependiente.
Además, con una variable experimental, dada por la estrategia (guías pautadas mediadas por calculadora) y una prueba
final que midió el efecto sobre la variable experimental. Previamente se aplicó una prueba diagnóstica para categorizar la
población en niveles de formación matemática e identificar en
esta la presencia de obstáculos cognitivos asociados al concepto de función.
Los resultados indican que si bien los obstáculos son resistentes, los estudiantes logran mejorar su nivel de formación matemática, comprobándose que la calculadora graficadora puede
ser un instrumento mediador si las retroalimentaciones que
produce son respaldadas por devoluciones de los problemas,
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
por parte del profesor, en respuesta a las actuaciones de los estudiantes con respecto
a las retroalimentaciones que proporciona la tecnología.
Palabras clave: calculadora, cálculo diferencial, didáctica, obstáculos cognitivos.
Abstract
This paper is related to an investigation that was intended to empirically support a
posible alternative to teaching that takes into account the cognitive obstacles and the
use of graphing calculator that would improve the learning process on mathematics
in general and the concept of function in particular. A methodology based on teaching engineering and a design before-after group to overcome cognitive obstacles
as the dependent variable.
In addition, an experimental variable, given by the strategy (model guides mediated calculator) and a final test that measured the effect on experimental variable. Previously, a diagnostic test to categorize the population levels of mathematical
background and identify the presence of this cognitive obstacles associated with the
concept of function was applied.
The results show that while the obstacles are tough, students are able to improve
their mathematical training level, proving that the graphing calculator can be a mediating instrument if the feedbacks are supported by the teacher, in response to the
actions of the students regarding the feedback that provides the technology.
Keywords: Calculator, cognitive obstacles, differential calculus, didactics.
Introducción
La problemática que originó el proyecto base está relacionada con el bajo aprovechamiento de los primeros cursos de la componente matemática de los currículos
universitarios colombianos en los planes de ingenierías y ciencias. El proyecto se
focalizó en las relaciones entre la formación matemática de los estudiantes que ingresan a la Universidad de La Salle y las demandas sobre la comprensión de los
conceptos fundamentales (función, límite continuidad y derivada) que definen la
estructura del curso de cálculo diferencial para estudiantes de ingenierías en esta
universidad.
Este enfoque está motivado por estudios sobre la comprensión de conceptos matemáticos –sobre los conceptos de función (Sierpinska, 1992, Álvarez y Delgado,
2002), continuidad y límite (Cornu, 1981, Sierpinska, 1985, Delgado y Azcárate,
– 164
II. Ponencias
1996, Delgado, 1998)– los cuales revelan que ciertos conocimientos de los alumnos
obstaculizan la comprensión y enfatizan sobre la necesidad de tomarlos en consideración en el momento de planear y realizar la intervención didáctica. Esto es así
porque la comprensión se considera “un acto implicado en un proceso de interpretación, siendo esta un desarrollo dialéctico entre conjeturas más y más elaboradas y
validaciones de esas conjeturas” (Sierpinska, 1990, p. 26).
Estas investigaciones también señalan la importancia de considerar el concepto
de obstáculo epistemológico introducido por Bachelard (1938):
Es en términos de obstáculos que se debe plantear el problema del conocimiento científico. No se trata de considerar los obstáculos externos, como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos ni de incriminar la debilidad de los
sentidos y del espíritu humano: es en el acto mismo de conocer, íntimamente,
que aparecen, por una clase de necesidad funcional, son lentos y son problema.
Es aquí que se encuentran las causas del estancamiento y aún de la regresión,
es aquí que hay que encontrar las causas de la inercia que es eso que llamamos
obstáculo (p. 15).
Este término fue introducido por Brousseau (1983) en el campo de la didáctica,
como conocimiento intrínseco a la naturaleza del saber matemático que funciona
en ciertos dominios pero que en otros resulta ineficaz. Siguiendo la idea de Delgado (1998), los obstáculos epistemológicos constituyen una subcategoría de una
clase más amplia de obstáculos llamados cognitivos –como conocimiento que tiene
dos aspectos, el primero, negativo ya que impide acceder al conocimiento nuevo, y
el segundo, positivo porque la readaptación del conocimiento obstáculo a ciertas
situaciones produce el conocimiento nuevo– para indicar que se incluyen obstáculos de origen ontogenético –causados por ciertos funcionamientos automáticos del
sistema cognitivo– y los de origen didáctico, resultado de transposiciones didácticas.
A partir del análisis de la problemática expuesta, el problema de investigación se
planteó en torno de la búsqueda de respuestas a las siguientes preguntas:
• ¿Se puede atribuir a la presencia de obstáculos cognitivos, asociados al concepto
de función, la ausencia de una concepción estructural de este concepto?
• ¿Cuáles son las implicaciones del uso de una secuencia didáctica en la que se
tomen en cuenta los obstáculos cognitivos y la mediación de la calculadora graficadora, en el franqueamiento de algunos obstáculos cognitivos relacionados con
el concepto de función, presentes en los estudiantes de primer semestre en la
Universidad de La Salle?
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Con el fin de dar respuesta a las preguntas anteriores, se planteó como objetivo
sustentar con datos empíricos una posible alternativa didáctica basada en una secuencia didáctica que tomara en cuenta los obstáculos cognitivos y la mediación de
la calculadora graficadora que permitiera el mejoramiento del aprendizaje de las
matemáticas en general y del concepto de función en particular.
La metodología seguida se basó en la ingeniería didáctica, con un tipo de diseño
antes-después sin grupo de control, que contaba con los obstáculos cognitivos a
superar, como variable dependiente. Se contó además con una variable experimental, dada por la estrategia (guía pautada) y una prueba final aplicada después de un
tiempo de desarrollada la estrategia y que permitió la medición del efecto causado
sobre la variable experimental.
Los resultados revelaron que en los cursos de primer semestre de ingenierías en la
Universidad de La Salle existen problemas de comprensión alrededor del concepto
de función, que persisten o evolucionan muy lentamente.
Según los resultados, también se pudo observar que algunos estudiantes franquearon pocos o ninguno de los obstáculos identificados, lo que demuestra que la
superación es lenta y, como se indica en Brousseau (1983), los errores que manifiestan la presencia de los obstáculos “no desaparecen radicalmente, de un solo golpe,
resisten, persisten, luego resurgen, se manifiestan mucho tiempo después que el
sujeto haya rechazado el modelo defectuoso de su sistema cognitivo consciente”.
En relación con el uso de la calculadora graficadora como instrumento mediador,
dentro del diseño de las situaciones de aprendizaje, además de usarse como medio
de comprobación se utilizó como mediador en actividades de exploración y formulación en la medida en que facilitó cambios en los modelos que llevaron a hacer
conjeturas y establecer generalizaciones.
Un asunto central de la investigación fue: probar, empíricamente, que la superación de obstáculos cognitivos asociados al concepto de función es necesaria para la
construcción de una concepción estructural2 del concepto en mención.
2
Según A. Sfard (1991), ver una entidad matemática como un objeto (estructural) significa ser capaz de referirse
a él como si fuera una cosa real. También significa ser capaz de reconocer la idea “con una mirada” y manipularla
como una totalidad sin entrar en detalles. Interpretar una noción como un proceso implica considerarla como
una entidad potencial más que como entidad actual, que viene a nuestra existencia interior en petición de una
secuencia de acciones (p. 4).
– 166
II. Ponencias
Objetivo
Sustentar con datos empíricos una posible alternativa didáctica basada en una secuencia didáctica que tomara en cuenta los obstáculos cognitivos y la mediación
de la calculadora graficadora que permitiera el mejoramiento del aprendizaje de las
matemáticas en general y del concepto de función en particular.
Metodología
La investigación se efectuó con estudiantes de primer semestre de ingenierías cuyas
edades oscilaban entre 16 y 18 años, dentro del espacio académico de cálculo diferencial.
Para el desarrollo del proyecto se planteó una hipótesis general –para alcanzar una
concepción estructural de función es necesario superar ciertos obstáculos epistemológicos asociados a dicho concepto– y para probarla se formuló una hipótesis de
trabajo según la cual los modelos pedagógicos fundamentados en la presentación
de los conceptos, la explicación, ejemplos y ejercicios en donde el profesor, como
poseedor de la información, asume el trabajo activo y los estudiantes son receptores obsecuentes del saber ya deglutido, no favorecen una actividad constructiva del
estudiante. Estos modelos descuidan el enfrentamiento de los obstáculos cognitivos que puedan estar establecidos en la mente de los estudiantes. En tanto que un
modelo que se fundamenta en la interactividad entre alumnos y alumnos-profesor
en torno a situaciones en las que se ha recontextualizado un conocimiento, obliga a
explicitar los significados que el estudiante asigna a la situación y favorece la negociación de los significados personales en torno a los significados socialmente compartidos. La formulación explícita de los significados personales permite detectar,
enfrentar y mediar en el franqueamiento de los obstáculos cognitivos.
Con el fin de validar la hipótesis de trabajo se siguió una metodología basada en la
ingeniería didáctica, con un tipo de diseño antes-después sin grupo de control, que
contaba con los obstáculos cognitivos por superar, como variable dependiente. Se
contó además con una variable experimental, dada por la estrategia (guía pautada)
y una prueba final aplicada después de un tiempo de desarrollada la estrategia y que
permitió la medición del efecto causado sobre la variable experimental.
Los instrumentos utilizados en la recolección de la información fueron: una prueba diagnóstica (preprueba), aplicada en dos sesiones de dos horas cada una, que
tenía como objetivos categorizar la población en niveles de formación matemática
e identificar la presencia, en los estudiantes, de obstáculos cognitivos asociados al
– 167
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
concepto de función. De la lista de Anna Sierpinska (1992) se eligieron los siguientes obstáculos epistemológicos:
OE(f)-1: (una filosofía de las matemáticas): la matemática no es asunto de problemas prácticos. OE(f)-3: (esquema inconsciente de pensamiento): observar los
cambios como un fenómeno; tomando el foco de atención en la manera como las
cosas cambian, ignorando qué cambia. OE(f)-4: (esquema de pensamiento inconsciente): pensando en términos de ecuaciones e incógnitas para hacer extracciones
de ellas. OE(f)-5: (esquema de pensamiento inconsciente): mirar el orden de las variables como irrelevante. OE(f)-8: (esquema de pensamiento inconsciente): las leyes
físicas y las funciones en matemáticas no tienen nada en común; ellas pertenecen
a diferentes dominios (compartimentos) de pensamiento. OE(f)-10: (una creencia
respecto a los métodos matemáticos): creencia fuerte en el poder de las operaciones
formales sobre expresiones algebraicas. OE(f)-11: (una concepción de función): solo
las relaciones descritas por fórmulas analíticas son dignas del nombre de función.
OE(f)-12: (una concepción de definición): la definición es una descripción de un
objeto conocido de otra manera por percepción o discernimiento. La definición no
determina el objeto; más bien el objeto determina la definición. Una definición no
es obligatoria lógicamente. OE(f)-15: discriminación entre diferentes formas de representar funciones y las funciones mismas.
Por otro lado, se estuvo interesado en saber si un estudiante podía tener una
comprensión estructural mejor establecida de función, que una comprensión operacional. Los criterios que determinaron el tipo de comprensión en los estudiantes
estuvieron basados en algunas componentes del vector que determina el nivel básico de función de acuerdo con Álvarez y Delgado (2002):
NEI = nivel de éxito de cada estudiante al seleccionar funciones que poseen inversa.
NECB = nivel de éxito que tiene el estudiante para realizar los cálculos básicos.
NEC = nivel de éxito en un cálculo.
Se consideró que un estudiante posee una concepción estructural de función,
cuando su nivel de éxito al identificar funciones que poseen función inversa (NEI)
sea mayor o igual que 0,66, su nivel de éxito al calcular la composición de funciones
(NEC de h(g(a)) ) sea mayor o igual que 3,00 y el nivel de éxito en el reconocimiento
de función como objeto sea igual a 1. Tendrá una concepción operacional de función
si su nivel de éxito al calcular imágenes (NEC de f(a)), es mayor o igual que 3,00 y su
nivel de éxito al calcular preimágenes (NEC de f(x) = b) es mayor o igual que 3,00.
– 168
II. Ponencias
La estrategia didáctica utilizada se centró en el diseño y gestión de una secuencia
didáctica estructurada, en torno a guías pautadas mediadas por la calculadora graficadora.
Se diseñaron dos guías pautadas: una primera, aplicada durante tres semanas, relacionada con estructuras algebraicas y de orden en los reales y la segunda, aplicada
durante cuatro semanas, relacionada con el concepto de función y diseñadas con
base en la teoría de situaciones de Brousseau, tendientes a superar los obstáculos
cognitivos identificados en la prueba diagnóstica. Tiempo después de desarrollada
la secuencia didáctica se aplicó una prueba final para medir el efecto sobre la variable dependiente de la variable experimental.
Resultados
La figura 1 (ver el anexo 1) muestra los resultados del número de obstáculos (se identifican por los numerales i que corresponden a la sigla OE (f)-i) superados por cada
estudiante (numerados del 1 al 16) de la población objetivo. En cuanto a la población
objetivo y con relación al porcentaje de los obstáculos superados se puede concluir
que los estudiantes 6 y 8 superaron 77,8 % de los obstáculos; el estudiante 10, 66,7 %;
el estudiante 5, 44,4 %; los estudiantes números 2, 12, 13, 14 y 15,33 %; los estudiantes números 3, 9 y 11, 22,2 %; el estudiante 7, 11,1 %; mientras que los estudiantes
números 1, 4 y 16 no superaron ningún obstáculo.
En la tabla 1 (ver el anexo 2) aparecen los resultados de la preprueba (I) y la
posprueba (F) en lo relacionado con las concepciones estructural y operacional de
función en la población de 16 estudiantes.
I = preprueba
F = posprueba
NO = no tener la concepción estructural u operacional de función.
S I= tener la concepción estructural u operacional de función.
Los resultados contenidos en la tabla reflejan que:
• Antes de la aplicación de la estrategia, 6,3 % de los estudiantes tenía una concepción operacional de función, después 68,8 % alcanzó tal nivel.
• Antes de la aplicación de la estrategia ningún estudiante tenía una concepción
estructural de función, después solo 12,5 % alcanzó tal nivel.
– 169
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Discusión
En relación con los obstáculos epistemológicos asociados con el concepto de función,
se observa que algunos estudiantes franquearon pocos o ninguno de los obstáculos
identificados, lo que demuestra que la superación es lenta y, tal como se indica en
Brousseau (1983), los errores que evidencian la presencia de los obstáculos son resistentes y pueden resurgir tiempo después de que el individuo haya rechazado el
modelo defectuoso de su sistema cognitivo consciente.
Con relación al uso de la calculadora graficadora como instrumento mediador,
dentro del diseño de las situaciones de aprendizaje, se encontró que se podría usar
no solo como medio de comprobación sino también como mediador en actividades
de exploración y formulación que permitan a los estudiantes conjeturar y establecer
generalizaciones, acciones clave en la superación de obstáculos asociados a conceptos matemáticos en general y de función en particular.
Según los resultados, 31,3 % no consiguió una concepción operacional de función,
debido posiblemente a la mala preparación académica con que llegan los bachilleres
al primer semestre de universidad, unido al tiempo de maduración que requieren
los conocimientos para ser apropiados por la mente humana que es mucho mayor
que el empleado en el proceso de aplicación de la estrategia.
En cuanto a la hipótesis general y de trabajo, estas tienen plena confirmación en
la investigación por cuanto se puede concluir, de acuerdo con los resultados, que la
adquisición por parte de los estudiantes de una concepción estructural de función
depende del número de obstáculos cognitivos superados. Esto podría implicar una
postura diferente respecto a la organización de la enseñanza de los conceptos básicos del cálculo y del concepto de función en particular.
Conclusiones
A través de la estrategia utilizada en la superación de obstáculos cognitivos se permitió al profesor anticiparse a las dificultades que tienen los estudiantes durante el proceso de construcción de un concepto matemático y, en consecuencia, se pudo ejercer
un control regulando las situacione encaminadas a superar los obstáculos, teniendo
siempre presente el objetivo por alcanzar; además, desde el diseño de las situaciones
se pudo hacer una evaluación permanente de los desempeños de los estudiantes que
permitía hacer una retroalimentación en el proceso mismo. El control y la responsabilidad del desarrollo de las actividades se traspasaron gradualmente del profesor,
constructor de las situaciones, a los estudiantes que se encargaban de reconstruir o
– 170
II. Ponencias
construir los significados que la naturaleza matemática de ellas hacía necesarios para
alcanzar el éxito de los procesos.
Del análisis a posteriori se puede concluir que:
1. Algunos estudiantes comprendieron y asumieron la tarea de construir el concepto de función empleando sus conocimientos matemáticos, aprendiendo aquellos
que se hicieron necesarios y construyendo nuevos conceptos.
2. Las ayudas que se proporcionaron en las instrucciones que acompañaban ciertas
situaciones, incluyendo el uso de la calculadora graficadora, surtieron efecto, y en
la mayoría de los casos se observó que el estudiante regresaba a situaciones ya
transitadas con la confianza de encontrar soporte a sus acciones.
3. El hecho de que el profesor pudiera anticiparse a las dificultades de los estudiantes permitió diseñar actividades en las que la calculadora resultó ser un instrumento mediador útil en la construcción del concepto de función, así como el
papel que dicho instrumento podía desempeñar según la situación de aprendizaje, bien fuera de comprobación, también como mediador en actividades de exploración y formulación que permitieron a los estudiantes conjeturar y establecer
generalizaciones.
– 171
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
Álvarez, J. & Delgado, C. (2002). The Tall-Vinner Problem. An Operative Reformulation. Proceedings of 26th Annual Conference of the International Group for the Psychology
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la connaissance objective. Paris: PUF. Traducción al español: La formación del espíritu científico. Contribución a un psicoanálisis del conocimiento objetivo. Siglo XXI.
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Delgado, C. (1998). Estudio microgenético de esquemas conceptuales asociados a definiciones de
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Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections processes
and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22.
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Hareld, G. (eds.), The concept of function: Some Aspects of Epistemology and Pedagogy,
MAA Notes 25: 25-58. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1992.
Traducción al español de César Delgado G. Documento interno, Univalle, Cali, Colombia.
Trujillo, M., Guerrero, J. y Castro, N. (2007). Obstáculos cognitivos en el aprendizaje del
concepto de función con la mediación de la calculadora graficadora. Revista de Investigación, 7(2), 223-233.
– 172
II. Ponencias
Anexo 1. Lista de figuras
Figura 1. Obstáculos cognitivos detectados y superados por cada estudiante
Fuente: Trujillo, Guerrero y Castro, 2007
Anexo 2. Lista de tablas
Tabla 1. Análisis de la concepción estructural y la concepción operacional de función.
NEC
NEI
h(g(a))
Est.
Función
como
objeto
NEC
NEC(f(a))
f(x)=b
Concepción
Concepción
Estructural
Operacional
I
F
I
F
I
F
I
F
I
F
I
F
I
F
1
0,00
0,00
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0
N
NO
NO
NO
NO
2
0,00
0,33
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
N
0
NO
NO
NO
NO
3
0,00
0,00
0
0,00
1,70
3,40
0,00
3,40
0
0
NO
NO
NO
SI
4
0,00
0,00
0
0,00
0,00
1,70
0,00
0,00
N
N
NO
NO
NO
NO
5
0,33
1,00
0
1,70
1,70
5,00
0,00
5,00
0
1
NO
NO
NO
SI
6
0,00
1,00
0
5,00
3,40
3,40
0,00
1,70
0
1
NO
SI
NO
NO
7
0,00
0,00
0
0,00
1,70
3,40
0,00
0,00
0
0
NO
NO
NO
NO
8
0,33
1,00
0
1,70
1,70
5,00
0,00
5,00
0
1
NO
NO
NO
SI
9
0,00
0,00
0
0,00
0,00
3,40
0,00
3,40
0
0
NO
NO
NO
SI
10
0,33
1,00
0
5,00
5,00
5,00
5,00
5,00
0
1
NO
SI
SI
SI
– 173
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
NEC
NEI
h(g(a))
Est.
Función
como
objeto
NEC
NEC(f(a))
f(x)=b
Concepción
Concepción
Estructural
Operacional
I
F
I
F
I
F
I
F
I
F
I
F
I
F
11
0,00
0,33
0
0,00
0,00
3,40
0,00
3,40
0
0
NO
NO
NO
SI
12
0,00
0,00
0
0,00
3,40
5,00
0,00
5,00
0
0
NO
NO
NO
SI
13
0,00
0,00
0
0,00
3,40
5,00
1,70
3,40
0
1
NO
NO
NO
SI
14
0,00
1,00
0
1,70
3,40
5,00
0,00
5,00
0
0
NO
NO
NO
SI
15
0,00
1,00
0
0,00
0,00
5,00
0,00
5,00
0
0
NO
NO
NO
SI
16
0,00
0,33
0
1,70
0,00
5,00
0,00
5,00
0
0
NO
NO
NO
SI
– 174
III. PÓSTERES
LINEAR FUNCTION: ARTICULATION
BETWEEN FORMS OF KNOWLEDGE
AND SYMBOLIC REPRESENTATIONS
IN THE TRANSITION FROM
SECONDARY TO HIGHER EDUCATION
Marlene Alves Dias
maralvesdias@gmail.com
Anhanguera University of São Paulo-UNIAN. Brazil
Tânia Maria Mendonça Campos
taniammcampos@hotmail.com
Anhanguera University of São Paulo-UNIAN. Brazil
Sirlene Neves de Andrade
sirlene-neves@hotmail.com
Anhanguera University of São Paulo-UNIAN. Brazil
Abstract
T
his is an extract from a survey about the transition from
high school to superior education. Its goal is to identify
knowledge that can be used spontaneously by students who
start higher education. Therefore, in this article we present
the results of the study on the possibility of working with the
notion of linear function, which takes into account the articulation between different forms of knowledge aggregated
to this notion introduced in secondary education, and their
symbolic representations. Analyses were performed through
official documents, textbooks and SARESP results, a macro
evaluation taken by of students from a public school in São
Paulo. We have observed that these students have difficulties
– 177
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
in articulating frames in mathematics and other sciences, in general, linked to the
need to choose an appropriate representation for the development of the proposed
tasks, once, besides serving as tools for the execution of the mathematical work in
question, will assist in the interpretation of the situation that can match school,
professional or everyday contexts.
Keywords: Frames, levels of knowledge, linear function, semiotic representation
registers.
Introduction
In this paper we present part of our research on the transition from secondary to
higher education. Its purpose is to identify the knowledge that can be considered as
previous knowledge available for students who start higher education, that is, those
that can be spontaneously used in the tasks proposed to them.
Thus, we chose to show how important an approach to the notion of linear function is in order to take into account the articulation between different forms of
knowledge aggregated to this notion and its symbolic representations, when it is
introduced in secondary education.
Our choice is linked to the need to have knowledge associated with linear function notion and its representations in order to develop students’ studies of higher
education, in particular those who choose the exact sciences, in the disciplines of
Mathematics and other sciences, as generally observed in our practice: students
who have this knowledge have less difficulties to understand, for example, the notion of derivative and function.
Thus, for the development of this research we have chosen Robert’s work (1998)
about the three levels of knowledge expected from students; Douady’s (1984, 1992),
on the frame notions and changing of frames, and Duval’s (1993, 1995, 2010), on the
concept of semiotic representation register and the importance of coordination of
the registers of semiotic representation in the development of mathematical activities as a theoretical basis framework.
Theoretical framework
We have chosen as a central theoretical framework of this research the theoretical
approach to knowledge levels expected of Robert as defined student (1998), which
allows better understand the possible articulations of frames as defined by Douady
– 178
III. Pósteres
(1984, 1992); the records of semiotic representation, as defined Duval (1993, 1995,
2010), necessary for the development of the tasks that are proposed to students both
in high school and higher education.
Robert (1998) defines three levels of knowledge expected from students, namely:
the technical level that corresponds to the application of a definition or theorem; the
mobile level that corresponds to the use of a concept when it is explicitly requested
by a task; and the available level which corresponds to the use of a concept without
this being explicitly requested, the student can find examples and counterexamples,
the student has the referential conditions.
Robert (1998) notes that it is necessary to consider the prior knowledge of students and that they have some experience about the work that is destined for them
when it comes to developing school mathematics, which leads us to consider that
the notion of linear function, which is introduced in the seventh grade of elementary school II (students aged 13-14 years old) is revisited in the Middle and Higher
Education, which allows us to assume that students already have some familiarity
with this notion and its representations. They can apply at least the techniques associated with it and make the necessary links in the algebraic, numeric, geometric
and analytical frames. This leads us to consider the frame notion defined by Douady (1992), which considers that a frame is made up of a branch of mathematical
objects, relations between objects, their possibly different formulations and mental images associated with these objects and these relationships, and these images
have an essential role and function as tools of frame objects.
To work in the frames and to make changes of the frames, it is necessary to have
the different registers of semiotic representation and to know which one to use
depending on the working environment frame, that is, there is the need for conversion between the possible semiotic representations of linear functions. This led us
to semiotic representation registration notions as in Duval (1993, 1995, 2010), which
defines semiotic representation record as a particular semiotic system that does not
work either as code or as a formal system; that is, it is essentially characterized by
specific cognitive operations it allows making. It is a semiotic system that should
allow the three fundamental cognitive activities associated with Semiosis, which
corresponds to seizure or production of a semiotic representation, namely: 1. the
forming representation; 2. treating representation; 3. conversion of representation.
We have used the following methodology to develop the research.
– 179
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Methodology
For starters, we analyze the institutional expectations of working with different forms
of knowledge articulated with symbolic representations through an analysis grid,
following the model of Dias (1998), built for this purpose.
For this analysis we used the official state of São Paulo and national documents
and two textbooks chosen from those shown by the Department of Education and
the teacher’s book distributed by the Secretariat of Education of São Paulo State.
In this analysis we try to highlight what level of knowledge may be expected from
students who complete secondary education, about the possibilities of articulation
between forms of knowledge and symbolic representations according to institutional proposals that are expected to have been developed in this school stage.
We also analyze the results of students for institutional macro evaluation SARESP,
when considering the tasks that require knowledge associated to the notion of linear function.
Following we present some results and discussions on the analysis made.
Results and discussion
The analysis of national and state official documents allows the observation that institutional expectations are based on the articulation of different forms of knowledge
and symbolic representations, even if the authors of such documents are not concerned with the changes of pictures and converting records. The proposal deals implicitly with these issues as they consider mathematics as a language for which there
are different symbolic representations and that, depending on the task proposed to
students, it is necessary to mobilize or disport knowledge to work with mathematical
concepts and notions both in mathematics and in other sciences or to model and
solve real-world problems.
As we consider the analysis of textbooks, it is possible to emphasize that, in
general, the books bring the definition of linear function and can be considered
using the conversions towards formula-table-graphic, but leave as proposed exercises the conversion in the opposite direction, that is, table-graphic formula, which
leads many students to not recognize the conversion table-formula or plot-formula,
which, in this case is left to teachers to work with, as if left to the students, they may
lack the necessary knowledge to modify them.
– 180
III. Pósteres
As to the macro evaluation SARESP, we observed that students’ difficulties are associated with issues that require graphic-formula conversion or table-formula, that
is, cases of conversions that are not explicitly covered by the school.
In addition, you must also consider the difficulties associated with the use of natural language representation of record for the case of so-called everyday problems,
because they require conversion of records, which, in this case, becomes even more
complex as it requires “translation” of the problem of data, which also seems to represent a difficulty that needs specific treatment for teaching.
This leads us to consider that the lack of explicit work on the conversion of different representations, which in general is left entirely to students, can be one of
the factors of the difficulties found by students to recognize and use the concept of
function, which is essential for the study of a large number of problems in natural
sciences, mathematics and technology.
In addition, the constant articulation of mathematical concepts being introduced
to those who were worked previously allows students to get used to looking over
“archives”of their knowledge, those that can be related to the notion of function and
enable them to find new means and solutions, more consistent with the knowledge
that they have, to a different task proposed in textbooks or the teacher, which is.
Conclusion
Based on the analysis results of institutional proposals (official documents and textbooks) and the ones found through SARESP macro evaluation, it was possible to determine, more specifically, what can be expected from the students who start higher
education in terms of retrospective knowledge when we consider the relationship
between forms of knowledge and symbolic representation.
The results allow us to conclude, considering the limits imposed by this type of
evaluation, that students from public schools in São Paulo present difficulties in the
articulation between frames of Mathematics itself and other sciences, in general, associated with an appropriate choice of adequate representation for the development
of proposed tasks, since, besides serving as a tool for implementation of mathematical work, it can assist students to interpret the situation which can either correspond
to a school, professional or ordinary context.
At that point, it is important to notice that you can not leave this task only to
high school and for activities involving the notion of linear function, for the work
in mathematics, no matter what stage of education that is taken into account, must
– 181
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
be developed so that the three levels of knowledge can be considered. This helps to
prepare the student for a constant questioning of notions that are associated with
that which you are working and what the actual situations that they provide a solution to, that is, the student should seek within their field of knowledge which one is
the most suitable and can be applied at that particular moment.
It is worth remembering that, also in relation to this paper, the analyzed textbooks
seem to be of great value to students and teachers because they can provide support
as they tend to show almost exhaustively all the possibilities for coordination between the notion of function and other notions, whether intra or extra mathematical.
In fact, the articulations and different levels of processing information will only be
used autonomously by both the teachers and the students from the moment that
these recognize the right to work the same concept articulating different frames and
performing systematic conversion of representations.
