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Guala Valverde, Jorge
Inercia, espacio y tiempo
Fundación Julio Palacios – Consejo Provincial de Educación - Neuquén
Primera Edición, 2001
Segunda Edición 2003
Diagramación, Diseño e Ilustraciones
Cristina Nora Gagliardo - Omar Cabrera
Editorial: Fundación Julio Palacios
Alderete 285 - Neuquén - Argentina
fundacionjuliopalacios@usa.net
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Guala Valverde, Jorge
Inercia, espacio y tiempo
Fundación Julio Palacios – Consejo Provincial de Educación - Neuquén
PRESENTACIÓN
El trabajo científico que se presenta en homenaje al Matemático JULIO REY PASTOR,
implica reconocer que el autor, JORGE GUALA VALVERDE, guarda admiración y
respeto por este Maestro de la Matemática, que conoció en su adolescencia, pero no
pudo entonces analizarlo, como lo hizo ahora a través de su formación académica.
Recuerdo el semblante de fascinación del niño cuando lo enteré de que la Sociedad
Astronómica Británica había honrado al sabio vecino con un cráter en la Luna, cercano
al de Faraday.
Mis escritos sobre la personalidad, vida y obra de Rey Pastor, fueron un desafío para
que se conociera en el Sur de mi país, al eminente matemático, al miembro de la Real
Academia, al conferencista, al cartógrafo, al historiador revisionista, al colonizador de
la Patagonia, al fundador del pueblo donde nací y vivo, llamado General Enrique
Godoy, donde también moró el autor del presente homenaje.
Enseñar. Esa era su vocación; transmitir su formación enciclopédica que, con brillante
inteligencia, constituían los elementos escenciales de ese gran profesor, que dominaba
con profundidad y soltura los recovecos de su especialidad.
Dije en su oportunidad “que este revivir paso a paso su transitar inquieto, me hace
sentir el orgullo de haber sido su discípulo de entrecasa, que lo admiró como a un
maestro, sin perder de vista la importancia de su figura en el contexto mundial, sabiendo
que al ser receptor de sus conocimientos lo era también de su confianza y aprecio,
porque de eso se nutría nuestra relación, junto con el común cariño a esta tierra del sur”.
Si Julio Rey Pastor viviera, hablaría con afecto de JORGE GUALA VALVERDE, por
pertenecer a los cultivadores de la ciencia, a los que exigía la practicidad de su
aprendizaje, pues según sus propias palabras, “nadie como el técnico, que ha de manejar
realidades y no abstracciones, debe ser exigente en claridad y precisión”.
Y es claridad y precisión lo que el autor muestra, al puntualizar las diferencias que
exhiben dos atributos de la materia hasta ahora tenidos por iguales, cuales son la masa
de inercia y la masa gravitatoria.
Antonio Garrido
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INDICE
A MODO DE PRÓLOGO
INTRODUCCIÓN
I
DE ARISTÓTELES A NEWTON
II
SIGNIFICADO DE LA SEGUNDA LEY
III
LA METAFÍSICA DE NEWTON
IV
LAS LEYES DE LA GRAVITACIÓN DE NEWTON
V
ANÁLISIS DIMENSIONAL
VI
LA RELATIVIDAD DE MACH
VII
LA APROXIMACIÓN DE SCHRÖDINGER
VIII LEY DE FUERZAS DE WEBER
IX
MECÁNICA RELACIONAL
X
ALGUNAS CONSECUENCIAS NOTABLES
XI
PRINCIPIOS GENERALES DE EQUILIBRIO
XII
CONSIDERACIONES FINALES
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A MODO DE PRÓLOGO
Julio Rey Pastor ha ejercido inocultable influencia sobre nuestras entonces
juveniles mentes, principalmente a la hora de iniciar los estudios terciarios. Y no influyó
tanto en la ingrata decisión sobre qué estudiar (pues habría que estudiar todo), sino
sobre el cómo hacerlo.
Es cierto que no pocas veces nos sentimos abrumados frente al desafío que
esconde la pretensión de comprender, al menos en parte, lo que a la Humanidad le había
demandado milenios cristalizar. Fue en esas críticas situaciones en las que el aliento del
Maestro nos permitió recobrar fuerzas: “No se arredre el lector ante la imponente mole;
pues la finalidad didáctica preside toda la obra . . . El abundante material . . . permitirá
a profesores y alumnos sacar el máximo fruto de la obra; no para aprender todo su
contenido - frase que sólo tendría sentido para un epítome- pero sí para entenderla y
manejarla...” (*).
No menos real, fue el optimista crédito que dio Rey Pastor a nuestras discutidas
posibilidades de desempeñarnos dignamente en campos sobre los que ninguna tradición
nos amparaba: “El vacío que una veintena de países cultos lamentaban. . . ha sido por
fin llenado con esta obra metódica, en que culmina medio siglo de progreso de la
familia hispano-parlante, alguno de cuyos miembros han ascendido ya desde su pasiva
posición de espectadores en que se vivió durante muchos siglos, a la de actores de ese
progreso, ingresando muy dignamente en la comunión internacional de la ciencia
abstracta, que antaño se creía vedada a nuestra raza. Inexorable anatema divino con
resignados creyentes egregios . . . que los hechos han desmentido rotundamente en
pocos años de trabajo creador intenso, dejando de lado las repetidas divagaciones
histórico-filosóficas sobre el manido tema.”(**)
La deuda de gratitud que el autor tiene hacia el homenajeado motorizó la
elaboración de este opúsculo que, aunque destinado a filósofos, matemáticos, cientistas,
y teólogos, más lo está a las mentes jóvenes, desprovistas de prejuicios.. En el mismo se
aborda una materia clave de la Filosofía natural, cual es el del origen de la inercia, tema
éste que desveló a no pocos pensadores, comenzando por el propio Newton, ha ya más
de trescientos años.
Los recientes descubrimientos muestran que resulta estéril hablar de la inercia,
entidad que se manifiesta localmente sobre la materia, sin a la vez referirse al
continente (llámese espacio, Universo, ...). Y es aquí, precisamente, donde nace el
interminable duelo entre absolutistas y relativistas. Los unos, con su concepción del
espacio absoluto, entidad inmaterial con atributos de deidad, capaz de actuar sobre la
materia sin que ésta pueda perturbarla. Los otros, aferrados al innegable hecho de que, a
(*)
J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C.A. Trejo, Análisis matemático, Volumen II. Sexta Edición *(1965).
Editorial Kapelusz, Buenos Aires.
(**)
J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo, Análisis matemático, Volumen III.
Tercera Edición (1965). Editorial Kapelusz, Buenos Aires.
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escala humana, el movimiento de un cuerpo solo cobra sentido cuando se lo refiere a
otro u otros cuerpos.
No es nuestra intención tomar partido en tal pleito. Nos conformamos con
acercar al lector pistas que le ayuden a comprender el estado actual de la materia.
Lo cierto es que ya no puede aducirse que ningún esfuerzo dirigido a la
comprensión del enigma de la inercia haya tenido éxito. Schrödinger y Assis supieron
dar expresión matemática a los anhelos de Mach. Los contornos del problema se tornan
menos difusos.
Tomando distancia de los doctos contemporáneos de Galileo, a quienes daba
vértigo mirar por el telescopio, hallamos de provecho dar un vistazo sobre la comarca
en su conjunto. Sin emocionalidad ni ansiedades... “En la ciencia, como en los planos
más profundos y vitales de la cultura, ai posteri l´ardua sentenza.”(***)
Mi más sentido reconocimiento al vecino y amigo de antaño, Antonio Garrido.
Gracias a él tuve, muy tempranamente, el raro privilegio de advertir la proximidad de un
gran intelecto, orgullo para la tantas veces denostada comunidad hispano parlante.
Jorge Guala Valverde
(***)
J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo, Análisis matemático, Volumen I. Séptima Edición (1963).
Editorial Kapelusz, Buenos Aires.
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INTRODUCCIÓN
En el capítulo XXIV, TEORÍA
DE LA MEDIDA, del volumen III de
su
tratado
de
ANÁLISIS
MATEMÁTICO, Ejemplo 4, pág. 519
(subrayado nuestro), destaca Rey Pastor
que:
“El concepto de masa inerte
intro-ducido mediante uno de los
principios de la Mecánica newtoniana,
no debe confundirse con el de masa
gravitatoria que interviene en la ley de
gravitación universal.
Se comprende la distinción
recordando los conceptos de masas
magnéticas o eléctricas introducidos por
las leyes de Coulomb. Pero así como la
fuerza (acción dinámica manifestada
por aceleraciones de masas inertes) en
el caso eléctrico es proporcional al
producto de las cargas eléctricas (causa)
y no al de las masas inertes cuya
aceleración provoca (efecto), en el caso
gravitatorio
dicha
fuerza
es
precisamente proporcional a las masas
inertes (por eso, según ya comprobó
Galileo, todos los cuerpos en el vacío
caen en el mismo lugar con igual
aceleración), lo que permite identificar
la masa inerte a la gravitatoria.”
Trataremos de mostrar en las
líneas que siguen, bajo qué condiciones
de orden físico y matemático la aludida
identificación entre ambas especies de
masa es viable. Para lo cual nos
valdremos, entre otras herramientas, del
Análisis dimensional. Porque de que
dos magnitudes sean proporcionales, no
se infiere sin más que las mismas sean
iguales.
Refiriéndose
a
la
proporcionalidad
entre
ambas
magnitudes, dice Julio Palacios*:
“La proporcionalidad de la masa
inerte y de la gravitatoria, ..., es de tal
tras-cendencia que los físicos han
tratado de averiguar su grado de
certidumbre. Newton dedujo que la
diferencia entre la masa inerte y la
ponderal no podía ser superior a 1/1.000
del valor de la masa. Bessel (1883)
redujo dicho límite a 1/6.000 y Eötvos
(1891) a 1/ 1.000.000.000. esta pasmosa
concordancia revela que no puede
tratarse de un hecho fortuito, y uno de
los grandes problemas de la Física
teórica contemporánea es buscar la
explicación de este notabilísimo hecho
experimental ”.
