Metodología para el Cálculo de Incertidumbre

Metodología para
el Cálculo
de Incertidumbre
Ing. José Angel Moreno Hernández
CENAM
Div. Mediciones Electromagnéticas
Junio 2005
Centro Nacional de Metrología – Derechos Reservados 2005
TEMARIO
· Antecedentes
· Metodología
· Ejemplo
· Observaciones
· Conclusiones
Centro Nacional de Metrología – Derechos Reservados 2005
ANTECEDENTES
ISO/IEC 17025
5.4.6.1 Un laboratorio de calibración o de
ensayos, que realiza sus propias
calibraciones debe tener y aplicar un
procedimiento
para
estimar
la
incertidumbre de medición para todas
las
calibraciones
y
tipos
de
calibración.
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Procedimiento
de Calibración
Guide to the
Expression of
Uncertainty in
Measurement
Centro Nacional de Metrología – Derechos Reservados 2005
· La GUM establece reglas generales de
evaluación y expresión de incertidumbre.
· La GUM no establece formatos de cálculo.
· Los laboratorios generan sus propias hojas
de cálculo.
· Existe una gran diversidad de hojas de
cálculo.
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· EA-4/02
· DKD-3
Uncertainty Budget
Tabla de Cálculo de Incertidumbre
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GUM
METODOLOGÍA
a) Elaboración de un modelo de la
medición.
b) Identificación de fuentes de
incertidumbre.
c) Evaluación de incertidumbre estándar.
d) Determinación de incertidumbre
estándar combinada.
e) Determinación de incertidumbre
expandida.
f) Expresión de resultados.
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EJEMPLO
Calibración de un Resistor Patrón.
I
Fuente de
Corriente
V
Baño con
Temp.
Controlada
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Vóltmetro
a) Elaboración de un modelo de la medición
V −ε
R = I V
X I −ε
I I
Mensurando
donde:
RX es el valor del resistor a calibrar.
VI es la tensión indicada por el vóltmetro.
εV es el error de medición del vóltmetro.
II es la indicación de la fuente de corriente
εI es el error de la fuente de corriente.
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b) Identificación de fuentes de incertidumbre
Respecto a VI:
1) Resolución de VI
2) Dispersión de VI
Respecto a εV:
3) Incertidumbre de εV
4) Estabilidad de εV
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V −ε
R = I V
X I −ε
I I
V −ε
R = I V
X I −ε
I I
Respecto a II:
- Es un parámetro
- No hay fuentes de incertidumbre
Respecto a εI:
5) Incertidumbre de εI
6) Estabilidad de εI
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Tabla de Cálculo de
Incertidumbre
Magnitud
Xi
Estimado
xi
Resol. VI
VI
Disp. VI
Incert. εV
εV
Estab. εV
Ind. II
II
Incert. εI
εI
Estab. εI
RX
V −ε
I V
I −ε
I I
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Información experimental y
documental:
Promedio de 16 lecturas de VI: 100,008 94 mV
εV (certificado): + 39 µV/V
II: 100 mA
εI (certificado): - 32 µA/A
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Tabla de Cálculo de
Incertidumbre
Magnitud
Xi
Resol. VI
Disp. VI
Incert. εV
Estab. εV
Ind. II
Incert. εI
Estab. εI
RX
Estimado
xi
100,008 94 mV
0,003 9 mV
100 mA
-0,003 2 mA
1,000 018 399 Ω
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c) Evaluación de Incertidumbre Estándar
1) Resolución de VI: 0,1 µV (digital)
Resol.