It is important to point out that the change of frames and conversion of semiotic
representation registers should be made explicit through a justifying discourse that
helps understand different levels of knowledge in the development of the notion of
linear function.
– 182
III. Pósteres
References
Dias, M.A. (1998). Les problèmes d’articulation entre les points de vue «cartesien» et «paramétrique» dans l’enseignement de l’algèbre lineaire. Thèse de doctorat, Université
de Paris 7. França.
Douady, R. (1992). Ingénierie didactique et évolution du rapport au savoir. Recuperado em
12 de setembro de 2014 de http://www.cndp.fr/entrepot/fileadmin/docs/education_
prioritaire/Maths_et_ZEP/reperes15rd.pdf
Douady, R. (1984). Jeux de cadre et dialectique outil objet dans l’enseignement des mathématiques. Thèse de doctorat, Université de Paris 7. França.
Duval. R. (2010). Ver e ensinar matemática de outra forma – entrar no modo matemático de
pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: PROEM.
Duval. R. (1995). Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Suisse: Peter Lang.
Duval, R. (1993). Registre de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la
pensée. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, 5, 37-65.
Robert, A. (1998). Outils d’analyse des contenus mathématiiques à enseigner au lycée à
l’université. Recherches en didactique des Mathématiques, 18(2), 139-190.
– 183
PROBLEMÁTICA EN EL TRABAJO
CON LOS NÚMEROS REALES
Eloísa Benítez-Mariño
sanitez911@gmail.com
Universidad Veracruzan. México
Rigoberto Gabriel-Argüelles
jgabriel@uv.mx
Univerisidad Veracruzana. México
Resumen
La literatura que aborda la investigación de los números reales
muestra características de estos que causan problemas a los
estudiantes. El propósito principal de este trabajo es describir la problemática del estudio de los números reales, localizada en textos de investigación educativa que los abordan y
corroborar esta problemática con la resolución de tareas que
realiza un grupo de estudiantes mexicanos. Entre los resultados de este reporte se tiene que algunas características de los
números reales que causan dificultad a los estudiantes son: las
representaciones del número real, uso del cero, trabajo con sus
subconjuntos e infinitud, entre las más notorias. Los artículos
de investigación educativa muestran algunas de las dificultades que tienen los estudiantes de varias nacionalidades para
trabajar con estos números. Se observa que esta problemática
se corrobora al analizar las tareas que un grupo de estudiantes
mexicanos realizó. Más aún, estas dificultades muestran características de los números reales que pueden ser consideradas
para dar soporte a la enseñanza del concepto.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Palabras clave: características, dificultades, número real, tareas.
Abstract
In this report we examine some papers in relation with the characteristics of real
number, which cause problems to work with them to students. The main purpose of
this document is to compare the problems of the study of real numbers, that are located on educational research texts and that explore characteristics of real numbers.
Moreover, some of these show difficulties on the resolution of tasks performed by a
group of Mexican students. We found that some students have a problem with representations of real numbers, use of zero, work with subsets and its infinity, among
the most notorious. There are works where the difficulties with the real numbers are
reported for students of various nationalities, this report shows that this problematic
is confirmed for a group of Mexican students. Hence, these difficulties show characteristics of real numbers that can be considered to support mathematical teaching
for the concept.
Keywords: Characteristics, difficulties, real number, tasks.
Introducción
Los temas del cálculo han merecido bastante atención por su uso para modelar matemáticamente algunos fenómenos, este es el caso del número real. Las dificultades
para trabajar con los números reales han sido reportadas en estudiantes de varias
nacionalidades.
Se considera que la comprensión de los números reales requiere, en parte, que el
estudiante sea capaz de trabajar, con los naturales, enteros, racionales e irracionales,
lo que implica que debe estar familiarizado con cada sistema numérico o subconjunto de los números reales y conocer las propiedades que lo rigen. Sin embargo,
se sabe por la literatura que los estudiantes de diversos países presentan problemas
con cada una de estas colecciones numéricas, que estas dificultades empiezan a
notarse desde los niveles básicos e incluso pueden acumularse y extenderse hasta
los niveles universitarios (a modo de ejemplo cronológico, Tall & Schwarzenberger,
1978; Bruno & Espinel, 2002; Cubillo & Ortega, 2003; Broitman, Itzcovich & Quaranta, 2003; Brousseau, Brousseau & Warfield, 2004, 2007; González & Block, 2005;
Bergé, 2006, 2008; Voskoglou & Kosyvas, 2012), como se citan en Benitez (2015).
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III. Pósteres
Cuando este tipo de dificultades no se detectan y se resuelven a tiempo, es muy
difícil para un estudiante universitario poder enfrentar los requerimientos para trabajar con los números reales. No obstante, varias de las dificultades que se localizan
en la literatura sobre el tema no han sido corroboradas con estudiantes mexicanos.
Propósito
El propósito principal de este documento es describir la problemática del estudio de
los números reales proporcionada en textos de investigación educativa que exploran
características de los números reales, en primer lugar, para identificar los aspectos que
causan una problemática al abordar el estudio de los números reales y que son señaladas en la literatura relacionada. En segundo lugar, conocer qué aspectos son problemáticos para los estudiantes mexicanos.
Los resultados del estudio permitirán corroborar las dificultades que se muestran
en la literatura sobre el tema e incluir alguna dificultad propia de este grupo de estudiantes. El conocimiento de las características que causan una problemática para
trabajar con los números reales puede orientar el inicio de un plan de tratamiento o
enseñanza de los números reales y conceptos relacionados.
Revisión bibliográfica
En la revisión de literatura reportada en Benitez (2015) encontramos, por ejemplo,
que los estudiantes del nivel básico tienen dificultad para trabajar con propiedades
algebraicas (Bruno & Espinel, 2002), del nivel básico al trabajar decimales (Broitman,
Itzcovich & Quaranta, 2003), así como al trabajar racionales junto con decimales
(Brousseau, Brousseau & Warfield, 2004, 2007) y al trabajar propiedades algebraicas de los racionales (González & Block, 2005), del nivel medio superior al trabajar
nociones de orden y su representación en la recta (Cubillo & Ortega, 2003), universitarios en el trabajo con la completitud (por ejemplo, Bergé, 2006, 2008), con
los conjuntos numerables (Stenger, Weller, Arnon, Dubinsky & Vidakovic, 2008) y la
densidad (por ejemplo, Voskoglou & Kosyvas, 2012), además maestros rurales muestran dificultades al trabajar propiedades algebraicas que involucran el cero (Quinn,
Lamberg & Perrin, 2008).
Otra dificultad que presentan los estudiantes universitarios es en el trabajo con
nociones relacionadas con la definición (Tall & Schwarzenberger, 1978; Zaskis, 2001;
Stenger, Weller, Arnon, Dubinsky & Vidakovic, 2008; Voskoglou & Kosyvas, 2012).
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
También los estudiantes han tenido dificultades para trabajar con características
que no se consideran propiedades o subconjuntos de los números reales, como los
significados (Zaskis, 2001; Stenger, Weller, Arnon, Dubinsky & Vidakovic, 2008),
conceptos relacionados o conexiones (Zazkis y Campbell, 2006; Stenger, Weller, Arnon, Dubinsky & Vidakovic, 2008; Quinn, Lamberg & Perrin, 2008), el infinito, los
infinitesimales y la iteración (Monaghan, 2001; Stenger, Weller, Arnon, Dubinsky &
Vidakovic, 2008), la representación (Voskoglou & Kosyvas, 2012), la irracionalidad y
los obstáculos epistemológicos (Sirotic & Zaskis, 2007), y se puede considerar que
aunque esta descripción no es exhaustiva es representativa.
Voskoglou y Kosyvas (2012) analizaron las dificultades de los estudiantes con la
comprensión de los números reales, con base en el trabajo que presentaron con
los números racionales en el nivel universitario. También se localizaron en la investigación de Zachariades et al. (2013) algunas creencias sobre los números reales
(por ejemplo, los números racionales e irracionales no son conjuntos disjuntos, hay
números que no tienen representación decimal) y se considera que estas también
influyen desfavorablemente en el desarrollo del concepto que pueden generar los
estudiantes.
De todo lo anterior se pone en evidencia que hay múltiples dificultades que encuentran los estudiantes al trabajar con los números reales (Benítez, 2015). Las investigaciones citadas se efectuaron en diversos países y en esta investigación nos
interesa corroborar lo que sucede con estudiantes mexicanos al hacer diversas tareas que involucran a los números reales.
Metodología
Voskoglou y Kosyvas (2012) para analizar las dificultades de los estudiantes con la
comprensión de los números reales, consideraron las respuestas escritas a un cuestionario y entrevistas. En este estudio teórico usamos una metodología cualitativa
descriptiva, el procedimiento incluye una revisión de la literatura sobre las dificultades que presentan los estudiantes para trabajar con los números reales, tema que es
frecuentemente abordado en el nivel superior dentro del cálculo y se considera que
estas se pueden tomar como una herramienta base para el análisis de la resolución
de tareas que realizan los estudiantes y para la exploración de su comprensión sobre
el tema.
De esta revisión bibliográfica se obtienen datos sobre las dificultades que presentan los estudiantes de diferentes instituciones en diversos contextos. Además
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III. Pósteres
con el análisis de las respuestas a diversas tareas de un grupo de estudiantes que
cursaron iniciación al cálculo al inicio del nivel universitario en una licenciatura
en matemáticas, se constata una parte del grupo de dificultades encontradas en la
revisión de literatura. Otro contexto interesante es que el maestro del grupo asume
que los estudiantes ya cuentan con algunos conocimientos de cálculo, por ejemplo,
números reales.
La indagación se desarrolló en dos momentos, en el primero se elaboró la revisión
de literatura y en el segundo se corroboró la problemática encontrada sobre los números reales. Se proporcionó al final de la primera tercera parte del curso una lista
de siete tareas a los estudiantes que abordaban temas vistos en clase. Los temas
que abordan los reactivos son manejo de naturales usando inducción matemática,
resolución de desigualdades, encuentro del dominio de una función racional, mostrar que una función es impar, encontrar la función inversa, solución de ecuaciones
que involucra a la función exponencial y encontrar la expresión algebraica de una
función de costo.
Los estudiantes inscritos en el curso fueron 25, una variable por considerar es la
asistencia de los estudiantes al curso. La técnica que se emplea en este estudio es
el análisis de la resolución de tareas. Para recolección de información que permita
mostrar la problemática en el estudio de los números reales, nos basamos en un
acercamiento al análisis de la resolución de tareas elaboradas por los estudiantes.
Esta técnica se usa para el análisis de la forma en que los estudiantes resuelven
actividades o tareas planteadas por el maestro, de donde se obtiene la evaluación
del curso. La técnica supone la descomposición de los problemas planteados en los
distintos aspectos en que pueden ser considerados, de acuerdo con unos objetivos
o propósitos previamente establecidos.
“El análisis de los problemas o tareas se puede dividir en tres fases principales:
• Se identifican los problemas
• Se describen los problemas
• Se indican los requisitos significativos para resolver los problemas planteados”
(Bisquerra, 1989, p. 116).
Los resultados obtenidos con el uso de esta técnica se vinculan con las características que se han mostrado como problemáticas en la revisión de literatura.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Resultados
Se verifican algunas de las dificultades señaladas, además de localizar estrategias
usadas para trabajar con las conexiones entre diferentes características de los números reales y conceptos relacionados.
Con respecto a la tarea que comprendía el uso de inducción matemática se encontró que los estudiantes tienen problemas con el uso de las propiedades de los
números enteros, uno de los subconjuntos de los números reales, concretamente se
encontraron dificultades con las propiedades referentes a la divisibilidad. También
se observa que los pasos de la inducción matemática no se aplicaron de manera
correcta.
En la tarea que involucra resolver una desigualdad se encontró que los estudiantes no manejan adecuadamente las propiedades de orden de los números reales, no
logran distinguir que el denominador puede ser cero y no expresan la solución en
términos de intervalos. En el reactivo de dominio de una función algunos estudiantes no distinguen, ni calculan los ceros de un polinomio. También tienen problemas
para expresar el dominio de la función en términos de intervalos.
Se localizan en este grupo de estudiantes mexicanos dificultades para trabajar
con los números reales y que son similares a los resultados de otras investigaciones
efectuadas en otros países. Una razón posible es que en el nivel superior se asume
que los estudiantes conocen las características de los números reales.
Conclusiones
En este documento se describió la problemática del estudio de los números reales,
identificando algunas características que causan dificultades a los estudiantes para
trabajar con los números reales y que han sido señaladas en la literatura relacionada. Además se logró conocer aspectos que son problemáticos para los estudiantes
mexicanos.
Se corrobora que las dificultades señaladas en la literatura que aborda el estudio
de características de los números reales también se presentan en este grupo de estudiantes mexicanos. Lo que sustenta aún más este tipo de literatura. Sin embargo,
este avance de la investigación aún no logra establecer las características más representativas de los números reales. La metodología aborda el análisis de la resolución
de tareas, como un primer acercamiento a la estructuración de un cuestionario que
pueda emplearse en una investigación posterior.
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III. Pósteres
Referencias
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real numbers. Journal of Research in Mathematics Education, 1(3), 301-336.
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UN PROGRAMA PARA PROMOVER
COMPETENCIA EMOCIONAL
EN MATEMÁTICAS EN ALUMNOS
DE BACHILLERATO
Marcela Cante Morales
marce.cante@yahoo.com.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México
José Gabriel Sánchez Ruiz
josegsr@unam.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México
Resumen
Recientemente ha aumentado el interés en la investigación
educativa por el tema de inteligencia emocional (IE) y rendimiento académico ya que se reconoce que tanto el desarrollo
emocional como el social son importantes en el desempeño
académico. El objetivo de este trabajo fue analizar la relación
entre IE y rendimiento académico en matemáticas en un grupo de estudiantes mexicanos de bachillerato. Los resultados
obtenidos muestran que los alumnos con mayor rendimiento
tienen más habilidades en IE. En contraste, los alumnos con
menor rendimiento en matemáticas mostraron puntajes más
bajos en una prueba de IE. Se discute acerca de la importancia
de implementar un programa de intervención para promover
la competencia emocional en la clase de matemáticas para mejorar el rendimiento de los estudiantes en matemáticas.
Palabras clave: estudiantes de bachillerato, inteligencia
emocional, rendimiento en matemáticas.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Abstract
It has recently increased the interest in educational research on the subject of emotional intelligence (EI) and academic achievement because it is recognized that important both the emotional and development in the academic performance. The aim
of this study was to analyze the relation between the IE and academic achievement
in mathematics in a group of Mexican students of high school. The obtained results
show that the students with major outcome in mathematics have more skills in EI.
In contrast, students with less yield in mathematics showed scores lower in an EI
test. It is discussed about the relevance of implementing an intervention program to
promote the emotional competition in the class of mathematics to improve the yield
of the students in mathematics.
Keywords: Emotional intelligence, high school students, performance in mathematics.
Introducción
A comienzos de los años noventa, Mayer y Salovey retomaron una tendencia iniciada
en la década de 1920 por Thorndike y perpetuado por otros psicólogos como Wechsler, Gardner o Sternberg. Estos investigadores reconocían el valor esencial de ciertos
componentes denominados no cognitivos, es decir, factores afectivos, emocionales,
personales y sociales que predecían las habilidades de adaptación y éxito en la vida.
De este modo el concepto de inteligencia emocional (IE) fue promulgando una perspectiva de inteligencia más global. Se acuña como una forma de inteligencia genuina, basada en aspectos emocionales, que incrementa la capacidad del grupo clásico
de inteligencias para predecir el éxito en varias áreas vitales, planteado como un
acercamiento general que incluye las habilidades específicas necesarias para comprender, regular y experimentar las emociones de manera más adaptativa (Extremera
y Fernández-Berrocal, 2003).
El concepto de inteligencia emocional apareció por primera vez desarrollado en
1990 en un artículo publicado por Salovey y Mayer. No obstante, quedó relegado
al olvido durante cinco años hasta que Goleman convirtió estas dos palabras en un
término de moda al publicar su libro Inteligencia emocional en 1995 (Extremera y
Fernández-Berrocal, 2004).
La inteligencia emocional ha devenido en los últimos años en un campo de estudio de gran interés entre los investigadores en el área de la conducta. Mayer y
Salovey formularon en 1997 el primer modelo sobre inteligencia emocional y es– 194
III. Pósteres
tablecieron una definición original de las competencias que integran el constructo
de IE. Esta supone la habilidad para percibir, evaluar y expresar con precisión las
emociones, la habilidad para acceder o generar sentimientos cuando estos facilitan
el pensamiento, la capacidad para comprender las emociones y el conocimiento
emocional y la habilidad para regular las emociones a fin de promover el crecimiento emocional e intelectual. Lo común en todas las conceptualizaciones existentes
sobre IE es que destacan que es una habilidad para expresar, identificar y controlar
adecuadamente, tanto en uno mismo como en los demás, las emociones. Recientemente se ha precisado más el concepto.
Papalia, Sterns, Duskin y Camp (2009, citado en Aguilar, Gil, Pinto, Quijada y
Zúñiga, 2014) señalan que la IE se refiere a cuatro competencias relacionadas: las
capacidades para percibir, usar, entender y manejar o regular las emociones propias
y las ajenas, de modo que permitan alcanzar metas. Por otra parte, hasta finales del
siglo XX en el ámbito escolar se habían priorizado los aspectos intelectuales y académicos de los alumnos bajo la convicción de que los factores emocionales pertenecían al ámbito privado y eran completamente independientes (Fernández-Berrocal
& Ruiz, 2008). Sin embargo, poco a poco comenzó a ganar terreno la creencia y la
evidencia empírica de que ser inteligente no es suficiente para garantizar el éxito
académico, profesional y personal.
La creciente demanda para considerar los afectos en el proceso de aprendizaje, de modo que el alumno identifique y sea consciente de sus emociones para
poder regular y mejorar sus estrategias de aprendizaje, hace que hoy sea especialmente pertinente incluir la dimensión emocional y afectiva en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de una asignatura, las matemáticas, con tan “mala fama” y
que produce tantos “quebraderos de cabeza” a niños, padres y educadores. La interacción mutua entre afecto y aprendizaje matemático se hace patente durante la
práctica educativa: cuando el alumno se enfrenta, en situaciones de aprendizaje,
a los estímulos que provienen de la actividad matemática, reacciona emocionalmente: la experiencia que haya tenido durante su trayectoria escolar, las creencias
que tenga sobre las matemáticas o sobre sí mismo y sus capacidades, determinan
su trayectoria para aprender, y hacen que reaccione de un modo u otro. Existe, por
tanto, una influencia de la dimensión emocional sobre la cognitiva. Pero, además,
el comportamiento del alumno durante su proceso de aprendizaje condiciona e influye en sus creencias y en su actitud. Por eso existe también una influencia de la
dimensión cognitiva en la dimensión emocional: “si obtengo buenos resultados en
mis tareas matemáticas, seguramente construiré una mayor confianza en mí mismo,
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
que me hará tener una buena disposición para enfrentarme a retos más difíciles. Por
el contrario, una reiterada dificultad en el aprendizaje puede hacerme desconfiar de
mis capacidades como ´aprendiz matemático´ y obstaculizar mi proceso escolar”.
La vinculación IE y rendimiento académico ha sido un asunto de gran interés para
los investigadores educativos ya que se reconoce que tanto el desarrollo emocional
como el social son importantes en el desempeño académico. Al respecto, los hallazgos de los primeros estudios eran muy discrepantes, inclusive en varias investigaciones se descartaba que dicha inteligencia se involucre. Así, Koifman (1988, citado
en Fernández-Berrocal y Extremera, 2005), encuentra que la IE se relaciona más
bien con satisfacción con la vida y la creatividad y basándose en que no había claridad en la relación entre inteligencia emocional y cociente intelectual, señaló que es
difícil encontrar relación con rendimiento académico. Por ejemplo, Newsome, Day y
Catano (2000, citado en Fernández-Berrocal y Extremera, 2005) no encontraron que
el cociente emocional pudiera dar cuenta de la varianza del rendimiento escolar,
aunque sí hallaron relación significativa del rendimiento con una prueba de habilidad cognitiva, con extraversión y con autocontrol.
Cabe mencionar que investigaciones recientes han encontrado correlaciones positivas y significativas entre la inteligencia emocional y el rendimiento académico en
general (Nasir y Masrur, 2010). Incluso últimamente se ha incrementado el interés
por analizar la relación existente entre la inteligencia emocional y el éxito académico en asignaturas escolares específicas, por ejemplo, las matemáticas. En México
específicamente son escasos los estudios llevados a cabo sobre esta temática. Los
pocos que se han desarrollado han sido básicamente con población universitaria,
como el de Sánchez, Rodríguez y Padilla (2007), o más recientemente el trabajo
de Aguilar et al. (2014) en el que además del papel de la IE sobre el rendimiento
académico exploran otra serie de variables, entre otras, el estrés, la autoeficacia y
el locus de control. Se destaca que en esta investigación el rendimiento académico
estudiado no se refiere a matemáticas y que se concentra en un grupo específico de
estudiantes del área de ciencias de la salud. No obstante, los planteamientos finales
de los autores es que los estudiantes universitarios tengan un buen rendimiento
académico y un adecuado nivel de IE no solo los beneficiaría, sino que también favorecería a la sociedad y a todas aquellas personas que pudiesen recibir en el futuro
los servicios de alguno de estos profesionales en algún momento de su vida; así
mismo, que una adecuada IE facilita una mayor percepción de autoeficacia y un mejor afrontamiento a los múltiples conflictos y reacciones negativas que surgen en el
entorno escolar, como ya lo apuntaban algunos autores (v.g., Fernández-Berrocal y
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III. Pósteres
Extremera, 2007). En concreto, se puede decir que no se cuenta con evidencia empírica amplia para suponer el tipo de relación que podría existir entre IE y rendimiento
académico en matemáticas en estudiantes de niveles escolares determinados; por
ejemplo, de bachillerato.
Por otra parte, el objetivo de los programas de intervención sobre inteligencia emocional se centra en la adquisición de competencias básicas para el entrenamiento de
habilidades sociales. El común denominador es que se plantean hasta qué punto
esas habilidades se pueden educar o inculcar en aquellos estudiantes que presentan
un manejo emocional más deficitario (Jiménez y López-Zafra, 2009). La mayoría de
las propuestas publicadas están dirigidas a población de los niveles escolares de preescolar, primaria, secundaria y nivel universitario. Algunos propuestas están dirigidas
a futuros maestros de ciencias o de matemáticas (cf., Costillo, Borrachero, Brígido y
Mellado, 2013, Mellado, Borrachero, Brígido, Melo, Dávila, Cañada, Conde, Costillo, Cubero, Esteban, Martínez, Ruiz, Sánchez, Garritz, Mellado, Vázquez y Jiménez,
2014). Potenciando la aparición de actitudes positivas, disminuyendo los bloqueos
y abandono y aumentando la persistencia. Una de las consecuencias que ha traído
el desarrollo de este ámbito de estudio ha sido una mayor conciencia sobre la importancia del uso adecuado de las emociones traduciéndose en un aumento en la
demanda de formación de competencias emocionales tanto en el contexto educativo
como en otros ámbitos (Palomar, Fernández-Berrocal y Brackett, 2008).
Por tanto, dada la escasez de programas en inteligencia emocional en nuestro país
a nivel de bachillerato y de estudios que muestren la relación entre IE y rendimiento
académico en matemáticas, se plantea como objetivo de este trabajo el siguiente: describir las correlaciones en inteligencia emocional y en rendimiento en matemáticas
obtenidas en un grupo de estudiantes mexicanos de bachillerato y a partir de ello
enfatizar en la necesidad de disponer de programas enfocados en la educación en
IE. Además, se esbozará el tipo de actividades que se pueden incluir en un programa de intervención para promover competencias emocionales en matemáticas en
estudiantes de dicho nivel educativo.
Metodología
Participaron dos grupos de 30 alumnos cada uno, uno del área de ciencias exactas
y otro de ciencias sociales que cursaban el cuarto semestre del nivel de educación
media superior; se destaca que en México se le denomina bachillerato, del estado
de Puebla, una entidad federativa de México. Su edad estaba entre 15 y 17 años. Su
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
calificación promedio obtenida en matemáticas fue de 7.6 (d.s. = 2.0). Para la evaluación de la inteligencia emocional se utilizó la escala TMMS-24, versión reducida
del Trait-Meta Mood Scale de Salovey y Mayer (1997). Este es un test psicológico
compuesto por 24 ítems que evalúa el metaconocimento de los estados emocionales.
Los ítems se adaptaron para medir las emociones en la clase de matemáticas. Se
consideró como indicador del nivel de rendimiento académico el promedio de las
calificaciones obtenidas por los alumnos en la clase de matemáticas que cursaban en
el momento de efectuar el estudio. La escala de 1 a 10 con que se calificaba el rendimiento escolar de los alumnos se clasificó en alto (calificaciones de 9-10), medio
(6-8) y bajo (calificaciones inferiores a 5). A todos los participantes se les aplicó el
TMMS-24 de acuerdo con el protocolo establecido en el instrumento.
Resultados
Dado que la TMMS-24 evalúa tres dimensiones emocionales (atención emocional,
claridad de sentimientos y reparación emocional), se calcularon correlaciones entre
las puntuaciones obtenidas por los participantes en cada dimensión de la TMMS-24
con su rendimiento en matemáticas. Se encontró que solamente hay una correlación
significativa con la dimensión claridad de sentimientos, definida como “comprendo
bien mis estados emocionales” (r = -.35, p < .05). Aunque, al medir la correlación de
IE con las categorías de bajo, medio y alto del rendimiento en matemáticas, se observó que los alumnos con mayor logro en matemáticas obtuvieron un puntaje mayor
en la prueba de IE (r = .79, p < .05).
Conclusiones
Se coincide con diversos autores (v.g., Mellado et al., 2014; entre otros) en dos puntos:
primero, que después de años de permanecer relegadas en el ámbito educativo, las
emociones comienzan a formar parte de los temas de investigación en el ámbito de
la didáctica, incluso en el de las ciencias. Segundo, que al proponer su incorporación
al ámbito escolar no se sugiere sustituir el componente intelectual y cognitivo por el
emocional, más bien una integración entre ellos; es decir, un vínculo entre lo racional
y lo emocional. Afortunadamente los resultados obtenidos, como los de este trabajo,
aportan evidencia de la relación entre IE y el éxito escolar de los alumnos. Aunque,
consideramos importante que la investigación además de enfocarse a la réplica de
estudios previos busque explicar los mecanismos a través de los cuales ocurre dicha
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III. Pósteres
relación y también al diseño y aplicación de programas de entrenamiento de habilidades emocionales en áreas muy específicas, como la escolar en matemáticas. En
este sentido, con base en la evidencia obtenida en este trabajo acerca de la relación
entre IE y rendimiento en matemáticas, se propone un programa de intervención en
habilidades emocionales para trabajar en la clase de matemáticas. En concordancia
con Jiménez y López-Zafra (2009), sus objetivos esencialmente serían los siguientes:
1) desarrollar la capacidad para controlar el estrés, la ansiedad y los estados depresivos de los estudiantes, aunado a un manejo eficiente de la frustración, 2) generar
y controlar emociones positivas con la finalidad de promover la conciencia de los
factores que propician la sensación de bienestar, 3) capacitar al estudiante en el manejo de las recompensas mediatas, pero más importantes, versus las recompensas
inmediatas, y 4) grosso modo, fomentar una actitud positiva ante la vida y, como han
señalado diversos autores, reforzar la capacidad para ser feliz.
Todavía en el año 2007, durante el Primer Congreso Internacional de Inteligencia
Emocional realizado en España, se planteaba que muchas de las propuestas de alfabetización emocional se encontraban en una etapa experimental destacando que
la mayoría arrojaba resultados alentadores, con lo que se evidenciaba la eficacia de
estos para el control y la autorregulación de las emociones entre los estudiantes.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
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III. Pósteres
Sánchez, M., Rodríguez, N. y Padilla, M. (2007). ¿La inteligencia emocional está relacionada con el rendimiento académico? Psicología y Educación, 1(1), 54-66.
– 201
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA
ENSEÑANZA DE LAS CÓNICAS
MEDIANTE UN ENTORNO DIGITAL
INTERACTIVO
Carlos Armando Cuevas Vallejo
ccuevas@cinvestav.mx
Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV - I.P.N.
México
Freddy Yesid Villamizar Araque
fvillamizar@cinvestav.mx
Doctorando, Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV
- I.P.N. México
Resumen
En el currículo matemático de tercer semestre de preparatoria
de la Secretaría de Educación Pública de México SEP (2013), y
del bachillerato colombiano con el MEN (2006) se contempla
el tema de las curvas cónicas cuyo tratamiento se centra en
gran parte en el desarrollo algebraico de sus ecuaciones. Sin
negar la potencialidad de estos métodos, es conveniente mediar el estudio de sus propiedades, en su definición como lugar
geométrico, con una visualización geométrica sin demeritar el
tratamiento algebraico. El presente trabajo de investigación es
además una propuesta que integra el campo de la matemática,
la didáctica y las tecnologías digitales, en donde la enseñanza
de la elipse es un ejemplo o prototipo de cómo se podría generalizar para introducir las demás curvas cónicas en geometría
analítica, por medio de actividades enmarcadas en la didáctica
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
(Cuevas & Pluvinage, 2003), y los tres primeros niveles de desarrollo del pensamiento geométrico de Van Hiele, reinterpretado bajo esta didáctica.
Palabras clave: cónicas, didáctica de las matemáticas, elipse, tecnología digital.
