la elipse

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LA ELIPSE
DEFINICIÓN
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano
cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F 1 y F2, llamados focos
es una constante positiva. Es decir:
La elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de
un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con un ángulo
mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
En una elipse se pueden distinguir los siguientes elementos:









Focos. Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario. Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal. Es el segmento FF'de longitud 2c, c es el valor de la
semidistancia focal.
Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A,A',B y B'.
Eje mayor. Es el segmento AA' de longitud 2a, a es el valor del semieje
mayor.
Eje menor. Es el segmento BB' de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
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Matemática 1
2


Ejes de simetría. Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría. Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
Relación entre a, b y c
Ubicaremos punto P(x;y) en la intersección de la elipse
con el eje Y para establecer las siguientes relaciones:
d  P;F1   d  P;F2   a
a  c  a2  b2  c2
Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su
semieje mayor. Es la razón entre las medidas de c y a, que indica el grado de
achatamiento de la elipse. Así, en e = c/a:


Si e se aproxima a 0, la elipse tiende a adquirir la forma de una circunferencia.
Si e se aproxima a 1, la elipse tiende a ser cada vez más achatada.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
Existen dos casos en los cuales el centro de la elipse se encuentra en el origen de
coordenadas C(0;0) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.
Cuando el eje focal coincide con el eje X
Cuando el eje focal coincide con el eje Y
y
x
 2 1
2
a
b
y2
x2
 2 1
a2
b
F1(-c;0), F2(c;0), V1(-a,0), V2(a;0)
F1(0;-c), F2(0;c), V1(0;-a), V2(0;a)
2
2
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Si en la ecuación de la elipse el denominador de x 2 es mayor que el
denominador de y2, entonces el eje focal coincide con el eje X.
En caso contrario, el eje focal coincide con el eje Y.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
Existen dos casos en los cuales el centro de la elipse se encuentra en el punto de
coordenadas C(h;k) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.
Cuando el eje focal coincide con el eje X
 x  h
2
 y  k

Cuando el eje focal coincide con el eje Y
2
1
b2
a2  b2
C(h;k), F(h±c;k), V(h±a;k)
a2
 x  h
2
 y  k

2
1
a2
a2  b2
C(h;k), F(h;k±c), V(h;k±a)
b2
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al realizado para
obtener la ecuación general de la circunferencia, se llega a la ecuación general de
la elipse, donde los coeficientes A y B deben tener el mismo signo.
Ax 2  By2  Cx  Dy  E  0
PARA LA CLASE…
01. Halla el centro y los focos de la
elipse de ecuación:
x  82  y  32  1
20
36
C(8; -3), F1(8;-7), F2(8;1)
02. Reduce la ecuación
x 2  4y 2  6x  16y  21  0
vértices, focos, las longitudes de los
ejes mayor y menor, la cuerda focal y
la excentricidad.
C(3; -2), V1(1; -2), V2(5; -2)
Eje mayor 4, eje menor 2
e
3
2
a la forma ordinaria de una elipse y
determina las coordenadas del centro,
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4
03. Determina la ecuación de la elipse
con centro en el origen, focos en los
puntos (0; -3) y (0; 3) y eje mayor
igual a 10 u.
x2 y2

1
16 25
04. Halla la ecuación de la elipse de
excentricidad 2/3 y cuyos focos son
los puntos (-2; 6) y (8; 6).
 x  3
2
9
 y  6

2
5

25
4
05. Determina la ecuación de la elipse
cuyo centro de gravedad está en el
origen e coordenadas, el eje mayor a
lo largo del eje X, el lado recto es
igual a 6 y el valor de la excentricidad
es 1/2.
x2 y2

1
16 12
06. Halla la ecuación de la elipse cuya
longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 y sus vértices los puntos
(-10;0) y (10; 0)
y2
x2

1
100 25
07. Las distancias de un punto P de una
elipse a sus focos F1 y F2 son 6 y 8 cm.
Calcula e, si m < F1PF2 = 90º
e = 5/7
2
x2 y

 1 . El área
9
4
del triángulo formado por un lado
recto y los segmentos que unen los
extremos con el centro de la elipse es:
4
S
5 cm
3
08. En la elipse
09. Halla la ecuación de la elipse que
tiene por centro el punto (2; 4), la
distancia del centro a los focos es 3,
su excentricidad 1/3 y la elipse es de
eje vertical.
 x  2
2
72
 y  4

2
1
81
10. Halla la ecuación de la elipse, cuyo
eje es coincidente con x = 1, su centro
(1; 5), foco (1; 8) y la suma de las
distancias focales de un punto de la
elipse es 12.
 x  1
2
27
 y  5

2
36
1
11. Encuentra la ecuación de la elipse
que tenga como centro el punto C(-2;
4) y sea tangente a los dos ejes de
coordenadas.
 x  2
2
4
 y  4

2
16
1
12. Halla la ecuación general de la
elipse, si uno de los vértices se
encuentra en el punto V(5; 0) y pasa
por el punto P(2; 3).
3x2  7y2  75
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LA HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano
cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F1 y F2, llamados
focos es una constante positiva.
Es decir:
La Hipérbola es la curva curva abierta, formada por dos ramas, que
se obtiene al cortar una superficie cónica mediante un plano que no
pasa por el vértice.
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
En una hipérbola se pueden distinguir los siguientes elementos:






Focos. Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario. Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices. Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con
el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario
con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a
los focos: PF y PF'.
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Matemática 1
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



Distancia focal. Es el segmento FF'de longitud 2c.
Eje mayor (eje transverso).Es el segmento AA' de longitud 2a.
Eje menor (eje conjugado). Es el segmento BB' de longitud 2b.
Asíntotas. Son rectas que jamás cortan a la hipérbola por más que se acerque a
ella. Ambas pasan por el centro de la hipérbola.
Relación entre a, b y c
Ubicaremos punto P(x;y) en la intersección de la hipérbola
con el eje Y para establecer las siguientes relaciones:
d  P; V1   d  P; V2   c
c  a  c2  b2  a2
Excentricidad (e)
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.
Es la razón entre las medidas de c y a. Así, en e = c/a:
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA
Existen dos casos en los cuales el centro de la hipérbola se encuentra en el origen
de coordenadas C(0;0) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.
Cuando el eje focal coincide con el eje X
Cuando el eje focal coincide con el eje Y
y2
x2

1
a2
b2
y2
x2

1
a2
b2
F1(-c;0), F2(c;0), V1(-a,0), V2(a;0)
F1(0;-c), F2(0;c), V1(0;-a), V2(0;a)
Asíntotas y  
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b
x
a
Asíntotas y  
a
x
b
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Si en la ecuación de la hipérbola el denominador de x 2 es mayor
que el denominador de y2, entonces el eje focal coincide con el
eje X. En caso contrario, el eje focal coincide con el eje Y.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA
Existen dos casos en los cuales el centro de la hipérbola se encuentra en el punto
de coordenadas C(h;k) y su eje focal coincide con uno de los ejes cartesianos.
Cuando el eje focal coincide con el eje X
 x  h
2
 y  k

 y  k
2
1
b2
a2  b2
C(h;k), F(h±c;k), V(h±a;k)
b
Asíntotas y  k   x  h 
a
a2
Cuando el eje focal coincide con el eje Y
2
 x  h

2
1
b2
a2  b2
C(h;k), F(h;k±c), V(h;k±a)
a
Asíntotas y  k   x  h 
b
a2
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al realizado para
obtener la ecuación general de la elipse, se llega a la ecuación general de la
hipérbola, donde los coeficientes A y B deben tener signos opuestos.
Ax 2  By2  Cx  Dy  E  0
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
Son aquellas hipérbolas en las que los semiejes son iguales
(a = b), por lo tanto su ecuación es:
x2  y2  a2
Las asíntotas tienen por ecuación: y   x , Es decir, las
bisectrices de los cuadrantes.
La excentricidad es: e 
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PARA LA CLASE…
13. Determina los elementos (focos,
eje transverso, eje conjugado, lado
recto, excentricidad, vértices y
asíntotas) de la hipérbola de ecuación:
y2
x2

1
25 144
19. Halla la ecuación de la hipérbola
con vértices en V(0; ±7) y e = 4/3.
9x2  7y2  343
20. Halla la ecuación de la hipérbola
con focos F1(-1; 1) y F2(5; 1) y un
vértice en V(0; 1)
14. Determina los elementos de la
hipérbola de ecuación:
 x  2
2
4
16x2  25y2  96x  200y  656  0
15. Determina la ecuación de la
hipérbola de focos (0; -10) y (0; 10) y
eje conjugado igual a 12.
y2 x2

1
64 36
16. Determina la ecuación del lugar
geométrico de todos los puntos P(x; y)
del plano, para los cuales la diferencia
de sus distancias a los puntos fijos
(-6; -4) y (2; -4) es 6.
7x2  9y2  28x  72y  179  0
4  y  1
2
9
4  x  3
2

27
1
18. Halla la ecuación de la hipérbola que
pasa por el punto A(2; 3), tiene su
centro en el origen de coordenadas, su
eje transverso está sobre el eje Y, y
una de sus asíntotas es la recta
2y  7x  0
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1
21. Determina la ecuación de la
hipérbola con centro en (5; -1), uno de
los vértices es (5; 3) y el eje
conjugado mide 6u.
 y  1
2
16
 x  5

2
1
9
22. Encuentra la ecuación de la
hipérbola cuyo centro es el punto (3; 5), uno de sus vértices es (7; -5) y uno
de sus focos es (8; -5)
 x  3
2
 y  5

2
1
9
23. Las coordenadas de los focos de
una hipérbola son los puntos (-1, 4) y
(7; 4), su excentricidad es 3. Halla la
ecuación de la hipérbola.
9  x  3
2
16
9  y  4
2

1
128
24. Las coordenadas del centro de una
hipérbola es el punto (4; -1), uno de
sus focos es el punto (1; -1), además
pasa por el punto (8; 0). Halla la
ecuación de la hipérbola.
x  4
2
y2 7x2

1
2
8
2
5
16
17. Determina la ecuación de la
hipérbola sabiendo que sus focos son
los puntos F1(3; 4) y F2(3; -2) y su
excentricidad es igual a 2.
 y  1

8
  y  1  1
2
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