u(Resol. V ) =
= 0,1 µV = ± 0,029 µV
I
12
12
2) Dispersión de VI: s(q)= ± 2,37 µV
s(q)
u(Disp. R ) =
= ± 2,37 µV = ± 0,593 µV
I
16
n
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3) Incertidumbre de εV: ± 19 µV/V
(k=2,0 Según certificado)
u(Incert. ε ) = Incert. = ± 1,9 µV = ± 0,95 µV
V
2,0
k
4) Estabilidad de εV: ± 40 µV/V
(Especificaciones del fabricante)
u(Estab. ε ) = Incert. = ± 4 µV = ± 2,3 µV
V
3
3
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5) Incertidumbre de εI: ± 16 µA/A
(k=2,0 Según certificado)
u(Incert. ε ) = Incert. = ± 1,6 µA = ± 0,8 µA
I
2,0
k
6) Estabilidad de εI: ± 58 µA/A
(Especificaciones del fabricante)
u(Estab. ε ) = Incert. = ± 5,8 µA = ± 3,3 µA
I
3
3
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Tabla de Cálculo de
Incertidumbre
Magnitud
Xi
Resol. VI
Disp. VI
Incert. εV
Estab. εV
Ind. II
Incert. εI
Estab. εI
RX
Estimado
xi
100,008 94 mV
0,003 9 mV
100 mA
-0,003 2 mA
1,000 018 399 Ω
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Incertidumbre
Estándar
u(xi)
± 0,029 µV
± 0,593 µV
± 0,95 µV
± 2,3 µV
No es F. de I.
± 0,8 µA
± 3,3 µA
d) Determinación de incertidumbre estándar
combinada
Magnitudes no correlacionadas
Contribución de
incertidumbre
u (y) = ∑u (y)2
C
i
Coeficiente de
Sensibilidad
u (y) = c u(x )
i
i
i
c = ∂f
i ∂X
i
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V −ε
R = I V
X I −ε
I I
Coeficientes de sensibilidad
Respecto a VI, εV y εI:
∂R
c = X= 1
1,2 ∂V I −ε
I I I
∂R
= X =− 1
c
3,4 ∂ε
I −ε
I I
V
∂R
V −ε
c = X= I V
5,6 ∂ε ⎛⎜
⎞2
⎟
⎜
⎟
−
I
ε
I ⎜
⎟
⎜ I
I ⎟⎠
⎝
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Evaluando:
∂R
c = X = 9,999 68 1
1,2 ∂V
A
I
∂R
1
X
=
c
= −9,999 68
3,4 ∂ε
A
V
∂R
c = X = 9,999 864 V
5,6 ∂ε
A2
I
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Tabla de Cálculo de
Incertidumbre
Magnitud
Estimado
Inc. Est.
Xi
xi
u(xi)
Resol. VI
Disp. VI
Incert. εV
Estab. εV
Ind. II
Incert. εI
Estab. εI
RX
100,008 94 mV
0,003 9 mV
100 mA
-0,003 2 mA
± 0,029 µV
± 0,593 µV
± 0,95 µV
± 2,3 µV
Coef. de
Sensibilidad
ci
9,999 68
- 9,999 68
1
A
1
A
No es F. de Incert.
± 0,8 µA
± 3,3 µA
1,000 018 399 Ω
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9,999 864
V
2
A
Tabla de Cálculo de Incertidumbre
Magnitud
Estimado
Inc. Est.
Xi
xi
u(xi)
Resol. VI
Disp. VI
Incert.
εV
100,008 94 mV
0,003 9 mV
Estab. εV
Ind. II
Incert. εI
Estab. εI
RX
Coef. de
± 0,029 µV
Sens.
Contribución de
Incertidumbre
ci
ui(y)
9,999 68
± 0,593 µV
± 0,95 µV
- 9,999 68
-0,003 2 mA
± 0,29 µΩ
A
± 5,93 µΩ
1
± 9,50 µΩ
A
± 2,3 µV
100 mA
1
± 23,00 µΩ
No es Fuente de Incertidumbre
± 0,8 µA
± 3,3 µA
9,999 864
1,000 018 399 Ω
V
2
A
± 8,00 µΩ
± 33,00 µΩ
± 42,51 µΩ
u (y) = c u(x )
i
i
i
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2
u (y) = ∑u (y)
C
i
d) Determinación de incertidumbre expandida
U=k uc(y)
GUM 6.3.1
Se elige k en base al nivel de confianza requerido:
k = 2 para ρ ≈ 95 %
k = 3 para ρ ≈ 99 %
(posible subestimación)
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GUM G.6.4
Obtener:
k = t(ν )
eff
donde la distribución t de Student depende de los
grados efectivos de libertad de la incertidumbre
estándar combinada.
