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Análisis del problema de vibración de cuerdas mediante diferencias finitas
adaptadas al entorno libre SCILAB
Myriam Rocío PALLARES MUÑOZ
Facultad de Ingeniería Civil
Universidad Santo Tomás
Bogotá, Colombia
Wilson RODRÍGUEZ CALDERÓN
Programa de Ingeniería Civil
Universidad de La Salle
Bogotá, Colombia
Sandra Elodia OSPINA LOZANO
Programa de Ingeniería Civil
Universidad de La Salle
Bogotá, Colombia
RESUMEN
El artículo aborda el estudio del problema de vibración de
cuerdas, como un caso relativamente sencillo de un sistema
físico sometido a un fenómeno transitorio. Se muestra
brevemente la formulación analítica del problema donde se
obtiene la ecuación diferencial parcial (EDP) con sus
respectivas condiciones de frontera y condiciones iniciales. Esta
EDP está asociada al desplazamiento de los puntos de la cuerda
en el tiempo y bajo condiciones de frontera e iniciales conocidas
es posible resolver el problema original desarrollando un
algoritmo de diferencias finitas adaptado al problema. Dado
que, el esquema numérico requiere una buena cantidad de
cálculos se implementa un código en el software libre SCILAB
bajo el sistema operativo LINUX, que además posee facilidades
para el posproceso gráfico de los resultados mostrando así una
herramienta eficiente que no requiere ningún tipo de inversión
especial, debido al carácter libre del sistema de álgebra
computacional (CAS) empleado. Los grupos de investigación de
los autores vienen trabajando hace varios años con Software
libre de alta calidad, pero poco explorados en nuestro medio,
por lo que el artículo además pretende resaltar el uso de
software libre como herramienta de modelación de problemas
complejos en ingeniería, por supuesto siempre habrá que
realizar una inversión importante de tiempo y de investigación
en el desarrollo de códigos bajo herramientas nuevas para el
analista pero de inmenso potencial en el análisis y diseño en
ingeniería. Al final se concluye sobre la precisión de los
resultados que valida el desarrollo correcto del modelador por
diferencias finitas.
Palabras Clave: Cuerdas (Strings), Diferencias finitas (Finite
difference), Ecuaciones diferenciales parciales (Partial
differential equations), SCILAB (SCILAB).
1.
INTRODUCCIÓN [1,2]
La ecuación de onda es ecuación diferencial parcial, de
segundo orden e hiperbólica que describe adecuadamente
problemas de valor inicial en vibración de cuerdas. El problema
de cuerdas vibrantes ha sido estudiado por Jean le Rond
d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis
Lagrange y Hans-Tela, entre otros.
El modelado de la vibración de cuerdas requiere no solo del
entendimiento del modelo conceptual y matemático, sino
también del modelo numérico y su adaptación a un código
computacional, por tanto el artículo pretende resaltar la mística
de la programación de soluciones numéricas con software libre
de fácil acceso.
2.
MOTIVACIÓN [1,2]
Los aportes del artículo contemplan: la adaptación del
método de diferencias finitas a diferentes condiciones iniciales
para la vibración de una cuerda, el desarrollo de un código de
computador en el software libre SCILAB y la manifestación de
posibles aplicaciones en la validación/verificación de modelos
físicos de laboratorio y en la didáctica de la enseñanza en
ingeniería.
Es bien sabido que los procesos de enseñanza-aprendizaje en
buena medida requieren de la experimentación y modelación
bien sea física y/o numérica y en ese orden de ideas el artículo
busca resaltar el desarrollo de herramientas propias adaptadas a
las necesidades y la disponibilidad de recursos que en la
actualidad abundan en la web, sin embargo, esto requiere del
trabajo particular en ellas bajo una curva de aprendizaje que en
muchos casos es razonable respecto a los resultados que pueden
obtenerse.
3.
MARCO TEÓRICO [2,3,4]
Si una cuerda se estira fuertemente entre dos soportes y se
desplaza una cantidad en algún punto de la cuerda, la cuerda
vibra. Las vibraciones producen un sonido, ya que el aire vibra
al unísono con la cuerda. Para resolver este problema tomamos
la ecuación de gobierno definida como:
=
(1)
Esta ecuación es de segundo orden con respecto a x y a t.
Para resolver la ecuación se requieren valores en la frontera
(valores u y/o valores de las derivadas en los dos soportes) y dos
condiciones iniciales (valores u y velocidades, ∂u/∂t en t=0 ).
Esto se puede resolver numéricamente al sustituir las
derivadas por aproximaciones por diferencias finitas,
prefiriendo usar diferencias centrales en ambos casos. Si se hace
esto, se obtiene.
=
−2
∆
+
−2
∆
+
(2)
Donde los subíndices indican valores x y los superíndices
indican valores t (si las condiciones en la frontera implican
derivadas, estas serán aproximadas con diferencias en la forma
común). Si se resuelve para el desplazamiento al final del paso
de tiempo actual,
se obtiene:
∆
∆
=
+
∆
∆
+2 1−
−
Si esto se sustituye en la ecuación de la cuerda en vibración.
