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Nuevos Socios. \OLL\IEA V ABRIL-MAYO-JL110 1964 NLMERO 2 ASOCIACION MEXICANA DE GEOFISICOS DE EXPLORACION AlESA DIRECTIVA PARA EL PERIODO 1963-1964 Presidente : Guillermo Hernhndeí! Moedano. Vire-Presidente: Jesiis Rasurto García. Secretario: Alfonso Cornejo Toledo. Tesorero: Alfonso Hernlíiideí! Osuiia. Vocal de Petróleo: Armando E p í a Huerta. Vocal de Minas: Ernesto Lbpez Ramos. Vocal de Ingeniería Civil: Enrique del Yalle T. Editor: Vladimir A. Olhovicli. Presidente Directivo Anterior : Santos Figueroa Huerta. Este Boletín se publica cada trrs meses J se distribii>-e gratuitamente a los socios. El precio de subscripción para no socios es de $150.00 m.’n al aTio y de $50.00 m/n número suelto. Para todo asunto relacionado con el Boletín: manuscritos, asuntos editoriales, subscripciones, descuentos especiales a bibliotecas públicas o de Universidades, publicaciones, anuncios, etc., dirigirse a : ING. VLADIMIR A. OLHOVICH Av. Juárez No. 97 Despacho 302. Teléfonos 18-41-41 y 12-89-70 México 1, D. F. Impreso por Abastecedora de Impresos, S. A. - Dr. Jiménez Xo. 352 - Jlcxico 7 , D. F. Teléfono 19-56-75 con 3 líneas. C O R R E L A C I O N E S T A D I S T I C A í Aplicada a la Interpretación Sismológica) * Por el Ing. José Luis Orozco y Jiméner"" R E S U hl E N : Se plantea el prohlema de la interpretación sismológica con relación a las posibilidades de aplicar en la solución de algunos de sus aspectos la teoría de la probabilidad, mpdiante el análsis harmónico grrieralizado : periódico. aperiódico y fortuito. Se presentan algunos ejemplos de medición de funciones de correlación d e la señal sismológica y de separación de sus componentes periódicos y fortuitos. Se postulan conclusiones. 1.-ANTECEDEKTES En la húsqueda permanente de una mejor información destinada a la iiitrrpretación sismológica se ensayan. constantementc. diversas técnicas cuya finalidad principal consiste en aumentar la relación señal ruído. Este es un problema que se ha examinado rn estudios e\hau>ii\os realizados soLre comunicaciones electromagnéticas con resultados positi\ os. meiliantc el empleo de sistemas de correlación estadística aii\iliados por los modernos métodos y equipos de cálculo. .'- Presentado en l a Convención d e Geofísicos e n Tampico ( 2 1 bre d e 1963). ..---Gerencia d e Exploración, Petróleos Mexicanos - 23 d e Noviem- 98 ASOCIACION DI.: GEOFISICOS DE EXPLORACION En forma análoga. desde hace algunos aiíos se ha intentado emplear técnicas semejantes en el campo de la sismología. P o r su extraordinaria importancia. en el presciite trahajo se pretende examinar algunos aspectos de tan interesante cuestión. 11.-PROPAGACIOIV SISMOLOGICA El examen más somero de un sismograma revela la existencia de un conjunto de eventos que pueden ser agrupados cn atericibii a una o varias características comunes entre sí. determinadas genéricamente. por las funciones de tiempo. amplitud y fase correspondientes. Si se toma cn curnta que cada traza en el sismograma representa una secuencia de la propagación elástica de la energía proveniente de la conmoción sísmica, expresada en forma de un proceso ondulatorio, es de suponerse, y así sucede en realidad. que una combinación de varias trazas arregladas de tal manera que registren oscilaciones sucesivas en un plano, tal como ocurre en una línea d e detección. registren eventos análogos ideritificahles por su aliiieamierito en tiempo y su forma o carácter. Estos eventos representan en realidad. perturbaciones operadas en el proceso normal de propagación cuando éste sufre la acción de anisotropías representadas por rambios bruscos registrados en la densidad física y en 10s parámetros elásticos característicos de las condiciones estratigráficas y estructurales del medio en que aquélla se realiza. De esta manera. el conjunto de mcntos contenidos en una sección de sismogramas. como expresiones invariantes de la referidas condiciones densimétrico elásticas, para una transformación determinada de coordenadas, representada en este caso por la transferencia de la energía elástica expresada en valores d e tiempo, amplitud y fase. equivale a un cuadro integral de la r e c c i h geológica respectiva. Cuando en la interpretación de información sismológira de esta iiaturaleza se tnisca destacar la que proviene dc las condiciones estructurales con sub aiiiwtropías continuas producidas por la estratigrafía sedimentaria. e1 resto dr aquella delwrá w r eliminada por su carácter perturhador. CORRELACION ESTADISTICA 99 Dicha información espúrra. a la que genéricamente se le ha denominado ruído. puede estar formada por ondas sismológicas coherentes eti las que es posible distinguir alineación en tiempo y carácter, o por ondas incoherentes desprovistas de tales atributos. Ambos tipos de olidas. es decir, las provenientes de las anisotropías O reflectores denominadas señal y las que tienen su origen en otras causas al superponerse o combinarse dan origen a las ondas registradas en el sismogrania. En estas condiciones. la manera aparente de destacar a la señal consiste en rrducir td ruído mediante el empleo de medios y procesos descriminatorios llasados. por lo general. en ciertas difermcias estructurales existentes entre las ondas que forman la siñai y las que ocasionan el ruído. En efecto. aunque tanto la señal como el ruído están formados de procesos ondulatorios de carácter transitorio. los límites paramétricos respectivos, son diferentes para cada clase de ondas, de manera que. por ejemplo. la velocidad propagación. amplitud y frecuencia de las ondas de ruído son diferentes a las de la señal. d c h Con liase r n estas difcrencias se han ideado sistemas que permitrn la separación de unas y otras ondas, discriminando a las de ruido para destacar a aquéllas que forman la señal. Entre estos sistemas figura el de la corrciación estadística por lo que se refiere a la eliminación del ruído incoherente. sujeto al azar y. por consecuencia, a las leyes de la probabilidad. 