Erwin Schrödinger, creador de la
versión ondulatoria de la Mecánica
cuántica, adelantó (1925) una posible
vía para racionalizar tal pasmosa
correlación.**
En la última década, pudo Andrè
Assis dotar de generalidad y rigor al
pionero esfuerzo de Schrödinger. Logró
Assis, valiéndose de la Ley de fuerzas
de Weber, instrumentar el Principio de
Mach. Quedaron entonces vinculadas
ambas especies de masa, a través de una
función universal que toma cuenta de la
distribución de materia en el Universo
y de la extensión espacial del mismo.***
*
J. Palacios, Física General, Tercera Edición,
Espasa Calpe, Madrid, (1965).
**
E. Schrödinger, Annalen der Physik, 77, 325,
(1925).
***
A.K.T. Assis, Foundations of Physics Letters,
2, 301, (1989). Relational Mechanics, Apeiron,
Montreal, (1999).
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Y es esto lo que, por Los
trabajos de Schrödinger y de Assis
representan una elocuente muestra de la
bondad que, en sí mismo, tienen los
enfoques de un problema dado mediante
aproximaciones sucesivas. La ley de
fuerzas de la gravitación newto-niana
nos ofrece buen ejemplo de ello pues,
al ser representación estática**** de la
realidad, admite ser ampliada, lo que
permite vencer la anterior limitación.
Caminos diferentes, han conseguido los
autores de marras. El primero,
valiéndose
de
consideraciones
heurísticas; el otro, tomando como
punto de partida la ley de fuerzas
presentada con éxito por Wilhelm
Weber (1846) con el objeto de
sistematizar la electrodinámica. Ambos
incluyeron en sus formulaciones la
rapidez con que cambia la separación
mutua de las partículas, y aún la rapidez
con que esta última cambia (velocidad y
aceleración relativas, respectivamente).
El nuevo enfoque enriquece el
primitivo modelo, con lo que no es
necesario
derribar
la
anterior
construcción, como si de obsoleto
tinglado se tratase. Antes bien, el nuevo
regresa al primigenio en el dominio de
las bajas (cuando comparadas con la de
la luz) velocidades relativas.
Todos sabemos que 1 + x + x2/2
x
no es e
. Aunque, en aquellas
situaciones en que x no se aleje lo
bastante de cero, la simple suma es
sombra fiel de la exponencial, más que
suficiente para no pocas aplicaciones.
Pasa con la teoría que nos ocupa algo
similar: la doctrina newtoniana tuvo tal
potencia predictiva, dramáticamente
exhibida con el descubrimiento, por vía
de cálculo, del invisible Neptuno, que
durante siglos bastó para dar respuesta a
los diversos interrogantes que se daban
en su dominio.
Transcurre el tiempo y exigimos
de nuestros modelos mayor potencia
predic-tiva, lo que conlleva la natural
compli-cación de los mismos.
Tampoco debemos creer que la
Fuerza de Weber se corresponde con la
exponencial del anterior ejemplo. Pero
al menos incluye dos nuevos términos,
variables espacio-temporales dotadas de
contenido físico, que contribuyen a
mejorar la descripción de fenómenos
hasta hoy solo explorados en su primer
orden de aproximación.
Y al hablar de mejorar, no nos
estamos refiriendo tan sólo a poder
calcular con más cifras significativas la
posición de un planeta en un instante
dado, por dar un ejemplo.
****
Así denominada por cuanto la única
variable espacial que interesa a la ley de
fuerzas de Newton es la separación instantánea
de las partículas en interacción mutua.
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Las mejoras son tales que, en
ciertos casos, los resultados superan las
expecta-tivas iniciales. Tal situación
ocurre al ampliar, como indicamos, el
modelo newtoniano. Al dar cabida en el
velocidades
mismo
a
las
y
aceleraciones relativas, de poca monta
en el dominio de la dinámica planetaria
(escala de miles de millones de
kilómetros), surge la novedad cuando se
exploran extensiones extra-galácticas
(escala de miles de millones de años
luz). Aparece aquí la anhelada avenida
en la que confluyen dos atributos
dispares de la materia, antes tenidos por
disjuntos, cuales son la inercia y la
gravitación.**
**
“Galileo y Newton dotaron a la materia de
propiedades que se presentan con caracteres
tan distintivos que parecen antagónicos. La
materia es a la vez inerte y gravitatoria, lo cual
da origen a otras tantas magnitudes físicas.
Todo cuerpo, por ser grave, es capaz de hacer
con otros lo que, por ser inerte, no puede hacer
consigo mismo.”
Julio Palacios, Real Academia de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales de Madrid, 59, 461
(1965).
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I.DE ARISTÓTELES
NEWTON
A
Hace ya más de tres siglos,
enseñó Isaac Newton a la Humanidad a
contemplar el Universo con nuevos
ojos. Ojos éstos, que permitieron
ampliar abruptamente el estrecho
horizonte heredado de Aristóteles, y
sostenido con fanática perseverancia
durante más de dos milenios. La materia
sólo puede actuar por contacto sobre la
materia, sentenció allá lejos el
estagirita...
Con una audacia intelectual
sobrehumana, afirmó Newton que todo
cuerpo material atrae a todo otro cuerpo
material, por grande que sea la distancia
que los separa. Esta aseveración, que
constituye la médula de su célebre
Teoría de la Gravitación Universal,
quizás sea
el mayor legado que
recibimos del genio inglés.
Pese al tiempo transcurrido
desde la publicación de los Principios
Matemáticos de la Filosofía Natural
(Principia) en 1687, resulta aún hoy
difícil ponderar el enorme esfuerzo de
abstracción desplegado por Newton
para concebir tamaña idea, cuál es la de
la acción a distancia, sustento último de
su construcción..
La
experiencia
cotidiana
sensible no nos acerca ningún indicio
acerca de la existencia de esa fuerza de
atracción, que denominamos universal
por cuanto ningún cuerpo material
puede librarse de ella. Las fuerzas de
atracción gravitatoria entre objetos de la
escala humana, aún cuando entre ellos
incluyamos montañas, son demasiado
pequeñas para impresionar nuestros
limitados sentidos.
El gigantesco esfuerzo de
abstracción de Newton permitió
unificar, sobre una misma base,
fenómenos en apariencia tan dispares
como lo son la caída de las hojas, la
sucesión de las mareas y la pasmosa
regularidad del movimiento de los
planetas. Desde Newton en adelante,
nuestro propio peso no es otra cosa
que la suma de las fuerzas con que todas
y cada una de las partículas que
configuran nuestro planeta nos atraen
hacia sí.
El credo Aristotélico atribuía los
diversos movimientos observables a una
tendencia
virtud
intrínseca,
o
característica de cada cuerpo, que le
obliga a buscar su lugar adecuado. En
el centro de la Tierra está el lugar de los
sólidos; alrededor, la región de los
fluidos; rodeando a ésta, la de los gases.
Luego se encuentra el sitio asignado al
fuego y, finalmente existe, según
Aristóteles, una región remota, que
corresponde a la quinta esencia, sutil
materia de que están constituidos los
astros.
Las ideas de Aristóteles
parecieron tan lógicas y asidas a la
razón que no sólo tuvieron aceptación
general en su momento: aún hoy es
frecuente decir, de algo que es evidente,
que cae por su propio peso.
También fue capaz Newton de
precisar el significado de la inercia,
entidad que hace que los cuerpos se
resistan a alterar su estado de
movimiento. “ Debido a la inercia de la
materia, un cuerpo no abandona sin
dificultad su estado de reposo o de
movimiento. Por lo cual esta vis insita
puede llamarse, muy significativamente,
vis inertia, fuerza de inactividad. Pero
un cuerpo sólo ejerce esa fuerza
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cuando otra fuerza impresa en él trata
de alterar su estado...”. Is. Newton,
Definición III, PRINCIPIA, 3ª Ed.
Londres, 1725. La conexión entre
fuerza impresa e inercia queda
cuantitativamente expresada en la
Segunda ley del movimiento de Newton,
Fdt = d(miv). *
La Segunda ley afirma que cuando
la fuerza impresa, F, actúa durante el
lapso dt sobre un dado cuerpo, éste
experimenta una variación en su cantidad
de movimiento, miv, que es proporcional a
dicha fuerza y a la duración de la acción.
Newton ponderó la cantidad de
movimiento mediante dos atributos: por
un lado la masa de inercia, mi ,
característica de cada cuerpo en particular,
y por el otro la velocidad con que el
cuerpo se mueve, que no es propiedad del
cuerpo sino circunstancia accidental. La
masa de inercia es una propiedad
directamente ligada a la extensión de la
materia: al duplicar el volumen de un
cuerpo homogéneo, su masa inercial
resulta también duplicada.
Como es sabido, las masas inertes
se suman por acumulación: de la reunión
de dos cuerpos de masas mi1 y mi2 resulta
un tercer cuerpo cuya masa es mi1 + mi2 .
Si los cambios de movimiento no alteran
la masa de inercia del cuerpo forzado, la
segunda ley toma la habitual forma
*
Es habitual fijar la posición de un punto con
relación a un sistema arbitrario de coordenadas
cartesianas dextrorsum OXYZ, mediante el
vector r (vector de posición) que va desde el
origen de coordenadas al punto en cuestión.
También las derivadas temporales de la
posición, velocidad y aceleración, son vectores
con lo que la fuerza resulta ser un vector, en
virtud de la segunda ley del movimiento.
F = mia
(1)
expresión en la que a ≡ dv/dt = d2r/dt2 es
la aceleración del cuerpo y mide la
rapidez con que la fuerza impresa cambia
la velocidad del mismo.