Abstract
Within the mathematics curriculum for third semester in de high school for the SEP
(2013), and the Colombian school with MEN (2006), we can find the issue called conicals curves, whose teaching is focused almost exclusively on developing algebraic
equations of conics. Without denying the potential of these methods, the study of
conics should begin from their legitimate properties as loci, with a geometric visualization without devalue the algebraic treatment. The present research is a proposal
linking the worlds of mathematics, didactics and digital technologies, where the teaching of the ellipse is an example of how one might generalize to introduce other
conic curves in Analytic Geometry, through activities supported in didactic (Cuevas
& Pluvinage, 2003), and the first three levels of development of the Van Hiele geometric, reinterpreted under this didactic.
Keywords: Conicals, digital technology, ellipse, teaching of mathematics.
Introducción
El presente trabajo de investigación es una propuesta que integra el campo de las
matemáticas, la didáctica y las tecnologías digitales, en donde la enseñanza de la
elipse es un ejemplo o prototipo de cómo se podría generalizar para introducir las
demás curvas cónicas en geometría analítica, por medio de actividades enmarcadas
en la didáctica Cuevas y Pluvinage (2003), y el uso de un software de geometría dinámica.
Las cónicas como parte del currículo matemático en la SEP-México (2013) y
MEN-Colombia (2006) son presentadas y tratadas en los libros de texto de nivel
medio superior, como el desarrollo algebraico de sus ecuaciones, alejándose en gran
medida de la parte geométrica, lo cual lleva al aprendizaje memorístico de fórmulas
que modelan una figura cónica, que para los estudiantes carecen de sentido (Cruz y
Mariño, 1999). Sin negar la potencialidad de los métodos algebraicos, es conveniente mediar el estudio de las cónicas con una visualización geométrica en su definición como lugar geométrico, sin demeritar el tratamiento algebraico.
– 204
III. Pósteres
La propuesta se materializó en el diseño de una serie de actividades que forman
en sí un proyecto de acción (Aebli, 1995, p. 159; Cuevas y Pluvinage, 2003), en la idea
de que inicialmente la construcción de los conceptos matemáticos no sea de manera formal, sino que a través de una guía didáctica y partiendo de un problema en
contexto, el estudiante sea guiado mediante ejercicios dosificados que le permitan ir
interiorizando las acciones y así ir construyendo poco a poco los diferentes conceptos
y significados matemáticos de una manera activa, que en nuestro caso particular son
alusivos a la elipse. Las actividades didácticas constan de cuestionarios acompañadas con el uso de Escenarios Didácticos Virtuales Interactivos (EDVI), los cuales fueron
diseñados mediante un software de geometría dinámica, que facilitaron un soporte
equilibrado entre lo visual y lo algebraico del objeto estudio. El uso de la tecnología
digital fue un ente motivador al estudiante, quien experimentó de manera dinámica
con los objetos geométricos y simuló situaciones de aplicaciones del objeto estudio.
Revisión bibliográfica
• Río (1990) realiza un estudio en el que compara dos metodologías para la enseñanza de las cónicas, y en una segunda etapa en la cual aplica una didáctica
tradicional, concluye que la mayoría de los estudiantes perciben las cónicas conectadas con la realidad; sin embargo, desconocen conceptualmente el significado de las mismas, por ejemplo: que las órbitas planetarias son elipses, y añade
que se trata de un conocimiento social (p. 121), es decir, que quizá lo han escuchado pero no justifican con propiedades matemáticas por qué la trayectoria que
siguen los planetas es elíptica.
• Cruz y Mariño (1999) afirman que “dentro del estudio de la Geometría analítica,
se han presentado dificultades en la comprensión de los contenidos relativos a
las secciones cónicas” (p. 15), y argumentan que:
[…] en los trabajos sobre educación matemática para los alumnos qu ingresan a
la educación superior, se ha constatado que los conocimientos de los estudiantes
se limitan al aprendizaje de memoria de las ecuaciones que caracterizan a cada
una de las cónicas, a la identificación de sus elementos y a su búsqueda algorítmica empleando fórmulas, sin demostrar haber interiorizado la relación existente
entre los diferentes parámetros que intervienen en las ecuaciones de las cónicas
y su representación gráfica, ni el porqué de su definición como lugar geométrico
– 205
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
lo cual limita la comprensión del alcance de las posibilidades de que disponen
(p. 15).
Lo anterior evidencia un desequilibrio entre la parte algebraica y la geométrica en
el estudio de las cónicas, en la cual la balanza se inclina más en el tratamiento de los
registros de representación algebraicos. Por ello, consideramos hacer un énfasis en
las construcciones geométricas de las cónicas y rescatar la parte conceptual desde
lo visual.
• En la revisión de algunos libros de texto de bachillerato se exploró la ruta cognitiva de las cónicas, en donde generalmente se parte de los conceptos de manera
objetivizada, es decir, según Aebli (1995), “aquellos que son inteligibles para los
estudiantes, evocan en su pensamiento representaciones precisas, y construyen
con ellos una imagen adecuada de la realidad” (p. 160), lo cual no está mal; sin
embargo, no se atiende mucho a la acción propiamente dicha, es decir, no hay
una interiorización a través de actividades didácticas que le permita al estudiante
tomar una aptitud activa, en donde sea él mismo quien realice la acción y construya las diversas definiciones del objeto matemático. Este tipo de enseñanza
tradicional planteado en muchas instituciones educativas se concentra en las
ecuaciones de una curva cónica relegando la parte geométrica, provocando una
prematurización algebraica que sigue un proceso enfocado en la transmisión de
conocimientos terminados bajo una perspectiva formal u operativa, en el cual
el docente es quien guía, transmite, y delega de manera pasiva los contenidos
al estudiante, y este aprende de memoria un conjunto de conceptos y fórmulas
carentes de sentido para él mismo. Un cuadro típico de esta enseñanza se ilustra cuando el profesor elabora contenidos y los expone en clase a través de una
serie de conceptos que el estudiante recibe de manera pasiva mientras observa
atento al pizarrón; la responsabilidad del estudiante, por tanto, recae en repetir
por imitación el procedimiento algorítmico que ha visto ejecutarse, y aplicarlo
una y otra vez en los ejercicios que el profesor propone al terminar la clase. Por
tanto, se requiere involucrarlos en un proceso activo de construcción de su propio
conocimiento, ya que, como afirma Piaget, la acción por parte del educando es
el elemento fundamental en el proceso de enseñanza y aprendizaje (citado por
Cuevas & Pluvinage, 2003).
• Respecto de propuestas del estudio de las cónicas con el uso de la tecnología
digital, Santos y Espinosa (2002) diseñan una construcción de tipo geométrico
que unifica las cónicas (elipse e hipérbola) utilizando un software de geometría
– 206
III. Pósteres
dinámica, es decir, que por medio de la definición foco-directriz de las cónicas se
puede representar las cónicas en una misma construcción geométrica dinámica,
para posteriormente estudiar sus propiedades.
En el trabajo de Iranzo & Fortuny (2009, p. 442) se resalta la importancia del uso
de software de geometría dinámica, y los autores afirman que la mayoría de estudiantes consideran que GeoGebra les ayuda a visualizar el problema y evitar obstáculos algebraicos. Así mismo, concluyen que el uso de GeoGebra promueve un
pensamiento más geométrico y facilita un soporte visual, algebraico y conceptual
en la mayoría de los alumnos.
Formulación de objetivos
Debido a la problemática presentada, nos hemos cuestionado lo siguiente:
¿Cómo introducir una curva cónica mediante el empleo de la tecnología digital, dentro
de un marco didáctico para promover una mejor comprensión?
Teniendo en cuenta los planes curriculares y secuencia de los libros de texto, se
propuso lo siguiente:
• Diseñar una propuesta para la enseñanza de conceptos matemáticos en la geometría analítica apoyada en las tecnologías digitales dentro de un marco didáctico, que promueva un mejor equilibrio entre el pensamiento geométrico y el
algebraico.
Para llegar a una respuesta del anterior planteamiento se diseñó una propuesta
centrada en la enseñanza de los significados de las cónicas, que busque un mejor
equilibrio entre el pensamiento geométrico y el algebraico. Se diseñaron una serie de
actividades interactivas, guiadas por medio de cuestionarios a la construcción de los
significados en una forma activa mediante el uso de Escenarios Didácticos Virtuales
Interactivos (EDVI). La ruta cognitiva a seguir fue la siguiente:
Visualizar la figura geométrica y construir su significado como
lugar geométrico
Para ello la didáctica Cuevas y Pluvinage (2003) sugiere partir de un problema en
contexto que conecte al estudiante con su entorno. Un ejemplo particular para la
elipse es el trazo de un jardín elíptico usando el método del jardinero, y a partir de
este, el estudiante mediante una guía sea quien construya el significado de la elipse
como lugar geométrico de una manera no formal. La visualización es el nivel inicial
establecido por Van Hiele (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 306), en el que el estudiante se
– 207
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
familiariza o reconoce el objeto geométrico. En este primer nivel de reconocimiento
los estudiantes tienden a describir la figura mediante la comparación con otros objetos, como, por ejemplo, en el caso de la elipse: se parece al contorno de un huevo, etc.
Estudiar las partes, propiedades y características de la figura
Una vez trazada la figura cónica, se procede a que el estudiante identifique mediante una secuencia didáctica las partes más importantes de las figuras, parámetros, y
la relación entre ellos. Además el estudio de las características más relevantes del
objeto geométrico, como lo es la excentricidad en el caso de la elipse. Esta etapa es
intermedia en un nivel I y II de Van Hiele (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 308), en el cual
el estudiante analiza y se da cuenta de que “las figuras geométricas están formadas por
partes o elementos, y que están dotadas de propiedades matemáticas. Pueden describir las
partes que integran una figura y enunciar sus propiedades siempre de manera informal”.
Definir la curva cónica analíticamente
A partir de la construcción geométrica de la curva se definen variables en el plano
cartesiano y se construye algebraicamente la ecuación que modela dicha curva. En
esta última parte se planea a un nivel II y parte de un nivel III de Van Hiele (Jaime
y Gutiérrez, 1990, p. 309), que son análisis y clasificación, respectivamente. Aquí se
pretende que el estudiante comience a tener una capacidad más formal, en donde
sea capaz de comprender una demostración explicada por el profesor.
Definiciones: marco didáctico, computacional
y conceptual
Es usual mencionar el término “enseñanza tradicional”, la cual viene de una corriente muy definida, basada en la didáctica “sensorio-empirista”, que consiste en que el
estudiante, al ver las imágenes en el pizarrón, las registre y con ello pueda repetir el
proceso. Esta didáctica tiende hacia la construcción de hábitos en el estudiante, y no
hacia la comprensión del concepto. Un caso común en el aula es cuando el estudiante recurre a la repetición verbal de las definiciones, que como un reflejo, constituye
el llamado hábito sensorio-motor o, dicho de otro modo, las palabras constituyen así
los signos, solo que carentes de significado. Según Cuevas & Pluvinage (2003), la
enseñanza sensorio-empirista conduce a una educación rutinaria, incomprensible y
– 208
III. Pósteres
compleja, pasiva, y además presenta la matemática como algo ajeno a los intereses
del estudiante.
Didáctica Cuevas y Pluvinage
La didáctica para la enseñanza de las matemáticas Cuevas y Pluvinage (2003), expone sus ideas con base en la teoría piagetiana, y de Aebli, Claparède, Dewey, y en
general de casi toda la escuela activa (Château, 2001), y también en aportes recientes
de Brousseau (1998) y Duval (1998). Las actividades diseñadas para la investigación
están estructuradas implícitamente bajo los siguientes puntos:
• La acción: en el aula es importante que el estudiante esté ejecutando siempre una
acción mediante la resolución de problemas específicos, gradualmente dosificados, y construya el concepto deseado (Cuevas y Pluvinage, 2003, p. 275).
• Problema en contexto: tratar en lo posible de iniciar con un problema que plantee
una situación real, que conecte al estudiante con su entorno (Cuevas y Pluvinage,
2003, p. 275).
• Comprobar los resultados: Cuevas y Pluvinage (2003, p. 276) proponen que una vez
resuelto un problema, el estudiante debe comprobar sus resultados, verificando
que tengan un sentido lógico, de acuerdo con el problema planteado.
• Dividir el problema en sub-problemas: es necesario dividir el problema en sub-problemas que representen las operaciones parciales hasta llegar a integrar nuevamente la solución completa (Polya, 1945; Cuevas y Pluvinage, 2003).
• Operación inversa: cada vez que se presenten las operaciones directas asociadas
a un concepto, de ser posible, se deben implementar ejercicios que representen
la operación inversa asociada (Cuevas y Pluvinage, 2003, p. 277). Por ejemplo:
dada la ecuación de una curva cónica, para luego interpretarla geométricamente,
y viceversa.
• Diferentes alternativas de solución: cuando se proponga un método de resolución
de un problema se debe intentar dar una forma alternativa de solución; si esto no
es posible, entonces no imponer una sola forma de solución. Este punto permite a los estudiantes tener libertad de plantear sus propios métodos de solución
(Cuevas y Pluvinage, 2003, p. 277).
• Problemas dosificados: elaborar los problemas de acuerdo con el principio de adecuación óptima; es decir, que la dificultad de los problemas sea gradual de manera que requieren el esfuerzo del estudiante para fomentar su interés, pero no
– 209
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
en exceso como para desanimarlo (Cuevas y Pluvinage, 2003, p. 277). Los tres
primeros niveles de Van Hiele, a) visualización o reconocimiento, b) análisis, y
c) clasificación (Jaime y Gutiérrez, 1990), se pueden reinterpretar bajo el presente
punto de la didáctica aplicado en la enseñanza de las cónicas, de modo que el
diseño de actividades se puede dosificar en niveles que desarrollen un pensamiento geométrico jerarquizado.
• Mínima ayuda: el papel del docente es guiar las actividades como una especie de
coach, proporcionando la ayuda mínima necesaria y tratando siempre de que sea
el estudiante quien construya su conocimiento (Cuevas y Pluvinage, 2003, p. 278).
• Diversos registros de representación semiótica: según Duval (1998), es fundamental para el proceso cognitivo del pensamiento humano, el poder visualizar un
determinado concepto matemático en los diversos registros de representación
que le sean propios; así mismo afirma: “La coordinación de varios registros de
representación semiótica aparece así como fundamental para una aprehensión
conceptual de los objetos: es necesario que el objeto no sea confundido con sus
representaciones y que se le reconozca en cada una de sus posibles representaciones” (p. 176).
La didáctica Cuevas y Pluvinage (2003) toma algunas de las ideas teóricas de Duval, y sugiere que cada vez que se propongan problemas que apoyen la enseñanza
de un determinado concepto matemático, en un determinado sistema o registro, se
debe plantear actividades semejantes al mismo, en los diversos sistemas de representación que le sean propios, si la actividad lo permite (p. 280). En este sentido,
el uso de un software de geometría dinámica promueve de manera importante el
trabajo en los diversos registros, y favorece así la conversión entre lo geométrico y
lo algebraico.
• Análisis complejo del concepto: plantea la necesidad de establecer problemas en
donde el concepto recién adquirido sea un elemento de análisis para un tema
más avanzado o complejo (Cuevas y Pluvinage, 2003, p. 280).
Software de geometría dinámica y ED VI
GeoGebra es dinámico a la acción y permite mover los objetos geométricos (Santos
y Espinosa, 2002), e integra en forma dinámica la geometría sintética y analítica (Hohenwarter & Preiner, 2007). Costa (2011, p. 112), afirma que “las actividades de matematización inducida en el entorno GeoGebra, dentro de un planteamiento resulta
ventajoso en comparación con un planteamiento tradicional”, y lo argumenta en los
– 210
III. Pósteres
siguientes modos: motivación, implicación activa, matematización alcanzada, permite un mejor rendimiento en el entorno visual y manipulativo, y mejor valoración por
parte de los estudiantes respecto de un planteamiento tradicional.
Los Escenarios Didácticos Virtuales Interactivos (EDVI) se describen como micromundos en donde se simulan situaciones como, por ejemplo, el movimiento planetario. Estos permiten la manipulación de objetos geométricos de forma dinámica.
Van acompañados de instrucciones que permiten un aprendizaje más autónomo.
Definición de la elipse como lugar geométrico
Referente a la propiedad bifocal,“una elipse es un lugar geométrico de un punto que
se mueve en un plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor a la distancia entre los
dos puntos” (Lehmann, 1989, p. 173). En la figura 1 se muestra los puntos fijos F y F’
llamados focos, y P un punto cualquiera sobre el contorno de la elipse. La suma de
las distancias (segmentos o radiovectores) resulta ser siempre una constante igual a
la magnitud del eje mayor 2a.
Figura 1. Elipse, sus focos y radiovectores
Respecto de las definiciones sobre partes de la elipse, propiedades, ecuaciones, se
puede revisar el contenido del Lehmann (1989, pp. 173-190) y acerca de las cónicas
en general, De Oteyza et al. (2011, pp. 124-133).
Metodología
La investigación se presentó en tres fases principales:
La primera fase consistió en el estudio de las escuelas de psicología del aprendizaje y la capacitación en un software de geometría dinámica en donde se diseñaron
EDVI alusivos a las cónicas y en particular de la elipse, los cuales fueron sometidos
a una validación interna.
– 211
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
En la segunda fase se procedió al desarrollo de una serie de actividades enmarcadas en la didáctica Cuevas y Pluvinage (2003) y el rediseño de los EDVI. De acuerdo
con las actividades se diseñaron los instrumentos de medición test diagnóstico, el
cual tuvo como propósito determinar el nivel de competencia que tenían los estudiantes en los conceptos necesarios o de prerrequisitos para realizar las actividades.
Luego se diseñó el postest, que tenía como propósito determinar los cambios ocurridos en los estudiantes tras haber desarrollado las actividades propuestas.
Los instrumentos de medición y actividades fueron aplicados a 11 estudiantes
heterogéneos de IV semestre de preparatoria del Centro Educativo Damián, el cual
está situado en Valle de Chalco, del estado de México. El tiempo de aplicación transcurrió en 7 sesiones de aproximadamente 2 horas, en las cuales 3 sesiones se dedicaron a la adecuación de la herramienta digital, aplicación del test diagnóstico y
postest, y en las 4 sesiones restantes se aplicaron las actividades. La directora autorizó realizar la experimentación y ofreció los recursos de la institución, entre ellos
la sala de informática, con una capacidad de un computador por cada estudiante.
En la fase final se hizo un análisis de resultados mediante un estudio cualitativo
del razonamiento de respuestas de algunos estudiantes, y un estudio cuantitativo
mediante gráficas estadísticas, comparando el grado de evolución de los estudiantes
en el postest respecto del pretest.
Test diagnóstico
El objetivo de este instrumento es observar el nivel de conocimientos previos de los
estudiantes, necesarios para el posterior desarrollo de las actividades interactivas.
La prueba diagnóstica consta de 6 reactivos con los siguientes subtemas: conceptos
básicos de geometría, trigonometría, plano cartesiano y álgebra.
Actividades didácticas e interactivas
Se diseñaron tres actividades, que constan de cuestionarios acompañados de su respectivo EDVI. Las actividades se diseñaron tomando en cuenta las sugerencias proporcionadas por la didáctica Cuevas y Pluvinage (2003), los tres primeros niveles del
pensamiento geométrico de Van Hiele, y los objetos de enseñanza establecidos en el
programa de matemáticas III de las SEP (2013).
– 212
III. Pósteres
Descripción de la actividad 1: la elipse como lugar geométrico
Como lo sugiere la didáctica Cuevas y Pluvinage (2013), se debe partir de un contexto
para introducir algún concepto. En esta primera actividad se propone a los estudiantes hacer el trazo simulado de un jardín en forma de elipse, utilizando el método
del jardinero (figura 2). El objetivo es que los estudiantes redacten con sus propias
palabras la definición de la elipse como lugar geométrico. El significado matemático
se construye a través de la resolución de problemas dosificados descritos en el cuestionario y la interacción con el EDVI, en donde se exploran y estudian los elementos
y propiedades más relevantes de la elipse.
Descripción de la actividad 2: excentricidad de la elipse
Esta actividad plantea como problema en contexto el movimiento de los planetas
Tierra y Marte simulado en su respectivo EDVI-Movimiento planetario (figura 3),
para analizar y estudiar otras características de la elipse como lo es su excentricidad. La primera parte de la actividad consiste en que el estudiante a partir de la
visualización, compare el grado de redondez entre las trayectorias planetarias de
la Tierra y de Marte alrededor del Sol. Luego recolecte datos numéricos para armar
un sistema de ecuaciones lineales que involucren como variables el semieje mayor y
la semi-distancia focal de las trayectorias elípticas, y finalmente calcular los respectivos valores de excentricidad.
La segunda parte, pretende mediante otro EDVI-Elipsógrafo (figura 4), que el estudiante experimente simuladamente el trazo de diversas elipses, y después calcule
el parámetro numérico “c/a” para que finalmente conecte un registro de representación numérico con el geométrico, o sea, relacionar el valor numérico de la excentricidad de una elipse con su respectiva forma geométrica o redondez.
Descripción de la actividad 3: ecuación de la elipse
Esta actividad se divide en tres partes, en donde se introduce de manera dinámica una construcción sintético-analítica de la elipse por anomalía excéntrica (figura
5), propuesta por Contreras, Contreras, García (2002, pp. 122-123), para llegar a la
ecuación canónica de la elipse en forma guiada. Además propone al estudiante desarrollar la parte operativa mediante ejercicios de operación inversa, basado en las dos
operaciones fundamentales de la geometría analítica (Lehmann, 1989, p. 32).
– 213
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Figura 1.
Figura 3.
Figura 2.
Figura 4.
Postest
Consta de 16 ítems similares a los ejercicios propuestos en las actividades. Se evalúan el significado de la elipse como lugar geométrico aplicado en un problema en
contexto, concepto de excentricidad y ejercicios operativos en donde relacionen los
registros de representación geométrica (gráfica de la elipse) con el registro de representación algebraico (ecuación), y viceversa.
Para la recolección de la información se utilizaron las hojas de trabajo de los estudiantes, videograbaciones y una bitácora. Para hacer referencia a los estudiantes, se
codificaron como E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10 y E11.
Análisis y discusiones
Los resultados del test diagnóstico se resumen en la figura 6. En general, los estudiantes presentan un nivel bajo - regular de conocimientos previos para las actividades y el postest. Se observó en los estudiantes más dificultad en la parte algebraica,
– 214
III. Pósteres
trigonométrica y geométrica, por lo que fue necesario considerar en el diseño de las
actividades un repaso previo sobre los temas previos.
En la actividad 1, después de que cada estudiante interactuó con el EDVI -Jardinero realizando el trazo simulado de una elipse con una cuerda de 10 unidades (figura
2), y respondiendo el cuestionario, se evidenció que 8 de 9 estudiantes interpretaron
e identificaron adecuadamente la condición de lugar geométrico de la elipse; sin
embargo, lo hacen de una manera no formal, es decir, que no mencionan elementos
de la elipse como los son los radiovectores, sino que asocian estos a medidas de
objetos físicos como las magnitudes de los trozos de cuerda.
Figura 6. Resultados del test diagnóstico.
Una de las respuestas dadas por el estudiante E3 fue: “que las cantidades son
diferentes pero que al sumar den 10 o sea siempre constantes” refiriéndose a que la
suma de las distancias de un punto sobre la elipse a dos puntos fijos llamados focos
es igual a una constante.
De la experiencia 2, después de que el estudiante hiciera el trazo simulado de diversas elipses con semieje mayor “a” constante pero semieje focal “c” variable (figura
4), completaron una tabla en donde calculaban el parámetro “c/a”. De la experiencia, 8 de 11 estudiantes clasificaron la circunferencia como un caso especial de la
elipse, y algunas de las justificaciones fueron: Estudiante E6: “c/a = 0 se va haciendo
más redonda al límite que parece una circunferencia”. Estudiante E4: “se obtiene una
circunferencia como trazada con un compás”.
Por otra parte, mediante la simulación del movimiento de traslación de los planetas Tierra y Marte (figura 3), cada estudiante recolectó datos para poder hallar los
parámetros“c”y a”de cada órbita planetaria, y así calcular la relación c/a. Al comienzo de la guía se les peguntó sobre ¿qué órbita es más redonda?, y muchas de las
respuestas fueron de percepción visual: “me parece más la de la Tierra”, y contraria– 215
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
mente, a otros les parecía que veían “más redonda la de Marte”. Al final de la guía se
les volvió a preguntar “¿qué órbita planetaria es más redonda o circular? Explica tu respuesta”, a lo que respondieron algunos lo siguiente: Estudiante E2: “La tierra es más
porque tiene menor excentricidad, la excentricidad de la tierra es 0.016 y la de marte 0.092
por lo tanto la tierra es más redonda”. Estudiante E6: “que mientras mayor excentricidad
será más ovalada, que es este caso Marte, y la Tierra es más redonda”, refiriéndose a la
redondez de su órbita elíptica.
Como resultado final, 5 de 11 estudiantes evocaron correctamente el concepto de
excentricidad en un problema en contexto, relacionando de esta manera registros
de representación numéricos con geométricos; 1 de 11 estudiantes no respondió al
planteamiento final, y los 5 restantes no evidenciaron una mejor comprensión del
concepto.
En la actividad 3, se reportó que generalmente los estudiantes comprenden la
relación que existe entre un registro algebraico y el geométrico, es decir, que a
partir de una gráfica tenían capacidad de poder llegar a su ecuación canónica, y en
la operación inversa interpretaban la ecuación canónica mediante una gráfica al
extraer los parámetros; sin embargo, se presentaron dificultades de tipo algebraico
en el momento de partir de la ecuación general de la elipse para llegar a su gráfica, pero eso no significa que no hayan comprendido cómo relacionar la ecuación
con su registro geométrico. La figura 7 muestra una dificultad que le impide al
estudiante E8 llegar a una correcta ecuación canónica de la elipse y, por ende, a su
respectiva gráfica.
Figura 7. Incorrecta interpretación de la ecuación canónica de la elipse
– 216
III. Pósteres
Figura 8. Problema del lugar geométrico de la elipse en el postest
Del proceso se puede decir que el estudiante concibe el parámetro a y b como si
estos debieran ser un número entero, y agregan un cuadrado a dichos parámetros,
que cree que faltaría para igualar al modelo algebraico de la ecuación canónica de
la elipse.
En el postest se evidenció que 8 de 11 estudiantes comprendieron el significado
de elipse como lugar geométrico, al responder una situación en contexto que decía:
“Gina, Héctor y Alfredo realizan una competencia en la alberca elíptica, que consiste en partir nadando de un foco de la elipse, tocar luego un punto cualquiera sobre
la misma y por último llegar nadando al otro foco. Todos toman trayectorias diferentes como se muestra en la figura (figura 8). Al final de la competencia ganó Gina,
sin embargo Alfredo argumenta que no es justo porque él recorrió más distancia
que Gina, Héctor argumenta que la mayor distancia la recorrió él mismo, porque
dio vuelta hacia atrás y luego se dirigió al otro foco. Sin embargo, Gina dice que fue
justo porque todos recorrieron la misma distancia en diferentes trayectorias ¿Quién
tiene la razón? Explica tu respuesta”.
8 de 11 estudiantes aplicaron correctamente la definición de la elipse como lugar
geométrico. Algunas de las respuestas fueron las siguientes:
• Estudiante E1: “Gina, porque es una elipse y en cualquier punto es igual a la suma
de un punto a sus focos”. - Estudiante E3: “La razón la tiene Gina porque recorrieron
la misma distancia desde diferentes puntos y la distancia a los focos al sumarlos dan
el mismo resultado”. -Estudiante E5: “Gina tiene la razón porque siempre va a ser la
misma distancia de donde parta Gina a otro jugador y la cuerda mide lo mismo”. El
estudiante interpreta la definición bajo el modelo físico material (método del
jardinero).
– 217
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
6 de 11 estudiantes aplicaron correctamente el concepto de excentricidad de la
elipse en una situación en contexto. El concepto fue adquirido a través de la experimentación con el EDVI, para diferenciar entre una elipse y otra debido a su forma,
lo cual les permitió establecer relaciones entre registros de representación numérica
con el geométrico.
9 de 11 estudiantes establecen relaciones entre los registros de representación
gráfica con el algebraico, al hallar la ecuación canónica de la elipse a partir de su
gráfica. 6 de 11 estudiantes presentan deficiencias en los problemas de operación
inversa en los que se parte de la ecuación general de la elipse para determinar su
gráfica. Sin embargo, estas dificultades se deben a ciertos problemas algebraicos
como completar el cuadrado, más no a la interpretación de la ecuación. Se evidenció
en 3 de 11 estudiantes errores aritméticos y de valor numérico; sin embargo, estos
mismos demostraron que sí comprendían el significado geométrico de una ecuación canónica de la elipse.
Conclusiones
El uso de la tecnología digital debe ir acompañado de un diseño de actividades bajo
un marco didáctico para lograr encaminar a los estudiantes a construir las diferentes
definiciones matemáticas, y de este modo la enseñanza en el aula es más autodidacta
por parte del estudiante. A pesar de que hubo deficiencias en la parte operativa, el
planteamiento de actividades enmarcadas en una didáctica, y apoyada con el uso
de EDVI diseñados con GeoGebra, promovieron un pensamiento más geométrico y
facilitaron un soporte visual, algebraico y conceptual en la mayoría de los estudiantes. En efecto, el estudio de las cónicas no se enfocó en la aplicación de un conjunto
de fórmulas, sino que cada forma algebraica o ecuación tomó un significado para el
estudiante, dentro de un registro geométrico. Por otro lado, se rescató la parte activa
en los estudiantes, quienes a través del uso de los EDVI realizaban siempre acciones
concretas, como lo propone la didáctica Cuevas y Pluvinage (2003), lo cual promovió
una mejor comprensión de las diferentes definiciones alusivas a la elipse en una
forma interactiva y dinámica, haciendo de la matemática un área más experimental,
diferente al modo como se imparte en los cursos de enseñanza tradicional, que son
de carácter verbal y pasivos.