111.-EL PROBLEMA En la Fig. 1; se muestra la reproducción de un sismograma común y c.orriente como un caso de la clase de material que tw múltiples ocasiones tictic que ser interpretado. En este sismograma no es posil)le drstacar. a primera vista. los alineamientos ondulatorios que puedan ser identificados como r(~f1ejos.aunque se presume que éstos puedan existir eiiculiiertos por las ondas iii-tor$ioiiadas contenidas en el mismo. En vstas coiidicioiirs. c.1 problema de la c~)rrrlac.ióiiestadística consiste en tratar de drstacar los wrdaderos reflejos. -i luc tia>-. cmpleando las técnicas adecuadas. ASOCI.4CION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 100 I FIG. 1 Consecuentemente con dichas técnicas. el sismograma en cuestión representa u n coiijunto de eventos que pueden ser identificados y clasificados de conformidad con algunas características que le sean comunes en las cuales, implícitamente están esta1)lecidns las relaciones dr caiisalidad específica que los rigeii y. mediante la aplicación adecuada de aquéllas. desdoblarlos eri su5 componentes genéricos de ruído y senal. Si para el efecto se niiden los valores de amplitud a intervalos de tiempo regulares en todas o algunas de sus trazas con respecto a u n nivel de referencia determiiiaclo, se suman algehraicamente los \ alores leídos para obtener la media estadística. Si posteriormente esta media particular o general r s rrstada de cada uno de los lalores de amplitud leídos y la difermcia. postila o negativa rnultiplicada p a r a cada caso por el interl alo de tiempo correspondiente. se obtiene el porcentaje de probal)ilidad de error (Ir dicho valor. I)c psta manera. cada 1 alor de amplitud leído tendrá su correspondiente probaldidad de error y formará parte de una distribución discreta de la prohabilidad. cuyos valores 1írnites serán O y 1. La disirilmcióii discreta de la prohabilidad puede escrihirse, como sigue: lore Para e1 caso de una distrihucióri continua d e la probabilidad, los valos puntos x, deberán expresarse en términos de una función w ( x ) t‘ti CORRELACION ESTADISTICA 101 llamada comúnmente de densidad de la probabilidad en el citado punto, por lo que resulta: D (x) = J +z - , w (x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 en la inteligencia de que w (x) dx, representa la probabilidad de que una variable fortuita X , tenga un valor x en el rango (x, x, dx) , y se le llama, a menudo, el elemento de la probabilidad de x. + Para una distribución continua w (x) representa a la función normal de frecuencia, de manera que puede escribirse, como sigue: 1 - x”2 w (x) = d ___ e 2?r ................ ; $ advertido de que la distribución de la probabilidad resulta igual a : 1 D (x) __ X [1 + ___ , erf (x) ] . . . . . . . . . . . . . . . . . ; 5 dT- 2 Ahora hien. para los casos de las distribuciones continuas, la función de X posee una derivada D’ íx) = w (x), llamada función de frecuencia o distribución de densidad de X , expresada en términos de los valores x que la variable fortuita X puede asumir en un ensayo del experimento E . Esta función de distribución de Q ( x i == J(z) X , puede escribirse: dD (x) . . . . . . . . . . . . . . . . : 6 y? para una función g de X , Z rri la (U, b ) = J:g (x, dD ( x i . . . . . . . . . . . . . . . . ; 7 inteligencia de que, para el caso de una distribución continua. esta úI- t i rnd cuiiación, puede escribirse : 102 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION Z (U, b ) = ja g (x) w (x) d x ................ ; 8 Ahora bien, si la distribución D (x) de la probabilidad se normaliza a 1 dentro de los límites de y - el infinito, y la densidad de la probabilidad w (x) es tomada como función no de x, sino de (x - xo), de manera que pueda escribirse: + S m r n 6 , (x - x,) d x = 1 ................ ; 9 resulta, cuando Ax, se aproxima a O, un tipo de función que Dirac llamó función Delta, cuyas características fundamentales son : a lim, 0 , ( ) =S x-x' ; Cuando 6, = __ [ a ' (x-xl) Sena -l 1 (x-xl) o bien: Sa = o Cuando: Sa= (x-x1)2] S_. rn .10 - t 2 r j x t tu o bienS,e - (x-xl)/a e ~ a 7T i x - x l ) así como : + 77 a-o e d t = S (x-o) f 2rr j í x - x l ) dt=S (x-x') Ahora, si w ix) representa a una función de densidad de la probahilidad de una función fortuita X , la que puede ser continua, discreta o mixta, se puede escribir: g (-U)= E [ g (-Y) ] = g Ix) w (.Y, d.1 .......... ; 11 CORRELACION ESTADISTICA 103 para el medio ponderado, valor medio o probabilidad de la función g ( x ) con respecto a la función w ( x ) de distribución de densidad, en la inteligencia de que de esta clase de valores medios el más importante es, sin duda, el representado por la función característica, mismo que puede expresarse, como sigue : en la inteligencia de que, por otra parte, se puede escribir: íx') 6 (x' - X) d x ' = w ( x i . . . .13 de donde resulta que la función característica F , ( p ) y la función de distrihución de la densidad w i x i , forman un par transformado de Foiirier. Pero si se toma en cuenta que la ecuación intermedia de la igualdad (13) rcpresenta al Trorema de la lntegral de Fourier, resulta que éste aparece como un caso del uso de las funciones Delta de Dirac. Las condiciones establecidas en las igualdades (12) y ( 1 3 ) condiiren al Teorema de Wiener para la autocorrelación. En efecto, de acuerdo con e1 mismo. se tiene: La función de autocorrelación de una función fortuita y rl t q c c t r o de la densidad de potencia de la misma se encuentran relavionadas (mire sí por una transformación cosinusoidal de Fourier. como sigue: 4 1 1 (7) = f;m@ll a i w ) Coa w T d w . . . . . . . . . . . . 12 1o1 A4SOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 1 y @li (w) = J: 27r m 4 ~ ~( r ) Cos w r d T ... . . . 15 El supuesto principal contenido en el Teorema de Wiener consiste en la existencia de la función de autocorrelación y la comunidad de la misma a todas las funciones miembros del conjunto considerado, lo que implica la condición de que cada miembro del conjunto tiene el mismo espectro de densidad de potencia. independientemente de la forma ondulatoria de aquél. Esta es una condición muy importante para las consideraciones que se formularán posteriormente. Ahora bien, si analógicamente a la Función Característica F , ( p ) de las igualdades (12) y ( 1 3 ) se les identifica con la función de autocorrelación + 1 1 ( r ) ,y a la Función de Distribución de Densidad w ( x ) , con el espectro de densidad de pontencia Q11 ( O ) , se llega a la conclusión de que la función de autocorrelación equivale a una función de probabilidad, por lo que, de acuerdo con el Teorema de la Integral de Fourier, se puede escribir: en el entendido de que: y, por consiguiente: iw Fii (w) e dw . . . .. . . . . ..... ; 18 En estas condiciones se puede proseguir el análisis del problema de la correlación estadística aplicada a la sismología, como sigue : CORRELACION ESTADISTICA 105 Si las variables independientes x e y representan a las funciones de señal y ruído respectivamente, la información recogida puede ser considerada como una función de ambas. misma que puede expresarse por: f (x,y ) , cuyas traiisforniadas de Fourier con respecto a x e y , son: ; 19 y combinando a ambas ecuaciones: resulta: Pero : y. en forma análoga: : - # r lo que. de estas dos últimas ecuaciones, resulta: ASOCIACION 1)E GEOFISICOS DE EXPLORACION 1o6 Ahora bien, para el caso de que tentativamente se pueda escribir: r = (x’ + y2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25“ resulta : e i i t x + y Y) d x d y . . . . . . . . . . . . 25b Si en esta integral se hacen las siguientes substituciones: entonces, puesto que : ......................... 27 COS ( 0 - @) ....................... 28 d x d y =r dr d 0 .f x + y y =rP resulta que la integral se transforma en: CORRELACION ESTADISTICA 107 y, puesto que: d$ = 2rr J , ( p i ) ........... ; 30 se puede escribir: F (P)= s: r j (r) Jo i p r ) dr . . . . . . . . . . . ; 31 o bien: pF (p) Jo i p r ) d p . . . . . . . . . . . . . . ; 32 cuya transformada de Hankel viene expresada por: a F (P)= ___ Ji (a r) .................... para O < r < a . ..; r en donde: r = Valor límite ahsoluto del dohle del espectro complejo = í a ; + b:)'/2 33 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 108 Y9 F (P) = Función de correlación rorrespondiente. Por otra parte, la distrihurióii de la prolxhilidad equivale a la transformada de un espectro de potencia, según se demostrará a continuación: La función característica de la densidad de la prohaldidad P viene expresada por : jtx 6 (x), .............. 31 es decir, la función característica es igual a la transformada de Fourier de la función de densidad de la prohahilidad; en la inteligencia de que se trata de una transformada especial dehido a que la función hajo transformación es 0 0 , e igual a 1. real, no negativa, con una integral sobre - 00 , + Por otra parte la función de la densidad normal viene expresada por: Ahora bien, se puede escribir: - x’/2 0 2 dy =1 cuando: .......... 36 CORRELACION ESTADISTICA A = l / \/2rra ...................... 1o9 ;37 de esta manera, cam1)iando a coordenadas polares: cuando : r2 = xz + y' .................... ; 39 lo que significa. simplemente que la función de la densidad normal representa el caso límite en el que: por lo que: condición que ocurre, cuando: 8 - 4 .................. ; fk2 decir, cuando la autocorrelación es máxima. condición que solamente puede ocurrir en los espectros de potencia de los reflejos. ASOCIACION DE GI<OFISIC:OS DE KXPLORACION 110 IV.-COrYCL~~SI ONES A guisa de conclusiones. de lo aritrriormrntr expuesto se puede postular el siguiente método para la r o r r e l a r i h rstadístira aplicada a la sismología : 1ro.-Detrrminar las curvas d r la DISTRIRCCION NORMAL DE LA DENSIDAD para rada iina de las trazas del sismograina, que se hayan seleccionado. para lo rual, previamente se halrrán determinado : valor medio de m, de la variable fortuita a).-El 5 aplicando la ecuación : - 1 - - ítl + t2 + ...... + si - - + & ) = f ( t ) = m. . . . . . 43 n b).