Para dar sentido al término
velocidad es menester referir, instante a
instante, la posición del móvil a un
sistema de coordenadas dado. Como tal
operación, de naturaleza geométrica, es
arbitraria, habrá infinitos sistemas de
referencia aptos para localizar las
sucesivas posiciones del cuerpo. Por
consiguiente, estas posiciones son
relativas al sistema escogido. Con ello son
también relativas las velocidades y
aceleraciones del cuerpo en movimiento.
La validez de la Segunda ley del
movimiento está restringida a un conjunto
muy particular de sistemas de referencia,
los llamados sistemas inerciales (aquellos
en que
se verifica la ley de inercia de Galileo*).
Si So es un sistema inercial, lo será
también todo otro sistema S que se mueva
uniformemente y sin rotaciones con
relación a So.
Sea ro el vector que define, en un
instante dado, la posición de un punto en
So y r el vector de posición del mismo
punto referido, en el mismo instante, al
sistema, S. Llamando R al vector que, en
el mismo instante, conecta los orígenes de
ambos referenciales se cumplirá: r + R =
ro Derivando respecto del tiempo resulta
v + V = vo y a = ao , dado que en nuestra
hipótesis es dV/dt = 0. Con esto resulta,
evidentemente, F = Fo .
*
En tanto no sea forzado, un cuerpo persevera
indefinidamente en su estado de reposo o de
movimiento uniforme. Primera ley del
movimiento de Newton.
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De este modo, La Segunda ley del
movimiento de Newton, ecuación (1), es
invariante frente a los cambios de
sistemas de referencia, en tanto éstos sean
inerciales, circunstancia que se conoce
como Principio de la relatividad de
Galilei.
La Segunda ley, cuando referida a
ejes solidarios de la Tierra, constituye una
excelente aproximación para fenómenos
de corta duración (en relación al período
de rotación diurna), que acaecen en
recintos de pequeña extensión espacial
(cuando comparados con la extensión de
nuestro planeta). Ya para describir el
movimiento de proyectiles de largo
alcance, la dinámica de los vientos y la
rotación del plano de oscilación del
péndulo de Foucault, la expresión (1) no
representa los hechos observados, cuando
los movimientos se refieren a ejes fijos en
nuestro planeta. Recobra su validez la
segunda ley cuando se refieren los
movimientos a ejes fijos en el espacio
(sistema de las estrellas fijas). Este hecho,
que deriva de la observación, no tiene
explicación alguna en la Física
newtoniana y ha de considerarse, por
tanto, como una coincidencia fortuita.
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II.- SIGNIFICADO DE LA
SEGUNDA LEY
La Segunda ley, ecuación (1),
condensa una importantísima propiedad
física de todos los sistemas materiales, a
saber:
Todo cuerpo sometido a la acción de
una fuerza impresa (fuerza externa,
como se ha dado en llamarla
reacciona
modernamente)
oponiéndose a la perturbación.
La reacción es, precisamente, la
fuerza de inercia, -mia , de igual cuantía
y dirección que la fuerza impresa,
aunque de sentido opuesto. Aquí mi
simboliza la masa inercial del cuerpo.*
Un cuerpo cualquiera se mueve
con una velocidad V constante, en un
sistema de referencia inercial. Esta
situación corresponde a la ausencia de
fuerzas externas sobre él o al hecho de
que la suma de todas las fuerzas
externas, Fj , que actúan sobre el
mismo,
cancelen
sus
efectos.
Simbólicamente,
F1 + F2 +. . .Fn = 0 ; V = const.
*
En la física newtoniana, la masa inercial se
considera una magnitud primaria, como lo son
también el espacio y el tiempo. Esto significa
que dichas magnitudes no pueden ser
representadas en términos de otras ya
conocidas. La velocidad, en cambio, es una
magnitud secundaria que se define en términos
de dos primarias, espacio y tiempo. Para
asegurar la igualdad de las masas inertes de
dos cuerpos diferentes, bastará dotarlos de la
misma velocidad y verificar que son iguales los
efectos que producen al ser detenidos.
Supongamos ahora que
las acciones externas no estén
balanceadas como en la situación
1.
anterior. En tal caso, la suma vectoriali
de todas las fuerzas externas admite una
resultante, FR , responsable de que el
cuerpo adquiera la aceleración a. Se
sustancia sobre el cuerpo acelerado una
reacción inercial dada por la fuerza fi
= - mia. Nuevamente se cumple la
ecuación de balance**
FR + fi = FR – mia = 0 ; a ≡ dV/dt ≠ 0
(2)
en un todo de acuerdo con la ecuación
(1). La figura 1 muestra un bloque que
desliza, sin aceleración, sobre un plano
horizontal, solicitado por la fuerza
externa F, de cuantía suficiente para
equilibrar la fuerza de rozamiento fr . La
figura 2 muestra el mismo bloque,
solicitado por una fuerza externa que
supera a la de rozamiento, situación en
la que aparece la reacción inercial. En
ambos casos se satisface la ecuación (2)
que, en adelante, denominaremos
condición de equilibrio dinámico.
Las fuerzas de inercia tienen un
carácter ciertamente desconcertante: no
son fuerzas de interacción en el sentido
co-rriente. Las fuerzas de interacción
presupo-nen la existencia de un sistema
constituido al menos por dos partes,
nítidamente dife-renciables entre sí,
sometidas a sus acciones mutuas. Tal
ocurre, por caso, con la interac-ción
gravitacional. El Sol atrae a la Tierra;
simultáneamente, la Tierra atrae al Sol
con la misma intensidad que aquél a
ésta.
**
La segunda ley del movimiento, interpretada
en términos de reacciones inerciales, fue ya
escrita en la forma dada por (2) por J. D’
Alembert en 1742.
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a=0
fr
Fig. N° 1
F
m
a
-m a
F
m
Fig. N° 2
fr
Las fuerzas de inercia tienen existencia efímera, ya que desaparecen ni
bien se uniformiza el movimiento. No
obstante ello, sus efectos son tan reales
como los que dimanan de cualquier
fuerza de interacción: producen
deformaciones,
cambian
pesos
aparentes, destruyen cuerpos en rápida
rota-ción, provocan el ensanchamiento
ecuatorial de nuestro planeta, encorvan
la superficie del agua en el célebre
balde de Newton ....
Al no ser capaces de reconocer
la otra parte de un hipotético sistema
capaz de ejercer acciones sobre la
materia acelerada, sustanciando así las
fuerzas de inercia, debemos resignarnos
a calificarlas de ficti-cias. Situación
angustiante, que no alcanza a satisfacer
nuestros hábitos mentales, desde el
momento en que admitimos que una
entidad ficticia provoca efectos
tangibles.
Al no ser fuerzas de interacción,
las de inercia no satisfacen la Tercera
ley del movimiento de Newton,
Principio de acción y reacción, primera
e importantísima ley de simetría del
Universo.
Para cortar una cuerda es
menester aplicar sendas fuerzas sobre
sus extremos. Una manera cómoda de
hacerlo es fijar a un muro uno de los
extremos y tirar del otro (figura 3).
Aquí todas las fuerzas involucradas son
de interacción: el hombre jala un
extremo de la cuerda, el muro responde
con una fuerza igual y opuesta. Cada
extremo de la cuerda queda sometido a
dos fuerzas iguales y contrarias. Para un
esfuerzo dado, las fuerzas aplicadas
superan la resistencia de la cuerda y ésta
se corta.
La figura 4 muestra la misma
cuerda rematada ahora en uno de sus
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extremos por un bloque de masa mi que
reposa sobre una tabla horizontal. La
cuerda no se corta cuando con ella se
desplaza el bloque con velocidad
constante. Impártase ahora un súbito
tirón al extremo libre de la cuerda. El
bloque es acelerado en la dirección de la
cuerda. Se engendra sobre aquél la
fuerza de inercia, opuesta al cambio de
movimiento. Esta fuerza es transmitida
por la cuerda a la mano que dio el tirón.
La mano reacciona al tirón ejercido por
la cuerda, con lo que ésta queda
sometida a la acción de dos fuerzas
iguales y opuestas, como en el caso
anterior. Cuando el producto mi a
supere la resistencia de la cuerda, esta
se cortará. Una fuerza ficticia es ahora
la responsable de un efecto real.
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III.- LA METAFÍSICA
NEWTON
DE
Como es dable imaginar, el más
profundo filósofo, matemático y físico
de todos los tiempos no podía eludir la
crucial pregunta: ¿ Cuál es, en
definitiva, el origen de las fuerzas de
inercia?. ¿Qué entidad es la responsable
de la génesis de las reaccio-nes
inerciales sobre la materia acelerada?.
Para intentar dar respuesta a estos
profun-dos
interrogantes.
Newton
imaginó diver-sos dispositivos y llevó
algunos de ellos al terreno de la
experimentación.
Uno
de
tales
dispositivos es el balde de agua en
rotación: Un balde lleno con agua se
pone a rotar entorno de su eje de
simetría (figura 5). Al principio gira el
balde, sin arrastrar al agua, la que
mantiene su superficie plana. Gradualmente, el movimiento del balde es
trasmitido, gracias a las fuerzas de
viscosi-dad, a las partículas de agua
contiguas, que también entran en
rotación. Tras un cierto lapso, el
movimiento de rotación es trans-mitido
a la totalidad de la masa de agua;
continente y contenido rotan ahora con
la misma velocidad angular; la
superficie del agua se encorva,
derramándose parte del fluido.
Al rotar la masa de agua se
engendran fuerzas que tienden a alejarla
del eje de rotación (fuerzas centrífugas).
