2.4 Calibración de los sistemas de detección

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UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
TESIS DOCTORAL
DESARROLLO DE UN CÓDIGO DE SIMULACIÓN POR MONTE CARLO
PARA LA CALIBRACIÓN DE SISTEMAS DE DETECCIÓN
EN ESPECTROMETRÍA DE RADIACIÓN GAMMA
Néstor Armando Cornejo Díaz
Badajoz, 2009
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Edita: Universidad de Extremadura
Servicio de Publicaciones
Caldereros 2. Planta 3ª
Cáceres 10071
Correo e.: publicac@unex.es
http://www.unex.es/publicaciones
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UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
TESIS DOCTORAL
Desarrollo de un código de simulación por Monte Carlo
para la calibración de sistemas de detección
en espectrometría de radiación gamma
Memoria presentada por D. Néstor Armando Cornejo Díaz para optar
al Grado de Doctor por la Universidad de Extremadura
Badajoz, 2009
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D. Miguel Jurado Vargas, Profesor Titular de Universidad del área de Física
Atómica, Molecular y Nuclear, miembro del Departamento de Física de la
Universidad de Extremadura
INFORMA
Que la presente memoria, titulada: “Desarrollo de un código de simulación por
Monte Carlo para la calibración de sistemas de detección en espectrometría de
radiación gamma”, ha sido realizada por D. Néstor Armando Cornejo Díaz bajo su
dirección en el Departamento de Física de la Universidad de Extremadura.
Y para que conste a efectos oportunos, firma el presente informe en Badajoz, a 20
de enero de 2009.
Fdo.: M. Jurado Vargas
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AGRADECIMIENTOS
Mostrar gratitud a quienes la han merecido es lo menos que puede hacerse
cuando se reconoce la importancia de los demás en la obra de nuestras vidas.
Es un gesto natural que brota de forma espontánea, desde lo más profundo de
nuestra naturaleza humana. Plasmar nuestros agradecimientos en una memoria
de tesis doctoral no es, sin embargo, una tarea obvia. La probabilidad de alguna
omisión involuntaria es siempre elevada y las consecuencias de ello serían muy
graves. ¿Cuándo comenzó todo? Esa es la pregunta que debemos definir en
primer lugar. A veces, el camino es largo y difícil, y afortunadamente la cantidad
de personas a agradecer hace insuficiente el pequeño espacio que, por lógicas
razones, está reservado para este fin.
Quienes han intervenido en mi educación, instrucción y formación profesional
nunca serán olvidados, aún cuando los años emborronen las fórmulas en mi
memoria.
A aquellos que han proporcionado consejos y recomendaciones enriquecedoras
para el trabajo, a quienes han dedicado parte de su tiempo al logro de los
resultados contenidos en esta memoria, a los que me han apoyado, brindado su
amistad, y transmitido el aliento necesario, a los usuarios entusiastas de
DETEFF, a todos ellos, mi agradecimiento. Mi agradecimiento al director de
esta tesis sería redundante, pues está ya presente en cada una de las categorías
anteriores.
A mi familia, por el tiempo robado, no tengo forma de agradecer.
A mis padres, mi agradecimiento por absolutamente todo.
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A ti, madre.
A ti, padre.
Toda la gloria del Mundo cabe en un grano de maíz
José J. Martí y Pérez
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Índice general
Agradecimientos............................................................................................................................... i
1. Introducción ............................................................................................................................... 1
2. Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma ........................................ 5
2.1 Introducción ........................................................................................................................ 5
2.2 Detectores empleados en espectrometría de radiación gamma ........................................... 7
2.2.1 Centelleadores de cristales iónicos inorgánicos ........................................................ 7
2.2.2 Detectores de semiconductor .................................................................................. 10
2.2.3 Consideraciones generales para la simulación estadística ...................................... 12
2.3 Respuesta de los detectores a la radiación gamma ............................................................ 14
2.3.1 Procesos de interacción de la radiación gamma....................................................... 14
2.3.2 Componentes de un espectro de radiación gamma .................................................. 20
2.4 Calibración de los sistemas de detección .......................................................................... 26
2.4.1 Calibración en energía ............................................................................................. 26
2.4.2 Calibración en resolución ........................................................................................ 27
2.4.3 Calibración en eficiencia.......................................................................................... 28
2.4.4 Correcciones al efecto de suma por coincidencias................................................... 33
3. El método Monte Carlo .......................................................................................................... 37
3.1 Introducción ...................................................................................................................... 37
3.2 Obtención de números aleatorios. Secuencias de números seudoaleatorios..................... 38
3.2.1 Obtención de secuencias de números aleatorios ...................................................... 38
3.2.2 Requisitos de las secuencias de números seudoaleatorios ....................................... 42
3.2.3 Pruebas de aleatoriedad............................................................................................ 44
3.3 Muestreo de variables aleatorias ....................................................................................... 45
3.3.1 Variables aleatorias discretas ................................................................................... 45
3.3.2 Variables aleatorias continuas.................................................................................. 46
3.4 Simulación del transporte de las radiaciones ionizantes.................................................... 53
3.4.1 Generación de partículas.......................................................................................... 56
3.4.2 Muestreo del punto de interacción .......................................................................... 57
3.4.3 Muestreo del tipo de interacción y de las partículas secundarias............................ 59
3.4.4 Estimación de incertidumbres................................................................................. 59
3.4.5 Técnicas de reducción de varianza........................................................................... 62
3.5 Códigos de simulación Monte Carlo ................................................................................. 68
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4. Descripción del código DETEFF ........................................................................................... 71
4.1 Introducción al código DETEFF. Resumen histórico de su desarrollo ............................ 71
4.2 Interfaz de usuario............................................................................................................ 75
4.2.1 Datos de los detectores ............................................................................................ 75
4.2.2 Datos de las fuentes ................................................................................................. 76
4.2.3 Datos de los filtros ................................................................................................... 76
4.2.4 Datos estadísticos .................................................................................................... 77
4.2.5 Herramientas............................................................................................................ 77
4.2.6 Resultados de la simulación..................................................................................... 77
4.2.7 Sistema de ayuda ..................................................................................................... 78
4.3 Generador de números seudoaleatorios............................................................................. 78
4.3.1 Resultados de las pruebas estadísticas empíricas.................................................... 80
4.3.2 Evaluación del funcionamiento de los generadores en el programa DETEFF......... 84
4.4 Generación de fotones en el interior de la fuente .............................................................. 87
4.5 Análisis geométrico........................................................................................................... 93
4.5.1 Determinación de la incidencia de los fotones en el volumen activo del detector... 93
4.5.2 Correcciones por atenuación fotónica en su recorrido hacia el detector................. 94
4.5.3 Redondeamiento de las esquinas del detector......................................................... 96
4.6 Simulación de los procesos físicos en el interior del detector......................................... 100
4.6.1 Tipos de interacción. Secciones eficaces ............................................................... 100
4.6.2 Muestreo del recorrido de los fotones y del punto de interacción ......................... 105
4.6.3 Muestreo del tipo de interacción............................................................................ 106
4.6.4 Seguimiento de las partículas secundarias............................................................. 107
4.7 Salidas del código ........................................................................................................... 126
4.8 Incertidumbre estocástica................................................................................................ 127
4.8.1 Estimación de la incertidumbre estocástica ........................................................... 127
4.8.2 Figura de Mérito ................................................................................................... 127
4.8.3 Técnicas de reducción de varianza en el código DETEFF .................................... 128
5. Resultados de verificación y validación del código DETEFF............................................ 131
5.1 Introducción .................................................................................................................... 131
5.2 Resultados de las comparaciones con otros códigos ....................................................... 132
5.2.1 Comparaciones para detectores de NaI.................................................................. 132
5.2.2 Comparación para un detector de CsI.................................................................... 134
5.2.3 Comparaciones para detectores de Ge ................................................................... 136
5.2.4 Comparación para un detector de Si ...................................................................... 145
5.3 Resultados de los ejercicios de validación experimental ............................................... 147
5.3.1 Estudio del Instituto de Metrología de la República Checa................................... 147
5.3.2 Ejercicio de intercomparación EUROMET 428 .................................................... 148
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5.3.3 Estudios experimentales con un detector HPGe .................................................... 153
6. Aplicaciones del código DETEFF ........................................................................................ 159
6.1 Introducción .................................................................................................................... 159
6.2 Transferencia de eficiencia en muestras de agua............................................................. 160
6.3 Estudio de la influencia de algunos parámetros geométricos de los detectores
de HPGe en la eficiencia................................................................................................. 161
6.4 Transferencia de eficiencia en la calibración de un detector coaxial de HPGe .............. 162
6.5 Simulación Monte Carlo de las correcciones por autoabsorción en muestras
ambientales ..................................................................................................................... 163
6.6 Investigación de la radiactividad inducida en el acelerador lineal ADONE
para la gestión de la chatarra tras su desmantelamiento.................................................. 164
6.7 Cuantificación de la actividad de isótopos radiactivos en el marco de la vigilancia
radiológica ambiental...................................................................................................... 166
7. Conclusiones .......................................................................................................................... 171
Bibliografía .................................................................................................................................. 175
A. Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina.................................................... 185
A.1 Método de Kahn ............................................................................................................... 185
A.2 Método de Koblinger........................................................................................................ 189
A.3 Método de Newton - Raphson .......................................................................................... 193
A.4 Método de Everett – Cashwell.......................................................................................... 197
B. Ventanas de interfaz del código DETEFF........................................................................... 201
C. Implementación del generador Mersenne Tuwister en PASCAL..................................... 213
D. Funciones de distribución de probabilidad generadas con el código MCNP4C para la
energía de la radiación de frenado....................................................................................... 217
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Índice de figuras
2.1 Estructura de bandas energéticas en un cristal centelleador inorgánico.................................... 8
2.2 Parámetros importantes para la simulación estadística de detectores ..................................... 13
2.3 Secciones eficaces de interacción de fotones en Ge................................................................ 15
2.4 Función de dispersión para Ge................................................................................................ 18
2.5 Sección eficaz diferencial de la dispersión inelástica para Ge ................................................ 19
2.6 Espectro ideal de altura de pulsos en Ge (2 MeV) .................................................................. 21
2.7 Dependencia de la energía de los fotones secundarios con el ángulo de salida
en la dispersión inelástica....................................................................................................... 24
2.8 Espectro ideal de altura de pulsos en un detector de HPGe (40.0 keV) .................................. 24
2.9 Espectro de la radiación gamma del 60Co en un detector de HPGe ........................................ 25
2.10 Esquema de transiciones isoméricas en cascada ..................................................................... 34
3.1 Representación de las probabilidades de una variable aleatoria discreta ................................ 45
3.2 Diagrama de flujo general para el muestreo de una variable aleatoria discreta a partir
de una variable uniformemente distribuida ............................................................................ 46
3.3 Representación gráfica del teorema que sustenta el método estándar de muestreo de una
variable aleatoria continua...................................................................................................... 47
3.4 Diagrama de flujo del método de rechazo............................................................................... 48
3.5 Diagrama de flujo del método de sustitución con rechazo...................................................... 49
3.6 Diagrama de flujo del método combinado de inversión – rechazo ......................................... 50
3.7 Diagrama de flujo del método de descomposición con muestreo directo ............................... 51
3.8 Ejemplo de diagrama de flujo general para el cálculo de la energía depositada ..................... 56
4.1 Esquema de las versiones del código DETEFF ...................................................................... 73
4.2 Esquema de bloques con la estructura del código DETEFF ................................................... 74
4.3 Imagen de correlación gráfica en 2D, correspondiente al generador TC ................................ 82
4.4 Imagen de correlación gráfica en 2D, correspondiente al generador MT ............................... 82
4.5 Valores de eficiencia calculados con los generadores CL y TC ............................................ 85
4.6 Tiempos de CPU para los generadores estudiados.................................................................. 86
4.7 Sistema de coordenadas para la simulación de fuentes cilíndricas ......................................... 87
4.8 Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes cilíndricas ............. 88
4.9 Sistema de coordenadas para la simulación de fuentes rectangulares..................................... 88
4.10 Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes rectangulares ......... 89
4.11 Sistema de coordenadas para la simulación de fuentes con geometría Marinelli.................... 90
4.12 Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en recipientes Marinelli.......... 90
4.13 Representación del vector director unitario con sus coordenadas esféricas y cartesianas....... 91
4.14 Diagrama del procedimiento de muestreo del vector director del fotón ................................. 92
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4.15 Variables para considerar el redondeamiento de las esquinas del detector............................. 97
4.16 Radiografía del detector de HPGe, modelo GMX-40195-P, de la firma CANBERRA ......... 98
4.17 Desviación relativa por el efecto de redondeamiento de las esquinas en función
de la distancia entre la fuente puntual y la ventana del detector............................................. 99
4.18 Secciones eficaces macroscópicas de interacción en NaI. .................................................... 104
4.19 Diagrama de la secuencia para el muestreo del tipo de interacción...................................... 106
4.20 Secciones eficaces macroscópicas del efecto fotoeléctrico en Cs y I, en el cristal de CsI.... 109
4.21 Diagrama de flujo para el muestreo de la energía de la radiación característica tras la
ocurrencia del efecto fotoeléctrico en CsI ............................................................................ 110
4.22 Curvas de eficiencia en un detector HPGe tipo n, considerando y sin considerar
la emisión de radiación X característica............................................................................... 111
4.23 Curvas de eficiencia en un detector HPGe tipo p, considerando y sin considerar
la emisión de radiación X característica............................................................................... 112
4.24 Efecto de la radiación X característica en la eficiencia, para un detector HPGe del tipo n .. 112
4.25 Diagrama para el muestreo de los fotones secundarios tras la dispersión inelástica............. 114
4.26 Sistemas de coordenadas en la simulación de la dispersión inelástica.................................. 115
4.27 Alcance máximo de los electrones para diferentes materiales.............................................. 118
4.28 Probabilidad normalizada de transmisión de electrones en Ge............................................. 118
4.29 Fracción de la energía transmitida por los electrones en Ge................................................. 119
4.30 Efecto del escape de electrones en la eficiencia ................................................................... 120
4.31 Espectro de la radiación de frenado obtenido en Ge para electrones de 1.5 MeV ................ 121
4.32 Ajustes del número medio de fotones de frenado por cada electrón de energía E0............... 123
4.33 Efecto de la radiación de frenado en la eficiencia................................................................. 125
5.1 Detector NaI(Tl) y muestra cilíndrica, según el archivo de entrada de datos de MCNP4C.. 133
5.2 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para un detector de NaI(Tl) ... 133
5.3 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para un detector de CsI(Tl).... 135
5.4 Modelo de detector de HPGe (ICRM) .................................................................................. 136
5.5 Geometría con fuente Marinelli (agua de 3.0 g.cm-3) ........................................................... 137
5.6 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para el detector
HPGe (ICRM) ...................................................................................................................... 138
5.7 Imagen del detector HPGe CG 4018 simulado con el código MCNP4C.............................. 141
5.8 Geometría Marinelli simulada con el detector HPGe CG 4018............................................ 142
5.9 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para el detector
HPGe CG 4018 y fuentes puntuales a 25 cm, 10 cm y 5 cm.............................................. 143
5.10 Valores de EPAT calculados con DETEFF y con MCNP4C para el detector
HPGe CG 4018 con la fuente puntual a 1 cm y el recipiente Marinelli ............................... 143
5.11 Imagen del detector Si(Li) SL 80175 (80mm2) simulado con el código MCNP4C.............. 145
5.12 Valores de EPAT obtenidos con DETEFF y con MCNP4C para el detector
Si(Li) SL 80175.................................................................................................................... 146
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5.13 Valores de EPAT calculados y determinados experimentalmente para las fuentes
puntuales del ejercicio EUROMET 428 ............................................................................... 150
5.14 Valores de EPAT calculados y determinados experimentalmente para las fuentes
cilíndricas del ejercicio EUROMET 428 ............................................................................. 151
5.15 Valores medios de las desviaciones absolutas en el ejercicio EUROMET 428 .................... 152
5.16 Dimensiones de la muestra Marrinelli utilizada en la validación experimental.................... 154
5.17 Valores de eficiencia calculados con DETEFF y obtenidos experimentalmente para las
geometrías: filtro, Petri doble y puntual a 5 cm.................................................................... 156
5.18 Valores de eficiencia calculados con DETEFF y obtenidos experimentalmente para las
geometrías: Marinelli y puntual a 20 cm .............................................................................. 156
6.1 Bomba de vacío del anillo acumulador del acelerador ADONE........................................... 164
6.2 Gráfico de Z-Score para el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA ....... 168
6.3 Gráfico de U-Test para el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA......... 168
6.4 Relación A1/A2 para el LVRA durante el ejercicio de intercomparación del IAEA ........... 169
A.1 Funciones g1 ( x ) , h1 ( x ) en el método de Kahn ................................................................. 187
A.2 Funciones g 2 ( x ) , h 2 ( x ) en el método de Kahn ............................................................... 188
A.3 Diagrama de flujo del método de Kahn................................................................................ 188
A.4 Diagrama de flujo del método de Koblinger. ....................................................................... 192
A.5 Función de probabilidad acumulativa para la dispersión Compton de fotones de 1MeV .... 195
A.6 Función de probabilidad acumulativa para la dispersión Compton de fotones de 0.1MeV . 195
A.7 Diagrama de flujo para el método de Newton - Raphson..................................................... 196
A.8 Diagrama de flujo del método de Everett – Cashwell.......................................................... 200
B1 Opciones para la gestión de archivos de datos y resultados. ................................................. 202
B2 Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores centelleadores................. 202
B3 Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores de semiconductor. .......... 203
B4 Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes cilíndricas........................ 204
B5 Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes rectangulares. .................. 205
B6 Ventana de entrada de datos para las fuentes con geometría Marinelli................................. 206
B7 Ventana de entrada de datos para la modelización de filtros................................................ 207
B8 Ventana de entrada de datos estadísticos............................................................................... 207
B9 Ventana para el cálculo de los coeficientes de atenuación. ................................................... 208
B10 Ventana para la selección del sonido de aviso de fin de la simulación. ................................ 208
B11 Visualización del espectro matemático durante las simulaciones ......................................... 209
B12 Ventana con los resultados de la simulación ......................................................................... 210
B13 Ventana para seleccionar el contenido de la ayuda ............................................................... 211
B14 Indicaciones sobre las funciones de los botones de aceleración........................................... 211
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Índice de tablas
3.1 Ejemplos de probabilidades e intervalos de confianza en una distribución normal ................ 60
3.2 Ejemplos de códigos de Monte Carlo de uso múltiple............................................................ 69
4.1 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de los detectores ............................. 75
4.2 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de las fuentes .................................. 76
4.3 Probabilidades de las sumas de dos dados .............................................................................. 80
4.4 Resultados del test Kolmogorov Smirnov aplicado a la prueba de dos dados ........................ 81
4.5 Resultados de las pruebas estadísticas del paquete “DIEHARD”........................................... 83
4.6 Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total
calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un
procesador (CPU) Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz. ................................................. 84
4.7 Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total
calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un
CPU Intel Dual Core 3 GHz. ................................................................................................. 84
4.8 Parámetros del detector HPGe utilizado en el estudio del redondeamiento de las esquinas ... 99
4.9 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al NaI.......................... 102
4.10 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al CsI ......................... 102
4.11 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al Ge ........................... 103
4.12 Coeficientes de ajuste para las secciones eficaces correspondientes al Si ............................ 103
4.13 Coeficientes de ajuste de las secciones eficaces para la formación de pares de
electrón – positrón ............................................................................................................... 104
4.14 Energías de las líneas de rayos X característicos correspondientes a las capas K ................ 107
4.15 Rendimientos de fluorescencia y emisiones relativas de fotones de rayos X........................ 108
4.16 Probabilidades de emisión de rayos X característicos y valores medios de energía ........... 108
4.17 Parámetros utilizados en la simulación de detectores de HPGe durante la evaluación
de la importancia del seguimiento de la radiación de rayos X característica........................ 111
4.18 Parámetros de las funciones de ajuste para la función de dispersión .................................... 113
4.19 Número medio de fotones de frenado en función de la energía inicial de los electrones...... 122
4.20 Valores de la FDM obtenidos con MCNP4C y con DETEFF............................................... 127
5.1 Resultados de los cálculos de eficiencia para un detector de NaI (3” x 3”) y una fuente
puntual a 10cm del cristal..................................................................................................... 132
5.2 Datos básicos del detector de NaI(Tl) considerado en la comparación con MCNP4C ......... 132
5.3 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos
con el código MCNP4C para un detector de NaI(Tl) de 3”x 3” ........................................... 134
5.4 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos
con el código MCNP4C para un detector de CsI(Tl) de 3”x3” ............................................ 135
5.5 Datos del detector de HPGe considerado en el ejercicio del ICRM..................................... 136
5.6
Comparación con MCNP4C para el modelo de detector de HPGe del ICRM..................... 139
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5.7
Comparación con PENELOPE para el modelo de detector de HPGe del ICRM................. 139
5.8 Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de simulación
Monte Carlo aplicados a la espectrometría de radiación gamma ......................................... 140
5.9 Comparación de los valores de EPAT obtenidos con DETEFF con las medianas de los
valores de EPAT reportados por los participantes en el ejercicio de intercomparación....... 140
5.10 Datos básicos del detector de HPGe modelo GC 4018......................................................... 142
5.11 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos
con el código MCNP4C para un detector HPGe modelo GC 4018 de CANBERRA .......... 144
5.12 Datos básicos del detector de Si(Li) modelo SL 80175....................................................... 145
5.13 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y
los obtenidos con el código MCNP4C, para un detector Si(Li) modelo SL 80175.............. 146
5.14 Valores de EPAT experimentales y calculados, para una fuente puntual a 25cm de
un detector de HPGe, modelo GC 4018, de la firma CANBERRA ..................................... 147
5.15 Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de transferencia
de eficiencia en espectrometría de radiación gamma, EUROMET 428 ............................... 148
5.16 Características del detector HPGe dadas por el fabricante y tras su ajuste considerando los
valores experimentales de EPATpara una fuente puntual a 10cm........................................ 149
5.17 Resultados experimentales de EPAT para la fuente puntual a 10 cm del detector ............... 149
5.18 Datos de las geometrías cilíndricas utilizadas en el ejercicio EUROMET 428 .................... 150
5.19 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y
los obtenidos experimentalmente en el ejercicio EUROMET 428....................................... 151
5.20 Descripción del contenido de la solución patrón utilizada en la validación experimental.... 154
5.21 Factores de corrección al efecto de sumas por coincidencias para las geometrías
del estudio ............................................................................................................................ 155
5.22 Dimensiones de los parámetros del detector, según se especifican por el fabricante
y tras el proceso de ajuste..................................................................................................... 155
5.23 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los obtenidos
experimentalmente ............................................................................................................... 157
6.1 Instituciones que cuentan con el código DETEFF................................................................ 159
6.2 Resultados de actividad calculada a partir de la transferencia de eficiencias con el código
DETEFF, para un detector de Ge(Li) de 2” x 2” y diferentes volúmenes de H2O en fuentes
cilíndricas y rectangulares, para 661.66 keV........................................................................ 160
6.3 Productos de activación esperados en el acelerador ADONE............................................... 165
D.1 Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de
frenado en NaI...................................................................................................................... 217
D.2 Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de
frenado en CsI ...................................................................................................................... 218
D.3 Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de
frenado en Ge ....................................................................................................................... 219
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CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
La espectrometría de radiación gamma es una de las técnicas más utilizadas en la caracterización
cualitativa y cuantitativa de las muestras con contenido radiactivo. Es una técnica no destructiva,
que permite el análisis simultáneo de múltiples elementos, con requisitos mínimos en la
preparación de las muestras y un balance muy favorable entre la información proporcionada y los
costes asociados. Se ha convertido, por tanto, en una herramienta insustituible no sólo para las
investigaciones de Física Nuclear, sino además, en áreas como la vigilancia radiológica del medio
ambiente, el control radiológico de los alimentos, la caracterización radiológica de materiales y la
vigilancia radiológica individual.
En las estimaciones de actividad mediante la espectrometría de radiación gamma es necesario
conocer la eficiencia de detección del sistema en el pico de absorción total, la cual depende de la
energía de los fotones, la composición química de la muestra, su densidad y la geometría de
medida. Previamente a los trabajos de cuantificación se requiere, por tanto, realizar la calibración
del sistema en relación con la eficiencia. Ahora bien, la calibración experimental implica ejecutar
medidas con fuentes de referencia cuyas actividades estén debidamente certificadas. Ello puede
demandar un número considerable de fuentes patrón, para cada una de las energías, geometrías,
materiales y densidades de las muestras a analizar. Por otro lado, la preparación de muestras de
calibración idénticas a las muestras de interés puede ser un proceso engorroso, sobre todo en las
matrices sólidas y en las líquidas cuando no es posible despreciar la precipitación de los reactivos.
Otro problema consiste en encontrar radionúclidos adecuados atendiendo a su energía, esquema de
desintegración y período de semidesintegración.
Las dificultades relacionadas con la preparación de las fuentes de calibración, unidas a las
limitaciones económicas y en ocasiones de Seguridad Radiológica para la adquisición sistemática
del material radiactivo de referencia, hacen que sea necesario contar con métodos de cálculo
alternativos para la calibración en eficiencia. Aunque han sido publicados numerosos
procedimientos semi-empíricos, su validez está limitada a determinadas geometrías del sistema
muestra – detector y a rangos específicos de energía, por lo que no pueden proporcionar los
niveles de exactitud requeridos en todas las situaciones de interés para los laboratorios analíticos.
En este sentido, el empleo de la simulación estocástica se ofrece como una solución más flexible.
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Capítulo 1
Introducción
La simulación por ordenador mediante el método Monte Carlo es una técnica establecida en las
investigaciones de Física de las radiaciones ionizantes. Los primeros trabajos que dieron a conocer
el método datan de los finales de la década de 1940, y estuvieron vinculados al estudio del
transporte de la radiación neutrónica. Su aplicación en la calibración de sistemas de espectrometría
de radiación gamma se produjo a partir de la década siguiente. El desarrollo ulterior del método,
con la incorporación de novedosas técnicas de reducción de varianzas, las precisiones realizadas
paulatinamente a las secciones eficaces de interacción y el desarrollo vertiginoso de los medios
informáticos, hacen que la simulación estadística sea una herramienta de extraordinario valor para
la calibración de los sistemas de espectrometría gamma. Sin embargo, los programas disponibles
de simulación por Monte Carlo son códigos de propósito múltiple, cuya aplicación requiere de
habilidades de programación, del estudio previo de las no triviales reglas para la creación de sus
archivos de datos y de los métodos de la simulación estadística. Por otro lado, al estar concebidos
para resolver disímiles problemas, estos códigos realizan la simulación detallada de cada uno de
los procesos asociados al transporte de las radiaciones ionizantes, por lo que sus tiempos de
ejecución son inaceptablemente largos de no utilizarse adecuadamente las técnicas de reducción
de varianzas pertinentes. La aplicación de estas técnicas demanda además el conocimiento estricto
de los fundamentos físicos del sistema simulado y de los métodos estadísticos que se utilizan.
Todos estos factores han contribuido a que, aún en la actualidad, no pocos le resten valor práctico
al método Monte Carlo para la calibración de los sistemas de espectrometría de radiación gamma
en los laboratorios analíticos.
Precisamente, el objetivo fundamental que nos proponemos con el presente trabajo es desarrollar y
validar un código de simulación por Monte Carlo específico para el cálculo de la eficiencia de
detección en sistemas de espectrometría de radiación gamma, que sea aplicable a los tipos de
detectores y configuraciones de medida más comunes, de fácil manejo y con un balance “exactitud
- tiempo de ejecución” aceptable para su uso práctico. Con ello se pretende contribuir a la
generalización de la simulación estocástica como herramienta ampliamente demandada para suplir
el déficit de patrones radiactivos y complementar, de esta forma, las calibraciones en eficiencia en
los laboratorios que emplean la espectrometría de la radiación gamma como técnica de medida.
En el Capítulo 2 se describen brevemente las características y el principio de funcionamiento de
los detectores más utilizados para la detección de la radiación gamma, abordando los aspectos más
relevantes de los procesos de interacción de este tipo de radiación con la materia. A partir de esta
información se analizan los elementos que conforman la función respuesta de los detectores, se
comentan las calibraciones necesarias para poder extraer información cuantitativa de los espectros
de amplitud de pulsos y se indica el papel de la simulación estadística para este fin. Los
fundamentos de la simulación estadística mediante el método Monte Carlo son tratados en el
Capítulo 3, donde se estudian las propiedades de las secuencias de números aleatorios y las
técnicas para su obtención. Se explican los procedimientos para muestrear variables aleatorias a
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Capítulo 1
Introducción
partir de números aleatorios uniformemente distribuidos y se explica la secuencia general de la
simulación del transporte de las radiaciones ionizantes, incluyendo los procedimientos utilizados
en cada una de sus etapas, la incertidumbre asociada y algunos de los procedimientos más
empleados para su reducción. En el Capítulo 4 mostramos la implementación en el código
DETEFF de los principios descritos en los capítulos anteriores. Se presenta la interfaz de usuario y
la estructura del programa, y a partir de esta última se detallan los procedimientos utilizados en
cada una de las etapas de la simulación, es decir: la generación de números aleatorios, la selección
del punto de surgimiento de los fotones en la muestra y el muestreo de su vector de dirección, los
procedimientos de análisis geométrico, el seguimiento de las partículas secundarias, y el
tratamiento de las incertidumbres, incluyendo las técnicas de reducción de varianzas que se
aplican.
Los resultados de los ejercicios de verificación y validación del código se muestran en el Capítulo
5. En el Capítulo 6 se resumen algunas de las principales aplicaciones realizadas con el programa.
Finalmente, se presentan las conclusiones más importantes del presente trabajo, resaltando sus
principales aportaciones.
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Capítulo 1
Introducción
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CAPÍTULO 2
DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA DE
ESPECTROMETRÍA DE RADIACIÓN GAMMA
2.1 Introducción
La interacción de las radiaciones ionizantes con la materia conduce generalmente a una
transferencia de energía que origina efectos físicos y químicos. Esta transferencia de energía
ocurre básicamente a través de los procesos de ionización y excitación, en los que se basan la
mayoría de los métodos de detección y cuantificación de las radiaciones ionizantes. Algunos
métodos de medida se fundamentan en los cambios que se producen como resultado final de la
energía depositada por las radiaciones ionizantes, como cambios químicos, transformaciones de
las estructuras cristalinas y calentamiento de sólidos y líquidos.
En el año 1895 Wilhelm Röntgen descubrió los rayos X por la fluorescencia que originaban en un
material cercano al tubo de rayos catódicos con el que realizaba sus experiencias. De forma casi
simultánea, en el año 1896, Henry Becquerel descubrió la radiactividad natural. También de forma
accidental notó un ennegrecimiento en películas fotográficas ubicadas en las cercanías de los
materiales estudiados. Así surgieron los primeros detectores de radiaciones ionizantes, que se
basaron en la fluorescencia y en la ionización de la sal de AgBr en las emulsiones fotográficas.
Durante las primeras décadas del siglo XX, el desarrollo de los detectores gaseosos permitió la
realización de medidas cuantitativas instantáneas de la radiación gamma mediante la colección de
las cargas eléctricas producidas en un gas al ser ionizado por esta radiación. La aparición de los
contadores proporcionales en 1940 fue un paso importante en el desarrollo de la espectrometría de
la radiación gamma, particularmente de bajas energías. Uno de los principales inconvenientes de
estos detectores gaseosos era su baja sensibilidad para la detección de la radiación gamma. Esta
dificultad fue superada ampliamente en el año 1948 con el surgimiento de los cristales
centelleadores de NaI (Tl). La rápida generalización de los detectores de NaI (Tl) y su aplicación
práctica a numerosos campos del conocimiento fue posible gracias a su enorme sensibilidad, al
amplio rango de energías que permiten estudiar y a su “aceptable” resolución energética, que
posibilitó la separación de las diferentes contribuciones en fuentes gamma de energías múltiples.
Más tarde, el surgimiento y desarrollo de los detectores de semiconductor, a partir de los años 60,
constituyó una verdadera revolución en la espectrometría de la radiación gamma. La excelente
resolución energética de estos detectores facilita el procesamiento e interpretación de espectros
complejos de líneas múltiples, ampliando el horizonte de aplicaciones de esta técnica.
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
La desventaja fundamental de los primeros detectores de semiconductor de Ge(Li), dada por la
necesidad de su enfriamiento constante a la temperatura del nitrógeno líquido, quedó superada con
la comercialización de cristales hiperpuros, como el HPGe, en los que el enfriamiento sólo se
requiere durante su funcionamiento. Por otro lado, el desarrollo alcanzado por las tecnologías
asociadas a la producción de isótopos radiactivos y por la metrología de radionucleidos ha
posibilitado la disponibilidad de fuentes patrones cada vez más fiables y precisas para la
calibración de estos sistemas de medida.
En la actualidad son numerosas las aplicaciones que encuentra la espectrometría de la radiación
gamma, apoyada en sus enormes ventajas sobre otros métodos de análisis. En particular, ésta es
una técnica no destructiva que no requiere de una preparación especial de las muestras a medir,
permitiendo la cuantificación simultánea de los diferentes radionucleidos contenidos en las
mismas. El empleo de la espectrometría de la radiación gamma es ya común e insustituible en las
investigaciones de Física Nuclear, por ejemplo: durante el estudio de interacciones y modelos
nucleares [Lövestam, 2007], [Karadag, et. al., 2007], en la confirmación experimental de períodos
de semidesintegración radiactiva [Bienvenu, et. al., 2007], o en la obtención de datos nucleares
[Kossert, et. al., 2006]. Es cada vez más importante el papel de la espectrometría de la radiación
gamma en investigaciones aplicadas, como en estudios de datación isotópica [Chao, et. al., 2007],
análisis por activación neutrónica [Figueiredo, et. al., 2002] o en estudios relacionados con la
conservación del medioambiente [Orescanin, et. al., 2007]. Sería difícil imaginar el desarrollo de
la Protección Radiológica sin la contribución de la espectrometría de la radiación gamma,
particularmente en los estudios de contaminantes radiactivos en el medio ambiente, tanto de origen
natural como artificial [Cornejo Díaz, et. al., 1995], [Komura, et. al., 2007], [Tomás, et. al., 2007],
[Povinec, et. al., 2008], [Tyler, 2008], el control radiológico de los alimentos [Tomás, et. al.,
2002], [Scheibel y Appoloni 2007] y la caracterización radiológica de materiales, como los de
construcción [Brígido, et. al., 2005].
En este capítulo describiremos brevemente las características y el principio de funcionamiento de
los detectores más utilizados en la detección de la radiación gamma, abordando los aspectos más
relevantes de los procesos de interacción de la radiación gamma con la materia para comprender su
respuesta. A partir de esta información, analizaremos de forma genérica los elementos que
conforman la función respuesta de los detectores, es decir, el espectro de amplitud de pulsos vs.
energía. Las calibraciones necesarias para poder extraer información cuantitativa de los espectros
de amplitud de pulsos y el papel de la simulación estadística para este fin serán abordados al final
del capítulo.
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
2.2 Detectores empleados en espectrometría de
radiación gamma
Los tipos de detectores más utilizados en espectrometría de radiación gamma son los de materiales
centelleadores de cristales iónicos inorgánicos, como el NaI(Tl) y el CsI(Tl) y los de
semiconductor, como los de Ge(Li), Si(Li) y HPGe. A continuación describiremos brevemente las
principales características de estos detectores, los procesos físicos más relevantes que tienen lugar
en los mismos durante la detección de la radiación gamma y las principales implicaciones para la
simulación estadística de la deposición de energía en estos materiales.
2.2.1 Centelleadores de cristales iónicos inorgánicos
En los materiales centelleadores, parte de la energía depositada por las radiaciones ionizantes se
transforma en fotones de bajas energías, que pueden estar en la zona visible del espectro y cuya
intensidad guarda una relación aproximadamente lineal con la energía absorbida en el cristal. La
capacidad alcanzada en la obtención de materiales centelleadores adecuados y el desarrollo de los
tubos fotomultiplicadores electrónicos para la cuantificación de su señal luminosa, permitieron
impulsar la espectrometría de la radiación gamma con la introducción de esta técnica de recuento.
Los centelleadores de cristales iónicos inorgánicos tienen estructuras reticulares generalmente
cúbicas y muchas de sus propiedades están determinadas por interacciones de tipo electrostático
entre sus átomos. Estos materiales son aislantes y sus electrones pueden ocupar sólo niveles
discretos de energía. En su estado estable, los electrones están unidos a los átomos en la estructura
reticular del cristal, en la denominada banda de valencia. Cuando los electrones adquieren
suficiente energía, por ejemplo tras la interacción de las radiaciones ionizantes, pueden superar la
energía de enlace del retículo y migrar en el interior del cristal, pasando a la llamada banda de
conducción. El paso de un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción deja un
déficit de carga negativa en la banda de valencia, que se denomina hueco. En los cristales puros los
electrones no pueden ocupar estados de energía entre la banda de valencia y la banda de
conducción, por lo que a este espacio se le denomina banda prohibida. Por ejemplo, en el NaI la
banda prohibida tiene un ancho aproximado de 8 eV. En estos cristales, el salto posterior de un
electrón de la banda de conducción a la banda de valencia con la emisión de un fotón es un
proceso ineficiente, además, el ancho típico de la banda prohibida es tal que el fotón resultante
estaría en la zona ultravioleta del espectro, cuya detección es más difícil que en la zona de luz
visible. Para lograr la emisión eficiente de luz en la zona visible del espectro es necesaria la
existencia de determinados estados energéticos intermedios entre la banda de valencia y la banda
de conducción. Estos estados se logran con la incorporación de pequeñas cantidades (del orden de
1000 ppm) de impurezas adecuadas, conocidas como activadores.
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
El paso de una partícula cargada por el medio de detección formará una cantidad importante de
pares electrón – hueco1, originados por el salto de electrones de la banda de valencia a la banda de
conducción. Los huecos positivos se desplazarán con rapidez hacia los sitios de los activadores y
los ionizarán, pues la energía de ionización de la impureza será menor que la de los sitios del
retículo puro. A su vez, los electrones se moverán libremente por el cristal hasta encontrar alguno
de estos centros activadores ionizados. La captura del electrón en este sitio puede dar lugar a un
centro activador neutro, pero en estado excitado. Si la transición al estado básico es permitida, ésta
ocurrirá rápidamente (con vidas medias del orden de 10-7s) y con una elevada probabilidad de
emisión de un fotón de luminiscencia. Uno de los factores que condicionan la selección de la
impureza es la longitud de onda de los fotones emitidos, que debe estar en la zona visible del
espectro. Estos fotones tienen una probabilidad muy baja de ser absorbidos en el cristal, pues su
energía es muy inferior a la requerida para formar un par electrón - hueco. La Figura 2.1 muestra, a
modo de ejemplo, los estados energéticos en un cristal centelleador inorgánico activado.
Banda de conducción
Estados excitados
del centro activador
Banda
prohibida
Fotón de
centelleo
Estado básico
del centro activador
Banda de valencia
Figura 2.1: Estructura de bandas energéticas en un cristal centelleador inorgánico activado
Figura 1
El centelleo del NaI activado con talio fue dado a conocer en 1948 por Hofstadter [Hofstadter,
1948], quien logró el crecimiento de pequeños cristales en un tubo de cuarzo y observó su elevada
luminiscencia con relación a los centelleadores orgánicos. Estudios posteriores hallaron que la
eficiencia absoluta de centelleo en el NaI(Tl) era de un 13% a temperatura ambiente y que la
luminiscencia provenía casi en su totalidad de los centros de Tl, con una longitud de onda de unos
410 nm (3 eV), [Van Sciever y Bogard 1958]. Esto significa, que cada fotón de 1.0 MeV que
deposite completamente su energía en el cristal debe producir unos 4.3 x 104 fotones de centelleo,
de aproximadamente 3 eV. Conociendo que la cantidad de pares de electrón – hueco producidos
por fotones de 1.0 MeV debe ser de unos 5.0 x 104, o sea, que se requieren 20 eV por par, es
posible concluir que en el NaI(Tl) existe una elevada probabilidad de emisión de luz durante la
recombinación electrón – hueco en los centros activadores de Tl+. Por otro lado, el
1
Como promedio se requiere una energía aproximadamente igual a 3 veces el ancho de la banda prohibida
para formar un par electrón – hueco. En el NaI esto significa que una partícula cargada debe perder
alrededor de 20 eV por cada par electrón – hueco que origine.
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
comportamiento de la intensidad de la luz de centelleo con la energía absorbida en el cristal es
prácticamente lineal en el rango de interés para la espectrometría de la radiación gamma
[Miyajima et. al., 1993]. En la actualidad es posible fabricar detectores de NaI(Tl) de diversos
tamaños, con un alto grado de homogeneidad. Estas propiedades, unidas al elevado coeficiente de
absorción de la radiación gamma en el NaI, debido esencialmente al elevado número atómico del
Yodo (Z = 53), hacen que el NaI(Tl) sea el material centelleador de referencia, utilizado en
diversas aplicaciones donde se requiere la medida eficiente de la radiación gamma: Medicina
Nuclear, evaluación de la contaminación interna con sustancias radiactivas, control de procesos
industriales mediante transmisión o dispersión de la radiación gamma, vigilancia radiológica del
Medio Ambiente, etc.
Otro de los haluros alcalinos más utilizados como material centelleador es el Yoduro de Cesio,
activado con sodio o con talio, con propiedades muy diferentes en ambos casos. Es precisamente
el CsI el material centelleador de mayor coeficiente de absorción de la radiación gamma por
unidad de volumen, gracias a su elevada densidad (4.51 g.cm-3). Este material es más maleable que
el NaI, permitiendo la construcción de detectores de diferentes formas y tamaños. Sin embargo, la
eficiencia del CsI(Tl) y del CsI(Na) en la emisión de luz por unidad de energía absorbida es menor
que en el NaI(Tl) y la vida media de los estados excitados de los centros activadores es algo mayor
que en el NaI(Tl).
En general, puede decirse que el principio de funcionamiento de los detectores centelleadores es
un proceso complejo y no muy eficiente de conversión de la energía de la radiación ionizante en
portadores de carga eléctrica, a partir de la luminiscencia del medio detector. La eficiencia de
registro de la luz de centelleo dependerá de diversos factores, tales como el tamaño del cristal, el
lugar de la interacción de la radiación gamma dentro de éste, la reflexión de la luz en la superficie
del cristal, el acople óptico con el tubo fotomultiplicador y las posibles diferencias en la
sensibilidad del foto-cátodo. Por otro lado, el número de fotoelectrones producidos por cada
cuanto gamma es una magnitud aleatoria con distribución de Poisson, cuya desviación estándar se
puede estimar a partir de las eficiencias de los diferentes procesos de conversión de la energía de la
radiación ionizante en portadores de carga eléctrica. Por ejemplo: si se asume de forma
conservadora que en un detector de NaI(Tl) el 70% de la luz de centelleo llega al foto-cátodo y que
la eficiencia cuántica de éste es del 25%, se tiene que la cantidad de fotoelectrones2 producidos a
partir del registro de un fotón de 1 MeV será de unos 7.6x103, con una desviación estándar de 87
fotoelectrones, lo que implica una desviación estándar relativa del 1.1 %. La amplitud de la señal a
la salida del tubo foto-multiplicador es proporcional al número de fotoelectrones, por lo que la
fluctuación estadística de éste provocará variaciones en la amplitud de los impulsos originados por
eventos con igual deposición de energía. De esta forma la resolución energética, definida
2
Este es el número mínimo de cargas eléctricas en la cadena de procesamiento de la señal, porque en lo
adelante se producirá la multiplicación de los electrones en el tubo foto-multiplicador.
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
formalmente como el ancho del pico de absorción total a la mitad de su altura (FWHM) dividido
por el valor esperado de la altura de los impulsos, puede estimarse a partir de la desviación
estándar relativa del número de fotoelectrones. Asumiendo que el pico de absorción total es
Gaussiano, el valor de FWHM es 2.35 veces la desviación estándar, por lo que en nuestro ejemplo
la resolución energética por fluctuaciones estadísticas en los portadores de carga será del 2.6 %.
Otros factores como la dependencia espacial de la reflexión de la luz de centelleo en la superficie
del cristal, la falta de homogeneidad en el cristal, las variaciones de sensibilidad en la superficie
del foto-cátodo, la falta de linealidad de la eficiencia de centelleo con la energía depositada y las
fluctuaciones en la amplificación de cargas dentro del tubo foto-multiplicador, contribuyen a
empeorar la resolución de los detectores centelleadores.
Precisamente, la resolución energética constituye una de las principales desventajas de los
detectores centelleadores con relación a los detectores de semiconductor, cuyo principio de
funcionamiento abordamos a continuación.
2.2.2 Detectores de semiconductor
Siguiendo el modelo de la Figura 2.1, los materiales semiconductores están constituidos por
estructuras cristalinas con un ancho de banda prohibida en el rango aproximado de 1 – 5 eV. Los
materiales más utilizados en la espectrometría de la radiación gamma son el Si y el Ge, ambos del
grupo IV de la Tabla Periódica, en los que los electrones forman parte de los enlaces covalentes
que constituyen las fuerzas interatómicas dentro del cristal, con un ancho de la banda prohibida
igual a 1.12 eV en el Si y 0.74 eV en el Ge. Estos pequeños espesores de la banda prohibida hacen
que la energía mínima requerida para la formación de un par electrón – hueco sea
considerablemente menor que la requerida en el NaI, en concreto, 3.61 eV en Si y 2.98 eV en Ge
[Knoll, 1989]. Aplicando el procedimiento del punto anterior para calcular la resolución energética
debida a las fluctuaciones estadísticas del número de portadores de carga eléctrica, se tiene que
ésta será inferior al 0.4 % en el Ge, para radiación gamma de 1 MeV. Considerando además que en
los detectores de semiconductor no es posible asumir una total independencia entre los eventos de
ionización a lo largo de la trayectoria de las partículas de las radiaciones ionizantes [Fano, 1946],
este valor se reduce a 0.1 % aproximadamente, al aplicar a la varianza del número de portadores de
carga (obtenida a partir de la distribución de Poisson) una corrección o factor de Fano igual a 0.06,
según [Zulliger y Aitken, 1970].
En los semiconductores puros los pares electrón-hueco son originados por la excitación térmica
(en ausencia de la radiación ionizante), siendo el número de electrones en la banda de conducción
igual al número de huecos en la banda de valencia. Los semiconductores de tipo n se obtienen
añadiendo impurezas que forman centros donantes de electrones, por ejemplo, añadiendo átomos
del grupo V de la Tabla Periódica, como el fósforo. Cuando la cantidad de los centros donantes es
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
muy superior al número inicial de electrones y huecos en el semiconductor intrínseco, la cantidad
de huecos se reduce considerablemente, siendo los electrones los portadores mayoritarios de
cargas eléctricas y los huecos los portadores minoritarios. En los semiconductores de tipo p, por el
contrario, las impurezas que se añaden crean centros con afinidad de electrones, por ejemplo,
utilizando átomos del grupo III de la Tabla Periódica, como el boro. Los portadores mayoritarios
de carga son en este caso los huecos, reduciéndose considerablemente del número de electrones en
la banda de conducción. Cuando el dopaje es muy elevado y la concentración de portadores
minoritarios es mínima, los semiconductores del tipo n se denotan como n+ y los del tipo p como
p+. Estos semiconductores con alto dopaje tienen una elevada conductividad eléctrica y se utilizan
como contactos rectificadores en los detectores de semiconductor.
Los detectores de semiconductor tienen una estructura del tipo P-I-N, en la cual la región
intrínseca (I) está constituida por una zona libre de portadores de carga3, a la que se aplica un
voltaje inverso a través de los contactos rectificadores formados con semiconductores del tipo p+ y
n+. Cuando la radiación gamma interactúa dentro de la región intrínseca libera portadores de carga
eléctrica (pares electrón – hueco) que se mueven hacia los electrodos correspondientes por la
acción del campo eléctrico aplicado. La carga resultante de este desplazamiento es integrada, por
ejemplo, con un amplificador operacional sensible a carga y convertida en un impulso de voltaje
cuya amplitud es proporcional a la energía depositada por la radiación.
La profundidad de la zona “libre de portadores” es inversamente proporcional a la concentración
neta de impurezas, por lo que se requiere de materiales extremadamente puros para obtener los
volúmenes que demanda la detección eficiente de la radiación gamma. Desde comienzos de los
años 1970 los niveles de pureza requeridos en el Si y en el Ge comenzaron a lograrse
artificialmente mediante la compensación de cristales de tipo p con impurezas de tipo n (balance
de impurezas), a través de la difusión de átomos de Li. Los detectores así obtenidos se denotan
como Si(Li) o Ge(Li) y pueden estar en geometría plana o coaxial. La geometría coaxial permite
un mayor volumen de detección, al obtenerse mediante la difusión del Li desde toda la superficie
lateral (extremos abiertos) o desde toda la superficie lateral y una de las caras (extremo cerrado) en
cristales cilíndricos de tipo p. Sólo queda un núcleo cilíndrico central de tipo p no compensado con
el Li. Este núcleo, denominado “Core” en inglés, no forma parte del volumen activo y se emplea
como electrodo central sobre el que se crea un contacto eléctrico del tipo p+. La alta movilidad de
los iones de Li en el Ge a temperatura ambiente conduce a una de las mayores desventajas de los
detectores de Ge(Li), pues necesitan ser enfriados permanentemente a la temperatura del nitrógeno
líquido (77 K) para que no se rompa el balance de impurezas. Esta desventaja fue superada con la
comercialización del detector de germanio de alta pureza, denotado como HPGe. No obstante,
tanto los detectores de Ge(Li) como los de Si(Li) y HPGe, requieren ser enfriados a la temperatura
3
La reducción de los portadores de carga entre los electrodos es necesaria para reducir la corriente de
fondo por estimulación térmica.
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
del nitrógeno líquido durante su funcionamiento para reducir a un nivel aceptable el ruido
electrónico que se origina por la estimulación térmica de los portadores de carga.
Para la detección de la radiación gamma de energía en el orden de los cientos de keV o superior se
necesita disponer de detectores con el mayor número atómico y el mayor volumen de detección
posibles, por lo que los detectores coaxiales de HPGe son los detectores de semiconductor más
utilizados para este fin. Los detectores de HPGe más comunes son de tipo p, con contactos
exteriores de tipo n+ (obtenidos por ejemplo, mediante la difusión de iones de litio) que originan
una capa inactiva o capa muerta de Ge (contacto n+ + zona de transición) del orden de los 600 μm
o más. Existen detectores de HPGe de tipo n, cuyos contactos exteriores son del tipo p+ (logrados
por ejemplo, mediante la implantación de átomos de boro) con una capa muerta de Ge de apenas
algunas fracciones de μm, por lo que pueden ser utilizados además en la espectrometría de la
radiación gamma de bajas energías, hasta unos 5.0 keV [Gilmore y Hemingway, 1995]. En los
detectores coaxiales de HPGe se realiza una perforación cilíndrica en su eje principal para formar
el electrodo central (denominado indistintamente “Hole” o “Core”) en cuya superficie se forma el
otro de los contactos eléctricos, que puede ser del tipo p+ o n+ si el detector es de tipo p o de tipo n,
respectivamente. Con el objetivo de aumentar la eficiencia de detección de la radiación gamma
emitida por muestras pequeñas de muy baja actividad, se construyen detectores de HPGe de pozo,
en los que el ángulo sólido entre la muestra y el volumen activo del detector es aproximadamente
igual a 4π sr. Por otro lado, el bajo número atómico del Si (Z=14) y su aceptable ruido por
estimulación térmica, hacen que los detectores planos de Si(Li) sean destinados preferiblemente a
la espectroscopía de las radiaciones X y gamma de energías inferiores a los 150 keV.
2.2.3 Consideraciones generales para la simulación estadística
Como veremos en el Capítulo 3, para la simulación del transporte de la radiación gamma en los
detectores centelleadores y de semiconductor es necesario reproducir en el ordenador, con un
elevado grado de exactitud, los procesos físicos de interacción mediante los cuales se produce la
deposición de la energía de los fotones gamma en el volumen activo del detector.
Es importante contar con una base de datos actualizada con las secciones eficaces de interacción
para todo el rango de energías de interés y para cada uno de los materiales que conforman el
detector, incluyendo aquellos que forman parte de los soportes y el encapsulado. En la
cuantificación de la energía depositada no se requiere considerar la interacción de la radiación
gamma con los átomos de las impurezas, tales como el Tl en los detectores de NaI(Tl) o el Li en
los detectores de Ge(Li), debido a que las mismas se hallan en concentraciones muy bajas,
aproximadamente 1000 ppm en el caso del NaI(Tl) y < 1015cm-3 en Ge(Li) [Knoll, 1989].
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
Generalmente se considera que la eficiencia de producción y colección de las cargas eléctricas es
uniforme en todo el volumen activo del detector; sin embargo, debe valorarse cuidadosamente el
caso de algunos detectores, como los de HPGe de pozo, en los que el campo eléctrico en el interior
del volumen activo puede presentar inhomogeneidades importantes [Laborie, et. al., 2002],
[Hernández y El-Daoushy, 2003]. Por otro lado, en los detectores coaxiales de HPGe, las esquinas
son habitualmente redondeadas durante el proceso de producción, pues en las esquinas rectas el
campo eléctrico es tan débil que las cargas eléctricas producidas no pueden ser colectadas con
tiempos razonables de integración [Gilmore y Hemingway, 1995].
Un requisito indispensable para alcanzar resultados satisfactorios con la simulación estadística es
el conocimiento exacto de las dimensiones de cada una de las componentes estructurales del
detector [Korun, et. al. 1997], [García-Talavera, et. al., 2000], [Jurado Vargas et. al., 2002a],
[Jurado Vargas et. al., 2003]. Es habitual que los fabricantes no puedan proporcionar esta
información con el grado de exactitud requerida [Sánchez, et. al., 1991], [Lépy, et. al., 2000], por
lo que es necesario aplicar procedimientos específicos para optimizar la geometría del detector a
partir de medidas experimentales con fuentes de diferentes energías [Helmer, et. al., 2003],
[Hurtado et. al., 2004], [Dryak y Kovar, 2006]. Como puede deducirse de los puntos 2.2.1 y 2.2.2,
la simulación de los detectores de semiconductor demanda el conocimiento de un mayor número
de parámetros que la simulación de los detectores centelleadores. La Figura 2.2 muestra los
esquemas de los detectores centelleadores y de semiconductor con los parámetros más importantes
para la simulación estadística de la energía depositada por la radiación gamma.
