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CAPITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
4.1. Introducción
Se denomina ecuación diferencial ordinaria a toda ecuación en la que aparecen una o varias derivadas de una
función.
Cuando las derivada que aparecen en una ecuación diferencial son derivadas totales, la ecuación recibe el
nombre de ecuación diferencial ordinaria, si en esta ecuación existen derivadas parciales, la ecuación se
denomina ecuación diferencial parcial
Se denomina orden de una ecuación diferencial a la derivada en la ecuación que lo tenga mayor
Se llama grado de una ecuación diferencial a la potencia a que está elevada la derivada de mayor orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación del tipo: F (x, y, y´)=0, por ejemplo
y' k y
x y  y  xy   0
4
orden 1
grado 1
orden 3
grado 1
Se entiende por solución de una ecuación diferencial una relación entre las variables dependiente e
independiente en la que no aparece ninguna derivada y que, al sustituirse en la ecuación dada, la reduce a
una identidad.
La solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden contiene una constante arbitraria se
denomina solución general
En
los
problemas de la física e ingeniería se
requieren
soluciones que
satisfagan determinadas
condiciones. De estas condiciones se obtiene la información con la cual es posible asignar valores a las
constantes arbitrarias. Este tipo de solución, que satisface estas condiciones dadas, se denomina solución
particular, y las condiciones que satisface se denominan condiciones iniciales.
1
2
Así: y  x 2  C
es la solución general de la ecuación diferencial: y´=x. Supongamos la condición inicial
y(0) =1 , entonces C = 1 , por tanto la solución particular es : y =
1 2
x 1
2
Veamos cuatro tipos principales de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. Variables
separadas, Homogéneas, Lineales, Exactas
1
4.2. Ecuaciones de variables separadas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado contienen el término
elevado a la
primera potencia, luego se pueden expresar en la forma
dy
 Fx, y 
dx
En muchos casos F(x , y ) se puede expresar como : F ( x , y ) = f(x) .g(y) . Entonces se puede poner
dy
dx
 f x g y  
dy
g y 
 f x dx
Integrando se obtiene
dy
 gy   fxdxC
Ejercicios de aplicación
1. Integrar las siguientes ecuaciones de variables separadas
cos 2 x
dy
dx
 cos 2 y
1  x  dy
 1 y
dx
2
,
2
Para la primera
dy
 cos
2
y

dx
 cos
2
x
 tang y  tang x  C
Para la segunda
 1 y   1 x
dy
dx
2
2

Arco Tang y =Arco Tang x +C
4.3. Ecuaciones Homogéneas
Definición 1 La función M(x ,y) se dice homogénea de grado n si la suma de las potencias de x e y en
cada termino de M es n : Así : M(x, y)  x 2 y 3xy 2 2 y 3 es homogénea de tercer grado.
2
Si una ecuación diferencial de primer orden se puede expresar en la forma
dy

dx
Mx , y 
Nx ,y 
Siendo M y N funciones homogéneas del mismo grado, se dice que la ecuación es homogénea. Si en la
ecuación diferencial anterior siendo M y N funciones homogéneas de grado n , es posible dividirlas
entre
y expresar el lado derecho como una función de una sola variable v , donde se ha realizado el
cambio y = v x . Por tanto se tiene
dy
dx
 vx
dv Mx, y 

 f v 
dx Nx, y 
de donde se deduce
1
dx
dv 
f v v
x
que es una ecuación diferencial de variables separadas
Ejercicios de aplicación

2. Integrar la ecuación diferencial: x 2  y 2
 dy
xy
dx
Cambio: y = v x
dy
dx
 vx
dv
v


dx 1  v 2
L x
Deshaciendo el cambio:
L
3. Integrar la ecuación diferencial:

dx
 1 1
   3  dv
x
v
 v
1
2v 2

 L v  LC
2
y
x

 y Ce
C 2y 2
dy
dx


xx
y 3x 2  y 2
2
 3y
2


Ecuación diferencial homogénea
3
x2
2 y2



1
2

Cv 1  v 
dv v 3  v
dx 1  3v
v x



dv  x 
2
3
dx 1  3 v
x
2 v 2 v
1v2
2
Deshaciendo el cambio se obtiene:
2
2
x  y2 x  y2  C y x
4.4. Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial de primer orden del tipo: y pxy  qx se dice lineal, ya que tanto y’ como y
aparecen en forma lineal. Para resolverla multiplicamos la ecuación anterior por e 
ye 
px dx
 pxye 
px dx
El primer miembro de esta ecuación es la derivada de ye 
 qxe 
p  x dx
px dx
px dx
, luego se verifica
p  x dx
d   px dx 
ye
 qx e 


dx 

La solución general será:
 p  x dx 
 px dx dx C 


yx   e 
q
x
e



Ejercicios de aplicación
4. Integrar la ecuación diferencial: x y  2y  e
x
2
ex
y y 
x
x
Solución general
ye

2
2
x
 ex
 x dx  e  x dx
e

C

 2
 x
 x
x  1 C
4.5. Ecuaciones diferenciales exactas
Una ecuación diferencial de primer orden: P( x ,y ) d x + Q( x , y) dy = 0 , es una diferencial exacta si
existe una función potencial U( x , y ) , tal que
4
d U = P d x + Q dy
(1)
Si esta función U(x, y) existe, entonces la ecuación se convierte en d U = 0, lo cual nos conduce a la
solución U (x , y ) = C .Sabemos
dU 
U
U
dx 
dy
x
y
al comparar con la expresión ( 1), se tiene
dU 
U
U
dx 
dy  P dx  Q dy
x
y
de donde se obtiene
U
U
P ,
Q
x
y
si suponemos que se verifica
 2U
 2U

 y x  x y
se obtiene , finalmente :
 P Q

y x
que es la condición para que la expresión : P( x ,y ) d x + Q( x , y) d y sea diferencial exacta .
Calculo de la función potencial: La condición vista anteriormente que es el teorema de Schwarz es una
condición necesaria para la existencia de función potencial. Veamos ahora que cuando se cumple esta
condición es posible obtener la función potencial. En efecto: de la relación
U
 P  Ux,y    Pdx  C
x
Siendo C una constante de integración que es una función de la variable y , ya que al integrar respecto
a x la y desempeña el papel de una constante . Así pues se tiene
U   Pdx  y 
5
(2)
El segundo miembro de la expresión (2) no depende de x, ya que su derivada respecto de x vale cero.
Luego se obtiene
Φ y y   Q 
P
dx  Ψy   Φy    Ψy dy  C 1
y
De donde la función potencial buscada será
Ux, y    Px,y dx  Ψy dy C 1
Ejercicios de aplicación




5. Integrar la ecuación diferencial: 1  4xy  2y dx  1  4xy  2x dy  0
2
2
Es una diferencial exacta .Por tanto vamos a calcular la función U (x, y) = C
dU 
U
U
dx 
dy  1  4xy  2 y 2 dx  (1  4 x y  2 x 2 ) dy
x
y
U

 1  4xy  2y 2 
x


U
2 
 1  4xy  2x

y


Ux, y   1  4xy  2y 2 dx  x 2x 2 y  2y 2 x  Φy
U
 1  4xy  2x 2  2x 2  4xy  Φ y y   Φy   y  C 1
y
La solución de la ecuación diferencial es: x 2  2x 2 y  2y 2 x  y  C 1  C
 y2

 x2  y2  x 


dy  0

Ly
dx

 2x 2



xy




6. Integrar la ecuación diferencial: 
 P x2  y2  Q


y
x
x2 y
6
Calculo de la función potencial




2
2
 U  x  y  x 



 y 
xy

 U y2

 Ly
 x 2x 2
 y2

y2
U    2  L y dx    L y Φy 
2x
 2x

De donde se deduce
dy
 U  x2  y2  x  1 y
    Φ y y   Φy   x
 
 x Ly  C
 y x
y 
xy
y

y2
Solución general de la ecuación diferencial: 
 L yx  1  C
2x
4.6. Ecuaciones que se pueden transformar en exactas mediante el uso de factores
de integración
Sea la ecuación diferencial
P(x, y) d x + Q (x, y) d y = 0
(3)
y supongamos que esta ecuación diferencial no es diferencial exacta . Se llama factor de integración a una
función que designamos por  ( x, y)
esión
P( x, y ) d x +Q ( x , y ) d y = 0
(4)
Sea diferencial exacta. Obligando a que la expresión (4) sea diferencial exacta se tiene que verificar

