Triángulo órtico - Aulas Virtuales

Triángulo órtico
El triángulo órtico de un ΔABC es el que tiene por vértices los pies HA, HB, HC de las alturas del
ΔABC.
HA, HB ,HC es el triángulo órtico de ABC.
Antiparalelas:
Definición:
1-Dadas dos rectas, si una transversal forma los mismos ángulos con ellas que otra, las dos
transversales son paralelas si los mismos ángulos son con las mismas rectas, o antiparalelas
respecto a las dos rectas dadas si los ángulos no son con las mismas rectas.
Paralelas
Antiparalelas
*En el caso de las paralelas, d es paralela a c.
*En el caso de las antiparalelas, c es antiparalela a d respecto a a y b. Y a y b son antiparalelas
respecto a c y d.
2-Un par de rectas son antiparalelas, una de otra, respecto a otro par de rectas si la bisectriz del
ángulo que forma el primer par de rectas es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por el
otro par.
c es antiparalela a d respecto a f y e. Y f es antiparalela a e respecto a c y d.
Propiedades:
Propiedad 1: Si en uno de los pares de rectas antiparalelas se refleja una de ellas respecto a la
bisectriz, el resultado es una recta paralela a la otra. Es esta propiedad la que da origen al nombre
de antiparalelas.
c’ es el reflejo de d por la bisectriz, y además c’ es paralela a c.
Propiedad 2: La propiedad de antiparalelismo es simétrica: si un par de rectas son antiparalelas
respecto al segundo par, entonces el segundo par es antiparalelo respecto al primero.
Propiedad 3: El cuadrilátero formado por las intersecciones de las rectas del primer par con el
segundo siempre resulta en un cuadrilátero cíclico (los vértices del cuadrilátero se encuentran en
una misma circunferencia, por lo tanto sus parejas de ángulos opuestos suman 180°).
Propiedades del triángulo órtico:
Propiedad 1:
ΔAHBHC, ΔBHcHA y ΔCHAHB son semejantes a ΔABC
Demostración: BHBC y CHcB son rectos y la circunferencia de diámetro BC pasa por Hc y HB, por
lo que forman un cuadrilátero cíclico. Por tanto BC y HBHC son antiparalelas respecto a AB y AC, y
AHCHB=ACB. Y como BAC es un ángulo compartido: ΔABC es semejante a ΔAHBHC.
Esto también se puede demostrar de igual forma para ΔBHcHA y ΔCHAHB.
Propiedad 2:
Si H es el ortocentro de ΔABC y las alturas AH, BH, CH cortan a los lados de ΔABC en D, E y F,
respectivamente y a la circunferencia circunscrita a ΔABC en D’, E’, F’, entonces se cumplen las
igualdades: HD=DD’, HE=EE´, HF=FF’.
Demostración: En el triángulo BHD’ tenemos ∠BHD=∠BFD por pertenecer a la misma
circunferencia y mirar la misma cuerda (AD), pertenecen a la misma circunferencia porque el
cuadrilátero BDHF es cíclico. Esto es porque FBD=DHC, ya que ΔBFC semejante a ΔHDC, ya que
HCD es compartido y tanto BFC como CDH son ángulos rectos por letra.
∠BFD=∠BCA ya que ΔBFD semejante a ΔBCA.
∠BCA=∠BD’A ya que pertenecen a la circunferencia de centro O y miran a la misma cuerda (AB).
∠BHD=∠BD’H por transitiva de la igualdad. En consecuencia, ΔBHD’ es isósceles, y su altura BD
también es su mediana, por lo que HD = DD’ .
Propiedad 3. El triángulo D’E’F’ es el resultado de aplicar al triángulo DEF una homotecia de centro
H y razón 2.
Demostración: Por ser HD = DD´ es HD’ = 2 · HD y lo mismo para los otros vértices.
Propiedad 4: Las alturas de un triángulo bisecan los ángulos interiores del triángulo órtico.
Demostración: La recta D’A biseca ∠E’D’F’ y DE, DF son paralelas a D’F’, D’E’, por ser homotéticas.
Así que la recta DA, que pasa por el centro de la homotecia H, biseca ∠EDF.
Corolario: Los lados del triángulo bisecan a los ángulos exteriores de su triángulo órtico.
Demostración: Ya que los lados son perpendiculares a las alturas del triángulo, que son las
bisectrices interiores del triángulo órtico, por propiedad de las bisectrices interiores y exteriores
de un ángulo, los lados de los triángulos bisecan a dichos ángulos exteriores.
Recuperado de:
http://apolonio.es/guirnalda/antiparalelas/
http://apolonio.es/guirnalda/el-triangulo-ortico/
http://es.wikipedia.org/wiki/Antiparalelas
http://es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero37/ortico.pdf
http://www.x.edu.uy/triangulos/notables.pdf
Bruno Retamar, Mauricio Spagnolo y Matias Otero.
Año 2015