DW
DW
EW
EC
DG
tF
RE
LD
tI
LH
tL
ES
EW
EC
RH
DG
LEYENDA
DC: Diámetro de la carcasa externa
EC: Espesor de la carcasa externa
EW : Grosor de la ventana
DW : Diámetro de la ventana
DG: Distancia cristal – ventana
LD: Longitud del cristal
RD: Radio del cristal
RE: Radio de curvatura de la esquina
LH: Altura del core inactivo
RH: Radio del core inactivo
tF: Anchura de la capa muerta frontal
tL: Anchura de la capa muerta lateral
tI : Espesor de la capa muerta interna
ES: Espesor del soporte del detector
LD
RD
RD
DC
DC
DETECTOR COAXIAL DE HPGe
DETECTOR DE CENTELLEO
Figura 2.2: Parámetros importantes para la simulación estadística de la energía depositada por
la radiación gamma en los detectores de semiconductor y de centelleo Figura 2
13
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
2.3 Respuesta de los detectores a la radiación
gamma
2.3.1 Procesos de interacción de la radiación gamma
El conocimiento de los procesos básicos de interacción de los fotones es esencial para comprender
y simular la respuesta de los detectores de radiación y en particular de los sistemas de
espectrometría de la radiación gamma. A pesar de que son numerosos los procesos involucrados
en la cadena de eventos que conduce a un impulso eléctrico a la salida de un sistema de detección,
las características más importantes de un espectro diferencial de altura de pulsos, resultante de la
detección de la radiación gamma, pueden ser interpretadas a partir de las interacciones
fundamentales que ocurren dentro del volumen activo del detector.
En el rango de energías de interés (decenas de keV a unidades de MeV) existen tres procesos
básicos mediante los cuales los fotones pueden interactuar con los materiales, entregando toda o
parte de su energía en eventos discretos. Estos procesos son el efecto fotoeléctrico, la dispersión
inelástica y la producción de pares de electrones y positrones en el campo eléctrico del átomo. La
Figura 2.3 muestra, a modo de ejemplo, la dependencia energética de la probabilidad de ocurrencia
de cada uno de estos procesos en Ge, según [Berger et. al., 1999].
Existe un cuarto proceso de interacción: la dispersión coherente (Rayleigh). En esta interacción el
fotón es dispersado por toda la envoltura electrónica del átomo, sin que se produzca la excitación
de éste. Toda la masa del átomo recibe el impulso de retroceso, siendo despreciable la variación
de energía y momento del fotón incidente. Este proceso no contribuye por tanto a la entrega de
energía a los electrones del medio, y su probabilidad de ocurrencia es al menos un orden de
magnitud inferior a la del efecto predominante para la energía de los fotones incidentes. Por otro
lado, el efecto de la dispersión coherente en los fotones incidentes tiende a cancelarse debido a
que, si bien un número de fotones puede dispersarse en una dirección determinada, un número
similar puede abandonar dicha dirección tras la dispersión [Debertin y Helmer, 1988].
14
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
Ge (Z=32)
1,00E+04
1,00E+03
1,00E+02
-1
1,00E+01
2
cm .g
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1,00E+00
Dispersión inelástica
Total sin dispersión coherente
1,00E-01
1,00E-02
1,00E-03
Efecto fotoeléctrico
Formación de pares
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
1,00E+01
1,00E+02
Energía [MeV]
Figura 2.3: Secciones eficaces de interacción de fotones en Ge Figura 3
2.3.1.1 Efecto fotoeléctrico
En el proceso fotoeléctrico el fotón incidente pierde toda su energía, y la mayor parte de esta
energía se transmite a un electrón de la envoltura atómica. La energía cinética del electrón
“arrancado” del átomo es prácticamente igual a la diferencia entre la energía del fotón incidente y
la energía de enlace del electrón en la capa de la cual fue arrancado. Aunque una fracción de la
energía es absorbida por el retroceso del núcleo atómico, ésta es despreciable en comparación con
la energía de la radiación gamma y del fotoelectrón. Si la energía del fotón incidente es superior a
la energía de la capa K del átomo (11.1 keV para Ge), la interacción ocurrirá con mayor
probabilidad con los electrones de esa capa. Como consecuencia de este proceso, el átomo queda
con un déficit de un electrón en la capa donde ocurrió el efecto fotoeléctrico, produciéndose la
emisión de rayos X característicos o de electrones Auger al completarse dicha capa con electrones
de otras capas más externas en el átomo. Esta secuencia de eventos ocurre en un espacio de tiempo
muy inferior al tiempo de respuesta de los sistemas de detección, por lo que si los rayos X
característicos son absorbidos en el propio detector mediante otros efectos fotoeléctricos, la
energía del fotón incidente se absorberá totalmente, generando una señal eléctrica única
proporcional a esta energía.
Como se aprecia en la Figura 2.3, el proceso fotoeléctrico es el modo predominante de interacción
de la radiación electromagnética de energías relativamente bajas. La probabilidad de este efecto
disminuye rápidamente con el aumento de la energía de los fotones. Por otro lado, la probabilidad
aumenta con el incremento del número atómico del material, por lo que uno de los parámetros
15
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
importantes en la selección de los detectores de radiación gamma es precisamente su número
atómico efectivo. Si bien no existe una expresión analítica única para describir la probabilidad del
efecto fotoeléctrico en un átomo ( τ ) para todos los rangos de energía y número atómico, es
posible escribir la siguiente aproximación cuando la energía de los fotones es superior a la energía
de enlace de los electrones en la capa K del átomo:
τ ≅ k⋅
Zn
( hν )
(2-1),
3
siendo k una constante de proporcionalidad, y n varía entre 4 y 5 en el rango de energías de
interés.
2.3.1.2 Dispersión inelástica
Este proceso es con frecuencia el mecanismo de interacción predominante en el rango de energías
de las fuentes radiactivas. En la Figura 2.3 se observa cómo este tipo de interacción es el de mayor
probabilidad en Ge para energías de los fotones entre los 200 keV y las unidades de MeV. El fotón
incidente es dispersado por un electrón de la envoltura atómica con una pérdida parcial de su
energía y en un ángulo θ con relación a su dirección inicial. Para la caracterización cinemática del
proceso se asume que el electrón está libre y en reposo, por lo que de las leyes de conservación de
la energía y el impulso se obtiene la ecuación que relaciona la energía del fotón dispersado con el
ángulo de dispersión [Compton, 1923]:
hν ' =
hν
(2-2),
hν
1+
(1 − cos θ )
m0c2
donde: hν’ y hν son las energías de los fotones dispersado e incidente, respectivamente, m0c2 es la
masa en reposo del electrón y θ es el ángulo de dispersión del fotón.
La energía cinética del electrón emitido (Ec) puede estimarse entonces según:
E C = hν −
hν
hν
1+
(1 − cos θ )
m0c2
(2-3)
Según se deduce de la ecuación (2-3), la energía máxima entregada al electrón nunca alcanzará el
valor de la energía del fotón incidente, estando en el rango entre cero (para θ = 0) y
hν −
hν
(para θ = π).
hν
1+ 2
m0c2
16
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
La probabilidad de dispersión en un átomo, en un ángulo determinado, puede obtenerse a partir de
la sección eficaz diferencial de la dispersión inelástica
dσIN , que puede escribirse según [Hubbell,
dθ
1997] como:
dσ IN dσ KN
=
⋅ S ( x, Z )
dθ
dθ
(2-4),
donde:
dσ KN
es la sección eficaz diferencial de la dispersión no coherente, o dispersión Compton,
dθ
de la radiación electromagnética no polarizada en un electrón libre en reposo, que según [Klein y
Nishina, 1929] se expresa como:
(
)
2
⎡
⎤
1 + cos 2 θ
α 2 (1 − cos θ )
dσ KN
2
⎢
⎥ ⋅ sin θ
= π ⋅ re ⋅
⋅
+
1
2
dθ
1 + cos 2 θ ⎡⎣1 + α (1 − cos θ ) ⎤⎦ ⎥
⎡⎣1 + α (1 − cos θ ) ⎤⎦ ⎣⎢
⎦
siendo: re =
(
)
(2-5),
1
e2
hν la energía
⋅
= 2.818 ⋅10−15 m el radio clásico del electrón y α =
2
me c2
4π ⋅ ε 0 m e c
del fotón incidente (en unidades de la masa en reposo del electrón).
S(x,Z) es una corrección a la fórmula de Klein-Nishina para considerar el efecto de la
energía de enlace del electrón en el átomo. Z es el número atómico del material y la variable x es
la medida de la transferencia de impulso al electrón:
x=
( 2)
sin θ
(2-6),
λ
siendo λ la longitud de onda del fotón incidente, dada en Å.
La Figura 2.4 muestra el comportamiento de S(x, Z) en función de la variable x, en el caso
particular del Ge. Puede observarse que esta función tiene forma sigmoidea y está en el rango entre
0 y Z, favoreciéndose las dispersiones que ocurren con la mayor transferencia de impulso. En otros
términos, las dispersiones de los fotones con ángulos próximos a cero tienen una probabilidad más
baja de ocurrencia y este efecto se hace más notable a medida que disminuye la energía de los
fotones incidentes. En [Hubbell, et. al., 1975] y [Hubbell, et. al., 1977] se describe detalladamente
la función S(x, Z), se ofrece en forma de tablas para 0.005 Å-1 ≤ x ≤ 109 Å-1 y 1 ≤ Z ≤ 100 y se
compara con resultados experimentales. Para facilitar las simulaciones estadísticas, en [Baró, et.
al., 1994] se brindan los ajustes de la función S(x, Z) con funciones analíticas en los intervalos:
0.005 Å-1 ≤ x ≤ 109 Å-1 y 1 ≤ Z ≤ 92.
17
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
La Figura 2.5 muestra la dependencia de la sección eficaz diferencial de la dispersión inelástica en
un átomo de Ge (
dσ IN
) con el ángulo de dispersión para dos valores de energía de los fotones
dθ
incidentes. Puede observarse que a medida que aumenta la energía de los fotones disminuye el
ángulo medio de dispersión, con la consiguiente variación en el recorrido medio de los fotones
dispersados dentro del volumen activo del detector, para una geometría de medida determinada.
La probabilidad de ocurrencia de la dispersión inelástica en un átomo (σIN) dependerá del número
de electrones disponibles, por lo que aumentará linealmente con el número atómico Z. La
dependencia con la energía puede apreciarse en la Figura 2.3. Pudiera escribirse analíticamente, de
forma aproximada, como:
σ IN ≅ k ⋅
Z
⋅
hν
(2-7),
siendo k una constante de proporcionalidad.
Ge-32
35
30
S(x,Z)
25
20
15
10
5
0
0,010
0,100
1,000
x
[ Å
10,000
−1
]
Figura 2.4: Gráfico de la función de dispersión para Ge Figura 4
18
100,000
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
1,0
1.0 MeV
0.1 Mev
0,5
0,0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
θ [ radianes]
Figura 2.5: Gráficos de la sección eficaz diferencial normalizada de la dispersión inelástica en
función del ángulo de dispersión para Ge Figura 5
2.3.1.3 Formación de pares electrón - positrón
La formación de pares electrón – positrón en el campo del núcleo atómico4 es energéticamente
posible cuando la energía de los fotones incidentes es superior a la masa en reposo del par electrón
– positrón, es decir, 1.022 MeV. En esta interacción, que ocurre bajo la acción del campo eléctrico
del núcleo, el fotón desaparece y en su lugar se crea un par electrón – positrón. La energía total del
par de partículas será igual a la energía del fotón incidente, de modo que, toda la energía del fotón
en exceso de los 1.022 MeV se transforma en energía cinética del par electrón – positrón. Debido a
que el positrón es una partícula inestable, una vez en reposo en el campo de un electrón se
producirá la aniquilación de ambos, con la emisión de dos fotones, cada uno con una energía
aproximada5 de 0.511 MeV. Al igual que en el caso de la dispersión inelástica, la energía del fotón
incidente no se deposita completamente en el lugar de la interacción. La energía cinética del par
electrón – positrón se absorberá prácticamente de forma local, excepto la energía que pudiera
emitirse en forma de radiación de frenado; sin embargo, los dos fotones de 0.511 MeV llevarán su
energía a otro lugar, para interactuar probablemente mediante dispersión inelástica o efecto
fotoeléctrico. Es posible que los dos fotones de aniquilación escapen del volumen activo del
detector o que escape uno de ellos e incluso que después de una segunda interacción escape una
fracción de la energía de alguno de ellos. Debido a que el tiempo en el que se produce el frenado y
4
La formación de pares electrón – positrón en el campo de la envoltura electrónica del átomo sólo es posible
para energías de los fotones superiores a 4mc2.
5
Ambos fotones de aniquilación tienen energías ligeramente diferentes como consecuencia del impulso del
par electrón – positrón antes de la aniquilación.
19
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
aniquilación del positrón es muy inferior al tiempo de respuesta de los sistemas de detección, esta
radiación de aniquilación ocurre en coincidencia virtual con el proceso de formación de pares.
En la Figura 2.3 se muestra la dependencia de la sección eficaz de la formación de pares con la
energía. La sección eficaz de la formación de pares en el campo del núcleo atómico varía
aproximadamente según la segunda potencia del número atómico y el logaritmo de la energía del
fotón incidente:
κ ≅ k ⋅ Z2 ⋅ ln ( hν )
(2-8),
siendo k una constante de proporcionalidad.
A continuación veremos cómo puede interpretarse un espectro de altura de pulsos a partir del
conocimiento de los procesos de interacción descritos.
2.3.2 Componentes de un espectro de radiación gamma
El espectro de radiación gamma emitido por una fuente consiste en líneas discretas muy estrechas,
mientras que el espectro de amplitud de pulsos medido en un espectrómetro de radiación gamma
es una distribución continua en la que se superponen una serie de componentes discretas o picos
con forma aproximadamente gausiana. Este no es un espectro de fotones propiamente, sino más
bien un espectro de la energía cinética transmitida por los fotones a los electrones del detector y
absorbida en el volumen activo del detector durante el tiempo de resolución de la cadena
electrónica del sistema de medida.
Para estudiar las componentes del espectro de amplitud de pulsos supondremos primeramente que
sobre un detector de Ge incide una radiación gamma monoenergética, con energía igual a 2.0
MeV. En la Figura 2.3 se pueden apreciar los tipos fundamentales de interacción que ocurrirán en
el volumen activo del detector: la dispersión inelástica, la formación de pares y el efecto
fotoeléctrico, en una proporción aproximada de 193:8:1. Si sobre el detector incide un número
estadísticamente significativo de fotones se obtendrá una distribución de la energía absorbida en el
volumen activo del detector similar a la que se muestra en la Figura 2.66.
Cuando toda la energía de los fotones es absorbida en el volumen activo del detector se produce el
pico indicado como A, correspondiente en nuestro caso a una energía E1 = 2.0 MeV. La absorción
total de los fotones puede ocurrir si estos interactúan mediante efecto fotoeléctrico, a través de
6
Este espectro de energía absorbida en el volumen activo del detector difiere en algo de un espectro real.
En un espectro real las componentes discretas aparecerán como “Gaussianas” y no como líneas sobre la
parte continua del espectro, debiéndose esto esencialmente a las fluctuaciones estadísticas en el número de
cargas eléctricas colectadas por unidad de energía depositada en el volumen activo del detector, a las
fluctuaciones en la eficiencia de colección de cargas y al ruido de la cadena electrónica.
20
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
varias dispersiones inelásticas seguidas de un evento fotoeléctrico, o mediante la formación de
pares con la absorción de ambos fotones de aniquilación, y si además no se produce ningún escape
de energía en forma de radiación X característica o de radiación de frenado. El pico resultante de
esta pérdida total de energía se denomina pico de absorción total (fotopico) y es la característica
distintiva de todo espectro de amplitud de pulsos.
A
B
C
E
F
I
G
H
D
E7
E6
E5
E4
E3
E2
E1
Figura 2.6: Espectro ideal de altura de pulsos en Ge para radiación gamma de 2.0 MeV Figura 6
La posición del pico de absorción total (ubicación en el eje x o número del canal central) y su
intensidad (cantidad de cuentas en la unidad de tiempo) son los parámetros utilizados para
determinar la energía y la intensidad de la radiación gamma, respectivamente. El escape de la
radiación X característica produce pequeños picos desplazados a la izquierda del pico de absorción
total, coincidiendo este desplazamiento con el valor de la energía de la radiación característica que
escapa del cristal. Los picos de escape de la radiación característica se hacen menos relevantes a
medida que aumenta la energía de la radiación gamma, fundamentalmente porque disminuye la
probabilidad de escape de estos fotones al originarse a mayores profundidades en el volumen
activo del detector.
Cuando los fotones incidentes interactúan con el volumen activo del detector mediante la
dispersión inelástica y se escapan los fotones secundarios, se produce una absorción parcial de la
energía de la radiación incidente (E1), formándose el continuo indicado como B. De acuerdo con
la ecuación (2-3), la energía depositada en el cristal estará entre cero para
E1 −
θ = 0o y
E1
cuando θ = 180o, por lo que el continuo de la dispersión inelástica simple se
E1
1+ 2
m0c2
21
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
extenderá en todo ese rango. La energía máxima que se absorbe en el cristal tras la dispersión
inelástica de los fotones incidentes será en nuestro caso: E2 = 1.77 MeV. Es en este valor de
energía donde está el extremo del continuo, denominado borde Compton, que se indica con la letra
C en la Figura 2.6. La forma del continuo de la dispersión inelástica, formando un pequeño pico7
en el borde Compton se debe esencialmente a la dependencia de la energía del fotón secundario
con el ángulo de dispersión (Ver la Figura 2.7). Es decir, a partir de un ángulo de dispersión de
unos 120º, la energía de los fotones dispersados sufre muy poca variación. Si después de
producirse la dispersión inelástica de los fotones incidentes tienen lugar otras interacciones de los
fotones secundarios en el volumen activo del detector, con el escape ulterior de alguna fracción de
energía, se forma la zona indicada con la letra D y conocida como zona de dispersión múltiple,
porque a ella contribuye esencialmente el proceso de dispersión inelástica. Debe señalarse que la
zona de dispersión múltiple se extiende desde cero hasta la energía de los fotones incidentes.
Cuando los fotones incidentes interactúan mediante el proceso de formación de pares electrón –
positrón y escapa alguno de los fotones de aniquilación, se produce el pico indicado con la letra E,
o pico de escape simple, el cual está desplazado aproximadamente8 unos 0.511 MeV a la izquierda
del pico de absorción total. En nuestro ejemplo: E3 = E1 – 0.511 MeV = 1.489 MeV. El pico
marcado con la letra F corresponde a la energía absorbida en el volumen activo del detector
cuando escapan los dos cuantos de aniquilación. Se denomina pico de escape doble y está
desplazado 1.022 MeV a la izquierda del pico de absorción total, siendo en nuestro caso: E4 = E1
– 1.022 MeV = 0.978 MeV. Una característica que permite identificar a los picos de escape es que
no poseen barrera Compton a su izquierda. La absorción incompleta de los fotones de
aniquilación, por ejemplo tras su dispersión inelástica, contribuye a la región continua del espectro
(B) en el intervalo [E1-1.022 MeV, E1].
Para reducir los niveles de radiación de fondo, el sistema de detección se rodea con un blindaje
adecuado, generalmente construido con plomo y acero. Este blindaje representa, sin embargo, una
fuente importante de radiación dispersada que incide en el detector. La dispersión de los fotones
también ocurre en el soporte de la fuente, dentro de la propia fuente y en la estructura que soporta
al detector. Cuando los fotones que sufren dispersión inelástica en los materiales que rodean al
detector se absorben totalmente en éste, producen el denominado pico de retrodispersión (letra H
en la Figura 2.6). Este pico estará en la zona de energías dada por la ecuación 2-2 para ángulos de
dispersión superiores a 120o. El pico se produce debido a que, como se observa en la Figura 2.7, la
7
El borde Compton es suavizado y más bajo en un espectro real debido a las fluctuaciones estadísticas
durante la colección de las cargas eléctricas y al procesamiento de las señales por la cadena electrónica
del sistema. Otra causa de la disminución de la pendiente Compton es el efecto Doopler causado por el
impulso de los electrones antes de la dispersión.
8
El pico de escape simple estará desplazado unas decenas de eV hacia la derecha debido al movimiento del
positrón en el campo eléctrico del detector de semiconductor. Por otro lado, la resolución en el pico de
escape simple es algo más pobre que en el pico de escape doble o que en el pico de absorción total, debido
a que ambos fotones de aniquilación tienen energías ligeramente diferentes como consecuencia del impulso
del par electrón – positrón antes de la aniquilación.
22
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
energía de los fotones secundarios sufre muy poca variación a partir de un ángulo de dispersión
aproximadamente igual a 120º. Se puede apreciar además que a partir de este ángulo, la energía de
los fotones dispersados es prácticamente independiente de la energía de los fotones primarios. Esta
última observación implica que aún en el caso de fuentes gamma de múltiples energías, el pico de
retrodispersión tendrá una localización definida
en el espectro.
Ahora bien, la forma y la
intensidad relativa del área de retrodispersión dependerán de las energías de los fotones, de los
materiales que rodean al detector, de su geometría y dimensiones.
Otro efecto ocasionado por los materiales que rodean al detector se produce cuando los fotones
emitidos por la fuente, con energías superiores a 1.022 MeV interactúan con estos materiales
mediante la formación de pares. En este caso, alguno de los cuantos de aniquilación puede ser
absorbido completamente en el volumen activo del cristal. Surge entonces un pequeño pico de
aniquilación, indicado con la letra G, cuya energía E5 es igual a 0.511 MeV9. Este pico es
generalmente muy bajo, por lo que normalmente no se alcanza a distinguir su barrera Compton.
Por otro lado, si los fotones que emite la fuente son absorbidos mediante efecto fotoeléctrico en las
paredes del blindaje que rodea al detector y la radiación X característica que se emite es absorbida
en el volumen activo del detector, podrá producirse un pico como el indicado con la letra I en la
Figura 2.6. Si el material del blindaje es el Pb, la radiación X característica de la capa K tendrá una
energía de aproximadamente 72 keV, por lo que de no cubrirse las paredes interiores del blindaje
con materiales adecuados10 será muy probable que aparezca este pico en E7 = 0.072 MeV.
Para concluir con este análisis general del espectro de amplitud de pulsos, supongamos que sobre
el detector de Ge incide una radiación gamma monoenergética de 40.0 keV. Según se puede ver en
la Figura 2.3, los efectos posibles mediante los cuales los fotones entregarán energía a los
electrones del volumen activo del detector serán en este caso: el efecto fotoeléctrico y la dispersión
inelástica, en una proporción aproximada de 98:2. Este predominio del efecto fotoeléctrico
provoca que apenas se aprecie el continuo Compton, cobrando mayor relevancia los picos de
escape de la radiación X característica originada en los átomos del detector. En la Figura 2.8 se
ofrece un espectro ideal de amplitud de pulsos, obtenido a partir de la simulación estadística de la
medida de la radiación gamma de 40.0 keV en un detector de HPGe. Se aprecian las líneas de
escape de la radiación característica Kα y Kβ del Ge y un pequeño continuo Compton, cuyo borde
está apenas en 5.4 keV.
En este caso no se observa la zona de dispersión múltiple, por ser la
dispersión inelástica muy poco probable en estas bajas energías.
9
Este pico será algo más ancho de lo esperado debido a una ligera diferencia en la energía de ambos
fotones de aniquilación, como consecuencia del impulso del par electrón – positrón. El centro del pico
estará ligeramente desplazado hacia la izquierda debido a la energía de enlace del electrón donde ocurre
la aniquilación.
10
Generalmente las paredes interiores de los blindajes de Pb se cubren sucesivamente con materiales de
menor energía en la capa K, como el Cd y el Cu. De esta forma, la radiación X característica del Pb es
absorbida con una gran probabilidad por el recubrimiento de Cd y al mismo tiempo, la radiación
característica emitida por el Cd es absorbida por la capa siguiente de Cu. La radiación X característica
del Cu, de apenas unos 8.0 keV, es la que sale de la pared interior del blindaje.
23
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
2,0
0.5 MeV
Energía en MeV
1,5
1.0 MeV
2.0 MeV
1,0
0,5
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Ángulos en grados
Figura 2.7: Dependencia de la energía de los fotones secundarios con el ángulo de salida en la
dispersión inelástica, para tres energías de los fotones primarios Figura 7
En los espectros reales, obtenidos durante la medida de radionucleidos con varias emisiones
gamma o de fuentes con múltiples radionucleidos, se produce la superposición de cada una de las
componentes analizadas en este apartado. A modo de ejemplo, la Figura 2.9 muestra un espectro
real correspondiente a una fuente de 60Co ubicada a 10cm de la superficie de un detector de HPGe
de tipo p.
Pico de
Absorción total
Pico de escape
de Kβ (11.0 keV)
Pico de escape
de Kα (9.9 keV)
Barrera Compton
5.4 keV
30.1 keV
40.0 keV
29.0 keV
Figura 2.8: Espectro ideal de altura de pulsos en un detector de HPGe para radiación gamma de
40.0 keV Figura 8
24
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
Pico de retrodispersión
Pico de aniquilación
511.0 keV
Picos de absorción
total
Picos de escape
simple
1000
100
Bordes Compton
Dispersión
múltiple
10
1
182.0
364.4
546.8
729.2
911.6
1276.4
1094.0
Energía [keV]
Figura 2.9: Espectro correspondiente
HPGe11Figura 9
a la radiación gamma del
60
Co, en un detector de
Para obtener información cuantitativa de los espectros de altura de pulsos es necesario realizar tres
pasos básicos: a) identificar los picos de absorción total y hacer corresponder su posición,
expresada en el número de orden del canal central, con un valor de energía; b) calcular el área de
cada pico de interés mediante la selección de los canales significativos y la suma de las cuentas en
cada uno de ellos; c) calcular la actividad de cada uno de los radionucleidos en la muestra medida
a partir de las áreas de los picos de absorción total y de los tiempos reales de medida. Todas estas
operaciones están sustentadas en la calibración previa del sistema de espectrometría, cuyos
aspectos esenciales describiremos en el punto siguiente.
11
Cortesía del Laboratorio de Vigilancia Radiológica Ambiental del Centro de Protección e Higiene de las
Radiaciones. La Habana, Cuba.
25
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
2.4 Calibración de los sistemas de detección
2.4.1 Calibración en energía
Tanto en los detectores de cristales centelleadores como de semiconductor existen pequeñas
desviaciones de la relación lineal entre la amplitud de los impulsos eléctricos a la salida del
sistema electrónico y la energía de la radiación incidente. Estas desviaciones se deben
esencialmente a la falta de uniformidad en el proceso de formación y colección de cargas eléctricas
dentro del detector, a la dependencia direccional de la aceleración de los electrones en los cristales
de semiconductor durante el proceso de colección de cargas, así como a la falta de linealidad del
sistema de amplificación y análisis de la señal. Debido a lo anterior se requiere de calibraciones
periódicas que hagan corresponder la energía de la radiación gamma con la altura del pulso
(número del canal central) en el pico de absorción total.
Para realizar las calibraciones se utilizan fuentes con emisiones gamma cuyas energías sean
conocidas con un alto grado de exactitud, y que cubran el rango de energías de interés [Browne y
Firestone, 1986], [Firestone, 2003], [BIPM, 2004]. Con los puntos obtenidos (energía, canal) es
posible ajustar una función adecuada, generalmente lineal o cuadrática, que se utilizará para
identificar las energías de los picos de absorción total de emisores desconocidos. Algunos autores
han publicado métodos y funciones de ajuste para considerar la falta de linealidad en la cadena de
amplificación y análisis de los impulsos, especialmente útiles para los sistemas de espectrometría
menos modernos [Greenwood, et. al., 1970], [Dryák, 1986].
Es recomendable que las fuentes de calibración presenten la misma geometría que las muestras a
medir, que el tiempo de medida durante las calibraciones sea tal que la posición del pico de
absorción total se determine con una precisión inferior a 0.2 keV y que las medidas de calibración
se realicen como mínimo con una frecuencia diaria12 [IEC, 1995].
Una vez seleccionados los picos de interés y establecidos los valores de energía correspondientes
es posible identificar los radionucleidos presentes en la muestra medida haciendo uso de las tablas
de datos nucleares, por ejemplo: [Firestone, 2003], [BIPM, 2004]. Para el cálculo ulterior de las
áreas de los picos de absorción total, mediante algún sistema automático de análisis de espectros,
es necesario que el sistema haya sido calibrado en resolución, puesto que de ésta dependerá la
selección de los parámetros que determinan la forma del pico a integrar.
12
Debe tenerse en cuenta la variación de la calibración en energía con el tiempo, con la tasa de recuento y
con la temperatura ambiente.
26
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
2.4.2 Calibración en resolución
La resolución energética determina la posibilidad de diferenciar adecuadamente dos picos cercanos
en el espectro. Formalmente se define la resolución como:
R=
FWHM
hν
(2-9),
siendo FWHM la anchura del pico a la mitad de su altura (en unidades de energía) y hν la energía
de la radiación gamma correspondiente.
Como se vio en los puntos 2.2.1 y 2.2.2, la anchura del pico depende de procesos de naturaleza
estadística durante la producción y colección de las cargas eléctricas y la transmisión de la señal al
resto del sistema. En los detectores de semiconductor, por ejemplo, se distinguen tres componentes
fundamentales que son independientes y se adicionan en cuadratura [Debertin y Helmer, 1988],
[Knoll, 1989]:
FWHM 2 = ( FWHM )P + ( FWHM )C + ( FWHM )R
2
2
2
(2-10),
siendo ( FWHM )P la anchura del pico debida a las fluctuaciones estadísticas en la producción de
cargas eléctricas, ( FWHM )C la anchura del pico debida a las fluctuaciones en la colección de
cargas eléctricas y
( FWHM )R
la anchura del pico por el ruido electrónico de la cadena de
amplificación y procesamiento de los impulsos.
( FWHM )P
depende de la energía de la radiación gamma según la relación13:
FWHM P = 2.35 ⋅ F ⋅ hν ⋅ ε
(2-11),
donde: F es el factor de Fano (ver punto 2.2.2), hν es la energía de la radiación gamma incidente y
ε es la energía requerida para crear un par electrón – hueco, [Debertin y Helmer, 1988].
13
Esta ecuación muestra la marcada diferencia que existe entre la resolución de los detectores
centelleadores y de semiconductor, dada en lo fundamental por el factor de Fano y la energía requerida
para formar los portadores de carga eléctrica.
27
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
Las fluctuaciones en la colección de las cargas eléctricas, debidas al efecto combinado de la
presencia de impurezas e imperfecciones en el cristal con la falta de homogeneidad del campo
eléctrico, determinan la componente
( FWHM )C , que pudiera reducirse incrementando el voltaje
de trabajo del detector14. Según [Gilmore y Hemingway, 1995], ( FWHM )C pudiera tener una
relación lineal con la energía de la radiación incidente. Por otro lado, el ruido electrónico, dado en
lo fundamental por las vibraciones térmicas aleatorias de los electrones y por la naturaleza
estadística de los procesos que originan las corrientes eléctricas, tiene una contribución a la
anchura del pico ( ( FWHM ) R ) que no depende de la energía de la radiación incidente.
La calibración en resolución se requiere cuando el cálculo del área neta de los picos de absorción
total se realiza de forma automática mediante algún programa de cálculo apropiado, pues uno de
los parámetros requeridos por los algoritmos de cálculo es la anchura del pico de absorción total
para cada valor de energía. Pudiera realizarse entonces el ajuste de los puntos de calibración
(FWHM, energía de la radiación gamma) con una función analítica adecuada.
Una vez calculada el área neta o la cantidad de cuentas en el pico de absorción total, el cálculo de
la tasa de emisión de la línea gamma correspondiente o de la actividad de la fuente en cuestión
demanda el conocimiento de la eficiencia absoluta del sistema de medida en el pico de absorción
total, a menos que se cuente con una fuente patrón idéntica a la evaluada.
2.4.3 Calibración en eficiencia
El término “eficiencia” es muy general y encierra al menos cinco conceptos más específicos que
explicaremos a continuación:
ƒ Eficiencia absoluta en el pico de absorción total: viene dada por el cociente entre el número de
fotones que depositan toda su energía en el volumen activo del detector, y el número de fotones
generados por la fuente en todo el ángulo sólido 4π sr. Este es el valor de eficiencia utilizado
en las estimaciones de actividad. En adelante la denominaremos EPAT y la representaremos
como “ε”.
ƒ Eficiencia absoluta total: viene dada por el cociente entre el número de fotones que interactúan
con el volumen activo del detector y el número de fotones emitidos por la fuente en todo el
ángulo sólido 4π sr. En adelante la representaremos como “εT ”.
14
El voltaje de trabajo máximo tiene un límite dado por las corrientes de fugas a través de la superficie del
cristal de semiconductor.
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Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
ƒ Eficiencia intrínseca en el pico de absorción total: cociente entre el número de fotones que
dejan toda su energía en el volumen activo del detector y el número de fotones incidentes en el
detector. En adelante la representaremos como “εi”.
ƒ Eficiencia intrínseca total: cociente entre el número de fotones que interactúan con el volumen
activo del detector y el número de fotones que inciden en el detector. En adelante la
representaremos como “εiT”.
ƒ Eficiencia relativa al NaI: Especialmente útil para detectores de semiconductor. Se define
como el cociente de las eficiencias absolutas en el pico de absorción total, correspondientes al
detector dado y a un detector de NaI(Tl) de 7.62 cm x 7.62 cm. Ambas eficiencias se
determinan con una fuente puntual de 1332 keV a una distancia de 25 cm del detector.
La actividad A de una fuente radiactiva se determina mediante [Debertin y Helmer, 1988]:
A=
n
N
⋅ ∏ Ci
γ ⋅ t ⋅ ε i =1
(2-12),
siendo: N el número de cuentas netas en el pico de absorción total, γ la probabilidad de emisión de
un fotón con la energía de interés por cada desintegración radiactiva de la fuente, t el tiempo de
recuento, ε la eficiencia absoluta en el pico de absorción total (“EPAT”) para la energía dada y Ci
los coeficientes de corrección debidos al decaimiento radiactivo antes y durante la medida, al
efecto de suma por coincidencias, a las sumas aleatorias y a las pérdidas de cuentas por saturación.
Para una energía determinada y una geometría de recuento específica, es posible desglosar la
EPAT según15:
_
Ω _
ε = εi ⋅ ⋅ ψ
4π
(2-13),
_
donde: εi es la eficiencia intrínseca del detector en el pico de absorción total, Ω es el ángulo sólido
_
medio entre la muestra y el volumen activo del detector y ψ es la transmisión media de la
radiación gamma en su camino desde la fuente hasta el volumen activo del detector, considerando
la autoabsorción en la fuente, y la atenuación en los materiales del encapsulado y en la capa
muerta del detector.
15
La eficiencia intrínseca del detector en el pico de absorción total no es independiente de la geometría de
medida, pues la probabilidad de interacción en el interior del detector dependerá, entre otros factores, del
recorrido de los fotones en el volumen activo y por consiguiente del vector de dirección de estos fotones.
29
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
De la expresión (2-13) es posible deducir que la EPAT depende de la energía de la radiación
gamma, del material, configuración y dimensiones del detector, de la geometría de recuento, así
como del material, densidad, configuración y dimensiones de la fuente radiactiva. Por esto, para la
cuantificación de la actividad mediante la expresión (2-12) es necesario realizar previamente la
calibración en eficiencia del sistema de medida, en función de los parámetros antes mencionados.
Los puntos obtenidos durante la calibración con valores discretos de energía se ajustan con
funciones analíticas apropiadas para facilitar la interpolación ulterior a cualquier valor de energía
según se requiera. En principio, pudieran efectuarse medidas de calibración con fuentes de
referencia cuya actividad sea conocida, pero ello conlleva una serie de inconvenientes que
abordaremos a continuación.
La determinación experimental de la eficiencia para cada una de las matrices, geometrías y
energías investigadas en el trabajo rutinario de los laboratorios analíticos, y en especial de aquellos
dedicados a la vigilancia radiológica ambiental, al control de alimentos o a la vigilancia
radiológica ocupacional, puede demandar un número considerable de fuentes patrón. Por otro lado,
la preparación de muestras de calibración idénticas a las muestras de interés suele ser un proceso
engorroso, sobre todo en las matrices sólidas y en las líquidas cuando no es posible despreciar la
precipitación de los reactivos. Otro problema consiste en encontrar radionucleidos adecuados
atendiendo a su energía, esquema de desintegración y período de semidesintegración. Por ejemplo,
muchos de los radionucleidos que se utilizan en fuentes de calibración tienen cortos períodos,
como: 54Mn (312.3 d), 57Co (271.8 d), 85Sr (64.9 d), 88Y (106.6 d), 109Cd (462.6 d), 113Sn (115.1 d),
139
Ce (137.6 d), 203Hg (46.6 d), lo que provoca una pérdida gradual de puntos de calibración, con el
consiguiente incremento de la incertidumbre asociada a los procedimientos de interpolación. Las
dificultades asociadas a la preparación de las fuentes de calibración, unidas a las limitaciones
financieras y en ocasiones de Seguridad Radiológica para la adquisición sistemática del material
radiactivo de referencia, han estimulado la búsqueda constante de métodos alternativos para el
cálculo de las EPAT.
Aunque se han dado a conocer no pocas aproximaciones analíticas y métodos semiempíricos para
el cálculo de la EPAT [Freeman y Jenkin, 1966], [Mowatt, 1969], [Harvey, 1970], [Williams,
1966], [Griffiths, 1971], estos sólo son aplicables a determinados tipos de detectores, rangos de
energía y geometrías de recuento, por lo que no pueden proporcionar los niveles de exactitud
requeridos en todas las situaciones de interés para los laboratorios analíticos. Una contribución
importante al desarrollo de los métodos semiempíricos fue el trabajo de Moens [Moens et. al.,
1981], donde se expresó la idea de la transferencia de eficiencia a partir del cálculo de eficiencias
absolutas totales, mediante la expresión:
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
⎛ ε
ε x = ε ref ⋅ ⎜ T,x
⎜ε
⎝ T,ref
⎞
⎟⎟
⎠
(2-14),
siendo: ε x la EPAT para la muestra de interés, ε ref la EPAT obtenida experimentalmente para
una fuente de referencia,
εT,x la eficiencia absoluta total calculada para la geometría de interés y
ε T,ref la eficiencia absoluta total calculada para la geometría de referencia. En estas dos últimas no
se incluye la contribución de la radiación dispersada fuera del volumen activo del detector. Si bien
estas eficiencias totales sin contribución de “fotones dispersados” no se pueden obtener
experimentalmente16, su cálculo es posible mediante la integración de las funciones analíticas que
describen la probabilidad de interacción de cada fotón gamma en el volumen activo del detector, y
cuya forma general es:
∫ ∫ (1 − e
−μD ⋅x D ( r ',Ω ' )
1 VΩ
εT =
⋅
4π
)⋅e ∑
−
μi ⋅xi ( r ',Ω ')
⋅ dΩ ' ⋅ dV '
(2-15),
∫ dV '
V
siendo: V el volumen de la fuente, Ω el ángulo sólido entre un elemento de volumen dV ' de la
fuente (centrado en el punto r ' ) y el cristal activo, μ D el coeficiente lineal de atenuación (sin
considerar la dispersión coherente) del material del detector para la energía de los fotones,
x D ( r ', Ω ') la trayectoria rectilínea dentro del detector para un fotón originado en el punto r ' en
la dirección
Ω ' , μi el coeficiente lineal de atenuación (sin incluir la dispersión coherente) de cada
material “i” interpuesto entre el punto de emisión del fotón y el volumen activo del detector y
x i ( r ', Ω ' ) la trayectoria rectilínea dentro de cada material interpuesto entre el punto de origen del
fotón ( r ' ) y el volumen activo del detector en la dirección
La expresión (2-14) supone que la relación
Ω'.
ε
es independiente de la geometría de medida y de
εT
la composición de la muestra, dependiendo sólo de la energía de la radiación gamma y de los
materiales del detector y su configuración. Apoyándose en este “teorema de Moens”, diversos
autores han contribuido al desarrollo del método de transferencia de eficiencias, algunos
16
Debido a esto se denominan eficiencias totales virtuales.
31
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
resolviendo la ecuación (2-15) mediante el procedimiento de integración numérica tradicional de
Gauss – Legendre, por ejemplo: [Aaltonen, et. al., 1994], [Wang, et. al. 1997], [Piton, et. al.,
2000], y otros resolviendo la integral mediante el método Monte Carlo, por ejemplo: [Green, et.
al., 1975], [Haase, et. al., 1995], [Vidmar, 2005]. En [Vidmar y Likar, 2005] se brinda además un
método aproximado para adicionar la contribución de la radiación dispersada en muestras
cilíndricas a la eficiencia total virtual calculada según la expresión (2-15).
Otro método conocido desde hace varias décadas para el cálculo de la EPAT, y al que por su
importancia para el trabajo de tesis doctoral dedicaremos el siguiente capítulo, es el de la
simulación estadística o método Monte Carlo [Cashwell y Everett, 1959], [Kalos y Whitlock,
1986]. Se basa en la simulación del transporte de las radiaciones a partir del muestreo de sus
procesos de interacción mediante la generación de números aleatorios. Cada partícula es seguida a
lo largo de su recorrido, compilándose la energía depositada en el volumen activo del detector por
cada fotón gamma emitido. En correspondencia con las leyes estadísticas, la respuesta del detector
puede caracterizarse con un grado aceptable de incertidumbre al simularse un número significativo
de partículas. El método Monte Carlo posibilita la simulación del sistema de medida con un
elevado grado de detalle (ver punto 2.2.3), por lo que la exactitud que permite alcanzar supera a la
lograda con los métodos semiempíricos [Lépy, et. al., 2000], [Lépy et. al., 2001].
Como vimos al inicio de este apartado, al aplicar la ecuación (2-12) en el cálculo de la actividad es
necesario considerar los factores de corrección pertinentes. Para las medidas de bajas tasas de
recuento, como las que se realizan en los laboratorios analíticos de control ambiental, suelen
utilizarse configuraciones geométricas de elevada eficiencia. En estos casos, la corrección al efecto
de “suma por coincidencias” suele ser importante para determinados radionucleidos.
32
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
2.4.4 Correcciones al efecto de suma por coincidencias
El efecto de “suma por coincidencias” ocurre cuando dos o más partículas, producidas de forma
secuencial durante un único proceso de desintegración radiactiva, interactúan con el detector en un
intervalo de tiempo inferior al tiempo requerido por el sistema de medida para distinguir dos
señales independientes (∼μs). En este caso se produce una señal global en lugar de los impulsos
correspondientes a las partículas incidentes en el detector. El efecto de suma por coincidencias no
depende entonces de la actividad de la muestra, sino de la probabilidad de que dos partículas o más
sean absorbidas en el volumen activo del detector dentro del tiempo de resolución de la cadena de
medida. Esta probabilidad dependerá del esquema de desintegración del radionucleido de interés17
y de las eficiencias de detección de las partículas correspondientes, por lo que las configuraciones
de recuento de alta eficiencia, como las utilizadas en los laboratorios ambientales, son más
susceptibles al efecto de suma por coincidencias.
Las coincidencias de los fotones gamma pueden ocurrir con: otros fotones gamma, con fotones de
rayos X característicos que siguen a la captura electrónica o a los procesos de conversión interna,
con fotones de aniquilación originados durante las desintegraciones β+, y con partículas cargadas
como electrones Auger, de conversión y partículas β. Las coincidencias de los fotones gamma con
rayos X de bajas energías o con partículas cargadas suelen ser despreciables en el caso de los
detectores de semiconductor de tipo p, debido al espesor de la capa inactiva o contacto n+; sin
embargo, esta afirmación no es válida en el caso de los detectores de tipo n.
Como resultado del efecto de suma por coincidencias, algunos impulsos pueden perderse o no ser
incluidos en el pico de absorción total correspondiente (“summing out”), mientras otros impulsos
pudieran añadirse y formar picos de suma “summing in”. Para calcular la actividad real de la
muestra con la expresión (2-12) a partir de la EPAT y la tasa de recuento en el pico de absorción
total, es necesario entonces aplicar el factor de corrección correspondiente. El factor de corrección
sería mayor que la unidad para los picos afectados por la pérdida de cuentas por coincidencias
(“summing out”) y menor que la unidad para los picos que reciben la contribución de impulsos por
la coincidencia de fotones de menor energía (“summing in”).
Existen procedimientos de cálculo para obtener las correcciones al efecto suma en el caso de
fuentes puntuales, a partir de expresiones analíticas que relacionan la eficiencia total y en el pico
de absorción total con las probabilidades de emisión de las partículas correspondientes. Algunas
expresiones para esquemas de desintegración sencillos aparecen por ejemplo en [Debertin y
Schötzig, 1979]. Para esquemas de desintegración más complejos se han publicado métodos más
elaborados como en [Semkow, et. al., 1990], donde las ecuaciones para las correcciones a las
17
Los esquemas complejos de desintegración radiactiva implican muchas combinaciones posibles de sumas
de dos o más partículas coincidentes en el tiempo de resolución del sistema de medida, incrementando
considerablemente el efecto.
33
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
coincidencias γ - γ están dadas en notación matricial, de forma que es posible extraer correcciones
de primer orden (cuando hay sólo dos fotones gamma en coincidencia) o de orden ilimitado. Esta
metodología se amplia en [Korun y Martinčič, 1993] para considerar las coincidencias de los
cuantos gamma con los fotones de rayos X característicos, mediante la introducción de niveles
virtuales en los esquemas de desintegración. En [Jutier, et. al., 2007] se recoge un formalismo
matemático basado en el balance de la probabilidad total de desintegración, que posibilita calcular
las correcciones al efecto suma para fuentes puntuales de cualquier radionucleido, partiendo de las
eficiencias totales y en el pico de absorción total para las energías de interés. La aplicación de
estos formalismos requiere, sin embargo, la determinación previa de las curvas de eficiencia, ya
sean calculadas u obtenidas experimentalmente utilizando fuentes de referencia no afectadas por
las sumas en coincidencia. Por ejemplo, en el esquema de la Figura 2.10, los factores de corrección
“summing out” para fuentes puntuales pueden calcularse según [Debertin y Schötzig, 1979] como:
Cγ1 =
1
1 − εT2
,
Cγ 2 =
1
P1
1 − εT1
P2
(2-16),
siendo: Cγi el factor de corrección para el pico correspondiente a la línea “i”, Pi la probabilidad de
emisión del fotón “i” y εTi la eficiencia total en el pico “i”.
γ1 (P1)
γ2 (P2)
Figura 2.10: Esquema de transiciones isoméricas en cascada Figura 10
El factor de corrección al efecto suma por coincidencias para una matriz y geometría de medida
dadas puede determinarse experimentalmente para fuentes calibradas, a partir de la siguiente
relación de eficiencias en el pico de absorción total [Debertin y Schötzig, 1979], [Quintana y
Fernández, 1995]:
34
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
⎛ εM ⎞
⎜ R⎟
⎝ε ⎠
C = M SC
⎛ε ⎞
⎜ R⎟
⎝ ε ⎠CC
(2-17),
donde: el numerador denota el cociente de las eficiencias para la geometría de medida estudiada
“M” y una geometría de referencia “R” con efecto suma despreciable, obtenido con un
radionucleido libre de emisiones en cascadas para la energía de interés. Por otro lado, el
denominador denota la relación de eficiencias aparentes (incluyendo el efecto de coincidencia)
para ambas geometrías, obtenida con el radionucleido para cuyo pico de absorción total se calcula
la corrección al efecto suma.
Sin embargo, en la mayoría de las situaciones se necesita conocer el factor de corrección al efecto
suma en fuentes extensas no calibradas, con vistas a corregir la actividad aparente obtenida
mediante la expresión (2-12). En estos casos no siempre es posible utilizar las fórmulas aplicables
a fuentes puntuales18, como las indicadas en las expresiones (2-16). Ello es debido a que la EPAT
y la eficiencia total de cada elemento de volumen de la fuente extensa varían en dependencia de la
ubicación de dicho elemento de volumen dentro de la fuente. Esta dificultad se supera en grado
aceptable con la aplicación de factores de corrección a la dependencia espacial de las eficiencias,
ya sean obtenidos experimentalmente, como en [Blaauw y Gelsema, 2003], o mediante cálculo
como en [Wang et. al., 1996] y más recientemente en [Vidmar y Korun, 2006].
Otra posibilidad para calcular los factores de corrección al efecto de suma por coincidencias para
fuentes no calibradas es mediante la simulación estadística o método Monte Carlo. Los procesos
de desintegración radiactiva pueden considerarse como cadenas de Markov [Kalos y Whitlock,
1986], en los que el estado futuro del sistema depende sólo del estado actual, por lo que la
emisión de partículas por cada desintegración se simula con números aleatorios, y las
probabilidades para cada transición se calculan con las razones de ramificación correspondientes
en el esquema de desintegración. Seguidamente se simula estadísticamente el transporte de las
partículas generadas, registrándose la energía depositada en el cristal en cada proceso de
desintegración que involucre a la línea de interés. En principio se emplea el mismo procedimiento
que en el cálculo de las eficiencias, con la peculiaridad de que las simulaciones comienzan con el
muestreo de grupos de partículas por cada desintegración. Algunos ejemplos de la aplicación del
método Monte Carlo al cálculo de los factores de corrección a las sumas por coincidencias se
encuentran en: [Décombaz et. al., 1992], [García-Talavera, et. al. 2001], [García-Toraño, et. al.
2005] y [Johnston, et. al. 2006].
18
Según [Wang et. al., 1996] el error pudiera estar en el orden de las unidades de %.
35
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Capítulo 2
Descripción de la técnica de espectrometría de radiación gamma
En el siguiente capítulo abordaremos precisamente los principios del método Monte Carlo y las
principales características y procedimientos en los que nos hemos apoyado para el desarrollo del
código de simulación objeto del presente trabajo de tesis doctoral.
36
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CAPÍTULO 3
EL MÉTODO MONTE CARLO
3.1 Introducción
La toma de decisiones sobre la base de la observación de fenómenos aleatorios se remonta a la
antigüedad, cuando los israelitas lanzaban una especie de dado para “adivinar” la voluntad de los
dioses (Urim o Thummim) ante una situación determinada [Van Dam, 2000]. El empleo de
variables aleatorias en los cálculos matemáticos tiene varios siglos de historia. Por ejemplo, en
1777 se describió un método para estimar el valor de la constante π a partir del número de veces
que una aguja, lanzada al azar sobre una superficie plana, intercepta alguna de las líneas paralelas
dibujadas de manera equidistante en dicha superficie [Buffon, 1777]. Numerosas aplicaciones de
las variables aleatorias se sucedieron tras el experimento de Buffon, especialmente a partir del
siglo siguiente. Así, por ejemplo, en 1899 se utilizó el muestreo de recorridos aleatorios “random
walks” en una dimensión para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales de tipo
parabólico [Rayleigh, 1899] y en 1901 Lord Kelvin aplicó el muestreo de variables aleatorias a la
resolución de integrales durante sus trabajos sobre la teoría cinética de los gases [Kelvin, 1901].
La simulación estadística de los procesos físicos a partir del muestreo de las variables aleatorias
que los caracterizan, se consolidó a partir de la Segunda Guerra Mundial, cuando un grupo de
científicos del Proyecto Manhattan, hoy Comisión de Energía Atómica de los Estados Unidos,
aplicó este procedimiento al estudio del transporte de neutrones y al cálculo de su coeficiente de
multiplicación en materiales físiles. Ellos acuñaron la simulación estadística con el nombre de
“Método Monte Carlo” [Metropolis y Ulam, 1949]. El nombre Monte Carlo se debe al de la ciudad
del principado de Mónaco, célebre por su casino, y considerada como la cuna de los juegos de
azar. Es obvio que la asociación se debe sólo a la naturaleza aleatoria de los procesos simulados.
Aunque los fundamentos teóricos del método Monte Carlo se conocían desde hacía mucho tiempo
y algunos problemas de Estadística se resolvían en ocasiones utilizando muestras aleatorias, su
aplicación práctica sólo ha sido posible durante las últimas décadas con el desarrollo alcanzado por
los medios de cálculo. Así, desde la utilización del primer ordenador en la simulación del
transporte de neutrones [Mayer, 1951], el método Monte Carlo se ha convertido en una
herramienta importante no sólo para la Física, sino para áreas tan diversas del conocimiento como
la Química, la Biología, la Economía y las ingenierías.
37
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
Los fundamentos del método Monte Carlo han sido ampliamente publicados, como por ejemplo,
en: [Cashwell y Everett, 1959], [Sóbol, 1976], [Kalos y Whitlock, 1986], [Lux y Koblinger, 1991],
[Binder y Heerman, 1992] y [Gentile, 1998]. En este capítulo nos centraremos en las cuestiones
más importantes para la simulación del transporte de las radiaciones ionizantes. Ya que el método
se apoya en las secuencias de números aleatorios, dedicaremos un apartado a las propiedades que
éstas deben cumplir y a las técnicas para su obtención. Abordaremos los procedimientos para
muestrear variables aleatorias a partir de números aleatorios uniformemente distribuidos y
analizaremos la secuencia general de la simulación del transporte de las radiaciones ionizantes,
incluyendo los procedimientos utilizados en cada una de sus etapas. Al finalizar el capítulo
abordaremos el tema de la incertidumbre estadística asociada al método Monte Carlo y algunos de
los procedimientos más utilizados para su reducción.
3.2 Obtención de números aleatorios. Secuencias
de números seudoaleatorios
La simulación estadística se basa en la creación de un modelo estocástico del sistema bajo estudio,
de forma que los valores buscados de las magnitudes físicas que caracterizan al sistema se deducen
a partir de los valores esperados de determinadas variables aleatorias. Estas variables se obtienen a
su vez como combinaciones de otras variables aleatorias que describen los diferentes procesos
acontecidos en el sistema. Obviamente, dichas combinaciones dependerán del modelo estocástico
construido. Se requiere entonces el muestreo reiterado de cada una de las variables aleatorias de
los diferentes procesos, a partir de sus funciones de densidad de probabilidad.
