Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería formulario 4: Elasticidad L ineal 1 Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería LEY DE HOOKE GENERALIZADA 1. Materiales anisótropos 1.1. Ecuación de Duhamel-Neumann σ ij = σ ij0 + Cijkl (ε kl − ε kl0 ) − γ ij ( Θ − Θ0 ) donde σij es el tensor de tensiones, Cijkl es el tensor de comportamiento, ε es el tensor de deformaciones, γ es el tensor de dilatación térmica y Θ la temperatura. El superíndice “0” indica estado inicial. 1.2. Simetrías mayores y menores Simetrías mayores Cijkl = C jikl Simetrías menores Cijkl = Cklij Cijkl = C ijlk 1.3. Ley de Hooke Generalizada σ x c11 σ y c12 σ c z = 13 τ xy c14 τ xz c15 τ yz c 16 c12 c13 c14 c15 c22 c23 c24 c25 c26 c23 c33 c34 c35 c36 c 24 c34 c 44 c45 c 46 c 25 c35 c 45 c55 c56 2. Materiales ortótropos 2.1. Ortotropía ' Cijkl = Cijkl 2 c16 ε x c 26 ε y c36 ε z c 46 ε xy c56 ε xz c 66 ε yz Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería 2.2. Ley de Hooke Generalizada σ x c11 σ y c12 σ c z = 13 τ xy 0 τ xz 0 τ yz 0 c12 c13 0 0 c22 c23 0 0 0 c23 c33 0 0 0 0 0 c 44 0 0 0 0 0 c 55 0 0 ε x 0 ε y 0 ε z 0 ε xy 0 ε xz c 66 ε yz 3. Materiales isótropos 3.1. Ley de Hooke Generalizada σ x c1 σ y c2 σ c z= 2 τ xy 0 τ xz 0 τ yz 0 c2 c1 c2 0 0 0 c2 c2 c1 0 0 0 0 0 0 c1 − c2 0 0 0 0 0 0 c1 − c 2 0 0 ε x 0 ε y 0 ε z 0 ε xy 0 ε xz c1 − c 2 ε yz 3.2. Constantes de Lamé(λ y µ) y constantes elásticas (módulo de Young, E; coeficiente de Poisson, ν y módulo de rigidez transversal G) c1 = 2 µ + λ ⇒ c1 − c 2 = 2µ c2 = λ E≡ σ (ii) ε (ii) ν ≡− ε ( jj) ε (ii) G≡ 1 σ ij i≠ j 2 ε ij 3.3. Ley de Hooke Generalizada y su inversión Ley de Hooke Generalizada Constantes de Lamé Constantes elásticas σ ij = 2µε ij + λδ ijε kk σ ij = E ν δ ijε kk ε ij + 1 +ν 1 − 2ν 3 Inversión de la Ley de Hooke Generalizada 1 λ ε ij = σ ij − δ ijσ kk 2µ 2µ + 3λ ε ij = 1 (1 +ν )σ ij νδijσ kk E Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería 3.4. Tensor de comportamiento y tensor de flexibilidades Tensor de comportamiento Constantes de Lamé Constantes elásticas Cijkl = λδ ijδ kl + 2 µδ ikδ jl Cijkl = E ν δ ijδ kl δ ik δ jl + 1 +ν 1 − 2ν Bijkl Tensor de flexibilidades 1 λ = δ ik δ jl − δ ijδ kl 2µ 2µ + 3λ Bijkl = 1 (1 + ν )δ ik δ jl νδijδ kl E 3.5. Ley de Hooke Generalizada en componentes esférica y desviadora σ no = E ε no = 3Kε no 1 − 2ν donde K ≡ E (módulo deformación volumétrica) 3(1 − 2ν ) σ des = 2Gε des 3.6. Relaciones entre de constantes de comportamiento elástico Constante/ Pareja λ µ K E ν λ, µ λ µ E, ν K, µ µ, ν E, µ Eν (1 +ν )(1 − 2ν ) E 2(1 + ν ) 3K − 2µ 3 2 µν 1 − 2ν µ( E − 2µ) 3µ − E µ µ µ 3λ + 2µ 3 E 3(1 − 2ν ) K 2µ (1 +ν ) 3(1 − 2ν ) µE 3(3µ − E ) µ (3λ + 2µ ) λ +µ E 9 Kµ 3K + µ 2 µ (1 +ν ) E ν 3K − 2 µ 6K + 2µ λ 2(λ + µ ) 4 ν E −1 2µ Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL Ecuación de equilibrio o de Cauchy: ∂σ ij ∂xi + f j = ρ aj Ecuaciones cinemáticas o geométricas: 1 ∂u ∂u j ε ij = i + 2 ∂x j ∂xi Ecuaciones de comportamiento o de Duhamel-Neumann: σ ij = σ ij0 + Cijkl (ε kl − ε kl0 )− γ ij (Θ − Θ 0 ) 1 ∂u ∂ 0 ∂u σ ij + Cijkl k + l ∂x j 2 ∂xl ∂xk 0 0 − ε kl − γ ij ( Θ − Θ ) + f j = ρ a j ECUACIONES DE CONTORNO Γu : u j = u j 1 ∂u ∂u Γσ : σ ij0 + Cijkl k + l − ε kl0 − γ ij (Θ − Θ0 ) n j = Ti 2 ∂xl ∂xk 5 Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL 1. Resolución en desplazamientos: ecuación de Navier r r r r f + (λ + µ ) ∇( ∇u ) + µ ∆u = ρ a 2. Resolución en tensiones: ecuaciones de Beltrami-Michell ∆σ x + r 1 ∂2 I 1(σ ) ν ∂f = − ∇ f −2 x 2 1 + ν ∂x 1− ν ∂x r ∂f y 1 ∂ 2 I1 (σ ) ν ∆σ y + = − ∇ f − 2 1 + ν ∂y 2 1− ν ∂y ∆σ z + r 1 ∂ 2 I1 (σ ) ν ∂f = − ∇ f −2 z 2 1 + ν ∂z 1− ν ∂z ∆τ xy + 1 ∂ 2 I1 (σ ) ∂f ∂f = − x + y 1 +ν ∂x∂y ∂x ∂y 1 ∂ 2 I1 (σ ) ∂f ∂f ∆τ xz + = − x + z 1 +ν ∂x∂z ∂x ∂z ∆τ yz + 1 ∂ 2 I1 (σ ) ∂f ∂f = − y + z 1 +ν ∂y∂z ∂y ∂z 6 Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada Facultad de Ciencias – Universidad de Almería SOLUCIÓN DEL PROBLEM A ELÁSTICO LINEAL EN DESPLAZAMIENTOS r 1. Vector Galerkin ( P ) y ecuación de Navier r 1 r ∆2 P = − f 1 −ν r r 1 u= [2(1 − ν )∆ − ∇∇ ]P 2µ 2. Potencial de deformación de Lamé (ψ ) y ecuación de Navier r 1 u= ∇ψ 2µ ∇ 2ψ = cons tan te 3. Relación entre el vector Galerkin y el potencial de Lamé r ψ = −∇P TERMOELASTICIDAD 1. Inversión y analogía de Duhamel-Neumann ε ij = ν +1 ν γ (1 − 2ν ) σ ij − δ ijσ kk + δ ij ∆Θ E E E 2. Coeficiente de dilatación térmica α≡ γ (1 − 2ν ) E 7 Antonio Miguel Posadas Chinchilla Comportamiento Mecánico de los Materiales: Elasticidad ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ELASTICIDAD LINEAL 2D: ESTADO DE TENSIÓN PLANA Ley de Hooke Generalizada Constantes de Lamé Constantes elásticas 4µ ( µ + λ ) σ x 2µ + λ 2µλ σ y = τ 2µ + λ xy 0 E σ x 1− ν 2 Eν σ y = 2 τ 1 − ν xy 0 2 µλ 2µ + λ 4 µ(µ + λ ) 2µ + λ 0 Eν 1−ν 2 E 1−ν 2 0 0 ε x 0 ε y 2 µ ε xy 0 ε x 0 ε y E ε xy 1 +ν λ − 2 µ + λ (ε x + ε y ) εz = ν (ε x + ε y ) − 1 −ν Inversión de la Ley de Hooke Generalizada µ +λ λ − 0 2µ ( 2µ + 3λ ) σ x ε x µ ( 2 µ + 3λ ) λ µ+λ 0 σ y εy = − µ ( 2µ + 3λ ) ε 2 µ ( 2µ + 3λ ) xy 1 τ xy 0 0 2µ ν 1 − 0 εx E E σ x ν 1 0 σ y ε y = − E E ε τ xy 1 + ν xy 0 0 E Beltrami- Michell r ∆ 1 (σ x + σ y ) = −(1 + ν )∇ 1 f 8 Antonio Miguel Posadas Chinchilla Comportamiento Mecánico de los Materiales: Elasticidad ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ELASTICIDAD LINEAL 2D: ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA Ley de Hooke Generalizada Constantes de Lamé Constantes elásticas σ x 2µ + λ σ y = λ τ 0 xy E (1 − ν ) σ x (1 +ν )(1 − 2ν ) Eν σ y = τ (1 +ν )(1 − 2ν ) xy 0 λ 2µ + λ 0 0 ε x 0 ε y 2 µ ε xy Eν (1 + ν )(1 − 2ν ) E (1 −ν ) (1 + ν )(1 − 2ν ) 0 0 ε x 0 ε y E ε xy 1 + ν λ 2( µ + λ ) (σ x + σ y ) σz = ν (σ x + σ y ) Inversión de la Ley de Hooke Generalizada 2µ + λ λ − 0 4 µ(µ + λ ) σ x ε x 4 µ(µ + λ ) λ 2µ + λ 0 σ y ε y = − ε 4 µ(µ + λ ) 4 µ(µ + λ ) xy 1 τ xy 0 0 2 µ 1−ν 2 ν (1 + ν ) − 0 E E εx σ x ν (1 + ν ) 1 −ν 2 0 σ y ε y = − E E ε 1 +ν τ xy xy 0 0 E Beltrami- Michell ∆ 1 (σ x + σ y ) = − 9 r 1 ∇1 f 1 −ν