Introducción a la Teoría PCF _________________________________ INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF ALEXANDER AMEZQUITA OCHOA FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS 13 DE DICIEMBRE DE 2003 1 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 2 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF ALEXANDER AMEZQUITA OCHOA TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TITULO DE MATEMÁTICO DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA MATEMÁTICO. PROFESOR FACULTAD DE MATEMÁTICAS. FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS 13 DE DICIEMBRE DE 2003 3 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 4 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ RESUMEN RESUMEN. Los problemas relacionados con la Hipótesis del Continuo son uno de los intereses centrales de la teoría de conjuntos y de la lógica. La manera en la que la primera ha tratado de atacar este tópico ha sido a través de la aritmética cardinal, y en especial, mediante el estudio de los cardinales regulares y singulares. Los resultados mas importantes en este sentido son presentados por la denominada teoría PCF, y los conceptos centrales para tener un acercamiento a esta teoría se presentan en este trabajo. ABSTRACT. The questions related with the Continuum Hypothesis are one of the central interests of the set theory and the logic. The way that the first one has deal with this topic has been through the Cardinal Arithmetic, especially, by means of the study of regular and singular cardinals. The most important products are introducing by the named PCF theory, and the central concepts that are enough to approach this theory are introducing in this paper. 5 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Índice General Introducción........................................................................................ Introducción a la Teoría PCF....................................................... Planteamiento del Problema............................................... Una Breve Historia...................................................................... Capitulo 1. Teoría Axiomática de Conjuntos.................................. 1.1 Introducción........................................................................... 1.2 Teoría Axiomática de Conjuntos Zermelo – Fraenkel........... 1.3 Funciones............................................................................... Capitulo 2. Números Ordinales......................................................... 2.1 Los Números Naturales.......................................................... 2.2 Los Números Ordinales.......................................................... 2.3 Axioma de Elección............................................................... Capitulo 3. Los Números Cardinales................................................ 3.1 Números Cardinales............................................................... 3.2 Conjuntos Finitos e Infinitos.................................................. 3.3 Aritmética Cardinal................................................................ 3.4 Aritmética Cardinal Infinita................................................... Capitulo 4. El Problema de los Cardinales Singulares................... 4.1 La Hipótesis del Continuo...................................................... 4.2 Cardinales Regulares y Singulares......................................... 4.2.1 Cofinalidad................................................................. Capitulo 5. Conclusiones.................................................................... 5.1 Conclusiones.......................................................................... 5.2 Recomendaciones................................................................... Referencias.......................................................................................... 6 8 10 10 13 18 18 18 29 33 33 39 43 46 46 52 53 55 58 58 61 61 65 65 66 69 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 7 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ INTRODUCCIÓN Una de las preocupaciones fundamentales de la matemática ha sido y es todavía encontrar el orden de sus propios productos científicos. Las matemáticas produce en cada una de sus ramas diferentes conocimientos, y estos deben ser ordenados y sistematizados de manera tal que puedan construirse como teorías, para lo cual ella misma ha creado conceptos tales como conjunto, colección, clase, cuerpo, anillo, grupo. Estos conceptos y otros mas, algunos de ellos intuitivos, han servido para ordenar tales conocimientos, pero al constituir ellos mismos sistemas se han encontrado paradojas, y de ellas han emergido nuevas preocupaciones, nuevos problemas. Uno de tales sistemas lo ha constituido la Teoría de Conjuntos, aquella que se ocupa de la definición de los conjuntos, de la ordenación y estructuración de las agrupaciones de elementos que constituyen el todo detrás de cada operación matemática. Baste para demostrar esto recordar como cada axioma, teorema o proposición comienza con una sentencia como esta: Sea A el conjunto de ... tal(es) que ... Con su configuración y desarrollo, esta teoría ha tenido que enfrentarse con diferentes paradojas e inconsistencias que han terminado por definirla como una de las ramas de la 8 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ matemática que mas se ha desarrollado fundamentada en bases tan seguras de su veracidad como de su falsedad. Y todo ello ha seguido siempre la misma dirección. Esta es una afirmación que debería demostrarse, pero la histórica matemática de la teoría de conjuntos ha de presentar suficientes evidencias al respecto. Tal comprobación histórica afirma que: de una manera somera, general y amplia, la teoría de conjuntos es un estudio del concepto de infinito. Esto es así porque dentro de lo que podríamos definir como la teoría de conjuntos finita, aquella que trata con colecciones de elementos que pueden ser contados, e incluso aquella cuyo objeto de estudio es fácilmente comparado con la realidad, las definiciones, aun cuando siguen siendo intuitivas, no presentan contradicciones, no se presentan confusiones. Pero inmediatamente empezamos a trabajar con cantidades infinitas, con colecciones infinitas de elementos y las comparaciones con la realidad se hacen imposibles, las paradojas y los problemas comienzan a aparecer. La teoría de conjuntos, por tal razón, ha construido sistemas axiomáticos lo suficientemente poderosos como para hacer manejables las operaciones a un nivel finito, mensurable. Tales sistemas se han modificado, se han adecuado a lo largo de la historia a los diferentes descubrimientos que la misma teoría ha hecho, y ello ha permitido que se pueda hoy hablar de un sistema axiomático que permite realizar operaciones no triviales con conjuntos infinitos. Expliquemos un poco algunos de estos argumentos. Por sistema axiomático entenderemos al conjunto finito de afirmaciones sobre las que se sustenta una teoría. Tales afirmaciones por su carácter fundamental, no poseen medios para demostrarse a ellas mismas, son verdad por solas, no es necesario seguir una prueba sistemática para saber si se puede trabajar con ellas, son las bases o verdades de la teoría. A la manera de la filosofía son nuestros juicios sintéticos a priori, así, de la misma manera en que en toda ciencia hay verdades incuestionables como todo efecto es producido por una o múltiples causas, así también la 9 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ teoría que nos ocupa construye, por decirlo así, mundos en los que ciertas verdades son irrefutables y sobre las que se busca ordenar el conocimiento. Por operaciones no triviales consideramos aquellas que no tienen una solución trivial, es decir, ordinaria o fácilmente identificable a través de la comparación con otras semejantes. En este sentido, veremos a continuación como la teoría de conjuntos ha tratado no solamente con los problemas y el estudio sistemático del infinito, sino también con sus operaciones no triviales, aquellas que no se deducen de las operaciones con finitos, por ejemplo. De esta manera, a partir de un sistema axiomático, la teoría de conjuntos se ha enfrentado al problema de ciertas operaciones no triviales relacionadas con un conjunto de números llamados transfinitos. Tal operación no trivial se denomina exponenciación cardinal. Ambos, conceptos-conjunto y operación son las herramientas claves para llevar a cabo la labor que nos proponemos. Plantearemos la cuestión en los términos de una propuesta de trabajo y finalmente expondremos la manera en la que interactúan estas herramientas INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF. Planteamiento del Problema. Uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos es el de la hipótesis del continuo. Si bien la teoría de conjuntos se creo con la intención de ordenar las matemáticas tanto en su enseñanza como en las demostraciones y el sentido central de la misma, las paradojas que generó en poco o nada ayudaron a tal objetivo. 