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propuesta docente proyecto más que un o 7º Primaria 1º E.S Matemáticas Matemáticas ES 7º / 1º PROPUESTA DIDÁCTICA proyecto más que uno Autores M.ª Amor Carrasco Prieto Raquel Martín Crespo José Manuel Ocaña Fernández Juana M.ª Sánchez Marín Revisión técnica Vidal Quiralte Fuentes Adaptación Liliana Villena EDELVIVES Este libro corresponde a la Educación Secundaria y forma parte de los materiales curriculares del Proyecto +q’1 Corrección: Laura Giussani - Florencia Carrizo · Diseño y maquetación: Cristina Morales Fotografía: Archivo GELV © Editorial Edelvives, 2008 · Impreso en Argentina Reservados todos los derechos de la presente edición por la Editorial Edelvives. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. MATEMÁTICAS CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS INTRODUCCIÓN Para elaborar este proyecto hemos tenido en cuenta tanto los intereses y las necesidades de los profesores como las características propias de los alumnos de este curso. Por este motivo hemos querido ofrecer un enfoque útil y práctico de la materia que permita a todos los alumnos adquirir las capacidades cognitivas abstractas y formales básicas necesarias para resolver problemas en distintos campos y desenvolverse en la vida cotidiana. Para conseguir lo anteriormente expuesto hemos desarrollado este proyecto a partir de tres objetivos básicos: 1. Acercar las Matemáticas al alumno, con ejemplos y actividades de la vida diaria. 2. Retroceder a las épocas más remotas de la Historia, donde conoceremos los instrumentos rudimentarios que se utilizaban para las mediciones, las costumbres de las sociedades, etc. y, de esta forma, comprobar cómo este conjunto de conocimientos y procedimientos matemáticos han ido evolucionando con el paso del tiempo. 3. Plantear distintos tipos de actividades, tanto de ingenio como de refuerzo, atendiendo a la diversidad del alumnado sin olvidar que las Matemáticas deben cumplir un papel formativo básico e instrumental. La estructura que se ha establecido en el Libro del alumno pretende dar respuesta a todas estas inquietudes, e intentar que el alumno sienta la necesidad y el gusto por aprender Matemáticas. En cada unidad cabe destacar las siguientes secciones: Presentación de la unidad Se trata de una doble página donde se presenta el índice de contenidos de la unidad, así como una serie de ilustraciones alusivas a los contenidos, un texto introductorio y una actividad para que el alumno la resuelva. Cabe destacar que no hay definiciones, sino que se trata de un acercamiento a la teoría que se va a desarrollar luego en la unidad. El apartado reservado para Una vista atrás ofrece al alumno la posibilidad de recordar los conceptos de cursos anteriores que le van a ser necesarios para una mejor comprensión de la unidad. Teoría Las páginas de teoría tienen fórmulas, propiedades y definiciones que están destacadas entre “puntitos” celestes. Además, en el marginal aparecen propiedades o fórmulas de años anteriores, uso de la calculadora y reseñas de historia de la matemática. Resolución de problemas Con esta sección se pretende que, mediante una serie de estrategias, el alumno solucione un problema propuesto y adquiera un conjunto de destrezas que le permita resolver otros más complejos. Actividades Las actividades finales se inician con un Mapa conceptual que el alumno tendrá que completar y, con la respuesta a una serie de cuestiones planteadas, ampliar. A continuación se proponen unas actividades de Cálculos para continuar con actividades agrupadas según los epígrafes de la unidad. Desafíos Esta última sección pretende que el alumno resuelva una serie de actividades sin necesidad de utilizar los algoritmos o procedimientos habituales, sino que ponga en práctica el razonamiento y la propia lógica. De esta forma, se consigue que el aprendizaje de las Matemáticas no se convierta en una mera mecánica o en la aplicación de un conjunto de fórmulas. Anexo Se encuentra al final del libro y contiene actividades para aplicar la matemática en la vida real, fórmulas y propiedades. Por último, 2 cuerpos para recortar y armar. 3 ESTRUCTURA La estructura del libro del docente está dividida en: • Título de cada unidad con objetivos y criterios de evaluación. • Contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. • Contribución de cada unidad al desarrollo de las competencias básicas. • Sugerencias metodológicas. • Nuevas tecnologías. • Direcciones de Internet. Al final se encuentra el Solucionario con las respuestas a todos los ejercicios del libro. 4 1 Números enteros OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Construir el conjunto de los números enteros. 2. Ordenar y representar números enteros en la recta numérica. 1. Utilizar los números enteros para representar situaciones reales. 2. Representar números enteros en la recta numérica. 3. Operar correctamente con números enteros. 3. Ordenar y comparar números. 4. Interpretar, resolver y estimar problemas con números enteros. 4. Aplicar la jerarquía de las operaciones con números enteros. 5. Identificar algunos detalles históricos de las Matemáticas relacionados con los contenidos y procesos sobre los que el alumno está trabajando. 5. Emplear las propiedades de las operaciones como simplificación de los cálculos. CONTENIDOS Conceptuales 1. El conjunto de los números enteros. 2. Representación de los números enteros. Valor absoluto. 3. Ordenación de los números enteros. 4. Operaciones con números enteros. Propiedades. 4.1. Adición de números enteros. 4.2. Sustracción de números enteros. 4.3. Multiplicación de números enteros. 4.4. División de números enteros. 4.5. Potencias de números enteros. 4.6. Raíces de números enteros. 5. Operaciones combinadas. Procedimentales Actitudinales 1. Resolución de problemas de la vida cotidiana que no se pueden determinar con solo la utilización de los números naturales. 1. Rigor y precisión en el cálculo de operaciones. 2. Uso correcto del valor absoluto para utilizar el opuesto y el simétrico de un número. 3. Cuidado y respeto por el material que se utiliza. 3. Aplicación de los números enteros en ejemplos reales para su ordenación. 2. Curiosidad e interés por resolver problemas numéricos. 4. Valoración y crítica del uso de la calculadora. 5. Cooperación y equilibrio en el trabajo grupal y en la tarea individual. 4. Realización de operaciones con la correcta aplicación de la jerarquía de las operaciones. 6. Crítica de la información recibida a través de los medios de comunicación. 5. Resolución de operaciones combinadas (con o sin calculadora), utilizando con corrección el paréntesis. 7. Análisis y valoración del proceso evolutivo matemático. 8. Confianza y tolerancia en las propias capacidades sin discriminación ninguna para afrontar problemas y resolverlos. 9. Curiosidad por la relación existente entre la historia y el avance matemático. 10. Reconocimiento, valoración y crítica de la presencia de las Matemáticas en otras ciencias. 5 01 NÚMEROS ENTEROS CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los números enteros. • Utilización del lenguaje, tanto escrito como oral, para interpretar y comprender la realidad. • Análisis de las situaciones presentadas y extracción de conclusiones. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Aplicar los conocimientos de naturaleza numérica, y su utilidad para expresar situaciones distintas. Tratamiento de la información y competencia digital: • Empleo de Internet para obtener información de carácter científico y búsqueda en el origen y utilización de los números enteros. • Utilización de diversos programas informáticos (Derive, Word...) Competencia social y ciudadana: • Fomentar el trabajo en equipo mediante la cooperación en la búsqueda de información y su posterior análisis para, finalmente, su exposición. Competencia para aprender a aprender: • Precisión y exactitud en la realización de operaciones con números enteros. • Autonomía, perseverancia, reflexión crítica y habilidad para resolver y comunicar con eficacia los resultados de los problemas numéricos. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de estrategias para la resolución de problemas de números, controlando a la vez los procesos de toma de decisiones a la hora de resolverlos. 6 01 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS En esta unidad se trabajan los números enteros, tema del que los alumnos tienen nociones básicas de cursos anteriores. Trabajaremos el aprendizaje de estos números, de manera que el alumno, poco a poco, lo vaya construyendo, obligándolo a verse en la necesidad de utilizar dichos números a través de situaciones presentes en la vida cotidiana. Nuestra misión en esta unidad es formar al alumno para que llegue a la abstracción no del objeto, sino del concepto de entero por la acción, introduciendo los números enteros en situaciones que se dan en la vida cotidiana y sus operaciones para resolver infinidades de situaciones mercantiles, sanitarias, de transporte, de deporte, etc. Además, se intenta que esta adquisición de conocimientos sea un trabajo de investigación, de forma que en los márgenes del libro del alumno se les inicia en la historia o en curiosidades matemáticas que permitan crear ese interés por hacer matemáticas. 1 Los números enteros. Representación y valor absoluto En este epígrafe, como se ha dicho en la introducción, lo más importante no es el concepto de número entero, sino hacer ver al alumno la imperiosa necesidad de utilizar estos números y que con los conocidos hasta ahora, los naturales, es imposible resolver situaciones que a diario se producen a su alrededor. Se intenta familiarizar al alumno con ellos, utilizando al principio situaciones sencillas y cercanas a él (como es el caso de las temperaturas, el nacimiento de personajes partiendo del año cero, nacimiento de Cristo, etc.) para que, poco a poco, puedan llegar a situaciones un poco más abstractas desprovistas de situaciones perceptivas. Se indicará a los alumnos la nueva forma de expresar los números naturales: los positivos, provistos de su signo +, y los números negativos, de su signo –; incluso remarcaremos la diferencia del signo que antecede al número, para ello, al número en cuestión lo pondremos entre paréntesis con su signo y el signo que indica operación aritmética. La representación de los números enteros sobre la recta resulta sencillo para el alumno tras la representación de temperaturas en un termómetro, o de los niveles que recorre un ascensor; es decir, por casos perceptibles. Una vez asimilada esta aplicación de los enteros será fácil su representación sobre la recta, primero representando los números naturales y a la izquierda de ellos los enteros negativos. Se debe insistir en la precisión y exactitud de la representación geométrica sobre la recta de los números enteros para introducir y aprender correctamente el concepto de valor absoluto y simétrico de un número; haciendo ver a los alumnos que los enteros negativos son simétricos de los enteros positivos, donde su punto simetría es el 0. 2 Ordenación de los números enteros A partir de situaciones que se representan, como por ejemplo posiciones en la recta, el alumno llegará con facilidad a ordenar enteros, comprobando, así, que los números situados a la derecha de otro dado son mayores que este. Familiaricemos al alumno con la utilización de los símbolos >, < e = para la ordenación de estos números sin necesidad de una previa representación gráfica de ellos. 7 01 NÚMEROS ENTEROS 3 Operaciones con números enteros. Propiedades Se plantean contextos donde hay números con el mismo signo, así el alumno se da fácilmente cuenta de que la operación suma con números enteros es igual que con naturales. La utilización de las propiedades potenciará el manejo del cálculo en la suma de los enteros que surjan de una manera natural en las diferentes situaciones planteadas. Asimismo, se realizan sumas con números de distinto signo, en las cuales el alumno apreciará que el resultado de una suma de enteros puede ser mayor, menor o igual a cero, pero siempre números enteros. Estas sumas sobre la recta toman significado cuando damos valor numérico a las posiciones y a los desplazamientos, actuando estos últimos como operadores. Al efectuar las operaciones con números enteros aparecerán, por un lado, el paréntesis y el corchete, donde el alumno, una vez asimiladas las propiedades de la suma, aprenderá a que en primer lugar tiene que realizar lo que ellos encierran y, por otro lado, el signo negativo delante de un paréntesis. 4 Operaciones combinadas Las actividades de este epígrafe van encaminadas a ejercitar la habilidad y el cálculo mental en el alumno. Se utilizan, para ello, todas las operaciones y se remarcan, sobre todo, el uso correcto del paréntesis y la prioridad de las operaciones. Se intenta dejar a un lado la forma de operar con los números enteros; es decir, operar según el orden en el que aparecen, y se refuerza con ejercicios prácti- cos la importancia de la jerarquía de las operaciones. Es de vital importancia dedicarle a este punto más tiempo que a cualquier otro, ya que del manejo y uso correcto de estas operaciones, dependerá el fracaso o el éxito del alumno en otros campos de las Matemáticas. NUEVAS TECNOLOGÍAS NÚMEROS ENTEROS CON DERIVE El programa de cálculo con Derive permite realizar operaciones simples y operaciones combinadas con números enteros. Así, por ejemplo, si queremos calcular el resultado de la siguiente expresión: (–25) + (–25) + (–25) Debemos seguir los pasos que se indican a continuación: 1º Seleccionar primero Editar (autor)/Expresión. 2º Escribir la expresión, es decir: (–25) + (–25) + (–25) 3º Hacer clic sobre el botón de la barra de herramientas o bien, simplemente pulsar Enter y en la pantalla aparecerá la expresión a calcular. 8 4º Finalmente, con el botón sultado de la operación. , obtendremos el re- 01 MATEMÁTICAS OPERACIONES COMBINADAS En este caso, para calcular 12 – (–5) · [(–17) + (–30)], debemos realizar los siguientes pasos: 1º Introducimos la operación combinada que queremos resolver. 2º A continuación, pulsamos Intro para que la operación quede reflejada en la pantalla. 3º Pulsamos la tecla y aparecerá (–235) +12, es decir, comprobaremos que el programa resuelve en primer lugar (–5) · [(–17) + (–30)] = (–235). Para obtener el resultado final, –243, debemos introducir esta vez (–235) + 12 y presionar de nuevo la tecla . POTENCIAS CON NÚMEROS ENTEROS Si queremos averiguar el resultado de (–3)3 · (–3)2, tendremos que hacer lo siguiente: De igual forma, si queremos calcular (–3)5 · (–3)4, habrá que seguir los mismos pasos. 1º Primero escribimos (–3)^3*(–3)^2. 1.º Escribimos (–3)^5/(–3)^4. 2º A continuación, pulsamos Intro para introducir la expresión en la pantalla: (–3)3 · (–3)2. 2.º Pulsamos Intro a continuación y aparecerá en la (–3)5 pantalla . (–3)4 3.º Hacemos clic en la tecla y así obtenemos el resultado, –3. 3º Y, por último, con la tecla sultado final, (–243). , obtenemos el re- 9 01 NÚMEROS ENTEROS DIRECCIONES DE INTERNET http://interactiva.matem.unam.mx/index_flash.html Página donde se puede encontrar todo lo referente a sumas y restas de números enteros, cuadrados mágicos... http://interactiva.matem.unam.mx/juegos/i_d.html Juegos matemáticos con números enteros. http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/html/ind2.html Página donde se puede encontrar la historia de las cifras, el origen del 0 y muchas cosas más referentes a la historia de los números. http://www.gratisweb.com/numeros_enteros/numeros/numeros/htm Aplicaciones a juegos con números enteros, problemas con soluciones de enteros, documentos matemáticos (historia de los números, matemáticos famosos, mujeres matemáticas, etc.). http://www.cnice.mecd.es/Desvartes/1y2_eso/Representación_numeros_en_recta/Representación_de_ numeros.html Sitio en el cual aparece todo lo referente a representación de números enteros y también un diccionario matemático. http://es.wikipedia.org/wiki/N%FAmeros_enteros Enciclopedia en la que podremos operar con números enteros. http://enciclopedia.us.es./wiki.phtml?title=n%FAmeros+enteros Página en la que se construye el conjunto de los números enteros. http://ciencias.bc-inter.edu/ntoro/mate0010/bases/arit/tsld022.html 7 http://ciencias.bc-inter.edu/ntoro/mate0010/bases/arit/tsld023.html Páginas en las que hace referencia al opuesto de un número entero y el valor absoluto; con ejercicios resueltos para practicar. http://www.sectormatematica.cl/pruebas/8%BA%20numeros%20enteros.doc Sitio en el cual aparecen exámenes de números enteros. 10 2 Números fraccionarios OBJETIVOS 1. Asimilar el concepto de fracción. 2. Reconocer el conjunto de las fracciones. 3. Utilizar el concepto de fracciones equivalentes para obtener fracciones ampliadas y simplificadas. 4. Reducir a común denominador para comparar fracciones. 5. Ordenar y representar gráficamente las fracciones. 6. Realizar correctamente operaciones con fracciones. CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Simplificar una fracción hasta quedar irreducible. 2. Obtener una fracción equivalente ampliada a una dada. 3. Ordenar fracciones utilizando la reducción a común denominador y representarlas en la recta numérica. 4. Realizar correctamente cálculos con fracciones, aplicando las reglas de prioridad en operaciones que intervengan las seis operaciones y el empleo de paréntesis. 5. Utilizar las fracciones y los decimales de forma adecuada en las actividades de la vida cotidiana. 6. Elegir las operaciones adecuadas en la resolución de los problemas y analizar razonadamente la solución obtenida y su significado. CONTENIDOS Conceptuales 1. Fracciones. 2. Fracciones equivalentes. 3. Simplificación y ampliación de fracciones. 4. Comparación y ordenación. 5. Adición y sustracción de fracciones. 6. Multiplicación de fracciones. 7. División de fracciones. 8. Potencias y raíces de fracciones. 9. Operaciones combinadas. Procedimentales 1. Identificación entre decimales exactos y fracciones. 2. Interpretación y representación de las fracciones utilizando figuras para expresar el significado del numerador y del denominador. 3. Distinción entre fracciones propias e impropias. 4. Uso de las propiedades de las fracciones equivalentes para simplificar y ampliar una fracción dada. 5. Comparación de fracciones por la reducción a común denominador. 6. Ordenación de las fracciones en la recta numérica. 7. Aplicación de los algoritmos para la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación de fracciones. 8. Simplificación de operaciones con potencias de fracciones, utilizando las propiedades de dichas potencias. 9. Utilización de la jerarquía de las operaciones para realizar aquellas que contengan paréntesis. 10. Identificación de problemas en los que intervengan fracciones, y aplicación de diversas estrategias, tanto para diferenciar los datos de las incógnitas como para su posterior resolución. 11. Reconocimiento en la vida cotidiana de la presencia y empleo de las fracciones en medidas, cuentas o expresión de magnitudes. Actitudinales 1. Valoración positiva del nuevo conjunto de las fracciones y de las necesidades que resuelve. 2. Utilización de las fracciones en la vida cotidiana y su incorporación a nuestro lenguaje numérico. 3. Perseverancia e interés por alcanzar expresiones más simplificadas y por el uso de fracciones equivalentes. 4. Reconocimiento y valoración del empleo de la estrategia adecuada en la resolución de problemas. 5. Valoración del uso de las fracciones para la realización de cálculos y su aplicación a la vida cotidiana. 6. Confianza en las propias capacidades para realizar operaciones con fracciones y resolver problemas. 7. Sensibilidad y cuidado en la presentación ordenada y concisa, tanto en los pasos seguidos en la resolución de problemas como en la elaboración de trabajos. 11 02 NÚMEROS FRACCIONARIOS CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los números fraccionarios. • Análisis de las situaciones presentadas y extracción de conclusiones. • Uso funcional del lenguaje matemático tanto escrito como oral para interpretar y comprender la realidad. Competencia matemática: • Utilización de los números fraccionarios para medir y comparar. • Uso de los contenidos relativos a números fraccionarios para resolver problemas presentes en la vida real. • Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervengan números fraccionarios. • Interés y seguridad para resolver problemas en los que aparezcan números fraccionarios. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Mejor conocimiento de los fenómenos naturales a través de conceptos matemáticos que permitan desenvolverse con soltura y confianza en la vida. • Adquisición de unos hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemático de los medios de información. Tratamiento de la información y competencia digital: • Recolección, selección, procesamiento y presentación de información con números fraccionarios. • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. Competencia social y ciudadana: • Conocimiento del avance científico que permite comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual. • Aceptar y poner en práctica las normas de convivencia en los trabajos en grupo. Competencia cultural y artística: • Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las que tengan contenidos matemáticos. Competencia para aprender a aprender: • Motivación para desarrollar y perfeccionar las propias capacidades matemáticas. • Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión y claridad en su exposición. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos utilizando métodos matemáticos. • Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje. 12 02 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Los alumnos ya tienen unos conocimientos previos de las fracciones, pero en esta unidad se reforzará el concepto de fracciones equivalentes y se consolidarán las pautas para operar con las fracciones, en general. Durante el desarrollo de la unidad es conveniente hacer uso de representaciones gráficas para mejorar el entendimiento de los diferentes conceptos por parte de los alumos. Como materiales auxiliares se pueden utilizar juegos de dominó con fracciones para afianzar los cálculos con estas; y juegos de piezas, como el Tangram, con los que se puedan realizar diferentes actividades para comprender los conceptos de fracción y de fracción equivalente. 1 Fracciones. Fracciones equivalentes Generalmente, el concepto de fracción lo asimilan fácilmente los alumnos, tan solo realizando un rápido repaso. Para favorecer su comprensión, suele ser de bastante ayuda plasmar el concepto de fracción a través de dibujos. El concepto de fracción equivalente puede que sea nuevo para algunos alumnos o que, sencillamente, no lo recuerden; además, conviene insistir bastante en él por la gran importancia que supone para el desarrollo de toda la unidad, así como de cursos sucesivos. 2 Simplificación y ampliación de fracciones Este epígrafe permitirá al alumnado consolidar el concepto de fracción equivalente, y dará pie a introducir el importantísimo concepto de fracción irreducible, que tanto reparo tienen los alumnos en aplicar; por lo tanto, debemos, desde el primer momento, hacerles ver su importancia y eficacia. 3 Comparación y ordenación Se introduce el concepto de reducir fracciones a común denominador para poder, en el siguiente epígrafe, resolver las operaciones de adición y sustracción de fracciones. Es muy importante, y en este punto todavía muchos alumnos sufren graves lagunas, dominar el cálculo del mínimo común múltiplo. 13 02 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4 Adición y sustracción de fracciones Una de las prioridades de este epígrafe consiste en conseguir que los alumnos sepan sumar y restar fracciones con destreza y rapidez. Mediante un ejemplo, debido a la simplificación en los cálculos, pueden apreciar la diferencia entre aplicar un criterio u otro. Para ello, es necesario hacerles ver la necesidad de reducir a común denominador aplicando el concepto del m.c.m. y evitar que efectúen las sumas y restas con otro múltiplo común. Para su mejor comprensión, también resulta práctico la representación gráfica de la adición y sustracción de fracciones con el mínimo común múltiplo de los denominadores. 5 Multiplicación de fracciones Debido a que la multiplicación de fracciones no es intuitiva, resulta muy práctico comparar el resultado gráfico con el del cálculo numérico. Conviene insistir en que para la multiplicación de fracciones no se necesita reducir a común denominador. 6 División de fracciones Igual que la multiplicación, la división de fracciones tampoco es intuitiva, por lo que resulta también muy práctico comparar el resultado gráfico con el del cálculo numérico. Asimismo, conviene insistir en que para dividir fracciones no se necesita reducir a común denominador. 7 Potencias y raíces de fracciones Para que los alumnos efectúen correctamente la potencia de una fracción es necesario indicarles que, según la definición de potencia, tienen que repetir la base tantas veces como indique el exponente. Cuando tengan bien asimilado este concepto, podrán realizar el cálculo sin esta repetición. De igual manera se trabajará con raíces, teniendo en cuenta que la raíz de una fracción se calcula hallando la raíz del numerador y la raíz del denominador. Insistir en la importancia de utilizar la regla de signos vista en números enteros. 8 Operaciones combinadas Cuando se realizan operaciones combinadas con fracciones, cobra gran importancia indicar a los alumnos que la prioridad de las operaciones es la misma que la que se aplica con otros números. 14 02 MATEMÁTICAS NUEVAS TECNOLOGÍAS LAS FRACCIONES CON LA CALCULADORA NÚMEROS MIXTOS La calculadora permite también realizar operaciones con fracciones; únicamente es necesario usar la tecla ab/c y tener en cuenta que, para expresar en la pantalla una fracción, utiliza el símbolo _| , el cual equivale al trazo horizontal que normalmente separa el numerador y el denominador. Por ejemplo, para escribir la fracción 2 debemos 5 pulsar las teclas: La calculadora expresa las fracciones impropias mediante un número mixto, el cual está formado por una parte entera y otra fraccionaria. Por ejemplo, la fracción 3 no aparecerá en la pantalla 2 de la calculadora como 3 _|2 , sino como el núme- 2 ab/c 5 = En la pantalla aparece: 2 _|5 Por tanto, cuando realicemos alguna operación cuyo resultado sea una fracción impropia, el resultado final que aparecerá en la pantalla será su número mixto correspondiente. 2 + 3 = 19 =1 9 5 2 10 10 OPERACIONES CON FRACCIONES Para operar con fracciones en la calculadora, simplemente se debe utilizar la notación anterior. Ejemplos: 1 + 1 = 5 ⇒ 1 ab/c 3 + 1 ab/c 2 = ⇒ 5 _|6 3 2 6 3 – 2 = 1 ⇒ 3 ab/c 4 – 2 ab/c 3 = ⇒ 1 _|12 4 3 12 1 · 2 = 2 = 1 ⇒ 1 ab/c 6 · 2 ab/c 5 = ⇒ 6 5 30 15 1 _|15 1 : 1 = 2 ⇒1 ab/c 3 1 ab/c 2 = ⇒ 2 _|3 3 2 3 El resultado siempre viene expresado como una fracción irreducible. ro mixto 1 _|1 _|2 . 