Si
∆ / ∆
se iguala a la unidad, que es el valor
máximo que evita inestabilidad, se genera una simplificación
importante.
=
+
∆ =
∆
√
=
(3)
Se encuentra que satisface la ecuación diferencial parcial, ya
que.
"!
∆#
∆ =
$
$#
= ( ' ** + ( ) **
/
en xi y t = 0
(5)
−2
∆
(6)
Si esta ecuación se sustituye en la ecuación, se tiene (solo
para t=0).
=
1
2
%
+
%
+
∆
(7)
Así, el procedimiento es usar la ecuación (7) para el primer
paso de tiempo; luego se usa la ecuación (4) para avanzar en el
tiempo después de ese primer paso. La ecuación (4) no solo es
estable sino que también puede proporcionar respuestas exactas.
Solución de D’Alembert
Para el problema de la cuerda en vibración la solución
analítica se puede obtener rápidamente. Esta solución se
denomina la solución de D’Alembert. Consideremos esta
expresión para u(x,t) :
,
='
+(
+)
Donde F y G son funciones arbitrarias.
−(
(8)
+(
= '*
+ )*
= '* − )*
−(
(10)
−(
(11)
= ' ** + ) **
En estas ecuaciones (10) y (11) las primas indican derivadas
de las funciones arbitrarias. Luego, al sustituir estas expresiones
para las segundas parciales en la ecuación (9) de la cuerda en
vibración, se observa que esa ecuación se satisface cuando
( =
/ . Esto significa que la solución de la ecuación (9)
puede obtenerse si es posible encontrar funciones F y G que
cumplan las condiciones iniciales y las condiciones en la
frontera. Supóngase que se proporcionan las condiciones
iniciales.
,0 = ,
∂u/∂t Se conoce en t=0 ; es una de las condiciones
iniciales; se denomina g(x). Así, puede escribirse:
=
+ )*
= (' * − () *
(4)
Esta ecuación muestra cómo es posible desplazare en el
tiempo, para obtener un nuevo valor de u en el nodo i, se suman
los dos últimos valores u calculados en nodos a la derecha y a la
izquierda y se resta el valor en el nodo i en el paso anterior a
eso. Esto está bien para el segundo paso de tiempo; se tienen
los valores iniciales u (en t=0 ) y los del paso 1 (en t=∆t).
También se tiene la información necesaria para todos los
cálculos subsecuentes.
!
+(
= '*
−
Si se reconoce que la oscilación de la cuerda en vibración es
una función periódica y que el “punto inicial” es simplemente
un instante arbitrario en el que ocurre que se conoce el
desplazamiento y la velocidad. Esto sugiere que los valores u
en t=-∆r pueden obtenerse a partir de las velocidades iniciales
especificadas. Si se usa una aproximación por diferencias
centrales:
(9)
,
,0 =
(12)
La combinación
,
=
1
-,
2
+
+(
+,
2 3#
1
/
2( 2 3#
−( .
0 10
(13)
Es de la misma forma que la ecuación (8). Ciertamente
satisface las condiciones en la frontera, ya que al sustituir t=0
en la ecuación (11) se obtiene u(x,0)=f(x) y al diferenciar con
respecto a t se obtiene:
1 *
-, ∗ ( + , * ∗ −( . = 0
2
(14)
Para el primer término de la ecuación (13), y:
1
5 ( 2(
+ ( . − −( -
− ( .6 =
(15)
(Cuando t=0) para el segundo término.
Así queda demostrado que la solución al problema de la
cuerda en vibración es proporcionada por la ecuación (13).
En el caso que g(x) sea diferente de cero es conveniente usar
para los cálculos una forma mas precisa basada en la solución
de D´Álembert. Como se ha visto, la ecuación (7) es una forma
para obtener los valores iniciales. No obstante, al estudiar la
ecuación (13) se observa que hay una técnica alternativa. Si se
sustituye t=∆t en esta ecuación y se recuerda que c∆t=∆x, para
u(xi, ∆t) se obtiene:
,∆
=
=
1
-, + ∆ + ,
2
−∆ .
2 ∆2
1
+
/
0 10
2( 2 ∆2
1
2
%
+
Caso 3:
Una cuerda mide 9 unidades de longitud. Inicialmente la
cuerda está en su posición de equilibrio (simplemente una recta
entre los soportes). Se pone en movimiento al golpearla de
modo que tenga una velocidad inicial dada por
=
?
>
Se toma ∆x = 1 unidad y sea c2= Tg/w = 4. Cuando la razón
c2 (∆t)2/(∆x)2 =1, el valor de ∆t=0.5 unidades de tiempo.
Encuentre los desplazamientos al final de un ∆t.
(16)
5.
0 10
La ecuación (16) difiere de la ecuación (7) sólo en el último
término. Si g(x)= constante, los últimos términos son iguales,
pero si g(x) no es constante, es necesario realizar la integración
en la ecuación (16). Di cha integración puede hacerse por
cualquier técnica de integración numérica como la regla del
trapecio o la regla de Simpson.