10 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Dentro de tales problemas y paradojas, la hipótesis del continuo se eleva como un punto central sobre el que la teoría de conjuntos puede mas bien aportar, si no a la ordenación de las explicaciones, sí a aplicaciones en amplios campos de la matemática como la topología. Lo que se demuestra en el desarrollo histórico, es que más que un catalizador universal de ordenación de la matemática, la teoría de conjuntos se ha convertido en una herramienta universal para el ataque de problemas de diversos ámbitos de la misma. Lo mismo que en la física las teorías de luz, divididas en aquellas que consideran la luz como un conjunto de corpúsculos y aquellos que la consideran una onda, han resuelto importantes problemas de esta ciencia de manera separada e independiente, es decir, muchos se resuelven bajo la suposición de la primera y la negación de la segunda, y otros muchos de manera inversa, en la matemática muchos son los problemas que se resuelven suponiendo construcciones axiomáticas de la teoría de conjuntos (como puede ser ZermeloFraenkel) y la veracidad de la Hipótesis del Continuo (HC de aquí en adelante) e igualmente muchos los que encuentran solución suponiendo las mismas construcciones axiomáticas y la nulidad de HC. De esta manera, la HC se convierte en uno de los núcleos alrededor de los cuales la teoría de conjuntos contribuye como herramienta al desarrollo de la matemática. Frente a esta situación, la matemática contemporánea ha encontrado en aquella de sus especialidades denominada “Teoría avanzada de conjuntos” y más específicamente en el campo de la exponenciación cardinal, un posible planteamiento acerca de la hipótesis del continuo, que oponiéndose a posiciones intuicionistas, ha accedido a su análisis a través de la metodología de las demostraciones por contradicciones y la presentación de contraejemplos. Resultado de estos análisis, podemos presentar la obra cumbre del matemático Sharon Shelah, publicada bajo el titulo de Cardinal Arithmetic, y que contiene toda una sustentación teórica de la posibilidad de construir “contraejemplos” a la HC, a través del 11 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ estudio de las posibles cofinalidades, dando origen a lo que hoy día se denomina Teoría PCF (Posibles CoFinalidades). En tal planteamiento se encuentra el hallazgo cumbre de dicha teoría y es el teorema que Shelah plantea como el primer contraejemplo a la HC, y que se formula de la siguiente manera: Teorema 1. Shelah hacia 1990 ℵ0 2 < ℵω ⇒ ℵω 0 < ℵω 4 . ℵ El cual plantea que la primera cota para los contraejemplos a la hipótesis del continuo es el cuarto cardinal limite. Esta presentación tiene por objeto realizar una introducción a los conceptos de la teoría de conjuntos que son necesarios para emprender el camino de la comprensión de este resultado de Shelah. Su aritmética cardinal es un producto complejo, de un alto nivel de abstracción, por eso, el acercamiento a la teoría PCF requiere de amplios conocimientos en teoría de conjuntos, teoría combinatoria de conjuntos y topología, por lo que se propone este trabajo es presentar un acercamiento didáctico a los conceptos fundamentales, realizando las demostraciones básicas de la teoría de conjuntos y haciendo la presentación de teoremas, proposiciones y corolarios básicos para hacerse una idea de los problemas de la exponenciación cardinal que construyen lo que se denomina el problema de los cardinales singulares. Clarificar de manera introductoria, y con la intención de generar interés y preguntas acerca este problema, los conceptos centrales de este tópico son los objetivos de esta investigación. 12 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ UNA BREVE HISTORIA. En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis. Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma de línea recta. Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas. El campo de aplicación del análisis matemático creció rápidamente merced a un sin fin de investigadores de los métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes, 13 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Thomson, Hamilton, Maxwell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la nueva mecánica. Así, a finales del siglo XIX, Cantor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual. Todos los argumentos dados, señala Cantor, en contra del infinito han sido insensatos, ya que han tratado la aritmética de los números infinitos como una extensión de la aritmética de los números finitos. Uno de los objetivos de su obra era demostrar que no había ninguna razón para aceptar las viejas ideas en contra del infinito actual. Si los conjuntos infinitos se comportan de manera diferente a los conjuntos finitos no quiere decir que estos sean inconsistentes, sino que obedecen a una aritmética diferente. Cantor demostró, contra la famosa aniquilación de lo finito por lo infinito, que los números infinitos eran susceptibles de ser modificados por los números finitos. También rechazó la distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial, ya que todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual. Georg Cantor, siguiendo los pasos de Bolzano, consideró que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar conjuntos infinitos. Si existe una biyección entre dos conjuntos, podemos decir que dichos conjuntos son equipolentes o tienen la misma potencia. El término de potencia de un conjunto dio paso al término de número cardinal. Bolzano introdujo las siguientes definiciones de conjunto infinito: Un conjunto no vacio A es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente a {1,2,....,n}; de otra forma A es infinito. Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A; en cualquier otro caso A es finito. Cantor y Dedekind utilizaron esta definición reflexiva del infinito: Cantor: Un conjunto finito es uno cuya potencia es un entero positivo. Para tal conjunto todo subconjunto propio tiene una potencia menor, mientras que un conjunto infinito A 14 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ tiene la misma potencia que algún subconjunto propio de A. (Implícitamente dio estas propiedades cuando demostró que R y Rn tenían la misma potencia). Dedekind: Un conjunto A es Dedekind-infinito si algún subconjunto propio B de A es equipolente a A; en cualquier otro caso A es Dedekind-finito. Cantor: Por un conjunto finito entendemos un conjunto M, el cual surge a partir de un elemento original a través de la adición sucesiva de nuevos elementos de tal forma que el elemento original puede ser obtenido a partir de M eliminando sucesivamente los elementos añadidos en el orden reverso. (Esta es la primera definición explícita de un conjunto finito dada por Cantor). Cantor: Mientras que un conjunto finito siempre retiene el mismo número ordinal, independientemente de la forma en que estén ordenados sus elementos, un conjunto infinito puede ser reordenado de tal forma que tenga más de un ordinal. Cantor definió que dos conjuntos tenían el mismo número de elementos si existía una correspondencia biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos; a diferencia de Bolzano, quien concluyó que la existencia de una correspondencia entre dos conjuntos infinitos A y B no justificaba la inferencia de su igualdad, con respecto a la multiplicidad de sus miembros. La razón por la cual la definición de Cantor y sus consecuencias han sido aceptadas no es porque estén, ciertamente, mas cerca del uso común sino más bien porque son más útiles para la matemática. Aún hoy en día tendemos a pensar que existen más números naturales que números pares. Cantor consideraba tres contextos donde surge el concepto de infinito actual: primero cuando es realizado en la forma más completa, en un ser independiente de otro mundo, en Dios, al cual llamo el Infinito Absoluto o simplemente Absoluto; segundo cuando ocurre en lo contingente, en el mundo físico; tercero cuando la mente lo aprehende en abstracto como una magnitud matemática, número, o tipo de orden. 15 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Así, uno de los problemas más importantes de la teoría de conjuntos moderna y contemporánea trata con lo que se conoce como aritmética cardinal. De una lado, como lo afirmaba Cantor, es insensato pensar que el infinito es susceptible de ser manejado a través de la aritmética finita; de otro, conocido este hecho, la construcción de una sólidas bases para una aritmética cardinal permitirán tratar con estas cantidades y conjuntos de manera científica y no solamente metafísica. 