Cálculo. Coordenadas polares, ecuaciones paramétricas

Parte I.
Conceptos Fundamentales:
*Números Reales:
Es el conjunto de todos los números positivos y negativos, incluyendo el cero, asi como todos los números
que no pueden expresarse como cociente de dos enteros.
*Reglas del álgebra:
Valor absoluto: Es el numero que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad.
Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Ej: 4a es de 1er grado porque el exponente del factor literal es 1.
ab es de 2do grado porque los exponentes de los factores son 1+1=2
Grado con relación a una letra: Es el exponente de dicha letra.
Ej: bX3 es de 1er grado con respecto b y de 3er grado con relación a X.
Reducción de 2 o más términos semejantes del mismo signo: Se suman los coeficientes, poniendo delante de
esta suma el mismo signo que tiene todos y a continuación se escribe la parte literal.
Ej: 3a + 2a = 5a −5b −7b = −12 b
Reducción de 2 términos semejantes de distinto signo: Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta
diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ej: 2a + 3a = −1a 18x − 11x = 7x
Reducción de mas de 2 términos semejantes de signos distintos: Se reducen a un solo termino todos los
positivos, se reducen a un solo termino los negativos y a los resultados obtenidos se aplica la regla anterior.
Ej: 5a − 8a + a − 6a +21a
5a + a + 21a = 27a
−8a − 6a = −14a
27a − 14a = 13a
Regla de los signos:
+ (−) = −
+ (+) = +
1
− (−) = +
− (+) = −
Cuadrado de la suma de dos cantidades: Es igual al cuadrado de la primera mas el duplo de la primera
cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: Es igual al cuadrado de la 1era cantidad menos el duplo de la
primera cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Cubo de un binomio (a+b)3 : Es igual al cubo de la primera cantidad mas el triplo de la primera al cuadrado
por la segunda mas el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda mas el cubo de la segunda.
(a+b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b 3
Cubo de un binomio (a−b)3 : Es igual al cubo de la 1era cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera
por la segunda, mas el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda
cantidad.
(a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab2 − b 3
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades:
−La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia
de las cantidades.
a2 − b2 = a − b
a+b
Ej: 9x2 − y2 entre 3x − y 9x2 − y2 = 3x − y
3x + y
−La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma
de las cantidades
a2 − b2 = a + b Ej: 1 − x4 entre 1 − x2 1 − x4 = 1 + x2
a − b 1 − x2
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de 2 cantidades.
−La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la
1era cantidad, menos el producto de la primera por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad.
a3 − b3 = a2 − ab + b2
2
a+b
−La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado
de la 1ra cantidad, mas el producto de primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.
a3 − b3 = a2 + ab + b2
a−b
Divisibilidad de an ± bn
a±b
an ± bn siempre es divisible
a±b
an − bn es divisible si n es par
a+b
an + bn es divisible si n es impar
a+b
an + bn nunca es divisible
a−b
*Funciones; tipos de funciones:
Función: correspondencia entre conjuntos de números. Una variable Y se dice función de otra variable X si a
cada valor de X uno y solo uno Y. Se expresa Y = F(X) en la que X es la variable independiente e Y es la
dependiente. Entre conjuntos, una función asocia un conjunto de valores a otro conjunto de valores.
Función cuadrática: es una ecuación polinomica de segundo grado del tipo
g(x)= a x2 + bx + c, en la que los coeficientes a, b, c son números reales. La representación de la función
equivale a una parábola en la que los puntos de corte con el eje de abcisas son los que resultan de hacer.
a x2 + bx + c = 0
Función de Laplace:
ø(x) = 2 " e −x2 dx + C;
"
en donde C es la constante de interpretación y debe elegirse de modo que ø(0) = 0
Función diferenciable: Partiendo de dos espacios de Banach, X e Y, diremos que
3
F: X Y, es una aplicación diferenciable en a X si existe una aplicación lineal continua de X en Y, de forma
que existe el limite:
Lim ||F(x) − F(a) − dFa (x − a) || = 0
t 0 || x − a ||
podemos decir que toda aplicación derivable en a pero es continua e a, pero no al contrario.
Dicha aplicación se llamara diferencial de F en a, y se demuestra que si dFa existe, entonces es única.
Función factorial: Partiendo inicialmente de un numero real no negativo denotado X, se define función
factorial a la función definida por : X! = (X+1), en donde representa la función gamma.