ρP    ρ Q
y
x
de donde se deduce
ρPy  ρ y P  ρ Q x  ρ x Q
7
(5)
En la practica la integración de esta ecuación en derivadas parciales puede ser tan difícil como la
ecuación original. Luego solo podremos encontrar factores de integración en algunos casos. Veamos
algunos casos particulares de interés
El factor integrante depende solo de x. En este caso  y  0 en la ecuación anterior de donde se obtiene
ρ x Py  Q x

 Fx 
ρ
Q
Si el lado derecho de la ecuación es función de x, se obtiene una ecuación de variables separadas, por tanto
se verifica
ρ  Ce 
F  x dx
El factor integrante depende solo de y. En este caso  x  0 en la ecuación (5), de donde se obtiene
ρ y
ρ

Q x  Py
P
 Fy 
El factor integrante depende de (x, y) . La ecuación diferencial tiene un factor integrante que depende de
(x, y) , ρ f ux, y 
En este caso se pone ρ  f ux, y  f(u) siendo u = u (x , y ) , de donde se obtiene
f(u ) P d x + f(u) Q d y =0
(6 )
Obligando a que la ecuación (6) sea diferencial exacta, se tiene
fuu y P f uPy  fuu x Q  f uQ x
de donde se obtiene
Q x  Py
fu 
 
f u  u y P u x Q
Si tiene un factor integrante que depende de u, como el primer miembro depende de u, el segundo también
con lo cual se verifica
8
Q x  Py
fu 
 
 F(u)
f u  u y P u x Q
Ejercicios de aplicación




7. Integrar la ecuación diferencial: y  6xy dx  3xy  6x dy  0
2
2
No es diferencial exacta. Calculo del factor integrante
dμ dy
1 dμ 1
 

uy
μ dy y
μ
y
La ecuación diferencial exacta será
u

 y 3  6x y 2 
x
u
u

du 
dx 
dy  y 3  6xy 2 dx  3xy 2  6x 2 y dy 


u
x
y
 3xy 2  6x 2 y

y
u   y 3 dx 6xy 2 dx  y 3 x  3x 2 y 2  Ψy 
De esta expresión se tiene
u
 3xy 2 6x 2 y  3xy 2  6x 2 y Ψ y y   Ψy   C1
y
La integral general será: C 1  C  y 3 x 3x 2 y 2
4.7. Ecuación diferencial de Bernouilli
La ecuación diferencial de Bernouilli, es una ecuación del tipo
y  A(x)y B(x)y m  0 ,
Para resolverla dividimos por y m
, con lo cual se tiene
y
1
 Ax  m 1  Bx   0
m
y
y
9
R
Realizamos el cambio u 
1
y
, a continuación derivamos respecto de x, con lo cual se tiene
m 1
1
u Ax u  Bx   0
m1
que es una ecuación diferencial lineal . Finalmente se deshace el cambio se obtiene la solución general de la
ecuación primitiva
Ejercicios de aplicación


8. Resolver la ecuación diferencial: xy y  2 dx  dy  0
3
Esta ecuación diferencial se puede poner en la forma
y 2x

x0
y4 y3
Cambio
1
 u , con lo cual se obtiene:
y3
2
1
u   C e 3x
2
Deshaciendo el cambio, se obtiene:
2
1
1
   C e 3x
3
2
y
4.8. Ecuaciones de primer orden no lineales en y’
4.8.1. Ecuación de Lagrange. Es una ecuación de la forma
y  x f y Φy
Derivando respecto a x, y haciendo y’ = p, se verifica
y  f y  xf   y
y
dy
dy
dp
dp
 Φ y y
 p  f p  x fp p
 Φ p p
dx
dx
dx
dx
Pongamos ahora
10
p
dp
1
1

 
dx dx x p
dp
De donde se obtiene
p  f p  x fp p
1
1
 Φ p p 
,
xp
xp
que da lugar a la ecuación lineal
x p, 
fp p
p f p
x
Φ p p
pf p
de esta ecuación se obtiene una solución de la forma : x    C p . La solución general de la ecuación
diferencial en forma paramétrica será
 x  ΨCp