u (y)4
ν
=⎛ c
⎞
⎟
eff ⎜⎜
4
u (y) ⎟⎟
⎜
⎜
⎟
i
⎜
⎟
⎜∑
⎟
⎜
⎟
ν
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
i
⎝
⎠
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Grados de libertad
1) Resolución de VI: ν = ∞ (ν = 10 000)
2) Dispersión de VI: ν = n – 1 = 15
3) Incertidumbre de εV: ν = 100
4) Estabilidad de εV: ν = 100
5) Incertidumbre de εI: ν = 100
6) Estabilidad de εI: ν = 100
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Tabla de Cálculo de Incertidumbre
Coef.
Magnitud
Estimado
Inc. Est.
Xi
xi
u(xi)
Contr. de
Incert.
Grados de
Libertad
ui(y)
νi
1
± 0,29 µΩ
10 000
A
1
± 5,93 µΩ
15
± 9,50 µΩ
100
A
± 23,00 µΩ
100
de
Sens.
ci
Resol. VI
Disp. VI
Incert. εV
Estab. εV
Ind. II
Incert. εI
Estab. εI
RX
100,008 94 mV
0,003 9 mV
± 0,029 µV
± 0,593 µV
± 0,95 µV
± 2,3 µV
- 9,999 68
No es Fuente de Incertidumbre
100 mA
-0,003 2 mA
9,999 68
± 0,8 µA
± 3,3 µA
9,999 864
1,000 018 399 Ω
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V
2
A
± 8,00 µΩ
100
± 33,00 µΩ
100
± 42,51 µΩ
219
u (y)4
ν
=⎛ c
⎞
⎟
eff ⎜⎜
4
⎟
u
(y)
⎜
⎟
⎜
⎟
i
⎜
⎟
⎜∑
⎟
⎜
⎟
ν
⎜
⎟
⎜⎜
i ⎟⎟⎠
⎝
De la distribución t:
k = t = 2,01
para νeff = 219 y ρ ≈ 95 % (95,45 %)
Por lo tanto:
U = 2,01 ( ± 42,51 µΩ ) = ± 85,45 µΩ
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e) Expresión de resultados
RX = 1,000 018 399 Ω ± 85,45 µΩ
k=2,01 para un nivel de confianza de aprox. 95 %
GUM 7.2.6
“usualmente es suficiente expresar la
incertidumbre con a lo más dos dígitos
significativos”
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Resultado Final:
RX = 1,000 018 Ω ± 85 µΩ
k=2,0 para un nivel de confianza de aprox. 95 %
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Hoja Electrónica de Cálculo
Xi
Resol. VI
Disp. VI
Incert. εV
Estab. εV
Ind. II
Incert. εI
xi
0.100 008 94
0.000 003 9
-0.000 003 2
ci
0.000 000 029
0.000 000 593
0.000 000 95
0.000 002 3
9.999 68
-9.999 68
ui(y)
νi
0.000 000 29
10000
0.000 005 92
15
-0.000 009 50
100
-0.000 023 09
100
No es fuente de Incertidumbre
0.100 000 0
Estab. εI
Rx
u(xi)
0.000 000 8
9.999 864
0.000 003 3
1.000 018 399
U, k
0.000 008 00
100
0.000 033 49
100
0.000 042 94
218
0.000 086 38
2.01
RX = 1,000 018 Ω ± 86 µΩ
k=2,0 para un nivel de confianza de aprox. 95 %
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OBSERVACIONES
La tabla de cálculo de incertidumbre:
9 Puede formar parte de los resultados.
9 Generalmente es un registro del cálculo
de incertidumbre.
9 Su diseño sólo se realiza una sola vez.
9 Debe soportarse en el procedimiento de
calibración.
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CONCLUSIONES
‡ La uniformización es posible brindando
mayor claridad y confianza.
‡ La “tabla” contiene los elementos
indispensables para calcular incertidumbre
conforme a la GUM.
‡ Su implementación en hojas de cálculo
electrónicas es sencilla.
‡ Permite detectar componentes críticas.
‡ Conforma evidencia documental.
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