Como veremos en el apartado 3.3, el muestreo de una variable aleatoria con cualquier distribución
estadística es posible transformando convenientemente las realizaciones de una variable aleatoria
estándar. Este es precisamente un patrón básico de la simulación estadística. De hecho, cualquier
simulación estadística se apoya en la continua generación de variables aleatorias a partir de
secuencias de números aleatorios con distribución uniforme en el intervalo (0,1). A partir de esta
secuencia se desarrollará todo el proceso de simulación.
3.2.1 Obtención de secuencias de números aleatorios
Existen varias formas de obtener secuencias de números aleatorios:
ƒ
A través de tablas de números aleatorios,
ƒ
Mediante generadores físicos de números aleatorios acoplados a ordenadores,
ƒ
Mediante algoritmos matemáticos.
38
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
Las tablas de números aleatorios se confeccionan a partir de las cifras aleatorias obtenidas con
dispositivos físicos como: la ruleta, las tarjetas enumeradas, o los equipos basados en el ruido
electrónico. En las publicaciones de tablas estadísticas aparecen frecuentemente tablas de números
aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo (0, 1). Es posible utilizar estas tablas en
cálculos manuales de algoritmos sencillos, pero no son adecuadas para simulaciones de mediana
complejidad en un ordenador, debido a que ocuparían un espacio importante en la memoria19 y
harían extremadamente lentos los cálculos.
Ejemplos de generadores físicos de números aleatorios son la ruleta, el dado y la moneda. Estos no
son adecuados, sin embargo, para la simulación estadística con ordenadores, pues al ser
dispositivos mecánicos resultan demasiado lentos. En este caso, para obtener variables aleatorias
con generadores físicos se prefieren aquellos de tipo electrónico, como los basados en el ruido de
las lámparas electrónicas o los que cuentan los impulsos eléctricos de un detector durante el
registro de las radiaciones emitidas por una fuente radiactiva apropiada. A pesar de su gran
rapidez, los generadores físicos de tipo electrónico tienen una serie de inconvenientes: es difícil
comprobar la “calidad” de los números aleatorios, se requiere de un control periódico por los
posibles desajustes que pueden ocurrir durante su funcionamiento, es imposible repetir la misma
secuencia de números aleatorios para realizar estudios de verificación o validación, pues los
números generados no se guardan en la memoria del ordenador20, y los costes asociados a su
implementación dificultan su generalización.
Mediante algoritmos matemáticos especiales, del tipo recurrente: X n = f ( X n −1,..., X n −k ) , {1 ≤ k < n}
es posible obtener secuencias de números aleatorios de una forma muy conveniente para su
aplicación en los ordenadores. Estas secuencias son conocidas como secuencias de números
seudoaleatorios, pues tienen un período finito y el algoritmo de su obtención es de tipo
determinista, donde cada número de la secuencia está determinado por su predecesor o por un
conjunto de números predecesores. Los algoritmos matemáticos que se utilizan para tal fin se
denominan generadores de números seudoaleatorios. Tienen importantes ventajas sobre las tablas
y los generadores físicos, ya que ocupan poco espacio en la memoria del ordenador, su
portabilidad es elevada, tienen una alta velocidad de trabajo, y requieren de una única
comprobación, pues es posible repetir las mismas secuencias al mantener constantes los
parámetros iniciales.
En los algoritmos de los generadores se utilizan normalmente números enteros, ya que su
aritmética es exacta y rápida. Por ejemplo: se generan enteros Ni entre 0 y m−1, y se realiza la
19
Lo más probable es que no se conozca con antelación la cantidad exacta de números aleatorios que se
necesitará durante la simulación.
20
Si los números generados se almacenan en la memoria del ordenador se pierde la ventaja de estos
generadores sobre las tablas.
39
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
transformación γ i = Ni
para obtener valores reales en el intervalo [0, 1). A continuación
m
describimos algunos ejemplos de generadores de números seudoaleatorios:
3.2.1.1 Generadores de Congruencia Lineal
Estos generadores son los más utilizados y los más conocidos. Se basan en la relación de
recurrencia:
N i = (a ⋅ N i −1 + c) mod m
(3-1),
(i ≥ 1)
donde Ni es un número entero, a es el multiplicador y m el módulo, m > 0, 0 < a < m, 0 ≤ c < m .
La secuencia es periódica y el periodo depende de los valores de a, c y m, así como del valor
inicial N0, denominado “Semilla”. De esta forma, el período máximo que se puede alcanzar es
igual a m. Las características de las secuencias de números seudoaleatorios obtenidos con los
generadores de congruencia lineal, y en particular la formación de planos en el espacio kdimensional, son ampliamente comentadas en la bibliografía, por ejemplo en [Marsaglia, 1970], y
en [Knuth, 1998].
3.2.1.2 Generadores de Fibonacci
Los generadores de Fibonacci se basan en una recurrencia del tipo:
(3-2),
N i+1 = (N i −r • N i −s ) mod m
Donde: r y s son enteros dados ( r < s ) y • denota alguna de las operaciones: +,−,×, o la adición de
vectores binarios mediante la operación “OR – exclusivo” ( ⊕ ).
Como puede deducirse de la ecuación (3-2), este tipo de generador necesita iniciar la secuencia
con otro generador (por ejemplo, uno congruente lineal) y mantener en la memoria los últimos s
números generados. El período máximo que puede alcanzarse seleccionando adecuadamente el
valor de los parámetros, la operación matemática a realizar, así como los s valores iniciales de la
s
secuencia es del orden de m ⋅ 2s . Para la operación ⊕ el período máximo será 2 -1. Debe tenerse
en cuenta que el funcionamiento de este generador depende en gran medida de la selección de sus
parámetros y de los valores iniciales de la secuencia. Un ejemplo de generador del tipo Fibonacci
con operación ⊕ es el denominado R250 [Kirkpatrick y Stoll, 1981].
40
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.2.1.3 Generadores de desplazamiento de bits
Estos generadores se basan en la representación de los números enteros de 32 ó 64 bits como
elementos del espacio vectorial con componentes en la base mod 2. Para estos vectores la
operación de adición, implementada con la función XOR (OR-exclusivo), puede combinarse con
el desplazamiento de bits para crear ciertas transformaciones lineales en el espacio vectorial. De
esta forma, cada nuevo número entero aleatorio Ni se obtiene manipulando convenientemente los
bits del número anterior Ni−1. Un representante típico de estos generadores es el generador
XORSHIFT, que utiliza tanto la adición de vectores binarios como el desplazamiento de bits. Una
variante posible de este generador en Pascal, que proporciona un período igual a 232 -1 con
números enteros de 32 bits, es por ejemplo:
N = N xor ( N shl 13) ; N = N xor ( N shr 17 ) ; N = N xor ( N shl 5)
(3-3),
siendo N un número entero de 32 bits, [Marsaglia, 2003].
3.2.1.4 Otros generadores basados en los tipos anteriores
Entre los generadores más conocidos por su excelente funcionamiento y elevado período están los
de Multiplicación con Acarreo [Marsaglia, 2003]
y sus variantes. La idea básica en estos
generadores es que en la fórmula (3-1), correspondiente a los generadores de congruencia lineal, la
constante “c” se sustituye por un término dependiente del número entero obtenido en la secuencia
anterior, por lo que se le denomina acarreo. Con estos generadores pueden lograrse períodos T ≈
m ⋅ a e incluso superiores, donde el significado de m y a es igual que en la ecuación (3-1). Otro
de los generadores que proporcionan secuencias muy consistentes es el denominado Mersenne
Twister [Matsumoto y Nishimura, 1998], que combina el principio de las series de Fibonacci con
operaciones lógicas y los desplazamientos de bits. Este generador tiene un período
extremadamente grande, T ≈ 219937 -1 y una de sus principales fortalezas es su uniformidad hasta
en el espacio de 623 dimensiones para vectores generados con números de 32 bits (Ver el punto
3.2.2.4). Algunos trabajos, como [Deng et. al., 2008], demuestran que es posible mejorar las series
de números seudoaleatorios combinando adecuadamente los números que se obtienen con
diferentes tipos de generadores.
Como hemos visto, la mayoría de los generadores en la actualidad tienen períodos iguales o
superiores a 232. No obstante, las secuencias de números seudoaleatorios deben cumplir una serie
de requisitos para que puedan ser utilizadas como secuencias de números aleatorios con
distribución uniforme en el intervalo (0, 1).
41
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.2.2 Requisitos de las secuencias de números seudoaleatorios
Cualquier serie de números seudoaleatorios tiene una naturaleza determinista, pues sus elementos
son conocidos con antelación. Por ello, para que pueda ser utilizada como serie de números
aleatorios es necesario que cualquier subconjunto γ1 ,..., γ n de esta serie tenga las características
del subconjunto equivalente de realizaciones de una magnitud aleatoria. A continuación
describiremos las características básicas de las magnitudes aleatorias uniformemente distribuidas
en el intervalo (0,1), que constituyen requisitos para las secuencias de números seudoaleatorios.
3.2.2.1 Valor medio
El valor medio de una variable aleatoria ξ uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) es igual
a 1 . Partiendo de la ley de los grandes números, se tiene entonces que para cualquier selección
2
de realizaciones independientes ξ1 ,..., ξ n de la variable
n
⎛
1
P ⎜⎜ n→+∞
lim ⋅ ∑ ξ
n
⎝
Para cualquier subconjunto
i=1
i
ξ se cumple que:
1⎞
= ⎟ =1
2 ⎟⎠
(3-4)
n
γ i i=1 de la serie de números seudoaleatorios deberá cumplirse
{ }
entonces que:
⎛1 n
⎞ 1
lim ⎜
γ
i⎟=
n →+∞ ⎜ n
⎟
⎝ i=1 ⎠ 2
∑
(3-5)
3.2.2.2 Valor de la varianza
La varianza de una variable aleatoria ξ uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) es igual a
1 .
12
Deberá cumplirse entonces, para cualquier subconjunto de la serie de números
n
seudoaleatorios {γ i } , que:
i =1
2
n ⎛
⎞
_
1
⎜ γ − γ (n)⎟ = 1
lim
n →+∞ n
⎜ i
⎟ 12
i =1 ⎝
⎠
∑
_
n
∑
1
γ el valor medio del subconjunto.
siendo γ ( n ) = ⋅
n i=1 i
42
(3-6),
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.2.2.3 Uniformidad
Para una variable aleatoria
ξ distribuida uniformemente en el intervalo (0, 1) se cumple que:
P ( ξ ∈ Iν ) = V ( Iν ) = ν ,
siendo Iν un segmento de longitud21 ν ≤ 1 introducido en el intervalo (0, 1).
de números seudoSi se denota como N ν a la cantidad de elementos del subconjunto {γ i }
i =1
N
aleatorios que “caen” en el segmento Iν , entonces si la serie
+∞
{γi }i=1
está distribuida
{ }
N
uniformemente en el intervalo (0, 1) deberá cumplirse para cada subconjunto o selección γ i
i =1
que:
lim
N →∞
Nν
= V ( Iν ) = ν
N
Puede apreciarse que, el cumplimiento del requisito de uniformidad de la secuencia de números
seudoaleatorios implica el cumplimiento de los requisitos del valor medio y del valor de la
varianza.
3.2.2.4 Uniformidad en el espacio k-dimensional
(
Denotemos como v(k) ≡ ξ 1 ,..., ξ k
()
( )
)
un vector aleatorio de dimensión k, cuyas componentes
ξ i son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo (0, 1), para
todas las
i ∈ kˆ . Si Ck es un cubo unitario en Rk, C k =< 0,1 >1 × < 0,1 > 2 ×...× < 0,1 > k , el vector
k
aleatorio v( ) estará uniformemente distribuido en Ck y para cualquier subconjunto G ⊂ C k de
(
)
volumen finito se cumplirá que P v( k ) ∈ G = V ( G ) . Para una serie de números seudo-aleatorios
+∞
{γi }i=1
distribuida uniformemente en el espacio k-dimensional se cumplirá que si se seleccionan
(
)
al azar k ⋅ N de sus elementos y se construyen N puntos w ( k ) ≡ γ
en el espacio ki
k⋅i+1,..., γ k ( i+1)
(k)
dimensional, la cantidad de puntos w i que caerán en cualquier subconjunto G ⊂ Ck (denotada
como NG) será tal que:
lim
N →∞
NG
= V (G ) .
N
Este requisito es importante en las simulaciones de procesos de múltiples dimensiones. Puede
lograrse, por ejemplo, alternando regularmente los elementos de varias series diferentes de
números seudoaleatorios.
21
V(I) se refiere al volumen de I, en el caso unidimensional se trata de la longitud del segmento I.
43
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.2.3 Pruebas de aleatoriedad
Antes de utilizar un generador de números seudoaleatorios es necesario verificar que las series de
números que produce satisfacen los requisitos de las series de números aleatorios, o al menos los
requisitos mínimos relacionados con el problema que se desea resolver. Con este fin se realizan las
denominadas pruebas de aleatoriedad.
Las pruebas de aleatoriedad se basan en los métodos de la Matemática Estadística, y pueden ser
empíricas o teóricas. Las primeras se realizan a muestras de la secuencia de números producidos
por el generador, mientras que las segundas se aplican a toda la secuencia. Ejemplos de pruebas
empíricas son los ensayos de uniformidad de los valores de la secuencia de números seudoaleatorios mediante las pruebas de χ
2
y de los momentos de orden k, y
las pruebas de
correlaciones o de las sumas para evaluar la independencia de los términos en la secuencia. Las
pruebas teóricas parten del estudio de los algoritmos de los generadores y permiten establecer las
propiedades estadísticas de toda la secuencia, como por ejemplo la formación de hiperplanos en el
espacio k-dimensional por las secuencias generadas con el método de congruencia lineal. En la
bibliografía especializada es posible encontrar conjuntos de pruebas estadísticas de aleatoriedad,
como por ejemplo la batería de ensayos Diehard en [Marsaglia, 1995], las pruebas empíricas y
teóricas en [Knuth, 1998] y el método de las discrepancias de las sumas en [Matsumoto y
Nishimura, 2003].
44
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.3 Muestreo de variables aleatorias
Como hemos dicho, el método Monte Carlo se apoya en la generación y combinación de las
variables aleatorias que conforman el modelo estocástico del sistema. En el apartado anterior
hablamos de la obtención de una variable aleatoria estándar, uniformemente distribuida en el
intervalo (0,1). En este apartado nos referiremos al muestreo de variables aleatorias con cualquier
distribución estadística mediante transformaciones apropiadas de la variable aleatoria estándar.
3.3.1 Variables aleatorias discretas
Ejemplos de variables aleatorias discretas son: la cara que resultará en el lanzamiento de un dado o
de una moneda, el tipo de proceso que ocurre durante la interacción de la radiación gamma, etc.
Sea η una variable aleatoria discreta, que puede tomar cualquier valor xi con probabilidad
ˆ , o sea:
pi (i ∈ n)
P ( η = x i ) = pi ,
n
∑ pi = 1, ( i ∈ nˆ )
i =1
(3-7)
,
El muestreo de la variable η a partir de una variable γ uniformemente distribuida en el intervalo
(0,1) puede realizarse dividiendo este intervalo en segmentos de longitud pi, según se representa en
la Figura 3.1. La ubicación del valor generado de γ en alguno de los segmentos indicará el valor de
la variable η según:
{p1 + p 2 + ... + pi−1 < γ ≤ p1 + p 2 + ... + pi } ( p0 = 0 ) ⇒ η = x i
0
p1
p1+ p2
p1+ p2+ p3
1 - pn
(3-8)
1
Figura 3.1: Representación de las probabilidades de una variable aleatoria discreta
igura 11
45
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
El algoritmo típico para el muestreo22 de la variable η en este caso es el representado en la Figura
3.2.
γ
S=γ
k =1
S = S − pk
k = k +1
+
S > 0?
-
η = xk
Figura 3.2: Diagrama de flujo general para el muestreo de una variable aleatoria discreta η a
partir de una variable γ uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) Figura 12
3.3.2 Variables aleatorias continuas
Abordaremos aquí los métodos para transformar una variable aleatoria uniformemente distribuida
en el intervalo (0,1) en una variable aleatoria con una distribución de densidad de probabilidad
determinada por una función continua f.
3.3.2.1 Método directo o de inversión
El método de inversión o método directo se basa en el siguiente teorema [Virius, 1985] (Ver la
Figura 3.3):
Sea la variable η con función de densidad de probabilidad f(x) en el intervalo ⎡⎣ a, b ) . Entonces
cada valor de la variable η se puede obtener a partir de una variable γ uniformemente distribuida
en el intervalo ⎡0,1) mediante la ecuación:
⎣
22
Este algoritmo puede hacerse más eficiente si se reorganizan los valores de probabilidad, de forma que
p1 ≥ p 2 ≥ ... ≥ p n .
46
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
η
∫a
γ = f ( x ) ⋅ dx = F ( η)
(3-9)
η
∫a
0 ≤ P ( x ≤ η ) = F ( η ) = f ( x ) ⋅ dx ≤ 1
Es posible escribir:
F(x)
1
F(η)
0
η
a
b
x
Figura 3.3: Representación gráfica del teorema que sustenta el método estándar de muestreo de
una variable aleatoria continua Figura 13
La secuencia de cálculo es entonces la siguiente:
1.
Generar la variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo ⎡⎣ 0,1) ,
2.
Hallar la solución de la ecuación (3-9), que será la realización de la variable aleatoria η,
distribuida según f.
Por ejemplo, si la variable η está distribuida uniformemente en el intervalo ( a, b ) , su densidad de
probabilidad es constante en ese intervalo: f ( x ) = 1 . Sustituyendo en (3-9) se tiene:
b−a
η
γ=
1
∫a b − a dx
(3-10)
De donde obtenemos:
η = a + γ ⋅(b − a)
(3-11)
En general, la velocidad del muestreo directo dependerá de la complejidad en la resolución de la
ecuación γ = F ( η). No siempre se conoce la expresión analítica de la función F−1 ( γ ) , por lo que la
ecuación (3-9) tiene que resolverse mediante distintos métodos: procedimientos numéricos como
el método de Newton – Raphson (Ver el punto A3 del Apéndice A), aproximaciones de la función
F−1 ( γ ) como en el método de Everett – Cashwell para el muestro del ángulo del fotón dispersado
tras el efecto Compton (Ver el punto A4 del Apéndice A), o a través de métodos alternativos como
los que se desarrollarán en los puntos siguientes.
47
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.3.2.2 Método de rechazo
En caso que la variable η esté definida en un intervalo finito (a, b) y que su función de densidad de
probabilidad esté acotada en todo el intervalo de definición: f ( x ) ≤ C {∀x ∈ ( a, b )} , es posible
aplicar el método de rechazo o método de Neumann [Neumann, 1951], cuyo diagrama de flujo se
muestra en la Figura 3.4. Su secuencia es la siguiente:
1.
Generar dos valores γ1 , γ 2
de la variable aleatoria γ, uniformemente distribuida en el
intervalo (0,1),
2.
Obtener un valor posible de la variable η uniformemente distribuida en (a, b), como:
η1 = a + γ1 ⋅ ( b − a ),
3.
Evaluar el valor η1
en la función de densidad de probabilidad. Si se cumple que
f ( η1 ) > γ 2 ⋅ C , entonces aceptar el valor de η1, de lo contrario repetir toda la secuencia.
γ1 , γ 2
C
η1 = a + γ1 ( b − a )
f(x)
-
γ2 <
f ( η1 )
?
C
+
η = η1
a
b
Figura 3.4: Diagrama de flujo del método de rechazo (C>0) Figura 14
Debe señalarse que el método de rechazo puede aplicarse igualmente a la generación de variables
aleatorias multidimensionales. Como puede verse, el método es menos eficiente cuanto más
alejada esté la constante C de los valores de la función f(x). Por esta razón en ocasiones es
preferible utilizar el método de sustitución con rechazo, que analizaremos a continuación.
48
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.3.2.3 Método de sustitución con rechazo
Si la variable η está definida en un intervalo finito (a, b) y su función de densidad de probabilidad
f ( x ) se puede aproximar con una función
ϕ ( x ) , tal que 0 < f ( x ) ≤ ϕ ( x ) {∀x ∈ ( a, b )} y existe
la integral de ϕ ( x ) en todo el intervalo [ a, b ] , cumpliéndose que:
η
Φ ( η) = ∫ ϕ ( x ) ⋅ dx, Φ ( b ) = Δ y ∃ Φ -1 ( y ) {∀y ∈ ( 0, Δ )}
a
Entonces la variable η puede obtenerse mediante el siguiente procedimiento (Figura 3.5):
1.
Generar dos valores γ1 , γ 2 de la variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo
(0,1),
2.
Calcular el valor posible de la variable η mediante el método directo, resolviendo la
ecuación: η1 = Φ −1 ( γ1 ⋅ Δ )
3.
Evaluar el cociente f ( η1 ) . Si es mayor que γ 2 , aceptar el valor η1, de lo contrario repetir la
ϕ ( η1 )
secuencia.
γ1 , γ 2
η1 = Φ −1 ( γ1 ⋅ Δ )
-
ϕ (x)
f ( η1 )
γ2 <
?
ϕ ( η1 )
+
η = η1
f (x)
a
b
Figura 3.5: Diagrama de flujo del método de sustitución con rechazo Figura 15
Puede verse que cuando la función ϕ ( x ) es constante el método es equivalente al de rechazo. En
ocasiones es conveniente escribir la función de densidad de probabilidad como el producto de dos
funciones. En ese caso pudiera aplicarse el método combinado de inversión – rechazo que
trataremos a continuación.
49
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.3.2.4 Método combinado inversión - rechazo
Si la variable η está definida en un intervalo finito (a, b) y su función de densidad de probabilidad
puede escribirse como: f ( x ) = g ( x ) ⋅ h ( x )
{∀x ∈ ( a, b )} , donde la integral de función g(x) existe
en todo el intervalo [ a, b ] y la función h(x) está acotada en todo el intervalo ( a, b ) , tal que:
η
∫a
−1
G ( η) = g ( x ) ⋅ dx, G ( b ) = 1 , ∃ G ( γ ) {∀γ ∈ ( 0,1)} y 0 < h ( x ) ≤ C {∀x ∈ ( a, b )}
Entonces, para generar la variable η a partir de una variable aleatoria γ uniformemente distribuida
en el intervalo (0,1) pudiera aplicarse el siguiente algoritmo, cuyo diagrama de flujo se muestra
en la Figura 3.6:
1.
Generar dos valores γ1 , γ 2 uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1),
2.
−1
Calcular el valor posible de la variable η resolviendo la ecuación , η1 = G ( γ1 )
3.
Evaluar el valor obtenido en la función h ( x ) . Si se cumple que h ( η1 ) > γ 2 ⋅ C , entonces
aceptar el valor η1, calculado para la variable aleatoria η, de lo contrario repetir la secuencia.
γ1 , γ 2
η1 = G −1 ( γ1 )
-
γ2 <
h ( η1 )
?
C
+
η = η1
Figura 3.6: Diagrama de flujo del método combinado inversión – rechazo Figura 16
El método de inversión con rechazo es la base del método de Kahn para el muestreo de la
distribución de Klein – Nishina (Ver el punto A1 del Apéndice A).
La función de densidad de probabilidad de una variable pudiera escribirse también como la suma
de varias funciones, como por ejemplo, en el método de Koblinger para muestrear el ángulo de
salida del fotón tras la dispersión Compton (Ver el punto A2 del Apéndice A). En ese caso, para
muestrear la variable aleatoria correspondiente pudiera aplicarse el método que explicamos a
continuación.
50
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.3.2.5 Método de descomposición
Si la variable η está definida en un intervalo finito (a, b), tal que su función de densidad de
probabilidad f ( x ) se puede escribir mediante la suma de N términos o funciones no negativas:
{
N
}
∧
f ( x ) = ∑ ϕi ( x ) , ϕi ( x ) ≥ 0, ∀i ∈ N, x ∈ ( a, b )
i=1
b
, denotando pi = ∫ ϕi ( x ) ⋅ dx , donde:
a
N
p =1
∑
i=1
i
Entonces la variable η puede muestrearse mediante el siguiente procedimiento (Figura 3.7):
1.
Generar dos valores γ1 , γ 2 de la variable aleatoria γ uniformemente distribuida en el intervalo
(0,1),
2.
Con el valor γ1 , seleccionar el término k
( k ∈ Nˆ )
con una probabilidad pk, utilizando el
método de muestreo de variables aleatorias discretas especificado en el punto 3.3.1,
3.
−1
Con el valor γ 2 calcular η, a partir de la función de densidad de probabilidad: p k ⋅ ϕk ( x ) .
Pudiera aplicarse, por ejemplo, alguno de los métodos ya indicados en los puntos del 3.3.2.1
al 3.3.2.4. En caso de existir la función inversa de Φ k ( x ), es posible resolver la ecuación:
γ2 =
η
1
1
ϕk ( x ) dx = ⋅ Φ k ( η)
p k ∫a
pk
γ1 , γ 2
⇒ η = Φ −k1 ( p k ⋅ γ 2 )
b
{
}
S = γ1
S = S − pi
i =1
ˆ
pi = ∫ ϕi ( x ) ⋅ dx , ∀i ∈ N
a
i = i +1
+ S > 0?
-
k =i
η = Φ k−1 ( p k ⋅ γ 2 )
Figura 3.7: Diagrama de flujo del método de descomposición con muestreo directo Figura
17
En ocasiones se requiere muestrear variables aleatorias multidimensionales, como por ejemplo la
dirección de una partícula de la radiación ionizante, o bien su punto de origen en una región
determinada del espacio. Con este fin es posible partir del método básico que describimos a
continuación.
51
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.3.2.6 Método de muestreo de variables multidimensionales
Si η es una variable aleatoria de n dimensiones η ≡ ( η1 , η2 ,..., ηn ) , dada por su función de
densidad de probabilidad , f η ( x ) , x ≡ ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n entonces es posible definir un método
de muestreo a partir de la siguiente expresión:
f η ( x ) = f1 ( x1 ) ⋅ f 2 ( x 2 / x1 ) ⋅ f3 ( x 3 / x1 , x 2 ) ⋅ ... ⋅f n ( x n / x1 ,..., x n −1 )
(3-12),
donde: f1 ( x1 ) es la función marginal de densidad de probabilidad de la variable aleatoria η1 ,
+∞
f1 ( x1 ) =
+∞
∫ dx ... ∫ dx
2
−∞
n
(3-13),
f η ( x1 ,..., x n )
−∞
y f i ( x i x1 ,..., x i −1 ) son las funciones de densidad condicionadas de las variables aleatorias ηi
para valores conocidos de las variables aleatorias η1 ,..., ηi −1 ( i = 2,3,..., n ) .
Las funciones de densidad condicionadas pueden calcularse según:
fi ( x i / x1 ,..., x i −1 ) =
f1...i ( x1 ,..., x i )
f1...i −1 ( x1 ,...x i −1 )
+∞
siendo f1...i ( x1 ,..., x i ) =
∫
(3-14),
+∞
dx i +1 ...
−∞
∫ dx
n
f η ( x1 ,..., x n ) las funciones marginales de densidad
−∞
(i)
de probabilidad de las variables η
≡ ( η1 ,..., ηi ) . Nótese que f1...n ( x1 ,..., x n ) = f η ( x1 ,..., x n ) .
El procedimiento de muestreo de la variable aleatoria η ≡ ( η1 , η2 ,..., ηn ) es el siguiente:
1.
Generar el valor de η1 a partir de la función marginal de densidad de probabilidad f1 ( x1 ),
2.
Generar los valores de ηi sucesivamente a partir de las funciones de densidad condicionadas
f i ( x i η1 ,..., ηi −1 ) , i = 2,..., n
En la generación de cada valor de ηi ( i ∈ nˆ ) es posible utilizar alguno de los métodos indicados
en los puntos del 3.3.2.1 al 3.3.2.5.
52
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.4 Simulación del transporte de las radiaciones
ionizantes
Como hemos comentado, la base de cualquier análisis por simulación estadística es crear un
modelo estocástico lo más similar posible al sistema real de interés, de forma que se pueda
caracterizar el comportamiento estadístico de cada uno de los procesos que lo conforman. Estos
procesos se muestrean de forma aleatoria y se combinan tal como ocurre en el sistema real. Una
vez que el número de muestras es lo suficientemente elevado se puede obtener una conclusión
sobre el comportamiento del sistema estudiado con un nivel aceptable de incertidumbre. La
secuencia pudiera resumirse en cinco etapas generales:
a)
Definición del objetivo y alcance de la simulación;
b)
Construcción del modelo estocástico del sistema a simular, definición de los procesos que
lo conforman, sus interrelaciones y las variables de salida que caracterizan al sistema;
c)
Selección o construcción de las funciones de densidad de probabilidad (fdp) de las
variables asociadas a cada uno de los procesos estocásticos;
d)
Muestreo de las variables aleatorias, su combinación según el modelo estocástico y
acumulación de los resultados obtenidos en variables temporales o de salida;
e)
Cálculo de los valores de las variables de salida y de la incertidumbre asociada.
La simulación del transporte de las radiaciones ionizantes se aplica a diversos problemas en los
que resulta engorrosa la resolución de las ecuaciones de Boltzman por otros métodos, como por
ejemplo en: la optimización de parámetros de reactores nucleares, la obtención de coeficientes
dosimétricos para la Protección Radiológica, la dosimetría clínica y la planificación de
tratamientos de Radioterapia, los cálculos de blindajes contra las radiaciones ionizantes, el estudio
de la respuesta de detectores de radiaciones ionizantes, entre otros. En estos casos, la aplicación
del método Monte Carlo al transporte de las radiaciones ionizantes se sustenta en un conjunto de
postulados básicos que son [Virius 1985]:
No ocurren interacciones entre las partículas de las radiaciones ionizantes23. Por
I.
consiguiente, la simulación del transporte de las radiaciones puede verse como un proceso de
Markov [Grinstead y Snell, 2006], que se basa en el seguimiento sucesivo de partículas y
trayectorias independientes. Por otro lado, todas las trayectorias se consideran realizaciones
de un único proceso aleatorio, por lo que generalmente no es necesario incluir las
dependencias con el tiempo.
23
Las interacciones entre las partículas incidentes dejan de ser despreciables a partir de valores
extremadamente grandes de densidades de flujo y de energía de dichas partículas. Los valores concretos
dependen del tipo de partículas y del medio por el que pasan.
53
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Capítulo 3
II.
El método Monte Carlo
El movimiento de las partículas se describe a partir de sus interacciones con los átomos del
medio. Es necesario entonces conocer la probabilidad de ocurrencia de cada tipo de
interacción posible, en función de la energía24 de la radiación incidente. Estas probabilidades
se obtienen de las secciones eficaces de interacción publicadas en forma de tablas, gráficos o
funciones analíticas, para cada uno de los átomos que conforman el medio. Por ejemplo,
durante la incidencia de partículas no cargadas en un medio homogéneo constituido por m
átomos diferentes, donde es posible la ocurrencia de n interacciones diferentes en cada uno
de ellos, la probabilidad de interacción por unidad de recorrido de la radiación o sección
eficaz macroscópica total Σ , estará dada por la ecuación25:
Σ (E) =
m
∑
i:=1
i
δi ⋅ σ T ( E ) ,
σiT ( E ) =
n
∑ σij ( )
E
(3-15),
j=1
siendo: σij ( E ) la sección eficaz microscópica de la interacción “j” en el átomo “i” para la
energía “E” de la radiación incidente, σiT ( E ) la sección eficaz microscópica total para el
átomo “i” y la energía “E” de la radiación incidente, y δi la densidad de átomos “i” en el
medio.
Las incertidumbres asociadas a las secciones eficaces de interacción deben tenerse en cuenta
a la hora de evaluar la exactitud del modelo. La selección de la biblioteca de datos atómicos y
nucleares a utilizar es entonces una cuestión importante a tener en cuenta, partiendo del
objetivo y alcance de la simulación.
III. La dirección y energía de las partículas secundarias producto de los procesos de interacción
de la radiación incidente con los átomos del medio pueden obtenerse de las secciones
eficaces diferenciales de interacción. Por ejemplo, conociendo la sección eficaz diferencial de
interacción:
r
d 2σ E, E ' , Ω
r
r
σ ' r E, E , Ω =
EΩ
dE ' ⋅ dΩ
(
'
)
(
)
(3-16),
r
es posible construir la función de densidad de probabilidad para la dirección Ω y la energía
E’ de las partículas secundarias según:
24
En ocasiones se requiere conocer las probabilidades de interacción en función de la dirección de la
radiación incidente, como en el caso de determinados cristales con anisotropía espacial.
25
En medios no homogéneos es necesario tener en cuenta la variación de δ en el volumen de interés.
54
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
r
σ ' r E, E ' , Ω
r
f ' r E, E ' , Ω = E Ω
EΩ
σ (E)
(
)
(
)
(3-17),
donde: σ ( E ) es la sección eficaz de interacción para la energía E de la radiación incidente,
dada por la doble integral de la sección eficaz diferencial en todo el rango posible de energías
y direcciones de las partículas secundarias :
σ (E) =
∫' ∫r
EΩ
r
r
σ ' r E, E ' , Ω ⋅ dΩ ⋅ dE '
EΩ
(
)
(3-18)
IV. Entre una interacción y otra, las partículas se mueven con velocidad y dirección constante. La
curvatura de las trayectorias por la influencia de los campos gravitacional y magnético de la
Tierra puede considerarse despreciable teniendo en cuenta la elevada velocidad y corta
trayectoria de las partículas. En ocasiones, sin embargo, se realizan simulaciones de sistemas
bajo campos artificiales de gran intensidad, donde no es posible despreciar su influencia. Otra
0
excepción ocurre cuando se simulan partículas muy inestables, como el mesón π , con un
tiempo de vida media del orden de 10-16s. En estos casos es necesario considerar la posible
desintegración de las partículas durante su recorrido.
Las partículas secundarias se producen en el mismo punto donde ocurre la interacción de las
V.
partículas incidentes. En ocasiones los productos de la interacción pueden emitirse con cierto
retraso, como en el caso de la fisión nuclear con neutrones; sin embargo, el desplazamiento
del núcleo atómico suele considerarse despreciable.
Un ejemplo de secuencia general en la simulación del transporte de las radiaciones ionizantes se
muestra en la Figura 3.8. Se trata de un modelo simplificado para el cálculo de la energía
depositada por un tipo de partículas no cargadas en un medio de volumen V. Se utiliza una pila26
para almacenar temporalmente las partículas secundarias hasta su seguimiento. La terminología
empleada es la siguiente:
r
r
E, r0 y ω0 representan: la energía inicial, el punto de origen y el vector de dirección de las
r
partículas antes de su interacción, respectivamente. r representa la posición de la partícula.
r
r
E i , ri y ωi representan: la energía, la posición y el vector de dirección de la partícula “i” tras la
interacción, respectivamente. E’ es la variable que “acumula” la energía que se va entregando al
medio durante el seguimiento de las historias originadas por cada partícula incidente.
26
Se guarda la energía, la posición y el vector de dirección de cada partícula secundaria en espera de su
seguimiento. El orden no es relevante en este caso.
55
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
INICIO
Generación de una
r r
partícula: E, r0 , ω0
E’ = 0
Extracción de una
partícula
r i de
r la
r pilar
E = E i , r0 = ri , ω 0 = ωi
Muestreo del punto
r
de interacción: r
¿Dentro del medio?
r
(¿r ∈ V ?)
-
-
¿Pila vacía?
+
Seguimiento de la
partícula i=1
r r r
r
E = E1 , r0 = r1 , ω0 = ω1
+
-
Determinación del
tipo de interacción
+
Incremento de la
energía E’
depositada en V
Almacenamiento en la pila
r r
de los parámetros: E i , ri , ωi
de cada partícula i, ( i ≥ 2 )
¿Partículas
Secundarias?
+
-
¿Número de
partículas >1?
¿ E’ ≠ 0 ?
+
r
Muestreo de E i , ωi
para cada partícula i
Incremento de la
energía total depositada
en el medio
-
+
¿Número
máximo de
partículas?
Cálculo del valor esperado
de energía depositada por
partícula
-
FIN
Figura 3.8: Ejemplo de diagrama de flujo general para el cálculo de la energía depositada en un
medio de volumen V Figura 18
A continuación comentaremos brevemente algunas de las etapas de la secuencia en la Figura 3.8.
3.4.1 Generación de partículas
Es necesario conocer la distribución espacial de la fuente, así como la distribución direccional y
energética de las partículas emitidas. Con frecuencia la fuente se especifica mediante la densidad
de probabilidad de que en cada punto del espacio ocurra la emisión de una partícula con una
energía determinada y en una dirección dada. Simular la fuente significa entonces seleccionar de
r
r
forma aleatoria un punto de origen r0 , una dirección de emisión ω0 y una energía de la partícula
emitida, acorde con las funciones correspondientes de densidad de probabilidad. Por lo general se
combina el procedimiento de muestreo recogido en el punto 3.3.2.6 con algunos de los métodos de
muestreo indicados en los puntos del 3.3.2.1 al 3.3.2.5. Una vez generada la partícula se procede
al muestreo de su recorrido libre, que determina el punto donde ocurre la interacción con los
átomos del medio.
56
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.4.2 Muestreo del punto de interacción
Las partículas, tras su emisión o entre interacciones recorren una distancia o recorrido libre “t”,
que es una magnitud aleatoria con función de densidad de probabilidad dada por:
⎧⎪ t r
⎫⎪
r
f ( t, E ) = Σ ( r ( t ) , E ) ⋅ exp ⎨− Σ ( r ( u ) , E ) ⋅ du ⎬ , t ∈ R, t ≥ 0
⎪⎩ 0
⎪⎭
∫
(3-19),
o sea, con función de distribución :
⎧⎪ t r
⎫⎪
F ( t, E ) = 1 − exp ⎨− Σ ( r ( u ) , E ) ⋅ du ⎬
⎪⎩ 0
⎭⎪
∫
r
r
(3-20),
r
r
siendo: r ( u ) = r0 + u ⋅ ω0 el punto de ocurrencia de la interacción, Σ ( r ( u ) , E ) la sección eficaz
r
macroscópica total en el punto r ( u ) para la energía E de las partículas incidentes.
Si el medio es homogéneo, la función de distribución del recorrido libre (3-20) puede escribirse
como:
F ( t, E ) = 1 − e
−Σ( E )⋅t
(3-21)
Aplicando el método directo o de inversión, indicado en el punto 3.3.2.1, se llega a la conocida
fórmula27 para el muestreo del recorrido libre de las partículas:
t=
1
1
⋅ ln
Σ (E)
γ
(3-22)
Es evidente que la generación de los recorridos libres según la expresión (3-19) puede ser
compleja en el caso de medios no homogéneos. Una solución frecuente consiste en diseñar el
modelo de simulación de forma que sea posible asumir que el medio es homogéneo por partes, es
{
}
decir, que se compone de n subregiones homogéneas (Vi) donde: Vi ∩ Vj = ∅, (i, j ∈ n),
ˆ (i ≠ j) .
Si en cada una de estas regiones las secciones macroscópicas totales son constantes:
r
Σi ( r ( u ) , E ) = Σi ( E ) y se adopta, para cada partícula, una trayectoria rectilínea que pasa
r
sucesivamente por V , V , ..., V ( k ∈ nˆ ) regiones28, con el punto de origen r0 en la región V ,
i
i
i
i
1
2
k
1
entonces es posible seguir el procedimiento siguiente:
El término 1- γ se sustituye preferiblemente por γ , pues ambos son equivalentes.
La cantidad de regiones que atraviese la trayectoria de cada partícula dependerá de su vector de dirección.
27
28
57
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Capítulo 3
1.
El método Monte Carlo
Se genera un recorrido libre, con la expresión (3-22), asumiendo que la región de origen
Vi es homogénea e infinita.
1
2.
Si el punto de interacción:
r r
r
r = r0 + t ⋅ ω0 pertenece a Vi se culmina el proceso, de lo
1
r
contrario se encuentra el punto de intersección r1 de la trayectoria rectilínea de la partícula
con la frontera de Vi y a partir de este punto se genera un recorrido libre, nuevamente con la
1
expresión (3-22), asumiendo entonces que la región Vi es homogénea e infinita.
2
r r
r
3. Si el punto de interacción: r = r1 + t ⋅ ω0 pertenece a Vi se culmina el proceso, de lo
2
r
contrario se encuentra el punto de intersección r2 con la frontera de Vi y se genera un
2
recorrido libre a partir de este punto, asumiendo igualmente que la región Vi es homogénea
3
e infinita.
4.
r
r
r
Toda la secuencia se repite hasta que se encuentre un punto de interacción r = rp−1 + t ⋅ ω0
que pertenezca a la región V
i
p
( p ∈ kˆ ) o bien hasta que se transite por todas las regiones
r
r
r
posibles en la trayectoria de la partícula y el punto r = rk −1 + t ⋅ ω0 no pertenezca a V .
ik
Las partículas que atraviesan la superficie del medio pueden regresar a éste, o bien alejarse,
dejando de ser importantes para la simulación. Por ello, las propiedades geométricas del medio en
el que seguimos las interacciones de las radiaciones ionizantes tienen un papel determinante en el
grado de complejidad del proceso de simulación. El cálculo de los puntos de intersección de
cualquier línea recta con la superficie de cuerpos irregulares puede ser una cuestión de suma
complejidad, cuya solución pudiera sólo ser posible a partir de aproximaciones geométricas.
58
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Capítulo 3
3.4.3
El método Monte Carlo
Muestreo del tipo de interacción y de las partículas
secundarias
Una vez que se genera la partícula y se muestrea su recorrido libre, se tiene el punto donde ocurre
la interacción con los átomos del medio. Si se conocen las secciones eficaces macroscópicas
Σ j ( E ) correspondientes a cada tipo de interacción j
( j ∈ nˆ ) ,
es posible representar el tipo de
interacción como una magnitud aleatoria discreta, cuya probabilidad de ocurrencia es
pj (E) =
Σj (E)
Σ (E)
, siendo Σ ( E ) la sección eficaz macroscópica total deducida según la expresión
(3-15). El método a seguir en este caso para el muestreo del tipo de interacción es el indicado en
el punto 3.3.1.
El muestreo de las partículas secundarias consiste en la selección aleatoria de su energía y
dirección y puede realizarse, según comentamos en el postulado general III, mediante la función
de densidad de probabilidad construida a partir de las secciones eficaces diferenciales
correspondientes según las ecuaciones (3-16) y (3-17).
3.4.4 Estimación de incertidumbres
En la simulación estadística, los valores buscados de las magnitudes de interés se obtienen a partir
de valores esperados de las variables aleatorias correspondientes. Por ejemplo, en el diagrama de
la Figura 3.8, la energía depositada por partícula en el medio de volumen V se calcula como la
esperanza matemática de la energía depositada por cada partícula generada.
Si el valor de la magnitud buscada es m y el modelo de simulación es correcto, entonces el valor
esperado de la variable aleatoria correspondiente, denotada por ejemplo como η , será también m.
Si la varianza de η es finita, tal que Dη = b 2 , y de conformidad con la Ley de los Grandes
Números [Grinstead y Snell, 2006] expresamos la esperanza matemática de la variable η a través
N
∑
1
ηi , ( η son realizaciones independientes de η ( i ∈ Nˆ ) ),
de su media aritmética η =
i
N i=1
entonces, de acuerdo con el Teorema Central del Límite [Valiota y Delieutraz, 2004] cuando el
29
valor de N es grande, la variable η se aproxima a una variable con distribución normal, con valor
medio igual a m y desviación estándar igual a b
N
.
Esta afirmación es equivalente a la
conocida relación:
29
El valor medio real de la variable
η , dado por la expresión E ( η) = η⋅ f ( η) ⋅ dη , se estima a partir de la
∫
media aritmética, pues por lo general la función de densidad de probabilidad f ( η) se desconoce. Durante
la simulación se realiza el muestreo de f ( η ) de manera implícita.
59
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
⎧⎪ 1
P⎨ ⋅
N
⎩⎪
N
∑
i =1
k
2
α
t
−
k α ⋅ b ⎫⎪
2
ηi − m <
⋅ e 2 ⋅ dt
⎬≈α=
π
N ⎭⎪
0
∫
(3-23)
La siguiente tabla recoge, a modo de ejemplo, algunos de los valores más utilizados de α y k α .
Tabla 3.1: Ejemplos de valores de probabilidad ( α ) y sus correspondientes valores de k α en una
distribución normal con valor medio igual a 0 y desviación estándar igual a 1.
α
kα
α
kα
0.50
0.68
0.90
0.95
0.674
1.000
1.645
1.960
0.975
0.990
0.9975
0.999
2.200
2.576
3.000
3.300
La expresión (3-23) es de suma importancia para el método Monte Carlo. Permite calcular el
valor medio de la variable aleatoria y la incertidumbre asociada. De este modo, toda simulación
estadística se basa en la búsqueda de N valores independientes de una variable aleatoria cuya
media aritmética será muy próxima al valor de la magnitud estudiada, con una desviación estándar
de la forma: b
N
.
El valor de la constante b será específico para el modelo de simulación y determinará su velocidad
de convergencia. Debido a que el valor de b no se conoce a priori, la varianza de una población o
conjunto de realizaciones de la variable
η se estima durante la simulación estadística mediante el
2
estadígrafo S (para valores grandes de N):
S2 =
N
_
1
⋅
( ηi − η)2 ≈ η2 − η2
N − 1 i=1
∑
(3-24),
N
_
donde: η2 = 1 ⋅
η2 y ηi son los valores obtenidos de la variable η durante la simulación.
N i=1 i
∑
La varianza de η se estima entonces como:
Sη2 =
S2
N
(3-25),
siendo la magnitud Sη la desviación estándar estimada para la media aritmética η . Como puede
deducirse de las expresiones (3-23) y (3-25), la desviación estándar de η es proporcional a
1
N
, por lo que para reducir en un orden su valor es necesario incrementar en cien veces el
número de realizaciones de la variable η .
60
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
Partiendo de (3-24), la incertidumbre relativa puede expresarse como:
1
1
⎞⎤ 2
⎡ ⎛ _
⎢ 1 ⎜ η2 ⎟ ⎥
R=
= ⎢ ⋅ ⎜ 2 − 1⎟ ⎥
N
η
⎟⎥
⎢ ⎜η
⎠⎦
⎣ ⎝
Sη
⎡ N
⎤2
2
⎢
⎥
ηi
⎢
1⎥
⎥
= ⎢ i=1
−
2 N⎥
⎢⎛ N
⎞
⎢⎜
⎥
ηi ⎟
⎢ ⎜⎝ i=1 ⎟⎠
⎥
⎣
⎦
De la expresión anterior se puede deducir que
∑
(3-26)
∑
R 2 es proporcional a 1
N
. Considerando que N
2
es directamente proporcional al tiempo de simulación30 T, entonces el producto: R ⋅ T debe
acercarse a un valor constante a partir de un valor grande de N. Este hecho permite definir una
Figura de Mérito (FDM) para caracterizar la fortaleza del código de simulación, dada por la
siguiente expresión [Los Alamos, 2005]:
FDM =
1
R ⋅T
(3-27)
2
La ecuación (3-27) indica que cuanto mayor sea la Figura de Mérito, más rápida será la
convergencia de la simulación estadística para un valor prefijado de R. Como veremos en el
apartado siguiente, una de las formas de incrementar el valor de la FDM es aplicando las
denominadas técnicas de reducción de varianza, orientadas a reducir el valor de la desviación
estándar de la variable η para un tiempo dado de simulación.
Hasta ahora nos hemos referido a las incertidumbres que pueden ser estimadas mediante métodos
estadísticos. Sin embargo, existen otras fuentes de incertidumbre asociadas al método Monte Carlo
que deben tenerse en cuenta a la hora de juzgar la calidad de los resultados obtenidos. Entre estas
fuentes de incertidumbre están: las simplificaciones y aproximaciones de los modelos estocásticos,
las aproximaciones y los posibles errores en los códigos de simulación, la incertidumbre en los
valores de las secciones eficaces de interacción, y la preparación insuficiente de los usuarios de los
códigos para realizar las simulaciones e interpretar adecuadamente los resultados. Por lo general
estas fuentes de incertidumbre son difíciles de cuantificar y la estimación de la incertidumbre
combinada [CSN, 2002] suele ser una tarea compleja. Por ello, es inevitable que el grado de
confianza requerido para la utilización de los códigos de simulación por Monte Carlo se adquiera y
fundamente a partir de su verificación y validación. Las pautas generales de los procesos de
verificación y validación pueden encontrarse por ejemplo en [FDA, 2002]. En el Capítulo 5 nos
referiremos a los resultados de los ejercicios de verificación y validación realizados al código
DETEFF, desarrollado en el marco del presente trabajo de tesis doctoral.
30
T se refiere al tiempo de trabajo del procesador.
61
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
La documentación de los códigos, el entrenamiento de los usuarios en su manejo y la creación de
foros de intercambio y retroalimentación son algunas de las medidas básicas a tener en cuenta por
los creadores de programas de simulación por Monte Carlo para facilitar el proceso de validación y
mejora continua de los productos desarrollados.
3.4.5 Técnicas de reducción de varianza
El diagrama de flujo de la Figura 3.8 corresponde a una simulación análoga, en la que se siguen
fielmente las leyes físicas. De esta forma, las partículas generadas pueden no interactuar en el
volumen de interés, con lo que se pierde tiempo de simulación y aumentan las fluctuaciones
estadísticas. Por lo general, las simulaciones análogas o directas, utilizando funciones de densidad
de probabilidad reales, requieren de un tiempo demasiado elevado para producir resultados
estadísticamente satisfactorios.
La reducción de la incertidumbre sin incrementar el número de historias, o sea, sin aumentar el
tiempo de trabajo del procesador (en lo adelante CPU, como acrónimo de su nombre en inglés:
Central Processing Unit), se logra mediante las simulaciones no análogas. Las simulaciones no
análogas están dirigidas a aumentar la FDM (3-27) y, como su nombre indica, utilizan funciones
de densidad de probabilidad que no se ajustan a las leyes físicas. Al forzar la ocurrencia de
determinados procesos o situaciones, disminuyen su carácter aleatorio, por lo que producen
resultados sesgados. Con el fin de corregir este sesgo artificial se introducen pesos estadísticos a
las historias de las partículas. De esta forma, se siguen partículas virtuales, y cuando ocurre un
evento de recuento se adiciona el peso estadístico de la partícula correspondiente en lugar de la
partícula completa. Los métodos que se aplican en las simulaciones no análogas se conocen como
técnicas de reducción de varianza. Estas pueden ser de diferentes tipos. A continuación,
exponemos las más utilizadas.
3.4.5.1 Métodos de truncamiento
Son las técnicas más simples. Agilizan los cálculos mediante el truncamiento de aquellas partes
del espacio de fase31 que no contribuyen significativamente a la solución, terminando las historias
menos significativas de las partículas y reduciendo de esta forma el tiempo promedio dedicado a
cada historia. El truncamiento es similar a la ruleta rusa, que veremos más adelante, con la
particularidad de que la probabilidad de supervivencia es cero.
31
r
r r
Se refiere al espacio dado por los vectores ( r, p, t ) , donde r es el vector de posición de la partícula,
su impulso y t el tiempo.
62
r
p
MENÚ
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
Truncamiento geométrico
En el truncamiento geométrico o espacial, la historia de la partícula termina cuando ésta entra en
una región dada del espacio, desde la cual tiene muy poca probabilidad de contribuir a la magnitud
aleatoria buscada.
Corte por energía crítica
En el truncamiento o corte por energía crítica la historia de la partícula termina cuando su energía
se hace inferior a un valor crítico predefinido, que a su vez puede estar en función del espacio.
Debe tenerse cuidado de no eliminar partículas cuya contribución a la solución pueda ser
importante, por ejemplo como consecuencia de un incremento de las secciones eficaces de
interacción para bajas energías.
3.4.5.2 Métodos de control de población
Ruleta rusa
La ruleta rusa tiene como objetivo reducir el número de partículas cuya contribución al resultado
no es significativa. De esta forma, aunque se incremente ligeramente la desviación estándar por
historia, la reducción del tiempo de cálculo es más relevante para la FDM. El método consiste en
generar un número aleatorio γ y compararlo con un valor umbral λ . Si γ < λ entonces la
partícula cuyo peso estadístico inicial era W0 sobrevive con un peso estadístico W = W0 , de lo
λ
contrario la partícula es eliminada ( W = 0 ) . Por ejemplo: en el caso de aplicar la ruleta rusa para
reducir la cantidad de partículas que pasan de una región del espacio de fase de mayor importancia
I0 a una región de menor importancia I1 , el valor umbral puede determinarse como: λ = I1 .
I
0
Multiplicación de partículas (splitting)
La multiplicación de partículas tiene como finalidad incrementar el número de partículas en una
región determinada del espacio de fase. Es ventajosa siempre que la reducción lograda en la
desviación estándar sea más importante para la FDM que el incremento del tiempo de simulación
por historia. De esta forma, si el número de partículas se incrementa en N, el peso estadístico de
cada una de ellas se reducirá en la misma cantidad W = W0 . La multiplicación de partículas
N
pudiera aplicarse si, por ejemplo, éstas pasan de una región del espacio de fase I0 de menor
importancia a otra I1 de mayor importancia. En este caso, N = I1
63
I0
si el cociente es un número
MENÚ
SALIR
Capítulo 3
El método Monte Carlo
entero. De ser fraccionario se genera un número aleatorio γ uniformemente distribuido en el
intervalo (0,1) y si γ < I1
I
− ⎡ 1 ⎤ entonces el número de partículas N será igual a ⎡ I1 ⎤ + 1 , de
I0 ⎢⎣ I0 ⎥⎦
⎢⎣ I0 ⎥⎦
lo contrario será ⎡ I1 ⎤ .
⎣⎢ I0 ⎦⎥
3.4.5.3 Métodos de muestreo modificado
Estratificación
Generalmente, en las simulaciones por Monte Carlo existen regiones dentro del espacio de fase
que no son significativas para el problema a resolver. Con el objetivo de no gastar tiempo de CPU
se utiliza entonces la técnica de estratificación, que consiste en el muestreo de las regiones del
espacio de fase a partir de su importancia relativa.