Función inversa: Si F: A B es una función biyectiva, diremos que su inversa
es F−1 : B A. Y único X tal que F(x) = Y.
Función lineal: Si la grafica en el plano de una función dispone sus puntos sobre una recta, se trata de una
función lineal. Cuando la disposición es sobre una parábola es una función cuadrática.
Función logarítmica: Es una función real, derivable real, la cual tiene la siguiente expresión matemática:
F(x) = loga X siendo a > 0 y a " 1
Función valor absoluto: se llama así a toda función que asigna a cada X real su valor absoluto: |X| = X si X " 0
y |X| = − X si X < 0.
Se trata de una función continua y derivable en cualquier punto, excepción del cero.
Función vectorial: Toda función que toma valores en un espacio vectorial.
Función complementaria: se denomina así a la integral o sulicion de una ecuación homogénea que
corresponde a una ecuación diferencial lineal de orden n. Su solución viene dada por la suma de una integral
particular y la función complementaria.
Función compuesta de dos funciones: se llama así la función resultante al asignar a cada X del dominio de la
primera función ((X)), y luego suponiendo que (X) sea del dominio de la segunda función g, le asigna
g((X)). Y se leería como compuesta con g.
Función de dos variables: función cuyo dominio es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos.
Función elemental: son las funciones reales de variable real del tipo racional, trigonometrica, logarítmica,
exponencial, composición, inversión, potencias con exponentes racional del tipo z1
X z2 donde z1 y z2 Z (no nulos), así como aquellas funciones que mediante operaciones tipo suma, resta,
división y producto pueden descomponerse en otras del tipo de las anteriores.
Función exponencial: es una función del tipo Y = e x, *x R. Algunas de las propiedades mas importantes de
las funciones exponenciales son:
e (x + y) = ex ey ; e−x = 1 ; ( e x )s = Sxe
4
ex
además, la función exponencial es la inversa de la función logarítmica, es decir: Y = ex x = lnY
con respecto a la derivada se cumple que d ex = ex .
dx
Función potencial: toda aquella función real de variable real definida por: (x) = x −a, con a R y a " 0.
Se dice que si a = n, es un entero positivo, entonces (x)= x n es polinomica y su dominio es R; y si a = −n, es
un entero negativo, entonces (x)= 1/ x n es racional.
Función primitiva: se dice que una función es primitiva de otra segunda función cuando la derivada de la
primera función coincide con la segunda función.
Ej: la función (x)= 2x es primitiva de la función g(x) = x 2
Función producto: es la obtenida de multiplicar n funciones. Su valor en cada punto es el producto de los
valores que las n funciones toman en dicho punto. Sean las funciones (x),
g(x), .... , k(x), la función " = x g x .... x k se define de la forma:
"(x) − ( x g x .... x k) = (x), g(x), .... , k(x)
Función racional: es la función cociente de dos funciones polinomicas, p y q, en donde q no es la función que
toma siempre el valor cero. Toda función racional es continua y derivable en su dominio.
Función raíz cuadrada: Dicese de la función denotada tal que para todo z cumple:
((z))2 = z.
• En los números reales tiene como dominio los números reales no negativos y se representa por " .
• En los números complejos será la función multiforme que asigna a cada z C sus dos raíces
cuadradas; siendo z " 0.
*Limites y Continuidad:
Limite:
Si F(x) esta definida en un intervalo I que contiene a C, la función no tiene que estar definida en x = C.
Lim F(x) = L Significa que es existe ð > 0 tal existe
x C en & > 0 siempre que
ð ð ð x − C | < & tal que
| F (x) − L | < ð
Continuidad:
5
Para que haya continuidad en un punto x = c
1) F(c) debe estar definido
2) Lim F(x) debe existir
xc
3) Lim F(x) = F(c)
xc
*Derivadas:
La derivada de una función F es un numero a, denotada por F' (a) es
F' (a) = lim F (a + H) − F (a)
H0H
Si el limite existe
F' (a) = lim F (x) − F (a)
H0x−a
Si F es derivable en a, entonces F es continua en a.
Reglas básicas de derivación.
Regla de la constate. d [C] = 0 La derivada de una constante es 0, sí
dx C es un numero real.