En vano buscó Newton algún
agente material al que referir el
movimiento de rotación, para poder así
explicar el inocultable fenómeno
observado, por lo que fue compelido a
admitir la existencia del espacio
absoluto, entidad anterior a la materia e
independiente de ésta. De ahora en más,
podrían calificarse como de absolutas o
relativas las diversas rotaciones
observables, juzgándolas por sus efectos
dinámicos. No es la rotación del agua
con relación al balde lo que cuenta,
afirma correctamente Newton. Tampoco
lo es la rotación del agua con relación a
nuestro planeta ni a ningún otro sistema
material imaginable, prosigue. Es la
rotación absoluta del agua la
responsable de la aparición de las
fuerzas centrífugas sobre cada porción
del agua, responsables éstas de la
deformación de su superficie.
Y
es
en
este
punto,
precisamente, donde Newton deja el
terreno de la Física para internarse en
los laberintos de la Metafísica. Pues el
espacio
absoluto,
infini-tamente
extenso, imperturbable, anterior a la
materia, es una entidad que, por sus
atributos, está más allá del plano físico:
puede actuar sobre la materia bruta,
aunque ésta sea incapaz de hacer lo
propio con él.
He aquí una abrupta ruptura de
la simetría en las interacciones. Un
verdadero salto mortal. Salto éste que
cosechó no pocos críticos, ya en vida de
Newton. Sus contemporáneos Leibniz y
el obispo Berkeley rechazaron de plano
las ideas newtonianas sobre el carácter
absoluto del movimiento. Para estos
pensadores, el movimiento de un cuerpo
material sólo cobra sentido cuando se lo
vincula a otros cuerpos materiales. Es
por ello que merecen ser considerados
como los precursores del moderno
relativismo.
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IV.- LAS LEYES DE LA
GRAVITACIÓN DE NEWTON
Dos
son
las
leyes,
independientes entre sí, sobre las que
Newton edificó su admirable teoría de
la gravitación: la ley de fuerzas y la ley
de proporcionalidad entre las masas
gravitatoria e inercial.
La ley de fuerzas, expresada en
términos de masas gravitatorias, se
escribe como
F21N = - (mg1 mg2 / r2 ) r̂
(3)
donde F21N simboliza la fuerza que el
cuerpo 2, supuesto puntual, ejerce sobre
el cuerpo 1, también puntual*. El índice
N patentiza el hecho de que estamos
operando dentro del marco de la teoría
newtoniana de la gravitación.
Las masas que intervienen en (3)
son las masas gravitatorias de los
cuerpos, responsables de la interacción.
Estas masas nada tienen que ver, a
priori, con las masas inerciales que
aparecen en la Segunda ley, ecuación
(1). Debe considerarse la masa
gravitatoria como una magnitud
primaria, que hasta ahora no puede
derivarse de otras magnitudes ya
conocidas. Lo apropiado, para evitar
*
Diremos que dos cuerpos son puntuales
cuando cualquiera de sus dimensiones lineales
es mucho menor que la distancia que los
separa. Newton intuyó la idea de una atracción
universal cuando tenía poco más de veinte años.
La publicación de su teoría se demoró debido a
que antes debió probar que un cascarón
esférico, con materia
uniformemente
distribuida sobre él, atrae a otro cuerpo
exterior como si toda su masa estuviese
concentrada en su centro. Para ello debió crear
el cálculo infinitesimal.
confusiones triviales, hubiese sido
denominarla carga gravitatoria. En tal
sentido, tiene la masa gravitatoria un
estatus similar al que tienen la carga
eléctrica y el espín.
En la ecuación (3), r = r12 ≡ r1
– r2 es la distancia que, en el instante
considerado, separa ambos puntos
materiales. El símbolo r̂ = (r1 – r2 ) / r
representa el vector unitario que apunta
desde 2 hacia 1. El signo menos indica
que la fuerza que 2 ejerce sobre 1 tiene
sentido opuesto al del vector unitario.
Dado que r12 = - r21 , resulta
inmediato que la fuerza de atracción
universal satisface la tercera ley de
Newton en su forma fuerte, F12 = - F21 .
Para fijar las posiciones
instantáneas de los cuerpos en
interacción, rk , es menester adoptar un
sistema arbitrario de coordenadas, por
lo que estos vectores de posición
resultan ser magnitudes relativas al
particular referencial escogido. El
vector (r1 - r2 ), y con él la separación
instantánea de los cuerpos son, por el
contrario, independientes del referencial
adoptado. Es por ello que la fuerza
dada por (3) tiene el mismo valor para
cualquier observador (esto es, resulta
ser invariante frente a cambios de
sistemas de referencia). La ley de
fuerzas constituye, por tanto, la primera
ley universal relativista que aparece en
la Historia de la Física.
Cuando aplicamos la ecuación
(3) a la interacción entre nuestro planeta
y un cuerpo de prueba de masa
gravitatoria mg obtenemos el peso de
dicho cuerpo,
Peso =( mgT mg )/ R2
(4)
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donde mgT y R simbolizan, respectivamente, la masa gravitatoria de la Tierra
y su radio medio**.
Antes de la aparición de
Newton, ya Galileo Galilei había
probado que cuerpos de diferente
tamaño y composición alcanzan el suelo
casi al mismo tiempo cuando se los
libera, desde la misma altura, a la
acción de la gravedad. Certeramente,
atribuyó
Galilei
las
pequeñas
discrepancias de observación a la acción
perturbadora de la atmósfera. Este
hecho intrigó a Newton, quien decidió
someterlo
al
veredicto
de
la
experimentación. Para ello construyó
péndulos de lenteja hueca, en las que
alojó materiales de la más diversa
composición.
Es fácil demostrar, con el auxilio
de las ecuaciones (1) y (4), y
advirtiendo que es el peso la fuerza
responsable de la caída, que el período
de oscilación del péndulo de longitud L
viene expresado, para pequeñas
oscilaciones, como
T = 2 π [ (L R2/mgT)(mi / mg )
]1/2
(5)
Para una dada localización
terrestre, y si no se modifica la longitud
del péndulo, las cantidades encerradas
en el primer paréntesis se mantienen
invariables. De este modo, cualquier
variación observada en el período de
oscilación, al cambiar los cuerpos
**
Basta considerar una esfera como
superposición de infinitos cascarones esféricos
portadores
de
materia
uniformemente
distribuida, para demostrar que la esfera atrae
a un cuerpo material externo como si toda su
masa estuviese localizada en su centro. El
resultado es válido para cualquier distribución
de materia cuya densidad sólo sea función del
radio.
alojados en la cavidad del péndulo,
deberá atribuirse por entero a
diferencias en el cociente encerrado en
el segundo paréntesis.
Newton no pudo encontrar la
menor diferencia entre los períodos de
oscilación, trabajando dentro de una
incerteza experimental relativa cercana
a una parte en mil. En otras palabras, lo
que verificó fue la proporcionalidad
entre ambas especies de masa,
mg / mi = C ; (mg – C mi )/ mg ≈ 10
–3
expresión que resume la segunda de las
leyes de la gravitación de Newton y
permite eliminar las masas gravitatorias
en la primera de ellas, con lo que
resulta:
F21N = C2 (mi1mi2) / r2 ≡ G(mi1mi2) / r2
donde C2 ≡ G = 6,67x10 -11 m 3 kg –1 s –2
= 6,67x10 –8 cm3 g –1 s -2 simboliza la
constante de la gravitación universal,
medida en las unidades de los sistemas
MKS y CGS respectivamente. La ley de
proporcionalidad (verificada ya con una
incerteza experimental relativa inferior
a 10 -11 ) se expresa actualmente en la
forma:
mg =
G mi
(6)
ecuación que permite formarnos idea
del “tamaño” de las unidades de masa
gravitatoria en términos de las más
familiares unidades de masa inercial. De
este modo, la unidad CGS de masa
gravitatoria estará contenida en
cualquier cuerpo que contenga 1 / G
≈ 4x10 3 g, esto es, unos 4 kilogramos.
Insertando (6) en (5) se obtiene
la bien conocida fórmula T = 2 π
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/ L / g , donde g ≡ GmiT /R2 ≈ 10 m1s
-
2
Por
depender
la
fuerza
gravitatoria como la inversa del
cuadrado de separación entre las
partículas, la fuerza que un cascarón
esférico, portador
de materia
uniformemente distribuida, ejerce sobre
V.- ANÁLISIS
DIMENSIONAL
La segunda ley del movimiento,
ecuación (1) permite definir la unidad
de fuerza coherente con el conjunto de
unidades arbitrariamente escogido como
base*.
En Mecánica, los sistemas MKS
(metro, kilogramo, y segundo) y CGS
(centímetro, gramo, segundo) son
ampliamente
empleados
en
la
actualidad. Volviendo a la ecuación (1),
ésta enseña que la unidad MKS de
fuerza estará materializada en aquel
dispositivo que, cuando aplicado a un
cuerpo de masa inerte igual a 1
kilogramo (kg), libre de toda otra
acción, le imparta una aceleración de
un metro por segundo, por cada
segundo transcurrido, locución esta
*
Para formar la base de un sistema de
unidades basta considerar el número mínimo de
magnitudes independientes entre sí, suficientes
para el desarrollo de la teoría. En Mecánica,
una base tridimensional es suficiente, y es
costumbre conformarla con las magnitudes
longitud (L), tiempo (T) y masa inercial (M).
Esta base resulta ser insuficiente en
Electromagnetismo, por lo que debe ampliarse
con una magnitud de naturaleza eléctrica, que
puede ser la carga eléctrica o la corriente.
un punto material contenido en él es
nula. Este importante teorema tuvo
enorme peso en el desarrollo de la
electrostática, en particular en la
formulación de la ley de fuerzas de
Priestley-Coulomb,
entre
cargas
eléctricas.
última que se abrevia con el símbolo (1
m/ s2).