16 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 17 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ CAPITULO 1. LA TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS 1.1. INTRODUCCIÓN. No podemos comenzar una explicación coherente de los problemas derivados de los cardinales sin llegar a su construcción clara. Tales cuestiones de constitución del problema debe atacarse a partir de una exposición clara y sencilla de la teoría de conjuntos que recibió en su seno tal problema. Esta sección estará dedicada entonces a una explicación de cada uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel, y de sus consecuencias más importantes. 1.2. TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS. ZERMELO – FRAENKEL «Una variedad (una totalidad, un conjunto) de elementos pertenecientes a cualquier esfera conceptual se dice “bien definida" si sobre la base de su definición y como consecuencia 18 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ del principio lógico del tercio excluido, puede ser considerado como internamente determinado, por una parte, si cualquier objeto perteneciente a esta esfera conceptual pertenece o no como elemento a dicha variedad y, por otra, si dos objetos pertenecientes al agregado son o no iguales entre sí, aparte de las diferencias formales en la manera en la que estén dados.» G. Cantor. «Entendemos por “conjunto" cualquier agrupación en un todo M de determinados objetos bien diferenciados m de nuestra intuición o de nuestro pensamiento (llamados “elementos" de M).» G. Cantor. Como decíamos en la introducción, un sistema axiomático es una de las herramientas fundamentales de la matemática en su intento de dotar de claridad científica a sus producciones. Los axiomas de Zermelo Fraenkel son una construcción abstracta que permite trabajar con los conjuntos. A continuación presentamos tales axiomas. Pero antes de llevar a cabo esta tarea es necesario que formalicemos un leguaje que nos permita notar claramente cada uno de estos axiomas. Tal leguaje debe estar constituido por símbolos básicos y por reglas que permitan crear expresiones a partir de tales símbolos. Los símbolos que conformaran nuestro leguaje son los siguientes: 1. Variables: serán las ultimas letras del alfabeto latino, mayúsculas o minúsculas, con la posibilidad de usar subíndices. X , Y , Z , x, y, z , x1 , x2 ,... 2. Constantes: las primeras letras del alfabeto latino; nos servirán para designar conjuntos específicos. A, B, C, a, b, c,… 3. Símbolo de pertenencia: ∈. 4. Símbolo de igualdad: =. 19 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 5. Conectivos lógicos: los símbolos habituales para la negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia. ¬,∧,∨, →, ↔ . 6. Cuantificadores: en su uso habitual. ∀,∃. 7. Paréntesis: untados como signos de puntuación ( , ). Cualquier cadena finita constituida por estos símbolos representara una expresión, pero es necesario definir las reglas de lo que constituirán las expresiones aceptables dentro de nuestro lenguaje: 1. X ∈ Y , X = Y . Son formulas de nuestro lenguaje, y llamaremos formulas a aquellas expresiones que pertenecen al lenguaje. 2. Si φ yϕ son formulas del lenguaje, también lo son (φ ∧ ϕ ) (φ ∨ ϕ ) (φ → ϕ ) (φ ↔ ϕ ). 3. Si ϕ es una formula de nuestro lenguaje, lo es también ¬ϕ . De la misma manera, X ∉ Y o X ≠ Y representaran ¬( X ∈ Y ) y ¬( X = Y ) respectivamente. 4. Si ϕ es una formula del lenguaje, entonces ∀xϕ y ∃xϕ son formulas del mismo, siempre y cuando x sea una variable. 5. Solo las expresiones resultado de la aplicación finita de estas reglas es consideradas una formula del lenguaje. Denominemos nuestro lenguaje a través de la letra L. 20 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ AXIOMA 1.2.1. AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD: “Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de Y es un elemento de X , entonces X es igual a Y ". Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales. Este axioma nos dice que lo que caracteriza a un conjunto son sus elementos. En L, este axioma se escribe ∀X∀Y (∀z ( z ∈ X ↔ z ∈ Y ) → X = Y ). Debemos además realizar una definición adicional. DEFINICIÓN 1.2.1. Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A está incluido en B, o de A es un subconjunto de B, lo cual se simboliza: A ⊆ B. AXIOMA 1.2.2. AXIOMA DEL CONJUNTO VACÍO: “Existe un conjunto que no contiene ningún elemento". En L escribimos ∃X∀x x ∉ X . Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al menos un conjunto. LEMA 1.2.1. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento. 21 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEMOSTRACIÓN. Supongamos que existen dos conjuntos distintos a y b ambos sin elementos. Por Axioma 1.2.1 ∃x((x ∈ a ∧ x ∉ b ) ∨ ( x ∉ a ∧ x ∈ b )) una contradicción. Luego hay un único conjunto vacío. ∴ DEFINICIÓN 1.2.2. El (único) conjunto que no tiene elementos se llama el conjunto vacío y se le denota: ∅ AXIOMA 1.2.3. AXIOMA DE SEPARACIÓN: “Si ϕ ( x ) es una fórmula de L y X es un conjunto, entonces existe un conjunto Y cuyos elementos son aquellos elementos de X que verifican ϕ (x ) ".1 En L escribimos ∀X∃Y ∀z ( z ∈ Y ↔ z ∈ X ∧ ϕ ( x )) 1 Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir el conjunto de todos los conjuntos que verifican una propiedad cualquiera ϕ ( x ) . Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, sólo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto dado, verifican la propiedad en cuestión. Veamos que esta restricción evita que se produzca la paradoja. Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A , el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto R = {x ∈ A : x ∉ x} En este caso tenemos que si R ∉ R , entonces R ∈ A y R ∉ R , lo cual es una contradicción, luego R ∉ R lo que a diferencia de antes no es una contradicción, y solo implica que R ∉ A. 22 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por ϕ (x ) ) y cualquier conjunto A, existe el subconjunto de A formado por los elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjunto es único. DEFINICIÓN 1.2.3. Si ϕ (x ) es una fórmula de L y A un conjunto, el conjunto cuya existencia está garantizada por Axioma 1.2.3. se denotará con el símbolo {x ∈ A : ϕ ( x )} y se lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ (x ) ". TEOREMA 1.2.1. No existe el conjunto de todos los conjuntos. DEMOSTRACIÓN. Supongamos que si existe y llamémoslo V . Entonces en virtud de Axioma 1.2.3. podemos construir el conjunto de Russell: R = {x ∈ V : x ∉ x} , contradicción. ∴ Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino más bien un esquema. En efecto, para cada fórmula ϕ ( x ) de L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de instancias de este axioma. AXIOMA 1.2.4. AXIOMA DE PARES: “Dados dos conjuntos X e Y, existe un conjunto cuyos únicos elementos son X e Y ". Su expresión en L es ∀X∀Y∃Z ∀x( x ∈ Z ↔ x ∈ X ∨ x ∈ Y ) 23 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Resulta claro por Axioma 1.2.1. que este conjunto es único. Lo denotamos {X , Y } y lo llamamos el par no ordenado X, Y. El Axioma 1.2.1. también garantiza la existencia del conjunto cuyo único elemento es el conjunto X {X , X } = {X } el que a menudo recibe el nombre de singleton X . AXIOMA1.2. 5. AXIOMA DE UNIONES: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de X ". En L escribimos ∀X∃Y ∀z ( z ∈ Y ↔ ∃U ( z ∈ U ∧ U ∈ X )) Nuevamente por Axioma 1.2.1., este conjunto es único, se llama la unión de X y se le denota U X . Un caso particular que merece una notación especial es el siguiente. Si X e Y son conjuntos, entonces existe U {X ,Y }. Entonces x ∈ U{X , Y } ↔ ( x ∈ X ∨ x ∈ Y ) 24 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ U {X , Y } se llama la unión de X e Y, y se le denota X U Y . Corresponde al conjunto de todos los conjuntos que pertenecen ya sea a X o a Y (o a ambos). Más generalmente, dados los conjuntos X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n de manera análoga al caso de la unión de dos conjuntos, definimos X 1 U X 2 U ... U X n = U{X 1 , X 2 ,..., X n } de tal manera que x ∈ X 1 U X 2 U ... U X n ↔ x ∈ X 1 ∨ x ∈ X 2 ∨ ... ∨ x ∈ X n . La teoría de conjuntos mas generalizada nos permite cierta familiaridad con la unión de dos o de una cantidad finita de conjuntos; el Axioma 1.2.5. generaliza este concepto a la unión de una familia arbitraria, incluso infinita, de conjuntos. Observemos que para definir la unión de dos conjuntos son necesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el Axioma de Extensionalidad (para garantizar unicidad). DEFINICIÓN 1.2.4. Otra generalización de un concepto familiar es el de intersección de un conjunto no-vacío X, en símbolos, I X , definida por I X = {x ∈ U X : ∀B(B ∈ X → x ∈ B )} Observemos que en virtud del Axioma 1.2.5. y del Axioma 1.2.3., I X es efectivamente un conjunto. DEFINICIÓN 1.2.5. La intersección de dos conjuntos X e Y , X I Y , se define por 25 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ X I Y = I{X , Y } y en general X 1 I X 2 I ... I X n = I{X 1 , X 2 ,..., X n } Diremos también que dos conjuntos X e Y son disjuntos si X IY = ∅ TEOREMA 1.2.2. I A ⊆ U A. DEMOSTRACIÓN. Si x ∈ I A , entonces, por definición 1.2.4., 1). ∀B(B ∈ A → x ∈ B ) ∧ ∃B(B ∈ A) de lo cual se puede afirmar que ∃B(B ∈ A ∧ x ∈ B ) así, por el