Regla de la potencia. d [ X n ] = nX n−1 Si n es un numero racional.
dx
Regla de la suma y la diferencia. d [ F(x) + G(x)] = F'(x) + G'(x) Regla de la suma
dx
d [ F(x) − G(x)] = F'(x) − G'(x) Regla de la diferencia
dx
Regla del producto. d [ F(x). G(x)] = F(x)G'(x) + G(x)F'(x)
dx
La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la
segunda y a la segunda función por la derivada de la primera.
6
Regla del cociente. d F(x) G(x) F'(x) − F(x) G'(x) G(x) " 0
dx G(x) [ G(x)]2
La derivada de F/ G es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la
derivada del denominador dividido todo entre el denominador al cuadrado.
Regla del múltiplo constante. d [C F(x)] = C F'(x) Si F es una función derivable y C
dx un numero real.
Regla de la cadena. d [ (g(x))] = '(g(x)g'(x)
dx
Si Y = (u) es una función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x, entonces
Y = (g(x)) es función derivable de x.
Tabla de las derivadas de funciones trigonometricas.
d (sen x)= cos x d ( csc x )= −csc x cot x
dx dx
d (cos x)= −sen x d (sec x )= sec x tan x
dx dx
d (tan x)= sec2 x d (cot x )= −csc2 x
dx dx
*Integrales:
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciación, llamado integración. Dada una función f,
se busca otra función F tal que su derivada es F¢ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se
escribe F(x) = "f(x)dx o simplemente F = "f dx (esta notación se explica más adelante).
Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x
es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante
cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que
(F + c)¢ = F¢ + c¢ = f + 0 = f.
Por ejemplo, "2xdx = x2 + c.
Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral
de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la
multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½2x es ½x2, y de forma similar "xm dx = xm+1/(m +
1) para cualquier m. " −1 (no se incluye el caso de m = −1 para evitar la división por 0;
El logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x−1 = 1/x (para cualquier x " 0).
7
La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se
pueden integrar utilizando éstas y otras reglas .
*Teorema Fundamental del calculo:
Si una función F es continua en el intervalo [ a,b ], entonces
b
" F(x) dx = F(b) − F(a)
a
donde F es cualquier función tal que F'(x) = f(x) para todo x en [a,b].
Ej:
22
" (x 2 − 3 ) dx = x3 − 3 x =
131
8−6−1−3=−2
333
*Formulas de Integración:
" o dx = C
" k dx = kx + C donde k " 0
" k (x) dx = k " (x) dx
" [ (x) * g(x) ]dx = " (x) dx * " g(x) dx
" x n dx = x n+1 + C, n " −1
n+1
*Métodos de Integración:
ver anexos.
Parte II.
*Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares:
• Curvas definidas por ecuaciones parametricas.
Supongamos que X y Y se definen en forma de funciones continuas de una tercera variable, t, llamadas
8
parámetro, mediante las ecuaciones
X = F(t) Y = g(t)
Que se denominan ecuaciones parametricas. Cada valor de t determina un punto (X, Y), que podemos graficar
en un plano de coordenadas. Al variar t, el punto (X, Y) = (F(t), g(t)) cambia de posición y describe una curva,
C.
Si interpretamos t como tiempo y (X, Y) = (F(t), g(t)) como la posición de una partícula en el momento t,
podemos imaginar que la partícula se mueve a lo largo de una curva C.
• Tangentes, áreas en ecuaciones parametricas
Tangentes en ecuaciones parametricas:
Algunas curvas, definidas por las ecuaciones parametricas x = F(t) y Y = g(t), se pueden expresar también en
la forma Y = F(x) por eliminación del parámetro. Si sustituimos x = F(t) y a Y = g(t) en la ecuación Y = F(x),
llegamos a
g(t) = ( F(t))
con lo cual, si g, F y son diferenciables, la regla de la cadena establece que
g'(t) = '(F(t)) '(t) = '(t) F'(t)
si F'(x) " 0, podemos despejar '(t):
'(x) = g'(t)
F'(t)
En vista de que la pendiente de la tangente a la curva Y = F(x) en (X, F(x)) es F'(x) la ecuación permite
determinar tangentes a curvas parametricas sin tener que eliminar el parámetro. Con la notación de Leibniz
podemos reformular la ecuación en una expresión:
dy
dy = dt si dx " 0
dx dx dt
dt
Se puede apreciar que la curva tiene una tangente horizontal cuando dy/dt = 0 y que posee tangente vertical
cuando dx/dt = 0.