La inclusión de un problema en contexto desde el comienzo de cada actividad,
como propone la didáctica Cuevas y Pluvinage (2003), fue un elemento motivante
para los estudiantes, a quienes les resultó significativo aprender definiciones de la
– 218
III. Pósteres
elipse aplicadas en la vida cotidiana, y cómo a partir de la matemática se puede dar
sentido a situaciones reales. La construcción de las definiciones del objeto estudio
(elipse) a partir de contextos surgidos de la realidad, mostró en los resultados del
postest respecto del pretest que ayuda a mejorar la parte conceptual en los estudiantes; es una deficiencia en la enseñanza tradicional, en donde el estudiante suele
aprender de memoria los conceptos y produce la creencia de que las matemáticas
se tratan de resolver problemas operativos sin relación alguna con la vida cotidiana.
Los niveles de Van Hiele que por los mismos autores (Dina y Pierre Van Hiele)
fueron propuestos para una geometría sintética, se pudieron extrapolar a la geometría analítica, adaptándose en el marco didáctico Cuevas & Pluvinage (2003) para
el tema de las cónicas, particularmente en la elipse, lo cual permitió diseñar las
diferentes actividades para la enseñanza de dicha cónica de modo jerarquizado (por
niveles), facilitando a los estudiante la comprensión de las diferentes definiciones
de la elipse, partiendo de la visualización y conocimientos de las propiedades del
objeto geométrico sin una prematurización de la parte analítica (algebraica).
Por último, el diseño de las actividades efectuadas, las cuales fueron enmarcadas
en la didáctica Cuevas y Pluvinage y el uso de la tecnología, son una muestra de
la enseñanza de la elipse, la cual se puede aplicar para la enseñanza de las cónicas
en general, en donde cada paso de la didáctica puede ser reproducible inclusive en
situaciones en donde la tecnología cambie.
– 219
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
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III. Pósteres
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– 221
LA EVALUACIÓN COMO ESTRATEGIA
PARA LA MOTIVACIÓN HACIA EL
APRENDIZAJE
Olga Lucía Duarte Bolívar
Olga.duarte@upb.edu.co
Universidad Pontificia de Bucaramanga, UPB. Colombia
Luz Ángela Flórez Olarte
luz.florez@upb.edu.co
Universidad Pontificia de Bucaramanga, UPB. Colombia
Resumen
La experiencia surgió como consecuencia de reflexiones sobre predisposición de los estudiantes hacia la evaluación y la
necesidad de estrategias encaminadas a valorar todo el proceso de aprendizaje. Su objetivo fue determinar la incidencia
de la evaluación como estrategia de motivación del proceso de
enseñanza y aprendizaje del cálculo integral y ecuaciones diferenciales. Se fundamentó en planteamientos de Chevallard
sobre: contrato didáctico, pedagógico y escolar, y reflexiones
de MacClelland y Huertas, que conciben la motivación como
un proceso. Se analizaron cuatro momentos: planificar, actuar,
observar y reflexionar, adecuando la experiencia al proceso de
triangulación de Lewin, a través del cual se describieron y contrastaron resultados de las técnicas (entrevista inicial, observación, diario de campo, encuesta final); el análisis producto de
la experiencia, y los referentes teóricos. Se obtuvo resultados
como: formas para estudiar y aprender matemáticas, maneras creativas y lúdicas para evaluar conocimientos despertando
curiosidad y deseo por aprender más, y una propuesta para
– 223
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
evaluar conocimientos en cálculo; concluyendo que la valoración de aprendizajes
implica un proceso no centrado en la nota, sino en la motivación del estudiante para
que formule sus metas de aprendizaje buscando posibles recursos y procedimientos
para lograrlas, con la orientación permanente del docente.
Palabras clave: contrato didáctico, enseñanza de las matemáticas, evaluación de
aprendizajes, motivación.
Abstract
The experience came as a result of reflections on the willingness of students to the
evaluation and the need for strategies to evaluate the whole process of learning.
Its aim was to determine the incidence of evaluation as motivation strategy of the
teaching and learning of Integral Calculus and Differential Equations. It was based
on the proposals of Chevallard on didactic, pedagogical and school contract , and
reflections of McClelland and Huertas, who see motivation as a process. Four stages
were analyzed: plan, act, observe and reflect, adapting the experience Lewin triangulation process, through which were described and contrasted results of technical
(initial interview, observation, field diary, final survey); the product of the experience
analysis; and the theoretical framework. Results was obtained as: Ways to study and
learn math, creative and playful to assess knowledge awakening curiosity and desire
to learn more ways and a proposal to assess knowledge in Calculus; concluding that
the assessment of learning involves a process not focused on the note, but student
motivation to formulate their learning goals and procedures for possible resources to
achieve them, with the permanent guidance of teachers.
Keywords: Didactic contract, learning assessment, mathematics teaching, motivation.
Introducción
La evaluación en matemáticas se ha considerado como el resultado de pruebas escritas, factor que genera desmotivación especialmente en estudiantes que se esfuerzan
por aprender, pero que en ciertos momentos al ser evaluados a través de un examen
o parcial se bloquean o confunden debido a la influencia de factores externos como:
enfermedad, nervios, problemas personales, entre otros. Situaciones como la descrita nos llevan a preguntarnos cómo evaluar todo el proceso de aprendizaje y no
solo momentos de retención de información, consiguiendo motivar a los estudiantes
– 224
III. Pósteres
hacia el aprendizaje; fue así como surgió el siguiente interrogante que iluminó la experiencia de aula: ¿cómo incide la evaluación como estrategia motivacional durante
el proceso de enseñanza y aprendizaje?
En la experiencia se asumió la evaluación como un proceso, no centrado en la calificación, sino en los cambios cualitativos que se manifiestan en la personalidad del
estudiante tanto en el aspecto instructivo como educativo (Orestes Castro, 1999).
El propósito fue determinar la incidencia de la evaluación como estrategia de motivación del proceso de enseñanza y aprendizaje del cálculo integral y ecuaciones
diferenciales; asignaturas clave en la formación básica del futuro ingeniero. El estudio siguió el método cualitativo de Investigación Acción Participativa que permitió
describir la incidencia de la estrategia en el modo de actuar tanto de estudiantes
como de las docentes de la experiencia frente a la evaluación. Además, durante la
experiencia se vivió un proceso cíclico de reflexión-acción-reflexión, en cada una de
las etapas del proceso de evaluación.
Se intervinieron tres grupos de ecuaciones diferenciales, alrededor de 70 estudiantes; y cuatro grupos de cálculo integral, aproximadamente de 80 estudiantes.
Dos docentes quienes orientaron las respectivas asignaturas, también hicieron parte
de la experiencia.
Descripción general de la experiencia
La experiencia se desarrolló en cinco etapas:
Etapa 1. Diagnóstico sobre la actitud de los estudiantes hacia las diferentes formas de evaluar. Se hizo a través de entrevistas durante la primera semana de clases.
Etapa 2. Documentación teórica e investigativa sobre la evaluación como factor
de motivación hacia el aprendizaje.
Etapa 3. Diseño de la propuesta: la evaluación como estrategia para la motivación hacia el aprendizaje. Determinación de los siguientes criterios de evaluación
para cada corte; teniendo presente las directrices institucionales: seguimiento: 25 %.
Conformado por: quiz 1, quiz 2, trabajos y proyectos, quiz acumulativo: sobre las
temáticas del corte nota de parcial: 25 %. Consta de dos pruebas: 40 % y 60 %. Establecimiento de acuerdos para la determinación de las calificaciones: obteniendo
una nota ≥ 3.5 en el quiz acumulativo, la calificación del quiz 1 y del quiz 2 se puede
modificar promediando cada uno de ellos con este nuevo quiz. Logrando una calificación ≥ 3.5 en el parcial de 40 %, se acumulan décimas para la nota definitiva de
seguimiento. Alcanzando una nota ≥ 3.5 en el parcial de 60 % (prueba que evalúa
– 225
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
todas las temáticas del corte), se puede modificar el 40 % promediándolo con dicha
prueba. Determinación de los aspectos importantes para el control y medición de los
aprendizajes por parte del estudiante: asistencia a las consultas programadas para
resolver dudas sobre las temáticas. Asesorías individuales para determinar formas o
técnicas de estudio. Realización de lecturas antes y después del tratamiento de los
temas, teniendo como mínimo dos textos o fuentes de consulta. Evaluación de
aprendizajes entre pares dentro y fuera de clase, antes de la realización de las pruebas formales programadas. Seguimiento del proceso de evaluación por parte de las
docentes: durante todo el proceso, el papel de las docentes fue verificar, controlar,
asesorar y motivar a los estudiantes hacia la consecución de metas de aprendizaje.
Etapa 4. Aplicación de la experiencia de aula: se llevó a cabo la propuesta especificada en el diseño anterior.
Etapa 5. Análisis de resultados y evaluación de la experiencia: Se desarrolló teniendo en cuentan cuatro momentos: planificar, actuar, observar y reflexionar, adecuando a la experiencia el proceso de triangulación de Lewin, a través del cual se
describieron y contrastaron los resultados de las técnicas: entrevista inicial, observación (diario de campo), encuesta final; el análisis de las docentes que vivieron la
experiencia; y el marco teórico.
Revisión bibliográfica
La evaluación es el medio menos indicado para mostrar el poder del profesor ante
el alumno y el medio menos apropiado para controlar las conductas de los alumnos.
Hacerlo es síntoma de debilidad y de cobardía, mostrándose fuerte ante el débil, además de que pervierte y distorsiona el significado de la evaluación (Stenhouse, 1984).
Con respecto al proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se tuvieron
en cuenta las siguientes ideas de Chevallard (1997), quien afirma:
Al constituirse una comunidad de estudio alrededor de un determinado tipo de
problemas, se establece una relación didáctica entre los estudiantes y el director de
estudio. Esta relación resulta ser“abierta”a la vez para los alumnos y para el profesor.
La enseñanza, como medio del proceso didáctico, no debe pretender controlar de
una manera absoluta el desarrollo de dicho proceso. La relación didáctica es una
relación“abierta”. En la medida en que la enseñanza de las matemáticas se organiza
para intentar “cerrar” esta relación, provoca un empobrecimiento del aprendizaje
matemático de los alumnos.
– 226
III. Pósteres
La visión estancada del profesor como “aquel que enseña” y del alumno como
“aquel que aprende lo que se le enseña” puede evolucionar hacia una visión en la
que los roles de profesor y alumno son menos rígidamente definidos. Aunque siga
existiendo una asimetría entre ambos, aparecen nuevos puntos de contacto, dado
que ahora se trata de realizar conjuntamente una tarea matemática. Se produce un
cambio importante en el equilibrio de las responsabilidades asignadas tradicionalmente tanto al profesor como al alumno. El profesor ya no tiene que decidir en cada
instante cuál ha de ser la actividad puntual de los alumnos y deja de considerarse
el único (y principal) responsable de la actitud, motivación y quehacer de estos. La
creciente responsabilidad del alumno permite también, por ejemplo, dar sentido y
legitimidad a una evaluación externa de su trabajo.
Con relación a la motivación, es importante tener presente que esta responde a
una serie de actitudes para lograr motivar a los estudiantes antes, durante y después
de todo el proceso de enseñanza y aprendizaje obteniendo aprendizajes significativos que puedan formar parte importante de la formación básica. Ideas sobre
motivación, como la siguiente, fundamentaron la experiencia: “Motivar es despertar
el interés y la atención de los alumnos por los valores contenidos en la materia, excitando en ellos el interés de aprenderla, el gusto de estudiarla y la satisfacción de
cumplir las tareas que exige” (Mattos, 2010, p. 552).
A lo largo de todo el proceso motivacional existen factores que influyen en cada
una de las etapas de dicho proceso. Dichos factores se pueden clasificar en no motivacionales y motivacionales. Al respecto, Huertas (2010) expone que los factores
no motivacionales pueden agruparse en tres tipos: los relacionados con lo que un
individuo sabe hacer, los que se relacionan con aquello que a la persona le dejan
hacer, los que se relacionan con aquello que a la persona le obligan a hacer. En
cuanto a factores motivacionales, Huertas considera que los actos de las personas
motivadas están determinados por la interacción de factores sociales, cognitivos y
afectivo-emocionales.
Objetivo
Determinar la incidencia de la evaluación como estrategia de motivación del proceso
de enseñanza y aprendizaje del cálculo integral y ecuaciones diferenciales.
– 227
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Metodología
Esta experiencia se apoyó en un paradigma cualitativo dentro del cual se implementó
el estudio y análisis con un diseño metodológico de investigación - acción participativa. De este modo se generaron posibles alternativas didácticas dentro del proceso
de enseñanza y aprendizaje del cálculo integral y de las ecuaciones diferenciales utilizando la evaluación como estrategia de motivación.
Para la recolección de información se utilizaron las siguientes técnicas e instrumentos:
• La encuesta con su respectivo instrumento: el cuestionario de tipo semicerrado;
con el fin de conocer estados de opinión, características o hechos específicos de
la experiencia de aula.
• La observación y el diario de campo como instrumento, permitió realizar registros de las vivencias en cada momento.
Resultados
Durante la experiencia se evidenciaron diferentes formas de aprender, entre las cuales tenemos:
• Disponer de un tiempo al día para dedicación al estudio de la matemática.
• Detenerse a revisar el vocabulario trabajado, extractando el glosario (palabras,
expresiones o frases) propio de cada materia.
• Poseer dos textos de consulta (como mínimo) para tener dos explicaciones diferentes (una de las explicaciones puede tener más sentido o la combinación de
ambos puede ayudar a entender mejor). Abordar los temas junto con sus prerrequisitos, pues muchos de los conceptos están relacionados y lo más probable es
que uno le ayude a entender mejor el otro, combinando con el concepto nuevo
(de esta manera, no es extraño ver varias soluciones diferentes al mismo problema o ejercicio y todas ellas correctas).
• Elaborar esquemas para organizar conceptos y algoritmos.
• Autopreguntarse acerca de procedimientos y verificar la viabilidad de estos bajo
el sustento teórico.
• Analizar en textos la resolución y escritura matemática de ejercicios y situaciones
problémicas resueltas, hallando semejanzas y diferencias, con el fin de organizar-
– 228
III. Pósteres
los teniendo en cuenta aspectos como: tipos de variables involucradas, método
apropiado para su solución, entre otros.
• Resolver ejercicios y situaciones problémicas propuestas muy parecidos a los resueltos. Crear los propios ejercicios que cumplan con los planteamientos teóricos.
• A través de formas creativas y lúdicas se pueden evaluar conocimientos en cálculo, despertando curiosidad y deseo por profundizar sobre las distintas temáticas.
En la experiencia se obtuvieron buenos aprendizajes con las siguientes formas:
• Diseño, elaboración y realización de juegos para reforzar ciertos aprendizajes de
manera lúdica, teniendo en cuenta las temáticas de preferencia o las de mayor
dificultad.
• Elaboración de maquetas, póster y folletos alusivos a la aplicación de la asignatura en la vida real, para luego ser compartidos en una pequeña feria.
• Cuando el estudiante está motivado, al equivocarse u obtener resultados inesperados persevera, revisa los errores, por su propia iniciativa busca la orientación
de su docente y repite el proceso de planificación, aplicación, control y autoevaluación y evaluación entre pares, modificando muchas veces el proceso anterior
tendiendo a una mejora de lo realizado o aprendido.
La experiencia de clase tendiente a hacer de la evaluación un factor de motivación
hacia el aprendizaje fue exitosa, porque, entre otros aspectos, los estudiantes pudieron constatar que habían aprendido y que todo su esfuerzo se veía reflejado en
sus calificaciones. Al respecto, en la encuesta final se obtuvieron comentarios como:
“Me gustó el método de evaluación, se aprende y se tiene en cuenta el esfuerzo; porque al estudiar nos va bien, además la profesora ve la entrega y
dedicación del estudiante”.
“Es una felicitación por la manera en que intenta modificar nuestra monotonía de clases magistrales donde nos deja espacio para el esfuerzo y dedicación
al estudio extraclase”.
“La responsabilidad con las actividades programadas y el dominio del tema
fueron la clave para mi aprendizaje, ya que pude comprender y entender los
temas vistos”.
“Se promovió la investigación y los temas evaluados nunca se salían del contexto desarrollado en clase”.
– 229
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
“Durante todo el proceso me ayudó al entendimiento independientemente de
su ocupación extracurricular”.
“Pude interrumpir la clase cuando no entendía y ella me daba tiempo de la
clase para explicarme”.
Conclusiones
Con la experiencia de aula se puede concluir que la evaluación de aprendizajes, especialmente en matemáticas, implica un proceso no centrado en la calificación, sino
en la motivación del estudiante para que formule sus propias metas de aprendizaje y,
por consiguiente, busque posibles recursos y procedimientos para lograrlas, contando con la orientación permanente del docente.
De esta manera, la evaluación se convierte en un factor de motivación hacia el
aprendizaje en la medida en que los estudiantes la toman como recompensa a su
esfuerzo o como estímulo al superar resultados inesperados, y además colabora en
el desarrollo de estrategias de aprendizaje para la aprehensión de futuros conocimientos.
Por tanto, es necesario replantear las prácticas evaluativas actuales, especialmente
en el área de matemáticas, valorando además de conocimientos, la capacidad del
estudiante por organizar su propio aprendizaje de manera independiente, la realización y control consciente y deliberado de su propia actividad. De este modo se
lograría un cambio de actitud especialmente en el estudiante, porque comprendería
que sentarse pasivamente en el aula de clase, tomar apuntes y luego memorizar
procedimientos o conceptos, no es la mejor manera de aprender.
– 230
III. Pósteres
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– 231
RESULTADOS DE UN DIAGNÓSTICO
SOBRE EL MANEJO DE EQUIVALENCIAS
Y SU IMPORTANCIA EN LA RESOLUCIÓN
DE TAREAS QUE IMPLICAN
LA COMPRENSIÓN DE LAS FRACCIONES
José Antonio Juárez López
jajul@fcfm.buap.mx
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México
Fabiana Mahtabel Arteaga Cervantes
hada061419@hotmail.com
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México
Resumen
Esta investigación aborda un estudio sobre el manejo de equivalencias en la resolución de problemas con fracciones. Este
tema ha sido investigado ampliamente por diversos autores.
Casi todos coinciden en que las dificultades que tienen los estudiantes al enfrentarse a los problemas relacionados con las
fracciones se deben al carácter multifacético de las mismas, es
decir, a la variedad de significados que adquiere la fracción.
En este trabajo se reportan los resultados de un diagnóstico re
alizado con estudiantes de 12-14 años en el que se pretendió
observar cómo manejan las equivalencias como medio para
resolver problemas con fracciones. Dichos resultados revelan
graves dificultades para su manejo y comprensión. Con estos
hallazgos y las implicaciones derivadas de la literatura sobre la
investigación en didáctica de las fracciones, se planea diseñar
e implementar una secuencia didáctica que permita favorecer
– 233
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
la comprensión y manejo de las equivalencias en el contexto de la resolución de
problemas.
Palabras clave: equivalencias, fracciones, resolución de problemas.
Abstract
This research deals with a study on the management of equivalence in solving problems with fractions. This issue has been extensively investigated by several authors.
Almost everyone agrees that difficulties that students have to face the problems related to the fractions are due to the multifaceted nature of the same, i. e., to the variety
of meanings that acquires the fraction. This paper presents the results of a diagnosis
made with students from 12-14 years in which we pretended to see how they handle the equivalence as a means to solve problems with fractions are reported. These
results reveal serious difficulties in handling and understanding with fractions. With
these findings and implications of the research literature on research fractions, we
plan to design and implement a teaching sequence hat allow us fostering understanding and management of equivalents in the context of problem solving.
Keywords: Equivalences, fractions, problem solving.
Introducción
En México la educación básica considera las fracciones uno de los temas más importantes académica y socialmente, y por ello se le dedica un tiempo considerable
en el currículo, ya que se introduce desde el tercer grado de primaria y es revisado
repetidamente en grados subsecuentes. Pese a ello muchos niños y jóvenes siguen
presentando serias dificultades para operar con ellas y, aunque en el mejor de los casos los estudiantes son capaces de manejar el algoritmo, se muestran ineficientes en
el momento de resolver problemas y, en general, no muestran una habilidad real
en el manejo de las mismas.
Además de la complejidad que presenta el aprendizaje de las fracciones subyace
un problema mayor, debido a que estas dificultades trascienden a otras áreas de
la matemática ya que los problemas de comprensión en este tema traen consigo
dificultades en el aprendizaje de temas subsecuentes que necesitan como principio
básico las fracciones.“Estas lagunas, a pesar de las cuales los estudiantes habían podido igualmente proseguir en sus estudios, se revelaban mortales en el momento de
tener que darlas por obvias en situaciones… más complejas” (Fandiño, 2009, p. 19).
– 234
III. Pósteres
Numerosos estudios han revelado que uno de los principales factores que contribuyen a esta complejidad es el hecho de que las fracciones comprenden una noción
multifacética debido a que tiene diversos significados (parte-todo, cociente, razón,
operador, medida) y que estos están interrelacionados (Kieren, 1976; Charalambous
y Pantazi, 2006).
Por otra parte, cuando se trata de introducir el tema de fracciones, la mayoría
de los materiales de currículo escolar tratan el número racional como objetos de
cálculo; se avanza muy rápido a la operatividad con las mismas y se le da gran importancia al dominio del algoritmo, por lo que los estudiantes pierden muchas de
las interpretaciones importantes del número racional. Al respecto Hasemann (1981)
menciona que “para la aritmética de fracciones existen muchas reglas, y esas reglas
son más complicadas que las de los números naturales. Si esas reglas son introducidas demasiado pronto, existe el peligro de que sean usadas mecánicamente y sin
pensar”.
Kamii y Clark (1995) explican que
no hay mucha información concerniente a las fracciones equivalentes como
tal. Sin embargo la información disponible con respecto a la suma y resta de
fracciones con denominadores diferentes “fáciles”, evidencia la dificultad de las
fracciones equivalentes… algo claramente está mal con la manera en que las
fracciones equivalentes o comunes denominadores son enseñados.
De acuerdo con Fandiño (1983), para los estudiantes es más fácil manejar las
equivalencias cuando estas fracciones involucran números múltiplos entre sí; y la
estrategia se reduce a multiplicar o dividir numerador y denominador por el mismo
número; sin embargo, les resulta más difícil encontrar una estrategia que les permita
gestionar la equivalencia cuando los números involucrados no son múltiplos entre
sí. Esta manera de proceder de los estudiantes refleja una falta de dominio y, en consecuencia, de comprensión real de las equivalencias entre fracciones, lo que podría
incidir en la comprensión de otros significados de las fracciones con mayor relevancia, tanto en la resolución de problemas como en las operaciones con fracciones.
Freudenthal (1983) exponía que
la fracción como fracturador puede ser descrita mediante un concepto de
equivalencia bastante restringido: no requiere más que dividir algo en n partes
iguales. Pero en la realidad de la didáctica se necesita una equivalencia de más
alto alcance, así c omo una disponibilidad sin restricciones de objetos en cada
– 235
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
clase de equivalencia. Esta necesidad no ha sido reconocida en la didáctica de las
fracciones ni en la elección de modelos didácticos hasta la fecha.
Esto evidencia entonces que las dificultades en el aprendizaje de los números
racionales desde su conceptualización hasta sus múltiples representaciones no es
nada trivial y merecen mucho analizarse.
Post, Behr y Lesh (1982) hacen un análisis sobre la comprensión de estudiantes de
cuarto grado sobre el orden y la equivalencia de los racionales. Ellos mencionan que
el concepto de números racionales está entre las ideas matemáticas más complejas e
importantes que los niños enfrentarán antes de llegar a la escuela secundaria y que
con una instrucción adecuada durante un período prolongado de tiempo, la mayoría de los niños a finales de cuarto grado son capaces de desarrollar un pensamiento
adecuado para hacer frente a preguntas del orden y equivalencias de fracciones, y
que la habilidad para abordar efectivamente los racionales mejora enormemente
su habilidad para entender y operar con situaciones y problemas en el mundo real.
Planteamiento del problema
Con el referente anterior el problema identificado se resume a continuación:
Las fracciones es un tema que presenta muchas dificultades en el momento de
enseñarlo y aprenderlo por el hecho de que el concepto de fracción no es de construcción simple, ya que consta de varias subconstrucciones relacionadas.
Pese a que es un tema que se trata durante varios años en la educación básica,
muchos niños y jóvenes aún presentan serias dificultades para operar con fracciones. Estas dificultades trascienden a otras áreas de la matemática.
Uno de los aspectos que presentan mayor dificultad es resolver problemas que
implican aplicar la operatividad de las fracciones.
Muchos autores asocian las dificultades que se presentan al operar con fracciones
con el dominio y comprensión real de las equivalencias.
Con tal antecedente se ha iniciado una investigación orientada por las siguientes
preguntas:
• ¿Cuáles son las principales dificultades que presentan alumnos de primero de
secundaria al enfrentarse a tareas cuya solución implica operar con fracciones?
• ¿De qué forma es posible superar las dificultades que los estudiantes de primero
de secundaria presentan al tratar de resolver problemas relacionados con la operatividad de fracciones?
– 236
III. Pósteres
• ¿Incide de manera positiva el dominio de la gestión de fracciones equivalentes en
la resolución de problemas que implican operar con fracciones?
Método
El estudio se efectuó con 46 alumnos de primer grado de una Escuela Secundaria
Técnica en el Estado de Puebla, México, cuya edad oscilaba entre 12 y 14 años. La escuela está situada en un contexto urbano. Para el diseño del instrumento diagnóstico
se tomaron de referencia dos textos. El primero que corresponde a Hasemann (1981),
proporciona algunos ítems de diagnóstico sobre las dificultades con fracciones, del
cual se extrajeron los que correspondían a equivalencias, pero además provee una
clasificación con respecto al significado de fracción empleado para cada ítem y su
grado de dificultad, misma que fue utilizada para clasificar todos los ítems del instrumento diagnóstico.
Del segundo texto (Kamii y Clark, 1995) únicamente se extrajeron los ítems de
su diagnóstico ya que su investigación se refiere a las fracciones equivalentes, sus
dificultades e implicaciones educativas, aunque, como se mencionó antes, en tal estudio no se reporta intervención. Posteriormente al diseño se aplicó el instrumento
y se hizo el análisis de resultados.
Resultados y discusión
Algunos de los ítems contenidos en el diagnóstico, su justificación y análisis se presentan a continuación.
Ítems 1 y 2
1. Una galleta redonda se repartirá entre dos niños. ¿Cómo representarías la parte
que le corresponde a cada uno?
2. Con un pedazo de listón se tienen que hacer ocho moños del mismo tamaño.
¿Qué parte del listón se necesitará para cada moño?
Los ítems anteriores tienen la misma estructura, la intención de colocarlos era
conocer si los alumnos, dado que ya han cursado varios grados de educación primaria en los que se trata el tema de fracciones, manejaban como idea fundamental
el significado de fracción parte-todo.
De acuerdo con los resultados del diagnóstico se pudo observar que el ítem 1, con
43 respuestas correctas (93 %), no representa una dificultad para los estudiantes;
– 237
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
sin embargo, el ítem 2, que como hemos mencionado, corresponde a la misma estructura del primer ítem, sí representa una dificultad importante, ya que de los 46
estudiantes, 65 % contestó incorrectamente a dicho ítem y 9 % no lo respondió. Esto
pudo haber sucedido por varias causas, una de ellas puede ser la semántica ya que
les es más familiar la representación gráfica que la representación simbólica. Esta
consideración es importante porque en las respuestas de los estudiantes se puede
observar que algunos sí representaron gráficamente el listón fraccionado pero no
fueron capaces de representarlo en forma simbólica. También pudo haber influido
el contexto del problema, pues a los niños les resulta más familiar el contexto de la
repartición de una galleta que el de cortar un listón. Otra causa posible es que los
estudiantes sean sensibles al rango numérico, es decir, que para ellos sea más familiar e intuitiva la idea de fraccionar en mitades que en octavos.
Ítem 16
16. ¿Cuál debería ser el numerador de la segunda fracción para que cada par sea equivalente?
Explica la estrategia que empleaste para resolverlo.
Cuando se trabaja con fracciones equivalentes es muy común observar que estas
sean obtenidas multiplicando el numerador y denominador de la fracción en cuestión por el mismo número. Sin embargo, cuando se hacen comparaciones de fracciones cuyos denominadores no son múltiplos, esta tarea les resulta más compleja.
EL propósito de emplear este ítem fue identificar cómo pueden los alumnos, dar
solución a estas comparaciones. Como se esperaba que ocurriera, auncuando los estudiantes más diestros logran manejar las equivalencias de fracciones por múltiplos,
les resulta más complejo identificarlas cuando no corresponden a múltiplos de los
datos en cuestión. En este ítem solamente 1,3 % contestó correctamente; 26 % no
contestó el ítem y el resto del grupo intento dar alguna respuesta pero no se observa
la estrategia empleada para llegar a ella.
Ítem 19 y 20
19. En un club un tercio de la superficie del terreno se destinará al gimnasio, un sexto a
los salones sociales y la mitad a los deportes al aire libre. ¿Quedará terreno para otras
instalaciones? Explica tu respuesta.
– 238
III. Pósteres
20. El partido de fútbol entre los equipos Las águilas y Los delfines duró dos períodos de una hora cada uno. Hubo también un descanso de una hora y un período
de tiempo extra que duró una hora. ¿Cuánto tiempo pasó entre el primer y el
último silbatazo?