-La tes relaciones: variancia 2:de la misma mediante el empleo de las siguien- - :o = (2-(. -2 T = (? - mz ................ ;u cuando : en el entendido de que: -.. - ~ , yij j .................. y. por consiguiente. para cualesquier traza se puede escribir : ; 46 CORRELACION ESTADISTICA íi) = (l/n) íZl (i) + z2> + ... . ..... ... 111 + íi) Zn ) . . . . . . 47 2do.-(:alddos los valores ni y u2, procede la aplicación de la ecuación 35 a fin de obtener la curva de densidad normal, sustituyendo en dicha ecuación en lugar de x, los valores calculados de z ( ~ ) para , cada traza, 011- teniéndose. de esta manera. tantos conjuntos de valores de probabilidad como trazas se hayan seleccionado. 3-0.-Los valores así ohtenidos que corresponden a los de r, en la ecua- ción 33, deberán substituirse en la misma normalizándolos a un determinado valor de u. cal(wliíiidose de esta manera los valores de correlación. Como estos últimos están expresados en términos de una Función de Ressel, de orden 1, al ser desarrollados vienen a representar una secuencia de procesos oscilatorios que sensiblemente corresponden a los transitorios de la propagación sismológica y, por consiguiente, su alineamiento probable resulta invariaiite al de los reflejos respectivos. 4o.-Tomando en consideración que por la naturaleza misma del pro- Idema que implica el cálculo de conjuntos los sistemas adecuados en problemas rutinarios de correlación estadística es preferible sean resueltos con el auxilio de computadoras electrónicas. La realización de este trabajo fue posihle dehido al apoyo decidido ? consejo del señor Ing. Antonio García Rojas. Gerente de E\ploración de Petrdeos Mexicanos y a las atinadas sugerencias. compretisióii ?- estímulo de los seriores Ings. Alfonso Cornejo Toledo y Armando Eguía Huerta, Jefes tlta la Oficina de Reinterpretación y de la Sección respectiva de la Zona Norte, tlt.pcndieiite de la Gerencia de E\ploración : para ellos el más profundo agradtac iiiiieiito del autor. ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 11- B I B L I O G R A F 1A Statistical Theory of Communiration.-Y. Extrartion of Sipnals from Noise.-L. W. Lee.-Jolin A. R’ainstein J W i I q and Sons, Inr. 1960. 1’. D. Zubakor. Traducida del Ruso por R. A. Silverman. Prentire Hall, Inc. 1962. An Introduction to Statistiral Communiration Theory.-David Book Co. Inr. 1960. Freriienry Analysis Modiilation and Noise.-Stanford Mdd1eton.-Mc Graw-Hill Goldman. Mc Graw-Hill Book Co. Inc. 1948. Extrapolation, Interpolation, and Smootliing of Stationary Time Series.-Norbert -John Wiley and Sons. 1960. Transient Circuit Ana1ysis.-Y. H. Ku.-D. Van Nostrand Co. Inr. 1961. Wiener. CORRELACION ESTADISTICA 113 CORKELACION ESTADISTlCA (Aplicada a la Interprtación Sismológica) A P E N D I C E “A” CORRELACION DE FCNCIONES PERIODICAS Para el caso de la correlación entre funciones periódicas, se puede escribir: en donde f l ( t ) y f 2 ( t ) tienen la misma frecuencia angular fundamental w 1 y T, representa un desplazamiento continuo de tiempo registrado entre los límites (00, w ) independientemente de t . La integral 1 iiivolucra las siguientes operaciones importantes : la.-El desplazamiento en un tiempo T, de la función periódica f - ( t ) . 2a.-E1 producto o multiplicación de esta función desplazada por la otra función periódica f l c t ’ ) , de la misma frecuencia. 3a.-La integración dentro de los límites de un período del producto instantáneo obtenido por la operación anterior. ila.-La repetición de los tres pasos precedentes para cada valor de T: en el intervalo de ( - 00, w),con lo que genera una función de T. Por otra parte, la Transformada de Fourier de la expresión 1. es igual a : Fi cuando : F1 (n) = \. FZ (n) = (n) FZ ( n ) ............................ Espectro complejo de Idem fl it 1 : ; 2 ................ ; 3 f2 it) 111 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION y: por consiguiente : Ahora hien, son casos concretos de la correlación periódira: la autoCorrelación y la correlación cruzada, mismos que se examinarán a continuación : A ) .-AUTOCORRELACIOIV Cuando en la exprcsión 1 5e tiene la condición especial de que f2 fl (t) = ( t ) , ocurre el caso de la autocorrelación; lo que equivale a la correlación de una función respecto a sí misma cuando se le desplaza en valores sucesivos de r, ubicadados dentro de los límites d r menos y más el infinito. En estas condiciones, si en la igualdad 4 se escribe: @11 <n) = entonces, se puede escribir: F ( n )F i n ) ....................... ; 6 CORRELACION ESTADISTICA 115 con lo que se viene a establecer un par de relaciones recíprocas que expresan una forma particular del Teorema de Correlación llamada Teorema de Auto. correlación de Funciones Periódicas. Por otra parte, se tiene: E1 - ( n ) = (1/2) ( a , + j b n ) ................ - y> F1 jb,) . . . . . . . . . . . . . . . . ; 8a í n ) = (1/2) (a, ; Ga por lo que: y, por consiguiente : m = nz= o 1 __ ( 2 1 n 2 + Vl,,) Cos n w1 7 ....... ; 10 de donde resulta que. la función dr autororrrlacióii de las funciorivs ptariódirac equivale, como lo afirma Lee ( 1 ) a una SERIE COSINLTSOIUAL COS AS. GCLOS DE FASE IGUALES A O, PARA TODAS LAS HARIIOSICAS PRESENTES EN LA FCXCION DADA Y: CUYOS COEFICIEXTES SOX IGUALES A LOS VALORES CUADIiAUOS MEDIOS DE L.4S CORRES. POKDIENTES HAKMONICAS DE DICHA FL-KCION : NI la iritdigtwcia dc quv su término constante, en forma análoga. ES l(;L.AL AL CL.