axioma 1.2.5., x ∈ U A , y por la definición 1.2.1. I A ⊆ U A. ∴ AXIOMA 1.2.6. AXIOMA DEL CONJUNTO POTENCIA. “Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los subconjuntos de X ". Esto es: ∀X∃Y ∀Z ( Z ∈ Y ↔ Z ⊆ X ) 26 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ El (único) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa por PX y se llama el conjunto potencia de X . AXIOMA 1.2.7. AXIOMA DE REGULARIDAD. “Todo conjunto no vacío contiene un elemento con el que no comparte ningún elemento." En L escribimos ∀x( x ≠ ∅ → ∃y ( y ∈ x ∧ y I x = ∅ )) A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulación, este axioma impide la existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o incluso a ∈ b ∈ a , etc. TEOREMA 1.2.3. i) ∀x x ∉ x. ii) ∀x∀y ( x ∉ y ∨ y ∉ x). iii) En general, no existen a1 , a2 , a3 ,..., an tales que a1 ∈ a2 ∈ a3 ∈ ... ∈ an ∈ a1. iv) No existen conjuntos a1 , a2 ,..., an tales que ... ∈ an ∈ ... ∈ a2 ∈ a1. DEMOSTRACIÓN. i) Supongamos que existe a tal que a ∈ a, entonces A = {a}, lo que contradice el Axioma 1.2.7. ii) Idem i) con A = {x, y} iii) Idem i) con A = {a1 , a2 ,..., an } iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son precisamente a1 , a2 , a3 ,... Llamémoslo A . Entonces A contradice al Axioma 1.2.7. ya que para cualquier y ∈ A, digamos y = am para algún m , am +1 ∈ am y am +1 ∈ X , o sea y I X ≠ ∅ . 27 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ AXIOMA 1.2.8. AXIOMA DEL CONJUNTO INFINITO. “Existe un conjunto que tiene infinitos elementos". Para escribirlo en el lenguaje L debemos usar una expresión no muy transparente. ∃X (∅ ∈ X ∧ ∀y ( y ∈ X → y U {y} ∈ X )) Es claro que el conjunto así formado es intuitivamente infinito. ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}},... Para introducir el último axioma de ZF, debemos estudiar antes un cierto tipo de fórmula de L. Una fórmula ϕ ( x, y ) de L con dos variables libres x e y se denominará función proposicional si para todo conjunto a existe un único conjunto b tal que ϕ ( x, y ) se verifica. Ejemplos de éstas son las fórmulas ϕ ( x, y ) siguientes: y = U x. y = Ρx. y = x U {x}. y = x I a. donde a es un conjunto fijo, etc. AXIOMA 1.2.9. AXIOMA DE REEMPLAZO. “Si ϕ ( x, y ) es una función proposicional y A es un conjunto, entonces existe el conjunto de los elementos b que verifican ϕ ( x, y ) para algún a ∈ A". Expresado en L, tenemos 28 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ ∀X∃Y ∀y ( y ∈ Y ↔ ∃x( x ∈ X ∧ ϕ ( x, y ))) La idea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una función f cuyo dominio es A, f [A] = { f ( x ) : x ∈ A} , es también un conjunto. El problema se suscita cuando vemos que en nuestra teoría la “función" x a Ρx no es un objeto de la misma, es decir, no es un conjunto, sino que corresponde a lo que llamamos una clase propia. Nuestro lenguaje nos permite referirnos a dichos objetos mediante la fórmula que los define. Así, ϕ ( x, y ) no es una función dentro de nuestra teoría sino más bien una regla que nos permite asociar a cada elemento de un conjunto A un único elemento. El problema aquí es que el dominio de esta función es la clase de todos los conjuntos que, como ya vimos, no es un conjunto. Sin embargo, cuando restringimos dicho “dominio" a un conjunto A, el Axioma 9 garantiza que existe el recorrido de la función. Deberíamos ahora definir el concepto matemático que da origen al problema del continuo: la Función. 1.3. FUNCIONES. Siendo uno de los conceptos mas importantes de la matemática, la función puede ser definida intuitivamente como la regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro conjunto, no necesariamente distinto. Pero de manera mas formal, deberíamos definir 29 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEFINICIÓN 1.3.1. Una relación2 F es una función si y solo si ∀x∀y∀z (( x, y ) ∈ F ∧ ( x, z ) ∈ F → y = z ) DEFINICIÓN 1.3.2. i) Si F es una función, Dom F = a, y Re c F ⊆ b decimos que F es una función de a en b, y escribimos F :a ab x a f (x ) ii) F es una función inyectiva o uno a uno si ∀x∀y (F ( x ) = F ( y ) → x = y ) iii) Una función F de a en b se dice sobreyectiva si ∀y ( y ∈ b → ∃x( x ∈ a ∧ y = F ( x ))) El interés fundamental de este capitulo es poner algunos elementos centrales que ayuden a la comprensión del problema del continuo y sobretodo de la propuesta de la teoría de posibles cofinalidades. En ese objetivo, es necesario presentar a continuación una definición que si bien podría hacer parte de otra sección del trabajo, nos ayudara a comprender mejor la sección inmediatamente siguiente, antes de entrar en el concepto de cardinalidad. Cantor propone una noción referente a la potencia de los conjuntos. Podemos decir según esto, que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos si existe una función de correspondencia 1-1 entre ellos. Esta situación se denomina equipotencia. 2 Debemos asumir aquí las definiciones regulares de relaciones como puede ser la del conjunto formado por pares ordenados. Asumimos así mismo las definiciones usuales de producto cartesiano y par ordenado. En ese sentido, las definiciones de Dominio, Recorrido, Función Inversa, Imagen, etc., deben ser tomadas de la misma manera que en las relaciones. 30 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Definición 1.3.3. i) A ≈ B bajo f, si y solo si f es una función 1-1 cuyo dominio es A y cuyo recorrido es B. ii) A ≈ B , si y solo si existe una función f tal que A ≈ B bajo f. En este caso, el símbolo ≈ representa equipotencia, y se utilizara así en adelante. 31 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 32 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ CAPITULO 2. NÚMEROS ORDINALES Como se introdujo en la sección inicial, el problema del continuo se refiere en primera instancia al cardinal de los números naturales. La noción de cardinalidad, aunque ya ha sido de cierta manera introducida intuitivamente, posteriormente será clarificada y formalizada, lo que nos deja frente a la necesidad de formalizar los conceptos relacionados con los números naturales. 2.1. LOS NÚMEROS NATURALES. Dentro de la formalización de los números naturales de nuestra teoría axiomática ZF, es necesario recurrir a una definición inicial. DEFINICIÓN 2.1.1. El sucesor de un conjunto x es el conjunto Sx = x ∪ {x} . Debemos observar además, que su x es un conjunto, Sx también lo es. Esto es por Axioma 1.2.1. y Axioma de Uniones. 33 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEFINICIÓN 2.1.2. 0=∅ 1 = S 0 = {∅} 2 = S1 = {∅, {∅}} 3 = S 2 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} . . . Cada uno de estos conjuntos es un número natural. En general, podríamos decir que Sn = {0,1,2,..., n} todo número natural está formado por los naturales que lo preceden, exceptuando el 0, que no posee elementos. De aquí, la definición de número natural, como la clase de todos los conjuntos que poseen tal cantidad de elementos. La pregunta que cabría ahora, ¿existe un conjunto que contenga a todos y solamente a los números naturales?. Esta respuesta no es obvia. El conjunto de los números naturales se construye de la siguiente manera. DEFINICIÓN 2.1.3. Decimos que X es inductivo si i) 0 ∈ X . ii) Si x ∈ X , entonces Sx ∈ X . Gracias al Axioma de Infinito, sabemos que existe al menos un conjunto inductivo. Denominémoslo I. 34 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEFINICIÓN 2.1.4. El conjunto ω de los números naturales se define como sigue: ω = I{x ∈ PI : x es inductivo} Debemos observar que ω es inductivo, y que si X es inductivo, ω ⊆ X , de lo cual, ω es el mas pequeño de los conjuntos inductivos. Debe quedar claro que ningún otro conjunto que no sea un número natural pertenece a ω . Para que esto sea mas evidente, demostremos el siguiente teorema, denominado principio de inducción. Este principio puede enunciarse bien a través de formulas o bien a través de relaciones. Por su simplicidad enunciaremos el principio a través de relaciones. TEOREMA 2.1.1. Sea B un conjunto tal que. (Principio de Inducción) i) 0 ∈ B. ii) Para todo n, si n ∈ B , entonces Sn ∈ B. Entonces ω ⊆ B. DEMOSTRACIÓN. Sea B = {x ∈ ω : x = 0 ó x es el sucesor de un número natural} como, es claro que, B es inductivo, tenemos que ω ⊆ B ⊆ ω ∴. Nótese que 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ ... y támbien que 0 ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ 3 ⊆ ... 35 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ L o que nos podría dar una noción de orden apropiado para los números naturales. Pero las cosas son al revés, los naturales se definen así para que la relación de pertenencia posea buenas propiedades de orden. DEFINICIÓN 2.1.5. La relación ≤ se define en ω por: m≤n m∈n si y solo si ó m=n Diremos que m es menor o igual que n. También debemos usar el símbolo < para denotar m<n si y solo si m≤n y m≠n Podemos decir de otra manera, que m<n si y solo si m ∈ n. Dentro de los objetivos de este trabajo, es necesario demostrar que esta relación es de orden lineal, y mas aun, que se trata de un buen orden, para ello es lo siguiente. LEMA 2.1.1. Para todo n, m ∈ ω , i) 0 ≤ n. ii) Si x ∈ n, entonces x ∈ ω . iii) m < Sn si y solo si m ≤ n. iv) Si n < m, entonces Sn ≤ m. DEMOSTRACIÓN. i) Por inducción con ϕ (x ) = 0 ≤ x. - ϕ (0 ) se verifica. - Supongamos ahora que se verifica ϕ ( x ). 