4.
∆x=0.1
= 3sin<
%
2 ∆2
1
+
/
2( 2 ∆2
u(x,0)=sen(πx),0≤x≤1, y ∂u/∂t(x,0) =0, 0≤x≤1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA [3]
Los casos abordados obedecen a posibilidades generales que
pueden darse para el problema de cuerdas. Estos son:
RESULTADOS
Dado el límite en la extensión del texto de esta publicación
solo se muestran la captura del programa SCILAB en LINUX
donde se implementó el código para la modelación del
problema de cuerdas (figura 1) y algunos resultados obtenidos
para los casos mencionados donde se especifica la posición de
un punto inicial de la cuerda que segmenta la misma en dos
rectas, el siguiente donde se especifica una función de velocidad
inicial y finalmente un caso donde se especifica una función de
posición inicial de la cuerda. Dichos casos son clásicos en
diversos textos de la literatura (ver ref. [3]), sin embargo, el
aporte del artículo hace referencia al desarrollo de códigos
propios en herramientas libres como SCILAB y bajo sistemas
operativos de código abierto como LINUX, esto
indudablemente provee un acceso sin restricciones a
herramientas de alto desempeño en actividades de docencia e
investigación, por otra parte es posible adaptar técnicas
numéricas clásicas o nuevas a casos específicos de modelación
como el de vibración de cuerdas.
Caso 1:
Una cuerda mide 80 cm de largo y pesa 1.0 gr. Se estira con
una tensión de 40,000 gr. En un punto a 20 cm del extremo, se
tira de la cuerda 0.6 cm con respecto a la posición de equilibrio
y luego se suelta. Encuentre los desplazamientos a lo largo de la
cuerda como una función del tiempo. Use ∆x=10cm. ¿en cuánto
tiempo se completa un ciclo de movimiento?
Caso 2:
Considere el problema hiperbólico
=4
Figura 1. Captura de corrida del código de modelación de
cuerdas en SCILAB bajo LINUX.
Con condiciones de frontera
0,
=
1,
= 0 para
Y condiciones iniciales
t>0,
Figura 4. Movimiento de vibración de una cuerda
especificando una función de posición inicial de la forma
f(x)=Asen (πx).
Cuerda con posicion de punto inicial
0.6
Al realizar comparaciones con soluciones analíticas las
diferencias son mínimas y no superan el 2% de variación.
0.4
valor de u
0.2
6.
CONCLUSIONES
0.0
•
Los métodos numéricos, en especial la modelación
mediante diferencias finitas dan una solución confiable a la
ecuación de onda, de manera sencilla y a un costo
computacional realmente bajo.
-0.2
-0.4
•
Al someter una cuerda a una fuerza externa esta vibra
generando desplazamientos los cuales se dan en un determinado
instante de tiempo y esto puede simularse simplemente
adaptando métodos clásicos del análisis numérico a casos
específicos. Los resultados obtenidos muestran la factibilidad
del uso de herramientas libres como SCILAB bajo sistemas
operativos muy competitivos como LINUX.
-0.6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
coordenada x
Figura 2. Ejemplo de vibración de cuerda con punto de
pulsación inicial (20,0.6).
Superficie Cuerda con funcion velocidad inicial
•
Siempre debe tenerse en cuenta que las soluciones
obtenidas por métodos numéricos son aproximadas, por tanto en
todo caso se requiere de un buen juicio ingenieril y una
conciencia sobre el orden de magnitud de los resultados.
5
3
•
En el caso uno se encontró que los desplazamientos
se reproducen cada 16 pasos de tiempo, donde cada paso
empleado es igual a 0.000179 segundos.
valor de u
1
-1
-3
-5
20
18
16
14
12
10
8
6
4
indice de tiempo
2
0
0
1
3
2
4
5
6
8
7
9
10
•
La herramienta obtenida constituye un laboratorio
virtual de experimentación muy sencillo que puede ser aplicado
para la simulación de todo tipo de casos y el contraste con
pruebas físicas en el futuro.
coordenada x
7.
Figura 3. Representación espacio temporal del
comportamiento de vibración de la cuerda especificando una
función de velocidad inicial de la forma g(x)=Asen (πx/L).
REFERENCIAS
[1]
C. Bunks, J.P. Chancelier, F. Delebecque, C. Gomez,
M. Goursat, R. Nikoukhah, S. Steer, Engineering and Scientific
Computing with Scilab, Springer, 1999.
[2]
Chapra S.C., Canale R. P., Métodos numéricos para
ingenieros, México: McGraw-Hill, 2007, pp. 364-375.
Cuerda con funcion posicion inicial
1.0
0.8
[3]
Curtis Gerald F., Wheatley Patrick O., Wheatley,
Análisis Numérico con Aplicaciones, México: Pearson, 2005.
0.6
0.4
[4]
J. H. Mathews, K. D. Fink, Métodos numéricos con
Matlab, Madrid: Pearson, 2000.
valor de u
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
coordenada x
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0