\ülEADO .\lEüIO dc la mencionada coiistaiitv. ~~~ ( 1) Statistical Theory of Communication.-Y. W. Lee.-Wi1ey.-1960. 116 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION En las figuras 1 y 2, se consignan dos ejemplos de funciones de autocorrelación. El primero se refiere a la autocorrelación de una siniisoide para un desplazamiento angular igual a 0. En el segundo se ohtiene la ecuación analítica de la función de autocorrelación de una onda periódica de pulsos triangulares. AUTOCORRELACION DE U N A ONDA SINUSOIDAL PE R 100ICA ONDA SINUSOIDAL FUNCION DE AUTOCORRELACION FIG. 1 Tomada de “St:itistical Theory of Coiiiniuiiicatioii” por Y. W. LEE. CORRELACION ESTADISTICA 117 AUTOCORRELACION D E U N A O N D A PERlODlCA ONDA PERlODlCA DE PULSOS T R I A N G U L A R E S 1 (PldT) Jo b-iE 2 -$- + = T; = Em2 (2(6 - T)' 6b2T 1 = Em2 (ra - 36% + 263 M2Ti 7) + 3T(b - T)2] for O 5 T 5b FUNCION D E AUTOCORRELACION FIG. 2 Tomnda de "Statistical Theory of Commuiiicatioii" por Y. iV. LEE. ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 118 B) .-CORRELACION CRUZADA DE ONDAS PERIODICAS Para el caso de la correlación cruzada, se puede escribir: y, para el espectro cruzado de potencia, se tiene: - 412 ( n ) = F1 ( n ) Fz ( n ) ....................... ; 12 por lo quet intercambiando, resulta: 1 421 (7) = __ f2 ( t ) fl (t Ti 2;:j + 7) d t ...... ; 13 - Y, @Ol (7)= F2 ( n ) F 1 ( n ) ....................... en el entendido de que para - 7,o bien para x = t j 14 - r, se tiene: o bien: Asimismo, las relaciones recíprocas de las ecuaciones 11 a 14 inclusi\-e, son las siguientes: pZ ...................... ( “ U / “ q-) l- 31 = 8 ‘ñ Te ........................ f Z/(U‘@ - U b ) = (U) :apuop ua ................... 6l W-=U a (u) q) ’3 - L 1muC LT f .................. = ( L ) lZf#l W W-=U a (U) L =@ rmu! g - = (L) m ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 120 por lo que: j8n F (n) = ( 4 2 ) e . . . . . . . . . . . . . . . ....... ; 25 Ahora, combinando las ecuaciones 17, 18 y 19, se tiene: 2 Z 4 1 2 (7) = n=-m Cln Czn e j ( n w1 r +8 2 n - 8,n) .... ; 26a ........ ; 26b 4 o, bien : a10 a20 412 (7)= 4 + - 21 2 z n=l C1n Czn Cos ( n w1 r O1 r & n ) y, de manera semejante: así como: Y, CORRELACION ESTADISTICA 121 en donde: lo qur significa que si Ci n y Cn n representan amplitudes máximas de las har. mónicas n, de las funciones 11 ( t ) y 1 2 ( t ) , respectivamente, en tanto de Cin y C > n equivalen a los valores reales ( r m s ) correspondientes a las harmónicas respectivas y. por consiguiente, las ecuaciones 28 y 29 expresan el hecho QUE LOS COEFICIENTES DE LAS HARMONICAS EN UNA FUNCION DE CORRELACION CRUZADA DE DOS FGKCIONES PERIODICAS DE LA MIS. MA FRECUENCIA FUNDAMENTAL, ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS VALORES EFECTIVOS ( r m s ) DE LAS HARMONICAS CORRESPONDIENTES EN AMBAS FUNCIONES. Las figuras 3 y 4 representan ejemplos de una correlación entre dos ondas periódicas de pulsos triangulares y rectangulares, respectivamente. CORRELACION DE DOS O N D A S P E R I O D I C A S ( CRUZADAS ) J1, ONDA PERlODlCA D E PULSOS T R ANGULARES 1 f2 (0 1 - Ti I 1 Em2 : I l 1 0'1 O I h I TI I 1 I ONDA PERlODlCA DE PULSOS RECTANGULARES r FIG. 3 Tomada de "Statistical Theory of Communiiation". por 1.. K.LEE. 122 ASOCIACION DE GEOFTSICOS DE EXPLORACION CORRELACION CRUZADA DE DOS ONDAS PERIODICAS ( PULSOS TRIANGULARES Y RECTANGULARES) 1 1 *-' EmiEn, dl -Ti o b VdT) = EmiEn, -( b - T ) * for O 4b2 5 T5b CORRELACION CR -b O?t, 0'1 b +t*'( FUNCION DE CORRELACION CRUZADA FIG. 4 Tomada de "Statistical Theory of Comrnunication", por l-.'K. LEE. CORRELACION ESTADISTICA 123 APENDICE “B” CORRELACION DE FUNCIONES APERIODICAS O TRANSITORIAS Cuando se combinan las ecuaciones : f W ( t ) = Z F (n) e jnwlt ....................... ;1 U=-m Y. 1 E’ ( n ) = - - jnwl t dt ........ ;2 se puede escribir: j (t) = Z n=-m y, puesto que: resulta : jnwl t e %f 1 T1/2 - jnwiu du -T1/2’ (u) e ..; 3 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 121 la que se puede descomponer en: jwt dw 1 F ( w ) =z jwt - ........................... ; 6 dt ...................... ; 7 2T en donde: F ( w ) = Espectro Continuo Complejo de la Función Aperiódica f ( t ) ; en la inteligencia de que: F (w)= P (w) + jQ ( w ) . . . . . . . . . . . . . . . . . F ( w ) = 4 1’‘ ( w ) + Q’ ( w ) ....................... en donde F ( w ) ,equivale al Espectro de Densidad de Amplitud de f (t). Ahora, escribiendo la relación de correlación, somo sigue : ; 8 ; 9 CORRELACION ESTADISTICA 125 jwt 11 ít) e d t . . . . . . . . . ; 10 = Función de Correlación para funciones Aperiódicas. Por otra parte: ; 11 por lo que sustituyendo en 10, se tiene: j wr 2n- ( w ) F 2 (w)e de donde resulta que: forman u11 P a r Transformado de Fourier. dw ....... ; 12 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 1 '6 Ahora hien, la correlación de las funciones aperiódicas como la de las periódicas comprende los casos de autocorrelación y correlación cruzada, que se examinan a continuación : a ) .