Ejemplo: a)Determina dy/dx y para la cicloide x = r (1 − sen ), y Y = r (1 − cos ).
b)Encuentra la pendiente y la ecuación de la tangente a la cicloide en el punto en que
= /3.
9
dy
a) dy = d = r sen = sen
dx dx r (1− cos ) 1− cos
d
d dy = d sen = cos ( 1 − cos ) − sen sen =
d dx d 1− cos (1 − cos )2
cos − 1 = − 1 ,
(1 − cos )2 1 − cos
b) cuando = /3, tenemos:
x = r ( /3 − sen /3) = r (/3 − "3/ 2) Y = r ( 1 − cos /3) = r /2
y dy = sen (/3) = "3/ 2 = "3
dx 1− cos (/3) 1 − ½
por consiguiente, la pendiente de la tangente es "3 y su ecuación es
"3x − Y = r (/"3 − 2)
Área en ecuaciones parametricas:
a
El área bajo una curva Y = F(x), de a a b, es A = " F(x) dx, en donde F(x) " 0. Si las ecuaciones
b
parametricas X = F(t) y Y = g(t), * " t " describen la curva, se puede adaptar la formula anterior aplicando la
regla de sustitución de integrales definidas.
a**
A = " Y dx = " g(t)F'(t) dt = " Y dx
b
Ejemplo: Calcula el área bajo uno de los arcos de la cicloide X = r ( − sen ) ,
Y= r (1 − cos ).
Un arco de la cicloide esta definido por 0 " " 2.
Y = r (1 − cos )
10
dx = r (1 − cos ) d
00
A = " Y dx = " r (1 − cos ) r (1 − cos ) d =
22
00
= r 2 " (1 − cos )2 = r 2 " (1 − 2cos + cos2 )d =
22
0
= r2 " [ 1 − 2cos + ½ ( 1 + cos2 ) ] d =
20
= r2 [ 3/2 − 2sen + ¼ sen2 ] = r2 (3/2 . 2 ) = 3 r2
2
• Longitud de arco y área de una superficie, aplicación en ecuaciones parametricas
Longitud de arco:
Si una curva C se escribe con las ecuaciones parametricas X= F(t) y Y= G(t), donde t cambia de * a * donde
las 1ras derivadas F' y G' son ecuaciones continuas en el intervalo [*,*] y C recorrido una y solo una vez
donde t aumenta desde * hasta *, la longitud de C es igual a A.
X= F(t) * " t " *, dx = F'(t) > 0
Y= G(t) dt
b
L = " " 1+ (dy/dx)2 dx =
a
*
L = " " 1+ dy/dt 2 dx dt =
* dx/dt dt
*
L = " " (dx/dt)2 + (dy/dt)2 dt dx > 0
11
* dt
Área de superficie:
Si la curva representada por las ecuaciones parametricas X=F(t) y Y= G(t) donde
* " t " * se hacen girar en torno del eje X y las 1ras derivadas de F(t) y G(t) son continuas y la G(t) es positiva
el área de la superficie generada es igual
*
S = " 2Y " (dx/dt)2 + (dy/dt)2 dt
*
Ejemplo: Encuentre el área de una superficie con las ecuaciones X= r cos t y Y= r sen t
0"t".
S = " 2rsent " (−rsent)2 + (rcost)2 dt
0
= 2 " rsent"r2 (sen2t + cos2t) dt
0
= 2 r2 " sent dt = 2 r2 ( −cos t) ] = 4r2
00
• Coordenadas polares
Es otro sistema para localizar puntos en el plano.
Para establecer un sistema de coordenadas polares, seleccionamos un punto fijo O, llamado origen o polo y un
rayo fijo, llamado eje polar, con extremo O. Para cualquier P en el plano, denotamos la distancia de O a P con
r. La distancia OP determinan un ángulo con OP como su lado terminal. Las coordenadas del par ordenado
(r, ) se llaman coordenadas polares de P.
es positivo si el ángulo se genera mediante la rotación del eje polar en sentido contrario a las manecillas del
reloj.
Las coordenadas polares para un punto no son unicas. Un mismo punto P puede estar representado por
diferentes coordenadas polares.
• Áreas y longitud de arco en coordenadas polares
12
Área en coordenadas polares.