2 ab/c 5 + 3 ab/c 2 = ⇒ 1 _| 9 _|10 En las calculadoras las funciones que tiene cada tecla son dos: la función normal y la función SHIFT . Si queremos transformar el número mixto en la fracción impropia de la que procede, debemos emplear la función inversa SHIFT . Así, la función inversa de la tecla ab/c es la función d/c, que aparece escrita, en otro color, encima de la tecla ab/c . Para poder usarla debemos teclear: SHIFT ab/c En la suma anterior el resultado ha sido 1 _| 9 _|10 , si quisiéramos mostrarlo como fracción, pulsaríamos las siguientes teclas: SHIFT ab/c ⇒ 19 _|10 Y, para volver a representarlo como número mixto, utilizaríamos la misma secuencia de teclas: NÚMEROS DECIMALES SHIFT ab/c ⇒ 1 _| 9 _|10 Para convertir una fracción en su número decimal correspondiente, por ejemplo, 1 debemos teclear: 2 1 ab/c 2 = ⇒ 1 _|2 y volver a pulsar ab/c ⇒ 0.5 15 02 NÚMEROS FRACCIONARIOS POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES Para poder calcular potencias cuadradas y raíces cuadradas en la calculadora es muy importante el uso de los paréntesis al ingresar la fracción. 2 2 Por ejemplo, para calcular 7 debemos escribir: 2 y luego pulsar las teclas x2 7 4 En la pantalla aparecerá: 49 Por ejemplo, para calcular 814 y pulsar la tecla = 814 debemos escribir: = En la pantalla aparecerá: 4.5 9 Presionando las teclas SHIFT ab/c aparecerá el resultado en fracción: 2 En la actualidad hay muchos modelos de calculadoras científicas y no todas son iguales. Varían en las teclas y en la forma de ingresar datos y operar con ellos. Por eso es conveniente pedirles a los alumnos que traigan el manual de uso. DIRECCIONES DE INTERNET http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Numeros2.htm Dirección en la que se practica la representación de fracciones en la recta numérica. http://www.conevyt.org.mx/biblioteca/secab_mat1/secab_mat1/u1_leccion11.pdf Página en la que se recoge una buena información sobre fracciones equivalentes. http://www.conevyt.org.mx/biblioteca/secab_mat1/secab_mat1/u1_leccion12.pdf Dirección para practicar las sumas y las restas de fracciones. http://www.nalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-019.htm En esta página se plantean problemas sobre fracciones. http://education.ti.com/downloads/guidebooks/es/7303esp.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/es/15tg_08-esp.pdf Se trata de unas páginas para realizar operaciones con fracciones usando la calculadora. 16 3 Expresiones decimales OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Usar los expresiones decimales para cuantificar y representar la realidad. 2. Comparar expresiones decimales. 3. Comprobar la relación entre expresión decimal y fracción; saber pasar de una forma a otra. 4. Operar con expresiones decimales. 5. Utilizar estrategias personales de cálculo mental. 6. Emplear las expresiones decimales en la resolución de problemas de la vida cotidiana, realizando redondeos y estimaciones cuando proceda. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Identificar el significado de expresión decimal. Ordenar y representar expresiones decimales. Ordenar y representar expresiones decimales. Pasar correctamente de fracción a decimal y viceversa. Operar correctamente con expresiones decimales. Resolver problemas utilizando las operaciones con expresiones decimales y realizando redondeos o estimaciones cuando proceda. CONTENIDOS Conceptuales Procedimentales 1. Escritura y lectura de expresiones decimales. 1. Descomposición polinómica de una expresión decimal. 2. Ordenación y representación. 3. Conversión de decimal a fracción. 2. Ordenación y representación de expresiones decimales. 4. Operaciones con expresiones decimales. 3. Obtención de la fracción asociada a una expresión decimal. 5. Redondeo y estimación. 4. Operaciones con expresiones decimales, utilizando distintos procedimientos de cálculo (mental, algoritmos, uso de la calculadora). 5. Empleo de las técnicas de redondeo de expresiones decimales. 6. Resolución de problemas de la vida cotidiana donde aparecen expresiones decimales. Actitudinales 1. Aprecio por la precisión en el cálculo. 2. Estimación de la utilidad de las expresiones decimales para la representación de situaciones reales y en la resolución de problemas. 3. Valoración crítica del uso de la calculadora para operaciones con expresiones decimales e investigaciones numéricas. 4. Sensibilidad y gusto en la presentación ordenada y clara, tanto del proceso seguido en la resolución de problemas y cálculos numéricos como de los resultados obtenidos. 5. Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas numéricos. 6. Confianza en las propias capacidades para operar con expresiones decimales, resolver problemas y realizar estimaciones numéricas. 17 03 EXPRESIONES DECIMALES CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a las expresiones decimales. • Análisis de las situaciones presentadas y extracción de conclusiones. • Uso funcional del lenguaje matemático tanto escrito como oral para interpretar y comprender la realidad. Competencia matemática: • Utilización de las expresiones decimales para medir y comparar. • Uso de los contenidos relativos a expresiones decimales para resolver problemas presentes en la vida real. • Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervengan expresiones decimales. • Interés y seguridad para resolver problemas en los que aparezcan expresiones decimales. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Mejor conocimiento de los fenómenos naturales a través de conceptos matemáticos que permitan desenvolverse con soltura y confianza en la vida. • Adquisición de hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemático de los medios de información. Tratamiento de la información y competencia digital: • Recolección, selección, procesamiento y presentación de información con expresiones decimales. • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. Competencia social y ciudadana: • Conocimiento del avance científico que permite comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual. • Aceptación y puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo. Competencia cultural y artística: • Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las que tengan contenidos matemáticos. Competencia para aprender a aprender: • Motivación para desarrollar y perfeccionar las propias capacidades matemáticas. • Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión y claridad en su exposición. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos utilizando métodos matemáticos. • Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje. 18 03 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS 1 Expresiones decimales. Ordenación y representación Las actividades planteadas en este epígrafe pretenden que el alumno sea capaz de identificar el valor de las cifras de una expresión decimal según la posición de estas. Realizar actividades en grupo puede resultarles interesante, como: medidas y trabajos con calculadora (números entre dos números). Es necesario que el alumno conozca bien el valor posicional de las cifras para no cometer errores en la ordenación y representación de expresiones decimales. 2 Conversión de decimal a fracción Es conveniente recordar primero cómo se pasa de fracción a decimal, observando que hay divisiones que no son exactas y pueden aparecer expresiones decimales periódicas. Los alumnos se pueden poner sus propias divisiones y, después, observarán en la puesta en común que los resultados son los diferentes tipos de números que van a poder expresar en forma de fracción. No se demuestra en este nivel la conversión de decimal periódico en fracción, pero lo que sí es conveniente es que comprueben sus resultados realizando la división. Además deben pasar de decimal a fracción, teniendo en cuenta la importancia de simplificar hasta la fracción irreducible. Esto traerá sus ventajas en los cálculos combinados. 3 Operaciones con expresiones decimales Los alumnos tienen que poner mucho cuidado en la colocación de las cifras, sobre todo en la suma y, especialmente, en la resta de un número menor menos otro mayor. Asimismo, deben prestar atención a la prioridad de operaciones y signos. Han de tener en cuenta que la división de números decimales se puede transformar en una división de números enteros, multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de ceros. En la potenciación y en la radicación pueden elegir operar con fracciones o con expresiones decimales, teniendo en cuenta las reglas de signos correspondientes. 4 Redondeo y estimación Las actividades que se proponen en este epígrafe están encaminadas a que los estudiantes entiendan los conceptos de redondeo y estimación. 19 03 EXPRESIONES DECIMALES NUEVAS TECNOLOGÍAS LOS NÚMEROS DECIMALES EN LA CALCULADORA Introducción de números decimales • Ya se sabe que para introducir la coma de un número decimal se tiene que pulsar la tecla • . • Si la parte entera del número decimal que se quiere introducir es cero, no es necesario teclearlo, se puede empezar directamente por la coma. 0,325 Æ • 3 2 5 • Si el número decimal que se quiere introducir es negativo, teclear el número y después pulsar la tecla +/– . – 25 ⇒ 2 5 +/– Operaciones con decimales y paréntesis utilizando las teclas de memoria Vamos a realizar la siguiente operación: 62,34 – (8,45 – 4,06) • Para ello, tecleamos 62 • 34 M+ y el número queda guardado en la memoria. • A continuación, introducimos la expresión del interior del paréntesis, 45 – 4 06 M– y obtenemos el resultado, 4.39. • Por último, pulsamos la tecla MR y en la pantalla aparece el resultado final del ejercicio, 57. 95 . 8 • • La siguiente operación es un poco más complicada que la anterior: 3,45 · 2,47 – 3,2 · (– 2,3 + 5,3) • Introducimos primero la multiplicación, 3 • 45 3 2 • 47 seguida de la tecla M+ para guardar el resultado obtenido, 8.5215, en la memoria. • A continuación, insertamos la expresión que está dentro del paréntesis, 2 • 3 +/– + 5 • 3, pulsamos la tecla = y después 3 3 • 2 seguido de la tecla M– para restar este resultado del que teníamos guardado en la memoria. En la pantalla aparece 9.6 , que es el resultado de 3,2 · (– 2,3 + 5,3). • Por último, con la tecla MR , comprobamos el resultado final del ejercicio, – 1.0785 . Si tienen una calculadora científica no es necesario que se usen las teclas de memoria, observarán que tiene unas adicionales que permiten abrir y cerrar paréntesis, con las que se pueden realizar este tipo de operaciones combinadas con mayor sencillez. Escribir la operación de la siguiente manera: 3 • 45 3 2 • 47 – 3 • 2 3 rectamente el resultado, –1.0785 . [(––– 2 • 3 ± 5 • 3 –––)] = y en pantalla aparecerá di- Cálculo de raíces cuadradas Para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada del número 0,01, se inserta en primer lugar dicho número, después se pulsan las teclas y = y se obtiene el resultado en la pantalla, 0.1 En algunas calculadoras se pulsa primero la tecla de la raíz cuadrada y luego se introduce el número. Debes leer atentamente el manual de uso de la calculadora o preguntar a tu docente. 20 MATEMÁTICAS 03 DIRECCIONES DE INTERNET http://www.escolar.com/matem/11opdec1.htm Página para realizar operaciones con decimales. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Decimales.htm Dirección de resolución de ejercicios con decimales desarrollados paso a paso. http://www20.brinkster.com/fmartinez/aritmetica5.htm En esta página se desarrolla el tema de decimales con mayor profundidad, con diferentes ejercicios. http://www.mineduc.cl/media/lpt/zonas/doc/1/D200212231246501872.pdf Página con muchos ejercicios para practicar con las expresiones decimales. 21 4 Lenguaje algebraico OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Expresar en lenguaje algebraico enunciados verbales y, recíprocamente, leer expresiones algebraicas. 1. Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana. 2. Utilizar la jerarquía y las propiedades de las operaciones para simplificar expresiones algebraicas sencillas. 2. Simplificar una expresión algebraica haciendo uso de la jerarquía y de las propiedades de las operaciones. 3. Emplear estrategias para resolver ecuaciones de primer grado. 3. Identificar problemas de la vida cotidiana que puedan resolverse con el planteamiento de ecuaciones. 4. Resolver problemas, utilizando el lenguaje algebraico, para expresar relaciones entre los datos y la incógnita. 4. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. 5. Comprobar si las soluciones de las ecuaciones planteadas en la resolución de problemas tienen sentido en el contexto. 5. Solventar problemas de la vida cotidiana mediante el planteo y la resolución de ecuaciones de primer grado, valorando la adecuación al contexto. CONTENIDOS Conceptuales 1. Lenguaje algebraico. 2. Expresiones algebraicas. 3. Igualdades, identidades y ecuaciones. 4. Soluciones de una ecuación. 5. Resolución de ecuaciones de primer grado. 6. Resolución algebraica de problemas. Procedimentales 1. Expresión, en lenguaje algebraico, de diversas situaciones de la vida cotidiana. 1. Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para describir situaciones de la vida cotidiana. 2. Lectura de expresiones algebraicas. 3. Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica. 2. Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas. 4. Interpretación y utilización del signo = en distintas expresiones numéricas y algebraicas. 3. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y resolverlos. 5. Solución de ecuaciones sencillas, mentalmente o por tanteo. 4. Sensibilidad y gusto en la presentación ordenada y clara, tanto del proceso seguido en la resolución de problemas como de los resultados obtenidos. 6. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 7. Uso del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas sencillos. 22 Actitudinales 5. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas. MATEMÁTICAS 04 CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a expresiones algebraicas. • Análisis de las situaciones presentadas y extracción de conclusiones. • El uso funcional del lenguaje algebraico tanto escrito como oral para interpretar y comprender la realidad. Competencia matemática: • Uso de las expresiones algebraicas para resolver problemas presentes en la vida real. • Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervenga el lenguaje algebraico. • Interés y seguridad para resolver problemas utilizando el lenguaje algebraico. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Adquisición de hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemático de los medios de información. • Obtención, análisis y representación de información relativa a problemas medioambientales en los que aparezcan expresiones algebraicas. • Cuidado del medio ambiente y de la propia salud mediante el análisis y la resolución algebraica de problemas relacionados con el mundo físico. Tratamiento de la información y competencia digital: • Recolección, selección, procesamiento y presentación de información con expresiones algebraicas. • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. Competencia social y ciudadana: • Expresión de nuestras ideas en cualquier contexto utilizando conceptos matemáticos y, en concreto, el lenguaje algebraico. • Aceptación y puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo. Competencia cultural y artística: • Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las que tengan contenidos matemáticos. • Uso del lenguaje algebraico para analizar y valorar críticamente diferentes aspectos del mundo de la cultura. Competencia para aprender a aprender: • Motivación para desarrollar y perfeccionar las propias capacidades matemáticas. • Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión y claridad en su exposición. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos utilizando métodos matemáticos. • Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje. 23 04 LENGUAJE ALGEBRAICO SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Esta unidad introduce al alumno por primera vez en una nueva forma de ver las Matemáticas. El uso de las letras para designar a las incógnitas desde la página motivadora se presenta como mágico. 1 Lenguaje y expresión algebraica Con estas actividades se pretende que el alumno vea lo preciso, claro y breve que resulta el lenguaje algebraico, y que, sin aprender este lenguaje, ellos son capaces de utilizarlo en situaciones sencillas. Los alumnos comenzarán su estudio identificando la composición de una expresión algebraica y de cada uno de sus términos, así como con el concepto de valor numérico de una expresión algebraica. El uso adecuado de las expresiones algebraicas resultará de gran utilidad para el trabajo con fórmulas matemáticas y con funciones. 2 Igualdades, identidades y ecuaciones Explicar al alumnado que hay distintos significados del símbolo =. Se utiliza cuando hacemos operaciones y, también, para separar dos miembros que pueden ser equivalentes o no. También, se les ha de indicar que hay igualdades que no son ciertas nunca; son las igualdades falsas entre expresiones numéricas y las ecuaciones incompatibles con letras. Deben saber que el símbolo = en una ecuación obliga a la letra a tomar un determinado valor. En una identidad no, pues la letra puede tomar cualquier valor. 3 Soluciones de una ecuación Conviene que el alumno se dé cuenta desde el principio de que las ecuaciones pueden tener soluciones negativas o fraccionarias, e incluso, pueden tener infinitas soluciones o no. 24 Las actividades están planteadas en este epígrafe con dicho propósito y, por supuesto, para que los alumnos fijen los nuevos conceptos adquiridos. 04 MATEMÁTICAS 4 Resolución de ecuaciones de primer grado Hay que hacer hincapié en que las operaciones que se realicen en un miembro deben efectuarse también en el otro para mantener la ecuación (balanza) equilibrada. Es conveniente que los alumnos lean las ecuaciones y, mediante el cálculo mental, encuentren las soluciones; de esta forma se darán cuenta de que el proceso que han seguido mentalmente es similar al de la resolución de ecuaciones. En estas ocasiones, el trabajo en grupo suele dar buenos resultados. 5 Resolución algebraica de problemas La labor en equipo y la puesta en común permiten trabajar de una manera más eficaz en la comprensión de enunciados, propician el respeto por los diferentes planteamientos de un problema, y facilitan la comprobación de soluciones. Si los grupos de trabajo formados son heterogéneos (sexo, raza, conocimientos...) fomentaremos la educación en la tolerancia y otros valores. NUEVAS TECNOLOGÍAS El programa Derive permite realizar con gran rapidez operaciones algebraicas, reducir términos semejantes, multiplicar y dividir, extraer factor común, calcular valores numéricos, utilizar fracciones y paréntesis, resolver ecuaciones, etcétera. EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON DERIVE En la barra de entrada de expresiones, situada debajo de la pantalla principal, escribir la expresión que queremos introducir, pero teniendo en cuenta lo siguiente: – Los exponentes de las potencias se escriben usando el circunflejo ^. – Para indicar la división se emplea la raya de fracción inclinada /. Por ejemplo, si queremos trabajar con la expresión: 2x2 + 6 · (x + 8) 2 En la barra de entrada escribimos: 2x^2+6(x+8)/2 y, pulsando la tecla Enter de la computadora o con el mouse en el botón izquierdo de la barra, , aparecerá la expresión en la pantalla principal. 25 04 LENGUAJE ALGEBRAICO VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una vez obtenida la expresión en la pantalla, seleccionar en la barra de herramientas simplificar Æ sustituir variable, de modo que se nos muestre un cuadro de diálogo en el que podremos señalar el valor que queremos para la letra (en este caso 2). Pulsando en , obtendremos la expresión numérica y, a continuación, utilizando la tecla de simplificar, , situada en la barra de herramientas, tendremos el resultado de la expresión, es decir, su valor numérico, que en este caso es 38. Se puede obtener directamente el valor numérico si elegimos en el cuadro de diálogo la opción de . También es posible introducir expresiones con más variables, en el cuadro de diálogo aparecerán todas ellas y, únicamente, habrá que emplear las flechas de movimiento del teclado, que nos permitirán seleccionarlas de una en una para asignarles su valor correspondiente. OPERACIONES Para reducir términos semejantes, multiplicar y dividir monomios, se debe escribir las expresiones algebraicas y sus operaciones en la barra de entrada y, a continuación, pulsar el botón de Introducir y Simplificar, de modo que en la pantalla principal se nos mostrarán las operaciones y los resultados. Desde la barra de herramientas, la siguiente selección: Simplificar Æ Expandir Æ Expandir nos permite realizar operaciones más complicadas, como productos de binomios o de polinomios. Y la siguiente selección: Simplificar Æ Factorizar Æ Factorizar nos permite sacar factor común. 26 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Introducir la ecuación en la barra de entrada, pulsar Enter para que aparezca en la pantalla principal seleccionada y después hacer un clic en el botón de Resolver o Despejar, , de la barra de herramientas. A continuación elegir Resolver en su cuadro de diálogo y, en la pantalla principal, aparecerá la solución. MATEMÁTICAS 04 DIRECCIONES DE INTERNET http://www.automind.cl/ECUA.HTM Página en la que, a través de un juego con balanzas, se resuelven ecuaciones de primer y segundo grado. http://www.terra.es/personal/jftjft/Algebra/Ecuaciones/Problemas/Ppecuac1.htm http://www.terra.es/personal/jftjft/Algebra/Ecuaciones/Problemas/Precuac1.htm La primera de estas páginas plantea una serie de actividades relacionadas con las ecuaciones de primer grado, y la segunda está dedicada a la resolución de ecuaciones. http://www.conevyt.org.mx/biblioteca/secab_mat1/secab_mat1/u1_leccion5.pdf En esta página se analizan las ecuaciones con números naturales. http://www.conevyt.org.mx/biblioteca/secab_mat1/secab_mat1/u1_leccion14.pdf Página dedicada a las ecuaciones con números decimales. http://www.terra.es/personal/jftjft/Algebra/Ecuaciones/Problemas/Prinecu.htm Esta página está dedicada a la resolución de inecuaciones http://www.ma.usb.ve/cursos/basicas/ma1111/guias/Cap2.pdf Página de inecuaciones con ejercicios. 27 5 Rectas y ángulos OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Reconocer, diferenciar y representar el segmento, la semirrecta y la recta. 1. Identificar las distintas posiciones de dos rectas en el plano. 2. Dibujar con escuadra, regla y compás rectas perpendiculares, paralelas, bisectriz de un ángulo, mediatrices y ángulos. 2. Distinguir y construir distintos tipos de ángulos. 3. Diferenciar y clasificar ángulos: rectos, agudos, obtusos, llanos, complementarios y suplementarios. 4. Sumar y restar ángulos en grados sexagesimales. 4. Medir ángulos con el transportador. 5. Operar con ángulos utilizando medidas sexagesimales. 3. Relacionar distintos tipos de ángulos (consecutivos, adyacentes, conjugados, alternos). 5. Multiplicar y dividir ángulos por un número natural. 6. Calcular ángulos complementarios y suplementarios a partir de uno dado. 7. Transformar de forma compleja a incompleja, y viceversa, distintos ángulos. 8. Expresar ángulos dados de forma decimal en forma sexagesimal, y viceversa. 9. Trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. 10. Resolver problemas aplicando las distintas construcciones geométricas (mediatriz, bisectriz, punto simétrico). CONTENIDOS Conceptuales Procedimentales 1. Punto, segmento, semirrecta y recta en el plano. 1. Utilización de los instrumentos de dibujo. 2. Ángulos. 2. Identificación de puntos, rectas, semirrectas, segmentos y ángulos en el plano. 3. Medida de ángulos. 4. Conversión de medidas angulares. 5. Operaciones con medidas angulares. 6. Construcciones geométricas. 3. Reconocimiento de la posición relativa de las rectas. 4. Identificación y trazado de ángulos complementarios, suplementarios, llanos, obtusos, agudos, etcétera. 5. Conversión de ángulos de forma compleja a incompleja. 6. Transformación de ángulos dados en forma decimal a forma sexagesimal. 7. Realización de operaciones con medidas angulares. 8. Representación y aplicación de la mediatriz para resolver situaciones de nuestro entorno. 9. Trazado y utilización de la bisectriz en problemas geométricos. 10. Obtención del punto simétrico a otro dado y su aplicación a la resolución de problemas. 28 Actitudinales 1. Reconocimiento y valoración de la utilidad de la geometría para conocer y cambiar diferentes situaciones relativas al entorno físico. 2. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas geométricos, y en la mejora de las ya encontradas. 3. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y prolija en los trabajos. MATEMÁTICAS 05 CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los elementos básicos de la geometría. • Comprensión y razonamiento de todas las actividades propuestas. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Desarrollo de una visión espacial y de la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio. Tratamiento de la información y competencia digital: • Empleo de Internet para la búsqueda de la vida e historia de personajes matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la geometría. • Empleo de programas informáticos, como el Cabri, para el estudio y la construcción de elementos geométricos. Competencia social y ciudadana: • Planteo de actividades en equipo que fomenten los valores de solidaridad, tolerancia y respeto hacia los demás. Competencia para aprender a aprender: • Precisión y exactitud en la construcción de rectas, semirrectas, mediatrices, bisectrices, etc. • Autonomía, perseverancia, reflexión crítica y habilidad para comunicar con eficacia los resultados de los distintos problemas de geometría. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de estrategias para la resolución de problemas de geometría, elaborando los dibujos y situando los datos del problema sobre el dibujo. 29 05 RECTAS Y ÁNGULOS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Los alumnos se iniciarán en el conocimiento, manejo y utilidad de los elementos básicos de la geometría. Este es un tema muy fácil de relacionar con otras ciencias, como la física, las ciencias de la naturaleza, el arte, etc., y para hacer ver al alumno las múltiples aplicaciones de las matemáticas al mundo real. Es el momento adecuado para que el alumno adquiera, con cierto rigor, el lenguaje básico de la geometría (recta, punto, segmento…) para ir formando buenos cimientos en la construcción de una nueva casa, la geometría, que aseguren su solidez y longevidad. A la vez, es importante construir con perfección los compartimentos de dicha casa para su relación y manejo en cursos posteriores. Con la sección ¨Una vista atrás¨ se recuerda al alumno el correcto manejo de los útiles de geometría para, posteriormente, trazar los elementos básicos como la recta y sus posiciones relativas, los distintos tipos de ángulos y las diferentes construcciones geométricas como la mediatriz, bisectriz, punto simétrico a una recta, etcétera. 