En el caso de los ítems 19 y 20, es preciso realizar operaciones con fracciones, específicamente sumas y restas. En estos ítems más de 70 % de los estudiantes dieron
respuestas incorrectas. En el ítem 19 se obtiene un porcentaje más alto de respuestas
correctas que en el ítem 20, auncuando en este ítem se debe hacer solo una suma,
no así en el ítem 19 que debe resolverse una suma primero y después una resta. Sin
embargo suponemos que la dificultad en el ítem 20 fue el hecho de que muchos estudiantes no se dan cuenta de que el texto del problema indica“dos períodos de una hora
cada uno”; los estudiantes solo consideran un período al sumar. Entonces una parte de
las respuestas incorrectas podría atribuirse a la lectura del problema. Los alumnos que
resuelven correctamente hacen uso de equivalencias; en el diagnóstico no se observa
el uso del algoritmo convencional, lo cual podría justificarse por el hecho de que los
números en cuestión son múltiplos y sumarlos no representa una gran dificultad como
para recurrir al algoritmo. Otra explicación posible es que los alumnos no recuerden
el algoritmo; sin embargo, si ellos comprenden los significados de la fracción y saben
utilizarlos pueden resolver los problemas sin necesidad de algoritmos.
Conclusiones
Como se puede ver en los resultados, los alumnos reflejan una falta de comprensión
con respecto a las fracciones, sus significados y usos. Muchos de los alumnos no han
comprendido siquiera el significado parte-todo. No distinguen que las fracciones representan una clase de números diferentes de los números naturales y, por tanto, con
propiedades distintas. Como dato importante se puede apreciar que cuando se propone a los estudiantes una tarea relacionada con operaciones de fracciones, aquellos
alumnos que comprenden alguno de los significados, como lo es el de equivalencias,
son capaces de resolver los problemas sin necesidad de recurrir al algoritmo y más si
no lo recuerdan. Gran parte de las respuestas correctas en cualquiera de los ítems se
logró mediante el uso de equivalencias.
– 239
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
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from a research workshop (pp. 101-144). Columbus, OH: ERIC Information Analysis
Center for Science, Mathematics and Environmental Education.
– 240
CONFLICTOS CON EL CERO EN LA
COMPRENSIÓN DE LOS NÚMEROS
DECIMALES POR FUTUROS
PROFESORES
Patricia Marisel Konic
pkonic@exa.unrc.edu.ar
Universidad Nacional de Río Cuarto. Argentina
Universidad Nacional de La Pampa. Argentina
Resumen
Este trabajo forma parte de una investigación (Konic, 2011) sobre el conocimiento que poseen futuros profesores de educación primaria para la enseñanza de los decimales. Los estudios
derivaron en la elaboración de un instrumento de evaluación
aplicado a 118 estudiantes, culminando con un análisis cualitativo de sus significados personales (Godino, Batanero y Font,
2007). El objetivo es ilustrar, a través de una situación problema,
la investigación, los resultados y su potencialidad para el diseño de un plan formativo. La situación problema seleccionada
considera el contenido representación decimal de un número
racional, donde se introduce como variable de análisis el cero.
Además, se pone en juego la relación de mayor (menor) propiedad esencial en el tratamiento de los decimales. Con este
ítem se propone valorar con qué precisión el futuro profesor
responde y comunica una tarea que requiere poner en juego
procedimientos propios de la matemática. En este caso, decidir
sobre la posibilidad o imposibilidad de solución de una situación, eventualmente el “barrido” y justificación de la totalidad
de soluciones válidas y tratar de modelar una generalización.
– 241
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Palabras clave: cero, evaluación, número decimal, profesor de educación básica,
situación problema.
Abstract
This work is part of an investigation (Konic, 2011) on the knowledge of elementary
school teachers to teach decimals numbers. The research led to the development
of an assessment instrument applied to 118 preservice teachers, culminating in a
qualitative analysis of their personal meanings (Godino, Batanero and Font, 2007).
The papers´ aim is to illustrate, through a situation / problem, some results and their
potential for designing a teachers´ training proposal. The situation / problem selected
consider the decimal representation of a rational number, where the zero is included
as a variable for the analysis. Furthermore, it brings into play the order relationship
more than-less than, in dealing with decimals. The situation objective is to assess
how precisely the prospective teacher responds to a task and communicates it when
the task requires performing mathematic procedures. In this case, it requires deciding
on the possibility or impossibility of solution of a task, eventually considering a range
of all the valid solutions and their justifications and try to model a generalization.
Keywords: Decimal number, elementary school teacher, evaluation, situation/
problem, zero.
Introducción
La persistencia del problema del aprendizaje de los números decimales en los distintos ámbitos educativos motivó la necesidad de producir cambios en la formación de
maestros. Ante esta cuestión, el interés de la investigación se dirigió a determinar el
estado de la formación de futuros profesores de enseñanza primaria y a la identificación de factores condicionantes para el aprendizaje de dichos números.
Para estudiar dichos factores se vio necesario elaborar un instrumento adecuado para realizar las mediciones correspondientes. El primer objetivo específico fue
construir un instrumento de medición para evaluar aspectos relevantes del conocimiento del contenido matemático mencionado con fines de enseñanza.
Para el diseño del instrumento se tuvo en cuenta un referente global sobre los
números decimales, que se generó analizando la naturaleza y su desarrollo y estudiando factores que condicionan los procesos para su enseñanza y aprendizaje. Se
estudiaron cuestiones ligadas a la naturaleza, origen e importancia de estos núme– 242
III. Pósteres
ros. Posteriormente, antecedentes en los que se considera el número decimal como
objeto epistémico, su estado en el campo de la investigación didáctica, su enseñanza
y su aprendizaje. Se recogieron cuestiones abiertas que algunos investigadores destacan relevantes para su estudio y se reorganizó la información en cuatro dimensiones: epistémica, cognitiva, formativa y ecológica. Se hicieron también estudios
exploratorios con estudiantes y con libros de texto.
El referente posibilitó el diseño del cuestionario que se focalizó en la distinción
entre las representaciones decimales y fraccionarias de los números decimales, y las
propiedades de los números racionales representados.
Es en este contexto de investigación en el que se halla inserta la situación problema (ítem) motivo de este documento.
Marco teórico
Se adopta para la investigación y en particular para este trabajo, en primera instancia, la noción conocimiento matemático para la enseñanza, introducida por Hill, Ball y
Schilling (2008) y las categorías que describen para dicho conocimiento, en particular
las referidas al conocimiento del contenido (conocimiento común del contenido, CCK,
conocimiento especializado del contenido, SCK, y conocimiento en el horizonte matemático).
Para la construcción del instrumento que permitiera evaluar conocimientos de
los estudiantes se tomaron herramientas teóricas provenientes del enfoque ontosemiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemática (Godino, Batanero y
Font, 2007), consideradas adecuadas para hacer una interpretación y desglose operativo de las categorías planteadas. Por otra parte, dichas herramientas posibilitaron
la realización de análisis detallados sobre la diversidad de entidades matemáticas
involucradas en una situación problema (ítem de un cuestionario), o las que eventualmente manifieste un sujeto a través de su resolución. Las principales nociones
teóricas que sirvieron de base a la investigación son las de análisis didáctico, en las
que se consideraron dos facetas para el análisis del conocimiento del profesor (epistémica y cognitiva) y dos niveles (prácticas y configuración) (Godino, 2009). Así mismo
las nociones de significado referencial y significado personal, conflicto semiótico, objetos
primarios (lenguaje, situación problema, argumentos, propiedades, definiciones / conceptos,
procedimientos, proposiciones).
El desarrollo de la configuración epistémica de cada ítem puso en juego, en cada
caso, variedad y multiplicidad de elementos de significado. Dependiendo del modo
– 243
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
en que se presentaron las relaciones entre ellos, se anticiparon algunos conflictos
semióticos potenciales. La detección de tales conflictos resultó esencial para la posterior evaluación de la discrepancia entre significados (institucional y personal). Por
ello se consideró, como una de las variables cualitativas para el análisis de los datos
del cuestionario, precisamente la que refiere a “tipos de conflictos” específicos para
cada ítem en particular.
Metodología
Para la elaboración del instrumento, en primer lugar, se especificó el contenido de la
variable objeto de medición desde una perspectiva ampliada, en el sentido de que se
tomaron en consideración una componente de tipo curricular (refiere al contenido
números decimales) y otra que se llamó ontosemiótica (que tiene en cuenta los tipos
de objetos y procesos puestos en juego en la realización de las tareas matemáticas).
A partir de la elaboración de una tabla con los contenidos seleccionados para
la evaluación, en el marco del significado institucional de referencia, se procedió
a la construcción de la primera versión del cuestionario. Este proceso culminó en
un instrumento cuyos ítems (situaciones problema) provienen de distintas fuentes:
investigaciones, libros de texto escolares, de elaboración propia y reformulaciones.
Responden, según el ítem, a aspectos y categorías del conocimiento del contenido
números decimales. Para cada uno de ellos se hizo una fundamentación de su elección o formulación. Luego de las pruebas de fiabilidad y validez del instrumento se
obtuvo la versión definitiva, que quedó constituida por 13 ítems generales, que con
los sub-ítems correspondientes conforman un total de 28 ítems.
Tras la implementación del instrumento se efectuó un estudio cualitativo para el
que se definieron tres variables, una general: grado de corrección, y dos específicas
para cada ítem (tipo de conocimiento y tipo de conflicto) con sus respectivos valores.
Situación problema (suprimir e intercalar un cero)
En una situación-problema previa a la que se analiza en este trabajo, se pretendió
valorar el conocimiento puesto de manifiesto por los estudiantes sobre el contenido
expresión decimal de un número racional. Específicamente, el manejo de los objetos que
forman parte de dicha expresión (posición de una cifra, valor de la cifra según la posición, relación entre las posiciones y valores de las cifras). En tal sentido, se observó un
reducido porcentaje de estudiantes en los que sus significados personales reflejaban
– 244
III. Pósteres
un conocimiento adecuado de este contenido (27 %). Los futuros profesores demostraron insuficiente comprensión sobre la estructura del sistema de numeración y,
en particular, sobre la representación de números racionales. Se observó que estos
necesitan reconsiderar sus creencias implícitas sobre lo que se halla en la base del
sistema de numeración decimal.
Siguiendo en esta línea, el siguiente propósito fue hacer una indagación específica, en el sentido de poder profundizar si los conflictos vinculados al conocimiento
común del contenido que se detectaron en la situación descrita precedentemente
persisten o se profundizan cuando se trata con expresiones decimales de números
racionales en las que interviene un número particular. Se trata de una nueva situación problema en la que interviene el cero en alguna de las cifras del número, y se
plantea en un contexto de comparación. Se ponen en juego aspectos del conocimiento especializado del contenido.
En este caso se trata de evaluar la comprensión de métodos de solución ante una
tarea, que si bien no es de aplicación directa para un niño de la escolaridad elemental, le brinda al futuro profesor estrategias y perspectivas para la selección, variación
y manejo de nuevas tareas. En este sentido, en lo referente al sub-ítem c), de la
situación problema que se describe a continuación, el proceso de generalización
requerido puede considerarse también como un conocimiento ampliado del contenido.
La situación problema se enuncia de la siguiente manera:
a. ¿Se podría suprimir un cero en el número 470,05 de tal manera que se obtenga un número mayor? ¿Y un número menor? Justifica ambas respuestas.
b. ¿Se podría intercalar un cero en el número 19,38 de tal manera que se obtenga un
número mayor? ¿Y para obtener un número menor? Escribe todas las posibilidades.
Justifica las respuestas.
c. Un número está formado por unidades, decenas, centenas, décimas y centésimas. ¿En
qué posición intercalarías un 0 para obtener un número mayor? ¿En qué posición intercalarías un 0 para obtener un número menor? Justifica las respuestas.
Como se puede observar, la tarea requiere una justificación comprensiva (Harel
y Sowder, 2007). Comparar dos racionales expresados en forma decimal, requiere
tener conocimiento sobre la comparación y el orden en la posición. El cero desempeña un rol esencial en el conocimiento sintáctico asociado a la conformación del
número, pensamiento que puede estar o no asociado con el conocimiento semántico necesario para el reagrupamiento de sub-unidades (Baturo, 2000).
– 245
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Por otra parte, cuando se trata con el cero, dada su larga, compleja y controvertida
historia hace pensar que estamos en presencia de un claro ejemplo de obstáculo
epistemológico, tal lo señalado por D`Amore y Fandiño (2012).
Resultados y discusión
Cuando se pone en juego el cero en una expresión decimal, no se encuentran mayores
problemas en cuanto a los números que exhiben y que cumplan con las condiciones
pedidas. Se manifiestan algunas confusiones con el rol del cero en la constitución de
un número decimal, especialmente en su“parte decimal”. Los conflictos surgen en la
argumentación, ya sea por la ausencia, por la limitación que tienen en la búsqueda
de posibilidades, y más aún, en el intento de generalización. Ello permite observar
que el tratamiento que hacen a los números tiene un carácter sintáctico, sustentado
en conocimientos previos sobre los números enteros, pero carentes del conocimiento
semántico necesario (conceptos de valor y posición, décimas, centésimas, etc., y sus
relaciones) para manejar posibilidades, limitaciones y fundamentarlas.
Por tanto, el ítem pone en evidencia carencias en cuanto a conocimiento común
del contenido, especialmente en lo referente a aspectos básicos del sistema de numeración decimal. Tal como señalan Steinle, Stacey y Chambers (2006), la buena
comprensión del sistema de numeración decimal es esencial para tratar con medidas y números. Por otra parte, los futuros profesores demuestran dificultad para
manejar procesos vinculados a la argumentación; ello está en consonancia con resultados de investigación de Chick (2003). Estos hechos muestran debilidad, también respecto al conocimiento especializado y ampliado de este contenido.
Conclusiones
En la investigación se ha encontrado pertinente usar las categorías de conocimiento
del contenido en su triple vertiente de conocimiento común, ampliado y especializado, formulando ítems para el cuestionario relacionados con dichas categorías. Pero
además, el uso de la noción de configuración de objetos y procesos del EOS para
efectuar el análisis a priori de las situaciones problema ha permitido profundizar en
los conocimientos y competencias necesarias para resolverlas, mostrando la complejidad semiótica de las mismas y facilitando la formulación de hipótesis específicas
sobre conflictos potenciales.
– 246
III. Pósteres
La aplicación del cuestionario ha permitido desvelar las dificultades de comprensión y uso competente de los decimales por parte de los futuros profesores de la
muestra, las cuales en gran medida concuerdan con resultados de investigaciones
previas. No obstante, el hecho de haber incorporado en el estudio los dos tipos de
variables específicas para cada ítem ha permitido detectar algunas precisiones y
complementos.
En el caso particular de la situación problema que nos ocupa aquí, el cero juega
un rol especial y esencial, dado que pone en evidencia el necesario cuestionamiento
del valor de una cifra en la constitución del número decimal según la posición que
tome dicha cifra. El cero, ya sea como cifra, como valor, como posición que ocupa en
la representación de un número, se convierte en “un medio” que permite poner en
descubierto la verdadera comprensión de estas nociones, y por ende, la concepción
de número decimal.
La posibilidad de adquisición de un conocimiento que permita una mirada integral del campo de problemas insertos en este contexto, se considera potente para
la formación.
– 247
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
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Hill, H., Ball, D. & Schilling, G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal
for Research in Mathematics.
– 248
RESEARCH ABOUT THE KNOWLEDGE
REQUIRED FROM TEACHERS
TO TEACH PROBABILITY NOTIONS
IN FINAL YEARS OF ELEMENTARY
SCHOOL
Ruy Cesar Pietropaolo
rpietropaolo@gmail.com
Universidade Anhanguera de São Paulo. Brasil
Tânia Maria Mendonça Campos
taniammcampos@hotmail.com
Universidade Anhanguera de São Paulo. Brasil
Angélica da Fontoura Garcia Silva
angelicafontoura@gmail.com
Universidade Anhanguera de São Paulo. Brasil
Abstract
The goal of this article is to present a study about the knowledge used by Brazilian teachers to teach probability in the final
years school of elementary school. This research was developed within the scope of a continued education course of the
Education Observatory —a project on research and development by UNIAN/CAPES. Data presented here refer to the first
phase of the research classified as Diagnostic. As for the theoretical basis regarding content retention by the teachers, the
notion of conceptual image by Tall and Vinner was used. Regarding the knowledge that teachers should master, we chose
the categories established by Ball, Thames and Phelps such as:
knowledge of core/specific content, knowledge of content and
– 249
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
of students, knowledge of content and of teaching. The answers given by the teachers in the diagnostic tool revealed inconsistent conceptions about probability and
its teaching. This finding was used as a starting point for the development process
throughout the project’s second phase.
Keywords: Early education teacher development, mathematical knowledge for
teaching teaching probability.
Introducción
This presentation refers to a research whose goal was to look into the knowledge
required from teachers to teach probability in the final years of elementary school.
This research was developed within the scope of a continued education course of
the Education Observatory - a project on research and development by UNIAN/
CAPES - which involved 27 teachers at the public school network of the State of São
Paulo, Brazil. The participants had a teaching degree in mathematics and attended
the course voluntarily.
Data initially discussed in this presentation refer to the phase called Diagnostic,
which consisted of questionnaires and interviews used to identify the knowledge
teachers had about probability and their conceptions regarding its teaching.
The second phased, named Development - which will not be discussed here - was
conducted according to the principles of the Design Experiments Methodology. This
development process had as its assumption that a sequence of activities - initially
exploring the notion of randomness followed by the notion of sample space, and
then, by quantification of probabilities - improves knowledge improvement and/or
reconstruction by the teachers in relation to probability.
As for the theoretical basis regarding content retention by the teachers, the notion
of conceptual image as proposed by Tall and Vinner was used. These authors consider the conceptual image notion as the cognitive structure that develops within a
person’s mind through rich experiences and studies about a particular mathematical
concept. Such image involves impressions, visual representations, examples, applications and verbal descriptions regarding the properties and processes concerning
a given concept. Regarding knowledge that teachers should master, we chose the
categories established by Ball, Thames and Phelps such as: knowledge of core/specific content, knowledge of content and of students, and knowledge of content and
of teaching. The authors were specifically focused on the manner by which the teachers need to know a certain content in order to teach it. Besides this,“whatever else
– 250
III. Pósteres
teachers need to know about mathematics and how and where teachers could use
such knowledge in practical terms” (Ball et al., 2008, p. 4), the pedagogical knowledge of content and knowledge of syllabus. Hence, the focus of studies developed by
Ball et al. (2008) is on the teaching job, that is, about what teachers do when they
teach mathematics and about their perceptions, understanding and mathematical
thinking required for such job.
The answers given by the teachers in the diagnostic tool revealed inconsistent
conceptions about probability and its teaching. This finding was used as a starting
point for the development process throughout the project’s second phase. In this
process, definitions of probability from the geometrical and frequency viewpoints,
and also its classical definition, were used for the studies regarding probability and
reflections about its teaching.
Teachers knowledge
We used a questionnaire with 13 questions, assuming that the conceptual image
would be composed by, for instance, identification of random phenomena; understanding of the different probability definitions and their respective limitations;
meaning and quantification of sample spaces; probability quantification; relations
between variables in double-entry tables; connections with different contents; different strategies for approaches; difficulties inherent to the process of construction of
this specific knowledge.
We present, below, our analysis of some data that allowed for the outlining of
the conceptual image that constituted, at that moment, the knowledge repertoire
regarding the meaning of probability, sample space and probability quantification.
In relation to the question “how would you define probability? (use your own
words)”, twenty teachers wrote a definition that can be associated to the classic
definition, as evidenced in the excerpt below:
Probability is written with two numbers; the first shows the total number of possible outcomes, and the second, the number of outcomes we expect. (teacher 16).
It is worth underscoring that many teachers in the group do not seem to understand that the probability of one event is a number; instead, they thought it was a
code consisting of two digits: one that informs the quantity of desirable cases and
one that informs the total quantity of possible outcomes. This conception draws forth some inconsistent conceptions, not only relative to probability, but also relative to
rational number representations and meanings of fraction.
– 251
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
About sample space and calculating probability
In order to look into the knowledge that teachers had regarding sample space, we
proposed various questions and, specifically, the following one: one box has three
balls; two blue ones and one red. If you pick two balls randomly, one at a time, which
is the higher probability: getting two blue balls or one blue and one red?
Regarding this questions, 21 teachers replied that the higher probability was to
get two blue ones, because there were more blue balls. Three teachers stated that
the probability was the same, but did not explain why, and other three teachers
replied that the probability of getting one blue and one red ball was higher. Two of
the teachers who answered correctly described the sample space of the event. In
fact, by registering the sample space, the teachers could have noticed that there are
twice as many combinations of blue-red than blue-blue; four ways to get blue-red
(B1-R; B2-R; R-B1; R-B2) and only two ways to get blue-blue (B1-B2; B2-B1). If the
teachers considered that two balls were picked up at the same time, the answer to
the problem wouldn’t have changed regardless of the different sample space (B-B;
B1-R; B2-R).
We interviewed the three teachers who solved the problem correctly. One of them
said that he replied to the question using simple intuition and could not justify his
answer. Two other teachers stated that the reason for their correct answer was the
fact that they wrote down all possible outcomes and they would not be able to solve
the problem without that description. One of the teachers had a curious reply, to
say the least:
To me, it was evident that the higher probability was of two blue ones. I was
going to answer like that, but then I thought, gee, if they are asking this it’s
because the probability is the same, or, conversely, getting one red and one blue
is the higher probability. Then, I decided to write down the possibilities for the
outcomes. Then I saw I was wrong (Teacher 17).
For our analysis of the knowledge that teachers had about calculating probabilities, we proposed, among other activities, the following problem:
– 252
III. Pósteres
This picture represents a dart board. The bulls eye is formed by two squares whose sides measure, respectively, 3 meters and 1 meter.
A player throws one dart and hits the bulls eye. What is the probability that she will hit the bulls eye in the
smaller square?
As for the third problem, which involved geometrical definition of probability,
the number of correct answers was not high: only four teachers chose the correct
answer: 1/9 which is the ratio between the areas of the smaller and bigger squares.
The other teachers either did not solve or did not answer that the probability was
of 1/3, because they only considered the measurements of the sides of the square.
It is interesting to note that two of the teachers that had the correct answer did not
directly calculate the areas of the squares as the other teachers did, but they checked how many times the smaller square fitted in the bigger one, as shown in one of
these teacher’s protocol:
Figure1. Protocol (teacher 17)
It is possible that these teachers, in this situation, did not explicitly consider the
sample space as a continuous, but rather by its “discreet” feature: the “sample space”
was obtained through counting the nine little squares of the same size inside the
bigger square. The group’s answers revealed inconsistent conceptions about sample space and, hence, about probability calculations. It was also possible to identify
that aspects such as acknowledging the need to discuss the notion of randomness
and the importance of organizing and describing the sample space using different
– 253
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
representations were not part of the participants’ conceptual image regarding the
teaching of probability.
From the teachers’ conceptual image regarding probability and its teaching, and
from research results, we conceived and developed a continued education process
aiming to enhance the knowledge base of these teachers about the teaching of this
subject, as proposed by Ball, Thames and Phelps (2008). Reflections about the situations proposed during the Development Process, enhanced this knowledge base
not only regarding the teaching of probability, but also, about counting problems.
This development process also enabled the implementation of innovations concerning probability in the 5th year of elementary school by the majority of the teachers
participating in our research.
– 254
III. Pósteres
References
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– 255
EL APRENDIZAJE AUTORREGULADO,
UNA CONDICIÓN FAVORABLE
EN EL APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN
DE DERIVADA: REFLEXIÓN DESDE
LA PRÁCTICA
Boris Mauricio Pulido P.
bmpulidop@gmail.com
Universidad Autónoma de Colombia. Colombia
Oscar Antonio Pulido C.
opulidoc@gmail.com
Universidad Autónoma de Colombia. Colombia
Oscar Jardey Suárez
sistemas29@gmail.com
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Colombia
Resumen
Este trabajo muestra las reflexiones posteriores a la investigación desarrollada en la Universidad Autónoma de Colombia
sobre la enseñanza-aprendizaje de la derivada para cursos
de ingeniería de educación superior, en una población con
características especiales y usando algunas estrategias del
aprendizaje autorregulado mediado con tecnología. El objeto
fundamental es reflexionar desde los modelos más relevantes
del aprendizaje autorregulado, Karoly, Bandura, Zimmerman y
Cerda, los hallazgos obtenidos en la investigación, así como las
potencialidades y limitaciones para la enseñanza y aprendizaje
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
de la noción de derivada en los cursos iniciales de matemáticas a nivel superior con
poblaciones diversas en actividades y edad.
La metodología está guiada por los hallazgos de diverso orden encontrados en la
investigación, cuyos resultados muestran una propuesta para la construcción de un
ambiente de aprendizaje en la plataforma virtual Moodle que potencializa algunas
estrategias de autorregulación y facilitan la comprensión de la derivada. Se concluye
que estas estrategias no son generalizables dado que dependen de las características
especiales de cada grupo de estudiantes como la jornada de estudio, pero sí tienen
una alta influencia en la obtención del logro académico de cierta parte de la población.
Palabras clave: aprendizaje autorregulado, derivada, plataforma educativa, tecnología.
Abstract
This work shows the subsequent reflections on the research developed at the Autonomous University of Colombia on the learning of the derivative for engineering
courses of higher education, in a population with special features and using some
self-regulated learning strategies mediated by technology. The basic aim is to reflect
on the most relevant models of self-regulated learning, Karoly, Bandura, Zimmerman and Cerda, the findings in the investigation, as well as the potentials and limitations for teaching and learning the notion of derivative at the early stages of higher
level math in activities with diverse populations and age.
The methodology is guided by the findings of various kinds found in the investigation, the results show a proposal to build a learning environment in the Moodle
virtual platform that potentiates some self-regulation strategies and facilitate understanding of the derivative. We conclude that these strategies can not be generalized since they depend on the specific characteristics of each student group as the
study day, but have a high influence in obtaining the achievement of a certain part
of the population.
Keywords: Derivative, educational platform, self-regulated learning, technology.
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III. Pósteres
Introducción
Autores como Zimmerman y Bandura (2000) y Pintrich (1990), entre otros, concluyen
en sus estudios sobre aprendizaje autorregulado que esta capacidad se puede adquirir; así mismo muestran las ventajas que tienen los estudiantes que aprenden de esta
forma con respecto a los que no. Con esta misma idea, Cerda (2010) investiga sobre
la forma como se puede utilizar en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas;
sin embargo, no se han encontrado muchos estudios que relacionen el aprendizaje
autorregulado con el logro en el aprendizaje de las matemáticas haciendo uso de las
nuevas herramientas tecnológicas como los Learning Management System (LMS)
en poblaciones estudiantiles heterogéneas, como con la que se desarrolló la presente
investigación, con estudiantes de jornada nocturna que en muchos casos combinan
su labor académica con la de trabajador (a) y padre o madre. Sin embargo, resulta
esperanzador pensar que una combinación bien estructurada de las tecnologías de la
información y la comunicación (Tic) con estrategias de autorregulación pueda generar beneficios en cuanto al aprendizaje de esta población estudiantil.
Descripción general de la experiencia
El diseño del ambiente de aprendizaje parte de la selección de un modelo pedagógico en el que el estudiante es el centro del proceso de aprendizaje, al que se le permite
usar objetos de aprendizaje (OA) enmarcados en situaciones didácticas que apoyen
la comprensión de la derivada. Se busca que en el diseño se incluyan actividades que
fomenten procesos de autorregulación como estrategias metacognitivas mediante
autoevaluaciones.
Para el diseño del espacio virtual de Moodle se tomó como referencia la metodología GRACE (Gestión, Requerimientos, Arquitectura, Construcción y Evolución)
dentro de las actividades realizadas en esta etapa están la presentación personal a
través de un foro, algunos datos personales con el fin de establecer vínculos afectivos dentro del ambiente, trabajo en temas previos a la parte de derivadas y que
hacen parte del programa de cálculo diferencial, como funciones y límites de funciones, y discusiones en foros virtuales y salas de chat en donde además se enseñan
las reglas que se deben tener en cuenta en el momento de hacer una participación
en estos tipos de ambientes.
Por motivos logísticos propios de la institución, el cuasiexperimento se llevó a
cabo con dos grupos, el grupo control y el grupo experimental con el que se desarrolló la experiencia; en el grupo experimental se implementó el modelo b-learning
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
propuesto, la parte virtual se lleva a cabo a través del aula virtual instalada en Moddle (http://isp.fuac.edu.co), y la parte presencial se realizó de acuerdo con los lineamientos descritos en la respectiva guía de cátedra del curso (syllabus o programa
de asignatura); la diferencia con el llamado grupo control radica en que para este no
se dispuso de apoyo virtual.
Revisión bibliográfica
La autorregulación es la capacidad que tiene una persona para orientar su propia
conducta; en el aprendizaje se entiende como la capacidad para formular, asumir
metas, planificar las actividades para su actuación, observar su propio desempeño,
evaluarse de acuerdo con sus metas y criterios fijados con el fin de valorar el estado
de su aprendizaje (Maldonado, López y Sanabria, 2004); Karoly (1993) incluye además el cambio de dirección en las acciones en la medida en que la reflexión sobre lo
que se hace no permitiera la consecución de las metas. Zimmerman (1994) afirma
que los estudiantes pueden considerarse autorregulados en la medida en que sean,
desde un punto de vista metacognitivo, motivacional y conductual, participantes activos de su propio proceso de aprendizaje, y además propone diferenciar tres tipos
de determinantes en el aprendizaje autorregulado: personales, conductuales y contextuales.