y  ΨCpf p  Φp
Caso particular: Si : p - f(p) = 0 , siendo p0 una raíz de esta ecuación , estando (p0) definida , se puede
comprobar que : y  p 0 x Φp 0  satisface la ecuación diferencial .Si esta solución no se obtiene de la
solución general para un valor particular de C , se dice entonces que es una solución singular .
Ejercicios de aplicación
9. Resolver la ecuación diferencial:


y 2 x  e y  y  0
Ecuación de Lagrange, para resolverla hacemos y´= p, a continuación derivamos respecto a x, por tanto
se tiene
y  xp 2 e p p 2
p  p 2  2xp
dp
dp
dp
1
1
1
 p2 ep
 2pe p
 p 2  2xp   p 2 e p   2p e p 
dx
dx
dx
xp
xp
xp
se obtiene la ecuación lineal
11
x p 
e p p  2 
2x

p1
1p
Las ecuaciones paramétricas del haz integral son






1

x

C e p  p 2  p  1
2

p  1


2
y  p
Ce p  p 2  p  1
2

p  1

4.9. Ecuación diferencial de Clayrunt
Es un caso particular de la ecuación de Lagrange cuando f(y´) = y´ , se tiene: y  x y' Φ(y) . Para
resolverla aplicamos el método anterior


0  p x Φp pp  p x  Φp p  p  0  y  C
La integral general es: y= C x+ (C)
Por otra parte de x  Φ p p  0  x  Φ p p , en este segundo caso la solución es
y p Φ p p Φp 

x  Φ p p 

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una integral de la ecuación de Clayrunt . Si se puede
eliminar el parámetro p , se obtiene una ecuación de la forma f ( x , y )= 0 Esta curva integral se lla ma
solución singular de la ecuación de Clayrunt . La envolvente de la familia: y = C x +(C) , se obtiene
eliminando C en el sistema
y  Cx ΦC 

0 x ΦC  
y es la curva envolvente de la familia de rectas dadas por la integral general . Luego podemos decir
que a toda ecuación de Clayrunt corresponde siempre una integral general y una integral singular ,
obteniéndose la primera al reemplazar la derivada de la función por una constante arbitraria y
resultando la segunda de la eliminación de la constante entre dicha integral general y su derivada
respecto a la constante , la integral general representa la tangente a una curva , la solución singular da
la envolvente de aquellas rectas tangentes .
12
Ejercicios de aplicación
10. Integrar la ecuación diferencial: y  xy  y
2
1
La integral general se obtiene haciendo y ´= C, por tanto la integral general es y CxC 2  1
La integral singular se obtiene calculando la envolvente de la integral general
y CxC 2  1
x2

y


1

4
0 x  2 C

4.10. Trayectorias ortogonales
Sea el haz de curvas: F( x , y , c ) =0 , de ecuación diferencial : (
)
.Se llama trayectoria de un
haz de curvas , a una curva que corta a todas las del haz bajo un mismo ángulo  .Se trata de hallar
las trayectorias de ángulo  , ya que la tangente a la curva y la tangente a la trayectoria forman un
ángulo  
Fig.1
Sea tg  y tg  los coeficientes angulares de la curva del haz y de la trayectoria asociada respectivamente,
en el punto (x, y). Se tiene entonces
y  tgα  tg β v  
13
tgβ tg v
1 tgβ tg v
Por tanto, si f(x, y, y´)=0 es la ecuación diferencial del haz dado, la de sus trayectorias isogonales de ángulo
v, será
f(x, y,
Si se trata de trayectorias ortogonales v 
y 
y  tgv
)0
1  ytg v
π
π
, es decir , αβ   , la relación entre y´ e y 1 resulta ser :
2
2
1
y 1
Por tanto, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales será:

1
f x,y,   0
y 

4.11. Trayectorias ortogonales de ángulo  en coordenadas polares
Si la ecuación diferencial de la familia de curvas es f ρ ,θ,ρ  0 , la ecuación diferencial de la
familia de curvas ortogonales vendrá dada por la ecuación

