Valor absoluto

“ VALOR ABSOLUTO “
El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre el cero y ese número sobre la recta
numérica.
El sÃ−mbolo se utiliza para indicar el valor absoluto
El valor absoluto de cualquier número diferente a 0, siempre es positivo.
El valor absoluto de cero, es cero.
Si a representa cualquier número real entonces:
a si a 0 ( positivos )
-a si a < 0 (negativos )
Ejercicio.
Ordenar de mayor a menor
a) 6, 2, - 1, I 3 I, I 5 I
6, 5, 3, 2, - 1,
b) 4, -2, 8, l - 6 l, - l 3 l
8, 6, 4, -2,
c) l 9 l, l 4 l, l -12 l, l 3 l, l -5 l
12, 9, 5, 4, 3
d) - l 5 l, - l 6 l,- l 7 l, l -8 l, l -9 l
NOTA.
9, 8, -5, -6, -7
En el ejercicio siguiente se deben resolver
por orden asÃ−:
1.2.3.- valor absoluto
1.- Potencias y RaÃ−ces
2.- Multiplicaciones y divisiones
3.- Suma y Resta
TIP. Resolver de adentro hacia fuera
Ejercicio
1
¿ Que propiedad se aplicó ?
• dos entre dos reflexiva
• sÃ− x = a 5, entonces 5x simétrica
• sÃ− x + 2 - 8 entonces 3 = x+2 simétrica
• sÃ− x = 3 y 3=y entonces x=y transitiva
• sÃ− x= 4 entonces x+3 = 4+3 reflexiva transitiva
• sÃ− 2x = 4 entonces 3 ( 2x ) = 3 ( 4 ) reflexiva
PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD
Para todos los números reales a, b, c
a=a
sÃ− a = b, entonces b = a
sÃ− a = b y b = c entonces
Propiedad Reflexiva
Propiedad Simétrica
Propiedad Transitiva
a=c
.
Ejemplos.
Propiedad Reflexiva.
3=3
x+5=x+5
Propiedad Simétrica
sÃ− x = 3 entonces 3 = x
sÃ− y x + 4 entonces x + 4y
sÃ− y = + 2x -3 entonces + 2x - 3 = y
Propiedad Transitiva
sÃ− x = a y a = 4y entonces x = 4y
sÃ− a +b = c y c = 4r entonces a + b - 4r
sÃ− 4k +3r = 2m y 2m = 5w + 3 entonces 4k + 3r = 5w + 3
“ DESIGUALDADES “
Los sÃ−mbolos de la desigualdad son:
> mayor que
mayor ó igual que
2
< menor que
menor ó igual que
Una expresión matemática que contiene uno o mas de los sÃ−mbolos anteriores se llama desigualdad.
La dirección del sÃ−mbolo de desigualdad es en ocasiones llamado sentido de la desigualdad.
Algunos ejemplos de desigualdad con una variable son:
2x + 3 4x < 3x -5 -3
Para resolver una desigualdad se debe despejar la variable en un lado del sÃ−mbolo de desigualdad. Para
despejarla se usan las mismas técnicas empleadas en la solución de ecuaciones.
PROPIEDADES
• sÃ− a > b, entonces a + c > b + c
• sÃ− a > b, entonces a-c > b - c
• sÃ− a > b y c > o, entonces ac > bc
• sÃ− a > b y c > o, entonces a/c > b/c
• sÃ− a > b y c < o, entonces ac < bc
• sÃ− a > b y c < o, entonces a/c < b/c
Las dos primeras propiedades, establecen que el mismo número puede sumarse o restarse en ambos lados de
la desigualdad.
la tres y cuatro indican que ambos lados de la desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier
número real positivo.
En la quinta y sexta indican que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por un
número negativo cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplo.
7 > 2 12>8
7 ( - 1 ) 2 ( -1 ) 12 < 4 8 < 4
-7 < - 2 - 3 < - 2
El conjunto solución de 1 desigualdad con una variable puede graficarse en la recta numérica o escribirse
en la notación de intervalos
SOLUCION DE LA
DESIGUALDAD
x>a
xa
x<a
xa
SOLUCION INDICADA EN LA
RECTA NUMERICA
SOLUCION REPRESENTADA
EN NOTACIÃ N DE
INTERVALOS
(a , )
[a , )
(- , a)
(- , a]
3
a<x<b
axb
a<xb
ax<b
El circulo sombreado indica que el final es parte de la solución
(a , b)
[a , b[
(a , b]
[a , b)
El circulo sin sombrear indica que el final no es parte de la solución
En la notación de intervalos, los corchetes se utilizan para indicar que los intervalos finales son parte de la
solución y los paréntesis, para indicar que los intervalos finales no son parte de la solución.
El sÃ−mbolo infinito indica que el conjunto solución continua indefinidamente y siempre se usa el
paréntesis
Ejercicio:
SOLUCIÃ N DESIGUALDAD
x5
x<3
2<x6
-6 x -1
-4 x <2
RECTA NÃ MERICA
SOLUCIÃ N EN NOT.
INTERVALOS
[5 , )
( , 3)
(2 , 6]
[-6 , -1]
[-4 , 2)
4