La matriz de insumo-producto + la programación lineal para la evaluación del impacto de distintas políticas económicas Isabel Quintas-UAM Se propone utilizar la matriz insumo producto como la información básica de la estructura económica de una sociedad (país), o corporativo empresarial, para estimar las consecuencias de aplicar determinadas medidas, por ejemplo incentivar el sector servicios, o dar facilidades para la inversión en construcción de vivienda, o abrir a la inversión privada el sector energéticos. Pero los recursos tanto materiales como humanos son limitados y ciertos sectores podrían ser cuellos de botella sin la planeación adecuada. El uso de la programación lineal, permite optimizar el uso de los recursos disponibles sujeto a las limitaciones endógenas del sistema y a limitaciones externas a él como pueden ser la normatividad ambiental u otras políticas existentes. Incorporadas estas restricciones en la matriz de insumo-producto y resolviéndolo como un problema de programación lineal, puede ayudar a determinar el máximo crecimiento posible de cierto sector (que se quiere incentivar, por ejemplo), o la máxima o mínima inversión a realizar en ciertos sector para optimizar ya sea la producción total o la producción de algún sector que se considere como detonador del empleo, o la generación de energía, o algún indicador ambiental, por ejemplo. El análisis de sensibilidad del método permite detectar los sectores críticos y los posibles efectos multiplicadores. En este trabajo se presenta un caso de estudio simulado, utilizando una matriz de insumo-producto de México agrupada en trece sectores; se establecen ciertas limitaciones endógenas al sistema y se analiza en este caso cuál es la mayor inversión que se podría realizar en el sector servicios (educación, salud), y cómo deberían crecer los otros sectores, dadas las limitaciones consideradas. Palabras clave: matriz insumo-producto, optimización lineal. programación lineal, evaluación, Introducción En este trabajo se muestra la utilización de dos herramientas como lo son la matriz Insumo-Producto (IP) y el método de Programación Lineal (PL), que utilizadas conjuntamente pueden ayudar a estimar las consecuencias de aplicar determinadas medidas a un sistema económico, sujeto a limitaciones endógenas del sistema y a limitaciones externas a él como pueden ser la normatividad ambiental o otras políticas existentes.de una sociedad (país). Como PL es un método de optimización, al aplicarlo sobre el modelo de IP, permite no sólo , cuantificar, sino también encontrar la mejor manera de hacerlo. Primero se describirán las ecuaciones de estos modelos, para más adelante presentar un ejemplo sintético, donde se plantearán de manera arbitraria ciertas condiciones. Para el ejemplo se utilizó la matriz de IP de 1990 agrupada en trece sectores (Kate,1993) y se propones ciertas limitaciones en la capacidad de crecimiento de algunos sectores. El problema es resuelto utilizando la utilería Solver. Conceptos básicos El modelo de insumo producto fue propuesto por el economista Wassily W. Leontief, quién ganó el Premio Nobel de economía en 1973 por su desarrollo del análisis de insumo- producto para contabilizar la producción de las naciones. El modelo supone que la economía se divide en n sectores que se encuentran en equilibrio, esto es que cada sector produce para satisfacer exactamente la demanda. La demanda de cada sector se compone de la demanda intersectorial y la