Para calcular la formula del área de una región cuyo contorno esta determinado por una ecuación polar,
necesitaremos aplicar la formula del área de un sector circular:
A = 1 r 2 (1)
2
en la cual, r es el radio y la medida del ángulo central. Esta formula se puede demostrar, aprovechando que
el área de un sector es proporcional a su ángulo central, se modo que:
A = (/ 2) r2 = 1 r 2
2
Sea R la región limitada por la curva cuya ecuación polar es r = F () y los rayos = a y = b, donde F es
una función positiva y continua, y 0 < b − a " 2. Sea P una participación del intervalo [a,b] mediante los
números , y a = < ... n = b. Entonces, los rayos = dividen a R en n regiones menores cuyos
ángulos centrales son
" = − i −1. Si escogemos i en el i − ésimo
subintervalo [ i −1 , ], el área " i , de la i − ésima región se estima, mediante el área del sector circulo
cuyo ángulo central es " i, y su radio es F( i)
así "A i " 1 [ F ( i)]2 " i
2n
Por lo tanto A " " 1 [ F ( i)]2 " i (2)
i=12
Es una aproximación al área total, A, de R. La aproximación de la ecuación (2) mejora cuando ||p|| 0; ya que
las sumas en esta ecuación son sumas de Riemamn de la función
g() = 1 [ F ( )]2 , resulta
2
Lim n b
||P|| 0 A " " 1 [ F ( i)]2 " i = " 1 [ F ()]2 d
i=12a2
Por consiguiente, la formula para calcular el área de la región R en ecuaciones es:
b
A = " 1 [ F ()]2 d
13
a2
• Tangentes a curvas en coordenadas polares
Para hallar una recta tangente a la curva r = F() ( en coordenadas polares) consideramos que es un
parámetro y formulamos las ecuaciones parametricas como sigue
X = r cos = F()cos Y = r sen = F()sen
Entonces las 1ras derivadas de X y Y
dY = dr sen + r cos
dd
dX = dr cos − r sen
dd
La tangente en las ecuaciones parametricas se consigue mediante la formula
dY
dY = d ; Por lo que resultaría
dX dX
d dY dr sen + r cos
dY = d d
dX dX dr cos − r sen
dd
Ejemplo:
• Calcula la pendiente de la tangente a la cardioide r = 1 + sen , cuando = /3
• Determinar los puntos de la cardioide en los cuales la tangente es horizontal o vertical.
dY dr sen + r cos
dY = d d cos sen + (1 + sen ) cos =
dX dX dr cos − r sen cos cos − ( 1 + sen ) sen
dd
cos (1 + 2sen ) = cos ( 1 + 2 sen )
1− 2 sen2 − sen (1 + sen ) (1 − 2 sen )
14
a) dy = cos (/3) ( 1 + 2 sen (/3))
dx ( 1 + sen (/3)) (1 − 2 sen (/3))
= /3
1(1+"3)
= 2 = 1 + " 3 . = 1 + " 3 = −1
( 1 + " 3 ) ( 1 − " 3 ) (2 + " 3)(1− " 3) −1 − " 3
2
b) dY = cos ( 1 + 2 sen ) = 0 cuando = /2; 3/2; 7/6
d
dX = (1 + sen ) (1 − 2 sen ) = 0 cuando = 3/2; /6; 5/6
d
*Cónicas en general.
• Parábolas
Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes a un punto fijo F, llamado
foco y una recta fija, llamada directriz.
Ahora deducimos una ecuación de una parábola con foco F(0,P) y la directriz Y= −P, donde P>0. Entonces,
vemos que el eje de la parábola esta a lo largo del eje Y. El origen es necesariamente el vértice, puesto que
esta situado en el eje a P unidades tanto el foco como de la directriz. Si P(X,Y) es un punto sobre la parábola,
entonces la distancia de P a la directriz es
d1 = Y − (−P) = Y + P
usando la formula de la distancia, encontramos la distancia de P al foco:
d(P,F) = " (x − 0)2 + (Y − P)2
se deduce que
" (x − 0)2 + (Y − P)2 = Y + P
elevando al cuadrado ambos lados y simplificando, obtenemos
x2 + (Y − P)2 = (Y + P)2
x2 + Y2 − 2PY + P2 = Y2 + 2YP + P2
x2 = 4PY
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La ecuación se refiere a la ecuación en forma estándar de una parábola con foco (0,P) y directriz
Y = −P.