En numerosas aplicaciones, por ejemplo, el ángulo sólido entre la fuente y el volumen de interés es
muy pequeño, por lo que el muestreo análogo (isotrópico) de las partículas puede ser muy
ineficiente en términos del tiempo de cálculo requerido. Es necesario entonces “favorecer”
aquellas direcciones comprendidas dentro del ángulo sólido de interés. En coordenadas esféricas,
es posible estimar este ángulo sólido como:
2 π θMáx.
Ω=
∫0 ∫0
sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ
(3-28),
siendo θMá x . el ángulo polar máximo que delimita el contorno del volumen de interés desde
cualquier punto de la fuente y ϕ el ángulo azimutal. Se tiene entonces que:
Ω = 2π ⋅ (1 − cos θMáx. )
Las funciones de densidad de probabilidad de
(3-29)
ϕ y θ , para el muestreo de las direcciones de las
partículas dentro del ángulo sólido Ω , se obtienen siguiendo el método del punto 3.3.2.6 para el
muestreo de variables multidimensionales:
f ϕ (x) =
1
sin x
x ∈ [ 0, 2π]} y f θ (x) =
{
{x ∈ [0, θMáx. ]}
2π
1 − cos θMáx.
64
(3-30)
MENÚ
SALIR
Capítulo 3
El método Monte Carlo
En este caso, el peso estadístico deberá ser multiplicado por la probabilidad de emisión de las
partículas dentro del ángulo sólido
Ω:
⎡1 − cos θMáx. ⎤
W = W0 ⋅ ⎢
⎥
2
⎣
⎦
(3-31)
Interacciones forzadas
Existe una cierta probabilidad
de que las partículas abandonen el volumen de interés sin
interactuar en éste. Este puede ser un inconveniente en los cálculos de la energía impartida al
medio o del número de partículas que ceden su energía en una región determinada. Con el objetivo
de mejorar la estadística de la simulación, en ocasiones se fuerza la ocurrencia de las interacciones
de las partículas dentro del volumen de interés, por ejemplo, a partir de la función de densidad de
probabilidad modificada32:
f (x) =
Σ ⋅ exp ( −Σ ( E ) ⋅ x )
1 − exp ( −Σ ( E ) ⋅ d Máx. )
(3-32),
donde d Máx. es la longitud máxima de la trayectoria rectilínea que la partícula puede recorrer sin
interactuar dentro del volumen de interés, y Σ ( E ) es la sección eficaz macroscópica total de
interacción de las partículas en el medio de interés, acorde con la expresión (3-15).
En lugar de realizar el muestreo del recorrido libre ( t ) de las partículas según la fórmula (3-22), se
utiliza la expresión (3-33) deducida de la función de densidad de probabilidad normalizada (3-32).
t=
⎡
⎤
1
1
⎥
⋅ ln ⎢
Σ (E)
⎢⎣1 − γ ⎡⎣1 − exp ( −Σ ( E ) ⋅ d Máx. ) ⎤⎦ ⎥⎦
(3-33),
siendo γ un número aleatorio, uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).
De acuerdo con la fórmula (3-33) el valor máximo posible de t es d Máx. Este sesgo en el recorrido
libre medio se compensa multiplicando el peso estadístico de la partícula por la probabilidad de
interacción dentro del volumen de interés, o sea:
W = W0 ⋅ ⎡⎣1 − exp ( −Σ ( E ) ⋅ d Máx. ) ⎤⎦
32
Esta expresión es válida para un medio homogéneo.
65
(3-34)
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
Captura implícita en el punto de interacción
En ocasiones, cuando las partículas se absorben en una determinada región del espacio, no
contribuyen a la variable que se estudia. En estos casos, para no desperdiciar tiempo de CPU,
durante el muestreo del tipo de interacción (según el procedimiento indicado en el punto 3.4.3) se
suelen considerar sólo las interacciones que conducen a la dispersión o a la multiplicación de
partículas. El sesgo producido por este muestreo no análogo del tipo de interacción se corrige
modificando el peso estadístico de las partículas resultantes de la interacción según:
⎡ Σ ( E ) − Σa ( E ) ⎤
W = W0 ⋅ ⎢
⎥
Σ (E)
⎣
⎦
(3-35),
siendo Σa ( E ) la suma de las secciones eficaces macroscópicas que conducen a la absorción de las
partículas y que no intervienen en el muestreo del tipo de interacción y Σ ( E ) la sección eficaz
macroscópica total de interacción de las partículas según (3-15).
Captura implícita en el recorrido libre medio
La captura implícita también puede aplicarse durante el muestreo del punto de interacción de las
partículas. En este caso, en lugar de muestrear el punto de interacción, se muestrea directamente el
lugar de la dispersión mediante la ecuación:
t=
1
1
⋅ ln
( Σ ( E ) − Σa ( E ) ) γ
(3-36),
donde γ es un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0,1), y Σa ( E ) y
Σ ( E ) tienen igual significado que en (3-35). El peso estadístico de las partículas secundarias tras
la dispersión se deberá reducir entonces según:
W = W0 ⋅ exp ( −Σa ⋅ t )
(3-37)
Transformación exponencial
En ocasiones se requiere modificar la probabilidad de interacción de las partículas en una
dirección determinada. Por ejemplo, durante las simulaciones para las evaluaciones de blindajes
gruesos, la reducción artificial de la probabilidad de interacción en la dirección perpendicular a la
superficie del blindaje posibilita una mejor estadística de partículas al otro lado del mismo. Los
estudios de retro-dispersión, por el contrario, requieren que aumente la probabilidad de interacción
de las partículas en la dirección perpendicular a la superficie.
66
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
La modificación de la probabilidad de interacción de las partículas en una dirección dada se
realiza, por ejemplo, mediante la transformación exponencial, en la que la sección eficaz
macroscópica total de interacción se obtiene según:
Σ* ( E ) = Σ ( E ) ⋅ (1 − C ⋅ cos θ)
(3-38),
Siendo Σ ( E ) la sección eficaz macroscópica total de interacción de las partículas según (3-15), θ
el ángulo entre la dirección de interés y la trayectoria de la partícula y C una constante que
caracteriza el tipo de transformación ( C ∈ ( −1,1) ).
El muestreo del recorrido libre de las partículas se realiza entonces según la siguiente expresión:
t=
1
1
⋅ ln
Σ ( E ) ⋅ (1 − C ⋅ cos θ )
γ
(3-39),
donde γ es un número aleatorio, uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).
Según (3-39), cuando −1 < C < 0 ó 0 < C < 1 , el recorrido libre medio de las partículas en la
dirección de interés se reduce o se incrementa, respectivamente. Este sesgo en la probabilidad de
interacción de las partículas se corrige modificando el peso estadístico de las partículas tras la
interacción, según:
W = W0 ⋅
exp ( −C ⋅ Σ ( E ) ⋅ cos θ ⋅ t )
(1 − C ⋅ cos θ )
(3-40),
El nuevo peso estadístico de la partícula según la expresión (3-40) garantiza que la probabilidad de
interacción en el intervalo [ t, t + dt ] se mantenga constante, es decir:
(
)
W ⋅ Σ* ( E ) ⋅ exp −Σ* ( E ) ⋅ t = W0 ⋅ Σ ( E ) ⋅ exp ( −Σ ( E ) ⋅ t )
(3-41)
Como puede apreciarse, la transformación exponencial con parámetros C = Σa y cos θ = 1 ,
Σ
combinada con la captura implícita en el punto de interacción es una técnica de reducción de
varianzas equivalente a la captura implícita en el recorrido libre medio.
67
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
3.5 Códigos de simulación Monte Carlo
Con el aumento de la velocidad de procesamiento de datos, la simulación estadística se está
convirtiendo en la opción más flexible y fiable para el cálculo de la eficiencia en sistemas de
espectrometría de la radiación gamma. A nivel comercial existen códigos Monte Carlo
multipropósito o de aplicación múltiple que, en principio, pudieran ser utilizados para este fin
[García-Talavera, et. al., 2000], [Helmer et. al. 2003], [Hurtado et. al., 2004], [Peyres y GarcíaToraño, 2007], [Ródenas, et. al., 2007]. Estos códigos siguen en mayor o menor grado los
principios generales que hemos indicado en el presente capítulo. Esencialmente se diferencian
entre sí, en las bases de datos escogidas para las secciones eficaces de interacción, en los modelos
físicos aplicados al transporte de las partículas y en la interrelación con los usuarios. La Tabla 3.2.
resume algunas de las características de varios de estos códigos de Monte Carlo de uso múltiple.
El empleo adecuado de los códigos de uso múltiple o multipropósito requiere, sin embargo,
conocimientos de lenguajes de programación, de técnicas de simulación estadística, o en el mejor
de los casos, de las reglas no triviales para la creación de los archivos con los datos de entrada
[GEANT4, h. p.], [Salvat, et. al., 2006], [Briesmeister, 2000], [Halbleib y Mehlhorn, 1986],
[Nelson et. al., 1985]. Otra limitación importante para el uso de los códigos de propósito múltiple
en los laboratorios analíticos son los tiempos de cómputo requeridos, que pueden ser de unas horas
hasta algunos días, para obtener valores de eficiencia con desviaciones estándar inferiores al 1%,
en ordenadores ordinarios. A todas estas dificultades se une la necesidad obvia de validar cada uno
de los modelos creados por los usuarios. De esta forma, los códigos multipropósito no encuentran
fácilmente un uso práctico en laboratorios analíticos de servicios rutinarios, como los dedicados a
la vigilancia radiológica, donde existe una demanda creciente de métodos para el cálculo de la
eficiencia (ver detalles en [OIEA, 2000]).
A continuación describiremos la implementación, en el código específico DETEFF, de los
principios tratados en el presente capítulo. Abordaremos los procesos físicos considerados,
relevantes para los cálculos de la eficiencia en sistemas de espectrometría de radiación gamma, y
explicaremos los métodos empleados en su simulación. Además, mostraremos las características
generales del código, que lo convierten en una herramienta de fácil manejo y lo suficientemente
rápida como para encontrar uso práctico en laboratorios analíticos.
68
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
Tabla 3.2: Ejemplos de códigos de simulación Monte Carlo, de uso múltiple 1
Código
EGS4
ETRAN
ITS
(compuesto
por TIGER,
CYLTRAN y
ACCEPT)
MCNP
PENELOPE
GEANT 4
Datos generales
Partículas: Fotones, electrones y positrones. Inicialmente para altas energías.
Geometría: Flexible, definida por los usuarios.
Origen: Stanford Linear Acelerador Center. Estados Unidos
Requisitos: Habilidades de programación en FORTRAN o MORTRAN
Referencia: [Nelson et. al., 1985]
Partículas: Fotones, electrones y positrones
Geometría: Mediante combinación de cilindros y láminas paralelas semi-infinitas.
Origen: National Institute of Standards and Technology. Estados Unidos
Requisitos: Manejo de archivos de datos de entrada. Interpretación de resultados
Referencia: [Berger y Seltzer, 1968]
Partículas: Fotones, electrones y positrones. Métodos de ETRAN.
Geometría: Composición mediante láminas paralelas (TIGER), cilindros
(CYLTRAN) y cuerpos geométricos elementales (ACCEPT).
Origen: Sandia National Laboratory. Estados Unidos.
Requisitos: Manejo de archivos de entrada de datos. Interpretación de resultados
Referencia: [Halbleib y Mehlhorn, 1986]
Partículas: Neutrones, fotones, electrones, positrones, partículas elementales y
núcleos ligeros. Métodos de ETRAN para el transporte de electrones y positrones.
Geometría: Flexible, definida por los usuarios mediante superficies y celdas.
Origen: Los Alamos National Laboratory. Estados Unidos.
Requisitos: Manejo de archivos de entrada de datos. Interpretación de resultados
Referencia: [Briesmeister, 2000]
Partículas: Fotones, electrones y positrones
Geometría: Combinación de láminas paralelas y cilindros semi-infinitos.
Origen: Universidad de Barcelona, España.
Requisitos: Habilidades de programación en Fortran 77. Manejo de archivos de
datos de entrada mediante el uso de los programas PENCYL y PENSLAB.
Interpretación de resultados.
Referencia: [Salvat, et. al., 2006]
Partículas: Fotones, electrones (inicialmente altas energías), partículas
elementales.
Geometría: Combinación de geometrías básicas
Origen: CERN
Requisitos: Habilidades de programación en C++.
Referencia: [GEANT4, h. p.]
69
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Capítulo 3
El método Monte Carlo
70
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CAPÍTULO 4
DESCRIPCIÓN DEL CÓDIGO DETEFF
4.1 Introducción al código DETEFF. Resumen
histórico de su desarrollo
DETEFF es un código Monte Carlo, diseñado en lenguaje PASCAL, para el cálculo de eficiencias
de detección en sistemas de espectrometría de radiación gamma, empleando la simulación
estadística de los procesos físicos que tienen lugar en el sistema fuente – detector. Incluye
detectores de NaI, CsI, Ge y Si, así como fuentes en geometrías puntuales, cilíndricas, de prismas
rectangulares, planas y del tipo Marinelli, con energías en el rango de 10 – 2000 keV.
DETEFF ha sido desarrollado y validado en el marco del presente trabajo de tesis doctoral, con el
objetivo de facilitar la aplicación del método Monte Carlo como herramienta cada vez más
necesaria durante las calibraciones en eficiencia de los sistemas de detección en espectrometría de
la radiación gamma. El esfuerzo se ha concentrado en obtener un sistema de fácil manejo para el
usuario, lo suficientemente rápido como para encontrar uso práctico en los laboratorios de ensayos
analíticos y permitir suplir el déficit de patrones radiactivos. Su aplicación es de particular interés
en laboratorios de vigilancia radiológica ambiental y en laboratorios en función de emergencias
nucleares o radiológicas. Puede ser de utilidad además en la docencia relativa a la espectrometría
de radiación gamma. DETEFF ha evolucionado con éxito por diferentes etapas de desarrollo,
verificación y validación, demostrando ser un programa de fácil manejo y rápido en la realización
de los cálculos.
La primera versión del código fue creada para trabajar en el sistema operativo MS-DOS y no
incluía la geometría Marinelli de medida. En esta primera versión los modelos de detectores eran
muy simples. Al ser concebido fundamentalmente para la simulación de detectores de NaI y
Ge(Li) no permitía, por ejemplo, la modelización de la ventana de entrada de los detectores HPGe
de tipo n. Esta versión del código DETEFF se verificó y validó esencialmente mediante la
comparación con los resultados de simulaciones de otros autores, como: [Belluscio, et. al., 1974] y
[Giannini, et. al., 1970] y con las medidas experimentales de actividad en muestras acuosas
rectangulares y cilíndricas de diferentes volúmenes [Cornejo Díaz y Mann, 1996].
71
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
La segunda versión del código incluyó una mejora en la interfaz con el usuario, al incorporar un
sistema de ventanas, construidas con el paquete TURBO VISION de la firma BORLAND, para la
entrada de los datos de las fuentes y los detectores. Se sustituyó el método de Newton – Raphson
(Ver el punto A3 del Apéndice A) por el de Everett – Cashwell (Ver el punto A4 del Apéndice A)
para el muestreo más rápido de los ángulos y energías de los fotones tras la dispersión no
coherente, simulada con la fórmula de Klein – Nishina. Esta versión se verificó mediante la
comparación con la versión anterior para cada tipo de detector y geometría, en el rango de energías
de 300 a 1850 keV y se validó a través de medidas experimentales, por ejemplo: con un detector
de HPGe del tipo p y diferentes geometrías cilíndricas, en el rango de energías de 300 a 1333 keV
[Cornejo Díaz y Pérez Sánchez, 1998].
La tercera versión del código se compiló con el paquete DELPHI 3.0 de la firma BORLAND para
trabajar sobre WINDOWS e incorporó un modelo de detector más complejo, incluyendo los
parámetros ya indicados en la Figura 2.2. A partir de esta versión fue posible entonces la
simulación de detectores de HPGe del tipo n y se extendió el rango de energías hasta 60 keV.
Entre las aplicaciones de esta versión están los estudios sobre la influencia de los parámetros
geométricos de los detectores de HPGe en la eficiencia [Jurado Vargas et. al., 2002a], el cálculo de
las correcciones a la autoabsorción de muestras ambientales en geometrías cilíndricas, para un
rango de energías de 60 – 2000 keV [Jurado Vargas et. al., 2002b] y las estimaciones de
eficiencias de recuento en la medida de actividad de piezas y partes durante el desmantelamiento
de un acelerador lineal de electrones [Mora et. al. 2007]. Entre las validaciones realizadas al
código en esta etapa están la comparación con los resultados del ejercicio de intercomparación
EUROMET 428 [Lépy et. al., 2001] cuyos resultados fueron publicados en [Jurado Vargas et. al.,
2003] y la participación en un ejercicio de intercomparación del Organismo Internacional de
Energía Atómica [IAEA, 2007].
En la cuarta versión de DETEFF se incorporaron numerosas modificaciones: se incluyó la
geometría Marinelli de las muestras, se implementó un procedimiento para considerar el
redondeamiento de las esquinas de los detectores y se sustituyó el generador congruente lineal de
números seudoaleatorios del paquete de Borland – DELPHI por el generador más eficaz
“Mersenne Twister” [Matsumoto y Nishimura, 1998]. Además, se actualizaron los datos de las
secciones eficaces de interacción y se realizaron nuevos ajustes numéricos para facilitar su
utilización. Por otra parte, se sustituyó el método de Everett – Cashwell [Everett y Cashwell, 1970]
por el método combinado de Kahn + Koblinger [Kahn, 1954], [Koblinger, 1975] corregido
mediante la función de dispersión [Baró, et. al., 1994] para el muestreo de la dispersión no
coherente de los fotones (Ver los puntos A1, A2, A4 del Apéndice A), y se incorporó un módulo
para el seguimiento de la radiación característica del Ge, con el objetivo de mejorar la exactitud
de las simulaciones para energías inferiores a 100 keV y extender el límite inferior a 10 keV.
Finalmente, se incluyeron dos módulos para el seguimiento de la radiación de frenado y el escape
72
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
de electrones a través de la superficie del cristal, mejorando la exactitud de las simulaciones en el
intervalo de 1500 – 2000 keV. Durante la verificación del programa en esta etapa se realizó una
comparación con el código de uso múltiple MCNP4C [Briesmeister, 2000] para detectores de NaI,
CsI, Si, y HPGe, y diferentes geometrías de medida. Además se compararon los resultados del
código con los obtenidos por códigos de uso múltiple durante ejercicios internacionales de
intercomparación. Por otro lado, se realizó un ejercicio de validación experimental para diferentes
geometrías de medida y un detector HPGe del tipo p, en un rango de 59.54 a 1836.06 keV
[Cornejo Díaz y Jurado Vargas, 2008].
La Figura 4.1 muestra el esquema resumen del desarrollo del código DETEFF, con las
características fundamentales en cada una de sus etapas o versiones. El año entre paréntesis indica
el inicio del desarrollo de la versión correspondiente.
Versión 1
(1995)
Plataforma
MS-DOS
Geometrías
P, C, PR, PL
Rango
Interacciones
Partículas secundarias
100 – 1850 keV
EF, DNC: Newton, FP
FDNC, FFP, RX (NaI, CsI)
Versión 2
(1998)
Plataforma
MS-DOS
TURBO - VISION
Geometrías
Rango
P, C, PR, PL
100 – 1850 keV
Interacciones
EF, FP,
DNC: Everett - Cashwell
Partículas secundarias
FDNC, FFP, RX (NaI, CsI)
Versión 3
(2001)
Plataforma
WINDOWS
DELPHI 3
Geometrías
P, C, PR, PL
Rango
Interacciones
60 – 1850 keV
EF, FP,
DNC: Everett - Cashwell
Partículas secundarias
FDNC, FFP, RX (NaI, CsI)
Versión 4
(2007)
Plataforma
WINDOWS
DELPHI 3
Geometrías
P, C, PR, PL, M
Rango
10 – 2000 keV
Interacciones
Partículas secundarias
EF, FP,
DNC: Kahn + Koblinger
FDNC, FFP,
RX (NaI, CsI, Ge), RF, EE
Figura 4.1: Versiones del código DETEFF con algunas de sus características. Geometrías: Pfuentes puntuales, C – fuentes cilíndricas, PR: fuentes rectangulares, PL – fuentes planas, M –
fuentes en geometría Marinelli; Interacciones: EF – efecto fotoeléctrico, FP – formación de pares,
DNC – dispersión no coherente; Partículas secundarias que se siguen: FDNC: fotones tras la
dispersión no coherente, FFP – fotones de aniquilación tras la formación de pares, RX – rayos X
característicos para los materiales entre paréntesis, RF – radiación de frenado, EE – escape de
electrones. Figura 19
73
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
La estructura del código DETEFF se resume en la Figura 4.2. Como puede apreciarse, el mismo
está compuesto por siete módulos principales con funciones bien definidas. A continuación
describiremos cada uno de estos módulos, con especial énfasis en los procedimientos de
simulación. Los resultados de las validaciones y algunas de las aplicaciones más importantes del
código serán abordados en los Capítulos 5 y 6, respectivamente.
INICIO
INICIALIZACION
Inicio del generador
Inicialización de variables
1
GENERACION DE FOTONES
Muestreo del punto de origen
Muestreo del vector director
Asignación de la energía y
el peso estadístico iniciales
GEOMETRIA
¿ Incide el fotón en el detector ?
2
CONTROL ESTADISTICO
¿Número total de fotones?
si
¿Número total de experimentos?
no
Incremento del número de exp.
Número de fotones = 0
no
SI
¿Interacción dentro del volumen activo?
2
2
3
si
5
no
2
no
¿Se deposita energía en el detector ?
1
6
Cálculo de eficiencias
Cálculo de incertidumbres
Calculo de la atenuación del fotón
Ajuste del peso estadístico del fotón
4
1
7
no
si
si
6
FISICA
3
Muestreo del recorrido
5
Muestreo del tipo de interacción
Registro de la energía depositada
Muestreo de los fotones secundarios
REGISTRO Y SALIDAS
Adición del peso estadístico del
fotón al bin de energía.
Energía depositada = 0
INTERFAZ DE USUARIO
Datos del detector
Datos de la fuente
Datos del filtro
Opciones de estadística
¿Necesidad de seguir fotones secundarios?
7
4
si
no
FIN
Figura 4.2: Esquema de bloques con la estructura del código DETEFF Figura 20
74
3
6
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.2 Interfaz de usuario
DETEFF proporciona un sistema de opciones estándar para el manejo de los archivos de datos y
de resultados (Ver Figura B1 del Apéndice B). Los datos relacionados con la modelización de los
sistemas de medida se agrupan en: datos de los detectores, datos de las fuentes, datos de filtros y
datos estadísticos. A continuación abordaremos estas y otras opciones relacionadas con los
resultados de las simulaciones y con las herramientas y sistemas de ayuda incorporados.
4.2.1 Datos de los detectores
Los datos para la modelización de los detectores (Ver la Figura 2.2) pueden ser introducidos a
través de las ventanas que se muestran en las Figuras B2 y B3 del Apéndice B. Estos parámetros
se resumen en la siguiente Tabla.
Tabla 4.1 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de los detectores 2
Detectores
Parámetros
Centelleadores
De
semiconductor
9
Diámetro del cristal activo
9
Longitud del cristal activo
Radio de curvatura del redondeamiento de las
esquinas
Espesor de la capa inactiva frontal
9
9
-
9
-
9
Espesor de la capa inactiva lateral
-
9
Diámetro del núcleo central inactivo “core”
-
9
Longitud del núcleo central inactivo “core”
-
9
Espesor de la capa inactiva alrededor del “core”
Distancia cristal – ventana o cristal – cubierta de
Al
Diámetro de la cubierta de Al
-
9
9
9
9
9
Espesor de la cubierta frontal de Al
9
9
Espesor de la cubierta lateral de Al
9
9
Diámetro de la ventana de entrada
9
9
9
9
9
9
9
9
Espesor de la ventana de entrada
Coeficiente lineal de atenuación de la ventana de
entrada (Calculado automáticamente para
materiales predefinidos)
Resolución (para la energía seleccionada)
Nota: La no existencia de ventana de entrada se le indica
parámetro: “diámetro de la ventana de entrada”.
75
al código igualando a cero el
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
4.2.2 Datos de las fuentes
Las ventanas para la entrada de los parámetros de las fuentes se presentan en las Figuras B4 – B6
del Apéndice B. Las configuraciones principales consideradas en DETEFF son: cilíndricas,
rectangulares y del tipo Marinelli. Como puede notarse, las fuentes puntuales y planas son casos
particulares de las fuentes cilíndricas y rectangulares. Los parámetros para las diferentes
geometrías se especifican en la Tabla 4.2. Las fuentes se consideran centradas axialmente con
relación al detector.
Tabla 4.2 Parámetros incluidos en DETEFF para la modelización de las fuentes 3
Parámetros
Cilíndrica
9
Energía de los fotones incidentes
Altura del volumen activo de la fuente
Coeficiente lineal de atenuación de la
fuente (Calculado automáticamente para
materiales predefinidos)
Espesor de las paredes de la fuente
Coeficiente lineal de atenuación de las
paredes (Calculado de forma automática
para materiales predefinidos)
Distancia fuente - detector
Diámetro del volumen activo de la
fuente
Ancho y largo del volumen activo de la
fuente
Diámetro exterior del volumen activo de
la fuente
Diámetro interior del volumen activo de
la fuente
Profundidad del hueco central
Geometría
Rectangular
9
Marinelli
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
-
-
-
9
-
-
-
9
-
-
9
-
-
9
4.2.3 Datos de los filtros
El programa permite considerar la atenuación producida por cualquier material adicional que se
ubique entre la fuente y el detector. Este material se introduce con frecuencia para reducir la
probabilidad de contaminación del detector, al impedir el contacto directo de éste con la muestra a
medir. Para este material, que en DETEFF se denomina “filtro”, se debe definir su espesor y el
coeficiente lineal de atenuación correspondiente a la energía de interés (Ver la Figura B7 del
Apéndice B). En caso de que se coloquen capas de diferentes materiales entre la fuente y el
detector, se deberá definir un coeficiente lineal de atenuación efectivo ( μ eff ) para este filtro
hipotético, cuyo espesor será igual a la suma de los espesores de las capas que lo conforman:
76
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
n
μi i
∑
i =1
S
μ eff =
(4-1)
n
i
∑
i =1
S
siendo μi y Si el coeficiente lineal de atenuación (sin considerar la dispersión coherente) y el
espesor correspondiente a la capa i, respectivamente. Con n se denota al número total de capas o
materiales interpuestos entre la fuente y el detector.
4.2.4 Datos estadísticos
Para estimar la incertidumbre estadística en los valores de eficiencia, el código divide el proceso
de simulación en experimentos independientes. De esta forma, al finalizar la simulación se
calculan los valores medios de las eficiencias obtenidas en cada uno de los experimentos y las
desviaciones estándar correspondientes. La ventana para la entrada del número de experimentos a
considerar y la cantidad de fotones a simular en cada uno de ellos se muestra en la Figura B8 del
Apéndice B. La opción “Randomize” le indica a DETEFF que debe inicializar el generador de
números seudoaleatorios antes de comenzar cada simulación. Si no se selecciona esta opción
DETEFF producirá siempre la misma secuencia de números seudoaleatorios.
4.2.5 Herramientas
Para facilitar la entrada de datos de los detectores y las fuentes se incluye una ventana para el
cálculo de los coeficientes lineales de atenuación en algunos de los materiales más comunes en los
laboratorios analíticos dedicados a la vigilancia radiológica ambiental (Ver la Figura B9 del
Apéndice B). En el apartado 4.6 analizaremos la forma en que DETEFF calcula las secciones
eficaces de interacción. Otra de las posibilidades que brinda el código es la selección de un sonido
para indicar el fin de cada simulación. La ventana correspondiente se muestra en la Figura B10 del
Apéndice B.
4.2.6 Resultados de la simulación
El código permite visualizar el espectro matemático de distribución de pulsos en tiempo de
ejecución (Ver la Figura B11 del Apéndice B). Esta opción, creada con fines docentes, permite
apreciar la forma del continuo Compton, así como la contribución de los diferentes picos
producidos por el escape de los rayos X característicos y los fotones de aniquilación tras la
77
MENÚ
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
formación de pares electrón – positrón. Los botones de desplazamiento del cursor permiten ver el
número de cuentas y la energía media de cada canal del espectro.
Los resultados aparecen en la ventana principal del código una vez que culmina la simulación. Si
durante la simulación se ha estado visualizando el espectro de altura de pulsos, entonces es posible
acceder a los resultados a través del menú principal, como se muestra en la Figura B12 del
Apéndice B. En esta figura pueden verse los datos incluidos en el informe de resultados. En el
apartado 4.7 realizamos la descripción de las salidas que brinda el programa.
4.2.7 Sistema de ayuda
El código tiene un sistema de ayuda para explicar sus diferentes opciones, propiciando su uso
adecuado y la correcta interpretación de los resultados. La Figura B13 del Apéndice B muestra una
de las ventanas de la ayuda general que facilita la selección de cada uno de los tópicos de su
contenido. Además de esta ayuda se incluye la explicación de cada opción de menú y de cada uno
de los botones de aceleración, cada vez que el indicador del ratón pasa por encima de estos
elementos. En la Figura B14 del Apéndice B aparece, por ejemplo, el significado del botón sobre
el que se encuentra el indicador del ratón.
4.3 Generador de números seudoaleatorios
El generador de números seudoaleatorios que se utilizó en las primeras versiones del código
DETEFF es el generador congruente lineal de 32 bits incluido en el paquete de Borland Delphi 3.
La fórmula (3-1) indica su algoritmo, con los valores a = 134775813, c = 1 y m = 232, con un
período igual a 232 ≈ 4.3x109. Este período es adecuado para casi la totalidad de las situaciones
simuladas con DETEFF, donde es suficiente la generación de 108 números aleatorios para obtener
desviaciones estándar relativas del orden del 0.1% en los resultados de eficiencia. Este generador
ha mostrado un funcionamiento aceptable con el código [Cornejo Díaz y Pérez Sánchez, 1998],
[Jurado Vargas et. al., 2003] y fue utilizado con éxito en la resolución de integrales de sexto orden
mediante el método Monte Carlo, durante el cálculo de factores dosimétricos para la radioterapia
metabólica [Cornejo Díaz, et. al., 2006].
El desarrollo de la versión 4.0 de DETEFF incluyó un estudio para evaluar la posibilidad de
aplicar otros generadores de números seudoaleatorios en la simulación estocástica de los sistemas
de espectrometría de la radiación gamma (durante las calibraciones en eficiencia) y seleccionar el
más eficaz para el código. Teniendo en cuenta que no existe un generador ideal, adecuado para
todos los propósitos, y que la “calidad” de cada generador de números seudoaleatorios está
78
MENÚ
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
estrechamente relacionada con la naturaleza del problema donde se aplica, el estudio se llevó a
cabo en dos etapas: primero se verificaron las propiedades básicas de los generadores mediante
pruebas estadísticas empíricas y luego se implementaron en el programa DETEFF, con el objetivo
de comparar su funcionamiento en esta aplicación.
Los generadores considerados en el estudio, además del Congruente Lineal (CL), fueron los
siguientes:
ƒ
Generador XorShift (XorS), o generador de desplazamientos de bits [Marsaglia, 2003] (ver el
9
punto 3.2.1.3), con período 232 -1 ≈ 4.3 x10 y secuencia:
N = N xor ( N shl 1) N = N xor ( N shr 3) N = N xor ( N shl 10 )
ƒ
Generador de Multiplicación con Acarreo (McA) [Marsaglia, 2003] (Ver el punto 3.2.1.4),
con el siguiente algoritmo general:
N n = a ⋅ N n −1 + c n −1 mod m; n ≥ 1
(4-2),
⎡ a ⋅ N n −1 + cn −1 ⎤
cn = ⎢
⎥
m
⎣
⎦
(4-3),
k
donde: a ⋅ m − 1 ( m = 2 ) debe ser un número primo, para que el período sea a ⋅ 2k −1 − 1 .
Se adoptó la implementación para Pascal propuesta en [Debord, 2008], que consiste en la
concatenación de dos números aleatorios enteros de 16 bits, obtenidos según las ecuaciones
El primero con a1 = 18000 y el segundo con a2 = 30903. Ambos con
(4-2) y (4-3).
16
módulo m = 2 , c0 = 0 y semilla de 16 bits a partir de la división de un número entero de 32
(
)(
)
bits. El período de este generador es a1 ⋅ 215 − 1 ⋅ a 2 ⋅ 215 − 1 ≈ 6x1017 .
ƒ
Generador Mersenne Twister (MT) (Ver el punto 3.2.1.4), con el algoritmo basado en
[Matsumoto y Nishimura, 1998] y ligeras modificaciones según [Vergara, 2008] para su
implementación en Pascal (Ver el Apéndice C). El período de este generador es ≈ 219937 -1.
ƒ
Generador Universal de Listas Virtuales (ULV), que emplea variables dinámicas para generar
números aleatorios a partir de las direcciones y el contenido de la memoria RAM del sistema.
Se adoptó la implementación en Pascal dada en [Debord, 2008]. Este generador no tiene
período definido.
ƒ
Generador basado en la Teoría del Caos (TC) [Barberis, 2007]. Según el autor no tiene
período y se basa en la recurrencia:
x n = r ⋅ x n −1 ⋅ (1 − x n −1 )
(4-4),
79
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
para r = 4, con la transformación:
yn =
2
⋅ arcsin x n
π
(4-5),
siendo xn y yn números reales en el intervalo (0,1).
4.3.1 Resultados de las pruebas estadísticas empíricas
A las secuencias de números seudoaleatorios de los generadores estudiados se les aplicó un
conjunto de pruebas estadísticas empíricas básicas, que evaluaron: el valor medio, los momentos,
la uniformidad y la independencia entre los términos. Luego, cada generador se sometió a una
evaluación más rigurosa mediante el conocido paquete DIEHARD de 15 pruebas estadísticas
[Marsaglia, 1995], que permiten juzgar factores como la independencia entre números
consecutivos, la independencia entre grupos y secuencias de bits, así como la uniformidad en
espacios de varias dimensiones. Los criterios estadísticos se obtuvieron en cada caso según las
pruebas: Student, Chi-cuadrado y Kolmogorov – Smirnov [Cornejo Díaz, et. al., 2009].
Con relación a las pruebas del valor medio, los momentos y la uniformidad, no se observaron
diferencias estadísticas significativas entre las secuencias de números seudoaleatorios de cada uno
de los generadores estudiados y las secuencias de números aleatorios ideales en el intervalo (0,1).
Sin embargo, el generador TC no pasó la prueba básica de la independencia de los términos, que
se implementó a través del test de las sumas de los dados, según [Knuth, 1998]. A continuación
comentamos brevemente los fundamentos de esta prueba y los resultados obtenidos.
La suma de dos números aleatorios enteros consecutivos entre 1 y 6 está en el intervalo entre 2 y
12, con un total de 36 combinaciones diferentes. La Tabla 4.3 recoge los posibles valores de las
sumas con sus probabilidades correspondientes.
Tabla 4.3: Probabilidades de las sumas de dos dados 4
Suma (k)
Probabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
1/18
1/12
1/9
5/36
1/6
5/36
1/9
1/12
1/18
1/36
Para cada generador se simuló un total de n lanzamientos (n = 100000), con 2n números aleatorios.
Denotando como Yk
{k ∈ N, 2 ≤ k ≤ 12}
la cantidad de veces en que la suma de los dados es igual a k
y como pk la probabilidad de obtener el valor k (segunda fila de la tabla 4.3)
se construyó la estadística:
80
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
12
V=
∑
k =2
( Yk − n ⋅ pk )
2
(4-6),
n ⋅ pk
2
que debe comportarse como una variable con distribución χ con 10 grados de libertad, si los
dados no están cargados, o sea, si los números de la secuencia son independientes.
Con el valor de V según la ecuación (4-6) se obtuvo la probabilidad de que una variable x con
distribución χ 2 y 10 grados de libertad sea igual o inferior a V. La prueba se repitió 10 veces para
cada generador y se aplicó el test Kolmogorov – Smirnov, según [Knuth, 1998], al conjunto de los
de cada generador, evaluándose las diferencias máximas positivas
10 valores p ( x ≤ V )
ν=10
χ2
y la frecuencia de su aparición en la
KS+ y negativas KS- entre los valores p ( x ≤ V )
ν=10
χ2
+
−
secuencia de 10 simulaciones33. La Tabla 4.4 muestra los valores de probabilidad KS10
y KS10
para las diferencias KS+ y KS- respectivamente, con 10 grados de libertad.
Tabla 4.4: Resultados del test Kolmogorov Smirnov aplicado a la prueba de dos dados 5
Probabilidad
Generador
+
KS10
−
KS10
CL
XorS
McA
MT
ULV
TC
0,377
0.647
0.673
0.417
0.673
1.000
0.727
0.276
0.307
0.321
0.307
1.000
La prueba de los dados se repitió considerando 3, 4, 5 y 6 dados. Los resultados fueron similares a
los indicados en la Tabla 4.4. Se aprecia que en el caso del generador TC las diferencias KS+ y
KS- son con total certeza superiores a las que deberían obtenerse si el estadígrafo V, construido
2
según la ecuación (4-6), siguiera una distribución χ . Como resultado de la falta de
independencia entre los elementos consecutivos de la serie de números seudoaleatorios producida
con el generador TC, la prueba de correlación gráfica básica a este generador no muestra puntos
uniformemente distribuidos en el volumen de interés ((0,1) x (0,1)), sino que se aprecian patrones
muy bien definidos, como en la Figura 4.3. A modo de comparación, en la Figura 4.4 se muestra
una distribución típica de puntos obtenida con una secuencia de números seudoaleatorios del
generador MT. Imágenes similares se obtienen tras aplicar la prueba de correlación gráfica básica
a los generadores: CL, XorS, McA y ULV.
Los resultados de las pruebas estadísticas del paquete DIEHARD, según [Marsaglia, 1995],
aplicadas a los generadores estudiados se muestran en la Tabla 4.5.
33
Los valores de p deben estar uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1)
81
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
1
1
0
0
0
0
1
b
a
Figura 4.3: Gráfico de distribución de puntos (x
,x )
( j−1)⋅k j⋅k
{1 ≤ j ≤ n ; κ ∈ Ν} (n
1
= 105),
obtenidos con el generador TC, a) k = 2, b) k = 3. El número de picos es igual a 2k-1.Figura 21
1
0
0
1
Figura 4.4: Distribución de puntos (x
(n = 105) del generador MT Figura
,x )
( j−1) j {1 ≤ j ≤ n }
22
Como puede observarse en la Tabla 4.5 y en particular, en los resultados de los tests OPSO, OQSO
y DNA, en los números seudoaleatorios obtenidos con el generador TC sólo son independientes
los bits menos significativos. Lo anterior explica los pobres resultados de este generador en las
pruebas básicas que evalúan la independencia de números reales, como por ejemplo, las pruebas
de las sumas y de correlación gráfica, comentadas con anterioridad. Por otro lado, los generadores
CL y XorS proporcionan secuencias de números seudoaleatorios en las que la independencia de
las secuencias de bits puede comprobarse sólo en los bits más significativos. Este hecho pudiera
ser poco relevante en aquellas aplicaciones que utilizan secuencias de números reales, pues la falta
de aleatoriedad deberá aparecer tras algunos lugares detrás del punto decimal. Las secuencias de
bits obtenidas con los generadores McA, MT y ULV pasan todas las pruebas de la batería
DIEHARD.
Los resultados de las pruebas estadísticas empíricas proporcionan cierto nivel de confianza con
relación al uso de los generadores MT, McA, ULV, XorS, y CL en la simulación de los sistemas
de espectrometría de radiación gamma. Por otro lado, sugieren que el generador TC pudiera no ser
adecuado para estos fines. Algunas variables, como la velocidad, el período y los requerimientos
82
MENÚ
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
para la inicialización de las secuencias de números seudoaleatorios deben evaluarse también a la
hora de seleccionar un generador para una aplicación determinada.
Tabla 4.5: Resultados de las pruebas estadísticas del paquete “DIEHARD”, [Marsaglia, 1995]6
Prueba
Birthday Spacing
(repeticiones de espacios entre
números de 24 bits)
The Overlaping 5- Permutation
(cantidad de ordenamientos de 5
enteros de 32 bits)
Binary Rank 31 x 31
(rango de matrices de 31 x 31 bits)
Binary Rank 32 x 32
(rango de matrices de 32 x 32 bits)
Binary Rank 6 x 8
(rango de matrices de 6 x 8 bits)
Bit Stream
(palabras de 20 bits solapados,
que faltan)
OPSO
(palabras de 2 letras solapadas de
10 bits, que faltan)
OQSO
(palabras de 4 letras solapadas de
5 bits, que faltan)
DNA
(palabras de 10 letras solapadas de
2 bits, que faltan)
Count the 1’s
(palabras
de
cinco
letras
solapadas, definidas con la
cantidad de “1” en un byte)
Parking Lot
(distribución de números reales en
2 dimensiones)
Minimum Distance
(distribución de números reales en
2 dimensiones)
3D Spheres
(distribución de números reales en
3 dimensiones)
Sqeeze
(secuencia de números reales)
Overlapping Sums
(sumas de números reales
solapados)
Runs
(incrementos y decrementos en
secuencia de números reales)
Craps
(número de victorias y cantidad de
lanzamientos en juego de 2 dados)
Generadores
McA
MT
CL
XorS
ULV
TC
(1 – 24) al
(6 – 29)
Si
Si
Si
Si
(4 – 27) al
(9 – 32)
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
(1 – 8) al
(14 – 21)
(1 – 8) al
(17 – 24)
Si
Si
Si
(15 – 22) al
(25 – 32)
No
Si
Si
Si
Si
No
(1 – 10) al
(6 – 15)
(1 –10) al
(14 – 23)
Si
Si
Si
(21 – 30) al
(23 – 32)
(1 – 5) al
(5 – 9)
(1 – 5) al
(19 – 23)
Si
Si
Si
(22 – 26) al
(28 – 32)
(1 – 2) al
(5 – 6)
Si
Si
Si
Si
(19 – 20) al
(31 – 32)
(1 – 8) al
(15 – 22)
(1 – 8) al
(16 – 23)
Si
Si
Si
(17 – 24) al
(25 – 32)
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Si
Si
Si
Si
Si
No
Nota: Las pruebas: OPSO, OQSO y DNA se consideran variantes de una denominada “Monkey”.
Entre paréntesis se indican los grupos de bits para los que resulta satisfactoria la prueba.
83
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
4.3.2 Evaluación del funcionamiento de los generadores en el
programa DETEFF
Los generadores estudiados se implementaron en el código DETEFF con el objetivo de realizar
una evaluación más específica de su funcionamiento durante la simulación estocástica de sistemas
de espectrometría de radiación gamma [Cornejo Díaz, et. al., 2009]. Se realizaron cálculos con dos
procesadores diferentes: Centrino Duo T5600 (2 x 1.83 GHz) e Intel Dual Core (2 P4 3GHz), para
un detector de HPGe tipo p y una muestra de agua en geometría Marinelli, con energías de
radiación gamma entre 59 y 1800 keV. Los parámetros del detector y la fuente se seleccionaron
iguales que en uno de los ejercicios de validación experimental del código DETEFF, durante el
cual se había utilizado el generador CL [Cornejo Díaz y Jurado Vargas, 2008].
El número de
fotones a generar se seleccionó igual a 1x108 para mantener las desviaciones estándar relativas en
el orden del 0.2%. Las Tablas 4.6 y 4.7 recogen los resultados obtenidos con el procesador
Centrino Duo e Intel Dual Core, respectivamente. Estos resultados se presentan en forma de
desviaciones relativas entre los valores de eficiencia calculados con los generadores MT, McA,
ULV, XorS y TC y los calculados con el generador CL. En la Figura 4.5 se muestran los valores
correspondientes de eficiencia para los generadores CL y TC, obtenidos con el procesador
Centrino Duo.
Tabla 4.6: Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción
total calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un
procesador (CPU) Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz. 7
Energía
59.54
245.35
661.66
1033.50
1332.49
1836.06
MT
-0.01
-0.15
-0.19
-0.03
-0.33
0.27
Desviación (%)
ULV
-0.04
0.00
0.00
-0.16
0.23
0.00
McA
-0.01
-0.04
0.10
-0.06
0.09
0.09
XorS
0.06
-0.07
0.00
-0.14
-0.09
0.18
TC
-4.46
-5.99
4.28
3.65
-4.09
0.66
Tabla 4.7: Desviaciones relativas entre los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción
total calculados con diferentes generadores y los obtenidos con el generador CL, utilizando un
CPU Intel Dual Core 3 GHz. 8
Energía
59.54
245.35
661.66
1033.50
1332.49
1836.06
MT
- 0.04
0.04
0.00
0.06
- 0.23
0.16
Desviación (%)
ULV
- 0.04
0.11
0.10
0.21
0.09
0.11
McA
- 0.01
0.11
0.10
0.09
0.09
0.11
84
XorS
- 0.04
0.07
- 0.10
0.10
0.09
0.23
TC
- 4.48
- 5.89
4.28
3.87
- 4.01
0.63
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
2,60E-02
2,10E-02
Eficiencia
MENÚ
1,60E-02
1,10E-02
6,00E-03
1,00E-03
0
500
1000
1500
2000
Energía (keV)
Figura 4.5: Valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total calculados con el
generador CL (puntos) y con el generador TC (triángulos). Las líneas discontinuas unen los
valores del generador CL. Figura 23
De acuerdo con las Tablas 4.6 y 4.7, tras aplicar el test de Student para la igualdad de los valores
medios, las desviaciones relativas entre los valores de eficiencia calculados con los generadores
CL, MT, McA, ULV y XorS no son estadísticamente significativas. Sin embargo, como se
esperaba de las pruebas anteriores, el generador TC introduce un sesgo significativo en los valores
de eficiencia.
La Figura 4.6 muestra los tiempos de CPU requeridos para una de las energías. Para el resto de las
energías los gráficos son muy similares, indicando que la velocidad de los generadores CL, MT,
McA, ULV y XorS estudiados no constituye el factor determinante en su selección. El tiempo
requerido por estos generadores para producir la secuencia de números seudoaleatorios en cada
simulación constituye una pequeña fracción, del orden de un 1 % del tiempo de cálculo total.
En principio, cualquiera de los generadores: CL, MT, McA, ULV o XorS pudiera utilizarse en la
simulación estocástica de los sistemas de espectrometría de radiación gamma durante las
calibraciones en eficiencia. Según las pruebas estadísticas empíricas realizadas, los de mejor
funcionamiento son los generadores: MT, McA y ULV. La selección del MT para su
implementación en la Versión 4 del programa DETEFF se basó además en los factores que
analizaremos a continuación.
85
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
5,00E+02
4,00E+02
Tiempo de CPU (s)
MENÚ
3,00E+02
2,00E+02
1,00E+02
0,00E+00
CL
MT
McA
XorS
ULV
TC
Generadores
Figura 4.6: Tiempos de CPU de los generadores estudiados para la energía de 661.66 keV,
simulada con el procesador Centrino Duo Figura 24
Si bien el generador ULV produce secuencias de números seudoaleatorios sin período y puede ser
utilizado en criptografía, pues el estado “n+1” no puede ser determinado del estado “n”, este
generador no permite repetir la misma secuencia de números aleatorios, porque aunque se
mantenga constante la semilla (valor inicial), la secuencia se inicializa con valores diferentes
según el contenido de la memoria RAM. Esto puede ser un inconveniente durante los procesos de
depuración de errores y de validación de los códigos de simulación estocástica. El generador MT
se inicializa con cualquier semilla y su período es muy superior al período del generador McA
estudiado, cuya semilla debe ser un número mayor que 216, por lo que pudiera necesitar de un
algoritmo complementario, por ejemplo, en el caso de inicializarse la secuencia con el reloj del
ordenador.
La implementación del generador MT en lenguaje Turbo Pascal, según [Vergara, 2008], se
muestra en el Apéndice C. Este generador permite la obtención de números reales uniformemente
distribuidos en el intervalo [0,1).
86
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.4 Generación de fotones en el interior de la fuente
Para muestrear el punto de origen del fotón en la fuente se asume una distribución uniforme de la
actividad, por lo que el punto de origen es una variable uniformemente distribuida en todo el
volumen de la fuente a simular. Las coordenadas del punto de origen de cada fotón son por tanto
generadas a partir del método de inversión indicado en el punto 3.3.2.1, combinado con el método
de muestreo de variables multidimensionales, según el punto 3.3.2.6. Como función de densidad
de probabilidad se ha utilizado la función que describe un elemento de volumen, normalizada con
el volumen de la fuente34. Seguidamente son analizados los procedimientos de muestreo para
geometrías cilíndricas, rectangulares y de tipo Marinelli.
Para las fuentes cilíndricas, el sistema de coordenadas que se utiliza es el indicado en la Figura 4.7.
Este sistema tiene como origen el centro geométrico de la fuente y el detector es colocado sobre la
misma, con objeto de que la coordenada “Z” del vector director de los fotones generados no adopte
valores negativos. Denotando por Hm y Dm la altura y el diámetro de la fuente, respectivamente,
ur
el procedimiento empleado para el muestreo del punto de origen r0 ≡ ( x 0 , y 0 , z 0 ) de los fotones
en coordenadas cilíndricas es el indicado en el diagrama de la Figura 4.8. En esta secuencia son
generados tres números aleatorios γ1 , γ 2 , γ 3 , uniformemente distribuidos en el intervalo [0,1)
para obtener las componentes ϕ (ángulo azimutal), ρ (radio) y Z (altura).
Z
Hm
Y
X
Dm
Figura 4.7: Sistema de coordenadas utilizado por DETEFF en la simulación de fuentes cilíndricas
Figura 25
34
Se refiere al volumen activo de la fuente
87
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
γ1
ϕ = 2 π ⋅ γ1
ρ =
γ2
Dm
⋅
2
γ2
γ3
Hm
⋅ (1 − 2 ⋅ γ 3 )
2
z0 =
x 0 = ρ ⋅ cos ϕ
y 0 = ρ ⋅ s in ϕ
Figura 4.8: Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes cilíndricas
Figura 26
Para las fuentes rectangulares, el sistema de coordenadas utilizado es el que se indica en la Figura
4.9. Al igual que para las fuentes cilíndricas, el sistema tiene su origen en el centro geométrico de
la fuente y el detector se sitúa sobre la misma.
Z
Hm
X
Y
Lm
Am
Figura 4.9: Sistema de coordenadas utilizado por DETEFF en la simulación de fuentes
rectangulares Figura 27
88
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Denotando por Hm, Am y Lm la altura, el ancho y el largo de la fuente35, respectivamente, el
ur
procedimiento para el muestreo del punto de origen r0 ≡ ( x 0 , y 0 , z 0 ) de los fotones en
coordenadas rectangulares es el indicado en el diagrama de la Figura 4.10. Al igual que en la
geometría cilíndrica, se generan tres números aleatorios γ1 , γ 2 , γ 3 , uniformemente distribuidos
en el intervalo [0,1).
γ1
x0 =
Am
⋅ ( 2 ⋅ γ1 − 1)
2
y0 =
γ2
Lm
⋅ ( 2 ⋅ γ 2 − 1)
2
z0 =
γ3
Hm
⋅ ( 2 ⋅ γ 3 − 1)
2
Figura 4.10: Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes
rectangulares Figura 28
Para las fuentes con geometría Marinelli, el sistema de coordenadas que se utiliza es el que se
muestra en la Figura 4.11. La fuente aparece invertida con el objetivo de que la coordenada “Z”
del vector director de cada fotón generado sea un número mayor o igual a cero. El eje de
coordenadas en este caso tiene su origen sobre el eje principal del recipiente, en la base del hueco.
Denotando por Hm la altura de la fuente36 en el recipiente Marinelli, Hd la profundidad del hueco
central del recipiente, en el que se introduce el detector, Or el radio más externo de la fuente e Ir el
radio interno o radio del hueco central, el procedimiento para el muestreo del punto de origen
ur
r0 ≡ ( x 0 , y0 , z 0 ) de los fotones es el indicado en el diagrama de la Figura 4.12. En esta secuencia
se generan como máximo cuatro números aleatorios γ1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 , uniformemente distribuidos en
el intervalo [0,1).
Tras generar el punto de origen del fotón en la fuente, se muestrea su vector director, el cual
indicará la dirección de emisión del fotón. Este vector tiene una distribución uniforme en todo el
ángulo sólido 4π sr. Lo anterior equivale a muestrear un punto uniformemente distribuido en la
superficie de una esfera de radio unitario, centrada en el origen del sistema de coordenadas. El
muestreo del vector director se realiza entonces en coordenadas esféricas a partir de dos números
aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [0,1). La Figura 4.13 representa las
coordenadas del vector director en el sistema de coordenadas esféricas y cartesianas.
35, 35
Se refiere al volumen activo de la fuente.
89
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Z
Hd
Hm
Y
Ir
Or
X
Figura 4.11: Sistema de coordenadas utilizado por DETEFF en la simulación de fuentes con
geometría Marinelli Figura 29
V1 = π ⋅ Or 2 ⋅ ( Hm − Hd )
+
γ1, γ2, γ3, γ4
+
⎛
V ⎞
¿ ⎜ γ1 > 1 ⎟ ?
VT ⎠
⎝
(
V2 = π ⋅ Hd ⋅ Or 2 − Ir 2
¿ ( Hm > Hd ) ?