demanda externa. Al igualar la oferta con la demanda se obtiene el siguiente sistema: x1 = a11 x1 + a12 x2 +………….a1n xn + d1 x2 = a21 x1 + a22 x2 +………….a2n xn + d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn = an1 x1 + an2 x2 +………….ann xn + dn donde xi es la producción total del sector i aij representa la demanda interna del sector j de bienes del sector i di es la demanda de bienes del sector i por los consumidores privados En notación matricial 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐷 (𝐼 − 𝐴 )𝑋 = 𝐷 O reagrupando A la matriz A se la conoce como la matriz de la demanda interna o matriz de coeficientes tecnológicos y a la matriz I – A se le llama matriz de Leontif. Cuando se quiere determinar la producción total de la economía ante variaciones del vector demanda se debe despejar el vector de producción total, entonces 𝑋 = ( 𝐼 − 𝐴 )−1 𝐷 La siguiente herramienta es el modelo de programación lineal que se utiliza para la planeación de actividades, y consiste en encontrar el nivel de éstas, representadas por un conjunto de variables (x1 , x2 … xn), de tal manera que optimice determinada función objetivo (también lineal), sujeto a un conjunto de restricciones sobre las mismas variables. La estructura del modelo es: Máx c1 x1 + c2 x2 +………….+cn xn Sujeto a a11 x1 + a12 x2 +………….a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 +………….a2n xn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x1., x2 , . . . . , xn ≥ 0 La expresión matricial del modelo de programación lineal es: 𝑎𝑥 𝑧 = ∑ 𝑐𝑖 𝑥𝑖 sa a x ij j bi xj 0 La resolución de este sistema se conoce como el algoritmo Simplex y fue desarrollado por Geoge Dantzig en el año 1947. Se trata de un método sumamente eficiente que llega a la solución óptima con la menor cantidad de iteraciones. En este trabajo se utilizará la implementación de este método en Solver de Excel. Ejemplo sintético Se supone una economía que para efectos de ejemplo se utiliza la matriz de IP de México, para 1990 agrupada en trece sectores (Kate,1993) y que se presenta como la matriz T de las transacciones intersectoriales expresada en unidades monetarias (en este caso en miles de millones de pesos). Además se tiene el vector de demanda agregada del sector privado y la demanda del gobierno, así como el vector de producción total. (cuadro 1) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 minería alimentos textiles madera químicos industria metal manufacturas construcción electricidad comercio hotel y rest servicios financieros servicios total 4 de gob 3 219 584 73 107 12 842 188 1,199 20,000 320 515 926 35,282 60,267 72,281 33,197 101,087 27,045 7,972 58,893 46,955 21,281 60,000 16,660 173,224 93,146 196,373 908,114 priv 2 agro Matriz en millones de pesos 1 Agro 2 minería (1) 3 alimentos 4 textiles 5 madera 6 quimicos 7 ind. Metal (2) 8 manufacturas (3) 9 construcción 10 electricidad 11 com hot rest 12 serv finacieros 13 servicios (4) total valor agregado Total generado 1 7,713 2 27,957 716 1,480 236 0 160 0 4 0 0 206 33,588 237 4,969 840 28 9 5,657 4,250 350 8,245 2,487 44 189 1,127 4,181 2,269 0 11,659 402 1 749 1 189 0 0 0 0 423 85,321 245 25 358 3,932 112 152 141 67 49 17 277 16 663 20,884 52 16 0 21 1,057 64 260 293 1,820 8 5 10 52 4,302 5,252 1,164 1,575 3,687 289 11,271 2,369 1,291 2,099 343 2,107 456 9,465 16,683 715 604 1,555 161 149 513 15,722 442 9,137 88 936 148 3,437 13,160 422 402 1,083 375 25 1,500 787 3,222 285 88 3,207 726 1,609 6,351 