Como es sabido, un sistema de
unidades es coherente con un conjunto
de ecuaciones cuando éstas son
satisfechas al reemplazar los símbolos
que en ellas figuran por las respectivas
medidas. Hizo notar Fourier que las
medidas de una cantidad dada están en
relación inversa con las unidades
empleadas, aseveración que se conoce
hoy con el nombre de Principio
Métrico,
(Cantidad) = medida x (Unidad)
(Z) = Z .UZ = Z´.U´Z = . . Z(n).U(n).
(7)
El Análisis Dimensional, “...
teoría
matemática
de
carácter
puramente algebraico que trata de las
funciones
dimensionalmente
homogéneas...”, en palabras de Rey
Pastor, se desarrolla desde el momento
en que Fourier llama la atención sobre
el hecho de que cada magnitud tiene
una dimensión que le es propia. Con tal
aseveración se abre el camino para
aplicar a las magnitudes el concepto
geométrico de dimensión. Tal propósito
fue logrado por San Juan, quien
demostró que los sistemas de
dimensiones usados en cada capítulo de
la Física forman grupos abelianos con
base finita, con lo que resulta factible
sistematizar
las teorías físicas.
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Resultan así clasificados los sistemas
de unidades y sus transformaciones.
Sobre estas bases pudo edificar
Palacios una sólida teoría de las
dimensiones físicas, dando rigor a las
ideas de Fourier. En esta teoría, los
exponentes dimensionales son las
componentes de un vector característico
de cada magnitud. La existencia de
dichos vectores está condicionada a la
existencia de leyes físicas que ligan
entre sí las magnitudes involucradas.
El vector dimensional tiene
existencia con independencia de la base
adoptada para su representación, con tal
de que ésta sea completa. En virtud de
(1) los exponentes dimensionales de la
fuerza son, en los sistemas MKS y CGS,
(1,1,-2) con lo que la fórmula
dimensional de la misma toma la
forma:
[F] = L1M1T –2
(8)
expresión en la que el paréntesis
cuadrado* simboliza el cociente entre
las unidades de fuerza en dos sistemas
coherentes, [F] = UF / U´F . Los
símbolos restantes tienen idéntico
significado: L ≡ UL / U´L ; M ≡ UM /
U´M ; T ≡ UT / U´T. De este modo, la
ecuación (8) no es más que una simple
igualdad algébrica entre números reales
positivos, que justifica el cálculo con
unidades. Así, las unidades MKS y CGS
de fuerza están vinculadas, en virtud de
(8), por UF // U´F = (1m /1cm)1 (1kg
/1g)1 (1s /1s) –2 = 105, lo que significa
que la unidad MKS (newton, N) es cien
*
Notación introducida por Maxwell, aunque con otro
sentido. Maxwell simboliza con [ ] unidades, con lo
que sus fórmulas dimensionales, aunque formalmente
correctas, quedan operacionalmente indefinidas.
mil veces mayor que la unidad CGS
(dina).
De la primera de las leyes de la
gravitación de Newton y de la ecuación
(8) se deduce la fórmula dimensional de
la masa gravitatoria,
[mg] = L 3/2 M ½ T –1
(9)
en función de las unidades escogidas
para formar la base. En virtud de la
ecuación (9), la unidad MKS de masa
gravitatoria resulta ser (100) 3/2
(1000)1/2(1)-1 = 10 x 10 4 ≈ 31.623
veces mayor que la unidad CGS
Ciertos autores desean llevar el
significado de la ecuación (6) más allá
del que realmente tiene, buscando una
completa identificación entre ambas
especias de masa. Esto obliga,
necesariamente, a lograr que la medida
de la constante de la gravitación valga
uno. Vimos ya que ello es imposible en
los sistemas MKS y CGS en uso
corriente.
Para
lograr
la
apetecida
identificación, es menester modificar al
menos alguna de las unidades que
conforman la base, para así lograr que
sea G´= 1. Partiendo del sistema MKS,
en el que la medida de G es 6,67x10 –11
, podríamos modificar, a modo de
ejemplo, la unidad de longitud,
conservando el kilogramo y el segundo.
Denominaremos U´L a la nueva unidad
de longitud. La fórmula dimensional de
G es [G] = L3 M –1 T –2 . Dado que, en
virtud del principio métrico, las
medidas de una misma cantidad están
en razón inversa de las unidades será,
en el caso que nos ocupa: G / G´ = G/1
= (U´L / UL)3 , de donde se infiere que
U´ = 3 G U ≈ 4,055x10 -4 metros,
L
L
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esto es, poco menos de medio
milímetro.
Si, conservando el centímetro y
el gramo del sistema CGS, buscamos la
nueva unidad de tiempo que haga G´=
1 resulta ser U´ = (1/ G )U = 104 /
T
T
6,67 U ≈ 3872 segundos.
T
Nótese que, aún cuando
logramos hacer G´ = 1 mediante una
conveniente elección de unidades, no
queda la constante universal de la
gravitación despojada de su dimensión.
En el primer caso será G´ =
1(U´L)3 kg-1 s-2 , en tanto que en el
G´ = 1cm3 g -1(U´T)
segundo valdrá
–2
.
Rey Pastor llama fundamentales
a aquellas magnitudes escogidas para
conformar la base: “ en un determinado
conjunto de fenómenos físicos queda
establecido un sistema de magnitudes
fundamentales, si en ellas son independientes entre sí los factibles cambios de
unidad de medida regular”.
Agrega
luego,
subrayado
nuestro, “ La estimación de las
magnitudes que podamos tomar como
fundamentales en el caso que se
investigue...es importantísima para la
aplicación
eficaz
del
análisis
dimensional; esta estimación está
ligada
íntimamente
con
la
consideración
de
las
variables
dimensionadas (incluyendo en ellas las
constantes físicas) que deban intervenir
en el caso estudiado.”.
La aseveración de Rey Pastor es
de importancia capital, como lo pondrá
de manifiesto el siguiente análisis,
extractado de la obra de Palacios:
“ Trataremos, por vía de
ejemplo, de hallar la fórmulas
dimensionales de las magnitudes que
intervienen en la Dinámica newtoniana
del punto material. Hay en esta teoría
tres ecuaciones fundamentales, a saber:
f = mi d2s / dt2 ; f = G(mi2/s2) ; mg =
Gm
i
que relacionan cinco magnitudes
prima-rias: s, mi ,t, f, mg , y la constante
de la gravitación, G.. .Podrán
escogerse para formar la base tres
magnitudes cualesquiera con tal de que
sean indepen-dientes... por lo que
cualquier
combinación
ternaria
formada con las magnitudes dadas
puede servir para formar la base, con
excepción de las dos siguientes: (mi , G,
mg) y (s, f, mg ).
Se ha convenido en adoptar en
Mecánica la base (s, mi, t) y en sustituir
los símbolos [s], [mi], [t] por las letras
L, M, T.”
Queda claro entonces que en el
problema de averiguar la multiplicidad
de una base apta para la Mecánica, debe
incluirse, junto con las magnitudes
primarias intervinientes, la constante de
la gravitación. Agrega más adelante
Palacios, refiriéndose al empleo de
bases mutiladas:
“La supresión de alguna de las
constantes ineludibles en las ecuaciones
fundamentales
lleva
consigo la
reducción en una unidad de la
multiplicidad de la base, con lo que
todo el sistema di-mensional resulta
alterado. Es como si en un espacio
vectorial sólo se considerase de cada
vector su proyección sobre el subespacio que resulta de prescindir de
una dimensión. Al mutilar la base,
puede suceder que dos magnitudes que
tenían distinta dimensión en la base
completa,
aparezcan
como
equidimensionales en la mutilada...
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Quienes creen haber realizado valiosos
hallazgos
al
formar
sistemas
dimensionales con bases mutiladas
están en el caso de quien opinase que
viendo las sombras proyectadas sobre
una
pared,
se
adquiere
más
información que viendo la escena en
relieve”.
A título de ejemplo, si se
suprime la constante de la gravitación
en el planteo de las ecuaciones
fundamentales de la Mecánica, basta
considerar una base bidimensional, que
podría ser bien podría ser la (L, T).
Cerramos
este
capítulo
recordando que Bridgman, quien
afirmaba que el Análisis Dimensional
no debía ser utilizado por bosquimanes
sino por físicos expertos, creyó
encontrar en esta disciplina una
herramienta capaz de establecer ciertas
limitaciones necesarias en la forma de
cualquier relación entre las variables de
un sistema físico.
Correcto, a pesar de que luego se
internó en los senderos de la Metafísica
al agregar: “aún cuando sea imposible
dar una
información precisa y
detallada
de
las
ecuaciones
fundamentales a partir de las cuales
habría de hallarse la solución”.
Rematando con la aseveración de que “
el fundamento del Análisis dimensional
se halla en el requisito del sentido
absoluto de las magnitudes relativas”.
Atinadamente objeta Palacios
que si estas afirmaciones fuesen ciertas,
“ el Análisis dimensional permitiría
hacer previsiones necesarias sobre
fenómenos cuyas leyes nos son
desconocidas. Estaría por encima de la
experiencia y de la teoría, y su estudio
debería corresponder a la Metafísica”.
Irrefutable objeción, compar-tida por
Rey Pastor y por nosotros mismos.
Al cobrar los paréntesis de
Maxwell un significado preciso, pues
no son ya unidades sino cocientes entre
unidades de magnitudes homogéneas
(números reales positivos) pierden las
fórmulas dimensio-nales todo atisbo
esotérico, ganando así claro significado
operacional.
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VI.- LA RELATIVIDAD DE
MACH
El físico y filósofo Ernst Mach
retomó y agudizó las críticas que del
espacio absoluto hicieron en su
momento Leibniz y Berkeley. Dos
hechos intrigaron a Mach a lo largo de
su vida:
-
La notable inercialidad de los
sistemas
referenciales
que
resultan de tomar ejes anclados
en la materia distante del
universo (estrellas lejanas en sus
días, galaxias remotas en la
actualidad).