36 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Es decir, 0 ≤ x, es decir 0 ∈ n ó 0 = n. En cualquier caso 0 ∈ n ∪ {n} = Sn, o sea ϕ (Sn ) se verifica. Luego, en virtud del principio de inducción, para todo n ∈ ω , 0 ≤ n. ii) Por inducción sobre n. Sea ϕ ( x ) = ∀y ( y < x → y ∈ ω ) - ϕ (0 ) se verifica trivialmente. - Supongamos ϕ (m ) y sea y ∈ Sm . Entonces y ∈ m ó y = m . Si y ∈ m , entonces por hipótesis de inducción, y ∈ ω . Si y = m, entonces y ∈ ω . En cualquier caso y ∈ ω . Luego por principio de inducción, todo n ∈ ω verifica ϕ ( x ) . iii) m < Sn si y solo si m ∈ Sn = n ∪ {n} si y solo si m ≤ n. iv) Por inducción sobre m. Consideramos ϕ ( x ) = ∀y ( y < x → Sy ≤ x ) - ϕ (0 ) se verifica trivialmente. - Supongamos ϕ (m ) , o sea, ∀y ( y < m → Sy ≤ m ) . Supongamos que y < Sm , entonces, y ∈ m ó y = m . Si y ∈ m , por hipótesis de inducción, Sy ≤ m y luego Sy ≤ Sm . Si y = m, entonces Sy = Sm . En cualquier caso, si Sy ≤ Sm , es decir, ϕ (Sm ) se verifica. Luego por principio de inducción, para todo m ∈ ω verifica ϕ (m ) .∴ TEOREMA 2.1.2. ≤ es un orden total sobre ω . 37 y < Sm , entonces, Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEMOSTRACIÓN. i). ≤ es obviamente reflexiva. ii). ≤ es antisimétrica. En efecto, supongamos que m ≤ n y n ≤ m , pero m ≠ n . Entonces m ∈ n y n ∈ m . Esto contradice el teorema 1.2.3. iii). ≤ es transitiva. Supongamos que k ≤ m y m ≤ n . Demostraremos que k ≤ n por inducción sobre n. Para ello sea ϕ ( x ) = ∀y ∀z (( z ≤ y ∧ y ≤ x ) → z ≤ x ) - ϕ (0 ) se verifica puesto que si k ≤ m y m ≤ 0 , m = 0 luego k ≤ 0 . - Si ϕ (n ) se verifica, consideremos k ≤ m y m ≤ Sn . Entonces m < Sn ó m = Sn. Si m < Sn , entonces por el lema 2.1. iii), m ≤ n y por hipótesis de inducción k ≤ n . Es decir k ∈ n ó k = n. En cualquier caso k ∈ Sn , o sea, k ≤ Sn . Si m = Sn, como k ∈ m ó k = m, tenemos k ∈ Sn ó k = Sn, es decir, k ≤ Sn . Esto completa la inducción, por lo que todo número natural n verifica ϕ (n ) , o sea, ≤ es transitiva. iv). ≤ es un orden total. Sean m y n dos números naturales. Demostraremos por inducción n que m < n ó m = n ó n < m. Para ello sea ϕ ( x ) = ∀y ( y < x ∨ y = x ∨ x < y ) - ϕ (0 ) se verifica por el lema 2.1. i). - Supongamos que ϕ (n ) se verifica. Entonces para todo m, m < n ó m = n ó n < m. Si m < n ó m = n, entonces m ∈ Sn , luego m < Sn. Si n < m, entonces Sn ≤ m por el lema 2.1.1. iv). Luego, por principio de inducción, ≤ es un orden total sobre ω . 38 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ A través de un planteamiento del principio de inducción denominado principio de inducción completa, es posible demostrar que ≤ es un buen orden. Pero en nuestra presentación es necesario utilizar el axioma de elección y el principio de buen ordenamiento, a partir de los cuales podremos decir que cualquier conjunto infinito puede ser bien ordenado, por lo que a partir de que los números naturales es un conjunto inductivo infinito, podemos decir que puede ser bien ordenado. Pasaremos de esta manera a los conceptos fundamentales de ordinales, dejando a su tiempo la presentación del axioma de elección y el principio de buen ordenamiento. 2.2. LOS NÚMEROS ORDINALES Los ordinales son conjuntos asociados con buenos ordenes, de hecho, son los ejemplos típicos de estos últimos en el sentido que todo buen orden es isomorfo a algún ordinal. DEFINICIÓN. 2.2.1. i). a es ∈ − transitivo si ∀x∀y (( x ∈ y ∧ y ∈ a ) → x ∈ a ) ii). a es un ordinal si a es ∈ − transitivo y todo elemento de a es ∈ − transitivo . Si x es un ordinal escribiremos Ord ( x ) . Obsérvese que Ord ( x ) es una fórmula de nuestro lenguaje en la que x aparece libre. Notación: usaremos las letras griegas minúsculas para denotar ordinales. Pero hasta el momento no hemos demostrado que los ordinales existan, o que haya un conjunto que se les equipare. Observemos el siguiente desarrollo tratando de analizar este problema. 39 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ TEOREMA 2.2.1. i). 0 es un ordinal. ii). Ord ( x ) → Ord (Sx ) . iii). ∀x( x ∈ ω → Ord ( x )) . iv). Ord (ω ) . DEMOSTRACIÓN. i). Ord (0) trivialmente ya que 0 = ∅ . ii). Supongamos que x es ordinal. Entonces x es ∈ − transitivo y todo elemento de x es ∈ − transitivo . Como Sx = x ∪ {x} , todo elemento de Sx es ∈ − transitivo . iii). Consideramos la fórmula ϕ ( x ) = Ord ( x ) . Por i) y ii) y por principio de inducción, todo número natural es un ordinal. iv). El lema 2.1.1. ii) demuestra que ω es ∈ − transitivo . Si n ∈ ω iii) nos demuestra que n es ∈ − transitivo . Luego Ord (ω ) . Podemos pensar en conjuntos como {{0}} y darnos cuenta fácilmente que no es ∈ − transitivo , lo que nos dice que no todo conjunto es un cardinal, lo mismo que, por ejemplo, ningún par ordenado a, b es un ordinal. TEOREMA 2.2.2. Si C es un conjunto de ordinales, entonces U C también es un ordinal. DEMOSTRACIÓN. Supongamos x ∈ y ∈ UC . Entonces existe α ∈ C tal que y ∈ α . Como x ∈ y ∈ α y este último es ∈ − transitivo , x ∈ a y por lo tanto x ∈ UC , es decir, U C es ∈ − transitivo . Sea x ∈ UC . Entonces existe α ∈ C tal que x ∈ α , entonces, x también es ∈ − transitivo . Por lo tanto U C es un ordinal.∴ 40 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Aunque se podrían trabajar muchas mas propiedades de los números ordinales, es preciso llegar al tema central de esta presentación, por lo que avanzaremos hacia las definiciones principales. DEFINICIÓN 2.2.2. Sea α un ordinal. Definimos la relación ≤ en α como sigue. Para x, y ∈ α x≤ y si y solo si x∈ y ∨ x = y El siguiente teorema resume algunas de las propiedades de este orden. TEOREMA 2.2.3. Sea α un ordinal i). ≤ es un buen orden en α . ii). Si A ⊆ α y A ≠ ∅ , entonces I A es el menor elemento de A. iii). 0 es el menor elemento de α . iv) β < Sα si y solo si β ≤ α . v). α = {β ∈ α : β < α } . vi). No existe un ordinal β tal que α < β < Sα . vii). α ≤ β si y solo si α ⊆ β . viii). Si A ⊆ α , entonces U A es el supremo de A. ix). α < β si y solo si Sα ≤ β . x). Sα = Sβ si y solo si α = β . xi). Sα < Sβ si y solo si α < β . 41 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEMOSTRACIÓN. i) ≤ es obviamente reflexiva. Es antisimétrica por el teorema 1.2.3. Es transitiva por la ∈ − transitividad de α . Es decir, ≤ es un orden. Además podemos decir que se trata de un orden total3. Para ver que ≤ es un buen orden, consideremos un subconjunto no vacío A ⊆ α . Por una de los teoremas de números ordinales, tenemos que I A ∈ A . Supongamos x ∈ A ∩ (I A) . Entonces para todo x ∈ A, x ∈ α , en particular x ∈ x , lo que es una contradicción. Luego A ∩ (I A) = ∅ , o sea, ≤ es un buen orden4. ii). Quedó demostrado en i) que I A es el menor elemento de A. iii), iv) y v) son obvio por las demostraciones hechas hasta ahora. vi). Supongamos que existe β tal que α < β < Sα , o lo que es lo mismo, α ∈ β ∈ Sa . Si suponemos que x ∈ U Sα , entonces x ∈ y para algún y ∈ Sα . Luego, y ∈ α ó y = α ; en cualquier caso x ∈ α . Entonces x ∈ α ∈ Sα , por lo tanto x x ∈ U Sα . Lo que demuestra que α = U Sα . Ahora, si decimos que α ∈ β ∈ Sα , decimos que α ∈ U Sα = α , lo que es una contradicción. vii). Existe un teorema que nos dice que α ∈ β si y solo si α ⊂ β , del cual es consecuencia inmediata la propiedad vii). viii). Supongamos A ⊆ α , entonces U A es un ordinal y para x ∈ A es claro que x ⊆ U A , o sea, por vii), x ≤ U A , es decir, U A es cota superior. Sea β otra cota superior de A. Entonces para todo x ∈ U A , como x ∈α ∈ U A , y β es otra cota superior de A, x ≤ α ≤ β , es decir, x ∈ β , o sea, U A ⊆ β , por lo tanto U A es la menor de las cotas superiores de A. ix). Si α ∈ β , entonces por ∈ −transitividad Sα ⊆ β , o sea, Sα ≤ β . Si Sα ≤ β , como α < Sα , α < β por ∈ − transitividad de <. 3 Existe un teorema que dice que para cualquier par de ordinales α, β se tiene que α ∈ β ó α = β ó β ∈ α , y lo que es mas, solo una de estas posibilidades se verifica. La demostración de este teorema es algo extensa, por lo que se omite en esta presentación. Podemos definir el buen orden como que todo subconjunto no vacío del conjunto objetivo tiene elemento menor, que es lo que busca la demostración. 4 42 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ x). Supongamos Sα = Sβ y α ≠ β . Entonces como α ∈ Sα = Sβ , α ∈ Sβ . Pero entonces α ∈ β . Análogamente β ∈ α , lo cual es imposible con la hipótesis propuesta, por lo que concluimos que α = β . xi). α < β si y solo si Sα ≤ β si y solo si Sα < Sβ , por ix). y iv). respectivamente.