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40,000 722 1,390 977 273 54 3,098 1,527 466 325 1,194 2,208 665 990 2,451 2,806 1,395 9,136 2,890 677 3,868 7,177 1,438 3,629 1,234 4,734 824 7,137 125,764 1,470 480 964 571 161 715 1,456 493 2,453 316 10,935 9,113 7,394 55,699 1,561 2,032 4,977 1,228 299 3,126 4,328 822 4,585 629 19,484 7,123 15,596 95,301 23,464 12,479 61,081 14,284 4,313 30,949 38,018 9,233 32,627 6,408 43,937 19,270 48,099 503,685 48,817 20,718 40,006 86,803 22,732 27,944 8,937 12,048 27,373 10,252 129,287 73,876 148,274 72,281 33,197 101,087 101,087 27,045 58,893 46,955 21,281 60,000 16,660 173,224 93,146 196,373 Cuadro 1: matriz T de transacciones sectoriales, vector demanda y producción total. Los sectores son: Sector 1: Sector 2: Sector 3: Sector 4: Sector 5: Sector 6: Sector 7: Sector 8: Sector 9: Sector 10: Sector 11: Sector 12: Sector 13: agropecuario minería alimentos textiles madera químicos industria metal mecánica manufacturas construcción electricidad comercio, hoteles y restaurantes servicios financieros servicios En el ejemplo se supone que 1- el gobierno se propone realizar un fuerte inversión en el sector servicios, (sector 13 y así satisfacer la demanda no cubierta) 2- no se debe exceder la capacidad máxima de producción de ciertos servicios que está acotada por su propia estructura. En este ejemplo se acotarán los sectores 1, 3 y 10 (sector agro, alimentos procesados y sector eléctrico) Para analizar el caso se necesita determinar cuál es la máxima inversión a realizar en el sector servicios, así como evaluar los impactos que esta inversión producirá en los otros sectores, por lo que se planteará como un problema de PL, cuyas restricciones son las correspondientes a la matriz IP. Resolución del problema En primer lugar es necesario calcular la matriz A de coeficientes técnicos a partir de la matriz T de transacciones intersectoriales 𝐴 = (𝑎𝑖𝑘 ) = 𝑡𝑖𝑘 𝑗=13 ∑𝑗=1 𝑡𝑗𝑘 +𝑑𝑗𝑘 = 𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑘 Y tomando en cuenta las restricciones estimadas de los tres sectores que en este caso se considerará que: 1- los sectores agropecuarios y el de la producción de alimentos no podrán crecer más que 5% cada uno. 2- El sector eléctrico sólo podría producir energía por un valor máximo de 16 mil millones de pesos utilizando al máximo su capacidad instalada. Esto se traduce en las siguientes ecuaciones x´1 ≤ 1.05 x1 = (1.05) 72,281 ~ 75,900 x´3 ≤ 1.05 x3 = (1.05) 101,087 ~ 106,000 x´10 ≤ 16,000 Y el problema puede plantearse como un problema de programación lineal donde interesa maximizar la producción del sector servicios, x13, sujeto a una serie de restricciones que salen del sistema (𝐼 − 𝐴 )𝑋 = 𝐷 con la excepción del renglón 13 que debe sustituirse por - ∑a13j xj + (1- a13 13 x13 ) – d13 = 0, ya que tanto la producción total del sector como la demanda del sector son incógnitas del problema. El modelo queda: Modelo de PL Sistema de ecuaciones para modelar el problema con programación lineal Max x3 Sujeto a x1 75,900 x3 106,000 x10 16,000 0.893 x1 – 0 x2 - 0.278 x3 - 0.027 x4 - 0.181 x5 - 0.003 x6 - 0 x7 - 0.007 x8 - 0 x9 - 0 x10 - 0 x11 - 0 x12 - 0.001 x13 -0.107 x1 + 0.858 x2 - 0.008 x3 - 0.001 x4 - 0.001 x5 - 0.001 x6 - 0.088 x7 - 0.015 x8 – 0.137 x9 - 0.178 x10 – 0 x11 - 0.002 x12 - 0.006 x13 - 0.031 x1 - 0 x2 + 0.884 x3 - 0.015 x4 - 0.000 x5 - 0.004 x6 - 0 x7 - 0.008 x8 – 0 x9 - 0 x10 – 0 x11 - 0 x12 - 0.002 x13 - 0.003 x1 - 0.001 x2 - 0.004 x3 + 0.854 x4 - 0.014 x5 - 