-
La asombrosa proporcionalidad
existente entre las masas de
inercia
y gravitatoria de
cualquier partícula material
conocida.
Para Mach estas singularidades
no podían ser la manifestación de
circuns-tancias fortuitas. Antes bien,
tenían que ser consecuencia de una
profunda, aunque hasta el momento
ignorada, interconexión entre el Cosmos
en su totalidad y cada uno de los
cuerpos materiales. Así, refiriéndose al
balde de Newton, llegó a decir: “Rótese
el cielo de las estrellas fijas y pruébese
entonces la ausencia de fuerzas centrífugas”.
Conducido
por
estas
inocultables evidencias experimentales,
Mach sugirió lo que hoy, con cierta
vaguedad, se ha dado en llamar
Principio de Mach. El mismo podría
enunciarse de la siguiente manera:
Las fuerzas de inercia (-ma de la
segunda ley, centrífuga, de Coriolis,
etc.) se manifiestan sobre cualquier
cuerpo
material
cuando
éste
experimenta cambios de velocidad con
relación a la totalidad de la materia
que compone el Universo, tomado éste
globalmente.
Lo que Mach propone es, en
definitiva, sustituir el metafísico espacio
absoluto de Newton por un sistema de
referencia material, accesible por vía
experimental.*
Preconiza,
en
consecuencia, una física relativista.
Resulta obvio que para ser viable una
ligazón dinámica partícula-Cosmos
como la propuesta, es necesario admitir
la existencia de acciones instantáneas a
distancia. Atendiendo a las vastas
dimensiones del Universo explorado, de
varios miles de millones de años luz,
cualquier interacción que tuviese una
velocidad finita de propagación no
podría sustanciar, sin retardo aparente,
las fuerzas de inercia.
Lamentablemente, no fue capaz
de volcar Mach sus ideas en un
formalismo matemático que las tornase
operativas. Ni siquiera aventuró cual
podría ser la natu-raleza de tal
interacción. En consecuencia, el
principio que lleva su nombre pasó a
ser, por décadas, una de las tantas
*
No está de más advertir que, en cuanto a sus
propiedades métricas, el espacio de Mach no
difiere del espacio de Newton. El espacio que
conviene a la Mecánica clásica, en palabras
de Lord Rutherford, “ es, a todo intento y
propósito, euclidiano. Groseramente hablando,
esto quiere decir que el Teorema de Pitágoras
puede ser comprobado experimentalmente”
.También el número π es un atributo del
espacio tri-dimensional euclidiano y resulta de
dividir la medida de la longitud de cualquier
circunferencia inscrita en un plano por la
medida de su diámetro, siempre que ambas
mediciones se lleven a cabo con la misma
unidad.
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proposiciones de las cuales no puede
afirmarse que sean verdaderas o falsas.
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VII.- LA
APROXIMACIÓN
DE SCHRÖDINGER
Aunque se hicieron varios
intentos por implementar las ideas de
Mach, nos restringiremos a comentar el
notable, aunque poco difundido, trabajo
presentado en 1925 por E. Schrödinger,
en Annalen der Physik. En el mismo
comienza hacien-do una crítica de la
Mecánica clásica, puntualizando el
conocido hecho de que sus fundamentos
no podían dar explicación alguna del
porqué de la extraordinaria inercialidad
de los sistemas de referencia anclados a
las estrellas fijas. Agrega que tampoco
la Teoría General de la Relati-vidad
satisface las exigencias de Mach.
Refiriéndose a la precesión de la órbita
de Mercurio, calculada por dicha teoría
con asombrosa precisión, se pregunta:
“Con respecto a qué, de acuerdo
con la teoría, tiene lugar tal precesión?.
Se sabe, empíricamente, que la misma
ocurre con relación a las estrellas fijas,
circunstancia sobre la que nada puede
decir la aludida teoría. Por el simple
hecho de que la materia distante no está
incluida en dichos cálculos...”.
Se propone luego Schrödinger
indagar si una oportuna modificación de
la Mecánica clásica no podría permitir
la vinculación entre inercialidad y
materia distante.** Valiéndose de
consideraciones heurísticas propone una
función de energía mutua de interacción
(energía potencial) de la forma:
U S = U N(1- γ r 2/ c2 )
(10)
**
También Schrödinger se vale en sus cálculos
de un espacio ordinario con métrica
euclidiana.
expresión en la que U N = - (mg1mg2)/r
representa
la
energía
potencial
newtoniana, introducida en la Física por
Lagrange en 1777. En la misma, c
simboliza la velocidad de la luz en el
vacío, γ es un a constante adimensional,
y r ≡ dr /dt .
Considera luego, con el auxilio
de (10) la interacción entre una masa
puntual µ móvil y un cascarón esférico
de radio R provisto de materia
uniformemente distri-buida, con una
densidad superficial de masa σ. Se
limita Schrödinger al especialísimo caso
en que la partícula se mueve en las
proximidades del centro del cascarón,
obte-niendo así la energía mutua
gravitacional. Lo notable es que la
misma coincide con la energía cinética
de la Mecánica clásica, con tal de que la
masa inercial de la partícula de prueba
venga dada por
m = (8 π γ σ R/3) µ
Integra luego este resultado para
un “universo” de radio Ro . Agrega que
si se consideran la densidad de materia
y el radio correspondientes a nuestra
galaxia, entonces la constante de la
gravitación debería ser una 1011 veces
menor que la realmente medida.
Concluye que la inercia de los cuerpos
del
sistema
solar
se
debe,
esencialmente, a la presencia de materia
extremadamente
alejada.
Téngase
presente que las galaxias externas
habían sido recientemente descubiertas
por Hubble.
Analiza luego Schrödinger cómo
la nueva energía de interacción
modifica el movimiento planetario,
explicando así la precesión de las
órbitas. Al exigir la concordancia entre
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el cálculo y la observación, encuentra
que debe ser γ = 3.
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VIII.LEY DE FUERZAS
DE WEBER
El año 1846 presentó W. Weber
una extensión de la ley estática de
Priestley-Coulomb, con la intención de
dar cabida a los ya conocidos
fenómenos de electrodinámica (fuerza
entre corrientes, inducción de Faraday,
). Para lograr su propósito incluyó,
además de la separación instantánea
entre las cargas, r , la rapidez con que
esta distancia cambia en el tiempo, r ≡
dr /dt , y su derivada temporal primera.
Dos años más tarde encontró Weber la
expresión de la energía de interacción
mutua, energía potencial eléctrica. Por
vez primera se formula, en la Historia
de la Física, una energía potencial que
es función de la velocidad relativa de
las partículas en interacción.
U W = U PC(1- r 2 /2 c2)
(11)
donde U PC = (q1 q2) / r2 es la energía
potencial correspondiente a la fuerza de
Priestley-Coulomb, para las cargas
puntuales 1,2 en interacción mutua.
La ecuación (11) permite
calcular la fuerza existente entre las
partículas median-e el procedimiento
habitual, F = -∇ U .
La
fuerza de Weber tiene
impor-tantes propiedades matemáticas:
en primer lugar, satisface la Tercera ley
de Newton en su forma fuerte. Por otra
parte, al ser invariantes las cantidades r,
dr/dt y d2r/dt2 y las cargas eléctricas,
también resultan serlo la energía
potencial y la fuerza. En otras palabras,
las expresiones que dan la energía de
interacción y la fuerza son válidas
cualesquiera sea el sistema de
referencia adoptado, pudiendo aún éstos
no ser inerciales (Assis, 1989, 1994,
1999).
En
1989
Assis
propuso
expresiones similares para la fuerza y la
energía de interacción mutua para la
interacción gravitacional, escribiendo,
para esta última,
U WA = U N (1 - ξ r 2 / 2c2)
(12)
energía en la que ξ es un parámetro
adimensional que debe determinarse
me-diante la vía experimental.
Esta función representa la
energía que es capaz de entregar un
sistema de dos masas gravitatorias
puntuales, inicialmente en reposo
relativo y muy alejadas (separa-ción
infinita) cuando, liberadas a su acción
mutua, se mueven hasta tener una
separa-ción r y una velocidad radial
relativa r .
La energía mutua de Weber,
ecuaciones (11) y (12), no ha tenido la
merecida difusión debido a un
deplorable malentendido: el influyente
físico alemán H. von
Helmholtz
afirmó, erróneamente, que estas
funciones matemáticas no satisfacen el
Principio de la conservación de la
energía, pilar de toda la Filosofía
natural. Aún cuando el mismo Weber
se ocupó de probar que tal cosa no es
cierta, las falsas presunciones de
Helmholtz perduraron. A tal punto que
aún hoy se repite el error en el magistral
tratado de Mecánica de H. Goldstein.
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MECÁNICA
dF = - (4π ξ / 3c2)mgk [Rρg(R)dR](dv/dt)
(14)
Las consideraciones resumidas
en VIII permitieron a Assis expandir el
formalismo de la Mecánica clásica para
dar cabida a la influencia de la materia
distante en su estructura, en un todo de
acuerdo con los propósitos de Mach y
de Schrödinger (VI,VII).
Comienza Assis por sentar el
Principio de equilibrio dinámico ya
comentado en II, proposición que, en
adelante, denominaremos Principio de
D´Alembert-Assis.
Se propone luego analizar la
interacción gravitacional que tiene lugar
entre una partícula material puntual k y
un cascarón material esférico (figura 6)
centrado en un sistema de referencia
arbitrario S. El cascarón, de radio R y
espesor dR, contiene materia uniformemente distribuida, con una densidad
volumétrica de masa gravitatoria ρg . La
partícula, de masa gravitatoria mgk , no
tiene porqué estar localizada en las
inmediaciones
del
origen
de
coordenadas (compárese con VII).