∴ De esta manera concluimos nuestra presentación de los números ordinales. La aritmética, lo mismo que los problemas relacionados con la jerarquía acumulativa de los conjuntos son aspectos muy importantes de la teoría de conjuntos, pero no lo suficientemente pertinentes para la introducción a la teoría PCF. 2.3. AXIOMA DE ELECCIÓN DEFINICIÓN 2.3.1. La función f : x → V es una función de elección sobre x si ∀( y ∈ x )( y ≠ ∅ → f ( y ) ∈ y ) . AXIOMA 2.3.1. AXIOMA DE ELECCIÓN. Para cada conjunto x, existe una función de elección sobre x. Observemos que si definimos el axioma de elección como: “Si A es un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces existe una función F cuyo dominio es A y tal que para todo x ∈ A, Fx ∈ x. ”, podemos tener que F : A → UA x a Fx ∈ x 43 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ La existencia de una función de elección implica elegir simultáneamente un elemento de cada conjunto que pertenece a A. Esto no representa ningún problema si A es finito, sin embargo si A es infinito, no es en absoluto intuitivo que se pueda hacer. Nótese también que el axioma no da ninguna idea de cómo se puede construir la función. Este axioma es equivalente con el teorema del buen orden, según el cual, todo conjunto puede ser bien ordenado. 44 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 45 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ CAPITULO 3. LOS NÚMEROS CARDINALES 3.1 NÚMEROS CARDINALES Uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos, es el de la cardinalidad de un conjunto, o lo que es equivalente, del numero de elementos del mismo. En este capitulo clarificaremos los conceptos fundamentales relacionados con este, y debemos notar que muchos de ellos dependen del axioma de elección. Por esto, en este capitulo se mostrara la relevancia de la ordinalidad y del axioma de elección, lo mismo que la pertinencia o no de los conceptos presentados y los que no lo fueron. DEFINICIÓN 3.1.1. i). Reescribiendo la definición 1.3.3., podemos decir que, dos conjunto A y B son equipotentes si y solo si existe una biyección entre A y B. en tal caso escribiremos A ≈ B. ii). Un ordinal α es un cardinal si y solo si no es equipotente con ninguno de sus elementos. 46 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Si α es un cardinal escribimos Car (α ) . En general usaremos letras góticas minúsculas m, n, p, ..., para designar números cardinales. Por otro lado, la definición de Frege-Russell de números cardinales es bella en su simplicidad. El numero cardinal A del conjunto A es la clase de todos los conjuntos equipotentes con A, esto es A = {B : B ≈ A} . Cantor uso la doble barra para indicar dos niveles de abstracción. La primera barra significa que se abstrae de la naturaleza particular de los elementos del conjunto; la segunda barra, que se abstrae de su orden. Podemos, como ejemplo, definir los cardinales finitos cero, uno y dos. 0 f = {0}, o sea que 0 f es el conjunto de todos los conjuntos que no tienen elementos; 1 f = {A : ∃x( x ∈ A ∧ ∀y ( y ∈ A → x = y ))}, esto es, 1 f es el conjunto de todos los conjuntos unitarios; una definición equivalente, usando la relación de equipotencia, es: 1 f = {A : A ≈ {0}}. Procedemos en forma similar para definir: 2 f = {A : A ≈ {0, {0}}} El problema surge cuando, asumiendo esta definición, tratamos de encontrar clases de equivalencia para conjuntos infinitos. Como no se pueden encontrar tales clases apropiadas, 47 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ el camino sugerido es suponer el axioma de elección y escoger un representante de cada una de las “clases de equivalencia”, a saber, el menor ordinal perteneciente a ella. Procedemos así. TEOREMA 3.1.1. Si m ≠ n , entonces m y n no son equipotentes. DEMOSTRACIÓN. Como m y n son ordinales distintos, entonces m ∈ n ó n ∈ m , luego m y n no son equipotentes por definición 3.1.1. ii).∴ TEOREMA 3.1.2. Para todo conjunto A existe un único cardinal n tal que A y n son equipotentes. DEMOSTRACIÓN. Por el principio de enumeración existe un cardinal α tal que A es equipotente con α . Sea: m = I{β ∈ Sα : A ≈ B} o sea, m es el menor elemento del conjunto no vacío {β ∈ Sα : A ≈ B} . Es claro entonces que A ≈ m . Por ultimo, si existiera B ∈ m tal que B ≈ m , tendríamos que B ≈ A , luego m no es el menor elemento del conjunto anterior, lo cual es una contradicción. Por lo tanto m es un cardinal. Queda claro que m no depende del ordinal α usado en la definición. ∴ DEFINICIÓN 3.1.2. La cardinalidad A de un conjunto A es el único cardinal m tal que A ≈ m . Decimos también que m es el cardinal de A. 48 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ TEOREMA 3.1.3. Si A, B son conjuntos y α es un ordinal i). A ≈ B si y solo si A = B . ii). A ≈ A . iii). α ≤ α . iv). Si α ≈ A , entonces A ≤ α . v). α es un cardinal si y solo si α = α . vi). Si ω ≤ α , entonces α + 1 = α . DEMOSTRACIÓN. Los numerales del i). al v). son solo formalizaciones de definiciones y teoremas anteriores. vi). Si ω ≤ α , entonces α = ω + γ . Definimos f : α + 1 → α como sigue f (x ) 0 = x + 1 x si x = α si x ∈ ω si x ∉ ω , x ≠ α Es claro que se trata de una biyección. ∴ El siguiente teorema es el resultado mas importante de la cardinalidad que no utiliza el axioma de elección. TEOREMA 3.1.4. CANTOR – SCHROEDER – BERNSTEIN. Si A y B son conjuntos tales que existen funciones inyectivas f : A → B y g : B → A entonces A = B . Podemos ahora hacer una presentación breve de ciertos teoremas relacionados con el axioma de elección, y que nos sirven de introducción a los conjuntos finitos e infinitos, lo mismo que a la presentación del problema del continuo. 49 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ TEOREMA 3.1.5. Las siguientes tres condiciones son equivalentes. i). A ≤ B . ii). Hay una función inyectiva f : A → B . iii). A = ∅ o hay una función sobreyectiva g : B → A . DEMOSTRACIÓN. i). ⇒ ii). Sean f : A → A , g : B → B biyecciones, entonces g o f : A → B es inyectiva. ii). ⇒ iii). Sea A ≠ ∅ , a ∈ A y f : A → B inyectiva. Definimos g : B → A como sigue. f −1 ( x ), g (x ) = a , si x ∈ f * A, si no entonces g es sobreyectiva. iii). ⇒ i). Supongamos A ≠ 0 y sea g : B → A sobreyectiva. Entonces g −1* A { } induce una partición de B, a saber, g −1* {a} : a ∈ A . Por el axioma de elección, escogemos un sistema de representaciones para esta partición. Definimos f : A → B asignando a x ∈ A el representante de g −1* {x} anteriormente elegido. Es claro que f es inyectiva, luego, A ≈ f * A y f * A ⊆ B , luego A = f * A ≤ B . ∴ Todavía no hemos dado ningún ejemplo de cardinal. Los siguientes teoremas darán solución a ello. TEOREMA 3.1.6. Si n ∈ ω , entonces n es un cardinal. DEMOSTRACIÓN. Es claro que 0 es un cardinal. Supongamos que n es un cardinal y n + 1 no lo es. Entonces existe m < n + 1 tal que m ≈ n + 1 , es claro que m ≠ 0 . Sea 50 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ f : n + 1 → m una biyección. Podemos suponer que f(n)=m-1, porque si no, mediante una permutación apropiada lo podemos lograr. Entonces f n : n → m − 1 es una biyección, luego, por hipótesis de inducción, m – 1 = n, o sea, m = n + 1, lo que es una contradicción. Por lo tanto n + 1 es un cardinal, lo que completa la inducción. ∴ TEOREMA 3.1.7. ω es un cardinal. DEMOSTRACIÓN. Sabemos por teorema 3.1.3. iii). que ω ≤ ω . Si ω <ω , ω =m para algún natural m. Pero m ⊆ m + 1 ⊆ ω , luego ω = m = m ≤ m +1 = m +1 ≤ ω así, m = m + 1, lo cual es una contradicción. Luego ω = ω .∴ TEOREMA 3.1.8. CANTOR. Para todo A, A < PA . DEMOSTRACIÓN. Es claro que A ≤ PA ya que la asignación a a {a} define una función inyectiva de A en PA. Supongamos que existe una función sobreyectiva f : A → PA y sea B = {x ∈ A : x ∉ f ( x )}. Como B ⊆ A y f es sobreyectiva, existe a ∈ A tal que B = f (a ) . Entonces si a ∈ B , por definición a ∉ f (a ) , luego a ∉ B . Si a ∉ B , entonces a ∉ f (a ) , o sea, a ∈ B , es decir, a ∈ B si y solo si a ∉ B , lo que es una contradicción, luego tal función sobreyectiva no puede existir y A ≠ PA .∴ COROLARIO 3.1.1. Dado un ordinal α , existe un cardinal m > α . DEMOSTRACIÓN. Basta considerar m = Pα . 51 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 3.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS. Estudiaremos en esta sección, apenas algunas nociones fundamentales acerca de los conjuntos finitos e infinitos. Definición 3.2.1. Para todo ordinal α , α + es el menor cardinal mayor que α . Definimos la operación ℵ(aleph ) recursivamente para todo ordinal. ℵ0 = ω ℵα +1 = (ℵα ) + ℵλ = Uℵ , α si λ es límite. α ≤λ DEFINICIÓN 3.2.2. i). Un conjunto A es finito si A < ℵ0 . ii). A es infinito si A ≥ ℵ0 . iii). A es enumerable si A = ℵ0 . TEOREMA 3.2.1. Si A es finito y B ⊂ A , entonces B < A . Aunque son varios los teoremas que podríamos demostrar a partir de esta definición, es importante acercarnos a una de las definiciones mas importantes de infinito: se puede definir conjunto infinito como un conjunto que es equipotente con uno de sus subconjuntos propios. Un conjunto que satisface esta propiedad se dice Dedekind-infinito. 