1 Punto, segmento, semirrecta y recta en el plano La serie se inicia con el lenguaje básico de la geometría; sería conveniente que los alumnos puedan buscar puntos, segmentos, semirrectas y rectas en el aula para llegar a un concepto más preciso de estos elementos básicos de la geometría. En el texto se intentan introducir estos elementos con el cielo sideral, algo que puede ser atractivo para alumnos de estas edades, además de ser una referencia para recordar, si no en el lenguaje correcto, al menos la idea o intuición de cada uno de ellos. Para que el alumno tome soltura en la utilización del lenguaje preciso geométrico se repetirán muchas actividades en las que deben realizar la construcción de estos elementos, pero a la hora de corregirlos sería conveniente hacerlo en voz alta para que el alumno se suelte y utilice, poco a poco, con precisión y rigor los conceptos básicos de la geometría. 2 Ángulos Esta sección intenta enseñar a los alumnos el concepto de ángulo, el cual intuitivamente conocen, aunque les cuesta construir el concepto formal; para subsanarlo y para que se familiaricen con él trataremos ejemplos muy cercanos al alumno. Se recomienda hacer una puesta en común, antes de llegar al concepto en sí, de ángulos que tienen a su alrededor, en su propia clase, e intentar que sea el alumno el que construya su propio concepto. 3 Relación entre ángulos En esta sección los alumnos trabajarán con distintos tipos de ángulos según su amplitud y la relación entre ellos. Sería conveniente que ciertas propiedades de ángulos pudieran verificarlas con material concreto (papel de calcar y papel glacé). 30 05 MATEMÁTICAS 4 Medida de ángulos Conviene que los alumnos recuerden las expresiones complejas e incomplejas de la medida del tiempo, ya que los ángulos, igual que el tiempo, se miden en el sistema sexagesimal. Se hará hincapié en que al convertir unas unidades en otras habrá que multiplicar o dividir entre 60, en lugar de 10 como sucede en el Sistema Métrico Decimal. Hay que trabajar la conversión de estas medidas para que el alumno tenga soltura y destreza. Para ello, se harán varios ejercicios donde convertirán de forma compleja a incompleja, y viceversa. También se trabajará el uso de la calculadora científica y la aplicarán en los ejercicios para comprobar resultados y operar con medidas angulares. También se indicará al alumno que, al medir los ángulos con el transportador, solo podremos dar las unidades en grados, ya que el minuto y el segundo son unidades demasiado pequeñas; esto provocará la pregunta: «¿Por qué hay ejercicios en los que aparecen minutos y segundos?» Cuando surja esta cuestión será el momento de contar al alumno que estas mediciones más precisas de ángulos son muy necesarias y útiles para los topógrafos, arquitectos, etcétera. 5 Construcciones geométricas En esta sección los alumnos utilizarán los instrumentos de geometría para el trazado de rectas paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices, etcétera. Leonardo da Vinci, o Las hilanderas, de Diego de Velázquez, etc.) y estudiar cómo algunos grandes pintores utilizaron las construcciones geométricas para el desarrollo del cuadro. También se aplican estas construcciones para resolver problemas y situaciones que se plantean muy a menudo en la vida cotidiana. Hay que insistir en la importancia y aplicación de estas construcciones geométricas en la pintura. Se pueden presentar algunos cuadros (La Gioconda, de 31 05 RECTAS Y ÁNGULOS NUEVAS TECNOLOGÍAS Dibujar una recta r que pase por un punto O • Al hacer clic en el botón , se despliega un menú donde hay que seleccionar la función Punto, y haciendo clic en la hoja de trabajo, nos aparecerá un punto. • Para nombrar este punto, hacer clic en el botón , que despliega un menú donde hay que seleccionar Texto. A continuación, situar el puntero sobre el punto dibujado y, cuando aparezca Este punto, pulsar el botón izquierdo del mouse y se abrirá un cuadro de texto; con el teclado escribir O. • Para dibujar la recta hacer clic en el botón nar Recta. y seleccio- • Después acercar el puntero al punto O y cuando aparezca Por este punto arrastrar el mouse en la dirección que se desee que la recta se prolongue. Al hacer clic, aparecerá inmediatamente dibujada la recta sobre el punto O. Se llamará recta r, de la misma forma que hicimos con el punto O. Dibujar una recta paralela a otra r por un punto P • Marcar en primer lugar un punto P que sea exterior a la recta r. Seleccionar el botón , y escoger a continuación la función Paralelas. • A continuación, situar el cursor sobre la recta r y se mostrará el texto Paralela a esta recta, hacer clic sobre ella y, seguidamente, acercar el cursor al punto P marcado inicialmente, cuando aparezca Por este punto, hacer clic y por último se obtendrá la recta paralela deseada. sobre la recta r Trazar un segmento AB • Con la recta dibujada, pulsar en el botón y seleccionar Segmento. Después acercar el puntero a la recta r, cuando aparezca Sobre esta recta, hacer clic y se dibujará un punto, A; sin soltar el mouse deslizarlo hasta la longitud deseada. Hacer clic de nuevo con el mouse y se dibujará el otro punto, B, o extremo del segmento. Trazar la mediatriz del segmento AB • Para ello utilizar el botón , al desplegarse el menú aparece la función Mediatriz, seleccionarla. Al situar el puntero sobre el segmento AB dirá Mediatriz de este segmento y, al hacer clic sobre él, dibujará inmediatamente la media. triz del segmento AB 32 MATEMÁTICAS 05 DIRECCIONES DE INTERNET http://polya.dme.umich.mx/Carlos/geom/T15.htm En esta página se definen los conceptos básicos referentes a los elementos de la geometría. http://www.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelVII/AngulosentredosRectas/ AngulosentredosRectas.htm Ejercicios interactivos de rectas secantes y formación de ángulos. http://www.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelVII/AdiciondeAngulos/ AdiciondeAngulos.htm Ejercicios de suma de ángulos, clasificación de estos según su amplitud. http://www.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelVII/NotaciondelosElementos/ NotaciondelosElementos.htm En esta página se pueden realizar ejercicios interactivos de rectas, semirrectas, segmentos... 33 6 Triángulos OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Diferenciar los distintos tipos de triángulos, así como conocer las principales propiedades de sus ángulos y lados. 1. Clasificar triángulos atendiendo a diversos criterios. 2. Aplicar el teorema de Pitágoras para reconocer triángulos rectángulos. 3. Aplicar el teorema de Pitágoras para reconocer triángulos rectángulos, y para hallar el lado desconocido de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados. 3. Aplicar el teorema de Pitágoras para hallar el lado desconocido de un triángulo rectángulo. 4. Calcular el perímetro y el área del triángulo. 5. Confiar en las propias capacidades para resolver problemas geométricos. 2. Comprobar el teorema de Pitágoras. 4. Calcular el perímetro y el área de un triángulo. 5. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante la utilización del dibujo y las relaciones geométricas en el triángulo. CONTENIDOS Conceptuales Procedimentales 1. Relaciones y clasificación de triángulos. 1. Uso de la terminología adecuada para describir un triángulo. 1. Cuidado y precisión en la utilización de los instrumentos de geometría. 2. Construcción de triángulos. 2. Clasificación de triángulos atendiendo a diversos criterios. 2. Valoración de la utilidad del dibujo y la geometría como instrumentos para resolver problemas de la vida cotidiana. 3. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. 4. Perímetro y área del triángulo. 3. Comprobación del teorema de Pitágoras. 4. Reconocimiento de triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras. 5. Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular un lado de un triángulo rectángulo, conociendo los otros dos lados. 6. Resolución de problemas utilizando el teorema de Pitágoras. 10. Cálculo del perímetro y del área del triángulo, y su aplicación a problemas de la vida cotidiana. 34 Actitudinales 3. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas geométricos, y en la mejora de las ya encontradas. 4. Esmero y gusto por la presentación ordenada y limpieza en los trabajos. 5. Sensibilidad ante las cualidades estéticas del triángulo, reconociendo su presencia en la naturaleza, en el arte y en la técnica. MATEMÁTICAS 06 CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los triángulos y en general a la geometría. • Uso funcional del lenguaje matemático tanto escrito como oral para interpretar y comprender la realidad. Competencia matemática: • Utilización de la geometría para medir y comparar. • Uso de los contenidos relativos a triángulos para resolver problemas presentes en la vida real. • Interpretación y expresión de aquellos datos y dibujos en los que intervengan triángulos o cualquier aspecto geométrico. • Interés y seguridad para resolver problemas relacionados con la geometría. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Cuidado del medio ambiente y de la propia salud mediante el análisis y resolución de problemas relacionados con el mundo físico en los que intervengan triángulos. • Adquisición de hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemático de los medios de información. Tratamiento de la información y competencia digital: • Recolección, selección, procesamiento y presentación de información de forma geométrica. • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. Competencia social y ciudadana: • Conocimiento de la información relativa a nuestro sistema democrático y elecciones de nuestros representantes en los que se usen representaciones geométricas. • Puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo. Competencia cultural y artística: • Creación de manifestaciones artísticas usando la geometría. • Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las manifestaciones geométricas. Competencia para aprender a aprender: • Motivación para desarrollar y perfeccionar las propias capacidades matemáticas. • Puesta en práctica de procesos y métodos matemáticos en la vida real que nos permitan perfeccionar nuestro aprendizaje. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos utilizando métodos matemáticos. 35 06 TRIÁNGULOS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS 1 Construcción de triángulos Con este epígrafe, se pretende que los alumnos desarollen la capacidad de representación de triángulos y, a partir de su construcción, aborden el estudio de los mismos. 2 Teorema de Pitágoras. Aplicaciones Con las actividades planteadas en esta sección se pretende que los alumnos comprueben el teorema de Pitágoras, y que lo apliquen a problemas sencillos. Conviene que planteen situaciones problemáticas donde tengan que graficar triángulos rectángulos ubicando correctamente los datos. Es necesario que recuerden ciertas estrategias de resolución de ecuaciones. 3 Perímetro y área del triángulo Es importante hacer hincapié en que perímetro y área son conceptos diferentes, pues los alumnos suelen confundirlos. 36 Para resolver problemas de perímetro y área necesitarán, a veces, utilizar el teorema de Pitágoras. 06 MATEMÁTICAS NUEVAS TECNOLOGÍAS • Dibujar un triángulo cualquiera seleccionando la opción Triángulo en el botón de la barra de herramientas; aparece . Después, activar la opción Etiqueta y escribir el nombre de los vértices, A, B, C, seleccionando uno a uno. • Para dibujar dos medianas y su punto de intersección, G, en el botón activar la opción Punto medio y, al señalar cada lado, el programa marcará sus puntos medios. Escribir sus nombres, A’, B’, C’, de la misma manera que en el caso anterior. A continuación, activar en el mismo botón la opción Segmento y seleccionar un vértice y el punto medio del lado opuesto. Una vez dibujadas las dos medianas; activar Punto de intersección y señalar las dos medianas; de este modo, se obtendrá el punto G. Escribir su nombre seleccionando de nuevo la opción Etiqueta. • Se puede comprobar que el punto G es el baricentro del triángulo dibujando la tercera mediana y activando la opción Pertenece en el botón de la barra de herramientas. • El triángulo original puede cambiarse, si se activa el puntero, hacer click en un vértice y, sin dejar de pulsar el botón del mouse, arrastrar el punto al lugar deseado. • Se puede comprobar que: – Las tres medianas se siguen cortando en el baricentro. – El baricentro está siempre dentro del triángulo. • El programa Cabri también permite medir longitudes, superficies, etcétera. • Mediana: segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. La intersección de las 3 medianas en un triángulo se denomina baricentro. 37 06 TRIÁNGULOS DIRECCIONES DE INTERNET http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Triangulos/Triangu0.htm En esta página se pueden realizar construcciones de triángulos y de sus elementos notables. http://nogal.mentor.mec.es/~lbag0000/html/triangulos_rectangulos.htm Página o unidad didáctica referente a triángulos rectángulos, donde se expone todo lo relativo a ellos: teorema de Pitágoras, elementos, etc. http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm En ella figura la clasificación de triángulos, elementos notables, áreas y perímetros de triángulos. http://www.pipoclub.com/espanol/juegos/logica/triadi99.htm Página para entretenerse con numerosas actividades de lógica sobre triángulos, números, etc. http://www.math.nmsu.edu/breakingaway/Lecciones/nautilus/chnautilus.html Juegos con triángulos. 38 7 Proporcionalidad OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Interpretar la razón y la proporción entre magnitudes homogéneas. 2. Discriminar magnitudes directamente proporcionales de otras que no lo son. 3. Utilizar las reglas de tres para el cálculo de proporcionalidades. 4. Construir y asociar tablas y gráficos proporcionales. 5. Aprender y aplicar el porcentaje de una cantidad. 6. Manejar las escalas numérica y gráfica en planos y mapas. 7. Reconocer la curiosidad e interés por enfrentarse a problemas numéricos, y confiar en las propias capacidades para afrontar problemas. 1. Diferenciar la razón de una fracción. 2. Utilizar las proporciones para identificar las magnitudes proporcionales de las que no lo son. 3. Reconocer y diferenciar magnitudes directamente proporcionales de las inversamente proporcionales. 4. Aplicar la regla de tres directa e inversa a la resolución de problemas de la vida cotidiana. 5. Emplear el tanto por ciento en situaciones reales, como IVA, descuentos, etcétera. 6. Interpretar mapas y planos, usando correctamente las diferentes escalas. 8. Realizar problemas, empezando con un caso más sencillo hasta llegar al planteo. CONTENIDOS Conceptuales 1. Razón y proporción. 2. Magnitudes proporcionales. 3. Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa. 4. Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa. 5. Porcentajes. 6. Escalas, mapas y planos. Procedimentales 1. Obtención de la razón entre dos cantidades. 2. Utilización de las proporciones para averiguar cuándo dos magnitudes son proporcionales. 3. Realización de tablas y gráficos proporcionales. 4. Empleo de la proporcionalidad para la resolución de problemas de regla de tres simple, directa e inversa. 5. Aplicación y obtención del tanto por ciento para la resolución de problemas donde aparezcan el IVA u otros impuestos. 6. Interpretación de mapas y planos, a escala, utilizando la proporcionalidad. 7. Reducción de problemas complejos a otros más sencillos para facilitar su comprensión y resolución. Actitudinales 1. Valoración de la utilidad de la regla de tres para la resolución de problemas cotidianos. 2. Confianza en las propias capacidades para resolver problemas y cálculos numéricos. 3. Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas numéricos. 4. Sentido crítico ante las representaciones a escala utilizadas para transmitir mensajes de diferente naturaleza. 5. Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y la presentación ordenada de los trabajos. 6. Disposición favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier problema numérico. 39 07 PROPORCIONALIDAD CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica relativa a la proporcionalidad. • Formalización del pensamiento al razonar en la resolución de problemas. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Elaboración de modelos de proporcionalidad (trabajando en actividades de rebajas y descuentos) para identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real (abuso y consumo sin responsabilidad). Tratamiento de la información y competencia digital: • Empleo de Internet para obtener información de carácter científico. • Empleo de diversos programas informáticos, como EXCEL, Derive... para representar y analizar gráficos de proporcionalidad. Competencia social y ciudadana: • Resolución de actividades en equipo que fomentan los valores de solidaridad, tolerancia y respeto hacia los demás. • Empleo, con soltura y destreza, tanto de las escalas numéricas como de los gráficos, mapas y planos. Competencia para aprender a aprender: • Precisión y exactitud en la realización y aplicación de la regla de tres en los problemas de proporcionalidad. • Autonomía, perseverancia, reflexión crítica y habilidad para comunicar con eficacia los resultados de los problemas de proporcionalidad. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de estrategias para la resolución de problemas de proporcionalidad como la utilización de la regla de tres, controlando a la vez los procesos de toma de decisiones a la hora de resolver un problema. 40 07 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Esta unidad, referente a la proporcionalidad numérica, es de gran importancia para 7º de Educación Secundaria, debido a que está presente en numerosas situaciones de índole variada. Los alumnos de este nivel pueden encontrar dificultad en la comprensión del concepto de proporción, por ser un tanto abstracto; esto puede ser suficiente para que la proporcionalidad quede sin sentido, convirtiéndose en un puro mecanismo para resolver problemas (regla de tres) e induciendo a posibles errores en la resolución de los mismos. Para que esto no suceda y haya un aprendizaje significativo de la proporcionalidad, los alumnos deberán dominar las magnitudes y las fracciones. El profesor debe intentar que no se abuse de la aplicación de la regla de tres a todo tipo de problemas, si no hay necesidad de utilizarla. 1 Magnitud y medida Se pretende conseguir que los alumnos diferencien con claridad una magnitud y su medida, y se vean en la necesidad de aplicar el concepto de unidad para expresar correctamente una magnitud. También se persigue que el alumno sea capaz de estimar magnitudes. 2 Razón y proporción Se pretende que los alumnos comprendan y asimilen el concepto de razón y proporción con un aprendizaje significativo y no de forma autómata; para ello, en esta sección, se plantean una variedad de actividades relacionando distintas magnitudes. 3 Magnitudes proporcionales Aquí, se pretende que el alumnado comprenda y asimile con precisión y rapidez las relaciones entre magnitudes, y más concretamente la proporcionalidad entre ellas; eso sí, siempre utilizando ejemplos existentes en la vida cotidiana y próximos al alumno, para que, de esta forma, pueda apreciar la aplicación de este concepto a situaciones reales. 4 Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa Se trabajará siempre con ejemplos reales y muy próximos al alumno, construyendo una tabla con valores distintos de ambas magnitudes para estudiar su proporcionalidad y su correspondiente gráfico; de este modo, el alumno se acostumbra a ver representaciones gráficas para el estudio de funciones en este curso y en los próximos. Se utilizará la regla de tres, pero con las indicaciones dadas en la introducción de la unidad; es decir, haciendo un buen uso y aplicación de este algoritmo. 41 07 PROPORCIONALIDAD 5 Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa Se trabajará de igual modo que en la anterior sección, insistiendo en magnitudes inversamente proporcionales, donde el alumno vea la diferencia con las directamente proporcionales y su forma de resolverlas. 6 Porcentajes Se intenta que los alumnos asemejen el tanto por ciento a una proporción, y lo apliquen, como tal, de manera precisa y correcta en las situaciones reales que se les presenten, como el IVA, las rebajas, etc. Se darán varios métodos de resolución del tanto por ciento para que el alumno utilice el más adecuado en cada caso. 7 Escalas, mapas y planos En esta sección se pretende que utilicen correctamente las escalas gráfica y numérica de un mapa o plano, y sepan interpretarlas para llegar a las longitudes reales de lo representado en dichos mapas o planos. 42 Se utilizan problemas de la vida cotidiana y situaciones específicas de otras materias, como en las Ciencias Sociales. De esta forma, el alumno aplica las Matemáticas a otras ciencias, y comprueba que toda ciencia está relacionada con las Matemáticas. 07 MATEMÁTICAS NUEVAS TECNOLOGÍAS CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS DE LADOS PROPORCIONALES CON CABRI-GÉOMÈTRE • Primero dibujar un rectángulo del tamaño que • A continuación construir otro rectángulo con se desee, haciendo clic en el botón de la barra de herramientas; aparecerán varias opciones, seleccionar la de Polígono. medidas distintas y posteriormente hallar la razón que existe entre los lados de ambos rectángulos. Para hallar la razón tomar uno de los lados, por ejemplo el mayor, y dividirlo entre el lado mayor del otro rectángulo; para esto elegir la opción Calcular y aparecerá en la pantalla una calculadora que permitirá realizar dicha división. Finalmente, se obtiene que la razón que existe entre estas dos magnitudes es de 1,78. A continuación, activando la opción Etiqueta, se podrán escribir los vértices del polígono. • Para saber la medida que tiene un patio imagi- • Comprobar, siguiendo los mismos pasos que nario habrá que seleccionar la opción Longitud en la barra de herramientas: en el ejemplo anterior, que para el lado menor del rectángulo existe la misma razón de proporcionalidad. 43 07 PROPORCIONALIDAD DIRECCIONES DE INTERNET http://www.escolar.com/geometr/01punrec.htm Página con ejercicios de proporcionalidad directa e inversa para resolver, con soluciones. http://www.escolar.com/juegos/Rocks/index.html Dirección de juegos matemáticos de estrategia. http://www.ince.mec.es/timss/propor.htm Página con problemas de proporcionalidad directa e inversa. http://www.pntic.mec.es/Descartes/1y2_eso/Porcentajes_e_indices/Porcentaje.htm En esta página se desarrollan ejercicios sobre porcentajes. http://www.oma.org.ar/programa/blan31.htm Página dedicada a la proporcionalidad inversa 44 8 Funciones y gráficos OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Obtener información y sacar conclusiones de distintos tipos de gráficos. 1. Dibujar gráficos a partir de expresiones verbales y tablas. 2. Representar gráficos a partir de una tabla de datos. 3. Elaborar informes sobre gráficos. 3. Comparar fenómenos según sus gráficos. 4. Leer e interpretar aspectos de los gráficos, como máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento... 4. Adoptar un sentido crítico ante los gráficos difundidos por distintos medios de comunicación. 2. Interpretar tablas y gráficos. 5. Intercambiar información entre tablas de valores y gráficos, y obtener información práctica de gráficos cartesianos sencillos (de trazo continuo) en un contexto de resolución de problemas relacionados con fenómenos naturales y cotidianos. CONTENIDOS Conceptuales 1. Coordenadas cartesianas. Procedimentales 2. Gráficos. Características generales. 1. Lectura e interpretación de gráficos. 3. Lectura e interpretación de los gráficos. 2. Identificación de las magnitudes dependiente e independiente. 3.1. Relación entre magnitudes. 3.2. Otros tipos de gráficos. 3. Construcción de tablas de valores. 4. Relaciones dadas por tablas y gráficos. 5. Estudio y comparación de fenómenos. 4. Descripción verbal de un fenómeno representado en un gráfico. 5. Detección de errores en los gráficos. 6. Trazado de gráficos a partir de una experiencia, un enunciado o una tabla. 7. Elaboración de tablas a partir de un enunciado, una experiencia o un gráfico. Actitudinales 1. Actitud positiva y crítica hacia la información expresada mediante gráficos. 2. Valoración de la utilidad del lenguaje gráfico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana. 3. Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo. 4. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden, la claridad tanto en el tratamiento como en la presentación de datos y resultados. 5. Valoración de la potencia comunicativa del lenguaje gráfico. 8. Elección de la escala conveniente para representar gráficamente un fenómeno. 9. Estudio y comparación de fenómenos mediante el análisis de los puntos de corte entre las representaciones gráficas de las funciones. 45 08 FUNCIONES Y GRÁFICOS CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los conceptos de funciones, tablas y gráficos. • Utilización del lenguaje tanto escrito como oral para interpretar y comprender situaciones de la realidad que se pueden expresar en términos de funciones, tablas y/o gráficos. • Análisis de las situaciones presentadas y la extracción de conclusiones. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Mejor conocimiento de los fenómenos naturales y su relación con el mundo de las matemáticas (climogramas). Tratamiento de la información y competencia digital: • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. • Empleo del programa informático EXCEL para representaciones gráficas de tablas de valores y funciones. Competencia social y ciudadana: • Conocimiento de comportamientos sociales (por ejemplo, el consumo), cuya interpretación permite comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual. Competencia para aprender a aprender: • Desarrollo de modelos generales de razonamiento y consolidación en la adquisición de diversas destrezas. • Valoración de la perseverancia, sistematización y reflexión crítica de su propio trabajo y soluciones. • Empleo de técnicas heurísticas en la resolución de problemas. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos. 46 08 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Esta unidad es muy importante por su aplicabilidad en la vida cotidiana. Nos guiamos con mapas, informaciones de distinta índole nos vienen dadas en tablas y gráficos, etcétera. Es aquí donde se debe fomentar el espíritu crítico ante toda información presentada en forma de gráfico; sobre todo, en los medios de comunicación. Un simple corte en los ejes o un cambio de escala puede inducir a error a la hora de obtener conclusiones sobre un conjunto de datos. 