ρ2
f ρ , θ, 
ρ


0


Ejercicios de aplicación
11. Hallar las trayectorias ortogonales del haz de curvas: y m =C x n
ym
C
xn
Ecuación diferencial del haz de curvas: my
Dividiendo por x
n 1
m 1
yx n y n nx n 1  0
e y m 1 , haciendo y  
1
, e integrando se obtiene
y
n  ydy m xdx n y 2 mx 2  C 1
Que son cónicas con ejes los de coordenadas
n  ydy m xdx n y 2 mx 2  C 1
14
12. Trayectorias ortogonales del haz de cardioides:  =C (1+cos θ)
ρ
C
1cosθ
Ecuación diferencial del haz de cardiodes: ρ1  cosθ   ρsenθ  0
Ecuación diferencial del haz de trayectorias ortogonales
ρ2
1  cosθ ρ senθ  0

ρ

El haz de curvas será: ρ 
dρ 1  cosθ 

dθ
ρ  senθ
C
θ
2
cos 2
Ejercicios resueltos
1. Integrar la ecuación diferencial: 3y y  ay  x  1
2
3
Cambio: y3 = Y  3y 2 y  Y
Ya Yx  1
Yx   e 
a dx
a x
a x
 x  1e  adx C   e ax  e x  1 e  C




a2
 a

La solución general será
y 3  Ce a x 
2.Integrar la ecuación diferencial: y 
ax  a  1
a2
2
y  1 , calculando la solución particular que pasa por el
x
punto P ( 1, -1)
15
yx   e
2
x
2

 1

1

  dx 
dx   1e x C  x 2  2 dxC  x 2   C 
x

 x



Solución particular: y = x -2 x2
3. Integrar la ecuación
xy
2



 y 3 dx  1  xy 2 dy  0 , calculando previamente un factor integrante
dependiente de y
Calculo del factor integrante
ρ y
2
1
  ρ  2
ρ
y
y
 1

x dy  0 , de donde se obtiene
2
y

La ecuación diferencial exacta será x  y dx  
U

 x y 
x
x2


U

xy Φy 

U 1
2

 x

 y y2
1
1
x xΦ y y   Φy   
2
y
y
x2
1
Integral general:
 x y  C
2
y


4. Resolver la ecuación diferencial x y  y dx  x dy  0 , sabiendo que admite un factor integrante
2
2
3
que depende del producto (x. y)
Sea: ρ=f (u), siendo u = x .y. Calculo del factor integrante
3x 2 x 2 2 y
fu 
2
2
 3


2
3
f u  x yxy x y
xy
u
f u  
1
1
 2 2
2
u
x y
La nueva ecuación diferencial será
16
1 1
  2
y x

Integral general:

x
dx  2 dy  0

y

1 x
 C
x y
5. Resolver la ecuación diferencial: y 
y
1
3
  x  1 y 2
x1
2
Ecuación de Bernouilli
y
1
1
3

 x  1  0
2
y y(x  1 2
Cambio
1
 u . La ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación lineal
y
u
u
1
3
  x  1
x  1 2
Solución general de la ecuación lineal: u 
1
x  14  Cx  1
6
Solución general de la ecuación diferencial:
1 x  1

Cx  1
y
6
4
7. Integrar la ecuación diferencial: y  2xy  2x y
3
3
Ecuación de Bernouilli
y 2x
 2  2x 3
3
y y
Cambio u 
1
. La ecuación dada se transforma en la ecuación lineal
y2
u4xu  4x 3
Solución general de la ecuación lineal
17
2
1
u  x 2  Ce 2 x
2
Solución general de la ecuación diferencial dada:

2
1
1
 x 2  Ce 2 x
2
2
y

8. Integrar la ecuación diferencial: 2xyy  3x  y  1
4
2


2xy
dy
 3x 4  y 2  1
dx
3x
 y 2  1 dx 2xydy  0
4

No es diferencial exacta. Calculo del factor integrante
ρ x 2 y2 y
2
1

 ρ 2
ρ
2 x y
x
x

1 
y2
2y
La ecuación exacta será:  3x 2  2  2 dx  dy  0
x
x
x 

y2
1
 x3   C
Integral general: 
x
x


9. Integrar la ecuación diferencial: xy  x y  x  y  1 y  0
2
2
2


La ecuación diferencial adopta la forma: xy 2 dx x 2  1 y  1dy
y  1
xdx

dy
2
1
y2
x
Integral general
x2  1 1
L
 C
y
y
10. Integrar la ecuación diferencial:
dy 1  y  b
 