Tras efectuar las integraciones
angulares de la ecuación (12) aplicada a
esta configuración, obtiene la energía de
interacción mutua:
Puntualiza Assis que el Universo
es remarcáblemente isotrópico y, dado
que la Tierra no ocupa un lugar central
en aquél, es posible considerar una
homogeneidad espacial sobre una
extensión muy grande, con lo que ρg (R)
= ρgo . Integrando con esta condición la
ecuación (14) hasta una dimensión
lineal característica dada por la ley de
Hubble, c = HR , resulta la fuerza que la
totalidad de la materia isotrópica-mente
distribuida en el Universo ejerce sobre
la partícula k,
IX.RELACIONAL
dU = -4π mgk [Rρg (R)dR](1-v2/6c2)
(13)
donde v es la velocidad de la partícula
con relación a S y se admite que la
densidad de masa gravitacional puede
ser función de R.
La ecuación (13) permite hallar
la fuerza que el cascarón ejerce sobre la
partícula móvil (VIII):
FUk = - Φ mgk a
(15)
Φ ≡ (2π ξ ρgo / 3H2)
(16)
La ecuación (15) enseña que
cuando, merced a la acción de fuerzas
exteriores f (sean éstas de origen
gravitacional,
elástico,
eléctrico,
magnético, nuclear, de contacto, etc.), la
partícula experimenta la aceleración a,
entonces la totalidad de la materia que
compone el Universo reacciona
oponiéndose a dichas fuerzas. En virtud
del Principio de D´Alembert-Assis, f +
FUk = 0, se verifica la igualdad f =mgk
Φa , expresión coincidente con la
Segunda ley si se identifica el producto
Φmgk con la masa inercial, mik , de la
partícula considerada:
mik ≡ Φ mgk
(17)
Las ecuaciones (16) y (17)
enseñan que la masa de inercia, tenida
por magnitud primaria en la Mecánica
newtoniana (II), pasa a ser magnitud
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FUk = mgkΦ [a +ω x(ω xr)+ 2vxω+rx(dω
/dt)]
importante ecuación que muestra que
las llamadas fuerzas ficticias (II)
reconocen, en el nuevo modelo, un
origen gravitacional.
De este modo, la fuerza
centrífuga, la de Coriolis, etc., al igual
que la ma de la Segunda ley, son
fuerzas de interacción gravitacional.
Como la energía potencial gravitatoria
es función de la velocidad relativa entre
la partícula y la parte isotrópica del
Cosmos, se ha dado en llamar Mecánica
relacional a la teoría que venimos
describiendo.
Se trata, en verdad, de una
construcción genuinamente relativista.
secundaria en el modelo de WeberAssis. Se trata, pues, de una función
compuesta, con un componente local,
intrínseca, cual es la masa gravitatoria,
y componentes no locales, como lo son
la densidad de materia cósmica y el
“tamaño” característico del Universo.
Al analizar la interacción entre
el cascarón material y la partícula móvil
consideramos, por simplicidad, el caso
en que aquél es estacionario en el
referencial S. No es difícil generalizar el
desarrollo a la situación en la que dicho
cascarón rota con la velocidad angular
ω con relación a S, como
oportunamente lo hizo Assis. Se
obtiene, en tal caso, integrando
nuevamente hasta R = c / H,
a
dR
v
r
Fig 6
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X.- ALGUNAS
CONSECUENCIAS
NOTABLES
mik = (2π ξ ρ io / 3H2 )1/2 mgk
Un cuerpo de masa gravitatoria
mg cae, urgido por su peso (IV). En
virtud del Principio de D´AlembertAssis y de las ecuaciones (4), (15), (17)
resulta:
mgT mg / R2 = mg (2πξρgo / 3H2 ) g
expresión que muestra nítidamente
porqué la aceleración de caída libre, g,
es independiente de la naturaleza y del
tamaño del cuerpo considerado. Por ser
la masa gravitatoria de la Tierra y su
tamaño propiedades locales, se habrán
de mantener invariantes aún cuando
cambiase le densidad de materia
universal. De este modo, en un universo
hipotético en el que la densidad de
materia fuese doble que la actual, la
aceleración debida a la caída libre sería
la mitad de la actual. Esto en el
supuesto de que también la constante de
Hubble sea invariante.
Sumando (17) para las N
partículas contenidas en un volumen
arbitrario V resulta Σp mip = Φ Σ p mgk .
Si, permane-ciendo el volumen y la
constante de Hubble invariantes, se
aumenta el número de partículas en dN
resulta, teniendo presente (16), d(Σp mip)
∝d(ρg) Σp mgp + ρg d(Σ p mgp). Teniendo
presente que ρg ≡(1/V) Σ p mgp resulta
ser d(Σ p mip) ∝V(2ρgdρg) = Vd(ρg2) , lo
que significa que (1/V) Σ p m ip ≡ρi ∝ρg2.
El cálculo detallado conduce a:
ρi = Φ ρg
(18)
En virtud de (17) y (18) resulta
ser:
(19)
donde ρio
simboliza de densidad
volumétrica de masa inercial en el
Universo, tomado en gran escala. De la
comparación entre (19) y (6) resulta la
relación G ∝ (H2 /ρio), que ya adelantó
Dirac en 1938, valiéndose de consideraciones numerológicas. Esta notable
liga-zón entre tres magnitudes, antes
conside-radas independientes entre sí,
es aproxi-madamente válida dentro de
las limi-taciones que se tienen en el
conocimiento del cociente encerrado
entre paréntesis.
La ecuación (18) tiene un nítido
sentido físico. La densidad de masa
inercial puede aumentar debido a dos
causas, independientes entre sí:
- Un aumento en el número de
par-tículas, en un volumen fijo,
aumenta la densidad de masa
gravitatoria y, por un efecto
acumulativo, también aumenta la
densidad de masa inercial. Este
efecto está contem-plado por la
mecánica clásica.
- El aumento en el número de
partículas en un volumen fijo
también aumenta la masa
inercial de cada partícula
individual. Este efecto, ausente
en la Mecánica clásica, es propio
de un modelo coherente con el
Principio de Mach. Ambos
efectos combinados hacen que la
densidad de masa inercial
dependa como el cuadrado de la
densidad de masa gravitatoria.
La situación guarda similitud
con lo que ocurre con la corrupción
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entre los humanos.* A un aumento en el
número de corruptos en una sociedad
corresponde, en general, un aumento en
la corrupción global que supera el que
sería de esperar por un simple efecto
acumulativo. Pasa como si al duplicar la
población de corruptos, cada uno de
ellos lo supiese y enalteciera
su
condición de serlo, duplicando entonces
su propia carga de corrupción. La
corrupción global, en consecuencia, se
hace cuádruple en lugar de doble.
Nuestro análisis muestra que la
masa de inercia es una magnitud secundaria en la Mecánica relacional. De
haber-se reconocido tempranamente
este hecho, es seguro que esta magnitud
hubiese cedido su lugar a la masa
gravitatoria, a la hora de conformar la
base
dimensional empleada en la
Mecánica.
Definió Newton la masa inercial
como el producto del volumen por la
densidad, hecho que suscitó problemas
desde un principio. Destaca Mach al
res-pecto que “el círculo vicioso es
evidente, pues no puede definirse la
densidad sino como masa en la unidad
de volumen.
Newton sintió claramente que
todo cuerpo llevaba consigo una
determinante del
característica
movimiento que era diferente de su
peso, y que con él llamaremos masa,
mas no logró expresar correctamente
este conocimiento. Newton ha sentido
maravillosamente cuáles son los
conceptos y principios fundamentales
necesarios en la Mecánica. Sin
embargo, la forma en que los ha
establecido, . . ., ha dejado mucho que
desear ” *
Podemos reconsiderar ahora el
período de oscilación del péndulo
simple (IV). Reemplazando en (5) el
cociente (mi / mg ) por Φ, gracias a las
igualdades (17) y (16), tendremos que
T ∝ ρ g.
El péndulo se hace más lento en
un universo más denso. Este resultado
es una interesante consecuencia de la
Mecánica relacional y enseña que la
frecuencia
de
oscilación
es
inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la densidad de materia
universal. Este hallazgo es de validez
general para cualquier tipo de fenómeno
periódico macroscópico, sea éste
gobernado por fuerzas elásticas,
eléctricas, magnéticas, gravitacionales,
etc.
En caso de no ser cíclicos los
movimientos, es la velocidad con que
éstos ocurren la que depende como
1/ ρ g . Es fácil probar que si τ o es el
tiempo de frenado de un bloque que
desliza sobre un plano con rozamiento,
en un universo con densidad de materia
ρgo , el tiempo de frenado para el mismo
bloque, en un universo con densidad
ρg viene dado por τ = τ o (ρg / ρgo )1/2 .
Si se pasa a un universo más denso que
el actual, ρg ⟩ ρgo, el tiempo de frenado
aumenta. Suponiendo, como es
razonable,
que
las
fuerzas
*
El ejemplo dado es tan solo ilustrativo y
carece de rigor debido a que la corrupción, si
bien es un observable, no puede calificarse
como una magnitud física. Esto por cuanto no
disponemos de criterios ni dispositivos que nos
permitan afirmar que una corrupción es doble o
triple que otra. Lo mismo pasa con los grados
de bondad, dolor, belleza, confort ...
*
E. Mach. “ DESARROLLO HISTÓRICOCRÍTICO de la MECÁNICA” . Versión
española de la Séptima edición alemana, por J.
Babini (1949). Espasa Calpe Argentina. Buenos
Aires.
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intermoleculares de fricción sean de
naturaleza local (por lo que no
dependerán de ρg ), la distancia
recorrida será la misma en ambos casos.
También lo será el trabajo efectuado
contra las fuerzas de rozamiento.
Consideraciones análogas se
aplican a la velocidad de la luz, con lo
que resulta
c/co = (ρgo /ρg )1/2
(20)
Así, en un universo “diluido”
(ρgo /ρg grande), la velocidad de
propagación de la luz habrá de ser
mayor que 300.000 km/s.