1 Coordenadas cartesianas En esta sección es muy necesario hacer hincapié en la importancia que tiene el orden al establecer las coordenadas cartesianas de un punto en el plano. Cuando un punto está situado en algunos de los ejes, tendrá una coordenada nula (en el eje X, la coordenada en y es cero; en el eje Y, la coordenada en x es cero). Es muy importante que quede clara la situación correcta de puntos en un plano, sobre todo, de cara al estudio de las características generales de los gráficos. 2 Gráficos. Características generales Es importante que los alumnos entiendan que tras un gráfico siempre hay una relación entre dos magnitudes. Según sean estas, se trabajará con puntos o curvas. Conviene que trabajen en hojas milimetradas y que el/la docente presente tablas con fracciones y expresiones decimales (positivas y negativas) para que aprendan a elegir escalas adecuadas en los ejes. Es fácil ver cuándo una función es creciente o decreciente; sin embargo, tienden a dar los valores de y, en vez de los valores de x, al referirse a intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 47 08 FUNCIONES Y GRÁFICOS 3 Lectura e interpretación de gráficos Aquí es necesario subrayar que, para interpretar un gráfico, siempre se ha de recorrer el eje de abscisas de izquierda a derecha. Asimismo, sería conveniente realizar un ejemplo de una función creciente y ver que, si se recorre de derecha a izquierda, parecería que es decreciente. Respecto a los diagramas de sectores y de barras, sería oportuno hacer una pequeña introducción sobre este tipo de representaciones gráficas e indicar a los alumnos que las verán más detalladamente en la unidad de Estadística. 4 Relaciones dadas por tablas y gráficos Los alumnos deben saber que los datos recopilados en una tabla se pueden representar en ejes de coordenadas y obtener un gráfico. Dicha representación nos permitirá, de forma rápida y sencilla, deducir una serie de conclusiones. Asimismo, de la interpretación de un gráfico podemos conseguir los datos necesarios para transferirlos a una tabla. Los alumnos han de empezar a interpretar en qué ocasiones es aconsejable utilizar cada una de ellas. 5 Estudio y comparación de fenómenos Hacer hincapié, de nuevo, en que se ha de recorrer el eje de abscisas de izquierda a derecha y, además, tener en cuenta los puntos de corte entre las curvas para establecer las comparaciones oportunas. 48 08 MATEMÁTICAS NUEVAS TECNOLOGÍAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS CON EXCEL Con una hoja de cálculo Excel podemos representar gráficamente tablas de valores. Representación gráfica de una tabla de valores Vamos a realizar la representación gráfica de la siguiente tabla: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 • Abrir una hoja nueva de Excel y escribir en la celda A1, X, y en la celda B1, Y. A continuación, introducir los valores de X en la columna A y los valores de Y en la columna B, tal como aparece en la figura: 3. En Opciones de gráfico rellenar la ficha Títulos. En Título del Gráfico, escribir Representación gráfica; en Eje de categorías (X), Valores de X y, en Eje de categorías (Y), Valores de Y. Entrar en la ficha Leyenda, desactivar la opción Mostrar leyenda y pulsar Siguiente. 4. En Ubicación del gráfico marcar: como objeto en: hoja 1 y pulsar Finalizar. Por último, arrastrar el diagrama de barras hasta donde se desee que aparezca el gráfico y se obtendrá la siguiente pantalla: • Una vez introducidos los datos, su representación gráfica se realiza utilizando el asistente para gráficos ; para ello deben seguirse los cuatro pasos siguientes: 1. Elegir primero, en tipo de gráfico, Líneas y, en subtipo de gráfico, Línea con marcadores en cada valor. A continuación, señalar Siguiente. 2. Después seleccionar los datos: en la ficha Rango de datos introducir B2:B11 (o seleccionar en el gráfico dicho rango utilizando insertar el ícono de los puntitos donde se hace clic para que aparezca el gráfico) y marcar Columnas. Entrar en la ficha Serie y, en Rótulos del eje de categorías (X), introducir A2:A11 (o seleccionar el rango desde el gráfico) y pulsar Siguiente. 49 08 FUNCIONES Y GRÁFICOS DIRECCIONES DE INTERNET http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/ Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm#2 Ejemplos de gráficos sencillos en los que se estudian sus características y su interpretación. Incluye el perfil de una etapa del Tour de Francia. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Autoformacion/Archivos_comunes/Coordenadas_cartesianas.htm Actividades interactivas con coordenadas cartesianas. 50 9 Figuras planas OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Diferenciar los distintos tipos de cuadriláteros y conocer sus principales propiedades. 1. Distinguir y catalogar los cuadriláteros atendiendo a diversos criterios. 2. Calcular el perímetro y el área de los cuadriláteros entendiendo las fórmulas utilizadas para su cálculo. 2. Diferenciar y clasificar los polígonos según diferentes aspectos. 3. Identificar los distintos polígonos y reconocer sus elementos. 3. Calcular perímetros y áreas de cuadriláteros, polígonos regulares y figuras compuestas sencillas. 4. Hallar el perímetro y el área de cualquier polígono regular. 4. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante la utilización del dibujo y las estrategias geométricas. 5. Diferenciar entre circunferencia y círculo, identificando los principales elementos de cada uno. 5. Reconocer, dibujar y describir los términos geométricos relativos a la circunferencia y al círculo: centro, radio, diámetro, cuerda, arco, ángulos, sector, corona, segmento y trapecio circular. 6. Calcular la longitud de la circunferencia. 7. Distinguir las diversas figuras circulares: círculo, sector circular, segmento circular y trapecio circular. 8. Hallar las áreas de figuras circulares. 6. Utilizar las fórmulas adecuadas para obtener longitudes y arcos de circunferencia, áreas del círculo y figuras circulares. CONTENIDOS Conceptuales 1. Clasificación de los cuadriláteros. Procedimentales Actitudinales 1. Utilización de la terminología adecuada para describir cuadriláteros y otros polígonos. 1. Cuidado y precisión en el empleo de los instrumentos de geometría y medida. 3. Polígonos regulares. 3.1. Elementos y ángulos de un polígono regular. 3.2. Clasificación de los polígonos. 2. Clasificación de cuadriláteros y polígonos atendiendo a diversos criterios. 2. Valoración de la utilidad del dibujo y de la geometría como instrumentos para resolver problemas de la vida cotidiana. 4. Perímetros y áreas de los polígonos regulares. 4. Construcción de cuadriláteros y otros polígonos. 5. Longitud de una circunferencia. 5. Cálculo de perímetros, áreas de cuadriláteros y polígonos empleando las fórmulas adecuadas. 2. Perímetros y áreas de los cuadriláteros. 6. El círculo y las figuras circulares. 7. Área del círculo y de las figuras circulares. 3. Cálculo de ángulos en un polígono. 6. Resolución de problemas relacionados con formas geométricas, mediciones y estimaciones. 7. Trazado de circunferencias con el compás. 8. Cálculo de la longitud de una circunferencia. 9. Distinción entre las figuras circulares que pueden aparecer en un círculo. 3. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas geométricos, y en la mejora de las ya encontradas. 4. Esmero y gusto por la presentación ordenada y prolija de los trabajos. 5. Sensibilidad ante las cualidades estéticas del cuadrilátero, reconociendo su presencia en la naturaleza, en el arte y en la técnica. 6. Curiosidad e interés por conocer el desarrollo y la utilidad de las figuras circulares, tanto en la actualidad como a lo largo de la historia. 10. Cálculo del área del círculo y de las figuras circulares una vez conocida el área de este. 11. Cálculo del área de una figura plana cualquiera, descomponiéndola en otras de área conocida. 51 09 FIGURAS PLANAS CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los cuadriláteros y otros polígonos y en general a la geometría. • Uso funcional del lenguaje matemático (oral y escrito) para interpretar la realidad. Competencia matemática: • Utilización de la geometría para medir y comparar. • Uso de los contenidos relativos a cuadriláteros, otros polígonos y círculos para resolver problemas presentes en la vida real. • Interpretación y expresión de aquellos datos y dibujos en los que intervengan cuadriláteros, otros polígonos y figuras circulares o de cualquier aspecto geométrico. • Interés y seguridad para resolver problemas relacionados con la geometría. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Cuidado del medio ambiente y de la propia salud mediante el análisis y resolución de problemas relacionados con el mundo físico en los que intervengan cuadriláteros y otros polígonos. • Adquisición de unos hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemático de los medios de información. Tratamiento de la información y competencia digital: • Recolección, selección, procesamiento y presentación de información de forma geométrica. • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. • Empleo del programa informático CABRI para representar relaciones entre circunferencias y rectas, así como para cálculos de áreas de círculos. Competencia social y ciudadana: • Conocimiento del avance científico que permite comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual. • Puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo. Competencia cultural y artística: • Creación de manifestaciones artísticas usando la geometría. • Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las manifestaciones geométricas. Competencia para aprender a aprender: • Motivación para desarrollar y perfeccionar las propias capacidades matemáticas. • Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión y claridad en su exposición. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación y comparación de resultados utilizando métodos matemáticos. • Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje. 52 09 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Se presenta el juego del tangram, también conocido como la tabla de la sabiduría o el juego de los siete elementos, muy útil para explicar la geometría, especialmente el cálculo de áreas. El juego consiste en construir, a partir de los elementos del tangram (un cuadrado, un paralelogramo y cinco triángulos de diferente tamaño), figuras que ocupen la misma superficie. 1 Perímetros y áreas de los cuadriláteros Para afianzar el concepto de área y la comprensión de las fórmulas utilizadas para su cálculo, los alumnos deberían construir figuras con cartulinas; realizar cortes en ellas, según las ilustraciones de la unidad, y transformarlas en rectángulos de igual superficie (similar al tangram). Conviene destacar la importancia del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas, así como que las soluciones, al tratarse de medidas, son siempre positivas y pueden dar valores decimales. 2 Polígonos regulares Para dibujar un polígono regular, o bien se puede comenzar por un lado y, con un transportador de ángulos poner en el extremo el ángulo interior correspondiente para dibujar otro lado, y así sucesivamente; o bien, partiendo de una circunferencia, hacer en ella tantos ángulos centrales como lados tenga el polígono. La apotema es perpendicular al lado, se traza un l triángulo rectángulo de lados a, r, 2 = en el que se podrá utilizar el teorema de Pitágoras. 3 Perímetros y áreas de los polígonos regulares Se puede proponer a los alumnos que utilizando el teorema de Pitágoras, hallen las magnitudes que falten para calcular perímetros y áreas de distintos polígonos regulares, por ejemplo: a) En el pentágono, la apotema mide 2,5 cm y el radio 3,1 cm. Su solución es: P = 18,33 cm y S = 22,91 cm2 b) En el eneágono, la apotema mide 4,7 cm y el radio 5 cm. La solución es: P = 30,6 cm y S = 71,91 cm2 c) En el octógono, el lado mide 8,26 cm y la apotema 10 cm. La solución es: P = 66,08 cm y S = 330,4 cm2 d) En el hexágono, el radio mide 6 cm. La solución es: P = 36 cm y S = 93,5 cm2 53 09 FIGURAS PLANAS 4 Longitud de la circunferencia En este epígrafe se llega, de una forma experimental, a la fórmula de la longitud de una circunferencia. Mediante una sencilla proporción se obtiene la longitud de un arco de circunferencia. Es importante que el alumno entienda que ambas medidas (radio y longitud) son lineales. 5 El círculo y las figuras circulares Es importante que los alumnos diferencien bien entre circunferencia y círculo y conozcan las diferentes formas circulares. 6 Área del círculo En esta sección se llega, de una forma experimental sencilla, a la fórmula del área del círculo, utilizando el número pi (π). Es importante que los alumnos entiendan que, al ser una superficie, el resultado estará medido en unidades al cuadrado. 7 Área de las figuras circulares A partir de la fórmula del área del círculo y la lógica, y mediante sencillas proporciones se van obteniendo las áreas de las distintas figuras circulares. Sería NUEVAS TECNOLOGÍAS Dibujar polígonos regulares • En la barra de herramientas activar el botón , donde se desplegará un menú, del que seleccionaremos Polígono regular. • Pulsar el botón izquierdo del mouse donde se desee el centro del polígono y volver a pulsarlo donde se desee un vértice. • A continuación, girar en el sentido de las agujas del reloj y, cuando aparezca en la pantalla el número de lados deseados para la figura, pulsar nuevamente el botón, con lo que quedará dibujado el polígono. 54 interesante que fueran los propios alumnos quienes dedujeran algunas de estas fórmulas. 09 MATEMÁTICAS • Mejorar su apariencia activando Espesor o activando Relleno en el botón . Posiciones relativas de dos circunferencias 1º Determinar, para cada posición relativa, los puntos que han de tener en común, y dibujar las circunferencias siguiendo los pasos del ejercicio anterior. Ponerle una etiqueta a cada una con su nombre. 2º Seleccionar la función Distancia o longitud pulsando en el ícono . Acercar el cursor a una de las circunferencias y pulsar el botón izquierdo cuando aparezca Perímetro de este círculo. La longitud de la circunferencia se muestra en un rectángulo en el que se puede escribir; insertar en él el texto Longitud =. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia El resultado depende del radio elegido para cada circunferencia. En la siguiente figura se muestra una posible solución. 1º Seleccionar la función Círculo en el botón . Con el cursor, marcar el punto en el que se quiera situar el centro. El tamaño del radio variará al alejar el mouse desde ese punto; una vez alcanzado el tamaño deseado, pulsa el botón izquierdo. 2º Seleccionar la función Punto en el ícono . Situar con el cursor un punto en un lugar fuera de la circunferencia. Pulsar el botón , elegir Nombrar, y hacer clic de nuevo cuando se muestre el rótulo Este punto. Escribir P para dar nombre al punto. 3º Seleccionar la función Recta en el botón . Acercar el cursor al punto P hasta que se muestre Por este punto y pulsar el botón izquierdo. Mover el mouse para dar a la recta la orientación y longitud deseadas y marcar ese punto. Repetir este paso varias veces. Se pueden dibujar varias rectas exteriores y secantes a una circunferencia dada por un punto exterior, pero solo dos rectas tangentes. Área del círculo 1º Hacer clic en el ícono y seleccionar la función Segmento. Desde el punto en que se desee situar uno de los extremos, trazar un segmento cualquiera y fíjarlo pulsando el botón izquierdo. Desplazando el cursor con el mouse, se determina la longitud y orientación adecuadas. Una vez definidas, pulsar de nuevo el botón izquierdo para fijar el otro extremo. 2º Para medir la longitud del segmento, seleccionar de nuevo la función Distancia o longitud y al hacer clic sobre el segmento, aparecerá un cuadro con la longitud. Desplaza el mouse aumentando o disminuyendo la longitud del segmento hasta que mida 4 cm, por ejemplo. 55 09 FIGURAS PLANAS 3º Para dibujar la circunferencia con ese radio, marcar el punto donde se desee colocar su centro. 4º Seleccionar la función Compás en el botón y acercar el cursor al punto elegido como centro de la circunferencia. Cuando aparezca Este punto, hacer clic y el punto empezará a parpadear. A continuación, si se hace clic sobre el segmento que determina el radio, se dibujará la circunferencia. 5º En el ícono seleccionar la función Área. Acercar el cursor a la circunferencia hasta que aparezca Esta circunferencia y pulsar el botón izquierdo. En un cuadro se indica que el área buscada es 50,27 cm2. Al igual que en el ejercicio anterior, se puede escribir en este recuadro. DIRECCIONES DE INTERNET http://www.escolar.com/geometr/06cuadrila.htm Página en la que aparecen definiciones de cuadrilátero, elementos, etcétera. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Los_cuadrilateros/Cuadrilateros.htm Se estudian los distintos cuadriláteros, su construcción, su área y su perímetro. http://www.pntic.mec.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm En esta página se pueden construir polígonos regulares variando el número de lados. También se trabajan los ángulos y las áreas. http://platea.pntic.mec.es/%7Eaperez4/index.html En esta página se encuentra, entre otros, el conocido problema de la cabra pastando; además, se recogen interesantes problemas en el apartado Taller de Matemáticas. http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/index_Policir.htm Interesante página con teoría y dinámicos ejemplos sobre la circunferencia y el círculo. 56 10 Cuerpos geométricos OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Clasificar los distintos cuerpos geométricos e identificar sus elementos. 2. Reconocer los cinco poliedros regulares y sus propiedades. 3. Calcular área lateral, total y volumen. 4. Utilizar correctamente las unidades de medida. 5. Confiar en las propias capacidades para resolver problemas geométricos. 1. Diferenciar y clasificar los cuerpos geométricos. 2. Utilizar las fórmulas adecuadas para obtener área lateral, total y volumen. 3. Distinguir los poliedros regulares y aplicar sus propiedades. 4. Manejar correctamente el uso de unidades de superficie y de volumen. 5. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante gráficos y estrategias geométricas. CONTENIDOS Conceptuales Procedimentales Actitudinales 1. Clasificación de cuerpos poliedros: prismas y pirámides. 1. Utilización de la terminología adecuada para cuerpos geométricos. 1. Curiosidad e interés por descubrir formas y relaciones geométricas. 2. Área lateral y total de prismas y pirámides. 2. Clasificación de los cuerpos geométricos e identificación de sus elementos. 2. Interés y respeto por las estrategias distintas de las propias. 3. Poliedros regulares. 4. Cuerpos redondos: esfera, cilindro y cono. 5. Área lateral y total de cilindros y conos. 3. Aplicación de la fórmula de Euler en poliedros regulares. 6. Volumen. 5. Utilización correcta de las unidades de volumen. 4. Cálculo de área lateral, total y volumen. 3. Participación activa en el diseño y construcción de cuerpos geométricos. 4. Valoración de la utilidad del dibujo y de la geometría como instrumentos para resolver problemas de la vida cotidiana. 6. Resolución de situaciones problemáticas utilizando las equivalencias entre capacidad y volumen. 57 10 CUERPOS GEOMÉTRICOS CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a cuerpos geométricos. • Utilización del lenguaje tanto escrito como oral para interpretar y comprender situaciones de la realidad que se pueden modelizar en términos de cuerpos geométricos. Competencia matemática: • Uso de los contenidos relativos a cuerpos geométricos para resolver problemas de la vida real. • Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervengan cuerpos geométricos y sus desarrollos. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Mejor conocimiento de los fenómenos naturales y su relación con el mundo de las matemáticas, discriminando formas y relaciones geométricas. Tratamiento de la información y competencia digital: • Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad. Competencia cultural y artística: • Aplicación de la cultura de los alumnos al ofrecer medios, como los conocimientos que se derivan del estudio de la geometría, para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Competencia para aprender a aprender: • Desarrollo de modelos generales de razonamiento y consolidación en la adquisición de diversas destrezas. • Valoración de la perseverancia, sistematización y reflexión crítica de su propio trabajo y de sus soluciones. Autonomía e iniciativa personal: • Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos. 58 10 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Se presentan distintos elementos de la vida cotidiana que tienen relación con los cuerpos geométricos. Se hace una primera clasificación de cuerpos convexos y cóncavos. Sería importante que los alumnos diferencien figuras de cuerpos e insistir en su importancia. 1 Prismas Es muy importante que puedan identificar los prismas y sus elementos. Para esto conviene trabajar con material concreto, como por ejemplo cuerpos geométricos de madera o de plástico transparente. Se podría preguntar antes de iniciar el tema qué diferencias hay entre prismas y pirámides. 2 Pirámides Convendría seguir los mismos pasos que con los prismas, identificando las pirámides y sus elementos. Además, hacer hincapié en cómo se nombran las pirámides, teniendo en cuenta el polígono de su base. 3 Área lateral y total de prismas y pirámides Para abordar este tema sería conveniente que puedan dibujar los desarrollos de algunos prismas y pirámides para luego entender las fórmulas de área lateral y total. No será necesario que memoricen dichas fórmulas si pueden comprender el concepto de lo que están calculando, ya que saben calcular áreas de polígonos. 4 Poliedros regulares Aquí, además de presentar los cinco poliedros regulares, sería conveniente que busquen información sobre Euler o Platón y puedan en clase discutir sobre el tema. Pueden verificar la fórmula de Euler o resolver ejercicios donde quede planteada una ecuación. 59 10 CUERPOS GEOMÉTRICOS 5 Esfera, cilindro y cono Es importante llevar el material concreto al aula para que los alumnos puedan ver las diferencias entre poliedros y cuerpos redondos. También hay que hacer hincapié para que no confundan círculos con esferas, o triángulos con conos. 6 Área lateral y total del cilindro y del cono Al igual que lo realizado con prismas y pirámides, conviene hacerlo con estos dos cuerpos redondos. Se pueden hacer varios desarrollos de cilindros y conos para llegar a las fórmulas del área lateral y total. Es conveniente que vean la relación entre lo estudiado en circuferencia y círculo con los desarrollos de estos dos cuerpos redondos. 7 Volumen Se deberán realizar muchos ejercicios para que puedan comprender el concepto de volumen. Conviene empezar con cálculos simples (de prismas) donde puedan multiplicar largo, ancho y alto mentalmente. Por ejemplo: cajas de arroz, cajas de lápices, aula, etcétera. También es importante que puedan deducir lógicamente las fórmulas para no recurrir a la memoria. El manejo de unidades también requerirá su tiempo, ya que los alumnos deberán prestar atención cuando reduzcan unidades de volumen. Luego, se podrá trabajar con los demás cuerpos incorporando las fórmulas de cada uno. DIRECCIONES DE INTERNET http://descartes.cnice.mec.es Página para ver pirámides y sus elementos. También se puede observar la formación de los cuerpos redondos. http://www.bbo.arrakis.es/geom/pris1.htm Se muestran los prismas con sus desarrollos y las fórmulas de área lateral y total. http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/espa1.htm Teoría y ejercitación sobre geometría del plano y del espacio. http://geometriadescriptiva.com/teoria/aperez Se muestran los poliedros y su clasificación. 60 11 Estadística y probabilidad OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Organizar datos en tablas estadísticas, así como saber cuál es el gráfico estadístico más adecuado al tipo de datos que se están estudiando. 2. Interpretar y manejar gráficos estadísticos de situaciones reales. 3. Adoptar una actitud crítica ante datos y gráficos estadísticos difundidos en medios de comunicación, teniendo en cuenta el sesgo que se puede producir. 4. Familiarizarse con las fuentes de información estadística. 5. Utilizar los parámetros de centralización: media, moda y mediana, en conjuntos pequeños de datos. Reconocer su significado. 6. Identificar experimentos aleatorios. 7. Distinguir los diferentes tipos de sucesos. 8. Emplear correctamente el lenguaje del azar, y asignar probabilidades a resultados en experimentos aleatorios. 9. Utilizar métodos y procedimientos, tanto estadísticos como probabilísticos, para obtener conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la información. 10. Mantener una actitud crítica ante errores populares en situaciones relacionadas con el azar. 1. Distinguir entre población y muestra. 2. Diferenciar variables cualitativas y cuantitativas. 3. Formar las tablas de frecuencias y porcentajes de un conjunto de datos. 4. Dibujar correctamente diagramas de barras y de sectores. 5. Obtener e interpretar los parámetros de centralización de un conjunto pequeño de datos. 6. Distinguir entre experimentos aleatorios y deterministas. 7. Calcular el espacio muestral de un experimento aleatorio, así como distinguir entre los distintos tipos de sucesos. 8. Hallar probabilidades de experimentos simples. CONTENIDOS Conceptuales 1. Población y muestra. Variables estadísticas. 2. Recuento de datos. Frecuencias. 3. Tablas y gráficos estadísticos. 4. Parámetros estadísticos. 5. Experimentos aleatorios. Sucesos. 6. Probabilidad. Regla de Laplace. Procedimentales 1. Distinción entre población y muestra. Reconocimiento de una variable cualitativa o cuantitativa. 2. Obtención e interpretación de las tablas de frecuencias en un conjunto de datos. 3. Explicación y representación de gráficos estadísticos. 4. Cálculo e interpretación de los parámetros de centralización de un conjunto de datos. 5. Uso de la calculadora para el cálculo de la media aritmética de un conjunto de datos. 6. Diferenciación entre experimentos aleatorios y deterministas. 7. Determinación del espacio muestral, de los sucesos elementales, del suceso seguro y del suceso imposible de un experimento aleatorio. 8. Distinción de la compatibilidad o incompatibilidad de dos sucesos. 9. Determinación del suceso contrario a uno dado. 10. Cálculo de la probabilidad de sucesos sencillos utilizando las leyes de los grandes números. 11. Empleo de la regla de Laplace. Actitudinales 1. Valoración de la importancia de la estadística en nuestra sociedad para el estudio de distintas variables. 2. Reconocimiento de la necesidad de un uso correcto de la estadística, así como la necesidad de tener actitud crítica frente a los estudios estadísticos que aparecen en los medios de comunicación. 3. Apreciación de la importancia del cálculo de probabilidades en distintas situaciones de la vida diaria. 4. Análisis crítico de las informaciones que se reciben sobre fenómenos aleatorios. 