-ALTTOCORRELACION DE ONDAS APERIODICAS Si 4 1 1 (7)= en donde +11 (T), equivale a fl (t) fl (t + T) dt . . . . . . . . . . . . . . ; 14 la Función de Autocorrelación de la Función Aperiódica f ( t ) ; y, a11( w )= 2 n / Fi iw) ................... ; 15 en donde a11(w).representa e1 Espectro de Densidad de Energía de la función f l ( 1 ) : en la inteligencia de que estas relaciones forman el Par Transformado de Fourier, como sigue: jwr d w . . . . . . . . . . . . . . . . . ;16 en el que se establece, en términos del Teorema de Autocorrelación LA RELACION RECIPROCA EXISTENTE ENTRE LA FUNCION DE ALTOCORRELACION DE UNA FUNCION APERIODICA Y EL ESPECTRO DE LA CITADA FUNCION DE AUTOCORRELACION. CORRELACION ESTADISTICA 127 En las figuras 5 y 6, se consignan ejemplos de la autocorrelación de un Pulso rectangular y del espectro de densidad de energía correspondiente. L ) .-CORRELACION CRUZADA DE ONDAS APERIODICAS Cuando f l ( t ) y f b ( t i son dos funciones aperiódicas diferentes, la función de correlación cruzada viene expresada por: 4in (7) = fi ¡ t ) f~ ( t + 7) dt ................ ; 18 y el espectro de densidad de energía cruzada. por: - @>i2 ( w ) = 257- F1 (w) F2 ( Z U ) .................... ; 19 en el entendido que. como en el caso precedente: jwr ( w )e Y? así como: dw ................ ; 20 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 1.18 o bien: - @12 (w)= a21 (w).. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . ; 2.1 Es conveniente aclarar que la función de correlación cruzada, a diferencia de la de autocorrelación, no es necesariamente una función par. AUTOCORRELACION DE UN PULSO RECTANGULAR f PULSO RECTANGULAR AUTOCORRE LAClON FIG. 5 Tomada de “Statistical Theory of Communication”, por Y. W. LEE. 129 CORRELACION ESTADISTICA APENDICE "C" EJEMPLOS DE ACTOCORRELACION DE FUNCIONES FORTUITAS En virtud de que en la parte principal de este trabajo se hizo el examen teórico de las Ondas Fortuitas, principalmente. aunque en forma implicita, el presente Apéndice solo comprenderá la descripción somera de alguiios ejemplos relativos. Esta descripción se basará en las figuras anexas, como sigue : Figura Núm. 7.-Esta por dos valores E , y -E,,, figura muestra una onda fortuita caracterizada que se alternan entre sí a intervalos fortuitos de ESPECTRO DE ENERGIA E,2b' I ESPECTRO DE ENERGIA DE UN PULSO RECTANGULAR FIG. 6 Tornada de "Statistical TIieory of Communication", por Y. W. 1 LE. 130 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION AUTOCORRELACION D E ONDAS F O R T U I T A S ONDA FORTUITA DE DOS VALORES POSIBLE + E m y - E m r milliscconds GRAFICA DE L A FUNCION DE AUTOCORRELACION K = 1000 por segundo Em = l Volt FIG. 7 Tomada de “Statisticai TIieory of Cornmunication”, por Y. W. I.EE. CORRELACION ESTADISTICA 131 tiempo y, a su función de autocorrelación respectiva, la que ha sido calculada sobre el supuesto de que los cruces a O de la onda, siguen una distribución de la probabilidad de acuerdo con la relación de Poisson. Figura Núm. %-Esta figura muestra el espectro de densidad de 110tencia de la onda fortuita de la figura 7, espectro que se ohtuvo mediante la integración de la función de autocorrelación, mostrada en la mencionada figura 7. AUTOCORRELACION D E ONDAS F O R T U I T A 5 - E,' = FUNCION ESPECTRAL + w2 DE POTENCIA 2k .ir (2k)* VOltS' 1l ( w ) 1 L -6ooo 4 i l i i -4Ooo I i ' -2000 l I i i i I I l radirnr per l O l l 2000 l wcond l l l i l l l l l 4000 6Ooo w radians per second ESPECTRO DE DENSIDAD D E POTENCIA DE UNA ONDA F O R T U I T A K = 1000 por segundos Em = 1 Voit FIG. 8 Tomada de "Statistical llieory of C:oniiiiuiii~ati<>tI".1101-Y. \\.. LEE. ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 132 Figura Kúm. 9.-Eri esta figura se muestran dos espectros, a saber: a).-El espectro de densidad de potencia; y: b ) .-El espectro integrado de potencia; ambos correspondientes a una onda fortuita. Este es el caso de que la onda fortuita contenga un componente periódico y otro fortuito, propiamente dicho, tal como ocurre en los espectros sismológicos en los que aparecen involucrados: la señal, como función relativamente periódica y, el ruido. en muchos casos. como función estrictamente fortuita. ONDAS s,,(W);/o -e FORTUITAS $l l ( W ) dW I EáPETRO DE POTEñClá IWTESR&DO DEL COMPOWLWTE FORTUITO. S ~ ( W ) : ~ ; _ @pp . bmw,) (mw,),+$-m(Onw,+ (COMPONENTE PERIOCMCO) poro: mw,<w <(n +l)oa y niO,+1+Zlf3% S , 1 ( 4 “ (P,JO) 1 O W ESPECTROS INTEGRADO Y DE DENSIDAD DE POTENCIA DE UNA ONDA FORTUITA FIG. 9 Tomada de “Statistical TIieory of Communicatiori”, por Y. \\’. LEE. CORRELACION ESTADISTICA 133 En tales circunstancias, los espectros de ambos procesos son diferentes según se muestra en la figura de manera que. a partir de ciertos límites, pueden ser discriminados en atención a su distinta estructura. Figura Núm. 10.-En esta figura se presenta un caso análogo al anterior de la figura 9, con la diferencia de que se refiere a valores positivos de u). ESPECTROS DE POTENCIA s l L ( w )= 2 . a @ i l ( ~ ) O d a P ESPECTRO DE POTENCIA INTEGRADO DEL COMPONENTE FORTUITO. ESPECTROS INTEGRADO Y DE DENSIDAD DE POTENCIA PARA VALORES POSITIVOS D E O. FIG. 10 Tomada de "Statistical l'lieor) of hmniunicaiion". por 1. a'. LEE. ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 135 Figura Núm. 11.-En esta figura se presenta un ejemplo de determinación gráfica de una curva de autocorrelación. La evaluación de esta función, comprende: 10.-El trazo de dos curvas iguales f~ ( t ) y f~ ( t por un tiempo T ; + T), desplazadas 20.-La multiplicación entre sí de las ordenadas de ambas curvas para cada valor de t , con cuyos productos se trazará la tercera curva mostrada eri la figura; AUTOCORR ELAClON G R A F IC A ””: -T T-; T DETERMINACION GRAFICA DE L A AUTOCO RRELACION DE UNA CURVA FIG. 11 Tomada de “Statistical Tlieory of Communication”, por Y. W. LEE. 3o.