La energía propia de los
corpúsculos materiales (energía en
reposo, energía interna, “rest-energy”)
fue descubierta por Einstein, y viene
dada por la célebre fórmula E = mi c2.
En virtud de las ecuaciones (16), (17)
y (20) se cumplirá: E/Eo = ( mi
/mio)(c/co)2 =
(ρg /ρgo) (ρgo /ρg ) = 1.
En palabras: la energía propia,
por no depender de la densidad de
galaxias del Universo considerado a
gran escala, es una magnitud intrínseca
de
las
partículas
elementales,
estrechamente ligada a la constitución
material de los corpúsculos. Mide, dicha
magnitud, la energía total capaz de
liberar una partícula tras su total
desmaterialización (aniquilación). La
energía de los fotones generados en una
aniquilación electrón-positrón será
exactamente la misma, haya o no
galaxias en el Universo.
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XI PRINCIPIOS
GENERALES
EQUILIBRIO
DE
H2O ↔ H+ + OH –
Según vimos en IX, la Mecánica
relacional permite interpretar las
llamadas fuerzas de inercia, incluida en
éstas la –ma de la Segunda ley, como
reacciones que la materia isotrópica del
Universo sustancia sobre cualquier
cuerpo material cuando éste, merced a
la acción de agentes externos al mismo,
es arrancado de su estado de equilibrio.
Con esta interpretación, el Principio de
D´Alembert-Assis guarda estrecha
conexión formal con ciertas reglas
cualitativas generales, útiles para
indagar el sentido en que evolucionará
un sistema complejo cuando se lo
perturba sacándolo del estado de
equilibrio estable.
Una de tales reglas se conoce,
gené-ricamente, como Principio de Le
Chatelier, cuando aplicada al factor
temperatura y de Van´t Hoff cuando
aplicada al factor temperatura. L.
Pauling expresa así* dichas reglas: “ Si
se modifican las condiciones de un
sistema, inicialmente en equilibrio, éste
se desplaza en sentido tal que tiende a
restablecer las condiciones, si tal
desplazamiento es posible.”
La autoprotólisis del agua ilustra
el alcance de estas reglas**. Se sabe que
la reacción de formación del agua, a
partir de H+ y OH- es exotérmica y que,
a 25°C , la concentración molar de
equilibrio de ambas especies es de 10 –7
. Tres son las especies químicas
presentes en la situación de equilibrio
*
dinámico, representada, de manera
simbólica, como
L. Pauling. Química General. Décima Edición
(1977). Aguilar, Madrid.
**
J. Guala Valverde. Homenaje a E. Loedel.
Sociedad Científica Argentina. Aceptado 2000.
En promedio, son igualmente
probables las reacciones directas (de
izquierda a derecha) e inversa
(formación de agua neutra a partir de las
especies iónicas H+ y OH - ). Al enfriar
una masa dada de agua, la misma
reaccionará oponiéndose a la quita de
calor (energía). El sistema dispone de
un grado de libertad para promover la
liberación de calor, y lo hace
permitiendo que cierto número de iones
H+ y OH – se fundan para dar lugar a la
formación de moléculas de agua neutra,
H2O. Las nuevas concentraciones
iónicas de equilibrio quedarán, en
consecuencia, por debajo de los 10 –7
Mol/L.
La formación de amoníaco, NH3
, a partir de H2 y de N2 va acompañada
de una disminución de presión, por
disminución del número de moléculas,
al consumirse hidrógeno y nitrógeno.
Si, alcanzado el equilibrio, se provoca
un aumento de la presión, el sistema
reacciona disminuyendo este aumento
de presión generando más amoníaco.
La regla de Lenz es otra
proposición de la misma naturaleza que
las anteriores. Un circuito está inmerso
en un campo magnético estático, con lo
que está en reposo electrodinámico.
Basta producir una variación en el flujo
magnético que encierra, para que se
induzca en el conductor, una corriente
eléctrica. El sentido de la misma es tal
que el campo magnético asociado con la
misma se opone a la variación de flujo
impuesta merced a agentes externos.
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XII CONSIDERACIONES
FINALES
La teoría post-newtoniana aquí
esbozada puede considerarse como
fenomenológica, por cuanto se ocupa de
explicar los fenómenos sin buscar
causas últimas. Aparte de ello, se
desarrolla íntegramente en un marco
espacial
euclidiano,
de
tres
dimensiones, lo que puede ser, en sí,
una
limitación
para
ulteriores
desarrollos.
Inveterados
hábitos
mentales, forjados
desde nuestra
infancia, nos llevan a creer en la
suficiencia de un espacio en el que alto,
largo y ancho bastan para racionalizar
la experiencia sensible, al menos en el
ámbito de la Mecánica.
Así, E. Kant llega a afirmar que
el espacio de la geometría euclidiana es
una forma de nuestro pensamiento, y
sus proposiciones son juicios sintéticos
a priori. Tal aseveración, y conviene
admitirlo desde el principio, no es más
que un pre-juicio, dicho esto al margen
de la inmensa utilidad que brindó hasta
hoy a la Humanidad. Buena prueba de
ello se encuentra, sin dificultad, en las
nuevas geometrías desarrolladas por
Lobatschevsky, Gauss y Riemann,
construcciones abstractas éstas tan
coherentes y lógicas como la debida a
Euclides. El punto crucial es averiguar
cuál de tales geometrías es la que mejor
se amolda a la descripción del mundo
físico.
Conducido
por
estas
apreciaciones, desarrolló Einstein una
monumental teoría para dar cuenta de
los fenómenos gravitatorios, valiéndose
de una geometría no-euclidiana. Nos
estamos refiriendo, desde luego, a la
Teoría Generalizada de la Relatividad,
construcción abstracta que permitió
explicar fenómenos observables cuya
comprensión
rebasa
el
marco
newtoniano.
Lo que para Newton era acción
a distancia entre los cuerpos en
interacción,
es
para
Einstein
consecuencia de la deformación que las
masas gravitatorias engendran en el
espacio que las rodea, de tal modo que
éste deja de ceñirse a las leyes de la
Geometría de Euclides. El mundo
material real estaría inmerso, por
consiguiente, en un espacio curvo.
En un espacio curvo, la línea
recta pierde la propiedad de ser el
camino más corto entre dos puntos
ubicados sobre una superficie dada. Tal
privilegio corresponde, en general, a
una línea curva, denominada geodésica.
Ahora la distancia entre dos puntos
muy próximos vendrá expresada como
ds2 = Σik gik dxi
dxk
donde las gik son funciones de x1, x2,. .
., xn que definen la métrica del espacio
en cuestión.
La búsqueda de las funciones gik
deberá hacerse, desde luego, atendiendo
a razones físicas, con lo cual el
problema se sale ya del ámbito
puramente matemático. Para un espacio
de 4 dimensiones resultan 10 funciones
gik , denominadas potenciales de
Einstein. En sistemas especiales, con
elevada simetría (campo gravitacional
engendrado por el Sol, a título de
ejemplo) la solución se simplifica
notablemente, resultando nulas varias
de las gik.
Por este camino se llega a la
solución de Schwarzschild-Eddington,
campo
débil,
aproximación
de
estacionario, con simetría esférica:
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ds2 = dr2 /(1-2ro /r) + r2 (dθ2 +
2
sen θdϕ2 ) – (1-2ro /r)c2dt2
métrica que resulta suficiente para dar
explicación a fenómenos observables
para los cuales la doctrina newtoniana
no puede ofrecer solución alguna. Entre
ellos se encuentran la precesión de las
órbitas planetarias (que para Mercurio
importa 43” de arco por siglo), el
encorvamiento que sufre la trayectoria
de la luz al atravesar regiones donde
reinan intensos campos gravitatorios, y
el corrimiento gravitacional hacia el
rojo, entre otros. En la anterior
expresión es ro ≡ ( GMSol /c2 ) ≈ 1,5 km.
Será, pues, de extremada
importan-cia investigar nuevas métricas
noeucli-dianas que, al ser aplicadas, no
conlleven la muy restrictiva condición
mi = mg imposición que, según vimos a
lo largo de este ensayo, oblitera el
camino para lograr una positiva
implementación del Principio de Mach.*
Refiriéndose a las maneras en que
pueden desarrollarse otras geometrías
que no sean la euclidiana, dice Einstein,
al considerar una
superficie
continuamente curvada:**
ds2 = dX12 + dX22
Si ahora introducimos coordenadas
curvilíneas arbitrarias x1, x2 sobre la
superficie... tenemos:
ds2 = g11dx12 + 2g12 dx1 dx2 + g22
dx2
2
donde gkl están determinadas por la
naturaleza de la superficie y la elección
de coordenadas.”
“...una porción infinitamente
peque-ña de ella puede considerarse
como plana con errores infinitesimales.
Sobre esta porción existen coordenadas
cartesianas, X1, X2, y la distancia entre
dos puntos de ella, medida con una
varilla métrica, está dada por
*
J.Guala Valverde, “A New Theorem of
Relational Mechanics”.Apeiron (2001), 8, No3,
132 (2001).
**
A. Einstein. THE MEANING OF
RELATIVITY (1922, 45, 50, 53, 56). Traducida
al español por C.E. Prélat (1971). Espasa Calpe,
Madrid.
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36
Guala Valverde, Jorge
Inercia, espacio y tiempo
Fundación Julio Palacios – Consejo Provincial de Educación - Neuquén
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*
Esta lista no pretende ser más que una guía orientativa. Las numerosas citas contenidas en las obras
citadas nos eximen de mayor dispendio.
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Guala Valverde, Jorge
Inercia, espacio y tiempo
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F. González de Posada. Breviario de la Teoría Dimensional (1994). Universidad
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38