ρ = Ir 2 + γ 3 ⋅ ( Or 2 − Ir 2 )
VT = V1 + V2
γ1, γ2, γ3
z 0 = ( Hd − Hm ) ⋅ γ 2
z 0 = Hd ⋅ γ 2
-
)
ρ = Or ⋅ γ 3
φ = 2π⋅ γ 4
x 0 = ρ ⋅ cos ϕ
z 0 = ( Hd − Hm ) + Hm ⋅ γ1
ρ = Ir 2 + γ 2 ⋅ ( Or 2 − Ir 2 )
φ = 2π ⋅ γ 3
y 0 = ρ ⋅ sin ϕ
Figura 4.12: Diagrama de flujo para el muestreo del origen de los fotones en fuentes con
geometría Marinelli Figura 30
90
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Z
wz
uuv
w
θ
wy
ϕ
wx
Y
X
uuv
Figura 4.13: Representación del vector director unitario w con sus coordenadas esféricas ( θ, ϕ )
y cartesianas (wx, wy, wz) Figura 31
El procedimiento utilizado en DETEFF para el muestreo del vector director aparece representado
en el diagrama de flujo de la Figura 4.14. Se emplea el método de inversión indicado en el punto
3.3.2.1, combinado con el método de muestreo de variables multidimensionales, según el punto
3.3.2.6. Como función de densidad de probabilidad se utiliza la función que describe un elemento
de área en una superficie esférica con radio unitario, centrada en el punto de origen del fotón y
normalizada con el área de dicha superficie. La distribución de probabilidad para cada variable de
las coordenadas esféricas (θ,ϕ) es deducida entonces de sus funciones marginales de densidad de
probabilidad según:
2 π θMáx.
dS = sin θ ⋅ dθ⋅ dϕ ⇒ S =
∫0 ∫0
2π
sin θ ⋅ dθ⋅ dϕ =
θMáx.
∫0 dϕ⋅ ∫0
sin θ ⋅ dθ
(4-7),
ϕ´
1
1
P ( ϕ ≤ ϕ´) =
⋅ dϕ =
ϕ´
2π
2π
∫0
P ( θ ≤ θ´) =
(4-8),
θ´
1
1 − cos θ´
⋅ sin θ ⋅ dθ =
1 − cos θMáx.
1 − cos θMáx.
∫0
(4-9)
El muestreo de las funciones de distribución de probabilidad (4-8) y (4-9) se realiza en el intervalo
(0 ≤ P < 1). Para geometrías cilíndricas y rectangulares θMáx = π , mientras que para fuentes en
2
geometría Marinelli θMáx = π .
91
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
γ1, γ2
+
¿Geometría
Marinelli?
cos θ = γ1
cos θ = 1 − 2γ1
sin θ = 1 − cos 2 θ
ϕ = 2π ⋅ γ 2
w x = sin θ ⋅ cos ϕ
, w y = sin θ ⋅ sin ϕ ,
w z = cos θ
Figura 4.14: Diagrama del procedimiento de muestreo del vector director de emisión del fotón,
siendo γ1 , γ 2 dos números aleatorios con distribución uniforme en el intervalo [0,1) Figura 32
En el caso de las geometrías cilíndricas y rectangulares, por razones geométricas apreciables en las
figuras 4.7 y 4.9, no es necesario muestrear el vector director en todo el espacio (4π sr.). En estos
casos, con el objetivo de agilizar las simulaciones, el vector director se genera sólo en el semiespacio definido por el valor no negativo de la coordenada “Z”, de conformidad con el método de
estratificación comentado en el punto 3.4.5.3. Esta técnica de reducción de varianza requiere la
asignación de un peso estadístico a cada fotón generado, como corrección al sesgo introducido.
De acuerdo con la expresión (3-31), el peso estadístico de los fotones generados en las fuentes
cilíndricas y rectangulares es W0 = 1 , mientras que el peso estadístico de los fotones generados
2
en fuentes con geometría Marinelli es W0 = 1 .
92
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.5 Análisis geométrico
Debido a que en DETEFF los modelos de detectores y fuentes están construidos con planos y
cilindros, la realización de los cálculos geométricos se simplifica y requiere poco tiempo de
trabajo del CPU. A continuación describiremos brevemente los procedimientos utilizados por el
código, siguiendo los postulados básicos I y IV del apartado 3.4.
4.5.1 Determinación de la incidencia de los fotones en el volumen
activo del detector
Una vez que el fotón se genera en la fuente, es necesario verificar que éste incide en el volumen
activo del detector, o sea, que existe algún punto de intersección de la trayectoria rectilínea del
fotón con la superficie exterior del volumen activo del cristal. La trayectoria del fotón se describe
mediante la ecuación de una recta:
r r
r
r = r0 + t ⋅ w
(4-10),
r
r
r
siendo: r el vector de posición del fotón, r0 el punto de origen del fotón en la fuente, w el
vector de dirección del movimiento del fotón y “t” el recorrido del fotón desde el punto de origen
r
r
r0 hasta el punto r .
Las dos superficies circulares planas del cristal (inferior y superior) pueden representarse mediante
las ecuaciones37:
y
z = zI
∩
x 2 + y2 ≤ R 2
(4-11),
z = zS
∩
x 2 + y2 ≤ R 2
(4-12),
siendo R el radio del volumen activo del detector, y ZI y ZS las coordenadas de las superficies
planas del cristal en el eje “Z”.
Por otro lado, la superficie cilíndrica lateral del cristal puede escribirse como:
∩ z I ≤ z ≤ zS
x 2 + y2 = R 2
(4-13),
Entonces, para cualquier punto de intersección de la recta (4-10) con alguna de las superficies
planas del detector, dadas por las ecuaciones (4-11) y (4-12) debe cumplirse:
{
z −z
2
z −z
t = I 0 ó t = s 0 , t ≥ 0, ( x 0 + t ⋅ w x ) + y0 + t ⋅ w y
wz
wz
(
37
)
2
≤ R2
}
(4-14),
x,y,z son coordenadas en el sistema cartesiano de las Figuras 4.7, 4.9 y 4.11 para fuentes cilíndricas,
rectangulares y en geometría Marinelli, respectivamente.
93
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Para que exista un punto de intersección de la recta (4-10) con la superficie lateral del detector
deberá haber al menos un número t ≥ 0 que sea solución de la ecuación cuadrática:
(wx + wy )⋅ t
2
2
2
(
)
+ 2 x 0 ⋅ w x + y0 ⋅ w y ⋅ t + x 02 + y02 − R 2 = 0
(4-15),
tal que:
z I ≤ z 0 + t ⋅ w z ≤ zS
(4-16)
Cada vez que se genera un fotón, se incrementa en uno el número de fotones simulados. Si el fotón
no incide en el volumen activo del detector se considera que tiene una probabilidad despreciable
de contribuir a la eficiencia absoluta en el pico de absorción total, por lo que de conformidad con
el método de truncamiento geométrico (punto 3.4.5.1) se termina su historia y se genera otro fotón.
Si, por el contrario, se comprueba su incidencia en el volumen activo del detector, entonces se
ajusta su peso estadístico (ver el punto siguiente) para tener en cuenta las posibles interacciones
antes de llegar al medio de detección, y se continúa su seguimiento a partir del punto de entrada en
el detector.
4.5.2 Correcciones por atenuación fotónica en su recorrido hacia el
detector
Debido a que DETEFF ha sido concebido específicamente para el cálculo de la eficiencia absoluta
en el pico de absorción total, utiliza un método no análogo para considerar las pérdidas de cuentas
en el pico de absorción total debidas a la interacción de los fotones en los diferentes materiales
encontrados entre el punto de origen en la fuente y el volumen activo del detector. Estos materiales
pueden ser el propio material de la fuente, las paredes del recipiente que la contiene, cualquier
material interpuesto entre la fuente y el detector, la ventana de entrada del detector, la cubierta y el
soporte del detector, así como la capa muerta en los detectores de semiconductor.
El método de reducción de varianzas utilizado puede deducirse del “muestreo modificado
mediante interacciones forzadas”, comentado en el punto 3.4.5.3, sólo que en este caso sucede
todo lo contrario: los volúmenes por los que atraviesan los fotones no son de interés para los
resultados de la simulación, y la simulación detallada en esos volúmenes hace menos eficientes los
cálculos. De esta forma, en el punto de entrada al volumen activo del detector el peso estadístico
de los fotones se reduce acorde con la probabilidad de transmisión en su recorrido desde el punto
de origen en la fuente. El peso estadístico de cada fotón se calcula entonces según la conocida
ecuación:
⎛ n
⎞
W = W0 ⋅ exp ⎜ −
μi ⋅ d i ⎟
⎜
⎟
⎝ i =1
⎠
∑
(4-17),
94
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
siendo: W0 el peso estadístico inicial del fotón, μi el coeficiente lineal de atenuación (sin
considerar la dispersión coherente) del material “i” para la energía inicial de los fotones, di el
recorrido del fotón en el material38 “i” y n la cantidad de materiales considerados. El coeficiente
lineal de atenuación representa la sección eficaz macroscópica total de interacción de los fotones.
Se calcula sumando las secciones eficaces macroscópicas de los procesos de interacción
considerados. Como veremos en el apartado 4.6, estos valores se obtienen a partir de la base de
datos XCOM [Berger, et. al., 1999].
4.5.2.1 Recorrido de los fotones en el interior de la fuente
Las superficies de las fuentes cilíndricas se representan con ecuaciones similares a las indicadas
para
zI =
los
detectores,
(ecuaciones
(4-11)
a
(4-13))
haciendo
la
sustitución
−Hm
Hm
Dm , según los parámetros de la Figura 4.7.
, zS =
,R=
2
2
2
Según la Figura 4.9, las seis superficies planas de las fuentes rectangulares se representan como:
x=
Am
2
∩ ⎛⎜ − Lm ≤ y ≤ Lm ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ −Hm ≤ z ≤ Hm ⎞⎟
(4-18)
x=
−Am
2
∩ ⎛⎜ −Lm ≤ y ≤ Lm ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ −Hm ≤ z ≤ Hm ⎞⎟
(4-19)
y=
Lm
2
∩ ⎛⎜ −Am ≤ x ≤ Am ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ −Hm ≤ z ≤ Hm ⎞⎟
(4-20)
y=
−Lm
2
∩ ⎛⎜ −Am ≤ x ≤ Am ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ −Hm ≤ z ≤ Hm ⎞⎟
(4-21)
Hm ∩ ⎛ −Am
Am ⎞ ⎛ − Lm
Lm ⎞
≤x≤
∩⎜
≤y≤
⎜
⎟
⎟
2
2 ⎠ ⎝ 2
2 ⎠
⎝ 2
(4-22)
z=
z=
−Hm
2
⎝ 2
⎝ 2
⎝
2
⎝ 2
2 ⎠
2 ⎠
2 ⎠
2 ⎠
⎝
2
⎝ 2
⎝
⎝
2 ⎠
2 ⎠
2 ⎠
2
2
2 ⎠
∩ ⎛⎜ −Am ≤ x ≤ Am ⎞⎟ ∩ ⎛⎜ −Lm ≤ y ≤ Lm ⎞⎟
⎝ 2
2 ⎠
⎝ 2
2 ⎠
(4-23)
Por otro lado, de acuerdo con la Figura 4.11, las superficies de interés en la geometría Marinelli
son:
z=0
38
∩
x 2 + y 2 ≤ Ir 2
(4-24)
x 2 + y 2 = Ir 2 ∩ 0 ≤ z ≤ Hd
(4-25)
z = Hd ∩
(4-26)
Ir 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ Or 2
Nótese que estos materiales se consideran medios homogéneos
95
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
El recorrido del fotón en la fuente se calcula como la distancia entre el punto de origen
ur
r0 ≡ ( x 0 , y0 , z 0 ) y el punto de intersección de la recta (4-10) con una de estas superficies que
describen los límites del volumen activo de la fuente. Este punto de intersección se obtiene por
ejemplo, buscando las soluciones de ecuaciones similares a la (4-14) para superficies planas, ó a la
(4-15) para superficies cilíndricas.
4.5.2.2 Recorrido de los fotones en otros medios
En DETEFF, la distancia recorrida por los fotones en medios como la pared del recipiente, los
filtros interpuestos entre la fuente y el detector, la ventana de entrada del detector, la cubierta y el
soporte del detector, o la capa muerta (en el caso de detectores de semiconductor), se calcula de
forma similar al recorrido en el interior de la fuente. En el caso de materiales entre superficies
planas perpendiculares a alguno de los ejes de coordenadas, como son: las paredes de las fuentes
rectangulares, la ventana de entrada del detector, la capa muerta frontal en los detectores de
semiconductor, o los filtros interpuestos entre una fuente cilíndrica o rectangular y el detector, una
vez verificado el paso del fotón por ambos planos, el recorrido d se calcula simplemente mediante
la fórmula:
d=
s ,
wj
{w j ≠ 0}
(4-27),
siendo s el espesor del material y w j la componente del vector director en el eje “j” perpendicular
a los planos que contienen el material.
4.5.3 Redondeamiento de las esquinas del detector
Como comentamos en el punto 2.2.3, el redondeamiento de las esquinas en los detectores de
semiconductor se realiza durante su proceso de fabricación con el objetivo de eliminar las zonas
cuyo potencial eléctrico es muy débil, para conseguir una recolección más homogénea de las
cargas eléctricas en todo el volumen activo del cristal. La influencia del redondeamiento de las
esquinas en la eficiencia ha sido demostrada por algunos autores. Aunque este efecto depende de
las dimensiones del cristal, debe tenerse en cuenta en muchos de los casos para evitar desviaciones
significativas en los valores de eficiencia obtenidos mediante la simulación estadística, en
particular para bajas energías de los fotones, [Hurtado et. al., 2004], [Dryak y Kovar, 2006],
[Gasparro, et. al., 2008].
Para tener en cuenta el efecto de las esquinas, pudiera utilizarse la superficie curva que se muestra
en la Figura 4.15 (A), cuya ecuación puede escribirse como:
96
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
2 ⎞
⎛
⎛ ALTBD − z ⎞ ⎟
⎜
x + y = R − r0 ⋅ 1 − 1 − ⎜ 1 +
⎟ ⎟
⎜
r0
⎝
⎠
⎝
⎠
2
{z ∈
(4-28)
2
ALTBD, ALTBD + r0
}
,
donde: r0 denota el radio de curvatura de la esquina, R representa el radio del cristal y ALTBD
denota la altura de la base del detector con relación al origen de coordenadas (Ver la Figura 4.15
(A)).
Z
Z
Detector
Detector
R
R
r0
r0
E
E
ALTBD
ALTBD
X, Y
X, Y
B
A
Figura 4.15: Representación de las variables para considerar el redondeamiento de las esquinas
del detector Figura 33
La búsqueda del punto de intersección de la recta (4-10) con la curva (4-28) pudiera realizarse, en
principio, mediante métodos numéricos de iteración. Este procedimiento ralentiza la simulación y
requiere de un algoritmo adicional para seleccionar adecuadamente el valor inicial de la variable t,
que denota el recorrido del fotón. En DETEFF hemos optado por un procedimiento más sencillo,
representado en la Figura 4.15 (B). Como puede apreciarse, la esquina redondeada se aproxima
con una superficie plana con forma de cono truncado, cuya ecuación es:
x 2 + y 2 = ( R − E − ALTBD + z )
2
{z ∈
ALTBD, ALTBD + E
}
(4-29),
siendo: E = 0.5858 ⋅ r0 , y el resto de los parámetros iguales a los de la expresión (4-28).
97
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
En este caso, la ecuación para calcular el punto de intersección de la recta (4-10) con la superficie
(4-29) tiene solución analítica. Esta aproximación se sustenta además por el hecho de que las
esquinas de los detectores no son perfectamente redondeadas.
Para evaluar la importancia de considerar el redondeamiento de las esquinas se utilizó un modelo
del detector de HPGe GMX-40195-P (tipo n) de la firma CANBERRA, con un 40% de eficiencia
(1.33 MeV). Se compararon los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total para
una fuente puntual situada a distintas distancias del detector, considerando el redondeamiento de
las esquinas y sin considerar este efecto. Como puede apreciarse en la Figura 4.16, este detector
presenta un radio de curvatura importante en sus esquinas superiores. Las simulaciones se
realizaron con los parámetros que se resumen en la Tabla 4.8. Los valores correspondientes al
diámetro del detector, la altura y el redondeamiento de las esquinas se obtuvieron a partir de la
información proporcionada por el fabricante y también mediante radiografías, como la que se
muestra en la Figura 4.16. El resto de los parámetros se ajustaron a partir de la comparación de los
resultados experimentales con los obtenidos mediante la simulación con DETEFF para una fuente
puntual a varias distancias del detector, aplicando el procedimiento general indicado en [Hurtado
et. al., 2004].
Figura 4.16: Radiografía del detector de HPGe modelo GMX-40195-P (tipo n) de la firma
CANBERRA Figura 34
98
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Tabla 4.8: Parámetros del detector HPGe utilizado en el estudio Tabla 9
Parámetros del detector
Diámetro del cristal de Ge
Longitud del cristal de Ge
Radio de curvatura de las esquinas
Espesor de la capa muerta frontal de Ge
Espesor de la capa muerta lateral de Ge
Espesor de la capa muerta interna del Core
Distancia entre el cristal y el criostato
Diámetro del Core interno
Longitud del Core interno
Espesor de la cubierta + el soporte de Al
Radio de la ventana de Be
Espesor de la ventana de Be
Diámetro exterior de la cubierta del criostato
Valores (mm)
58.0
80.0
5.0
0.003
0.003
1.0
5.0
13.0
69.0
1.0
32.0
0.5
70.0
La Figura 4.17 muestra las desviaciones de los valores de eficiencia obtenidos sin considerar el
redondeamiento de las esquinas con relación a los valores de eficiencia considerando el
redondeamiento. Como se puede apreciar, las desviaciones son considerables para energías de los
fotones inferiores a 100
keV y sobre todo para distancias intermedias, donde es mayor la
contribución de las esquinas al ángulo sólido efectivo total visto desde la fuente.
12
30 keV
60 keV
100 keV
200 keV
500 keV
10
Desviación (%)
MENÚ
8
6
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Distancia a la ventana (cm)
Figura 4.17: Desviación relativa por el efecto de redondeamiento de las esquinas en función de la
distancia entre la fuente puntual y la ventana del detector, para diferentes valores de energía de
los fotones Figura 35
99
MENÚ
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
4.6 Simulación de los procesos físicos en el interior
del detector
4.6.1 Tipos de interacción. Secciones eficaces
En correspondencia con el punto 2.3.1, los procesos de interacción de los fotones que hemos
considerado en el código DETEFF son: el efecto fotoeléctrico, la dispersión inelástica y la
formación de pares electrón - positrón. Las secciones eficaces correspondientes se obtienen de
funciones analíticas ajustadas a partir de valores discretos proporcionados por la base de datos del
sistema XCOM [Berger, et. al., 1999]. Este programa facilita el cálculo de las secciones eficaces
de interacción para elementos químicos con número atómico entre 1 y 100, así como para
compuestos y mezclas de estos elementos químicos, para cualquier valor de energía entre 1 keV y
100 GeV.
En la base de datos de XCOM, las secciones eficaces para el efecto fotoeléctrico fueron obtenidas
mediante cálculos de desplazamiento de fases para el potencial central en el modelo atómico de
Hartree-Slater [Scofield, 1973]. Las secciones eficaces de la dispersión inelástica están calculadas
según [Hubbell, et. al. 1977] mediante la combinación de la fórmula de Klein-Nishina para la
dispersión Compton y la función de dispersión no relativista según aproximaciones de Hartree –
Fock (Ver la ecuación (2-4) en el punto 2.3.1.2). Las secciones eficaces para la formación de pares
se basan en la teoría de Bethe – Heitler, complementada con modelos teóricos que tienen en cuenta
los efectos radiativos, de pantalla y de interacción eléctrica [Hubbell, et. al., 1980]. Una limitación
de la biblioteca XCOM es que las secciones eficaces de interacción para los diferentes elementos
corresponden a átomos aislados, no considerando por tanto los efectos moleculares y de
estructuras cristalinas, que modifican las secciones eficaces, particularmente para valores de
energía en la vecindad de las capas de absorción. Debemos señalar que las aplicaciones previstas
para el código DETEFF suponen unas energías mínimas de los fotones incidentes que se
encuentran muy por encima de los valores de energía de las capas de absorción de los átomos que
conforman el volumen sensible del detector.
Con el propósito de obtener de forma rápida las secciones eficaces de interacción para cualquier
valor de energía de los fotones en todo el rango de interés, el código DETEFF utiliza funciones
empíricas analíticas, ajustadas previamente por intervalos de energía para las secciones eficaces
macroscópicas de interacción calculadas con el programa XCOM, correspondientes al efecto
fotoeléctrico ( Σ F ), la dispersión inelástica ( Σ I ) y la formación de pares ( Σ P ). Las funciones
utilizadas para el efecto fotoeléctrico y la dispersión inelástica tienen la forma:
100
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
2
⎡Σ ( E ) ⎤
ln ⎢ j
⎥ = a 0 + a1 ⋅ ln ( E ) + a 2 ⋅ ⎡⎣ ln ( E ) ⎤⎦
ρ
⎣
⎦
(4-30),
siendo Σ j la sección eficaz macroscópica39 para el efecto fotoeléctrico (j = F) o para la dispersión
inelástica (j = I),
ρ la densidad del medio, a i {i = 0,1, 2} los coeficientes del ajuste y E la energía
de los fotones.
Las funciones empíricas de ajuste que utiliza DETEFF para la formación de pares son del tipo:
Σp
ρ
=
a0
a
a
a
+ 11 + 2 + 32
ln ( E ) E 2 E E
(4-31),
Donde Σ p es la sección eficaz macroscópica para la formación de pares y el resto de los
parámetros tiene el mismo significado que en la ecuación (4-30).
Las Tablas 4.9 – 4.13 muestran los intervalos de energía y los valores de los parámetros
correspondientes a los ajustes de las secciones eficaces macroscópicas de interacción para los
materiales de los detectores considerados en el código. Los ajustes se realizaron mediante el
método de los mínimos cuadrados. Las funciones y los intervalos de energía fueron seleccionados
de forma que la desviación máxima entre los valores dados por el sistema XCOM y los calculados
con las funciones ajustadas estén en el orden del 0.1%, siendo el coeficiente de correlación
(momento r de Pearson) entre estos valores superior a 0.999. La Figura 4.18 muestra los gráficos
de las secciones eficaces teóricas y ajustadas, para NaI.
Durante la simulación, las secciones eficaces de interacción se obtienen en dos etapas:
1.
Búsqueda binaria del intervalo de energía al que pertenece el fotón que se simula,
2.
Sustitución del valor de energía del fotón en la función correspondiente al intervalo hallado.
Este procedimiento es algo más rápido que la interpolación estándar del tipo cubic – spline, puesto
que en la misma se requiere de una búsqueda binaria a través de un número muy superior de
intervalos de energía.
39
Con el programa XCOM se obtienen los coeficientes parciales de interacción másicos ( Σ j ( E ) )
ρ
101
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Tabla 4.9: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para NaI (
Intervalos de energía [keV]
10.00 ≤ E ≤ 33.17
33.17 < E ≤ 55.00
55.00 < E ≤ 100.00
100.00 < E ≤ 200.00
200.00 < E ≤ 400.00
400.00 < E ≤ 700.00
700.00 < E ≤ 900.00
900.00 < E ≤ 1100.00
1100.00 < E ≤ 2000.00
Intervalos de energía [keV]
10.00 ≤ E ≤ 60.00
60.00 < E ≤ 100.00
100.00 < E ≤ 300.00
300.00 < E ≤ 600.00
600.00 < E ≤ 1000.00
1000.00 < E ≤ 2000.00
10.00 ≤ E ≤ 33.17
33.17 < E ≤ 35.98
35.98 < E ≤ 50.00
50.00 < E ≤ 90.00
90.00 < E ≤ 190.00
190.00 < E ≤ 380.00
380.00 < E ≤ 780.00
780.00 < E ≤ 1000.00
1000.00 < E ≤ 2000.00
Intervalos de energía [keV]
10.00 ≤ E ≤ 45.00
45.00 < E ≤ 100.00
100.00 < E ≤ 300.00
300.00 < E ≤ 800.00
800.00 < E ≤ 2000.00
ρ
Efecto fotoeléctrico
Parámetros del ajuste
a1
a0
10.83528
-2.43220
10.65820
-1.56785
11.62369
-2.03840
13.47250
-2.82960
17.90905
-4.49708
22.67561
-6.11202
33.64743
-9.48481
10.57745
-2.54664
17.49751
-4.75502
Dispersión inelástica
Parámetros del ajuste
a1
a0
-4.79020
1.26467
-4.54017
1.14078
-3.68826
0.78608
-2.61658
0.40040
-2.39682
0.33180
-2.48823
0.35780
Tabla 4.10: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para CsI (
Intervalos de energía [keV]
Σj
Efecto fotoeléctrico
Parámetros del ajuste
a1
a0
11.14345
-2.50414
8.24416
-0.36595
12.37544
-2.39042
11.87210
-2.06699
13.38939
-2.71651
17.85777
-4.40627
23.81862
-6.41139
13.85900
-3.50216
21.26751
-5.71573
Dispersión inelástica
Parámetros del ajuste
a0
a1
-5.11730
1.37255
-4.98054
1.29574
-3.91495
0.84740
-2.73430
0.42519
-2.48995
0.35056
102
en cm2.g-1) 10
a2
-0.05835
-0.14482
-0.08755
-0.00288
0.15386
0.29063
0.54981
0.02843
0.20272
a2
-0.15123
-0.13586
-0.09897
-0.06427
-0.05891
-0.06077
Σj
ρ
en cm2.g-1) 11
a2
-0.04537
-0.32168
-0.03301
-0.08279
-0.01335
0.14644
0.31510
0.10282
0.26791
a2
-0.16168
-0.15090
-0.10373
-0.06596
-0.06026
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Tabla 4.11: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para Ge (
Intervalos de energía [keV]
10.00 ≤ E ≤ 11.10
11.10 < E ≤ 40.00
40.00 < E ≤ 70.00
70.00 < E ≤ 100.00
100.00 < E ≤ 200.00
200.00 < E ≤ 380.00
380.00 < E ≤ 700.00
700.00 < E ≤ 880.00
880.00 < E ≤ 1020.00
1020.00 < E ≤ 2000.00
Intervalos de energía [keV]
15.00 ≤ E ≤ 60.00
60.00 < E ≤ 130.00
130.00 < E ≤ 300.00
300.00 < E ≤ 1100.00
1100.00 < E ≤ 2000.00
Intervalos de energía
[keV]
10.00 ≤ E ≤ 40.00
40.00 < E ≤ 80.00
80.00 < E ≤ 200.00
200.00 < E ≤ 1400.00
1400.00 < E ≤ 2000.00
ρ
Efecto fotoeléctrico
Parámetros del ajuste
a1
a0
10.14420
-2.88643
10.65741
-1.89556
11.38759
-2.31118
11.92542
-2.56940
13.46145
-3.22738
18.16481
-4.99152
23.26961
-6.72210
37.40612
-11.07470
-41.85164
12.31236
19.01789
-5.63066
Dispersión inelástica
Parámetros del ajuste
a1
a0
-5.01665
1.45039
-4.16618
1.02656
-3.42891
0.71825
-2.28199
0.31141
-2.39953
0.34371
Tabla 4.12: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-30) para Si (
Intervalos de energía
[keV]
10.00 ≤ E ≤ 15.00
15.00 < E ≤ 57.00
57.00 < E ≤ 100.00
100.00 < E ≤ 200.00
200.00 < E ≤ 380.00
380.00 < E ≤ 600.00
600.00 < E ≤ 720.00
720.00 < E ≤ 840.00
840.00 < E ≤ 1000.00
1000.00 < E ≤ 1200.00
1200.00 < E ≤ 2000.00
Σj
Efecto fotoeléctrico
Parámetros del ajuste
a1
a0
9.99773
-2.66224
10.07862
-2.70903
10.71596
-3.03433
12.32167
-3.72359
17.01456
-5.48935
23.63005
-7.72270
41.87338
-13.30715
44.88217
-14.26431
-87.80845
24.96116
165.68839
-48.25490
14.00410
-5.11897
Dispersión inelástica
Parámetros del ajuste
a0
a1
-4.06955
1.16685
-3.72768
0.96692
-3.10211
0.68478
-1.93609
0.24929
-2.04579
0.28390
103
en cm2.g-1) 12
a2
-0.01461
-0.13980
-0.08058
-0.04957
0.02090
0.18639
0.33305
0.66805
-1.05719
0.26438
a2
-0.17889
-0.12604
-0.09379
-0.05768
-0.05990
Σj
ρ
en cm2.g-1) 13
a2
-0.06857
-0.06189
-0.02038
0.05362
0.21978
0.40828
0.83547
0.91139
-1.98748
3.29908
0.23261
a2
-0.15511
-0.12593
-0.09408
-0.05332
-0.05601
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Tabla 4.13: Coeficientes de ajuste de las funciones del tipo (4-31) para la formación de pares
Σ
electrón – positrón ( p en cm2.g-1), en el intervalo de energías entre 1400 y 2000 keV40 14
ρ
Parámetros del ajuste
Material
a1
a2
a3
a0
NaI
5.532368 x 10-3
-3.5771963
87.14611
-12227.371
CsI
5.610043 x 10-3
-3.3981483
76.57931
-7749.9572
Ge
4.028202 x 10-3
-2.6971755
67.77921
-10267.855
Si
2.036637 x 10-3
-1.3909353
35.55745
-5612.8199
Sección eficaz macroscópica [cm 2/g]
1,00E+02
Efecto Fotoeléctrico
1,00E+01
Dispersión Inelástica
Formación de Pares
1,00E+00
1,00E-01
1,00E-02
1,00E-03
1,00E-04
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
1,00E+01
Energía [MeV]
Figura 4.18: Gráficos de las secciones eficaces macroscópicas de interacción en NaI. Las figuras
geométricas indican los valores calculados con el programa XCOM, mientras que las líneas se
corresponden con las funciones ajustadas. Figura 36
40
Para energías inferiores a 1400 keV la sección eficaz macroscópica para la formación de pares electrón –
positrón se adopta igual a cero, puesto que es al menos dos órdenes de magnitud inferior a la sección
eficaz macroscópica para la dispersión inelástica.
104
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.6.2 Muestreo del recorrido de los fotones y del punto de interacción
Para el muestreo del recorrido libre “t” de los fotones en el volumen activo del detector utilizamos
el método descrito en 3.4.2, sustituyendo en la ecuación41 (3-22) un número aleatorio γ
uniformemente distribuido en el intervalo [0,1). En este caso Σ ( E ) es la sección eficaz
macroscópica total o coeficiente lineal de atenuación del material activo del detector, expresado en
cm-1. En DETEFF, el coeficiente lineal de atenuación para una energía E determinada se calcula
mediante la suma de las secciones eficaces macroscópicas de los procesos fotoeléctrico Σ F ( E ) ,
de dispersión inelástica Σ I ( E ) y de formación de pares electrón – positrón Σ P ( E ) :
Σ ( E ) = ΣF ( E ) + ΣI ( E ) + ΣP ( E )
(4-32)
Una vez que se tiene el recorrido libre o alcance “t” del fotón se determina el punto de interacción
mediante la ecuación de la recta:
r r
r
ri = ri −1 + t ⋅ w
(4-33),
r
siendo ri el vector de posición del punto de interacción,
origen del fotón y
r
w
r
ri −1 el vector de posición del punto de
el vector de dirección del movimiento del fotón.
El análisis geométrico para verificar la posición del fotón y calcular los puntos de intersección de
su trayectoria con las superficies se realiza de forma análoga al procedimiento que comentamos en
el apartado 4.5.
En los detectores de semiconductor con electrodo central o “core”, si el fotón
atraviesa esta región inactiva, al recorrido o alcance simulado del fotón se le adiciona la longitud
de su trayectoria dentro del “core”. Si el punto de interacción “cae” dentro del “core”, se adiciona
al alcance simulado la longitud del recorrido máximo (rectilíneo) que tendría el fotón dentro de
este volumen inactivo. El procedimiento indicado constituye un caso particular del método de
muestreo del punto de interacción en medios no homogéneos, que analizamos en el punto 3.4.2.
En este caso, DETEFF considera que dentro del “core” no existe material alguno, o sea, el
transporte de los fotones se produce en el vacío42 .
41
El volumen activo del detector se considera un medio homogéneo.
Se trata de una aproximación, pues aunque durante el proceso de fabricación de los detectores se extrae el
material semiconductor de este volumen cilíndrico, existe un electrodo central que generalmente es de
aluminio.
42
105
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
4.6.3 Muestreo del tipo de interacción
El tipo de interacción es una magnitud aleatoria discreta que en nuestro caso sólo puede tomar tres
valores. Su muestreo se realiza de la forma indicada el punto 3.4.3, a partir de la generación de un
número aleatorio γ , uniformemente distribuido en el intervalo [0,1). El diagrama de flujo de este
procedimiento43 es el que se indica en la Figura 4.19 a continuación:
ΣF , ΣI , ΣP
Σ = ΣF + ΣI + ΣP
γ
+
¿( γ ≤
ΣF
)?
Σ
-
Efecto Fotoeléctrico
+
Dispersión Inelástica
¿(
ΣF
Σ + ΣI
<γ≤ F
)?
Σ
Σ
-
Formación de Pares
Figura 4.19: Diagrama de la secuencia seguida en DETEFF para el muestreo del tipo de
interacción Figura 37
43
Para una energía determinada del fotón
106
MENÚ
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.6.4 Seguimiento de las partículas secundarias
Como vimos en el punto 2.3.1, los procesos de interacción de la radiación gamma con los
materiales que componen el detector producen partículas secundarias que pueden absorberse o no
en el medio de detección, influyendo en el espectro de altura de pulsos y por tanto en la eficiencia
de detección en el pico de absorción total. A continuación describiremos el “tratamiento” que da
DETEFF a cada uno de estos tipos de radiación secundaria.
4.6.4.1 Radiación característica tras el efecto fotoeléctrico
Como vimos en el punto 2.3.1.1, al ocurrir el efecto fotoeléctrico se libera un electrón con energía
cinética aproximadamente igual a la energía del fotón menos la energía de enlace del electrón en la
capa donde ocurre la interacción. El átomo queda con un déficit de electrones en esta capa y
alcanza nuevamente el equilibrio mediante el “desplazamiento” de electrones desde las capas más
externas, emitiéndose la diferencia de energía44 en forma de radiación electromagnética o en forma
de electrones (electrones Auger).
En DETEFF se tiene en cuenta la emisión de radiación electromagnética característica (rayos X
característicos) de la capa K del NaI, el CsI y el Ge. Al mismo tiempo, se considera que los
electrones Auger son absorbidos completamente en el cristal, por lo que no se consume tiempo de
simulación en su seguimiento. Para la simulación de la radiación X característica se parte de los
valores de energía que se muestran en la Tabla 4.14 para las capas Kα y Kβ según [Browne y
Firestone, 1986]. La radiación X característica del Si no se simula pues su recorrido libre medio es
de apenas unos 14μm en este material.
Tabla 4.14: Energías de las líneas de rayos X característicos correspondientes a las capas K de
los átomos que forman parte de los detectores incluidos en el código DETEFF 15
Número
atómico
14
32
53
55
Elemento
Si
Ge
I
Cs
Energía [keV]
Kα2
Kβ1
1.739
1.836
9.855
10.980
28.317
32.278
30.625
34.966
Kα1
1.740
9.886
28.612
30.973
Kβ2
11.101
33.047
35.819
Las probabilidades de emisión de las diferentes líneas de rayos X característicos por cada evento
fotoeléctrico se calcularon a partir de los datos deducidos de [Debertin y Helmer, 1988], que se
recogen en la Tabla 4.15.
44
Una fracción muy pequeña de la energía se emplea en el retroceso del átomo, como consecuencia de la
conservación de la energía y el impulso. Las energías de las capas K son: 1.84 keV, 11.1 keV, 33.17 keV y
35.98 keV en el Si, Ge, I y Cs, respectivamente.
107
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Tabla 4.15: Rendimientos de fluorescencia de la capa K ( ωK ) y emisiones relativas de fotones de
rayos X. 16
Z
14
32
53
55
Elemento
Químico
Si
Ge
I
Cs
Kβ / Kα
0.027
0.147
0.229
0.237
Emisiones relativas
Kα2 / Kα1
Kβ2 / Kα1
0.513
0.538
0.061
0.541
0.067
ωK
0.050
0.546
0.882
0.894
De esta forma, para el cálculo de las probabilidades de emisión en cada uno de los materiales, se
sustituyeron los valores de la Tabla 4.15 en las siguientes ecuaciones:
Kβ
P Kβ = P ( K α ) ⋅
K
( )
( )
P ( K α ) + P Kβ = ωK ,
(4-34),
α
K
P ( K α1 ) + P ( K α 2 ) = P ( K α ) , P ( K α 2 ) = P ( K α1 ) ⋅ α 2
K α1
( ) (
)
P Kβ1 + P Kβ2 = P ( Kβ ) ,
(
)
P Kβ2 = P ( K α1 ) ⋅
(4-35),
Kβ2
(4-36),
K α1
Donde: P ( k m ) , {m = α, β, α1, α 2, β1, β2} son las probabilidades de emisión de las líneas
α, β, α1, α 2, β1, β2 respectivamente, por cada evento fotoeléctrico en la capa K.
Durante la simulación no se distinguen las líneas de la estructura fina: Kα1, Kα2, Kβ1, Kβ2, sino que
los fotones de rayos X característicos de un elemento determinado se generan escogiendo entre dos
valores posibles de energía: los valores promedios de las líneas Kα y Kβ. Se trata de valores
medios de energía ponderados a partir de las probabilidades de emisión de cada una de las líneas
de la estructura fina. Ver la Tabla 4.16 a continuación.
Tabla 4.16: Probabilidades de emisión de rayos X característicos de la capa K, y valores medios
de energía de las líneas Kα y Kβ.17
Elemento
P(Kα1)
P(Kα2)
P(Kα)
Si
Ge
I
Cs
0.049
0.315
0.467
0.470
0.161
0.251
0.254
0.049
0.476
0.718
0.724
EKα
[keV]
1.74
9.9
28.5
30.9
108
P(Kβ1)
P(Kβ2)
P(Kβ)
0.001
0.136
0.139
0.028
0.031
0.001
0.070
0.164
0.170
EKβ
[keV]
1.84
11.0
32.4
35.1
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
En el caso de los materiales con estructuras cristalinas formadas por dos átomos diferentes, como
el NaI y el CsI, la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en cada uno de los átomos se
determinó a partir de las secciones eficaces macroscópicas correspondientes [Berger, et. al., 1999].
En el NaI, la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en el yodo es mayor que 0.98, por
lo que se considera que la totalidad de los fotoelectrones se producen en este elemento. Para el CsI
no ocurre así: se tiene que entre 33.17 keV y 35.98 keV (energías de la capa K del I y el Cs,
respectivamente) la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en I es aproximadamente
igual a 0.84 (probabilidad complementaria igual a 0.16 en Cs), mientras que para el resto de las
energías entre 10.0 y 2000.0 keV la probabilidad de ocurrencia del efecto fotoeléctrico en Cs es
aproximadamente igual a 0.54. La Figura 4.20 ilustra el comportamiento de las secciones eficaces
para el efecto fotoeléctrico en CsI.
-1
Sección eficaz macroscópica [cm ]
MENÚ
1,0E+03
Cs
I
1,0E+02
1,0E+01
1,0E+00
1,5E-02
2,5E-02
3,5E-02
4,5E-02
5,5E-02
6,5E-02
7,5E-02
Energía [MeV]
Figura 4.20: Gráfico de las secciones eficaces macroscópicas del efecto fotoeléctrico en Cs y I, en
el cristal de CsI Figura 38
En correspondencia con lo explicado, a continuación se presenta, a modo de ejemplo, el diagrama
de flujo que sigue DETEFF para el muestreo de la energía de la radiación X característica ( E KX )
en el caso del CsI. Los diagramas correspondientes a Ge y NaI son similares, aunque más simples.
En el diagrama de flujo, PK representa la probabilidad del efecto fotoeléctrico en la capa K del
átomo, EK = 0.0 significa que no se emite el fotón de radiación característica. Una vez muestreada
la energía del fotón de rayos X se realiza la simulación de su vector de dirección mediante las
ecuaciones (4-7), (4-8) y (4-9), para un ángulo sólido igual a 4π sr ( θMáx = π ).
109
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
γ1 , γ 2
+
-
¿(33.17 < E ≤ 35.98)?
ξ = 0.54
ξ = 0.16
+
¿( γ1 ≤ ξ) ?
-
+ ¿( γ 2 < 0.894 ⋅ PK )? +
¿( γ 2 < 0.724 ⋅ PK ) ?
E KX = 30.9
-
E KX = 0.0
E KX = 35.1
-
¿( γ 2 < 0.882 ⋅ PK ) ?
+ ¿( γ
E KX = 28.5
2
+
≤ 0.718 ⋅ PK ) ?
-
E KX = 32.4
Figura 4.21: Diagrama de flujo para el muestreo de la energía de la radiación característica del I
y el Cs tras la ocurrencia del efecto fotoeléctrico en CsI Figura 39
El muestreo del lugar de interacción se realiza según se comentó en el punto 4.6.2. En caso de que
el fotón escape del volumen activo del detector se resta el valor de su energía a la energía
transferida al detector por el fotón incidente. Si por el contrario, el punto donde ocurre la
interacción está dentro del volumen activo del detector, entonces se considera que el fotón se
absorbe totalmente, pues para las energías de la radiación X característica la probabilidad del
efecto fotoeléctrico es muy superior a la probabilidad de dispersión inelástica. En el caso de los
detectores de NaI y CsI esta relación es de al menos un orden de magnitud, mientras que en Ge es
de 5.102, aproximadamente.
Para evaluar la importancia del seguimiento de la radiación característica se compararon los
valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total, obtenidos para una fuente puntual a
10cm del detector, considerando la emisión de radiación X característica y sin considerar este tipo
de radiación secundaria. Las simulaciones se realizaron para detectores HPGe del tipo p y n, con
los parámetros que se resumen en la siguiente tabla. La incertidumbre en los valores de eficiencia
calculados fue inferior al 0.2%.
110
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Tabla 4.17: Parámetros utilizados en la simulación de detectores de HPGe durante la evaluación
de la importancia del seguimiento de la radiación de rayos X característica 18
Detector HPGe tipo p
Parámetros
Diámetro
Longitud
Espesor de la cubierta de Al
Diámetro de la cubierta de Al
Espesor de la ventana de Be
Diámetro de la ventana de Be
Distancia detector - cubierta
Capa muerta frontal
Capa muerta lateral
Diámetro del core
Altura del core
Detector HPGe tipo n
Valores
[mm]
58.7
79.4
1.0
7.0
3.0
0.9
0.9
12.0
40.0
Valores
[mm]
58.7
79.4
1.0
7.0
0.5
58.0
3.0
0.0003
0.0003
12.0
40.0
Parámetros
Diámetro
Longitud
Espesor de la cubierta de Al
Diámetro de la cubierta de Al
Espesor de la ventana de Be
Diámetro de la ventana de Be
Distancia detector - cubierta
Capa muerta frontal
Capa muerta lateral
Diámetro del core
Altura del core
Tal como reflejan las figuras 4.22 – 4.24, pueden apreciarse diferencias significativas entre los
valores de eficiencia correspondientes a energías bajas de los fotones incidentes (E ≤ 70 keV).
0,0190
0,0185
0,0180
Eficiencia
MENÚ
0,0175
0,0170
0,0165
0,0160
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Energía [keV]
Figura 4.22: Eficiencia absoluta en el pico de absorción total en función de la energía de los
fotones incidentes en un detector de HPGe (tipo n). Los triángulos indican los valores obtenidos
considerando la emisión de radiación X característica, mientras que los círculos representan los
valores obtenidos sin considerar la emisión de rayos X. Las barras de error corresponden a 2σ.
Figura 40
111
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
10
9
8
Diferencia [%]
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
20
40
60
80
100
Energía [keV]
Figura 4.23: Diferencia de la eficiencia calculada sin considerar la radiación X característica
con relación a la eficiencia calculada teniéndola en cuenta, para un detector de HPGe (tipo p). Se
indica la incertidumbre expandida (2σ) de las diferencias. Figura 41
10
9
8
7
Diferencia [%]
MENÚ
6
5
4
3
2
1
0
-1
20
40
60
80
100
Energía [keV]
Figura 4.24: Diferencia de la eficiencia calculada sin considerar la radiación X característica
con relación a la eficiencia calculada teniéndola en cuenta, para un detector de HPGe (tipo n). Se
indica la incertidumbre expandida (2σ) de las diferencias. Figura 42
112
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.6.4.2 Fotones secundarios tras la dispersión inelástica
El muestreo de los fotones secundarios tras la dispersión inelástica parte de la expresión (2-4) del
punto 2.3.1.2. En la cuarta versión de DETEFF, la fórmula de Klein – Nishina (2-5) se muestrea
mediante el método de Kahn [Kahn, 1954] para energías de los fotones inferiores a 1.5 MeV y
mediante el procedimiento de Koblinger [Koblinger, 1975] cuando las energías de los fotones
incidentes son superiores o iguales a 1.5 MeV. En el Apéndice A se detallan estos métodos, así
como el método de Everett – Cashwell [Everett y Cashwell, 1970] utilizado en las versiones
previas del código. El cambio en el método de muestreo se corresponde con las recomendaciones
de [Blomquist y Gelbard, 1982].
Para la selección de la energía y el ángulo del fotón dispersado se aplica luego la técnica de
rechazo, según el punto 3.3.2.2, con las funciones de dispersión empíricas publicadas por [Baró,
et. al., 1994]. La formulación general de estas ecuaciones viene dada por:
S ( x, Z )
1 + b1 ⋅ x 2 + b 2 ⋅ x 3 + b3 ⋅ x 4
= 1−
2
Z
1+ b ⋅ x2 + b ⋅ x4
(
4
5
(4-37),
)
siendo x la variable que caracteriza la transferencia de impulso al electrón según la expresión
(2-6), Z el número atómico del material y bi los coeficientes de ajuste. En la Tabla 4.18 se recogen
los coeficientes correspondientes a los diferentes elementos químicos. El valor medio reportado de
las desviaciones del ajuste es inferior al 1% en todos los casos.
Tabla 4.18: Parámetros de las funciones de ajuste para la función de dispersión, según [Baró, et.
al., 1994] 19
Elemento
Na
Si
Ge
I
Cs
Z
11
14
32
53
55
b1
4.1255E+1
1.1143E+1
9.1856E+0
7.3705E+0
1.5423E+1
b2
3.0676E+2
9.6032E+1
4.4952E+1
2.6330E+1
5.3147E+1
b3
0.0E+0
0.0E+0
5.3465E-1
8.4817E+0
4.5583E+1
b4
4.0805E+1
2.0023E+1
1.1657E+1
8.9685E+0
1.5007E+1
b5
4.3737E+0
1.7920E+0
2.3367E-1
2.3933E-1
6.2186E-1
La Figura 4.25 contiene el diagrama de flujo para la simulación de los fotones secundarios tras la
dispersión inelástica.
113
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
γ1 , γ 2
+
-
¿ ( E < 1500 ) ?
KAHN ( E, γ1 )
KOBLINGER ( E, γ1 )
E ' , cosθ
1
⎡ (1 − cos θ ) ⎤ 2
E⋅⎢
⎥
2
⎦
x= ⎣
12.3985
+
⎛
S ( x, Z ) ⎞
¿⎜ γ2 ≤
⎟?
Z ⎠
⎝
-
FIN
Figura 4.25: Diagrama del procedimiento que utiliza DETEFF para el muestreo de la energía del
fotón dispersado E ' y del coseno del ángulo de dispersión ( cos θ ) a partir de una energía
( )
( E ) del fotón incidente. Los valores de energía están expresados en keV y S(x,Z) denota la función
de dispersión que depende del número atómico del material del detector (Z) y de la transferencia
de impulso (x). Figura 43
Con el procedimiento indicado anteriormente muestreamos el coseno del ángulo ( cos θ ) entre la
dirección del fotón incidente y la dirección del fotón dispersado. Para obtener el vector de
dirección del fotón dispersado en el sistema de referencia es necesario entonces realizar una
transformación de coordenadas. El esquema de la Figura 4.26 indica el sistema de coordenadas de
referencia (X,Y,Z) y el sistema de coordenadas auxiliar (X’,Y’,Z’) que se utiliza en DETEFF, con
centro en el punto de interacción y cuyo eje Z’ coincide con la dirección del fotón antes de la
dispersión. De esta forma, las coordenadas del vector de dirección del fotón dispersado en el
r
sistema (X’,Y’,Z’) pueden escribirse como: w 2 ≡ ( sin θ⋅ cos ϕ, sin θ⋅ sin ϕ, cos θ ) . El ángulo
azimutal ϕ se muestrea, en este sistema de coordenadas, con distribución uniforme en el intervalo
(0,2π).
114
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Z
Z’
r
w2
θ
r
w1
Leyenda
θ : ángulo polar de dispersión
ϕ : ángulo azimutal de dispersión
r
: vector de dirección del fotón incidente
w
r1
w 2 : vector de dirección del fotón dispersado
Y’
ϕ
X’
Y
X
Figura 4.26: Sistemas de coordenadas en la simulación de la dispersión inelástica Figura 44
Para pasar el vector de dirección del nuevo fotón al sistema de coordenadas de referencia se aplica
el operador de paso del sistema de coordenadas (X’,Y’,Z’) al sistema de coordenadas (X,Y,Z) :
⎛ a1 ⋅ c1
⎜
2
⎜ 1 − c1
⎜ b ⋅c
A≡⎜ 1 1
⎜ 1 − c12
⎜
⎜ − 1 − c12
⎜
⎝
− b1
1 − c12
a1
1 − c12
0
⎞
a1 ⎟
⎟
⎟
b1 ⎟
⎟
⎟
c1 ⎟
⎟
⎠
Donde: a1 , b1 , c1 son las coordenadas del vector de dirección del fotón incidente en el sistema de
r
referencia (X,Y,Z), o sea: w1 ≡ ( a1 , b1 , c1 ) . Las ecuaciones para llevar el vector de dirección del
r
fotón dispersado al sistema de coordenadas (X,Y,Z): w 2 ≡ ( a 2 , b 2 , c 2 ) son, por lo tanto:
a 2 = a1 ⋅ cos θ + ( a1 ⋅ c1 ⋅ cos ϕ− b1 ⋅ sin ϕ)
1
⋅ sin θ
1 − c12
b2 = b1 ⋅ cos θ + ( b1 ⋅ c1 ⋅ cos ϕ − a1 ⋅ sin ϕ)
1
⋅ sin θ
1 − c12
c 2 = c1 ⋅ cos θ − 1 − c12 ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ
(4-38)
(4-39)
(4-40)
Al fotón dispersado se le asigna el peso estadístico del fotón antes de la interacción y conforme al
esquema de la Figura 4.2, la simulación continúa con el muestreo de su recorrido en el interior del
cristal y del tipo de interacción que ocurre, según los puntos 4.6.2 y 4.6.3, respectivamente. De
esta forma, el código puede simular la dispersión inelástica múltiple.
115
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
4.6.4.3 Fotones de aniquilación tras la formación de pares electrón - positrón
Se asume que la energía cinética de cada par electrón – positrón creado (ver el punto 2.3.1.3) se
deposita de forma local en el punto de formación. Se considera, por tanto, que la emisión de los
fotones de aniquilación ocurre desde ese punto dentro del cristal. Por cada proceso de formación
de pares se siguen dos fotones, cuya energía es igual a 0.511 MeV. El vector de dirección de uno
de los fotones se muestrea de forma uniforme en el ángulo sólido 4π sr, mientras que al otro se le
asigna la dirección opuesta en correspondencia con la conservación del impulso del sistema.
Mientras se da seguimiento al primer fotón de aniquilación, DETEFF mantiene los datos del
segundo fotón en la pila de partículas secundarias (ver la Figura 3.8) que requieren seguimiento.
4.6.4.4 Partículas secundarias con carga eléctrica
Como vimos en el Capítulo 2, todos los procesos de interacción de la radiación gamma liberan u
originan partículas secundarias cargadas, cuyo transporte y eventual absorción involucran un
número grande de interacciones. Por ello, la simulación detallada de estas partículas secundarias
no es una opción práctica en los cálculos de eficiencia de los sistemas de detección de la radiación
gamma, donde la cuestión fundamental es determinar si se absorbe toda o parte de la energía de los
fotones en el volumen activo del detector.
Ahora bien, aún cuando en DETEFF se considera que tanto los electrones como los positrones
secundarios son absorbidos en el punto de su surgimiento y no se simula su transporte, en la última
versión del código se han introducido dos nuevos procedimientos para considerar dos vías por las
que estas partículas cargadas pueden no depositar toda su energía en el detector: el escape de
electrones a través de la superficie del cristal y el escape de la radiación de frenado que estas
partículas cargadas pueden producir. El no considerar estas pérdidas de energía conduce a una
sobreestimación sistemática de la eficiencia calculada en el pico de absorción total. Esta
sobreestimación se incrementa gradualmente con la energía de los fotones incidentes y con la
disminución de las dimensiones del detector, llegando a ser de varias unidades porcentuales para
energías cercanas a los 2.0 MeV y detectores de dimensiones estándar [Cornejo Díaz y Jurado
Vargas, 2008]. A continuación describiremos el procedimiento implementado para considerar el
escape de los electrones y en el punto 4.6.4.4.2 detallaremos el método implementado para el
seguimiento de la radiación de frenado.
116
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.6.4.4.1 Procedimiento para considerar el escape de electrones
Con ayuda del código de uso múltiple MCNP4C [Briesmeister, 2000] se han calculado, para cada
uno de los materiales de los detectores45: los alcances máximos de los electrones mono-energéticos
en el intervalo entre 0.5 MeV y 2.0 MeV, las curvas de transmisión de estos electrones, y las
fracciones de energía transmitida en función de la distancia. El alcance máximo de los electrones
para una energía inicial (E) se definió como el radio de la esfera que absorbe el 99% de los
electrones generados con energía E desde su centro, y lo denotamos como Rmax(E). La Figura 4.27
muestra el comportamiento de los alcances máximos con la energía inicial de los electrones. Puede
notarse que estos no son despreciables, en particular para energías iniciales superiores a 1.0 MeV.