61 11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia en comunicación lingüística: • Adquisición de la terminología específica referente a los conceptos de estadística y probabilidad. • Utilización del lenguaje tanto escrito como oral para interpretar y comprender situaciones de la realidad que se pueden expresar en términos estadísticos o probabilísticos. • Análisis de las situaciones presentadas y la extracción de conclusiones. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico: • Mejor conocimiento de los fenómenos naturales y su relación con el mundo de la estadística o del azar. Tratamiento de la información y competencia digital: • Empleo de tablas como estrategia de resolución de problemas para organizar la información en problemas específicos. • Empleo del programa informático EXCEL para el cálculo de medidas de centralización y representaciones de diagramas de barras. Competencia social y ciudadana: • Conocimiento de comportamientos o fenómenos sociales (como por ejemplo, la natalidad) y su interpretación para comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual, así como para predecir y tomar decisiones. • Enfoque de los errores cometidos con espíritu constructivo, lo que permite valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios. Competencia para aprender a aprender: • Desarrollo de modelos generales de razonamiento y consolidación en la adquisición de diversas destrezas. • Valoración de la perseverancia, sistematización y reflexión crítica de su propio trabajo y soluciones. Autonomía e iniciativa personal: • Realización de experimentos (lanzar monedas, dados), toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos. 62 11 MATEMÁTICAS SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Esta unidad tiene como objetivo afianzar y ampliar algunos conceptos estadísticos que los alumnos ya conocen, como el de la media aritmética de un conjunto de datos y la introducción de conceptos relacionados con la probabilidad. Es un tema de gran importancia pues la estadística es una de las ramas de las matemáticas más práctica y con más aplicaciones en nuestra vida cotidiana. Aparecen estadísticas sobre datos tan distintos como economía, deportes o educación. 1 Población y muestra. Variables estadísticas Es importante hacer ver la utilidad de trabajar con muestras en vez de hacerlo con todos los individuos de una población. También, es necesario que sepan que dicha muestra ha de ser representativa de la población, es decir, tomada aleatoriamente; de no ser así, al inferir los datos daría lugar a conclusiones erróneas. 2 Recuento de datos. Frecuencias Al confeccionar tablas, en el caso de variables cuantitativas, los alumnos, a veces, dudan y confunden los valores de la variable con la frecuencia absoluta; por lo tanto, sería conveniente que, mediante ejemplos, lleguen a diferenciarlos. Es importante que vean el concepto de frecuencia relativa como un valor para comparar un dato con la totalidad de ellos, y que es un tanto por uno; a diferencia del tanto por cien, valor que están acostumbrados a oír. 3 Tablas y gráficos estadísticos Es importante que los alumnos aprendan a analizar de forma crítica los gráficos que aparecen en todos los medios de comunicación, y no se dejen engañar con bonitos y coloridos dibujos. Sería interesante proponerles que traigan gráficos estadísticos de diarios o revistas y puedan ser analizados en clase (qué se representó en cada eje, qué escala se utilizó, qué variable, etc). Asimismo, conviene indicarles que, en los diagramas de barras, las alturas corresponden a las frecuencias absolutas de los valores y que también pueden hacerse diagramas de barras de frecuencias relativas y de porcentajes. Además, si los valores de las frecuencias son muy elevados, las alturas se pueden tomar proporcionales a las frecuencias. 63 11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 4 Parámetros estadísticos Hay que indicar a los alumnos que los parámetros que van a estudiar: media, moda y mediana, se llaman «de centralización»; pero existen otros parámetros, que sirven para medir el grado de representatividad de estos, llamados «de dispersión», que se explicarán en cursos sucesivos. Los parámetros que se estudian son medidas de centralización porque se obtienen valores centrales, aspecto muy importante para entender el concepto de la mediana. La media es un parámetro ya conocido de cursos anteriores; sobre todo, para hallar la nota media de un conjunto de exámenes. Es importante que la sepan calcular utilizando su fórmula o mediante el uso de la calculadora. También, es importante que sepan hacer una correcta interpretación de las medidas. 5 Probabilidad Es importante hacer muchos ejercicios de lanzamiento de monedas o dados para que los alumnos comprueben empíricamente los resultados. También hay que insistir en la idea de que la probabilidad es un valor que varía entre 0 y 1, pues suelen contestar que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es del 50 %. 6 Regla de Laplace Para evitar tener que repetir un número elevado de veces un experimento para calcular la probabilidad de un suceso, algo que puede ser tedioso y aburrido hacer, es más práctico que los alumnos vean cuáles 64 son los casos favorables y cuáles los casos posibles de que el suceso ocurra, para posteriormente aplicar la regla de Laplace. 11 MATEMÁTICAS NUEVAS TECNOLOGÍAS ESTADÍSTICA CON EXCEL Ordenar en una tabla de frecuencias los datos de la prueba de creatividad del ejemplo de la página 163. Calcular las medidas de centralización y representar los datos en un diagrama de barras. • Abrir una hoja nueva de Excel y escribir una referencia al problema con el que estamos trabajando: «Análisis de los resultados obtenidos en la Prueba de Creatividad». Introducir en la columna A los valores de los resultados y en la B, sus frecuencias absolutas correspondientes, tal como aparece en la figura: Medidas de centralización • Para hallar la media aritmética se necesita el producto de cada valor por su frecuencia absoluta. Escribir «resultados x frecuencias» en la celda C3. Situarse en la celda C4, introducir la fórmula =A4*B4 y arrastrar el controlador de relleno +, que aparece al situar el puntero sobre la esquina inferior derecha de esa celda, hasta la celda C9. De esta forma, se obtienen todos los productos. En la celda C10 sumar esos valores de la manera vista anteriormente. En la casilla A12 escribir el texto «Media» e introducir en la celda B12 la fórmula =C10/B10 . Pulsar el botón de aceptar, así se obtendrá el valor de la media: 2,7 La moda es 2, ya que es el valor de la variable resultados que tiene mayor frecuencia. • Comprobar que la suma de las frecuencias absolutas es igual al número de alumnos. Escribir «Total» en la celda A10 y situarse en la celda B10. Para hacer la suma, seleccionar en la barra de herramientas Insertar → Función → Matemáticas y trigonométricas → Suma → Aceptar. Observar que en la celda aparece la fórmula =SUMA(B4;B9) y además se muestra una pantalla en la que se lee Número 1: B4:B9, pulsar el botón de aceptar y aparecerá el resultado 20 en esa celda. Representación gráfica • Para representar estos datos en un diagrama de barras, utilizar el asistente para gráficos 1. Eligir el tipo de gráfico: Columnas y en subtipo de gráfico: Columna agrupada./Siguiente. 2. Seleccionar los datos: en la ficha Rango de datos introducir el rango B4:B9 desde el gráfico, y marcar Columnas. Entrar en la ficha Serie, y en Rótulos del eje de categorías (X) seleccionar el rango A4:A9 desde el gráfico/Siguiente. 65 11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 3. En Opciones de gráfico rellenar la ficha Títulos. En Título del gráfico, escribir: «Prueba de Creatividad»; en Eje de categorías (X): «Resultados obtenidos» y en Eje de categorías (Y): «Número de alumnos». Entrar en la ficha Leyenda y desactivar la opción Mostrar leyenda. Aceptar en Siguiente. 4. En Ubicación del gráfico, marcar Como objeto en: hoja 1 → Finalizar. Así se obtiene la siguiente pantalla: DIRECCIONES DE INTERNET http://www.chistemania.com/ familia.php?fam=4800&grp=N Página de chistes relacionados con malas interpretaciones de datos estadísticos y probabilidades. http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/ Azar_y_probabilidad/azar_probabilidad_2.htm Interesante página en la que se muestran ejemplos para llegar, empíricamente, a la definición de probabilidad y en la que se aplica también la regla de Laplace. 66 Solucionario UNIDAD 01 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 8 8 1. (–4), (–3), (–2), (–1), 0 y 1 4y3 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 2. a) Falso, los números naturales son números enteros positivos y no negativos. b) Falso, porque para ser entero obligatoriamente ha de ser natural. c) Falso. Está a la izquierda. d) Verdadero. |4| = 4 y |–4| = 4 e) Falso, solo los enteros positivos son números naturales. 3. Sí, por definición. |2| = |–2| = 2; |5| = |–5| = 5; |7| = |–7| = 7 4. Falso, no son números opuestos ya que no tienen el mismo valor absoluto. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 9 9 5. 10 ºC > 5 ºC > 3 ºC > 0 ºC > –20 ºC 6. –10 < –5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 7. a) –7 < –5 b) Op (–4) = (+4) c) |–2| > (–2) d) +8 < +9 e) |+2| > (–11) f) Op (–3) < |–6| 8. Para que fuera cierta tendría que decir: «Todos los números enteros positivos son mayores que cero». SOLUCIONES DE LA PÁGINA 10 10 9. a) Solución 3 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 b) Solución 3 67 SOLUCIONARIO Solución 8 c) 11 10 9 8 7 6 7 6 5 4 3 2 0 1 1 0 1 2 3 4 7 8 5 6 d) 9 8 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 9 10 Solución 6 10. a) 0 b) –13 11. a) (–15) + 20 = (+5) c) –17 d) –120 b) (–8) + 15 + (+12) + (–10) = (+9) 12. 035; 053; 350; 530; 305; 503; -035; -053; -350; -530; -305; -503 13. En la primera parada: (–11) + 8 = (–3); en la segunda: (–25) 45 + (–3) + (–25) = 45 + (–28) = 17 alumnos quedan en el autobús. 11 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 11 14. a) (+4) + (–12) = (–8) (–4) + (–4) = (–8) b) (–3) + (–9) = (–12) (+5) + (–17) = (–12) 15. a) (–4) + 0 = (–4) c) (–14) + (+21) = (+7) b) (–10) + (–5) = (–15) d) (–16) + (+8) = (–8) 16. (–5) 17. a) (–8) b) (+5) c) (+8) 18. Op (2 + 3) = op 5 = (–5) Op [2 + (–3)] = op (–1) = 1 d) (–30) y op 2 + op 3 = (–2) + (–3) = (–5) y op 2 + op (–3) = (–2) + 3 = 1 Es cierto. 12 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 12 19. a) 15 + (–68) = (–53) b) (–57) + 34 = (–23) b) –120 + 20 – 60 = 100 – 60 = –160 c) 67 + 89 = 156 c) 113 + 235 + 16 = 364 d) 130 + (–230) = (–100) d) (–22) + 10 – 50 – 35 = –97 20. a) (–24) – (0) = (–24) b) (–120) – (+4) = (–124) c) (+20) – (+38) = (–18) d) (–15) – (+5) – (+10) = (–30) 21. Respuesta libre. 68 22. a) +3 + 35 – 16 = 22 23. Verdadera. Op (5 – 3) = op 2 = (–2) y op 5 – op 3 = (–5) – (–3) = (–5) + 3 = (–2) 24. –106 + 63 = –43 o 43 a. C. MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 13 13 25. a b Signo a · b |a · b| a·b 5 –5 – 25 – 25 –6 4 – 24 – 24 –8 –7 + 56 56 –2 2 – 4 –4 5 3 + 15 15 5 -4 – 20 -20 26. a) 3 · 7 = 21 c) 756 b) 20 · (–1) = –20 d) (–2) · 23 = (–46) 27. Por (–1). 28. Falso. Op (3 · 2) = op 6 = (–6) y op 3 · op 2 = (–3) · (–2) = 6 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 14 29. a) (–10) 30. b) 5 14 c) (–4) – 2 = (–6) d) 5 + 4 = 9 a b Signo a : b |a : b| a:b 5 –5 – 1 –1 – 16 –4 + 4 4 –8 2 – 4 –4 – 12 –6 + 2 2 31. Por (–11). 32. D = (–12) · (–6) + 0 = 72 33. 192 = d · (– 6) → d = – 32 34. (– 504) : (– 12) → d = 42 35. Falso. Op [6 : (–3)] = op (–2) = 2 y op 6 : op (–3) = (–6) : 3 = –2 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 15 15 36. a) Falsa, porque es igual a –23 b) Falsa, porque (–1) ≠ 1 c) Falsa, porque 8 ≠ 9 7 g) Falsa, porque 3 ≠ -3 e) Verdadera h) Verdadera f) Falsa, porque 10 = 1 5 2 1 4 12 4 12 i) Falsa, no tiene solución en enteros. 4 f) [3 : 3 · (–2) ] = 3 · (–2) = 3 · 2 37. a) (–2) 2 3 d) Verdadera 6 b) (–5 ) = –5 g) 4 · 24 = 26 c) 66 h) 6 + 9 · 34 = 6 + 36 d) [– (24)]6 = –246 i) -4 + 2 = -2 e) 212 · (–2)12 = 224 69 SOLUCIONARIO 16 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 16 38. a) (–7) – 25 + (–40) = –72 40. a) – (6 – 16) – 3 + [(–4) · (13)] = – (–10) – 3 + (–52) = –45 b) –3 – 4 – (–1) · (–6) = –7 – 6 = –13 b) – 8 + (– 8) + 31 = – 16 + 31 = 15 c) (–2) · 9 – 125 = –18 – 125 = –143 c) (– 2) · (– 7) – 10 = 14 – 10 = 4 d) (–1) – 3 = –4 d) (– 8) · (– 2) + (– 2) · (– 9) = 16 + 18 = 34 e) –5 + 12 – 2 = 5 e) (– 6) : 6 – (– 6) : 2 = – 1 + 3 = 2 f) (–1) – (–15 – 24) = –1 – (–39) = –1 + 39 = 38 f) -1 + 6 : 2 = -1 + 3 = 2 g) [-12 : 3] + (-2)4 = -4 + 16 = 12 39. a) –5 · (6 + 7) = –5 · 13 = –65 b) (–3) · (2 – 7) = (–3) · (–5) = 15 c) (–4) · (2 – 10 + 12) = (–4) · 4 = (–16) d) a · [(–b) + c] 17 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 17 1. 2. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 0 7 –1 1 2 3 5 –3 4 3. 22 47 16 41 10 35 4 5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 62 13 31 7 25 43 19 37 38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45 46 15 40 9 34 3 28 4. 70 3 –4 4 2 1 0 –2 6 –1 MATEMÁTICAS ACTIVIDADES MAPA CONCEPTUAL 18 1. NÚMEROS ENTEROS están se pueden realizar con ellos Ordenados Operaciones Jerarquía que siguen una tales como Adición Sustracción si los factores son iguales División Raíz cuadrada Multiplicación se rige por la se rige por la Potencias Regla de los signos a) Respuesta libre. b) Sí. 4 > 2 y |+ 4| > |+ 2| c) No. – 2 > – 4 y |– 2| < |– 4| d) Conmutativa, asociativa, distributiva y elemento neutro. Conmutativa, asociativa y elemento neutro. CÁLCULOS 2. a) – 100 g) 2 000 b) 50 h) – 960 b) 100 f) 3 c) 4 i) – 1 c) – 48 g) -4 d) – 1 j) – 1 100 d) – 30 h) 0 e) 260 k) – 1 111 100 f) – 720 l) 20 3. a) 0 4. a) 64 e) 10 e) 10 b) – 27 f) 3 c) – 125 g) -4 d) 25 h) 1 71 SOLUCIONARIO 19 LOS NÚMEROS ENTEROS. REPRESENTACIÓN, ORDEN Y VALOR ABSOLUTO 5. a) 0 m de altitud. b) +1 064 m c) –395 m 6. Temperatura por la mañana, en °C Temperatura por la tarde, en °C Variación o descenso de temperatura 0 3 +3 4 1 –3 8 0 –8 12 6 –6 16 13 –3 20 9 –11 24 5 –19 7. a) 1 492 c) 1 789 b) 500 a. C. 14. –1 · d) 0 2 · –2 · 1 = 4 · –1 · –1 : –1 : –1 –1 8. Valores absolutos: 0, 3, 5, 10, 8, 9 y 70 0 Opuestos: 0, 3, (–5), 10, 8, (–9) y 70 · –1 · –2 : –1 = 0 = –1 = –1 = –1 = –1 –1 9. –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 0 –1 –2 –1 1 –1 –1 –1 –1 10. María > Fede > Ana = Carmen = José Luis 15. a) 4 · (–3) = –12 11. a) 14 – 8 + 9 = 14 + 1 = 15 b) 12 + 6 – 4 – 8 = 6 b) 5 · (–1) = –5 c) –21 + 8 = –13 c) 2 · 4 = 8 e) (–3) · (–4) = 12 16. A las 8 de la mañana. d) –5 + 3 – 10 = –12 12. a) 350 17. a) (–2) · 11 = –22 g) -60 b) –24 b) 2 · 1 = 2 c) –2 · (–11) = 22 h) -324 c) –630 d) –10 2 2 =4 3 18. (–2) = 4 i) 35 2 d) –4 j) -60 (–2) = –8 23 = 8 e) 30 k) 60 (–1)2 = 1 32 = 9 f) -30 l) -70 (–1)3 = –1 33 = 27 02 = 0 42 = 16 13. a b |a| |b| a–b |a| – op (b) 03 = 0 43 = 64 (+3) (–2) 3 2 5 1 12 = 1 52 = 25 (–3) 2 3 2 –5 5 13 = 1 53 = 125 4 (–3) 4 3 7 1 19. (–4)0 = 1 (–8) (–1) 8 1 –7 7 (–4)2 = 16 (–4)4 = 256 (–4)6 = 4 096 (–4)1 = –4 (–4)3 = –64 (–4)5 = –1 024 72 d) 3 · 4 = 12 MATEMÁTICAS 20. a) -5 f) 5 22. Para recorrer los 30 km hasta el refugio tardare- b) -2 g) 3 – 4 = –1 c) 5 h) No es exacta, no perte- d) 4 mos nece a enteros. 21. a) x = –8 d) x = 2 b) x = 4 e) x = –1 c) x = -3 f) x = 2 30 3 = = 1 hora y media. 20 2 Como se consumen dos litros en una hora, en hora y media habrán consumido: 1,5 : 2 = 0,75 litros por persona. 0,75 · 20 = 15 litros consumirán hasta llegar al refugio; por lo tanto, tendrán agua suficiente e incluso les sobrará. 23. x · (op x)2 = –27; solo puede ser (–3). OPERACIONES COMBINADAS 24. a) –50 d) –6 b) 0 c) –68 e) –2 f) 0 20 Cuarta letra: 7 · 2 + 2 = 16 ⎯⎯→ L g) –18 25. a) Falsa. Cuando se multiplica un número de veces par un número negativo, el resultado será siempre positivo. 31. Es -5. 32. El doble ha de estar entre –5 y –11; solo puede ser el –3, el –4 o el –5. Pero si, además, su cuadrado ha de ser menor que 16: b) Falsa. Es la resta de exponentes. (–3)2 = 9 c) Falsa. Para que fuera cierta correspondería con el producto. De aquí deducimos que el número que buscamos solo puede ser el (–3). 26. a) 2 + 1 – 27 = –24 e) –8 : 4 + 1 = –1 5 b) 9 – 1 – 4 = 4 f) (–3) + 1 = –242 c) –18 – 125 = –143 g) –3 – 9 = –12 d) 4 – 9 = –5 33. a) Falsa. (–4)2 = 16 (–5)2 = 25 b) Verdadera. c) Falsa. 34. Cada minuto salen del depósito: 43 – 30 = 12 litros. Tardará en vaciarse el depósito 420 : 12 = 35 minutos. A los 15 minutos habrán salido del depósito un total de 12 · 15 = 180 litros de agua. Por lo tanto, quedarán todavía 420 – 180 = 240 litros en el depósito. 27. Actividad resuelta. 28. –5 = –3 + (–2) 35. Todas las carretillas vacías pesan: –9 = –4 + (–3) + (–2) 258 · 300 = 77 400 kg. 12 = 3 + 4 + 5 29. 50 m + 20 m – 35 m = 35 m 1 000 m – 35 m = 965 m 30. Primera letra: 65 – 64 = 1 ⎯⎯→ A Segunda letra: 4 · 13 – 45 = 7 ⎯⎯→ Z Se han extraído en total: 1 088 000 – 77 400 = 1 010 600 kg de carbón. Cada minero ha extraído, por término medio, al día: 1 010 600 : 815 = 1 240 kg de carbón. Tercera letra: 4 : 2 = 2 ⎯⎯→ U DESAFÍOS 21 SEGUÍ LA FLECHA –16 :2 –8 :2 –4 · (–1) : (–2) · (–1) · (–2) · (–1) 16 :2 8 :2 4 · (–1) : (–2) · (–1) : (–2) · (–1) –16 :2 –8 :2 (–4) 73 SOLUCIONARIO BUSCAR EL SÍMBOLO a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 = 100 b) 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + 7 · 8 = 100 c) 2 · 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 = 100 ACERTIJO Puede haber muchas formas de obtener estos números, por ejemplo: a) 5·5+5·5 = 10 5 b) 10 · (10 + 10) · 10 – 10 · 10 · 10 = 1 000 1010 –10 CIFRAS Y LETRAS 9 8 0 1 0 1 0____ 1 5 9 6 0 10 3 9 7 0 EL NÚMERO ESCONDIDO Es el 15. El número del centro resulta de sumar todos los demás números y el resultado dividirlo entre tres. 7+6+9+8+5+4 = 13 3 2 + 7 + 3 + 6 + 21 + 6 = 15 3 NÚMEROS Y NÚMEROS 1 2 5 8 15 4 21 29 7 9 22 6 3 EL CARACOL Y EL POZO El primer día sube: 4 – 3 = 1 metro. El segundo día: 1 + 4 = 5 → 5 – 3 = 2 metros. El tercer día: 2 + 4 = 6 → 6 – 3 = 3 metros. El cuarto día: 3 + 4 = 7 → 7 – 3 = 4 metros. El quinto día: 4 + 4 = 8 → 8 - 3 = 5 metros. El sexto día: 5 + 4 = 9 → 9 - 3 = 6 metros. El séptimo día: 6 + 4 = 10 metros (ya llegó). Por lo tanto, necesitará 7 días para alcanzar la salida. NURIA O LUCÍA Pedro habló con Nuria, pues Lucía no podría decir de sí misma que miente ya que está diciendo la verdad. 74 MATEMÁTICAS UNIDAD 02 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA a) Nicolás: 18 9 = 62 31 12 1 = 48 4 Hugo: b) Total de fotos: 62 + 48 = 110 22 Nicolás: 18 9 = 110 55 Hugo: 12 6 = 110 55 Nicolás ha fotografiado más veces el río Nilo. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 24 1. a) 1 16 b) 3 16 24 1 4 c) 4. a) 2. Respuesta libre. Por ejemplo: 5 2 3 8 1 10 b) 6 9 6 9 = Impropia 4 6 5. 3 6 14 21 12 8 = Propia 15 10 6 4 = Propia 15 10 4 10 = Propia 6 15 3. Respuesta libre. Por ejemplo: a) 4 6 c) 2 8 b) 14 4 d) 6 6 6. a) 15 b) Respuesta libre. Por ejemplo: los números deben multiplicar 24. c) Respuesta libre. Por ejemplo: 3; 4 y –6. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 25 25 7. Respuesta libre. Por ejemplo: a) Ampliadas: d) Ampliadas: – 60 90 6 3 , ; simplificadas: , 80 120 8 4 b) Ampliadas: 8. a) 5 3 b) – 11 7 c) 2 3 d) – 5 9 40 100 10 5 , ; simplificadas: , 24 60 6 3 c) Ampliadas: – 36 180 9 ,– ; simplificadas: – , – 3 12 60 3 54 72 6 2 ,– ; simplificadas: – , – 81 108 9 3 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 26 9. a) b) 26 9 18 35 , , 30 30 30 c) – 45 66 52 , , 144 144 144 d) 56 33 40 , ,– 154 154 154 16 27 72 , , 432 432 432 10. 5 12 9 3 45 48 54 54 , , , = , , , 8 18 12 4 72 72 72 72 Por tanto, 54 54 48 45 = > 72 72 72 72 (de más efectividad a menos) 75 SOLUCIONARIO 27 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 27 11. – 8 7 12 4 >– >– >– 9 6 10 3 12. El número correcto es el d): 1 9 13. a) 54 56 64 54 56 64 3 7 8 , , → < < → < < 72 72 72 72 72 72 4 8 9 b) 42 45 36 36 42 45 3 7 9 , , → < < → < < 60 60 60 60 60 60 5 10 12 c) – 27 35 36 36 35 27 12 7 3 ,– ,– →– <– <– →– <– <– 45 45 45 45 45 45 15 9 5 d) – 30 54 30 54 30 30 3 2 3 ,– ,– →– <– =– →– <– =– 90 90 90 90 90 90 5 6 9 14. Respuesta libre. Por ejemplo: 15. a) 12 13 14 15 16 1 13 14 15 1 , , , , → , , , , 48 48 48 48 48 4 48 48 48 3 b) 80 81 82 83 84 10 81 82 83 7 , , , , → , , , , 72 72 72 72 72 9 72 72 72 6 c) 16 17 18 19 20 4 17 18 19 5 , , , , → , , , , 28 28 28 28 28 7 28 28 28 7 d) 13 12 65 72 65 67 69 71 72 13 67 69 71 12 , → , → , , , , → , , , , 30 25 150 150 150 150 150 150 150 30 150 150 150 25 10 12 12 10 4 2 , → > → > 15 15 15 15 5 3 2 6 4 96 90 80 , , → , , 3 8 5 120 120 120 Otro ejemplo: 28 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 28 16. a) – 41 45 17. Labró los 76 2 8 6 176 192 198 , , → , , 3 11 8 264 264 264 b) 1 8 c) 1 2 d) – 21 8 71 1 de la tierra y le resta por labrar . 72 72 MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 29 29 18. Da igual. 19. a) 1 5 8 5 b) 20. Durmiendo, 5 12 c) d) – 5 16 1 1 de día u 8 horas; en el colegio, de día ó 6 horas; en casa y ocio, 3 4 5 de día ó 10 horas. 12 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 30 21. a) 30 25. 16 15 c) 4 1 4 d) – b) – 22. – 2 7 23. 4 81 24. a) 1 3 : 3 7 – 2 3 1 6 3 7 1 – 9 14 18 7 1 –4 2 3 – – 1 6 3 3 b) – 3 2 26. 14 9 7 18 – 1 4 1 3 20 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 31 27. a) 6 561 65 536 b) – 31 c) No da exacta. 1 32 28. a) 1 3 9 b) 1 2 d) 3 2. =1 2 3 5 5 . = 3 2 14c) – 2 d) 1 7 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 32 32 29. a) 323 60 b) – 20 9 c) 37 8 30. a) 8 5 b) 103 60 c) 3 2 d) – 5 11 e) – 217 144 f) 43 90 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 33 1. La pista mide 1 000 m. 2. La entrada del adulto cuesta $22 y la infantil $11. 33 3. Había 25 368 kilogramos antes de que se estropeara. 77 SOLUCIONARIO ACTIVIDADES 34 MAPA CONCEPTUAL 1. FRACCIONES Adición con las que se pueden realizar si representan la misma cantidad son Operaciones Fracciones equivalentes como se obtienen por Sustracción Multiplicación Ampliación si los factores son iguales se utilizan para Potenciación y Radicación Comparar y ordenar a) Significa que se tomaron dos partes de una tarta que se ha dividido en siete partes iguales. b) Las que representan la misma cantidad. Por ejemplo: 1 2 Simplificación División 2 4 = c) Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número natural mayor que uno. Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común. d) Verdadera. Falsa. Falsa. CÁLCULOS 2. a) 25 cm 78 b) 12 cm c) 6 cm b) 2 c) 3. a) 3 4 4. a) 4 3 d) 3 b) 3 2 e) c) 5 6 f) d) 1,5 cm 3 16 d) g) 9 4 15 8 h) 2 3 5 2 i) 1 2 1 8 10 1 >− 3 2 5. a) 3 5 4 < 4 d) b) 2 2 > 3 5 e) – c) 3 4 < 4 5 5 5 8 f) 3 > 3 6 8 5 <− 3 3 MATEMÁTICAS FRACCIONES 35 6. Las regiones de color amarillo representan las siguientes fracciones: c) 5 3 a) 1 3 , fracción impropia. c) , fracción impropia. 4 16 d) 9 4 b) 1 1 , fracción impropia. d) , fracción impropia. 4 9 8. a) 7. Respuesta libre. Por ejemplo: a) 4 5 b) 3 9 b) 15 3 m= m 100 20 c) 1 L 1 00 30 1 min = min 1 440 48 d) 5 kg 4 FRACCIONES EQUIVALENTES 9. a) 27 b) 20 y 6. Hay más posibilidades. 10. 10 6 10 15 y ; y 15 9 4 6 SIMPLIFICACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES 11. Respuesta libre. Por ejemplo: a) Amplificación: simplificación: 20 30 , ; 40 60 simplificación: – 1 2 , 2 4 b) Amplificación: – 12. a) 36 54 ,– ; 24 36 9 6 simplificación: – , – 6 4 50 100 c) Amplificación: , ; 200 400 simplificación: d) Amplificación: – 2 3 c) – 13. – b) 1 3 72 360 ,– ; 60 300 18 12 ;– 15 10 5 3 d) – 7 4 2 1 5 4 <– <– < < 15 9 6 16 12 1 5 , 4 20 OPERACIONES CON FRACCIONES 14. a) – b) 2 3 c) – 203 120 15. a) 10 c) 3 d) 23 60 11 60 b) 2 y 6. Hay más posibilidades. 16. a) 7 15 b) – 3 5 c) 9 4 17. Para la primera prueba emplea la segunda d) 7 15 3 de hora y para 20 1 de hora. 10 d) 6 79 SOLUCIONARIO 36 19. Pasearemos 7,5 km. 2 15 18. a) b) En junio 20 alumnos y en septiembre 6. c) 4 alumnos DIVISIÓN DE FRACCIONES 5 6 20. 1 2 21. a) – b) 7 8 c) 5 9 d) – 15 16 3 49 POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES 15 34 13 22. a) –3 c) – 5 2 b) 14 –5 3 2 OPERACIONES COMBINADAS 24. a) 5 116 103 b) – 18 200 c) 147 d) 5 32 27. a) 1 1 1 1 1 · + – =2 : 2 2 2 2 2 b) 2 2 2 2 2 + + =1 · : 3 3 3 3 3 3 e) 8 f) 0 c) 25. Costó $1,845 26. Debe durar el examen 50 minutos. d) 28. 37 DESAFÍOS LA RUEDA DE LOS NÚMEROS 80 1 : 4 43 45 14 + 14 · 14 = 2 1 3 MATEMÁTICAS TRIÁNGULO DE FRACCIONES LA FIGURA COMPLETA a) Realizar un dibujo compuesto por cuatro partes iguales a la figura del enunciado. Como es evidente hay muchas posibilidades, una de ellas puede ser: Por ejemplo: c) La figura original es: 2 partes de la origi5 1 nal quiere decir que la mitad de esta es parte de 5 la original. Por lo tanto, la figura debe aparecer b) Como la figura del enunciado es d) La figura original es: cinco veces en la original. EL TANGRAM a) b) 1 4 1 4 1 16 1 16 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ ; ⇔ ⇔ ; ⇔ 4 4 8 8 8 16 16 1 8 1 8 1 8 VALOR DE LAS PARCELAS Dos de las parcelas cuestan $30 000 cada una 14 . Tres de las parcelas cuestan $15 000 cada una 18 . Dos de las parcelas cuestan $7 500 cada una 161 . 81 SOLUCIONARIO UNIDAD 03 38 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA 1. Bacteria Escherichia Coli → 3 μm = 0,000003 m = Glóbulo rojo → 7 μm = 0,000007 m = 7 m 1 000 000 Virus de la gripe → 80 μm = 0,000080 m = 2. 5 000 000 · 3 m 1 000 000 80 8 m= m 1 000 000 100 000 7 = 35 1 000 000 Ocuparían una longitud de 35 metros. 40 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 40 1. a) 4,42 c) 0,003495 b) 171,3 d) 0,0000004 2. a) 3,4 < 3,44 < 3,442 < 3,45 < 3,454 < 3,5 3. -5,2 -6 -5 -3,1 -4 -3 b) –5,2 < –3,1 < –1,3 < –0,4 < 4,7 < 6,8 -1,3 -0,4 -2 -1 4,7 0 1 2 3 4 6,8 5 6 7 4. Se pueden encontrar infinitas expresiones decimales, una solución, por ejemplo, puede ser: 41 a) 2,3 y 2,57 d) –0,01 y 0 b) –1,153 y –1,159 e) 24,423 y 24,43 c) 32,25 y 32,3 f) 121,502 y 121,504 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 41 5. Deben hacer una recta, pero pueden elegir la escala, un ejemplo: 6. a) < c) < b) < d) > 7. a) 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 b) 42 123 100 c) 23436 1000 7 1 000 000 d) 125 1000 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 42 8. $0,70 + $6,14 + $3,16 = 10 9. $20 - $10 = $10 de vuelto. 10. a) (3,24 + 23,78) – 12,5 = 27,02 – 12,5 = 14,52 b) (24,3 – 1,88) – (3,25 + 100) = 22,42 – 103,25 = –80,83 c) 35,04 + (–11,3) + (–52,22) = –28,48 82 MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 43 43 c) –24,78 · 1 000 = –24 780 11. $11,10075 12. a) 65,2 · 3,47 = 226,244 d) 0,04 · (–100) = –4 c) 0,2 · 0,05 = 0,01 d) 0,00023 · 106 = 230 b) 3,6 · 3,7 · 3,8 = 50,616 14. a) 24 · 0,5 = 12 13. a) 3,7 · (–2,25) = –8,325 b) 24 · 1 = 24 c) 24 · 1,5 = 36 Si multiplicamos por números positivos más pequeños que 1 el resultado es un número menor. b) –0,32 · (–8,2) = 2,624 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 44 44 15. $248 : 3 = $82,66 por mes. 17. a) 3,8 : 1 000 = 0,0038 $82,66 : 30 = $2,75 por día. b) 0,02 : 100 = 0,0002 c) 1 084 : 1 000 = 1,084 d) 10,84 : 10 = 1,084 $2,75 · 10 = $275 por 10 días. 18. a) 24 : 0,5 = 48 16. a) 38 : 6 = 6,333... b) 2 : 500 = 0,004 c) 572,34 : 4 = 143,085 b) 24 : 1 = 24 c) 24 : 1,5 = 16 Si dividimos entre números positivos más pequeños que 1, el resultado es un número mayor. d) 4,2816 : 1,2 = 3,568 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 45 19. a) 0,09 45 c) 0,9 b) -1,331 = 5,19 21. a) 27 d) -0,2 Podrá formar 5 filas. = 73,5 metros mide el lado. 20. 