 0
dx 2  a  x  y
18
La ecuación diferencial es:
y
2

2ba x dx2 2 a  xy dy  0
No es diferencial exacta .Busquemos un factor integrante dependiente de x
ρ x
2
1

 ρ
ρ
ax
ax2
Ecuación diferencial exacta
 y2
 2y 
2b 


 a  x 2  a x  dx   a x  dy  0




y2
2bLa  x   C
Integral general:
a  x
11. Integrar la ecuación diferencial: x x  1y  2x y  x  1  0
2
y 
Ecuación diferencial lineal: y  e
Integral general y 

2
x  1
2
y 2
x  1 x x  1

2 dx
x 1
 x  1  x2dx1

e
dx  C 
 2
 x x  1

1


x  C 


x
 x  1 
1
2
12. Integrar la ecuación diferencial x y  4y  2x  4  0 , determinando la solución particular que pasa
2
por el punto ( 1 , 1)
4
x
Ecuación diferencial lineal: y y  2x 
4
x
4
4
4    x dx 
 x dx  
Integral general: y  e
C   C x 4  x 2  1
  2x e
x
 

Integral particular: y x 4 x 2  1


13. Integrar la ecuación diferencial: 3xy  2 dx  2x ydy  0
2
2
19
No es diferencial exacta .Busquemos un factor integrante que depende solo de x
ρ x 1
 ρ  x
ρ x


La ecuación diferencial exacta será: 3x 2 y 2 2x dx2x 3 ydy 0
Integral general: x 3 y 2 x 2  C

14. Integrar la ecuación diferencial: x 

y 2  xy dy  y dx  0
Hagamos el cambio: x= v y d x= v dy + y d v
v y 

y 2  v y 2 dy  yv dy  y dv 
Simplificando se tiene

dv
1v
ye 2

1 v
dy
y
 e c1
Deshaciendo el cambio
ye
15. Integrar la ecuación diferencial: y'
2
yx
y
C
y
 x3  0
x
Ecuación diferencial lineal
ye


dx
x
dx


x
3

x
e
C



C x4
y 
x 5
20
16. Integrar la ecuación diferencial: x y' y  y L x  0
2
Ecuación diferencial de Bernouilli
y'
y
 y 2 Lx
x
y'
Lx
1


2
yx
x
y
Cambio:
 y'
1
 u  2  u'
y
y
Se llega a la ecuación diferencial lineal u'
ux   C x  L x  1  y(x) 
Lx
1
u
x
x
1
Cx Lx  1
1
17. Integrar la ecuación diferencial: y' x y 2  0
Ecuación diferencial de variables separadas
dy
dy
x y
  x dx
dx
y
 x2

y  
 C 
 4

18. Integrar la ecuación diferencial:
2
y  2 x y'Log y'
Ecuación diferencial de Lagrange: y’= p, se llega a la ecuación diferencial lineal
x 'p  2 x
1
1
 2
p
p
21
C 1

x  p 2  p


y  2 C  2  Log p

p
19. Integrar la ecuación diferencial: y  x y'
y'3
3
Ecuación diferencial de Clayrunt
Solución general: y  C x 
Integral singular: y  
1 3
C
3
3
2 2
x
3
20. Integrar la ecuación diferencial:
y  x y'1 - log y'
Solución general: y  C x  1  log C
Integral singular: y  2  log x
21. Integrar la ecuación diferencial: x y'y  e
y'
Solución general: y  C x  e C
Integral singular: y  x log x  x
22. Integrar la ecuación diferencial: (2 x-y2) d x+2 x y dy =0 mediante un factor integrante
Busquemos un factor integrante que depende de x
ρ'x  2
1

ρ 2
ρ
x
x
 2 y2
La ecuación diferencial   2
x x

2y
dx  
dy  0 es exacta

 x 

Integral general
22
y2
2Lx 
C
x
23
24
25