Las curvas de transmisión de los electrones indican la probabilidad de que se produzca el escape
de estas partículas en función de su distancia a la superficie del cristal. Se construyeron para
diferentes energías de los electrones en el intervalo entre 0.5 MeV y 2.0 MeV, a partir de los
valores de transmisión obtenidos a diferentes distancias. Durante las simulaciones con MCNP4C
se consideró la emisión isotrópica de electrones mono-energéticos en el interior del material, para
tener en cuenta las fluctuaciones en la dirección de los electrones y el efecto de retrodispersión, y
se cuantificó la fracción de los electrones generados que transmitió energía más allá de la distancia
prefijada en una dirección determinada. Las curvas de transmisión obtenidas para las diferentes
energías iniciales de los electrones no difieren significativamente cuando las distancias se
normalizan con el alcance máximo correspondiente. La Figura 4.28 muestra, a modo de ejemplo,
la curva promedio de transmisión de electrones en Ge en función de la distancia normalizada con
el alcance máximo de los electrones46. La desviación estándar de las probabilidades medias de
transmisión en cada valor de alcance normalizado no superó el 1.0%. Las curvas de transmisión en
los otros materiales son muy similares. En un medio ideal, sin retrodispersión de los electrones, la
probabilidad de transmisión debería acercarse a 0.5 cuando la distancia a la superficie se acerca a
cero. Sin embargo, como se aprecia en la Figura 4.28, este valor es algo superior a 0.7.
45
No se ha considerado el Si porque este material se emplea más bien en la detección de la radiación
electromagnética de bajas energías, donde el efecto de escape de partículas cargadas secundarias no es
tan relevante.
46
Las curvas de transmisión en NaI y CsI son similares
117
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
0,35
Alcance máximo [cm]
0,30
0,25
NaI-MCNP
NaI-Ajuste
0,20
CsI-MCNP
CsI-Ajuste
0,15
Ge-MCNP
Ge-Ajuste
0,10
0,05
0,00
500
1000
1500
2000
Energía [keV]
Figura 4.27: Comportamiento del alcance máximo de los electrones en función de su energía
inicial para diferentes materiales. Las líneas corresponden a funciones analíticas (polinomios de
segundo orden) ajustadas a los valores discretos de Rmax. La desviación máxima entre los
valores teóricos y del ajuste no superó el 1%, con un coeficiente de correlación > 0.9999. Figura
45
Las fracciones de energía transmitida a diferentes distancias se dedujeron de forma similar a las
curvas de transmisión, cuantificándose en este caso el cociente de la energía media transmitida por
electrón generado o historia entre la fracción de las historias en las que se transmitió energía47. Al
igual que las curvas de transmisión, las curvas de fracciones de energía transmitida
correspondientes a diferentes valores de energía inicial de los electrones no difieren
significativamente
cuando
las
distancias
se
normalizan
con
los
alcances
máximos
correspondientes. En la Figura 4.29 mostramos, a modo de ejemplo, la curva promedio de
transmisión de energía en Ge, en función de la distancia normalizada.
Probabilidad de transmisión
p(R/Rmax)
1,00E+00
8,00E-01
6,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Alcance normalizado (R/Rmax)
Figura 4.28: Probabilidad normalizada de transmisión de electrones en Ge. La línea de puntos
representa un polinomio de segundo orden ajustado a los valores discretos de P(R/Rmax). La
desviación máxima entre los valores teóricos y del ajuste no superó el 3% para valores de R/Rmax
< 0.8, con un coeficiente de correlación > 0.9999. Figura 46
47
Nótese que la energía puede ser transportada por electrones producidos durante la interacción de los
electrones generados.
118
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Utilizando los datos anteriores, la simulación del escape de electrones a través de la superficie de
los detectores se realiza en DETEFF siguiendo los siguientes pasos:
a)
Para cada electrón secundario de energía inicial superior a 0.5 MeV, se determina el alcance
máximo (Rmax) y se calcula la distancia mínima entre el punto de su surgimiento y la
superficie del volumen activo del cristal (R),
b)
Con la distancia mínima normalizada se busca la probabilidad de escape P(R/Rmax) a partir
de las curvas de transmisión previamente obtenidas, como la mostrada en la Figura 4.28. A
continuación se genera un número aleatorio en el intervalo [0,1). Si éste es menor que
P(R/Rmax) se considera que el electrón escapa del detector, de lo contrario se asume que el
electrón se absorbe completamente en el volumen activo del cristal,
c)
Si el electrón escapa del volumen activo del cristal, se determina la energía “perdida”
multiplicando la energía inicial del electrón por el valor de la fracción de energía transmitida
f(R/Rax), según la curva de transmisión de energía correspondiente. Este valor es finalmente
restado a la energía absorbida en el volumen activo del detector.
8,00E-01
Fracción de energía
f(R/Rax)
MENÚ
6,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Alcance normalizado R/Rmax
Figura 4.29: Fracción de la energía transmitida por los electrones en Ge. La línea de puntos
representa un polinomio de segundo orden ajustado a los valores discretos de f(R/Rmax). La
desviación máxima entre los valores teóricos y del ajuste no superó el 2%, con un coeficiente de
correlación > 0.9999. Figura 47
Los resultados alcanzados con la aplicación del procedimiento se ejemplifican en la Figura 4.30,
que compara los resultados del código con los obtenidos con el programa MCNP4C, para un
detector de HPGe del tipo p y diferentes geometrías de medida. Como puede apreciarse, la
implementación del escape electrónico en DETEFF hace disminuir drásticamente las desviaciones
respecto al código MCNP4C en la zona de altas energías fotónicas (E > 1200 keV).
119
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Desviación Relativa
100*(Ed-Ec)/Ec
Desviación Relativa
100*(Ed-Ec)/Ec
B
5,00
4,00
4,00
3,00
3,00
2,00
2,00
1,00
1,00
S[%]
S[%]
A
5,00
0,00
0,00
-1,00
-1,00
-2,00
-2,00
-3,00
-3,00
-4,00
-4,00
-5,00
-5,00
0
200
400
600
0
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Energía [keV]
Energía [keV]
Figura 4.30: Desviaciones de los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total
calculados con DETEFF (Ed) con relación a los valores de eficiencia obtenidos con el código
MCNP4C (Ec) para un detector de HPGe tipo p y varias geometrías de las muestras: puntual
(rombos), cilíndrica (cuadrados) y Marinelli (triángulos). A: Sin procedimiento para la
corrección del escape de electrones; B: Con corrección al escape de electrones. Las
incertidumbres (2σ) en las desviaciones relativas entre ambos códigos no superaron el 1.0 %.
Figura 48
4.6.4.4.2 Procedimiento para el seguimiento de la radiación de frenado
Según comentamos en el punto 2.3.2, la radiación de frenado producida por los electrones
secundarios puede escapar del cristal, provocando la disminución de las cuentas en el pico de
absorción total. En correspondencia con ello, DETEFF simula la radiación de frenado que
producen los electrones secundarios con energía inicial superior a 500 keV, en base al algoritmo
propuesto en [Snyder, 1965]. Esta simulación parte de los espectros de frenado diferenciales en
energía, generados previamente con ayuda del código MCNP4C [Briesmeister, 2000] para
electrones monoenergéticos en los materiales NaI, CsI y Ge.
Durante las simulaciones con el
código MCNP4C se utilizó la biblioteca de electrones el03 [Adams, 2000], en la que las secciones
eficaces y los espectros de energía se obtienen a partir de las evaluaciones de Seltzer y Berger:
[Seltzer y Berger, 1985], [Seltzer y Berger, 1986], [Seltzer, 1988].
Para la confección de los espectros de frenado se consideraron todos los fotones de frenado de
energía superior a 50 keV que escaparon de una esfera de radio igual al alcance máximo de los
electrones48 generados desde el centro de dicha esfera. Al igual que en el punto 4.6.4.4.1, este
alcance máximo se definió como el radio de la esfera que absorbe el 99% de los electrones
generados en su centro. En la Figura 4.31 se muestra, a modo de ejemplo, el espectro diferencial
en energía obtenido para Ge y una energía inicial de los electrones igual a 1.5 MeV.
48
El alcance máximo de las partículas secundarias cargadas constituye una pequeña fracción de las
dimensiones del detector, por ejemplo: más del 99% de los electrones con energía inicial igual a 2 MeV es
absorbido en 0.22cm de Ge.
120
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
1,00E+00
Número de fotones por electrón
[MeV -1]
MENÚ
1,00E-01
1,00E-02
1,00E-03
1,00E-04
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Energía [MeV]
Figura 4.31: Espectro de la radiación de frenado obtenido en Ge para una energía inicial de los
electrones de 1.5 MeV Figura 49
Si denotamos el espectro de la Figura 4.31 como q ( E 0 , E ) versus E, entonces q ( E 0 , E ) ⋅ dE
representa el número medio de fotones con energía entre E y E + dE emitidos por un electrón de
energía igual a E0. El número medio de fotones de frenado emitidos por un electrón de energía
inicial E0 se puede calcular entonces con la expresión:
E0
m ( E0 ) =
∫0.05 q ( E , E ) ⋅ dE
(4-41)
0
El límite inferior de integración es en nuestro caso 0.05, pues sólo tomamos en consideración los
fotones cuya energía es superior a 0.05 MeV.
La Tabla 4.19 recoge el número medio de fotones de frenado por electrón, para los materiales de
los detectores49 y cada uno de los 16 valores de energía E0 simulados con el código MCNP4C.
49
En el Si no se realiza la simulación de la radiación de frenado, pues se asume que este tipo de material se
emplea fundamentalmente para la detección de fotones de energía inferior a 500 keV.
121
MENÚ
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Tabla 4.19: Número medio de fotones de frenado de energía superior a 50 keV, que escapan de
una esfera de radio igual al alcance máximo de los electrones, por cada electrón de energía E0
generado en el centro de la esfera.20
Energía inicial de los electrones
[MeV]
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
Número medio de fotones de frenado
NaI
CsI
Ge
4.49E-02
5.71E-02
6.96E-02
8.19E-02
9.38E-02
1.08E-01
1.22E-01
1.35E-01
1.50E-01
1.64E-01
1.78E-01
1.94E-01
2.07E-01
2.23E-01
2.40E-01
2.54E-01
5.21E-02
6.60E-02
7.98E-02
9.41E-02
1.09E-01
1.23E-01
1.38E-01
1.55E-01
1.69E-01
1.86E-01
2.03E-01
2.20E-01
2.37E-01
2.55E-01
2.71E-01
2.89E-01
3.55E-02
4.63E-02
5.74E-02
6.92E-02
8.19E-02
9.41E-02
1.07E-01
1.21E-01
1.33E-01
1.48E-01
1.62E-01
1.76E-01
1.90E-01
2.05E-01
2.20E-01
2.35E-01
Para facilitar la búsqueda del número medio de fotones de frenado, en función de la energía
cinética inicial E0 de los electrones, los valores discretos dados en la Tabla 4.19 se ajustaron con
polinomios de segundo orden. Las expresiones (4-42), (4-43) y (4-44) muestran las funciones que
se obtuvieron para NaI, CsI y Ge, respectivamente. Los valores ajustados difieren en menos del
1% de los valores tabulados y el momento r de Pearson entre estos valores resulta superior a
0.9999 (ver la Figura 4.32).
m ( E 0 ) = 0.0135 ⋅ E 02 + 0.1065 ⋅ E 0 − 0.0119
(4-42)
m ( E 0 ) = 0.0153 ⋅ E 02 + 0.1198 ⋅ E 0 − 0.0117
(4-43)
m ( E 0 ) = 0.0143 ⋅ E 02 + 0.0979 ⋅ E 0 − 0.0178
(4-44),
122
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEF
2,80E-01
Número medio de fotones de frenado
por electrón
MENÚ
2,30E-01
1,80E-01
Ge-MCNP
Ge-Ajuste
NaI-MCNP
NaI-Ajuste
1,30E-01
CsI-MCNP
CsI-Ajuste
8,00E-02
3,00E-02
0,5 0,6
0,7 0,8 0,9 1,0
1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8
1,9 2,0
Energía máxima de los electrones [MeV]
Figura 4.32: Ajustes del número medio de fotones de frenado por cada electrón de energía E0
para: NaI, CsI y Ge Figura 50
La función de densidad de probabilidad, o fracción de fotones de frenado emitidos con energía en
el intervalo (E, E + dE) puede escribirse como:
f ( E 0 , E ) ⋅ dE =
q ( E 0 , E ) ⋅ dE
(4-45)
m ( E0 )
Ya que no existen funciones analíticas para f ( E 0 , E ) , en DETEFF realizamos el muestreo con
valores discretos de la función de distribución:
E
i
∫ q ( E , E ) ⋅ dE
0
F ( E 0 , E i ) = 0.05
(4-46),
m ( E0 )
Donde: 0 = F ( E 0 , 0.05 ) ≤ F ( E 0 , E i ) ≤ F ( E 0 , E 0 ) = 1
Estos valores de las funciones de distribución de probabilidad para la emisión de fotones de
frenado se muestran en las Tablas D1, D2 y D3 del Apéndice D para NaI, CsI y Ge,
respectivamente.
123
MENÚ
SALIR
Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
Partiendo de las consideraciones anteriores, y siguiendo la secuencia propuesta por [Snyder 1965],
la simulación de la radiación de frenado se realiza como sigue:
a)
De los electrones creados durante los procesos de interacción de la radiación gamma, sólo
aquellos con energía inicial superior o igual a 500 keV son considerados para generar fotones
de frenado50.
b)
Para la energía inicial del electrón se obtiene el número medio “m” de fotones de frenado que
escapan de una esfera con radio igual al alcance máximo de los electrones. Para ello se
utilizan las funciones: (4-42), (4-43) ó (4-44), dependiendo del material del detector.
c)
Con el valor medio “m”, se muestrea el número “n” de fotones de frenado que se emiten
exactamente, asumiendo que esta variable se rige por la función de densidad de probabilidad
de Poisson51 (4-47) y siguiendo el procedimiento que comentamos en el punto 3.3.1 para el
muestreo de variables aleatorias discretas.
p(n) =
d)
e− m ⋅ m n
n!
(4-47),
Si n = 0 no se emite ningún fotón de frenado. Si n ≥ 1, se sigue cada fotón por separado. La
energía de estos fotones se muestrea a partir de las funciones de distribución calculadas con
los espectros obtenidos con el código MCNP4C (Tablas del Apéndice D). El muestreo se
lleva a cabo entonces mediante un procedimiento de doble interpolación lineal:
-
En primer lugar, para los dos valores de E0 más cercanos a la energía inicial del electrón
se determinan los valores de energía de frenado mediante la interpolación en
F ( E 0 , Ei ) con un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo [0,1).
-
Posteriormente, la energía del fotón de frenado se obtiene a partir de una segunda
interpolación lineal en E0 con la energía inicial del electrón.
e)
La dirección de los fotones de frenado se muestrea uniformemente en el ángulo sólido 4π sr,
debido a la continua variación de dirección que sufren los electrones secundarios al
interactuar con los átomos del medio.
50
Como se aprecia en la Tabla 4.19, para energías inferiores a 500 keV el número medio de fotones de
frenado a considerar es inferior a 0.05 por cada electrón originado en NaI o en Ge.
51
La probabilidad de emisión de los fotones de frenado por cada interacción de los electrones es pequeña.
124
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
Los fotones de frenado se siguen según el esquema de la Figura 4.2. Observando la Figura 4.33
resulta evidente la mejoría lograda en la exactitud de los valores de eficiencia calculados con el
código tras la introducción de este procedimiento para el seguimiento de la radiación de frenado,
en particular para energías de radiación gamma superiores a 1.5 MeV. Como puede apreciarse, las
desviaciones de DETEFF con relación a los valores experimentales u obtenidos con otros códigos
de simulación alcanzan el 5% (para energías de unos 2.0 MeV) si no se considera el efecto de la
radiación de frenado.
Desviación Relativa
100*(Ed-Ec)/Ec
Desviación Relativa
100*(Ed-Ec)/Ec
A
B
5,00
5,00
4,00
4,00
3,00
3,00
2,00
2,00
1,00
1,00
S[%]
S[%]
MENÚ
0,00
0,00
-1,00
-1,00
-2,00
-2,00
-3,00
-3,00
-4,00
-4,00
-5,00
-5,00
0
200 400
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Energía [keV]
Energía [keV]
Figura 4.33: Desviaciones de los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total
calculados con DETEFF (Ed) con relación a los valores de eficiencia obtenidos con el código
MCNP4C (Ec) para un detector de HPGe tipo p y varias geometrías de medida: puntual (rombos),
cilíndrica (cuadrados) y Marinelli (triángulos). A: Sin procedimiento para el seguimiento de la
radiación de frenado; B: Con seguimiento de la radiación de frenado. Las incertidumbres (2σ) en
las desviaciones relativas entre ambos códigos no superaron el 1.0 %. Figura 51
125
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
4.7 Salidas del código
El código DETEFF brinda cinco salidas fundamentales que describiremos a continuación:
Eficiencia intrínseca total: se calcula como la suma de los pesos estadísticos de los fotones que
interactúan con el volumen activo del detector, dividida por el número de fotones que inciden en el
detector.
Eficiencia intrínseca en el pico de absorción total: se calcula como el cociente entre la suma de
los pesos estadísticos de los fotones que dejan toda su energía en el volumen activo del detector y
el número de fotones incidentes en el detector.
Eficiencia absoluta total: se calcula como el cociente entre la suma de los pesos estadísticos de los
fotones que interactúan con el volumen activo del detector, y el número de fotones emitidos por la
fuente. A esta variable de salida no contribuyen los fotones cuya dispersión ocurre fuera del
volumen activo del detector, por lo que constituye la eficiencia “ideal” requerida durante la
transferencia de eficiencias utilizando el teorema de Moens [Moens et. al., 1981], según vimos en
el punto 2.4.3.
Eficiencia absoluta en el pico de absorción total: se calcula como el cociente entre la suma de los
pesos estadísticos de los fotones que depositan toda su energía en el volumen activo del detector, y
el número de fotones generados por la fuente. Este es el valor de eficiencia utilizado en las
estimaciones de actividad.
Fotofracción es el número de cuentas en el pico de absorción total dividido por el total de fotones
que interactúan en el volumen activo del detector.
Junto con cada valor calculado aparece la incertidumbre estocástica correspondiente en forma de
una desviación estándar, expresada en %. También se muestran: el número de fotones simulados,
la cantidad de números aleatorios generados, el tiempo de trabajo del CPU, y la figura de mérito
del proceso de simulación, que describimos en el punto 3.4.4 y que ejemplificaremos en el
apartado siguiente.
126
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
4.8 Incertidumbre estocástica
4.8.1 Estimación de la incertidumbre estocástica
La incertidumbre estocástica del proceso de simulación se calcula como la desviación estándar
relativa del valor de la eficiencia, partiendo de las bases teóricas que comentamos en el punto
3.4.4. Como vimos en el punto 4.2.4, el código divide el proceso de simulación en lotes o
“experimentos” independientes para calcular el valor medio de las eficiencias obtenidas en estos
“experimentos” y la desviación estándar relativa correspondiente, mediante la expresión (3-26).
4.8.2 Figura de Mérito
La figura de mérito (FDM) se calcula según la expresión (3-27). La Tabla 4.20 muestra a
continuación los valores de FDM obtenidos con DETEFF y con el código de uso múltiple MCNP
4C para algunas de las configuraciones típicas de medida con un detector de HPGe.
Tabla 4.20: Valores de la FDM [s-1] en los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción
total correspondientes a las simulaciones con los códigos MCNP4C y DETEFF, para un detector
HPGe tipo p y varias geometrías típicas de medida. 21
Energía
[keV]
40
60
100
160
500
1000
1500
2000
Fuente Puntual
MCNP4C
DETEFF
5.48E+01
4.37E+04
6.86E+02
1.17E+05
1.70E+03
2.32E+05
1.48E+03
6.43E+04
3.46E+02
1.55E+04
1.50E+02
1.01E+04
9.45E+01
8.46E+03
6.16E+01
5.85E+03
Fuente Cilíndrica
MCNP4C
DETEFF
8.13E+00
2.20E+04
1.18E+02
2.76E+04
2.71E+02
2.97E+04
2.08E+02
4.18E+04
6.43E+01
9.59E+03
3.47E+01
9.15E+03
2.39E+01
7.16E+03
1.67E+01
3.87E+03
Fuente Marinelli
MCNP4C
DETEFF
1.64E+01
2.54E+04
2.29E+02
3.67E+04
5.32E+02
5.00E+04
4.55E+02
1.61E+04
1.32E+02
1.37E+04
6.42E+01
7.43E+03
4.30E+01
4.82E+03
3.04E+01
4.49E+03
Como puede apreciarse en la Tabla, las FDM del código DETEFF son superiores a las del código
MCNP4C, aproximadamente en 2 órdenes de magnitud. Las diferencias entre las FDM son aún
mayores para energías de los fotones alrededor de 40 keV. Esto es consecuencia de la aplicación
en DETEFF de una de las técnicas de reducción de varianzas, comentadas en el punto 4.5.2, y que
considera la atenuación de los fotones en su camino hacia el volumen activo del detector, en lugar
de seguir las historias de cada fotón individualmente. Es evidente que los fotones de energías
inferiores a 60 keV tienen una mayor probabilidad de ser absorbidos antes de llegar al volumen
activo del detector, por lo que la técnica de reducción de varianzas utilizada es más eficiente en
este rango de energías.
127
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
La consecuencia práctica de las diferencias apreciadas entre las FDM de ambos códigos es que
para obtener iguales desviaciones estándar, el código DETEFF requiere mucho menos tiempo que
el código MCNP4C, es decir:
TDETEFF
(4-48)
FDM MCNP4C
≈
⋅ TMCNP − 4C
FDM DETEFF
A continuación resumiremos los métodos de reducción de varianza que utilizamos en el código
DETEFF.
4.8.3 Técnicas de reducción de varianza en el código DETEFF
En este punto resumiremos los métodos que utiliza el código DETEFF para incrementar la FDM,
es decir, para reducir la incertidumbre estocástica de las simulaciones sin incrementar el tiempo de
trabajo del CPU. Los fundamentos de estas técnicas fueron abordados en el punto 3.4.5, y la
implementación de algunas de ellas la hemos comentado a lo largo del presente capítulo.
4.8.3.1 Truncamiento geométrico
La historia del fotón termina cuando éste no incide en el volumen activo del detector, o cuando lo
abandona. Se considera que la probabilidad de que estos fotones regresen al volumen activo del
detector y produzcan un impulso en el pico de absorción total es despreciable. Por otro lado, como
vimos en el apartado 4.7, las eficiencias totales que calcula DETEFF no incluyen los fotones
dispersados fuera del volumen activo del detector. Este método permite ahorrar tiempo de trabajo
del CPU al no invertirlo en aquellos procesos cuya probabilidad es muy baja.
4.8.3.2 Truncamiento por energía crítica
La historia de cada fotón termina cuando su energía se hace inferior a 10 keV. Se considera que
estos fotones se absorben en el lugar donde se originan, pues su probabilidad de absorción es
considerablemente superior a la probabilidad de dispersión. Por ejemplo, la sección eficaz
macroscópica total correspondiente al efecto fotoeléctrico de fotones de 10 keV en Ge es 35.7
cm2.g-1, mientras que para la dispersión (inelástica + coherente) es de apenas 1.7 cm2.g-1. Además,
el recorrido libre medio de estos fotones es significativamente pequeño en los materiales de los
detectores considerados, siendo de apenas 52 μm en Ge. Esta técnica permite igualmente ahorrar
tiempo de CPU.
Como comentamos en el punto 4.6.4.1, el seguimiento de la radiación electromagnética
característica tras el efecto fotoeléctrico es importante para energías relativamente bajas de los
128
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Capítulo 4
Descripción del código DETEF
fotones incidentes. Debido a que en Ge la radiación X característica predominante (líneas Kα )
tiene energías inferiores a 10 keV, hemos incorporado un procedimiento específico para el
seguimiento de esta radiación característica. El procedimiento se activa cuando la energía de los
fotones incidentes es inferior a 100 keV, pues su interacción ocurre mayormente en las cercanías
de la superficie del cristal, con una probabilidad no despreciable para el escape de la radiación
característica, como puede apreciarse en las Figuras 4.22 a la 4.24.
En DETEFF se considera que los electrones secundarios son absorbidos en el punto donde se
produjeron, independientemente de su energía. No obstante, como comentamos en el punto
4.6.4.4.1, se establece un procedimiento de corrección simple y rápido para el posible escape de
aquellos electrones que surgen en las inmediaciones de la superficie del volumen activo del
detector y cuya energía cinética inicial es mayor que 500 keV. También, como vimos en el punto
4.6.4.4.2, el código incorpora un procedimiento relativamente rápido para el seguimiento de la
radiación de frenado producida por electrones cuya energía cinética inicial es igual o superior a
500 keV. Estos procedimientos se basan en los resultados de simulaciones previas realizadas con
el código MCNP4C, lo que permite un ahorro importante de tiempo de CPU durante las
simulaciones con el código DETEFF.
4.8.3.3 Estratificación
Como comentamos en el apartado 4.4, durante la generación de fotones en el interior de las fuentes
con geometría cilíndrica o rectangular se realiza el muestreo modificado del vector de dirección de
los fotones, siguiendo una distribución uniforme en el ángulo sólido 2π sr, en la dirección del
detector. En consecuencia, el peso estadístico de los fotones se reduce a la mitad, pero se logra un
mayor “aprovechamiento” de los fotones generados, con una disminución en la desviación
estándar de los valores de eficiencia.
4.8.3.4 Muestreo modificado con interacciones evitadas
Como vimos en el punto 4.5.2, DETEFF no simula los procesos que tienen lugar en los diferentes
medios fuera del volumen activo del detector. En lugar de ello, considera que todos los fotones
generados en la dirección del volumen activo del detector llegan a éste; pero con un peso
estadístico modificado para considerar la probabilidad de interacción en su camino hacia el
detector (Ver la ecuación 4-17). Esta técnica permite “aprovechar” cada uno de los fotones que se
generen en la dirección del detector, por muy pequeña que sea su contribución al pico de absorción
total, reduciéndose la desviación estándar de las eficiencias calculadas.
En este capítulo hemos descrito la implementación de los diferentes métodos de simulación Monte
Carlo en el código DETEFF, apoyándonos en los fundamentos teóricos tratados en el Capítulo 3.
129
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Capítulo 4
Descripción del código DETEFF
En el capítulo siguiente abordaremos los resultados de los estudios de verificación y validación
realizados para diferentes tipos de detectores y geometrías de medida implementadas en el código.
130
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CAPÍTULO 5
RESULTADOS DE VERIFICACIÓN Y
VALIDACIÓN DEL CÓDIGO DETEFF
5.1 Introducción
Existen pautas definidas para la gestión de la calidad y la mejora continua de un programa de
cálculo durante todo el ciclo de su vida [ANSI, 1987], [ISO 9000-3, 1997], [FDA, 2002]. La
verificación y la validación experimental son dos requisitos importantes para este fin, que se
apoyan en la adecuada documentación del código y se nutren tanto de los ejercicios concebidos
por sus creadores, como de la retroalimentación proporcionada por los usuarios.
La verificación del código se ha realizado de forma gradual y sistemática, en cada una de las
etapas de su desarrollo. La programación modular ha facilitado el chequeo de la correcta
utilización de las variables de entrada, el funcionamiento adecuado de las variables de salida, y las
pruebas independientes a cada procedimiento antes de su implementación, reduciéndose de esta
forma el riesgo de introducción de errores durante la incorporación de modificaciones y mejoras.
Como comentamos en el punto 4.2.7, el código contiene un sistema de ayuda para reducir el riesgo
de error por manejo incorrecto, y como medida de control adicional se chequea el formato y el
rango de los datos de entrada, mostrando los mensajes de error pertinentes y remitiendo al usuario
a la ventana correspondiente, antes de asignar los valores a las variables internas de cálculo.
Además de las medidas adoptadas durante la planificación, codificación e implementación de
DETEFF, sus diferentes versiones han sido verificadas mediante cálculos manuales, y la
comparación de sus resultados con los publicados u obtenidos por otros códigos validados. Por
otro lado, la validación de DETEFF se ha apoyado esencialmente en la comparación de sus
resultados con los obtenidos experimentalmente. En este capítulo presentamos los principales
resultados alcanzados en estos ejercicios de verificación y validación experimental. En el próximo
capítulo comentaremos algunos de los trabajos que se han realizado con el código, como parte de
la retroalimentación requerida para complementar su proceso continuo de validación y desarrollo.
131
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Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.2 Resultados de las comparaciones con otros
códigos
5.2.1 Comparaciones para detectores de NaI
La primera versión del código se verificó esencialmente mediante la comparación con los
resultados de las simulaciones realizadas por [Belluscio, et. al., 1974] y [Giannini, et. al., 1970]
para un detector de NaI desnudo de 3” x 3” (7.62 cm x 7.62 cm) y una fuente puntual a 10 cm de la
superficie del cristal. Los resultados fueron publicados en [Cornejo Díaz y Mann, 1996]. La Tabla
5.1 recoge los resultados de la comparación, realizada ahora con la versión más reciente del
código. Se aprecia una buena concordancia en el marco de las incertidumbres de los resultados.
Tabla 5.1: Resultados de los cálculos de eficiencia para un detector de NaI (3” x 3”) y una fuente
puntual a 10cm del cristal. Las incertidumbres corresponden a 1σ. 22
Energía
[MeV]
0.320
0.662
1.173
1.332
1.520
1.850
Eficiencia intrínseca en el fotopico
(1)
(2)
(3)
Eficiencia intrínseca total
(1)
(2)
0.641 ± 0.002
0.349 ± 0.001
0.210 ± 0.001
0.187 ± 0.001
0.167 ± 0.001
0.140 ± 0.001
0.762 ± 0.002
0.615 ± 0.002
0.520 ± 0.001
0.501 ± 0.002
0.482 ± 0.002
0.459 ± 0.003
0.65 ± 0.03
0.35 ± 0.02
0.21 ± 0.02
0.19 ± 0.02
0.16 ± 0.01
0.14 ± 0.01
0.634
0.340
0.209
0.187
0.167
0.139
0.76 ± 0.03
0.60 ± 0.03
0.52 ± 0.03
0.49 ± 0.03
0.48 ± 0.03
0.47 ± 0.03
Fotofracción
(1)
(2)
0.84 ±
0.57 ±
0.40 ±
0.37 ±
0.35 ±
0.30 ±
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
(1) DETEFF (Versión 4.2)
(2) [Belluscio, et. al., 1974]
(3) [Giannini, et. al., 1970]. Las desviaciones estándar no fueron publicadas.
0.85 ±
0.57 ±
0.42 ±
0.39 ±
0.33 ±
0.28 ±
0.04
0.04
0.03
0.03
0.03
0.03
Se ha realizado además la comparación con los resultados del código MCNP4C [Briesmeister,
2000] para un modelo de detector similar al NaI 802 de CANBERRA [CANBERRA, 2003], con
los datos que se resumen en la Tabla 5.2. Durante las simulaciones con el código MCNP se
utilizaron las bibliotecas de datos mcplib04 [White, 2002] y el03 [Adams, 2000] para el transporte
de fotones y electrones, respectivamente. Se empleó una energía de corte igual a 10 keV para
electrones y 1 keV para fotones. Las eficiencias absolutas en el pico de absorción total (EPAT)
fueron calculadas para valores discretos de energía entre 40 y 2000 keV, y para una muestra
cilíndrica de H2O, de 90 mm de diámetro y 40 mm de altura de llenado, ubicada a 5 mm del
detector. La Figura 5.1 ofrece la imagen del sistema simulado, obtenida con el código
VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002], a partir del archivo de entrada de datos del código
MCNP4C.
Tabla 5.2: Datos básicos del detector de NaI(Tl) considerado 23
Parámetro
Diámetro del cristal
Longitud del cristal
Espesor del reflector de Al2O3
Espesor de la cubierta de Al
Diámetro externo de la cubierta de Al
Valor (mm)
76.2
76.2
1.6
1.0
84.0
Nota: En DETEFF, la capa superior del reflector de Al2O3 se simuló mediante la opción “Filtro”.
Se añadió a la cubierta lateral de Al el espesor equivalente del reflector, para cada energía.
132
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Muestra
Cubierta
de Al
Reflector de
Al2O3
Cristal de NaI(Tl)
Figura 5.1: Imagen del detector NaI(Tl) y la muestra cilíndrica , según el archivo de entrada de
datos del código MCNP4C Figura 52
En la Figura 5.2 se muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C. El
número de fotones a generar se ajustó de forma que la incertidumbre estocástica asociada a cada
valor de eficiencia calculada con DETEFF fuera menor que 0.2%, e inferior al 0.5% para los
valores de eficiencia obtenidos con el código MCNP4C. Los tiempos de ejecución, con un
procesador Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz, fueron inferiores a 1 minuto con DETEFF y
de aproximadamente 15 minutos con MCNP.
10
8
6
Eficiencia (%)
MENÚ
4
2
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.2: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para
un detector de NaI(Tl) (3”x 3”) y una fuente cilíndrica de H2O, de 90 mm diámetro y 40 mm de
altura de llenado, colocada a 5 mm de la superficie del detector. Las líneas de puntos conectan los
valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 53
133
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
La Tabla 5.3 muestra las desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF
y con el código MCNP4C. Como se puede apreciar, existe un acuerdo muy satisfactorio entre los
valores de eficiencia calculados.
Tabla 5.3 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los
obtenidos con el código MCNP4C para un detector de NaI(Tl) de 3”x3” y una fuente cilíndrica a
0.5cm sobre el detector, para energías de los fotones entre 40 y 2000 keV. 24
Energía [keV]
40.00
45.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
200.00
300.00
Desviación [%]
0.06
0.10
0.20
0.34
0.44
0.52
0.44
0.81
0.69
0.56
Desviación media
Energía [keV]
500.00
700.00
1000.00
1200.00
1400.00
1500.00
1600.00
1800.00
1900.00
2000.00
Desviación [%]
1.15
0.87
0.29
-0.21
0.48
0.57
0.74
0.54
0.49
0.63
0.51
Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de todas las desviaciones
5.2.2 Comparación para un detector de CsI
Siguiendo un procedimiento similar al del punto 5.2.1, realizamos la comparación con los
resultados del código MCNP4C [Briesmeister, 2000] para un detector de CsI(Tl), con iguales
características que en la Tabla 5.2. Las bibliotecas de datos del código MCNP, la geometría de
medida, las energías de los fotones y la composición de la muestra, se tomaron iguales al ejercicio
de comparación para el NaI (Tl) descrito en el punto 5.2.1.
En la Figura 5.3 se muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C. El
número de fotones se ajustó para lograr incertidumbres estocásticas inferiores al 0.2% con
DETEFF e inferiores a 0.5% con MCNP4C. Los tiempos de ejecución fueron similares a los
indicados en el punto 5.2.1. Por otro lado, la Tabla 5.4 muestra las desviaciones relativas entre los
valores calculados con DETEFF y con el código MCNP4C. Se aprecia un acuerdo muy
satisfactorio entre los valores de eficiencia calculados, con un ligero incremento de las
desviaciones para energías inferiores a los 60 keV, probablemente dadas por diferencias en las
secciones eficaces de interacción utilizadas por ambos códigos.
134
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
10
8
6
Eficiencia (%)
MENÚ
4
2
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.3: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para
un detector de CsI(Tl) (3”x 3”) y una fuente cilíndrica de H2O, con 90 mm de diámetro y 40 mm
de altura de llenado, a 5 mm de la superficie del detector. Las líneas de puntos conectan los
valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 54
Tabla 5.4 Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los
obtenidos con el código MCNP4C para un detector de CsI(Tl) de 3”x3” y una fuente cilíndrica a
0.5cm sobre el detector, para energías de los fotones entre 40 y 2000 keV. 25
Energía [keV]
40.00
45.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
200.00
300.00
Desviación [%]
1.39
1.05
1.10
0.75
0.84
0.62
0.70
0.78
0.74
0.66
Desviación media
Energía [keV]
500.00
700.00
1000.00
1200.00
1400.00
1500.00
1600.00
1800.00
1900.00
2000.00
Desviación [%]
0.93
0.59
-0.23
0.06
-0.34
-0.55
0.00
-0.08
0.11
0.17
0.58
Nota: La última fila contiene el promedio de los valores absolutos de todas las desviaciones
135
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.2.3 Comparaciones para detectores de Ge
5.2.3.1 Modelo simplificado de detector
Con el objetivo de verificar los procedimientos físicos implementados en DETEFF para la
modelización de los detectores de Ge, se realizó una comparación detallada de sus resultados con
los proporcionados por los códigos de uso múltiple MCNP4C [Briesmeister, 2000] y Penélope
[Salvat, et. al., 2006]. Con el código MCNP se utilizaron las mismas energías de corte y
bibliotecas de datos que fueron empleadas en las comparaciones para NaI y CsI. Para las
simulaciones con PENELOPE se utilizó el programa PENCYL, que facilita la simulación del
transporte de fotones y electrones en estructuras cilíndricas de capas múltiples. La energía de corte
utilizada con este código fue de 1 keV, tanto para fotones, como para electrones. Durante el
estudio se utilizó el modelo de detector de HPGe (tipo p) que empleó el Comité Internacional de
Metrología de Radionúclidos (ICRM) en el recién concluido ejercicio de intercomparación de
códigos de Monte Carlo aplicados a la espectrometría de radiación gamma [Vidmar et. al. 2008a].
Las características del detector se muestran en la Tabla 5.5 y en la Figura 5.4. Como comentamos
en el punto 2.2.3, este tipo de detector demanda la simulación adecuada de un número de
parámetros superior al resto de los detectores simulados con DETEFF.
Tabla 5.5: Datos del detector de HPGe considerado en el ejercicio del ICRM 26
Parámetro
Diámetro del cristal
Longitud del cristal
Capa muerta (frontal y lateral)
Diámetro del Core
Profundidad del Core
Distancia desde el cristal a la cubierta de Al
Diámetro de la cubierta de Al
Longitud de la cubierta de Al
Espesor de la cubierta de Al
Valor (mm)
60
60
1
10
40
4
70
70
1
1
4
4
1
60
1
70
1
40
MENÚ
10
60
70
Figura 5.4: Modelo de detector de HPGe (ICRM). Las dimensiones están dadas en mm.
Figura 55
136
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Las eficiencias absolutas en el pico de absorción total fueron calculadas para valores discretos de
energía en el intervalo entre 40 keV y 2000 keV y para las siguientes geometrías de medida:
puntual (a la distancia de 5 mm del detector), cilíndrica (90 mm de diámetro y 40 mm de altura de
llenado, a la distancia de 5 mm del detector) y Marinelli con las dimensiones que se indican en la
Figura 5.5. Con el código Penélope se simularon sólo las dos primeras geometrías y algunas de las
energías, en el marco del ejercicio de intercomparación mencionado anteriormente. Para el
material de las muestras consideramos H2O, aunque con una densidad hipotética de 3 g.cm-3, para
realzar así la comparación en un caso de gran autoabsorción.
102
10
13
82
36
3
MENÚ
Figura 5.5: Geometría con fuente Marinelli (agua de 3.0 g.cm-3) a 3mm de la superficie exterior
del detector. Las dimensiones están indicadas en mm. Figura 56
Los valores de eficiencia calculados con DETEFF y MCNP4C se muestran en la Figura 5.6 para
las tres geometrías del estudio. El número de fotones a generar se ajustó de forma que la
incertidumbre estocástica asociada a cada valor de eficiencia fuera menor que 0.2% para la
calculada con DETEFF, e inferior al 0.5% para la obtenida con el código MCNP4C. Los tiempos
de ejecución, con un procesador Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz, fueron inferiores a 1
minuto con DETEFF y de aproximadamente 40 minutos con MCNP. Como puede deducirse de la
expresión (3-27), para alcanzar incertidumbres del orden del 0.2% con el código MCNP se
requerirían tiempos superiores a 250 minutos. Debemos destacar que la técnica de reducción de
varianzas utilizada con el código MCNP fue el corte por energía crítica, con un valor de 1 keV
para fotones y 10 keV para electrones.
137
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Puntual
10
-1
Marinelli
Eficiencia
Cilíndrica
10
-2
10
-3
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.6: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para
las tres geometrías de las fuentes. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el
código MCNP4C. Figura 57
La Tabla 5.6 muestra las desviaciones relativas entre los valores calculados con DETEFF y con el
código MCNP4C52, mientras que la Tabla 5.7 recoge las desviaciones relativas de DETEFF con
relación al código PENELOPE.
Como se puede apreciar, existe un acuerdo muy satisfactorio entre los valores de eficiencia
calculados para las tres geometrías. Debido a la elevada densidad de las muestras volumétricas y a
la correspondencia en los valores de eficiencia generados, puede concluirse que el procedimiento
no análogo utilizado en DETEFF para la corrección de la atenuación fotónica en las muestras es
adecuado.
En una segunda etapa de este ejercicio de verificación del código se realizó la comparación de sus
resultados con los obtenidos por los participantes en el referido ejercicio de intercomparación
internacional (ver la Tabla 5.8), quienes utilizaron los códigos: MCNPX, GEANT3, GEANT4,
PENELOPE, EGS4, GESPECOR y TRIPOLI-4 [Vidmar et. al. 2008a]. En la Tabla 5.9 se
52
Resultados similares, aunque con desviaciones superiores en ambos extremos del intervalo de energías
considerado, fueron obtenidos con la versión 4.1 de DETEFF [Cornejo Díaz y Jurado Vargas, 2008], que
no incluía aún el seguimiento de la radiación de frenado y algunas actualizaciones en las secciones
eficaces para bajas energías.
138
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
muestran las desviaciones de los valores de eficiencia absoluta en el pico de absorción total
obtenidos con DETEFF, con relación a las medianas de los valores de eficiencia reportados por el
universo de participantes en el ejercicio, para cada valor de energía [Vidmar et. al. 2008b]. Las
geometrías que se utilizaron en el ejercicio fueron la puntual y la cilíndrica descritas
anteriormente.
Tabla 5.6: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y con el
código MCNP4C para las diferentes geometrías de las muestras consideradas 27
Energía [keV]
40
45
60
80
100
120
140
160
300
500
700
1000
1200
1400
1500
1600
1800
1900
2000
Desviaciones
Medias
Puntual
-0.99
-1.11
-0.45
0.03
-0.05
-0.04
0.01
0.00
0.14
0.19
0.23
0.27
-0.10
0.03
0.02
0.07
0.58
0.61
0.85
Desviación [%]
Cilíndrica
-0.88
-0.73
-0.40
-0.09
-0.51
-0.10
0.13
0.40
-0.03
0.54
0.08
-0.48
-0.70
-0.75
-0.54
-0.65
-0.30
0.26
0.32
Marinelli
-0.81
-0.91
-0.87
-1.04
-0.90
-0.70
-0.44
-0.30
0.31
0.06
-0.48
0.16
-0.30
-0.85
-0.73
-0.67
-0.64
-0.27
0.69
0.30
0.42
0.59
Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones en cada una
de las geometrías estudiadas.
Tabla 5.7: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y con el
código PENELOPE para la muestra puntual y cilíndrica 28
Energía [keV]
45
60
120
500
2000
Desviaciones
Medias
Desviación [%]
Puntual
Cilíndrica
-0.05
0.05
0.30
-0.11
0.18
-0.25
0.30
-0.07
0.21
-0.33
0.21
0.16
Nota: Las desviaciones estándar de los valores de eficiencia calculados con PENELOPE fueron
inferiores al 0.30%. La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las
desviaciones en cada una de las geometrías estudiadas.
139
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Tabla 5.8: Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de simulación
Monte Carlo aplicados a la espectrometría de radiación gamma [Vidmar et. al. 2008a] 29
Institución
Instituto Jozef Stefan
Laboratorio Nacional Henri Becquerel
Universidad Técnica Nacional de Atenas
Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB)
Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen
Instituto Max-Planck de Física Nuclear
ENEA, INMRI
IPEN-CNEN
Preparatory Comission for the CTBTO
EC-JRC-IRMM
Universidad de Sevilla
Universidad de Extremadura
INFN, LNGS
Korea Research Institute of Standards and Science
CIEMAT
NIST
Physics Department, Bucharest University
País
Eslovenia
Francia
Grecia
Alemania
Austria
Alemania
Italia
Brasil
Austria
Bélgica
España
España
Italia
República de Corea
España
Estados Unidos
Rumania
Tabla 5.9: Comparación de los valores de EPAT obtenidos con DETEFF con las medianas de los
valores de EPAT reportados por los participantes en el ejercicio de intercomparación [Vidmar et.
Al. 2008b]. La columna denotada como S [%] recoge las desviaciones porcentuales de DETEFF.
30
E[keV]
45
60
120
500
2000
Fuente Puntual
MEDIANAS
DETEFF
1.102E-02
1.096E-02
6.226E-02
6.213E-02
1.945E-01
1.944E-01
7.238E-02
7.260E-02
2.251E-02
2.255E-02
S [%]
-0.54
-0.21
-0.05
0.30
0.19
Fuente Cilíndrica
MEDIANAS
DETEFF
1.306E-03
1.291E-03
7.472E-03
7.430E-03
2.526E-02
2.519E-02
1.377E-02
1.378E-02
5.738E-03
5.707E-03
S [%]
-1.16
-0.56
-0.28
0.06
-0.54
Nota: Las desviaciones estándar de los resultados de eficiencia no superan el 0.30%.
La Tabla 5.9 muestra un acuerdo muy satisfactorio de los resultados del código DETEFF con los
reportados por los participantes en el ejercicio. Las desviaciones obtenidas son incluso inferiores a
las reportadas entre los participantes, que llegaron a alcanzar el 10% para bajas energías. Las
razones de estas diferencias tienen explicación en algunos casos, como en GEANT3, donde las
secciones eficaces utilizadas por este código para bajas energías no coinciden con los valores
reportados en la bibliografía y donde la energía de corte prefijada de 10 keV impide el tratamiento
adecuado de la radiación de rayos X característica del Ge [Décombaz et. al., 1992]. En el resto de
los casos se están investigando las razones de las desviaciones encontradas [Vidmar et. al. 2008a].
140
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.2.3.2 Modelo de detector real
En [Dryak y Kovar, 2006], los autores comparan los resultados experimentales de EPAT con los
obtenidos mediante simulación por Monte Carlo, utilizando el código MCNP y un modelo
matemático muy preciso de un detector coaxial de HPGe GC 4018, tipo p, de la firma
CANBERRA, con un 40% de eficiencia relativa para 1.333 MeV. La caracterización del detector
se realizó aplicando diferentes técnicas no destructivas, como: la radiografía (con rayos X y
gamma) para deducir las dimensiones de las diferentes estructuras, la fluorescencia de rayos X
para estudiar la composición de los materiales del detector, y el empleo de haces colimados de baja
energía y diferentes ángulos de incidencia para determinar el espesor de la capa muerta y las
dimensiones exactas del volumen activo del detector.
Nuestro ejercicio de comparación se ha realizado, en esta ocasión, partiendo del archivo de entrada
de datos del código MCNP, con la modelización detallada del detector GC 4018 [Dryak, 2007]. La
Figura 5.7 muestra una imagen del detector con sus principales componentes y la Tabla 5.10
resume las principales características de interés para la simulación con el código DETEFF. La
longitud del cristal se ajustó para considerar el volumen de Ge que falta debido al corte de
protección en la base del cristal. Por otro lado, el volumen de los anillos del soporte del detector se
distribuyó de forma uniforme a lo largo del soporte lateral. Las eficiencias fueron calculadas para
valores discretos de energía, entre 39.91 keV y 1836.03 keV, y para las siguientes geometrías de
medida: puntual (a las distancias de 25cm, 10cm, 5cm y 1cm) y Marinelli de 500 ml, con las
dimensiones que se indican en la Figura 5.8 y paredes de polipropileno de densidad 0.884 g.cm-3.
Como material de llenado del recipiente Marinelli se consideró H2O.
Ventana de Al,
del soporte
Cubierta de Al,
del criostato
Capa muerta de Ge
Anillos de Al, del
soporte
Contacto de Al, en el
interior del core
Corte de protección
Aislante
Soporte de Al
Preamplificador
Figura 5.7: Imagen del detector HPGe CG 4018 simulado con el código MCNP4C, obtenida con
el sistema VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002]. Figura 58
141
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Tabla 5.10: Datos básicos del detector de HPGe modelo GC 4018 31
Parámetro
Diámetro del cristal
Longitud del cristal
Capa muerta (frontal y lateral)
Radio del redondeamiento de las esquinas superiores
Diámetro del Core
Profundidad del Core
Profundidad del corte de protección en la base
Diámetro del corte de protección
Distancia entre el cristal y la cubierta de Al
Diámetro externo de la cubierta de Al
Espesor de la cubierta de Al
Espesor de la ventana de Al en el soporte
Espesor del soporte de Al
Altura de los anillos del soporte
Grosor de los anillos del soporte
Valor (mm)
62.5
59
0.5325
1.81
10
42
2.06
27.43
5
8.25
1.5
0.6
1
7
4.32
120
90
63
15.9
2
15
3
MENÚ
Figura 5.8: Imagen obtenida con el sistema VISED8E_95 [Carter y Schwartz, 2002], indicando la
geometría Marinelli. Las dimensiones están dadas en mm. Figura 59
Los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C se muestran en las Figuras 5.9
y 5.10 para las geometrías de estudio. Como en los ejercicios anteriores, la incertidumbre
estocástica asociada a cada valor de eficiencia fue menor que 0.2% con DETEFF, e inferior al
0.5% con el código MCNP4C. Los tiempos de ejecución, con un procesador Intel Centrino Duo
T5600 2 x 1.83 GHz, fueron de aproximadamente 1 minuto con DETEFF y 30 minutos con
MCNP. Debe resaltarse que con el objetivo de reducir cualquier posibilidad de sesgo durante las
simulaciones con el código MCNP, la única técnica de reducción de varianzas utilizada fue el
corte por energía crítica, con iguales valores a los indicados en el punto 5.2.3.1.
142
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
-1
10
5 cm
10 cm
-2
Eficiencia
10
25 cm
-3
10
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.9: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos) para
las fuentes puntuales a 25 cm, 10 cm y 5 cm. Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos
con el código MCNP4C. Figura 60
Puntual a 1 cm
-1
10
Eficiencia
MENÚ
Marinelli
-2
10
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.10: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y con MCNP4C (triángulos)
para la fuente puntual a 1 cm y el recipiente Marinelli. Las líneas de puntos conectan los valores
obtenidos con el código MCNP4C. Figura 61
143
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
La Tabla 5.11 muestra las desviaciones relativas entre los valores calculados con DETEFF y con el
código MCNP4C. Se aprecia un acuerdo muy satisfactorio entre los valores de eficiencia
calculados, con un ligero incremento de las desviaciones para la energía de 39.91 keV. Estas
desviaciones pudieran deberse a diferencias en las secciones eficaces de interacción utilizadas por
ambos códigos. Es importante señalar que, como se mencionó en el punto 5.2.3.1, discrepancias
aún mayores para estas bajas energías se apreciaron durante la intercomparación detallada de los
códigos de simulación Monte Carlo más empleados en espectrometría de radiación gamma, que
fue organizada por el Comité Internacional de Metrología de Radionúclidos (ICRM) a finales del
año 2006 [Vidmar et. al. 2008a].
Tabla 5.11: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los
obtenidos con el código MCNP4C para un detector HPGe modelo GC 4018 de la firma
CANBERRA [Dryak 2007], y diferentes geometrías de medida. 32
Energía [keV]
39.91
59.54
88.04
121.78
122.06
165.85
244.70
344.28
514.00
604.64
661.65
778.91
795.84
834.84
898.02
964.01
1173.21
1332.47
1408.04
1836.03
Desviación Media
25 cm
2.32
0.35
0.34
0.33
0.55
0.75
0.47
0.53
0.22
0.68
0.68
1.05
0.63
0.70
0.92
0.35
0.44
0.78
0.54
1.23
0.69
Fuentes puntuales
10 cm
5 cm
2.51
1.64
0.24
-0.40
-0.21
0.69
0.33
0.31
0.50
0.43
0.06
0.41
0.15
0.43
0.15
0.52
0.21
0.70
0.73
0.68
0.82
0.72
0.71
0.93
0.90
0.88
0.94
1.16
0.99
0.86
0.89
0.75
1.01
1.27
1.03
1.34
1.01
1.34
1.13
1.86
0.72
0.87
1 cm
1.24
0.07
0.61
0.52
0.58
0.65
0.62
0.91
0.77
0.58
0.66
0.80
0.49
0.56
0.52
0.55
0.91
0.98
0.97
0.94
0.70
Recipiente
Marinelli
0.07
0.82
-0.20
-0.58
-0.67
-0.72
-0.46
-0.23
0.07
0.24
0.55
0.90
0.66
0.96
0.84
1.00
1.09
1.09
0.78
1.05
0.65
Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones en cada una
de las geometrías estudiadas.
144
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.2.4 Comparación para un detector de Si
Con el objetivo de verificar el código DETEFF para la simulación de detectores de Si, se realizó
la comparación con los resultados del código MCNP4C [Briesmeister, 2000] para un modelo de
detector similar al SL 80175 (80mm2) de la firma CANBERRA [CANBERRA, 2003]. La Figura
5.11 muestra la imagen del detector con sus principales componentes, cuyas especificaciones
aparecen en la Tabla 5.12.
Durante las simulaciones con MCNP se utilizaron las bibliotecas de datos mcplib04 [White, 2002]
y el03 [Adams, 2000] para el transporte de fotones y electrones, respectivamente. Como técnica de
reducción de varianzas se empleó el corte por energía crítica, con los valores utilizados en los
ejercicios anteriores. Las eficiencias absolutas en el pico de absorción total fueron calculadas para
valores discretos de energía entre 10 y 60 keV, y para una muestra plana de 12 mm de diámetro,
colocada a 5 mm de la ventana del detector.
Muestra
Capa muerta +
Contacto de Au
Ventana de Be
Si(Li)
Soporte +
Cubierta de Al
Figura 5.11: Imagen del detector Si(Li) SL 80175 (80mm2), obtenida con el sistema VISED8E_95
[Carter y Schwartz, 2002] a partir del archivo de entrada de datos de MCNP. Figura 62
Tabla 5.12: Datos básicos del detector de Si(Li) modelo SL 80175 33
Parámetro
Diámetro del cristal
Ancho del cristal
Capa muerta de Si
Espesor del contacto de Au
Espesor de la ventana de Be
Diámetro de la ventana de Be
Distancia entre el cristal y la ventana de Be
Diámetro externo de la cubierta de Al
Espesor de la cubierta de Al
Espesor del soporte de Al
Valor (mm)
10.1
5
1.0E-4
2.0E-5
0.025
10.1
2
13.1
1
3
Nota: En DETEFF, el contacto de Au se simuló con la opción “Filtro”.