52 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ TEOREMA 3.2.2. Un conjunto A es infinito si y solo si A es equipotente con uno de sus subconjuntos propios. DEMOSTRACIÓN. ⇐). Por el teorema 3.2.1. ⇒). Como A es infinito, A ≥ ℵ0 = ω , luego, existe una función inyectiva f : ω → A . Definamos h : A → A − { f (0 )} como sigue h( x ) ( ) f f −1 (x ) + 1 si x ∈ f *ω , = x si x ∉ f *ω Es claro que h es biyectiva. ∴ 3.3. ARITMÉTICA CARDINAL. Se trata ahora de definir la suma, producto y exponenciación cardinales, para acercarnos finalmente al problema del continuo y los aspectos centrales de la teoría PCF. El interés didáctico de esta presentación no cubre la extensión y complejidad de las demostraciones acerca de la aritmética cardinal, por lo que haremos una presentación de los teoremas centrales de la misma, para llegar al problema de la exponenciación cardinal mas rápidamente. LEMA 3.3.1. Si x ≈ x´, y ≈ y´, x ∩ y = ∅, x´∩ y´= ∅ , entonces x ∪ y ≈ x´∪ y´ . 53 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ DEFINICIÓN 3.3.1. CANTOR (1887). La suma de los cardinales a y b se define por a + b = c ↔ ∃x∃y ( x = a ∧ y = b ∧ x ∩ y = ∅ ∧ x ∪ y = c ) . Nota La suma de cardinales está bien definida. PROPOSICIÓN 3.3.1. 1. La suma de cardinales es asociativa y conmutativa. 2. a + 0 = 0 + a = a. 3. b ≤ a ↔ ∃c (a = b + c ) . 4. a ≤ a´∧ b ≤ b´→ a + b ≤ a´+ b´ . PROPOSICIÓN 3.3.2. 1. ∀n ∈ ω (ℵ0 + n = ℵ0 ) . 2. a ≥ ℵ0 → a + n = a . 3. ℵα + n = ℵα . 4. a + 1 = a ↔ ℵ0 ≤ a . LEMA 3.3.2. Si x ≈ x´ e y ≈ y´ , entonces x * y ≈ x´*y´. DEFINICIÓN 3.3.2. CANTOR (1887). El producto de los cardinales a y b se define por a b = c ↔ ∃x∃y ( x = a ∧ y = b ∧ x * y = c ) Nota. El producto de cardianles está bien definido. PROPOSICIÓN 3.3.3. 1. El producto de cardinales es asociativo y conmutativo. 2. a0 = 0a =0. 3. a1=a. 54 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 4. Distributiva: a ( b + c ) = ab + ac. 5. a ≤ a´∧b ≤ b´→ ab ≤ a´b´ . LEMA 3.3.3. Si x ≈ x´ e y ≈ y´ , entonces x y ≈ x´y´ . DEFINICIÓN 3.3.3. CANTOR (1895). La exponenciación de los cardinales a y b se define por ( a b = c ↔ ∃x∃y x = a ∧ y = b ∧ x y = c ) Nota. La exponenciación cardinal está bien definida. PROPOSICIÓN 3.3.4. ( ) 1. a b c = a bc . 2. (ab ) = a cb c . c 3. a b + c = a b a c . 4. 00 = 1. Si a ≠ 0 entonces 0a = 0 . 5. a1 = a ∧ 1a = 1 . 6. a ≤ c ∧ b ≤ d → a b ≤ c d . 3.4. ARITMÉTICA CARDINAL INFINITA DEFINICIÓN 3.4.1. La relación R definida sobre la clase Ord x Ord por: max (α , β ) < max (α´, β ´) ó (α , β )R(α´, β ´) ↔ max(α , β ) = max(α´, β ´) ∧ α < α´ ó max (α , β ) = max (α´, β ´) ∧ α = α´∧ β < β ´ se llama el orden canónico de Ord x Ord. 55 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ PROPOSICIÓN 3.4.1. 1. ℵαℵα = ℵα . 2. ℵαℵβ = max (ℵα ,ℵβ ) . 3. ℵα + ℵβ = max (ℵα ,ℵβ ). COROLARIO 3.4.1. 1. Si n ≠ 0, entonces nℵα = ℵα . 2. ℵα ≤ ab → ℵα ≤ a ∨ ℵα ≤ b . PROPOSICIÓN 3.4.2. 1. β ≤ α → ℵβ ℵα = 2ℵα . 2. 2 ≤ n → nℵα = 2ℵα . n 3. n > 0 → ℵα = ℵα . 56 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 57 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ CAPITULO 4. EL PROBLEMA DE LOS CARDINALES SINGULARES 4.1. LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO En la matemática son muy conocidos dos tipos de conjuntos de infinitos: aquellos que podemos equiparar a la cantidad de números naturales Ν , también denominados enumerables, y aquellos que son equiparados a la cantidad de números reales ℜ , o a la cantidad de puntos de la recta real, lo que significa que tienen cardinalidad (clase que representan, o cantidad que contienen) c. De esta manera, Cantor a través de su mayor aporte a la teoría de conjuntos (TC en adelante), la función biyectiva que establece si dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos o si no, y en caso tal si son mas o menos, estableció que el cardinal de ℜ es estrictamente mayor que el de N, e incluso igual al de P(N), pero genero una pregunta fundamental: ¿Qué tan estrictamente mayor es c de ℵ 0 (forma estándar de denominar el cardinal de los números naturales y que además se lee como “aleph sub cero”)? Existe un conjunto de cardinales que sean mayores que ℵ0 y menores que c, o acaso c es el sucesor estricto de ℵ0 ? 58 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Cantor de esta manera planteo la HC como la hipótesis según la cual, el sucesor estricto de ℵ 0 es c, y por sucesor estricto entendemos nosotros aquel sucesor que no admite la existencia de ningún otro sucesor anterior a él. Dentro de la matemática, este problema fue históricamente presentado por Hilbert hacia el año 1900, como uno de los problemas fundamentales que esta ciencia debería resolver durante el siglo que para él se avecinaba. A respecto apunta José Alfredo Amor: “El hecho de que fracasaran todos los intentos por resolver el problema no fue accidental; los trabajos de Kurt Gödel (1939) y P.J. Cohen (1963) al respecto, mostraron que la afirmación de que no hay un conjunto cardinal intermedio no contradice a la teoría de conjuntos, es decir, es consistente con ella, pero tampoco se puede deducir de ella; es decir, su negación también es consistente con ella. Si dicho enunciado no contradice a la teoría de conjuntos, entonces su negación no se deduce de la teoría por lo que ninguna de las dos afirmaciones de que si haya o de que no haya un conjunto cardinal intermedio, se deduce de la Teoría de Conjuntos TC, es decir son indecidibles de la TC” Para Gödel, la TC estándar, es decir, aquella que funciona bajo los axiomas de Zermelo Fraenkel unidos al axioma de elección (Choise Axiom) ZFC, representa de modo incompleto la realidad matemática, de lo que se deduce que añadiendo nuevos axiomas será posible resolver el problema del continuo. Cuando pensamos en la formulación de la HC por parte de Cantor debemos tener en cuenta que ella se formula antes que su presentación cumbre de números transfinitos. Es decir, hasta el momento especifico de la formulación de la HC, los únicos cardinales infinitos con los que trabajaba el autor eran ℵ0 y c, por lo que es natural que su hipótesis plantee que el siguiente cardinal infinito a ℵ0 sea c. 59 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Pero en la formulación de los números transfinitos, en la que podemos tener una construcción de la forma: ℵ ,ℵ ,ℵ ,ℵ ,... 0 1 2 3 ℵ = Ν , es el cardinal de la primera clase numérica, la de los números finitos. El siguiente cardinal es ℵ , que es el cardinal de la segunda clase numérica, la de los enumerables. Luego, ℵ es el cardinal de la tercera clase numérica, la de los cardinales ℵ. En la que 0 1 2 1 En esta construcción, podemos hacer nuestros primeros acercamientos a la aritmética cardinal: Sabemos que ℜ , el cardinal de ℜ cumple que ℜ > ℵ0 , por lo tanto se cumpla también que ℜ ≥ ℵ1 . Además, la aritmética cardinal nos dice que: A. ℵ0 = ℵ0 + 1 = ... = ℵ0 + n = ... = ℵ0 + ℵ0 = 2 ⋅ℵ0 = ... = n ⋅ℵ0 = ... = ℵ0 ⋅ℵ0 = ... = ℵ = ... = ℵ = ... < ℵ . ℵ ℵ B. ℵ < c = 2ℵ = 3ℵ = ... = nℵ = ... = ℵ0 = ℵ1 . 2 n 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ℵ ℵ ℵ C. ℵ1 < 2ℵ1 = 3ℵ1 = ... = nℵ1 = ... = ℵ0 1 = ℵ1 1 = ℵ2 1 . Pero paradójicamente no podemos concluir, a partir de A. B. y C. Que 2ℵ = ℵ . 0 1 Así, cuando pensamos en las posibles vías de explicación de esta situación tenemos que encontrarnos con dos conceptos claves. 60 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Primero, que existe un conjunto de números infinitos, el que se denomina transfinito, y y que de él debe poder construirse un sistema numérico. Los números transfinitos se definirán, como se explicara mas adelante, como el conjunto de las cardinalidades infinitas, es decir, aquellas que no son equiparables con ningún entero positivo. Segundo, que la aritmética cardinal es trivial en las operaciones finitas de suma y multiplicación, pero en el caso de la exponenciación cardinal lo mismo que problemas de definición, se presentan posibles vías de solución a la hipótesis del continuo. La explicación de tales conceptos a la luz de una teoría especifica, la teoría de posibles cofinalidades o PCF, es la intención del presente capitulo. 4.2. CARDINALES REGULARES Y SINGULARES 4.2.1.Cofinalidad DEFINICIÓN. 4.2.1.1. Diremos que x ⊆ α 1. Está acotado en α si ∃β < α∀y ∈ x( y < β ) . 2. Es cofinal en α si ∃β < α∀y ∈ x(β ≤ y ) . DEFINICIÓN. 4.2.1.2. 1. Diremos que f : β → α es cofinal, si rang(f) es cofinal en α . 2. La cofinalidad de α es cf (α ) = inf {β : ∃f f : β → α cofinal}. LEMA. 4.2.1.1. Si β es cofinal con α entonces existe una función f : β → α tal que 61 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ U f (γ ) = α γ ≤β DEFINICIÓN. 4.2.1.3. Un cardinal infinito se dice regular y es igual a su cofinalidad, en caso contrario, diremos que el cardinal es singular. Presentemos algunos ejemplos: 1. ω es regular. 2. ℵω es sin gular , ya que cf (ℵω ) = ℵ0 . 3. Mas generalmente, ℵα es singular si y solo si α es limite. DEFINICIÓN. 