El diseño de la propuesta didáctica tiene como referente a Brousseau (2000), quien
propone un modelo pedagógico pensado como un proceso centrado en la producción de los saberes matemáticos en el aula escolar. Basándose en Piaget, afirma
que una persona produce conocimiento como resultado de una adaptación a un
medio y además, que para todo conocimiento matemático es posible construir una
situación fundamental que permita abordar dicho conocimiento sin necesidad de
acudir directamente a él, sino a través de situaciones problémicas construidas en el
aula de clase para que el estudiante se enfrente a ellos y cuya solución necesite del
conocimiento matemático a enseñar. Esta situación fue llamada por Brousseau una
situación didáctica. El resultado de la adaptación de los estudiantes a estas situaciones didácticas y que son manifestadas por ellos a través de sus respuestas, son
prueba del aprendizaje (Montiel, 2002).
Para la parte virtual se tiene en cuenta la modalidad conocida como B-Learning,
que literalmente significa Blended Learning o aprendizaje mezclado, entendida como
aquella que combina la enseñanza presencial con la tecnología no presencial (Bartolomé, 2004), facilitando la comunicación dentro y fuera del aula de clases entre
– 260
III. Pósteres
quienes intervienen en el proceso educativo (Cabero, 2004) y fortalecida por los encuentros presenciales que disminuyen la sensación de aislamiento de la que sufren
los cursos virtuales (Cabero, 2004).
La derivada es reconocida por diferentes concepciones como las de Canul, Dolores y Martinez-Sierra (2011), Contreras (2000) y Sánchez-Matamoros, García y
Llinares (2008), quienes coinciden en afirmar que históricamente ha tenido la concepción geométrica, que es asociada a la pendiente de la recta tangente; la concepción numérica, cuando es asociada a la idea del límite del cociente incremental; la
concepción algebraica cuando es relacionada al uso de algoritmos, y la concepción
física cuando se relaciona con las razones de cambio instantáneas.
Objetivos
• Diseñar una propuesta didáctica soportada en un espacio virtual para los estudiantes de la jornada nocturna que cursan cálculo diferencial en la Fundación
Universidad Autónoma de Colombia (Fuac), con características del aprendizaje
autorregulado.
• Caracterizar los estudiantes de acuerdo con diferentes rasgos tales como disponibilidad de estudio por fuera de las aulas de clases, cultura de estudio, apresto
tecnológico y nivel socioeconómico.
• Diseñar pruebas desde la óptica del aprendizaje autorregulado para ser implementadas en el ambiente de aprendizaje.
• Elaborar y validar el ambiente de aprendizaje B-Learning a partir de la propuesta
didáctica y soportado en el LMS disponible en la Fuac.
Metodología
El proyecto se enmarca dentro del paradigma cuantitativo de investigación, es de tipo
cuasiexperimental dado el carácter no aleatorio de la elección de la muestra, y correlacional, puesto que se busca establecer una posible relación entre las variables de
investigación a partir de la comparación entre dos grupos (experimental y control).
En la primera fase de la investigación se aplicaron e implementaron dos encuestas. La primera para determinar las principales características de los estudiantes de
cálculo diferencial en lo referente a la información general, socioeconómica, académica, conocimiento y uso de las Tic. La segunda, basada en Pintrich, P., Smith, D.,
García, T., y McKeachie (1991), referente al grado de autorregulación que pueden
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
tener los estudiantes que están participando en la experiencia, que incluyen hábitos
de estudio, habilidades de aprendizaje y motivación para el trabajo escolar.
Los resultados anteriores dieron las pautas para comenzar con la segunda fase, el
diseño del ambiente virtual de aprendizaje. A partir de un modelo pedagógico en
el cual el estudiante es el centro del proceso de aprendizaje y haciendo uso de objetos
de aprendizaje se construyeron situaciones didácticas en GeoGebra que acercan al
estudiante a la comprensión de la derivada y autoevaluaciones en Moodle con preguntas que activan estrategias de autorregulación en los estudiantes y preguntas de
valoración cognitiva que permiten monitorizar su propio desempeño.
La tercera fase consiste en el desarrollo del cuasiexperimento, el cual se llevó a
cabo con dos grupos, control y experimental, con el que se efectuó la experiencia.
La variable Independiente es el modelo de aprendizaje que se está usando en cada
uno de los grupos y es dicotómica con valores ambiente de aprendizaje b-learning y
ambiente de aprendizaje presencial, entendido como la manera usual con que se desarrollan las clases de cálculo diferencial en la Fuac.
En la definición de la variable dependiente se consideró lo expuesto por Sánchez,
Linares y Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008), quienes afirman que la
comprensión de la noción de la derivada reside en la conexión que los estudiantes
realicen entre las formas de representación analítica y gráfica del concepto; lo cual
implica inicialmente trabajar con los estudiantes y en forma separada estos dos tipos de representación, con lo que también se aprovechará para determinar la incidencia del ambiente de aprendizaje en el desarrollo de las habilidades en estos dos
campos. Por lo anterior, en forma precisa se tiene que la variable dependiente es el
manejo del concepto de derivada a partir de su representación analítica, su representación gráfica, la conexión de lo analítico a lo gráfico y de lo gráfico a lo analítico.
En la cuarta fase se implementó una prueba post-test para determinar el nivel de
interpretación del concepto de la derivada que alcanzan los estudiantes.
Recolección de información
La recolección de la información se dividió en tres categorías; para determinar las
estrategias de aprendizaje utilizadas por los estudiantes y sus actitudes respecto al
proceso de aprendizaje se usaron dos instrumentos que aplicó Cerda (2010) en su
investigación y validados en la Universidad de Valladolid, en donde se consideran
los siguientes criterios: auto-concepto ante el desempeño de actividades asignadas,
concepción de los estudiantes sobre los aprendizajes de los contenidos matemáticos
– 262
III. Pósteres
y concepción sobre el proceso didáctico realizado por el profesor. El instrumento fue
aplicado en los dos grupos para hacer la respectiva comparación de resultados. Para
efectuar una valoración de aprendizajes se diseñó una prueba post-test con el objetivo de determinar el nivel de aprendizaje del concepto de la derivada que consta de 16
preguntas de selección múltiple con respuesta única, separadas en cuatro categorías,
el nivel de comprensión del concepto de la derivada desde su representación gráfica,
su representación analítica, desde el tránsito desde la representación gráfica hacia la
analítica, y el tránsito desde la representación analítica hacia la interpretación gráfica.
Resultados
El nivel de interpretación y de análisis del concepto de la derivada, bajo modelos de
representación analítica, que alcanzan los estudiantes resultó significativamente mejor en el grupo experimental que en el grupo control; sin embargo, los niveles alcanzados no respondieron a las expectativas que se generaron durante la experiencia.
Conclusiones
En el diseño de un ambiente virtual de aprendizaje, considerando actividades basadas en el aprendizaje autorregulado y las situaciones didácticas como soporte para el
estudio de la derivada, resulta importante tener en cuenta las preguntas metacognitivas y las retroalimentaciones a cuestionarios, ya que permiten una autorreflexión del
proceso seguido para poder corregir o implementar uno nuevo en busca del aprendizaje del concepto de la derivada, que de acuerdo con la experiencia, beneficia los
modelos de representación analítica.
Las acciones por considerar en aras de fortalecer el desempeño académico de los
estudiantes en el área de matemáticas para este contexto particular, deben estar
enfocadas no solamente desde lo académico sino que deben contemplar las características particulares de una población que no dispone del tiempo necesario para
preparar los cursos y que además no tiene una cultura de estudio. En este sentido,
las características metodológicas provenientes de la autorregulación, además de
permitirles a los estudiantes formarse en aspectos actitudinales, facilitan el aprendizaje de conceptos matemáticos como el objeto de estudio planteado en la presente
investigación, la derivada.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
Bartolomé, A. (2004). Blended learning, Conceptos básicos. Revista de Medios y Educación.
Brousseau, G. (2000). Educación y didáctica de las matemáticas. Educación matemática.
Canul, E., Dolores, C., y Martínez-Sierra, G. (2011). De la concepción global a la concepción local. El caso de la recta tangente en el marco de la concepción matemática.
Revista Latinoamericana de Investigación de matemática Educativa, 173-202.
Cabero-Almenara, J; Román-Graván, P y Cejudo, M. (2004). Las herramientas de comunicación en el aprendizaje mezclado. Pixel-Bit: Revista de medios y comunicación, 27-41.
Cerda, J. (2010). Hacia un programa de autorregulación del pensamiento lógico-formal en el
aprendizaje de las matemáticas. Tesis doctoral. España: Universidad de Burgos.
Contreras, A. (2000). La enseñanza del análisis matemático en el bachillerato y primer curso de universidad: una perspectiva desde la teoría de los obstáculos epistemológicos
y los actos de comprensión. Cuarto Simposio de la Sociedad Española de Investigación en
Educación Matemática (pp. 71-86). Sociedad Española de Investigación en Educación
Matemática, SEIEM.
Karoly, P. (1993). Mechanisms of self-regulation: a systems view. Annual Review Psychology,
44, 23.
Maldonado, L., López, O. y Sanabria, L. (2004). Aprendizaje Autorregulado de la Tecnología.
Bogotá: Fondo Editorial Universidad Pedagógica Nacional.
Montiel, G. (2002). Una caracterización del contrato didáctico en un Escenario Virtual. Tesis de
maestría, Centro de investigación y de Estudios Avanzados del I.P.N, México.
Pintrich, P., Smith, D., García, T., & McKeachie, W. (1991). A manual for the use of the motivated strategies for learning Questionnare. Washington: National Center for Research to
Improve Postsecondary teaching and Learning.
Sánchez, G., García, M. y Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como objeto
de investigación en didáctica de la matemática. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 11, 2, 267-296.
Zimmerman, B.J. & Bandura, A. (1994). Impact of self-regulatory influences on writing
course attainment. American Educational Research Journal, 31, 845-862.
– 264
PROMOVIENDO CAMBIOS
DE ACTITUDES Y CREENCIAS DE
ESTUDIANTES SOBRE EL ROL
DE LA MATEMÁTICA EN SU
FORMACIÓN PROFESIONAL
(EN CARRERAS DE BASE NO
MATEMÁTICA)
Henry Alexander Ramírez Bernal
henryrb@unisabana.edu.co, haramirezb@libertadores.edu.co
Universidad de La Sabana. Colombia
Fundación Universitaria Los Libertadores. Colombia
Resumen
Este artículo tiene como objetivo presentar algunos resultados
de una experiencia de aula en la que se buscó promover en los
estudiantes de dos cursos de matemáticas de primer semestre
de programas de pregrado (de base no matemática), cambios
en sus actitudes y creencias sobre el rol de las matemáticas en
su formación profesional. La intención de la experiencia fue
suscitar la reflexión crítica de los estudiantes a partir del análisis y discusión de referentes documentales, el desarrollo del
proyecto de curso y a partir de la socialización de sus ideas y
argumentos. Los productos resultantes del proyecto de curso
junto con las reflexiones al inicio y al final del curso permitieron perfilar algunos de los posibles cambios mediante un
análisis cualitativo de categorías emergentes de lo expresado
por los participantes.
Palabras clave: cambio de actitudes, cambio de creencias,
matemáticas en la formación profesional.
– 265
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Abstract
This article aims to show some results of a teaching experience which intended to
promote changes in students´ attitudes and beliefs about the role of mathematics in
their professional training. The participants are students of undergraduate programs
(no mathematical basis) taking two mathematics courses in first semester. The experience attempted to provoke students´ critical thinking after analyzing and discussing documentary references, the course project, and group socialization of ideas and
arguments. The resulting products from the course project along with the reflections
at the beginning and end of the course allowed outlining some of the possible changes; qualitative analysis of emerging categories expressed by the participants was
implemented as a methodology.
Keywords: Change of attitudes, change of beliefs, mathematics in the professional training.
Introducción
Considerar que el desarrollo de competencias matemáticas es fundamental para la
formación integral de los ciudadanos independientemente del campo en que se desenvuelven y aún más, en el caso de la formación profesional, ha contribuido a que
universidades colombianas incluyan espacios académicos de formación matemática
en pregrado, incluso en programas en los cuales las matemáticas no son determinantes (como derecho o comunicación social). En este sentido, el Instituto Colombiano
para la Evaluación de la Educación, ICFES (2015, p. 3), señala en su guía correspondiente a las Pruebas Saber Pro1 de razonamiento cuantitativo: “Este módulo evalúa
competencias relacionadas con las habilidades matemáticas que todo ciudadano
debe tener, independientemente de su profesión u oficio, para desempeñarse adecuadamente en contextos cotidianos que involucran información de carácter cuantitativo”.
La presencia de las matemáticas en estos programas no siempre es bien recibida
entre los estudiantes y puede generar reacciones de rechazo (en algunos casos, bastante fuertes) y comportamientos pasivos o de aversión hacia el aprendizaje matemático. Tales reacciones están motivadas o influenciadas por su “visión personal de
1
El ICFES en su sitio web define el Examen de Estado de Calidad de la Educación Superior, SABER PRO, como “un
instrumento estandarizado para la evaluación externa de la calidad de la educación superior. Forma parte, con
otros procesos y acciones, de un conjunto de instrumentos que el gobierno nacional dispone para evaluar la
calidad del servicio público educativo y ejercer su inspección y vigilancia”.
– 266
III. Pósteres
las matemáticas”, la cual, de acuerdo con Pehkonen & Pietilä (2003, p. 4) está compuesta “de conocimientos, creencias, concepciones, actitudes, y sentimientos. Es el
filtro que regula sus pensamientos y acciones en situaciones relacionadas con las
matemáticas”. Lo anterior es adicionalmente crítico con relación al rol asignado por
los estudiantes a las matemáticas en su formación profesional. Estas reacciones junto con sus conocimientos, creencias, concepciones, actitudes, sentimientos, experiencias y dificultades previas en el aprendizaje matemático, interacciones con y en
el interior del entorno escolar (compañeros, profesores, instituciones) con relación
a las matemáticas pueden generar obstáculos en su aprendizaje matemático. Las
consideraciones mencionadas, junto con evidencias observadas durante la práctica
docente del autor, motivaron el desarrollo de una experiencia de aula, compuesta
por diferentes actividades, en la que se buscó promover en los estudiantes de dos
cursos de fundamentos de matemáticas cambios en su“visión personal de las matemáticas”, esto es, en sus actitudes y creencias y de manera muy específica, sobre el
rol de las matemáticas en su formación profesional.
Descripción general de la experiencia, propósitos y
aspectos metodológicos
La experiencia se realizó durante el período académico comprendido entre los meses
de febrero y mayo de 2015 con estudiantes de dos grupos de pregrado de primeros
semestres en el espacio académico “Fundamentos de Matemáticas” de la Fundación
Universitaria Los Libertadores, en la ciudad de Bogotá, Colombia. Los participantes
pertenecen a la jornada nocturna, tienen limitaciones de tiempo para estudiar debido
a sus compromisos laborales y personales y presentan debilidades en sus desempeños matemáticos; además algunos estudiantes manifestaron “un cambio de pénsum
que incluyó Matemática que no estaba en el pénsum antiguo.” La tabla 1 muestra
la conformación por programa académico de los grupos, identificados como A y B.
En este espacio académico se estudian aspectos relacionados con los conjuntos, números (enteros, racionales, reales, mcm y mcd) ecuaciones lineales y cuadráticas,
factorización, inecuaciones, geometría euclidiana y trigonometría. La intención de
la experiencia fue suscitar la reflexión crítica de los estudiantes con el propósito de
promover posibles cambios en sus actitudes y creencias frente a las matemáticas y
su aprendizaje. El propósito de promover tales cambios se sustenta en lograr que
los estudiantes encuentren sentido a las matemáticas y reconozcan su importancia
– 267
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
en la formación como ciudadanos y esencialmente como profesionales, a la vez que
disminuyan sus prevenciones en situación de aprendizaje matemático.
Tabla 1. Número de estudiantes por programa académico y por grupo
Grupo A
Grupo B
Total participantes
Diseño gráfico
5
4
9
Derecho
0
2
2
Administración de empresas
0
1
1
Publicidad y mercadeo
5
1
6
Comunicación social - Periodismo
8
11
19
Total estudiantes por grupo
18
19
37
Las actividades realizadas de manera paralela al trabajo estrictamente matemático
de los espacios académicos fueron: lectura inicial del primer capítulo del libro ¿Es
Dios un matemático? (Livio, 2009), con posterior discusión en cada grupo sobre esta
en sesión plenaria; socialización en torno al argumento de la película Código Enigma
y al matemático Alan Turing en cuanto a su trabajo (mostrado parcialmente en la
película) y a su dimensión humana; desarrollo de proyecto de curso individual o
en equipos de entre 2 y 4 estudiantes y reflexiones personales escritas (al inicio y al
final del curso) sobre lo que pensaban, creían y sentían con relación a las matemáticas y su aprendizaje. Los productos finales de los estudiantes (proyecto y reflexión)
muestran al menos parcialmente las posturas de los estudiantes y posibles cambios
suscitados durante el desarrollo del curso y fueron el insumo fundamental para
recolectar la información que permitiría hacer su análisis. Para identificar posibles
cambios en las actitudes y creencias de los estudiantes se determinaron categorías
de análisis, que se establecieron a partir de las propias voces de los estudiantes y que
se reflejaron en sus escritos, producto de sus reflexiones inicial y final.
Revisión bibliográfica
Múltiples investigaciones han señalado que existen vínculos entre las actitudes y
creencias de los estudiantes sobre las matemáticas y su aprendizaje y sus comportamientos y desempeños en situaciones de aprendizaje matemático. La “abundancia
del fracaso en el aprendizaje matemático en diversas edades y niveles educativos”
para Gil, Blanco y Guerrero (2005, p. 28) “puede explicarse, en gran parte, por la
– 268
III. Pósteres
aparición de actitudes negativas originadas por factores ambientales y personales,
cuya detección constituiría el primer paso para tratar de contrarrestar su influencia negativa con efectividad”. Campos (2008, p. 10) enfatiza en la relación entre las
reacciones emocionales del estudiante al aprender matemáticas, sus creencias y su
aprendizaje, pues la experiencia de aprender matemáticas le genera al estudiante
“distintas reacciones emocionales que influyen en sus creencias, mientras que sus
creencias influyen en su comportamiento en situaciones de aprendizaje y en su capacidad para aprender, haciendo que la relación creencias aprendizaje sea cíclica”.
Gómez-Chacón, Op’t Eynde, & De Corte (2006, p. 310) señalan que varios autores
“han destacado cinco categorías de aptitud que el estudiante debería adquirir para
tener una buena disposición en matemáticas: conocimiento matemático, métodos
heurísticos, metaconocimientos, habilidades de autorregulación y creencias positivas
sobre la matemática y su aprendizaje”. Para estos mismos autores, “gran parte de la
complejidad de aprender y enseñar matemáticas se debe a la interconexión que el
estudiante debe establecer entre estas aptitudes”. Adicionalmente, Gómez-Chacón,
Op’t Eynde, & De Corte (2006, p. 310) llaman la atención sobre la dificultad existente
en “cómo determinar elementos operativos para favorecer esta conexión y cómo el
profesor, en los procesos de enseñanza y aprendizaje, es uno de los factores determinantes para el cambio”. Lo anterior sugiere que una buena disposición para el aprendizaje matemático está fuertemente influenciada por actitudes y creencias positivas
sobre las matemáticas y su aprendizaje.
Resultados y análisis
La intención de la lectura del capítulo 1: Un Misterio del libro ¿Es Dios un matemático? (Livio, 2009) fue propiciar un acercamiento documental con el hecho resaltado
por Livio “la práctica totalidad de las iniciativas humanas, si no todas, parecen emerger también de una subestructura matemática, incluso en las situaciones más inesperadas”(2009, p. 7). Las sesiones plenarias de análisis sobre la lectura mencionada y
la película Código Enigma (2014) permitieron a los estudiantes de cada grupo discutir
ideas sobre la influencia de las matemáticas en diferentes campos y en la sociedad,
además de expresar sus opiniones sobre aspectos humanos de quienes hacen matemáticas. Con relación a lo mostrado en la película sobre Turing, varios de ellos llamaron la atención sobre la complejidad de su personalidad, reflejada, por ejemplo, en su
forma de relacionarse con los demás. Para algunos resultó sorprendente que el trabajo de un equipo coordinado y dirigido por un matemático haciendo matemáticas
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
resultara tan determinante para el desenlace de la Segunda Guerra Mundial. También los estudiantes discutieron sobre las posibles diferencias entre lo mostrado en la
película y los hechos históricos de referencia.
Proyecto de curso
En el proyecto de curso, los estudiantes debían desarrollar alguna de las dos siguientes ideas orientadoras: una aplicación específica de las matemáticas en su programa
profesional o una presentación sobre la importancia de las matemáticas para su formación profesional específica. En total se presentaron 16 proyectos que incluyeron
títulos como “Razón áurea. Importancia de las matemáticas en la comunicación”,“El
efecto de la matemática en la publicidad: caso del cero”, “Retículas, color, fractales,
dimensionamiento”, “Estadística en la comunicación”. Como ejemplo de las ideas
expuestas en los proyectos puede citarse a Iván, quien tituló su trabajo “Matemáticas
aplicadas al diseño gráfico: la proporción áurea”, en el que muestra una definición
de esta proporción y ejemplos de su aplicación en el diseño de logotipos y páginas
web. En contraste, dos de los grupos conformados por estudiantes de comunicación
hicieron su póster basándose en entrevistas que realizaron a periodistas a quienes
indagaron sobre el papel de las matemáticas en su ejercicio profesional. Una de las
periodistas, con amplia experiencia laboral en canales de televisión en Colombia,
mencionó explícitamente lo siguiente en el contexto de su labor en uno de estos
medios: “realicé un reportaje con unos niños del eje cafetero; necesité entrevistar
a muchos niños que vivían alrededor y de estas entrevistas realicé bases de datos,
gráficas y diagramas que me ayudaron a concluir esta investigación; básicamente me
basé en estos números estadísticos para solucionar esta nota”.
Reflexiones
Se invitó a los participantes a hacer una reflexión personal escrita en la cual describieran lo que pensaban, creían y sentían con relación a las matemáticas y su aprendizaje
tanto al inicio como al final del curso. En esta primera reflexión los participantes se
refieren a las matemáticas con expresiones de desagrado como “tenía una aberración
total a esa materia” (Paola) o “son aburridas” (Luis); en cuanto a su aprendizaje, algunos sienten que no tienen capacidad para aprenderla: “desde que tengo memoria
siempre me ha ido mal en matemáticas” (Erika); también se menciona el “sentirse
obligado a estudiar matemáticas” (Alejandro); se reporta además la influencia de fac– 270
III. Pósteres
tores como el colegio, profesores o padres en sus creencias y actitudes. La tabla 2
sintetiza algunas de las respuestas dadas por los participantes al comienzo del curso;
en la primera columna se establecen categorías que permiten identificar creencias o
actitudes de los estudiantes mediante frases que representan lo expresado por ellos
mismos. En la segunda columna se presentan evidencias específicas y discusión de los
resultados obtenidos. En la reflexión final, algunos de los participantes manifiestan
indicios de cambio en sus actitudes y creencias pues lo que expresan apunta a una
valoración más positiva sobre las matemáticas y su aprendizaje. Sin embargo, también
se presentó el caso de estudiantes que tienden a mantener sus creencias y actitudes
iniciales, como lo expresó Yenny: “sigo creyendo que en la actualidad esa cantidad de
números que nos enseñan en la universidad no sirven de mucho”. En la tabla 3 se
discuten algunas de las ideas expresadas por los estudiantes en la reflexión final.
Tabla 2. Algunas actitudes y creencias de los estudiantes frente a las matemáticas
al inicio del curso
Categoría (actitud /
creencia)
Discusión / evidencias
Algunos estudiantes no encuentran sentido para las matemáticas en su vida cotidiana, como señala Paola: “Desde el bachillerato pensaba que las matemáticas eran
Las matemáticas no son
uno de los males que no debían existir en la vida pues son problemas que ni siquiera
útiles o necesarias para
los pudo resolver aquel que los inventó y por eso existen para complicar la vida de
la vida.
los seres vivientes que estudiamos…” En forma similar se expresa Luis; Alejandro
señala que “hace varios años atrás, las matemáticas las veía inútiles, sin sentido…”
Se señala que no se encuentra conexión o importancia para la presencia de las matemáticas en su pregrado, como lo expresa Iván: “Llega el día de la primera clase de
Las matemáticas no son matemáticas y estando haciendo una carrera de diseño gráfico no sabes qué hacer,
útiles o necesarias para no sabes qué decir o qué pensar, pues es una materia que en una carrera como
la carrera.
estas tú consideras inútil”. Para Alejandro, “no me iban a aportar algún conocimiento
para la carrera que deseaba estudiar”. Johan, David y Nicolás expresan opiniones
similares.
Elección de la carrera
porque no tiene matemáticas / porque no son
necesarias.
La elección de la carrera que decidieron iniciar estuvo motivada en gran parte por
la idea de que no tuviera matemáticas, tal como lo sintetiza lo expresado por Iván:
“Todo el mundo sabe que mucha gente le huye a las matemáticas y los que estudian
carreras como comunicación social, diseño gráfico y afines con artes lo hacen
porque creen que las matemáticas no son necesarias en su carrera”. En un sentido
similar se expresaron Yeimy, Fernando y Alexandra.
– 271
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Categoría (actitud /
creencia)
Discusión / evidencias
Reconocimiento de la
importancia o utilidad
de las matemáticas.
Aunque sobresalen inicialmente actitudes y creencias negativas sobre las matemáticas, eventualmente algunos manifiestan que las matemáticas pueden ser importantes para su vida, como lo indica Yeimy: “sé que tener al menos un poco de cultura
matemática es indispensable para todas las carreras”. De manera similar se expresa
Claudia: “para mi concepto es muy interesante y demasiado aplicables al mundo real
y a la vida cotidiana”.
Matemáticas como
“relleno” en el pénsum
de la carrera.
Es frecuente encontrar en las expresiones de los estudiantes la palabra “relleno”
para calificar la presencia de un curso de matemáticas en su pensum; por ejemplo,
Johan afirma: “también me imaginaba que esta materia solo servía de relleno a mi
carrera, y que tocaba cursarla”. Hay opiniones similares de Hernán, Katerin, David y
Nicolás.
Influencia de los profesores/influencia del
colegio.
Se indican posibles influencias de profesores o del colegio en sus actitudes y
creencias frente a las matemáticas; Henry afirma: “me creé una predisposición frente
a las matemáticas, ya que involuntariamente uno como ser humano las sataniza o
reprueba por recordar a determinado profesor matemático, lo cual es una asociación
patética o un prejuicio sin razón de ser”. Fabián, Katerin y Karen se expresaron en
sentidos similares.
Tabla 3. Reflexión sobre las matemáticas y su aprendizaje al final del curso
Categoría
(actitud / creencia)
Evidencias
Reconocimiento de
la importancia de las
matemáticas en la vida
cotidiana.
Algunos estudiantes manifiestan que han podido identificar casos específicos en
los cuales las matemáticas han sido útiles; por ejemplo, Paola, Katherine y Nicolás
reconocen la importancia de las matemáticas en la vida cotidiana; al respecto, señala
Katherine (comunicación social): “Pero ya viendo matemáticas, es importante e
indispensable y nos ha orientado en cómo las podemos utilizar y en qué momento
nos puede servir hasta en la vida cotidiana”.
Reconocimiento de
la importancia de las
matemáticas para su
formación profesional.
En esta reflexión, estudiantes como Sebastián y Yeison manifiestan reconocer
aspectos en los cuales las matemáticas pueden aportar en su formación profesional;
Carlos expresa: “otro punto relevante que entendí con la materia es la importancia en
el diseño gráfico sin necesidad de ver temas avanzados, sino lo fundamental tanto
para mi carrera como para la vida cotidiana”; Fernando resalta el papel de las actividades realizadas en clase para sus argumentos al finalizar el curso: “en los análisis
planteados en la clase sobre ¿para qué serviría la materia en la carrera? me di cuenta
que tiene sentido y que son muy útiles a la vez que revisé el pénsum y miré que los
siguientes semestres manejan la materia”.
– 272
III. Pósteres
Categoría
Evidencias
(actitud / creencia)
Reconocimiento de
la presencia de las
matemáticas en su
formación profesional.
Algunos estudiantes reconocen la presencia de las matemáticas en su pénsum aunque describen este hecho con cierta resignación, como se observa en lo expresado
por Erika, estudiante de publicidad y mercadeo: “no me agradan las matemáticas pero
debo tener presente que en mi carrera siempre estarán”. Por su parte, Yessica afirma:
“analicé mis programas de diseño y me di cuenta que son matemáticas y ¿cómo
odiar las matemáticas?”
Algunos participantes expresan actitudes más positivas hacia las matemáticas y su
aprendizaje; por ejemplo, Katerin afirma: “me pareció una materia interesante porque
Cambio de actitud hacia tiene su mecanismo, su lógica”. Se presentan indicios de cambio en las actitudes y
las matemáticas.
creencias de algunos participantes, como lo indica Karen: “me siento muy satisfecha por el curso recibido ya que mi perspectiva hacia las matemáticas ha cambiado
radicalmente”.
Influencia de la dinámica de clase / gestión
del docente en las
actitudes y creencias.