145
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
En la Figura 5.12 se muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y con MCNP4C.
El número de fotones a generar se ajustó de forma que la incertidumbre estocástica asociada a cada
valor de eficiencia fuera menor que 0.2% para las simulaciones con ambos códigos. Los tiempos
de ejecución, con un procesador Intel Centrino Duo T5600 2 x 1.83 GHz, fueron aproximadamente
1 minuto con DETEFF y 5 minutos con MCNP. La Tabla 5.13 muestra las desviaciones relativas
entre los valores calculados con DETEFF y con el código MCNP4C. Se aprecia un acuerdo muy
satisfactorio entre ambos códigos.
7
6
5
Eficiencia (%)
MENÚ
4
3
2
1
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Energía [keV]
Figura 5.12: Valores de EPAT calculados con DETEFF (puntos) y MCNP4C (triángulos) para
una fuente plana de 12 mm de diámetro, a 5mm de la ventana de un detector de Si(Li) SL 80175
(80mm2) . Las líneas de puntos conectan los valores obtenidos con el código MCNP4C. Figura 63
Tabla 5.13: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los
obtenidos con el código MCNP4C, para un detector Si(Li) modelo SL 80175 y una fuente plana a
5 mm de la ventana de entrada del detector.34
Energía [keV]
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
Desviación [%]
0.73
1.15
1.21
0.89
0.69
0.34
0.27
0.25
0.25
0.13
-0.95
-0.02
-0.04
Desviación media
Energía [keV]
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
Desviación [%]
-0.25
-0.01
-0.06
1.15
0.87
0.29
-0.21
0.48
0.57
0.74
0.54
0.49
0.63
0.32
Nota: La última fila muestra el promedio de los valores absolutos de las desviaciones
146
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.3 Resultados de los ejercicios de validación
experimental
5.3.1 Estudio del Instituto de Metrología de la República Checa
En este punto mostramos los resultados de la comparación de las eficiencias calculadas con el
código DETEFF y las obtenidas experimentalmente en [Dryak y Kovar, 2006]. Como comentamos
en el punto 5.2.3.2, estos autores realizaron una caracterización exhaustiva de un detector coaxial
de HPGe GC 4018, tipo p, de la firma CANBERRA, y proporcionaron tanto los datos del detector
(Ver la Figura 5.7 y la Tabla 5.10) como los resultados experimentales de EPAT para una fuente
puntual a 25cm de distancia. Las simulaciones con el código DETEFF para esta distancia se
realizaron según se indicó en el punto 5.2.3.2. La Tabla 5.14 muestra los valores de eficiencia
experimentales (EPATe) y los calculados con DETEFF (EPATd), así como las desviaciones
relativas (S[%]) entre estos para cada una de las energías simuladas. En general se aprecia un
acuerdo muy aceptable, considerando las incertidumbres asociadas a las desviaciones.
Tabla 5.14: Valores de EPAT experimentales [Dryak y Kovar, 2006] y calculados, para una
fuente puntual a 25cm de un detector de HPGe, modelo GC 4018, de la firma CANBERRA 35
Radionúclido
152
Eu
Am
109
Cd
152
Eu
57
Co
139
Ce
152
Eu
152
Eu
85
Sr
134
Cs
137
Cs
152
Eu
134
Cs
54
Mn
88
Y
152
Eu
60
Co
60
Co
152
Eu
88
Y
241
Energía
[keV]
39.91
59.54
88.04
121.78
122.06
165.85
244.70
344.28
514.00
604.64
661.65
778.91
795.84
834.84
898.02
964.01
1173.21
1332.47
1408.04
1836.03
EPATe
Ue [%]
EPATd
Ud [%]
S[%]
4.618E-04
1.715E-03
2.470E-03
2.609E-03
2.616E-03
2.447E-03
1.977E-03
1.535E-03
1.108E-03
9.832E-04
9.104E-04
8.203E-04
8.005E-04
7.725E-04
7.376E-04
6.961E-04
6.022E-04
5.462E-04
5.231E-04
4.210E-04
0.77
0.58
0.55
0.74
0.83
0.91
0.75
0.73
0.81
0.51
0.84
0.72
0.59
0.51
1.06
0.72
0.60
0.60
0.76
1.01
4.599E-04
1.709E-03
2.497E-03
2.658E-03
2.664E-03
2.510E-03
2.025E-03
1.565E-03
1.132E-03
1.002E-03
9.351E-04
8.298E-04
8.132E-04
7.854E-04
7.452E-04
7.040E-04
6.097E-04
5.551E-04
5.304E-04
4.304E-04
0.16
0.20
0.18
0.17
0.16
0.19
0.12
0.15
0.20
0.12
0.10
0.11
0.13
0.16
0.24
0.26
0.10
0.07
0.15
0.16
-0.40 ± 1.57
-0.34 ± 1.22
1.09 ± 1.17
1.89 ± 1.55
1.85 ± 1.72
2.57 ± 1.91
2.42 ± 1.56
1.93 ± 1.52
2.17 ± 1.70
1.91 ± 1.07
2.71 ± 1.74
1.16 ± 1.47
1.59 ± 1.23
1.67 ± 1.09
1.03 ± 2.20
1.13 ± 1.55
1.25 ± 1.23
1.63 ± 1.23
1.39 ± 1.57
2.23 ± 2.09
1.62
Desviación Media
Nota: Ue y Ud denotan la incertidumbre (1σ) de EPATe y EPATd, respectivamente. S denota la
desviación relativa de los valores de EPATd respecto a los experimentales, con una incertidumbre
correspondiente a 2σ. La última fila de la tabla muestra el promedio de los valores absolutos de
las desviaciones.
147
MENÚ
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Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.3.2 Ejercicio de intercomparación EUROMET 428
En el ejercicio EUROMET 428, dedicado a la intercomparación de códigos de cálculo de
eficiencias en sistemas de espectrometría de radiación gamma [Lépy, et. al., 2000], [Lépy et. al.,
2001], los organizadores proporcionaron las características del detector aportadas por el fabricante,
así como los resultados experimentales de EPAT para una geometría de referencia y valores
discretos de energía, en el rango de 60 keV a 2000 keV. Partiendo de esa información, los
participantes (Ver la Tabla 5.15) debían calcular la EPAT para fuentes puntuales a diferentes
distancias y para fuentes cilíndricas con diferente composición y densidad.
Este estudio de validación de DETEFF consistió en la realización del ejercicio, a posteriori, pero
utilizando sólo los datos iniciales, tal como lo hicieron los participantes. En nuestro caso,
primeramente realizamos un ajuste preliminar de los parámetros del detector, partiendo de los
resultados experimentales proporcionados para la geometría de referencia, y posteriormente, con
los parámetros ajustados se calcularon los valores de EPAT para el resto de las geometrías,
aplicando la transferencia de eficiencias con los valores de EPAT dados para la fuente de
referencia. Anteriormente ya habíamos realizado un estudio similar con la versión 3.0 de DETEFF
[Jurado Vargas et. al., 2003].
Tabla 5.15: Participantes en el ejercicio internacional de comparación de códigos de
transferencia de eficiencia en espectrometría de radiación gamma, EUROMET 428 [Lépy et. al.,
2001] 36
Institución
Laboratorio Nacional Henri Becquerel
Institute for Reference Materials and Measurements
Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB)
Canberra
Centro de Estudios Aplicados al Desarrollo Nuclear
Instituto de Radiofísica Aplicada
University of Gent, Laboratory of Analytical Chemistry
BEV, Gruppe Eichwesen / Metrological Service
Instituto Superior de Ciencias y Tecnología Nucleares
STUK, Radiation and Nuclear Safety Authority
Josef Stefan Institute
Czech Metrological Institute
Instituto Max-Planck de Física Nuclear
SCK•CEN Nuclear Measurements Service
Physics Department, Bucharest University
Norwegian Radiation Protection Authority
NRG-RE
148
País
Francia
Bélgica
Alemania
Estados Unidos
Cuba
Suiza
Bélgica
Austria
Cuba
Finlandia
Eslovenia
República Checa
Alemania
Bélgica
Rumania
Noruega
Holanda
MENÚ
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Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
El detector utilizado en este ejercicio fue de HPGe (tipo p), modelo EGPC 28-R, con una
eficiencia relativa del 28% para la línea de 1.332 MeV del
60
Co. La geometría de referencia
consistió en una fuente puntual ubicada a 10cm del detector.
La Tabla 5.16 resume las
características del detector, incluyendo los resultados del ajuste realizado con el código DETEFF a
partir de los datos experimentales de EPAT para la geometría de referencia (ver la Tabla 5.17).
Tabla 5.16: Características del detector HPGe dadas por el fabricante y tras su ajuste
considerando los valores experimentales de EPAT dados para una fuente puntual a 10cm. 37
Parámetros
Iniciales [mm]
Ajustados [mm]
Diámetro externo del cristal de Ge
Longitud del cristal de Ge
Espesor de la capa muerta frontal de Ge
Espesor de la capa muerta lateral de Ge
Diámetro del core
Profundidad del core
Distancia entre el cristal de Ge y la cubierta de Al
Espesor del aluminio de la cubierta
Diámetro de la cubierta de Al
Longitud de la cubierta de Al
55
54
1
1
12
20
4
0.7
80
135
53.2
54
0.896
1
10
20
4
0.7
80
135
Tabla 5.17: Resultados experimentales de EPAT para la fuente puntual a 10 cm del detector 38
Energía
Energía
EPATe
Ue [%]
EPATe
Ue [%]
[keV]
[keV]
60
5.140E-03
1.70
700
2.690E-03
0.60
80
8.150E-03
1.40
1000
1.990E-03
0.50
100
9.570E-03
1.10
1200
1.710E-03
0.50
150
9.460E-03
0.80
1500
1.420E-03
0.60
200
8.070E-03
1.00
1800
1.210E-03
0.70
250
6.800E-03
1.00
2000
1.100E-03
1.20
500
3.630E-03
0.60
Nota: Ue denota la incertidumbre de los valores de EPATe (1σ)
Con los parámetros ya ajustados para el detector, se realizó la transferencia de eficiencias para el
resto de las geometrías de interés ( εi ), a partir de la conocida expresión:
⎛ εc ⎞
εi = ε r ⋅ ⎜ ic ⎟
⎝ εr ⎠
donde:
(5-1),
εic y ε cr denotan las EPAT calculadas para la geometría de interés y de referencia,
respectivamente y ε r denota la EPAT determinada experimentalmente
para la fuente de
53
referencia .
53
Todos los valores de eficiencia en la expresión (5-1) están dados para una energía determinada.
149
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
De esta forma, los cálculos fueron realizados para fuentes puntuales a 2cm, 5cm y 20cm del
detector, y para fuentes cilíndricas con las siguientes matrices54: HCL + H2O ( ρ = 1.016 g.cm-3), y
SiO2 (ρ = 0.25 g.cm-3). Los datos de las geometrías cilíndricas se recogen en la Tabla 5.18.
Tabla 5.18: Datos de las geometrías cilíndricas utilizadas en el ejercicio EUROMET 428 39
Parámetro
Valor
[mm]
Diámetro activo
51
Altura de llenado
45
Espesor de las paredes
1
Distancia al detector
1.7
Nota: Las paredes son de Poliestireno: H (0.077421), C (0.922579), ρ = 1.06 g.cm-3
Las figuras 5.13 y 5.14 muestran los valores de eficiencia calculados con DETEFF y determinados
experimentalmente para las fuentes puntuales y cilíndricas, respectivamente. Por otro lado, la
Tabla 5.19 recoge las desviaciones relativas de los valores de eficiencia calculados con DETEFF,
con respecto a los valores de eficiencia determinados experimentalmente para las geometrías de
interés.
-1
10
2 cm
5 cm
Eficiencia
-2
10
20 cm
-3
10
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.13: Valores de EPAT calculados (puntos) y determinados experimentalmente
(triángulos) para las fuentes puntuales a 20 cm, 5 cm y 2 cm. Las líneas de puntos conectan los
valores experimentales. Figura 64
54
El ejercicio incluyó una tercera matriz, de arena + resina, cuya composición no se pudo conocer con la
exactitud requerida.
150
SALIR
Capítulo 5
10
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
-1
SiO2
HCl+H2O
Eficiencia
MENÚ
10
-2
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.14: Valores de EPAT calculados (puntos) y determinados experimentalmente
(triángulos) para las fuentes cilíndricas. Las líneas de puntos conectan los valores experimentales.
Figura 65
Tabla 5.19: Desviaciones relativas, dadas en %, entre los valores de EPAT calculados con
DETEFF y los obtenidos experimentalmente en el ejercicio EUROMET 428 para las geometrías
puntuales y cilíndricas 40
Energía [keV]
60
80
100
150
200
250
500
700
1000
1200
1500
1800
2000
Desviación
absoluta media
2cm
Fuentes puntuales
5cm
20cm
Fuentes cilíndricas
HCL + H2O
SíO2
0.66 ± 4.84
2.27 ± 3.92
2.84 ± 3.21
2.80 ± 2.35
1.84 ± 2.88
1.41 ± 2.88
0.00 ± 1.74
-0.58 ± 1.74
-0.30 ± 1.53
-0.52 ± 1.46
-0.40 ± 1.63
-1.41 ± 2.03
-2.67 ± 3.19
1.91 ± 5.05
1.71 ± 3.90
1.65 ± 3.17
0.91 ± 2.17
-0.02 ± 2.84
-0.18 ± 2.85
-0.38 ± 1.73
-0.43 ± 1.73
-0.64 ± 1.52
-1.40 ± 1.47
-1.20 ± 1.64
-1.49 ± 2.04
-1.18 ± 3.28
-0.37 ± 5.24
-0.58 ± 3.56
-0.32 ± 2.98
-0.31 ± 2.28
-0.29 ± 2.44
-0.03 ± 2.46
0.88 ± 1.76
1.01 ± 1.62
0.46 ± 1.68
-0.23 ± 1.48
0.17 ± 1.63
0.60 ± 2.25
0.89 ± 3.33
-0.94 ± 4.24
-0.92 ± 3.79
0.79 ± 3.15
1.71 ± 2.78
0.67 ± 3.00
0.11 ± 2.99
0.44 ± 2.55
1.10 ± 2.55
1.45 ± 2.34
1.47 ± 2.32
2.10 ± 2.42
3.19 ± 2.61
3.96 ± 3.56
-2.39 ± 4.18
-0.76 ± 3.80
-0.42 ± 3.25
-0.85 ± 2.71
-1.71 ± 2.93
-1.48 ± 2.94
-0.70 ± 2.52
0.00 ± 2.53
0.19 ± 2.49
0.11 ± 2.45
0.99 ± 2.57
1.23 ± 2.87
1.30 ± 3.60
1.31
1.17
0.53
1.64
0.81
Nota: Las incertidumbres se corresponden con dos desviaciones estándar. La última fila contiene
las medias aritméticas de los valores absolutos de las desviaciones para cada geometría.
151
MENÚ
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Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Se aprecia un acuerdo muy satisfactorio entre los valores de eficiencia calculados con DETEFF y
los obtenidos experimentalmente, teniendo en cuenta las incertidumbres correspondientes. Este
acuerdo satisfactorio se pone más de relieve apreciando la Figura 5.15. En esta figura comparamos
las desviaciones obtenidas con el código DETEFF en el contexto de las desviaciones reportadas en
[Lépy, et. al., 2000], para los participantes que aplicaron la simulación Monte Carlo con
transferencia de eficiencias y un ajuste preliminar de los parámetros del detector. Este grupo de
participantes (C1,…,C5) logró desviaciones inferiores a las obtenidas por los que utilizaron
métodos semiempíricos o de simulación Monte Carlo sin transferencia de eficiencias. Debemos
resaltar que un ajuste más preciso de los parámetros del detector, disponiendo de un número
superior de geometrías de referencia, hubiera permitido a los participantes que aplicaron el método
Monte Carlo, obtener desviaciones aún inferiores.
Desviación absoluta media
(%)
6,00
C1
5,00
C2
C3
4,00
C4
3,00
C5
DETEFF
2,00
1,00
2
H
CL
+
Si
O
H
2O
cm
20
nt
ua
l
Pu
ua
l
Pu
nt
Pu
nt
ua
l
2c
5c
m
m
0,00
Figura 5.15: Valores medios de las desviaciones absolutas para cada geometría del estudio
EUROMET 428, obtenidas con el código DETEFF y por los participantes que aplicaron la
simulación Monte Carlo con transferencia de eficiencias. Figura 66
152
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
5.3.3 Estudios experimentales con un detector HPGe
En estos estudios de validación realizamos la comparación de los valores de eficiencia calculados
con el programa DETEFF con los obtenidos experimentalmente para diferentes geometrías de
medida: puntual, disco (filtro de celulosa), cilíndrica (recipiente petri doble) y recipiente Marinelli.
Las medidas se realizaron con un detector de HPGe del tipo p y modelo 7229P-7500-2020, de la
firma CANBERRA, con una eficiencia relativa del 20% y una resolución de 2.0 keV (FWHM) en
1332 keV.
Las fuentes se prepararon a partir de una solución patrón suministrada por el CIEMAT55, con el
contenido que se indica en la Tabla 5.20, y siguiendo los pasos que se indican a continuación:
- La “fuente puntual” se obtuvo de forma gradual, pipeteando alícuotas de 10 μL sobre un soporte
metálico fino, y secando con lámpara de luz infrarroja hasta depositar un volumen total de 110
μL en un área circular de diámetro inferior a 5 mm.
- El filtro se preparó depositando 15 gotas, de 10 μL cada una, sobre un papel de filtro de celulosa,
cubriéndose de forma uniforme una superficie circular de radio aproximadamente igual a 2.3 cm.
El filtro se depositó luego en un recipiente Petri, con paredes de poliestireno (ρ = 1.06 g.cm-3) de
1 mm de espesor y un reborde inferior de 0.5 mm.
- La fuente cilíndrica se preparó en un recipiente tipo Petri doble, de 88.5 mm de diámetro interior
y 16 mm de altura de llenado, añadiendo agua desionizada hasta la mitad de la altura máxima,
agregando 100 μL de la solución de referencia y completando luego el volumen con agua
desionizada, hasta una altura de llenado de 16mm. El recipiente se cerró herméticamente,
sellándolo con cinta aislante. Las paredes del recipiente Petri doble son de poliestireno (ρ = 1.06
g.cm-3), la pared del fondo es de 1.5 mm de espesor, con un reborde inferior de 0.5 mm.
- La fuente Marinelli, de 250 ml, se preparó añadiendo agua desionizada hasta cubrir la base del
hueco, adicionando 100 μl de la solución de referencia y completando luego el volumen con
agua desionizada. El recipiente se cerró herméticamente, sellándolo con cinta aislante. Las
dimensiones del recipiente Marinelli se indican en la Figura 5.16.
55
Centro de Investigaciones Energéticas, Medio Ambientales y Tecnológicas. Madrid, España.
153
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
108
37.8
58.5
80
81.5
101
Figura 5.16: Dimensiones de la muestra en la geometría Marinelli. Las paredes son de
poliestireno (1.06 g.cm-3) de 1 mm de espesor. Figura 67
Tabla 5.20: Descripción del contenido de la solución patrón utilizada en los experimentos 41
Radionucleido
Am-241
Cd-109
Co-57
Ce-139
Sn-113
Sr-85
Cs-137
Y-88
Co-60
Energías
[keV]
59.54
88.03
122.06
136.47
165.86
391.70
514.01
661.66
898.04
1836.06
1173.24
1332.50
Actividad [kBq.g-1]
1.81
22.60
0.764
0.764
1.060
2.160
2.03
1.880
5.540
5.540
4.230
4.230
Incertidumbre
[kBq.g-1]
0.01
0.10
0.006
0.006
0.005
0.015
0.01
0.015
0.025
0.025
0.035
0.035
Nota: La densidad calculada para la disolución es 1.0315g.cm-3. La fecha de referencia para la
actividad es 01/04/2007
Las medidas se realizaron para la fuente puntual a 5 cm y a 20 cm del detector y para las fuentes
extensas (filtro, Petri y Marinelli) colocadas sobre el detector. El tiempo muerto nunca sobrepasó
el 1% y las correcciones correspondientes se estimaron a partir del tiempo vivo del ADC56. Las
correcciones a las sumas por coincidencia se realizaron para los picos del 60Co y el 88Y, aplicando
las ecuaciones (2-16) en el caso de la fuente puntual, o calculando el coeficiente de corrección
dado por la expresión (2-17) para las fuentes extensas. La Tabla 5.21 recoge los coeficientes de
corrección a las sumas por coincidencias, calculados para cada una de las geometrías.
56
Convertidor Analógico – Digital
154
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Tabla 5.21: Factores de corrección al efecto de sumas por coincidencias para las geometrías del
estudio. 42
Radionúclido
88
Y
60
Co
Energía
[keV]
898.04
1836.06
1173.24
1332.50
Geometrías
Puntual
(5cm)
1.016
1.018
1.016
1.017
Filtro
1.059
1.074
1.089
1.101
Petri
doble
1.021
1.043
1.036
1.042
Marinelli
1.028
1.037
1.053
1.061
Para la determinación de la eficiencia experimental, el área neta de los picos correspondientes a las
emisiones de interés fue determinada mediante el código de análisis de espectros Gamma Vision
[ORTEC]. Las probabilidades de emisión de los fotones se tomaron de [Firestone. 2003].
Debido a la falta de datos precisos sobre las dimensiones características del detector, éstas se
ajustaron mediante medidas con la fuente puntual a diferentes distancias, comparando los valores
de eficiencia experimentales con los obtenidos mediante las simulaciones con el código DETEFF.
Para tal fin se siguió el procedimiento indicado en [Hurtado et. al., 2004] y los ajustes se resumen
en la Tabla 5.22. En las figuras 5.17 y 5.18 se representan los valores de EPAT calculados y
obtenidos experimentalmente para las cinco geometrías de medida. Por otro lado, la Tabla 5.23
recoge las desviaciones relativas entre los valores de eficiencia calculados con DETEFF y los
determinados experimentalmente. Se aprecia un acuerdo muy satisfactorio, asumiendo las
incertidumbres correspondientes.
Tabla 5.22: Dimensiones de los parámetros del detector, según se especifican por el fabricante
(nominales) y tras el proceso de ajuste. 43
Parámetros del detector
Diámetro del cristal de Ge
Longitud del cristal de Ge
Espesor de la capa muerta frontal de Ge
Espesor de la capa muerta lateral de Ge
Distancia entre el cristal y el criostato
Diámetro del Core interno
Longitud del Core interno
Espesor del soporte lateral de Al
Espesor del soporte frontal de Al
Espesor de la cubierta frontal del criostato
Espesor de la cubierta lateral del criostato
Diámetro exterior del criostato
155
Nominales (mm)
48.0
57.0
1.00
1.00
5.5
12.0
45.0
1.0
0.5
0.5
1.0
75.0
Ajustados (mm)
47.4
56.5
1.03
1.40
5.8
13.5
46.5
1.0
0.5
0.5
1.0
75.0
MENÚ
SALIR
Eficiencia
Capítulo 5
10
-1
10
-2
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Filtro
Petri Doble
Puntual 5cm
10
-3
100
1000
Energía [keV]
Eficiencia
Figura 5.17: Valores de eficiencia calculados con DETEFF (puntos) y obtenidos
experimentalmente (triángulos) para las geometrías: filtro, Petri doble y puntual a 5 cm. Las
líneas discontinuas unen los valores experimentales. Figura 68
10
-2
10
-3
Marinelli
Puntual 20cm
10
-4
100
1000
Energía [keV]
Figura 5.18: Valores de eficiencia calculados con DETEFF (puntos) y obtenidos
experimentalmente (triángulos) para las geometrías: Marinelli y puntual a 20 cm. Las líneas
discontinuas unen los valores experimentales. Figura 69
156
MENÚ
SALIR
Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
Tabla 5.23: Desviaciones relativas entre los valores de EPAT calculados con DETEFF y los
obtenidos experimentalmente. 44
Desviación (%)
Energía [keV]
59.54
88.03
122.06
165.86
391.70
514.01
661.66
898.04
1173.50
1332.50
1836.06
Desviación Media
Puntual
(5 cm)
2.89 ± 5.90
-1.43 ± 3.66
2.10 ± 2.59
-0.12 ± 2.44
-2.32 ± 2.33
-1.73 ± 3.24
2.30 ± 2.82
-2.58 ± 2.15
-2.33 ± 2.26
0.36 ± 2.30
-1.99 ± 2.12
1.83
Puntual
(20cm)
0.90 ± 3.99
0.37 ± 3.90
0.49 ± 3.21
-0.32 ± 3.13
-1.39 ± 2.80
-2.17 ± 3.39
0.72 ± 2.88
-0.63 ± 2.28
-1.40 ± 2.18
-2.75 ± 2.24
-2.16 ± 1.98
1.21
Filtro
2.45 ± 2.62
2.57 ± 3.43
1.66 ± 1.52
1.46 ± 1.28
-1.86 ± 1.61
0.28 ± 2.42
-0.20 ± 1.80
1.91 ± 3.08
0.49 ± 2.39
-1.27 ± 2.37
-1.70 ± 2.50
1.44
Petri
Doble
-1.89 ± 5.22
-0.39 ± 3.65
1.66 ± 2.00
0.40 ± 1.68
-2.10 ± 2.02
1.52 ± 2.92
1.05 ± 2.10
1.50 ± 3.29
0.73 ± 2.64
-2.01 ± 2.54
-1.07 ± 2.83
1.30
Marinelli
-3.37 ± 3.60
2.02 ± 3.60
2.18 ± 1.87
2.15 ± 1.77
-0.05 ± 1.69
1.14 ± 2.49
1.91 ± 1.91
2.59 ± 4.45
0.61 ± 4.77
0.25 ± 4.63
-1.10 ± 4.04
1.58
Nota: Las incertidumbres corresponden a dos desviaciones estándar. La última fila muestra el
promedio de los valores absolutos de las desviaciones para cada una de las geometrías.
En el siguiente capítulo comentaremos algunas de las aplicaciones más importantes del código
DETEFF, que han servido, en gran medida, como elementos de validación adicional del programa.
157
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Capítulo 5
Resultados de verificación y validación del código DETEFF
158
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CAPÍTULO 6
APLICACIONES DEL CÓDIGO DETEFF
6.1 Introducción
La distribución del código, desde sus primeras versiones, forma parte de las acciones concebidas
para impulsar su desarrollo. Laboratorios de diferentes regiones del Mundo han solicitado el
programa DETEFF (ver la Tabla 6.1), y la retroalimentación obtenida durante su uso ha sido un
elemento importante en su validación y perfeccionamiento. En este capítulo resumiremos algunas
de las principales aplicaciones del código, realizadas tanto por nosotros como por otros autores, y
cuyos resultados han sido publicados.
Tabla 6.1: Instituciones que cuentan con el código DETEFF 45
Institución
Instituto Superior de Ciencias y Tecnologías Avanzadas
Instituto Nazionale di fisica Nucleare, Laboratori Nationali di Frascati
Centro de Protección e Higiene de las Radiaciones
CIEMAT
Jozef Stefan Institute
Centro de Estudios Ambientales de Cienfuegos
Universidad de San José.
Laboratorio de Ambiente Marino del OIEA en Mónaco
Centro de Isótopos (CENTIS)
Faculty of Physics, Bucharest University
Centro de Estudios Aplicados al Desarrollo Nuclear
National Center of Scientific Research "Demokritos"
FACILIA A.B.
Universidad de Extremadura
Commissariat à l'Energie Atomique (CEA)
Australian Nuclear Science and Technology Organisation (ANSTO)
Comisión Nacional de Energía Atómica (CNEA)
Universidad de Asunción
Comisión Ecuatoriana de Energía Atómica
Instituto de Radioprotección y Dosimetría
Comisión Chilena de Energía Nuclear (CCHEN)
Comisión Nacional de Seguridad Nuclear y Salvaguardias
Centre for Energy Research and Training (CERT)
Ahmadu Bello University (ABU)
Dirección de Asuntos Nucleares
Dirección General de Energía, Ministerio de Energía y Minas
Ministere de l’Agriculture des Ressources Naturelles et du
Developpement Rural
Laboratoire Veterinaire et de Controle de Qualite des Aliments
Chemistry Unit, Agency´s Laboratories (IAEA) Seibersdorf
Department of Physics, University Mentouri Constantine
National Academy of Sciences of Ukraine
Department of Nuclear Physics, University of Natural Sciences
159
País
Cuba
Italia
Cuba
España
Eslovenia
Cuba
Costa Rica
Italia
Cuba
Rumanía
Cuba
Grecia
Suecia
España
Francia
Australia
Argentina
Paraguay
Ecuador
Brasil
Chile
México
Nigeria
Venezuela
Guatemala
Haití
Austria
Argelia
Ukrania
Viet Nam
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
6.2 Transferencia de eficiencia en muestras de agua
Una de las aplicaciones realizadas con la primera versión del código consistió en calcular la
eficiencia de detección en el pico de absorción total para un detector de Ge(Li) de 2” x 2” y
diferentes geometrías de medida en muestras de H2O, para la energía del
137
Cs (661.66 keV)
[Cornejo Díaz y Mann, 1996]. Los cálculos se realizaron mediante la transferencia de eficiencias,
según la expresión (5-1), partiendo de la eficiencia experimental determinada para una fuente
rectangular de 500 ml, con (24.2 ± 1.0) kBq.
Con el objetivo de verificar los cálculos se realizó la medida experimental de algunas de las
geometrías de interés, conteniendo la actividad de referencia. Con el número de cuentas en el pico
de absorción total y la eficiencia calculada previamente con DETEFF se estimó la actividad de
137
Cs en cada una de las geometrías, aplicando la conocida expresión (2-12). En los resultados
obtenidos, que se resumen en la Tabla 6.2, se aprecia un buen acuerdo con el valor de la actividad
de referencia en el marco de las desviaciones estándar correspondientes. Se comprobó la utilidad
del código para la interpolación de los valores de eficiencia durante la calibración del sistema para
diferentes geometrías de medida.
Tabla 6.2: Resultados de actividad calculada a partir de la transferencia de eficiencias con el
código DETEFF, para un detector de Ge(Li) de 2” x 2” y diferentes volúmenes de H2O en fuentes
cilíndricas y rectangulares, para 661.66 keV. 46
Volumen [ml]
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
(1) Valor de referencia
Actividad calculada
Muestras rectangulares
Muestras cilíndricas
[kBq]
[kBq]
22.8 ± 1.1
23.6 ± 1.2
22.2 ± 1.2
23.2 ± 1.2
23.1 ± 1.2
24.2 ± 1.0 (1)
22.6 ± 1.2
24.4 ± 1.2
23.6 ± 1.3
24.6 ± 1.2
23.2 ± 1.3
24.1 ± 1.2
23.6 ± 1.4
23.9 ± 1.2
23.0 ± 1.3
24.6 ± 1.2
160
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
6.3 Estudio de la influencia de algunos parámetros
geométricos de los detectores de HPGe en la
eficiencia
La versión 3.0 de DETEFF se aplicó al estudio de la influencia de algunas de las principales
características geométricas de los detectores de HPGe en los valores de eficiencia [Jurado Vargas
et. al., 2002a]. El análisis se realizó para un detector de HPGe (tipo n) y los parámetros estudiados
fueron: el diámetro del cristal, su longitud, la distancia ventana - detector, y el diámetro del “core”.
Los cálculos de la eficiencia en el pico de absorción total se realizaron variando los parámetros
antes mencionados, para valores discretos de energía en el intervalo entre 122 keV y 1836 keV, y
para las siguientes geometrías de medida: puntual, plana (filtro de celulosa) y cilíndricas de SiO2
con 1.55 g.cm-3 de densidad.
Se pudo constatar que pueden producirse desviaciones significativas en los valores de eficiencia
con sólo pequeñas variaciones en el diámetro del cristal, en la distancia ventana – detector, o en el
diámetro del “core”. La magnitud de tales desviaciones depende de la energía de los fotones y de
la geometría de medida. Se comprobó, por ejemplo, que:
a)
Para bajas energías la variación de la eficiencia con el diámetro del cristal se debe
esencialmente a la variación en el ángulo sólido, porque prácticamente todos los fotones que
inciden en el volumen activo del detector son absorbidos en éste. Ahora bien, a medida que
aumenta la energía se incrementa la influencia del volumen activo del detector en la
probabilidad de interacción de los fotones, aumentando el efecto del diámetro.
b)
Por otro lado, la variación de la eficiencia con la distancia entre la ventana y el detector no
depende significativamente de la energía de los fotones. Ello se explica porque la variación
de este parámetro afecta al ángulo sólido y no al volumen activo del cristal.
En el estudio se constató la marcada dependencia de la eficiencia con la distancia fuente – detector
para las geometrías de medida muy cercanas al cristal. Esta condición de geometría “cercana”
puede producirse, por ejemplo, durante la cuantificación de la actividad depositada o absorbida en
filtros. En estos casos, para alcanzar una adecuada correspondencia entre los valores de eficiencia
experimentales y calculados, se recomendó colocar cada filtro entre dos materiales rígidos de bajo
número atómico, para aplanarlo y lograr de esta forma una distancia constante entre cada elemento
de la fuente y el detector.
Los resultados obtenidos en este estudio coinciden con los publicados por otros autores y
evidencian una vez más la importancia de contar con los datos correctos del detector y de la
muestra para lograr la exactitud requerida en los cálculos de eficiencia mediante la simulación
estocástica.
161
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
6.4 Transferencia de eficiencia en la calibración de
un detector coaxial de HPGe
La versión 3.0 del código DETEFF se aplicó al ejercicio de intercomparación de códigos para el
cálculo de eficiencias de detección EUROMET 428 [Jurado Vargas et. al., 2003].
El
procedimiento seguido fue similar al descrito en el apartado 5.3.2, pero sin realizar el ajuste previo
de los parámetros del detector.
Se comprobó que, tal como se señala en [Lépy et. al., 2001], los valores de eficiencia calculados
con los parámetros del detector proporcionados por el fabricante se desvían significativamente de
los obtenidos experimentalmente para las diferentes geometrías y matrices del estudio. Sin
embargo, los valores calculados mediante la transferencia de eficiencias, a partir de una geometría
de referencia dada (ver Tabla 5.17), mostraron un buen acuerdo con los obtenidos
experimentalmente para cada una de las geometrías y matrices de interés, en el marco de las
incertidumbres correspondientes.
Del trabajo se derivaron dos conclusiones fundamentales. En primer lugar, se confirmó que el
conocimiento preciso de los parámetros del detector es necesario para reproducir adecuadamente
los valores de eficiencia mediante la simulación estocástica directa. En segundo lugar, quedó
demostrada la utilidad de la transferencia de eficiencias para reducir las diferencias entre los
valores de eficiencia calculados y experimentales, cuando las geometrías involucradas son
similares.
En este trabajo además recomendamos la realización de un ajuste previo de los espesores de la
capa muerta del detector y de la ventana de entrada antes de aplicar la transferencia de eficiencias,
particularmente para fotones de bajas energías, pues pequeñas variaciones en estos espesores
pueden implicar variaciones muy grandes en la atenuación cuando los ángulos de incidencia son
grandes, es decir, cuando la fuente está muy próxima al detector.
162
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
6.5 Simulación Monte Carlo de las correcciones
por autoabsorción en muestras ambientales
En otro de los estudios realizados con el código DETEFF se obtuvo la dependencia de la eficiencia
en el pico de absorción total con la densidad en muestras de origen natural, para una geometría de
medida cilíndrica (6.0cm de diámetro y 1.8 cm de altura de llenado) y tres tipos de detectores de
HPGe [Jurado Vargas et. al., 2002b]. Los detectores modelizados son coaxiales de HPGe, uno de
tipo n con eficiencia relativa del 44.3% y los otros dos de tipo p, con eficiencias relativas del
20.3% y el 30.5%. Los valores de eficiencia se calcularon para valores discretos de energía entre
60 y 2000 keV, y para diferentes densidades de la muestra, en el intervalo entre 0.1 y 2.0 g.cm-3.
Se asumió un material hipotético para la fuente, con composición química equivalente a la del
H2O.
Se obtuvo una dependencia lineal de la eficiencia con la densidad para la geometría estudiada y los
rangos de energía y densidad empleados. Además, se calcularon los factores de corrección a la
autoabsorción con relación a una fuente estándar de densidad igual a 1.0 g.cm-3. Se pudo
comprobar que, en general, los factores de corrección calculados mediante simulación estocástica
empleando los coeficientes másicos de atenuación del H2O no difieren en más de un 2% de los
obtenidos experimentalmente por otros autores, para muestras naturales medidas en la misma
geometría que la utilizada en nuestro estudio. Estas desviaciones resultaron ligeramente superiores
sólo para fotones de bajas energías (60 y 80 keV) y densidades de la muestra muy diferentes a la
densidad de referencia (1.0 g.cm-3), pero siempre fueron inferiores al 4%.
En este trabajó se concluyó que, para la mayoría de las muestras de origen natural (Z<20), es
posible utilizar el coeficiente másico de atenuación del H2O y la densidad de la muestra analizada
para calcular el factor de corrección a la autoabsorción, mediante simulación Monte Carlo, en el
rango de energías de 80 a 2000 keV. Este procedimiento es particularmente útil cuando no se
conoce la composición exacta de la muestra estudiada, permitiendo prescindir de la determinación
experimental de las correcciones a la autoabsorción, la cual supone la preparación y medida de una
gran variedad de muestras de diferentes geometrías y densidades.
Otra de las conclusiones del trabajo, que confirma los resultados publicados por otros autores, es
que los factores de corrección a la autoabsorción obtenidos para una geometría de medida dada son
aplicables a cualquier detector coaxial de eficiencia relativa en el rango de 20 – 45%.
A partir de este estudio, el código DETEFF se ha venido utilizando de forma rutinaria por los
laboratorios de espectrometría gamma del Centro de Protección e Higiene de las Radiaciones de la
Habana y del Departamento de Física de la Universidad de Extremadura para la determinación de
las correcciones por autoabsorción en muestras de origen natural.
163
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
6.6 Investigación de la radiactividad inducida en el
acelerador lineal ADONE para la gestión de la
chatarra tras su desmantelamiento
El programa DETEFF se empleó en la caracterización radiológica y la clasificación de la chatarra
producida durante el desmantelamiento del acelerador ADONE, del Laboratorio Nacional de
Frascati en Italia [Mora et. al. 2007].
El desmantelamiento del acelerador ADONE, que comenzó en el año 1993, produjo más de 100
toneladas de chatarra metálica. Parte de esta chatarra está contaminada con elementos radiactivos
producidos por la activación de los componentes metálicos del acelerador que estuvieron
expuestos a elevadas densidades de flujo de fotones y electrones de alta energía, así como a
neutrones originados en las reacciones (γ,n).
Estudios llevados a cabo entre los años 1994 y 2004 por el Centro Europeo para la Investigación
Nuclear (CERN) y por el Laboratorio Nacional de Frascati habían indicado que la contaminación
es marcadamente heterogénea, y que puede ser inferior a 0.1 Bq.g-1 en más del 70% de la chatarra,
con los radionúclidos que se indican en la Tabla 6.3. Se sabe además que en este tipo de
instalación los componentes con mayor probabilidad de contaminación son: las partes cercanas al
haz de radiación en las bombas de vacío (ver la Figura 6.1), diversas secciones del conducto de
aceleración, y las zonas centrales de los magnetos conformadores de los haces de radiación. Por
otro lado, como consecuencia del tiempo transcurrido desde el cese de las operaciones con el
acelerador y de la actividad inicial de cada producto de activación, sólo el 60Co resultaba de interés
desde el punto de vista radiológico.
Zona activada
Zona no activada
Figura 6.1: Bomba de vacío del anillo acumulador del acelerador ADONE. Tomado de [Mora et.
al. 2007]. Figura 70
164
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
Tabla 6.3: Productos de activación esperados en el acelerador ADONE [Mora et. al. 2007]. 47
Producto
22
Na
54
Mn
57
Co
60
Co
Período de semidesintegración
2.602 años
312.1 días
271.7 días
5.27 años
Debido a que el nivel de desclasificación adoptado para el
Material
Al
acero, Fe
acero, Fe
Cu, acero, Fe
60
Co en chatarras fue de 0.1 Bq.g-1
(según las normas del Organismo Internacional de Energía Atómica y de la Unión Europea), el
estudio se centró en la caracterización de los componentes con niveles de contaminación
superiores a 0.1 Bq.g-1. Estos componentes requieren de determinado tratamiento antes de su
reutilización, como por ejemplo: segregación, decaimiento, fusión y mezcla con materiales no
contaminados.
En primer lugar se realizaron medidas in situ para la identificación de las chatarras con posibles
niveles de contaminación superiores a 0.1 Bq.g-1. Para ello se empleó un espectrómetro portátil,
cuya eficiencia intrínseca fue estimada previamente con fuentes puntuales para las energías de
interés. Las densidades de flujo de fotones por unidad de contaminación para las diferentes piezas
y geometrías de medida se calcularon con el programa MICROSHIELD.
En una segunda etapa del estudio, las piezas cuyos niveles de contaminación se sospechaban
superiores a 0.1 Bq.g-1 se sometieron a un análisis más riguroso con un espectrómetro de bajo
fondo basado en un detector de HPGe de tipo n. El código DETEFF fue utilizado entonces en el
cálculo de la eficiencia del sistema de medida para las diferentes muestras investigadas.
Como resultado de este trabajo se analizaron más de 10 toneladas de chatarra en aproximadamente
20 días y se identificó que el 72% de la chatarra acumulada pudiera ser desclasificada para su
reutilización, sobre la base del nivel establecido de 0.1Bq.g-1. Los autores concluyeron que el
código DETEFF había sido de gran ayuda en la modelización de las geometrías de las piezas
investigadas, permitiendo mejorar la exactitud de las evaluaciones.
165
MENÚ
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
6.7 Cuantificación de la actividad de isótopos
radiactivos en el marco de la vigilancia
radiológica ambiental
El código DETEFF es utilizado por el Centro de Investigación en Ciencias Atómicas, Nucleares y
Moleculares de la Universidad de Costa Rica para la calibración en eficiencia de sus sistemas de
espectrometría de radiación gamma, dedicados a la vigilancia del medio ambiente. La institución
aplica la simulación Monte Carlo con el código DETEFF para obtener la eficiencia de detección
mediante transferencia de eficiencias a partir de la medida experimental con una fuente líquida
patrón, así como para realizar interpolaciones en las curvas de eficiencia cuando no se cuenta con
fuentes patrón para las energías de los radionúclidos a cuantificar.
En [Loría y Badilla, 2008] se muestran los resultados satisfactorios alcanzados por esta institución
en tres ejercicios de intercomparación, dos de los cuales fueron organizados por el Organismo
Internacional de Energía Atómica y el otro por el Instituto de Radioprotección y Dosimetría de
Brasil. Las muestras utilizadas en las intercomparaciones son de origen natural: H2O, suelo, trébol,
leche en polvo y pasto, y los radionúclidos determinados han sido: 40K, 54Mn, 60Co, 65Zn,
109
Cd,
133
Ba,
133
Sn,
134
Cs,
137
Cs,
210
Pb y
106
Ru,
241
Am.
Algunas de las conclusiones formuladas por los autores en [Loría y Badilla, 2008], con relación a
la aplicación del código DETEFF son:
“La preparación de un patrón para medir la eficiencia de conteo es una tarea muy compleja, dado
que se requiere elaborarlo con el mismo material de la muestra a analizar y con la misma
geometría. Esto no siempre es posible, especialmente en aquellos casos en que el producto se
analiza como materia fresca, como es el caso de las frutas. Es propio de los laboratorios preparar
el patrón para medida de eficiencia utilizando como sustrato H2O, pero como es de esperar, el
material sujeto de análisis no posee la misma densidad. Utilizar un código Monte Carlo favorece
la obtención de la curva de eficiencia, ya que a través de él se puede simular la densidad y hasta
la geometría, lo que permite obtener resultados mucho más confiables que los que se obtienen
utilizando patrones certificados con matrices y geometrías diferentes a las de medición.
La simulación Monte Carlo permite a los laboratorios realizar análisis espectrométricos sin
depender de un patrón para obtener la curva de eficiencia. Los isótopos presentes en la mezcla
decaen en el tiempo y algunos de ellos, de período muy corto, presentan estadísticas de conteo
muy bajas, lo que también provoca alta incertidumbre en la cuantificación de la actividad
específica de los isótopos presentes en una muestra.”
166
MENÚ
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Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
El código DETEFF es utilizado también por el Laboratorio de Vigilancia Radiológica Ambiental
(LVRA) del Centro de Protección e Higiene de las Radiaciones (CPHR), de la Habana. En la
medida de muestras ambientales este laboratorio emplea sistemas de bajo fondo con detectores de
NaI y HPGe, y para su calibración en eficiencia se aplica la simulación estocástica con el
programa DETEFF, particularmente cuando no se cuenta con fuentes patrón para las energías,
geometrías y matrices de interés. Con el fin de realizar los cálculos con DETEFF, los parámetros
de los detectores han sido optimizados a partir de medidas con fuentes puntuales certificadas.
Además, se aplica la transferencia de eficiencias cuando la geometría de la muestra analizada es
similar a la de alguna fuente patrón disponible.
A continuación resumiremos los resultados obtenidos por el LVRA del CPHR en uno de los
ejercicios de intercomparación organizados recientemente por el Organismo Internacional de
Energía Atómica [IAEA, 2007]57, donde se aplicó el programa DETEFF al cálculo de las
eficiencias de detección en muestras de agua y suelo. Debido a que no se contaba con muestras
patrón adecuadas, no fue posible complementar los cálculos con la transferencia de eficiencias y
los resultados se basaron únicamente en la simulación estocástica. Las muestras se midieron en
recipientes cilíndricos de 500 ml para el agua y 110 ml para el suelo, con paredes de poliestireno.
Los criterios de desempeño básicos definidos en [IAEA, 2007] fueron el Z-Score y el U-Test
según las fórmulas (6-1) y (6-2), respectivamente:
Z − Score =
ValorLAB − ValorIAEA
σ
(6-1),
donde: ValorLAB y ValorIAEA denotan el valor de actividad dado por el laboratorio y por el IAEA,
respectivamente. La desviación estándar ( σ ) se definió como el 10% del valor de actividad dado
por el IAEA.
U − Test =
ValorLAB − ValorIAEA
Inc2LAB
(6-2),
+ Inc2IAEA
siendo: IncLAB e IncIAEA las incertidumbres (1σ) del valor de actividad dado por el laboratorio y
por el IAEA, respectivamente.
En el marco del ejercicio de intercomparación se consideró que el resultado resultó satisfactorio si
Z − Score ≤ 2 , cuestionable si 2 < Z − Score < 3 , e incorrecto si
Z − Score ≥ 3 . La Figura 6.2
muestra los resultados de Z-Score alcanzados por el LVRA.
57
Por omisión involuntaria no se realizó la medida del 210Pb en la muestra de agua. Inicialmente, los valores
de actividad reportados por el LVRA para el 241Am y el 210Pb en la muestra de suelo resultaron
inaceptables porque se utilizó la composición química del agua en los cálculos de eficiencia con el código
DETEFF (ver el apartado 6.5). Los resultados mostrados en este apartado para el 241Am y el 210Pb en la
muestra de suelo se obtuvieron a posteriori, empleando el material “Soil1” que incluye DETEFF para
simular un suelo con contenido normal de minerales (Figura B9 del Apéndice B). La corrección fue
notificada por el LVRA al Organismo Internacional de Energía Atómica.
167
SALIR
Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
1,50
Z-Score
1,00
0,50
Suelo
Agua
0,00
-0,50
-1,00
Mn-54
Co-60
Zn-65
Cd-109
Cs-134
Cs-137
Am-241 Pb-210
Figura 6.2: Gráfico de Z-Score para los radionúclidos evaluados por el LVRA durante el ejercicio
de intercomparación del IAEA [IAEA, 2007] Figura 71
En este ejercicio se tomó un valor límite de U-Test = 2.58, que se corresponde con el valor de
k α en la expresión (3-23) para obtener un intervalo de incertidumbre expandida equivalente al
99% de confianza en una variable con distribución normal. Se consideraron satisfactorios los
resultados donde U-Test < 2.58. Los resultados alcanzados por el LVRA en este ejercicio se
resumen en la Figura 6.3.
2,50
2,00
1,50
U-Test
MENÚ
Suelo
1,00
Agua
0,50
0,00
-0,50
Mn-54
Co-60
Zn-65
Cd-109
Cs-134
Cs-137
Am-241
Pb-210
Figura 6.3: Gráfico de U-Test para los radionúclidos evaluados por el LVRA durante el ejercicio
de intercomparación del IAEA [IAEA, 2007] Figura 72
El criterio de evaluación fundamental empleado en el ejercicio de intercomparación es en gran
medida equivalente con el criterio de desempeño U-Test. El valor dado por el laboratorio se
consideró aceptable siempre que se cumpliera la relación (6-3) y la incertidumbre relativa
combinada, denotada como P en la ecuación (6-5), fuera inferior a un determinado valor prefijado
168
SALIR
Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
en función de la concentración de actividad en el analito, el tipo de matriz y la complejidad de la
cuantificación.
(6-3),
A1 ≤ A 2
donde:
A1 = ValorIAEA − ValorLAB ,
2
A 2 = 2.58 ⋅ Inc2IAEA + IncLAB
2
⎛ IncIAEA ⎞ ⎛ Inc LAB ⎞
P = 100 ⋅ ⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ ValorIAEA ⎠ ⎝ ValorLAB ⎠
(6-4),
2
(6-5)
Los resultados obtenidos por el LVRA en este indicador se recogen en la Figura 6.4. Como se
aprecia, la relación A1/A2 resultó inferior a 0.8 para todas las matrices y radionúclidos evaluados
y fue inferior a 0.4 en el 87% de los casos.
1,00
0,80
0,60
A1/A2
MENÚ
Suelo
Agua
0,40
0,20
0,00
Mn-54
Co-60
Zn-65
Cd-109
Cs-134
Cs-137
Am-241 Pb-210
Figura 6.4: Relación A1/A2 (P<10%) para los radionúclidos evaluados por el LVRA durante el
ejercicio de intercomparación del IAEA [IAEA, 2007] Figura 73
Con este capítulo hemos pretendido también brindar una panorámica de las disímiles aplicaciones
posibles del código DETEFF, desde aquellas enfocadas hacia cuestiones teóricas, como los
estudios de la respuesta de los detectores, hasta las de un propósito más práctico, como el cálculo
de la eficiencia de detección para el control de la radiactividad ambiental o la caracterización de
materiales contaminados en diversas aplicaciones.
A continuación abordaremos las principales conclusiones que podemos deducir del presente
trabajo de tesis doctoral, como resumen del trabajo realizado y de sus principales aportaciones.
169
MENÚ
SALIR
Capítulo 6
Aplicaciones del código DETEFF
170
MENÚ
SALIR
CAPÍTULO 7
CONCLUSIONES
En este capítulo resumiremos las principales conclusiones del trabajo realizado, cuyo propósito ha
sido contribuir a generalizar el método Monte Carlo como herramienta ampliamente demandada
para suplir el déficit de patrones radiactivos y complementar, de esta forma, las calibraciones en
eficiencia en los laboratorios que emplean la espectrometría de radiación gamma como técnica de
medida.
Para lograr nuestro propósito, el objetivo fundamental trazado fue conformar una
herramienta de simulación específica para la problemática de interés, que
posibilite a los
laboratorios analíticos aprovechar las incuestionables ventajas del método Monte Carlo,
minimizando al mismo tiempo sus inconvenientes tradicionales, en particular, los relacionados
con los tiempos de ejecución y con la complejidad en el manejo de los códigos internacionalmente
aceptados.
Como conclusión general al término del presente trabajo podemos decir que se ha desarrollado y
validado el código de simulación por Monte Carlo DETEFF, específico para la calibración en
eficiencia de los sistemas de detección en espectrometría de radiación gamma. El programa es
aplicable a los tipos de detectores y configuraciones de medida más comunes, es de fácil manejo y
con una relación “exactitud - tiempo de ejecución” aceptable para su uso práctico en los
laboratorios analíticos. De la labor realizada podemos resumir las siguientes conclusiones:
1. Con el objetivo de desarrollar un código de fácil manejo ha sido necesario asimilar el paquete
de programación visual de Borland DELPHI, basado en el lenguaje Turbo Pascal, con el cual
se han confeccionado las ventanas de interfaz de usuario del programa.
2. Se han realizado pruebas estadísticas a un número importante de generadores de números
seudoaleatorios, implementándose éstos en el código DETEFF para evaluar su
funcionamiento durante el cálculo de eficiencias de detección en espectrometría de radiación
gamma. Estos estudios han respaldado la selección del generador Mersenne Trister (MT), que
hemos implementado en el programa DETEFF. Por otra parte, la metodología seguida puede
ser empleada en la evaluación futura de otros generadores de números seudoaleatorios.
3. Se han estudiado los procesos de interacción de la radiación ionizante y se han seleccionado,
para su simulación, aquellos cuya influencia sobre la eficiencia de detección en
espectrometría gamma no es despreciable. Para cada uno de los procesos de interacción
considerados se han estudiado los procedimientos de su simulación estocástica y se han
adoptado aquellos cuyo balance “tiempo – exactitud” resulta más favorable para la
problemática a resolver. A partir de estudios realizados en el marco del presente trabajo y de
los resultados publicados por otros autores, se han seleccionado los parámetros más
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Capítulo 7
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Conclusiones
relevantes para la modelización de cada uno de los detectores considerados en DETEFF: NaI,
CsI, Ge y Si.
4. Con el objetivo de considerar el posible escape de fotones de radiación de frenado y de
electrones a través de las paredes del cristal, sin necesidad de realizar el seguimiento
detallado de las partículas cargadas secundarias, se han desarrollado procedimientos
relativamente sencillos y rápidos que parten de los espectros de frenado y las curvas de
alcance máximo y transmisión de electrones obtenidos con el código MCNP4C para los
materiales de los detectores. La efectividad de estos procedimientos ha sido confirmada por
los ejercicios de verificación y validación del código.