0.001 x6 - 0.003 x7 - 0.003 x8 – 0.001 x9 - 0.001 x10 – 0.002 x11 - 0 x12 - 0.003 x13 - 0.001 x1 - 0 x2 - 0 x3 - 0.001 x4 + 0.870 x5 - 0.005 x6 - 0.005 x7 - 0.013 x8 – 0.030 x9 - 0.001 x10 – 0 x11 - 0 x12 - 0.000 x13 - 0.073 x1 - 0.033 x2 - 0.016 x3 - 0.137 x4 - 0.035 x5 +0.980 x6 - 0.049 x7 - 0.057 x8 – 0.035 x9 - 0.025 x10 - 0.012 x11 - 0.005 x12 - 0.049 x13 - 0.035 x1 - 0.017 x2 - 0.015 x3 - 0.006 x4 - 0.018 x5 - 0.005 x6+ 0.676 x7 - 0.019 x8 - 0.152 x9 - 0.006 x10 - 0.005 x11 - 0.002 x12 - 0.018 x13 - 0.003 x1 - 0.011 x2 - 0.011 x3 - 0.014 x4 - 0.003 x5 - 0.064 x6 - 0.016 x7+ 0.858 x8 – 0.005 x9 - 0.006 x10 - 0.019 x11 - 0.008 x12 - 0.008 x13 + 0 x1 - 0 x2 - 0 x3 - 0 x4 - 0 x5 - 0 x6 - 0 x7 - 0 x8 + 1.0 x9 - 0 x10 - 0 x11 - 0 x12 - 0 x13 - 0.010 x1 - 0.040 x2 - 0.010 x3 - 0.010 x4 - 0.007 x5 - 0.009 x6 - 0.031 x7 - 0.021 x8 – 0.005 x1 - 0.915 x10 - 0.013 x11 - 0.007 x12 - 0.005 x13 - 0.039 x1 - 0.040 x2 - 0.091 x3 - 0.107 x4 - 0.083 x5 - 0.021 x6 - 0.148 x7 - 0.063 x8 – 0.060 x9 - 0.088 x10- 0.972 x11 - 0.009 x12 - 0.037 x13 - 0.020 x1 - 0.014 x2 - 0.010 x3 - 0.021 x4 - 0.020 x5 - 0.008 x6 - 0.030 x7 - 0.022 x8 – 0.041 x9 - 0.023 x10 - 0.064 x11 +0.902 x12 - 0.038 x13 - 0.016 x1 - 0.058 x2 - 0.050 x3 - 0.046 x4 - 0.037 x5 - 0.014 x6 - 0.089 x7 - 0.036 x8 – 0.076 x9 - 0.045 x10 - 0.114 x11 - 0.077 x12 +0.919 x13 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, d13 0 = 33,807 = 4,765 = 85,394 = 20,991 = 4,314 = 17,525 = 13,348 = 7,550 = 60,000 = 2,771 = 116,279 = 56,625 - d13 = 0 A continuación el modelos se introduce a la hoja de cálculo Excel (cuadro 2) para resolverlo utilizando la herramienta Solver del programa que incluye la implementación del método SIMPLEX. Como resultado se obtendrán por un lado los valores de producción de cada sector así como la demanda del sector 13; una segunda hoja de cálculo arrojará el análisis de sensibilidad del problema. (cuadros 3 y 5) Cuadro 2: Modelado del problema para ser resuelto con la herramienta Solver de Excel Cuadro 3: Hoja de resultados obtenidos con Solver de Excel La respuesta obtenida con Solver indica que la solución óptima es invertir en el sector servicios de tal manera que se incremente su producción hasta los 430, 110 millones de pesos. Lo que equivale a un aumento porcentual de Incremento % = Vfinal – V inicial (100) = 430,110 - 193,490 (100) = 122. % Vinicial 193,490 Con lo que la demanda no sectorial de estos servicios se incrementaría en Incremento de la demanda = 345,967 - 130,580 (100) = 165 % 130,580 En el cuadro 4 se observa cual deberá ser la producción total de cada uno de los servicios. Todos ellos se incrementan en diferente medida. Se puede observar que se puede lograr un crecimiento del 122% del sector servicios aumentando la demanda externa de este sector, pero con crecimientos muy inferiores de los demás sectores; sobresalen especialmente los sectores de química, con 26%, productos metálicos y manufacturas con cerca del 15%, y luego el sector eléctrico que es el que limita el crecimiento. Cuadro 4: Crecimiento porcentual de los sectores Sector 1 Agro 2 Minería 3 Alimentos 4 Textil 5 Madera 6 Química 7 Metal 8 Manufactura 9 Construcción 10 Electricidad 11 Comercio 12 S. Financ. 