También se reconoce una posible influencia de las actividades desarrolladas durante
el curso y la gestión del docente, como lo señalan algunos participantes; por ejemplo,
Carlos afirma: “gracias a la dinámica del docente en la que relacionaba los temas con
ejemplos muy comunes hizo que las clases se hicieran entretenidas y de manera
personal hizo que me interesara por las matemáticas”; David, Juan Carlos y Paola
expresaron opiniones similares.
Conclusiones
Es frecuente que los estudiantes de estos grupos no identifiquen inicialmente utilidad para las matemáticas en su vida cotidiana ni para su carrera profesional, además de expresar actitudes y creencias negativas sobre esta y su aprendizaje; algunos
atribuyen a las matemáticas un rol de generadoras de efectos problemáticos para su
vida, como lo puede sintetizar la opinión de Yessica en su reflexión inicial: “Nunca
había visto las matemáticas necesarias para la vida cotidiana de los seres humanos;
siempre pensé que eran una perdedera de tiempo”. También los estudiantes llegan a
este espacio académico considerando que las matemáticas son una materia aburrida,
difícil de aprender y para la cual no tienen suficiente capacidad.
En la reflexión final algunos estudiantes manifiestan cierto reconocimiento de la
importancia de la presencia de un curso de matemáticas en su formación profesional y de posibles aportes a su vida cotidiana; además algunos mejoran la apreciación
que tienen de su comportamiento en situaciones de aprender matemáticas e incluso
afirman que ha cambiado su actitud en este aspecto, como lo expresa Diego:“aprendí a eliminar el tabú de que las matemáticas no me entran y de que nunca se me
– 273
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
iban a facilitar”. La posible influencia de la experiencia y de la gestión del docente
sobre cambios probables en sus actitudes y creencias también es señalada por los
estudiantes, como lo expresa Yeison: “en cuanto a la clase como tal, me gustó pues
aunque no es muy común, el docente se presta al diálogo y enfoca los temas vistos
al programa que cada estudiante cursa; lo anterior es importante porque muchos
desconocemos la importancia de las matemáticas”. No se puede afirmar que los
estudiantes hayan cambiado radicalmente sus posturas frente a las matemáticas y
su aprendizaje, pero la experiencia desarrollada permitió evidenciar que actividades
que promuevan reflexiones críticas en torno a tópicos que la vinculen significativamente con las carreras de su interés podrían contribuir a mejorar su visión personal
de las matemáticas.
– 274
III. Pósteres
Referencias
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UN ACERCAMIENTO A LAS
CREENCIAS Y A LAS CONCEPCIONES
EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN
EN MATEMÁTICAS DE ALGUNOS
PROFESORES DE MATEMÁTICAS
DE EDUCACIÓN MEDIA
Alexander Rincón Rojas
alexanderriro@unisabana.edu.co
Secretaría de Educación del Distrito. Bogotá, Colombia
Universidad de La Sabana. Colombia
John Alexander Alba Vásquez
john.alba@unisabana.edu.co
Universidad de La Sabana. Colombia
Resumen
El presente estudio relaciona dos temas de gran interés para la
educación matemática; el primero versa sobre las creencias y
las concepciones de los profesores, puesto que un gran número
de investigaciones sugieren que las visiones de los profesores
acerca de la enseñanza y el aprendizaje afectan directamente sus prácticas de enseñanza (Stipek, 2000, Thompson, 1992,
Restrepo, 2010); el segundo tema es el papel de la demostración en educación secundaria, que ha sido tratado con carácter periférico y destinado a contextos limitados (Vicario, 2005),
siendo un proceso intrínseco a la disciplina que toma otros
matices gracias a la posturas de los profesores. Es de interés,
por tanto, identificar las visiones de los profesores en ejercicio
en contextos determinados acerca de las temáticas expuestas
– 277
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
para desarrollar acciones concretas que permitan a futuro mejorar las prácticas educativas.
Palabras clave: concepciones, creencias, demostración en educación matemática,
pensamiento del profesor.
Abstract
This study links two topics of great interest for mathematics education, the first deals
with the beliefs and conceptions of teachers, since a large number of research suggests that the views of teachers about teaching and learning affect direct their teaching practices (Stipek, 2000, Thompson, 1992, Restrepo, 2010) and the second, the
proof in high school that has been treated with peripheral character and intended for
limited contexts (Vicario, 2005), being intrinsic to the discipline it takes other nuances thanks to the teachers’ thinking. It is therefore of interest to identify the views of
teachers practicing in certain contexts about the topics discussed to develop concrete
actions to improve future educational practices.
Keywords: Beliefs, conceptions, mathematics education, proof, teacher thinking.
Introducción
Este documento se desarrolla como parte del proceso de socialización de experiencias investigativas de la maestría en pedagogía de la Universidad de La Sabana, en
el marco de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. El objetivo primordial
del estudio es visualizar y tener un acercamiento a algunas creencias y concepciones, de algunos profesores que imparten cursos de trigonometría en educación
media de colegios públicos de Bogotá, sobre la demostración y su rol en los procesos
de enseñanza aprendizaje, para tal efecto, la investigación versa sobre dos tópicos
1) las creencias y las concepciones de los docentes como variables intervinientes y
problemicas de las relaciones didácticas presentes en el aprendizaje de las matemáticas (Artigue, 2004), de tal forma que ellas puedan servir más adelante como
elementos de reflexión de las prácticas que realizan los profesores al interior del aula
de clase y 2) La demostración como actividad matemática transversal a la formación
del pensamiento matemático, de carácter procesual. Para llevar a cabo este estudio
se realizó un análisis descriptivo de las respuestas que aporto cada profesor a diversas preguntas que se formularon haciendo uso de entrevistas semiestructuradas
y grupos focales, con el fin de encontrar alguna similitud en el tipo de respuestas.
– 278
III. Pósteres
En el análisis de las respuestas se utilizó la clasificación de Godino y Recio (2001)
y Recio (2001) sobre la demostración y la clasificación del tipo de función que la
demostración desempeña según Villers (1993). El objetivo primordial del presente
estudio es visualizar y tener un acercamiento a las creencias y las concepciones de
algunos profesores de educación media de colegios públicos de Bogotá, en torno
a la demostración, su importancia, las funciones y el rol en los procesos de enseñanza-aprendizaje traducido en las relaciones didácticas que se establecen en el
nivel escolar; para tal efecto, la investigación versa sobre dos tópicos: las creencias
y las concepciones de los docentes como variables problémicas de las relaciones
didácticas presentes en el aprendizaje de las matemáticas (Artigue, 2004), y la demostración como actividad matemática transversal a la formación del pensamiento
matemático, de carácter procesual. Esto enmarcado pero sin mayor pretensión, dentro de estudios generales del pensamiento del profesor.
Las respuestas obtenidas de los profesores que intervinieron en el estudio se analizaron descriptivamente para poder caracterizarlas y obtener un grado de similitud
en ellas; es de anotar que el presente estudio no confrontó las respuestas obtenidas
con las prácticas de los profesores en el interior de sus aulas.
Marco teórico
El estudio de las creencias y las concepciones de los profesores y su afectación en
su actividad profesional son de interés desde varios referentes, entre los que podemos mencionar las investigaciones de Artigue (2004) y Pozo (2006), quienes asumen
al profesor como variable problémica de las relaciones didácticas, y el estudio de
sus creencias y concepciones confieren sentido a las acciones adelantadas en el aula
de clases. Bishop (1992), quien al situar las prácticas matemáticas como actividades
particulares y propias de los grupos sociales condiciona el estudio de creencias y
concepciones como elementos diferenciadores de un grupo a otro. Godino (2003)
establece como preponderantes los significados institucionales que le confieren los
individuos a sus acciones desde una postura ontosemiótica y Campanario (2000),
Bohórquez (2014), que posibilitan el cambio y la regulación de las prácticas de enseñanza a partir del cambio de sus creencias y concepciones de los profesores.
Ahora bien, para centrar la teoría se asume que las creencias y las concepciones
son dos entes que comparten ciertas características; Martínez (2013), por ejemplo,
establece que “las creencias y las concepciones son conceptos muy cercanos y suelen ser considerados como equivalentes por tener muchos elementos invariantes.
– 279
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Sin embargo, sus campos semánticos no llegan a coincidir, ni a contenerse, pero sí
se traslapan” (p. 237); por tanto, hay que distinguir entre una y otra; para tal fin las
definiciones que aparecen son reconstrucciones de los aportes de Thompson (1992),
Ponte (1999), Callejo y Vila (2004), Gil y Rico (2003), y son los elementos guía del
trabajo desarrollado.
Las creencias serán asumidas como un tipo de conocimiento construido por cada
individuo a través de la interacción con diferentes contextos y condicionadas por
la cultura, ellas tienen grados de sofisticación y de dependencia con otros factores
como lo afectivo y emocional, que influyen en la toma de decisiones o en la forma de actuar frente a una tarea específica, constituyen convicciones personales que
procuran dar explicaciones de las comprensiones del mundo y, por ende, como los
sujetos aprenden; en este sentido a las creencias se les asocia dimensiones cognitivas, evaluativas y afectivas, siendo los filtros primarios para discriminar nuevas
actividades e incorporan información en el corpus de conocimientos que el sujeto
tiene y maneja. Y como dice Gil y Rico (2003), las creencias se manifiestan a través
de declaraciones verbales o de acciones (justificándolas) (p. 28).
Las concepciones serán entendidas como la ruta de implementación que hace
un profesor acerca de su práctica de manera consciente o inconsciente y en la cual
devela su filosofía de enseñanza, aprendizaje y la manera en que se estructura las
ideas para poder exponerlas a otros de forma sistemática, basado en al menos unos
principios teóricos o prácticos vividos que le sean funcionales. A menudo expresada
mediante algún tipo de representación gráfica o escrita que valida la forma de interpretación y posibilita un canal de comunicación con algún sujeto par académico.
En cuanto a la demostración en matemáticas se hace referencia a los trabajos de
Godino y Recio (2001), quienes analizan las diferencias de significado en diversos
contextos institucionales en donde tiene sentido la demostración, respecto al significado, la veracidad y el fin mismo del acto de demostrar.
Los autores asumen que la demostración es un objeto matemático que emerge
de las prácticas argumentativas en diferentes contextos; por tanto, el tratamiento y
significado dependen de donde tenga lugar; adicional a esto y acorde con la presente investigación, se dirá que la demostración se matiza a partir de los agentes que
participan en su dinámica en cualquiera de sus dimensiones y que el significado que
adopte la demostración dependerá del sistema ontosemántico utilizado. Por otro
lado, se debe entender que la demostración, al ser asumida de diferentes formas en
los distintos contextos, también adquiere una cantidad de sinonimias no necesariamente equivalentes; al respecto, Godino y Recio (2001) dicen: “La palabra demos– 280
III. Pósteres
tración se utiliza en distintos contextos con diversos sentidos. A veces estos diversos
sentidos y matices se reconocen mediante el uso de términos tales como explicación,
argumentación, prueba, etc.” (p. 409). Pero independientemente de su grado de similitud o equivalencia, todas pretenden aportar razones y argumentos para justificar
o validar una afirmación; por ello se habla de un objeto matemático1 que reúne o
al menos colecciona esta variedad de posibilidades. Para el propósito del presente
estudio se utilizará el término demostración para hacer referencia al conjunto de objetos que reúne los diferentes significados que emergen de las prácticas discursivas
y argumentativas2 en pro de consolidar el valor de verdad de un enunciado ante situaciones de validación y decisión, esto es, que requieran ser justificadas o validadas
para unos fines personales o grupales manteniendo coherencia, consistencia y un
grado de utilidad. Se asumen los cinco contextos institucionales propuestos, a saber:
Lógica y fundamentos de la matemática, en donde la demostración está ligada a la
axiomatización de la ciencia matemática; en este sentido, la demostración prioriza
justificar y sistematizar los resultados o enunciados mediante el uso de reglas de
inferencia lógica, partiendo de unos términos primitivos que se conjugan adecuadamente mediante reglas de transformación; matemática profesional, no depende
del paso a paso proposicional, sino que se apoya en los significados particulares de
las expresiones mediante inferencias que hace el profesional; por tanto, el carácter
de verdad absoluta es condicionado a la situación en donde se desarrolle y la forma
en que se aborde la misma, así la demostración adquieren un carácter falibilista, social, convencional y temporal; Vida cotidiana, se utiliza la argumentación de manera
informal, la cual depende de la conveniencia de los sujetos para persuadir a otros
frente a la toma de decisiones; en este aspecto influyen factores socioemocionales y
de manejo del poder, y por tanto, no necesariamente esta argumentación lleva a la
enunciación de verdades, ni a demostraciones formales; Ciencias experimentales, la
demostración en estos contextos se fundamenta en argumentos de tipo sustancial
e inductivo, empírico o analógico, presentando una generalización de los hallazgos
de casos particulares a una clase más amplia, siempre y cuando las circunstancias
en que se presentan sean semejantes y las variables intervinientes sean controladas
bajo los mismos mecanismos y enseñanza de las matemáticas elementales, se asume
que el conjunto de conocimientos enseñados son verdaderos y, por tanto, no hay
1
Los objetos matemáticos serán entendidos como conjuntos de significados que les son atribuidos a los objetos
por los sujetos a partir de prácticas. Para mayor detalle, remitirse a Batanero y Godino.
2
Entiéndase por prácticas argumentativas el conjunto de actividades intelectuales y de raciocinio que constituyen la forma de mostrar y comunicar el conocimiento.
– 281
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
espacio para la duda, y la demostración entonces es asumida como la comprobación
de resultados que desde antes son ciertos a través de argumentaciones deductivas
informales, la imposición de criterios sintácticos y juegos de transformaciones sin
mayor entendimiento.
Para el análisis de las funciones de la demostración se tuvo en cuenta los aportes
de Villers (1993), quien ofrece una clasificación que consiste en cinco categorías:
verificación/convicción, que tiene por objetivo determinar la veracidad de un enunciado inmerso dentro de un sistema axiomático, y por tanto, lleva a exposiciones
formales; explicación/comprensión, busca establecer las razones por las que una
afirmación es cierta, con el propósito de que los sujetos comprendan mejor los alcances y elementos relacionales del enunciado primario; sistematización, integra,
organiza, relaciona y jerarquiza de alguna forma el conocimiento matemático para
poder presentarlo ordenadamente y en forma coherente; Descubrimiento/exploración, a partir de nuevas observaciones o deducciones hace conjeturas aproximándose a nuevos resultados antes no previstos por el individuo; y Comunicación, se
establece entre pares académicos, sobre la necesidad de desarrollar alguna de las
otras funciones de la demostración.
Metodología
Para llevar a cabo este estudio se hizo un análisis descriptivo de las respuestas que
aportó cada profesor a diversas preguntas que se formularon haciendo uso de entrevistas semiestructuradas, encuestas y grupos focales, con el fin de encontrar alguna
similitud en el tipo de respuestas. La recolección de datos para el estudio se adelantó
en tres fases (A, B y C). En la fase A se hizo una encuesta escrita de diez preguntas a
diez profesores in situ, sin que ellos pudieran hacer uso de algún tipo de mediación
tecnológica para consulta y sin mayor descripción del estudio. En la fase B se efectuaron cinco entrevistas semiestructuradas utilizando de base las mismas preguntas formuladas en la encuesta de la fase A. Estas entrevistas fueron transcritas, analizadas y
reconfiguradas secuencialmente buscando saturación de respuestas. Las fases A y B
se desarrollan en forma simultánea y son de carácter excluyente con los participantes. En las dos fases descritas se asumen las preguntas base de las investigaciones
hechas por Carmen Samper de Caicedo (2010), de la Universidad Pedagógica Nacional. En la Fase C se socializan y discuten los resultados obtenidos de las dos fases
anteriores a un grupo focal de profesores participantes.
– 282
III. Pósteres
Los quince profesores muestra del estudio fueron seleccionados atendiendo a
las siguientes consideraciones: profesores vinculados a un colegio suscrito con la
Secretaria de Educación de Bogotá; profesores de secundaria que tenían asignación académica en el grado decimo o impartían un curso básico de trigonometría y
profesores que dispusieran de algunos tiempos (intra o extrajornada laboral) para
poder atender a los requerimientos de los investigadores o por grado de cercanía
laboral o de amistad.
El estudio analizó dos categorías por separado: creencias y concepciones, las primeras desde las entrevistas y las segundas desde las encuestas escritas, bajo cuatro
subcategorías referidas a la demostración: definición, uso, función e implicaciones
didácticas (enseñanza y aprendizaje escolar). Y en el grupo focal se socializaron los
hallazgos, para establecer similitudes entre lo propuesto.
Resultados y discusión
Después de hacer el análisis de las categorías y subcategorías propuestas, se puede
establecer que los profesores reconocen y definen la demostración desde su formación académica, dentro de un sistema axiomático establecido, riguroso y formal, que
cumple ciertos requerimientos de tipo sintáctico y de transformación, ubicándolos
en un contexto lógico y de fundamentos de las matemáticas. Por otro lado, dentro de
la subcategoría de uso que hace el profesor de la demostración en el ámbito escolar,
hay una diferencia en las respuestas en las fases A y B; por un lado, se establece
que la demostración está ligada a un campo funcionalista y utilitario y, por tanto, se
desarrolla en la resolución de problemas enmarcándola en un contexto de matemáticas profesional adquiriendo un sentido falibista, y por el otro, que la demostración
está desligada de las prácticas escolares, ya que estos procesos son desplazados por
otras rutinas no necesariamente académicas. Frente a las funciones de la demostración que el profesor identifica, se puede advertir que en las dos categorías hay un
reconocimiento por la verificación de enunciados con ciertas características contextuales, más que por el grado de validación y generalidad del mismo, bajo elementos
concretos, de fácil acción y operación. Y por último, dentro de las implicaciones de
tipo didáctico se reconoce como imprescindible que el profesor de matemáticas conozca y sea competente frente a la demostración para poder enseñarla, auncuando
este proceso al parecer no se consolida en las prácticas escolares en todos los casos.
También es de advertir que la enseñanza de la demostración en escolares por parte
de profesores tiene diferentes matices dependiendo de lo que se enfatice en clases
– 283
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
de matemáticas, de allí que algunos conciben las matemáticas desde actividades aisladas para el cumplimiento de un temario hasta la consolidación y desarrollo de
competencias matemáticas, dentro de las cuales están las de razonamiento y de carácter demostrativo.
Del trabajo adelantado se pueden hacer varias consideraciones, en primer lugar
los participantes reconocen y conciben el objeto matemático“la demostración”como
un elemento vivo dentro de la disciplina matemática pero que pierde sentido dentro
del ámbito escolar, debido a que los profesores creen que la demostración debería
desarrollarse en ámbitos exclusivamente axiomáticos y de validaciones absolutas.
Todo indica que hay una disonancia entre el marco conceptual referido y aprendido
por el profesor con las actividades desarrolladas en el aula de clase con sus estudiantes; en este sentido la actividad demostrativa a la que hace referencia el profesor
utiliza elementos categóricos matemáticos con presencia de desarrollos proposicionales lógicos, no sobre un acuerdo de justificación, convicción, contradicción y de
descubrimiento. Un elemento emergente de este estudio es que la comunicación
entre pares académicos (profesores) sobre el tema es asumida desde la creencia de
cada cual y no sobre las consideraciones colectivas escolares y la conceptualización
de la misma; por tanto, no se prefijan intereses ni se concretan metas al respecto.
– 284
III. Pósteres
Referencias
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www.connect.gseis.ucla.edu/pubs/files/TeachersBeliefs.pdf
– 285
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
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145-152).
– 286
REPRESENTACIÓN POLINOMIAL
DE NUMERALES ESCRITOS
EN EL SISTEMA DECIMAL
DE NUMERACIÓN: UN ESTUDIO CON
NIÑOS Y NIÑAS ESCOLARIZADOS
Helmer Jesús Ruiz Díaz
hjdiaz@unicauca.edu.co
Universidad del Cauca. Colombia
Yilton Riascos Forero
yirifo@unicauca.edu.co
Universidad del Cauca. Colombia
Resumen
Se presentan los resultados de una investigación enmarcada
en didáctica de las matemáticas relacionada con la psicología
cognitiva. El objeto matemático puesto en escena es el sistema
decimal de numeración (SDN), específicamente su representación polinomial.
Siendo dicha representación una forma de condensación
de numerales grandes, el propósito fundamental es describir y caracterizar las estrategias que los niños y niñas aplican
para representar de modo polinomial los numerales escritos
en el SDN. Para conseguir dicho propósito se diseñó y aplicó
una tarea que consideró los elementos que hacen parte de
un polinomio en base 10, la cual exigió de los participantes
lectura y escritura de distintas representaciones numéricas.
La tarea la resolvieron 22 sujetos con edades entre 9, 10 y 11
años de edad.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Los resultados encontrados manifiestan dificultades en el tratamiento de operaciones como representaciones de numerales. También se muestra la importancia de
complementar las representaciones aditivas y multiplicativas con explicaciones que
apunten a desarrollar representación potenciativa para enriquecer la comprensión
de la representación polinomial en los numerales escritos en el SDN.
Palabras clave: estrategia, numeral, polinomios en base diez, potenciación, representación, sistema de numeración.
Abstract
The results of an investigation framed in mathematics education related to cognitive
psychology are presented. The mathematical object is staged Decimal Numbering
System (SDN), specifically its polynomial representation.
Such representation being a way of condensing large numerals, the fundamental purpose is to describe and characterize the strategies that children apply to represent polynomial form written numerals in SDN. To achieve this purpose it was
designed and implemented a task that considered the elements that are part of a
polynomial in base 10, which demanded of the participants to read and write different numerical representations. The task is solved by 22 subjects aged 9, 10 and 11
years old.
The results demonstrate difficulties in processing operations as representations
of numerals. The importance of complementing the additive and multiplicative representations with explanations aimed at developing potenciative representation to
enrich the understanding of the polynomial representation in written numerals in
the SDN is also shown.
Keywords: Empowerment, numbering system, numeral, polynomials in base ten,
sytrategy, representation.
Introducción
El problema abordado en la investigación está situado en el desarrollo del pensamiento numérico, el cual “se adquiere gradualmente y va evolucionando a medida
que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en
contextos significativos” (MEN, 1996, p. 43). Además, los lineamientos afirman que
una de las herramientas para desarrollar dicho pensamiento son los sistemas numéricos.
– 288
III. Pósteres
En este sentido, Cortina (1997) manifiesta que a lo largo de la historia la humanidad ha construido sistemas matemáticos que le han permitido interactuar con
el mundo, interpretándolo, organizándolo e interviniendo en él, y que uno de los
constituyentes básicos de las matemáticas, de la cultura occidental, es el SDN, el
cual siguiendo algunas reglas aparentemente sencillas permite la representación
de cualquier magnitud o cantidad y también la realización de una gran variedad de
cálculos.
Que los niños y niñas comprendan los procesos involucrados en la representación
de numerales escritos en el SDN no es tarea fácil, muchos de los errores que los
niños cometen al ejecutar los algoritmos de las operaciones se deben a la dificultad
que se presenta para que ellos comprendan dichos procesos. De ahí la importancia
de explorar el pensamiento del niño, a través del seguimiento de estrategias, para
conocer los procesos que siguen en la construcción del sistema de notación y enunciación de los números en un nivel más avanzado, como lo es el del significado de
representación polinomial de los mismos.
Descripción de la experiencia
Se pretendió describir y caracterizar algunas de las estrategias necesarias para que
los niños construyan la representación polinomial, es decir, qué elementos del sistema numérico son esenciales, cuáles son los más utilizados, cómo se pueden clasificar,
etc., en las trayectorias que los niños siguen cuando construyen el significado de representación polinomial de los numerales escritos en el SDN. Así mismo determinar,
si es posible, cuáles serían las condiciones ideales de un sujeto que alcanza este nivel
de representación.
La representación polinomial hace referencia a que todo numeral escrito en el
SDN es una forma abreviada de representar un polinomio en potencias de diez; por
ejemplo, el numeral 5.896 podemos verlo como 5×103 + 8×102 + 9 ×101 + 6 ×100.
De esta manera, una comprensión del SDN requiere estructuras complejas superiores a las elementales de adición y multiplicación, y también exige un pensamiento que permita comprender el proceso condensado en un polinomio como el
señalado anteriormente. Teniendo en cuenta estas consideraciones y otras provenientes de las experiencias de aula del investigador, surge el siguiente interrogante:
¿Cuáles son las estrategias que los niños y niñas entre 9 y 11 años aplican cuando resuelven situaciones que involucran la representación polinomial de numerales escritos en
el Sistema Decimal de Numeración?
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Abordar esta pregunta desde la didáctica de las matemáticas requirió una perspectiva cognitiva aplicada a la educación; por esta razón se tuvo en cuenta la teoría
propuesta por Vergnaud (1990), algunas consideraciones de los trabajos propuestos
por Inhelder (1978), y se planteó una investigación cualitativa que permitió establecer, a partir de la observación de las acciones de los niños, las estrategias que siguen
al resolver situaciones relacionadas con la representación polinomial de numerales
escritos en el SDN. Para esto, específicamente se planteó:
• Diseñar una tarea que involucre operaciones requeridas en la representación polinomial de un número escrito en el SDN, y que permita identificar las estrategias
seguidas por los niños.
• Clasificar y caracterizar las estrategias que los niños evidencian al resolver la tarea
propuesta.
• Identificar dificultades en el aprendizaje de la representación polinomial de un
numeral escrito en el SDN
Revisión bibliográfica
El problema de la construcción del SDN ha sido abordado desde diferentes perspectivas, entre ellas los estudios psicológicos sobre las conceptualizaciones de los niños
acerca del sistema de numeración, y por otra parte están las investigaciones sobre los
métodos de enseñanza del sistema.
En el primer grupo, autores como Broitman y Kuperman (2004) citan a (Sastre y
Moreno, 1976, Huges, 1986, Sinclair et al,, 1983), como pioneros en trabajar sobre
la representación gráfica de cantidades menores que diez; otros estudios se centran
en la diferenciación entre notaciones numéricas y alfabéticas (Pontecorvo, 1985) o
hacen énfasis en procedimientos notacionales en general (Tolchinsky y Karmiloff-Smith, 1993).
Posteriormente aparecieron estudios sobre la reconstrucción de las reglas del
SDN en cuanto a su producción, interpretación o comparación de notaciones de
números de varios dígitos (Nunes, T., 1989, Higino da Silva, 1990, Seron et al., 1991
y 1995, Sinclair y Scheuer, 1993, Lerner, Sadovsky y Wolman, 1994, Sinclair et al.,
1994), citados por Broitman y Kuperman (2004).
Desde una perspectiva operatoria, Kamii (1994) muestra que para construir el
sistema de notación en base 10 se requiere la construcción de sistemas jerárquicos sucesivos. Orozco Hormaza & Hederich (2002) analizan errores que cometen
los niños al escribir números arábigos al dictar y al leer numerales. Autores como
– 290
III. Pósteres
Lerner & Sadovski (1997) trabajan desde la perspectiva del desarrollo de la notación numérica y de la comprensión del sistema; en esta perspectiva se estudia la
comprensión que los niños tienen sobre la composición aditiva y su relación con la
escritura de numerales.
Respecto a la enseñanza usual del SDN, Terigi y Wolman (2007) manifiestan que
se diseña sobre el supuesto de que los niños tienen que comprender el sistema de
numeración antes de comenzar a utilizarlo, ya que el uso resulta de la correcta aplicación de los principios conceptuales que rigen al sistema.
Lerner y otros (2003), citados por Terigi & Wolman (2007), trabajan sobre el diseño
y aplicación de situaciones didácticas que apuntan a la comprensión de la agrupación decimal por parte de los niños que permita estudiar el paso de una concepción
estrictamente aditiva de la notación numérica a una concepción caracterizada por la
progresiva consideración de los aspectos multiplicativos involucrados en la organización del sistema posicional.
Castaño (1995, 1998) establece a partir de sus investigaciones cuatro etapas por
las cuales los niños deben seguir para lograr comprender el SDN; dichas etapas
son: significación global, significación aditiva, significación aditiva-multiplicativa y
significación polinomial; este autor describe los procesos por los cuales los niños se
acercan desde la etapa global hasta la aditiva-multiplicativa, pero ninguna describe
las estrategias seguidas por los niños para acceder a la representación polinomial,
brecha que se pretendió cubrir con la realización de esta investigación.
Metodología
El proceso seguido en esta investigación inició con la delimitación del tema propuesto. Luego se desarrolló el marco conceptual y la revisión de antecedentes, investigaciones didácticas sobre las construcciones por parte de los niños de dicho sistema y
las teorías acerca de la representación y el significado de los objetos matemáticos, de
los cuales se pudo llegar a la formulación del problema de investigación.
En este recorrido se encontró que muy pocas investigaciones han abordado la
construcción de dicho sistema centrando la atención en la representación polinomial; teniendo en cuenta los propósitos de la presente investigación se elaboró una
tarea en la cual los sujetos participantes leyeron y escribieron números presentados en distintas formas (numerales, productos, potencias, sumas y productos), entre
ellas la polinomial. Una explicación más detallada de la situación propuesta y los
instrumentos se puede ver en Ruiz y Riascos (2014).
– 291
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
En el estudio participaron 22 sujetos entre niños y niñas, estudiantes de los grados
4°, 5° y 6° de educación básica; se tuvo en cuenta que dichos sujetos no hubieran
estudiado, en el momento de la entrevista, la potencia en sus cursos previos de
matemáticas.
Procedimiento de recolección de datos
Con el fin de conocer los métodos de resolución y formas de uso de los conceptos
y habilidades matemáticas en torno al SDN, específicamente a su representación
polinomial, se diseñó y propuso una situación en la que los sujetos participantes leyeron y escribieron, en forma secuencial, algunas expresiones relacionadas con dicha
representación (numerales, productos, potencias, suma de productos y polinomios).