5. Se han aplicado técnicas de reducción de varianzas que han permitido obtener figuras de
mérito superiores en varios órdenes de magnitud a las obtenidas con otros códigos de uso
múltiple. Esto ha contribuido notablemente al logro de tiempos de simulación en el orden de
las fracciones a unidades de minuto para las geometrías de recuento más comunes, con
incertidumbres estocásticas inferiores al 0.5%.
6. Debido a que la energía de corte de los fotones es de 10 keV, ha sido necesario desarrollar un
módulo específico para el seguimiento de la radiación X característica de Ge tras el efecto
fotoeléctrico y se han realizado simulaciones que evidencian la importancia de esta corrección
para bajas energías.
7. Se han verificado los procedimientos incorporados al código DETEFF mediante la
comparación de sus resultados con los obtenidos por otros autores y con el código MCNP4C,
para detectores de NaI, CsI, Si y HPGe. Los resultados obtenidos han sido del todo
satisfactorios, con desviaciones del orden o inferiores al 1% para energías entre 40 y 2000
keV, e inferiores al 3% para energías entre 10 y 40 keV. Debe hacerse notar que ha sido
necesario asimilar y particularizar el código multipropósito MCNP4C, construyendo los
archivos de entrada y realizando simulaciones para diferentes tipos de detectores y geometrías
de medida.
8. Por otro lado, las comparaciones realizadas recientemente entre los resultados del código
DETEFF y los obtenidos por códigos de uso múltiple aceptados internacionalmente han
arrojado desviaciones inferiores al 1% en el intervalo de 45 a 2000 keV, con tiempos de
ejecución muy inferiores en el código DETEFF.
9. Hemos realizado un ejercicio de validación experimental para un detector HPGe tipo p, que
ha demandado la preparación de diferentes tipos de muestras, la realización de medidas
experimentales con los consiguientes análisis espectrales, así como correcciones
correspondientes al tiempo muerto del sistema de detección y a las pérdidas de cuentas por
sumas en coincidencia. Las desviaciones entre los valores de eficiencia calculados con
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Capítulo 7
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Conclusiones
DETEFF una vez optimizados los parámetros del detector y los obtenidos de forma empírica,
están en el marco de las incertidumbres experimentales correspondientes.
10. El código DETEFF ha sido aplicado a la solución de disímiles problemas, desde aquellos más
teóricos, como los estudios de la respuesta de los detectores, hasta los de interés más práctico,
como el cálculo de la eficiencia de detección para el control de la radiactividad ambiental o la
caracterización de materiales contaminados con elementos radiactivos. En este sentido, son
numerosas las instituciones y laboratorios internacionales que cuentan ya con el código como
herramienta en espectrometría de radiación gamma.
Este trabajo resume una etapa importante del código DETEFF, pero no significa la culminación de
los trabajos encaminados a su perfeccionamiento y desarrollo. Con el punto final de esta memoria
comienza otra etapa impulsada por la retroalimentación de los usuarios de DETEFF, quienes han
sido y serán sus perennes evaluadores.
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Conclusiones
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MENÚ
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184
MENÚ
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APÉNDICE A
MÉTODOS DE MUESTREO DE LA ECUACIÓN
DE KLEIN - NISHINA
A.1 Método de Kahn
La ecuación de Klein-Nishina [Klein y Nishina, 1929] para la sección eficaz diferencial de la
dispersión no coherente o dispersión Compton de la radiación electromagnética no polarizada en
un electrón libre en reposo puede escribirse como:
(
)
2
⎡
⎤
1 + cos 2 θ
α 2 (1 − cos θ )
dσ re2
⎢1 +
⎥
= ⋅
⋅
2
dΩ 2 ⎡1 + α (1 − cos θ ) ⎤ 2 ⎢
⎥
+
θ
+
α
−
θ
1
cos
1
1
cos
⎡
⎤
(
)
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
Siendo re =
(
1
e2
⋅
= 2.818 ⋅10−15 m
2
4π ⋅ ε 0 m e c
dispersión del fotón y α =
hν
me c2
)
(A.1.1),
el radio clásico del electrón, θ el ángulo de
la energía del fotón incidente expresada en unidades de la
energía másica del electrón en reposo.
Si se sustituye: dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ y se integra a través del ángulo azimutal (ϕ), se tiene la
expresión:
(
)
2
⎡
⎤
1 + cos 2 θ
α 2 (1 − cos θ )
dσ
⎢1 +
⎥ ⋅ sin θ
= π ⋅ re2 ⋅
⋅
2
dθ
⎢
1 + cos 2 θ ⎡⎣1 + α (1 − cos θ ) ⎤⎦ ⎥
⎣⎡1 + α (1 − cos θ ) ⎦⎤ ⎣
⎦
(
)
(A.1.2)
Cuyo reajuste conduce a la ecuación:
dσ
sin θ
= π⋅ re2 ⋅
2
dθ
⎣⎡1 + α (1 − cos θ ) ⎦⎤
⎧⎪ ⎡1 + α (1 − cos θ ) ⎤ 2 + 1 − ⎡1 + α (1 − cos θ ) ⎤ + ⎡1 + α (1 − cos θ ) ⎤ ⋅ cos 2 θ ⎫⎪
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎨
⎬
⎡
1
+
α
1
−
cos
θ
⎤
(
)
⎣
⎦
⎩⎪
⎭⎪
De las leyes de conservación de la energía y el impulso se concluye que la energía del fotón
dispersado, en unidades de la masa en reposo del electrón, puede expresarse según:
185
MENÚ
SALIR
Apéndice A
α' =
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
dσ se
α
. Si se define x = α = 1 + α (1 − cos θ ) y se sustituye en la ecuación de
'
dθ
α
⎡⎣1 + α (1 − cos θ ) ⎤⎦
tiene:
dσ
1 ⎡
1
⎤
= π ⋅ re2 ⋅ 2 ⋅ ⎢ x + + cos 2 θ − 1⎥ sin θ
dθ
x ⎣
x
⎦
(A.1.3)
dx
⎫
Aplicando entonces la transformación: dσ = dσ ⋅ dθ ⎧
⎨ = α ⋅ sin θ ⎬ , se obtiene:
dx dθ dx ⎩ dθ
⎭
dσ π ⋅ re2 1 ⎡
1
⎤
=
⋅ 2 ⋅ ⎢ x + + cos 2 θ − 1⎥ ⋅ dx
dx
α x ⎣
x
⎦
(A.1.4)
Si se considera que para el muestreo de la variable x mediante el método de rechazo (Ver punto
3.3.2.2) la constante de normalización no necesita ser especificada, es posible definir la función de
densidad de probabilidad de x como:
f ( x, θ, α ) =
Siendo cos θ = 1 −
x −1
α
1 ⎛
1⎞
x − 1 + cos 2 θ + ⎟
2 ⎜
α⋅x ⎝
x⎠
y
(A.1.5),
1 ≤ x ≤ 1 + 2α
El método de muestreo propuesto por Kahn [Kahn, 1954] parte del reajuste de la función de
densidad de probabilidad (A.1.5) y su descomposición en la suma de dos funciones de densidad de
probabilidad, cada una de ellas compuesta por una función normalizada y otra acotada en el
intervalo 1 ≤ x ≤ 1 + 2α , para obtener la expresión:
f ( x, θ, α ) =
Si
se
2α + 1 1
8
2α + 1 1 ⎛
1⎞
⎛1 1 ⎞
⋅
⋅4⎜ − 2 ⎟ +
⋅
⋅ ⎜ cos 2 θ + ⎟
2
2α + 9 2α ⎝ x x ⎠ 2α + 9 2α ⋅ x 2 ⎝
x⎠
denotan:
⎛1 1 ⎞
h1 ( x ) = 4 ⎜ − 2 ⎟ ,
⎝x x ⎠
1 ,
g1 ( x ) =
2α
2α + 1
g2 ( x ) =
2α ⋅ x 2
1⎛
1⎞
h 2 ( x ) = ⎜ cos 2 θ + ⎟
2⎝
x⎠
(A.1.6)
1+ 2 α
⎧1+ 2 α
⎫
⎨ ∫ g1 ( x ) dx = ∫ g 2 ( x ) dx = 1⎬
1
⎩ 1
⎭
{max ( h ( x ) ) = max ( h
1
2
( x ) ) = 1} ,
y
entonces el
procedimiento consiste en el muestreo según f1 ( x ) = g1 ( x ) h1 ( x ) y f 2 ( x ) = g 2 ( x ) h 2 ( x ) , con
frecuencias relativas
2α + 1
8
y
respectivamente.
2 α + 9 2α + 9
186
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
El muestreo según f i ( x ) (i = 1 ó 2) se realiza aplicando el método de inversión a gi ( x ) para
obtener la realización de la variable x, la que es aceptada o no mediante el método de rechazo
según h i ( x ) (Ver acápite 3.3.2.4).
Acorde con el método de inversión, la realización de la variable x se obtiene entonces resolviendo
una de las siguientes ecuaciones:
x
γ = ∫ g1 ( x ') dx ' =
1
x
γ = ∫ g 2 ( x ') dx ' =
1
1
( x − 1)
2α
(A.1.7)
2α + 1 ⎛ 1 ⎞
⎜1 − ⎟
2α ⎝ x ⎠
(A.1.8),
Siendo γ un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).
Para g1 ( x ) el valor de x se obtiene como: x = 2α ⋅ γ + 1 , mientras que para g 2 ( x ) el valor de x
se obtiene según: x =
2α + 1 .
2α ⋅ γ + 1
Las Figuras A.1 y A.2 muestran el comportamiento de las funciones g1 ( x ) , h1 ( x ) y g 2 ( x ) ,
h 2 ( x ) respectivamente, para una energía de los fotones incidentes igual a 1.0 MeV.
1,20
1,00
g 1(x), h 1(x)
MENÚ
0,80
g1(x)
0,60
h1(x)
0,40
0,20
0,00
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
x
Figura A.1: Funciones g1 ( x ) , h1 ( x ) para hν = 1.0 MeV (α = 1.957). Figura 74
187
MENÚ
SALIR
Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
1,40
1,20
g 2(x), h 2(x)
1,00
0,80
g2(x)
h2(x)
0,60
0,40
0,20
0,00
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
x
Figura A.2: Funciones g 2 ( x ) , h 2 ( x ) para hν = 1.0 MeV (α = 1.957). Figura 75
La siguiente figura recoge el diagrama de flujo del algoritmo del método.
R = 2α + 1, Τ =
R
R +8
γ1 , γ 2 , γ 3 , η = 2 γ 2
+
¿ ( γ1 ≤ T ) ?
w = α ⋅ η +1
-
-
w=
R
α ⋅ η +1
u = 1−
⎧
1 ⎞⎫
⎛1
¿ ⎨γ3 ≤ 4 ⎜ − 2 ⎟⎬ ?
w
w
⎝
⎠⎭
⎩
w −1
α
⎧
1⎛
1 ⎞⎫
¿ ⎨γ3 ≤ ⎜ u 2 + ⎟⎬ ?
2
w
⎝
⎠⎭
⎩
+
+
cos θ = 1 − η
x=w
α, =
cos θ = u
α
x
Figura A.3: Diagrama de flujo del método de Kahn. Figura 76
188
-
MENÚ
SALIR
Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
A.2 Método de Koblinger
Este método de muestreo directo [Koblinger, 1974] se basa en el siguiente teorema (Ver acápite
3.3.2.5):
Si la variable aleatoria x tiene una función de densidad de probabilidad (PDF) f(x), donde:
+∞
N
−∞
i =1
∫ f ( x ) ⋅dx = 1 y esta PDF puede escribirse como: f ( x ) = ∑ ϕ i ( x ) , donde ϕ i ( x ) ≥ 0 ,
(i = 1,2,…, N), entonces la selección aleatoria de x a partir de f(x) puede realizarse en dos pasos:
1.
Selección aleatoria del término “i”, con una probabilidad
pi =
+∞
∫ ϕ ( x ) ⋅ dx
i
−∞
2.
Muestreo de la variable “x” según la función de densidad de probabilidad
pi−1 ⋅ ϕi ( x ) .
Como se vio en el punto A.1, la ecuación de Klein-Nishina para la sección eficaz diferencial de la
dispersión no coherente en un electrón libre y en reposo puede escribirse como:
dσ π ⋅ re2 1 ⎡
1
x −1
⎤
y 1 ≤ x ≤ 1 + 2α .
=
⋅ 2 ⋅ ⎢ x + + cos 2 θ − 1⎥ ⋅ dx , con cos θ = 1 −
α x ⎣
α
dx
x
⎦
⎡
⎣
Si se sustituye: cos 2 θ = 1 −
⎢
2
x − 1⎤
y se ordenan los términos de la ecuación, es posible obtener
α ⎥⎦
la ecuación de Klein-Nishina en la forma:
dσ π ⋅ re2
=
α
dx
⎡ 1 ⎛ 2 ( α + 1) ⎞ 1 ⎛ 1 + 2α ⎞ 1
1⎤
⋅ ⎢ 2 + ⎜1 −
⎟ +⎜
⎟ 2 + 3⎥
2
2
α
x ⎥⎦
⎠x ⎝ α ⎠x
⎣⎢ α ⎝
(A.2.1),
Entonces:
1+ 2α
⎡ 1 ⎛ 2 ( α + 1) ⎞ 1 ⎛ 1 + 2α ⎞ 1
1⎤
⎢ 2 + ⎜1 −
⎟ +⎜
⎟ 2 + 3 ⎥ ⋅ dx
2
2
x ⎦⎥
α
⎢α ⎝
⎠x ⎝ α ⎠x
1 ⎣
σt =
π ⋅ re2
α
σt =
⎞⎞
π⋅ re2 ⎛ 4 ⎛ 2 ( α + 1) ⎞
1⎛
1
⎜ + ⎜1 −
+
α
+
−
ln
1
2
1
⎜
⎟⎟
(
)
⎟
α ⎜α ⎝
α2 ⎠
2 ⎜⎝ (1 + 2α )2 ⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
∫
189
(A.2.2),
(A.2.3),
MENÚ
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
Si se denota: k =
1+ β
β
π ⋅ re2
1
, A = 2 , β = 1 + 2α , B = 1 − 2 , C = 2 y D = 1, se tiene la
α
α
α
α
ecuación (A.2.1) en la forma:
B C D⎤
⎡
dσ = k ⎢ A + + 2 + 3 ⎥ dx ,
x x
x ⎦
⎣
1≤ x ≤ β
(A.2.4)
La función de densidad de probabilidad f(x) tendrá la forma:
⎧ ⎛
B C D⎞
⎫
⎪H ⎜ A + x + x 2 + x 3 ⎟ , si(1 ≤ x ≤ β) ⎪
⎠
⎪⎪ ⎝
⎪⎪
k
,
f (x) = ⎨
⎬ H=σ
t
⎪0,
si(−∞ < x < 1) U (β < x < +∞) ⎪
⎪
⎪
⎩⎪
⎭⎪
(A.2.5)
Para poder aplicar el teorema de muestreo se requiere que ninguno de los términos (A, B, C y D)
sea negativo. El término B no es negativo si α 2 − 2α − 2 ≥ 0 , esta condición se satisface sólo si
α ≥ 1 + 3 , es decir, para energías de los fotones superiores a 1.40 MeV. Se tiene entonces que
para α ≥ 1 + 3 la función de densidad de probabilidad f(x) puede escribirse como la suma de
cuatro términos no negativos:
N
f ( x ) = ∑ ϕi ( x )
(A.2.6),
i=1
donde: N = 4, ϕ1 ( x ) = H ⋅ A , ϕ2 ( x ) = H
D
B,
C
ϕ3 ( x ) = H 2 y ϕ4 ( x ) = H 3 .
x
x
x
1+ 2α
La probabilidad de selección de los términos de la función f(x) es pi =
1+ 2α
p1 =
∫1
∫1
ϕi ( x ) dx , es decir:
2H
α
(A.2.7),
H⋅B
⎛ 1+ β ⎞
⋅dx = H ⋅ B ⋅ ln (1 + 2α ) = H ⎜1 − 2 ⎟ ln β
α ⎠
x
⎝
(A.2.8),
H ⋅ A ⋅ dx = 2H ⋅ A ⋅ α =
1+ 2α
p2 =
∫1
190
MENÚ
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
1+ 2α
p3 =
∫1
H⋅C
1 ⎞ 2H
⎛
⋅ dx = H ⋅ C ⎜1 −
⎟=
2
x
⎝ 1 + 2α ⎠ α
(A.2.9),
1+ 2α
p4 =
⎞ H⎛
H⋅D
H⋅D ⎛
1
1 ⎞
⋅ dx =
⎜1 −
⎟ = ⎜1 − 2 ⎟
2
3
⎜
⎟
x
2 ⎝ (1 + 2α ) ⎠ 2 ⎝ β ⎠
1
∫
(A.2.10),
El muestreo de la variable x se realiza entonces en el término “i” para el que se cumple:
i −1
i
∑p ≤ γ < ∑p
j
1
j= 0
(p 0 = 0)
j
(A.2.11),
j= 0
siendo γ1 un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo entre 0 y 1.
Una vez seleccionado el término “i” se procede al muestreo de x resolviendo la ecuación:
1
pi
x
∫ ϕ ( y ) ⋅ dy = γ
i
(A.2.12),
2
1
siendo γ 2 otro número aleatorio independiente de γ1 .
Resolviendo la ecuación (A.2.12) para el primer término se tiene:
x
1
1
γ2 =
⋅ dy =
( x − 1) ⇒ x = 2α ⋅ γ 2 + 1
2α
2α
∫
(A.2.13)
1
Para el segundo término se tiene:
x
ln ( x )
1
1
γ2 =
⋅
⋅ dy =
⇒ x = βγ2
ln (1 + 2α ) y
ln (1 + 2α )
∫
(A.2.14)
1
Para el tercer término se tiene:
γ2
(1 + 2α ) ⋅ H ⋅
=
2α
x
1
∫y
1
2
⋅ dy =
⎛
⎞
β
1 + 2α ⎛ 1 ⎞
⎟
⎜1 − ⎟ ⇒ x = ⎜
2α ⎝ x ⎠
⎝ 1 + 2α ⋅ γ 2 ⎠
y para el cuarto término:
191
(A.2.15),
MENÚ
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
2 (1 + 2α )
x
(1 + 2α ) ⋅ ⎛1 − 1 ⎞ ⇒
1
γ2 =
⋅ 3 ⋅ dy =
⎜
⎟
2
⎡(1 + 2α ) − 1⎤ y
⎡(1 + 2α )2 − 1⎤ ⎝ x 2 ⎠
1
⎣
⎦
⎣
⎦
2
2
∫
⎡
⎛
1 ⎞⎤
x = ⎢1 − γ 2 ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎥
⎝ β ⎠⎦
⎣
−
1
2
(A.2.16)
Una vez obtenido el valor de la variable x, el coseno del ángulo de dispersión del fotón se obtiene
de la ecuación:
cos θ = 1 −
x −1
α
La energía del fotón dispersado se calcula según la ecuación:
α, =
α
x
La siguiente figura recoge el diagrama de flujo del algoritmo del método.
γ1 , γ 2
β = 1 + 2α , ψ = 1 −
P1 =
¿ ( γ1 < P1 ) ?
+
-
1
2
ψ
⎛ β +1 ⎞
, S1 = , S2 = ⎜1 − 2 ⎟ ln β, S4 =
2
β
α
α ⎠
2
⎝
S1
S
, P2 = 2 , P3 = P1
ST
ST
¿ ( γ1 < (P1 + P2 ) ) ?
-
ST = 2S1 + S2 + S4
¿ ( γ1 < (P1 + P2 + P3 ) ) ?
+
x = 2α ⋅ γ 2 + 1
+
x = βγ2
cos θ = 1 −
-
x=
β
2α ⋅ γ 2 + 1
x −1
α
, α, =
α
x
Figura A.4: Diagrama de flujo del método de Koblinger. Figura 77
192
x = [1 − γ 2 ⋅ ψ ]
−
1
2
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
A.3 Método de Newton - Raphson
Si al igual que en el punto A1 se define a α =
hν como la energía del fotón incidente
me c2
expresada en unidades de la energía másica del electrón en reposo, a α ' =
α
⎡⎣1 + α (1 − cos θ ) ⎤⎦
como la energía del fotón resultante de la interacción Compton normalizada con la energía másica
del electrón en reposo y a x =
α
= 1 + α (1 − cos θ ) , donde θ es el ángulo de salida del fotón
α'
resultante con relación al vector director del fotón incidente, es posible entonces escribir la
ecuación de Klein-Nishina como:
dσ
B C 1⎤
⎡
= k ⎢A + + 2 + 3 ⎥
dx
x x
x ⎦
⎣
Siendo k =
C=
( 1 ≤ x ≤ 1 + 2α )
(A.3.1),
π ⋅ re2
1
1+ β
( re igual que en la ecuación (A.1.1)), A = 2 , β = 1 + 2α , B = 1 − 2 y
α
α
α
β
.
α2
La sección eficaz total para la dispersión no coherente puede calcularse según:
β
β
dσ
B C 1⎤
⎡
σt =
⋅ dx = k ⎢ A + + 2 + 3 ⎥ ⋅ dx = k ⋅ G
dx
x x
x ⎦
⎣
1
1
∫
∫
(A.3.2)
Resolviendo la integral en la ecuación (A.3.2) se obtiene que:
G=
4 ⎛ 1+ β ⎞
1⎛
1 ⎞
+ ⎜1 − 2 ⎟ ln β + ⎜1 − 2 ⎟
α ⎝
α ⎠
2⎝ β ⎠
(A.3.3)
A partir de la ecuación (A.3.1) para la sección eficaz diferencial es posible construir la función de
densidad de probabilidad para la variable x ( 1 ≤ x ≤ 1 + 2α ) como:
f (x) =
1 ⎡
B C 1⎤
⋅ ⎢A + + 2 + 3 ⎥
G ⎣
x x
x ⎦
(A.3.4)
La función de probabilidad acumulativa de la variable x puede obtenerse a partir de la integral de
la de la función de densidad de probabilidad (A.3.4), según:
193
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Apéndice A
x
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
( )
F ( x ) = ∫ f x , ⋅ dx , =
1
1 ⎡
1 ⎞⎤
⎛ 1⎞ 1 ⎛
⋅ ⎢ A ⋅ ( x − 1) + B ⋅ ln ( x ) + C ⋅ ⎜1 − ⎟ + ⋅ ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎥
G ⎣
⎝ x ⎠ 2 ⎝ x ⎠⎦
(A.3.5),
donde: 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 .
Es posible realizar el muestreo de la variable x, acorde con la función de probabilidad (A.3.5),
resolviendo la ecuación (Ver acápite 3.3.2.1):
γ = F( x)
siendo
(A.3.6),
γ un número aleatorio, uniformemente distribuido en el intervalo entre 0 y 1. Si bien no es
posible hallar la solución analítica de la ecuación (A3.6) en la forma: x = F−1 ( γ ) , la variable x
puede calcularse mediante métodos numéricos, como por ejemplo, a través del conocido método
de iteración de Newton – Raphson, [Shampine L. et. al. 1997]:
El desarrollo de la función F(x) en serie de Taylor alrededor del punto x0 está dado por:
1
F ( x 0 + ε ) = F ( x 0 ) + F' ( x 0 ) ⋅ ε + F'' ( x 0 ) ⋅ ε 2 + ... ,
2
(A.3.7)
Tomando los términos de orden inferior a dos se tiene:
F ( x 0 + ε ) = F ( x 0 ) + F' ( x 0 ) ⋅ ε
(A.3.8)
Haciendo F ( x 0 + ε ) = 0 y resolviendo para ε se tiene:
ε=−
F ( x0 )
(F (x
F ( x0 )
'
'
0
) ≠ 0)
(A.3.9)
Sustituyendo ε = x1 − x 0 en (A.3.9) se obtiene la expresión:
x1 = x 0 −
F ( x0 )
(A.3.10),
F' ( x 0 )
que calcula el cero de la recta dada por la parte derecha de la ecuación (A.3.8). Para funciones no
lineales es necesario realizar la iteración de la ecuación (A.3.10) siempre que F' ( x i ) ≠ 0 . Se llega
así a la ecuación básica del método de Newton – Raphson:
x n +1 = x n −
F( xn )
(A.3.11)
F' ( x n )
El método de Newton – Raphson es inestable cerca de extremos locales o cuando la función F(x)
tiene asíntotas horizontales en el intervalo de interés. En el caso de la función de probabilidad
acumulativa definida según la ecuación (A.3.5) el método converge rápidamente, como puede
notarse en las Figuras A.5 y A.6 que muestran, a modo de ejemplo, el comportamiento de esta
función para energías iniciales de los fotones de 1.0 MeV y 0.1 MeV respectivamente.
194
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
1.000
0.900
0.800
0.700
F(X)
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
X
Figura A.5: Gráfico de la función de probabilidad acumulativa F(x) según la ecuación (A.3.5),
para una energía de los fotones igual a 1.0 MeV. Figura 78
1.000
0.900
0.800
0.700
0.600
F(X)
MENÚ
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
1.000
1.050
1.100
1.150
1.200
1.250
1.300
1.350
1.400
X
Figura A.6: Gráfico de la función de probabilidad acumulativa F(x) según la ecuación (A.3.5),
para una energía de los fotones igual a 0.1 MeV. Figura 79
La expresión matemática para resolver la ecuación (A.3.6) mediante el método de iteración, según
la ecuación (A.3.11) es:
⎛
1 ⎞ 1 ⎛
1 ⎞
A ⋅ ( x n − 1) + B ⋅ ln ( x n ) + C ⋅ ⎜1 − ⎟ + ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ − γ ⋅ G
⎝ xn ⎠ 2 ⎝ xn ⎠
x n +1 = x n −
B C 1
+ +
A+
x n x 2n x 3n
(A.3.12)
Donde los términos A, B, C y G son los definidos en las ecuaciones (A.3.1) y (A.3.3).
195
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
La siguiente figura recoge el diagrama de flujo para el muestreo de la distribución de Klein –
Nishina mediante el método de Newton – Raphson.
γ
A=
β
1
4
1⎛
1 ⎞
⎛ β +1 ⎞
, β = 1 + 2α, Β = ⎜1 − 2 ⎟ , C = 2 , G = + B ⋅ ln β + ⎜1 − 2 ⎟
2
α
α ⎠
α
α
2⎝ β ⎠
⎝
x = 1, ζ = presición
y=x
1 ⎞
⎛ 1⎞ 1⎛
A ( x − 1) + Bln ( x ) + C ⎜1 − ⎟ + ⎜ 1 − 2 ⎟ − γ ⋅ G
⎝ x ⎠ 2⎝ x ⎠
x=x−
1
1
1
A+B +C 2 + 3
x
x
x
-
¿ { y − x ≤ ζ} ?
+
cos θ = 1 −
x −1
α
, α, =
α
x
Figura A.7: Diagrama de flujo para el muestreo de la fórmula de Klein-Nishina mediante el
método de Newton - Raphson. Figura 80
196
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
A.4 Método de Everett – Cashwell
'
1
Partiendo de la ecuación (A1.1) y definiendo x = α =
es posible obtener la
α 1 + α (1 − cos θ )
ecuación de Klein-Nishina en la forma:
dσ π⋅ re2 ⎡
1
⎤
=
⋅ ⎢ x + + μ 2 − 1⎥ ⋅ dx , con μ = cos θ y ξ ≡ 1 ≤ x ≤ 1
α ⎣
dx
x
1 + 2α
⎦
(A.4.1)
La función de densidad de probabilidad correspondiente puede escribirse como:
p ( x ) dx =
f ( x ) dx
,
F (ξ)
donde: f ( x ) = x + x −1 + μ 2 − 1, μ = 1 + α −1 − α −1x −1 ,
1
1
ξ≡
≤ x ≤ 1,
1 + 2α
y F ( ξ ) = f ( x ) dx ≡ G ,
∫
ξ
La función f(x) puede expresarse como:
(
)(
f ( x ) = x + x −1 + α −2 1 − x −1 ξ−1 − x −1
)
(A.4.2),
cuyo desarrollo conduce a:
(
)
f (x) = x + α −2 ξ−1 + α −2 α 2 − 2α − 2 x −1 + α −2 x −2
El muestreo aleatorio de la variable x =
γ=
(A.4.3)
α ' consiste entonces en resolver la ecuación:
α
F(x)
G
(A.4.4),
donde: γ es un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo entre 0 y 1 y
1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx =
x
1
1 − x 2 + α −2 ⎡ξ−1 (1 − x ) + α 2 − 2α − 2 ln x −1 + x −1 − 1⎤
⎣
⎦
2
(
)
(
)
(A.4.5)
+ 4α −1
(A.4.6)
Sustituyendo ξ en la ecuación (A.4.5) se tiene:
(
)
F ( ξ ) ≡ G = 1 − 2α −1 − 2α −2 ln ( 2α + 1) +
2α ( α + 1)
( 2α + 1)
2
El método propuesto por [Everett y Cashwell, 1970] consiste en aproximar la función inversa
x = F−1 ( G ⋅ γ ) con funciones analíticas, deducidas para diferentes intervalos de la variable x.
197
MENÚ
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
Caso I: ( α >
7
)
6
Cuando α >
7
1
, la constante ξ =
< 0.3 y en el intervalo [ ξ, 0.3] la función f(x) puede
2α + 1
6
aproximarse como: f ( x ) ≅ C ⋅ x −1 ,
x ∈ [ ξ, 0.3] . Por lo que en este intervalo la función de
probabilidad acumulativa F(x) se obtiene como:
1
0.3
1
0.3
x
x
0.3
x
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ + ∫ ≅ F ( 0.3) +
∫ Cx
(
dx = F ( 0.3) + C ln 0.3x −1
−1
)
(A.4.7)
Sustituyendo x = 0.3 en (A.4.5) se llega a:
F ( 0.3) = 1.65898 − 1.00796α −1 + 0.62537α −2
(A.4.8)
⎡ G − F ( 0.3) ⎤⎦
, para satisfacer con la condición: F ( ξ ) = G . Sustituyendo C en la
La constante C = ⎣
ln 0.3 ξ −1
(
)
ecuación (A.4.7) se tiene:
F ( x ) ≅ F ( 0.3) +
(
⎡⎣G − F ( 0.3) ⎤⎦ ln 0.3 x −1
ln 0.3 ξ −1
(
)
)
(A.4.9)
Sustituyendo F(x), según (A.4.9), en la ecuación (A.4.4) se tiene:
(
⎡⎣ G − F ( 0.3) ⎤⎦ ln 0.3 x −1
G ⋅ γ = F ( 0.3) +
ln 0.3 ξ −1
(
)
)
( ξ ≤ x ≤ 0.3 )
(A.4.10)
Resolviendo (A.4.10) para x:
(
⎡ ( G ⋅ γ − F ( 0.3) ) ln 0.3 ⋅ ξ−1
x = 0.3exp ⎢ −
G − F ( 0.3)
⎢
⎣
) ⎤⎥ ( F ( 0.3) ≤ G ⋅ γ ≤ F ( ξ) = G )
⎥
⎦
(A.4.11)
En el intervalo: F ( 0.3) ≥ F ( x ) = G ⋅ γ ≥ 0 ( 0.3 ≤ x ≤ 1 ) se asume una función cúbica para
F−1 ( G ⋅ γ ) ≡ Q ( G ⋅ γ ) , en la forma:
Q ( G ⋅ γ ) = a 0 + a1 ( G ⋅ γ ) + a 2 ( G ⋅ γ ) + a 3 ( G ⋅ γ )
2
3
(A.4.12)
Para la función (A.4.12) se demanda que cumpla con las siguientes condiciones de frontera:
1
1 ,
Q ⎡⎣ F ( 0.3 ) ⎤⎦ = 0.3 , Q ⎡⎣ F (1) ⎤⎦ = Q ( 0 ) = 1 , Q ' ⎡⎣ F ( 0.3) ⎤⎦ =
=−
F' ( 0.3)
f ( 0.3)
Q ' ( 0 ) = Q ' ⎡⎣ F (1) ⎤⎦ =
1
1
1
=−
=− ,
F ' (1)
f (1)
2
donde: f(1) y f(0.3) se obtienen de la ecuación (A.4.3):
f (0.3) = 3.6333 − 4.6666α −1 + 5.4444α −2
Aplicando las condiciones de frontera a la ecuación (A4.12) se tiene:
198
(A.4.13)
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
2
F⎛ G⋅γ ⎞
⎛ G⋅γ ⎞
⎛ G⋅γ ⎞
2
3
Q (G ⋅ γ ) = 1− ⎜
⎟ + (F ⋅ a2 )⎜
⎟ + (F ⋅ a3 ) ⎜
⎟
2⎝ F ⎠
⎝ F ⎠
⎝ F ⎠
donde: F = F ( 0.3) ,
Caso 2: ( α ≤
F2 ⋅ a 2 = F +
3
(A.4.14),
F
F
F
+ 1.4
− 2.1 , F3 ⋅ a 3 = − −
2 f ( 0.3)
f ( 0.3)
7
)
6
En el caso de α ≤
7
se tiene que 0.3 ≤ ξ < 1 , por lo que se utiliza una aproximación cúbica igual a
6
(A.4.12) para F−1 ( G ⋅ γ ) ≡ Q ( G ⋅ γ ) en todo el intervalo: F ( ξ ) ≥ F ( x ) = G ⋅ γ ≥ F (1) = 0
( ξ ≤ x ≤ 1 ).
En este caso, las condiciones de frontera que debe cumplir la aproximación de
F−1 ( G ⋅ γ ) ≡ Q ( G ⋅ γ ) son:
Q ⎣⎡ F ( ξ ) ⎦⎤ = ξ ,
Q ⎣⎡ F (1) ⎦⎤ = Q ( 0 ) = 1 ,
Q ' ( 0 ) = Q ' ⎡⎣ F (1) ⎤⎦ =
Q ' ⎡⎣ F ( ξ ) ⎤⎦ =
1
1
=−
F' ( ξ )
f (ξ)
y
1
1
1
=−
=− ,
F' (1)
f (1)
2
Donde: f(1) y f(ξ) se obtienen de la ecuación (A.4.2):
f ( ξ ) = ξ + ξ −1 =
1
+ 2α + 1
2α + 1
(A.4.15)
Aplicando las condiciones de frontera a la ecuación (A.4.12) se tiene:
⎛G⎞
Q ( G ⋅ γ ) = 1 − ⎜ ⎟ γ + ( G 2 ⋅ a 2 ) γ 2 + ( G3 ⋅ a 3 ) γ3
⎝2⎠
donde: G se obtiene de la ecuación (A.4.6), G 2 ⋅ a 2 = G +
G3 ⋅ a 3 = −
(A.4.16),
G
− 3 (1 − ξ ) , y
f ( ξ)
G
G
−
+ 2 (1 − ξ )
2 f ( ξ)
La siguiente figura recoge el diagrama de flujo para el muestreo de la distribución de Klein –
Nishina mediante el método de Everett – Cashwell:
199
MENÚ
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Apéndice A
Métodos de muestreo de la ecuación de Klein - Nishina
γ
β=1/α r =1–2β(1+β)
F=G
η = 2α+1
+
ξ=1/η
λ = log η
G = 2α(α+1)ξ2 + 4β+ r λ
-
7⎞
⎛
¿⎜ α ≤ ⎟ ?
6⎠
⎝
F = N1 + β ( − N 2 + N3 β )
J=F/G
+
¿( γ ≤ J)?
f = N 4 + β ( − N5 + N 6 β )
f = ξ+η
R=γ
R= γ/J
g = 3(1– ξ)
h = 2(1– ξ)
g = 2.1
h = 1.4
a=F/2
-
Λ = ( λ − N 7 ) / (1 − J )
x = 0.3 exp ⎣⎡ −Λ ( γ − J ) ⎦⎤
d=F/f
b = F+ d – g c = –a –d + h
α' = x ⋅ α
X = 1 + R[–a + R( b + R.c )]
Constantes
N1 = 1.65898
N2 = 1.00796
N3 = 0.62537
N4= 3.63333
N5 = 4.66667
N6 = 5.44444
N7= 1.20397
Figura A.8: Diagrama de flujo para el muestreo de la fórmula de Klein-Nishina mediante el
método de Everett – Cashwell. Figura 81
200
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APÉNDICE B
VENTANAS DE INTERFAZ DEL CÓDIGO
DETEFF
201
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B1: Opciones para la gestión de archivos de datos y resultados. Figura 82
Figura B2: Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores centelleadores.
Figura 83
202
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B3: Ventana de entrada de datos para la simulación de los detectores de semiconductor.
Figura 84
203
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B4: Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes cilíndricas.Figura 85
204
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B5: Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes rectangulares. Figura
86
205
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B6: Ventana de entrada de datos para la modelización de las fuentes con geometría
Marinelli, mostrando las indicaciones de ayuda sobre el parámetro bajo del cursor. Figura 87
206
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B7: Ventana de entrada de datos para la modelización de filtros entre la muestra y el
detector. Figura 88
Figura B8: Ventana de entrada de datos estadísticos. Figura 89
207
MENÚ
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Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B9: Ventana para el cálculo de los coeficientes de atenuación. Figura 90
Figura B10: Ventana para la selección del sonido de aviso de fin de la simulación. Figura 91
208
MENÚ
SALIR
Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B11: Visualización del espectro matemático durante las simulaciones.Figura 92
209
MENÚ
SALIR
Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B12: Ventana con los resultados de la simulación, con posibilidades de edición e
impresión. Figura 93
210
MENÚ
SALIR
Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
Figura B13: Ventana para seleccionar el contenido de la ayuda. Figura 94
Figura B14: Indicaciones sobre las funciones de los botones de aceleración y de los elementos del
menú de opciones. Figura 95
211
MENÚ
SALIR
Apéndice B
Ventanas de interfaz del código DETEFF
212
MENÚ
SALIR
APÉNDICE C
IMPLEMENTACIÓN DEL GENERADOR
MERSENNE TUWISTER EN PASCAL
{******************************************************************
Mersenne Twister Random Number Generator
******************************************************************
A C-program for MT19937, with initialization improved 2002/1/26. Coded by Takuji Nishimura
and Makoto Matsumoto. Before using, initialize the state by using init_genrand(seed) or
init_by_array(init_key, key_length) (respectively InitMT and InitMTbyArray in the TPMath
version)
Copyright (C) 1997 - 2002, Makoto Matsumoto and Takuji Nishimura, All rights reserved.
Redistribution and use in source and binary forms, with or withot modification, are permitted
provided that the following conditions are met:
1.
2.
3.
Redistributions of source code must retain the above copyright notice, this list of conditions
and the following disclaimer.
Redistributions in binary form must reproduce the above copyright notice, this list of
conditions and the following disclaimer in the documentation and/or other materials
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THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE COPYRIGHT HOLDERS AND CONTRIBUTORS "AS
IS" AND ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
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PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR
PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF
LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT (INCLUDING
NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THIS
SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
Any feedback is very welcome.
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.html
email: m-mat @ math.sci.hiroshima-u.ac.jp (remove space)
******************************************************************
}
213
MENÚ
SALIR
Apéndice C
Implementación del generador Mersenne Twister en Pascal
unit uranmt;
interface
procedure InitMT(Seed : LongInt);
{Initializes MT generator with a seed}
procedure InitMTbyArray(InitKey : array of LongInt; KeyLength :
Word);
{Initialize MT generator with an array InitKey[0..(KeyLength 1)]}
function IRanMT : LongInt;
{Generates a Random number on [-2^31
... 2^31 - 1] interval}
implementation
const
N
M
MATRIX_A
UPPER_MASK
LOWER_MASK
=
=
=
=
=
624;
397;
$9908b0df; {constant vector a}
$80000000; {most significant w-r bits}
$7fffffff; {least significant r bits}
mag01 : array[0..1] of {Cardinal}LongInt = (0, MATRIX_A);
var
mt : array[0..(N-1)] of {Cardinal} LongInt; {the array for the
state vector}
mti : Word;
{ mti == N+1 means mt[N] is not initialized}
procedure InitMT(Seed : LongInt);
var
i : Word;
begin
mt[0] := Seed and $ffffffff;
for i := 1 to N-1 do
begin
mt[i] := (1812433253 * (mt[i-1] Xor (mt[i-1] shr 30)) + i);
{See Knuth TAOCP Vol2. 3rd Ed. P.106 For multiplier.
In the previous versions, MSBs of the seed affect
only MSBs of the array mt[].
2002/01/09 modified by Makoto Matsumoto}
mt[i] := mt[i] and $ffffffff;
{For >32 Bit machines}
end;
mti := N;
end;
214
MENÚ
SALIR
Apéndice C
Implementación del generador Mersenne Twister en Pascal
procedure InitMTbyArray(InitKey : array of LongInt; KeyLength :
Word);
var
i, j, k, k1 : Word;
begin
InitMT(19650218);
i := 1;
j := 0;
if N > KeyLength then k1 := N else k1 := KeyLength;
for k := k1 downto 1 do
begin
mt[i] := (mt[i] Xor ((mt[i-1] Xor (mt[i-1] shr 30)) *
* 1664525)) + InitKey[j] + j; { non linear }
mt[i] := mt[i] and $ffffffff; { for WORDSIZE > 32 machines }
i := i + 1;
j := j + 1;
if i >= N then
begin
mt[0] := mt[N-1];
i := 1;
end;
if j >= KeyLength then j := 0;
end;
for k := N-1 downto 1 do
begin
mt[i] := (mt[i] Xor ((mt[i-1] Xor (mt[i-1] shr 30)) *
* 1566083941)) - i;
{non linear}
mt[i] := mt[i] and $ffffffff; {for WORDSIZE > 32 machines}
i := i + 1;
if i >= N then
begin
mt[0] := mt[N-1];
i := 1;
end;
end;
mt[0]
array}
end;
:=
$80000000;
{MSB
is
215
1;
assuring
non-zero
initial
MENÚ
SALIR
Apéndice C
Implementación del generador Mersenne Twister en Pascal
function IRanMT : LongInt;
var
y : LongInt;
k : Word;
begin
if mti >= N then {generate N words at one Time}
begin
{If IRanMT() has not been called, a default initial seed is
used}
if mti = N + 1 then InitMT(5489);
for k := 0 to (N-M)-1 do
begin
y := (mt[k] and UPPER_MASK) or (mt[k+1] and LOWER_MASK);
mt[k] := mt[k+M] xor (y shr 1) xor mag01[y and $1];
end;
for k := (N-M) to (N-2) do
begin
y := (mt[k] and UPPER_MASK) or (mt[k+1] and LOWER_MASK);
mt[k] := mt[k - (N - M)] xor (y shr 1) xor mag01[y and
$1];
end;
y := (mt[N-1] and UPPER_MASK) or (mt[0] and LOWER_MASK);
mt[N-1] := mt[M-1] xor (y shr 1) xor mag01[y and $1];
mti := 0;
end;
y := mt[mti];
mti := mti + 1;
{Tempering}
y := y xor (y shr 11);
y := y xor ((y shl 7) and $9d2c5680);
y := y xor ((y shl 15) and $efc60000);
y := y xor (y shr 18);
IRanMT := y
end;
const
init : array[0..3] of LongInt = ($123, $234, $345, $456);
begin
InitMTbyArray(init, 4);
end.
216
9.99E-1
1.00E+0
1.00E+0
1.80
1.90
2.00
9.93E-1
1.50
9.96E-1
9.90E-1
1.40
9.98E-1
9.84E-1
1.30
1.70
9.77E-1
1.20
1.60
9.67E-1
8.86E-1
0.70
9.54E-1
8.44E-1
0.60
1.10
7.87E-1
0.50
1.00
7.02E-1
0.40
9.16E-1
5.72E-1
0.30
9.37E-1
3.60E-1
0.20
0.90
5.10E-2
0.10
0.80
0.00E+0
E0 = 2.0
0.05
Ei
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.96E-1
9.93E-1
9.88E-1
9.82E-1
9.73E-1
9.61E-1
9.45E-1
9.24E-1
8.96E-1
8.56E-1
8.1E-1
7.17E-1
5.89E-1
3.75E-1
5.74E-2
0.00E+0
E0 =1.9
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.92E-1
9.86E-1
9.78E-1
9.67E-1
9.53E-1
9.33E-1
9.05E-1
8.67E-1
8.13E-1
7.31E-1
6.04E-1
3.92E-1
6.37E-2
0.00E+0
E0 =1.8
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.94E-1
9.90E-1
9.83E-1
9.74E-1
9.60E-1
9.41E-1
9.15E-1
8.78E-1
8.26E-1
7.46E-1
6.20E-1
4.08E-1
6.99E-2
0.00E+0
E0 =1.7
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.93E-1
9.87E-1
9.79E-1
9.67E-1
9.50E-1
9.26E-1
8.91E-1
8.39E-1
7.64E-1
6.40E-1
4.28E-1
7.79E-2
0.00E+0
E0 =1.6
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.96E-1
9.91E-1
9.84E-1
9.74E-1
9.57E-1
9.36E-1
9.03E-1
8.54E-1
7.81E-1
6.60E-1
4.46E-1
9.02E-2
0.00E+0
E0 =1.5
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.90E-1
9.81E-1
9.67E-1
9.47E-1
9.18E-1
8.72E-1
8.02E-1
6.83E-1
4.71E-1
1.01E-1
0.00E+0
E0 =1.3
217
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.93E-1
9.86E-1
9.75E-1
9.56E-1
9.29E-1
8.86E-1
8.18E-1
7.04E-1
4.93E-1
1.16E-1
0.00E+0
E0 =1.2
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.92E-1
9.83E-1
9.67E-1
9.43E-1
9.03E-1
8.37E-1
7.27E-1
5.18E-1
1.31E-1
0.00E+0
E0 =1.1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.96E-1
9.89E-1
9.77E-1
9.55E-1
9.20E-1
8.59E-1
7.54E-1
5.52E-1
1.52E-1
0.00E+0
F(E0,Ei) [E0, Ei en MeV]
E0 =1.4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.95E-1
9.85E-1
9.67E-1
9.36E-1
8.80E-1
7.78E-1
5.81E-1
1.72E-1
0.00E+0
E0 =1.0
-
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.92E-1
9.79E-1
9.52E-1
9.03E-1
8.06E-1
6.12E-1
1.96E-1
0.00E+0
E0 =0.9
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.98E-1
9.90E-1
9.70E-1
9.25E-1
8.38E-1
6.53E-1
2.33E-1
0.00E+0
E0 =0.8
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.97E-1
9.83E-1
9.48E-1
8.72E-1
6.98E-1
2.72E-1
0.00E+0
E0 =0.7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.95E-1
9.72E-1
9.06E-1
7.49E-1
3.18E-1
0.00E+0
E0 =0.6
Tabla D.1: Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado en NaI 48
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.90E-1
9.44E-1
8.01E-1
3.76E-1
0.00E+0
E0 =0.5
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GENERADAS CON EL CÓDIGO
MCNP – 4C PARA LA ENERGÍA DE LA RADIACIÓN DE FRENADO
APÉNDICE D
MENÚ
SALIR
9.65E-1
9.75E-1
9.83E-1
9.89E-1
9.93E-1
9.96E-1
9.98E-1
9.99E-1
1.00E+0
1.00E+0
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
9.51E-1
1.00
1.20
9.34E-1
0.90
1.10
9.10E-1
7.73E-1
0.50
0.80
6.83E-1
0.40
8.34E-1
5.46E-1
0.30
8.78E-1
3.25E-1
0.20
0.70
3.56E-2
0.60
0.00E+0
0.10
E0 = 2.0
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.92E-1
9.87E-1
9.80E-1
9.70E-1
9.57E-1
9.41E-1
9.20E-1
8.89E-1
8.47E-1
7.86E-1
6.99E-1
5.62E-1
3.42E-1
4.03E-2
0.00E+0
E0 =1.9
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.95E-1
9.91E-1
9.85E-1
9.76E-1
9.65E-1
9.49E-1
9.28E-1
9.00E-1
8.59E-1
8.01E-1
7.14E-1
5.79E-1
3.58E-1
4.60E-2
0.00E+0
E0 =1.8
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.94E-1
9.89E-1
9.81E-1
9.71E-1
9.57E-1
9.37E-1
9.10E-1
8.71E-1
8.15E-1
7.29E-1
5.96E-1
3.73E-1
5.20E-2
0.00E+0
E0 =1.7
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.96E-1
9.93E-1
9.87E-1
9.77E-1
9.64E-1
9.46E-1
9.21E-1
8.84E-1
8.31E-1
7.47E-1
6.17E-1
3.92E-1
5.96E-2
0.00E+0
E0 =1.6
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.91E-1
9.83E-1
9.72E-1
9.55E-1
9.31E-1
8.98E-1
8.46E-1
7.67E-1
6.37E-1
4.15E-1
6.74E-2
0.00E+0
E0 =1.5
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.89E-1
9.79E-1
9.64E-1
9.42E-1
9.10E-1
8.61E-1
7.85E-1
6.58E-1
4.37E-1
7.68E-2
0.00E+0
218
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.93E-1
9.85E-1
9.73E-1
9.52E-1
9.23E-1
8.77E-1
8.03E-1
6.79E-1
4.59E-1
8.75E-2
0.00E+0
E0 =1.3
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.91E-1
9.81E-1
9.64E-1
9.38E-1
8.96E-1
8.27E-1
7.09E-1
4.91E-1
1.06E-1
0.00E+0
E0 =1.2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.96E-1
9.88E-1
9.74E-1
9.51E-1
9.13E-1
8.47E-1
7.34E-1
5.16E-1
1.20E-1
0.00E+0
E0 =1.1
F(E0,Ei) [E0, Ei en MeV]
E0 =1.4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.94E-1
9.84E-1
9.65E-1
9.30E-1
8.70E-1
7.62E-1
5.51E-1
1.42E-1
0.00E+0
E0 =1.0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.98E-1
9.93E-1
9.77E-1
9.48E-1
8.93E-1
7.95E-1
5.89E-1
1.66E-1
0.00E+0
E0 =0.9
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.98E-1
9.89E-1
9.66E-1
9.19E-1
8.28E-1
6.33E-1
1.99E-1
0.00E+0
E0 =0.8
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.97E-1
9.82E-1
9.43E-1
8.62E-1
6.77E-1
2.37E-1
0.00E+0
E0 =0.7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.95E-1
9.70E-1
9.00E-1
7.29E-1
2.85E-1
0.00E+0
E0 =0.6
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.89E-1
9.41E-1
7.88E-1
3.47E-1
0.00E+0
E0 =0.5
Funciones de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado
Tabla D.2: Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado en CsI 49
0.05
Ei
Apéndice D
MENÚ
SALIR
1.00E+0
1.00E+0
2.00
1.50
1.90
9.96E-1
1.40
1.00E+0
9.93E-1
1.30
1.80
9.90E-1
1.20
9.98E-1
9.85E-1
1.10
9.99E-1
9.79E-1
1.00
1.70
9.70E-1
0.90
1.60
9.43E-1
9.58E-1
0.80
9.21E-1
0.70
7.90E-1
0.40
8.51E-1
6.93E-1
0.30
8.92E-1
5.23E-1
0.20
0.50
1.86E-1
0.10
0.60
0.00E+0
E0 = 2.0
-
1.00E+0
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.95E-1
9.92E-1
9.88E-1
9.82E-1
9.74E-1
9.62E-1
9.48E-1
9.27E-1
8.98E-1
8.58E-1
7.99E-1
7.04E-1
5.34E-1
1.93E-1
0.00E+0
E0 =1.9
-
-
1.00E+0
1.00E+0
1.00E+0
9.98E-1
9.97E-1
9.95E-1
9.91E-1
9.86E-1
9.79E-1
9.69E-1
9.55E-1
9.35E-1
9.08E-1
8.69E-1
8.10E-1
7.17E-1
5.48E-1
2.06E-1
0.00E+0
E0 =1.8
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.96E-1
9.93E-1
9.89E-1
9.83E-1
9.73E-1
9.61E-1
9.42E-1
9.16E-1
8.79E-1
8.21E-1
7.29E-1
5.64E-1
2.17E-1
0.00E+0
E0 =1.7
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.92E-1
9.86E-1
9.78E-1
9.66E-1
9.49E-1
9.24E-1
8.89E-1
8.33E-1
7.42E-1
5.77E-1
2.26E-1
0.00E+0
E0 =1.6
-
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.98E-1
9.95E-1
9.90E-1
9.83E-1
9.74E-1
9.58E-1
9.36E-1
9.02E-1
8.48E-1
7.59E-1
5.96E-1
2.43E-1
0.00E+0
E0 =1.5
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.93E-1
9.87E-1
9.79E-1
9.65E-1
9.45E-1
9.12E-1
8.60E-1
7.75E-1
6.14E-1
2.57E-1
0.00E+0
E0 =1.3
219
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.98E-1
9.96E-1
9.91E-1
9.84E-1
9.72E-1
9.53E-1
9.24E-1
8.75E-1
7.91E-1
6.33E-1
2.77E-1
0.00E+0
E0 =1.2
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.98E-1
9.95E-1
9.89E-1
9.79E-1
9.62E-1
9.34E-1
8.88E-1
8.09E-1
6.54E-1
2.89E-1
0.00E+0
E0 =1.1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
1.00E+0
9.97E-1
9.93E-1
9.85E-1
9.71E-1
9.46E-1
9.02E-1
8.28E-1
6.75E-1
3.10E-1
0.00E+0
F(E0,Ei) [E0, Ei en MeV]
E0 =1.4
E0 =1.0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.97E-1
9.91E-1
9.79E-1
9.57E-1
9.18E-1
8.46E-1
6.95E-1
3.33E-1
0.00E+0
E0 =0.9
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.96E-1
9.87E-1
9.70E-1
9.35E-1
8.68E-1
7.23E-1
3.54E-1
0.00E+0
E0 =0.8
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.99E-1
9.93E-1
9.79E-1
9.48E-1
8.85E-1
7.48E-1
3.81E-1
0.00E+0
E0 =0.7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.98E-1
9.90E-1
9.66E-1
9.12E-1
7.83E-1
4.12E-1
0.00E+0
E0 =0.6
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.96E-1
9.80E-1
9.35E-1
8.15E-1
4.47E-1
0.00E+0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1.00E+0
9.93E-1
9.60E-1
8.52E-1
4.90E-1
0.00E+0
E0 =0.5
Funciones de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado
Tabla D.3: Valores de la función de distribución de probabilidad para la energía de la radiación de frenado en Ge 50
0.05
Ei
Apéndice D
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