5 402,25 b) No podrán participar en la tabla dos alumnos. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 46 22. 46 Número Décimos Centésimos Milésimos Diezmilésimos 10 = 1,42857142... 7 1,4 1,43 1,429 1,4286 2,7123 2,7 2,71 2,712 2,7123 22,1657 22,2 22,17 22,166 22,1657 9,356284 9,4 9,36 9,356 9,3563 23. a) 29,98 · 3,01; estimando en las unidades es: 30 · 3 = 90 b) , la raíz cuadrada de 100 es: 10 99 c) 480,43 : 12; estimando: 480 : 12 = 40 d) 990,675 – 90,32; estimamos: 990 – 90 = 900 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 47 47 1. 117,45 4. 18,5 2. 5,68 5. 2,375 3. 19,28 83 SOLUCIONARIO ACTIVIDADES 48 MAPA CONCEPTUAL 1. EXPRESIONES DECIMALES pueden tener Infinitas cifras decimales Número finito de cifras decimales se pueden se pueden realizar Representar y ordenar Operaciones como son Adición Decimales exactos Sustracción Multiplicación Potenciación División Radicación e) Respuesta libre. Por ejemplo: a) Una expresión decimal con un número finito de decimales. Adición: 3,25 + 4,33 = 7,58 Por ejemplo: 6,57 Sustracción: 4,68 – 3,27 = 1,41 b) Respuesta libre. Multiplicación: 3,25 · 2,71 = 8,8075 c) Hay infinitas posibilidades. División: 7,92 : 2,2 = 3,6 = 3,2 Raíz cuadrada: 10,24 Por ejemplo: 2,49 > 2,45 > 2,37 > 2,25 > 2,18 d) 5,119 < 5,12 < 5,121 < 5,123 < 5,13 Potenciación: (1,9)2 = 3,61 CÁLCULOS 49 2. a) 0,05 b) 0,8 c) 0,2 d) 0,01 5. a) 3 b) 42 c) 32,7 d) 424 3. a) 0,3 b) 0,42 c) 0,327 d) 4,24 6. a) 10 b) 144 c) 7,2 d) 8,4 4. a) 2,5 b) 36 c) 1,8 d) 2,1 7. a) 8,04 b) 0,4 c) 0,092 d) 0,2002 EXPRESIONES DECIMALES. ORDENACIÓN Y REPRESENTACIÓN 8. a) 0,000050 c) 34,5 b) 500,0300 9. 0,000050 = 5 · d) 0,00005 1 ; 1 000 000 34,5 = 3 · 10 + 4 · 1 + 5 · 84 1 ; 10 500,0300 = 5 · 100 + 3 · 0,00005 = 5 · 1 100 1 100 000 MATEMÁTICAS 10. a) 8,042 < 8,044 < 8,404 < 8,42 < 8,440 < 8,442 17. a) 0,252 = 0,0625 b) –33,06 < –32,66 < –32,6 < –32,06 b) (–1,2)3 = –1,728 c) –44,22 < –42,24 < 22,44 < 24,42 c) 0,12 · 0,14 = 0,000001 d) –0,02 < –0,002 < 0,0002 < 0,02 d) 0,14 : 0,12 = 0,01 11. a) 22,7 c) –3,73 18. a) 75,98 · 9,4 = 714,212 b) 2,63 b) 12,96 · 1,23 · 4,07 = 64,879056 d) –2,6 12. 1,2 > 0,9 > 0,3 > -0,3 > -0,7 > -2,1 c) –0,9 · 0,9 = –0,81 13. Todas. d) 100,8 : 56 = 18 d) 0,83 (aprox.) e) 4 237,2 : 0,32 = 13 241,25 b) 14,8 e) 0,36 f) 25,11 : (–3,6) = –6,975 c) 0,85 f) 0,063 g) 368,65 + 8,009 = 376,659 c) 2001 500 h) 853,21 + 4 532,9795 = 5 386,1895 14. a) 0,207 15. a) 21 10 b) 33 25 d) i) 74,3 + 947,54 + 745,925 = 1 767,765 11 500 j) 465,43 – 438,8 = 26,63 k) 854,45 – 976,835 = –122,385 16. a) 7,5894 · 105 = 758 940 l) –398,59 – 43,985 = –442,575 b) 4 978,22 : 1 000 = 4,97822 c) 94,5 : 104 = 0,00945 OPERACIONES CON EXPRESIONES DECIMALES 19. 1er día: $60,20 d) 65,3 – (23,2 – 46,2 : 100) · 0,25 = 2° día: $30,10 3er día: $1/5 (120,40 – 90,30) = $1/5 · 30,10 = $6,02 60,20 +$ 30,10 + $6,02 = $96,32 Le quedan por recoger: $120,40 – $96,32 = $24,08 20. $5,37 cuesta todo, me devuelven $ 4,63. 21. 20 000 leguas · 5,52 km/legua = 110 400 km 22. (1 libra · 1 kg) : (0,461 kg) = 2,17 libras 23. (1 milla · 1 000 m) : (1 609,34 m) = 0,62 millas = 5,47; aproximación por defecto a las centési24. 30 mas, redondeando: 5,48 cm de lado. 25. a) 0,1 b) 0,3 49 c) 0,3 d) No tiene solución en Q. 26. a) 456,34 – (34,57 – 2 · 32,4) = 456,34 – (–30,23) = = 486,57 b) 3,4 – 2,6 · 4,2 + 3,02 · 10 = 3,4 – 10,92 + 30,2 = = 22,68 c) 35,72 – 4,2 · (5,3 + 84,96 : 47,2) = 35,72 – 4,2 · 7,1 = = 35,72 – 29,82 = 5,9 = 65,3 – 22,738 · 0,25 = = 59,6155 27. a) 362,41 – (–22,56 + 3 · 41,2) = 261,37 b) 0,4 – 7,7 : 2,2 + 0,1 : 10 = –3,09 c) 3,7 – 12,4 · (6,32 – 68,779 : 5,45) = 81,82 d) 7 – [2 – 4,3 · (2,7 – 3,1 · 4,2)] = –39,376 28. a) 3 837,68 b) 0,54 c) 539,95 d) 0,3 29. a) Multiplicación y resta. b) Suma y multiplicación. c) Suma y multiplicación. d) Suma y división. 30. Respuesta libre. Por ejemplo, un enunciado puede ser este: «Por la compra de cuatro objetos que valían $172,75, al ir a pagar le descontaron $12,25. ¿Cuánto costó cada objeto?». 31. En las del primer tipo un litro cuesta $2,185, y en las del segundo tipo un litro cuesta $2,20; por lo tanto, es más barata la del primer tipo. 32. El libro tiene 640 páginas, que son 320 hojas con un grosor total de 4 cm – 0,5 cm = 3,5 cm. El grosor de una hoja es: 3,5 : 320 = 0,0109375 cm 85 SOLUCIONARIO 33. a) 3 kg b) 2 kg c) 1 kg 2 d) 1 kg 34. La b), 19,5 35. La d), 0,04 36. a) 0,25 b) 105,75 (aprox.) c) 2 38. a) 45 8 d) 1,49 b) 1 e) 0,905 c) -3,4375 f) 4,13 (aprox.) 39. 0,36 cm. d) 1,86 (aprox.) 37. a) 5 paquetes. b) En 27,6 kg. 51 DESAFÍOS INVESTIGAR CON LA CALCULADORA a) Para visualizar en la pantalla una expresión decimal sin utilizar la tecla del punto decimal, podemos hacer cualquier operación que dé como resultado un número decimal, por ejemplo: 3 : 5 b) Si las dos expresiones decimales que multiplicamos son menores que 1, el resultado es menor que los dos números, por lo tanto, menor que 1; y si son mayores que 1, el resultado será mayor que 1. Si una de las expresiones decimales que multiplicamos está comprendida entre 0 y 1, el resultado esta- rá entre las expresiones multiplicadas; en este caso será igual a 1. Cuando multiplicamos expresiones decimales inversas, por ejemplo: 12,5 y 0,08 será mayor que 1 si una de las expresiones multiplicadas es mayor que la inversa de la otra, y será menor que 1 si es menor que la inversa de la otra. c) Si los denominadores son potencias de 2, potencias de 5 y potencias de 2 por potencias de 5, el resultado de las divisiones son decimales exactos, en los demás casos obtenemos decimales periódicos. TIRAS DE PAPEL Para que la tira sea bastante larga, basta que sea muy estrecha. Repitiendo el proceso que se indica 1 en el dibujo, tendríamos 4 metros de largo por de ancho y, así, sucesivamente, se puede obtener 4 una longitud tan grande como se desee, por lo menos, teóricamente. VALOR DE LA BOTELLA Y EL CORCHO La botella solo cuesta $1,05. Es decir, 1 peso y 5 centavos. El corcho cuesta 5 centavos. 86 MATEMÁTICAS UNIDAD 04 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA 52 Pensar un número: x Dividirlo entre seis: Multiplicarlo por dos: 2 · x = 2x 6x + 18 6x 18 = + =x+3 6 6 6 Quitarle el número pensado: x + 3 – x = 3 Sumarle seis: 2x + 6 Multiplicarlo por tres: (2x + 6) · 3 = 6x + 18 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 54 54 3. El cubo de la suma de dos números es (x + y) 3. 1. a) Un número multiplicado por menos siete. b) Seis más el doble de un número. La suma de un número y su cuadrado es x + x 2. c) La mitad de, un número aumentado en tres unidades. La suma de dos números consecutivos es (x + 1) + + (x + 2). d) El triple de, un número disminuido en dos unidades, más siete unidades. El doble de un número menos el triple de otro es 2x – 3y. 2. a) 5x 2 b) 3x – 2x Un cuarto del doble de un número menos siete es: 1 · (2x – 7). 4 c) (2x )2 d) x + x + 1 4. 3 · 23 + 4 · 22 – 5 · 2 + 7 = 24 + 16 – 10 + 7 = 37 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 55 55 5. Es verdadera. 7. a) Identidad 6. Es falsa. b) Se cumple solo para a = –3. c) Falsa, no se cumple para ningún valor. d) Identidad SOLUCIONES DE LA PÁGINA 56 8. a) x = 60 b) x = 5 y – 5 9. a) Una incógnita. 56 c) x = 16 e) x = –1 d) x = 0 y 1 f) x = – b) 3x + 2 c) 2x + 3 g) x = 1 1 2 i) x = 35 h) x = 2 d) Una incógnita. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 57 57 10. a) Cierta c) Cierta 12. a) Falso c) Cierto b) Cierta d) Cierta b) Cierto d) Cierto 13. a) Falso c) Falso 11. Es compatible determinada, las soluciones son 4 y –3. b) Falso d) Cierto 87 SOLUCIONARIO 58 59 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 58 14. a) x = 6 d) x = –3 g) x = 13 b) x = 4 e) x = 11 h) x = –4 c) x = 6 f) x = –1 15. a) x = 9 b) x = 3 c) x = 4 d) x = –2 16. a) x = 0,3 b) x = –8,6 c) x = –6,2 d) x = 9,5 61 d) x = 7 4 b) x = –15 2 e) x = 14 3 c) x = 19 15 f) x = 11 20 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 59 d) x = 3 19. a) x = 3 d) x = 5 4 b) x = –2 e) x = 5 b) x = -7 e) x = 11 13 c) x = 2 f) x = 12 c) x = -2 f) x = 3 18. a) x = 2 60 5 2 17. a) x = SOLUCIONES DE LA PÁGINA 60 20. Tienen 10, 15 y 20 años. 22. El número es el 90. 21. El número es el 33. 23. La base mide 24 cm y la altura 12 cm. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 61 1. Tiene dos soluciones válidas: 2. Tiene dos soluciones: 1 y 3 es una solución, y la • La cara posterior de 5 es 13 y la de 7 es 11. • Las caras posteriores de 5 y 7 son, respectivamente, 9 y 15. otra es 3 y 2. 2 ACTIVIDADES 62 MAPA CONCEPTUAL 1. LENGUAJE ALGEBRAICO Lenguaje simbólico y coloquial El doble de un número → 2·n La cuarta parte de x → x:4 ó 88 1 x 4 El triple del quíntuplo de una cantidad → 3,5 c ó 15c La mitad del cuadrado de nueve → 92 : 2 ó 1 2 ·9 2 MATEMÁTICAS b) • El triple de un número. a) • 2x 1 • s : 3 ó s 3 • El cuadrado del anterior de un número. 1 x • x : 2 ó ó x 2 2 • x-1 • La mitad de un número. • x+1 • Un número por su consecutivo. • 2 (x + 1) 1 • (x - 1) 4 • El cubo de un número. • El triple del siguiente de un número. • La raíz cuadrada de un número. CÁLCULOS 2. a) 18 b) 6 c) 100 4 2 3. a) 62 b) 6 c) 4. a) x = 5 b) x = 4 c) x = 1 d) 18 d) 4 5. a) Sí 6. a) 19x b) Sí c) Sí 2 b) – y c) x + x b) 2x + x 2 9. c) d) 1 – 11x 7. 10 d) x = 0 LENGUAJE Y EXPRESIÓN ALGEBRAICA 8. a) 2n, 2n + 2 d) Sí 63 x 5 d) x 2 – y 2 María tiene cien más que José. x = y + 100 Tengo el doble de años que vos. y = 2x El precio de x yogures a $1,82 la unidad. p = 1,82 x La suma de dos números naturales consecutivos es 45. n + (n + 1) = 45 La edad de Ana dentro de tres años será la mitad de la que tenía María hace dos años. x+3= Me quedan diez caramelos después de haberme comido la mitad y haberle dado a mi hermano la tercera parte. 10 = x – y–2 2 x x – 2 3 10. Respuesta libre. IGUALDADES, IDENTIDADES Y ECUACIONES 11. a) Ecuación 12. No b) Identidad 13. a) 6 c) Identidad b) 10 d) Ecuación c) 5 – 10x d) x 2 89 SOLUCIONARIO 14. Ecuación Valores para la letra ¿Es solución? 0 No 7 Sí 1 No –2 No 6 Sí –3 No 4x – 2 = 2x + 12 x +7=x+4 2 15. Igualdades Identidad o ecuación Compatible o incompatible Determinada o indeterminada 3 · (x + 2) = 3x Ecuación Incompatible — x + x + x = 3x Identidad — — x +7=x+4 2 Ecuación Compatible Determinada x 2 – 15 = 2x Ecuación Compatible Determinada 16. Respuesta libre. 17. Respuesta libre. 18. a) x = 7 y 0 b) x = 8 19. a) x = –5 b) y = 7 20. a) x = –3 b) x = 21. 1 2 c) x = 30 d) x = 22 1 5 c) x = –4 e) x = d) y = 14 f) z = –2 h) y = c) x = –17 e) x = –112 g) x = 5 f) x = 8 h) x = 125 d) x = – 1 3 ¿Qué número sumado a 18 da 44? La suma de dos números pares consecutivos es 6. ¿Cuanto vale el primero? Calcular el número que cumple que sus 3 partes sumadas a 6 4 nos da 9. El triple de un número, menos cuatro, es igual a 11. ¿Cuál es el número? 22. a) x = 4 –1 4 x + 18 = 44 26 x + (x + 2) = 6 2 3 x+6=9 4 3 3x – 4 = 11 5 d) x = – 5 g) x = – 2 b) x = – 4 e) x = 5 h) x = 1 c) x = 5 f) x = – 23. a) x = 2 90 g) x = –1 b) x = 10 c) x = 6 5 2 d) x = –3 MATEMÁTICAS 24. a) x = 4 b) x = – 5 c) x = 2 d) x = 1 4 25. a) y = –5 2 b) v = 3 c) m = 9 2 d) x = 1 26. Actividad resuelta. 27. a) x = 4 b) y = –3 2 28. a) x = 6 b) x = 11 12 c) x = 5 8 d) z = 42 c) x = 39 4 d) x = 1 4 e) y = 5 3 f) x = –25 RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE PROBLEMAS 29. El número es 2. 30. El número es 5. 64 40. Supongamos que en clase hay x alumnos. 31. El número es 2. 1 1 x + x + 10 = x → 4x + 3x +120 = 12 x → 5x = 3 4 32. El forro $0,15 y el libro $18,15 = 120 → x = 24 33. $65, 55 y $80 respectivamente. En clase hay 24 alumnos en total. 34. Deben pasar 6 años. 41. Los ángulos son: x, 35. Tiene 18 años. x 3x + = 180 → 8x + 4x + 3x = 1 440 → 15x = 2 8 36. 150 metros. x+ 37. 3 monedas de 5 centavos y 6 monedas de 20 centavos. = 1 440 → x = 96 38. La base mide 7 cm y cada uno de los lados iguales mide 27 cm. x 3x y . 2 8 Los ángulos son de 96°, 48° y 36°. 39. P = 7,20 m x + x + 2x + 2x = 7,2 → 6x = 7,2 → x = 1,2 Sus dimensiones son 1,2 y 2,4 metros. DESAFÍOS 65 CONCURSO DE FUERZA. TIRANDO DE LOS EXTREMOS DE LA CUERDA Ganarán las tres chicas y el profesor. 91 SOLUCIONARIO SUMAN 20 5 7 3 6 2 4 9 1 8 EL REPARTO Equilibramos la balanza con 90 kg de café en cada platillo, retiramos el café de la balanza y volvemos a equilibrarla con 45 kg. Tendremos así 90 kg + 45 kg = 135 kg por un lado y 45 kg por otro; a estos 45 kg le quitamos 5 kg, poniendo pesas de uno y cuatro kilos en el otro plato de la balanza, con lo que, finalmente, tendríamos 40 kg por un lado y 135 kg + 5 kg = 140 kg por otro. DESCUBRIR LOS CRIPTOGRAMAS a) El cuadrado vale 4, el triángulo 5 y el corazón 6. b) El cuadrado vale 8, el triángulo 7 y el corazón 5. ¿CÓMO ES POSIBLE? La hija del mecánico era la mujer del carpintero. 92 MATEMÁTICAS UNIDAD 05 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA 66 Las rectas son secantes entre sí. Por ejemplo: 45° 60° 75° SOLUCIONES DE LA PÁGINA 68 68 1. Respuesta libre. Por ejemplo: 4. a) Secantes. b) Paralelas. 5 cm c) Secantes y perpendiculares. P Q 5. 3 2. Respuesta libre. Por ejemplo: 8 s A B 2 O 1 9 3. a) Cuatro segmentos. 5 b) Cinco segmentos. 4 c) Siete segmentos. En esta pista de básquet hay rectas paralelas, por ejemplo: 1 y 2; rectas secantes, por ejemplo: 8 y 9; y rectas perpendiculares, por ejemplo: 5 y 4. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 69 69 6. A y B, agudos; C recto; D y E, obtusos. 7. Respuesta libre. Hay muchas posibilidades. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 70 8. Agudo; obtuso; otro recto. 70 10. Respuesta libre. Por ejemplo: 9. B C 45º 30º No todos los ángulos consecutivos son adyacentes, porque pueden o no sumar 180º. Todos los ángulos adyacentes son consecutivos, porque tienen un lado común y el vértice. D A B' C' D' A' 11. Porque son conjugados internos entre paralelas. 93 SOLUCIONARIO 71 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 71 12. Llano: 180° · 60 = 10 800’; recto: 90° · 60 = 5400’ 13. 2 700’ : 60 = 45°. Como el complementario debe sumar 90°, el complementario de 45° es: 45° = 2 700’ 14. a) 35° = 2 100’ = 126 000’’ b) 0,58° = 35’ = 2 100’’ c) 1° = 60’ = 3 600’’ d) 2,5° = 150’ = 9 000’’ 15. 270 000’’ : 60 = 4 500’; 4 500’ : 60 = 75°; 180° – 75° = 115° 72 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 72 16. Actividad para que el alumno practique el trazado de la mediatriz. 17. Se traza la mediatriz de los lados paralelos del patio, en total cuatro mediatrices, y donde estas se corten, será el punto exacto para colocar el pozo. 19. Trazamos la mediatriz de la diagonal que pasa por el punto medio de la diagonal. A continuación, con escuadra y regla, trazamos la perpendicular y observamos que esta recta coincide con la mediatriz y con la otra diagonal del cuadrado. 18. Las farolas estarán situadas sobre las mediatrices, a una distancia de 30 m del pozo. 20. Cuando el triángulo sea equilátero. Las alturas son las perpendiculares en el punto medio de los lados. 73 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 73 21. Una. Porque por dos puntos solo puede pasar una recta, y como tenemos el punto dado y el punto en donde se corta la perpendicular con la recta dada, con estos dos puntos podemos construir la recta. 23. Respuesta libre. Se trata de practicar rectas perpendiculares y paralelas. 24. En un plano a escala del terreno, deberían dibujar surcos paralelos utilizando escuadra y regla. 22. Se obtienen ángulos rectos, es decir, ángulos de 90°. 74 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 74 25. La b). Los puntos simétricos estarían a la misma distancia de la recta r que sus puntos iniciales. 26. Se trata de que tracen la bisectriz empleando compás y regla. Sería conveniente que lo plegasen para comprobar que los ángulos formados son iguales. 94 27. Su proyección puede medir desde 0 hasta 3 cm, dependerá de la inclinación del segmento respecto de la recta. Su segmento simétrico medirá tres centímetros. 28. A = 135°; B = 45°; C = 180° MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 75 75 1. Colocamos los tres puntos correspondientes a los tres pueblos formando un triángulo, sobre cada lado construimos un triángulo equilátero y, uniendo cada vértice del triángulo inicial con el vértice libre del triángulo opuesto, obtenemos tres segmentos que se cortan en un punto, el cual será el lugar exacto donde debemos situar el hospital. 2. Colocamos los 4 puntos formando un paralelogramo y trazamos sus diagonales; se forman 4 triángulos. A continuación procedemos de igual manera que en el ejercicio anterior, y hallamos el punto de Fermat de cada uno de los triángulos. Al unir estos puntos obtendremos un punto que será el lugar donde estará situado el hospital. 2 Aldea 1 1 G F Aldea 2 F Aldea 3 O G’ F’ 4 3 ACTIVIDADES MAPA CONCEPTUAL 1. 76 RECTAS Y ÁNGULOS Elementos básicos de Geometría Rectas Ángulos pueden ser Secantes pueden ser Paralelas Nulo Llanos Cóncavos Convexos y a su vez según su relación Rectos Consecutivos Complementarios Adyacentes Alternos internos y externos Agudos Correspondientes Obtusos Conjugados internos y externos Opuestos por el vértice Suplementarios 95 SOLUCIONARIO a) Paralelas: Rectas que no tienen ningún punto en común. Ejemplo: vías del tren. Secantes: Rectas que tienen un punto en común. Ejemplo: dos calles que se cruzan. Rectas coplanares b) Ángulos complementarios: La suma de ambos es 90°. Ejemplo: a = 20° y b = 70°. c) Ángulos suplementarios: La suma de ambos es 180°. Ejemplo: a = 120° y b = 60°. d) Los ángulos adyacentes suman 180º y son consecutivos. Los consecutivos pueden o no sumar 180º. e) Ángulos opuestos por el vértice: Los lados de uno son prolongación de los lados del otro. f) Son ángulos opuestos por el vértice. CÁLCULOS 2. a) 125° b) 155° 15’ 3. a) 180° b) 45° 77 c) 550’ e) 80° g) 300° 23’ d) 128° f) 20° 5’ 3’’ h) 8° c) 90° e) 120° g) 180° d) 225° f) 45° h) 270° i) 90° MEDIDA DE ÁNGULOS Y OPERACIONES b) 119° 59’ 60’’ – 35° 13’ 45’’ 84° 46’ 15’’ > 4. a) > B A c) 60° 33’ 22’’ ⇒ 60° 32’ 82’’ – 35° 13’ 45’’ 25° 19’ 37’’ ar C > > C/ Enebro D cin > > En b C/ a > C/ Pinar > c d b) A, C, a y c, ángulos agudos; y B, D, b y d , obtusos. c) A y c, D y b, alternos internos; B y d , C y a, alternos externos. d) D y c, A y b, conjugados internos; B y a, C y d , conjugados externos. b) A y E, D y E son adyacentes. c) A y D, son opuestos por el vértice. d) A y B son complementarios. d) 35° 13’ 45’’ 5 · 60 = 300’ 313’ 13 1 · 60 = 60 105’’ 45 30 0 165° 74’ 37’’ ⇒ 166° 14’ 37’’ f) 2 · 60° 33’ 22’’ = 120° 66’ 44’’ ⇒ 120° 65’ 104’’ – 70° 26’ 90’’ 50° 39 14’’ b) C = 145º A = 35º 35° 13’ 45’’ 60° 33’ 22’’ + 120° 215° 46’ 67’’ = 215° 47’ 7’’ 7. a) x = 5º e) D y E, A y E son suplementarios. 6. a) 6 5° 52’ 17,5’’ e) 3 · 35° 13’ 45’’ = 105° 39’ 135’’ + 60° 33’ 22’’ 165° 72’ 157’’ ⇒ 5. a) A y B, B y C, C y D, D y E, E y A son consecutivos. 96 i) 0° B = 35º 8. 95º 13’ 45’’ 9. D = 47º 30’ B = 47º 30’ D + B + E = 227º 30’ E = 132º 30’ MATEMÁTICAS 10. B = 63º 32’ 22. Respuesta gráfica en la carpeta. C = 116º 28’ 23. Respuesta gráfica en la carpeta. D = 116º 28’ 24. El ángulo, al trazar la bisectriz, se divide en dos ángulos iguales y, en este caso, serán dos ángulos rectos. 25. Respuesta gráfica en la carpeta. 11. B = 63º C = 117º D = 117º 26. Son paralelas. 12. x = 5º D = 55º por ser opuesto por el vértice con B . a = 125º por ser adyacente con b . d = 55º por ser opuesto por el vértice con b . 13. x = 10º 27. Actividad resuelta. 28. Debemos unir los pueblos con una recta y trazar su mediatriz. Prolongamos esta mediatriz y, sobre ella, quedará situada la torreta del alumbrado equidistante de los dos pueblos. 29. 180° – 67° = 113°; 113° : 2 = 56,5° para otras fuerzas políticas. A = 105º B = no se puede calcular. E = 105º Si observamos A + C > 180º, por lo tanto, no es posible que A y E tengan esos valores. 14. 220° 45’ 59’’ + 46° 55’ 6’’ 266° 100’ 65’ ⇒ 266° 101’ 5’’ ⇒ 267° 41’ 5’’ Como la circunferencia tiene 360° ⇒ 359° 59’ 60’’ – 267° 41’ 5’’ 92° 18’ 55’’ amplitud para el roble. 15. Como una pista de aterrizaje de helicópteros es circular, la suma de todas las zonas ha de ser igual a: 360°. 45° 57’ + 189° 56’ 34’’ 234° 113’ 34’’ ⇒ 235° 53’ 34’’ 360° ⇒ 359° – 235° 124° 04 0 59’ 53’ 6’ 60’’ 34’’ 26’’ 56,5º 56,5º 67º 30. Si suponemos que los árboles estaban a 90° con respecto al suelo y se han inclinado 20°, la distancia que los separa del suelo será 90° – 20° = 70°. Para hallar la distancia al suelo hay que trazar la perpendicular desde la copa del árbol al suelo. 31. Para medir la distancia debemos dibujar la recta perpendicular que va desde el pupitre de Juan a la pared. El ángulo que forma la pared con la línea trazada es de 90°; por lo tanto, podemos decir que la pared y la línea trazada para medir la distancia son rectas perpendiculares. 32. Actividad resuelta. 2 62° 3’ 13’’ 6’ 0 2 06 0 16. Respuesta gráfica en la carpeta. 17. Respuesta gráfica en la carpeta. 18. Respuesta gráfica en la carpeta. 19. Respuesta gráfica. 20. Puntos simétricos. (Si P’ está sobre la mediatriz) 21. Respuesta gráfica en la carpeta. 97 SOLUCIONARIO 79 DESAFÍOS BUSCAR EL CAMINO El recorrido AEDB es de 11 km. El camino AEB es más corto, pero solo se puede arreglar un puente. El camino ACB no necesita arreglo pero mide 12 km; por lo tanto, es más corto el AEDB. LA CIRCUNFERENCIA DIVISIBLE En 7 regiones. Cuatro rectas lo dividen en 11 regiones. Seis rectas lo dividen en 22 regiones. Para llegar a este resultado recurrimos al método de inducción como muestra la tabla. Si seguimos, nos vamos dando cuenta de que cada corte suma un número de partes igual al número del corte. ILUSIONES ÓPTICAS Son parelelas en los dos casos. EL COLLAR DE PERLAS 98 Número de cortes Número de partes 0 1 1 2 2 4 3 7 4 11 5 16 6 22 MATEMÁTICAS UNIDAD 06 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA 80 Construcción libre a realizar por el alumno. El triángulo es el único que tiene una estructura rígida, los demás polígonos se deforman. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 82 82 1. Se trata de dibujar, en los tres items, triángulos de los que se conocen las medidas de sus tres lados. El único triángulo que no se puede dibujar es el c), porque 5 + 7 es menor que 15. 3. Para su trazado, seguir los pasos que se indican en: Si conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 4. Se trata de construir triángulos conociendo un lado y sus dos ángulos adyacentes. El único triángulo que no se puede dibujar es el b), porque B + C = 180º. 2. Respuesta gráfica. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 83 83 5. a) En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. 6. Respuesta libre. 7. Se calca el dibujo y se recortan las piezas para comprobarlo. b) En un triángulo acutángulo, el cuadrado del lado mayor es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 84 84 2 2 2 11. Un lado de la ventana cumple que: 15 + 8 = 17 ; es decir, forma ángulo recto, pero el otro lado no, porque 102 + 222 es menor que 302; por lo tanto, no cerrará bien. 8. 12 cm 9. 10,9 cm 10. 10 cm SOLUCIONES DE LA PÁGINA 85 12. 85 ab bc 13 cm 1,2 dm 13. El a) y el c). ac 5 cm 175 cm 1,05 m 140 cm 0,25 dm 2 cm 1,5 cm SOLUCIONES DE LA PÁGINA 86 86 2 14. Su perímetro es 32 cm y la superficie es 48 cm . 15. a) Perímetro: 56 cm b) Área: 84 cm2 2 16. La superficie es 24 cm , los lados los hallamos con el teorema de Pitágoras y los utilizamos para cal40 cm + 72 cm + 8 cm, aprocular el perímetro: ximadamente: 22,8 cm. Aclaración: cada cuadradito tiene 1cm de lado, o sea, 1cm2 de superficie. 99 SOLUCIONARIO 87 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 87 1. S = 500 m · 500 m = 250 000 m2 = 25 km2 = 25 ha 3. NOTA: la actividad 4 es la información que hay que buscar para resolver esta actividad. Equivale a 25 hectáreas. 2. 0,5 ha = 0,5 hm2 = 5000 m2 Perímetro = P = 300 m + 400 m + 500 m = 1 200 m 20 a = 20 dam = 2 000 m de papas Fórmula de Herón: S = p · (p – a) · (p – b) · (p – c) , donde p es el semiperímetro. y 300 ca = 300 m2 de tomates. Superficie = En total: 1 000 m2 + 2 000 m2 + 300 m2 = 3 300 m2 S = 600 · (600 – 300) · (600 – 400) · (600 – 500) 2 Hemos sembrado: 1 000 m de acelga, 2 2 Se sembrarán 5 000 m2 – 3 300 m2 = 1 700 m2 de cebada. S = 600 · 300 · 200 · 100 = 36 · 108 = 6 · 104 = = 60 000 m2 ACTIVIDADES 88 MAPA CONCEPTUAL 1. TRIÁNGULOS en los se clasifican según sus Ángulos Lados Rectángulos se aplica Equilátero Escaleno Isósceles Acutángulo Obtusángulo b) No. En el triángulo equilátero todos los ángulos miden 60° y en el triángulo rectángulo uno mide siempre 90°. c) Tres segmentos forman un triángulo cuando cada uno de ellos es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 100 Perímetro Área el Teorema de Pitágoras Rectángulo a) Ninguna. d) 90°, 45° y 45°. e) 90°, 40° y 50°. f) No. se puede calcular g) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 3 cm será: a2 = b2 + c2 → a2 = 42 + 32 → a2 = 25 → a = 5 cm MATEMÁTICAS CÁLCULOS 4. a) 52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 Sí 2. a) 300 hm = 30 000 m b) 0,35 dam = 350 cm b) 62 = 22 + 42 → 36 ≠ 4 + 16 No c) 250 dm = 25 000 mm c) 32 = 12 + 22 → 9 ≠ 1 + 4 No d) 450 m = 0,450 km d) 102 = 62 + 82 → 100 = 36 + 64 Sí 3. a) 30 hm2 = 30 ha 2 5. A = 2 b) 6,35 dam = 635 m 3·8 = 12 cm2 2 6. b = 3 cm c = 4 cm c) 25 dm2 = 2 500 cm2 a2 = b2 + c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 → a = 5 cm d) 45 000 m2 = 450 a P = 5 + 3 + 4 = 12 cm 7. h2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 → h = 3 cm CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 89 8. a) Polígonos de tres lados iguales. 13. Según sus lados, los triángulos A, B y C son escalenos, y el triángulo D isósceles. b) Polígonos de tres lados desiguales. Según sus ángulos, el triángulo A es rectángulo, el D es acutángulo y los triángulos B y C son obtusángulos. c) 180º (los ángulos interiores). d) Agudos. 14. Respuesta gráfica en la carpeta. e) Triángulos con un ángulo obtuso. 9. En el geoplano cuadrangular no se pueden dibujar triángulos equiláteros. 10. Medirá 23º. El ítem b) no se puede dibujar. 15. No se ha podido dibujar porque 5 + 3 es menor que 9. 16. Está incompleto el enunciado. Falta aclarar dónde se quiera ubicar la estación de servicio. 11. No, solo los dos ángulos suman más de 180º. 12. No se pueden dibujar triángulos que sean equiláteros y obtusángulos a la vez; tampoco se pueden dibujar equiláteros que sean, a la vez, rectángulos. TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES 17. 32 + 42 = 52 → 9 + 16 = 25 → 5 = 5. Es un triángulo rectángulo. 18. Respuesta gráfica. 19. a) 16,81 cm2 + 38,44 cm2 = 55,24 cm2 b) 13,45 cm2 – 2,56 cm2 = 10,89 cm2 20. a 6 5 18 13 b 5 4 15 2 c 4 2 13 3 Tipo Acutángulo Obtusángulo Acutángulo Rectángulo 101 SOLUCIONARIO 21. Hipotenusa a 25 13 15 5 Cateto b 24 12 12 2 Cateto c 7 5 9 1 22. Actividad resuelta. 