-La aplicación de la integral +TT (7) , indicada eii la propia figura para obtener el respectivo valor de la funcibn +;rr (7); y, 4o.-La reppticióri del procpdimiento para cada valor asignado de con lo que se ohtierie una secuencia de valores para +11 (7). 7: Figura Núm. 12.-En esta figura se muestra la gráfica de los valores ohtenidos según el procedimiento señalado eii el caso de la figura anterior. AUTOCORRELACION GRAFICA CURVA DE AUTOCORRELACION OBTENIDA POR EL METODO GRAFICO FIG. 12 'I'uiiiada de "Statisticai 'I'iieor! of (:oriiiiiiiriicaiiliii". . \\ . LEX. 1101-1 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 136 EVENTOS DE PROBABILIDAD (MUESTREO) L A RELACION E X I S T E N T E E N T R E E L N U M E R O D E F U N C I O N E S C O N CRUCES A 0 EN E L I N T E R V A L O 'I: Y EL N U M E R O DE E N S A Y O S Q U E R E P R E S E N T A L A R E L A C I O N D E FRECUENCIA T E N D E R A n NORMALIZARSE A L AUMENTAR L O S ENSAYOS. Y, 2 Y,+ Ys+.(Y,,+ (Yi2 + Y** +""+Y"* Y*,+**** ) +Y",) I I l I I l := t1 r = f,+r F I G.13 Tomada de "Statistical Tiieory of Communication", por Y. w'. LEE. CORRELACION ESTADISTICA 137 Figura Núm. 13.-En esta figura se consigna el muestreo de eventos de la pro1)ahilidad de tres curvas para un intervalo de la función de tiempo t, igual a T ; en la inteligencia de que dicho muestre0 puede ampliarse hasta n curvas y n intervalos iguales a T. tal como se explica en la parte principal del presente trahajo. Figura Núm. “A”.-En esta figura se presenta el muestreo de un trazo de sismograma correspondiente al Prospecto Santo Domingo, B. C., para 6 trazas e intervalos para T de 0.100 segs. En dicho sismograma se tomaron valores relativos de amplitud los que, afectados de su signo respectivo, se consignan en el mismo. Estos valores. agrupados en conjuntos. fueron empleados para e1 cálculo de la distribución estadística normal correspondiente, la que transformada por la Integral de Hankel, permitió el cálculo de los valores consignados en la figura R. Figura Núm. “B”.-Con los datos obtenidos del cálculo de los valores de la figura A, se trazaron las curvas de la figura B, siguiendo, para el efecto. el procedimiento señalado en las Conclusiones contenidas en la parte principal de este mismo trabajo. figuras corresponden a un segundo Figuras Núms. “C” y “D”.-Estas ejemplo. análogo al anterior, realizado con otro sismograma del mismo Prospecto de Santo Domingo, B. C., con el propósito de comprobar el método en un caso en el que en el sismograma muestreado existen reflejos bien definidos. mismos que debían de aparecer y aparecieron en la autocorrelación. ASOCIACION DE GE:OFISIC:OS DE EXPLORACION F( P k FUNCKM DE CORRELACION .._ í VALORES RELATIVOS i 6EI 140 ASOCIACION DE GEOFISICOS Di< EXPLORACION COR RELACION ESTADISTICA “FORO ABIERTO” DETERMINACION DE LA CUBlERTA OPTIMA DE SISMODETECTORES MCLTIPLES Por el Ing. Mariano Ilernández Moedano * RESUMEN En la práctica puede considerarse a una cubierta como óptima cuando llena las 2 condiciones siguientes: l.-Cul)re 2.-Permite totalmente la handa de atenuación de ruidos coherentes. una banda de paso del 70% para las ondas reflejadas. DESARROLLO En el presente desarrollo algehraico se hace uso dr los síml)olos ya conocidos y que son los siguientes: A2 = Número de sismodetertores múltiple^. AA‘ = Separación entre detectores í llrtros i . * Senivios Geofísicos, S. A. ASOCIACION DE GE0FISIC;OS DE EXI'LORACION 1 14 L = Longitud de la cubierta (Metros). F min. = Frecuencia mínima de corte de los filtros eléctricos F mhr. (C.P.S.) = Frecuencia máxima de corte de los filtros eléctricos (C.P.S.) Y,, milL. = Velocidad aparente mínima de ruido coherente (m/s.) V,, nláx. = Velocidad aparente máxima de ruido coherente (m/s.) V A , = Velocidad aparente de ondas reflejadas. La handa de atenuación queda totalniente cubierta cuando se satisfacen las ecuaciones Números 1 y 2 y se obtiene un 70% para la banda de paso cuando se verifica la ecuación número 3. Va, máx. M F min. - -- M-1 - Límite Superior . . . . . . . (1) . . . . . (2) .... ... (3) L V a , min. u F máx. = Límite Inferior - ( M - 1)' L VAR F mkx. 2.5 = = 70% . . . L En estas ecuaciones los primeros miembros representan los valores teóricos o ideales y los segundos miembros son los valores obtenidos. En la práctica siempre existen ligeras diferencias entre valores teóricos y los obtenidos dehido a que los filtros que intervienen en el cálculo algunas veces no coinciden exactamente con los filtros instrumentales. DETERMINACION DE LA CUBIERTA 145 De las ecuaciones anteriores se pueden plantear las 3 ecuaciones siguientes que son básicas para el desarrollo. Va, máz. A X = _____ . . . . . . . . . . (1A) . . . . . . . . . (2A) . . . . . . . . . (3A) A4 F mín. F máz. -- A! - 1 - F mín. F niát. K VAR = 2.5 L En donde Var már. K= Var mín. Combinando las 3 últimas ecuaciones y teniendo en cuenta que: Se obtiene la siguiente expresión: V A Rhí' + i Al = 2.5 (111 - 1) . . . . 