De esta manera se recogió toda la actividad de los sujetos participantes, para luego analizarla en detalle. Se utilizó una cámara de video y los registros de escritura de
cada una de las sesiones en que se dividió la entrevista. El tipo de protocolo utilizado fue la entrevista clínica, en donde se reprodujo el diálogo en el que participaron
el investigador y cada uno de los niños de manera individual. El investigador mostró
en la primera parte una serie de tarjetas que el sujeto participante leyó y luego hizo
un dictado que los niños y niñas escribieron.
Resultados y discusión
Teniendo en cuenta que las estrategias, según Ineldher (1978) se pueden considerar
como todo sistema y secuencia de procedimientos que son susceptibles de ser repetidos y transferibles a otras situaciones, se pudo establecer en el desarrollo de las
acciones de los niños al resolver las situaciones presentadas, las siguientes: descomposición en dígitos, decenas, centenas y combinaciones entre ellas; introducción errada de
marcas de potencia; concatenación; lectura de operaciones; operaciones con los números y
lectura en la forma del SDN.
A medida que el numeral se fue haciendo más grande, mayor fue el uso, por parte
de los niños, de la descomposición o la introducción de marcas de potencia en lugares que no correspondían. Lo mismo ocurrió en la escritura con la yuxtaposición
de términos.
En términos de Vergnaud, se puede decir que ante la situación de tener que leer
una expresión desconocida, en la cual los niños no disponen de las competencias
necesarias, ellos evocan lo más cercano, en este caso recurren a la notación de frac– 292
III. Pósteres
cionarios, y por tal motivo terminan leyendo 34 como “tres cuartos”; otros leyeron
“tres cuatro” y algunos lo hicieron como “treinta y cuatro”; en este caso se puede decir
que los segundos están en un nivel inferior a los primeros. Quienes leen “treinta
y cuatro” están viendo en esa expresión un número, es decir, al observar la tarjeta
aparece en ellos un esquema presentativo del 34, y en este caso se puede decir que
en estos niños no hay comprensión, pues no están relacionando la posición de los
números. Ahora bien, de los que leen “tres cuatro”, se puede decir que de alguna
manera ya están generando una diferenciación; no hay plena comprensión, pero en
la parte procedural lo leen como varios números.
La representación polinomial exige en el niño una comprensión o un trabajo secuencial, pasar de un número en forma de numeral a una representación diferente
(producto, suma de productos o polinomios); es pasar de la lectura de numerales a
una lectura que contiene operaciones inmersas allí, por ejemplo las potencias, que
a su vez están relacionadas con operaciones de productos y sumas que en últimas
no es fácil identificar. Para alcanzar el nivel de representación polinomial lo aditivo
y multiplicativo es muy importante, pero hace falta la potenciación.
Conclusiones
Si bien es cierto que falta mucho por considerar y mejorar, se pueden tomar como
puntos concluyentes de este trabajo los siguientes:
El aprendizaje del SDN exige en el niño niveles de comprensión muy superiores
a los establecidos tradicionalmente, puesto que junto a la conceptualización de número, hay muchos otros conceptos involucrados en dicha construcción. Sin lugar
a dudas, las estructuras aditivas y multiplicativas juegan un papel muy importante
para acceder a la representación polinomial.
Para que los niños puedan construir la representación polinomial, tienen que haber comprendido la operación de multiplicación; mientras esto no ocurra, es posible
que aunque en la lectura y la escritura tengan éxito, no tengan conciencia del número allí involucrado.
Los resultados, análisis y conclusiones se pueden ampliar en Ruiz (2011), Informe
del trabajo de grado para optar el título de magíster en Educación, Universidad del
Cauca, Popayán, Colombia.
– 293
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Referencias
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Vergnaud, G. (1990). La teoría de los campos conceptuales. Recherches en Didáctiques des
Mathemátiques, 133-170.
– 294
LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
EN EL PREESCOLAR. ESTUDIO
DE CASO EN EL VALLE DEL CAUCA
Myriam Vásquez Vásquez
mvasquez1@usbcali.edu.co
Universidad San Buenaventura. Cali, Colombia
Resumen
El objeto de estudio de la presente investigación estuvo centrado en identificar la concepción de espacio y geometría que
circunscriben la enseñanza usual de la geometría en el preescolar desde una perspectiva semiótica-cognitiva de la educación matemática. El análisis de observaciones de aula, textos
escolares y entrevistas a nueve maestras de los niveles de
pre-jardín, jardín y transición, permite afirmar que subyace a
la enseñanza de la geometría en el preescolar concepciones
sobre el espacio y los objetos geométricos derivadas de las interpretaciones de teorías psicológicas y pedagógicas como las
de Piaget, Montessorí y Dienes. Duval describe este tipo de
entrada a la geometría planteando una analogía con la actividad del botánico. Desde esta entrada el reconocimiento de
las propiedades de las figuras geométricas está centrado en
una aprehensión perceptiva sobre los contornos y las formas
elementales que se emplean en geometría plana. Para “ver” sobre una figura geométrica es necesario tomar en cuenta una
variación dimensional intrafigural, transformaciones heurísticas de la configuración global y restricciones de construcción
instrumental. Los hallazgos logrados permiten reconocer que
– 295
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
las prácticas que circulan en relación con la enseñanza usual de la geometría en el
preescolar no trascienden una visualización icónica de las formas.
Palabras clave: aprehensión perceptiva, geometría en el preescolar, visualización
matemática.
Abstract
The object of study of the present investigation was centred in identifying the conception of space and geometry that they circumscribe the usual education of the
geometry in the pre-school one from a semiotic-cognitive perspective of the mathematical education. The analysis of observations of classroom textbooks used and interviews to nine preschool teachers, it allows to affirm that it sublies to the education
of the geometry in pre-school conceptions on the space and the geometric objects
derived from the interpretations of psychological and pedagogic theories as those of
Piaget, Montessori and Dienes. Duval describes this type of entry to the geometry
raising an analogy with the activity of the botanist. From this entry the recognition
of the properties of the geometric figures is centred on a perceptive apprehension
on the contours and the elementary forms that are used in flat geometry. To “see”
on a geometric figure is necessary bear in mind a dimensional variation intrafigural,
heuristic transformations of the global configuration and restrictions of instrumental
construction. The opposing findings allow to admit that the practices that circulate
with relation to the usual education of the geometry in the pre-school one do not
come out an iconic visualization of the forms.
Keywords: Geometry in the pre-school, mathematical visualization, perceptive
apprehension.
Introducción
Desde hace algunas décadas la investigación en el campo de la educación matemática ha puesto su mirada sobre el problema de la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas en la educación inicial y el preescolar. En particular, el interés con
relación a la enseñanza de la geometría en el preescolar data de hace varias décadas
en el campo de la educación matemática a nivel investigativo y su correspondiente
expansión teórica.
El presente estudio se inscribe y se anuda a este interés y pretende identificar la
concepción de espacio y geometría que circula en la enseñanza de la geometría en el
– 296
III. Pósteres
preescolar con el fin de reconocer qué geometrías o geometría se están enseñando a
los niños y niñas desde las praxis que circulan en las aulas escolares, para unos casos
particulares de instituciones pertenecientes al departamento del Valle del Cauca.
En correspondencia con el propósito planteado, desde un punto de vista semiótico-cognitivo de la actividad geométrica la pregunta que se impone es:
¿Ver en matemáticas tiene las mismas exigencias cognitivas que otras formas de ‘ver’
por fuera de las matemáticas? Se reconocen entonces dos tipos de visualización en los
cuales los procesos de reconocimiento de los objetos representados difieren radicalmente: una visualización icónica de las formas y el otro, una visualización no icónica
de las formas. Con relación a la visualización icónica, el reconocimiento de lo que
representan las formas se hace por el parecido con el objeto (real) que representa,
o en su defecto, por comparación de un modelo tipo de formas. En la visualización
matemática, el reconocimiento de los objetos representados no depende en primer
lugar de la discriminación visual de las formas, sino de las hipótesis dadas que van
a controlar también la mirada sobre las figuras (Duval, 1999, 2003, 2005). Entonces
la manera como se conciba la entrada al aprendizaje de la actividad geométrica,
bien sea desde una visualización icónica o no icónica de las formas, determina si la
función que cumple esa figura es susceptible de movilizar una demarche cognitiva.
El problema de la enseñanza usual de la geometría
en el preescolar
Desde hace algunas décadas la investigación en el campo de la educación matemática ha puesto su mirada sobre el problema de la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas en la educación inicial y el preescolar. En particular, el interés con
relación a la enseñanza de la geometría en el preescolar es relativamente reciente. En
oposición a las prácticas de aula que caracterizan la enseñanza usual como copia de
modelos, actividades de motricidad fina asociadas al reconocimiento de las formas;
han surgido tres vertientes con la intención de buscar una entrada a la geometría en
el preescolar que posibilite una aprehensión de los objetos geométricos y colme de
sentido la actividad geométrica. De un lado, se encuentran las investigaciones que
se sitúan en la primera vertiente y toman de referencia la epistemología piagetiana
o interpretaciones derivadas de esta, para explicar el problema de la construcción
del espacio y la geometría (Edo, 1999, 2006, Vecino, 2008a, 2008b). Desde esta perspectiva, se considera pertinente empezar una aproximación a la geometría con un
tratamiento intuitivo y exploratorio del espacio y de los objetos que los rodean. La
– 297
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
tendencia de dichas investigaciones ha sido reconceptualizar los aportes de la epistemología piagetiana y rebatir fundamentalmente la jerarquización que Piaget propone: primero el niño y la niña dominan un espacio topológico para luego dominar las
relaciones proyectivas que se construyen casi a la par con una geometría métrica. Así
mismo, se asume que los niños y niñas deben tener contacto con objetos tridimensionales primero, para luego pasar a una representación en el plano. La condición
desde este punto de vista epistemológico y cognitivo es asumir la conceptualización
de un espacio geométrico en continuidad con las experiencias del mundo físico. De
otro lado, están las investigaciones que se sitúan en una segunda vertiente y plantean la necesaria introducción y discriminación en los currículos escolares la enseñanza de los conocimientos espaciales y geométricos desde los ciclos elementales
de escolaridad, especificando los problemas e interrelaciones entre ambos campos de
conocimiento (Berthelot y Salin, 1992; Gálvez, 1985; Salin, 2004,). Existe una tercera
vertiente que plantea una ruptura entre una visualización icónica de las formas (estatus epistemológico de las entradas anteriores) y la visualización en matemáticas.
Desde esta perspectiva semiótica-cognitiva, la mirada matemática sobre las figuras
conduce a mirarlas como representaciones potencialmente mixtas, es decir, como
representaciones que resultan de la movilización necesaria de dos registros diferentes: las figuras y el discurso teórico en lengua natural. Esta articulación entre figura
y discurso como una condición particular a toda actividad geométrica implica una
descomposición de las formas: la descomposición mereológica y la deconstrucción
dimensional (Duval, 1996, 1998, 1999, 2003, 2004a, 2004b, 2005).
La manera canónica de ingresar al estudio de las formas está anudada a un paradigma que concibe y organiza el currículo alrededor de un conjunto de actividades
que parecen desconocer las exigencias propias de la actividad geométrica y, por
consiguiente, las distintas maneras de ‘ver’ sobre una figura. Por tanto, dependiendo
de la naturaleza de la actividad planteada, la figura puede cumplir diferentes funciones: función de ilustración, función heurística, función de modelo o de economía de pensamiento respecto a una descripción. Cuando la figura solo cumple una
función representacional de ilustración o modelo, está por fuera de la visualización
matemática. Y la diversidad de actividades que se plantean comúnmente en el aula
desde la enseñanza usual y la primera vertiente mencionada en párrafos anteriores
da un tratamiento a las figuras por fuera de la actividad matemática, reduciendo su
potencial heurístico para representar la resolución de un problema geométrico a
una función de ilustración (Vásquez, 2011). Enmarcado en el propósito de identificar las concepciones de espacio y geometrías que tienen las maestras de preescolar,
– 298
III. Pósteres
se plantea el problema por investigar bajo la siguiente pregunta: ¿Qué geometría o
geometrías se están enseñando a los niños y niñas en el ciclo de preescolar? Esta pregunta
debe interpretarse de manera equivalente en el sentido de qué se moviliza en las
aulas de preescolar con relación al desarrollo del pensamiento espacial y los conocimientos geométricos para este ciclo.
Metodología
El modo de investigación se circunscribe en el campo de las investigaciones cualitativas, de carácter exploratorio, bajo un método de estudio de caso. Se toma como objeto de estudio para el cumplimiento de dicho propósito el análisis de quince textos
escolares de preescolar y el discurso oral de las maestras que orientan las clases en
los niveles de pre-jardín, jardín y transición. La muestra la componen 9 maestras
en total, 3 maestras de cada nivel de preescolar correspondientemente a pre-jardín,
jardín y transición, pertenecientes a instituciones públicas y privadas del departamento del Valle. En promedio se recolectaron de 7 a 9 registros por maestra, para
obtener un total de 56 registros de aula en el marco del desarrollo de la investigación.
Igualmente se hicieron entrevistas no estructuradas con el propósito de ampliar y
precisar información requerida por la investigadora con relación a la situación observada. Los textos objeto de estudio se delimitaron tomando en consideración tres
criterios: el texto de base de la maestra que orienta el hacer de la maestra en el aula,
el texto más vendido en el Valle del Cauca, un texto de una editorial elegido al azar,
dentro de un conjunto de textos recolectados en las instituciones partícipes de sus
bibliotecas o textos complementarios al texto de base usado por las maestras.
Resultados
Un primer punto de partida para este análisis está en relación con la forma como
están organizados los contenidos que hacen referencia a los conocimientos geométricos en el aula, cuyos criterios de organización y ordenación de la secuencia de las
actividades y su correspondiente introducción en las aulas viene dada por el texto
escolar, o sea, por la estructura que plantea el texto escolar. El centro de análisis
fundamental son, por consiguiente, los textos escolares, entendiendo la función que
cumplen en este ciclo para la enseñanza de la geometría: el texto escolar delimita y
determina la práctica de las maestras en este ciclo. Por consiguiente, el texto impone
‘una manera de caminar, pensar y ejecutar’; el texto completo en un sentido global
– 299
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
es una enunciación caracterizada por imperativos que hacen referencia a instrucciones: dibuja, encierra, observa, colorea, traza, pinta, pega, decora, delinea, es decir, el
texto escolar es el currículo, es el método y es la actividad. Fue común a los 15 textos
escolares analizados encontrar organizados los contenidos referidos al conocimiento
geométrico en los siguientes tópicos: trazos, discriminación visual de formas y contornos, formas geométricas, simetrías y orientación y ubicación espacial. El análisis
del conjunto de actividades agrupadas en cada tópico permite afirmar que desde
un punto de vista epistemológico y fenomenológico, la aprehensión de los objetos
geométricos para los casos analizados se concibe desde una constatación perceptiva
inmediata.
La sola aprehensión perceptual de los objetos es en sí misma fuente de conocimiento, o sea, desde esta entrada se hace una visualización icónica de las formas,
en donde el estudio de las figuras clásicas euclidianas se reduce a hacer coincidir los
contornos y formas de objetos del mundo físico con el perfil de las formas a partir de
la una relación de semejanza o a través de copia de un patrón tipo establecido como
modelo. Y la constatación perceptiva de estas propiedades ligadas al contorno de las
formas se verifica a partir de acciones motrices de modelado, coloreado, decorado,
etc. Este ingreso hacia el estudio de las formas implica epistemológicamente plantear una relación de causalidad entre el sujeto y el objeto de conocimiento.
Cuando el modelo de representación para la actividad matemática concibe la vía
de aprehensión a los objetos como una relación causal entre sujeto-objeto, entonces
la percepción directa y la acción del sujeto sobre los objetos es fuente de conocimiento. Esta concepción, por supuesto, se distancia radicalmente de una visualización
matemática de las formas que implican necesariamente una mediación semiótica y
articulación entre visualización y discurso para el aprendizaje de la geometría.
Conclusiones
Desde un punto de vista epistemológico y cognitivo, puede decirse que la concepción de espacio y geometría de las maestras de preescolar y textos escolares que
determinan la práctica de la enseñanza de la geometría se concibe como un dominio
que exige una práctica empírica sobre los objetos del mundo sensible. Esta forma de
‘ver’ implica una visualización icónica de las formas, cuyo mecanismo de iconicidad
funciona para cualquier otra representación visual fuera de las matemáticas. En concomitancia con estas praxis, las figuras en los textos y en las actividades propuestas
a los niños y niñas son representaciones icónicas, dibujos que cumplen una función
– 300
III. Pósteres
de ilustración. Tratar una figura geométrica solo como una ilustración, significa reducir su capacidad de representabilidad semiótica y se ubica por fuera de la actividad
geométrica. Recordemos que las figuras, a diferencia de otros sistemas, son un registro no discursivo y plurifuncional; ahí radica su potencial heurístico.
Por último, desde la perspectiva teórica abordada, la coordinación entre figura y
discurso es una condición sine qua non para el aprendizaje de la geometría. Sin embargo, esta coordinación no es nada espontánea. La articulación entre ‘ver’ y ‘decir’
tiene altas exigencias con relación a las formas de designar, describir, explicar, argumentar y demostrar en geometría, dada la heterogeneidad semántica que impone el
conocimiento geométrico. Entonces, ¿el ingreso a la articulación entre figura y discurso
puede ser un objeto de estudio para un ciclo como el preescolar? Una posible respuesta a
esta pregunta abre nuevas preguntas al campo teórico y de investigación en el que
se inscribe esta tesis.
– 301
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
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III. Pósteres
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Vásquez, M. (2011). La enseñanza de la geometría en el preescolar. Tesis de maestría, Universidad del Valle, Cali, Colombia.
– 303
USO DE HERRAMIENTAS
DE TECNOLOGÍAS DE LA
INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN
(TIC) COMO APOYO PARA LA
ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
DE LAS MATEMÁTICAS EN
EDUCACIÓN MEDIA, SUPERIOR
Y CONTINUADA: UNIVERSIDAD
DEL CAUCA-PROYECTO CLAVEMAT
Jhoana Katheryne Sandoval
jksandoval@unicauca.edu.co
Universidad del Cauca. Colombia
Marlon Felipe Burbano
mfburbano@unicauca.edu.co
Universidad del Cauca. Colombia
Yilton Riascos Forero
yirifo@unicauca.edu.co
Universidad del Cauca. Colombia
Resumen
El proyecto internacional Clavemat se desarrolló de modo interdisciplinar, integrando el área administrativa, el área de tecnologías y el área de educación y matemáticas. Para lograr los
objetivos del proyecto, se utilizaron diferentes herramientas
TIC como: Elgg, P2PU, Moodle, YouTube, Google Sites, Google Drive TeamBox (RedBooth), Wiki, entre otros. A través de
estas se logró beneficiar a profesores de colegio y estudiantes
– 305
Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
de bachillerato y universidad, buscando fortalecer el nivel educativo de la región y
apoyando los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El presente
artículo hace una descripción del proyecto Clavemat y de las herramientas TIC utilizadas en él.
Palabras clave: educación matemática, matemáticas, Elgg, Google Drive, Google
Hungout, Google Sites, Moodle, P2PU, proyecto Clavemat, Skype, Teambox, Wiki,
YouTube.
Abstract
The Clavemat international project was developed in an interdisciplinary, integrating the administrative area, the area of technologies and the area of Education and
Mathematics. To achieve the project objectives different TIC tools are used as: Elgg,
P2PU, Moodle, YouTube, Google Sites, Google Drive TeamBox (RedBooth), Wiki,
among others. Through these, we were able to benefit school teachers and high
school and college students, seeking to strengthen the educational level of the region
by supporting the processes of teaching and learning of mathematics. The following
article gives a description of the project Clavemat and TIC tools used in it.
Keywords: Mathematics education, Elgg, Google Drive, Google Hungout, Google Sites, Moodle, P2PU, Clavemat Project, Skype, Teambox, Wiki, YouTube.
Introducción
La Universidad del Cauca, en su ánimo de fortalecer la educación en Colombia y
en Latinoamérica, se vinculó entre los años 2012 y 2013 al proyecto Clavemat. Este
proyecto interdisciplinario permitió la vinculación de tres facultades en el interior
de la Universidad y al exterior, con cinco países y seis universidades. Para lograr los
objetivos asociados al proyecto y la comunicación entre los socios se debió acudir a
las herramientas TIC como base esencial para su desarrollo.
El proyecto Clavemat
Clavemat (Proyecto Clavemat-alfa III, 2012): clases virtuales de matemáticas y tutoría, es un proyecto educativo internacional financiado por el programa Alfa III de la
Unión Europea. Inició en el mes de diciembre de 2011 con siete universidades socias
de Europa y América Latina: la Universidad del Cauca (Cauca, Colombia), la Universidad Nacional de Colombia (Bogotá, Colombia), la Escuela Politécnica Nacional
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III. Pósteres
(Quito, Ecuador), la Universidad Católica de Temuco (Temuco, Chile), la Universidad
de Granma (Granma, Cuba), The Technische Universiteit Delft (Delft, Holanda), y
la Technischen Universität (Berlín, Alemania); su coordinación siempre ha estado a
cargo de la Escuela Politécnica Nacional de Quito y de la Technischen Universität.
El objetivo principal de Clavemat es ampliar las posibilidades de acceso de los
estudiantes provenientes de sectores urbano y rural a las carreras universitarias,
apoyándolos en sus procesos de aprendizaje en el área de las matemáticas con la
consolidación de una comunidad virtual y programas de tutoría académica.
Sus objetivos estratégicos son: consolidar la comunidad virtual de Clavemat con
la participación activa de docentes y estudiantes; mejorar las competencias de los
profesores de secundaria en contenidos y metodologías de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas a través de cursos virtuales y semipresenciales; y apoyar a los
estudiantes de colegio y universidad en el área de matemáticas mediante la realización de cursos virtuales, semipresenciales y tutorías virtuales y presenciales.
A la fecha de la publicación de este artículo, el proyecto Clavemat continúa su
desarrollo solamente en Colombia, Ecuador y Alemania.
El proyecto Clavemat en el Cauca
El proyecto Clavemat en la Universidad del Cauca tuvo una duración de 24 meses
(2012-2013) (Barrera, Burbano, Sandoval, Riascos , & Solarte, 2014) y se desarrolló
de forma interdisciplinar integrando el área administrativa, el área de tecnología y el
área de educación y matemáticas; cada una de estas pertenecientes a las Facultades
de Ciencias Contables, Económicas y Administrativas (FCCEA), de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones (FIET) y de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación (FACNED), respectivamente. El equipo de trabajo en la universidad estuvo
conformado de la siguiente manera:
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
Figura 1. Clavemat
Para lograr los objetivos del proyecto, se utilizaron diferentes herramientas TIC en
todas las áreas. En el área de educación y de matemáticas su uso fue trascendental,
ya que con ellas se consiguió la planeación y ejecución de un esquema de trabajo
que involucró personas geográfica y culturalmente dispersas. Su objetivo principal
consistió en brindar apoyo en el área de matemáticas y educación a estudiantes y
profesores de la región a través de las TIC, facilitando la socialización de experiencias educativas entre diferentes países y el soporte en la logística de tutorías en
matemáticas a estudiantes de la Universidad del Cauca.
Herramientas TIC utilizadas en Clavemat
El proyecto Clavemat en el departamento del Cauca tuvo sus áreas de acción en tres
grupos focales: los profesores de colegio de sectores rural y urbano, los estudiantes
de últimos grados de estos colegios y estudiantes de primeros semestres de universidad. Para cada uno de estos grupos se utilizaron varias herramientas tecnológicas
y de la comunicación, permitiendo así el cumplimiento de los objetivos propuestos
desde el inicio en el proyecto.
Los responsables de la elección de estas herramientas fueron los grupos de tecnología y de educación y matemáticas de todos los países socios del proyecto; aunque
en este proyecto participaban diferentes países, algunas herramientas fueron elegidas de manera general y otras dependieron del contexto sociocultural de la región
a la que pertenecía cada universidad. Este último caso fue el de la región del Cauca.
Para todos los países se eligieron las herramientas Elgg, P2PU, Moodle, YouTube,
TeamBox (actualmente llamado RedBooth) y Wiki. Pero aparte de las anteriores,
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III. Pósteres
particularmente en el Cauca, se incluyeron Google Sites y Google Drive. En este departamento, Elgg, Gmail y YouTube estuvieron orientadas hacia la educación media
y docentes de colegios; Moodle para educación media y estudiantes en transición
de colegio a universidad; Google Sites, Gmail, Youtube, y Wiki para estudiantes de
la Universidad del Cauca; y P2PU, TeamBox, Wiki, Google Drive y Google Hungout,
de uso exclusivo para los equipos técnicos de los países socios.
Elgg
Elgg (Elgg, 2014) es un software catalogado como una metared social y brinda flexibilidad suficiente para que sea adaptado a cualquier temática. A través de Elgg se creó
un espacio virtual denominado “Comunidad Virtual en Matemáticas-Clavemat”, en
el cual se crearon cursos virtuales llamados CMAT dirigidos a los docentes de matemáticas de colegio (los de ejes temáticos centrales: herramientas tecnológicas, educación, didáctica de las matemáticas, matemáticas y experiencias de aula), se brindaron
espacios de tutoría académica virtual para estudiantes de colegio y universidad, y de
manera general todas las herramientas comunes de una red social virtual (chat, foro,
grupos, perfil de usuario, mensajes, creación de páginas, entre otros).
P2PU
El uso de la herramienta en línea P2PU (PEER 2 PEER UNIVERSITY, 2012) estuvo
destinado a los equipos de trabajo de las universidades socias del proyecto. Aquí se
efectuaron las capacitaciones para los grupos de trabajo y las pruebas para la organización de cursos de tipo MOOC (massive open online courses), los cuales sirvieron
de base para los cursos organizados a través de Elgg y a través de Moodle.
Moodle
Moodle (Moodle Partners, 2002) es un sistema de gestión de aprendizaje que se
descarga y se programa en un servidor para que pueda ser accedido a través de una
red. En Clavemat a través de Moodle se crearon los “CMAT-Puente”, cuyo objetivo
era apoyar a los estudiantes de último año de colegio a preparase en el área de matemáticas para las diferentes pruebas de ingreso a las universidades. La dirección de
estos cursos estuvo a cargo de los socios del proyecto.
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Memorias Congreso Internacional Didáctica de la Matemática. Una Mirada Epistemológica y Empírica
YouTube
YouTube (Google Inc, 2005) es una herramienta muy conocida a nivel mundial para
difusión de videos. En el caso del proyecto Clavemat, esta herramienta se empleó
en los cursos CMAT y CMAT-Puente, con contenidos propios como entrevistas y
explicaciones de expertos en los temas tratados. En Elgg también se utilizó como
material de apoyo.
Google Sites y Google Drive
En la Universidad del Cauca se creó un programa de tutorías presenciales en el área
de matemáticas para estudiantes de primeros semestres. Para la administración de
solicitud de tutoría y de asignación de tutores se diseñó una página web a través de
tecnologías de Google Sites (Google Inc, 1998), en la cual se vincularon archivos
generados con Google Drive (Google Inc, 1998). A través de esta página web, los estudiantes accedían a un espacio de solicitud y agenda de asignación de tutorías. Esta
página también permitió clasificar a los estudiantes según su grado de vulnerabilidad
(estrato socioeconómico, lugar de procedencia y etnia) y la prioridad académica para
la asignación de tutorías; datos que fueron importantes para los objetivos del proyecto y para futuros estudios e investigaciones.
Herramientas de comunicación
Para mantener el trabajo en equipo del proyecto fue necesario tener una comunicación constante, fluida y que compense las barreras geográficas de los diferentes
países miembros fue necesario el uso de distintas herramientas tecnológicas. Por
ejemplo, el Teambox (© Redbooth, 2015), se empleó para la asignación, desarrollo y seguimiento de las actividades asignadas a los socios; el GoogleDrive (Google
Inc, 1998) se utilizó para compartir la documentación generada; el Google Hungout
(Google Inc, 1998) y Skype (Microsoft, 2015), para la realización de teleconferencias
entre los equipos de trabajo; y la Wiki (Wiki.org, 2002) para hacer un repositorio de
los informes académicos de cada tutoría orientada en las universidades.
Resultados
• En la plataforma Elgg participaron 145 docentes de matemáticas del departamento del Cauca.
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III. Pósteres
• En la plataforma Elgg participaron 556 estudiantes de colegio del departamento
del Cauca.
• En la plataforma Elgg participaron 301 estudiantes de la Universidad del Cauca.
• En la plataforma Moodle participaron al menos 104 estudiantes de colegio.
• En la página de Google Sites de la Universidad del Cauca se programaron 1644
tutorías.
Conclusiones
En el proyecto Clavemat se logró la atención de los tres grupos focales, estudiantes de colegios, profesores de colegios y estudiantes universitarios, los cuales fueron
beneficiados en el área de la educación matemática a través de herramientas TIC
integradas al proyecto.
La propuesta empleada en el proyecto Clavemat permite visualizar las posibilidades de integración y diferenciación de herramientas tecnológicas con distintas
intenciones, pero convocadas para actuar en el interés de colaborar en el fortalecimiento del conocimiento de un grupo humano necesitado, como lo es la población
educativa de América Latina.
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Referencias
Barrera, J. E., Burbano, M. F., Sandoval, J. K., Riascos , Y. O., y Solarte, M. F. (2014). Análisis
y resultados del proyecto CLAVEMAT en el departamento del Cauca (Colombia). VII Conferencia Internacional Guide. Guatemala City: Guide Association.
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