23. (50 m)2 + (30 m)2 = 58,31 m 24. La suma de las dos pequeñas da la grande. 25. La escalera está colocada a (20 m)2 – (12 m)2 = 16 m del edificio que tiene de altura 12 metros, y a (20 m)2 – (16 m)2 = 12 m del edificio que tiene de altura 16 metros. Por lo tanto, el ancho de la calle es: 12 m + 16 m = 28 m 90 PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO 26. El área coincide, pues tienen la misma base y la misma altura; es 4 unidades cuadradas. Para calcular el perímetro utilizamos el teorema de Pitágoras. = 10,47 unidades PA = 2 + 4 + 20 + 32 = 12,13 unidades PB = 2 + 20 + 52 = 14,87 unidades PC = 2 + 32 = 10,24 unidades PD = 2 + 2 · 17 27. Actividad resuelta. 28. P = 3 · 8 cm = 24 cm La altura la hallamos mediante el teorema de Pitá cm = 6,9 cm goras: h = 48 Y el área es A = 27,7 cm2 29. P = 6 cm + 6 cm + 8 cm = 20 cm = 4,47 cm La altura h = 20 Y el área A = 17,88 cm2 cm = 12 cm 30. El otro cateto mide 144 P = 15 cm + 9 cm + 12 cm = 36 cm 9 · 12 A= cm2 = 54 cm2 2 31. P = 5 cm + 7 cm + 8 cm = 20 cm La altura correspondiente a la base de 8 cm mide aproximadamente 4,3 cm. 8 · 4,3 A= cm2 = 17,2 cm2 2 Si se toma otra altura el resultado es el mismo. 32. P = 30 cm + 40 cm + 50 cm = 120 cm El triángulo es rectángulo, la altura es un cateto y la base el otro cateto. 30 · 40 A= cm2 = 600 m2 2 33. En todo triángulo equilátero de lado b y altura h se cumple que 2b Despejando se tiene h = 2 + 3 h2 = · b = 0,87 · b. Sustituyendo esta expresión en la fórmula del área hallamos el lado b que mide 15,24 cm. Perímetro = P = 15,24 cm · 3 = 45,72 cm 34. Lado = l = 33,33 = 5,77 cm 5,77 · 5 A= = 14,43 cm2 2 35. El que tiene de base el lado del cuadrado es un triángulo equilátero y los otros dos son triángulos rectángulos. 36. Hallamos la altura aplicando el teorema de Pitágoras: 22 + h2 = 42 Y despejando: h = 3,46 cm 4 · 3,96 Luego: A = = 6,92 cm2 2 37. Como es un triángulo equilátero se cumple que: 3 ·b h = = 0,87 · b → 4 = 0,87 · b → b = 4,62 cm A = 4 · 4,62 = 9,24 cm2 2 Tiene 4,62 cm de lado y un área de 9,24 cm2. 102 b2. MATEMÁTICAS DESAFÍOS 91 UNA DE CHAPAS a) Para construir el sexto triángulo hacen falta: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 chapitas b) Para construir el triángulo que tiene catorce chapitas en la base, hacen falta: 14 + 13 + 12 + 11+ 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 · 7 = 105 chapitas ¡OJO, QUE LA VISTA ENGAÑA! Es imposible construir, con las piezas que tiene el cuadrado de área 64, el rectángulo de área 65; a simple vista parece que sí, pero la diagonal del rectángulo no sería una línea recta, ya que el lado del triángulo y el lado del trapecio que la forman no tienen la misma inclinación. La diagonal que vemos, en realidad, sería un cuadrilátero de área 1. EN DOS MITADES 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 LA ESCUELA PITAGÓRICA En total hay 35 triángulos. TRIÁNGULOS INTERIORES El triángulo verde más grande ocupa la cuarta parte de toda la superficie; por lo tanto, tiene una superficie de 2 m2. El triángulo verde pequeño es la cuarta parte del triángulo anterior; por lo tanto, su superficie es de 0,5 m2. La superficie de la zona coloreada de verde es: 2 m2 + 0,5 m2 = 2,5 m2 TRIÁNGULOS DISTINTOS, TRIÁNGULOS IGUALES Los dos tienen la misma superficie. 103 SOLUCIONARIO UNIDAD 07 92 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA En cada paso Gulliver avanza 2 · 25 cm = 50 cm. De una parte a otra de la isla hay 2 · 100 000 cm = 200 000 cm. Por lo tanto, tendría que dar 200 000 : 50 = 4 000 pasos. 94 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 94 1. a), d), e). 2. Directas: a), b), d), f); e indirectas: c), e). 3. Actividad libre. 95 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 95 4. 1,65 0,33 33 = = 1,55 0,31 31 70 ; x = 14 5 5. a) 2 · 35 = 5x; x = b) 24x = 8 · 9; x = 6. a) b) 72 =3 24 c) 6 · 42 = 36x; x = 252 = 7 36 d) 7x = 11 · 91; x = 1 001 = 143 7 2 4 = 3 6 5 1 = 50 10 Hay otras posibilidades. 7. a) a < b b) En una proporción a , si K > 1, a > b. b c) a = b 96 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 96 8. a) Sí, son magnitudes proporcionales porque al aumentar la cantidad de manzanas, el precio también lo hará. 9. Azúcar (kg) Frutillas (kg) b) No son magnitudes proporcionales. c) Magnitudes proporcionales. d) No son magnitudes proporcionales, porque no hay ninguna relación entre ambas. e) No son magnitudes proporcionales, porque no hay ninguna relación entre ambas. f) Magnitudes proporcionales. 104 10. 0,75 1,5 3 3,75 6 1 2 4 5 8 3 x 3 · 5,6 = ; x = = 8 lápices podremos 2,10 5,6 2,10 comprar. 11. a) Verdadera b) Verdadera c) Falsa d) Verdadera MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 97 97 12. Respuesta libre. Por ejemplo: • Los metros cuadrados de una habitación a pintar y el tiempo empleado. • El consumo de gas y el precio del mismo. • El tiempo de una llamada de teléfono y el número de pulsos consumidos. 13. No, porque al multiplicar por 10 el número de libros, el precio no queda multiplicado por esa misma cantidad. 14. N.º de baldosas 1 2 3 4 5 6 Longitud (cm) 15,5 31 46,5 62 77,5 93 15. Si 1 kg = 1 000 g, tres cuartos de kilogramo son 750 g; por tanto: 1 000 g 750 g = ; x = $8,25 x $11 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 98 98 18. a) $4200 · 4 = $16 800 16. 15 comensales x 15 = ;x= = 3,750 kg 4 comensales 1 kg 4 17. 1 semana 4 semanas = ; x = 4 · $120 = $480 ha x $120 b) $4200 · 2 = $8 400 19. 6 días ⎯⎯→$300 15 días ⎯⎯→$x costado la compra. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 99 } $300 6 días = ; x = $750 x 15 días 99 20. Respuesta libre. Por ejemplo: • La velocidad de un móvil y el tiempo que tarda en recorrer un espacio. • El número de obreros trabajando y el tiempo empleado en hacer una obra. 21. 2 4 6 10 12 30 1 60 30 20 12 10 4 120 22. a) Sí, la constante es k = x · y b) Sí, porque es una igualdad entre razones. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 100 100 23. 20 L/min ⎯⎯⎯→ 30 min 50 L/min ⎯⎯⎯→ x 24. 2 sastres ⎯⎯⎯→ 6 h 1 sastre ⎯⎯⎯→ x } } 20 x = ; x = 12 min 50 30 2 x = ; x = 12 horas 1 6 25. a) $36 : 5 amigos = $7,2 cada uno. b) $36 : 3 = $12 cada uno. 105 SOLUCIONARIO 101 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 101 26. 14 = 0,35 = 35 % 40 27. El 50 % significa que la mitad son chicas. El 75 % significa que las tres cuartas partes de la clase juegan al básquet. 28. 100 aire ⎯⎯⎯→ 21 oxígeno x aire ⎯⎯⎯→ 50 oxígeno } x= 50 · 100 = 238,09 litros de aire 21 29. $ 2 000 · 30 = $ 600 ⎯⎯⎯→ $ 2 000 - $ 600 = $ 1 400 100 30. $ 2 700 · 10 $ 2 430 · 21 = $ 270 ⎯⎯⎯→ $ 2 700 - $ 270 = $ 2 430 ⎯⎯→ = $ 510,3 100 100 $ 2 430 + $ 510,3 = $ 2 940,3 $ 2 700 · 21 $ 3 267 · 10 = $ 567 ⎯⎯⎯→ $ 2 700 + $ 567 = $ 3 267 ⎯⎯→ = $ 326,7 100 100 $ 3 267 - $ 326,7 = $ 2 940,3 Por lo tanto, comprobamos que da el mismo resultado. 102 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 102 31. Deben tener en cuenta que 1 cm del plano son 10 cm de la realidad. Por lo tanto, todas las medidas tomadas por el alumno deberán dividirse entre 10 para reflejarlas y elaborar el plano correctamente a la escala dada. 32. 103 2 cm 1 = , al simplificar obtenemos una proporción equivalente a la dada y, de esta 400 cm 200 manera más sencilla, llegar a la escala utilizada en este caso, que sería 1:200. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 103 1. Se les pedirá a los alumnos que tomen cuerpos redondos que haya a su alrededor, midan el perímetro y el diámetro, y anoten los resultados en una tabla; a continuación, damos un ejemplo de los muchos que nos podemos encontrar: Diámetro (d) Perímetro (p) p/d 5 15,5 3,1 8 26,5 3,3 3,5 11 3,14 9 28,2 3,13 A partir de estos resultados se puede decir que existe una proporcionalidad, ya que la razón de proporcionalidad se acerca a un número muy conocido que es 3,14... Para un objeto de 10 cm de diámetro el perímetro sería: perímetro 3,14 ⇒ perímetro = 10 cm · 3,14 = 31,4 cm 10 cm 106 MATEMÁTICAS 2. Para realizar este ejercicio se aconseja a los alumnos que dibujen 4 triángulos equiláteros cuyos lados midan: 4 cm, 8 cm, 12 cm y 16 cm, respectivamente, y que construyan una tabla: Lado (cm) Altura (cm) Lado/Altura 4 3,5 1,14 8 6,9 1,15 12 10,39 1,15 16 13,85 1,15 3. Existe proporcionalidad en las graficas a y b, concretamente la a es de proporcionalidad inversa, ya que, a medida que recorre más espacio, el tiempo disminuye de forma proporcional; y en el caso b es una proporcionalidad directa, ya que aumentan o disminuyen las dos magnitudes en la misma proporción. A la vista de los datos se puede afirmar que existe una proporcionalidad entre la altura y el lado de un triángulo equilátero. ACTIVIDADES MAPA CONCEPTUAL 104 1. PROPORCIONALIDAD donde se trata de Magnitudes proporcionales Razón y proporción que pueden ser que se aplican a Directamente proporcionales Inversamente proporcionales Porcentajes Escalas se utilizan en que pueden ser Mapas y planos Numéricas a) Razón es el cociente entre dos magnitudes homogéneas. Proporción es la igualdad entre dos razones. 2 1 = ; x = 10 x 5 x 2 = ;x=8 12 3 b) Una magnitud es aquella cualidad o propiedad que se puede medir. Gráficas c) El porcentaje o tanto por ciento, %, es una razón de denominador 100. El 5 % de 100 es 5. El 10 % de 20 000 es 2 000. El 10 % de 1 000 es 1 00. d) Que 1 cm del mapa equivale a 10 000 cm en la realidad. Respuesta libre. 107 SOLUCIONARIO CÁLCULOS 105 2. a) 10 b) 50 c) 25 d) 100 3. a) x = 8 b) x = 8 c) x = 9 d) x = 2 4. a) 50 % d) 10 % g) 50 % j) 80 000 b) 50 % e) 1 % h) 20 000 k) 1 600 000 c) 25 % f) 50 % i) 70 000 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. REGLA DE TRES DIRECTA 5. 15 5 22 6 10 6 2 8 2,4 4 9. La proporción es: Por lo tanto, en una clase de 30 alumnos, 4 padecieron la gripe. El error está en los números señalados con negrita. 6. } 20 regalos ⎯⎯⎯→ 150 minutos x = 32 regalos x regalos ⎯⎯⎯→ 240 minutos 10. } 2 copas ⎯⎯→ 3 platos llanos 70 copas ⎯⎯→ x platos llanos } } } x = 105 platos llanos Los 2 l de naranja: $ 15 – $ 10,80 = $ 4,20 3 l de jugo de naranja ⎯⎯→ $ x 2 copas ⎯⎯→ 1 plato hondo 70 copas ⎯⎯→ x platos hondos x = 35 platos hondos 3 libretas ⎯⎯→ $ 6,30 7. x = $ 42 20 libretas ⎯⎯→ $ x 8. Los 4 l de pomelo: $ 2,70 /l · 4 l = $10,80 2 l de jugo de naranja ⎯⎯→ $ 4,20 8 000 4 = 60 000 30 11. } 180 cm ⎯⎯→ 120 cm x = 300 cm de altura x cm ⎯⎯→ 2 m = 200 cm x = $ 6,30 Por tanto, 3 l de naranja y 6 l de pomelo cuestan: $ 6,30 + $ 2,70 /l · 6 l = $ 22,50 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. REGLA DE TRES 12. a) Directamente proporcional. 16. b) Inversamente proporcional. 18 personas ⎯⎯→ 10 días 20 personas ⎯⎯→ x días c) Inversamente proporcional. 17. a) d) Directamente proporcional. } 18 x = ; x = 9 días 20 10 1 sastre x = ; x = 37,5 minutos 2 sastres 75 minutos e) No proporcional. f) No proporcional. g) Directamente proporcional. } 13. 300 páginas ⎯⎯→ 30 líneas x = 250 páginas x páginas ⎯⎯→ 36 líneas 14. Actividad resuelta. 15. 6 personas → 120 minutos x personas → 30 minutos } x 120 = ; 6 30 x = 24 personas Por lo tanto, se necesitarán más de 24 personas. 108 b) Si el segundo sastre tarda el doble, quiere decir que rinde la mitad del trabajo; por lo tanto, equivale a medio sastre. Al unirse los dos sastres es como si hubiera sastre y medio en lugar de dos: 1 sastre x minutos = ; 1,5 sastres 75 minutos x = 75 : 1,5 = 50 minutos MATEMÁTICAS PORCENTAJES 18. a) 20 · 120 = 0,2 · 120 = 24 100 25. b) 0,4 · 1 200 = 480 80 800 x = 8; x = = 10 alumnos en total. 100 80 26. $ 19,73 c) 0,153 · 30 320 = 4 638,96 d) 0,37 · 1 575 = 582,75 27. 96 kg = 1,2 · x; x = 19. Actividad resuelta. 20. a) b) 28. Es indiferente, da lo mismo aplicar primero un descuento y luego un recargo, que a la inversa. } 945 ⎯⎯→ 100 % x = 0,99 % 9,4 ⎯⎯→ x 29. El precio será menor, pero muy poco. Comprobarlo numéricamente dando un valor al pantalón. } } 1 233 ⎯⎯→ 100 % x = 1,62 % 20 ⎯⎯→ x 30. $ 1 500 · 0,03 = $ 45 de aumento mensual. 21 007 ⎯⎯→ 100 % c) x = 5,86 % 1 230 ⎯⎯→ x 1er año: $1 500 + $ 45 = $1 545 2º año: $1 545 · 0,03 = $ 46,35 21. Sí, es lo mismo. Veamos por qué: $1 545 + $ 46,35 = $1 591,35 10 % = 0,1 ⇒ 0,1 · 5 000 = 500 er 3 año: 5 % = 0,05 ⇒ 0,05 · 10 000 = 500 } $1 500 ⎯⎯→ 100 % x = 109,27 % $1 639 ⎯⎯→ x 23. a) 2 % = 0,02; 0,02 de x = 4; x = 4 : 0,02 = 200 b) 22,5 de x = 115; x = 511,11 Es decir, se ha incrementado: 109,27 % – 100 % = 9,27 % } 100 ⎯⎯→ 3,5 x = 948,6 x ⎯⎯→ 33,2 24. Asociación de «alumnautas», 500: $1 591,35 · 0,03 = $ 47,74 $1 591,35 + $ 47,74 = $ 1 639,09 22. Actividad resuelta. c) 97 = 80 kg 1,2 500 = 0,25 ⇒ 2 000 ⇒ 25 % Los Uves, 332: 32 = 0,166 ⇒ 16,6 % 2 000 De todo, 1 000: 1 000 = 0,5 ⇒ 50% 2 000 Votos nulos: el resto ESCALAS, MAPAS Y PLANOS 31. 32. } } 1 cm ⎯⎯→ 40 m x = 0,25 cm x cm ⎯⎯→ 10 m 1 cm ⎯⎯→ 40 m x = 200 m 5 cm ⎯⎯→ x m 33. 20 cm · 100 000 = 2 000 000 cm = 20 km 34. Actividad libre. 106 35. Actividad resuelta. 36. 50 000 000 cm = 2 500 000 20 cm Escala 1: 2 500 000 37. Si nos hacen una reducción del 25 % quiere decir que la fotocopia queda al 75 %, entonces tenemos la escala 0,75:1 000, que es la misma que 1:1 333,33. 109 SOLUCIONARIO 107 DESAFÍOS LA MOSCA SALTARINA Cada bicicleta marcha a 10 km por hora, por lo que se reunirán en la mitad de la distancia en una hora, es decir, a 10 km del punto de partida. La mosca vuela a 15 km la hora, de forma que al cabo de una hora ha recorrido 15 km, justo a la hora del recorrido en el que se encuentran los amigos. EL TRUEQUE Al ser tres socios, está claro que cada uno debe llevarse 7 vasijas, pero ¿con qué cantidad cada una? Si lo hacemos con un dibujo lo veremos más claro: 1er socio 2do socio 3er socio GASTOS ANUALES x $150 · 360° $150 = →x= = 45° 360° $1 200 $1 200 El ángulo mide 45° LA PROPINA • Para él, la mitad más $ 0,50: x + $ 0,50 2 • Para el primer conserje la mitad de lo que quedara más $ 0,50. Como quedaba la mitad menos 0,50, entonces tendrá la mitad de la mitad del primero, es x decir: + $ 0,25 4 • Para el segundo conserje, la mitad de lo que quedara x más $ 0,50. Como quedaba – $ 0,75, la mitad de 4 x 0,25 esto sería: $ + 8 2 • Para el camarero $ 1. 110 Dejé de propina $15 (la suma de todo lo anterior), repartida de la siguiente forma:. Para él: $ 8 Para el primer conserje: $ 4 Para el segundo conserje: $ 2 Para el camarero: $ 1 MATEMÁTICAS ANTIGÜEDAD EN LA EMPRESA Empleados que llevan trabajando 1 año: 15 Empleados que llevan trabajando 2 años: 25 Empleados que llevan trabajando 3 años: 45 Empleados que llevan trabajando 4 años: 35 Empleados que llevan trabajando 5 años: 25 Empleados que llevan trabajando 6 años: 20 Empleados que llevan trabajando 7 años: 15 Empleados que llevan trabajando 8 años: 10 Empleados que llevan trabajando 9 años: 5 Empleados que llevan trabajando 10 años: 5 Total de empleados: 200 Total de empleados que llevan trabajando 5 o más años: 80 Porcentaje = 80 · 100 = 40 % 200 MEDIDAS DIFÍCILES • Llenamos la vasija de 4 l y la vertemos en la de 9 l. • Volvemos a realizar la misma operación, quedando la vasija de 9 l con 8 l de agua. • Llenamos otra vez de agua la de 4 l echando el agua en la de 9 l, de manera que en la vasija pequeña quedarán 3 l que vaciamos en el recipiente del perro. • Si repetimos de nuevo el anterior proceso conseguiremos otros 3 l que junto con los tres anteriores suman 6 l. 111 SOLUCIONARIO UNIDAD 08 108 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA Negras 8 Torrre (A, 8) Caballo (B, 8) Alfil (C, 8) Reina (D, 8) Rey (E, 8) Alfil (F, 8) Caballo (G, 8) Torre (H, 8) 7 Peón (A, 7) Peón (B, 7) Peón (C, 7) Peón (D, 7) Peón (E, 7) Peón (F, 7) Peón (G, 7) Peón (H, 7) 2 Peón (A, 2) Peón (B, 2) Peón (C, 2) Peón (D, 2) Peón (E, 2) Peón (F, 2) Peón (G, 2) Peón (H, 2) 1 Torrre (A, 1) Caballo (B, 1) Alfil (C, 1) Reina (D, 1) Rey (E, 1) Alfil (F, 1) Caballo (G, 1) Torre (H, 1) A B C D E F G H 6 5 4 3 Blancas 110 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 110 1. a) Perpendiculares. Ejes de coordenadas. b) Lo dividen en cuatro partes iguales denominadas cuadrantes. 2. a) El valor cero. b) El valor cero. 3. a) (+ , +) c) (– , –) (5 , 3) ; (– 1 , 4) ; (– 2 , – 3) ; (5 , – 1) SOLUCIONES DE LA PÁGINA 111 5. A (1, 3), B (0, 5), C (– 2, 0), D (6, 1), E (4, – 3), F (– 7, – 2), G (– 5, 2) 6. Y B -6 -5 -4 -3 -2 -1 E -1 -2 -3 -4 -5 7. Y B (-2 , 2) 5 4 3 2 1 A (2 , 2) A X C 1 2 3 4 5 6 D X C (-2 , -2) Se obtiene un cuadrado. 112 d) (+ , –) 4. Respuesta libre. Por ejemplo: c) Origen de coordenadas. 111 b) (– , +) D (2 , -2) MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 112 8. Abuela: 60 años y 1,50 m; Luna: 43 años y 1,60 m; Antonio: 46 años y 1,80 m; David: 5 años y 1 m; Ruth: 20 años y 1,70 m; Nicolás: 12 años y 1,50 m. 9. a) El eje horizontal mide la temperatura en grados Celsius. A la izquierda, son temperaturas negativas (bajo cero) y, a la derecha, por encima de cero. 112 b) Brighton. Nothingham. c) Glasgow. Brighton. 10. Actividad a realizar por cada alumno. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 113 11. a) Mínimo / decreciente / creciente. 113 12. Respuesta libre. b) Máximo / creciente / decreciente. a) Creciente c) Mínimo / decreciente / creciente. a) Decreciente d) (M , 10) SOLUCIONES DE LA PÁGINA 114 13. a) Para valores de x de 0 a 15 y de 20 a 22 (aproximadamente). b) Para valores de x de 15 a 20. c) 15 años. 114 14. a) 10 km/h, 20 min. b) 60 min. c) 10 min. d) A los 50 minutos. d) A los 20 años. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 115 15. NOTA: El tanto por ciento de ausentismo escolar en cada país lo indican los valores de la primera columna de números: España 34%, Canadá 26%, México 21%, etc. Los de la segunda columna no son reales. a) España. 34 %. Uno. b) Japón y Alemania. c) En posiciones centrales, con tasas de ausentismo del 20 % de los alumnos. De cada 10 alumnos faltan 2. 115 16. a) Los puntos se aproximarían a una recta, pues existe relación directa entre las magnitudes distancia y tiempo. b) Creciente. Aumenta el tiempo al aumentar la distancia. c) En este caso, los puntos estarían distribuidos aleatoriamente, pues no existe ninguna relación entre la distancia y el número de hermanos. d) Canadá. 113 SOLUCIONARIO 116 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 116 17. $ 36 32,4 28,8 25,2 21,6 18 14,4 10,80 7,20 3,60 1 18. Latas de jugo Precio ($) a) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 naranjas (kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,50 1 1,50 2 2,50 3 3,50 4 4,50 5 $ 5 4,50 4 3,50 3 2,50 2 1,50 1 0,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 latas de jugo b) En el gráfico de la actividad 1 los puntos se pueden unir, porque se pueden comprar 3,5 kg ó 9,800 kg. Sin embargo, en el gráfico de esta actividad no, pues solo se pueden tomar valores naturales. 117 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 117 19. a) No pasa por el origen. 20. a) tiempo (min) b) Es decreciente. 5 c) alcohol en sangre 4 (mg/100 mL) 90 3 75 2 60 1 52,5 45 30 5 15 0 1 2 3 3,5 4 5 6 7 tiempo (h) d) Aproximadamente, 52,5 mg/100 mL. 114 10 15 20 25 altura (cm) Sí, porque la altura puede tomar valores intermedios. b) Ocho minutos. c) 22,5 cm. MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 118 118 21. a) El color celeste. 23. La velocidad ha aumentado mucho más en las mujeres, pues partían de 4,2 m/s y llegan a alcanzar los 6,5 m/s; mientras que los hombres parten de 6,4 y aumentan hasta 7,1 m/s. b) Aproximadamente, a los 15 años. c) Porque se empieza a realizar el gráfico una vez que han nacido, y miden al nacer, aproximadamente, medio metro. hombres mujeres velocidad (m/s) 22. Actividad a realizar por cada alumno. (1980 , 7,1) 7 (1960 , 6,9) (1980 , 6,5) (1941 , 6,6) (1923 , 6,4) 6 (1962 , 6,5) (1950 , 5,4) 5 (1922 , 4,2) 4 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 119 años 119 1. a) b) $ $ 45 45 35 30 15 15 A 2. a) El equipo X. B b) El equipo Y. empresa A B empresa Puntos 50 2O Partido 40 35 30 20 2O Partido 1 Partido er 1 er Partido 10 X Y Equipo 115 SOLUCIONARIO 3. a) , b) y c) . Y 9 c) 8 7 6 a) b) 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X d) Porque se han tomado distintas escalas, en cada caso, los ejes tienen una graduación distinta. La recta del ítem c) es la que tiene mayor inclinación. La recta del ítem b) es la que tiene menor inclinación. ACTIVIDADES 120 MAPA CONCEPTUAL 1. FUNCIONES Y GRÁFICOS para situar puntos en el plano se utilizan los la relación entre dos magnitudes es una la información recogida en a partir de un Ejes de coordenadas Función Tablas Gráfico en los que cada punto viene definido por dos y su representación en el plano es un puede representarse como un se puede obtener una Gráfico Tabla de valores Gráfico Coordenadas que puede ser si en un punto pasa a decreciente es un Decreciente Creciente Máximo 116 Constante si en un punto pasa a creciente es un Mínimo MATEMÁTICAS a) El punto donde se cortan los ejes de coordenadas. d) Pueden ser crecientes, decrecientes, constantes o, a tramos, combinaciones de las anteriores. b) Las coordenadas de un punto son: e) Un máximo es aquel punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente y un mínimo aquel punto en que la función pasa de ser decreciente a creciente. Coordenada x: es la distancia del punto al origen, medida en el eje horizontal, y recibe el nombre de abscisa. Coordenada y: es la distancia del punto al origen, medida en el eje vertical, y recibe el nombre de ordenada. Ejemplo libre. f) Siempre de izquierda a derecha. CÁLCULOS 2. Creciente en los casos primero y tercero, y decreciente en el segundo. 3. a) Realiza dos paradas, la primera de media hora y la segunda, de una hora y media. b) Recorre en total 300 km. Tarda 5 horas en recorrerlos. Su velocidad media, contando con las paradas, sería de 60 km/h y, sin contar con las paradas, de 100 km/h. GRÁFICOS. CARACTERÍSTICAS GENERALES 4. Enrique el punto 3, Laura el punto 2 y Alfonso el punto 4. El punto 1 correspondería a una persona que ha hecho un gran esfuerzo, pero no ha conseguido buenos resultados. 121 6. Respuesta libre. Cada alumno puede elegir distintas escalas para cada eje. 5. a) Es creciente entre – 1 y 0 y entre 3 y + ∞. b) Es decreciente entre – ∞ y – 1 y entre 0 y 3. c) (– 1 , 2) y (3 , 0). d) (0 , 3) LECTURA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS 7. a) Que el vagón está subiendo. De los segundos: 0 a 20, 30 a 40 y 45 a 55. b) Que el vagón está bajando. De los segundos: 40 a 45 y 55 a 60. c) 10 segundos, del segundo 20 al 30. d) En el segundo 40, que estaba a 30 m de altura, y en el segundo 55, que estaba a 40 m de altura. 9. a) Temperatura. Grados Celsius. b) Precipitaciones. Milímetros. c) Climogramas. Es un clima ecuatorial. d) Las barras indican la lluvia. e) La línea roja, las temperaturas. f) En mayo y abril. e) De 10 en 10. g) En septiembre. f) 1 minuto. h) Constante. g) Máximos: (40; 30) y (55; 40) Mínimos: (45; 10) 8. El primer gráfico corresponde al lanzamiento de una pelota de golf. El segundo corresponde al lanzamiento de una pelota de básquet hacia el cesto. Una vez que llega a esta, la pelota baja en pocos segundos al suelo. 10. Sí, existirá relación entre las magnitudes altura de los padres y altura de los hijos. Los puntos estarán próximos a una función creciente, pues, normalmente, cuanto más altos son los padres, más altos son los hijos. 11. No, no existe relación entre las magnitudes altura de los padres y número de hijos que tiene cada uno. 117 SOLUCIONARIO 122 RELACIONES DADAS POR TABLAS Y GRÁFICOS No se obtiene una recta única al unirlos, sino tramos de recta, porque a medida que el número de kilómetros va aumentando el precio del billete no va aumentando proporcionalmente. Al principio, cuesta 2 pesos cada 10 km, luego baja a 1,5 pesos y por último a 1,25 pesos. 12. precio ($) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 10 20 30 40 50 60 70 80 km ESTUDIO Y COMPARACIÓN DE FENÓMENOS 13. a) La línea de los beneficios empieza en (1975 , 0), porque al comenzar no hay beneficios. La línea de gastos empieza en (1975 , 200); significa que han pedido un préstamo de 200 000 pesos. 14. a) distancia (km) tortuga 1,5 1,4 b) En los años 1985, 1995 y 2000. liebre 1 c) De 1980 a 1990. 0,5 d) De 1995 a 2000. tiempo (min) e) De 1985 a 1995, y a partir de 2000. 5 f) De 1975 a 1985 y de 1995 a 2000. 10 15 20 25 29 30 b) Se encuentran en tres ocasiones. 123 DESAFÍOS JUGUEMOS A ‹‹LOS BARQUITOS›› Se propone esta actividad porque jugando, aprenden a dominar las coordenadas de un punto, dadas por una letra y un número, ya que son las que aparecen en cualquier mapa o guía de calles. ADIVINANDO EL FUTURO Alfonso ha recorrido durante la última hora: 380 km – 250 km = 130 km Una hora más tarde Alfonso habrá recorrido en total: 380 km + 130 km = 510 km Raúl ha recorrido durante la última hora: 400 km – 300 km = 100 km Una hora más tarde Raúl habrá recorrido en total: 400 km + 100 km = 500 km Por lo tanto, aunque se encontrarán por el camino, Alfonso estará por delante una hora más tarde. 118 MATEMÁTICAS UNIDAD 09 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA 124 Para llenar el tangram necesitamos 16 triángulos pequeños. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 126 126 1. a) 30 cm 2. 6 m b) 36 cm2 3. El lado mide c) Doble altura que el rectángulo, 6 cm. 190 = 47,5 cm 4 El área mide 47,52 cm2 = 2 256,25 cm2. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 127 127 4. El lado que falta mide (38 m)2 + (2 0m )2 = 42,94 m. El perímetro es 160,94 m. El área 1 520 m2. m 2 = 5 m. El perímetro es )2 + (3 m) 6. El lado mide (4 2 20 m. El área es 24 m . 5. El perímetro no es posible calcularlo, falta 1 dato. 7. Trazamos una diagonal y lo convertimos en dos triángulos; después sumamos sus áreas. El área es 20 m · 38 m = 760 m2. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 128 128 8. Respuesta libre. Por ejemplo: 9. El ángulo interior 108° y el central 72°. 10. El ángulo interior 150° y el central 30°. 11. Respuesta libre. io rad apotema centro SOLUCIONES DE LA PÁGINA 129 12. a) Octógono convexo irregular. 129 j) Heptágono convexo regular. b) Hexágono convexo irregular. k) Eneágono convexo regular. c) Cuadrilátero convexo (rombo). l) Octógono convexo regular. d) Decágono cóncavo. e) Cuadrilátero convexo irregular (paralelogramo). f) Cuadrilátero convexo (rectángulo). g) Cuadrilátero cóncavo irregular. h) Cuadrilátero convexo irregular (trapecio). i) Decágono convexo regular. 119 SOLUCIONARIO 130 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 130 13. a) 11,7 cm b) 10,53 cm2 c) El radio 1,9 cm, el ángulo central 40° y el ángulo interior 140°. 14. Este ejercicio lo pueden hacer tomando medidas, que, aproximadas, pueden ser: a) Apotema: 0,9 cm, lado: 1,2 cm, radio: 0,95 cm, perímetro: 6 cm y superficie: 2,7 cm2 b) Apotema: 0,9 cm, lado: 0,6 cm, radio: 0,95 cm, perímetro: 5,4 cm y superficie: 2,43 cm2 c) Apotema: 0,9 cm, lado: 0,75 cm, perímetro: 6 cm y superficie: 2,7 cm2 d) Radio: 1 cm, el lado tiene la misma longitud, el perímetro: 6 cm, y superficie: 2,6 cm2 131 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 131 15. a) 47,12 m b) 25,13 km c) 15,71 cm d) 232,48 mm 16. a) 4,36 m b) 104,72 mm 17. El primer aro tiene de radio 0,5 m y el segundo 0,4 m. 132 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 132 18. La c). 