111 V o r míii. La ecuaciGn número 4 se trarisfornia en la cipieiite ecuación típica de segundo grado. ASOCIACJON DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 146 La solución de esta ecuación es: Esta ecuación se puede reducir a la siguiente expresión: VAR J I = ( 1 +------) 5 Va, inin. VAR ) f -1 (7) 5 Va, mín. Es evidente que el signo positivo ( + ) del radical es el que dehe considerarse y además, la raíz cuadrada de los términos dentro del radical, es igual prácticamente al término encerrado en el paréntesis, por lo tanto puede establecerse que : nz=2 ( 1 + VAR VAR ) = 2 + - 5 Va, niin. 2 .5 V a , ntín. Como puede verse, el número icl óptimo de sismodetectores depende de la velocidad aparente de las ondas reflejadas y de la velocidad aparente mínima de ruido coherente; la primera es función de la profundidad y echado de las formaciones; por lo que su influencia es más fuerte comparada con el de la velocidad mínima del ruido coherente que se considera constante para un perfil de ruido dado. DETERMINACION DE LA CUBIERTA 117 Una vez determinado el número hl de sismodetectores se procede a calcular los demás parámetros de la cubierta usando las ecuaciones ( 1A ) y ( 2 A ) , lo cual puede efectuarse según convenga por cualquiera de los 3 métodos que a continuación se mencionan : METODO A. Con la ecuación ( 1 A ) se determina el espaciamiento A X , suponiendo una Fmin. igual al valor mínimo del filtro eléctrico. Enseguida con la ecuación (2A) se determinan la F METODO B. Con la ecuación (2A) se determina el F m i n . , suponiendo una F más.. según el criterio del sismólogo y con la ecuación (1A) se determina el espaciamiento A X. En los dos métodos anteriores, es probable que pudiera existir traslape sobre el terreno entre dos trazas consecutivas, sin embargo si quiere evitarse tal cosa, se podría suponer la A X deseada y determinar los filtros eléctricos. hlETODO C. Este método tiene la ventaja de suministrar en el mezclado una cuhierta equivalente a un número doble i2M) de sismodetectores, evitando también el traslape sohre el terreno, para lo cual se supone una longitud tal que: L = d - A X en donde “d” representa la distancia en metros eiitre dos traza? coiisccuti\a:. por lo tanto la separación entre detectores será: ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 1-18 aplicando este valor a la ecuación número (1A) se tiene V a , máz. F mín. d y con la ecuación (2A) se determina F máx. A continuación se muestra un ejemplo tratando de ilustrar todo lo anteriormente expuesto. EJEMPLO Datos obtenidos del perfil de ruido obser\ado en el Area de Cabo Rojo, Ver.. por la brigada NS-1-1; (S. G . 3 0 2 ) . Va,7,iáx. = 550 m/s. V a , min. = 225 m/s. 550 K = -= 2.44 225 V n R = 13,000 m/s. a una profundidad de 1,000 m. y con un echado probable de 1" Aplicando la ecuación número 8 obtenemos el número úptimo de sismodetectores múltiples nr 13,000 2 + --~__ 2.5 x = 25 detectores. 225 Los parámetros restantes de la cubierta se obtienen por las fórmulas ( 1 A ) y ( 2 A ) , según convenga alguna culiierta en especial. A continuación se d a una tabla ilustrando los tres métodos mencionados así como también la separación o discrepancia entre valores teóricos y valores obtenidos para los límites de las handas tanto de atenuación como de paso. Los valores o1)tenidos se han calculado usando los filtros instrumentales y haciendo uso de las ecuaciones (11, ( 2 ) y ( 3 ) como ya se mencionó. 1.20 1.31 1.1 0 1 28.80 31.40 26.40 196 20 2.5 2.72 0 . 0434 0.910 165 20 18.4 3.0 0 . 0435 0.0517 1.042 !.5= 70% O . 878 0 . 0434 i m . Inferior 1.042 ,im. Superior 165 165 riist 1'11. 20 180 Calculado Instru. BANDA IE PASO 16 .8 cdicuírtdo BANDA DE ATENUACION m .P W c3 P i P m E C n P r h 2 G O 2 * e 73 n H U 150 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION CONCLUSIONES Como puede apreciarse en el método B o sea el de suponer el F mát, es donde siempre coinciden tanto el límite inferior de la banda de atenuación como el 70% de la banda de paso, ya que ambos valores son función del F más, sin embargo en el método C la solución es bastante aceptable con la ventaja de que en el mezclado eléctrico se tiene una cubierta equivalente a 50 detectores por traza y además el traslape sobre el terreno siempre se evita. NUEVOS SOCIOS NUEVOS SOCIOS l l Mr. Billy Joe Green. 10201 Westheimer Road. Houston 27. Texas. U. S. A. Mr. Omer Clark Smith. 1 i 10719 Burgoyne. Houston, Texas. U. S. A. Ing. Sergio Solazar Mandujano. Riva Palacio No. 64. México 3, D. F. Ing. Domingo Antonio Padilla Padilla. Aguascalientes No. 182 Depto. 3. México 7, D. F. 151 ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION 152 NUEVOS SOCIOS Dr. Francis A. Van Melle. Shell Development Co. P. O. Box 481. Houston, Texas, 77001. U. S. A. Mr. Charles Elmer Caldwell. l P. O. Box 2928. Houston 1 , Texas. U. S. A. Mr. Billie Alfred Toliver. P. O. Box 2928. Houston 1, Texas. Mr. Ernest A. Pratt. 10201 Westheimer Road. Houston 27. Texas. U. S. A. Carlos fileqán )Q. EXPLORACION Y PERFORACION lturbide No. 36 Desp. 201. Tel. 10-15-64 MEXICO 1, D. F. SCHlUMB€RG€R SUR€NCO, S. AGENCIA EN MEXICO Tels.: 46-85-25 Av. Morelos 98, Desp. 306 y 46-13-85 MEXICO 6 , D . F . CURSO DE SISMOLOGIA APLICADA Por el Ing. V. A. OLHOVICH + En las o principales directamente librerías en la ASOCIACION MEXICANA DE GEOFISICOS DE EXPLORACION México 1. D. F. Av. Juárez 97. Desp. 302. S031dWüE)Od0_1 soniimoiavu sO31E)010üalH03~ s O31 90103 9OLO-J EXPLORACIONES, S. A. ITURB~DE No.36 DESP.201 TEL. 10 - 15 - 64 MEXICO 1, D. F. ...SISMO LOGl A... G€OQUIM ICA ... GRAV I M€TRI A... 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