4.2.1.4. Un cardinal k es limite si y solo si no es sucesor. k es limite fuerte si y solo si para todo α < k , 2α < k . Estas nociones no sirven para plantear el problema central. Los cardinales singulares son un problema que la matemática trata de resolver desde sus dos ramas mas abstractas, la lógica y la teoría de conjuntos, en la medida en que cardinales como el del segundo ejemplo presentado arriba comienzan a ser “interesantes en la teoría de conjuntos. Esto en razón a que la hipótesis del continuo los pone de relieve. Si observamos nuestras definiciones, nos damos cuenta que todo sucesor es regular, por lo que posterior a aleph sub-cero las operaciones básicas ya expuestas son de alguna manera triviales, hasta que nos encontramos con un limite, como omega, que por su carácter enumerable nos permite salir del “circulo” de los regulares. Los cardinales regulares se limitan solo por el teorema de Easton, como sigue. TEOREMA. 4.2.1.1. EASTON (1964). Dada F definida de Reg (clase de los regulares) en Card (clase de los cardinales) tal que 62 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ a). ∀k (cfF (k ) ≥ k ) . b). ∀k , γ (k ≤ γ → F (k ) ≤ F (γ )) . Existe una noción de forcing P tal que ( ) 1p − ∀k 2k = F (k ) Se conoce como forcing al proceso mediante el cual Cohen demostró la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel sin Axioma de Elección y de ZFC sin la Hipótesis del Continuo. Lo esencial de este teorema es que establece los limites del comportamiento de los cardinales regulares. Pero si la hipótesis del continuo plantea un problema para los limites, es en los cardinales singulares donde podremos empezar a construir su solución. Los cardinales singulares son la base de la Teoría PCF que planteo el contraejemplo expuesto en la introducción. . Esperamos que con esta somera y superficial introducción e lector, tanto especializado como principiante, se interese por la Hipótesis del Continuo, las pruebas de independencia, la aritmética cardinal, y en general por la teoría de conjuntos, cuyo nivel de abstracción, si bien puede alejarse un poco de la realidad, si propone formas de pensamiento y de raciocinio que componen el pensamiento matemático mas puro tanto en la historia de la matemática como su contemporaneidad. 63 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 64 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ CAPITULO 5. CONCLUSIONES 5.1. CONCLUSIONES Al finalizar esta presentación es necesario presentar algunos puntos importantes, que el autor en su realización considera de vital importancia al introducirse al estudio de la teoría PCF: • Es absolutamente necesario un estudio pormenorizado de la teoría de conjuntos clásica, de la teoría axiomática de conjuntos y de la teoría combinatoria de conjuntos. Esto en razón a que conceptos tales como cardinales regulares y singulares, como se ha demostrado en esta presentación, requieren para su comprensión un recorrido por la teoría clásica. Las teorías contemporáneas y alternativas solo son el resultado de los éxitos y fracasos del recorrido conceptual anterior a ellos. • Uno de los elementos centrales que debemos tener en cuenta es que teorías como la que se trato de introducir en este trabajo, se construyen de una manera particular. Heredera del método de demostración conocido como forcing, que consiste en tomar una teoría axiomática y “obligarla” a producir cierto tipo de proposiciones y teoremas, es decir, forzarla a construir resultados específicos (no deducibles directamente), la teoría PCF no es ajena a esta realidad. A partir 65 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ de construcciones conceptuales como las pruebas de independencia de la hipótesis del continuo respecto de la teoría de conjuntos clásica, teorías como la nuestra construyen sus productos realizando también suposiciones como pueden ser la hipótesis de cardinales singulares (Singular Cardinal Hipothesis): ( SCH : ∀k singular k cf (k ) = k + + 2cf (k ) ) sobre la que la teoría PCF edifica su trabajo relacionado con ultrapotencias de cardinales regulares. La conclusión entonces es precisamente que el trabajo que se realiza en la exponenciación cardinal tiene mucho que ver con ideas que se plantean como útiles para el trabajo, pero que no pueden en si mismas ser comprobadas; la característica que define el trabajo con los cardinales infinitos es precisamente su nivel de abstracción, que determina la imposibilidad de “ver”, de tener referentes concretos acerca de sus objetos. Por esto, es casi normal y lógico que la exponenciación cardinal infinita trabaje bajo supuestos, pues aunque matemáticamente se haya comprobado su existencia, nadie podría decir que conoce el infinito. 5.2. RECOMENDACIONES El trabajo propuesto en esta presentación tenia un objetivo fundamental: servir de herramienta didáctica y divulgativa acerca de la teoría PCF, pero mas específicamente acerca de la Hipótesis del Continuo y de los retos que ésta le representa a la matemática. La introducción de una teoría no puede ser otra cosa que la presentación de sus problemas fundamentales, su objeto de estudio y los principales conceptos que hacen que estos dos primeros elementos sean comprensibles. Esperamos haber logrado en alguna medida este objetivo. 66 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ Pero el verdadero avance que es necesario hacer, tiene que ver con comprender qué hace falta, qué es necesario para completar el acercamiento propuesto. En ese camino, lo que presentaremos ahora es una lista de recomendaciones conceptuales que deberán guiar un estudio mas profundo de la teoría PCF y el teorema de Shelah: • El primer tema central que debe ser asumido en la comprensión de la teoría PCF, es el de la exponenciación cardinal, para lo que recomendamos especialmente el estudio de la teoría combinatoria de conjuntos: [DiP, 91], [Erd, 84]. • El siguiente paso tiene que ver con la comprensión del problema de los cardinales singulares, para lo que es necesario un estudio pormenorizado de el método de demostración conocido como forcing, para lo que se recomienda el estudio de las demostraciones de Cohen acerca de la independencia de la Hipótesis de Continuo: [Coh, 63], [Coh, 64], [God, 40], [Am, 99], [Eas, 70], [She, 82], [Sol, 70]. • Posteriormente, seria necesario el manejo de los métodos de construcción de la teoría PCF, que tienen que ver con conceptos tanto del algebra abstracta como con la topología. Se recomienda en estudio de conceptos tales como filtros y ultrafiltros, ideales, rangos ideales y finalmente ultrapotencias: [DiP, 91], [Cai, 96]. • Estas recomendaciones son apenas unas cotas o limites que definen una comprensión del alcance de la teoría PCF. Los demás temas relacionados serán evidentes durante el estudio propuesto en los puntos anteriores. 67 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ 68 Introducción a la Teoría PCF _________________________________ REFERENCIAS [Am, 99] AMOR MONTAÑO, José Alfredo, El problema del continuo y las pruebas de independencia, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias UNAM, (1999). [Cai, 96] CAICEDO, Andrés, El problema de los cardinales singulares, Tesis de Grado, Universidad de los Andes, (1996) [Can, 1895] CANTOR, Georg, Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Dover Publications INC., New York. (1895) [Coh, 63] COHEN, P, The independence of the Continuum Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci., 50, (1963) [Coh, 64] COHEN, P, The independence of the Continuum Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci., 51, (1964) [DiP, 91] DI PRISCO, Carlos A, Desarrollos recientes en la Teoría de Particiones, Boletín dela Asociación Matemática Venezolana, Vol. VI, No. 1, (1991) [Eas, 70] EASTON, W, Powers of Mathematical Logic, 1, (1970) [Erd, 84] ERDÖS, P; HAJNAL, A; MÁTÉ, A; RADO, R, Combinatorial set theory: Partition relations for cardinals, Studies in Logic and the foundation of Mathematics, vol. 106, North – Holland, (1984) [Git, 89] GITIK, Moti, The Negation of SCH from o(k ) = k + + , Annals of Pure and Applied Logic, No. 43, (1989) [God, 40] GÖDEL, K, The consistence of the Axiom of Choice and the Generalized Continuum Hypothesis, Princeton, (1940) 69 Regular Cardinals, Annals of Introducción a la Teoría PCF _________________________________ [Jech, 90] JECH, Thomas, Singular Cardinal Problem: Shelah´s Theorem on 2ℵ , (1990) ω [Kan, 94] KANAMORI, Akihiro, The Higher Infinite, New York, Sringer, (1994) [Kan, 96] KANAMORI, Akihiro, The mathematical development of set theory from Cantor to Cohen, The Bulletin of Symbolic Logic, Volume 2, Number 1, March, (1996) [Koj, 95] KOJMAN, Menachem, The A, B, C of PCF: A Companion to a PCF Theory, Part I, Noviembre. (1995) [She, 82] SHELAH, S, Proper Forcing, Lecture Notes in Mathematics, vol. 940, Springer – Verlag, Berlin, (1982) [Sol, 70] SOLOVAY, R, A model of set theory in which every set of reals is Lebesque measurable, Annals of Mathematics, 92, (1970) [Tak, 71] TAKEUTI, G; ZARING, W. M., Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer - Verlag. (1971) [Vill, 97] VILLAVECES, Andrés, ℵω de aleph a omega, Boletín de Matemáticas, Nueva Serie, Volumen IV, (1997), pp. 19-29. 70