y1=A1x+B1 y= (AA)x+ (B B) y2=A2x+B2 A= 1/2 (A1+A2); B= 1/2 (B1+B2) A= 1/2 (A1-A2); B= 1/2 (B1-B2) AJUSTE ANALÍTICO y (unidades) 120 100 80 60 y=f (x) 40 20 0 0 20 40 60 80 100 x ( unidades) ¿Cómo se encuentra analíticamente y = f(x)? Aumentando una zona del gráfico y = f (x) y Pi (xi,yi) yi f (xi) Di Qi (xi,f(xi)) Di= yi –f(xi) x xi Definimos: 2 es el Chi-cuadrado χ2 = ∑Di2 =∑ [ f(xi) – yi ]2 i método de cuadrados mínimos Se busca mininizar χ2 Cuadrados mínimos: algoritmo matemático que nos permite obtener las constantes que definen la “mejor función”. Por ej. en el caso de la recta m y b. y = f (x) = m x + b χ2 = ∑Di2 =∑ [ m xi +b - yi ]2 i f(xi) Valor medido Condiciones para hallar el mínimo de una función respecto de una variable La derivada primera de la función respecto de la variable debe ser igual a 0 para el valor de la variable A que minimiza la función (A0) df/dA|A0 = 0 A0 El valor de la derivada segunda de la función para A0 debe ser mayor que cero (positiva, cóncava hacia arriba) d2f/dA2|A0 > 0 χ2 =∑ [ m xi +b - yi ]2 Queremos encontrar los valores de m y b que hacen mínimo 2 2 0 m y 2 0 b Un breve ejercicio algebraico nos permite obtener los valores de la pendiente y la ordenada al origen de la “mejor recta”: m N ( xi yi ) xi yi N xi xi 2 2 x y x x y b N x x 2 i i i i 2 2 i i i La expresión para 2 puede generalizarse para cualquier otra función: χ2 =∑ [ f(xi) – yi ]2 Supongamos que las incertidumbres son diferentes punto a punto y llamemos i a la asociada a yi. En este caso definimos 2 como: 2 f ( xi ) yi 2 i2 wi f ( xi ) yi Dónde los wi =1/i2 son los factores de peso 100 80 60 40 60 80 100 x ( unidades) 120 100 Y (unidades) y (unidades) 120 80 60 40 60 80 X (unidades) 100 y (unidades) 120 100 80 60 X y y-err -----------------------------0 1 0,4 10 12 1,5 20 20 2 30 27 3 40 45 2 50 51 3 60 63 4 70 68 3 80 79 2 90 95 3 100 98 4 Linear Regression for Data1_C: Y=A+B*X Weight given by Data1_B error bars. Parameter Value Error ----------------------------------------------A 1,0635 0,38317 B 0,99724 0,01563 -----------------------------------------------R SD N P -----------------------------------------------0,99865 1,10655 11 <0.0001 ------------------------------------------------ 40 20 0 0 20 40 60 80 100 x ( unidades) Qué es R? Para definir R, primero vamos a definir el Chi reducido (o varianza del ajuste) f2 1 N np ( f (x ) y ) i 2 i np= número de parámetros de la función f (por ejemplo si es una recta, np=2) N = número total de medidas Es una medida de la bondad del ajuste f(xi) a los valores medidos Y el Chi total (o varianza total): t2 1 ( y yi ) 2 N 1 Es una medida de la dispersión de los datos alrededor del valor medio. No depende del modelo f(xi) Se define R (coeficiente de regresión): t 2 f 2 R 2t 2 Si el modelo f (x) en una buena representación de los datos, es de esperar que tanto como f sean pequeños y que: t >> f entonces R1 Por esto, la mejor representación será aquella que de los valores de R más próximos a 1. 100 80 60 Linear Regression for Data1_C: Y=A+B*X Weight given by Data1_B error bars. Función lineal: Parameter Value Error ----------------------------------------------A 1,0635 0,38317 B 0,99724 0,01563 -----------------------------------------------R SD N P -----------------------------------------------0,99865 1,10655 11 <0.0001 ------------------------------------------------ R = 0,99865 40 20 0 0 20 40 60 80 100 x ( unidades) 120 y (unidades) y (unidades) 120 100 80 60 Polynomial Regression for Data1_C: Y = A + B1*X + B2*X^2 Weight given by Data1_B error bars. Parameter Value Error -----------------------------------------------A 1,01048 0,3934 B1 1,02979 0,05693 B2 -4,26158E-4 7,16721E-4 -------------------------------------------------R-Square(COD)SD N P -------------------------------------------------0,99739 1,1547 11 <0.0001 -------------------------------------- Función cuadrática: R = 0,99739 40 20 C Polynomial Fit of Data1_C 0 0 20 40 60 80 100 x ( unidades) y (unidades) 120 100 80 60 Función exponencial: Data: Data1_C Model: ExpGro1 Equation: y = A1*exp(x/t1) + y0 Weighting: y Instrumental Chi^2/DoF = 1.33313 R^2 = 0.99739 y0 A1 t1 1196.4629 -1195.45289 -1160.20523 ±1944.90812 ±1944.82096 ±1950.55815 C ExpGro1 fit of Data1_C 40 20 0 0 20 40 60 80 100 x ( unidades) R = 0,99739