• Elipses
Es el conjunto de todos los puntos P en un plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos.
Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes coordenadas de la elipse.
Consideramos la elipse de centro en el origen y cuyo
eje focal coincide con el eje X. Los focos F y F' están sobre
eje X. Como centro O es el punto medio del segmento FF', las
coordenadas de F y F' serán, por ejemplo, (C, O) y (− C, O).
Siendo C una constante positiva. Sea P(X, Y) un punto cualquiera
de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer
la condición geométrica
___ ____
|FP| + |F'P| = 2a (1)
donde a es una constante positiva mayor que C.
___ ___
|FP| = " (X − C)2 + Y2 , |F'P| = " (X + C)2 + Y2
" (X − C)2 + Y2 + " (X + C)2 + Y2 = 2a (2)
pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado simplificamos y agrupamos términos
semejantes:
CX + a2 = a"(X + C )2 + Y2
Elevamos al cuadrado:
C2X2 + 2a2CX + a4 = a2X2 + 2a2CX + a2C2 + a2Y2 ,
De donde:
(a2 − C2) X2 + a2Y2 = a2(a2 − C2) (3)
como 2a > 2C es a2 > C2 y a2 − C2 es un numero positivo que puede ser reemplazado por el numero positivo
b2
16
b2 = a2 − C2 (4)
si en (3) reemplazamos a2 − C2 por b2 obtenemos
b2 X2 + a2Y2 = a2b2
y dividiendo por a2b2
Ejemplo: Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9X2 + 3Y2 = 27.
Dividiendo por 27, toda la ecuación:
X2 + Y2 = 1
•9
X2 + Y2 = 1
("3)2 32
puesto que 3 > "3, tenemos a= 3 y b= "3. El denominador del termino Y2 es entonces a2 y el eje mayor es
vertical. así los vértices son (0, ±3) y (±"3, 0). Puesto que C2 = a2 + b2 = 9 + 3 = 6
tenemos C = "6. Los focos están en el eje Y en (0, ± "6 ).
• Hipérbolas
Es el conjunto de todos los puntos P en el plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias
entre P y dos puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.
Ecuación de una hipérbola.
Sea P(X,Y) un punto sobre la rama derecha de la grafica, claramente, d (P, F1) > d (P, F2 ), así
d (P, F1) − d (P, F2 ) > 0, y así
|d (P, F1) − d (P, F2 )| = d (P, F1 ) − d (P, F2 )
si ahora suponemos que la diferencia constante de las distancias es 2ª, entonces :
d (P, F1 ) − d (P, F2 ) = 2a
De la formula de la distancia tenemos
" (X + C)2 + Y2 − " (X − C)2 + Y2 = 2ª
ó " (X + C)2 + Y2 = 2a + " (X − C)2 + Y2
Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificando:
CX − a2 = a "(X − C )2 + Y2
17
Elevando al cuadrado y simplificando de nuevo:
(a2 − C2) X2 − a2Y2 = a2(a2 − C2) (1)
del triangulo F1PF2, vemos que
d (P, F2 ) + d (F1, F2 ) > d (P, F1 )
Y así
d (F1, F2 ) > d (P, F2 ) − d (F1, F2 )
ó 2C > 2a
así, C > a y C2 > a , entonces C2 − a2 es positiva. así podemos establecer que b = " a2 − C2
Por lo tanto podemos escribir la ecuación (1) como
b2 X2 − a2Y2 = a2b2
ó
Esta es la forma estándar de la ecuación de la hipérbola centrada en el origen con focos (−C,0) y (C,0).
Ejemplo: Encuentre los vértices y los focos de la hipérbola 16Y2 − 9X2 = 144.
Dividiendo la ecuación por 144, obtenemos
16Y2 − 9X2 = 144
144 144 144
Y2 − X2 = 1
32 42
puesto que Y2 tiene el coeficiente positivo, identificamos a = 3 y b = 4. De b2 = C2 − a2
C = " a2 − b2
= " 9 + 16 = 5
así los vértices y los focos son (0,±3) y (0,±5).
Para encontrar asintotas, despejamos Y de:
Y2 − X2 = 0
32 42
Y2 = X2 = Y2 = 9 X2
18
9 16 16
=Y=±¾X
21
X2 + Y2 = 1
a2 b2
X2 − Y2 = 1
a2 b2
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