19. Respuesta libre. 20. a) La corona circular es la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas de distinto radio. El trapecio circular es solo la parte de una corona circular comprendida entre dos radios. b) El segmento circular está limitado por una cuerda y el arco correspondiente y la zona circular está limitada por dos cuerdas. 133 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 133 21. a) 706,86 m2 b) 49 087,38 mm2 c) 28,27 km2 d) 3 848,45 cm2 22. Radio = 4 m 23. Radio = 5 m 24. a) 4,15 cm2 b) 4,52 cm2 c) 2,54 cm2 d) Dependerá de la tapita elegida. 120 MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 134 25. a) 6,98 m2 b) 9,08 m2 134 c) 1,18 m2 d) 71,99 u2 26. a) A = π(5)2 – π(3)2 = 78,54 – 28,27 = 50,27 cm2 b) A = π (52 – 32) = 50,27 cm2 c) Sí. d) π (5 – 3)2 = π 22 = 12,57. No se obtiene lo mismo porque: R2 – r2 ≠ (R – r)2. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 135 135 1. Descomponemos la figura en dos triángulos y en un rectángulo. Área del triángulo pequeño: A1 = 10 · 10 = 50 m2 2 Área del triángulo grande: A2 = 20 · 25 = 250 m2 2 15 m Área del rectángulo: A3 = 25 · 20 = 500 m2 10 m 30 m El área total del campo sería: 20 m Atotal = 50 m2 + 250 m2 + 500 m2 = 800 m2 50 m ACTIVIDADES MAPA CONCEPTUAL 136 1. FIGURAS PLANAS Círculo Cuadriláteros se miden por su Perímetro Otros polígonos se clasifican según Área se puede medir su se distinguen distintas Área Figuras circulares tales como Su número de lados Sus ángulos Su forma en en en Segmento circular • Triángulos • Cuadriláteros • Pentágonos • Hexágonos •… • Convexos • Cóncavos • Regulares • Irregulares Sector circular Zona circular Corona circular Trapecio circular 121 SOLUCIONARIO a) El perímetro es la suma de las longitudes de los lados del polígono. El área es la superficie limitada por los lados. d) A 100 m2 e) Respuesta libre. f) Sí. b) El sector está limitado por 2 radios y el arco correspondiente. g) 5 diagonales. La corona está limitada por 2 circunferencias concéntricas distintas. h) 1 área (a ) = 1 dam2 1 ca = 1 m2 1 ha = 1 hm2 c) Respuesta libre. CÁLCULOS 137 2. El perímetro del rectángulo es 32 cm. 5. El área del rectángulo es de 480 cm2. 3. La medida del lado del rombo es de 20 cm. 6. El área del rombo es de 240 cm2. 4. La altura del triángulo mide 2 cm. 7. El área del trapecio es de 15 m2. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS c) Triángulo de base 12 cm y altura 8 cm, y paralelo- 8. 90°, 90° y 150°. 9. Hay dos ángulos que miden 45° y otros dos que miden 135°. gramo de base 10 cm y altura 8 cm. El área del tra12 cm · 8 cm pecio es: + 10 cm · 8 cm = 128 cm2 2 10. Es un paralelogramo. 11. a) Falsa b) Verdadera c) Verdadera d) Verdadera 12. Trapecio isósceles o un trapezoide. 13. a) No c) No b) No d) Sí 14. Respuesta libre. 15. Respuesta libre. 16. Respuesta libre. 17. Respuesta libre. 18. 20 cm 19. Los lados del rectángulo miden 8 cm y 4 cm, el área es 32 cm2. 20. Respuesta libre. 21. La superficie de la baldosa es 230 cm2, la superficie de la terraza es 75 900 cm2; por tanto, se necesitan 75 900 : 230 = 330 baldosas. 22. a) La base mide 10 cm + 6 cm + 6 cm = 22 cm, donde 6 cm se ha calculado con el teorema de Pitágoras. El perímetro del trapecio es: 10 cm + 10 cm + 10 cm + 22 cm = 52 cm b) Dos triángulos rectángulos de lados 6, 8 y 10 cm, y un rectángulo de base 10 cm y altura 8 cm. El área del trapecio es: 2 · 24 cm2 + 80 cm2 = 128 cm2 122 d) (22 + 10) cm · 8 cm = 128 cm2 2 23. a) Se forma un trapecio de base mayor igual a 3 cm + 3 cm + 2 cm = 8 cm, base menor 2 cm y altura 4 cm. b) Perímetro del rectángulo: 18 cm, y superficie del rectángulo: 20 cm2 c) P = 20 cm y S = 20 cm2 24. Se descompone en un rectángulo de área: 6 · 3 = 18 cuadraditos, y tres triángulos rectángulos de áreas: 6, 3 y 1,5 cuadraditos. El área de la figura es 28,5 cuadraditos. 25. 40 cm2 + 48 cm2 – 2 cm · 2 cm = 84 cm2 26. Al dibujar el trapecio, se descompone en un rectángulo y dos triángulos rectángulos de hipotenusa 5 dm y un cateto de 3 dm; por lo tanto, el otro, que es la altura, mide 4 dm. El área del trapecio es: 27. 48 cm 28. 28 · 2 = 56 cm 29. 0,62 m2 (14 + 8) dm · 4 dm = 44 dm2 2 MATEMÁTICAS POLÍGONOS REGULARES 30. a) Interior 60° y central 120°. 138 33. Respuesta gráfica. b) Interior 90° y central 90°. 34. 4,98 cm c) Interior 120° y central 60°. 35. Respuesta gráfica. d) Interior 150° y central 30°. 36. 4,33 dm e) Interior 156° y central 24°. 37. La apotema es un tercio de la altura y el radio es dos tercios de la altura, como la altura mide 9 cm, la apotema mide 3 cm y el radio 6 cm. f) Interior 162° y central 18°. 31. 5 dm 38. Respuesta gráfica. 32. 4 cm PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES 39. Perímetro 30 dm y área 60 dm2. 40. El lado del pentágono mide 2 · 27 cm, aproximadamente: 10,4 cm. El perímetro es 10 27 cm, 27 cm2, que, aproximadamente, es 78 cm2. aproximadamente: 52 cm. El área es 30 41. La apotema es 2,52 cm; el perímetro, 17,2 cm; y el área, 21,67 cm2. 42. La apotema es 4,33 dm; el perímetro, 30 dm; y el área, 64,95 dm2. 43. Actividad resuelta. 44. A = 9 cm · 9 cm 12 cm · 9 cm (12 + 10) cm · 6 cm + + = 160,5 cm2 2 2 2 LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA 139 45. 150,8 m. 48. La longitud es 32,99 m. 46. La longitud es 31,42 m. 49. a) Pintaremos de verde 16,76 m (corresponden a un ángulo central de 60°). 47. Actividad resuelta. b) Pintaremos de rojo 12,57 m (corresponden a un ángulo central de 45°). EL CÍRCULO Y LAS FIGURAS CIRCULARES 50. a) R1 = zona circular, R2 = segmento circular. b) R1 = sector circular, R2 = trapecio circular. 51. Corona circular. b) 6,98 dm2 57. Área = 47,52 m2 58. a) Seis círculos, porque se hacen enteros, ver la figura adjunta. 52. Respuesta gráfica. 53. a) 10,46 dm2 56. El diámetro es: 9 cm c) 14,65 dm2 b) 600 cm2 – 6 · π · (5 cm)2 = 129 cm2 b) Cada sector: 8,37 dm2 54. 9 cm 20 cm 55. a) 4,27 cm2 b) 2 arcos y 2 segmentos c) Habría que calcular la longitud de los 2 arcos y de los 2 segmentos (R - r ) y luego sumar todo. 30 cm 123 SOLUCIONARIO 59. a) 2m 2m 2m 73º 45º 20º b) Área formada por el objetivo de 28 mm: π · (2m)2 · 73° = 2,55 m2 360° Área formada por el objetivo de 50 mm: π · (2m)2 · 45° = 1,57 m2 360° Área formada por el objetivo de 20 mm: π · (2m)2 · 20° = 0,70 m2 360° 60. a) 106,03 cm2 b) 157,08 m2 c) 9,42 m2 d) 18,84 m2 61. S = 22 m2 – π · 12 m2 = 0,86 m2 62. Actividad resuelta. 63. a) 100,53 cm2 141 b) 37,70 cm2 c) 62,83 cm2 DESAFÍOS UN METRO DE TELA Se pueden formar dos cuadrados. 1m 1m CUADRADOS ENCAJADOS 2 2m 1m 2m 2m 124 4m 1m MATEMÁTICAS EN EL GEOPLANO En un geoplano de 16 puntos se pueden formar 5 (3 + 2) cuadrados distintos. En un geoplano de 25 puntos se pueden formar 8 (4 + 3 + 1) cuadrados distintos. FIGURAS SIMÉTRICAS EN PAPEL Los pliegues en la hoja equivalen a los ejes de simetría. Con un solo pliegue se puede obtener un triángulo. Con dos pliegues se pueden obtener: un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un hexágono, un octógono y un polígono estrellado. Cuadrado Rectángulo Rombo Hexágono Octógono Polígono estrellado OBSERVAR LA FIGURA Se pueden ver: • Una estrella dentro de un hexágono. • Doce rombos. • Seis hexágonos en el interior. • Tres cubos colgados. • Tres cubos apilados sobre el suelo en un rincón. 125 SOLUCIONARIO LA CURVA QUE NUNCA TIENE FIN a) Cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Para construirla, se toman los radios que indican la sucesión de Fibonacci, y los centros como indica la figura. b) 8 C5 5 C4 1 C,C 1 1 2 C3 2 C6 3 c) El arco de circunferencia creado tiene radio 8, y es una cuarta parte de la circunferencia total. La longitud es 12,57 unidades. ¿TAN SIMPLE COMO PARECE? La contestación intuitiva habría sido 25 cm; pero, en realidad, habrá avanzado 50 cm. OTRA FORMA DE CALCULAR EL ÁREA DE UN CÍRCULO Si intentamos calcular el área, a través de los sectores circulares que se forman al dividir el círculo en triángulos, se puede observar que al ser cada vez más pequeños, estos se pueden considerar como triángulos de altura igual al radio. Si intentamos calcular el área de todos los triángulos, se tiene que la suma de todas sus bases es el perímetro del círculo, y por lo tanto: A= 2·π·r ·r = π · r2 2 MATEMÁTICAS EN LA LIMPIEZA Limpia aproximadamente 550 cm2. SUENA EL DESPERTADOR Ha dormido una hora, de las nueve a las diez de la noche, que es cuando suena el despertador. 126 MATEMÁTICAS UNIDAD 10 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA 142 Respuesta libre. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 144 144 Base 1. Vértice 2. Sí, porque sus bases y sus caras laterales son paralelogramos. 3. Altura Arista lateral Cara lateral La altura no coincide con la arista en un prisma oblicuo. Solo coincide en los prismas rectos. Arista básica Base SOLUCIONES DE LA PÁGINA 145 145 4. No, la apotema está en la base. 6. 5. altura vértice cara lateral altura de la cara base apotema de la base 7. No, solo en el caso que tenga todas sus caras iguales. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 146 146 8. A total = 10 · 10 · 6 = 600 cm2 El desarrollo del cubo es respuesta gráfica y libre. Hay más de una posibilidad. 9. A base = 5 · 5 = 25 cm2 A lateral = 4 · 89 · 5 = 1 780 cm2 A total = A lateral + 2 · A base = 1 780 + 2 · 25 = 1 830 cm2 10. Habría que calcular el área lateral del prisma (se supone que se empapelan solo las paredes laterales). A lateral = 2 · 2,5 · 2 + 2 · 3 · 2,5 = 25 m2 Necesitaremos 25 m2 de papel. 11. 25 cm2 + 4 · 25 cm2 = 125 cm2 de cartulina. 127 SOLUCIONARIO 147 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 147 12. Respuesta libre. 13. Respuesta libre. 14. Respuesta libre. 148 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 148 15. A realizar por el alumno. 16. c) Menor. b) Máxima. d) Menor. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 149 h base base h base eje de rotación 150 c) eje de rotación base h base base eje de rotación eje de rotación SOLUCIONES DE LA PÁGINA 150 19. a) b) vértice radio mayor altura generatriz base base mayor altura generatriz radio base menor radio menor eje 20. a) g2 = (7 cm)2 + (2 cm)2 → g2 = 49 cm2 + 4 cm2 = 53 cm2 → g = 7,28 cm b) h2 = (6 cm)2 – (2 cm)2 → h2 = 36 cm2 – 4 cm2 = 32 cm2 → h = 5,65 cm 128 d) ratriz h base gene b) ratriz generatriz base gene 18. a) generatriz 149 17. a) Máxima. eje MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 151 151 2 21. 131,95 cm 22. a) 207,35 cm2 b) 326,73 cm2 23. a) h = 3 cm r = 5 cm c) h = 6 cm r = 6,5 cm + 16 = 34 = 5,8 cm g = 9 36 + 42, 25 = 78, 25 = 8,8 cm g = A lateral = π · r · g = π · 5 · 5,8 = 91,1 cm2 A lateral = π · r · g = π · 6,5 · 8,8 = 179,6 cm2 A base = π · r 2 = 25 · π = 78,5 cm2 A base = π · r 2 = 42,25 · π = 132,7 cm2 A total = A lateral + A base = 91,1 + 78,5 = 169,6 cm2 A total = A lateral + A base = 179,6 + 132,7 = 312,3 cm2 b) h = 8 cm r = 4 cm d) h = 7 cm r = 1,43 cm + 16 = 80 = 8,9 cm g = 64 g = 49 + 2,045 = 51,045 = 7,14 cm A lateral = π · r · g = π · 4 · 8,9 = 111,8 cm2 A lateral = π · r · g = π · 1,43 · 7,14 = 32,08 cm2 A base = π · r 2 = 16 · π = 50,2 cm2 A base = π · r2 = π · (1,43 cm)2 = 6,42 cm2 A total = A lateral + A base = 111,8 + 50,2 = 162 cm2 A total = A lateral + A base = 32,08 + 6,42 = 38,5 cm2 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 152 24. a) 15,625 cm3 3 152 25. a) 500 dm3 d) 34000 dl b) 35 cm b) 800 ml e) 900 km3 c) 68,921 dm3 c) 0,079 m3 f) 0,000006 dal SOLUCIONES DE LA PÁGINA 153 153 26. a) 17,32 cm3 b) 24 cm3 c) 152,32 dm3 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 154 154 27. a) 445,06 mm3 b) 0,002 m3 c) Con los datos del dibujo: h = 9,37 cm Con los otros datos: h = 5,65 cm SOLUCIONES DE LA PÁGINA 155 V = 551,94 cm3 V = 23,67 cm3 155 1. Sí, ocurre lo mismo. 129 SOLUCIONARIO ACTIVIDADES 156 MAPA CONCEPTUAL 1. CUERPOS se clasifican Poliedros Redondos pueden ser pueden ser Prismas Pirámides Cilindros Conos Esferas se puede calcular Área lateral Área total a) Los poliedros tienen todas sus caras planas, los cuerpos redondos no. Volumen c) El m3 d) Respuesta libre. b) En el cilindro. CÁLCULOS 2. Área lateral = 7650 mm2 4. Área total = 1 815,84 cm2 3. 12 caras. Es un dodecaedro. 5. 156 : 6 = 26 cm2 a) Pentágono a) V = (5,10 cm)3 = 132,651 cm3 b) 324º b) Con estos datos no es posible calcular el área total. c) 3 caras. d) 72 dm2 157 ELEMENTOS DE LOS CUERPOS 6. Cubo Prisma pentagonal cara pentagonal Pirámide pentagonal vértice altura vértice cara arista arista base 130 Cilindro base cara circular superficie curva MATEMÁTICAS ÁREA LATERAL Y TOTAL 7. 81 cm2 10. 58,31 cm2 8. 306,31 cm2 = 3,0631 dm2 11. 251,33 cm2 9. Actividad resuelta. VOLUMEN 158 12. Para 45 días. 17. V = 968,188 cm3 a) 2 frascos. 18. r = 968,188 cm3 13. 502,66 m3 = 502 660 dm3 = 502 660 litros h = 7 cm 14. a) 21 300 000 g = 7,83 cm b) 9 800 000 19. arista = 2,6 cm c) 7 000 20. Sí, poniendo 9 cubitos de base y completando dos pisos más (9 + 9 + 9 = 27). d) 160 000 El cubo tendrá 3 cubitos de arista. e) 0,045 15. 93 = 729 cubitos. Porque tiene 9 cubos de largo, 9 de ancho y 9 de alto. 16. V = 249,90 litros 3 de V = 187,425 litros 4 187,425 : 1,5 = 124,95 jarras. 21. r = 0,38 dm 22. 2 613,81 cm h = 0,76 dm 3 23. La c) 24. 1 500 m3 = 1 500 000 dm3 = 1 500 000 litros 25. Es un cono. V = 301,60 cm3 Por lo tanto, casi 125 jarras. DESAFÍOS 159 POLICUBOS a) Necesitará colocar nueve baldosas en cada lado más una en cada esquina. En total necesitará colocar: (9 · 4) + 4 = 36 + 4 = 40 baldosas. b) número de baldosas = (4 · longitud del lado en metros) + 4 EL CUBO SOMA a) Ocho unidades (dos piezas de cuatro cubos cada una). b) Quince unidades (tres piezas de cuatro cubos y una pieza de tres cubos). 131 SOLUCIONARIO UNIDAD 11 160 SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA No sabemos exactamente cuántos alumnos eligieron Taller de Matemáticas ni Francés, ya que desconocemos el número total de alumnos. Sin embargo, sabemos que la mitad eligió Taller de Matemáticas, la cuarta parte Francés y la otra cuarta parte Procesos de Comunicación. 162 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 162 1. a) La población serían todas las pilas fabricadas en un día, y cada una de las pilas sería un individuo. b) Sí, porque una forma de saber cuál es la duración de una pila es utilizándola hasta que se gaste; si esto se hace con todas supondría un importante gasto para la empresa. 2. a) La población la comprenderían todos los individuos de la provincia y la encuesta iría dirigida a todos los alumnos de 7º de la ESO de dicha Comunidad. 3. a) Cualitativa. b) Cuantitativa. c) Cuantitativa. d) Cuantitativa. e) Cualitativa. f) Cuantitativa. g) Cualitativa. h) Cualitativa. b) Sí, sería conveniente tomar una muestra porque el número de alumnos de 7º de la ESO de la Comunidad posiblemente fuera muy grande. 163 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 163 4. La frecuencia absoluta de los valores 0, 1, 2, 3, 4 es 1, 2, 4, 2, 1, respectivamente. 5. La frecuencia absoluta de los valores 0, 1, 2, 3 es 5, 8, 6, 1, respectivamente. 164 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 164 6. a) Número de hermanos b) 40 % c) 10 % Frecuencia Frecuencia Porcentajes absoluta (ni) relativa (hi) (pi) 0 1 0,1 10 % 1 2 0,2 20 % 2 4 0,4 40 % 3 2 0,2 20 % 4 1 0,1 10 % 7. a) Número de Frecuencia Frecuencia Porcentajes asignaturas absoluta (ni) relativa (hi) (pi) reprobadas 0 5 0,25 25 % 1 8 0,4 40 % 2 6 0,3 30 % 3 1 0,05 5% b) 40 % c) 1 alumno. d) El número total de alumnos: 20. Las frecuencias relativas tienen que sumar 1. 132 MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 165 8. 165 9. nº de alumnos 8 Hockey 10 Básquet 8 6 Fútbol 6 5 4 2 1 0 1 2 3 Básquet Hockey nº de sobresalientes SOLUCIONES DE LA PÁGINA 166 166 12. La altura media de los muebles es 173 cm. 10. x = 3,8 11. x = 3,8 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 167 13. a) Mo = 10 14. a) Me = 6+7 = 6,5 2 167 b) Mo = 7 b) Me = 6 15. La moda es 0 y la mediana es 2. 16. La moda es 3 y la mediana es 2,5. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 168 17. a) Aleatorio. b) Determinista. 168 c) Determinista. d) Aleatorio. 18. El espacio muestral son todas y cada una de las cartas de espadas y bastos. E = {1E, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E, 7E, 10E, 11E, 12E, 1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 10B, 11B, 12B} a) {Obtener el cinco de oros} d) {Obtener una espada o un basto} b) {Obtener un rey} e) {Obtener un rey} y {obtener un as} c) {Obtener un oro} f) {Obtener un rey} y {obtener una espada} SOLUCIONES DE LA PÁGINA 169 19. Deben realizar los alumnos el experimento. a) Las frecuencias relativas se aproximan a 0,5. b) P (A) = 0,5 169 20. En cada caso se obtendrá un número distinto de veces que ocurre el suceso A. La frecuencia relativa será el cociente entre el valor de la frecuencia absoluta y 50. Después de realizar 50 veces el experimento, asignaríamos al suceso A una probabilidad de 0,25. 133 SOLUCIONARIO 170 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 170 21. a) P (5) = 1 6 b) P (6) = 1 6 c) P (2, 4, 6) = 3 1 = 6 2 d) Es cero, puesto que es un suceso imposible. 22. a) P (6) = 4 1 = 40 10 b) P (oros) = c) P (rey) = 10 1 = 40 4 4 1 = 40 10 d) P (rey de oros) = 171 1 40 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 171 1. Para poder resolver el problema la única posibilidad es que sean dos chicos y dos chicas porque: • Si fueran tres chicas y un chico, no se podría resolver porque faltaría información (quién plancha y quién lee). • Si fueran tres chicos y una chica, no leería ninguno. Por tanto, si organizamos la información en una tabla se tiene que: Chica 1 Maribel Chico 1 Alfonso Leer Sí No No No Estudiar No Sí No No Planchar No No Sí No Limpiar No No No Sí Maribel estudia, Alfonso limpia, la otra chica lee y el otro chico plancha. 2. Si Laura está despierta no tiene solución única. Por tanto, hay que suponer que está dormida, y así se tiene que si Laura duerme, Raúl manda mensajes, el padre come y la madre conduce. 134 MATEMÁTICAS ACTIVIDADES MAPA CONCEPTUAL 1. 172 ESTADÍSTICA agrupación de datos en Frecuencias Tablas pueden ser Absoluta Relativa resumen de la información en organización representación de datos en Gráficos Parámetros estadísticos tales como los más importantes Diagramas de barras Diagramas de sectores Media artimética Moda Mediana multiplicadas por cien PROBABILIDAD Porcentajes la posibilidad de que ocurra un Suceso a) Cuando hablamos de población nos referimos a todos los elementos sobre los que se hace el estudio estadístico y, cuando hablamos de muestra, estamos refiriéndonos a un subconjunto de la población. b) Los caracteres cualitativos son aquellos que no se pueden medir o expresar numéricamente, por ejemplo, el color de un coche y los cuantitativos son aquellos que sí se pueden expresar numéricamente, por ejemplo, el número de hermanos. c) La frecuencia absoluta de un valor es el número de veces que se repite dicho valor. lo estudia la Probabilidad mediante la Regla de Laplace e) Media aritmética, moda y mediana. f) El determinista es aquel en el que podemos saber el resultado final antes de realizar el experimento, mientras que en el aleatorio no se puede predecir el resultado con anterioridad. g) La probabilidad de un suceso es el valor al que se aproxima la frecuencia relativa cuando el experimento se realiza en muchas ocasiones. Para calcular la probabilidad de un suceso mediante la regla de Laplace, hay que dividir el número de casos favorables entre el número de casos posibles. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. d) Los diagramas de barras son representaciones gráficas de los datos mediante rectángulos, cuyas bases son los valores y las alturas las frecuencias correspondientes a cada valor. Los diagramas de sectores son representaciones gráficas de los datos mediante círculos divididos en sectores cuyas amplitudes son proporcionales a las frecuencias de los datos. 135 SOLUCIONARIO CÁLCULOS 2. a) El número total de datos: N, pues estamos contando todos los datos. b) Han de sumar 1, pues al sumar todas las fracciones se obtiene que estamos dividiendo N entre N. 173 3. La mediana es 7 y hay dos modas, 7 y 8. 4. a) 5 b) 5 5. La probabilidad es c) 2 d) 3 1 = 0,5. 2 TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 6. a) Número de teléfonos Frecuencia Frecuencia Porcentajes absoluta (ni) relativa (hi) (pi) 1 5 0,125 12,5 % 2 10 0,25 25 % 3 15 0,375 37,5 % 4 10 0,25 25 % 7. 8. a) 50 b) Tres teléfonos. b) 11 c) El 12,5 % de las familias tienen un teléfono. c) 19 d) d) 4% nº de familias 20 15 10 5 1 2 3 4 nº de teléfonos PARÁMETROS ESTADÍSTICOS 9. a) La media es 4,89. La moda es 10. La mediana es 5. b) La media es 7. La moda es 5. La mediana es 6,5. 10. a) Valor medio temporada 2002-2003 = 2,02 Valor medio temporada 2003-2004 = 2,01583 b) Valor mediano temporada 2002-2003 = 2,03 Valor mediano temporada 2002-2003 = 2,01 11. Valores (x i) Frecuencia absoluta (ni) Productos (x i · ni) 5 2 10 6 6 36 7 3 21 8 5 40 9 4 36 n = 20 ∑ x i · ni = 143 La media aritmética es x = 7,15 y la moda es el valor 6. 136 MATEMÁTICAS 12. a) Se puede añadir cualquier valor menor o igual que 6. 13. Carmen debe sacar un 7,5. Se puede añadir cualquier valor mayor o igual que 7. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS 14. Es determinista, pues sabemos el resultado que se va a obtener sin necesidad de medirlo. El otro lado 420 m2 será: = 12 m 35 m 15. No, se trata de un experimento aleatorio. Si se extrae una bola, es más probable que sea roja que negra, pero no podemos asegurar que será negra. 18. a) B = {obtener una bola azul} b) Ac = {obtener una bola negra o una bola azul}. Es un suceso compuesto, está formado por dos sucesos elementales, {obtener una bola negra} y {obtener una bola azul}. 19. a) A = {obtener 1, 2, 3 o 5} b) B = {obtener 3} a) Sacar una pelota negra. c) C = {obtener 4} b) Respuesta libre. d) Ac = {obtener 4 o 6} 16. Respuesta libre. 20. Actividad resuelta. 17. a) El espacio muestral son todas y cada una de las cartas de oros, copas y bastos. b) A = {obtener una espada} c) B = {obtener una copa} y C = {obtener un oro} d) B = {obtener una copa} y D = {obtener un caballo} PROBABILIDAD 174 21. a) Igualmente posible. 25. P (0) = b) Muy posible. c) Igualmente posible. P (1) = d) Poco posible. b) P (obtener un rey) = 24. a) P (2, 4, 6) = 3 1 = 6 2 P (2) = 3 8 2 1 = 8 4 P (3) = 1 8 26. a) P (sea con sabor a frutilla) = 22. Actividad resuelta. 23. a) P (obtener un oro) = 1 8 10 1 = 40 4 1 8 3 1 = 18 6 27. a) P (no ser de acción ni de humor) = 4 1 = 40 10 b) P (5, 6) = P (4) = 12 25 2 1 = 6 3 137 SOLUCIONARIO 175 DESAFÍOS “NO TENGO TIEMPO PARA IR AL COLEGIO, NI SIQUIERA PARA ENFERMAERME...” El error está en que se superponen las categorías de tiempo, de forma que se cuentan más de una vez. Por ejemplo, cuenta por un lado el tiempo de dormir y comer, y por otro lado los meses de vacaciones, en los cuales se supone que también come y duerme. Este tipo de falacias ocurre con frecuencia en informes estadísticos. INTENTANDO SER EQUITATIVO Si se lo quiere regalar a uno de sus hermanos → monedas Si son cuatro hermanos → cartas Si tiene seis primos → dados ¿QUIÉN GANARÁ LA APUESTA? a) 0,5 b) Siempre la probabilidad será 0,5 porque los sucesos no tienen memoria. UN ASUNTO DE MEDIAS El número mínimo de medias que asegura una pareja del mismo color es 3. Es fácil verlo con un diagrama de árbol. UNA SEGUNDA EXTRACCIÓN Es más probable que salga blanca porque hay 4 casos favorables, frente a los 3, 2 y 1 de las pelotas negras, azules y roja, respectivamente. GIRAMOS LAS RULETAS a) P (salga 1) = 1 = 0,33 3 b) P (salga 1) = 3 1 = = 0,5 6 2 c) P (salga 1) = 1 = 0,25 4 d) P (salga 1) = 3 = 0,375 8 Es más fácil que salga un 1 en la ruleta b). 138 MATEMÁTICAS ANEXO SOLUCIONES DE LA PÁGINA 178 1. 178 Expresión numérica Expresión numérica -12 -8000 -2 35 -700 -3 100 -40 100 -153 -2 / -5 -40 -10 7 2. Respuesta libre. 3. a) -1 -3 b) -22 c) 9 -5 -17 18 -7 -13 36 -10 72 -8 144 -7 288 4. a) No b) El número de Skewes es: ((1010)10)34 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 179 1 1. maíz = = 0,25 4 1 cebada = = 0,125 8 3 trigo = = 0,375 8 179 217 6. = 12,5% 1727 7. Respuesta libre. 8. Respuesta libre. 2. a) Representa el 37,5% del total. b) Representa el 12,5% del total. c) Representa el 25% del total. 3. Por ejemplo: Fig. 1 Perímetro = 2 · b + 2 · h Área = b · h Fig. 2 Perímetro = 30cm · 2 + 500cm · 2 + b Área = b · 30 + b · h : 2 Hay más posibilidades. 4. Perímetro = 30 + 707,1 + 500 · 2 = 17,671 cm Área = 707,14 · 30 = 21 213 cm2 = 0,0000021213 km2 5. Aprobados: Reprobados: 26 = 12% 217 191 = 88% 217 139 SOLUCIONARIO 180 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 180 1. Hidratos de carbono: 165º = 45,83% Frutas y verduras: 125º = 34,72% Proteínas: 55º = 15,27% Grasas y azúcares: 15º = 4,16% 3. Respuesta libre. 4. Se utilizan rectángulo para las barras y sectores circulares para el gráfico circular. La altura significa las cantidades que consumió de cada grupo de alimentos. 2. Respuesta libre. 181 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 181 1. Respuesta libre. Cada alumno puede elegir qué escala utilizar para ubicar esos números. 3. Para protegerlo de los graffiti y las pintadas. 2. Izamiento de la Bandera Nacional por primera vez en la ciudad el 23 de agosto de 1812. 5. De Córdoba. 4. Respuesta libre. Designación de Buenos Aires como Capital Federal en 1820. Primera Fundación de Buenos Aires en 1536. Segunda fundación de Buenos Aires en 1580. 182 181 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 182 1. El C, porque las piezas de ajedrez tendrían que verse al revés. 2. Las caras opuestas suman 7. 3. Respuesta libre. 4. Respuesta libre. 183 181 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 183 1. El de 5 piezas tiene menos figuras que el chino. No tiene un cuadrado y hay 3 piezas iguales que son los triángulos rectángulos de mayor área. 2. El huevo y el Cardiotangram. En el huevo, cada sector tiene un ángulo central de 45º porque forma un ángulo recto entre los dos. En el Cardiotangram hay dos sectores con ángulos de 45º y 3 sectores con ángulos de 90º porque forman un cuarto de círculo cada uno. 3. No, porque no están formados por 2 arcos de circunferencias. 4. 100 : 8 = 12,5 cm2 5. La del pentágono. 6. Respuesta libre. 140 MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA PÁGINA 184 184 1. Respuesta libre. SOLUCIONES DE LA PÁGINA 185 185 1. 4650 gs de chocolate 62 huevos 31 tazas de azúcar 31 panes de manteca 31 tazas de harina 6200 gs de frutilla 2. 3375 gs de chocolate 45 huevos 22,5 tazas de azúcar 22,5 panes de manteca 31 tazas de harina 4500 gs de frutilla 3. Deberá pedir como mínimo la suma de las cantidades de lunes a viernes más las de sábados y domingos. 4. Respuesta libre. 5. a) $ 45 b) $ 21,6 + $ 45 = $ 66,6 c) Cada mousse cuesta $ 1,875 + $ 0,9 = $ 2,775 Con el 25% de ganancia = $ 3,46875 6. Respuesta libre. 141

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