13 Servicios inicial calculado 72,181 72,835 35,046 37,931 100,527 101,242 26,928 27,942 8,160 8,408 48,596 61,366 48,488 55,100 22,708 26,274 60,000 60,000 13,996 16,000 170,380 171,210 92,832 103,486 193,490 430,111 variación % 0.9 8.2 0.7 3.8 3.0 26.3 13.6 15.7 0.0 14.3 0.5 11.5 122.3 El análisis de sensibilidad indica los correspondientes precios sombra de cada restricción. Como cabía esperar, la producción de electricidad es la limitante de este sistema; el precio sombra indica que por cada 100 pesos que se incremente la producción de electricidad, se podrán aumentar la producción de servicios en 33 pesos, mientras que si se decrementa en 100 unidades la demanda externa de electricidad, también se podrían aumentar 37 unidades de servicios. Un resultado menos obvio es el correspondiente a la demanda del sector 3, alimentos, que indica que otra alternativa para aumentar la producción de servicios es aumentando la demanda externa de alimentos, ya que aunque la producción de este sector está limitada, hay excedente que se puede dirigir a la demanda externa, produciendo un efecto multiplicador de 1.14 en el sector servicios. . Los demás parámetros son negativos y muy pequeños comparados con los comentados. Cuadro 5 Resultados del análisis de sensibilidad Cell $Q$158 $Q$159 $Q$160 $Q$161 $Q$162 $Q$163 $Q$164 $Q$165 $Q$166 $Q$167 $Q$168 $Q$169 $Q$170 $Q$171 $Q$172 $Q$173 Final Nombre Valor límite prod agro (1) 72,835 lim prod alimentos (3) 101,242 lim prod electricidad (10) de gob 16,000 sector 1 de gob 33,807 sector 2 de gob 4,765 sector 3 de gob 85,394 sector 4 de gob 20,991 sector 5 de gob 4,314 sector 6 de gob 17,525 sector 7 de gob 13,348 sector 8 de gob 7,550 sector 9 de gob 60,000 sector 10 de gob 2,771 sector 11 de gob 116,279 sector 12 de gob 56,625 sector 13 de gob 0 Precio Restricción incremento decrem sombra permitido permitido 0.00 75900 3,065 0.00 106000 4,758 0.33 16000 10,076 3,506 0.03 33807 2,722 64,683 -0.02 4765 63,528 34,272 1.14 85394 4,186 89,080 0.02 20991 82,260 24,036 0.00 4314 13,209 7,325 0.00 17525 259,513 64,690 -0.02 13348 52,731 42,730 0.00 7550 107,260 23,482 -0.01 60000 128,922 60,000 -0.37 2771 3,166 9,135 -0.01 116279 196,148 180,340 0.00 56625 335,798 97,596 0.00 0 345,968 Conclusiones Este estudio de caso hipotético muestra la capacidad que se tiene para simular posibles escenarios correspondientes a diferentes situaciones que se quieran evaluar, y sus efectos en todos los sectores económicos, utilizando la matriz de insumo-producto correspondiente y la técnica de modelado de la Pprogramación Lineal, herramienta fundamental de la Investigación de Operaciones. El uso de la hoja de cálculo para el manejo de la matriz permite trabajar sin importar el número de sectores, que en el caso de México puede tratarse de una matriz de hasta 80 o 100 sectores según el año o la fuente. El algoritmo Solver permite resolver estos problemas sin necesidad de mayor trabajo para el usuario que la de introducir el modelo. La salida indica la solución óptima y el análisis de sensibilidad para poder realizar la pos-optimización del problema. Bibliografía Kate, T., Villegas, G., Baranda, V.; Matriz de insumo-producto de México 1990; Economía Mexicana, Nueva Época, vol II, núm. 1, enero-junio 1993. Ortuño, P., Cervini, H.; Un modelo de precios y cantidades con técnica de insumoproducto, UAM, 2000. Torres, M., Fuentemayor, R.; Optimización y análisis crítico de una matriz de insumo-producto para Venezuela. (fuente OAI) Servin, C.; Desarrollo de una matriz de insumo-producto para el análisis de políticas económicas, IMTA, 2000 en http://www.researchgate.nrt/publication/242195833_ DESARROLLO_DE_UNA_MATRIZ_INSUMOPRODUCTO_PARA_EL_ANALISIS_DE_POLITICAS _ECONOMICAS